Derivadas Parciales Final

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “RAFAEL MARÍA BARALT” PROGRAMA INGENIERIA Y TECNOLOGÍA CIUDAD OJEDA – ESTADO ZULIA

Realizado por: Br. Jesús Duarte C.I. 15.529.190 Prof. Rafael Puente Sección 2

Ciudad Ojeda, Noviembre de 2012

ESQUEMA

INTRODUCCION DEFINICIÓN DERIVADA PARCIAL DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES DERIVADA TOTAL INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE DERIVADAS PARCIALES CONCLUSIÓN BIBLIOGRAFÍA

INTRODUCCION

En el presente trabajo de investigación se dará a conocer las derivadas parciales y a su vez

las derivadas totales, interpretación geométrica

de las

derivadas parciales, regla de la cadena en el marco teórico y práctico. Pueden todos extenderse a funciones de varias variables; sin embargo se debe estar preparado para el hecho de que exista notables diferencias entre el cálculo de una variable y el cálculo de varias variables, dado que la mayor parte de estas diferencias se aprecian en funciones de solo dos variables independientes.

DEFINICIÓN DERIVADA PARCIAL

De una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras, constantes. Las derivadas parciales son útiles en calculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa como:

(donde

es una ´d´ redondeada conocida como símbolo de derivada

parcial). Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x, y, z,…) es decir: A = f(x,y,z,…)

Al realizar esta derivada obtendremos la pendiente de dicha función A paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el algebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambios de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables

podemos

medir dos razones

dejando a fija y otra según cambia, dejando a fija.

de cambio: una según cambia,

Suponga que dejamos variar solo a, dejando a fija, digamos, en donde es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable, a saber. Si tiene una derivada en entonces la llamamos la derivada parcial de con respecto a en. De forma análoga podemos hacerlo para la variable y fija.

Sea una función de dos variables y sea, entonces la derivada parcial de con respecto a en es siempre y cuando el límite exista.

De forma similar definimos la derivada parcial de con respecto a en por.

Observación: los limites de la definición son en una variable, por lo que podemos

calcularlos

usando

técnicas

aprendidas

en

cursos

anteriores:

factorización, racionalización, regla de L’Hospital, etc.

De una forma análoga, la derivación implícita con respecto a, obtenemos da y al evaluarla obtenemos una forma indeterminada; esto nos puede llevar a la conclusión errónea de que la derivada parcial no existe.

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Sea z = f(x,y) una función de las variables independientes x e y son independientes, podremos:  Variar x manteniendo constante y  Variar y manteniendo constante x  Variar x e y simultáneamente

En los dos primeros casos, z es una función de una sola variable y se puede hallar su derivada de acuerdo con las expresiones clásicas que ya hemos visto.

Si x varía permaneciendo constante y, z es una función de x y su derivada con respecto a ésta variable x.

Se denomina primera derivada parcial de z = f(x,y) con respecto a x.

Si lo que varia es y permaneciendo constante x,z es una función de y y su derivada con respecto a y.

recibe el nombre de primera derivada parcial z = f(x,y) con respecto a y.

Las derivadas parciales anteriores admiten una interpretación geométrica muy sencilla. Consideremos la superficie z = f(x,y) de la figura a continuación y sean APB y CPB las intersecciones con dicha superficie de los planos que pasando por P sean paralelos a los xOz e yOz, respectivamente. Si hacemos variar a x permaneciendo constante y, el punto P se desplazará a lo largo de la curva APB y el valor de

en el punto P es la pendiente de la curva APB en P.

Análogamente, si hacemos variar y permaneciendo constante x, P se moverá a lo largo de la curva CPD, y el valor

en P es la pendiente de la curva CPD

en P.

DERIVADA TOTAL

Derivada de una función continua, de dos o más variables, con respecto a un solo parámetro, que se puede expresar en términos de una serie de derivadas parciales.

Por ejemplo, si z = f(x,y) y tanto x como y funciones continuas de otra variable t, entonces la derivada total de z con respecto a t es:

(

)(

)

(

)(

)

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL

Recordemos que la gráfica de z = f(x,y) representa una superficie S. Si f(a,b) = c, entonces el punto P = (a,b,c) está sobre la superficie S. El plano vertical y = b interseca a la superficie S en la curva C1 (es decir, C1 es la traza de la superficie S sobre el plano y = b). De manera semejante, el plano vertical x = a interseca a la superficie S en la curva C2. Ambas curvas pasan por el punto P.

Observe que la curva C1 es la gráfica de la función g(x,b) de manera que la pendiente de su recta tangente T 1 en el punto P es g’(a) = fx(a,b). La curva C2 es la gráfica de la función g(y) = f(a,y), así que la pendiente de su tangente T 2 en el punto P es g’(b) = fy(a,b).

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE DERIVADAS PARCIALES 1. w = exseny + eysenx

x = 3t y = 2t

2. u = x2 + y2 + z2;

Calcular

[

]

[

]

[

]

Sacando factor común 2r2

[

]

[

]

[

]

3. u = 3x2 + xy – 2y2 + 3x – y ; x = 2r- 3s ; y = r + s

[

Aplicando la propiedad distributiva

Sustituyendo variables

]

[

]

b.

[

Sustituyendo variables

4. g(r,s,t) = Ln |r2 + 4s2 -5t2|

Calcular D132 (r,s,t)

]

[

]

[

]

[ [

]

]

[

]

Calcular g122(r,s,t)

[

]

[ [

]

]

[

[

5. √

Demuestre que:

[

]

]]

Solución

⁄ ⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

(

⁄

[

]

⁄

)

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

[

⁄

]

⁄

(

⁄

)

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

(

⁄

[

⁄

)

⁄

⁄

⁄

⁄

]

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

CONCLUSIÓN

La derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo los otros como constantes.

La diferenciación de funciones de valor real de n variables se reduce al caso de una dimensión al considerar

una función de n variables como una

función de una variable mientras las demás se mantienen fijas.

Las derivadas parciales son de suma importancia para el cálculo vectorial y geometría diferencial.

Por otra parte, la interpretación geométrica de una derivada parcial junto con las derivadas totales que se define como una función continua de dos o más variables, con respecto a un solo parámetro, que se puede expresar en términos de una serie de derivadas parciales son de gran utilidad ya que pueden ser aplicadas en la vida diaria.

BIBLIOGRAFÍA  Larson – Hostetler. Cálculo

y Geometría Analítica. Editorial Mc Graw Hill,

Edición 3era. México.  George F. Simmons. Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Mc. Graw Hill. Edición 2da. Madrid España.

REFERENCIA ELECTRÓNICA  http://www.google.com  http://www.wikipedia.com  http://www.monografía.com