Ecuaciones Diferenciales Grupal.docx

1. Una fuerza de 400 Newton alarga 2 metros un resorte. Una masa de 50 kg se une al extremo del resorte y se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 10 m/s. a. Encuentre las ecuaciones de movimiento Solución. Datos: 𝐹 = 400 𝑁,

𝑥 = 2 𝑚,

𝑚 = 50 𝑘𝑔,

𝑣 = 10 𝑚/𝑠

Hallamos la constante de elasticidad. 𝑘=

𝐹 400 𝑘𝑔 𝑚/𝑠 2 = = 200 𝑘𝑔/𝑠 2 𝑥 2𝑚

Calculamos la frecuencia angular. 𝑤2 = 4 𝑤 = √4 𝑤=2 𝑑𝑥 = 0 = −10 𝑑𝑡 Ecuación de movimiento. 𝑥(𝑡) = 𝑐1 cos(𝑤𝑡) + 𝑐2 sen(𝑤𝑡) 50𝑥 ′′ + 200𝑥 = 0 𝑥 ′′ + 4𝑥 = 0 𝑥(𝑡) = 𝑐1 cos(𝑤𝑡) + 𝑐2 sen(𝑤𝑡) 𝑥(𝑡) = 𝑐1 cos(2𝑡) + 𝑐2 sen(2𝑡) 𝑐1 = 29 𝑥(0) = −10 = 2 cos(2(0)) + 𝑐2 sen(2(0)) −10 = 2𝑐2 𝑐2 = −

10 2

𝑐2 = −5 𝒙(𝒕) = 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒕) − 𝟓𝐬𝐞𝐧(𝟐𝒕)

b. Encuentre la posición al cabo de 𝑡 =

𝜋 4

𝑠

Solución 𝑥(𝑡) = 2 cos(2𝑡) − 5sen(2𝑡) 𝜋 𝜋 𝜋 𝑥 ( ) = 2 cos (2 ) − 5sen(2 ) 4 4 4 𝜋 𝜋 𝜋 𝑥 ( ) = 2 cos ( ) − 5sen( ) 4 2 2 𝜋 𝑥 ( ) = 2(0) − 5(1) 4 𝝅 𝒙 ( ) = −𝟓 𝐦 𝟒 𝜋

Por lo tanto, luego de 4 𝑠, la posición es de -5m. c. Halle la frecuencia y el periodo. Solución. Calculamos la frecuencia. 1 𝑇 𝑤 𝑓= 2𝜋 𝑓=

𝑓=

2 2𝜋

𝑓=

1 𝜋

𝒇 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟖 𝑯𝒛 Calculamos el periodo. 𝑇=

2𝜋 𝑤

𝑇=

2𝜋 2

𝑇=𝜋 𝑻 = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏 𝒔