Ecuaciones Diferenciales De Orden Superior

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Se tiene la solución general de la ED lineal no homogénea de orden n:

Con lo cual realizaremos un estudio detallado sobre la forma de resolver a la ED lineal no homogénea de segundo orden:

y para esto trataremos primero con la ED lineal homogénea de segundo orden:

Así, una vez obtenida la solución general de la homogénea, resolveremos la no homogénea.

 

Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden es de la forma:

Es decir, los coeficientes de y así como de sus dos derivadas dependen sólo de x (o son constantes) y los exponentes de y y sus derivadas son 1. La parte izquierda de la ecuación diferencial es un operador L que asocia funciones a funciones, es decir, L es una función de funciones: Donde F es el conjunto de funciones reales de variable real que son derivables a cualquier orden.

 

L se define como sigue:



Una solución de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden es una función f (x)

ϵӺ

que cumple:

Es decir, al sustituir f (x) y sus derivadas correspondientes en la ecuación diferencial, se satisface a la ED.

Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

En donde si la ecuación diferencial se denomina homogénea, pero si entonces la ecuación diferencial se denomina no homogénea. Principio de Superposición o linealidad

Principio de Superposición o linealidad Sean soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, entonces la combinación lineal de estas es: También es solución de dicha ecuación diferencial Dependencia e Independencia lineal Se dice que las funciones de la ecuación

son linealmente independientes si la única solución

Donde En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son linealmente dependientes. Wronskiano Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas. Supongamos que las funciones menos

derivadas, entonces el Wronskiano está dado por:

Para el caso de tres funciones

poseen al

Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no. Dado un conjunto de soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, dicho conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que

ºED lineales homogéneas con coeficientes constantes de orden n ≥ 3

En la sección anterior hemos obtenido las soluciones de la ED lineal homogénea con coeficientes constantes De orden dos, es decir:

Las soluciones fueron determinadas proponiendo una solución de la forma exponencial rx

y=e

, con r constante, y resolviendo luego la ecuación característica:

Los tres diferentes tipos de solución de esta ecuación algebraica determinaron los tres diferentes tipos de solución general para la ecuación diferencial. De manera análoga se resuelve la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n ≥ 3

Donde los coeficientes

an

an −1… . , a3, a 2 , a1 son constantes en donde an ≠ 0 . Se

propone que una solución sea de la forma

y=erx , por lo tanto:

Al sustituir en la ecuación diferencial, se obtiene la ecuación auxiliar o característica:

El polinomio auxiliar o característico de grado n:

Tiene n raíces. Esta última afirmación se sustenta en el teorema Fundamental del Álgebra, en el que se asegura que: “todo polinomio de grado n≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene

exactamente n raíces reales o complejas, considerando sus multiplicidades”. Cada una de las raíces genera una solución de la ecuación diferencial. Cuando una raíz r se repite k-veces, se dice que tiene multiplicidad k, y una raíz es de multiplicidad uno cuando sólo aparece una vez. Así, la suma de las multiplicidades de las raíces será igual al grado n del polinomio característico. Reducción de Orden Uno de los hechos matematicos mas interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda solucion,

y 2 de

a2 ( x ) y ' ' + a1 ( x ) y ' + a0 ( x ) y=0 (1) en un intervalo Z a partir de una solucion

y 2 (x), de la ecuacion (1) tal que y1

Recordemos que si

constante en I; esto es, u(x) sustituyendo

y

y2 y1

y1

y 1 no trivial. Buscamos una segunda solucion, y 2 sean linealmente independientes en Z.

y

y 2 son linealmente independientes, su relacion

= u(x) o

y2 y1

es no

y 2 = u(x) y 1 (x). La idea es determinar la funcion

y 2 (x)= u(x) y 1 (x). En la ecuacion diferencial dada. Este metodo se

llama Reduccion de orden porque debemos resolver una ecuacion lineal de primer orden para hallar u. [1] Ejemplo: Si

y 1 = e x es una solucion de

''

y + y=0 en el intervalo (-∞,∞) aplique la reduccion de

orden para determinar una segunda solucion, Proceso: Si y=u(x) y 1 (x) = u(x)

e

x

Si derivamos tenemos

Si derivamos otra vez tenemos

igualando a la ecuacion original tenemos

y2 .

segun la regla del producto.

y' = u ex + ex u'

y '' = u e x +2 e x u ' + e x u ' '

y '' + y=e x ( 2 u' +u' ' ) =0

Puesto que

e x ≠ 0, para esta ultima ecuacion se requiere que

( 2 u' +u ' ' )

=0. Al ejectuar la

sustitucion w=u', esta ecuacion lineal de segundo orden en u, se transforma en w'+2w =0 una ecuacion lineal de primer orden en w. Usando el factor integrante

e 2 x y asi podemos escribir.

d 2x ( e w ) =0 dx

−2 x

Despues de integrar se obtiene w= c 1 e

c 1 e−2 x

, o sea que u'=

Despues de integrar otra vez −2 x

u=- c 1 e

y=u(x) e

Por consiguiente,

al elegir

x

/2 +

−x

=- c 1 e

c2

/2 +

c 2 e x (2).

c 2 =0 y c 1 =-2 obtenemos la segunda solucion que buscabamos,

Dado que w( e

x

−x

, e

y 2 = e−x

)≠0 para toda x, las soluciones son lineales independientes (-∞,∞) .

Como hemos demostrado que

y1 =

ex y

y2 =

e−x son soluciones linealmente

independientes de una ecuacion lineal de segundo orden, (2) es la solucion general de ''

y + y=0 en un intervalo de (-∞,∞) . [1]