Diagrama De Pareto

Media Aritmética

1. 3, 8, 4, 10, 6, 2

2. 85, 46, 128, 108, 26, 64, 55, 87, 91, 35, 12, 9, 37

3. 125, 68, 14, 36, 57, 22, 14, 97, 46, 36, 77, 41, 98, 24, 66, 81, 65, 32

Mediana ̃=

8

̃=

10

12

24

35

36

42

124

136

̃=95

-----------------------------------------1 3 18 34 62 74 85 96

̃=

50

̃=35

-----------------------------------------35 38 62 95 120

̃=

49

̃=85

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98

103 111 134 137

Moda ̂ 1. 4, 5, 7, 10, 11, 11, 13, 24, 25, 32, 57 ̂ = 11 2. 85, 46, 128, 108, 26, 46, 55, 87, 46, 35, 26, 9, 26 ̂ = 26, 46 3. 125, 68, 14, 36, 57, 22, 14, 97, 46, 36, 77, 41, 98, 24, 66, 81, 65, 32 ̂ = No existe moda

Amplitud 8

10

12

24

35

36

42

49

50

Amplitud = 50 – 8 = 42 35

38

62

95

120

85

96

124

136

Amplitud = 136 – 35 = 101 1

3

18

34

62

74

98

103 111 134 137

Amplitud = 137 – 1 = 136 Desviación Media=

8

10

∑

12

DM= DM=

=14.2777

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̅

24

∑ ̅

35

36

42

49

50

--------------------------------------------------35

38

62

95

120

124

136

DM= DM=

=36.1228 ---------------------------------------------------62

74

85

96

98

103

DM= DM=

=16.2825

̅

∑

Varianza=

𝑛

Desviación estándar=

∑

√

√

√

∑ √

̅

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111

134

Regla Empírica Es el resultado de la experiencia practica de investigadores en muchas diciplinas que han observado muy diferentes tipos de conjuntos de datos de la vida real. En series de datos simétricos, donde la mediana y la media son iguales, las observaciones tienden a distribuirse igualmente alrededor de estas mediciones de tendencia central. Cuando el sesgado extremo no se presenta y tal agrupamiento se observa en una serie de datos, podemos usar la denominada regla empírica para examinar la propiedad de variabilidad de datos y obtener una mejor idea de lo que la desviación estándar está midiendo.

Diagrama de Pareto El diagrama de Pareto, también llamado curva cerrada o Distribución A-B-C, es una gráfica para organizar datos de forma que estos queden en orden descendente, de izquierda a derecha y separados por barras. Permite, pues, asignar un orden de prioridades. El diagrama permite mostrar gráficamente el principio de Pareto (pocos vitales, muchos triviales), es decir, que hay muchos problemas sin importancia frente a unos pocos muy importantes. Mediante la gráfica colocamos los "pocos que son vitales" a la izquierda y los "muchos triviales" a la derecha. El diagrama facilita el estudio de las fallas en las industrias o empresas comerciales, así como fenómenos sociales o naturales psicosomáticos. Ejercicios: 1. Numero

Motivos Del Consumo de Agua Riego De Jardin Baño Personal Pisina Lavado De Ropa Lavado De Trastes Lavado De Auto Agua para beber Cocina Total De Galones

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Galones Por Dia 143 108 28 25 12 10 8 5 339

%

% Acumulada 42% 32% 8% 7% 4% 3% 2% 1%

42% 74% 82% 90% 93% 96% 99% 100%

100%

300 250 200 150 100 50 0

80% 60% 40% 20%

Galones Por Dia

0%

% Acumulada

2. Numero

Queja

Frecuencia

% Acumulada

% Acumulada

1 mala calidad de alimentos

84

28%

28%

2 Atencion Deficion por el pesonal

71

24%

52%

3 condiciones de desaceo

63

21%

73%

4 Nada Que Hacer

45

15%

88%

5 falta de respeto por el personal

35

12%

99%

2

1%

100%

6 errores en la medicación Total

300

300 250 200 150 100 50 0

100% 80% 60% 40% 20% 0%

3. Claudia Virginia Cruz Huerta Probabilidad Tareas e investigaciones

Frecuencia % Acumulada

Numero

Malas condiciones del camino

Nº De Decesos

%

% Aculudado

1 Reparacion/construccion del camino

39

29%

29%

2 Agua Estancada

25

19%

47%

3 Orillas del camino blandas o bajas

20

15%

62%

4 Otros

17

13%

75%

5 Material Superficial Suelto

13

10%

84%

6 Agujeros, surcos, etc.

8

6%

90%

7 Obstrucciones Sin Advertencia

7

5%

96%

8 Superficie Desgastada

6

4%

100%

Total De Decesos

100 50 0

135

100% 80% 60% 40% 20% 0%

Nº De Decesos % Aculudado

Diagrama de Dispersión Es un tipo de diagrama matemático que utiliza las coordenadas cartesianas para mostrar los valores de dos variables para un conjunto de datos. Los datos se muestran como un conjunto de puntos, cada uno con el valor de una variable que determina la posición en el eje horizontal y el valor de la otra variable determinado por la posición en el eje vertical.1 Un diagrama de dispersión se llama también gráfico de dispersión. Se emplea cuando una variable está bajo el control del experimentador. Si existe un parámetro que se incrementa o disminuye de forma sistemática por el experimentador, se le denomina parámetro de control o variable independiente y habitualmente se representa a lo largo del eje horizontal (eje de las abscisas). La variable medida o dependiente usualmente se representa a lo largo del eje vertical (eje de las ordenadas). Si no existe una variable dependiente, cualquier variable se puede representar en cada eje y el diagrama de dispersión mostrará el grado de correlación (no causalidad) entre las dos variables.

Ejercicios: Claudia Virginia Cruz Huerta Probabilidad Tareas e investigaciones

1. Un individuo asegura que el consumo de combustible de su automóvil no depende de la velocidad. Para demostrar la plausibilidad de esta hipótesis, se probó el automóvil a diferentes velocidades entre 45 y 75 millas por hora. Se determinaron las millas por galón a cada una de estas velocidades y los resultados se presentan en la tabla siguiente: Velocidad (X)

Millas por galon (Y)

45

24.2

50

25

55

23.3

15

60

22

10

65

21.5

70

20.6

75

19.8

Millas por galon (Y) 30 25 20

Millas por galon (Y) Linear (Millas por galon (Y))

5 0 0

20

40

60

80

y = -0.17 x + 32.543 R² = 0.9298

2. La espectroscopia de infrarrojo se usa, con frecuencia, para determinar el contenido de hule natural en mezclas de hule natural y hule sintetico. Para mezclas con porcentajes conocidos se obtuvieron las siguientes lecturas infrarrojo: X 0 20 40 60 80 100

Y 0.734 0.885 1.05 1.191 1.314 1.432

1.6 1.4

Y

1.2 Linear (Y)

1 0.8

y = 0.007x + 0.7497 R² = 0.9958

0.6 0.4 0.2 0 0

3. Claudia Virginia Cruz Huerta Probabilidad Tareas e investigaciones

50

100

150

El número de miembros de una familia (X), y la cantidad que se gasta en provisiones, cada semana (Y), se midió en 6 familias del vecindario. X 2 2 3 4 1 5

Y $457.50 $601.90 $683.30 $1,009.20 $358.60 $1,306.20

$1,400.00

y = 238.26x + 61.055 R² = 0.9601

$1,200.00 $1,000.00 $800.00

Y

$600.00

Linear (Y)

$400.00 $200.00 $0.00 0

2

4

6

Tipos de Errores La palabra error en el contexto estadístico se utiliza en sentido técnico, no peyorativo. Se refiere a las variaciones que son a menudo inevitables. El error puede definirse también como la variación producida por factores distorsionantes tanto conocidos como desconocidos. Los tipos de errores son:      

Error de tratamiento Error de estado Error de medida Error de muestreo Error Experimental Error Observacional

Coeficiente de correlación El coeficiente de correlación lineal es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas de ambas variables. El coeficiente de correlación lineal se expresa mediante la letra r. Variables aleatorias

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Una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (su suma). Una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en experimento aleatorio. Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores. Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones... El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo). Esperanza Matemática la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria , es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio. Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible. Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en Claudia Virginia Cruz Huerta Probabilidad Tareas e investigaciones

el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética. Ejercicios: 1. Suponga que el número de aeronaves privadas que aterrizan en un pequeño aeropuerto en cierto día tiene la siguiente función de probabilidades. X fx(X)

0 0.003

1 0.009

2 0.09

3 0.158

4 0.197

5 0.261

6 0.282

E(X)=(0)(0.003)+(1)(0.009)+(2)(0.090)+(3)(0.158)(4)(0.197)+(5)(0.261)+(6)(0.282)=4.448 VAR(X)=[(0-4.448)^2(0.003)+(1-4.448)^2(0.009)+(2-4.448)^2(0.090)+ (3-4.448)^2(0.158)+(4-4.448)^2(0.197)+(5-4.448)^2(0.261)+(6-4.448)^2(0.282)=6.68

2. La siguiente tabla muestra la función de probabilidades para premios en efectivo de una rifa llevando a cabo en una tienda de autoservicio. X fx(X)

0 0.45

10 0.3

100 0.2

500 0.05

E(X)=(0)(0.45)+(10)(0.30)+(100)(0.20)+(500)(0.05)=48 VAR(X)=[(0-48)^2(0.45)+(1-48)^2(0.30)+(2-48)^2(0.20)+(-48)^2(0.05)]=2.223

3. Un vendedor de automóviles nuevos de cierta agencia, generalmente negocia el mayor número de vehículos, los días sábado. Ha establecido la siguiente función de probabilidades para el número de autos que espera vender en un sábado en Claudia Virginia Cruz Huerta Probabilidad Tareas e investigaciones

particular. X fx(X)

0 0.1

1 0.2

2 0.3

3 0.3

4 0.1

E(X)=(0)(0.10)+(1)(0.20)+(2)(0.30)+(3)(0.30)+(4)(0.10)=2.1 VAR(X)= [(0-2.1)^2(0.10)+(1-2.1)^2(0.20)+(2-2.1)^2(0.30)+(3-2.1)^2(0.30)+(4-2.1)^2(0.10)]=1.29

Teorema de Chevyshev Señala la probabilidad de que variable aleatoria difiera de su media en t veces la desviación estándar es por lo menos iguala 1/t) o Teorema de Chebyshev: Para un conjunto cualquiera de observaciones (muestra o población), la proporción mínima de los valores que se encuentran dentro de k desviaciones estándares desde la media es al menos 1 – 1/k2, donde k es una constante mayor que 1. En probabilidad, la desigualdad de Chebyshev es un resultado estadístico que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática o de su media; equivalentemente, el teorema proporciona una cota superior a la probabilidad de que los valores caigan fuera de esa distancia respecto de la media. El teorema es aplicable incluso en distribuciones que no tienen forma de "curva de campana" y acota la cantidad de datos que están o no "en medio".

Teorema Fundamental de conteo Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si, continuando el procedimiento un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes y así sucesivamente entonces el número de maneras que los eventos pueden realizarse en el orden indicado n1 n2 n3 …

Distribución de Bernoulli

Consiste en realizar un experimento aleatorio una sóla vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos modalidades, es Claudia Virginia Cruz Huerta Probabilidad Tareas e investigaciones

por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a los posibles resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación real que pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir este experimento mediante una v.a. discreta Xque toma los valores X=0 si el suceso no ocurre, yX=1 en caso contrario, y que se denota Ejercicio: Suponga que un grupo de computadoras de las cuales 3 no funcionan y 27 no funcionan, se elige de tal forma que cada computadora tiene la misma probabilidad de ser elegida. Se registra, si la computadora no funciona entonces se registra éxito, en caso contrario se denomina como fracaso. p=

q=

Distribución Binomial Es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli. Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Ejercicios: Claudia Virginia Cruz Huerta Probabilidad Tareas e investigaciones

1. Un ingeniero de control de tráfico reporta que 75% de los vehículos que pasan por un punto de verificación tienen matrículas del estado. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 4 de los siguientes 9 vehículos no sean del estado? k=0.75

n=9 p=4

p(x=4)= p(x=5) + p(x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) p(x=5) ( )

P(X=4)=0.9504

=(126)(0.2373)(.0039)=0.1167

p(x=6) = ( )

=(84)(0.1779)(0.0156)=0.2334

p(x=7) = ( )

=(36)(.1334)(.0625)=0.3001

p(x=8) = ( )

=(9)(0.1001)(.25)=0.2252

p(x=9) = ( )

=(1)(0.0750)(1)=0.075

2. Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. Si el 20% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra: a) ninguno esté defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos salgan defectuosos d) más de tres estén con defectos e) no más de tres estén con defectos.

Solución: a) P(x=0)=b(x=0;n=10,p=0.20)= 0.1074 b) P(x=1)=b(x=1;n=10,p=0.20)= 0.2684 c) P(x≥2)=1-P(x≤1)=1-B(x≤1;n=10,p=0.20)=1-[0.1074+0.2684]=10.3758=0.6242 d) P(x≥3)=1-P(x≤2)= 1-B(x≤2;n=10,p=0.20)= 1 - [0.1074+0.2684+0.3020]=1Claudia Virginia Cruz Huerta Probabilidad Tareas e investigaciones

0.6778=0.3222 e) P(x≤3)= B(x≤3;n=10,p=0.20)= 0.1074 + 0.2684 + 0.3020 + 0.2013=0.8791 3. Sea X=número de preguntas contestadas correctamente en el test de un total de 10 preguntas. Calcular las probabilidades de contestar: a) cinco preguntas correctamente b) uno ó más preguntas correctamente c) cinco o más preguntas correctamente d) entre 3 y 6 preguntas correctamente. Solución: n=10 p=p(éxito)=p(pregunta contestada correctamente)=0.5, por tanto p permanece constante. Asumiendo independencia entre las contestaciones de las preguntas, obtenemos que X~ b(10,0.5). Entonces: a) P(x=5)=b(x=5,n=10,p=0.5) b) P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-b(x=0,n=10,p=0.5). c) P(X≥5)=1-P(X<5)=1-P(X≤4)=1-B(x≤4,n=10,p=0.5). d) P(3≤x≤6)= B(x≤6;n=10,p=0.5)-B(x≤2;n=10,p=0.5) Los resultados son los siguientes: a) b(x=5,n=10,p=0.5)= 0.2461 b) 1-b(x=0,n=10,p=0.5)= 1 – 0.0010= 0.9990 c) 1-B(x≤4,n=10,p=0.5)= 1 –[0.0010+0.0098+0.0439+0.1172+0.2051]=1-0.3770=0.6230 d)B(x≤6;n=10,p=0.5)B(x≤2;n=10,p=0.5)=0.2051+0.2461+0.2051+0.1172=0.7735 Distribución Hipergeometrica Es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original. Ejercicios: 1. En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?

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p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados Muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y nx buenos todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N objetos en total = espacio muestral Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos? N = 10 objetos en total a = 3 objetos defectuosos n = 4 objetos seleccionados en muestra x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra

2. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.

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3. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que, a) los 4 exploten? b) al menos 2 no exploten? a) N = 10 proyectiles en total a = 7 proyectiles que explotan n = 4 proyectiles seleccionados x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara

b) N = 10 proyectiles en total a = 3 proyectiles que no explotan n = 4 proyectiles seleccionados x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =

Distribución de Poisson Es una probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros". Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles). La función de masa o probabilidad de la distribución de Poisson es

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donde 

k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).



λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.



e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

Ejercicios: 1. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos. a) x = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.  = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata

b) x = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.  = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

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=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416

2. La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos?

P (x = 5) = 4,602

La probabilidad es de 4.6%

3. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba cuatro cheques sin fondo en un dia? a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.  = 6 cheques sin fondo por día  = 2.718

Distribución normal Se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.[cita requerida] La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica Claudia Virginia Cruz Huerta Probabilidad Tareas e investigaciones

respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional. La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos. Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son: 

caracteres morfológicos de individuos como la estatura;



caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;



caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;



caracteres psicológicos como el cociente intelectual;



nivel de ruido en telecomunicaciones;



errores cometidos al medir ciertas magnitudes;



etc.

Ejercicios:

1. Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar: p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ ). P(x1 ≤ X ≤ x2) se define como: Claudia Virginia Cruz Huerta Probabilidad Tareas e investigaciones

=P(z≤3) -1 + P(z≤3)= 0.9986 -1 + 0.9986 = 0.9972

2. En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que: P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934 X ≤ x2) se define como:

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3. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°. μ=23° y σ=5° se define como:

Distribución Uniforme 

Distribución uniforma discreta: Es una distribución de probabilidad que asume un número finito de valores con la misma probabilidad.

Si la distribución asume los valores reales es

y su función de distribución la función escalonada

Su media estadística es

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, su función de probabilidad

y su varianza



Distribución uniforme Continua: Es una familia de distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, tales que cada miembro de la familia, todos los intervalos de igual longitud en la distribución en su rango son igualmente probables. El dominio está definido por dos parámetros, a y b, que son sus valores mínimo y máximo. La distribución es a menudo escrita en forma abreviada como U(a,b).

La función de densidad de probabilidad de la distribución uniforme continua es:

La función de distribución de probabilidad es:

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