Diferenciales

4.4 Diferenciales. Para representar la derivada de una función se utiliza la siguiente notación:

dy  f ´(x) dx dy , no se debe considerar como una fracción ordinaria, sino como un dx y símbolo que representa el límite del cociente , cuando x  0 . x Donde el símbolo

Sin embargo, hay muchos problemas en los que es importante dar interpretaciones separadas a dx y dy. Esto se presenta especialmente en las aplicaciones del Cálculo Integral. Si f’(x) es la derivada de f(x), para un valor particular de x y Δx es un incremento de x, arbitrariamente elegido, la diferencial de f(x) que se representa por el símbolo df(x), se define por la siguiente igualdad:

df ( x)  f ´( x)x 

dy x dx

“La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente” Interpretación geométrica de la diferencial.

dx

La diferencial dy representa el incremento correspondiente de la ordenada de la tangente en A. La diferencial dy y el incremento y no son en general iguales ya que dy=AD pero Δy=DC. La diferencial también sirve como una aproximación al incremento. Dado que dy y Δy son aproximadamente iguales cuando dx es pequeño. Cuando solamente se desea un valor

aproximado del incremento de una función, es más fácil calcular el valor de la diferencial correspondiente. Ejercicio 1: Sea la función f ( x)  x 2  3 x

x2

x  0.03

Determine: Δy, dy, Δy - dy Primero calculando Δy

f ( x)  y  f ( x  x)  f ( x) y  ( x  x) 2  3( x  x)  ( x 2  3 x) y  ( x  0.03) 2  3( x  0.03)  ( x 2  3 x) y  0.06 x  0.0891 y  0.06(2)  0.0891  0.0309 Calculando dy; antes de eso debemos saber que Δx=dx

dy dx dx dy  2 x  3dx  (2 x  3)(0.03)

dy  f ´( x)dx 

dy  (2(2)  3)(0.03)  0.03 Calculando por ultimo Δy - dy Δy - dy= 0.0309 - 0.03 = 0.009 Ejercicio 2: Sea a función f ( x)  3 x 3  2

x3

Determine: Δy, dy, Δy - dy Primero calculando Δy

f ( x)  y  f ( x  x)  f ( x) y  ( x  x) 3  2  (3x 3  2) y  3( x  1) 3  2  (3 x 3  2) y  3 x 3  9 x 2  9 x  3  2  3 x 3  2 y  9 x 2  9 x  3  111 Calculando dy; antes de eso debemos saber que Δx=dx

dy dx dx dy  9 x 2 dx  9(3) 2 (1) dy  81(1)  81

dy  f ´( x)dx 

Calculando por ultimo Δy - dy Δy - dy= 111 - 81 = 30

x  1