Ecuaciones Diferenciales Para Ingenieros

Ecuaciones diferenciales para estudiantes de ciencias e ingenier´ıas Adriana G´omez,

Graciano Calder´on,

Jaime Arango

II

Prefacio Como muchos libros de texto ´este empez´o en forma de borradores de clase: los del profesor Graciano Calder´on. Tambi´en como muchos libros ´este naci´o del deseo de sus autores de decir—y escribir—algunas cosas, y su convencimiento de que val´ıa la pena embarcarse en tal empresa. Nuestra aspiraci´on ha sido siempre la de contar con un texto de buena calidad, que resulte accesible para nuestros estudiantes. Deber´ıa reemplazar as´ı la poco afortunada costumbre de fotocopiar parcialmente trozos dispersos de libros—muchas veces tan lejanos de nuestras propias experiencias—o la de prescindir por completo de un libro de texto. Nuestros esfuerzos se han concentrado a trav´es del tiempo en que resulte un texto razonablemente bien escrito que presente una introducci´on concisa a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Deber´ıa ser u ´til tanto para estudiantes de ciencias, matem´atica y f´ısica, posiblemente interesados en los aspectos te´oricos de la materia, como para los estudiantes de ingenier´ıas, la mayor´ıa de ellos m´as inclinados hacia las aplicaciones pr´acticas. Con la experiencia de muchos a˜ nos de los autores y la colaboraci´on desinteresada de estudiantes y colegas, la iniciativa original de Graciano Calder´on fue tomando cuerpo hasta convertirse en lo que tenemos ahora. Seguramente nuestras pretensiones apenas se han logrado en parte: ser´an los lectores quienes juzquen en qu´e grado hemos logrado materializarlas. La lista de todos aquellos con quienes este trabajo est´a en deuda es por cierto muy larga y con seguridad siempre quedar´a incompleta. No queremos sin embargo dejar de mencionar a Aida Patricia Gonz´ales y a Luis Cobo, estudiantes del programa de Matem´aticas de la Universidad del Valle cuando este libro era apenas un bosquejo. Nuestro reconocimiento tambi´en va en memoria de J. Tischer, cuyos comentarios, a veces c´austicos, seguimos extra˜ nando. A nuestro colega Manuel Villegas este trabajo tambi´en debe mucho: adem´as de sugerencias y correcciones, su generosa disposici´on a usarlo en versiones preliminares. Queremos finalmente agradecer al Departamento de Matem´aticas iii

IV

de la Universidad del Valle, y desde luego al ciudadano que paga sus impuestos, y que con su contribuci´on hace posible que algunos podamos dedicarnos a las privilegiadas tareas de pensar y escribir.

´Indice general Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 1. Modelos matem´ aticos y ecuaciones 1.1. Sistemas din´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Modelo de Malthus (crecimiento exponencial) 1.1.2. Movimiento rectil´ıneo en un medio resistivo . 1.2. El concepto de soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Campos de direcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Ecuaciones de primer orden 2.1. Variables separables . . . . 2.2. Ecuaciones lineales . . . . 2.3. Ecuaciones exactas . . . . 2.4. Cambios de variables . . . 2.5. Ejercicios . . . . . . . . .

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3. Aplicaciones 3.1. Procesos de crecimiento y de declinaci´on. . . . . . . 3.2. El modelo de Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ley de Newton del enfriamiento . . . . . . . . . . . 3.4. El modelo del tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Ca´ıda de cuerpos cerca de la superficie de la Tierra. 3.6. Ca´ıda en un potencial gravitatorio variable . . . . . 3.7. Trayectorias ortogonales . . . . . . . . . . . . . . .

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1 . 2 . 2 . 4 . 6 . 10 . 13

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19 20 24 30 38 41

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47 47 50 54 56 59 62 63

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4. M´ etodos cualitativos y num´ ericos 69 4.1. M´etodos Cualitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.1. El modelo de Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 v

´INDICE GENERAL

VI

4.1.2. Ecuaciones diferenciales aut´onomas 4.1.3. Equilibrios y estabilidad . . . . . . 4.1.4. Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . 4.2. M´etodos num´ericos . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. El m´etodo de Euler . . . . . . . . . 4.2.2. Los m´etodos tipo Runge-Kutta . .

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5. Ecuaciones de segundo orden 5.1. Teor´ıa general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Ecuaciones lineales homog´eneas. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Conjuntos fundamentales de soluciones . . . . . . . . 5.2.2. El m´etodo de reducci´on de orden . . . . . . . . . . . 5.2.3. Ecuaciones diferenciales con soluciones complejas . . 5.2.4. Ecuaciones lineales homog´eneas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Ecuaciones lineales no homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Principios de superposici´on . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. El m´etodo de la variaci´on de par´ametros . . . . . . . 5.3.3. El m´etodo de los coeficientes indeterminados . . . . . 5.4. Ejercicios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Osciladores lineales 6.1. Osciladores mec´anicos 6.2. Oscilaciones libres . . . 6.3. Oscilaciones forzadas . 6.4. Ejercicios . . . . . . .

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7. Ecuaciones de orden superior 7.1. Teor´ıa general . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Ecuaciones lineales homog´eneas . . 7.1.2. Ecuaciones lineales no homog´eneas 7.2. Ecuaciones con coeficientes constantes . . 7.2.1. Ecuaciones homog´eneas . . . . . . 7.2.2. Ecuaciones no homog´eneas . . . . .

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72 76 80 84 84 87

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91 92 94 95 100 102

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104 107 107 108 111 114

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117 . 118 . 122 . 129 . 133

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139 . 140 . 140 . 144 . 147 . 148 . 150

8. Soluciones en series de potencias 155 8.1. Soluciones cerca a un punto ordinario . . . . . . . . . . . . . . 158 8.2. El m´etodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

´INDICE GENERAL

9. Transformada de Laplace 9.1. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Propiedades de la transformada de Laplace 9.3. La transformada de Laplace inversa . . . . 9.4. M´etodo de Heaviside . . . . . . . . . . . . 9.5. Producto de transformadas de Laplace . . 9.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII

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177 . 177 . 183 . 188 . 192 . 196 . 198

10.Sistemas de ecuaciones 10.1. Conceptos b´asicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Sistemas homog´eneos con coeficientes constantes . . 10.2.1. La exponencial de una matriz . . . . . . . . 10.3. Sistemas no homog´eneos con coeficientes constantes 10.3.1. El m´etodo de los coeficientes indeterminados 10.3.2. F´ormula de variaci´on de par´ametros . . . . .

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203 206 213 222 237 237 240

VIII

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1 Modelos matem´ aticos y ecuaciones diferenciales as ecuaciones diferenciales constituyen una de las principales herramientas empleadas por cient´ıficos e ingenieros cuando se trata de representar matem´aticamente alguno de los fen´omenos que deben estudiar en sus distintas ´areas de trabajo. Con frecuencia una ecuaci´on diferencial resulta ser la mejor manera de describir un sistema din´amico. Pero, ¿qu´e es un sistema din´amico? Esta puede ser una pregunta dif´ıcil de contestar en t´erminos rigurosos, sin embargo podemos imaginar un sistema din´amico como la evoluci´on de un sistema f´ısico, cuyo estado var´ıa con el tiempo. El estado de un sistema es el conjunto de caracter´ısticas del sistema que permiten su descripci´on completa en cada instante. Un p´endulo que oscila, un mercado burs´atil, el sistema solar, un conjunto de poblaciones animales que interact´ uan, o un circuito el´ectrico, pueden citarse como ejemplos que ilustran el concepto de sistema din´amico.

L

Cuando las reglas que gobiernan la evoluci´on de un sistema din´amico est´an expresadas en t´erminos de una ecuaci´on diferencial, el estudio de dicha ecuaci´on y de sus soluciones permite entender y predecir el comportamiento del sistema. En este cap´ıtulo empezamos por introducir un par de ejemplos concretos que muestran c´omo las ecuaciones diferenciales sirven para modelar matem´aticamente un rango muy diverso de fen´omenos naturales. Tambi´en discutiremos el concepto formal de ecuaci´on diferencial ordinaria y el de soluci´on de una ecuaci´on diferencial, as´ı como el teorema fundamental de existencia de soluciones para ecuaciones de primer orden. 1

´ 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONES

2

1.1.

Sistemas din´ amicos

En esta secci´on se considerar´an sistemas cuyos estados se pueden describir mediante una s´ola variable escalar, que a su vez depende de una variable independiente, la que muy usualmente corresponde al tiempo.

1.1.1.

Modelo de Malthus (crecimiento exponencial)

Como ilustraci´on estudiaremos un modelo de crecimiento para poblaciones aisladas. Los organismos viven en grupos llamados poblaciones, caracterizadas por su tama˜ no, que, para el caso del modelo que nos interesa, ser´a considerado el estado del sistema en cada instante. El tama˜ no de la poblaci´on se puede dar en t´erminos del n´ umero total de individuos de la poblaci´on, pero bien podr´ıa darse, por ejemplo, en t´erminos de su densidad. Para efectos de plantear un modelo introducimos la variable x = x(t), que representa el tama˜ no de la poblaci´on en el tiempo t. En ese caso la tasa 1 dx relativa de crecimiento de la poblaci´on en el tiempo t es igual a x(t) . En dt una poblaci´on aislada, la variaci´on del tama˜ no es debida fundamentalmente a los procesos de nacimiento y muerte. En ese caso la tasa de crecimiento de la poblaci´on es igual a la diferencia entre la tasa de natalidad y la de mortalidad. A trav´es del tiempo ec´ologos y dem´ografos han planteado varios modelos, en un intento por predecir la forma en que evoluciona el tama˜ no de las poblaciones. Estos modelos se basan en supuestos, usualmente verificados de manera experimental, que establecen relaciones entre la tasa de crecimiento de la poblaci´on y el tama˜ no de la poblaci´on en cada instante. Vamos a estudiar ahora uno de los modelos m´as conocidos, el modelo de Malthus, llamado as´ı por el economista Thomas Robert Malthus (1766-1834), quien lo plante´o por primera vez en su influyente trabajo Primer ensayo sobre la poblaci´ on. En este modelo la tasa relativa de crecimiento de la poblaci´on se supone constante, es decir 1 dx (t) = a, x(t) dt

a constante,

o equivalentemente dx (t) = a x(t). dt

(1.1)

´ 1.1. SISTEMAS DINAMICOS

3

Escrito en esta forma el modelo de Malthus proporciona un ejemplo de una ecuaci´ on diferencial. Es sencillo calcular expl´ıcitamente las soluciones de (1.1). En efecto, si x = x(t) es soluci´on de (1.1) y x(t) 6= 0 para todo t, entonces 1 dx = a. x dt Integrando a ambos lados respecto de t resulta que ln |x(t)| = at + c1 , para alguna constante c1 . Exponenciando ambos lados esta ultima identidad se obtiene x(t) = c ea t , −∞ < t < ∞, (1.2) donde c = ±ec1 . Rec´ıprocamente se verifica que cada una de las funciones de la forma x(t) = c eat , c constante, satisface la ecuaci´on (1.1). Finalmente, si se busca una soluci´on x = x(t) que satisfaga una condici´on de la forma x(t0 ) = x0 para valores de t0 y x0 dados, entonces x0 = c ea t0 y c = x0 e−a t0 , de manera que x(t) = x0 ea (t−t0 ) , −∞ < t < ∞. La validez del modelo de Malthus es s´olo aproximada, y su capacidad predictiva est´a confinada a periodos relativamente cortos de tiempo, pues en la pr´actica las tasas promedio de natalidad y de mortalidad de una especie no permanecen constantes a trav´es del tiempo. Observaci´on. Cuando a > 0 se dice que (1.1) modela un crecimiento exponencial. An´alogamente se habla de declinaci´ on exponencial cuando a < 0. Ejemplo 1.1.1. Digamos que una poblaci´on que en el a˜ no 1990 constaba de 1000 individuos, sigue la ley de Malthus con una una tasa relativa de crecimiento del −0,1 anual. ¿Cuanto tardar´a en extinguirse? De acuerdo con la discusi´on del modelo, si x(t) denota el tama˜ no de la poblaci´on en el a˜ no t, entonces x(t) = 1000 e−

(t−1990) 10

.

La poblaci´on puede considerarse extinta cuando cuente con menos de un individuo. Un c´alculo elemental muestra que la extinci´on se dar´ıa hacia el a˜ no 2060. En la figura 1.1 puede apreciarse la funci´on x = x(t).

´ 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONES

4

x(t)

1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1990

2000

2010

2020

2030

2040

2050

2060

2070

2080

t

Figura 1.1: N´umero de individuos de una poblaci´on en proceso de extinguirse.

1.1.2.

Movimiento rectil´ıneo en un medio resistivo

Ahora estudiaremos el problema de determinar la velocidad de un cuerpo que cae cerca de la superficie terrestre. Galileo Galilei (1546-1642) mostr´o experimentalmente que la aceleraci´on de un cuerpo que cae en el vac´ıo cerca de la superficie de La Tierra es constante. Teniendo en cuenta que la aceleraci´on es la raz´on de cambio de la velocidad con respecto del tiempo, y considerando como positiva la direcci´on hacia arriba, el descubrimiento de Galileo en notaci´on moderna puede escribirse como dv = −g, (ley de Galileo de ca´ıda libre), (1.3) dt donde v representa la velocidad del cuerpo y g es una constante, que en el sistema MKS toma el valor aproximado de g ≈ 9,8 m/s2 . Si en el instante t0 la velocidad es v0 , entonces mediante integraci´on se llega a la f´ormula para la velocidad en el caso del movimiento uniformemente acelerado v(t) = v0 − g (t − t0 ) . Cuando un cuerpo cae en un medio diferente del vac´ıo, por ejemplo aire o agua, ´este ejerce una fuerza de resistencia o fricci´on que afecta la velocidad de la ca´ıda. Es conveniente plantear el problema empleando la segunda ley de de Newton, de acuerdo con la cual el producto de la masa por la aceleraci´ on de un cuerpo es igual a la suma de las fuerzas que act´ uan sobre ´este: dv = Σf, (segunda ley de Newton). (1.4) dt Si las u ´nicas fuerzas que act´ uan sobre un cuerpo que cae son la fuerza de la gravedad fW y la resistencia fR , Σf = fW + fR . Sabemos que cerca de la m

´ 1.1. SISTEMAS DINAMICOS

5

superficie terrestre fW = −m g, mientras que para la resistencia un modelo validado experimentalmente establece que fR es proporcional a la velocidad y act´ ua en direcci´on opuesta a la del movimiento: fR = −γ v, donde γ es una constante positiva. De acuerdo con la segunda ley de Newton m

dv = fW + fR = −m g − γ v, dt

o, equivalentemente

dv γ = −g − v. (1.5) dt m Esta u ´ltima relaci´on puede interpretarse como una correcci´on de la ecuaci´on de ca´ıda libre (1.3), teniendo en cuenta ahora la resistencia del medio. En un medio no resistivo γ = 0 y la relaci´on (1.5) se reduce a la ecuaci´on de ca´ıda libre (1.3). La ecuaci´on (1.5) relaciona a v con su derivada dv . Este es un ejemplo de dt una ecuaci´ on diferencial de primer orden . Lo de primer orden se refiere a que s´olo aparece la primera derivada de la funci´on inc´ognita v = v(t). Vamos a determinar ahora las soluciones v = v(t) de la ecuaci´on (1.5). Obs´ervese que la ecuaci´on (1.5) se puede reescribir en la forma dv 1 = −1. γ g + m v dt Integrando ambos lados con respecto de t se sigue que, ¯ γ ¯¯ γ ¯ ln ¯g + v ¯ = − t + c1 , m m donde c1 es una constante cualquiera. Despejando v tenemos γ

v = c e− m t − c

mg , γ

(1.6)

donde c = ± m γe 1 es una constante arbitraria. Si en el instante inicial t0 el cuerpo cae con velocidad v = v0 podemos precisar el valor de la constante c. En efecto en ese caso γ mg , v 0 = c e − m t0 − γ

´ 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONES

6

as´ı que despejando c y reemplazando en (1.6) se obtiene una expresi´on para el valor de v en cada instante t: µ ¶ m g − γ (t−t0 ) m g v = v0 + e m − . (1.7) γ γ Ejemplo 1.1.2. Para fijar ideas consideremos una masa de 0.2 kg que se deja 1 caer desde el reposo en un medio resistivo, con una constante γ = 100 kg/s. De acuerdo con (1.7), la velocidad en metros por segundo en cada instante t resulta ser ³ t ´ v(t) = 20 × 9,8 e− 20 − 1 . La gr´afica de esta funci´on velocidad v = v(t) puede apreciarse en la figura 1.2, conjuntamente con la de la velocidad que corresponder´ıa a una ca´ıda libre. t v(t)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0

−100

−200

−300

−400

Figura 1.2: Velocidad de un cuerpo que cae en un medio resistivo. La l´ınea punteada es la velocidad asint´otica, la l´ınea a trozos representa la velocidad de no existir resistencia.

1.2.

El concepto de soluci´ on

La ley de Malthus para la evoluci´on del tama˜ no de una poblaci´on y las leyes que gobiernan la velocidad de un cuerpo que cae en un medio resistivo son ejemplos de modelos que dan lugar a ecuaciones diferenciales ordinarias. Por una ecuaci´ on diferencial ordinaria de orden m para una funci´on inc´ognita x = x(t), que depende de una variable real t, se entiende una condici´on que se puede expresar en la forma ¶ µ dm x dx (1.8) E t, x, , . . . , m = 0, dt dt

´ 1.2. EL CONCEPTO DE SOLUCION

7

que relaciona los valores que tome la funci´on x = x(t) con los que toman sus derivadas hasta la de orden m, y posiblemente con los valores de la variable independiente t. La letra E representa aqu´ı una funci´on de m + 2 variables, esto es, una “regla” o procedimiento que a cada conjunto ordenado de m + 2 n´ umeros (u1 , u2 , . . . , um+2 ), perteneciente a un cierto subconjunto del espacio Rm+2 , le asocia un valor que se denota por E(u1 , u2 , . . . , um+2 ). El orden de la ecuaci´on es el orden m de la derivada m´as alta de x = x(t) que aparece en la ecuaci´on. Ejemplo 1.2.1. Por ejemplo dx = 2x es una ecuaci´on diferencial. En efecto dt esta condici´on se puede expresar en la forma (1.8), tomando por ejemplo ) = dx − 2x. E(u1 , u2 , u3 ) = u3 − 2 u2 , de manera que E(t, x, dx dt dt Definici´ on 1.2.1. Una soluci´on de la ecuaci´on diferencial (1.8) en un intervalo I es una funci´on x = x(t), definida en I y con valores en R tal que: x = x(t) es continua y posee derivadas en I.

m dx , . . . , ddtmx dt

hasta de orden m

¡ ¢ dm x x = x(t) satisface (1.8) en I. Es decir, E t, x(t), dx (t), . . . , (t) = 0, m dt dt para todo t ∈ I. El intervalo I es el intervalo de definici´on de la soluci´on x(t). En discusiones de car´acter general, se hace necesario considerar ecuaciones en forma normal dm x dx dm−1 x = f (t, x, , . . . , ), (1.9) dtm dt dtm−1 es decir, resueltas para la derivada de orden m´as alto vamos a estudiar algunos ejemplos.

dm x . dtm

A continuaci´on

Ejemplo 1.2.2. Las funciones de la forma x(t) = c e2t , c constante, son soluciones de la ecuaci´on dx = 2 x en I = (−∞, ∞). En efecto para cada una dt dx de estas funciones x(t), dt (t) = 2 c e2t = 2 x(t). Ejemplo 1.2.3. Dada una constante fija ω, cada una de las funciones de la forma y(t) = a cos ω t + b sen ω t, a y b constantes, es soluci´on de la ecuaci´on d2 y + ω 2 y = 0, 2 dt

ω > 0 constante,

´ 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONES

8

en el intervalo I = (−∞, ∞). Ello puede verificarse f´acilmente, ya que para estas funciones y(t), d2 y (t) + ω 2 y(t) = −a ω 2 cos ω t − b ω 2 sen ω t + ω 2 (a cos ω t + b sen ω t) = 0. dt2 = −u2 en (0, ∞) y Ejemplo 1.2.4. La funci´on u(t) = 1t es soluci´on de du dt tambi´en en (−∞, 0). Se dejan al lector los detalles de la verificaci´on. Ejemplo 1.2.5. De acuerdo con la definici´on que hemos presentado las siguientes ecuaciones no son ecuaciones diferenciales ordinarias: ∂u ∂ 2u = , donde u es funci´on de las variables x la ecuaci´on del calor ∂t ∂x2 y t. la ecuaci´on de Laplace

∂ 2u ∂ 2u + = 0, donde u es funci´on de x y de y. ∂x2 ∂y 2

Las anteriores son en cambio ejemplos de ecuaciones parciales. Observaci´on. Los modelos que hemos presentado en esta gu´ıa corresponden a sistemas que dependen del tiempo. Resulta en ese caso natural emplear la letra t para denotar a la variable independiente (temporal), y con otra letra, por ejemplo x, a la variable dependiente. As´ı, x(t) puede representar el tama˜ no de una poblaci´on o la posici´on de un cuerpo en el instante t. Ahora bien, no hay nada de malo en denotar con letras distintas a las variables dependiente e independiente. De la misma manera es cierto que puede usarse cualquiera de las posibles notaciones para las derivadas. Por ejemplo, si no es importante precisar el nombre de la variable independiente, puede escribirse 2 x0 , x00 , . . . en lugar de dx , d x , . . . . S´olo el contexto y la tradici´on indican cu´al dt dt2 notaci´on puede ser la m´as conveniente en un determinado caso. N´otese que dx + x = cos t, dt

du + u = cos t y dt

dy + y = cos x, dx

as´ı como x0 + x = cos t,

o y 0 + y = cos x,

son formas equivalentes de escribir la misma ecuaci´on diferencial.

´ 1.2. EL CONCEPTO DE SOLUCION

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Separaci´ on de variables En la secci´on 1.1 presentamos un par de ecuaciones asociadas a problemas concretos, al tiempo que mostramos c´omo se pod´ıan obtener las soluciones de dichas ecuaciones. En los ejemplos de esta secci´on hemos verificado que ciertas funciones son soluciones de ecuaciones dadas, pero no nos hemos referido a´ un a la forma en que tales soluciones fueron obtenidas. Por decirlo de alg´ un modo, las soluciones fueron “sacadas de la manga”. En realidad el mismo m´etodo que empleamos para las ecuaciones de la primera secci´on, puede aplicarse en el ejemplo 1.2.2, que es un caso particular de la ecuaci´on del crecimiento exponencial (1.1), y tambi´en en el ejemplo 1.2.4. La t´ecnica a la que nos referimos se conoce como separaci´on de variables y puede aplicarse siempre que se tenga una ecuaci´on de primer orden de la forma dx = f (t, x), dt en la que el t´ermino f (t, x) se pueda escribir como el producto de un factor que dependa exclusivamente de t y uno que dependa u ´nicamente de x. Ilustramos estas ideas con el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.2.6. Consid´erese la ecuaci´on dx x = . dt t Si en un primer intento por resolver la ecuaci´on integramos a ambos lados respecto de t, estar´ıamos en problemas, pues aunque a la izquierda la integral es x(t), a la derecha tendr´ıamos que integrar la funci´on x(t) , siendo que x(t) t no se conoce a´ un. Una mejor idea es dividir a ambos lados por x, de manera que se obtenga la ecuaci´on 1 dx 1 = . x dt t Ahora que se han separado las variables si podemos proceder a integrar a ambos lados respecto de t, pues teniendo en cuenta el teorema de substituci´on para integrales indefinidas, se sigue que Z Z 1 1 dx = dt. x t Despu´es de calcular las integrales anteriores y de despejar x, obtenemos la familia de soluciones x = c t, c una constante arbitraria.

10

´ 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONES

Un estudio m´as detallado de ´este y otros m´etodos de soluci´on de ecuaciones de primer orden se postergar´a hasta el cap´ıtulo 2, mientras que las ecuaciones de segundo orden, como la del ejemplo 1.2.3, se considerar´an en el cap´ıtulo 5. Sin embargo y como hemos anticipado, existen numerosos casos en los que hallar las soluciones en forma cerrada de una ecuaci´on diferencial resulta en la pr´actica imposible. Es entonces que puede ser conveniente contar con resultados generales, que aunque no proporcionen f´ormulas para las soluciones, si puedan aportar informaci´on u ´til acerca de su naturaleza. Tal es el caso del teorema de la pr´oxima secci´on. Por simplicidad trataremos u ´nicamente el caso de las ecuaciones de primer orden, pero existen resultados an´alogos para ecuaciones ´ordenes mayores.

1.3.

Teorema fundamental

Una ecuaci´on diferencial ordinaria determina una colecci´on de funciones, la familia formada por todas sus posibles soluciones. Cada una de estas funciones se puede particularizar mediante condiciones adicionales. El teorema de existencia y unicidad de soluciones que formularemos en esta secci´on precisa esta idea en el caso de ecuaciones de primer orden. Teorema 1.3.1 (Teorema fundamental de existencia y unicidad de soluciones). Sea dx = f (t, x) (1.10) dt una ecuaci´ on diferencial tal que la funci´on f = f (t, x) satisface C1) f (t, x) es continua para t ∈ J y x ∈ Ω, donde J y Ω son intervalos abiertos de R. C2) La derivada parcial ∂f (t, x) existe y es una funci´on continua de (t, x), ∂x para todo t en J y x en Ω. Entonces para cada t0 ∈ J y x0 ∈ Ω existen un intervalo abierto I incluido en J y que contiene a t0 , y una funci´on x = x(t) definida en I, tales que x = x(t) es la u ´nica soluci´on de (1.10) definida en I y que satisface la condici´ on inicial x(t0 ) = x0 (ver la figura 1.3). La demostraci´on de este teorema, por ejemplo la debida a E. Picard (1890), requiere de m´etodos de An´alisis Matem´atico. No se discutir´a aqu´ı,

1.3. TEOREMA FUNDAMENTAL

11

x

Ω

x0

I

t0

t

J

Figura 1.3: La soluci´on al problema de valor inicial x0 = f (t, x), x(t0 ) = x0 . pero al lector que le interese puede consultarla en por ejemplo el texto de G. Simmons, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas hist´oricas, McGraw-Hill, 1993. Una consecuencia interesante del teorema 1.3.1 es que la ecuaci´on diferencial (1.10) tiene infinitas soluciones, pues dado t0 en J fijo, y cualquier valor x0 en Ω, exactamente una de las soluciones satisface la condici´on inicial x(t0 ) = x0 . Otra consecuencia que vale la pena mencionar es que si x = x(t) y y = y(t) son dos soluciones de (1.10) definidas en el mismo intervalo I ⊂ J, entonces las curvas © ª (t, x(t)) ∈ R2 : t ∈ I ,

© ª (t, y(t)) ∈ R2 : t ∈ I

o no se intersecan o son id´enticas. Observaci´on. Al problema de encontrar una soluci´on de la ecuaci´on (1.10) que satisfaga una condici´on de la forma x(t0 ) = x0 , t0 y x0 valores dados, se le conoce como problema de valor inicial. Usando esta terminolog´ıa puede decirse que el teorema Fundamental garantiza la existencia de una u ´nica soluci´on para cada problema de valor inicial.

12

´ 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONES

Ejemplo 1.3.1. El teorema fundamental es aplicable a la ecuaci´on dx = x, dt dx 2 con f (t, x) = x, J = R y Ω = R. Igualmente es aplicable a dt = −x , con f (t, x) = −x2 , J = R y Ω = R. As´ı, cada problema de valor inicial asociado a una de estas ecuaciones tiene una u ´nica soluci´on. Ejemplo 1.3.2. El teorema fundamental no permite en cambio garantizar = x que adem´as la existencia de una (´ unica) soluci´on de la ecuaci´on t dx dt satisfaga la condici´on inicial x(0) = 0. En efecto, la ecuaci´on en su forma = xt . Sin embargo la funci´on a la derecha es f (t, x) = xt normal se escribe dx dt que no puede definirse en el punto (t, x) = (0, 0) de forma continua. Obs´ervese que las funciones x1 (t) = 0 y x2 (t) = t son dos soluciones distintas, definidas en (−∞, ∞), y ambas satisfacen la condici´on inicial x(0) = 0. Ejemplo 1.3.3. En este ejemplo vamos a considerar la ecuaci´on dx = 3 x2/3 . dt

(1.11)

La funci´on f (t, x) = 3 x2/3 est´a definida y es continua para todo (t, x), t = 2 x−1/3 no es en (−∞, ∞) y x en (−∞, ∞). Sin embargo la funci´on ∂f ∂x continua en los puntos de la forma (t, 0), ni siquiera est´a definida en dichos puntos. As´ı, la ecuaci´on diferencial (1.11) satisface las condiciones C1) y C2) del teorema fundamental si tomamos J = (−∞, ∞) y Ω = (0, ∞) o tambi´en por ejemplo haciendo J = (−∞, ∞) y Ω = (−∞, 0). Por supuesto no se satisfacen tomando J = (−∞, ∞) y Ω = (−∞, ∞). En este caso el teorema fundamental no permite garantizar la existencia ni la unicidad de una soluci´on de (1.11) que satisfaga, por ejemplo, la condici´on x(0) = 0. Como ejercicio se propone que el lector compruebe que las funciones x1 (t) = 0 y x2 (t) = t3 son dos soluciones diferentes de (1.11), ambas est´an definidas en (−∞, ∞) y ambas satisfacen la condici´on inicial x(0) = 0. En cambio el teorema fundamental si garantiza la existencia de una u ´nica soluci´on de (1.11) que satisface la condici´on inicial x(0) = 1, ¿por qu´e? El lector puede verificar que la funci´on x(t) = (t + 1)3 es la u ´nica soluci´on a este problema de valor inicial. Ejemplo 1.3.4. Inclusive cuando el teorema fundamental garantiza la existencia de una u ´nica soluci´on que satisfaga la condici´on inicial x(t0 ) = x0 , dicha soluci´on no tiene por qu´e estar definida en todo el intervalo J alrededor de t0 donde se satisfagan las condiciones C1) y C2) del teorema. Tal es

1.4. CAMPOS DE DIRECCIONES

13

el caso por ejemplo de la ecuaci´on dx = −x2 . dt Para esta ecuaci´on f (t, x) = −x2 y ∂f = −2 x, ambas son funciones continuas ∂x en cada punto (t, x), t en J = R y x en Ω = R. En este caso el teorema fundamental 1.3.1 se puede emplear para garantizar la existencia de una u ´nica soluci´on que satisfaga, por ejemplo, la condici´on x(1) = 1. Sin embargo la u ´nica soluci´on que satisface esta condici´on inicial es la funci´on x(t) = 1t , que est´a definida u ´nicamente en (0, ∞). Para finalizar damos en la siguiente secci´on una interpretaci´on geom´etrica del significado de una ecuaci´on diferencial de primer orden, que de paso ayuda a aclarar el contenido del teorema fundamental.

1.4.

Campos de direcciones

de una funci´on diTeniendo presente la interpretaci´on de la derivada dx dt ferenciable x = x(t) como la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de x en el punto (t, x(t)), es f´acil entender de forma geom´etrica qu´e significa que una funci´on dada sea soluci´on de la ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden (1.10). La idea consiste en asignar a cada punto (t0 , x0 ) del plano un segmento de recta de longitud fija que pase por ese punto y que tenga pendiente f (t0 , x0 ), tal como se muestra en la figura 1.4. Para cada punto (t0 , x0 ) la gr´afica de una soluci´on de (1.10) que satisfaga la condici´on x(t0 ) = x0 debe ser una curva que pasa por dicho punto y es tangente al segmento de recta construido all´ı. Esta situaci´on se ilustra en la figura 1.5. A la luz de esta interpretaci´on geom´etrica no es de extra˜ nar que cuando la funci´on f sea suficientemente “bonita” se pueda garantizar que por cada punto del dominio de f pase exactamente una soluci´on. Trazando segmentos de recta en cada punto del plano (m´as exactamente en cada punto del dominio de f ), tal como acabamos de describir, se obtiene el llamado campo de direcciones de la ecuaci´ on diferencial. La figura 1.6 ilustra el campo de direcciones de la = x. En este contexto las soluciones x = x(t) de la ecuaci´on diferencial dx dt ecuaci´on diferencial (1.10) son curvas diferenciables con gr´aficos en el plano y tangentes al campo de direcciones en cada punto. En aquellos casos en que

´ 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONES

14 x

x

tan θ = f(t,x)

θ x

x

t

t

t

t

Figura 1.4: Direcci´on tangente a la cur-

Figura 1.5: La curva x = x(t) y su tan-

va x = x(t) en el punto (t0 , x0 ).

gente en el punto (t0 , x0 ). x 2

1

−3

−2

−1

1

2

3

t −1

−2

Figura 1.6: Una soluci´on y el campo de direcciones de

dx dt

= x.

no se puede encontrar la soluci´on general en forma cerrada, la t´ecnica del campo de direcciones es una fuente valiosa de informaci´on.

Ejercicios 1. El n´ umero de c´elulas en un cultivo bacteriano crece siguiendo la ley de crecimiento exponencial de Malthus. Si el n´ umero de bacterias se increment´o de 10,000 a 10,000,000 en 4 horas, determine a) la tasa de crecimiento relativo de este cultivo y b) el tiempo que tardan las bacterias en duplicar su n´ umero. Los datos de los dos siguientes problemas son aproximaciones de los que

1.4. CAMPOS DE DIRECCIONES

15

suministra el Departamento Administrativo Nacional de Estad´ıstica DANE en su p´agina www.dane.gov.co. 2. La poblaci´on de Colombia en en los a˜ nos 1964 y 1973 era de 17.484 y 22.862 miles de habitantes respectivamente. ¿Cu´al deber´ıa haber sido la poblaci´on colombiana en el 2005 de haber seguido esta poblaci´on el modelo de Malthus? 3. La evoluci´on de la poblaci´on del Valle del Cauca (en miles de habitantes) entre 1973 y 2005 se da en la siguiente tabla A˜ no Poblaci´on

1973 2.392

1985 3.027

1993 3.736

2005 4.060

¿sigui´o la poblaci´on del Valle el modelo de Malthus en el periodo de 1973 a 2005? justifique su respuesta. 4. Demuestre que si v = v(t) es una soluci´on de la ecuaci´on (1.5) que modela la ca´ıda de un cuerpo en un medio resistivo, entonces v(t) satisface l´ımt→∞ v(t) = − mγg . ¿C´omo puede interpretarse este resultado? ¿cu´al ser´ıa el l´ımite si v = v(t) fuera soluci´on de la ecuaci´on diferencial correspondiente al modelo de ca´ıda libre de Galileo? 5. En cada caso determine si la funci´on dada es soluci´on de la ecuaci´on correspondiente en el intervalo indicado a) y(t) = c eat − ab , b) x(t) = ln t, constantes).

0 < t < ∞;

c) u(t) = tan t, − π2 < t < π2 ; d ) y(x) = te).

1 a

dy dt

t ∈ R, (a, b, c constantes);

cosh a x,

x ∈ R;

m

d2 x dt2

+ c dx + k x = 0, dt

2

x1 (t) = e

,

(m, c, k

du dt

= 1 + u2 . q ¡ dy ¢2 d2 y 1 + dx = a , dx2

6. Verifique que las funciones − t2

= a y + b.

y x2 (t) = e

2

Z

t

− t2

s2

e 2 ds 0

(a constan-

´ 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONES

16

son soluciones de la ecuaci´on diferencial (−∞, ∞).

d2 x +t dx +x dt2 dt

= 0 en el intervalo 2

7. Suponga que x = x(t) es soluci´on de la ecuaci´on diferencial ddt2x −t x = 2 y satisface las condiciones iniciales x(0) = 1, y dx (0) = 1. Calcule dt ¯ d3 x ¯ . dt3 ¯ t=0

8. Dada la ecuaci´on

d2 x dx −2 − 3 x = 0, 2 dt dt

(1.12)

a) determine todas las soluciones de esta ecuaci´on que sean de la forma x(t) = eλt , t ∈ R, λ constante. b) Pruebe que si x1 (t) y x2 (t) son soluciones dadas de esta ecuaci´on, entonces para cada par de constantes c1 y c2 la funci´on x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) tambi´en es una soluci´on. c) Emplee los resultados anteriores para obtener una soluci´on de la (0) = 2. ecuaci´on, que satisfaga las condiciones x(0) = 1, dx dt 9. Muestre que y1 (x) = sen x y y2 (x) = 2 sen x son soluciones distintas de y 00 + y = 0 que satisfacen la misma condici´on inicial y(0) = 0. Explique por qu´e no se contradice el teorema fundamental. 10. De las curvas que aparecen en el gr´afico siguiente ¿cu´al de ellas es la que m´as se asemeja al gr´afico de la soluci´on x = x(t) del problema de valores iniciales d2 x dx + (1 + t) x = 0, x(0) = 1, (0) = 0? 2 dt dt

x(t)

a

b

1

c d t

1.4. CAMPOS DE DIRECCIONES

17

11. Para dx = x(1 − x) verifique que el teorema fundamental es aplicable dt con J = R y Ω = R. 12. Dada la ecuaci´on diferencial dx = x2 dt a) muestre para cada valor de c la funci´on x(t) = una soluci´on.

c 1−c t

representa

b) muestre que la ecuaci´on satisface las condiciones C1) y C2) del teorema fundamental para J = R y Ω = R. Halle la soluci´on al problema con condici´on inicial x(0) = 1 y determine en qu´e intervalo est´a definida esta soluci´on. 13. Dada la ecuaci´on t

dx = 2x, dt

a) determine para qu´e valores de t0 y x0 el teorema fundamental permite garantizar la existencia de una u ´nica soluci´on que satisfaga la condici´on inicial x(t0 ) = x0 . b) resuelva la ecuaci´on dada reescribi´endola en la forma 1 dx 2 = x dt t e integrando a ambos lados respecto de t. c) halle todas las soluciones que satisfagan la condici´on dada en cada caso (i) x(0) = 0, (ii) x(0) = 1, (iii) x(1) = 1. Relacione sus respuestas con la respuesta dada en la parte a). 14. Determine todas las soluciones de la forma x(t) = tk , t ∈ (0, ∞), de la 2 − x = 0. ecuaci´on diferencial 2t2 ddt2x + 3t dx dt 15. Determine si existe alg´ un valor de k para el cual x = tk sea una soluci´on de la ecuaci´on t2 x00 − t (t + 2) x0 + (t + 2) x = 0 16. Halle una ecuaci´on diferencial de primer orden de la forma dx = f (x) dt que tenga como soluci´on a la funci´on x(t) = sen t en un intervalo adecuado.

´ 1. MODELOS MATEMATICOS Y ECUACIONES

18

17. Muestre que todas las soluciones de la ecuaci´on dx 1 = t2 + 1 + 2 dt x +1 son crecientes. Muestre tambi´en que existe un n´ umero infinito de soluciones de esta ecuaci´on. 18. Esboce el campo de direcciones correspondiente a la ecuaci´on diferencial dx = −x. En particular determine un segmento tangente en el dt punto (0, 1). Compruebe que x(t) = e−t es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial y que este segmento es tangente a la gr´afica de x = x(t) en el punto (0, 1). 19. Esboce el campo de direcciones correspondiente a la ecuaci´on diferencial dx = xt . A partir del campo de direcciones, ¿podr´ıa decir qui´enes dt son las soluciones de esta ecuaci´on?

Respuestas a ejercicios seleccionados 1. a) a = 34 ln 10 ≈ 1,73 horas−1 b) t =

4 ln 2 3 ln 10

horas ≈ 24 minutos

2. 59.325 miles de habitantes. El censo del DANE del 2005 estim´o la poblaci´on colombiana en 42.095 5. a) Si b) No (excepto si m = c = k = 0) c) Si d ) Si ¯ 3 ¯ 7. ddt3x ¯ = 1 t=0

8. a) x1 = e3t , x2 = e−t c) x(t) = 34 e3t + 14 e−t 10. (c) 12. b) x = 14. x1 =

1 t

1 , 1−t

I = (−∞, 1) √ y x2 = t

15. k = 1 16. f (x) =

√

1 − x2 , −1 ≤ x ≤ 1, x = sen t es soluci´on en (− π2 , π2 ).

Cap´ıtulo 2 Soluciones de ecuaciones de primer orden ada una ecuaci´on diferencial ¿c´omo hallar sus soluciones? Durante gran parte de los siglos XVIII y XIX los mayores esfuerzos en el campo de las ecuaciones diferenciales estuvieron concentrados en resolver ecuaciones muy concretas, originadas en por ejemplo problemas de geometr´ıa o de mec´anica. Mediante t´ecnicas de c´alculo se busc´o expresar las soluciones de estas ecuaciones en t´erminos de funciones elementales, es decir, como combinaci´on de funciones racionales, algebraicas, trigonom´etricas, exponenciales, las inversas de estas funciones, sus integrales y algunas series. Las soluciones as´ı obtenidas, que podr´ıamos denominar cl´asicas, tambi´en son conocidas como soluciones en forma cerrada. Sin embargo poco a poco se hizo evidente que, aunque importantes, en m´as bien pocos casos resulta posible obtener soluciones que, en los t´erminos aludidos, pudieran ser consideradas cl´asicas.

D

En este cap´ıtulo estudiaremos algunas t´ecnicas que permiten la obtenci´on de soluciones cerradas para ciertas ecuaciones de primer orden. A grandes rasgos el esquema consiste en emplear cambios de variables y operaciones algebraicas para tratar de transformar una ecuaci´on dada en uno de varios prototipos (ecuaciones separables, lineales, exactas,...), para los que se han desarrollado m´etodos espec´ıficos de soluci´on. 19

20

2.1.

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

Variables separables

Las ecuaciones de variables separables son aquellas ecuaciones que se pueden escribir en la forma dx = g(t) h(x) dt donde g(t) y h(x) son funciones continuas definidas en ciertos intervalos. La t´ecnica formal de separaci´on de variables consiste en reescribir estas ecuaciones en la forma 1 dx = g(t) (2.1) h(x) dt para despu´es integrar respecto de la variable t. Teniendo en cuenta el teorema de cambio de variables para integrales indefinidas se llega entonces a la f´ormula Z Z 1 dx = g(t) dt, h(x) que en general conduce a una relaci´on impl´ıcita entre x y t. Alternativamente, si se busca una soluci´on x = x(t) que satisfaga la condici´on x(t0 ) = x0 , podemos integrar (2.1) de t0 a t, obteni´endose as´ı la ecuaci´on Z t Z t 1 dx ds = g(s) ds. t0 h(x(s)) dt t0 La f´ormula de cambio de variables para integrales definidas permite simplificar la anterior expresi´on, de manera que finalmente obtenemos Z t Z x(t) 1 du = g(s) ds, h(u) x0 t0 que de nuevo representa una relaci´on impl´ıcita entre x y t. Ejemplo 2.1.1. El problema de valor inicial (x2 + 9)

dy + x y = 0, dx

y(0) = 2,

puede resolverse separando variables. En efecto, la ecuaci´on diferencial puede escribirse en la forma dy x =− 2 dx, y x +9

2.1. VARIABLES SEPARABLES

21

de manera que integrando y despu´es despejando la variable y obtenemos sucesivamente 1 ln (x2 + 9) + c1 , 2 1 c 2 y = ±e− 2 ln (x +9)+c1 = √ , x2 + 9

ln |y| = −

donde c1 es una constante arbitraria y c = ±ec1 (n´otese sin embargo que la funci´on constante y ≡ 0 tambi´en es una soluci´on, que est´a incluida en la f´ormula anterior cuando se toma c = 0). Reemplazando ahora la condici´on inicial y(0) = 2, se concluye que c = 6 y por lo tanto la u ´nica soluci´on del problema de valor inicial propuesto es la funci´on 6 y(x) = √ , x ∈ (−∞, ∞). 2 x +9 Ejemplo 2.1.2. Consideremos ahora el problema de valor inicial dx = 1 + x2 , dt

x(0) = 1.

Aplicando la t´ecnica de separaci´on de variables se obtiene Z x Z t 1 dx = dt, 2 1 1+x 0 π arctan x − = t. 4 Despejando x se concluye que la soluci´on del problema de valor inicial planteado est´a dada por x(t) = tan (t +

π ), 4

−

3π π
Ejemplo 2.1.3. Consid´erese el problema x2 − 2 dy = 2 , dx y −2

y(0) = 3.

Mediante separaci´on de variables se tiene que las soluciones y = y(x) de la anterior ecuaci´on diferencial deben satisfacer una relaci´on de la forma y 3 − x3 + 6x − 6y = c,

22

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

y

y

4

4

3

−4

−3

−2

3

2

2

1

1

−1

1

2

3

4

−4

x

−1

−3

−2

−1

1 −1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

Figura 2.1: Las curvas y 3 − x3 + 6x − 6y = c para algunos valores de c (ver ejemplo 2.1.3).

2

3

4

x

Figura 2.2: La curva y 3 − x3 + 6x − 6y = 9 y la soluci´on del ejemplo 2.1.3 (en negrilla).

c constante. Si y(0) = 3 se sigue que c = 9, y por consiguiente la soluci´on del problema de valor inicial dado est´a impl´ıcitamente definida por la relaci´on y 3 − x3 + 6x − 6y = 9. La gr´afica de la curva definida por esta ecuaci´on se ilustra en la figura 2.2, donde puede observarse que dicha curva no es, en su conjunto, la gr´afica de una funci´on y = y(x) (¿por qu´e?). No es f´acil despejar y en funci´on de x de la relaci´on que acabamos de obtener, como tampoco es f´acil hallar de manera expl´ıcita el intervalo de definici´on de la soluci´on. Con ayuda de software apropiado podemos sin embargo trazar la gr´afica de esta soluci´on (ver la figura 2.2).

Ecuaciones homog´ eneas En algunas ocasiones una ecuaci´on puede transformarse en una ecuaci´on de variables separables mediante un cambio de variables. Tal es el caso de las llamadas ecuaciones homog´eneas. Una ecuaci´on homog´enea es una ecuaci´on de la forma ³x´ dx =H . (2.2) dt t Introduciendo la variable z =

x t

se sigue que x = t z y por lo tanto

dz dx =z+t , dt dt

2.1. VARIABLES SEPARABLES

23

de modo que la ecuaci´on (2.2) se transforma en z +t

dz = H(z), dt

que es separable. Ejemplo 2.1.4. Consideremos la ecuaci´on 2 t2 La sustituci´on z = bles

x t

dx = x2 + t 2 . dt

reduce esta ecuaci´on a la ecuaci´on de variables separa-

dz = (z − 1)2 . dt Se dejan al lector los c´alculos restantes para obtener x = x(t). 2t

Ejercicios 1. Resuelva la ecuaci´on o el problema de valor inicial dado en cada caso dx = tx − t dt sen t dx = , b) dt 2x

c)

a)

x(0) = −1

dy yx = 2 dx x −1

d ) y0 = 2 x + 2 x y2,

2. Determine todas las soluciones de la ecuaci´on

y(0) = 1.

dx x = . dt t−x

¡ ¢ dy 3. Halle todas las soluciones de la ecuaci´on 4 x y + y 2 + x2 + x y =0 dx y en particular determine la soluci´on que satisface la condici´on y(1) = 1. 4. Determine las soluciones de la ecuaci´on soluci´on que satisface x(1) = 1.

dx = k + x, k constante y la dt

5. Dados 0 < b < a, constantes, determine la soluci´on de la ecuaci´on dx = (a − b x) x, dt que satisface la condici´on x(0) = x0 , indicando su intervalo de definici´on I. Si x0 > 0, determine el l´ımite l´ımt→∞ x(t). ¿Qu´e ocurre si x0 < 0?

24

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

6. Determine todas las soluciones de la ecuaci´on v cos t dv = , dt 1 + 2 v2 y obtenga una soluci´on que satisfaga la condici´on v(0) = 2. 7. Dada la ecuaci´on

dz = 0, dx a) halle todas sus soluciones y b) determine una soluci´on que satisfaga la condici´on z(1) = 2. x3 z 3 − z

Respuestas √ 2 1. a) x(t) = 1 + c et /2 , c constante b) x(t) = − 2 − cos t, t ∈ (−∞, ∞) √ √ π π 2 1/2 2 c) y(x) = c |x −1| , c constante d ) y(x) = tan (x + 4 ), x ∈ (− 2 , 2π ) 2. t + x ln x = c x 3. x5 y 2 (5x + 2y)3 = c, c constante; x5 y 2 (5x + 2y)3 = 73 4. x(t) = c et − k, −∞ < t < ∞, c constante; x(t) = (1 + k)e(t−1) − k 5. x(t) =

a x0 ; b x0 +(a−b x0 )e−a t

I depende de x0 : 0 < x0 ≤ ab =⇒ I = ³ ´ =⇒ I = ( a1 ln b xb 0x−a , ∞); x0 < 0 =⇒ I = 0

(−∞, ∞); x0 > ab ³ ´ b x0 −a 1 (−∞, a ln b x0 ); l´ımt→∞ x(t) =

a b

cuando x0 > 0

6. ln |v| + v 2 = sen t + c; ln v + v 2 = 4 + ln 2 + sen t 7. a) z(x) = 0, x ∈ (−∞, ∞) es una soluci´on; ¡las dem´ as¢ soluciones son √ 4 4 4 de la forma z(x) = c−x4 , b) z(x) = 3−x4 , x ∈ −∞, 3

2.2.

Ecuaciones lineales

En esta secci´on estudiaremos la ecuaci´on dx + a(t) x(t) = b(t), dt

(2.3)

2.2. ECUACIONES LINEALES

25

donde a(t) y b(t) son funciones continuas en un intervalo J. Esta es una ecuaci´on lineal de primer orden. Para quienes est´an familiarizados con la terminolog´ıa del ´algebra lineal, el calificativo lineal tiene que ver con el hecho de que la expresi´on a la izquierda en la ecuaci´on (2.3) es lineal en x. Es u ´til notar que dicha expresi´on hace recordar la regla para derivaci´on de productos. En realidad para resolver esta ecuaci´on lo que hacemos es determinar un factor A(t), de manera que despu´es de ser multiplicado por ese factor, el t´ermino a la izquierda en (2.3) corresponda efectivamente a la derivada del producto A(t) x(t). En otras palabras se busca que d dx (A(t) x(t)) = A(t) + a(t) A(t) x(t), dt dt

(2.4)

que se traduce en la condici´on dA = a(t)A(t). Concluimos entonces que el dt factor A(t) buscado, conocido como factor integrante, est´a dado por R

A(t) = e

a(t) dt

,

(2.5)

R donde a(t) dt representa una antiderivada arbitraria de a(t). Multiplicando ahora (2.3) por el factor integrante A(t) se obtiene la ecuaci´on A(t)

dx + a(t) A(t) x(t) = A(t) b(t). dt

Como A(t) satisface la relaci´on (2.4), la ecuaci´on anterior puede reescribirse en la forma d (A(t) x(t)) = A(t) b(t). (2.6) dt Integrando a ambos lados respecto de t y despejando x(t) se obtiene la soluci´on general de (2.3): R c + A(t) b(t)dt x(t) = , (2.7) A(t) donde c representa una constante cualquiera. La f´ormula (2.7) es especial´til en los casos en que tanto el factor integrante A(t) como la integral Rmente u A(t) b(t) dt se puedan calcular expl´ıcitamente. Ejemplo 2.2.1. Vamos a hallar la soluci´on general de t

dx = x + t2 . dt

26

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

Para ello dividimos por t y vemos que la ecuaci´on resultante dx 1 − x=t dt t

(2.8)

es de la forma (2.3) con a(t) = − 1t y b(t) = t. Dado que A(t) = 1t , al aplicar la f´ormula (2.7) se tiene que las soluciones de la ecuaci´on dada son de la forma x(t) = t (c + t) , c constante. (2.9) Alternativamente y para no tener que memorizar la f´ormula (2.7) podr´ıamos repetir el procedimiento descrito para llegar a esa expresi´on, pero para el caso particular de la ecuaci´on considerada. Esto significa multiplicar (2.8) por el factor A(t) = 1t , obteniendo as´ı la ecuaci´on 1 dx 1 − 2 x = 1. t dt t La expresi´on a la izquierda se reconoce entonces como la derivada de un producto, lo que permite reescribir esa ecuaci´on en la forma µ ¶ d 1 x = 1. dt t Integrando ahora a ambos lados respecto de t obtenemos de nuevo la f´ormula para las soluciones dada en (2.9). Al resolver problemas de valor inicial dx + a(t) x(t) = b(t), dt

x(t0 ) = x0 ,

puede ser m´as conveniente emplear integrales definidas en lugar de las integrales indefinidas que hemos venido usando. As´ı por ejemplo podemos emplear como factor integrante la funci´on A(t) = e

Rt t0

a(s) ds

,

en vez de la expresi´on algo ambigua dada por (2.5). Integrando ahora (2.6) entre t0 y t se llega a la soluci´on particular descrita en el siguiente teorema.

2.2. ECUACIONES LINEALES

27

Teorema 2.2.1. Para todo t0 en J y todo x0 en R, el problema de valor inicial dx + a(t) x(t) = b(t), x(t0 ) = x0 , dt tiene una u ´nica soluci´on x = x(t), definida para todo t ∈ J, y dada por Rt x0 + t0 A(s) b(s) ds x(t) = , A(t) Rt

donde A(t) = e

t0

a(s) ds

.

Ejemplo 2.2.2. Consideremos el problema de valor inicial dx + 2 t x = 1, dt

x(0) = 1.

Si aplicamos la f´ormula (2.7) se tiene que las soluciones de esta ecuaci´on son de la forma µ ¶ Z −t2 t2 x(t) = e c + e dt , c constante. R 2 Sin embargo como la integral et dt no puede escribirse en t´erminos de funciones elementales, la expresi´on anterior no resulta muy clara si lo que se desea es determinar la soluci´on al problema de valor inicial dado. En cambio, aplicando el teorema 2.2.1, se obtiene una expresi´on algo m´as precisa para la soluci´on del problema de valor inicial considerado: µ ¶ Z t −t2 s2 x(t) = e 1+ e ds . 0

Ecuaciones de Bernoulli Algunas ecuaciones no lineales pueden reducirse a lineales mediante una sustituci´on o cambio de variables adecuado. Tal es el caso de las ecuaciones de Bernoulli dx + a(t) x = b(t) xn , n 6= 1 constante. dt 1−n Si z = x entonces dz = (1 − n) x−n dx y la ecuaci´on de Bernoulli se reduce dt dt a una ecuaci´on lineal en z dz + (1 − n) a(t) z = (1 − n) b(t). dt

28

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

Ejemplo 2.2.3.

dx − x3 + t2 x = 0. dt Primero, dividiendo por t x2 llevamos la ecuaci´on a la forma t x2

dx x t − =− dt t x que es de tipo Bernoulli con n = −1. El cambio de variables toma la forma = 12 z −1/2 dz , que conduce a la ecuaci´on lineal z = x2 , dx dt dt dz 2 z − = −2 t, dt t cuya soluci´on general est´a dada por z(t) = c t2 − 2 t2 ln |t|, donde c representa una constante arbitraria. Retomando la variable original x se tienen las soluciones p x(t) = ± t2 (c − 2 ln |t|). En la figura 2.3 se muestran las gr´aficas de las anteriores funciones para unos cuantos valores de c. El dominio de definici´on de las soluciones depende en gneral de c, y cada soluci´on corresponde a una s´p ola de las ramas de la ra´ız cuadrada. Es decir, o bien la soluci´on es x =p t2 (c − 2 ln |t|), en el caso de que x tome valores positivos, o es x = − t2 (c − 2 ln |t|) si toma valores negativos. Si se pide por ejemplo p la soluci´on que satisface √ la condici´on 2 x(1) = 1, se tiene que c = 1 y x(t) = t (1 − 2 ln t), t ∈ (0, e). Ejercicios 1. Resuelva los siguientes problemas de valor inicial indicando el intervalo de definici´on de la soluci´on. a) b) c)

dx = 2 x − e2t , x(0) = 1 dt dx + xt = 1, x(1) = 1 dt dx +x sec2 t = sec2 t, x(0) dt

d) e) =2

f)

dx = cos t − x cos t, x(π) = dt dy x dx + y = x4 y 3 , y(1) = 1 du + 3t u = t2 u2 , u(1) = 2 dt

0

2. Halle la soluci´on del siguiente problema de valor inicial indicando en qu´e intervalo est´a definida la soluci´on. cos t

dy − (2 sen t) y = cos t sen t, dt

y(0) = 1.

2.2. ECUACIONES LINEALES

29

x

2

−4

−2

2

4

t

−2

Figura 2.3: Algunas soluciones de la ecuaci´on de Bernoulli t x2 dx −x3 +t2 x = dt 0. Aparece destacada la soluci´on que satisface x(1) = 1. 3. Dada la ecuaci´on lineal con coeficientes constantes dx + a x = b, dt muestre que su soluci´on general est´a dada por x(t) =

b + c e−a t , a

c constante.

Muestre tambi´en que para todo par de n´ umeros reales t0 y x0 , la u ´nica soluci´on que satisface la condici´on inicial x(t0 ) = x0 est´a dada por µ ¶ b b x(t) = + x0 − e−a(t−t0 ) . a a Respuestas 1.

a) x(t) = e2t (1 − t) , t ∈ R,

d ) x(t) = 1 − e− sen t , t ∈ R

b) x(t) = 12 ( 1t + t), t > 0,

e) y(x) =

c) x(t) = 1 + e− tan t , |t| <

π 2

√1 , x 2−x2

√

2 √ 2 f ) u(t) = t3 (1−2 , 0
2. y(t) = − 31 cos t + 43 sec2 t, − π2 < t < π2 .

0<x<

30

2.3.

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

Ecuaciones exactas

En esta secci´on nos ocuparemos de ecuaciones diferenciales cuyas soluciones y = y(x) se pueden ver como curvas de nivel de una funci´on de dos variables g = g(x, y).

Curvas de nivel y ecuaciones diferenciales Primero vamos a estudiar c´omo las curvas de nivel de una funci´on de dos variables g(x, y), se pueden ver como soluciones de una cierta ecuaci´on diferencial. Como se recordar´a, el conjunto © ª (x, y) ∈ R2 | g(x, y) = c , es la curva de nivel de g a la altura c (ver figura 2.4), y no es otra cosa que la proyecci´on sobre el plano z = 0 de la intersecci´on del plano z = c con la superficie z = g(x, y).

Figura 2.4: La superficie z = g(x, y) y su intersecci´on con el plano z = c. Suponiendo que de la ecuaci´on g(x, y) = c se pueda despejar la variable y en t´erminos de x, y = y(x), se tiene que g(x, y(x)) = c.

2.3. ECUACIONES EXACTAS

31

Derivando a ambos lados la anterior relaci´on respecto de la variable x y empleando la regla de la cadena para funciones de varias variables, se obiene ∂g ∂g dy (x, y(x)) + (x, y(x)) (x) = 0, ∂x ∂y dx de donde podemos despejar

dy dx

:

∂g (x, y(x)) dy (x) = − ∂x . ∂g dx (x, y(x)) ∂y

Si escribimos M (x, y) =

∂g ∂g (x, y) y N (x, y) = (x, y), ∂x ∂y

se sigue que y = y(x) satisface la ecuaci´on M (x, y) dy =− , dx N (x, y) que se acostumbra a escribir en la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0. Ejemplo 2.3.1. Las curvas de nivel de la funci´on g(x, y) = x2 − y 2 definen soluciones de la ecuaci´on diferencial dy 2x x = = . dx 2y y Equivalentemente y dy − x dx = 0. Vale la pena insistir en que esta ecuaci´on puede obtenerse f´acilmente y sin necesidad de memorizar f´ormulas especiales, derivando impl´ıcitamente respecto de x la identidad x2 − y 2 = c, donde y representa una funci´on de x que satisface esta relaci´on.

32

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

Ecuaciones exactas Dada ahora una ecuaci´on diferencial en la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0,

(2.10)

quisi´eramos saber si sus soluciones corresponden a curvas de nivel de una funci´on de dos variables g(x, y). Definici´ on 2.3.1. Sea O ⊂ R2 un rect´angulo abierto. Se dice que una ecuaci´on del tipo (2.10) es exacta en O, si existe una funci´on diferenciable g = g(x, y), definida en O y tal que ∂g (x, y) = M (x, y) y ∂x

∂g (x, y) = N (x, y). ∂y

De esta definici´on y de la discusi´on precedente resulta claro que si una ecuaci´on es exacta, entonces sus soluciones y = y(x) son precisamente las curvas de nivel de g. En tal caso se dice que g es una funci´ on potencial o algunas veces tambi´en una integral general para la ecuaci´on. Afortunadamente existe un criterio sencillo, que se describe en el siguiente teorema, y que permite determinar si una ecuaci´on es exacta, sin tener que calcular la funci´on g. La demostraci´on de este teorema puede consultarse en los libros de c´alculo en varias variables. Teorema 2.3.1. Sean M (x, y) y N (x, y) funciones con derivadas continuas en un rect´ angulo abierto O de R2 . La ecuaci´ on (2.10) es exacta en O si y s´olo si en cada punto (x, y) de O ∂M ∂N (x, y) = (x, y) ∂y ∂x

(2.11)

Las ecuaciones de variables separables tratadas en la secci´on 2.1 dy = g(x) h(y) dx se pueden escribir en la forma (2.10) haciendo M (x, y) = g(x) y N (x, y) = 1 . Es claro a la luz del teorema 2.3.1 que estas ecuaciones son exactas − h(y) pues ∂N ∂M (x, y) = (x, y) = 0. ∂y ∂x

2.3. ECUACIONES EXACTAS

33

Ejemplo 2.3.2. Consideremos la ecuaci´on (3x2 + 4xy) dx + (2x2 + 2y) dy = 0.

(2.12)

En este caso M (x, y) = 3x2 + 4xy y N (x, y) = 2x2 + 2y y est´an definidas en O = R2 . Calculando las respectivas derivadas parciales obtenemos ∂M ∂N = 4x = ∂y ∂x de acuerdo con lo cual la ecuaci´on es exacta en R2 . Teniendo en cuenta el ∂g ∂g = M y ∂y = N. teorema 2.3.1 debe existir una funci´on g(x, y) tal que ∂x ∂g Procedemos entonces a determinar dicha funci´on. La condici´on ∂x = M implica que Z Z g(x, y) = M (x, y) dx = (3x2 + 4xy) dx = x3 + 2x2 y + k(y). N´otese que aqu´ı la constante de integraci´on k(y) es constante respecto de la variable x pero puede depender de la variable y. Como g tambi´en debe ∂g satisfacer la condici´on ∂y = N conclu´ımos que ∂g dk = 2x2 + = 2x2 + 2y. ∂y dy = 2y, y por lo tanto k(y) = y 2 +constante. Finalmente De all´ı se sigue que dk dy podemos pues decir que cada una de las funciones de la forma g(x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 + constante es una funci´on potencial para la ecuaci´on. Para hacer las cosas m´as simples podemos tomar como funci´on potencial, por ejemplo, a la funci´on g(x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 . Las soluciones de la ecuaci´on diferencial deben corresponder como dijimos a las curvas de nivel de esta funci´on potencial, esto es, est´an impl´ıcitamente definidas por ecuaciones de la forma g(x, y) = c, c constante: x3 + 2x2 y + y 2 = c. A modo de ejemplo supongamos que se desea hallar la soluci´on y = y(x) que satisface la condici´on inicial y(0) = 1. Reemplazando x = 0 y y = 1 en la anterior ecuaci´on, conclu´ımos que c = 1 y que y debe satisfacer la ecuaci´on

34

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

x3 + 2x2 y + y 2 = 1. Esta es una ecuaci´on cuadr´atica en y, que podemos resolver, lo que nos permite dar y en forma expl´ıcita, √ (2.13) y = −x2 + x4 − x3 + 1. No es dif´ıcil ver que x4 − x3 + 1 > 0 para todo x, por lo que la soluci´on que acabamos de obtener est´a definida en I = (−∞, ∞). Esta informaci´on ser´ıa sin embargo dif´ıcil de precisar si s´olo cont´aramos con la soluci´on en forma impl´ıcita. Podr´ıamos de otro lado escribir la ecuaci´on (2.12) en su forma normal (ver 1.9) dy 3x2 + 4xy =− 2 . dx 2x + 2y La funci´on de la derecha f (x, y) = −

3x2 + 4xy 2x2 + 2y

y su derivada parcial ∂f resultan ser funciones continuas en cada punto (x, y), ∂y cuando se toman por ejemplo x en J = (−∞, ∞) y y en Ω = (0, ∞) (en realidad basta que y 6= −x2 ). Como x0 = 0 ∈ J y y0 = 1 ∈ Ω el teorema fundamental 1.3.1 garantiza que existe exactamente una soluci´on de la ecuaci´on que satisface la condici´on y(0) = 1. Este an´alisis ratifica que la funci´on (2.13) efectivamente corresponde a la u ´nica soluci´on de nuestro problema de valor inicial. Las figuras 2.5 y 2.6 muestran la gr´afica de la funci´on g(x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 y la de sus curvas de nivel. Ninguna de estas gr´aficas ser´ıa f´acil de trazar sin la ayuda de un computador. En las gr´aficas puede observarse que la curva x3 + 2x2 y + y 2 = 1 est´a compuesta de√dos trozos disjuntos. El trozo superior corresponde a la funci´on y = −x2 + x4 − x3 + 1, y es la soluci´on del problema con condici´on inicial y(0) = 1.

Ejercicios 1. Halle la integral general de la ecuaci´on ¡

¢ dy ¢ ¡ y 2 exy + 3 x2 y + x3 + (1 + x y) exy = 0. dx

2.3. ECUACIONES EXACTAS

35

y

20

2

0 40 −20

1

y 1 −2

0 2 −1 −2

x

−2

2−1

0

−1

1

1

2

x −1

x^3 + 2*x^2*y + y^2 1 −2

Figura 2.5: Gr´afica de la superficie g(x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 del ejemplo 2.3.2, destacando su intersecci´on con el plano z = 1.

Figura 2.6: Curvas de nivel de la funci´on g(x, y) = x3 +2x2 y +y 2 del ejemplo 2.3.2. La soluci´on del problema con condici´on inicial y(0) = 1 aparece destacada en negrilla.

2. Determine la soluci´on del problema de valor inicial dado en cada caso a) (ex − 2 xy) dx − x2 dy = 0, y(1) = e. ´ ³x + 6 t dt + (ln t − 2) dx = 0, x(1) = 0. b) t 3. Determine para qu´e valores de la constante a la ecuaci´on t + y e2ty + a t e2ty es exacta en R2 y encuentre la integral general en esos casos. Respuestas 1. yexy + x3 y = c 2.

a) y =

ex x2

b) x =

3(t2 −1) 2−ln t

3. a = 1, t2 + e2ty = c

Ecuaciones reducibles a exactas En ciertos casos una ecuaci´on del tipo M dx + N dy = 0

(2.14)

dy =0 dt

36

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

puede convertirse en exacta despu´es de ser multiplicada por un factor µ = µ(x, y) apropiado. A estos factores se les conoce como factores integrantes. Como ejemplo consideremos la ecuaci´on x dy − y dx = 0, que no es exacta en ning´ un rect´angulo del plano. Sin embargo si multiplica1 mos por el factor µ = x2 +y2 resulta la ecuaci´on x2

x y dy − 2 dx = 0. 2 +y x + y2

que si es exacta en cada rect´angulo de R2 que no contenga al origen. Para hallar la integral general g(x, y) procedemos de la manera usual, determinando qu´e funciones satisfacen las condiciones y ∂g =− 2 ∂x x + y2

y

∂g x = 2 . ∂y x + y2

De la primera condici´on se concluye que Z y y g(x, y) = − dx = arctan + h(y). 2 2 x +y x Para que tambi´en se satisfaga la segunda condici´on debe tenerse h0 (y) = 0 por lo que en particular podemos tomar h(y) = 0 (tambi´en servir´ıa cualquier funci´on h(y) = constante). En ese caso y g(x, y) = arctan , x y las soluciones de la ecuaci´on diferencial estar´ıan impl´ıcitamente definidas por la relaci´on arctan xy = c, c constante. Dada una ecuaci´on de la forma (2.14) el problema es entonces hallar un factor integrante µ de manera que cuando multipliquemos dicha ecuaci´on por este factor la ecuaci´on resultante sea exacta. En otras palabras el factor µ debe satisfacer la condici´on ∂ ∂ (µ N ) = (µ M ). ∂x ∂y Una vez desarrollamos estas expresiones se llega a la condici´on equivalente, µ ¶ ∂µ ∂M ∂µ ∂N 1 N = −M − . (2.15) µ ∂x ∂y ∂y ∂x

2.3. ECUACIONES EXACTAS

37

Esta u ´ltima ecuaci´on es una ecuaci´on en derivadas parciales para la funci´on µ y en general resolverla no es simple. Podemos sin embargo tratar de hallar soluciones que satisfagan alguna condici´on adicional que simplifique la tarea. Nos ocuparemos de c´omo hallar el factor µ en dos casos particulares. Factores integrantes que s´ olo dependen de x, µ = µ(x) Si buscamos un factor integrante que no dependa de y, entonces y la condici´on (2.15) se reduce a

∂µ ∂y

=0

N dµ ∂M ∂N = − . µ dx ∂y ∂x En ese caso 1 dµ = µ dx

∂M ∂y

−

∂N ∂x

N

.

Debe observarse que la funci´on a la izquierda en la anterior expresi´on es independiente de y. Si la funci´on a la derecha dependiera de y significar´ıa que no existe un factor integrante de la naturaleza que estamos buscando. Por el contrario si la expresi´on a la derecha es funci´on de x s´olamente, dicho factor integrante si existe y podemos obtenerlo resolviendo la ecuaci´on, 1 dµ = h(x), µ dx donde h(x) =

∂M ∂y

−

(2.16)

∂N ∂x

N

.

Integrando a ambos lados (2.16) y despejando µ, obtenemos finalmente una f´ormula para estos factores integrantes, µ(x) = e

R

h(x) dx

.

Factores integrantes que s´ olo dependen de y, µ = µ(y) An´alogamente obtenemos R

µ(y) = e

k(y) dy

,

38

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

donde k(y) es la funci´on k(y) = −

∂M ∂y

−

∂N ∂x

M

que debe depender u ´nicamente de y. Ejemplo 2.3.3. La ecuaci´on µ

¶ y2 − 1 dx + y dy = 0 x

no es exacta en el rect´angulo {(x, y) ∈ R2 : x > 0} pues no se satisface la condici´on (2.11). Puede verse sin embargo que posee factores integrantes que dependen u ´nicamente de x, µ = µ(x), puesto que ∂M ∂y

−

∂N ∂x

N

=

2 x

es independiente de y. Empleando la discusi´on precedente obtenemos el factor integrante µ(x) = e

R

2 x

dx

= e2 ln x = x2 .

Hacemos notar que al calcular este factor integrante hemos ignorado las constantes de integraci´on, pues es suficiente para nuestros fines tener un factor integrante en lugar de una colecci´on de ellos. Se deja como ejercicio para el lector verificar que la ecuaci´on de este ejemplo no posee en cambio factores integrantes que dependan s´olo de la variable y.

2.4.

Cambios de variables

Las ecuaciones homog´eneas y las ecuaciones de Bernoulli son casos particulares de ecuaciones diferenciales en donde un cambio de variables simplifica la ecuaci´on diferencial y posiblemente se pueden hallar soluciones expl´ıcitas. En esta secci´on trataremos algunos otros ejemplos de cambios de variables.

2.4. CAMBIOS DE VARIABLES

39

Reducci´ on de orden El cambio de variables v = dx permite transformar las ecuaciones de dt segundo orden del tipo d2 x dx = F (t, ), 2 dt dt en ecuaciones de primer orden dv = F (t, v). dt El problema de resolver una ecuaci´on de segundo orden se reduce en esos casos a resolver dos ecuaciones de primer orden, como las que hemos venido discutiendo en esta gu´ıa. Ejemplo 2.4.1. El cambio de variables v = dy transforma la ecuaci´on de dt ¡ dy ¢2 d2 y segundo orden en dt2 = dt − 1 en la ecuaci´on de primer orden dv = v 2 − 1. dt Mediante separaci´on de variables obtenemos Z Z 1 dv = dt v2 − 1 La integral de la izquierda puede calcularse descomponiendo, por ejemplo, en fracciones parciales. De esta manera se llega a la relaci´on ¯ ¯ 1 ¯¯ v − 1 ¯¯ ln = t + c. 2 ¯v + 1¯ Despejando v y despu´es de escribir c1 = ±e2c obtenemos una expresi´on para v(t): 1 + c1 e2t . v(t) = 1 − c1 e2t Podemos entonces integrar de nuevo para obtener y(t). En efecto despu´es de algo de trabajo calculando la integral de la derecha, tenemos finalmente las soluciones de la ecuaci´on original: Z ¯ ¯ y = v(t) dt = t − ln ¯c1 e2t − 1¯ + c2 , c1 y c2 constantes arbitrarias.

40

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

La sustituci´on v = orden de la forma

dx dt

permite transformar una ecuaci´on lineal de segundo

d2 x dx + a(t) = b(t) 2 dt dt en la ecuaci´on lineal de primer orden dv + a(t) v = b(t), dt

que puede resolverse usando los m´etodos de la secci´on 2.2. Una vez que se conozca v(t), x(t) se podr´a obtener integrando de nuevo. Ejemplo 2.4.2. Consideremos el problema de valor inicial d2 x dx dx + 2 + t = 0, x(0) = 0, (0) = 1. dt2 dt dt Si v(t) = inicial

dx dt

entonces v(0) = 1 y v(t) debe satisfacer el problema de valor

dv + 2 v = −t, v(0) = 1, dt Podemos resolver esta ecuaci´on empleando las t´ecnicas de la secci´on 2.2, R c − t e2t dt t 1 v(t) = = − + + c e−2t . 2t e 2 4 Como v(0) = 1 conclu´ımos que c =

3 4

y

3 −2t t 1 e − + . 4 2 4 R = v se sigue que x(t) = v(t) dt de donde v(t) =

Ahora, como

dx dt

x(t) = −

3e−2t t2 t − + + c, 8 4 4

c una constante. Para finalizar y teniendo en cuenta la condici´on x(0) = 0 se llega al valor de c = 38 . La soluci´on del problema de valores iniciales planteado originalmente est´a en consecuencia dada por x(t) = −

3e−2t t2 t 3 − + + . 8 4 4 8

2.5. EJERCICIOS

41

Sustituci´ on de la variable independiente Otra t´ecnica que puede ser u ´til es la sustituci´on o reescalamiento de la variable independiente. Consideremos la ecuaci´on diferencial escrita en forma normal dx = f (t, x), t ∈ J. (2.17) dt Sup´ongase que se define una nueva variable independiente s = s(t), y que t puede escribirse tambi´en en t´erminos de s, t = t(s). Entonces, de acuerdo con la regla de la cadena, dx dx ds = , dt ds dt de manera que reemplazando en (2.17), obtenemos una ecuaci´on con s como variable independiente: dx dt = f (t(s), x) ds ds que posiblemente sea m´as facil de resolver que la ecuaci´on original. Esta misma sustituci´on puede emplearse en ecuaciones de orden mayor. En efecto, aplicando de nuevo la regla de la cadena, podemos obtener las derivadas de orden superior de x respecto de t, en t´erminos de sus derivadas respecto de s. Por ejemplo, µ ¶ µ ¶ d2 x d dx d dx ds = = dt2 dt dt dt ds dt ¶ µ 2 d2 x ds dx d2 s = + . ds2 dt ds dt2 Ejemplo 2.4.3. La sustituci´on s = et transforma la ecuaci´on diferencial dx = et x en una ecuaci´on con coeficientes constantes, dx = x. dt ds Ejemplo 2.4.4. sea ω ∈ R. La sustituci´on s = ω t transforma la ecuaci´on 2 2 diferencial de segundo orden ddt2x + ω 2 x = 0 en la ecuaci´on ddsx2 + x = 0. Se observa que en esta u ´ltima ecuaci´on no aparecen par´ametros.

2.5.

Ejercicios

1. Para cada una de las ecuaciones siguientes, determine si es separable, lineal, exacta o reducible a uno de estos tipos por sustituci´on.

42

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

a) e(t+y+1) dy = g(t) dt = (1 + t) (1 + x) b) dx dt c) d) e) f)

dy dx dx dt du dt dθ ds

=

dy g) x − y cos x − sen x dx =0

2x y+y x2 2

+ t x − x2 + t − 1 = 0 t − 2t u cos t − cos =0 t2 −s + θ = se + 1

h) (x2 + 2 y) dx − y dy = 0 ¡ ¢ 2 4 dx 3 i) t ddt2x + dx = t dt dt dy dy = y 2 ey dx j ) y − x dx dy k ) (ey − 2xy) dx = y2

2. Para cada una de las siguientes ecuaciones, halle la soluci´on general, y determine las soluciones particulares que satisfagan las condiciones iniciales que se indican. Por u ´ltimo discuta en cada caso la aplicaci´on del teorema fundamental de existencia y unicidad de soluciones. a)

dv dt

+ λ2 (v + t)2 = 0, v(0) = 0. Sugerencia: haga u(t) = v(t) + t.

dy b) 2 x y dx = x2 + y 2 ,

y(−1) = 0.

c) t dy + y = t4 y 3 , y(0) = 0. dt d ) (y ex y + 4 y 3 ) dx + (x ex y + 12 x y 2 − 2 y) dy = 0, y(0) = 2. e) 2 x y dx + (x2 + 1) dy = 0, y(1) = 14 , y(1) = 0. f ) x y dx + (x2 + 2 y 2 + 2) dy = 0, y(0) = 0, y(0) = 1. = 0, x(2) = 14 , x(−1) = 1, x(0) = 0. g) 2 x2 y 3 + x3 y 2 dx dy 3. Resuelva la ecuaci´on (t2 + x2 ) dt + t x dx = 0 de dos maneras. Primero usando la sustituci´on v = xt y despu´es teniendo en cuenta que se puede escribir como una ecuaci´on de Bernoulli. 4. Dada la ecuaci´on (x ln x − 2 t x) dt + (t + x) dx = 0, determine si tiene factores integrantes que dependan s´olo de t o s´olo de x. En tal caso, h´allelos y encuentre la integral general de la ecuaci´on. 5. Resuelva la ecuaci´on y dx + (y − x) dy = 0. 6. Muestre que la ecuaci´on lineal dx + a(t) x = b(t), con a(t) y b(t) fundt ciones continuas en cierto intervalo J, es reducible a exacta. dy + 4 y = f (x) y(0) = 14 , si 7. Resuelva el problema de valor inicial dx ( 1, 0 ≤ x ≤ 2 f (x) = 2, 2 < x < ∞.

2.5. EJERCICIOS

43

Esboce un gr´afico de y(x), ¿se puede aplicar el teorema fundamental (teorema 1.3.1) a este problema de valor inicial? 8. Sea y = y(x) la soluci´on del problema de valor inicial dy = f (y) x, y(x0 ) = y0 . dx Muestre que si x es una soluci´on de la ecuaci´on y(x) = 0, entonces x satisface la relaci´on Z 0 1 2 2 x = x0 + 2 dy. y0 f (y) 9. Pruebe que cualquier funci´on y = y(x) definida impl´ıcitamente por 1 1 3+y − + ln = −x + 1 3y 9 y satisface la ecuaci´on diferencial

1 dy y dx

= −3 y − y 2 .

10. Muestre que si una ecuaci´on exacta de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 se multiplica por una funci´on no nula y diferenciable, en general la ecuaci´on resultante no es exacta. No obstante, muestre que si el factor por el cual se multiplica fuera una funci´on potencial de la ecuaci´on, la ecuaci´on resultante si contin´ ua siendo exacta, en cada rect´angulo donde el potencial no se anule. dy 11. Halle la soluci´on general de dx = y21−x (sugerencia: en lugar de determinar y = y(x), plantee la ecuaci´on diferencial para x = x(y)).

12. Demuestre que el cambio de variables s = e−t transforma 2 e−2t x = 0 en ddsx2 + x = 0 2

d2 x dt2

+

dx dt

+

+ b(t) x = 0 13. Demuestre que las ecuaciones de la forma ddt2x + a(t) dx dt d2 x se pueden llevar a la forma ds2 + q(s) x = 0 mediante un cambio de variables del tipo s = s(t). Determine las funciones s(t) y q(s) en t´erminos de las funciones a(t) y b(t). Respuestas 1.

44

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

a) separable

e) lineal

b) separable

f ) lineal

i) reducible a Bernoulli

c) separable

g) lineal y exacta

j ) lineal en x

d ) separable

h) ?

k ) exacta

a) v = −t + λ1 tanh(λ t + c), −∞ < t < ∞. Si v(0) = 0, se tiene v = −t + λ1 tanh λ t.

2.

b) y 2 = x (c + x). Si y(−1) = 0, y 2 = x2 + x. Esta ecuaci´on no define una soluci´on y = y(x) en un intervalo que contenga a x = −1 (n´otese que las hip´otesis del teorema fundamental no se cumplen para x0 = −1, y0 = 0). c) Ecuaci´on de Bernoulli. Soluciones: las definidas mediante y 2 t2 (c− t2 ) = 1 y y(t) = 0. Si y(0) = 0, y(t) = 0, t ∈ R. Las hip´otesis del teorema fundamental 1.3.1 no se cumplen en t0 = 0, y0 = 0. d ) exy + 4y 3 x − y 2 = c; si y(0) = 2, exy + 4y 3 x − y 2 = −3. e) y =

c , (x2 +1)

x ∈ R. Si y(1) = 14 , y =

1 . 2(x2 +1)

Si y(1) = 0, y(x) = 0.

f ) y 2 x2 + y 4 + 2y 2 = c. Si y(0) = 0, y 2 x2 + y 4 + 2 y 2 = 0. Si y(0) = 1, y 2 x2 + y 4 + 2 y 2 = 3. q q 129 129 2 ; |y| < g) x2 + 2 y 2 = c; si x(2) = 14 , x = − 2 y . Si 16 32 q p 3 . Si x(0) = 0, x(y) = 0, x(−1) = 1, x = 3 − 2 y 2 , |y| < 2 y ∈ R. q √ √ 4 3. x(t) = ± c−t , 0 < t < 4 c ´o − 4 c < t < 0. 2 t2 4. El factor integrante es x1 . La soluci´on general es x + t ln x − t2 = c. 5.

x y

+ ln y = c. R

6. El factor integrante es µ(t) = e 7. Soluci´on

( y(x) =

a(t) dt

.

1 , 4 1 − 41 e8−4x , 2

0≤x≤2 2 < x < ∞.

2.5. EJERCICIOS

45

El lector atento habr´a notado que la soluci´on y(x) no es diferenciable cuando x = 2, ¿en qu´e sentido (ciertamente no en el sentido de la definici´on de soluci´on dada en 1.2.1) es y(x) soluci´on del problema de valor inicial? Un poco de reflexi´on muestra que es preciso modificar ligeramente la definici´on de soluci´on del cap´ıtulo 1 para que exista una u ´nica soluci´on del problema de valor inicial propuesto.

46

2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

Cap´ıtulo 3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden n el cap´ıtulo 1 vimos c´omo las ecuaciones diferenciales aparecen de manera natural al intentar modelar fen´omenos muy variados, que van desde la estimaci´on del tama˜ no y crecimiento de una poblaci´on, al estudio del movimiento de un cuerpo que se encuentra sujeto a la acci´on de un campo de fuerzas. Nuestro prop´osito ahora es presentar algunos nuevos ejemplos, as´ı como retomar algunos de los que se introdujeron en el primer cap´ıtulo, una vez que, armados con los m´etodos de soluci´on desarrollados en el cap´ıtulo 2, podemos avanzar m´as en la exploraci´on de estos modelos. Las aplicaciones que presentamos son apenas una peque˜ na fracci´on de las muchas que podr´ıan enumerarse; esperamos sin embargo que con ellas se logre ilustrar en algo la importancia de las ecuaciones diferenciales en el modelamiento y comprensi´on del mundo que nos rodea.

E

3.1.

Procesos de crecimiento y de declinaci´ on.

En el cap´ıtulo 1 presentamos la ecuaci´on dx = a x, dt

(3.1)

a constante, como la ecuaci´on que permite modelar el crecimiento de una poblaci´on que se multiplica siguiendo la ley de Malthus. En ese caso x = no de la poblaci´on en el tiempo t y a era la tasa x(t) representaba el tama˜ 47

48

3. APLICACIONES

relativa de crecimiento, que, para poblaciones aisladas, es la diferencia entre la tasas relativas de natalidad y mortalidad y que, en el modelo de Malthus, se considera constante. La ecuaci´on (3.1), usualmente denominada ley de crecimiento exponencial, permite sin embargo modelar muchos otros fen´omenos adem´as del crecimiento poblacional, incluyendo por ejemplo la desintegraci´on de substancias radioactivas y la capitalizaci´on de intereses compuestos continuamente. Desintegraci´ on radioactiva. Los elementos radioactivos, como el uranio y el plutonio, se desintegran espont´aneamente a una raz´on constante. En otras palabras, si x = x(t) representa la cantidad de cierta substancia radioactiva presente en el instante t, entonces x no se mantiene constante sino que disminuye con el tiempo, de manera que la raz´on de cambio respecto del tiempo resulta proporcional a la cantidad de substancia presente en cada instante. Ello significa que x obedece una ecuaci´on de la forma (3.1), llamada en ese caso ley de desintegraci´ on radioactiva, siendo a una constante negativa. La constante λ = −a se conoce como constante de desintegraci´ on radioactiva que es caracter´ıstica de cada elemento. La semivida o periodo de semidesintegraci´on de una substancia radioactiva es el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los n´ ucleos de una muestra inicial de la substancia. Dataci´on en arqueolog´ıa. La ley de desintegraci´on radioactiva es el principio matem´atico en el que se basa el conocido m´etodo de dataci´on por radiocarbono empleado por primera vez por Willard Libby en 1949. Aunque los detalles t´ecnicos pueden ser bastante intrincados, los principios fundamentales en los que se basa el m´etodo son relativamente simples. Los seres vivos absorben carbono de su entorno de manera que la proporci´on entre la cantidad del is´otopo carbono-14 (C14 ) y la del is´otopo carbono-12 (C12 ), presentes en un organismo vivo, es igual a la que se encuentra en la atm´osfera. El C14 es un radiois´otopo con una semivida aproximada de 5700 a˜ nos, que se desintegra transform´andose en nitr´ogeno. Cuando un organismo muere cesa la absorci´on de carbono y en consecuencia la proporci´on del C14 al C12 disminuye con el tiempo, siguiendo la ley de desintegraci´on radioactiva. Este hecho ha permitido determinar la edad de restos arqueol´ogicos de origen org´anico, mediante la comparaci´on de la radioactividad de una muestra con la que se estima que deber´ıa haber tenido originalmente.

´ 3.1. PROCESOS DE CRECIMIENTO Y DE DECLINACION.

49

Intereses compuestos continuamente. Uno m´as de los contextos en los que aparece la ecuaci´on (3.1) es el de la capitalizaci´on de intereses. En ese caso x = x(t) representa el capital en una cuenta que paga intereses compuestos continuamente con una tasa de inter´es a. El inter´es compuesto continuamente se obtiene como extrapolaci´on del inter´es compuesto sobre periodos cada vez m´as breves de tiempo. Usualmente las tasas de inter´es son dadas en t´erminos anuales por lo cual el tiempo t debe considerarse en a˜ nos.

Ejercicios 1. Muestre que la semivida de una substancia radioactiva es independiente de la cantidad presente inicialmente y que es igual a τ = ln 2/λ, donde λ es la constante de desintegraci´on. 2. La poblaci´on de Cali era de 200 mil habitantes en 1950 (t = 0) y de 1 mill´on en 1985 (t = 35). Si en cada instante la poblaci´on creciera con una rapidez que es proporcional a la poblaci´on en ese instante, ¿en qu´e a˜ no la poblaci´on de Cali deber´ıa alcanzar los 5 millones de habitantes? 3. Una poblaci´on duplic´o su tama˜ no en 10 a˜ nos y lo triplic´o en 20. ¿Segu´ıa esta poblaci´on la ley de Malthus del crecimiento? Justifique su respuesta. 4. Si un capital A es colocado a una tasa de inter´es compuesto anual r, capitalizable n periodos por a˜ no, entonces al cabo de un tiempo t (en a˜ nos) el capital Cn (t) en la cuenta viene dado por la f´ormula ³ r ´nt Cn (t) = A 1 + . n Muestre que si C(t) = l´ımn→∞ Cn (t) entonces C(t) coincide con el capital que se tendr´ıa al cabo de un tiempo t en una cuenta que pague una tasa de inter´es anual r compuesto continuamante. 5. Seg´ un datos de la National Geographic Society la antig¨ uedad de muestras de papiro y cuero tomadas del c´odice conocido como “El evangelio de Judas” fue estimada mediante dataci´on por C14 en alrededor de 1700 a˜ nos. Si la semivida del C14 es de 5700 a˜ nos determine qu´e proporci´on del C14 original conten´ıan las muestras del “Evangelio de Judas” que fueron analizadas.

50

3. APLICACIONES

6. Cuando un paciente que ha recibido radioterapia muere puede ser necesario tener especiales precauciones con el tratamiento que se d´e al cad´aver. El Yodo-125 (I125 ) que es empleado en forma de implantes para tratar ciertos tipos de tumores tiene una semivida de 60 d´ıas. Un paciente t´ıpico presenta una radioactividad de 35 millicuries (mCi) inmediatamente despu´es de recibir los implantes. Si se considera segura la cremaci´on de un cad´aver que presente una radioactividad m´axima de 1 mCi, determine al cabo de cu´anto tiempo puede considerarse seguro cremar el cad´aver de un paciente que muera y haya sido tratadao con I125 , suponiendo que la u ´nica forma de eliminaci´on del I125 sea a trav´es de su desintegraci´on. 7. Seg´ un cierta teor´ıa cosmol´ogica en el instante inicial del Universo hab´ıa igual cantidad de ´atomos de uranio-238 (U238 ), que de uranio-235 (U235 ). Se estima que en la actualidad la relaci´on del U238 al U235 es de 6197 a 45. Estime la edad del Universo, teniendo en cuenta que la semivida del U238 es de 4,51 mil millones de a˜ nos mientras que el U235 tiene una semivida de 0,707 mil millones de a˜ nos.

Respuestas 2. a˜ no 2020 5. 81,3 % 7. 5,96 miles de millones de a˜ nos.

3.2.

El modelo de Verhulst

El modelo m´as sencillo para representar el crecimiento de una poblaci´on es el modelo de Malthus al que nos referimos brevemente en la secci´on anterior y en el cap´ıtulo 1. El modelo de Malthus permite determinar el tama˜ no x = x(t) de una poblaci´on siempre y cuando la tasa de crecimiento relativo de la poblaci´on, x1 dx , sea constante. En la pr´actica y sobre periodos largos dt de tiempo esta suposici´on deja de ser realista. En esta secci´on consideraremos la ecuaci´on de Verhulst, propuesta por el matem´atico belga Pierre Fran¸cois Verhulst en 1838, para representar el crecimiento de poblaciones en las que la tasa de creciemiento relativo no sea constante sino que disminuya a medida que aumente el tama˜ no de la poblaci´on. De acuerdo con el modelo de Verhulst si x = x(t) representa el tama˜ no de la poblaci´on en el tiempo t, entonces la tasa de crecimiento relativo

3.2. EL MODELO DE VERHULST

51

de x est´a dada por la f´ormula 1 dx = a − b x, x dt donde a y b son constantes positivas. Reescrita en la forma tradicional, la anterior ecuaci´on es conocida como ecuaci´on de Verhulst (o ecuaci´on log´ıstica): dx = x (a − b x). (3.2) dt El modelo de Verhulst puede verse como una correcci´on del modelo de Malthus. En efecto, para valores “peque˜ nos” de x el t´ermino b x es despreciable dx ∼ comparado con a y dt = a x (modelo de Malthus). Sin embargo cuando x es “grande” el factor b x no puede despreciarse y se hace necesario considerar una correcci´on −b x en la tasa de crecimiento relativo. La ecuaci´on (3.2) es una ecuaci´on de variables separables que podemos resolver sin dificultad. Sin embargo tambi´en es posible obtener informaci´on interesante acerca de las soluciones x = x(t) de esta ecuaci´on sin necesidad de calcularlas expl´ıcitamente. Para empezar es f´acil ver que la funci´on f (t, x) = x (a − b x), est´a definida en cada punto (t, x) de R × R y que satisface las hip´otesis del teorema fundamental del cap´ıtulo 1 en R × R. Puede por lo tanto garantizarse que para cada par de n´ umeros, t0 ∈ R y x0 ∈ R, existen un intervalo abierto I ⊂ R alrededor de t0 , y una funci´on x = x(t) definida en I, tales que x = x(t) es la u ´nica soluci´on de (3.2) que est´a definida en I y que satisface la condici´on x(t0 ) = x0 . Por otro lado tambi´en puede verse que las funciones constantes xI (t) = 0 y xE (t) = ab satisfacen la ecuaci´on (3.2). Estas soluciones, conocidas como soluciones de equilibrio, admiten una interpretaci´on demogr´afica interesante: si una poblaci´on en cierto momento tuviera el tama˜ no x = 0 ´o x = ab , entonces la poblaci´on estar´ıa en equilibrio demogr´ afico, de manera que el tama˜ no no cambiar´ıa con el tiempo. Los gr´aficos de xI y xE (figura 3.1) son rectas horizontales que dividen al plano t, x en tres regiones n o n a ao R1 = (t, x) | < x , R2 = (t, x) | 0 < x < , R3 = {(t, x) | x < 0} . b b El gr´afico de cada soluci´on no constante x = x(t) de (3.2) deber´a permanecer confinado a una y s´olo una de estas regiones pues de lo contrario se intersecar´ıa con el gr´afico de una de las soluciones constantes, contradiciendo as´ı el teorema fundamental.

52

3. APLICACIONES

x

R1 xE =

a b

R2 xI = 0 t

R3

Figura 3.1: Algunas de las soluciones de la ecuaci´on (3.2) Consideremos ahora el problema de determinar cu´ando las soluciones de (3.2) son crecientes. Como es sabido una funci´on derivable es estrictamente creciente cuando su derivada es positiva. De otro lado, la ecuaci´on diferencial (3.2) da una relaci´on entre la derivada dx y los valores de la funci´on x(t). dt Como toda soluci´on no constante permanece en alguna de las regiones R1 , R2 o R3 se concluye que cada soluci´on permanece en la regi´on a la que pertenece la condici´on inicial (t0 , x0 ), la que a su turno est´a determinada por el valor que tome x0 . Se tiene entonces que (i) si x0 > ab , el gr´afico de la soluci´on x = x(t), t ∈ I, permanece en R1 . En ese caso x(t) > ab , y se concluye que dx = x(t) (a − b x(t)) < 0 para todo dt t ∈ I, de forma que la soluci´on x = x(t) es estrictamente decreciente en su dominio. (ii) cuando 0 < x0 < ab el gr´afico de la soluci´on x = x(t), t ∈ I, est´a en R2 . Esto significa que x(t) ∈ (0, ab ), y por lo tanto dx = x(t) (a − b x(t)) > 0 dt para todo t ∈ I. Es decir, la soluci´on x = x(t), t ∈ I, es estrictamente creciente en su dominio. (iii) an´alogamente se demuestra que cuando x0 < 0, la soluci´on x = x(t), t ∈ I, es estrictamente decreciente en su dominio y su gr´afico est´a contenido en R3 .

3.2. EL MODELO DE VERHULST

53

La figura 3.1 resume el an´alisis previo acerca del comportamiento de las soluciones de la ecuaci´on (3.2). Vale la pena mencionar algunas interpretaciones demogr´aficas de los resultados obtenidos. La poblaci´on de equilibrio xE (t) = ab da un n´ umero que puede interpretarse como el tama˜ no m´aximo de la poblaci´on que un ecosistema dado puede sostener. Si una poblaci´on, por alguna raz´on tiene un tama˜ no inicial x0 > ab , la poblaci´on disminuir´a con el tiempo, y la disminuci´on ser´a asint´otica hacia el estado de equilibrio ab . Si por el contrario, el tama˜ no inicial no supera el tama˜ no m´aximo ab , la poblaci´on aumentar´a asint´oticamente con el tiempo acerc´andose al estado de equilibrio ab . Desde luego, un tama˜ no inicial x0 < 0 no tiene sentido demogr´afico. No obstante, la soluci´on de la ecuaci´on diferencial (3.2) para el dato inicial x(t0 ) = x0 existe y tiene sentido hacer consideraciones matem´aticas sobre dicha soluci´on. Procederemos ahora a determinar de forma expl´ıcita las soluciones de la ecuaci´on (3.2). En efecto, separando variables se llega a la ecuaci´on Z Z 1 dx = dt, x (a − b x) de forma que descomponiendo la fracci´on de la izquierda en sus fracciones parciales e integrando obtenemos 1 x ln = t + c, a a − bx donde c representa una constante arbitraria. Despejando x en la anterior expresi´on se obtiene finalmente la f´ormula x(t) =

C a ea t , 1 + C b ea t

donde C = eac . Si imponemos la condici´on x(t0 ) = x0 resulta que x0 = a C ea t0 , de manera que despejando C y reemplazando su valor en la expresi´on 1+b C ea t0 para x(t) se obtiene x(t) =

a x0 . b x0 + (a − b x0 )e−a(t−t0 )

(3.3)

Esta es la u ´nica soluci´on de (3.2) que satisface la condici´on x(t0 ) = x0 . El intervalo de definici´on I de x = x(t) depende de x0 . Invitamos al lector a que lo encuentre expl´ıcitamente (ver los Ejercicios).

54

3. APLICACIONES

Ejercicios 1. Si x = x(t) es la soluci´on de la ecuaci´on (3.2) que satisface la condici´on x(t0 ) = x0 a) determine el intervalo de definici´on de la soluci´on i) cuando x0 > y ii) cuando 0 ≤ x0 ≤ ab .

a b

b) muestre que si x0 > 0, entonces l´ımt→∞ x(t) = ab , ¿tiene sentido calcular este l´ımite si x0 < 0? 2. Suponga que la tasa relativa de crecimiento de una poblaci´on que crece siguiendo el modelo de Verhulst es del 2 % cuando el tama˜ no de la 7 7 poblaci´on es de 0,5 × 10 individuos. Si l´ımt→∞ x(t) = 10 , halle las constantes a y b de la ecuaci´on de Verhulst y determine el tama˜ no de 6 la poblaci´on, x = x(t), teniendo en cuenta que x(0) = 10 . 3. Sup´ongase que una isla es colonizada por inmigraci´on desde el continente y que en el continente hay un n´ umero de especies S que permanece constante mientras que en la isla el n´ umero de especies en el tiempo t es N (t). La rapidez con la cual las nuevas especies inmigran a la isla y la colonizan es proporcional al n´ umero S − N (t) de especies del continente que no se han establecido en la isla, con constante de proporcionalidad h. Por otro lado en la isla las especies se extinguen con una rapidez proporcional al n´ umero de especies presentes, con constante de proporcionalidad k. Escriba la ley de variaci´on de N y calcule l´ımt→∞ N (t). Respuestas ³ 1. a) i) I = t0 −

1 a

´

ln

b x0 ,∞ b x0 −a

ii) I = R

2. a = 0,04 y b = 0,04 × 10−7

3.3.

Ley de Newton del enfriamiento

Sabemos por experiencia que cuando un objeto tiene una temperatura diferente a la de su entorno, el objeto tiende a enfriarse o a calentarse de manera que en u ´ltimas su temperatura se acerca a la del medio que lo rodea.

3.3. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO

55

¿Cu´al ser´a entonces la temperatura T (t) de un cuerpo que se deja en un ambiente cuya temperatura difiere de la suya, una vez haya transcurrido un tiempo t? Este fen´omeno puede modelarse de acuerdo con las leyes de transferencia de calor de la termodin´amica. Bajo ciertas condiciones (como por ejemplo que la distribuci´on de la temperatura dentro del cuerpo sea uniforme), la ley de Newton del enfriamiento se simplifica y puede enunciarse en los siguientes t´erminos La raz´ on de cambio de la temperatura T (t) de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura T (t) del cuerpo y la temperatura Ta del medio que lo rodea. La anterior proposici´on puede escribirse como una ecuaci´on diferencial para la variable T = T (t): dT = −r(T − Ta ), dt donde r > 0 es una constante de proporcionalidad que es propia del sistema. La anterior ecuaci´on es lineal (y tambi´en separable), por lo que puede resolverse f´acilmente. Los detalles se dejan al lector.

Ejercicios 1. Una barra de metal se extrae de un horno a 1000℃ y se pone a enfriar en un lugar cuya temperatura se mantiene aproximadamente constante a 30℃. Despu´es de 10 horas su temperatura descendi´o a 200℃. a) ¿Cu´anto tardar´a la tempertaura en ser igual a 31℃? y b) ¿ser´an en alg´ un momento iguales la temperatura de la barra y la del ambiente? Justifique su respuesta. 2. Un term´ometro que estaba inicialmente en el interior de una habitaci´on se lleva al exterior donde la temperatura es aproximadamente constante e igual a 15℃. Despu´es de un minuto el term´ometro marcaba 30℃y despu´es de 10 minutos registraba una temperatura de 20℃. De acuerdo con la ley de Newton, ¿cu´al era la temperatura de la habitaci´on? Respuestas 1. a) t = 39,49 horas 2. Ta = 31,95℃

56

3. APLICACIONES

3.4.

El modelo del tanque

Ciertos procesos se pueden imaginar en t´erminos de un tanque al que est´an entrando y saliendo substancias disueltas en un medio fluido. El resultado final del proceso depender´a de los intercambios netos que se den entre el tanque y el exterior. La versi´on m´as simple de este fen´omeno puede describirse de la siguiente manera: en el tiempo t una soluci´on entra a un tanque a una raz´on ve (t), llamada caudal de entrada, y que se mide en unidades de volumen por unidad de tiempo. La soluci´on que entra al tanque contiene una concentraci´on ce (t), de cierta substancia X. Esta concentraci´on, que se suele medir en unidades de masa por unidades de volumen, se denominar´a concentraci´ on de entrada. Es posible que en el tanque exista ya alguna cantidad de la substancia X. la mezcla es agitada r´apidamente en el tanque, de manera que la substancia X se mantiene homog´eneamente distribuida dentro del tanque, con una concentraci´on c = c(t) en el tiempo t. Finalmente la mezcla sale del tanque a una raz´on vs (t), conocida como caudal de salida. Como la mezcla es uniforme, la concentraci´on cs (t) de X en el fluido que sale del tanque es igual a la concentraci´on de X en el tanque, cs (t) = c(t). Si x = x(t) representa la cantidad total de la substancia X dentro del tanque en el instante t, quisi´eramos saber c´omo determinar a x como funci´on del tiempo. El problema puede formularse en los siguientes t´erminos: bajo el supuesto de que la substancia X no se crea ni se destruye en el proceso, la raz´on neta de cambio de la variable x es igual a la diferencia entre las razones de entrada y salida de la substancia X. Ahora bien, la raz´on a la que entra la substancia al tanque en el instante t es igual al producto del caudal de entrada por la concentraci´on de entrada, ve (t) ce (t). An´alogamente la raz´on a la que sale la substancia del tanque es el producto del caudal de salida por la concentraci´on de salida, vs (t) cs (t) = vs (t) c(t). En consecuencia dx = ve (t) ce (t) − vs (t) c(t). dt Las funciones ve (t), ce (t) y vs (t) son datos del problema, sin embargo c(t) depende de x(t). En efecto, si V (t) representa el volumen total de soluci´on

3.4. EL MODELO DEL TANQUE

57

en el tanque, entonces c(t) =

x(t) . V (t)

A su vez V (t) puede calcularse teniendo en cuenta que dV = ve (t) − vs (t), dt de donde

Z

t

V (t) = V (t0 ) +

(ve (s) − vs (s)) ds. t0

Teniendo en cuenta la anterior f´ormula para V (t) tenemos finalmente una ecuaci´on diferencial (lineal) que permitir´a determinar a x: dx vs (t) = ve (t) ce (t) − x. dt V (t)

Ejercicios 1. En una casa peque˜ na con un volumen interior de 100 metros c´ ubicos y que se encuentra cerrada, se deja funcionando una estufa de gas que por combusti´on incompleta produce altos niveles de mon´oxido de carbono, CO. En el momento en el que la concentraci´on de CO dentro de la casa llegaba a 1000 partes por mill´on (ppm), que puede producir la muerte en pocas horas, se suspende la combusti´on de la estufa y se permite la circulaci´on de aire proveniente del exterior, con un contenido de CO de 6 ppm. El aire entra y sale de la casa a raz´on de 10 metros c´ ubicos por minuto. Suponiendo una mezcla homog´enea, determine cu´anto tiempo deber´a esperarse para que la concentraci´on de CO dentro de la casa sea se reduzca a 9 ppm, que se considera segura para la salud humana. ¿Cu´al ser´a la concentraci´on de CO en la casa cuando t → ∞? 2. A un tanque que conten´ıa 400 litros de agua pura se bombea una soluci´on de agua-sal que contiene 0.05 kg de sal por litro, a una raz´on de 8 litros por minuto. La mezcla homogeneizada sale con la misma rapidez. El proceso se interrumpe al cabo de 50 minutos y a continuaci´on se bombea agua pura a la misma raz´on de 8 litros por minuto mientras la mezcla continua saliendo a la misma velocidad. Determine: a) la cantidad de sal en el tanque al cabo de los primeros 50 minutos,

58

3. APLICACIONES

b) la cantidad de sal despu´es de 100 minutos, c) esboce la gr´afica de la soluci´on. 3. Consid´erese un tramo del R´ıo Cauca desde un punto antes de Cali (digamos el Paso de la Balsa) hasta un punto despu´es de Cali (digamos la Laguna de Sonso) como un tanque con un volumen de 60 millones de metros c´ ubicos en el cual hay una concentraci´on de contaminantes (detergentes y t´oxicos de uso dom´estico, desechos industriales, etc.) del 0,00001 %. Sup´ongase que a partir de t = 0 entra agua con una concentraci´on de contaminantes del 0,001 % a raz´on de 1200 m3 /seg y que sale igual cantidad de agua bien mezclada. a) ¿Cu´al ser´a la concentraci´on de contaminantes en el r´ıo al cabo de t minutos? b) ¿Cu´anto tardar´a la concentraci´on en elevarse al 0,0001 %? c) Si las condiciones persisten, ¿que pasar´a cuando t → ∞? 4. Una f´abrica est´a situada cerca de un r´ıo con caudal constante de 1000 m3 /s que vierte sus aguas por la u ´nica entrada de un lago con un 3 volumen de 1000 millones de m . Suponiendo que la f´abrica empez´o a funcionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por d´ıa, de 4 a 6 de la ma˜ nana y de 4 a 6 de la tarde, se bombean contaminantes al r´ıo a raz´on de 1 m3 /seg y que el lago tiene una salida de 1000 m3 /seg de agua bien mezclada, esboce la gr´afica de la funci´on x = x(t) que representa la contaminaci´on en el r´ıo al cabo de t d´ıas y en particular calcule a cu´anto ascender´a esta contaminaci´on al cabo de: a) un d´ıa, b) un mes (30 d´ıas) y c) un a˜ no (365 d´ıas). Respuestas 1. t ≈ 58 minutos; a largo plazo c ≈ 6 ppm 2. a) 20(1 − e−1 ) ≈ 12,64 kg, b) 20 e−1 (1 − e−1 ) ≈ 4,65 kg. 3. a) c(t) = 10−7 (100 − 99 e−0,00002 t ) b) 0,0001 % c) c(t) → 0,001 %. 4. Suponiendo una contaminaci´on constante (promediando los dos bombeos diarios de contaminaci´on): a) 0,0014 %, b) 0,012 % c) 0,146 %

3.5. CA´IDA DE CUERPOS CERCA DE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA.

3.5.

59

Ca´ıda de cuerpos cerca de la superficie de la Tierra.

En el cap´ıtulo 1 discutimos algunas formas de representar la ca´ıda vertical de un cuerpo cerca de la superficie de La Tierra. En dicha discusi´on adoptamos un eje vertical de coordenadas con direcci´on positiva apuntando hacia arriba y en el caso de ca´ıda en un medio resistivo consideramos que sobre el cuerpo actuaban la fuerza de la gravedad fW = −m g y la fuerza de resistencia o fricci´on fR que se opone al movimiento. Si v = v(t) es la velocidad del cuerpo en el tiempo t la segunda ley de Newton conduce entonces a la ecuaci´on dv m = −m g + fR . (3.4) dt Cuando un cuerpo se mueve en un medio flu´ıdo como aire o agua, la direcci´on de la fuerza de fricci´on que ejerce el medio es la opuesta de la direcci´on de la velocidad v, mientras que la magnitud de la fricci´on aumenta con la la rapidez del cuerpo (ver figura 3.2). fR

v

Figura 3.2: fR y su linealizaci´on La fuerza de fricci´on se suele aproximar por su linealizaci´on fR (v) ≈ fR (0) + fR0 (0) v. Escribiendo γ = −fR0 (0) y como fR (0) = 0 se tiene la ley de fricci´ on viscosa fR (v) = −γ v, que, al ser reemplazada en la ecuaci´on (3.4), da lugar a la ecuaci´on diferencial lineal del cap´ıtulo 1 γ dv + v = −g dt m

(3.5)

60

3. APLICACIONES

Ejemplo 3.5.1. Un hombre que salta en paraca´ıdas desde una gran altura y partiendo del reposo, abre su paraca´ıdas 10 segundos despu´es de saltar. Si v es la velocidad del paracaidista, entonces la resistencia del aire ser´a num´ericamente igual a −15 v con el paraca´ıdas cerrado e igual a −240 v con el paraca´ıdas abierto. Considerando al hombre y su paraca´ıdas como una masa puntual de 80 kg y suponiendo que las u ´nicas fuerzas que act´ uan sobre el paracaidista son la de la gravedad y la de resistencia ejercida por el aire, determinar la velocidad v = v(t) del paracaidista en cualquier instante t previo a su aterrizaje. En particular determinar v(10) y v(20). Soluci´ on. Tomamos el origen de coordenadas en la superficie de la Tierra. Para 0 < t < 10 tenemos dv 15 + v = −g. dt 80 Como adem´as v(0) = 0 concluimos que v(t) = −

´ 3t 16 g ³ 1 − e− 16 , 3

0 ≤ t ≤ 10.

Tenemos entonces ´ 16 g ³ − 15 8 1−e ≈ −44,25 m/s. v(10) = − 3 Consideremos ahora t ≥ 10. Para esos valores de t la funci´on v = v(t) satisface la ecuaci´on dv 240 + v = −g. dt 80 Como adem´as v(10) ≈ −44,25 m/s concluimos que ´ g ³g v(t) = − + − 44,25 e−3(t−10) , 10 ≤ t. 3 3 Entonces v(20) ≈ −3,27 m/seg. La figura 3.3 es un bosquejo de la soluci´on v(t), t ≥ 0.

Ejercicios 1. Suponga que la velocidad v = v(t) con la que cae un cuerpo de 1 g de masa satisface la ecuaci´on diferencial (3.5). Halle la constante γ suponiendo que l´ımt→∞ v(t) = −400 cm/s.

3.5. CA´IDA DE CUERPOS CERCA DE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA.

61

t

v

10

20

−3.27

−44.25

Figura 3.3: v(t) durante el descenso en paraca´ıdas 2. Un cuerpo de 25 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Si la fricci´on ejercida por el medio es igual a −5 v donde v = v(t) es la velocidad del cuerpo en el instante t, y se supone que las u ´nicas fuerzas que act´ uan son la gravedad y la fricci´on, determine durante cu´anto tiempo permanece ascendiendo el cuerpo. ¿Cu´al es la altura m´axima alcanzada? 3. Un cuerpo de masa m cae desde el reposo en un medio que opone una fuerza de fricci´on proporcional al cuadrado de la rapidez. Es decir, |fR (v)| = k v 2 para alguna constante de proporcionalidad k. Plantee y resuelva el problema de valor inicial para la velocidad v = v(t) y halle adem´as l´ımt→∞ v(t). Respuestas 1. γ =

g 400

≈ 2,45 dinas · seg/cm

2. t = 5 ln (4/g + 1) ≈ 1,71 seg; la altura alcanzada es de 16,13 metros. Fuerza arquimediana de boyancia Cuando un cuerpo cae en un medio relativamente denso se hace necesario considerar, adem´as de la gravedad y la fricci´on, el empuje o fuerza de boyancia. Esta fuerza est´a descrita por el conocido como Principio de Arqu´ımedes: Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.

62

3. APLICACIONES

Ejercicio 1. Una esfera de masa 5000 kg y volumen 4π m3 y un cilindro de 4000 kg 3 y π m3 de volumen se dejan caer desde el reposo sobre la superficie de un lago. Las fuerzas de fricci´on ejercidas por el agua sobre la esfera y el cilindro son respectivamente iguales a −λ ve y −λ vc , donde ve y vc son las velocidades respectivas y λ > 0 es una constante. Suponiendo que las u ´nicas fuerzas que obran son la fuerza de la gravedad, la fuerza de fricci´on y la fuerza arquimediana de boyancia ejercida por el agua, determine las velocidades que adquieren la esfera ve = ve (t) y el cilindro vc = vc (t), t segundos despu´es de iniciado el descenso, ¿cu´al de los dos objetos llegar´a primero al fondo? Respuesta v(t) = −A(1−e−kt ), esfera: A = Ae = 1000g (15−4π), k = ke = 3λ 1000g λ λ ; cilindro: A = Ac = λ (4 − π), k = kc = 4000 . Como |ve (t)| < |vc (t)| 5000 para todo t > 0, el cilindro llega primero al fondo.

3.6.

Ca´ıda en un potencial gravitatorio variable

La fuerza gravitatoria que ejerce un cuerpo sobre otro no es constante sino que depende de la distancia entre los cuerpos. Seg´ un la ley de la gravitaci´on universal la magnitud de esta fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de dicha distancia y su direcci´on es la de la l´ınea que une a los cuerpos. En el caso de cuerpos que se lanzan desde La Tierra y a una gran altura, como por ejemplo una nave espacial, se hace necesario tener en cuenta la dependencia de la fuerza de la gravedad respecto de la altura alcanzada por el cuerpo. Consideremos un objeto que se lanza verticalmente desde la superficie terrestre, y un eje vertical de coordenadas z, con el origen sobre la superficie de La Tierra, y cuya direcci´on positiva sea la que apunta del centro de La Tierra hacia la superficie. En ese caso la fuerza que ejerce el campo gravitatorio terrestre sobre el objeto, cuando ´este se encuentre a una distancia z sobre la superficie, es igual a Fg = −

m g R2 , (R + z)2

3.7. TRAYECTORIAS ORTOGONALES

63

donde m es la masa del cuerpo, R es el radio de La Tierra y g es la aceleraci´on de la gravedad en la superficie. En ausencia de otras fuerzas, la altura z = z(t) del objeto sobre la superficie obedecer´a a la ecuaci´on m

d2 z m g R2 = − . dt2 (R + z)2

Esta es sin embargo una ecuaci´on de segundo orden. En los Ejercicios que siguen se indica c´omo puede resolverse.

Ejercicios 1. Sea v = v(z) = v(z(t)) la velocidad de un cuerpo que se lanz´o desde La Tierra, cuando el cuerpo se encuentre a una altura z sobre la superficie. Determine una ecuaci´on diferencial para v como funci´on de z, si la u ´nica fuerza que act´ ua sobre el cuerpo es la de la gravedad terrestre 2 dz (sugerencia: tenga en cuenta que dz = v, ddt2z = dv y dv = dv = v dv ). dt dt dt dz dt dz 2. Determine la velocidad inicial m´ınima v0 con la cual debe ser lanzado un objeto desde La Tierra para garantizar su no retorno (este valor es conocido como velocidad de escape). Respuestas 1. v

3.7.

dv dz

2

gR = − (R+z) 2. 11,1 km/s. 2 ,

Trayectorias ortogonales

En algunos problemas geom´etricos y f´ısicos se necesita conocer a las curvas que se intersequen ortogonalmente en cada punto con las curvas de una familia dada por una ecuaci´on del tipo f (x, y, c) = 0,

(3.6)

donde c representa una constante arbitraria. Si y = y(x) es una de las curvas de la familia descrita por (3.6), entonces para alguna constante fija c debe tenerse f (x, y(x), c) = 0,

(3.7)

64

3. APLICACIONES

Figura 3.4: Curvas que se intersecan ortogonalmente para todo x en el domio de y. En este caso, derivando (3.7) con respecto de x obtenemos ∂f ∂f dy + = 0. ∂x ∂y dx Geom´etricamente la interpretaci´on de la anterior identidad es que la pendiente de la recta tangente a la curva y = y(x) en el punto (x, y(x)), est´a dada por ∂f (x, y(x), c) dy ∂x m= = − ∂f . (3.8) dx (x, y(x), c) ∂y Supongamos ahora que la constante c pueda despejarse de (3.6), en t´erminos de x y y. En ese caso, reeplazando en (3.7), se obtiene una expresi´on para la pendiente m, que depende u ´nicamente del punto (x, y) y no de la constante c. Ahora bien, si y = y(x) es una curva que, en cada punto (x, y) se interseca ortogonalmente con los correspondientes miembros de la familia (3.6), entonces la pendiente m∗ de la recta tangente a y = y(x) en el punto (x, y(x)) dy = m∗ = − m1 , de donde concluimos que las satiface m∗ m = −1. Es decir, dx trayectorias ortogonales satisfacen la ecuaci´on diferencial dy = dx

∂f ∂y ∂f ∂x

(x, y, c (x, y)) (x, y, c (x, y))

.

(3.9)

3.7. TRAYECTORIAS ORTOGONALES

65

Ejemplo 3.7.1. Buscaremos las trayectorias ortogonales a la familia de par´abolas x − cy 2 = 0. Siguiendo los pasos descritos (diferenciar, despejar, reemplazar), obtenemos 1 − 2cy

dy = 0, dx

c=

x , y2

dy y = . dx 2x

Esta u ´ltima es pues una ecuaci´on diferencial que satisfacen todas las par´abolas de la familia dada. Las trayectorias ortogonales deben entonces satisfacer la ecuaci´on dy 2x =− , dx y que tiene por soluciones a las elipses de la familia y 2 + 2x2 = k 2 ,

k constante.

Estas son entonces las trayectorias ortogonales pedidas.

Figura 3.5: Ejemplo de una familia de curvas ortogonales a una familia dada Ejemplo 3.7.2. En electrost´atica el campo el´ectrico 2–dimensional E que genera una part´ıcula de carga q y que se encuentra ubicada en el punto (h, k), est´a dado por E = ∇φ,

66

3. APLICACIONES

donde φ es el potencial electrost´atico, p φ(x, y) = k ln (x − h)2 + (y − k)2 , siendo k una constante proporcional a la carga de la part´ıcula. En un sistema compuesto por m part´ıculas cargadas, ubicadas en los puntos (xj , yj ), j = 1, · · · , m, el potencial electrost´atico ser´a la suma de los potenciales electrost´aticos correspondientes a cada part´ıcula por separado: φ(x, y) =

m X

q kj ln (x − xj )2 + (y − yj )2 .

j=0

Las curvas φ(x, y) = c, c constante, son las llamadas curvas equipotenciales, mientras que las trayectorias ortogonales asociadas son conocidas como l´ıneas de corriente. Las l´ıneas de corriente son tangentes al campo el´ectrico y representan la trayectoria que seguir´ıa una part´ıcula cargada que se encuentre sujeta a la acci´on del campo el´ectrico. En el caso del campo el´ectrico generado por una s´ola part´ıcula, situada digamos en el origen de coordenadas, es f´acil ver que las l´ıneas equipotenciales son c´ırculos conc´entricos con centros en el origen, mientras que las l´ıneas de corriente ser´an las l´ıneas rectas que pasan por el origen. Consideremos ahora el caso de un sistema de dos part´ıculas con cargas id´enticas, situadas en los puntos (−a, 0) y (a, 0). El potencial electrost´atico del sistema est´a dado por φ(x, y) =

¢¡ ¢ k ¡ ln (x − a)2 + y 2 (x + a)2 + y 2 . 2

De acuerdo con (3.9), las l´ıneas de corriente en este caso corresponden a las soluciones de la ecuaci´on diferencial y (x2 + y 2 + a2 ) dy = , dx x (x2 + y 2 − a2 ) que resulta ser dif´ıcil de resolver expl´ıcitamente. Podr´ıamos sin embargo trazar los gr´aficos de las soluciones empleando m´etodos num´ericos. En la figura 3.6 se ilustran las l´ıneas equipotenciales (azules) y las l´ıneas de corriente (rojas).

3.7. TRAYECTORIAS ORTOGONALES

67

y

1

−2

−1

1

2

x

−1

Figura 3.6: L´ıneas de corriente y l´ıneas equipotenciales para un sistema de dos part´ıculas

Ejercicios 1. En cada caso halle las trayectorias ortogonales a la familia de curvas que se da (c denota una constante cualquiera): a) y 2 − x2 = c

b) x2 + y 2 = cx

c) y = c ex

d ) ex cos y = c

2. En cada uno de los siguientes casos determine las curvas que satisfacen las condiciones requeridas a) Cada una de las rectas normales a la curva pasa por el origen. b) La curva pasa por el origen y longitud del arco desde el origen a un punto cualquiera de la curva es igual al doble de la ra´ız cuadrada de la abscisa de ese punto. 3. Muestre que las curvas equipotenciales asociadas al campo el´ectrico que genera una u ´nica part´ıcula son c´ırculos conc´entricos alrededor de la part´ıcula, y que las l´ıneas de corriente son l´ıneas rectas.

68

3. APLICACIONES

Respuestas 1.

a) x y = k

2.

a) x2 + y 2 = c.

b) x2 + y 2 = ky b) y = ±(arc sen

c) y 2 = −2x + k √

x+

√

x − x2 )

d ) ex sen y = c.

Cap´ıtulo 4 M´ etodos cualitativos y m´ etodos num´ ericos en ecuaciones diferenciales Es equivocado pensar que el estudio de las ecuaciones diferenciales se reduce a encontrar artificios de c´alculo para obtener soluciones expl´ıcitas. En el cap´ıtulo 2 presentamos una selecci´on de t´ecnicas que permiten resolver ciertas ecuaciones diferenciales de primer orden, aunque por supuesto la lista no es exhaustiva: existen tratados que contienen tablas de soluciones de ecuaciones diferenciales, similares a las tablas de antiderivadas (ver por ejemplo [5] en las referencias bibliogr´aficas al final de este cap´ıtulo). Sin embargo la pericia para resolver ecuaciones diferenciales, entendida en el sentido de obtener f´ormulas para las soluciones, ha ido perdiendo importancia a medida que los computadores se han popularizado y simult´aneamente fueron haciendo su aparici´on programas de software especializados en computaci´ on simb´olica. La tendencia actual es dejar al computador las tareas de c´alculo. Programas como MuPad, Mathematica o Maple, permiten resolver casi todas las ecuaciones diferenciales que uno pudiera resolver de manera expl´ıcita con las t´ecnicas conocidas. Sin restarle importancia a este tipo de programas debe quedar claro que ni el m´as refinado de los programas de software ni el m´as ingenioso de los matem´aticos pueden resolver “todas” las ecuaciones diferenciales o siquiera las m´as importantes de ellas, en t´erminos de funciones elementales. El problema m´as que de habilidad es de principio. Por ejemplo no se conocen soluciones 69

70

´ ´ 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS

cl´asicas de ecuaciones en apariencia tan simples como la ecuaci´on dx 1 =− +t dt x (consultar por ejemplo [4]). La b´ usqueda de recetas para resolver todas las ecuaciones diferenciales en t´erminos de funciones elementales es una b´ usqueda sin esperanzas. Ante este hecho se presentan algunas alternativas: los m´etodos cualitativos, los m´etodos num´ericos, y los m´etodos de aproximaci´on. No es parte de los objetivos de estas notas un estudio detallado de estos temas, pero si quisi´eramos ilustrarlos en algunos casos particulares.

4.1.

M´ etodos Cualitativos

En muchos problemas m´as que c´alculos cuantitativos puntuales lo que interesa es el comportamiento cualitativo de las soluciones en t´erminos de las condiciones iniciales o de los valores de ciertos par´ametros. Saber que una soluci´on es creciente, que es c´oncava o que tiene un l´ımite en el infinito puede ser de ayuda en la comprensi´on de un modelo. Ocurre que en ciertos casos es posible obtener este tipo de informaci´on sin necesidad de resolver expl´ıcitamente la ecuaci´on diferencial.

4.1.1.

El modelo de Verhulst

Para empezar vamos a resumir los principales resultados obtenidos en el cap´ıtulo 3 acerca del modelo de Verhulst, dx = x (a − b x). dt

(4.1)

Sabemos que la ecuaci´on (4.1) satisface las hip´otesis del teorema fundamental 1.3.1, tomando J = (−∞, ∞) y Ω = (−∞, ∞), que las funciones constantes xE (t) = ab y xI (t) = 0 son soluciones (soluciones de equilibrio), cuyas gr´aficas son rectas horizontales que dividen al plano tx en tres regiones, o n n ao a y R3 = {(t, x) | x < 0} , R1 = (t, x) | < x , R2 = (t, x) | 0 < x < b b de manera tal que cada una de las gr´aficas de las soluciones no constantes permanece confinada a una y s´olo una de estas tres regiones (ver figura 4.1).

´ 4.1. METODOS CUALITATIVOS

71

x

x=

a 2b

t

Figura 4.1: Concavidad de las soluciones de la ecuaci´on (3.2) M´as a´ un, fue posible determinar en qu´e casos las soluciones son crecientes, y cu´ando son decrecientes, dependiendo de las condiciones iniciales que se satisfagan. El objetivo principal de esta secci´on es mostrar c´omo es posible obtener a´ un m´as informaci´on acerca de las soluciones x = x(t) de la ecuaci´on (4.1), sin necesidad de recurrir a f´ormulas expl´ıcitas para las soluciones. Podemos por ejemplo determinar los tipos de concavidad de las soluciones, estudiando la segunda derivada de x respecto de t. En efecto, si x = x(t) satisface la ecuaci´on (4.1) podemos derivar esta relaci´on con respecto de t y as´ı obtener ¢ d2 x d ¡ dx 2 = a x − b x = (a − 2b x) . 2 dt dt dt

(4.2)

Sup´ongase ahora que x = x(t) es una soluci´on de la ecuaci´on de Verhulst (4.1), que en un cierto punto t0 satisface la condici´on x(t0 ) = x0 . De manera an´aloga al an´alisis que se hizo en el cap´ıtulo 3 consideraremos varios casos, dependiendo de cu´al sea el valor de x0 : Si x0 > ab , sabemos que la gr´afica de la soluci´on x = x(t), t ∈ I est´a contenida en R1 y que es estrictamente decreciente. Esto significa < 0 se sigue, que ab < x(t), y por ello a − 2b x (t) < 0. Como adem´as dx dt d2 x reemplazando en la ecuaci´on (4.2), que dt2 > 0. Por lo tanto x(t) es c´oncava hacia arriba.

´ ´ 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS

72

Si 0 < x0 < ab , vimos en el cap´ıtulo 3 que 0 < x(t) < ab y que dx > 0. dt Teniendo en cuenta la relaci´on (4.2) se puede ver que x(t), t ∈ I, es a < x(t) < ab , mientras una funci´on c´oncava hacia abajo siempre que 2b a que es c´oncava hacia arriba si 0 < x(t) < 2b . An´alogamente, si x0 < 0, se demuestra que la soluci´on x = x(t), t ∈ I, es estrictamente decreciente y c´oncava hacia abajo. La figura 4.1 resume el an´alisis del crecimiento y de los tipos de concavidad de las soluciones de la ecuaci´on de Verhulst. Tal como se se˜ nal´o en el cap´ıtulo 3, el intervalo I donde est´a definida la soluci´on x = x(t) que satisface una condici´on de la forma x(t ³0 ) = x0 depende ´ de t0 y de x0 . Por ejemplo, si t0 = 0 b x0 −a a 1 y x0 > b , entonces I = a ln b x0 , ∞ , mientras que I = (−∞, ∞) siempre que 0 ≤ x0 ≤ ab , independientemente de t0 . Adicionalmente, una vez se obtienen las soluciones en forma expl´ıcita (por ejemplo mediante separaci´on de variables) puede calcularse el l´ımite de las soluciones, l´ımt →∞ x(t) = ab , siempre que x0 > 0.

4.1.2.

Ecuaciones diferenciales aut´ onomas

Las ideas que se emplearon para analizar la ecuaci´on de Verhulst pueden usarse para tratar una clase relativamente amplia de ecuaciones diferenciales, las llamadas ecuaciones aut´onomas. Definici´ on 4.1.1. Diremos que una ecuaci´on diferencial de primer orden es aut´onoma si es de la forma x0 = f (x), (4.3) donde f :Ω → R es una funci´on de valor real definida en un intervalo abierto Ω. Por ejemplo la ecuaci´on de Verhulst (4.1) es aut´onoma, mientras la ecuaci´on diferencial x0 = 2 t x no lo es. N´otese que para una ecuaci´on aut´onoma las condiciones del teorema fundamental de existencia y unicidad de soluciones se reducen a exigir que la funci´on f (x) tenga derivada continua en Ω, de modo que en adelante supondremos v´alido el siguiente supuesto, Supuesto 4.1.1. La funci´on f (x) de la ecuaci´ on (4.3) tiene derivada continua en el intervalo abierto Ω.

´ 4.1. METODOS CUALITATIVOS

73

Como notamos hace un momento, dados t0 ∈ R y x0 ∈ Ω el anterior supuesto garantiza la existencia de una u ´nica soluci´on de la ecuaci´on (4.3), definida sobre cierto intervalo I ⊂ R, y que satisface la condici´on inicial x(t0 ) = x0 . Este intervalo I puede siempre escogerse de manera que sea maximal, en el sentido de que sea el mayor intervalo donde est´a definida la soluci´on del problema de valor inicial. Por ejemplo, el intervalo maximal de definici´on del problema de valor inicial, x0 = x2 , x(1) = −1, es (0, ∞), aunque la soluci´on x(t) = −1/t tambien est´a definida en cualquier subintervalo de (0, ∞). En adelante cuando nos refiramos al intervalo donde est´a definida la soluci´on de un problema de valor inicial siempre se considerar´a el intervalo maximal. Definici´ on 4.1.2. Las soluciones constantes x(t) = c, t ∈ R, de la ecuaci´on (4.3) se denominan soluciones de equilibrio o simplemente equilibrios de la ecuaci´on. Interpretando una ecuaci´on diferencial como la descripci´on de un sistema din´amico, los equilibrios son aquellos estados en los que el sistema no cambia con el tiempo. Supongamos ahora que x(t) = c es un equilibrio de la ecuaci´on aut´onoma (4.3). En ese caso x0 (t) = 0 y como x0 (t) = f (x(t)) = f (c), se sigue que f (c) = 0. En otras palabras las soluciones de equilibrio corresponden a los valores de c para los cuales f (c) = 0. Por ejemplo en el modelo de Verhulst (4.1) las soluciones de equilibrio se obtienen resolviendo la ecuaci´on f (x) = x (a − b x) = 0, de donde resultan los equilibrios xE (t) = ab y xI (t) = 0. Teorema 4.1.1. Las soluciones de la ecuaci´ on (4.3) son, o bien soluciones de equilibrio, o funciones estrictamente mon´otonas. Demostraci´ on. Como toda funci´on diferenciable y no mon´otona debe tener al menos un punto cr´ıtico (esto es, puntos donde la derivada sea nula), para probar el teorema bastar´a con demostrar que si una soluci´on x(t) de la ecuaci´on (4.3) tiene alg´ un punto cr´ıtico, entonces dicha soluci´on tiene que ser constante. Sea pues x = x(t) una soluci´on de (4.3) definida en un intervalo maximal I y supongamos que x0 (te ) = 0 para cierto te ∈ I. En ese caso y como para todo t ∈ I, x0 (t) = f (x(t)), se sigue, evaluando en t = te , que f (x(te )) = 0. En consecuencia si xe = x(te ) tenemos que la funci´on constante y(t) = xe , t ∈ R, es una soluci´on de equilibrio de la ecuaci´on (4.3). Tendr´ıamos entonces que x(t) y y(t) son ambas soluciones de la ecuaci´on (4.3) y que ambas satisfacen la condici´on x(te ) = xe . Teniendo en cuenta el

´ ´ 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS

74

β B

b b+² x x ˜

Figura 4.2: Las soluciones x(t) y x˜(t). teorema fundamental de existencia y unicidad de soluciones 1.3.1 se concluye que x(t) = y(t) = xe . Por supuesto el anterior teorema no es v´alido en el caso de ecuaciones 2 no aut´onomas. Por ejemplo la funci´on x = et , que, como el lector puede f´acilmente verificar, no es ni constante ni mon´otona, es sin embargo soluci´on de la ecuaci´on x0 = 2 t x en el intervalo I = (−∞, ∞). Se recordar´a c´omo en el caso de la ecuaci´on de Verhulst que tratamos hace poco, fue necesario resolver de manera expl´ıcita la ecuaci´on para poder determinar los intervalos maximales donde las soluciones estaban definidas. El siguiente resultado arroja informaci´on que puede ser de utilidad para obtener el intervalo maximal de definici´on de soluciones de ecuaciones aut´onomas, a´ un sin calcular expl´ıcitamente tales soluciones. Teorema 4.1.2. Sean f (x) una funci´on definida en el intervalo Ω = (α, β), x = x(t) una soluci´on de la ecuaci´ on (4.3), e I = (a, b) el intervalo maximal de definici´on de x(t). Entonces cada uno de los l´ımites l´ım x(t)

t→a+

y

l´ım x(t)

t→b−

debe existir (aunque pueden ser iguales a ±∞). M´as a´ un, si l´ımt→a+ x(t) ∈ Ω entonces a = −∞, mientras que si l´ımt→b− x(t) ∈ Ω debe tenerse b = ∞. Demostraci´ on. Los l´ımites mencionados deben existir, pues de acuerdo con el teorema 4.1.1 x es m´onotona. La figura 4.2 ilustra el caso en que x es estrictamente creciente. Para fijar ideas consideremos en efecto el caso en el que

´ 4.1. METODOS CUALITATIVOS

75

x es creciente y supongamos que B = l´ımt→b− ∈ Ω. El teorema fundamental de existencia y unicidad establece la existencia de una soluci´on x˜ = x˜(t) que satisface x˜(b) = B. Adem´as dicha soluci´on debe estar definida en un intervalo abierto que contiene a b, en particular x˜ debe estar definida en un intervalo de la forma (b, b + ²) para cierto ² > 0. Puede entonces construirse una soluci´on y = y(t), definida en (a, b + ²), de acuerdo con la siguiente f´ormula:   x(t) si a < t < b, y(t) = B si t = b,   x˜(t) si b < t < b + ². En efecto, como y(t) coincide con x(t) en (a, b) y con x˜(t) en (b, b+²), se tiene que y = y(t) es soluci´on en dichos intervalos. De otro lado, y es derivable en t = b y y 0 (b) = f (y(b)) puesto que l´ım− y 0 (t) = l´ım− f (x(t)) = f (B) = l´ım+ f (˜ x(t)) = l´ım+ y 0 (t).

t→b

t→b

t→b

t→b

De donde y 0 (b) = f (B) = f (y(b)). Dado que el intervalo I = (a, b) es maximal se concluye que B = α o B = β. An´alogamente se demuestra que si a 6= −∞, entonces l´ımt→a+ x(t) = α o l´ımt→a+ x(t) = β. Ejemplo 4.1.1. Como ilustraci´on consideremos de nuevo la ecuaci´on de Verhulst x0 = x (a−b x), a, b > 0. En este caso f (x) = x (a−b x) est´a definida en el intervalo Ω = (−∞, ∞), de manera que, en la notaci´on del teorema 4.1.2, α = −∞ y β = ∞. Para 0 < x0 < ab y t0 ∈ (−∞, ∞) dados, sabemos que si x = x(t), t ∈ I = (c, d), es la soluci´on que satisface la condici´on x(t0 ) = x0 , entonces la gr´afica de x debe estar contenida en la franja R2 (ver figura 4.1), en otras palabras 0 < x(t) < ab para todo t ∈ (c, d). De all´ı que si B = l´ımt→d− x(t) deba tenerse 0 ≤ B ≤ ab . A la luz del teorema 4.1.2 podemos concluir que si I = (c, d) es el intervalo maximal de definici´on de x, entonces d = ∞. Igualmente se muestra que c = −∞, de donde se sigue, sin necesidad de recurrir a expresiones expl´ıcitas para las soluciones, que el intervalo maximal de definici´on de x es I = (−∞, ∞). De otro lado si tom´aramos por ejemplo x0 > ab , el teorema 4.1.2 nos permitir´ıa establecer que la soluci´on correspondiente est´a definida en un intervalo de la forma (−∞, d), pero no nos permitir´ıa en cambio determinar el valor de d. ¿Qu´e se puede decir cuando x0 < 0?

´ ´ 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS

76

Teorema 4.1.3. Si x = x(t) es una soluci´on de la ecuaci´ on (4.3) y o bien l´ımt→∞ x(t) = c o bien l´ımt→−∞ x(t) = c, para un cierto c ∈ Ω, entonces la funci´on x(t) = c, t ∈ R, debe ser una soluci´on de equilibrio. Demostraci´ on. Todo lo que necesitamos probar es que f (c) = 0. Supongamos por el contrario que, por ejemplo, f (c) > 0. En ese caso deben existir n´ umeros ² > 0 y δ > 0 tales que f (x) > ² > 0 si |x − c| < δ. Como l´ımt→∞ x(t) = c, podemos escoger un n´ umero t0 ∈ R tal que |x(t) − c| < δ siempre que t ≥ t0 . De otro lado y teniendo en cuenta el teorema fundamental del c´alculo, Z t Z t 0 x(t) = x(t0 ) + x (ξ) dξ = x(t0 ) + f (x(ξ)) dξ, t0

t0

de donde se seguir´ıa que x(t) > x(t0 ) + ² (t − t0 ) , siempre que t ≥ t0 . Esto claramente implicar´ıa l´ımt→∞ x(t) = ∞, contradiciendo as´ı nuestra hip´otesis l´ımt→∞ x(t) = c. A una contradicci´on an´aloga se llega si suponemos f (c) < 0. Ejemplo 4.1.2. Una vez m´as consideremos la ecuaci´on (4.1). Sabemos que si x = x(t), t ∈ I, es la soluci´on que satisface x(t0 ) = x0 , con 0 < x0 < ab , entonces 0 < x(t) < ab para todo t ∈ I y adem´as I = (−∞, ∞). Como adem´as x(t) es creciente, podemos concluir, empleando el teorema 4.1.3, que a l´ım x(t) = . t→∞ b Con argumentos similares puede mostrarse que el anterior resultado tambi´en es v´alido cuando x0 > ab . Ya en el cap´ıtulo 3 hab´ıamos obtenido estos resultados, pero recurriendo a las soluciones en forma expl´ıcita.

4.1.3.

Equilibrios y estabilidad

Definici´ on 4.1.3. Un equilibrio c de la ecuaci´on diferencial (4.3) es estable si todas las soluciones x = x(t) de la ecuaci´on (4.3) que en alg´ un instante t0 toman valores x(t0 ) suficientemente cercanos a c, permanecen pr´oximas a c a partir de ese instante. En t´erminos m´as precisos, dado cualquier n´ umero ² > 0 existe un n´ umero δ > 0, δ = δ(²), tal que |x(t0 ) − c| < δ

implica

|x(t) − c| < ²,

siempre que t > t0 .

´ 4.1. METODOS CUALITATIVOS

77

Si adicionalmente l´ımt→∞ x(t) = c, siempre que x(t0 ) est´e suficientemente cerca de c para alg´ un instante inicial t0 , se dice que el equilibrio x(t) = c es asint´oticamente estable. A los equilibrios que no son estables se les llama equilibrios inestables. Ejemplo 4.1.3. x(t) = 0 es el u ´nico equilibrio de la ecuaci´on x0 = x. F´acilmente vemos que la soluci´on de esta ecuaci´on que satisface la condici´on x(t0 ) = x0 es la funci´on x(t) = x0 e(t−t0 ) . Independientemente de la cercan´ıa de x0 a 0 vemos que ( l´ım x(t) = l´ım x0 et−t0 =

t→∞

t→∞

∞ si x0 > 0 −∞ si x0 < 0,

de manera que x(t) = 0 es un equilibrio inestable. Ejemplo 4.1.4. x(t) = 0 es una soluci´on de equilibrio de la ecuaci´on x0 = −x. En este caso la soluci´on que satisface la condici´on x(t0 ) = x0 es la funci´on x(t) = x0 e−(t−t0 ) . Se observa que |x(t)| < x0 si t > t0 y que, independientemente del valor de x0 , l´ımt→∞ x(t) = 0. Podemos concluir que x(t) = 0 es un equilibrio asint´oticamente estable. Ejemplo 4.1.5. Generalizando los ejemplos anteriores vemos que x(t) = 0 es el u ´nico equilibrio de la ecuaci´on x0 = a x y que dicho equilibrio es estable si a < 0 e inestable si a > 0 (ver figuras 4.3 y 4.4).

x

x

t

t

Figura 4.3: El equilibrio inestable

Figura 4.4: El equilibrio estable x(t) =

x(t) = 0 de la ecuaci´on x0 = a x, a < 0.

0 de la ecuaci´on x0 = a x, a > 0.

78

´ ´ 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS

Ejemplo 4.1.6. Volviendo a la ecuaci´on de Verhulst (4.1), sabemos que xE (t) = ab , t ∈ (−∞, ∞), es un equilibrio. Si x = x(t) es la soluci´on que satisface la condici´on x(t0 ) = x0 , x0 > 0, sabemos que l´ımt→∞ x(t) = ab , de donde se sigue que xE es un equilibrio estable. La estabilidad puede en este caso interpretarse en t´erminos demogr´aficos de la siguiente manera: si el tama˜ no de la poblaci´on en alg´ un instante inicial fuera exactamente igual a ab entonces la poblaci´on conservar´ıa ese tama˜ no a lo largo del tiempo. Por otro lado si el tama˜ no de la poblaci´on en un instante inicial t0 resulta ser inferior a ab , entonces la poblaci´on crecer´a asint´oticamente hacia el valor ab . Si la poblaci´on en cambio se viera afectada por alg´ un fen´omeno extraordinario, por ejemplo la introducci´on ex´ogena de individuos, y el tama˜ no lograra sobrepasara por esta raz´on el valor l´ımite ab , entonces, al volver a la normalidad, la poblaci´on declinar´ıa hacia su tama˜ no l´ımite ab . El a n´ umero b puede verse como la “capacidad de carga”, esto es, el n´ umero de individuos de una especie que un h´abitat puede soportar indefinidamente. La ecuaci´on de Verhulst tiene otro equilibrio xI (t) = 0, t ∈ R, el cual es inestable (¿por qu´e?). Retratos de fases Existe un artificio gr´afico que permite visualizar muchos de los resultados que hemos discutido hasta ahora y tambi´en determinar si una soluci´on de equilibrio es estable o inestable, adem´as de facilitar la graficaci´on de las soluciones. En este sentido es u ´til interpretar una ecuaci´on aut´onoma dx = f (x) dt

(4.4)

como la ecuaci´on que gobierna los desplazamientos de un cuerpo que se mueve sobre un eje rectil´ıneo. Si la funci´on x = x(t) representa la posici´on del cuerpo (t) es la velocidad en el instante t y la ecuaci´on (4.4) en el tiempo t, entonces dx dt simplemente significa que si en un determinado instante t0 el cuerpo pasa por una cierta posici´on x0 = x(t0 ), entonces su velocidad en ese momento debe coincidir con el valor de la funci´on f en x0 . El eje x puede imaginarse como un carril, similar a los dispuestos en un sistema de buses de tr´ansito r´apido, del tipo que usan Transmilenio o el MIO, pero que en nuestro caso ser´ıa rectil´ıneo e infinito. Es posible sin embargo que s´olo un tramo del eje est´e habilitado para la circulaci´on de buses (este ser´ıa el dominio de la funci´on f ). La funci´on f es la encargada de prescribir

´ 4.1. METODOS CUALITATIVOS

79

la velocidad que se debe llevar en cada punto de la v´ıa: algo as´ı como si en cada punto existiera una se˜ nal de tr´afico que indicara a qu´e velocidad se debe circular por ese sitio, y todos los veh´ıculos le dieran riguroso cumplimiento a esa indicaci´on. Los puntos de equilibrio ser´ıan las estaciones de la v´ıa: sitios en donde la velocidad es cero, y en donde los veh´ıculos que se encuentren all´ı deber´an permanecer, y habr´an permanecido, por siempre estacionados. De otro lado entre dos estaciones consecutivas el tr´ansito debe hacerse exclusivamente en uno de los dos sentidos posibles, dependiendo del signo de la funci´on f en ese tramo del trayecto. As´ı los veh´ıculos se mover´an siempre alej´andose de una de las estaciones y acerc´andose a la otra. Un bus que circulara en este sistema no terminar´ıa nunca de llegar a su estaci´on de destino, ni podr´ıa por supuesto sobrepasar estaciones. Es posible sin embargo que alcance alguno de los extremos de la v´ıa en un tiempo finito. Para tener una idea general de como procede el tr´afico en esta v´ıa bastar´a trazar el eje, se˜ nalar los puntos de equilibrio, e indicar en que sentido se recorre cada uno de los tramos entre equilibrios consecutivos. Si x se toma como un eje horizontal, el sentido ser´a hacia la derecha si f (x) es positiva y hacia la izquierda en caso contrario. La gr´afica as´ı obtenida se conoce como el retrato de fases del sistema y no es otra cosa que la gr´afica de las trayectorias del sistema, en otras palabras la gr´afica de las curvas param´etricas x = x(t), donde x es una soluci´on de la ecuaci´on aut´onoma (4.4). Como se trata de curvas en una dimensi´on, entonces son en realidad segmentos rectil´ıneos, recorridos en una cierta direcci´on. x 0

a/b

Figura 4.5: Retrato de fases para la ecuaci´on de Verhulst (4.1)

El retrato de fases tambi´en puede trazarse sobre un eje x vertical, que sea uno de los ejes coordenados en el plano tx. En ese caso los equilibrios, cuando son aislados, corresponden a as´ıntotas horizontales de las soluciones de la ecuaci´on, y dividen al plano en franjas horizontales donde permanecen confinadas las soluciones. El retrato de fases tambi´en permite ver en qu´e franjas las soluciones deben ser crecientes y en cu´ales decrecientes, lo cual facilita el bosquejo de dichas soluciones. El retrato de fases tambi´en permite ver si un equilibrio es estable o inestable, de acuerdo a si las trayectorias entran

´ ´ 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS

80

o salen del equilibrio. Cuando a un lado las trayectorias entran pero al otro salen del equilibrio, se habla algunas veces de equilibrios semi–estables. En rigor estos son claro equilibrios inestables. La figura 4.1.3 ilustra estas ideas para el caso de la ecuaci´on de Verhulst (4.1). x

t

Figura 4.6: Retrato de fases y gr´aficas de las soluciones de la ecuaci´on de Verhulst (4.1)

4.1.4.

Un ejemplo

El teorema fundamental de existencia y unicidad garantiza que exista una u ´nica soluci´on del problema de valor inicial dx 1 = sen , dt x

1 x(0) = , 2

(4.5)

pero ¿qui´en es esa soluci´on? Desde luego se puede aplicar la conocida rutina de separar de variables para obtener Z x(t) 1 1 du = t. 1 sen u 2 Sin embargo esta f´ormula es de escasa utilidad pues es bien sabido que la integral que aparece aqu´ı no puede expresarse en t´erminos de funciones elementales. Podemos ver sin embargo que la ecuaci´on (4.5) es aut´onoma con f (x) = umero infinito de soluciones de sen x1 , x ∈ (0, ∞). Esta ecuaci´on tiene un n´

´ 4.1. METODOS CUALITATIVOS

81

x

2/π

R0 1/2

1/ π

solucion de equilibrio

c1 t

Figura 4.7: La soluci´on x = x(t) de (4.5) 1 equilibrio, correspondientes a los valores cn = nπ , n = 1, 2, . . .. Vemos entonces que si Rn es la regi´on delimitada por las rectas horizontales correspondientes a las gr´aficas de dos soluciones de equilibrio consecutivas, x = cn y x = cn+1 , mientras que R0 es la regi´on © ª R0 := (t, x) ∈ R2 : x > c1 ,

entonces cada una de las soluciones de la ecuaci´on (4.5), que no sea un equilibrio, debe ser una funci´on mon´otona cuya gr´afica estar´a confinada a alguna de estas franjas. Consideremos ahora la soluci´on x = x(t) que satisface la condici´on inicial x(0) = 12 . Seg´ un el teorema 4.1.1 x debe ser estrictamente dx creciente, puesto que dt (0) = sen 2 > 0. Si I = (a, b) es el dominio de definici´on de x vamos a probar que b = ∞. Supongamos por el contrario que b < ∞ de forma que, teniendo presente el teorema 4.1.2, l´ımt→b− x(t) = ∞. Ahora bien, como x0 (t) = sen

1 < 1, x(t)

0 < t < b,

se sigue, integrando esta u ´ltima desigualdad, que x(t) < 12 + t para todo 0 < t < b, lo que claramente contradice nuestra afirmaci´on acerca del l´ımite de x cuando t → b− . Ahora bien, como x(t) debe permanecer en la regi´on R0 entonces es claro que l´ımt→a+ x(t) 6= 0 por lo que, de acuerdo al teorema 4.1.2, a = −∞. En resumen, tenemos que x est´a definida en el intervalo (−∞, ∞).

´ ´ 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS

82

Tambi´en podemos estudiar la concavidad de x teniendo en cuenta que µ ¶ 0 µ ¶ 1 x (t) 1 1 2 00 x (t) = − cos =− sen . x(t) x(t)2 x(t)2 2 x(t) Vemos entonces que la soluci´on es c´oncava hacia arriba cuando x(t) < c´oncava hacia abajo cuando x(t) > π2 . Para finalizar notamos que, en virtud del teorema 4.1.2, l´ım x(t) = ∞ y

t→∞

l´ım x(t) =

t→−∞

2 π

y

1 . π

La figura 4.7 muestra un bosquejo de la gr´afica de la funci´on x = x(t) que refleja todas las caracter´ısticas de esa funci´on deducidas hasta ahora.

Ejercicios 1. Muestre que la funci´on x = sen t, t ∈ (−∞, ∞) no puede ser soluci´on de una ecuaci´on diferencial aut´onoma x0 = f (x), para una funci´on f que satisfaga el supuesto 4.1.1. Muestre sin embargo que x(t) = sen t, t ∈ (− π2 , π2 ), satisface la ecuaci´on dx √ = 1 − x2 , dt ¿contradice ´esto lo que se pidi´o mostrar inicialmente? 2. La ecuaci´on de crecimiento de Von Bertalanffy puede escribirse en la forma du = u2/3 − k u, dt donde k representa una constante positiva y u(t) es la masa corporal de un individuo como funci´on del tiempo. Esta ecuaci´on fue empleada por el bi´ologo austriaco L. Von Bertalanffy para modelar el crecimiento individual de ciertas especies de peces. a) Muestre que el teorema fundamental de existencia y unicidad de soluciones 1.3.1 no permite garantizar en este caso la existencia soluciones u ´nicas que satisfagan condiciones iniciales de la forma u(t0 ) = 0.

´ 4.1. METODOS CUALITATIVOS

83

b) Determine las soluciones de equilibrio de esta ecuaci´on y mediante un an´alisis cualitativo esboce las gr´aficas de las soluciones. c) ¿Puede encontrar dos soluciones distintas que satisfagan la misma condici´on inicial u(0) = 0? (sugerencia: emplee la substituci´on u = z 3 ). 3. Clasifique los equilibrios de las siguientes ecuaciones diferenciales como estables o inestables. a) b) c) d)

x0 x0 x0 x0

= x1/2 = −x4 = x sen x2 = x2

e) x0 = −x3 f ) x0 = x sen x g) x0 = x(x + 1)(x − 2)(x + 3)2 .

4. Empleando las t´ecnicas desarrolladas en esta secci´on ¡bosqueje la gr´afica ¢ de la soluci´on del problema de valor inicial x0 = sen x1 , x(0) = 41 . 5. Determine el tipo estabilidad ¡ ¢ de cada una de las soluciones de equilibrio de la ecuaci´on x0 = sen x1 . 6. Para la ecuaci´on dx = a x3 − b x2 , a y b constantes positivas, encuentre dt todas las soluciones de equilibrio y determine si son estables o inestables. Empleando las t´ecnicas desarrolladas en esta secci´on trace un bosquejo de sus curvas soluci´on, especificando los puntos de inflexi´on. Respuestas 2.

c) u(t) = 0 y u(t) =

3.

a) x = 0 inestable

1 k3

¡

1 − e−kt/3

¢3

b) x = 0 inestable (“semiestable”) e) x = 0 estable f ) x = 0 inestable (semiestable); x = n π estable si n > 0 e impar o si n < 0 y par, inestable si n > 0 y par o si n < 0 e impar

´ ´ 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS

84

4.2.

M´ etodos num´ ericos

En lo que sigue de esta gu´ıa vamos a suponer que la u ´nica soluci´on x = x(t) del problema de valor inicial x0 = f (t, x),

x(t0 ) = x0 ,

(4.6)

est´a definida en el intervalo [t0 , t0 + a] para un cierto n´ umero positivo a. Tambi´en supondremos que la funci´on f : J ×Ω → R es dos veces diferenciable en su dominio y que [t0 , t0 + a] ⊂ J. El prop´osito es buscar una aproximaci´on x e de la soluci´on x = x(t) del problema de valor inicial (4.6) empleando m´etodos num´ericos. Nos limitaremos a mostrar algunas ideas generales, que no obstante ilustran el poder de los m´etodos de aproximaci´on y tambien sus limitaciones. Procederemos primero con lo que se conoce como discretizaci´on del intervalo [t0 , t0 + a], que consiste en tomar n + 1 puntos equidistantes t0 < t1 < t2 < · · · < tn = t0 + a, donde para j = 0, . . . , n − 1, tj+1 = tj + h con h = na . El n´ umero h se conoce como la longitud del paso. A menor tama˜ no de h m´as fina se considera la discretizaci´on del intervalo [t0 , t0 + a]. Inicialmente se busca aproximar x en los n puntos equidistantes t0 , t1 , . . . , tn = t0 + a. Posteriormente y acudiendo a alg´ un m´etodo de interpolaci´on (por ejemplo interpolaci´on lineal) la aproximaci´on x e de x podr´ıa tambi´en obtenerse en los dem´as puntos del intervalo (t0 , t0 + a). Una discusi´on m´as a fondo de estos temas puede consultarse por ejemplo en [6].

4.2.1.

El m´ etodo de Euler

La definici´on de derivada sugiere una forma de aproximar la soluci´on x(t). En efecto como x(t + h) − x(t) x0 (t) = l´ım , h→0 h entonces resulta razonable usar la aproximaci´on x(t + h) ≈ x(t) + h x0 (t). Si x = x(t) es la soluci´on del problema de valor inicial (4.6) entonces x0 (t) = f (t, x(t)) de manera que x(t + h) ≈ x(t) + h f (t, x(t)).

´ ´ 4.2. METODOS NUMERICOS

85

En particular como x(t0 ) = x0 y t1 = t0 + h, entonces x(t1 ) = x(t0 + h) ≈ x0 + h f (t0 , x0 ). Escribiendo x e1 = x0 + h f (t0 , x0 ) ≈ x(t1 ), podremos calcular la aproximaci´on x e2 ≈ x(t2 ), donde t2 = t1 + h, de acuerdo a la f´ormula x(t2 ) = x(t1 + h) ≈ x(t1 ) + h f (t1 , x(t1 )) ≈ x e1 + h f (t1 , x e1 ). Tomando ahora x e2 = x e1 + h f (t1 , x e1 ) ≈ x(t2 ) puede repetirse el proceso para obtener una aproximaci´on x e3 ≈ x(t3 ), y as´ı sucesivamente hasta obtener una aproximaci´on x en de x(tn ). En general tendr´ıamos la regla recursiva x e0 = x0 x ej+1 = x ej + h f (tj , x ej ),

j = 0, . . . , n − 1.

(4.7)

Es claro que la aproximaci´on xej = x e(tj ) as´ı obtenida depender´a de la longitud del paso h, o lo que es lo mismo, depende del n´ umero n de partes en que se haya subdividido el intervalo [t0 , t0 + a]. Cuando se quiera resaltar la dependencia respecto de la longitud de los pasos escribiremos x e=x e(t; h). El siguiente teorema precisa en que sentido x e(t; h) es una aproximaci´on de x(t). Teorema 4.2.1. Si la soluci´on x = x(t) del problema de valor inicial (4.6) est´a definida en el intervalo [t0 , t0 + a], entonces existe una constante positiva C = C(a; f ), que depende de f y de a (pero no de h), y para la cual |x(tj ) − x e(tj )| ≤ C |h| , donde x e(tj ) = x e(tj ; h) es la aproximaci´ on obtenida mediante el m´etodo de Euler con longitud de paso h. Se dice que el m´etodo de Euler es de primer orden en el sentido de que el error |x(t) − x e(t)| es proporcional a la primera potencia de |h|, tal como lo indica el teorema (4.2.1). Esto significa que duplicando el n´ umero de puntos hj de una discretizaci´on, se garantiza que el error cometido en la aproximaci´on se reduce a la mitad. Como ilustraci´on vamos a emplear el m´etodo de Euler para hallar una aproximaci´on del valor x(1), de la soluci´on x = x(t) del problema de valor inicial x0 = x, x(0) = 1. (4.8)

´ ´ 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS

86

En este caso la soluci´on exacta puede calcularse f´acilmente, x(t) = et y por lo tanto x(1) = e. El intervalo pertinente para la aproximaci´on es [0, 1], por lo que con una longitud de paso h = n1 tendremos t0 = 0, t1 =

n 1 , . . . , tn = = 1. n n

Si escribimos x ej para representar la aproximaci´on de x = x(t) en t = tj , entonces la aproximaci´on de x(1) viene siendo x en . Adem´as en este caso f (t, x) = x de manera que al aplicar la regla recursiva (4.7) x e0 = 1 x ej+1 = x ej + h x ej = x ej (1 + h), Como h =

1 n

j = 0, . . . , n − 1.

tenemos que

1 e2 = x e1 = 1 + , x n

µ µ ¶2 ¶n 1 1 1+ ,..., x en = 1 + . n n

La figura 4.8 muestra la soluci´on exacta (la curva de trazo m´as grueso) y las soluciones aproximadas tomando n = 1, 2 y 6. y

E(h) 2.6 2

2.4 2.2 2.0 1.8

1 1.6 1.4 1.2 1.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

h

Figura 4.8: Soluci´on exacta y aproxi-

Figura 4.9: Error asociado al m´etodo

maciones de Euler para n = 1, n = 2, n=6

de Euler dependiendo de la longitud de paso h = n1

El error (exacto) en la aproximaci´on del valor de x(1) cuando se toma longitud del paso h = n1 est´a en consecuencia dado por ¯ ¯ ¯ 1/h ¯ E(h) = ¯e − (1 + h) ¯ .

´ ´ 4.2. METODOS NUMERICOS

87

Como se sabe de los cursos elementales de c´alculo l´ımh→0 (1 + h)1/h = e, de donde se sigue (como era de esperarse), que l´ımh→0+ E(h) = 0. La figura 4.9 muestra los valores de E = E(h), como funci´on de la longitud del paso h = n1 , cuando n¯ toma los valores ¯ 1, 2, . . . , 10. La l´ınea continua representa la ¯ ¯ funci´on E(h) = ¯e − (1 + h)1/h ¯ . En textos avanzados de an´alisis num´erico se obtienen cotas para el error que se comete al emplear el m´etodo de Euler. De acuerdo a esas estimaciones puede probarse que en nuestro ejemplo el error satisface e (e − 1) E(h) ≤ h. 2 h se muestra en l´ınea punteada en la La gr´afica de la funci´on g(h) = e (e−1) 2 figura 4.9. Hacemos notar que el error real cometido es en efecto menor (en algunos casos mucho menor), que la estimaci´on te´orica de dicho error. Desde luego que los m´etodos num´ericos no reemplazan el estudio te´orico de las soluciones de una ecuaci´on diferencial sino que lo complementan. En algunos casos los resultados num´ericos pueden ser enga˜ nosos como ilustramos en seguida. Consid´erese el problema de valor inicial, dx 1 = − + t, dt x

x(0) = 1.

Ya nos hab´ıamos referido a esta ecuaci´on al iniciar la secci´on. Como se mencion´o, en este caso no contamos con soluciones expl´ıcitas, as´ı que no es posible comparar la soluci´on aproximada con la exacta. Al aplicar el m´etodo de Euler en el intervalo [0, 5/4] con longitud de paso h = 18 , se obtienen los resultados de la figura 4.10. Un poco de reflexi´on permite ver sin embargo que los valores obtenidos (al menos algunos de ellos) corresponden en realidad a una aproximaci´on esp´ urea de la soluci´on del problema (¿por qu´e?).

4.2.2.

Los m´ etodos tipo Runge-Kutta

A principios del siglo XX, los matem´aticos alemanes, C. Runge y M. W. Kutta, desarrollaron una familia de m´etodos num´ericos que convergen m´as r´apidamente a la soluci´on exacta que el m´etdo de Euler. Estos m´etodos son hoy conocidos como m´etodos de Runge–Kutta (RK). Est´a m´as all´a de los objetivos de este curso justificar los m´etodos RK. El lector interesado puede consultar en Wikipedia http://en.wikipedia.org o leer la literatura

´ ´ 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS

88

y

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

−0.2 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

x

Figura 4.10: Soluci´on esp´urea de

dx dt

= t − x1 , x(0) = 1.

especializada, por ejemplo [6]. Con el fin de comparar con el m´etodo de Euler presentamos aqu´ı el m´as conspicuo de los m´etodos Runge–Kutta, el m´etdo de Runge–Kutta de cuarto orden (RK4). x e0 = x0 , h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) , 6 = tj + h

x ej+1 = x ej + tj+1 en donde

k1 = f (tj , x ej ) , µ ¶ h h k2 = f tj + , x ej + k1 , 2 2 µ ¶ h h k3 = f tj + , x ej + k2 , 2 2 k4 = f (tj + h, x ej + h k3 ) , j = 1, . . . , n − 1. El m´etodo RK4 es de cuarto orden en el sentido en que lo precisa el siguiente teorema. Teorema 4.2.2. Si la soluci´on x = x(t) del problema de valor inicial (4.6) est´a definida en el intervalo [t0 , t0 + a], entonces existe una constante positiva C = C(a; f ), que depende de f y de a, tal que e (t)| < C |h|4 , |x (t) − x

t ∈ [t0 , t0 + a],

´ ´ 4.2. METODOS NUMERICOS

89

donde x e=x e(t; h) es la aproximaci´ on del m´etodo RK4 con longitud de paso h. Compararemos el m´etodo RK4 con el m´etodo de Euler explicado anteriormente en el caso del problema (4.8). Algunos c´alculos sencillos muestran k1 = x ej , ¶ µ h , k2 = x ej 1 + 2 µ ¶¶ µ h h k3 = x ej 1 + 1+ , 2 2 µ µ µ ¶¶¶ h h k4 = x ej 1 + h 1 + 1+ . 2 2 Se tiene entonces que x e0 = 1, x ej+1 = x ej de donde

µ x en =

Reemplazando h =

1 n

µ

¶ h2 h3 h4 , + + 1+h+ 2 6 24

h2 h3 h4 + + 1+h+ 2 6 24

¶n .

la anterior expresi´on queda convertida en µ

x en =

1 1 1 1 1+ + 2 + 3 + n 2n 6n 24n4

¶n .

No es tan claro que la expresi´on anterior para x en resulte en una mejor aproximaci´on de x(1) = e que la obtenida mediante el m´etodo de Euler. 1 Sin embargo para n = 1 el m´etodo RK4 produce un error menor que 100 , 60 mientras que el m´etodo de Euler conduce a un error mayor que 100 (ver la figura (4.9)). La figura (4.11) muestra que para valores tan peque˜ nos de n como n = 1 y n = 2 los valores de x ej son visualmente indistinguibles de los valores exactos x(tj ).

´ ´ 4. METODOS CUALITATIVOS Y NUMERICOS

90

y 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x

Figura 4.11: Soluci´on exacta y aproximaciones de las soluciones de la ecuaci´on (4.8) empleando l m´etodo RK4 con n = 1 y n = 2.

Ejercicios 1. Demuestre que

¯ µ ¶n ¯ ¯ ¯ 4 1 ¯e − 1 + ¯≤ , ¯ n ¯ n

n ∈ N.

2. Sea n ∈ N arbitrariamente grande pero fijo y x en la aproximaci´on de la soluci´on del problema (4.8) en t = a mediante el m´etodo de Euler con longitud de paso h = na . Demuestre que l´ım |ea − x en | = ∞.

a→∞

3. Demuestre que µ l´ım

n→∞

1 1 1 1 1+ + 2 + 3 + n 2n 6n 24n4

¶n = e.

Cap´ıtulo 5 Ecuaciones lineales de segundo orden a segunda ley de Newton del movimiento conduce de manera natural a una ecuaci´on diferencial de segundo orden. En los cap´ıtulos precedentes sin embargo nuestro inter´es se centr´o en el estudio de ecuaciones de primer orden. A´ un en ese caso hemos visto que no es en general posible obtener f´ormulas expl´ıcitas para las soluciones. No es dif´ıcil imaginar que cuando se trate con ecuaciones de ´ordenes superiores las dificultades van a escalarse y que posiblemente no sea muy buena idea continuar intentando encontrar trucos espec´ıficos para resolver tipos particulares de ecuaciones. En realidad a partir de este cap´ıtulo abandonaremos la pretensi´on de tratar con ecuaciones generales de orden n para ocuparnos u ´nicamente en el estudio de ecuaciones lineales. Una ecuaci´on de orden n

L

dn x dx dn−1x = f (t, x, , . . . , ) dtn dt dt n−1 es lineal si la expresi´on de la derecha depende linealmente de x; en otras palabras debe ser una suma de t´erminos, cada uno de los cuales o depende u ´nicamente de la variable independiente t, o es el producto de x o de sus derivadas por un coeficiente que depende s´olo de t. Aunque muchas de las ideas y m´etodos que vamos a discutir se pueden aplicar sin ning´ un problema a ecuaciones lineales de cualquier orden, nuestra discusi´on en este cap´ıtulo se referir´a s´olamente a las ecuaciones de segundo orden. No ser´a dif´ıcil luego, haciendo los ajustes pertinentes, tratar con ecuaciones de mayor orden. 91

92

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

El estudio de las ecuaciones diferenciales lineales est´a estrechamente relacionado con conceptos del ´algebra lineal. En el caso especial de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes las soluciones se pueden expresar completamente en t´erminos de funciones elementales, un hecho ya conocido por J. L. Lagrange hacia finales del siglo XVIII. El hecho de que las ecuaciones lineales se puedan, al menos en principio, resolver de forma expl´ıcita, las hace especialmente aptas para servir como un primer modelo de aquellos procesos f´ısicos que tienen car´acter lineal o aproximadamente lineal, tales como las peque˜ nas oscilaciones o los circuitos el´ectricos. A trav´es de t´ecnicas de linealizaci´on, las ecuaciones lineales tambi´en pueden resultar u ´tiles en la etapa inicial del estudio de problemas no lineales.

5.1.

Teor´ıa general

Una ecuaci´ on diferencial lineal de segundo orden en la variable x = x(t) es una ecuaci´on de la forma x00 + a(t) x0 + b(t) x = f (t),

(5.1)

donde a(t), b(t) y f (t) son funciones dadas, definidas en un cierto intervalo J. Cuando f (t) es la funci´on nula se dice que la ecuaci´on (5.1) es una ecuaci´ on lineal homog´enea. Como ejemplos representativos de ecuaciones lineales de segundo orden podemos mencionar las ecuaciones x00 + ω 2 x = 0,

del movimiento arm´onico simple:

x00 + γ x0 + ω 2 x = f (t),

del oscilador lineal amortiguado forzado: de Bessel:

x00 + 1t x0 +

de Legendre: x00 +

2t 1−t2

x0 +

t2 −n2 t2 p(p+1) 1−t2

x = 0, x = 0.

Las dos primeras ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, mientras que las dos u ´ltimas son ejemplos de ecuaciones lineales con coeficientes variables. La ecuaci´on (5.1) puede escribirse brevemente en la forma L [x] (t) = f (t), donde L es el operador diferencial de orden dos, que act´ ua sobre cada funci´on dos veces diferenciable, x = x(t), t ∈ J, transform´andola en la funci´on L [x] (t) = x00 (t) + a(t) x0 (t) + b(t) x(t).

5.1. TEOR´IA GENERAL

93

Una propiedad fundamental del operador L definido antes es la que se expresa en el siguiente teorema: Teorema 5.1.1. El operador L es lineal. Es decir, L [c1 x1 + c2 x2 ] = c1 L [x1 ] + c2 L [x2 ] , para cada par de constantes c1 y c2 y cada par de funciones dos veces diferenciables x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t). Demostraci´ on. Dados un par de constantes c1 y c2 y un par de funciones dos veces diferenciables en J, x1 y x2 , sabemos que (c1 x1 + c2 x2 )0 = c1 x01 + c2 x02

y

(c1 x1 + c2 x2 )00 = c1 x001 + c2 x002 .

Se sigue entonces que L [c1 x1 + c2 x2 ] = (c1 x1 + c2 x2 )00 + a(t) (c1 x1 + c2 x2 )0 + b(t) (c1 x1 + c2 x2 ) = c1 L [x1 ] + c2 L [x2 ] , de donde se sigue la linealidad de L. El siguiente resultado es el Teorema fundamental de existencia y unicidad de soluciones. En el presente texto no inclu´ımos su demostraci´on; el lector que est´e interesado en estudiarla puede consultar, entre otros muchos, el libro de G. Simmons, [8]. Teorema 5.1.2. Supongamos que a(t), b(t) y f (t) son funciones que est´an definidas y son continuas en un intervalo J. Entonces para cada t0 en J y cada par de n´ umeros reales x0 y v0 dados, existe una u ´nica funci´on x = x(t), que est´a definida en J, y que satisface la ecuaci´ on diferencial (5.1) junto con las condiciones x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = v0 . En adelante supondremos en general que las funciones a(t), b(t) y f (t) de la ecuaci´on (5.1) son funciones que est´an definidas y son continuas en el intervalo J. Ejemplo 5.1.1. La ecuaci´on x00 +

2 2t x0 + x = 0, 2 1−t 1 − t2

94

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

es un caso particular de la ecuaci´ on de Legendre que mencionamos antes. 2t 2 En este caso a(t) = 1−t2 , b(t) = 1−t 2 y f (t) ≡ 0, son funciones continuas en J = (−1, 1). En consecuencia, para cada elecci´on de x0 y v0 existe una u ´nica soluci´on x = x(t), definida en J = (−1, 1), que satisface las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0 (0) = v0 . En particular, la u ´nica soluci´on que satisface 0 x(0) = 0 y x (0) = 0 es la soluci´on nula x(t) = 0, t ∈ J = (−1, 1), como puede verificarse f´acilmente. Ejemplo 5.1.2. La funci´on x(t) = 1t , t > 0, es la u ´nica soluci´on de la ecuaci´on 3 1 x00 + x0 + 2 x = 0 t t que satisface las condiciones, x(1) = 1, x0 (1) = −1. Puede notarse que en este caso a(t) = 3t y b(t) = t12 , son funciones continuas en (0, ∞).

5.2.

Ecuaciones lineales homog´ eneas.

Esta secci´on estar´a dedicada a la ecuaci´on diferencial homog´enea L [x] = x00 + a(t) x0 + b(t) x = 0.

(5.2)

Las dos siguientes propiedades son consecuencia inmediata del teorema 5.1.2 y de la linealidad del operador L. Teorema 5.2.1. La funci´on x(t) = 0, t ∈ J, es la u ´nica soluci´on de la ecuaci´ on (5.2) que satisface las condiciones x(t0 ) = 0 y x0 (t0 ) = 0. Teorema 5.2.2 (Principio de superposici´on). Si x1 (t), . . . , xr (t) son soluciones de la ecuaci´ on (5.2), y si c1 , . . . , cr son constantes dadas, entonces la funci´on x(t) = c1 x1 (t) + . . . + cr xr (t) tambi´en es soluci´on de la ecuaci´ on (5.2). Ejemplo 5.2.1. A manera de ilustraci´on consideraremos la ecuaci´on del movimiento arm´onico simple x00 + ω 2 x = 0.

(5.3)

Es f´acil ver que las funciones x1 (t) = cos ω t y x2 (t) = sen ω t son soluciones en (−∞, ∞). Se sigue entonces que para cualquier elecci´on de las constantes c1 y c2 , la funci´on x(t) = c1 cos ω t + c2 sen ω t (5.4) tambi´en es una soluci´on.

´ 5.2. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS.

95

El ejemplo 5.2.1 ilustra de qu´e manera, una vez que se conocen unas pocas soluciones de una ecuaci´on lineal, el principio de superposici´on permite generar familias infinitas de soluciones. Cabr´ıa preguntarse en este caso si todas las soluciones de la ecuaci´on (5.3) est´an representadas en la familia (5.4). Con el fin de responder a esta pregunta nos conviene introducir algo de terminolog´ıa. Decimos que dos funciones, f1 (t) y f2 (t), definidas en un intervalo J, son linealmente independientes en J, si la identidad a1 f1 (t) + a2 f2 (t) = 0, para todo t ∈ J, y a1 , a2 escalares, se satisface u ´nicamente si a1 = 0 y a2 = 0. Cuando dos funciones no son linealmente independientes se dice que son linealmente dependientes. Invitamos al lector a que reflexione en por qu´e las funciones f1 (t) = t y f2 (t) = |t|, definidas en J = (−π, π) son linealmente independientes, mientras que f1 (t) = cos t y f2 (t) = 2 cos t, definidas en J = (−π, π) son linealmente dependientes ¿Son las funciones f1 (t) = cos t y f2 (t) = cos 2t, definidas en J = (−π, π) linealmente independientes?

5.2.1.

Conjuntos fundamentales de soluciones

Definici´ on 5.2.1. Un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on (5.2) es un conjunto formado por dos soluciones linealmente independientes de esa ecuaci´on. De acuerdo a la anterior definici´on, y retomando el ejemplo 5.2.1, es f´acil ver que las funciones x1 = cos ω t y x2 (t) = sen ω t forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on (5.3), pues en efecto estas dos funciones son linealmente independientes en (−∞, ∞). Para determinar si dos soluciones de una cierta ecuaci´on lineal de segundo orden forman o no un conjunto fundamental de soluciones para dicha ecuaci´on puede ser u ´til calcular lo que se conoce como el determinante de Wronski de las funciones, que pasaremos a definir en seguida. Definici´ on 5.2.2. El determinante de Wronski de dos funciones x1 (t) y x2 (t), t ∈ J, es la funci´on ¶ µ x1 (t), x2 (t) = x1 (t) x02 (t) − x2 (t) x01 (t). W (t) = W (x1 , x2 ) (t) = det x01 (t) x02 (t)

96

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

Para entender el pr´oximo teorema es importante tener presente el siguiente resultado del ´algebra lineal: dada una matriz cuadrada A el sistema de ecuaciones lineales Ax = 0 tiene soluciones no triviales si y s´olo si det A = 0. Teorema 5.2.3 (Criterio para conjunto fundamental de soluciones). Sean x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) dos soluciones de la ecuaci´ on (5.2). Entonces las tres condiciones siguientes son equivalentes: 1. Las funciones x1 (t) y x2 (t) son linealmente independientes. 2. W (t) = W (x1 , x2 ) (t) 6= 0 para todo t ∈ J. 3. existe al menos un n´ umero t0 en J para el que W (t0 ) 6= 0 Demostraci´ on. 1. ⇒ 2. Por contradicci´on supongamos que W (t0 ) = 0 para alg´ un t0 en J. Entonces puede afirmarse que existen constantes c1 y c2 , no ambas nulas, tales que c1 x1 (t0 ) + c2 x2 (t0 ) = 0, c1 x01 (t0 ) + c2 x02 (t0 ) = 0. En ese caso la funci´on x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) ser´ıa una soluci´on de (5.2) que satisface las condiciones iniciales x(t0 ) = 0 y x0 (t0 ) = 0. Por otra parte la soluci´on nula y(t) = 0 satisface estas mismas condiciones iniciales por lo que el teorema 5.2.1 implica que x(t) = y(t) siempre que t ∈ J. En otras palabras, para todo t ∈ J x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) = 0. Como al menos uno de los cj , j = 1, 2, es diferente de cero se concluye que x1 (t) y x2 (t) son linealmente dependientes, lo que contradice 1. 2. ⇒ 3. Es claro. 3. ⇒ 1. Supongamos que para dos constantes c1 y c2 se tiene que para cada t ∈ J x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) = 0. En ese caso x0 (t) = c1 x01 (t) + c2 x02 (t) = 0 para todo t ∈ J. En particular para t = t0 se sigue que x(t0 ) = c1 x1 (t0 ) + c2 x2 (t0 ) = 0, x0 (t0 ) = c1 x01 (t0 ) + c2 x02 (t0 ) = 0.

´ 5.2. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS.

97

Como W (t0 ) 6= 0 es el determinante de la matriz de coeficientes del anterior sistema lineal de ecuaciones (en las variables c1 y c2 ), se concluye que c1 = c2 = 0, lo que prueba la independencia lineal de x1 y x2 . Teorema 5.2.4 (Propiedad de base). Si x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´ on homog´enea (5.2), entonces cada una de las soluciones de dicha ecuaci´ on es de la forma xH (t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t)

(5.5)

donde c1 y c2 son constantes. Demostraci´ on. Sea x = x(t) una soluci´on de (5.2). Dado ahora un valor t0 cualquiera en J y teniendo en cuenta el teorema 5.2.3 puede verse que W (x1 , x2 ) (t0 ) 6= 0. En consecuencia, de acuerdo con resultados elementales del ´algebra lineal, existen constantes c1 y c2 tales que c1 x1 (t0 ) + c2 x2 (t0 ) = x(t0 ), c1 x01 (t0 ) + c2 x02 (t0 ) = x0 (t0 ). Si definimos ahora xH (t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t), se tiene que tanto x(t) como xH (t) son soluciones de la ecuaci´on homog´enea (5.2), y adem´as xH (t0 ) = x(t0 ) y x0H (t0 ) = x0 (t0 ). De acuerdo con el teorema 5.1.2 podemos concluir que xH (t) = x(t) para todo t ∈ J. Definici´ on 5.2.3. El conjunto de todas las soluciones de (5.2), tales como las representadas en (5.5), se conoce como la soluci´on general de (5.2). Ejemplo 5.2.2. En el ejemplo 5.2.1 vimos que las funciones x1 (t) = cos ω t y x2 (t) = sen ω t, t ∈ (−∞, ∞), son soluciones de la ecuaci´on x00 + ω 2 x = 0. Un c´alculo elemental muestra ahora que µ ¶ cos ω t sen ω t W (t) = W (x1 , x2 )(t) = det = ω 6= 0, −ω sen ω t ω cos ω t con lo cual confirmamos que x1 y x2 forman un conjunto fundamental de soluciones. La soluci´on general de la ecuaci´on puede entonces escribirse en la forma xH (t) = c1 cos ω t + c2 sen ω t.

98

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

S´ı por ejemplo se busca la soluci´on que satisface las condiciones iniciales x(0) = 1, x0 (0) = 2, deben encontrarse constantes c1 y c2 tales que x(0) = c1 = 1 y x0 (0) = ω c2 = 2. Despejando c1 y c2 se llega entonces a la soluci´on pedida, xH (t) = cos ω t + ω2 sen ω t. Con la ayuda del teorema fundamental de existencia y unicidad de soluciones no es dif´ıcil ver que siempre existen conjuntos fundamentales de soluciones para una ecuaci´on lineal homog´enea dada. Basta con ver que existen conjuntos de dos soluciones, linealmente independientes, como por ejemplo el que se describe en el siguiente teorema. Teorema 5.2.5. Si t0 ∈ J y x1 , x2 son las soluciones de la ecuaci´ on homog´enea (5.2) que satisfacen respectivamente las condiciones x1 (t0 ) = 1, x01 (t0 ) = 0 y x2 (t0 ) = 0, x02 (t0 ) = 1, entonces el conjunto formado por x1 y x2 es un conjunto fundamental de soluciones. Ejercicios 1. Dada la ecuaci´on diferencial 2t2 x00 + 3t x0 − x = 0, a) halle todas las soluciones de la forma x(t) = tk , 0 < t < ∞, k constante, y determine si existe un conjunto fundamental de soluciones formado por este tipo de funciones, b) determine si existe una soluci´on que satisfaga x(0) = 1, x0 (0) = 0, c) halle una soluci´on que satisfaga las condiciones x(0) = 0, x0 (0) = 0, ¿en qu´e intervalo est´a definida? ¿es aplicable el Teorema Fundamental (Teorema 5.1.2)? d ) responda las mismas preguntas del literal c) pero en relaci´on con las condiciones x(1) = 0, x0 (1) = 1. 2. Dada la ecuaci´on x00 + t x0 + x = 0 a) muestre que las funciones Z t 2 2 2 s − t2 − t2 x1 (t) = e , y x2 (t) = e e 2 ds. 0

son soluciones de la ecuaci´on en el intervalo (−∞, ∞) b) halle el determinante de Wronski, W (x1 , x2 )(t), y muestre que x1 (t) y x2 (t) forman un conjunto fundamental de soluciones en (−∞, ∞) y c) determine la soluci´on x = x(t) que satisface las condiciones iniciales x(0) = 0, x0 (0) = 1. 3. Sean x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) las soluciones de la ecuaci´ on de Bessel ¡ ¢ 2t2 x00 + t x0 + t2 − n2 x = 0, n > 0 constante,

´ 5.2. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS.

99

definidas sobre el intervalo 0 < t < ∞, y que satisfacen las condiciones x1 (1) = 1, x01 (1) = 0, x2 (1) = 0, x02 (1) = 1. Demuestre que x1 (t) y x2 (t) forman un conjunto fundamental de soluciones en (0, ∞). 4. Considere la ecuaci´on lineal homog´enea x00 + a(t) x0 + b(t) x = 0, con coeficientes a(t) y b(t) continuos en un intervalo abierto J y sean x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) un par de soluciones de esta ecuaci´on, definidas en J. a) Muestre que si para alg´ un t0 ∈ J las funciones x1 y x2 satisfacen x1 (t0 ) = 1, x01 (t0 ) = 0, x2 (t0 ) = 0, x02 (t0 ) = 1, entonces x1 , x2 forman un conjunto fundamental de soluciones. Determine para qu´e constantes c1 y c2 la soluci´on dada por x(t) = c1 x1 (t)+c2 x2 (t) satisface las condiciones x(t0 ) = x0 , x0 (t0 ) = v0 . b) Demuestre que si x1 (t) y x2 (t) se anulan en un mismo punto del intervalo J, entonces no forman un conjunto fundamental de soluciones sobre J. c) Demuestre que si x1 (t) y x2 (t) alcanzan un m´aximo o un m´ınimo relativo en un mismo punto del intervalo J, entonces estas funciones no forman un conjunto fundamental de soluciones en J. 5. La ecuaci´on diferencial d2 x − dt2

µ

dx dt

¶2 =0

es no lineal. Halle todas sus soluciones y determine si el principio de superposici´on (teorema 5.2.2) es o no v´alido para esta ecuaci´on. Respuestas 1. a) x1 (t) = t−1 , x2 (t) = t1/2 . b) No existe soluci´on c) x(t) = 0, t ∈ (−∞, ∞); las condiciones del teorema no se satisfacen en un inter¡√ ¢ ning´ t − 1t , t ∈ (0, ∞); el valo que contenga al punto t0 = 0 d ) x(t) = 32 teorema es aplicable en J = (0, ∞). 2 /2

2. b) W = e−t

, c) x(t) = x2 (t)

100

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

3. W (x1 , x2 )(1) = 1 4. a) c1 = x0 , c2 = v0

5.2.2.

El m´ etodo de reducci´ on de orden

Hemos visto c´omo basta con conocer dos soluciones linealmente independientes de una ecuaci´on lineal homog´enea de segundo orden para generar todas las posibles soluciones de dicha ecuaci´on. Sucede que en ciertas oportunidades es f´acil, por alguna raz´on, determinar una soluci´on no trivial. El m´etodo que presentamos en esta secci´on muestra que en esos casos es siempre posible calcular expl´ıcitamente una segunda soluci´on, que junto con la primera forme un conjunto fundamental de soluciones. La idea es como sigue. Supongamos que se conoce una soluci´on x1 = x1 (t), no trivial, de la ecuaci´on lineal homog´enea x00 + a(t) x0 + b(t) x = 0.

(5.6)

El prop´osito es determinar otras soluciones x2 = x2 (t), escribi´endolas en la forma x2 (t) = x1 (t) u(t), (5.7) donde u(t) representa una funci´on dos veces diferenciable apropiada. Se trata de precisar ahora qu´e condiciones debe satisfacer la funci´on u(t), para que x2 sea en efecto una soluci´on de (5.6). Derivando (5.7) se obtiene sucesivamente x02 = x01 u + x1 u0 , y x002 = x001 u + 2x01 u0 + x1 u00 , de manera que al reemplazar en (5.6) se tiene x1 u 00 + (2x01 + a(t) x1 ) u0 + (x001 + a(t) x01 + b(t) x1 ) u = 0 En vista de que x1 es una soluci´on de (5.6), conclu´ımos que x2 satisface la ecuaci´on (5.6) si y s´olo si u es soluci´on de la ecuaci´on x1 u00 + (2x01 + a(t) x1 ) u0 = 0. En consecuencia y suponiendo x1 6= 0, conclu´ımos que la funci´on v = u0 debe satisfacer la ecuaci´on lineal de primer orden µ 0 ¶ 2x1 dv + + a(t) v = 0. dt x1

´ 5.2. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS.

101

Resolviendo la anterior ecuaci´on tenemos u0 (t) = v(t) = c1 e y finalmente,

−

R

Z u(t) = c1

„

2 x01 +a(t) x1

«

R

dt

c1 e− a(t)dt = , x1 (t)2

R

e− a(t) dt dt + c2 , x1 (t)2

donde c1 y c2 representan constantes arbitrarias. Ahora podemos asignarle valores particulares a las constantes c1 y c2 , con la u ´nica exigencia de que la soluci´on x2 asociada a esos valores no resulte ser un m´ ultiplo de x1 . Tomando por ejemplo c1 = 1 y c2 = 0, obtenemos Z − R a(t)dt e x2 (t) = x1 (t) dt, (5.8) x1 (t)2 donde las integrales indefinidas representan a una cualquiera de las antiderivadas de la funci´on que se est´a integrando. Teorema 5.2.6 (Reducci´on de orden). Sea x1 = x1 (t) una soluci´on de (5.6) en un intervalo J, tal que para todo t ∈ J, x1 (t) 6= 0, y sea x2 = x2 (t) la funci´on definida por (5.8). Entonces x1 y x2 constituyen un conjunto fundamental de soluciones de (5.6). Demostraci´ on. Calculando el determinante wronskiano de x1 y x2 se obtiene W (t) = W (x1 , x2 )(t) = u0 (t) x21 (t) = e−

R

a(t) dt

.

Como W (t) 6= 0 el resultado se sigue ahora del Teorema 5.2.3. −t 00 0 Ejemplo 5.2.3. La funci´on x1 (t) R = e satisface la ecuaci´on x +2x +x = 0. En este caso a(t) = 2 y u(t) = dt = t, por lo que el m´etodo de reducci´on de orden conduce a la soluci´on x2 (t) = t e−t . El conjunto formado por las las funciones x1 (t) = e−t y x2 (t) = t e−t es en consecuencia un conjunto fundamental de soluciones para la ecuaci´on considerada. La soluci´on general puede escribirse entonces como

xH (t) = c1 e−t + c2 t e−t donde c1 y c2 son constantes arbitrarias.

102

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

Ejercicios En cada uno de los siguientes casos compruebe que x1 = x1 (t) satisface la ecuaci´on dada y emplee el m´etodo de reducci´on de orden para obtener una segunda soluci´on x2 . Finalmente verifique que el conjunto {x1 , x2 } sea un conjunto fundamental de soluciones. 1. t2 x00 − 2 x = 0, x1 (t) = t2 2. t x00 − (1 + 2t) x0 + (1 + t) x = 0, x1 (t) = et 3. t x00 − 2 (t + 1) x0 + (t + 2) x = 0, x1 (t) = et 4. t2 x00 − t (t + 2) x0 + (2 + t) x = 0, x1 = t Respuestas 1. x2 (t) =

5.2.3.

1 t

2. x2 (t) = t2 et 3. x2 (t) = t3 et 4. x2 = t et .

Ecuaciones diferenciales con soluciones complejas

Por razones que se aclarar´an posteriormente es conveniente admitir como posibles soluciones de una ecuaci´on lineal a ciertas funciones que toman valores complejos. Una funci´on de variable real y valor complejo es una funci´on que transforma n´ umeros reales en n´ umeros complejos. En otras palabras, si z = z(t) es una de tales funciones, z(t) = u(t) + i v(t), donde i es la unidad imaginaria, t representa un n´ umero real, y u = u(t), v = v(t) son funciones reales, que respectivamente se denominan la parte real y la parte imaginaria de z(t). Un ejemplo particularmente interesante de funciones complejas es la llamada exponencial compleja. Si β es un n´ umero real se define el n´ umero ei β mediante la llamada f´ormula de Euler, ei β = cos β + i sen β. Si w = α + i β es un n´ umero complejo cualquiera, el exponencial de este n´ umero es el n´ umero complejo determinado por la f´ormula e(α+i β) = eα ei β = eα (cos β + i sen β) = eα cos β + i eα sen β.

´ 5.2. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS.

103

Dado entonces un n´ umero α + i β podemos definir ahora la funci´on exponencial compleja, z(t) = e(α+i β)t = eα t cos β t + i eα t sen β t. Las nociones b´asicas del c´alculo pueden extenderse f´acilmente al caso de funciones con valores complejos. Por ejemplo, si z(t) = u(t) + i v(t) y u = u(t), v = v(t) son funciones diferenciables, se define la derivada de z como la funci´on dz z 0 (t) = (t) = u0 (t) + i v 0 (t). dt An´alogamente, si u y v son funciones integrables se define Z b Z b Z b z(t) dt = u(t) dt + i v(t) dt. a

a

a

Es f´acil ahora ver que f´ormulas como d λt e = λ eλt , dt

d2 λt e = λ2 eλt , . . . dt2

siguen siendo v´alidas, independientemente de que λ represente un n´ umero real o uno complejo. Diremos que una funci´on compleja z(t) = u(t) + i v(t) es soluci´on de una ecuaci´on diferencial, si al reemplazar dicha funci´on y sus derivadas en la ecuaci´on, ´esta se satisface para todos los valores de t en el dominio de la funci´on z. No es dif´ıcil verificar por ejemplo que la funci´on z = ei t satisface la ecuaci´on x00 + x = 0. Otro concepto que nos conviene mencionar es el de funci´on conjugada. En efecto, si z(t) = u(t) + i v(t) es una funci´on dada, su conjugada es la funci´on z = z(t), definida mediante la f´ormula, z(t) = z(t) = u(t) + i v(t) = u(t) − i v(t). Es f´acil ver que en ese caso dz dz = dt dt

y

d2 z d2 z = . dt2 dt2

Por otro lado si z = z(t) y w = w(t) son funciones complejas se sigue que (z + w) (t) = z (t) + w (t) ,

y (z w) (t) = z (t) w (t) ,

104

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

en particular, si a es un n´ umero real (a z) (t) = a z (t) . Consideremos ahora una soluci´on compleja, z(t) = u(t) + i v(t), de una ecuaci´on homog´enea L [x] = x00 + a(t) x0 + b(t) x = 0, donde tanto a(t) como b(t) son funciones reales. Como L [z] = z 00 + a(t) z 0 + b(t) z = z 00 + a(t) z 0 + b(t) z = L [z] = 0, se observa que z tambi´en satisface la ecuaci´on homog´enea considerada. Por otro lado tanto la parte real u(t), como la parte imaginaria v(t), de una funci´on z(t) dada, pueden expresarse como combinaci´on lineal de z(t) y z(t) : z(t) + z(t) z(t) − z(t) u(t) = y v(t) = . 2 2i En ese caso, y teniendo en cuenta que las combinaciones lineales de soluciones de una ecuaci´on lineal homog´enea son tambi´en soluciones de dicha ecuaci´on, pude concluirse que si z satisface una tal ecuaci´on, tambi´en lo har´an sus partes real e imaginaria, a saber las funciones u y v.

5.2.4.

Ecuaciones lineales homog´ eneas con coeficientes constantes

En esta secci´on estudiaremos un sencillo m´etodo debido a L. Euler mediante el cual pueden obtenerse conjuntos fundamentales de soluciones para las ecuaciones lineales homog´eneas de segundo orden con coeficientes constantes, x00 + a x0 + b x = 0, (5.9) donde a y b son constantes reales. Observamos que toda soluci´on x = x(t) de (5.9) est´a definida en el intervalo (−∞, ∞), en vista de que los coeficientes a(t) = a y b(t) = b son funciones continuas. El m´etodo de Euler consiste en buscar soluciones exponenciales del tipo x(t) = eλ t ,

´ 5.2. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS.

105

donde λ es una constante, real o compleja, que debe determinarse. Como dk (eλ t ) = λk eλ t y eλ t 6= 0, se deduce que x = eλ t satisface (5.9) si y s´olo si dtk λ satisface la ecuaci´ on caracter´ıstica λ2 + aλ + b = 0. Habr´a que distinguir si la ecuaci´on caracter´ıstica tiene ra´ıces reales o complejas. Para ello consideraremos el discriminante de esa ecuaci´on, ∆ = a2 − 4b. Caso 1 (∆ > 0). Se tienen dos ra´ıces reales diferentes: √ 1 λ1 , λ2 = (−a ± a2 − 4b). 2 Entonces x1 (t) = eλ1 t y x2 (t) = eλ2 t son dos soluciones no nulas de (5.9) definidas en todo R. De acuerdo con el teorema 5.2.3 estas funciones forman un conjunto fundamental de soluciones en vista de que µ λ t ¶ e 1 eλ2 t W (x1 , x2 )(t) = det = (λ2 − λ1 ) e(λ1 +λ2 )t 6= 0. λ1 eλ1 t λ2 eλ2 t Ejemplo 5.2.4. La ecuaci´on x00 −3x0 +2x = 0 tiene la ecuaci´on caracter´ıstica λ2 − 3λ + 2 = 0, cuyas ra´ıces son λ1 = 1 y λ2 = 2. La soluci´on general puede en consecuencia escribirse en la forma x(t) = c1 et + c2 e2t , donde c1 y c2 representan constantes arbitrarias. Caso 2 (∆ = 0). La ecuaci´on caracter´ıstica tiene en este caso una u ´nica ra´ız a real repetida, λ1 = λ2 = − 2 . S´olo existe en consecuencia una soluci´on exponencial de la forma x1 (t) = eλ1 t . Empleando el m´etodo de reducci´on de orden encontramos una segunda soluci´on x2 (t) = t eλ1 t que junto con x1 (t) forma un conjunto fundamental de soluciones. La soluci´on general est´a entonces dada por x(t) = c1 eλ1 t + c2 t eλ1 t . Ejemplo 5.2.5. Buscamos la soluci´on general de la ecuaci´on x00 −2x0 +x = 0. La ecuaci´on caracter´ıstica es λ2 − 2λ + 1 = (λ − 1)2 = 0 que tiene una u ´nica ra´ız real repetida λ1 = λ2 = 1. En consecuencia s´olo existe una soluci´on exponencial x1 (t) = et . La funci´on x2 (t) = tet es una segunda soluci´on, linealmente independiente de la primera. La soluci´on general est´a dada entonces por la expresi´on x(t) = c1 et + c2 t et .

106

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

Caso 3 (∆ < 0). En este caso la ecuaci´on caracter´ıstica tiene dos ra´ıces complejas conjugadas λ1 = α + i β en donde

a α=− 2

y λ2 = α − i β, √

y

β=

4b − a2 6= 0. 2

La funci´on z = e(α+iβ)t = eαt cos βt + i eαt sen βt es por lo tanto una soluci´on compleja y se sigue que las funciones x1 (t) = eα t cos β t

y

x2 (t) = eα t sen β t

son soluciones de valor real. M´as a´ un, como W (x1 , x2 )(t) = β e2αt 6= 0 se tiene que forman un conjunto fundamental y por lo tanto la soluci´on general de la ecuaci´on puede escribirse como x(t) = c1 eα t cos β t + c2 eα t sen β t. Ejemplo 5.2.6. La ecuaci´on x00 + 2x0 + 5x = 0 tiene por ecuaci´on caracter´ıstica a la ecuaci´on λ2 + 2λ + 5 = 0. Las ra´ıces de esta ecuaci´on son los n´ umeros complejos λ1 = −1 + 2i y λ2 = −1 − 2i. En consecuencia las funciones x1 = e−t cos 2t y x2 = e−t sen 2t forman un conjunto fundamental de soluciones y la soluci´on general est´a dada por x(t) = c1 e−t cos 2t + c2 e−t sen 2t. Ejercicios 1. Halle la soluci´on general de la ecuaci´on dada en cada caso a) 2y 00 −5y 0 +2y = 0

b) y 00 − 2 y 0 + 5y = 0

c) 4 y 00 + 4 y 0 + y = 0

2. Para las ecuaciones que siguen, halle una expresi´on para la soluci´on general y resuelva el problema de valores iniciales indicado a) x00 − λ2 x = 0,

x(0) = a, x0 (0) = b (λ positiva, a, b arbitrarias).

b) x00 + 4x0 + 29x = 0,

x(0) = 5, x0 (0) = 5

c) x00 + 4x0 + 4x = 0,

x(0) = 1, x0 (0) = 1

d ) x00 + 6 x0 + 8x = 0,

x(0) = 1, x0 (0) = 2

´ 5.3. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS

107

Respuestas t

1. a) y(t) = c1 e2t + c2 e 2 b) y(t) = et (c1 cos 2t + c2 sen 2t) c) y(t) = t t c1 e− 2 + c2 t e− 2 . 2. a) x(t) = aλ+b eλ t + a λ−b e−λ t b) x(t) = e−2t (5 cos 5t + 3 sen 5t) c) x(t) = 2λ 2λ −2t e (1 + 3t) d ) x(t) = 3e−2t − 2e−4t

5.3.

Ecuaciones lineales no homog´ eneas

En esta secci´on consideramos la ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea L [x] = x00 + a(t) x0 + b(t) x = f (t).

(5.10)

Trataremos primero algunas propiedades generales y depu´es estudiaremos dos t´ecnicas que nos permitir´an resolver ecuaciones no homog´eneas en ciertos casos.

5.3.1.

Principios de superposici´ on

Dos propiedades fundamentales de la ecuaci´on no homog´enea (5.10) son los principios de superposici´on siguientes. Estos resultados son consecuencia inmediata de la linealidad de L. Teorema 5.3.1 (Primer principio de superposici´on para ecuaciones no homog´eneas). Sup´ongase que xp (t) es una soluci´on conocida de (5.10). Entonces cada soluci´on de (5.10) es de la forma x(t) = xH (t) + xp (t),

(5.11)

donde xH (t) es alguna soluci´on de la ecuaci´ on homog´enea asociada L [x] = 0. Definici´ on 5.3.1. La soluci´on general de (5.10) es el conjunto de todas sus soluciones, como las expresadas en (5.11) Teorema 5.3.2 (Segundo principio de superposici´on para ecuaciones no homog´eneas). Sup´ ongase que f (t) = c1 f1 (t) + · · · + cr fr (t). Si xk = xk (t) es una soluci´on de la ecuaci´ on L [x] (t) = fk (t)

k = 1, ..., r.

entonces x = c1 x1 (t) + · · · + cr xr (t) es una soluci´on de L [x] (t) = c1 f1 (t) + · · · + cr fr (t).

108

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

Ejemplo 5.3.1. Consideremos la ecuaci´on de un oscilador forzado x00 + ω 2 x = t. En el ejemplo 5.2.2 se consider´o la ecuaci´on homog´enea asociada, cuya soluci´on general puede expresarse en la forma xH (t) = c1 cos ω t + c2 sen ω t,

−∞ < t < ∞.

Por otro lado puede comprobarse por c´alculo directo que la funci´on xp (t) = t satisface la ecuaci´on no homog´enea. Entonces la soluci´on general de la ω2 ecuaci´on no homog´enea puede escribirse en la forma x(t) = c1 cos ω t + c2 sen ω t +

t , ω2

−∞ < t < ∞,

donde c1 y c2 son constantes arbitrarias. En general estas constantes dependen de las condiciones iniciales. Por ejemplo, si buscamos una soluci´on que satisfaga las condiciones iniciales x(0) = 0 y x 0 (0) = 0, debemos hallar constantes c1 y c2 apropiadas. Evaluando en t = 0 tenemos x(0) = c1 = 0,

x0 (0) = c2 ω +

1 = 0. ω2

La soluci´on pedida es x(t) = −

5.3.2.

1 1 sen ωt + 2 t 3 ω ω

El m´ etodo de la variaci´ on de par´ ametros

El m´etodo de variaci´on de par´ametros proporciona una f´ormula que incluye a todas las soluciones particulares xp (t) de una ecuaci´on lineal no homog´enea, siempre que se conozca un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea. La idea, que se debe a Lagrange, es la siguiente. Si las funciones x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada a una cierta ecuaci´on no homog´enea x00 + a(t) x0 + b(t) x = f (t), (5.12) buscamos una soluci´on de esta ecuaci´on, escribi´endola en la forma xp (t) = x1 (t) P (t) + x2 (t) Q(t),

(5.13)

´ 5.3. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS

109

donde P (t) y Q(t) son funciones dos veces diferenciables por determinar. Debe notarse que si P (t) y Q(t) son constantes entonces la funci´on representada por la anterior expresi´on ser´ıa simplemente una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea asociada a (5.12). Si, en forma un tanto arbitraria, imponemos la condici´on extra x1 P 0 + x2 Q0 = 0,

(5.14)

se obtienen las siguientes expresiones para x0p y para x00p respectivamente, x0p = x01 P + x02 Q,

x00p = x001 P + x002 Q + x01 P 0 + x02 Q0 .

Substituyendo en (5.12), vemos que una funci´on xp (t), escrita en la forma (5.13) y que satisfaga la condici´on extra (5.14), es una soluci´on de la ecuaci´on no homog´enea considerada si y s´olo si P y Q satisfacen la condici´on x01 P 0 + x02 Q0 = f.

(5.15)

En definitiva debemos hallar funciones P (t) y Q(t) que satisfagan las ecuaciones (5.14) y (5.15). En vista de que x1 y x2 forman un conjunto fundamental de soluciones, el determinante wronskiano de estas funciones, ¶ µ x1 (t) x2 (t) , W (t) = W (x1 , x2 )(t) = det x1 0 (t) x2 0 (t) es diferente de 0 para todo t en J. Se infiere entonces que el sistema lineal en las variables P 0 y Q0 , integrado por la ecuaciones (5.14) y (5.15), tiene una u ´nica soluci´on. Resolviendo este sistema encontramos las f´ormulas P 0 (t) =

−x2 (t) f (t) W (t)

y Q0 (t) =

x1 (t) f (t) . W (t)

Una vez integremos obtenemos funciones P y Q tales que xp = x1 P +x2 Q es una soluci´on de la ecuaci´on no homog´enea (5.12). Si se quiere ser m´as espec´ıfico pueden imponerse ciertas condiciones iniciales. Podemos por ejemplo buscar la soluci´on particular xp (t) que satisfaga las condiciones iniciales nulas en un alg´ un punto t0 : xp (t0 ) = 0,

x0p (t0 ) = 0.

110

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

En ese caso puede verse que las funciones P y Q tienen que satisfacer la condici´on P (t0 ) = Q(t0 ) = 0, de manera que P (t) y Q(t) estar´ıan dadas por las f´ormulas Z t Z t f (s) x2 (s) f (s) x1 (s) ds, Q(t) = ds (5.16) P (t) = − W (s) W (s) t0 t0 y la soluci´on particular xp = x1 P + x2 Q puede finalmente escribirse en la forma Z t x1 (s) x2 (t) − x1 (t) x2 (s) xp (t) = f (s) ds. W (s) t0 | {z } F´ ormula de variaci´ on de par´ ametros

Ejemplo 5.3.2. Hallar una soluci´on particular de la ecuaci´on t2 x00 + t x0 − x = t2 et , teniendo en cuenta que las funciones x1 = t y x2 = 1t forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada. Se observa que en este caso f (t) = et , as´ı que las funciones P (t) y Q(t) de la f´ormula de variaci´on de par´ametros deben satisfacer el sistema de ecuaciones 1 0 Q = 0 t 1 P 0 − 2 Q0 = et . t

tP0 +

2

Resolviendo este sistema se obtienen P 0 (t) = 21 et y Q0 (t) = − t2 et , de manera que despu´es de integrar llegamos a las f´ormulas P (t) = 21 et y Q(t) = − 12 t2 et + t et − et . Reemplazando finalmente en (5.13) obtendr´ıamos la soluci´on particular µ ¶ 1 t xp (t) = 1 − e. t Las funciones P (t) y Q(t) tambi´en pueden por supuesto hallarse directamente empleando las f´ormulas dadas en (5.16). Ejemplo 5.3.3. Queremos en este caso hallar la soluci´on general de la ecuaci´on x00 + x = cos t.

´ 5.3. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS

111

Como la ecuaci´on homog´enea asociada es de coeficientes constantes, es f´acil hallar un conjunto fundamental de soluciones, por ejemplo el formado por las funciones x1 (t) = cos t y x2 (t) = sen t. En este caso W (x1 , x2 )(s) = 1 y podemos ahora emplear (5.16) para obtener P (t) y Q(t) : Z t 1 P (t) = − sen s cos s ds = − sen2 t, 2 Z t0 Z t Z t 1 + cos 2s t sen 2t 2 Q(t) = cos s cos s ds = cos s ds = ds = + 2 2 4 0 0 0 Finalmente obtenemos una soluci´on particular xp (t) = x1 (t) P (t)+x2 (t) Q(t) : µ ¶ 1 t sen 2 t t 2 xp (t) = − sen t cos t + + sen t = sen t, 2 2 4 2 de manera que la soluci´on general puede escribirse en la forma x(t) = c1 cos t + c2 sen t +

t sen t, 2

donde c1 y c2 son constantes arbitrarias. Ejercicios 1. Halle la soluci´on general de la ecuaci´on x00 + x = tan t. 2. Halle la soluci´on general de la ecuaci´on t2 x00 − 2x = 3 t2 teniendo en cuenta que las funciones x1 = t2 y x2 = 1t forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada. Respuestas 1. x(t) = c1 cos t + c2 sen t − cos t ln | sec t + tan t| 2. x(t) = c1 t2 +

5.3.3.

c2 t

+ t2 ln t

El m´ etodo de los coeficientes indeterminados

En el caso de una ecuaci´on lineal no homog´enea asociada a una ecuaci´on homog´enea de coeficientes constantes, como la que tratamos en el ejemplo 5.3.3, es siempre posible aplicar el m´etodo de variaci´on de par´ametros, en

112

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

vista de que se puede determinar en forma expl´ıcita un conjunto fundamental de soluciones para la ecuaci´on homog´enea. Los c´alculos involucrados pueden sin embargo resultar bastante dispendiosos. En esta secci´on explicamos una manera alternativa de obtener soluciones particulares para ciertos tipos de ecuaciones con coeficientes constantes. Este m´etodo, debido a Euler y conocido como el m´etodo de los coeficientes indeterminados, permite encontrar soluciones particualres, pero u ´nicamente cuando la ecuaci´on homog´enea es de coeficientes constantes y el t´ermino no homog´eneo f (t) es de uno de los siguientes tipos: Pn (t)

(un polinomio de grado n)

Pn (t) eα t , eα t (Pn (t) cos β t + Qn (t) sen βt) , do n.

Pn (t), Qn (t) polinomios de gra-

La idea es simplemente buscar una soluci´on particular de la misma forma que f (t). Lo que queremos decir con “la misma forma” se ilustra mejor con algunos ejemplos. Ejemplo 5.3.4. Hallaremos la soluci´on general de x00 −2x0 +x = 2 t2 . Hallando las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica se encuentra f´acilmente la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada: xH (t) = c1 et + c2 t et . Ahora bien, como el t´ermino no homog´eneo f (t) = t2 es un polinomio de segundo grado buscaremos una soluci´on particular xp (t) de la misma forma, es decir, xp (t) = b0 + b1 t + b2 t2 , donde los coeficientes b0 , b1 , b2 est´an por determinar. Reemplazando xp (t) en la ecuaci´on diferencial no homog´enea y agrupando t´erminos se tiene (2b2 − 2b1 + b0 ) + (b1 − 4b2 ) t + b2 t2 = 2t2 . Entonces, 2b2 − 2b1 + b0 = 0,

b1 − 4b2 = 0,

b2 = 2,

por lo que b2 = 2, b1 = 8, b0 = 12. La soluci´on general est´a dada por x(t) = c1 et + c2 t et + 2t2 + 8t + 12.

´ 5.3. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS

113

Ejemplo 5.3.5. Consideremos la ecuaci´on x00 + x0 − 2x = et sen t. Primero que todo hallamos la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada, encontrando las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica. Tenemos xH (t) = c1 et + c2 e−2t . Buscamos ahora una soluci´on particular xp (t) de la forma xp (t) = aet cos t + bet sen t. En seguida debemos determinar para qu´e valores de a y b, xp resulta ser soluci´on de la ecuaci´on no homog´enea. Derivando xp = xp (t) y reemplazando en la ecuaci´on se tiene et ((3b − a) cos t − (3a + b) sen t) = et sen t. 3 1 Se concluye entonces que a = − 10 y b = − 10 , de forma que la soluci´on general puede escribirse en la forma

x(t) = c1 et + c2 e−2t −

et (sen t + 3 cos t) . 10

Ejemplo 5.3.6. Pueden surgir dificultades en la aplicaci´on del m´etodo de los coeficientes indeterminados cuando algunos de los t´erminos de la soluci´on particular propuesta coinciden con soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada a la ecuaci´on dada. Es f´acil verificar por ejemplo que no existe ning´ un t valor de la constante a para el cual la funci´on xp (t) = a e sea soluci´on de la ecuaci´on x00 − 2x0 + x = et . Esto se debe al hecho de que x(t) = et es una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea x00 − 2x0 + x = 0. La dificultad se resuelve buscando soluciones particulares xp (t) de la forma xp (t) = a tk et , donde k ≥ 1 es el menor entero tal que tk et no es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea. En este caso particular se tiene k = 2 y reemplazando xp (t) = a t2 et en la ecuaci´on diferencial arribamos a la soluci´on particular xp (t) = 1 2 t t e . La soluci´on general en este caso es 2 1 x(t) = c1 et + c2 tet + t2 et . 2

114

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

Ejercicios 1. Resuelva la ecuaci´on x00 + x = cos t, sujeta a las condiciones x(0) = 1, x0 (0) = 1. 2. Determine la soluci´on general de la ecuaci´on x00 − 2 x0 + x = 2000 t2 − 150 et . 3. Determine la soluci´on de cada uno de los siguientes problemas de valores iniciales a) y 00 − y 0 − 12y = e4t ,

y(0) = 1, y 0 (0) = 0

b) x00 + 2x0 + x = e−t ,

x(0) = 1, x0 (0) = 1

Respuestas 1. x(t) = cos t + sen t + 12 t sen t 2. x(t) = 2000 t2 + 8000 t + 12000 − 75 t2 et + c1 et + c2 tet .

5.4.

Ejercicios adicionales

1. Considere la ecuaci´ on de Cauchy-Euler t2 x00 + a t x0 + b x = 0, donde a y b son constantes reales. a) Demuestre que x(t) = tr (r constante real) es una soluci´on en el intervalo 0 < t < ∞ si y s´olo si r2 + (a − 1) r + b = 0. b) Si (a − 1)2 − 4b = 0, emplee el m´etodo de reducci´on de orden para obtener un conjunto fundamental de soluciones. c) Si r = α + iβ es una ra´ız compleja (no real) de r2 + (a − 1) r + b = 0, demuestre que tr = tα tiβ = tα (cos(β ln t) + i sen (β ln t)) es soluci´on de la ecuaci´on de Cauchy-Euler. Muestre adem´as que tα cos(β ln t), tα sen (β ln t) es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo (0, ∞).

5.4. EJERCICIOS ADICIONALES

115

2. Sean a y b constantes tales que a2 −4b < 0. Demuestre que toda soluci´on αt de la ecuaci´on x00 +a x0 +b √ x = 0 es de la forma x(t) = A e cos (βt − φ) donde 2α = −a, 2 β = 4 b − a2 , y A y φ son constantes que dependen de las condiciones iniciales. 3. Sean a0 , a1 , a2 n´ umeros reales positivos. Es claro que la funci´on xn (t) ≡ 0 es una soluci´ on de equilibrio de la ecuaci´on a2 x00 +a1 x0 +a0 x = 0. Demuestre que todas las soluciones de esta ecuaci´on tienden al equilibrio; es decir, si x(t) es una soluci´on, entonces x(t) → 0 cuando t → ∞. 4. Dadas las constantes reales positivas, λ, λe , ω, ωe , ϕ y F0 , determine la soluci´on general de la ecuaci´on que se da en cada uno de los siguientes casos a) x00 + ω 2 x = F0 cos (ωe t + ϕ) b) x00 − λ2 x = F0 cosh (λe t + ϕ) d ) x00 − 4 x0 + 5 x = 64 t et 5. Dada la ecuaci´on

c) x00 − 2 x0 + x = 2 t e) x00 + x = ln t 0 < t < ∞

µ ¶ 3 1 2 t x + tx + t − x = t2 4 2 00

0

determine para qu´e valores de k ∈ R las funciones x = tk cos t y x = tk sen t satisfacen la ecuaci´on homog´enea asociada a dicha ecuaci´on y despu´es obtenga la soluci´on general. 6. Teniendo en consideraci´on la ecuaci´on t x00 − (t + 1) x0 + x = t2 et a) verifique que x = et es una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea asociada y muestre que la sustituci´on x = et u reduce la ecuaci´on dada a la ecuaci´on t u00 + (t − 1) u0 = t2 , b) resuelva la ecuaci´on obtenida en las variables u y t y halle entonces la soluci´on de la ecuaci´on original. 7. Halle la soluci´on del problema de valor inicial µ 2 ¶ 4π − 1 d2 x − x = cos t, x(1) = 0, x0 (1) = 0. dt2 4t2 Sugerencia: La ecuaci´on es del tipo Cauchy-Euler.

116

5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

8. Sea X el espacio vectorial formado por las funciones u : R → R con derivadas de todo orden y sea X0 el subespacio vectorial de X formado por las funciones u de X tales que u(0) = 0 y u0 (0) = 0. Si definimos la transformaci´on lineal L, L : X → X,

L[u] = u00 − 2 u0 + u (a, b constantes reales).

a) ¿qui´enes son los valores propios de L? esto es, para qu´e valores de µ existe u ∈ X, u 6= 0 tal que L[u] = µ u? y dado un valor propio µ de u, cu´al es la dimensi´on del espacio propio asociado a µ? esto es cu´al es la dimensi´on del espacio Eµ = {u : L[u] = µ u}? e de L a X0 , L e : X0 → X, es inverb) Demuestre que la restricci´ on L tible y determine su inversa. Respuestas 4.

0 a) x(t) = c1 cos ωt + c2 sen ωt + xp (t), xp (t) = ω2F−ω 2 cos (ωe t + ϕ) , si e F0 ω 6= ωe y xp (t) = 2 ω t sen (ω t + ϕ), si ω = ωe 0 b) x(t) = c1 eλt + c2 e−λt + xp (t) , xp (t) = λ2F−λ 2 cosh (λe t + ϕ), si e λ 6= λe , y xp (t) = F2λ0 t senh(λ t + ϕ), si λ = λe

c) x(t) = c1 et + c2 t et + xp (t) , xp (t) = 4 + 2t d ) x (t) = c1 e2t cos t + c2 e2t sen t + xp (t), xp (t) = 32 et + 32 tet R e) x(t) = c1 cos t + c2 sen t + xp (t), xp (t) = sen (t − s) ln s ds Z t 1 c1 cos t c2 sen t sen (t − s) ds + √ +√ 5. x(t) = √ t t t t0 6. x (t) = 12 t2 et + c1 et + c2 (t + 1)

Cap´ıtulo 6 Osciladores lineales E

l prop´osito de este cap´ıtulo es estudiar las propiedades de las soluciones de la ecuaci´on diferencial lineal dx d2 x + 2α + ω 2 x = f (t), 2 dt dt

en el caso en el que α y ω son constantes positivas y f (t) es una funci´on dependiente de la variable independiente t. Esta ecuaci´on sirve como modelo matem´atico de un oscilador lineal en una dimensi´on. Se dice que un sistema exhibe comportamiento oscilante o vibratorio cuando El estado del sistema var´ıa alrededor de un estado medio, llamado posici´ on de equilibrio. El sistema posee una masa, o una propiedad an´aloga a la de la inercia, que hace que el sistema tienda o bien a permanecer en reposo, o a moverse a velocidad constante. Existe un mecanismo el´astico que ejerce una fuerza restauradora sobre el sistema. Las fuerzas restauradoras tienden a devolver al sistema a su posici´on de equilibrio. Las presencia de fuerzas restauradoras hace que el sistema tienda hacia su estado de equilibrio, siempre que se haya alejado de ´este. Sin embargo una vez el sistema alcanza la posici´on de equilibrio la inercia obliga al sistema a pasar m´as all´a de esta posici´on, de manera que nuevamente las fuerzas restauradoras act´ uan tratando de obligar al sistema a volver hacia el equilibrio y 117

118

6. OSCILADORES LINEALES

as´ı sucesivamente. Esta interacci´on constante inercia–fuerzas restauradoras, hace que el sistema oscile. Posiblemente los ejemplos m´as representativos y sencillos de sistemas que presentan comportamiento oscilatorio correspondan a osciladores de tipo mec´anico, como pueden ser un p´endulo, una masa que cuelga sujeta a un resorte, o una cuerda de guitarra que se hace vibrar. Los fen´omenos de tipo oscilatorio est´an sin embargo presentes en una gama muy amplia de situaciones de muy diversa naturaleza, como puede ser el caso de la intensidad de corriente en un circuito el´ectrico RLC, las fluctuaciones en el tama˜ no de una especie animal que sirve de presa a una especie predadora, o las oscilaciones en la actividad el´ectrica cerebral detectadas a trav´es de un encefalograma.

6.1.

Osciladores mec´ anicos

Si x es la variable que mide el desplazamiento de un sistema respecto del equilibrio, entonces la fuerza restauradora fr = fr (x) depende de x de manera que a mayor desplazamiento mayor magnitud de la fuerza y adem´as   < 0, si x > 0, fr (x) es = 0, si x = 0,   > 0, si x < 0, de manera que fr siempre apunta en direcci´on contraria a la del desplazamiento. Adem´as de las fuerzas restauradoras es posible que sobre el sistema act´ uen fuerzas de fricci´ on o amortiguamiento que disipan energ´ıa y llevan el sistema hacia el reposo. En el caso de osciladores mec´anicos estas fuerzas normalmente son producidas por la interacci´on del sistema con el medio en el que oscila (agua o aire por ejemplo), o mediante un mecanismo amortiguador dispuesto espec´ıficamente con este fin (como pueden ser los amortiguadores de un carro). Generalmente puede suponerse que la fuerza de amortiguaci´on fa depende de la velocidad v = dx y que a mayor rapidez mayor amortiguaci´on. dt Adem´as fa act´ ua en direcci´on opuesta a la del movimiento, esto significa, en el caso en el que el movimiento se d´e en una s´ola dimensi´on, que   < 0, si v > 0, fa (v) es = 0, si v = 0,   > 0, si v < 0.

´ 6.1. OSCILADORES MECANICOS

119

Tambi´en pueden estar presentes fuerzas externas de excitaci´on fex (t), ocasionadas por mecanismos externos (por ejemplo el viento que golpea una estructura, o la fuerza electromotriz producida por un generador al que se encuentre conectado un circuito el´ectrico). Estas fuerzas corresponden a influencias independientes de los mecanismos internos del sistema y pueden resultar u ´tiles como fuentes de energ´ıa para sostener oscilaciones, o indeseables como causa de resonancia. La segunda ley de Newton aplicada al movimiento de un cuerpo de masa m que se encuentra sujeto a la influencia de las fuerzas fr , fa y fex conduce a la ecuaci´on d2 x m 2 = fr (x) + fa (v) + fex (t). (6.1) dt La ecuaci´on (6.1) puede significar dificultades considerables, si la naturaleza de la dependencia de la fuerza restauradora respecto del desplazamiento y la de de la fricci´on respecto de la velocidad son complicadas. Sin embargo estas fuerzas pueden, al menos en una primera aproximaci´on, substituirse por sus respectivas linealizaciones. En efecto, si g es una funci´on diferenciable tenemos g(s) ' g(0) + s · g 0 (0), para s cerca de 0. En otras palabras, cerca de 0 la funci´on g puede aproximarse por su recta tangente en (0, g(0)). Como fr (0) = 0 y fa (0) = 0 se sigue que fr (x) ≈ x fr0 (0) y fa (v) ≈ v fa0 (0). Si escribimos k = −fr0 (0) y γ = −fa0 (0) obtenemos respectivamente la ley de Hooke fr (x) = −k x y la ley de amortiguaci´on viscosa fa (v) = −γ v. La aproximaci´on lineal del modelo (6.1) puede en consecuencia escribirse en la forma dx d2 x + k x = fex (t). m 2 +γ dt dt La anterior ecuaci´on puede tambi´en reescribirse en la forma dx d2 x + 2α + ω 2 x = f (t), 2 dt dt

(6.2)

120

6. OSCILADORES LINEALES

p donde 2α = γ/m, ω = k/m y f (t) = m1 fex (t). Un sistema que obedezca una ecuaci´on de la forma (6.2) es un oscilador lineal amortiguado forzado. Si α = 0 y fex = 0 se habla de un oscilador arm´onico simple, mientras que en ausencia de fuerzas externas, se habla de osciladores libres. Ejemplo 6.1.1. Un sistema masa–resorte–amortiguador–fuerza externa consiste en un resorte de masa despreciable que cuelga suspendido de un soporte r´ıgido, una masa puntual m que se encuentra sujeta al extremo libre del resorte y un mecanismo amortiguador (ver Figura 6.1). La masa se mueve a lo largo de un eje coordenado vertical cuya direcci´on positiva es la que apunta hacia abajo y cuyo origen coincide con la posici´on de equilibrio de la masa. La funci´on x = x(t) que describe la posici´on de la masa en el tiempo t coincide entonces con su desplazamiento respecto a la posici´on de equilibrio. Supondremos que la fuerza el´astica, ejercida por el resorte, y la fuerza de amortiguaci´on, ejercida por el medio, est´an dadas por sus respectivas aproximaciones lineales. En ese caso cuando la masa se encuentre en la coordenada x la suma de su peso m´as la fuerza el´astica ser´a igual a −k x, donde k es la constante el´astica del resorte. La fuerza de amortiguaci´on por su parte es igual a fa (v) = −γ v, donde v = dx y γ es la constante de fricci´on. La dt segunda ley de Newton proporciona la ecuaci´on de movimiento del cuerpo m

d2 x dx + γ + k x = fex (t). dt2 dt

Ejemplo 6.1.2. Un p´endulo consiste en una masa puntual m suspendida de una cuerda o de una varilla de masa despreciable y longitud l, que pivota en un plano vertical alrededor de uno de sus extremos. Si la masa es desviada de su posici´on de equilibrio, tender´a a moverse bajo la acci´on de la gravedad de un lado hacia otro, sobre una circunferencia de radio l (ver figura 6.2). Si se deprecian fuerzas distintas a la de la gravedad (como fricci´on y fuerzas impulsoras externas), la fuerza neta resultante sobre el p´endulo corresponde a la componente tangencial de la gravedad ftan = −m g sen θ, que act´ ua en direcci´on opuesta a la de la desviaci´on angular respecto de la vertical, θ = θ(t). Si v = v(t) denota la velocidad de la masa en el tiempo t, entonces, de acuerdo con la segunda ley de Newton, se tiene que v satisface la ecuaci´on m

dv = −m g sen θ. dt

´ 6.1. OSCILADORES MECANICOS

0

121

m x (t)

x

Figura 6.1: Sistema masa-resorte-amortiguador.

Teniendo en cuenta que v = l θ0 , donde θ0 = llega a la ecuaci´on del p´endulo simple

dθ dt

es la velocidad angular, se

d2 θ g + sen θ = 0, dt2 l conocida tambi´en como ecuaci´on de Mathiew. Si adem´as de la gravedad se consideran fuerzas de amortiguaci´on dependientes de la velocidad, fa = fa (v) y adicionalmente existen fuerzas externas fex = fex (t) actuando sobre el p´endulo, la ecuaci´on del movimiento toma la forma ml

d2 θ = −m g sen θ + fa (v) + fex (t). dt2

El p´endulo es un oscilador no lineal pues la fuerza restauradora fr = −m g sen θ, no depende linealmente de la desviaci´on angular respecto del equilibrio θ. Sin embargo si las oscilaciones son peque˜ nas de modo que θ(t) y θ0 (t) permanecen

122

6. OSCILADORES LINEALES

θ l

fv

θ mg

Figura 6.2: Fuerzas que act´ uan sobre un p´endulo.

cerca de 0, es razonable usar la aproximaci´on lineal sen θ ≈ θ y suponer adem´as que la amortiguaci´on es proporcional a la velocidad angular θ0 , fa ≈ −γ θ0 , γ una constante positiva. Se llega entonces a un modelo lineal para el p´endulo d2 θ γ dθ g 1 + + θ = fex (t), dt2 ml dt l ml que es depnuevo la ecuaci´on del oscilador lineal amortiguado forzado (6.2) con ω = gl , 2α = mγ l y f (t) = m1 l fex (t).

6.2.

Oscilaciones libres

Cuando f (t) = 0 en la ecuaci´on (6.2), se dice que las oscilaciones son libres. En ese caso la ecuaci´on de movimiento es una ecuaci´on homog´enea de segundo orden, dx d2 x + 2α + ω 2 x = 0, (6.3) 2 dt dt cuyas soluciones se pueden obtener f´acilmente, determinando primero las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica. Estudiaremos inicialmente el caso en el que no hay amortiguaci´on.

6.2. OSCILACIONES LIBRES

123

φ ω

Figura 6.3: Oscilador arm´onico simple, x(t) = A cos (ω t − φ)

Oscilaciones libres no amortiguadas En ausencia de amortiguaci´on, ´esto es cuando α = 0, la ecuaci´on (6.3) se reduce a la ecuaci´on del oscilador arm´onico simple d2 x + ω 2 x = 0. 2 dt Como las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica en este caso son los n´ umeros λ = ±ω i, la soluci´on general de la ecuaci´on puede escribirse en la forma x(t) = c1 cos ω t + c2 sen ω t, donde c1 y c2 son constantes. No es dif´ıcil ver que estas soluciones pueden tambi´en escribirse en la forma x(t) = A cos(ω t − φ), donde las constantes A y φ est´an determinadas por las condiciones q c1 c2 cos φ = , sen φ = y A = c21 + c22 . A A

(6.4)

(6.5)

Las funciones de la forma (6.4) son peri´odicas, con per´ıodo T = 2π , as´ı que ω el periodo de las oscilaciones es independiente de las condiciones iniciales del movimiento. Por el contrario A y φ si dependen de las condiciones iniciales. Adem´as

124

6. OSCILADORES LINEALES

La constante A es la amplitud del movimiento y corresponde al desplazamiento m´aximo del sistema respecto del equilibrio. Si x(t) est´a dada por (6.4) entonces −A ≤ x(t) ≤ A. φ es conocido como el ´angulo de fase y ω es la frecuencia angular del movimiento. , es el tiempo necesario para comEl per´ıodo de las soluciones, T = 2π ω pletar una oscilaci´on, o sea el tiempo que se necesita para que el sistema pase consecutivamente por el equilibrio en la misma direcci´on. ω La frecuencia natural de la oscilaci´on es el n´ umero f = T1 = 2π , y corresponde al n´ umero de oscilaciones que efect´ ua el oscilador por unidad de tiempo.

De acuerdo con el modelo matem´atico las oscilaciones correspondientes al movimiento no amortiguado persisten en el tiempo con amplitud constante. En la realidad toda oscilaci´on no forzada se ve atenuada al transcurrir el tiempo. Una explicaci´on obvia de esta inconsistencia es que el modelo del oscilador arm´onico es una idealizaci´on simplificada del oscilador real, que no toma en cuenta factores que en la pr´actica est´an siempre presentes, tales como la fricci´on. Ejemplo 6.2.1. Se requiere una fuerza de 400 newtons para estirar un resorte 1 metro a partir de su longitud natural. Una masa de 25 kg se sujeta de este resorte y el sistema se lleva 0,5 metros por encima del equilibrio y se deja partir con una velocidad de 2 m/s en direcci´on hacia abajo. Determine a) la posici´on de la masa como funci´on del tiempo, b) el periodo de las oscilaciones, c) en qu´e instante pasa por primera vez la masa por el equilibrio en direcci´on hacia arriba. Como para un resorte que siga la ley de Hooke F = k x, entonces la constante k del resorte considerado es k = 400 = 400 N/m. La ecuaci´on 1 diferencial del sistema masa–resorte es entonces 25

d2 x = −400 x, dt2

o equivalentemente d2 x + 16 x = 0. dt2

6.2. OSCILACIONES LIBRES

125

Las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica asociada son los n´ umeros λ = ±4 i, as´ı que la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial puede escribirse en la forma x(t) = c1 cos 4 t + c2 sen 4 t. De la anterior expresi´on se sigue que x(0) = c1 y dx (0) = 4 c2 , y (tomando dt como positiva la direcci´on que apunta hacia abajo), las condiciones iniciales nos dicen por otro lado que x(0) = −0,5 y dx (0) = 2. Obtenemos entonces dt 1 los valores de c1 y c2 , a saber, c1 = − 2 y c2 = 12 . En consecuencia los desplazamientos del cuerpo respecto del equilibrio est´an dados por la funci´on 1 1 cos 4 t + sen 4 t. 2 2 Esta funci´on puede reescribirse en la forma (6.4), tomando A y φ que satisfagan las condiciones x(t) = −

A cos φ = −

1 2

1 y A sen φ = , 2 √

lo que nos conduce a los valores A = √12 = 22 y φ = 34π (n´otese que φ es un ´angulo del segundo cuadrante). Llegamos pues a que los desplazamientos de la masa pueden expresarse en la forma √ µ ¶ 2 3π x(t) = cos 4 t − . 2 4 Vemos enseguida que el movimiento es peri´odico con periodo T = 24π = π2 segundos. Adem´as la frecuencia angular del sistema es ω = 4 y el ´angulo de fase es φ = 34¡π . Finalmente el cuerpo pasar´a por la posici´on de equilibrio ¢ 3π siempre que cos 4 t − 4 = 0, ´esto es, en los instantes t=

π 5 π 9 π 13 π , , , .... 16 16 16 16

La primera vez que lo hace en direcci´on hacia arriba es al cabo de t = segundos. La gr´afica de la funci´on x = x(t) se ilustra en la figura 6.4.

5π 16

Oscilaciones libres amortiguadas En presencia de fuerzas de amortiguaci´on, α 6= 0 en (6.3), y la ecuaci´on caracter´ıstica asociada a dicha ecuaci´on diferencial est´a dada por λ2 + 2 α λ + ω 2 = 0.

126

6. OSCILADORES LINEALES

π 2

√

2 2

3π 16

Figura 6.4: x(t) =

√

2 2

cos (4 t −

3π ) 4

Las umeros λ = −α ± √ ra´ıces de la anterior ecuaci´on cuadr´atica son los n´ 2 2 α − ω , de manera que el comportamiento de las soluciones de la ecuaci´on diferencial var´ıa significativamente de acuerdo con el signo del factor 4 = α2 − ω 2 . Caso 1 (Oscilaciones subamortiguadas, α2 − ω 2 < 0). En ese caso la ecua¯ donde ci´on caracter´ıstica tiene dos ra´ıces complejas conjugadas λ y λ, √ λ = −α + i ωa , y ωa = ω 2 − α2 . La soluci´on general de la ecuaci´on del oscilador est´a dada por x(t) = e−α t (c1 cos ωa t + c2 sen ωa t) = A e−α t cos (ωa t − φ), donde A y φ est´an relacionadas con c1 y c2 por las ecuaciones (6.5). La constante α se conoce como constante de amortiguaci´on y el factor e−α t es llamado factor de amortiguaci´on. En analog´ıa con el movimiento arm´onico simple se tienen los siguientes par´ametros asociados a las soluciones √ Frecuencia angular amortiguada: ωa = ω 2 − α2 . Per´ıodo amortiguado: Ta =

2π . ωa

Frecuencia de oscilaci´on amortiguada: fa =

1 . Ta

6.2. OSCILACIONES LIBRES

127

Ta Figura 6.5:

Figura 6.6:

Oscilador subamortiguado

Oscilador sobreamortiguado

Aunque las soluciones no son peri´odicas si se presentan oscilaciones cuya amplitud disminuye progresivamente. El periodo amortiguado es el tiempo que tarda el oscilador en pasar dos veces por el equilibrio en la misma direcci´on. Caso 2 (Oscilaciones cr´ıticamente amortiguadas, α2 − ω 2 = 0). La ecuaci´on caracter´ıstica tiene ra´ıces reales repetidas λ1 = λ2 = −α. El desplazamiento del cuerpo en el tiempo t est´a dado por x(t) = c1 e−α t + c2 t e−α t ,

−∞ < t < ∞,

donde c1 y c2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales. En este caso el sistema no oscila alrededor del equilibrio sino que tiende asint´oticamente a ´este a medida que el tiempo transcurre. Caso 3 (Oscilaciones sobreamortiguadas α2 −ω 2 > 0). En este caso se tienen dos ra´ıces reales negativas distintas λ1 y λ2 , digamos λ2 < λ1 < 0 : √ λ1 , λ 2 = − α ± α 2 − ω 2 . La soluci´on general est´a dada por x(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t ,

−∞ < t < ∞.

Nuevamente se observa que en un sistema sobreamortiguado no se presentan oscilaciones, y que, dependiendo de las condiciones iniciales, el sistema pasa m´aximo una vez por el equilibrio. Podemos ahora resumir los resultados de esta secci´on en el siguiente teorema.

128

6. OSCILADORES LINEALES

Teorema 6.2.1. De las soluciones x(t) de la ecuaci´ on del oscilador libre d2 x dx + 2α + ω2 x = 0 2 dt dt puede afirmarse que – En presencia de amortiguaci´on, es decir si α 6= 0, las soluciones son siempre asint´oticamente estables, de manera que independientemente de la velocidad y la posici´ on iniciales, l´ımt→∞ x(t) = 0 y l´ımt→∞ x0 (t) = 0. – Las soluciones son peri´ odicas u ´nicamente cuando el oscilador es no amortiguado, es decir cuando α = 0. – Cuando el sistema est´a sobreamortiguado o cr´ıticamente amortiguado (si α ≥ ω) no se presentan oscilaciones alrededor de la posici´ on de equilibrio. Ejemplo 6.2.2. Un cuerpo de 8 kg se sujeta de un resorte soportado verticalmente. El cuerpo queda en equilibrio cuando el resorte tiene una elongaci´on de 98 cm respecto de su longitud natural. Sobre el sistema act´ ua una fuerza de amortiguaci´on que, medida en newtons, es num´ericamente igual a 16 veces la velocidad instant´anea en m/s. Si el cuerpo se lleva 60 cm por debajo del equilibrio y luego se deja oscilar libremente, determinar la posici´on del cuerpo como funci´on del tiempo. Como F = k x y x = 0,98 metros cuando se ejerce una fuerza igual a F = 8 g newtons, siendo g la aceleraci´on de la gravedad, entonces tomando g = 9,8 m/s se sigue que k = 80 N/m. La ecuaci´on del oscilador es entonces 8

d2 x dx = −16 − 80 x, 2 dt dt

o, equivalentemente

dx d2 x +2 + 10 x = 0. 2 dt dt La ecuaci´on auxiliar est´a dada por λ2 + 2 λ + 10 = 0, cuyas ra´ıces son los n´ umeros λ = −1±3 i, por lo que la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial puede escribirse en la forma x(t) = c1 e−t cos 3t + c2 e−t sen 3t.

6.3. OSCILACIONES FORZADAS

129

En ese caso dx = −c1 e−t cos 3t − 3 c1 e−t sen 3t − c2 e−t sen 3t + 3 c2 e−t cos 3t, dt as´ı que evaluando las condiciones iniciales x(0) = 0,6 y dx (0) = 0 llegamos a dt las ecuaciones c1 = 0,6 y −c1 + 3 c2 = 0. Conclu´ımos que c1 = 0,6 =

3 5

1 y c2 = . 5

El desplazamiento del cuerpo respecto del equilibrio en el instante t est´a pues dado por la funci´on µ ¶ 1 3 −t x(t) = e cos 3t + sen 3t . 5 5 La anterior funci´on puede tambi´en escribirse en la forma √ 10 −t x(t) = e cos(3 t − φ), 5 q √ 9 1 donde A = 510 = 25 + 25 y el ´angulo de fase φ ≈ 0,32175 es un ´angulo que satisface cos φ = √310 y sen φ = √110 . La gr´afica de la funci´on x(t) puede apreciarse en la figura 6.7. La frecuencia angular y el periodo amortiguados son respectivamente ωa = 3 y Ta = 23π .

6.3.

Oscilaciones forzadas

En esta secci´on estudiaremos el movimiento oscilatorio bajo el supuesto de que existen fuerzas externas de excitaci´on que afectan al sistema. Fuentes comunes de fuerzas de excitaci´on son los movimientos vibratorios del oscilador como un todo (sacudidas de una m´aquina, desbalances de las maquinarias rotatorias, vientos sobre una estructura). Nos interesan particularmente las llamadas fuerzas arm´onicas de excitaci´on f (t) = F0 cos ωe t, F0 constante. Entender el comportamiento de un sistema sometido a excitaciones arm´onicas es esencial para entender c´omo responde el sistema a fuerzas

130

6. OSCILADORES LINEALES

√x 10 5

t

Figura √ 10 5

e

−t

6.7:

El oscilador cos (3 t − 0,32175)

subamortiguado

del

ejemplo

6.2.2,

x(t)

=

de excitaci´on m´as generales. Cuando f (t) es una fuerza arm´onica la ecuaci´on (6.2) toma la forma d2 x dx + 2α + ω 2 x = F0 cos ωe t 2 dt dt

(6.6)

Si α 6= 0, es decir en presencia de fuerzas amortiguadoras, la ecuaci´on homog´enea asociada a esta ecuaci´on no tiene soluciones de la forma b1 cos ωe t + b2 sen ωe t, as´ı que, como vimos en el Cap´ıtulo 5, la ecuaci´on no homog´enea (6.6) debe tener una soluci´on particular de la forma xp (t) = b1 cos ωe t + b2 sen ωe t. Reemplazando en la ecuaci´on diferencial se pueden calcular los valores de los coeficientes b1 y b2 : b1 =

(ω 2 − ωe2 ) F0 (ω 2 − ωe2 )2 + (2 α ωe )2

y b2 =

(ω 2

(2α ωe ) F0 . − ωe2 )2 + (2 α ωe )2

La soluci´on xp (t) tambi´en puede escribirse en la forma xp (t) = Ap cos(ωe t − φe )

6.3. OSCILACIONES FORZADAS

131

Figura 6.8: Soluciones transitoria y estacionaria

Figura 6.9: Oscilador forzado

con Ap y φe determinados por las condiciones (6.5), reemplazando c1 por b1 y c2 por b2 . En particular F0 Ap = p . (ω 2 − ωe2 )2 + (2 α ωe )2 Podemos entonces escribir la soluci´on general en la forma x(t) = xp (t) + xH (t), donde xH (t) representa la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada a (6.6), que es la ecuaci´on de un oscilador libre amortiguado. Como se sabe todas las soluciones de la ecuaci´on del oscilador libre amortiguado son asint´oticamente estables, de manera que las funciones xH (t) satisfacen las condiciones l´ım xH (t) = 0 y l´ım x0H (t) = 0. t→∞

t→∞

Se dice que xH (t) es un t´ermino transitorio (“respuesta a las condiciones iniciales”), su influencia en el comportamiento de la soluci´on se desvanece con el tiempo, mientras que xp (t) corresponde al r´egimen permanente o estacionario del movimiento (“respuesta a la excitaci´on externa”). Teorema 6.3.1. De las soluciones x(t) de la ecuaci´ on del oscilador amortiguado forzado (6.6), con fuerza de excitaci´on externa arm´onica puede decirse que – Existe una soluci´on particular peri´ odica xp (t), cuya frecuencia coincide con la de la excitaci´on externa. – Cada una de las soluciones x = x(t) satisface ¢ ¡ l´ım (x(t) − xp (t)) = 0 y l´ım x0 (t) − x0p (t) = 0, t→∞

t→∞

de modo que la soluci´on permanente xp (t) es estable.

132

6. OSCILADORES LINEALES

Figura 6.10: Resonancia.

Oscilador no amortiguado con forzamiento arm´ onico externo Sin amortiguamiento (α = 0) la ecuaci´on (6.2) se reduce a d2 x + ω 2 x = F0 cos(ωe t). dt2 Conviene tratar separadamente los casos ω = ωe y ω 6= ωe : Caso 1 (ω 6= ωe ). Si la frecuencia externa de excitaci´on ωe es distinta de la frecuencia natural del oscilador libre ω entonces no hay soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada de la forma x(t) = b1 cos ωe t + b2 sen ωe t, por lo tanto debe existir una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea que tenga justamente esta forma. En efecto substituyendo en la ecuaci´on se llega a la soluci´on particular xp (t) =

F0 cos ωe t. ω 2 − ωe2

La soluci´on general puede escribirse en la forma x(t) = xp (t) + xH (t), donde xH (t) representa la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada y es por lo tanto una funci´on peri´odica de frecuencia f = 2ωπ (la frecuencia natural del sistema), mientras que la frecuencia de xp (t) coincide con la de la fuerza externa de excitaci´on fe = 2ωπe .

6.4. EJERCICIOS

133

Caso 2 (Caso ω = ωe ). Este caso se conoce como de resonancia no amortiguada y se presenta cuando la frecuencia externa de excitaci´on es igual a la frecuencia natural del oscilador libre. Como las funciones de la forma x(t) = b1 cos ω t + b2 sen ω t son soluciones de la ecuaci´on homog´enea, no existen soluciones particulares de la ecuaci´on no homog´enea que se puedan escribir de esta manera. En cambio debe existir una soluci´on particular de la forma xp (t) = t (b1 cos ω t + b2 sen ω t). Reemplazando en la ecuaci´on se obtiene en efecto la soluci´on particular xp (t) =

F0 t sen (ω t), 2ω

−∞ < t < ∞,

que corresponde a oscilaciones no peri´odicas cuyas amplitudes aumentan linealmente con t. Al pasar el tiempo cualquier soluci´on x(t) = xp (t) + xH (t), terminar´a dominada por la funci´on xp (t), que puede ser interpretada como la respuesta a la excitaci´on externa.

6.4.

Ejercicios

49 1. Una masa de 1 kg alarga un resorte en 320 m. Si la masa se desplaza 1 m respecto de la posici´on de equilibrio y se suelta desde all´ı, y si 4 se desprecia la resistencia del aire, halle la amplitud, el per´ıodo y la frecuencia de vibraci´on del movimiento. (Tome g ≈ 9,8 m/s2 ).

2. El movimiento de un cuerpo est´a descrito por la ecuaci´on diferencial z 00 + 6π z 0 + 25π 2 z = 0. El sistema de unidades usado es el MKS. a) Halle la frecuencia y el per´ıodo naturales del oscilador arm´onico asociado. b) Halle la frecuencia y el per´ıodo amortiguados. c) Si z(0) = 0,10 m y z 0 (0) = 1 m/s, halle el tiempo necesario para que la amplitud de la oscilaci´on se reduzca a 0,001 m. 3. El mecanismo de un ca˜ n´on de un tanque se puede modelar mediante un sistema masa–resorte–amortiguador. Sup´ongase que la masa es la del ca˜ non, igual a 100 kg, y en unidades apropiadas del sistema MKS

134

6. OSCILADORES LINEALES

el coeficiente de amortiguaci´on es γ = 200 λ y la constante del resorte es k = 100 λ2 , donde λ es una constante. Sup´ongase que despu´es de un disparo en el tiempo t = 0 el movimiento del ca˜ non respecto de la posici´on de equilibrio est´a descrito por el problema de valores iniciales 100 x00 + 200 λ x0 + 100 λ2 x = 0,

x(0) = 0,

x0 (0) = 100

a) determine qu´e valor debe tener λ para que el sistema est´e amortiguado cr´ıticamente. b) determine para qu´e valor de λ el valor de x2 (t) + (x0 (t))2 se reduce a 0,01 m al cabo de 1 segundo. 4. Un reloj tiene un p´endulo de un metro de longitud. El reloj suena cada vez que el p´endulo llega al extremo derecho de su vaiv´en. Despreciando la fricci´on y la resistencia del aire, y suponiendo oscilaciones peque˜ nas, ¿cu´antas veces suena el reloj en un minuto? 5. Una boya cil´ındrica de 0,2 m de radio y 1 m de altura, y cuya masa es de 100 kg flota en el agua manteniendo su eje vertical. Si se hunde de forma que la cara superior del cilindro coincida con la superficie del agua y luego se suelta, y se desprecia la resistencia del agua, ¿cu´ales ser´an su per´ıodo natural de oscilaci´on y su posici´on en cada instante? (La fuerza arquimediana de flotaci´on ejercida sobre la boya es igual al peso del agua desplazada por ella. La densidad del agua es, aproximadamente, 1000 kg/m3 ). 6. Una placa delgada de ´area 2A (en m2 ) y masa M (en kilogramos) est´a suspendida de un resorte con constante de rigidez k N/m y es puesta a oscilar en un fluido viscoso. a) Suponiendo que el fluido ejerce una fuerza de fricci´ on viscosa fa sobre las caras de la placa proporcional a la velocidad v, dada por fa = −µ 2A v, donde µ es una constante caracter´ıstica de la viscosidad del fluido, halle una ecuaci´on diferencial para el movimiento de la placa. b) ¿Para qu´e valor µ∗ de µ el sistema est´a amortiguado cr´ıticamente?

6.4. EJERCICIOS

135

c) Si Tn es el per´ıodo natural de oscilaci´on del sistema libre no amortiguado en el aire y Ta es el per´ıodo amortiguado cuando la placa est´a sumergida en un fluido con coeficiente µ, 0 < µ < µ∗ , halle una expresi´on para el valor de µ en t´erminos de M, A, Tn y Ta . 7. Una masa de 1 kg est´a atada a un resorte de constante k = 64 N/m. En el instante t = 0 la masa se halla en reposo en la posici´on de equilibrio y a partir de ese momento y hasta el instante t1 = 7π se le 16 aplica una fuerza dada por F (t) = 2t newtons. Despreciando los efectos de la amortiguaci´on, plantee una ecuaci´on diferencial que determine la posici´on de la masa en el tiempo a´ un despu´es de que la fuerza externa ha sido desconectada y resuelva esa ecuaci´on. 8. Un cuerpo que se encuentre en el interior de La Tierra experimenta una fuerza debida a la gravedad terrestre que es proporcional a la distancia del cuerpo al centro de La Tierra. Si se perforara un t´ unel a lo largo de uno de los di´ametros de La Tierra, ¿cu´anto tiempo tardar´ıa un cuerpo de masa m en atravesar el t´ unel, suponiendo que se deje caer desde el reposo, a partir de uno de los extremos? (la respuesta se puede expresar en t´erminos de R, el radio de La Tierra, y de g, la aceleraci´on de la gravedad en la superficie terrestre). 9. Un modelo sencillo para las vibraciones verticales de un carro que viaja por una carretera ondulada consiste en una masa M (masa total del carro), un resorte de constante k (sistema de suspensi´on) y un amortiguador lineal de constante γ (sistema de absorci´on de choques). Al viajar, la carrocer´ıa (la masa) se desplaza una distancia x desde la posici´on de equilibrio y el soporte sube o baja la distancia y = y(s). El desplazamiento relativo es x − y. As´ı, el resorte ejerce una fuerza −k(x − y) y el amortiguador la fuerza −γ(x0 − y 0 ). La ecuaci´on que modela el movimiento vertical del veh´ıculo est´a dada por M x00 = −k (x−y)−γ (x0 −y 0 ). Es decir M x00 + γ x0 + k x = k y + γ y 0 . Sup´ongase que el perfil vertical del camino sigue la curva y = a sen 2 Lπ s , donde a = 0,1 m, L = 10 m y s es la distancia recorrida, y que el veh´ıculo se mueve con velocidad horizontal constante v. En ese caso s = v t y y(t) = a sen 2 πLv t y la ecuaci´on de las vibraciones del carro se

136

6. OSCILADORES LINEALES

convierte en M x00 + γ x0 + k x = k a sen

2πvt 2πv 2πvt +γ a cos . L L L

Sup´ongase que M = 1000 kg y que k = 4000 N/m a) Si el amortiguador se desconecta (es decir si γ = 0), halle ω, la frecuencia angular natural de oscilaci´on del carro, y determine la velocidad v a la cual ocurre resonancia. √ b) Si γ = 1000 7 N/m, halle la respuesta x = x(t) del carro a las ondulaciones del camino si v = 20 m/s, x(0) = 0, y x0 (0) = 0. 10. Un modelo simplificado de un edificio consiste en considerarlo como un cuerpo r´ıgido que contiene toda la masa M de la estructura y que est´a soportado por columnas de masa despreciable que ejercen una fuerza el´astica −k u opuesta a los desplazamientos laterales u de M. Se supone que la estructura posee amortiguaci´on viscosa con constante de amortiguaci´on γ. El peso del edificio es W = 100 toneladas y el edificio es puesto en vibraci´on desplaz´andolo 5 cm de la posici´on de equilibrio y solt´andolo desde all´ı en el tiempo t = 0. Si el desplazamiento m´aximo en el (primer) vaiv´en de retorno es de 3,5 cm y ocurre en un tiempo t = 0,64 s, determine: a) la rigidez lateral k, b) la constante de amortiguaci´on γ. Respuestas 1. A = 14 , T = 2. a) T =

2 5

π 4

y f = π4 .

y f = 25 , b) Ta =

1 2

y fa = 2, c) t = 0,55.

3. a) cualquiera, b) λ debe satisfacer la ecuaci´on (λ2 − 2λ + 2)e−2λ = 10−6 , λ ≈ 8,994 4. 30 veces. √ √ 5. T = π y x(t) = cos 2 π t. 6. a) M x00 + 2Aµ x0 + k x = 0, b) si µ = q 1 amortiguado, c) µ = 2πM − T12 . A T2 n

a

√

Mk A

el sistema est´a cr´ıticamente

6.4. EJERCICIOS

q 8. T = π

137

R g

9. a) si γ = 0 entonces ω = 2 y la resonancia ocurre si v = 3,2 b) x(t) = −486 cos 2t + 1049 sen 2t + 514,1 cos (12,5t + 19,05)

138

6. OSCILADORES LINEALES

Cap´ıtulo 7 Ecuaciones lineales de orden superior as ideas presentadas para ecuaciones lineales de segundo orden se pueden

L generalizar f´acilmente al caso de las ecuaciones lineales de orden n,

dn−1 x dx dn x + a (t) + · · · + a (t) + a0 (t) x = f (t), (7.1) n−1 1 dtn dtn−1 dt donde f (t), an−1 (t), · · · , a1 (t), a0 (t), son funciones continuas definidas en un intervalo J. Uno de los objetivos de este cap´ıtulo es mostrar que la soluci´on general x(t) de (7.1) se puede escribir en la forma x(t) = xH (t) + xP (t), donde xH (t) es la soluci´on general de la ecuaci´ on homog´enea asociada a (7.1) dn x dn−1 x dx + an−1 (t) n−1 + · · · + a1 (t) + a0 (t) x = 0, (7.2) n dt dt dt y xP (t) es una soluci´on particular cualquiera de la ecuaci´on no homog´enea (7.1). Tal y como ocurre con las ecuaciones lineales de segundo orden, el c´alculo expl´ıcito de xH (t) y xP (t) resulta en general dif´ıcil. Sin embargo, cuando los coeficientes an−1 (t), · · · , a1 (t), a0 (t) son funciones constantes, entonces xH (t) resulta ser una combinaci´on lineal de funciones del tipo tk eαt cos βt, y tk eαt sen βt.

(7.3)

El c´alculo de soluciones particulares tambien se simplifica en el caso de ecuaciones lineales con coeficientes constantes si, adicionalmente, el t´ermino f (t) es una combinaci´on de funciones del tipo (7.3). 139

140

7. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

7.1.

Teor´ıa general

Ser´a conveniente escribir la ecuaci´on (7.1) en la forma L [x] (t) = f (t),

(7.4)

en donde L se interpreta como un operador diferencial de orden n, el cual act´ ua sobre una funci´on n veces derivable x = x(t), t ∈ J, transform´andola en la funci´on L [x] (t). Resolver la ecuaci´on (7.1) es equivalente a encontrar el conjunto de las preim´agenes de la funci´on f, mediante el operador L. Se demuestra sin dificultad que L es lineal, es decir L [c1 x1 + c2 x2 ] = c1 L [x1 ] + c2 L [x2 ] para cualquier par de constantes c1 y c2 y cualquier par de funciones x1 y x2 , n veces diferenciables en J. Ejemplo 7.1.1. Si L es el operador L [x] =

d4 x − x, dt4

entonces por ejemplo L [cos 2t] = 15 cos 2t y L [t4 ] = 24 − t4 . El siguiente resultado es el teorema fundamental de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de orden n. Su demostraci´on est´a m´as all´a de los alcances de estas notas. Teorema 7.1.1. Si las funciones f (t), an−1 (t), · · · , a1 (t), a0 (t) son continuas en el intrevalo J, entonces para cada t0 en J y cada elecci´ on de n´ umeros reales x0 , x10 , . . . , xn−1 , existe una u ´ nica funci´ o n x = x(t), t ∈ J, que satisface la 0 ecuaci´ on (7.4) y las condiciones iniciales x(t0 ) = x0 ,

7.1.1.

dx dn−1 x (n−1) (t0 ) = x10 , · · · , n−1 (t0 ) = x0 . dt dt

(7.5)

Ecuaciones lineales homog´ eneas

Esta secci´on est´a dedicada a la ecuaci´on diferencial homog´enea L [x] = 0

(7.6)

El siguiente resultado es una consecuencia inmediata del teorema fundamental 7.1.1:

7.1. TEOR´IA GENERAL

141

Teorema 7.1.2. La u ´nica soluci´on de la ecuaci´ on (7.6) que satisface las dx dn−1 x condiciones x(t0 ) = 0, dt (t0 ) = 0, . . . dtn−1 (t0 ) = 0 es la funci´on constante cero, x(t) = 0 para todo t en J. Para las ecuaciones homog´eneas de orden n tambi´en vale el principio de superposici´ on de soluciones (tma. 5.2.2 del cap´ıtulo 5). Es decir, si x1 (t), . . . , xr (t), son soluciones de (7.6), y si c1 , . . . , cr representan constantes, entonces la funci´on dada por la combinaci´on lineal x(t) = c1 x1 (t) + · · · + cr xr (t) es una soluci´on de la ecuaci´on (7.6). Ejemplo 7.1.2. Por reemplazo directo puede verse que x1 (t) = e−t , x2 (t) = et , x3 (t) = cos t y x4 (t) = sen t son soluciones de la ecuaci´on d4 x − x = 0. dt4

(7.7)

Por lo tanto tambien ser´a una soluci´on de (7.7) cualquier funci´on que se pueda escribir en la forma x(t) = c1 e−t + c2 et + c3 cos t + c4 sen t, donde c1 , c2 , c3 y c4 son n´ umeros reales. Puede verificarse por ejemplo que una soluci´on de (7.7) que satisface las condiciones iniciales x(0) = 0,

dx (0) = −2, dt

d2 x (0) = 2, dt2

d3 x (0) = 0, dt3

es la funci´on x(t) = e−t − cos t − sen t. M´as a´ un, de acuerdo con el Teorema 7.1.1 esta es la u ´nica soluci´on que satisface esas condiciones iniciales. No sobra insistir que existen infinitas soluciones de (7.7), ¿por qu´e? Se recordar´a de los cursos de ´algebra lineal que r funciones x1 (t), . . . , xr (t), t ∈ J, son linealmente independientes si la identidad c1 x1 (t) + · · · + cr xr (t) = 0,

para todo t de J,

donde c1 , . . . , cr son escalares, implica que c1 = 0, . . . , cr = 0.

142

7. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

Definici´ on 7.1.1. Un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea (7.6) en un intervalo J es un conjunto de n soluciones linealmente independientes de 7.6, definidas en el intervalo J. Definici´ on 7.1.2. Si x1 (t), · · · , xn (t), t ∈ J, son funciones n − 1 renciables se define su determinante de Wronski mediante  x1 (t) ··· xn (t) dxn  dx1 (t) . . . (t)  dt dt W (t) ≡ W (x1 , . . . , xn )(t) = det  .. ..  . . dn−1 x1 dtn−1

(t) . . .

dn−1 xn dtn−1

veces dife    

(t)

El teorema que sigue suministra un criterio para saber cu´ando n soluciones de (7.6) forman un conjunto fundamental de soluciones. Teorema 7.1.3. Si x1 (t), · · · , xn (t), t ∈ J son n soluciones de (7.6), entonces las tres condiciones siguientes son equivalentes: (i) W (t) 6= 0 para todo t ∈ J. (ii) W (t0 ) 6= 0 para alg´ un t0 en J. (iii) el conjunto {x1 (t) , . . . , xn (t)} , t ∈ J, es un conjunto fundamental de soluciones. Ejemplo 7.1.3. El conjunto © ª cos t, sen t, e−t , et es un conjunto fundamental de soluciones para la ecuaci´on (7.7) del ejemplo 7.1.2. En efecto vimos que cada una de estas funciones es una soluci´on de la ecuaci´on considerada. Adem´as   cos t sen t e−t et  − sen t cos t −e−t et   = 8, W (t) = det   − cos t − sen t e−t et  sen t − cos t −e−t et por lo tanto el conjunto dado es linealmente independiente. Como en el caso de las ecuaciones lineales de segundo orden veremos ahora que dado un conjunto fundamental de soluciones de (7.6), entonces cada soluci´on de (7.6) puede escribirse como combinaci´on lineal de ese conjunto fundamental.

7.1. TEOR´IA GENERAL

143

Teorema 7.1.4. Si {x1 (t) , . . . , xn (t)} , t ∈ J, es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´ on (7.6) en el intervalo J, entonces cada una de las soluciones de la ecuaci´ on (7.6) puede escribirse en la forma xH (t) = c1 x1 (t) + · · · + cn xn (t),

t∈J

(7.8)

con c1 , . . . , cn , constantes. El conjunto de todas las soluciones de la ecuaci´on (7.6), tal como el representado por la f´ormula (7.8), se conoce como la soluci´ on general de la ecuaci´on (7.6). Ejemplo 7.1.4. Puede verificarse con facilidad (ver el ejercicio 1), que las funciones x1 (t) = t, x2 (t) = t2 y x3 (t) = t3 satisfacen la ecuaci´on diferencial d3 x 3 d2 x 6 dx 6 − + 2 − 3 x = 0, 3 2 dt t dt t dt t

t > 0.

(7.9)

Vemos que el wronskiano de estas tres funciones est´a dado por W (t, t2 , t3 ) = 2t3 , de manera que ellas forman un conjunto fundamental y la soluci´on general de la ecuaci´on (7.9) puede escribirse en la forma xH (t) = c1 t + c2 t2 + c3 t3 , donde c1 , c2 y c3 representan constantes arbitrarias. Reducci´ on de orden Pude ocurrir que se conozca alguna soluci´on no trivial x1 (t) de la ecuaci´on homog´enea (7.6). En ese caso se puede reducir el orden de la ecuaci´on mediante la sustituci´on x(t) = x1 (t) u(t). Al reemplazar x(t) en la ecuaci´on (7.6) se concluye que la funci´on v(t) =

du dt

debe satisfacer una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de orden n − 1.

144

7. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

Ejemplo 7.1.5. Por sustituci´on directa se verifica que x1 (t) = t es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea 2 d3 x 1 d2 x 2 dx − + 2 − 3 x = 0. 3 2 dt t dt t dt t Podemos entonces emplear la sustituci´on x(t) = x1 (t) u(t) = t u(t) para reducir el oredn de la ecuaci´on. Tenemos que x0 = u + t u0 , x02 = 2 u0 + t u00 y x000 = 3 u00 + t u000 . Reemplazando entonces en la ecuaci´on que estamos considerando, obtenemos la siguiente ecuaci´on en u: d3 u 2 d2 u + = 0. dt3 t dt2 Esta nueva ecuaci´on se reduce a una de segundo orden mediante la sustituci´on : v(t) = du dt d2 v 2 dv + = 0. dt2 t dt En este ejemplo particular esta u ´ltima ecuaci´on puede reducirse a una de primer orden mediante la sustituci´on y(t) = dv , dt dy 2 + y(t) = 0. dt t Se tiene sin dificultad que y(t) = ct21 , donde c1 es una constante cualquiera. Mediante integraci´on se obtiene v(t), e integrando nuevamente se llega a la f´ormula u(t) = c1 ln t + c2 t + c3 , donde c1 , c2 y c3 son constantes arbitrarias. Consecuentemente se tiene la soluci´on general de la ecuaci´on considerada x = t u(t) = c1 t ln t + c2 t2 + c3 t y podemos concluir que el conjunto © 2 ª t, t , t ln t es un conjunto fundamental de soluciones de esa ecuaci´on.

7.1.2.

Ecuaciones lineales no homog´ eneas

Consideraremos ahora la ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea (7.4). Dos propiedades fundamentales de esta ecuaci´on no homog´enea est´an expresadas en los resultados siguientes.

7.1. TEOR´IA GENERAL

145

Teorema 7.1.5. Sup´ ongase que xP (t) es una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea (7.4). Entonces cada una de las soluciones de esa ecuaci´on puede escribirse en la forma x(t) = xH (t) + xP (t), donde xH (t) es alguna de las soluciones de la ecuaci´ on homog´enea asociada a (7.4). Teorema 7.1.6. Sup´ ongase que f (t) = c1 f1 (t) + · · · + cr fr (t). Si xk = xk (t) es una soluci´on de la ecuaci´ on L [x] = fk

k = 1, ..., r,

entonces la funci´on x(t) = c1 x1 (t) + · · · + cr xr (t) es una soluci´on de L [x] = c1 f1 + · · · + cr fr . Vamos a generalizar ahora el m´etodo de variaci´on de par´ ametros al caso de las ecuaciones de orden superior. Este m´etodo permite determinar una soluci´on particular xP (t) de la ecuaci´on no homog´enea (7.4) siempre que se conozca un conjunto fundamental de soluciones {x1 (t), · · · , xn (t)} de la ecuaci´on homog´enea (7.6). En forma completamente an´aloga al caso de ecuaciones de segundo orden puede probarse que si las funciones P1 , . . . , Pn , satisfacen el sistema de ecuaciones    dP    1 x1 (t) ··· xn (t) 0 dt dxn  dx1 (t) . . .  dP2    (t)   dt   dt   0  dt (7.10)    ..  =  ..  , .. .. ..   .   .  . . . n−1 dPn dn−1 x1 f (t) (t) . . . ddtn−1xn (t) dt dtn−1 entonces la funci´on xP (t) = P1 (t) x1 (t) + · · · + Pn (t) xn (t),

(7.11)

es una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea (7.4) (n´otese que si P1 (t), . . . , Pn (t) fueran constantes x(t) ser´ıa en cambio una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea (7.6). El sistema (7.10) puede entonces resolverse para obtener las funciones P1 (t), . . . , Pn (t). Empleando por ejemplo la regla de

146

7. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

Kramer, que se ense˜ naba antiguamente en los cursos de ´algebra lineal, se obtienen las siguientes f´ormulas para las soluciones de (7.10): Wj (t) dPj = , dt W (t) donde W (t) = W (x1 , . . . , xn )(t) es el determinante de Wronski asociado a las funciones x1 (t), . . . , xn (t) y Wj (t) es el determinante que se obtiene cuando la j-esima columna de ese determinante se sustituye por el vector (0, 0, · · · , f (t))T . Ejemplo 7.1.6. Mediante el m´etodo de variaci´on de par´ametros vamos a hallar una soluci´on particular de la ecuaci´on d3 x 3 d2 x 6 dx 6 − + 2 − 3 x = t sen t, 3 2 dt t dt t dt t

t > 0.

(7.12)

La ecuaci´on homog´enea asociada a la ecuaci´on anterior es la ecuaci´on (7.9) que fue tratada en el ejemplo 7.1.4 En ese ejemplo se mostr´o que el conjunto {t, t2 , t3 } es un conjunto fundamental de soluciones de esa ecuaci´on y que W (t, t2 , t3 ) = 2t3 . Seg´ un la f´ormula de variaci´on de par´ametros (7.11) tenemos que la funci´on xP (t) = t P1 (t) + t2 P2 (t) + t3 P3 (t), es una soluci´on de (7.12) siempre que las funciones Pj (t), j = 1, 2, 3, satisfagan las condiciones dPj Wj (t) = . dt 2t3 As´ı por ejemplo debe tenerse que   0 t2 t3 W1 (t) 1 t2 sen t dP1 2   0 2t 3t = = det = . dt 2t3 2t3 2 t sen t 2 6t Integrando ahora vemos que 1 P1 (t) = − t2 cos t + t sen t + cos(t). 2

7.2. ECUACIONES CON COEFICIENTES CONSTANTES

147

C´alculos similares muestran que P2 (t) = t cos t − sen t y

1 P3 (t) = − sen t. 2 Despu´es de simplificar se obiene entonces la soluci´on particular xP (t) = t P1 (t) + t2 P2 (t) + t3 P3 (t) = t cos t. La soluci´on general de (7.12) puede entonces escribirse en la forma x(t) = t cos t + c1 t + c2 t2 + c3 t3 .

7.2.

Ecuaciones con coeficientes constantes

En esta secci´on estudiaremos una generalizaci´on de los m´etodos desarrollados en el cap´ıtulo 5 para resolver ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Nos referimos a ecuaciones de la forma dn x dn−1 x dx + a + · · · + a1 + a0 x = f (t), n−1 n n−1 dt dt dt

(7.13)

en donde an−1 , . . . , a1 , a0 representan constantes reales. En la secci´on anterior vimos como cada una de las soluciones x = x(t) de la ecuaci´on (7.13) se puede escribir en la forma x(t) = xH (t) + xP (t), donde xP es alguna soluci´on particular de (7.13) y xH es una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea asociada dn−1 x dx dn x + an−1 n−1 + · · · + a1 + a0 x = 0. n dt dt dt

(7.14)

Empleando variaci´on de par´ametros podemos obtener las soluciones de una ecuaci´on no homog´enea si se conoce un conjunto fundamental de soluciones para la ecuaci´on homog´enea. Nos corresponde entonces ahora ver c´omo determinar tal conjunto fundamental para el caso de ecuaciones con coeficientes constantes.

148

7. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

7.2.1.

Ecuaciones homog´ eneas

El m´etodo de Euler consiste en buscar soluciones de (7.14) del tipo x(t) = eλt , k

con λ constante. Como dtd k (eλt ) = λk eλt y eλt 6= 0 para todo t, se tiene que x = eλt satisface la ecuaci´on diferencial (7.14) si y s´olo si la constante λ satisface la siguiente ecuaci´on cuadr´atica, conocida tambi´en como ecuaci´on caracter´ıstica asociada a la ecuaci´on homog´enea (7.14) p(λ) = λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0.

(7.15)

El teorema fundamental del ´algebra garantiza la existencia de exactamente n ra´ıces (que pueden ser complejas), si se cuentan con sus multiplicidades. Como el polinomio caracter´ıstico p(λ) tiene coeficientes reales, entonces, en caso de existan ra´ıces complejas, ellas deben presentarse en pares conjugados. Es decir, si el n´ umero complejo α + iβ es una ra´ız de p(λ), tambi´en lo es su conjugado α − iβ. Ra´ıces diferentes Supondremos que p(λ) tiene n ra´ıces diferentes, cada una de multiplicidad 1. Digamos que existan r ra´ıces reales distintas λ1 , . . . , λr , y k pares de ra´ıces complejas conjugadas distintas α1 ±iβ1 , . . . , αk ±iβk , de modo que r+2k = n. Las ra´ıces reales dan lugar a las r soluciones eλ1 t , . . . , eλr t , mientras que, tomanso las partes real e imaginaria de las soluciones complejas e(α±iβ)t , los k pares de ra´ıces complejas conjugadas dan lugar a las 2k soluciones eα1 t cos β1 t, eα1 t sen β1 t, . . . , eαk t cos βk t, eαk t sen βk t, con lo que se completan n soluciones. Se demuestra empleando algo de ´algebra lineal que estas n soluciones son linealmente independientes, y por lo tanto forman un conjunto fundamental de soluciones. Ejemplo 7.2.1. La ecuaci´on carater´ıstica de la ecuaci´on d4 x −x=0 dt4

7.2. ECUACIONES CON COEFICIENTES CONSTANTES

149

del ejemplo 7.1.2 es la ecuaci´on ¡ ¢¡ ¢ λ4 − 1 = λ2 − 1 λ2 + 1 = 0, que tiene como ra´ıces al par de complejos conjugados ±i, y a las dos ra´ıces reales −1, 1, todas ellas distintas entre si. Correspondientes a estas cuatro ra´ıces tenemos las cuatro soluciones linealmente independientes x1 = et , x2 = e−t , x3 = cos t y x4 = sen t. Ra´ıces repetidas Cuando el polinomio caracter´ıstico p(λ) tenga ra´ıces repetidas el conjunto fundamental debe completarse de manera an´aloga al caso de las ecuaciones lineales homog´enes de segundo orden. Si λ es una ra´ız repetida de p(λ), con multiplicidad algebraica m, entonces asociadas a λ se tienen las siguientes m soluciones de (7.14) eλt , t eλt , . . . , tm−1 eλt . Si α + iβ es una raiz repetida de (7.15) con multiplicidad algebraica m, tambi´en α − iβ ser´a una raiz repetida con la misma multiplicidad. En ese caso se tienen 2m soluciones de (7.14) de la forma u1 = eαt cos βt, v1 = eαt sen βt, u2 = teαt cos βt, v2 = teαt sen βt, . . . . . . , um = tm−1 eαt cos βt, vm = tm−1 eαt sen βt. Ejemplo 7.2.2. Consid´erese la ecuaci´on diferencial de tercer orden d3 x d2 x dx + 3 +3 + x = 0. 3 2 dt dt dt La ecuaci´on carater´ıstica es (λ + 1)3 = 0 cuya u ´nica ra´ız es λ = −1 de −t multiplicidad 3. En consecuencia el conjunto {e , te−t , t2 e−t } es un conjunto fundamental de soluciones para esta ecuaci´on y la soluci´on general puede escribirse en la forma x(t) = c1 e−t + c2 te−t + c3 t2 e−t . con c1 , c2 y c3 representan constantes arbitrarias.

150

7. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

Ejemplo 7.2.3. Consid´erese la ecuaci´on diferencial de cuarto orden d4 x d2 x + 2 2 + x = 0. dt4 dt La ecuaci´on carater´ıstica (λ2 + 1)2 = 0 tiene al par λ = ±i como ra´ıces conjugadas de multiplicidad algebraica 2. El conjunto {cos t, sen t, t cos t, t sen t, } , es por lo tanto un conjunto fundamental de soluciones para esta ecuaci´on y podemos escribir la soluci´on general en la forma x(t) = c1 cos t + c2 t cos t + c3 sen t + c4 t sen t donde c1 , c2 , c3 y c4 son constantes arbitrarias.

7.2.2.

Ecuaciones no homog´ eneas

Al igual que en el caso de las ecuaciones de segundo orden, si el t´ermino no homog´eneo f (t) en la ecuaci´on no homog´enea de coeficientes constantes (7.13) es de uno de ciertos tipos, entonces es posible determinar una soluci´on particular por tanteo, empleando lo que se conoce como el m´etodo de los coeficientes indeterminados. Para que este m´etodo pueda aplicarse se requiere, adem´as de que la ecuaci´on sea de coeficientes constantes, que el t´ermino f (t) sea una combinaci´on lineal de funciones del tipo tk eαt cos βt,

y tk eαt sen βt.

La idea es simplemente determinar una soluci´on particular del mismo tipo. Vamos ahora a ilustrar este m´etodo mediante algunos ejemplos. Ejemplo 7.2.4. Vamos a aplicar el m´etdo de los coeficientes indeterminados para determinar una soluci´on particular de la ecuaci´on d3 x d2 x dx − 2 + − x = cos 2t. dt3 dt dt Buscamos entonces una soluci´on particular xP (t) que pueda escribirse en la forma, xP (t) = A cos 2t + B sen 2t,

7.2. ECUACIONES CON COEFICIENTES CONSTANTES

151

donde A y B son coeficientes que deben ser determinados. Reemplazando xP (t) en la ecuaci´on diferencial no homog´enea y agrupando t´erminos se llega a la ecuaci´on (3A − 6B) cos 2t + (6A + 3B) sen 2t = cos 2t. Se sigue entonces que 3A − 6B = 1 y 6A + 3B = 0, de donde se concluye que 1 2 A = 15 y B = − 15 . La funci´on xP (t) =

1 2 cos 2t − sen 2t. 15 15

es por lo tanto una soluci´on particular de la ecuaci´on dada. Si se quiere dar la soluci´on general vemos que la ecuaci´on caracter´ıstica asociada es la ecuaci´on (λ2 + 1)(λ − 1) = 0, que tiene ra´ıces λ = 1 y λ = ±i. Concluimos diciendo que si c1 , c2 y c3 representan constantes arbitrarias, la soluci´on general puede representarse en la forma x(t) =

1 2 cos 2t − sen 2t + c1 et + c2 cos t + c3 sen t. 15 15

Cuando el t´ermino no homog´eneo f (t) sea del “mismo tipo” que algunas de las soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada, la forma de la soluci´on que se propone debe corregirse un poco, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 7.2.5. Queremos determinar una soluci´on particular de la ecuaci´on d4 x d2 x + 2 + x = sen t. dt4 dt2 Las funciones sen t, t sen t, cos t y t cos t satisfacen la ecuaci´on homog´enea asociada. Por eso no podr´ıamos esperar que existan soluciones particulares de la ecuaci´on no homog´enea del tipo c1 cos t + c2 sen t + c3 t cos t + c4 t sen t. Guiados por la analog´ıa con el caso de las ecuaciones de segundo orden buscaremos soluciones particulares xP (t) de la forma xP (t) = t2 (A cos t + B sen t) ,

152

7. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

donde los coeficientes A y B deben determinarse. Reemplazando xP (t) en la ecuaci´on diferencial no homog´enea, y agrupando t´erminos observamos que −8 A cos t − 8 B sen t = sen t. De all´ı se sigue que −8 A = 0 y −8 B = 1. La soluci´on particular buscada est´a entonces dada por t2 xP (t) = − sen t. 8

Ejercicios. 1. Halle la soluci´on general de la ecuaci´on d3 x 3 d2 x 6 dx 6 − + 2 − 3 x = 0, 3 2 dt t dt t dt t

t > 0.

Sugerencia: esta es una ecuaci´on del tipo Cauchy-Euler. Las soluciones son del tipo x(t) = tk , donde k es un exponente por determinar. 2. Verifique que x(t) = t es soluci´on de la ecuaci´on d3 x 2 d2 x 4 dx 4 + + 2 − 3 x = 0, 3 2 dt t dt t dt t

t > 0.

Reduzca esta ecuaci´on a una de segundo orden mediante la sustituci´on x = t u y finalmente determine un conjunto fundamental de soluciones para esta ecuaci´on diferencial. 3. Sea p(λ) = (λ − 1) (λ2 + 4). Halle un operador diferencial L que tenga p(λ) como polinomio caracter´ıstico y para ese operador halle la soluci´on general de la ecuaci´on L [x] (t) = sen 2t. 4. Halle la soluci´on del siguiente problema de valores iniciales d2 x dx d3 x − 2 − − 2x = sen t, dt3 dt2 dt

x(0) = 0,

dx d2 x (0) = −1, (0) = 1. dt dt2

7.2. ECUACIONES CON COEFICIENTES CONSTANTES

153

5. Dada la ecuaci´on (t + 1)

d4 x dx + (t − 1) − x = tan t 4 dt dt

diga en qu´e intervalos es posible garantizar la existencia de soluciones de acuerdo con el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de orden n. 6. En los siguientes casos decida si el conjunto dado forma o no un conjunto fundamental de soluciones, en el intervalo dado. En caso afirmativo halle la soluci´on que satisface las condiciones iniciales que se indican. a) tx000 − x00 = 0, t > 0; x1 = 1, x2 = t, x3 = t3 . C.I. x(1) = 0, x0 (1) = 1, x00 (1) = −1. b) x000 + 2x00 − x0 − 2x = 0, t ∈ R; x1 = cosh t, x2 = senh t, x3 = e−2t C.I. x(0) = 0, x0 (0) = 0, x00 (0) = 1. c) x000 + 2x00 − x0 − 2x = 0, t ∈ R; x1 = cosh t, x2 = senh t, x3 = et . C.I. x(0) = 0, x0 (0) = 0, x00 (0) = 1. d ) x(4) + 2x0 + x = 0, −t ∈ R; x1 = cos t, x2 = sen t, x3 = t, x4 = t2 . C.I. x(0) = 0, x0 (0) = 1, x00 (0) = 1, x000 (0) = 0. 7. (Reducci´ on de orden). Dada la ecuaci´on d3 x d2 x dx − 3 +3 −x=0 3 2 dt dt dt a) Muestre que existe un u ´nico λ = λ1 para el cual la funci´on x = eλ1 t es una soluci´on. b) Muestre que la sustituci´on x(t) = eλ1 t v(t) permite reducir la ecuaci´on dada a una de segundo orden. Emplee esta reducci´on para obtener un conjunto fundamental de soluciones. 8. Halle las soluci´on de cada uno de los siguientes problemas con condiciones iniciales: a) x(4) − x = 0,

x(0) = 0, x0 (0) = 0, x00 (0) = 1, x000 (0) = 1

154

7. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

b) x000 − x = 0, x(0) = 0, x0 (0) = 0, x00 (0) = 1 c) x(4) + 2x00 + x = 0, x(0) = 0, x0 (0) = 0, x00 (0) = 0, x000 (0) = 1 d ) x(4) − x = et , x(0) = 0, x0 (0) = 0, x00 (0) = 0, x000 (0) = 0 9. Halle la soluci´on general de d2 x dx d3 x e2t −2 2 − . + 2x = dt3 dt dt 1 + et 10. Una masa m1 pende del extremo de un resorte vertical de constante k1 que cuelga sujeto de un soporte fijo. A su vez un segundo resorte de constante k2 se sujeta de la masa m1 , mientras que una masa m2 se suspende del extremo libre de este u ´ltimo resorte. Si x1 y x2 representan los desplazamientos de las masas m1 y m2 a partir de sus respectivas posiciones de equilibrio a) muestre que x1 y x2 satisfacen el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden m1 m2

d2 x1 dt2 d2 x2 dt2

= −(k1 + k2 )x1 + k2 x2 = k 2 x1 − k 2 x2

(*)

b) Si en un sistema apropiado de unidades m1 = m2 = 1, muestre que x1 debe satisfacer la ecuaci´on d4 x1 d2 x1 + (k + 2 k ) + k 1 k 2 x1 = 0 (**) 1 2 dt4 dt2 (sug: despeje x2 en la primera ecuaci´on del sistema (*) y reemplace en la segunda ecuaci´on) c) Resuelva la ecuaci´on (**) en el caso en que k1 = 5, k2 = 6, si 0 0 adem´as x1 (0) = 0, x2 (0) = 1, x1 (0) = 0, y x2 (0) = 0. Respuestas 5. (−∞, − π2 ), (− π2 , −1), (−1, π2 ), ( π2 , ∞). 6.

a) x(t) = − 34 + 32 t − 16 t3 , b) x(t) = − 31 cosh t + 23 senh t + 13 e−2t .

8.

a) x(t) = − 21 cos t − 12 sen t + 12 et , d ) 14 cos t + 14 sen t − 38 et + 18 e−t + 14 tet

Cap´ıtulo 8 Soluciones en series de potencias l Teorema Fundamental de existencia y unicidad de soluciones permite

E definir una funci´on x = x(t) como la u´nica soluci´on de un cierto problema de valores iniciales. Un problema de valores iniciales en el punto t = t0 consiste en una ecuaci´on diferencial de orden n µ ¶ dx dn−1 x dn x = f t, x, , . . . , n−1 dtn dt dt

junto con n condiciones de la forma x(t0 ) = x0 ,

dx dn−1 x (1) (n−1) . (t0 ) = x0 , . . . , (t0 ) = x0 n−1 dt dt

Muchas de las llamadas funciones especiales, que aparecen en relaci´on con diversos problemas tanto de la matem´atica pura como de la matem´atica aplicada, surgen de forma natural en este contexto. Por ejemplo, las funciones de Bessel y los polinomios de Hermite y de Legendre son soluciones de las respectivas ecuaciones: ¢ d2 x dx ¡ 2 +t + t − p2 x = 0, 2 dt dt 2 dx dx − 2t + λ x = 0, 2 dt dt ¢ d2 x ¡ dx 1 − t2 − 2t + λ x = 0. 2 dt dt

ecuaci´on de Bessel: t2 ecuaci´on de Hermite: ecuaci´on de Legendre:

155

156

8. SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

Tambi´en las funciones del c´alculo elemental se pueden caracterizar en t´erminos de ecuaciones diferenciales. As´ı, la funci´on exponencial x = et es la u ´nica soluci´on del problema de valor inicial dx = x, dt

x(0) = 1,

mientras que la funci´on x = sen t puede verse como la soluci´on del problema de valor inicial dx d2 x + x = 0, x(0) = 0, (0) = 1. 2 dt dt Se deja al lector la tarea de encontrar un problema de valores iniciales que determine a la funci´on x = cos t. Varias de las funciones especiales, entre ellas las funciones de Bessel y los polinomios de Hermite y de Legendre mencionados antes, se obtienen como soluciones de ecuaciones lineales homog´eneas de segundo orden dx d2 x + a(t) + b(t) x = 0, 2 dt dt cuyos coeficientes a(t) y b(t) son funciones racionales de t; esto es, a(t) y b(t) son cocientes de polinomios en t. En general no existen m´etodos que permitan calcular las soluciones de estas ecuaciones en t´erminos de funciones elementales. En ese caso cuando se requiera estudiar las soluciones es necesario debe acudirse a otras t´ecnicas. El m´etodo de las soluciones en series, utilizado por Newton en sus Philosophia Naturalis Principia Mathematica (1686), es uno de los m´etodos m´as antiguos de la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales. Consiste en determinar los coeficientes c0 , c1 , c2 . . . de la serie de potencias x(t) = c0 + c1 (t − t0 ) + c2 (t − t0 )2 + · · · =

∞ X

cn (t − t0 )n

(8.1)

n=0

de manera que la funci´on representada por esta serie resulte ser soluci´on de una ecuaci´on dada, en alg´ un intervalo alrededor del punto t = t0 . Ejemplo 8.0.6. Consideremos el problema de valor inicial dx = x, dt

x(0) = 1.

157

Si suponemos que la soluci´on buscada x = x(t) tiene una expansi´on en serie de potencias alrededor del punto t0 = 0, entonces 2

x(t) = c0 + c1 t + c2 t + · · · =

∞ X

cn tn ,

(8.2)

n=0

para ciertos coeficientes c0 , c1 , c2 , . . .. Derivando t´ermino a t´ermino se obtiene la expansi´on para la derivada ∞

X dx = c1 + 2c2 t + 3c3 t2 + · · · = n cn tn−1 . dt n=1 Sustituyendo ahora en la ecuaci´on dx − x = 0 obtenemos dt ¢ ¡ ¢ ¡ c1 + 2c2 t + 3c3 t2 + · · · − c0 + c1 t + c2 t2 + · · · = 0 Sumando t´erminos se concluye que (c1 − c0 ) + (2c2 − c1 ) t + (3c3 − c2 ) t2 + · · · =

∞ X

((n + 1) cn+1 − cn ) tn = 0.

n=0

Teniendo en cuenta la unicidad de las expansiones en series de potencias, el coeficiente de cada t´ermino tn en la serie anterior debe ser igual a 0; por lo tanto para todo n = 0, 1, 2, . . . se sigue que (n + 1) cn+1 − cn = 0, de donde se tiene una relaci´ on de recurrencia para los coeficientes cn : cn+1 =

cn , n+1

n = 0, 1, 2, . . . .

cn−2 En consecuancia cn = cn−1 = n(n−1) = · · · = cn!0 . Reemplazando t = 0 en (8.2) n se sigue que x(0) = c0 de donde la condici´on inicial x(0) = 1 implica que c0 = 1, de forma que cn = n!1 para n = 0, 1, 2, . . . y ∞

X tn t2 t3 , x(t) = 1 + t + + + · · · = 2 6 n! n=0 que es el desarrollo en serie de Taylor de la funci´on exponencial.

158

8.1.

8. SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

Soluciones cerca a un punto ordinario

En seguida estableceremos condiciones bajo las cuales una ecuaci´on lineal de segundo orden posee soluciones que pueden escribirse como una serie de potencias y que en consecuencia son susceptibles de ser determinadas mediante el m´etodo de las series que estamos discutiendo. Definici´ on 8.1.1. Dada una ecuaci´on lineal homog´enea de segundo orden escrita en forma normal d2 x dx + a(t) + b(t) x = 0, 2 dt dt

(8.3)

se dice que t0 es un punto ordinario de la ecuaci´on (8.3) si los coeficientes a(t) y b(t) son funciones anal´ıticas en t0 . Es decir, si tanto a(t) como b(t) poseen representaci´on en serie de potencias alrededor de t = t0 : a(t) =

∞ X

an (t − t0 )n ,

| t − t0 |< Ra , Ra > 0,

bn (t − t0 )n ,

| t − t0 |< Rb , Rb > 0.

n=0

b(t) =

∞ X n=0

A un punto que no es ordinario se le llama punto singular 2

Ejemplo 8.1.1. Si se considera la ecuaci´on ddt2x + x = 0 se tiene que ambos coeficientes a(t) ≡ 0 y b(t) ≡ 1 son funciones anal´ıticas en cada punto t = t0 . Las expansiones en serie de potencias alrededor del punto t = t0 se reducen en cada caso al t´ermino constante. Para a(t) se tiene a0 = a1 = · · · = 0 mientras que para b(t) se tiene que b0 = 1 y b1 = b2 = · · · 0. Ejemplo 8.1.2. Para las ecuaciones de Cauchy–Euler d2 x a dx b + + 2 x = 0, 2 dt t dt t (a y b constantes), el punto t0 = 0 es un punto singular siempre que alguna de las dos constantes, a o b, sea diferente de 0, pues las funciones a(t) = at , a 6= 0 y b(t) = tb2 , b 6= 0, no son anal´ıticas en 0. Estas funciones ni siquiera est´an definidas en t = 0 ni se pueden definir en ese punto de manera que resulten anal´ıticas. Posteriormente veremos que en general las ecuaciones de Cauchy–Euler no poseen soluciones en series de potencias alrededor de t = 0, a no ser por la soluci´on nula.

8.1. SOLUCIONES CERCA A UN PUNTO ORDINARIO

159

Ejemplo 8.1.3. Para la ecuaci´on de Hermite d2 x dx − 2t + λx = 0, 2 dt dt λ un par´ametro real, todo punto t = t0 de la recta real es un punto ordinario. En efecto, puede verse que a(t) = −2t = −2t0 − 2(t − t0 ) y b(t) = λ, de donde a0 = −2t0 , a1 = −2 y an = 0 para n ≥ 2, en tanto que b0 = λ y bn = 0 para n ≥ 1. Ejemplo 8.1.4. La ecuaci´ on de Legendre escrita en forma normal es la ecuaci´on d2 x 2t dx λ − + x=0 2 2 dt 1 − t dt 1 − t2 2t λ donde λ es un par´ametro real. De esa forma a(t) = − 1−t 2 y b(t) = 1−t2 . El punto t0 = 0 es un punto ordinario. En efecto, teniendo en cuenta la serie geom´etrica ∞ X 1 = sn , 1 − s n=0

la cual converge en el intyervalo −1 < s < 1, se tiene que a(t) = −2

∞ ∞ X X 2t 2n = −2t t = − 2t2n+1 , 1 − t2 n=0 n=0

−1 < t < 1,

y ∞

X λ λ t2n , b(t) = = 1 − t2 n=0

−1 < t < 1.

Por el contrario, los puntos t = 1 y t = −1 son puntos singulares pues los coeficientes a(t) y b(t) no admiten representaci´on en serie de potencias alrededor de t0 = 1 o de t0 = −1. En general, tal como ocurre con los coeficientes de la ecuaci´on de Legendre del ejemplo anterior, puede resultar bastante complicado obtener expl´ıcitamente las series de potencias que representen a una funci´on dada alrededor

160

8. SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

de un punto ordinario. Sin embargo, se puede demostrar que si P (t) y Q(t) son polinomios sin ra´ıces comunes y Q(t0 ) 6= 0, entonces la funci´on racional f (t) =

P (t) Q(t)

es anal´ıtica en el punto t0 , y por lo tanto puede representarse en forma de una serie de potencias alrededor de t0 . Ejemplo 8.1.5. La ecuaci´ on de Bessel escrita en forma normal es la ecuaci´on d2 x 1 dx t2 − p2 + + x = 0, dt2 t dt t2 de modo que a(t) = t0 = 0.

1 t

y b(t) =

t2 −p2 . t2

p un par´ametro real, El u ´nico punto singular es el punto

Teorema 8.1.1 (Soluciones anal´ıticas alrededor de un punto ordinario). Si t0 es un punto ordinario de la ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea (8.3), entonces para cada par de n´ umeros, x0 y v0 , la u ´nica soluci´on x = x(t) de (8.3) que satisface las condiciones iniciales x(t0 ) = x0 y x0 (t0 ) = v0. puede representarse en la forma de una serie de potencias x(t) =

∞ X

cn (t − t0 )n ,

n=0

que converge en un intervalo | t−t0 |< R, R > 0. El intervalo −R < t−t0 < R donde converge la expansi´ on en serie para x(t) es por lo menos igual al mayor de los intervalos alrededor de t0 sobre los cuales ambos coeficientes, a(t) y b(t), tienen una representaci´ on convergente en serie de potencias alrededor de t0 . Demostraci´ on. La demostraci´on consiste en aplicar en general el m´etodo de las series utilizado en el ejemplo 8.0.6. Las relaciones algebraicas que conducen a las relaciones de recurrencia son sencillas, aunque un poco largas. El u ´nico punto delicado es la convergencia de la serie obtenida. Los detalles pueden consultarse en por ejemplo el texto cl´asico de Coddington y Levinson [2].

8.1. SOLUCIONES CERCA A UN PUNTO ORDINARIO

161

La ecuaci´ on de Hermite. En el caso de la ecuaci´ on de Hermite d2 x dx − 2t + λ x = 0, dt2 dt cada punto t0 es un punto ordinario. En particular las respectivas expansiones para a(t) y b(t) alrededor de t0 = 0 est´an dadas por a(t) = −2t,

y b(t) = λ,

y son v´alidas en el intervalo −∞ < t < ∞. De acuerdo con el teorema 8.1.1, todas las soluciones de la ecuaci´on de Hermite son anal´ıticas y su representaci´on en serie de potencias 2

x(t) = c0 + c1 t + c2 t + · · · =

∞ X

cn tn

n=0

converge para todo t real. Los coeficientes c0 , c1 , c2 , . . . se determinan sustituyendo las expansiones en serie de potencias de las funciones x(t), x0 (t) y x00 (t) en la ecuaci´on de Hermite: 0

x (t) = c1 + 2c2 t + · · · =

∞ X

n cn tn−1 ,

n=1 ∞ X

x00 (t) = 2c2 + 6c3 t + · · · =

n (n − 1) cn tn−2 .

n=2

Sustituyendo ahora en la ecuaci´on de Hermite se obtiene 00

0

x − 2t x + λ x =

∞ X

n (n − 1)cn t

n−2

− 2t

∞ X

n=2

=

∞ X n=2

n−1

n cn t

+λ

n=1

n (n − 1)cn tn−2 −

∞ X n=1

2 n cn tn +

∞ X

cn tn

n=0 ∞ X

λ cn tn .

(8.4)

n=0

Para facilitar la suma de las series anteriores es conveniente “unificar” los ´ındices, en el sentido de que todos ellos representen, por ejemplo, a la potencia a la cual aparezca elevada la variable t. En el caso presente s´olo resulta necesario cambiar el ´ındice de la primera serie, definiendo para ello un nuevo

162

8. SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

´ındice k = n − 2, o equivalentemente haciendo n = k + 2. Vemos entonces que ∞ ∞ X X n−2 n (n − 1)cn t = (k + 2)(k + 1) ck+2 tk . n=2

k=0

Aunque temporalmente y para evitar confusiones cambiamos el nombre de n a k puede ser conveniente rebautizar el nuevo ´ındice, y llamarlo otra vez n. Vemos entonces que ∞ ∞ X X (k + 2)(k + 1) ck+2 tk = (n + 2)(n + 1) cn+2 tn n=0

k=0

y reemplazando finalmente en (8.4) obtenemos ∞ ∞ ∞ X X X n n x − 2t x + λ x = (n + 2) (n + 1) cn+2 t − 2 n cn t + λ c n tn 00

0

n=0

= 2 c2 + λ c 0 +

n=1 ∞ X

n=0

((n + 2)(n + 1) cn+2 − (2n − λ) cn ) tn = 0.

n=1

Para que esta u ´ltima serie se anule en un intervalo abierto sus coeficientes deben ser todos nulos, as´ı que la anterior ecuaci´on significa que 2 c2 + λ c 0 = 0 y para n = 1, 2, . . . , ((n + 2)(n + 1) cn+2 − (2n − λ) cn ) = 0. Se obtienen as´ı las relaciones de recurrencia λ (2n − λ) c2 = − c0 , y cn+2 = cn , 2 (n + 2)(n + 1)

n = 1, 2, . . . .

(8.5)

La anteriores relaciones determinan recursivamente a los coeficientes cn , n ≥ 2, en t´erminos de c0 y c1 como sigue: λ c2 = − c0 , 2 2·1−λ c3 = c1 , 2·3 2·2−λ (2 · 2 − λ) λ c4 = c2 = − c0 , 3·4 2·3·4 2·3−λ (2 · 3 − λ) (2 · 1 − λ) c5 = c3 = c1 , 4·5 2·3·4·5

8.1. SOLUCIONES CERCA A UN PUNTO ORDINARIO

163

y en general se tiene (2 (2k − 2) − λ) · · · (2 · 2 − λ) λ c0 ≡ h2k c0 , k = 1, 2, . . . (2k)! (2 (2k − 1) − λ) · · · (2 · 3 − λ) (2 · 1 − λ) = c1 ≡ h2k+1 c1 k = 1, 2, . . . (2k + 1)!

c2k = − c2k+1

donde para k = 1, 2, . . . λ (2 · 2 − λ) · · · (2 (2k − 2) − λ) (2k)!

(8.6)

(2 · 1 − λ) (2 · 3 − λ) · · · (2 (2k − 1) − λ) . (2k + 1)!

(8.7)

h2k = − y h2k+1 =

Si adem´as hacemos h0 = 1 y h1 = 1 se puede escribir ! ! Ã∞ Ã∞ ∞ ∞ X X X X h2k+1 t2k+1 , h2k t2k + c1 c2k+1 t2k+1 = c0 c2k t2k + x(t) = k=0

k=0

k=0

k=0

(8.8) con c0 y c1 constantes que dependen de las condiciones iniciales. Como x(t) = c0 + c1 t + c2 t2 + · · · mientras que x0 (t) = c1 + 2c2 t + · · · no es dif´ıcil ver que en efecto x(0) = c0 y x0 (0) = c1 . Sabemos por el teorema 8.1.1 que las series que representan a las soluciones de la ecuaci´on de Hermite deben ser convergentes en (−∞, ∞). Como ejercicio vamos a calcular directamente el radio de convergencia de estas series. Para ello vamos a escribir u(t) =

∞ X k=0

2k

h2k t ,

y v(t) =

∞ X

h2k+1 t2k+1

k=0

y determinamos el radio de convergencia de cada una de estas series. Teniendo en cuenta las relaciones (8.6) y (8.7) se sigue que 4 − λk h2k+2 (2 (2k) − λ) (2k)! (2 (2k) − λ) ¢ = = =¡ , h2k (2k + 2)! (2k + 1) (2k + 2) 2 + k1 (2k + 2) de donde l´ımk→∞ hh2k+2 = 0. Empleando el criterio del cociente puede con2k cluirse que la serie que representa a u(t) converge para todo n´ umero real t.

164

8. SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

De manera similar se puede demostrar que la serie correspondiente a v(t) converge para todo t. De acuerdo con (8.8) cada una de las soluciones x(t) de la ecuaci´on de Hermite puede expresarse como combinaci´on lineal de u(t) y v(t), x(t) = c0 u(t) + c1 v(t), de manera que u y v forman un conjunto fundamental de soluciones para la ecuaci´on de Hermite. Un caso interesante de la ecuaci´on de Hermite se da cuando el par´ametro λ es un n´ umero entero positivo y par, digamos λ = 2p. En ese caso la relaci´on de recurrencia (8.5) muestra que cp+2 = cp+4 = · · · = 0. Si adem´as p es par y se toma c1 = 0 la soluci´on x(t) dada en (8.8) se reduce a un polinomio de grado p: p/2 X ¢ ¡ x(t) = c0 h2k t2k = c0 h0 + h2 t2 + · · · + hp tp . k=0

An´alogamente, si p es impar y se toma c0 = 0 en (8.8) la soluci´on x(t) se reduce a un polinomio de grado p. (p−1)/2

x(t) = c1

X

¡ ¢ h2k+1 t2k+1 = c1 h1 t + h3 t3 + · · · + hp tp .

k=0

Si adem´as los respectivos coeficientes c0 y c1 se escojen de manera que el coeficiente del t´ermino en tp sea 2p , las correspondientes soluciones polin´omicas reciben el nombre de Polinomios de Hermite de grado p y se denotan por Hp (t). A continuaci´on se muestran algunos de estos polinomios H0 (t) = 1, H2 (t) = −2 + 4t2 ,

H1 (t) = 2t, H3 (t) = −12t + 8t3 .

Ejercicios 1. Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on ¢ ¡ 1 + t2 x00 − 4t x0 + 6x = 0 en la forma c0 x1 (t) + c1 x2 (t), donde x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) son series de potencias.

´ 8.2. EL METODO DE FROBENIUS

165

2. Resuelva la ecuaci´ on de Airy d2 x − tx = 0 dt2 en t´erminos de series de potencias alrededor del punto t = 0. Determine directamente el radio de convergencia de las series obtenidas. Halle adem´as la soluci´on que satisface x(0) = 1 y x0 (0) = 1. 3. Halle la soluci´on general de la ecuaci´on ¡ ¢ 1 + t2 x00 + 2t x0 − 2x = 0 en t´erminos de una serie de potencias alrededor de t = 0 ¿puede identificar esta serie en t´erminos de funciones elementales? 4. Para la ecuaci´on de Legendre (1 − t2 )

d2 x dx − 2t + α (α + 1) x = 0, 2 dt dt

α un par´ametro real, a) halle dos soluciones linealmente independientes en forma de serie de potencias alrededor de t = 0 y determine el radio de convergencia de estas series, b) muestre que si α = N es un n´ umero entero existe una soluci´on polin´omica de grado N, c) tomando α = 3, determine la soluci´on que satisface x(0) = 0 y x0 (0) = 1. Respuestas ³ ´ 3 1. x(t) = c0 (1 − 3t2 ) + c1 t − t3 ³ ´ ³ ´ t3 t6 t3 t6 2. x(t) = c0 1 + 2·3 + (2·5)(3·6) + · · · + c1 t 1 + 3·4 + (3·6)(4·7) + ··· ¢ ¡ 3. x(t) = c0 1 + t2 − 13 t4 + 15 t6 − · · · + c1 t = c0 (1 + t arctan t) + c1 t.

8.2.

El m´ etodo de Frobenius

Cuando las ecuaciones del tipo (8.3) tienen singularidades las soluciones no son en general anal´ıticas alrededor de las singularidades, tal como lo muestra el siguiente ejemplo

166

8. SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

Ejemplo 8.2.1. La ecuaci´on diferencial t2

d2 x dx 1 + t − x=0 dt2 dt 4

(8.9)

no P∞poseen soluciones no nulas que puedan escribirse en la forma x(t) = on, supongamos que existe una son=0 cn t . Para comprobar esta afirmaci´ luci´on de esta forma. t´ermino aP t´ermino x(t) se obtienen las exP∞ Derivando 0 n−1 00 n−2 presiones x (t) = n=1 n cn t y x (t) = ∞ , que al ser n=2 n (n − 1) cn t reemplazadas en (8.9) implican que ∞ ∞ ∞ X X X 1 1 n n t x (t) + t x (t) − x(t) = n (n − 1) cn t + n cn t − cn tn 4 4 n=2 n=1 n=0 µ ¶ ¶ µ ∞ X 1 1 1 2 = − c0 + 1 − c1 t + n − cn tn = 0. 4 4 4 n=2 2

00

0

Para que esta serie se anule en un intervalo sus coeficientes deben ser todos iguales a cero. Esto implica que cn = 0 para n = 0, 1, 2, . . . . Por lo tanto la u ´nica soluci´on en serie de potencias es en este caso la funci´on nula. El ejemplo anterior es un caso particular de la ecuaci´ on de Cauchy–Euler : d2 x dx t + a t + b x = 0. dt2 dt 2

(8.10)

Estas ecuaciones tienen soluciones de la forma x(t) = tr . En efecto el exponente r se puede hallar reemplazando x(t) = tr en la ecuaci´on (8.10), teniendo en cuenta que x0 (t) = r tr−1 y x00 (t) = (r − 1) r tr−2 : t2 r (r − 1) tr−2 + a t r tr−1 + b tr = 0 ¡ ¢ tr r2 + (a − 1) r + b = 0. En consecuencia los valores de r para los cuales x = tr es una soluci´on de la ecuaci´on de Cauchy–Euler est´an determinados por la ecuaci´on de ´ındices r2 + (a − 1) r + b = 0.

(8.11)

Si alguna de las ra´ıces de esta ecuaci´on es, o bien un n´ umero real no entero o bien un n´ umero negativo, la correspondiente soluci´on x = tr no es anal´ıtica en t = 0.

´ 8.2. EL METODO DE FROBENIUS

167

Como ejemplo vemos que la ecuaci´on de ´ındices de (8.9) es la ecuaci´on umeros r = ± 12 de donde se sigue que la r − 41 = 0, cuyas ra´ıces son los n´ soluci´on general de (8.9) en el intervalo (0, ∞) puede escribirse en la forma 2

1

1

x(t) = c1 t 2 + c2 t− 2 donde c1 y c2 son constantes reales arbitrarias. Definici´ on 8.2.1. Un punto singular t0 de la ecuaci´on (8.3) se llama singular regular si (t − t0 ) a(t) y (t − t0 )2 b(t) son funciones anal´ıticas en t0 , es decir, si estas funciones se pueden representar mediante series de potencias en t − t0 : (t − t0 ) a(t) =

∞ X

αn (t − t0 )n ,

| t − t0 |< Ra , Ra > 0,

βn (t − t0 )n ,

| t − t0 |< Rb , Rb > 0.

n=0

(t − t0 )2 b(t) =

∞ X n=0

Resulta claro que si t0 es un punto singular regular entonces la ecuaci´on d2 x dx + a(t) + b(t) x = 0 2 dt dt puede escribirse en la forma (t − t0 )2 donde α(t) =

∞ X n=0

d2 x dx + (t − t0 ) α(t) + β(t) x = 0, 2 dt dt n

αn (t − t0 )

y β(t) =

∞ X

βn (t − t0 )n

(8.12)

(8.13)

n=0

son funciones anal´ıticas. Debe notarse que los coeficientes α0 , β0 y β1 no son simult´aneamente nulos pues en tal caso t0 ser´ıa un punto ordinario. Ejemplo 8.2.2. Para la ecuaci´on de Bessel t0 = 0 es un punto singular regular (ver ejemplo 8.1.5). Lo mismo es cierto para las ecuaciones de Cauchy– Euler (ver ejemplo 8.1.2). Para la ecuaci´ on de Legendre (ejemplo 8.1.4) t0 = 1 y t0 = −1 son puntos singulares regulares. En 1873, F. G. Frobenius tuvo la idea de buscar soluciones en intervalos de la forma (t0 , t0 + R) y (t0 − R, t0 ), a los lados de un punto singular regular t0 .

168

8. SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

Teorema 8.2.1 (Frobenius). Si las expansiones dadas en (8.13) son ambas v´alidas en el intervalo (t0 − R, t0 + R), entonces la ecuaci´ on (8.12) tiene al menos una soluci´on de la forma x(t) = |t − t0 |r

∞ X

cn (t − t0 )n ,

con c0 6= 0,

(8.14)

n=0

v´alida en cada uno de los intervalos (t0 , t0 + R) y (t0 − R, t0 ), donde r es una ra´ız de la ecuaci´ on de ´ındices r2 + (α0 − 1) r + β0 = 0.

(8.15)

Demostraci´ on. La demostraci´on consiste en suponer la existencia de una soluci´on x(t) de la forma (8.14) y reemplazar las expansiones en series de potencias de x(t), x0 (t) y x00 (t) en la ecuaci´on (8.12), de donde se obtiene tanto la ecuaci´on de ´ındices como las relaciones que determinan a los coeficientes cn . En general la ecuaci´on de ´ındices puede tener dos ra´ıces. Las relaciones de recurrencias para los coeficientes dependen de los valores de esas ra´ıces, por lo que deben estudiarse ambas ra´ıces separadamente y probar que para al menos una de las dos existe P una soluci´on asociada. Finalmente se demuestra n que las series de potencias ∞ n=0 cn (t − t0 ) correspondientes a las soluciones convergen, aunque los detalles t´ecnicos son intrincados y se requiere de m´etodos de an´alisis avanzado. Ejemplo 8.2.3. La ecuaci´on t2 x00 − t x0 + x = 0 es del tipo Cauchy–Euler. Se deja al lector la tarea de verificar que {t, t ln t} es un conjunto fundamental de soluciones en (0, ∞). Obs´ervese sin embargo que la soluci´on x = t ln t, t > 0 no puede expresarse en la forma (8.14) con t0 = 0, lo que sin embargo no entra en contradicci´on con el Teorema 8.2.1 (¿por qu´e?). © ª Ejemplo 8.2.4. Se puede verificar que t sen 1t , t cos 1t es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on d2 x +x=0 dt2 en el intervalo (0, ∞). Ninguna de estas soluciones se puede expresar en la forma (8.14) si t0 = 0. N´otese que t0 = 0 es un punto singular no regular de la ecuaci´on, por lo que no hay contradicci´on con el teorema 8.2.1. t4

´ 8.2. EL METODO DE FROBENIUS

169

La ecuaci´ on de Bessel. Ilustraremos el teorema de Frobenius en el caso de la ecuaci´on de Bessel t2

¢ d2 x dx ¡ 2 2 + t + t − p x = 0, dt2 dt

(8.16)

donde p es un par´ametro real no negativo. Supongamos que existe una soluci´on de la forma x(t) = t

r

∞ X

n

cn t =

n=0

∞ X

cn tn+r ,

con c0 6= 0,

n=0

definida en el intervalo (0, ∞). Derivando t´ermino a t´ermino se obtienen las expresiones 0

x (t) =

∞ X

(n + r) cn t

n+r−1

00

y x (t) =

n=0

∞ X

(n + r) (n + r − 1) cn tn+r−2 .

n=0

Reemplazando en (8.16) tenemos ∞

X ¢ d2 x dx ¡ 2 2 t + t + t − p x = (n + r) (n + r − 1) cn tn+r dt2 dt n=0 2

+ = tr +

∞ X

∞ ¡ ¢X (n + r) cn tn+r + t2 − p2 cn tn+r

n=0 Ã ∞ X

n=0

(n + r) (n + r − 1) cn tn

n=0 ∞ X

∞ X

n=0

n=0

(n + r) cn tn −

p 2 cn tn +

∞ X

! cn tn+2

n=0

= 0. Teniendo en cuenta que tr 6= 0 en los intervalos del tipo (0, R) con R > 0, se deduce que ∞ X n=0

n

(n + r) (n + r − 1) cn t +

∞ X n=0

n

(n + r) cn t −

∞ X n=0

2

n

p cn t +

∞ X n=0

cn tn+2 = 0,

170

8. SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

equivalentemente ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X ¡ ¢ ¡ ¢ 2 2 2 n n+2 2 n (n + r) − p cn t + cn t = (n + r) − p cn t + cn−2 tn n=0

n=0

n=2 ¡n=02 ¡ ¢ ¢ 2 2 = r − p c0 + (1 + r) − p2 c1 t ∞ X ¡¡ ¢ ¢ + (n + r)2 − p2 cn + cn−2 tn n=2

= 0. Se tienen entonces las siguientes relaciones ¡ 2 ¢ r − p2 c0 = 0, ¡ ¢ (1 + r)2 − p2 c1 = 0, ¡ ¢ (n + r)2 − p2 cn + cn−2 = 0,

(8.17) (8.18) n = 2, 3, . . . .

(8.19)

La condici´on c0 6= 0 y (8.17) implican que r2 − p2 = 0. Esta es precisamente la ecuaci´on de ´ındices, la cual tiene dos ra´ıces r = p y r = −p. Investigaremos primero la mayor de las ra´ıces, r = p. Reemplazando r = p en (8.18) y (8.19) obtenemos (1 + 2p) c1 = 0 y n (n + 2p) cn + cn−2 = 0, de donde se concluye que c1 = 0 y que cn = −

cn−2 , n (n + 2p)

n = 2, 3, . . . .

(8.20)

En consecuencia cn = 0 si n es impar mientras que si n es par cn se puede escribir en t´erminos de c0 : −1 c0 2 · 2(1 + p) (−1)2 −1 c2 = c0 c4 = 4(4 + 2p) (4 · 2) 22 (1 + p)(2 + p) c2 =

y en general, c2n =

(−1)n c0 , n!(2n )2 (1 + p) (2 + p) · · · (n + p)

´ 8.2. EL METODO DE FROBENIUS

171

para n = 1, 2, . . . . Sin embargo c0 puede escogerse arbitrariamente. De esta manera llegamos a la soluci´on buscada x(t) = tp

∞ X n=0

(−1)n c0 t2n . n! 22n (1 + p) (2 + p) · · · (n + p)

(8.21)

Puede verificarse, empleando por ejemplo el criterio de la raz´on, que la anterior serie converge para todo n´ umero real t real (ver ejercicios). En este punto de la discusi´on es conveniente introducir una funci´on que simplificar´a la escritura de las soluciones de la ecuaci´on de Bessel. La funci´on en cuesti´on es la funci´on Gamma de Euler que se define para todos los n´ umeros reales excepto los enteros negativos. Para cada n´ umero real positivo s la funci´on gamma se define mediante una integral infinita Z ∞ e−t ts−1 dt, Γ(s) = 0

mientras que para los n´ umeros negativos no enteros s se define en forma recursiva mediante la relaci´on Γ(s) =

Γ(s + 1) . s

La funci´ on gamma generaliza la noci´on de factorial de un n´ umero entero. En efecto, no es dif´ıcil probar que esta funci´on satisface las identidades Γ(p + 1) = p Γ(p) Γ(m + 1) = m!

para todo n´ umero real positivo p para todo n´ umero entero positivo m

Como consecuencia se tiene que (1 + p) (2 + p) · · · (n + p) =

Γ(1 + n + p) . Γ(1 + p)

La expresi´on (8.21) puede entonces reescribirse en la forma µ ¶2k ∞ X (−1)n Γ(1 + p) t p x(t) = c0 t Γ(1 + n + p) n! 2 n=0 µ ¶2n ∞ X (−1)n t = c0 Γ(1 + p) tp . Γ(1 + n + p) n! 2 n=0

(8.22) (8.23)

172

8. SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

1 J_0 J_1 J_2

0.8

J_0(x), J_1(x), J_2(x)

0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 0

5

10

15 x

20

25

30

Figura 8.1: Funciones de Bessel de primer orden J0 ,J1 ,J2 1 en la expresi´on anterior se tienen las llamadas Cuando se toma c0 = 2p Γ(p+1) funciones de Bessel de primera especie de orden p, que se denotan Jp (t). Esto es µ ¶2n+p ∞ X t (−1)n . Jp (t) ≡ n! Γ(p + n + 1) 2 n=0

La figura 8.1 muestra los gr´aficos de J0 , J1 y J2 . Se observa que estas funciones oscilan de modo que hacen recordar a las funciones trigonom´etricas sen t y cos t. Investigaremos ahora si existen soluciones de la ecuaci´on de Bessel asociadas a la ra´ız r = −p; esto es, si existen soluciones de la forma x(t) = t−p

∞ X

cn tn ,

con c0 6= 0.

n=0

Reemplazando r = −p en (8.17), (8.18) y (8.19) se obtienen las condiciones 0 c0 = 0, (1 − 2p) c1 = 0, n (n − 2p) cn + cn−2 = 0,

n = 2, 3, . . . .

(8.24) (8.25) (8.26)

´ 8.2. EL METODO DE FROBENIUS

173

J_(-3/2) J_(-1/2)

J_(-3/2)(x),

J_(-1/2)(x)

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

0

10

5

15 x

20

25

30

Figura 8.2: Funciones de Bessel de orden negativo J−0,5 ,J−3,5 Consideremos primero el caso en el que 2p no es un entero. En estas circunstancias las relaciones (8.24), (8.25) y (8.26) implican que c1 = c3 = · · · = 0 mientras que (−1)n c0 . (8.27) c2n = n! · 22n (1 − p) (2 − p) · · · (n − p) Si se toma c0 =

1 2p Γ(1−p)

se obtiene una segunda soluci´on

J−p (t) =

∞ X n=0

(−1)n n! Γ(n − p + 1)

µ ¶2n−p t . 2

(8.28)

Puesto que J−p (t) no est´a acotada cerca a t = 0 mientras que Jp (t) si lo est´a, se sigue que J−p (t) y Jp (t) son linealmente independientes y por tanto forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on de Bessel. La figura 8.2 muestra los gr´aficos de algunas funciones de Bessel con orden negativo. ¿Qu´e ocurre si 2p es un entero, digamos si 2p = N ? N´otese que en este caso, en virtud de (8.24), (8.25) y (8.26) y si N > 1 se tendr´ıa que cN −2 = 0. Ahora, si p no es un n´ umero entero (de manera que N es impar) se sigue que c1 = c3 = · · · = cN −2 = 0, mientras que cN puede tomar cualquier valor.

174

8. SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

N´otese sin embargo que las relaciones (8.27) correspondientes a los t´erminos c2n , n = 1, 2, . . . , siguen siendo v´alidas. De este modo la funci´on J−p definida en (8.28) sigue proporcionando una segunda soluci´on para la ecuaci´on de Bessel y las funciones Jp (t) y J−p (t) forman un conjunto fundamental de soluciones. Finalmente, cuando p sea un entero de modo que N es un n´ umero par, se sigue de la relaci´on (8.26), que cN −2 = 0. Iterando hacia atr´as esta misma relaci´on se concluye que cN −2 = cN −4 = · · P · = c0 = 0 lo que significa que no n existe una soluci´on de la forma x(t) = t−p ∞ n=0 cn t , con c0 6= 0, en el caso en el que p sea entero. As´ı, para tales valores de p el m´etodo de Frobenius no proporciona un conjunto fundamental de soluciones. Una segunda soluci´on podr´ıa obtenerse a partir de Jp (t) empleando el m´etodo de reducci´on de orden. Alternativamente puede procederse como sigue. Si p no es entero se define la funci´on Yp (t) =

cos p π Jp (t) − J−p (t) sen p π

Es claro que Yp (t) y Jp (t) forman un conjunto fundamental de soluciones para la correspondiente ecuaci´on de Bessel de orden p. Ahora si p = n es un n´ umero entero se define la funci´on Yn (t) como el l´ımite Yn (t) = l´ım Yr (t). r→n

Se demuestra en textos especializados (ver por ejemplo [7]) que Yn (t) es una soluci´on de la ecuaci´on de Bessel de orden n y que cualquier soluci´on x = x(t) de la ecuaci´on de Bessel en (0, ∞) puede expresarse en la forma x(t) = c0 Jp (t) + c1 Yp (t),

0 < t < ∞,

donde c0 y c1 son constantes. Las funciones Yp se denominan funciones de Bessel de segunda especie de orden p. Las funciones Jp (t) y Yp (t) han sido extensamente estudiadas por la importancia que tienen en varios modelos matem´aticos. Existen verdaderos tratados acerca de estas funciones, como el de G. Watson [10], res´ umenes muy bien logrados como el de I. Stegun y M. Abramowitz [9] y presentaciones elementales como la de Simmons [8]. Las funciones de Bessel se encuentran integradas a los programas de software matem´atico como es el caso de MuPad.

´ 8.2. EL METODO DE FROBENIUS

175

Ejercicios 1. Halle los puntos singulares de las ecuaciones diferenciales siguientes y determine si son regulares. Suponga que α es constante a) (1 − t2 ) x00 − 2t x0 + α (α + 1) x = 0, b) t2 x00 + (1 − t) x0 = 0, c) t x00 + sen t x = 0, d ) t3 (t−1) x00 −2(t−1) x0 +3t x =

0, e) t x00 + cos t x0 + t2 x = 0, f ) t2 (t2 −1) x00 −t (1−t) x0 +2x = 0,

2. Demuestre directamente la convergencia de las funciones de Bessel de primera especie. 2

3. Halle la soluci´on general de t2 ddt2x + t dx + 4x = 0, t > 0. dt 0 4. Dada la ecuaci´on t x00 + 2xP − t x = 0, t > 0, encuentre todas las solucio∞ r n nes de la forma x(t) = t ıbalas n=0 cn t con c0 6= 0. Si es posible escr´ en t´erminos de funciones elementales. ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental?

5. Determine todas lasPsoluciones de t x00 + (1 − t) x0 + 2x = 0, t > 0, de n la forma x(t) = tr ∞ n=0 cn t . ¿Forman estas soluciones un conjunto fundamental? 6. Resolver 2t x00 + (1 + t) x0 − 2x = 0, t > 0. 7. Halle la soluci´on general de la ecuaci´on t2 x00 + t x0 + (36 t4 − 1) x = 0, t > 0, en t´erminos de funciones de Bessel (sugerencia: intente el cambio de variable s = 3 t2 ). √ 8. Muestre que x(t) = t J1/2 (t) es soluci´on de x00 + x = 0. Deduzca que √ t. para alguna constante c se tiene J1/2 (t) = c sen t 9. Para la ecuaci´on t x00 + x0 + t x = 0, halle la soluci´on definida en el intervalo 0 < t < ∞ que satisfaga las condiciones x(1) = 0, x0 (1) = 1. Muestre que no hay ninguna soluci´on que satisfaga x(0) = 0 y x0 (0) = 1. 2

10. Muestre que la sustituci´on s = 1t transforma la ecuaci´on t4 ddt2x + x = 0 2 + s x = 0. Determine si el punto s = 0 es en la ecuaci´on s ddsx2 + 2 dx ds

176

8. SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

ordinario, singular regular o singular no regular. Resuelva la ecuaci´on mediante los m´etodos tratados en esta gu´ıa (ver el ejemplo 8.2.4). Respuestas 1. Puntos singulares: a) t = ±1 regulares, b) t = 0 irregular, c) t = 0 regular, d ) t = 0 irregular, t = 1 regular, e) t = 0 regular, f ) t = 0, t = ±1 regulares. 3. x = c1 cos (2 ln t) + c2 sen (2 ln t) P P∞ t2n −1 4. x = c0 t−1 ∞ n=0 (2n)! + c1 t n=0 5. x = c0 (1 − 2t +

t2 ); 2

t2n+1 (2n+1)!

No

6. x = c0 (1 − 2t + 13 t2 ) + c1 t1/2 (1 − 12 t + 7. x(t) = c1 J 1 (3t2 ) + c2 J− 1 (3t2 ) 2

= c0 t−1 cosh t + c1 t−1 senh t

2

1 2 t 40

+ . . .)

Cap´ıtulo 9 La transformada de Laplace a transformada de Laplace es una operador que act´ ua sobre una funci´on dada, transform´andola en una “nueva” funci´on, tal como lo hacen, por ejemplo, los operadores diferenciales a los que no hemos referido antes. La transformada de Laplace tiene propiedades particulares que la hacen u ´til en el proceso de resolver ciertas ecuaciones diferenciales. Espec´ıficamente la transformada de Laplace se puede emplear para resolver ecuaciones lineales con coeficientes constantes. En el cap´ıtulo 5 discutimos ya c´omo resolver tales ecuaciones, empleando la ecuaci´on caracter´ıstica para hallar conjuntos fundamentales de soluciones para las ecuaciones homog´eneas y bien el m´etodo de los coeficientes indeterminados o el de variaci´on de par´ametros para hallar soluciones particulares de ecuaciones no homog´eneas. Visto esto as´ı, la transformada de Laplace no ampl´ıa realmente la gama de ecuaciones susceptibles de ser resueltas en forma expl´ıcita. Sin embargo en determinadas situaciones, como es el caso de ciertos problemas de valores iniciales, las t´ecnicas que nos disponemos a estudiar en este cap´ıtulo muestran ser muy convenientes. De otro lado el concepto de transformada de Laplace es interesante en s´ı mismo, yu ´til en otros contextos adem´as del que nos proponemos presentar en este cap´ıtulo.

L

9.1.

Conceptos b´ asicos

Definici´ on 9.1.1. Sea u una funci´on definida en R ∞(0, ∞) y tal que para un cierto n´ umero a se tiene que la integral impropia 0 e−st u(t) dt converge para todo s > a. En ese caso se define la transformada de Laplace de u como la 177

178

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

funci´on uˆ dada por la f´ormula Z uˆ(s) =

∞

e−st u(t) dt,

s > a.

0

Tambi´en usaremos la notaci´on L {u} para referirnos a la transformada de Laplace de u. R∞ Recu´erdese que una integral impropia del tipo 0 f (t) dt converge si f es una funci´on integrable en cada intervalo [0, B], B > 0, y si el l´ımite RB l´ımB→∞ 0 f (t) dt existe (en el sentido finito). Entonces, por definici´on, Z ∞ Z B −st L {u} (s) = e u(t) dt = l´ım e−st u(t) dt. B→∞

0

0

Ejemplo 9.1.1 (funci´on constante u(t) = 1). La transformada de Laplace de la funci´on constante u(t) = 1 es la funci´on uˆ(s) = 1s , 0 < s < ∞. En efecto, si 0 < s < ∞, Z ∞ Z B 1 e−sB 1 −st + )= , L {1} (s) = e dt = l´ım e−st dt = l´ım (− B→∞ 0 B→∞ s s s 0 R ∞ −st Debe observarse que la integral 0 e dt diverge si s ≤ 0. Ejemplo 9.1.2 (funci´on exponencial). La transformada de Laplace de la 1 funci´on u(t) = eat es la funci´on uˆ(s) = s−a , a < s < ∞, como puede verse f´acilmente, pues si s > a entonces Z ∞ Z ∞ © at ª −st at L e (s) = e e dt = e−(s−a)t dt 0

= L {1} (s − a) =

0

1 . s−a

Tambi´en se ve en este caso que si s ≤ a la integral diverge. Ejemplo 9.1.3 (u(t) = tn , n > 0 entero). La transformada de Laplace de n! la funci´on u(t) = tn , n > 0 entero, es la funci´on uˆ(s) = sn+1 , s ∈ (0, ∞). Veamos primero que esta f´ormula es correcta para n = 1. Mediante integraci´on por partes obtenemos que para s > 0, ¶ µ Z Z ∞ 1 t e−st ¯¯t=B 1 B −st −st e dt = 2 . L {t} (s) = t e dt = l´ım − + ¯ B→∞ s t=0 s 0 s 0

´ 9.1. CONCEPTOS BASICOS

179

Si n > 1, podemos integrar por partes para obtener la f´ormula µ n −st ¯ ¶ Z ∞ Z t e ¯t=B n ∞ n−1 −st n n −st L {t } (s) = t e dt = l´ım − + t e dt ¯ B→∞ s t=0 s 0 0 ª n © = L tn−1 (s), s que aplicada repetidamente conduce a n © n−1 ª n(n − 1) © n−2 ª L t (s) = L t (s) = · · · s s2 n(n − 1)(n − 2) · · · 1 n! = L {1} (s) = n+1 n s s

L {tn } (s) =

siempre que s ∈ (0, ∞). Ejemplo 9.1.4 (funciones seno y coseno). En este caso L {cos at} (s) =

s2

s + a2

y

L {sen at} (s) =

s2

a + a2

siempre que 0 < s < ∞ y a 6= 0. Estas f´ormulas de nuevo pueden obtenerse integrando por partes. En efecto Z ∞ e−s t cos at dt L {cos at} (s) = 0 ¯t=∞ s Z ∞ 1 −s t ¯ e−s t sen at dt = e sen at¯ + a a 0 t=0 s = L {sen at} (s). a Mientras que por otro lado Z L {sen at} (s) =

∞

e−s t sen at dt 0 ¯t=∞ s Z ∞ 1 −st ¯ = − e cos at¯ e−s t cos at dt − a a 0 t=0 1 s = − L {cos at} (s). a a

Teniendo en cuenta las dos f´ormulas anteriores se deduce que L {sen at} (s) = 2 1 − as2 L {sen at} de donde puede despejarse L {sen at} (s). De manera an´aloga a puede despejarse la expresi´on correspondiente a L {cos at} (s).

180

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

1

Figura 9.1: Funci´on de Heaviside de salto unitario

Ejemplo 9.1.5 (funci´ on de Heaviside). La funci´on escal´on de Heaviside o funci´on de salto unitario es la funci´on H definida para t ∈ (−∞, ∞), como ( 0 si t < 0 H(t) = 1 si t ≥ 0. La figura 9.1 corresponde a la gr´afica de esta funci´on. La funci´on de salto unitario en c es la translaci´on H(t − c) de H: ( 0 si t < c H(t − c) = 1 si t ≥ c Para c > 0 y 0 < s < ∞ se tiene que Z

∞

L {H(t − c)} (s) = c

e−st dt =

e−cs . s

Ejemplo 9.1.6 (una funci´on sin transformada de Laplace). La transformada 2 de Laplace de la funci´on u(t) = et no est´a definida para ning´ un n´ umero real s, pues la integral Z ∞ Z ∞ s2 s 2 −st t2 e e dt = e− 4 e(t− 2 ) dt 0

0

es siempre divergente. El u ´ltimo ejemplo nos obliga a hacernos la pregunta, ¿en qu´e casos existe la transformada de Laplace de una funci´on u? y en caso de que dicha transformada exista, cu´al es su dominio? El siguiente teorema da un criterio de existencia para la transformada de Laplace.

´ 9.1. CONCEPTOS BASICOS

181

Teorema 9.1.1 (criterio de existencia). Sup´ ongase que u = u(t) es una funci´on definida en el intervalo [0, ∞) que satisface las condiciones L1 Cada intervalo finito [0, B] se puede dividir en un n´ umero finito de intervalos [b0 , b1 ] = [0, b1 ], [b1 , b2 ] , . . . [bn−1 , bn ] = [bn−1 , B] , de manera tal que para cada k = 1, 2, . . . , n, u es continua en el intervalo (bk−1 , bk ) y ambos l´ımites l´ımt→b+ u(t) y l´ımt→b− u(t) existen y son finitos. k

k−1

L2 Existen un n´ umero real a y una constante M > 0, tales que para todo t ∈ (0, ∞), |u(t)| ≤ M eat . Entonces u = u(t) posee transformada de Laplace uˆ = uˆ(s), definida para cada s ∈ (a, ∞). Demostraci´ on. La condici´on (L1) garantiza que las integrales finitas Z

B

e−st u(t) dt

0

existen para todo B > 0, mientras que la convergencia de la integral Z ∞ e−st u(t) dt 0

se sigue del criterio de comparaci´on para integrales impropias. En efecto, teniendo en cuenta la condici´on (L2), ¯ −st ¯ ¯e u(t)¯ ≤ M e−(s−a) t . Como adem´as

Z

∞

e 0

−(s−a) t

e−(s−a) t ¯¯∞ 1 dt = − , ¯ = s−a 0 s−a

R∞ siempre que s > a, se concluye que si s ∈ (a, ∞), la integral 0 e−st u(t) dt converge. M´as a´ un, si u satisface la condici´on (L2), entonces ¯ Z ∞ ¯Z ∞ ¯ −st ¯ ¯ ¯ −st ¯e u(t)¯ dt ≤ M . ¯ e u(t) dt¯¯ ≤ (9.1) |L {u} (s)| = ¯ s−a 0 0

182

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definici´ on 9.1.2 (funciones de orden exponencial). Se dice que una funci´on u definida en (0, ∞) es continua a trozos y de orden exponencial (o simplemente de orden exponencial), si satisface las condiciones (L1) y (L2) del teorema 9.1.1. Teniendo en cuenta la anterior definici´on el criterio de existencia del teorema 9.1.1 se puede reescribir en los siguientes t´erminos: Si u es de orden exponencial entonces la transformada de Laplace L {u} (s) est´ a definida en un intervalo de la forma (a, ∞), para cierto n´ umero real a. En muchas oportunidades es u ´til poder reconocer a una cierta funci´on como la transforamada de Laplace de otra. En el transcurso de la demostraci´on del teorema 9.1.1 vimos que la transformada de Laplace de una funci´on de orden exponencial se anula en el infinito, puesto que de acuerdo a la ecuaci´on M (9.1), |L {u} (s)| ≤ s−a . En otras palabras la transformada de Laplace de u satisface la siguiente condici´on Anulaci´ on de L {u} en ∞. Si L {u} es la transformada de Laplace de una funci´on u de orden exponencial, entonces l´ım L {u} (s) = 0.

s→∞

En realidad es posible demostrar que la transformada de Laplace de cualquier funci´on (incluso si no es de orden exponencial), se anula en el infinito, siempre que tal transformada exista en alg´ un intervalo (a, ∞). Este criterio sirve en ocasiones para garantizar que una funci´on no es una transformada de Laplace. Si g(s) es una funci´on definida en un intervalo (a, ∞) y se tiene o bien que l´ıms→∞ g(s) no existe o bien que l´ıms→∞ g(s) 6= 0, entonces g(s) no es la transformada de Laplace de funci´on alguna. Las funciones descritas a continuaci´on, por ejemplo, no son transformadas de Laplace de ninguna funci´on: polinomios p(s) =

n X k=0

ak sk ,

9.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

183

funciones trigonom´etricas, exponenciales y logar´ıtmicas cos ωs,

sen ωs,

eas (si a > 0),

ln s,

funciones racionales: g(s) = p(s) , donde p(s) y q(s) son polinomios, q(s) siempre que el grado de p(s) sea mayor o igual que el grado de q(s).

9.2.

Propiedades de la transformada de Laplace

En lo que sigue vamos a considerar a la transformada de Laplace como el operador u → L {u} = uˆ que a cada funci´on u(t) de orden exponencial la convierte en una funci´on uˆ(s) definida en alg´ un intervalo a < s < ∞. Este operador tiene ciertas propiedades que lo hacen u ´til para calcular las soluciones de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Teorema 9.2.1 (propiedades b´asicas). Si u(t) y v(t) funciones de orden exponencial en 0 ≤ t < ∞ entonces las transformadas de u y v satisfacen las siguientes propiedades 1. Linealidad: Si α y β son n´ umeros reales, L {α u + β v} (s) = α L {u} (s) + β L {u} (s) 2. Translaci´ on de la transformada: Si L {u} est´ a definida en el intervalo (a, ∞) y c es un n´ umero real, entonces L {ec t u(t)} est´a definida en el intervalo (a + c, ∞) y se tiene que © ª L ec t u(t) (s) = L {u(t)} (s − c). 3. Translaci´ on y truncamiento: Para todo c > 0 L {u(t − c) H(t − c)} (s) = e−cs L {u} (s).

184

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

© ª 4. Transformada de la derivada: L du (s) = s L {u} (s) − u(0) y en dt general si n ∈ N ½ n ¾ d u (s) = sn L {u} (s) − sn−1 u(0) − · · · − s u(n−2) (0) − u(n−1) (0). L dtn d L {u(t)} (s) y en 5. Derivada de la transformada: L {t u(t)} (s) = − ds general, si n ∈ N

ª d © n−1 L t u(t) (s) ds ª d2 © = (−1)2 2 L tn−2 u(t) (s) ds .. .

L {tn u(t)} (s) = −

= (−1)n

dn L {u(t)} (s). dsn

½Z

t

¾ u(r) dr (s) =

6. Transformada de la integral: L 0

1 L {u} (s). s

7. Periodicidad: Si u(t) es peri´ odica con per´ıodo p > 0, es decir si u(t + p) = u(t), y si u es continua en [0, p], entonces R p −st e u(t) dt L {u(t)} (s) = 0 , s ∈ (0, ∞). 1 − e−ps Demostraci´ on. Todas estas propiedades son consecuencia directa de la definici´on. Como ilustraci´on vamos a demostrar las propiedades 3 a 7. 3. En ciertas oportunidades conviene saber c´omo obtener la transformada de Laplace de una funci´on u, originalmente definida en (0, ∞) y que ha sido “transladada” hasta c. Para ser precisos, se quiere calcular la transformada de Laplace de la funci´on v(t) = u(t − c)H(t − c), en t´erminos de la transformada de Laplace de u. Tenemos que Z ∞ L {u(t − c) H(t − c)} (s) = e−st u(t − c)H(t − c) dt Z0 ∞ = e−st u(t − c) dt. c

9.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

185

Haciendo el cambio de variables x = t − c se obtiene Z

∞

L {u(t − c) H(t − c)} (s) =

e−s(x+c) u(x) dx = e−cs L {u(t)} (s).

0

4. Por sencillez, supondremos que du es continua en el intervalo [0, ∞). dt Tenemos entonces que (integrando por partes), ½ L

du dt

¾

Z

∞

(s) = 0 −st

=e

e−st

du dt dt

¯t=∞ u(t)¯t=0 + s

Z

∞

e−st u(t) dt

0

= −u(0) + s L {u} (s). Para la la u ´ltima igualdad se tuvo en cuenta el hecho de que si |u(t)| ≤ at −sB M e , entonces © dn u ªl´ımB→∞ e u(B) = 0 siempre que s > a. La transformada L dtn se obtiene aplicando repetidamente la identidad que acabamos de deducir. 5. Suponiendo que es v´alido intercambiar integraci´on y derivaci´on obtenemos Z ∞ Z d −st dL {u} d ∞ −st e u(t) dt = (s) = e u(t) dt ds ds 0 ds 0 Z ∞ =− te−st u(t) dt = −L {tu(t)} . 0

La identidad para n > 1 se obtiene aplicando repetidamente el caso n = 1. 6. Se deduce de la propiedad 4, teniendo en cuenta que u(t), de manera que ½Z

t

L {u} (s) = s L

¾ u(r) dr .

0

d dt

Rt 0

u(r) dr =

186

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

7. Se tiene Z

∞

L {u} (s) =

−st

e

u(t) dt =

0

= =

∞ X

Z e

−kps

∞ Z X k=0

p

e

−st

(k+1) p kp

Z

p

u(t) dt =

0 k=0 R p −st e u(t) dt 0 . 1 − e−ps

e−st u(t) dt e

−st

u(t) dt

0

∞ X

e−kps

k=0

Para deducir la f´ormula anterior utilizamos el hecho de que aplicando el cambio de variables r = t − kp, Z

Z

(k+1)p

e

−st

p

u(t) dt =

kp

Z −s(r+kp)

e

u(r + kp) dr = e

0

y para sumar la serie siempre que |x| < 1.

p

−kps

P∞

−kps tuvimos en cuenta que k=0 e

e−sr u(r) dr,

0

P∞ k=0

xk =

1 , 1−x

Los siguientes ejemplos muestran c´omo con la ayuda de la definici´on, de una peque˜ na tabla de transformadas de Laplace, y de las propiedades b´asicas, es posible calcular la transformada de Laplace de muchas de las funciones elementales que aparecen en relaci´on con problemas de valor inicial asociados a ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Ejemplo 9.2.1 (polinomios). Calculemos por ejemplo la transformada de Laplace del polinomio u(t) = t3 − 10 t + 1: © ª © ª L t3 − 10t + 1 = L t3 − 10L {t} + L {1} 3! 10 1 = 4− 2 + s s s 6 10 1 = 4− 2 + s s s Ejemplo 9.2.2 (Seno y coseno hiperb´olicos). Teniendo en cuenta las definiat −at at −at y senh at = e −e ,a ciones de las funciones hiperb´olicas, cosh at = e +e 2 2

9.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

187

un n´ umero positivo, entonces, tomando en consideraci´on la linealidad de la transformada de Laplace y el ejemplo 9.1.2, vemos que si s > a, © ª¢ 1 ¡ © at ª L e + L e−at 2µ ¶ 1 1 1 + = 2 s−a s+a s = 2 . s − a2

L {cosh at} =

De manera an´aloga, L {senh at} =

a s2 −a2

para s ∈ (a, ∞).

Ejemplo 9.2.3 (Onda cuadrada entre a y b, 0 < a < b). La funci´on u(t) definida como   0 si t < a u(t) = 1 si a ≤ t < b   0 si t ≥ b, se puede expresar en t´erminos de la funci´on de Heaviside, u(t) = H(t − a) − H(t − b). Teniendo en cuenta la linealidad del operador L y el ejemplo 9.1.5, se sigue que e−as − e−bs L {u} (s) = . s Ejemplo 9.2.4. La transformada de Laplace de la funci´on u(t) = e2t cos 3t puede obtenerse aplicando la propiedad 2. En efecto © 2t ª s ¯¯ s−2 L {u} = L e cos 3t = L {cos 3t} (s − 2) = 2 . = ¯ s + 9 s→s−2 (s − 2)2 + 9 Ejemplo 9.2.5. La transformada de Laplace de u = t sen at puede obtenerse empleando la propiedad 5: d d a L {sen at} = − ( 2 ) ds ds s + a2 2as . = 2 ( s + a2 )2

L {t sen at} = −

Ejemplo 9.2.6 (Funci´on encendido–apagado). La funci´on ( 1, si 2ka ≤ t < (2k + 1) a, k = 0, 1, 2, . . . u(t) = 0, si (2k + 1) a ≤ t < 2(k + 1) a, k = 0, 1, 2, . . .

188

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

1

a

2a · · ·

Figura 9.2: Funci´on de encendido-apagado

es peri´odica con periodo p = 2a (ver la figura 9.2). Por la propiedad de periodicidad (7 del teorema 9.2.1), Z 2a Z a 1 1 −st e u(t) dt = e−st dt L {u} (s) = 1 − e−2as 0 1 − e−2as 0 1 − e−as 1 = = −2as s(1 − e ) s (1 + e−as )

9.3.

La transformada de Laplace inversa

En el proceso de resolver ecuaciones diferenciales empleando la transformada de Laplace, resulta u ´til poder determinar si una cierta funci´on U (s) dada se puede identificar o no como la transformada de Laplace de alguna funci´on u(t). En otras palabras, dada U ( s ) que se anula en infinito se quiere determinar una funci´on u(t) tal que L {u(t)} (s) = U (s). El siguiente teorema garantiza que la funci´on u(t), si existe, queda determinada en forma “´ unica” (o casi “´ unica”) por U (s). Teorema 9.3.1 (Propiedad de inversi´on). Sean u1 (t) y u2 (t) funciones continuas a trozos y de orden exponencial en (0, ∞). Si L {u1 } (s) = L {u2 } (s) en un intervalo a < s < ∞, entonces en cada intervalo finito [0, B] se tiene u1 (t) = u2 (t), salvo, a lo m´as, en un n´ umero finito de puntos.

9.3. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA

189

La demostraci´on de este resultado requiere del uso t´ecnicas de an´alisis que no est´an al alcance de este curso (se puede consultar por ejemplo el texto de R.V. Churchill [1]). La propiedad de inversi´on que acabamos de discutir implica que si para una funci´on U (s) definida en un intervalo a < s < ∞, existe una funci´on u1 (t) definida en (0, ∞) tal que L {u1 (t)} (s) = U (s), ´esta funci´on es esencialmente u ´nica. Esto significa que si u2 (t) es otra funci´on tal que L {u2 (t)} (s) = U (s), entonces en cada intervalo [0, B] las funciones u1 (t) y u2 (t) coinciden, excepto posiblemente en un n´ umero finito de puntos. Es f´acil ver por ejemplo que, dado un n´ umero c > 0, las funciones ( ( 0, si t < c 0, si t ≤ c H1 (t) = H(t − c) = y H2 (t) = 1, si t ≥ c 1, si t > c, son funciones diferentes que tienen la misma transformada de Laplace. En efecto, e−as , L {H2 } (s) = L {H1 } (s) = L {H(t − c)} (s) = s sin embargo H1 (t) y H2 (t) s´olo difieren en el punto t = c. En lo que sigue consideraremos como iguales a aquellas funciones que sean esencialmente iguales. Definici´ on 9.3.1. Dadas una funci´on v = v(s) definida en un intervalo de la forma (a, ∞), y una funci´on u = u(t) definida en (0, ∞), se dice que u es la transformada de Laplace inversa de v si L {u} = v. En este caso se habla de que la funci´on v posee transformada de Laplace inversa y se escribe u = L−1 {v} . Como hemos visto una condici´on necesaria para que una funci´on v posea transformada de Laplace inversa es que se anule en infinito, esto es que l´ım v(s) = 0.

s→∞

Las propiedades b´asicas de la transformada de Laplace implican a su turno propiedades correspondientes de la transformada de Laplace inversa. Dadas v = v(s) y w = w(s) funciones que poseen transformadas de Laplace inversas, se satisfacen las siguientes propiedades:

190

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. Linealidad L−1 {av + bw} = a L−1 {u} + b L−1 {w} 2. Transformada inversa de una translaci´ on L−1 {v(s − c)} (t) = ect L−1 {v}(t) 3. Corrimiento de la inversa © ª L−1 e−cs L {u} (t) = u(t − c) H(t − c) 4. Transformada inversa de derivadas ½ n ¾ d v −1 L (t) = (−1)n tn L−1 {v} dsn 5. Integral de una transformada inversa ½ ¾ Z t v(s) −1 L (t) = L−1 {v} (r) dr s 0 6. Transformada inversa de una integral ¾ ½Z ∞ 1 −1 v(r) dr (t) = L−1 {v}(t). L t s Estas propiedades son consecuencia m´as o menos directa de las propiedades de la transformada de Laplace. Por ejemplo la propiedad 5. referente a la transformada inversa de una integral se obtiene de la relaci´on 6 del teorema 9.2.1. Esta propiedad puede ser u ´til cuando se requiera obtener la transformada inversa de una funci´on de la forma L {u} . s La propiedad 6 referente a la transformada inversa de una integral, por su parte es consecuencia de la propiedad 5 del teorema 9.2.1. En efecto dicha identidad establece que si uˆ = L {u} entonces L {t u} = −

dˆ u . ds

9.3. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA

Reemplazando u(t) por

u(t) t

191

en la anterior identidad tenemos que,

½ ¾ ½ ¾ u(t) d u(t) L {u(t)} = L t =− L . t ds t Integrando ahora en el intervalo (s, ∞) y teniendo en cuenta la propiedad de anulaci´on en infinito de las transforamadas de Laplace, se sigue que ¾ ½ Z ∞ Z ∞ d u(t) (r) dr L {u(t)} (r) dr = − L ds t s s ½ ¾ u(t) =L (s), t v´alido siempre que l´ımt→0+ u(t) exista en el sentido finito. Tomando transfort madas inversas a ambos lados y haciendo v = L {u} tenemos la identidad anunciada. Los siguientes ejemplos ayudan a ilustrar la manera en que se puede sacar provecho de las propiedades de la transformada inversa de Laplace para calcular la transformada inversa de una funci´on dada. Aunque existe una f´ormula general que da la transformada inversa de una funci´on en t´erminos de ciertas integrales, en este curso nos limitaremos a la obtenci´on de transformadas inversas mediante el uso de las propiedades que acabamos de discutir. Ejemplo 9.3.1. Empezamos con un ejemplo muy sencillo: la linealidad de la transformada de Laplace inversa permite ver por ejemplo que ½ ¾ ½ ¾ 1 1 −1 2 t2 −1 L = L = . s3 2 s3 2 Los siguientes ejemplos ilustran c´omo pueden obtenerse las transformadas inversas de varias funciones racionales. Ejemplo 9.3.2. Sup´ongase que se quiere hallar la transformada de Laplace 1 esta es la funci´on s12 evaluada inversa de la funci´on (s−1) 2 . Debe notarse que ´ © ª en s − 1 y que L−1 s12 = t. Escribimos ½ −1

L

1 (s − 1)2

¾

½ =L

−1

1 ¯¯ ¯ s2 s→s−1

¾

192

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

De acuerdo entonces a la propiedad de translaci´on 2, ½ ½ ¾ ¾ 1 1 −1 t −1 L =e L = et t. 2 (s + 1) s2 1 Ejemplo 9.3.3. Queremos ahora calcular la transformada inversa de s2 +3s+2 . 1 at Sabemos desde luego que L {e } = s−a . Nos conviene entonces reescribir la funci´on dada en t´erminos de sus fracciones parciales. En efecto

s2

1 1 1 = − , + 3s + 2 s+1 s+2

as´ı que teniendo en cuenta la linealidad de la transformada inversa de Laplace ¾ ½ ¾ ½ ¾ ½ 1 1 1 −1 −1 −1 =L −L = e−t − e−2t . L s2 + 3s + 2 s+1 s+2 Completar cuadrados puede ser u ´til cuando se trata de calcular la transformada inversa de una funci´on racional como muestra el siguiente ejemplo: Ejemplo 9.3.4. ½ −1

L

9.4.

1 2 s + 2s + 5

¾

½

¾ 1 =L (s + 1)2 + 4 ½ ¾ 1 −1 2 = L 2 (s + 1)2 + 4 ½ ¾ 2 ¯¯ 1 −1 = L ¯ 2 s2 + 4 s→s+1 1 = e−t sen 2t 2 −1

M´ etodo de Heaviside

Este m´etodo se aplica al c´alculo de soluciones de problemas lineales de valor inicial. Sup´ongase que se desea hallar la soluci´on x(t) en 0 ≤ t < ∞ de un problema de valor inicial para una ecuaci´on lineal con coeficientes constantes x00 + ax0 + bx = f (t), x(0) = x0 , x0 (0) = x00 . (9.2)

´ 9.4. METODO DE HEAVISIDE

193

El f´ısico-matem´atico e ingeniero ingl´es Oliver Heaviside propuso la siguiente idea. Primero, se aplica transformada de Laplace a la ecuaci´on L {x00 + ax0 + bx} = L {f (t)} . Entonces, por las propiedades 1 y 4 del teorema 9.2.1, la ecuaci´on se reduce a ¡ 2 ¢ s L {x} − sx(0) − x0 (0) + a (sL {x} − x(0)) + b L {x} = L {f } (s2 + as + b)L {x} = L {f } + x0 s + a x(0) + x00 . As´ı, la transformada de Laplace de la soluci´on x(t) de (9.2) es L {x} =

L {f } x0 s + a x0 + x00 + . s2 + as + b s2 + as + b

La soluci´on x(t) de (9.2) en 0 ≤ t < ∞ se obtiene mediante la transformada inversa ½ ¾ x0 s + a x0 + x00 L {f } −1 x(t) = L + (t). s2 + as + b s2 + as + b Ejemplo 9.4.1. Buscaremos la soluci´on de dx + 2x = 1, dt

x(0) = 2.

Aplicando transformada a la ecuaci´on, se obtiene 1 sL {x} − x(0) + 2L {x} = . s De donde (usando fracciones parciales) µ ¶ 2 1 1 1 2 1 + = − , + L {x} = s(s + 2) s + 2 2 s s+2 s+2 µ ¶ 1 1 3 L {x} = + , 0 ≤ t < ∞. 2 s s+2 Finalmente, la soluci´on x(t) en 0 ≤ t < ∞ es ½ ¾ ½ ½ µ ¶¾ ¾ 3 1 −1 1 3 −1 1 1 1 −1 + x(t) = L = L + L , 2 s s+2 2 s 2 s+2 x(t) =

1 3 −2t + e . 2 2

194

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Ejemplo 9.4.2. Nos proponemos determinar los desplazamientos a partir del equilibrio de un oscilador lineal no amortiguado de masa m y constante de rigidez k, que en el instante t = 0 se encuentra en reposo en la posici´on de equilibrio y que a partir de ese instante y hasta t = t0 es sometido a la acci´on de una fuerza externa constante F0 , de la cual es posteriormente desconectado, as´ı que la fuerza externa que act´ ua sobre el sistema viene dada por F (t) = F0 (1 − H(t − t0 )) . As´ı, si x = x(t) es el desplazamiento del oscilador a partir del equilibrio, F

F0

t0

t

Figura 9.3: La fuerza que act´ ua sobre la masa m del ejemplo 9.4.2. entonces x satisface el problema de valores inicial d2 x F0 + ω2 x = (1 − H(t − t0 )) , x(0) = 0, x0 (0) = 0, 2 dt m q k donde ω = . Evaluando la transformada de Laplace a ambos lados de m esta ecuaci´on, obtenemos µ ¶ F0 1 e−t0 s 2 0 2 − , s L {x} − s x(0) − x (0) + ω L {x} = m s s de manera que, teniendo en cuenta las condiciones iniciales x(0) = 0 y x0 (0) = 0, podemos despejar xˆ = L {x} y obtener xˆ(s) =

F0 1 − e−t0 s . m s (s2 + ω 2 )

´ 9.4. METODO DE HEAVISIDE

195

En consecuencia x=L

−1

F0 −1 {ˆ x} = L m

Ahora que podemos descomponer

s (s2

½

1 s (s2 +ω 2 )

1 − e−t0 s s (s2 + ω 2 )

¾ .

en sus fracciones parciales:

1 1 1 1 s = 2 − 2 2 2 +ω ) ω s ω s + ω2

y en consecuencia ½ −1

L

1 2 s (s + ω 2 )

¾ =

1 (1 − cos ω t) . ω2

En vista de la propiedad de translaci´on y truncamiento 3 del teorema 9.2.1 tambi´en tenemos que ½ ¾ e−s t0 1 −1 L = 2 (1 − cos ω (t − t0 )) H(t − t0 ). 2 2 s (s + ω ) ω En consecuencia la soluci´on a nuestro problema de valores iniciales es la funci´on x(t) =

F0 F0 (1 − cos ω t) − (1 − cos ω (t − t0 )) H(t − t0 ), 2 mω m ω2

o equivalentemente ( x(t) =

F0 m ω2 F0 m ω2

(1 − cos ω t) , t ≤ t0 (cos ω (t − t0 ) − cos ω t) , t > t0 .

Debe observarse que para t ≤ t0 y bajo el influjo de la fuerza externa, el sistema exhibe comportamiento oscilatorio con periodo T = 2ωπ , sufriendo desplazamientos m´aximos iguales a m2 Fω02 m´as all´a de la posici´on de equilibrio y regresando a ´esta, sin sobrepasarla. Como era de esperarse una vez se suspende la acci´on de la fuerza externa el sistema se comporta como un oscilador libre no amortiguado, que satisface unas ciertas condiciones iniciales en t = t0 .

196

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

x 2F0 m ω2

t0

t

Figura 9.4: Oscilaciones bajo una fuerza constante que act´ ua provisionalmente

9.5.

Producto de transformadas de Laplace

Las funciones u(t) = v(t) = t muestran como en general L {u v} = 6 L {u} L {v} , pues L {t2 } = s23 mientras que L {t}2 = s14 .. Sin embargo el producto L {u} L {v} si se puede expresar en t´erminos de la transformada de Laplace de una funci´on obtenida a partir de u y de v como se describe a continuaci´on. Primero, obs´ervese que ¶ ¶ µZ ∞ µZ ∞ −sy −sx e v(y) dy e u(x) dx L {u} (s)L {v} (s) = 0 0 ¶ Z ∞ µZ ∞ −s(x+y) = e u(x) v(y) dx dy. 0

0

Ahora, para y fijo dado, 0 ≤ y ≤ ∞, podemos hacer el cambio de variables t = x + y en la integral interna, de modo que x = t − y, dt = dx, t = y cuando x = 0 y t = ∞ cuando x = ∞. Vemos en ese caso que ¶ Z ∞ µZ ∞ −st L {u} (s) L {v} (s) = e u(t − y) v(y) dt dy. 0

y

Suponiendo ahora que esta integral iterada es equivalente a la correspondiente integral doble sobre la regi´on R = {(t, y) : 0 ≤ y < ∞, y ≤ t < ∞} = {(t, y) : 0 ≤ t < ∞, 0 ≤ y ≤ t},

9.5. PRODUCTO DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

197

y que es posible invertir el orden de integraci´on, concluimos que ZZ L {u} L {v} = e−st u(t − y) v(y) dt dy ¶ Z ∞R µZ t −st = e u(t − y) v(y) dy dt 0 0 Z ∞ Z t −st = e u(t − y) v(y) dy dt 0 0 ½Z t ¾ =L u(t − y) v(y) dy . 0

El anterior resultado sugiere la utilidad de introducir la definici´on que sigue. Definici´ on 9.5.1. La convoluci´on de dos funciones de orden exponencial, a saber u(t) y v(t), es la funci´on u ∗ v definida en 0 ≤ t < ∞ por Z t (u ∗ v)(t) = u(t − y) v(y) dy. 0

El resultado establecido antes respecto al producto de transformadas de Laplace puede escribirse ahora en los t´erminos del siguiente teorema. Teorema 9.5.1. Sean u(t) y v(t) funciones de orden exponencial, y tales que L {u} (s) y L {v} (s) existen siempre que s > a. Entonces L {u ∗ v} (s) est´a definida para todo s > a y L {u ∗ v} (s) = L {u} (s) L {v} (s) Una de las principales aplicaciones del teorema 9.5.1 no se refiere sin embargo al c´alculo de la transformada de Laplace de la convoluci´on de dos funciones sino m´as bien al c´alculo de la transformada de Laplace inversa del producto de dos funciones. En efecto, en t´erminos de transformadas inversas la f´ormula del teorema puede escribirse en la forma L−1 {v(s)w(s)} = L−1 {v(s)} ∗ L−1 {w(s)} . Ejemplo 9.5.1. Podemos emplear la f´ormula (9.3) para calcular L−1 Como s s 1 = 2 2 2 2 (s + 1) (s + 1) (s + 1)

(9.3) o n s (s2 +1)2

.

198

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

entonces ½ −1

L

s 2 (s + 1)2

½

¾ −1

=L

s 2 (s + 1)

¾

½ ∗L

−1

1 2 (s + 1)

¾ = cos t ∗ sen t.

Ahora Z

t

cos (t − y) sen y dy Z t Z t sen2 y dy cos y sen y dy + sen t = cos t

cos t ∗ sen t =

0

0

0

t = sen t 2 y en consecuencia

½ L

9.6.

−1

s 2 (s + 1)2

¾ =

t sen t. 2

Resumen u(t) u(t)

L{u(t)}(s) R ∞ −st e u(t)dt 0

tn

n! sn+1

eat

1 s−a

cos at

s s2 +a2

sen at

a s2 +a2

Convoluci´ on de dos funciones Z t u ∗ v(t) = u(τ )v(t − τ ) dτ 0

9.6. RESUMEN

199

Propiedades b´ asicas L{eat u(t)}(s) =

L{u(t)}(s − a) n

L{tn u(t)}(s) =

d (−1)n ds n L{u(t)}(s)

L{x(n) (t)}(s) =

sn L{x(t)}(s) − sn−1 x(0) − · · · − xn−1 (0) e−as L{u(t)}(s)

L{u(t − a)H(t − a)}(s) = L{u ∗ v(t)}(s) =

L{u(t)}(s)L{v(t)}(s)

Transformada de una funci´ on peri´ odica: u(t + T ) = u(t) R T −st e u(t)dt 0 L{u(t)}(s) = 1 − e−sT

Ejercicios 1. Halle la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones a) e2t sen 3t b) 3e−t cos 2t c) t3 sen 3t

d ) t2 et cos t e) e−3t cos (2t + 4) Rt f ) a r cos r dr

g) sen2 t h) | cos t|

2. Calcule la transformada inversa de las siguientes funciones (a y b representan constantes) a)

1 s (s+1)

c)

5 s2 (s−5)2

e)

1 s2 +4s+29

g)

1+e−s s

b)

3 (s−1)2

d)

1 (s−a)(s−b)

f)

2s (s2 +1)2

h)

e−s s4 +1

3. Halle la transformada de Laplace de las funciones f (t) y g(t) definidas como sigue: ( a) f (t) =

0, si t ≤ 1 + t, si t >

1 2 1 2

( t, t ≤ 2 b) g(t) = 2 t>2

200

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

4. Determine la transformada de Laplace de la funci´on escalera f (t) = n + 1,

si n < t ≤ n + 1,

n = 0, 1, 2, ..., .

5. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones usando transformadas de Laplace a)

dy dt

b)

d2 y dt2

c)

d2 y +2r dy +ω 2 y dt2 dt

d)

d4 y dt4

+y =

e)

dy dt

+ 2y +

+ 3y = t sen at,

y(0) = 1, a constante,

− 2 dy + y = t et sen t, dt (

= A δ(t−t0 ),

0, t≤1 , t−1 t>1

Rt 0

y(s) ds = cos t

y(0) = 0, y 0 (0) = 0, y(0) = 0, y 0 (0) = 0, t0 constante, y(0) = y 0 (0) = y 00 (0) = y 000 (0) = 0 y(0) = 1.

Respuestas 1.

a) d) f) h)

2.

3(s+1) 3 b) 4+(1+s) 2 9+(s−2)2 3 2 cos 4−2 sen 4 2s −6s +4 e) (s+3)4+(s+3) 2 (1+(s−1)2 )3 2 2 s+(1+s )s − cos a+as sen a (1+s2 )2 (1−e−πs )s+2 e−πs/2 (1−e−πs )(1+s2 )

72s3 −648s (s2 +9)4

g)

2 s(s2 +4)

5t

5t

t a) 1 − e−t b) 3et t c) 2−2e +5t+5e 25 at bt −e e) 51 e−2t sen 5t f ) t sen t d ) e a−b g) 1 + H(t − 1) ´ ´ ³ ³ t−1 t−1 √ t−1 1 − √2 3π √ √ h) − 21 e 2 cos π4 + t−1 e + − H(t − 1) cos 2 4 2 2

¢ s ¡ a) L {f } (s) = e− 2 2+3s 2 2s P∞ e−sk 4. L {f } (s) = k=0 s

3.

5.

c)

a)

1 ((81 − 6 a + 18 a2 (9+a2 )2 2

b) L {g} (s) =

e2s −1 e2s s2

+ a4 )e−3 t − a((9 + a2 )t − 6) cos a t + (a2 −

9 + 27 t + 3 a t) sen a t), b) y (t) = 2et − 2et cos t − et t sen t, √ √ 2 2 2 2 c) y (t) = A√H(t−t0 ) (e−(t−t0 )(r− r −w ) − e(t−t0 )(r+ r −w ) ), 2 r2 −w2

9.6. RESUMEN

201

d ) (t − 1 − 12 e e) y (t) =

1 2et

t−1 √ 2

−

sen ( π4 −

t 2et

+

cos t . 2

t−1 √ ) 2

+ 12 e

t−1 √ 2

sen ( 3π + 4

t−1 √ ))H(t 2

− 1),

202

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Cap´ıtulo 10 Sistemas de ecuaciones lineales n mundo en el que habitara una sola especie no ser´ıa interesante, como

U tampoco es muy interesante un circuito RLC aislado o un oscilador

mec´anico desconectado de su entorno. La existencia de varias especies que interact´ uan hace interesante al mundo natural, los milagros de la electr´onica son posibles gracias a la integraci´on de muchos circuitos el´ectricos, las leyes de la mec´anica permiten modelar el comportamiento de objetos complejos tales como cuerdas, puentes, inclusive edificios, mediante sistemas de masas puntuales acopladas a trav´es de resortes. En este cap´ıtulo se estudian ecuaciones diferenciales que modelan la din´amica de un sistema en el que sus componentes interact´ uan entre s´ı, regidos por leyes f´ısicas, econ´omicas sociales o biol´ogicas. Como ejemplo introductorio consideremos un sistema que consta de dos bloques, que se mueven a lo largo de un eje horizontal, conectados entre s´ı y a un par de paredes verticales mediante sendos resortes, tal y como lo muestra la figura 10.1. Supongamos adem´as que ambos bloques tienen la misma masa m, que el resorte que los une tiene constante kc , y que los resortes que los conectan a las paredes tienen ambos la misma constante k. Si las variables x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) representan el desplazamiento en el tiempo t, del primero y el segundo de los bloques respectivamente, cuando estos desplazamientos se miden a partir de las correspondientes posiciones de equilibrio, entonces, aplicando la segunda ley de Newton a cada uno de 203

204

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

kc

k

k

m

m

x2

x1

Figura 10.1: Sistema de dos masas acopladas los bloques se obtienen las ecuaciones d2 x1 = −k x1 − kc (x1 − x2 ) dt2 d2 x2 m 2 = −k x2 − kc (x2 − x1 ) dt m

(10.1)

Si ahora se introducen las variables v1 =

dx1 , dt

v2 =

dx2 , dt

y se tiene en cuenta que dv1 d2 x1 = , dt dt2

dv2 d2 x2 = , dt dt2

el sistema (10.1) se convierte en dx1 dt dv1 dt dx2 dt dv2 dt

= v1 =−

k + kc kc x1 + x2 m m

= v2 =−

k + kc kc x2 + x1 m m

(10.2)

205

que en notaci´on matricial puede escribirse como    0 1 0 x1 kc k+kc   d  m  v1  =  − m 0 0 0 dt x2   0 kc k+kc v2 0 − m m

  0 x1   0  v1  . 1   x2  v2 0

(10.3)

El sistema de ecuaciones (10.2) (o su forma matricial (10.3)), constituye un ejemplo de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden. En la secci´on 10.2 se desarrollan las herramientas que permitir´an resolver sistemas como ´este (ver el problema 11 de la secci´on 10.2). Frecuentemente la descripci´on de un sistema f´ısico (como puede ser el formado por un conjunto de part´ıculas sujetas a las leyes de la mec´anica cl´asica), cuyo estado en cada instante venga caracterizado por los valores x1 (t), . . . , xn (t), que tomen n variables x1 , . . . xn , en el tiempo t, puede expresarse en t´erminos de un sistema de ecuaciones diferenciales que expresan las leyes de variaci´on del estado (x1 , . . . , xn ) respecto de la variable temporal t, x01 = f1 (t, x1 , . . . , xn ), .. (10.4) . 0 xn = fn (t, x1 , . . . , xn ). Un sistema como este puede reescribirse en la forma de una ecuaci´ on vectorial para la variable vectorial x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) , x0 = f (t, x),

(10.5)

donde f (t, x) = (f1 (t, x), . . . , fn (t, x)) . Desafortunadamente no contamos con m´etodos generales que permitan resolver un sistema de ecuaciones diferenciales arbitrario como el dado en (10.5). Una de las pocas clases de sistemas (y seguramente la m´as importante) para la cual es posible obtener las soluciones en t´erminos de funciones elementales es la de los sistemas lineales con coeficientes constantes. El sistema (10.5) es lineal con coeficientes constantes si para cada i = 1, . . . , n, fi (t, x1 , . . . , xn ) = ai1 x1 + · · · + ain xn + bi (t). Un sistema lineal puede presentarse como el modelo matem´atico de un sistema con caracter´ısticas lineales, tal como sucede con los circuitos lineales,

206

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

pero lo m´as frecuente es que se introduzca como una aproximaci´ on lineal de un sistema no lineal. El estudio de los sistemas lineales es completamente an´alogo al de las ecuaciones lineales de segundo orden (o de orden n), en una variable.

10.1.

Conceptos b´ asicos.

Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en las n variables x1 = x1 (t), . . . , xn = xn (t), es un sistema de n ecuaciones de la forma x01 = a11 (t) x1 + · · · + a1n (t) xn + b1 (t) .. (10.6) . x0n = an1 (t) x1 + · · · + ann (t) xn + bn (t) en donde los coeficientes aij (t), bi (t), i, j = 1, . . . , n, son funciones dadas, definidas en un intervalo J. En notaci´on matricial el sistema (10.6) se puede escribir como x0 = A(t) x + b(t), (10.7) donde b(t) = (b1 (t), . . . , bn (t))T y   a11 (t) · · · a1n (t)   .. ... A(t) =  . . an1 (t) · · · ann (t) Vale la pena se˜ nalar en este punto en el hecho de que una ecuaci´on lineal de segundo orden puede siempre verse como un sistema de ecuaciones de primer orden. En efecto, introduciendo la variable v = x0 y teniendo encuenta entonces que v 0 = x00 , la ecuaci´on x00 + a(t) x0 + b(t) x = f (t), se transforma en el sistema x0 = v, v 0 = −a(t) v − b(t) x + f (t). M´as generalmente la ecuaci´on diferencial lineal de orden n, x(n) + an−1 (t) x(n−1) + · · · + a1 (t) x0 + a0 (t) x = f (t)

´ 10.1. CONCEPTOS BASICOS.

207

es equivalente al siguiente sistema lineal de primer orden en las variables x1 = x, x2 = x0 , . . . , xn = x(n−1) , x01 = x2 , .. . x0n−1 = xn , x0n = −a0 (t) x1 − a1 (t) x2 − · · · − an−1 (t) xn + f (t). En adelante vamos a suponer que los coeficientes aij (t) y bi (t) del sistema (10.7) son funciones continuas definidas sobre cierto intervalo J. A continuaci´on precisamos qu´e se entiende por una soluci´on de un sistema de ecuaciones. Definici´ on 10.1.1. Una soluci´on del sistema (10.7) en un intervalo J es una funci´on vectorial x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))T , definida y derivable en J y tal que para todo t de este intervalo se satisface x0 (t) = A(t) x(t) + b(t). Con frecuencia es u ´til relacionar una funci´on vectorial con la curva param´etrica que describe. Si x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) es una funci´on vectorial y se piensa que la variable escalar t representa al tiempo, entonces se puede pensar que x(t) representa la posici´on (en el tiempo t) de una part´ıcula que se mueve en el espacio n-dimensional. As´ı, las soluciones de un sistema de n ecuaciones diferenciales se pueden interpretar en t´erminos de trayectorias descritas por part´ıculas que se desplazan en el espacio de n dimensiones, de manera tal que en cada instante la velocidad de las part´ıculas, v(t) = x0 (t), satisface la condici´on x0 (t) = f (t, x(t)). Cuando n = 2 o n = 3 estas curvas pueden representarse gr´aficamente, formando lo que se conoce como el retrato de fases del sistema, y que es la extensi´on a varias dimensiones del concepto introducido en el cap´ıtulo 4. Tal como es el caso en dimensi´on uno el retrato de fases de un sistema es de gran utilidad para ayudar a entender su comportamiento. Ejemplo 10.1.1. Las funciones ¶ µ e−t y(t) = −e−t

µ y

z(t) =

e3t 3e3t

¶

son soluciones del sistema ¶ µ ¶µ ¶ µ 0¶ µ 0 1 x1 x2 x1 , = = x2 3 x1 + 2 x2 3 2 x02

208

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

2 2

−2

2 −2

2

−2 −2

Figura 10.2:

Figura 10.3:

Las soluciones y(t) y z(t), −∞ < t < ∞, del Soluciones del sistema del ejemplo 10.1.1. ejemplo 10.1.1.

como se puede comprobar por substituyendo en forma directa. No es dif´ıcil ver que la trayectoria descrita por y(t) es la semirecta x2 = −x1 , x1 > 0, trazada en el sentido que se dirige hacia el origen, mientras z(t) representa a la semirecta x2 = 3 x1 , x1 > 0, alej´andose del origen. En la figura 10.2 se muestran estas dos trayectorias. Vamos a proceder ahora a resolver el sistema que venimos considerando en este ejemplo, aprovechando para ello el hecho de que este sistema puede reducirse a una ecuaci´on de segundo orden. En efecto si hacemos x1 = x se tiene que x0 = x01 = x2 y por lo tanto x00 = x02 . De otro lado como x02 = 3 x1 +2 x2 llegamos a la ecuaci´on lineal de segundo orden x00 = 3 x+2 x0 , o equivalentemente x00 − 2 x0 − 3 x = 0. Podemos resolver esta u ´ltima ecuaci´on empleando los m´etodos del cap´ıtulo 5. La ecuaci´on caracter´ıstica est´a dada por λ2 − 2 λ − 3 = 0 cuyas ra´ıces son los n´ umeros λ = −1 y λ = 3 y por lo tanto la soluci´on general de la ecuaci´on puede escribirse como x(t) = c1 e−t + c2 e3t , donde c1 y c2 son constantes arbitrarias. Tendr´ıamos tambi´en que x0 (t) = −c1 e−t + 3 c2 e3t . Como x1 = x y x2 = x0 podemos finalmente dar la soluci´on general del sistema considerado: ¶ µ ¶ µ x1 (t) c1 e−t + c2 e3t , x(t) = = −c1 e−t + 3 c2 e3t x2 (t) donde c1 y c2 representan constantes arbitrarias. Las soluci´on y(t) que dimos al comienzo corresponde a tomar c1 = 1 y c2 = 0, mientras que la soluci´on z(t)

´ 10.1. CONCEPTOS BASICOS.

209

corresponde a los valores c1 = 0 y c2 = 1. Las gr´aficas de estas dos trayectorias son especialmente sencillas de trazar pues se trata de semirectas, resulta en general m´as complicado graficar otras de las soluciones (ver la figura 10.3). En vista de las relaciones que hemos ya notado entre las ecuaciones lineales de segundo orden y los sistemas de ecuaciones lineales de primer orden, no deber´ıa ser una sorpresa el que muchos de los resultados que estudiamos en el cap´ıtulo 5, referentes a ecuaciones de segundo orden, tengan su contraparte para sistemas de ecuaciones. El siguiente teorema por ejemplo es an´alogo al teorema de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones lineales de segundo orden. Teorema 10.1.1 (Teorema fundamental). Dados t0 en el intervalo J y x0 = (x01 , . . . , x0n ) un punto cualquiera de Rn , existe una u ´nica funci´on x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))T , definida en J, que satisface el problema de valores iniciales ( x0 = A(t)x + b(t), x(t0 ) = x0 . Omitimos la demostraci´on de este resultado. El lector que tenga inter´es puede consultar, por ejemplo, el texto de Coddington y Levinson [2]. Una consecuencia inmediata del teorema anterior es que, dado un punto t0 cualquiera de J la funci´on constante x(t) = 0 es la u ´nica soluci´on del sistema homog´eneo x0 = A(t) x, (10.8) que adem´as satisface la condici´on x(t0 ) = 0. El siguiente teorema de superposici´on es completamente an´alogo al teorema correspondiente para ecuaciones de segundo orden. Teorema 10.1.2. Si las funciones x1 (t), ..., xr (t), son soluciones del sistema homog´eneo (10.8), entonces cada una de las combinaciones lineales de x1 (t), . . . , xr (t), x(t) = c1 x1 (t) + · · · + cr xr (t), c1 , . . . cr constantes, es tambi´en una soluci´on. El teorema anterior muestra que las combinaciones lineales de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales son tambi´en soluciones. En la terminolog´ıa de ´algebra lineal dir´ıamos que el conjunto de las soluciones de un sistema

210

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

de ecuaciones lineales es un espacio vectorial. En seguida vamos a ver que, dado un sistema de n ecuaciones, basta con tener n soluciones linealmente independientes para poder generar el espacio de todas las soluciones. Definici´ on 10.1.2. Un conjunto fundamental de soluciones de un sistema lineal homog´eneo de dimensi´on n en el intervalo J, es cualquier conjunto formado por n soluciones del sistema, que est´en definidas en J, y que sean linealmentes independientes en J. Definici´ on 10.1.3. Dadas n soluciones xj (t) = (x1j (t), . . . , xnj (t))T , j = 1, . . . , n, de un sistema lineal homog´eneo de dimensi´on n, como el representado en (10.8), el determinante de Wronski asociado a estas funciones, que se denota por W (t) = W (x1 , . . . , xn )(t), se define como   x11 (t) · · · x1n (t)   .. .. W (x1 , . . . , xn )(t) = det  . . . xn1 (t) · · · xnn (t) Ejemplo 10.1.2. Consid´erese el sistema del ejemplo 10.1.1. Como se puede ver f´acilmente las soluciones y(t) y z(t) son linealmente independientes en J = (−∞, ∞) y por lo tanto constituyen un conjunto fundamental de soluciones del sistema en ese intervalo. Adem´as µ ¶ e−t e3t W (y, z)(t) = det = 4e2t . −e−t 3e3t Ejemplo 10.1.3. Las funciones µ ¶ cos ωt x1 (t) = −ω sen ωt

µ y x2 (t) =

sen ωt ω cos ωt

¶

forman un conjunto fundamental de soluciones para el sistema µ 0 ¶ µ ¶µ ¶ 0 1 x x = , 0 2 y −ω 0 y ¿por qu´e? Cuando se tiene un sistema de s´olo dos ecuaciones es relativamente f´acil reconocer si un conjunto dado de soluciones es un conjunto fundamental de

´ 10.1. CONCEPTOS BASICOS.

211

soluciones, pues es sencillo determinar si dos funciones son linealmente independientes, simplemente fij´andose en si una de ellas es o no un m´ ultiplo escalar de la otra. Determinar si un conjunto de m´as de dos funciones es o no linealmente independiente, apelando u ´nicamente a la definici´on de independencia lineal, puede ser m´as complicado. El siguiente teorema proporciona un criterio que permite decidir si un conjunto de n soluciones de un sistema de n ecuaciones es o no linealmente independiente. Teorema 10.1.3 (Criterio para conjunto fundamental). Sup´ongase que x1 (t), . . . , xn (t), son n soluciones de un sistema homog´eneo de dimensi´on n como el representado en (10.8). Entonces las tres siguientes condiciones son equivalentes: (i) x1 (t), . . . , xn (t) forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema. (ii) W (t) 6= 0 para todo t de J. (iii) existe t0 en J para el cual W (t0 ) 6= 0. Finalmente y tal como ocurre para las ecuaciones lineales de segundo orden, el siguiente resultado garantiza que cuando se tiene un conjunto fundamental de soluciones, ´este permite generar todas y cada una de las soluciones del sistema. En otras palabras un conjunto fundamental de soluciones es una base para el espacio de las soluciones del sistema. Teorema 10.1.4 (Propiedad de base). Si {x1 (t), . . . , xn (t)} es un conjunto fundamental de soluciones del sistema homog´eneo (10.8), en un intervalo J entonces cada una de las soluciones de (10.8) en J puede expresarse como una combinaci´ on lineal de x1 (t), . . . , xn (t). En otras palabras para cada soluci´on x = x(t) del sistema existen constantes c1 , . . . , cn tales que x(t) = c1 x1 (t) + · · · + cn xn (t),

(10.9)

para todo t de J. Se acostumbra decir en ese caso que (10.9) representa la soluci´on general del sistema (10.8). Las demostraciones de estos dos teoremas son completamente an´alogas a las de los correspondientes teoremas del cap´ıtulo 5 para ecuaciones lineales de segundo orden. Tambi´en en analog´ıa con las ecuaciones de segundo orden se tienen las dos siguientes propiedades de las soluciones de sistemas no homog´eneos.

212

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

Teorema 10.1.5 (Primer principio de superposici´on para sistemas no homog´eneos). Si las funciones xk = xk (t), k = 1, . . . , m, son respectivamente soluci´on de los sistemas x0 = A(t) x + bk (t),

k = 1, . . . , n,

entonces para cualquier escogencia de las constantes c1 , . . . , cm la funci´on x(t) = c1 x1 (t) + · · · + cm xm (t) es soluci´on del sistema no homog´eneo x0 = A(t) x + c1 b1 (t) + · · · + cm bm (t). Teorema 10.1.6 (Segundo principio de superposici´on para sistemas no homog´eneos). Si xp (t) es una soluci´on particular del sistema no homog´eneo (10.7), entonces dada cualquier otra soluci´on x = x(t) de ese mismo sistema, existe una soluci´on xH (t) del sistema homog´eneo asociado (10.8) tal que x(t) puede escribirse en la forma x(t) = xp (t) + xH (t). Rec´ıprocamente si xp (t) es una soluci´on particular del sistema no homog´eneo (10.7) y xH (t) es soluci´on del sistema homog´eneo asociado (10.8), entonces x(t) = xp (t) + xH (t) es soluci´on del sistema no homog´eneo (10.7). Ejercicios 1. Halle un sistema lineal de ecuaciones de primer orden equivalente a la ecuaci´on dada en cada caso: a) x00 + 2x0 + 5x = 0

c) x00 − 2x0 − 3x = 0

b) x00 + ω 2 x = 0

d ) x00 − x = 0

2. Los sistemas que se dan a continuaci´on son equivalentes a una ecuaci´on lineal de segundo orden. Emplee esa equivalencia para hallar las soluciones del sistema. En particular determine un conjunto fundamental de soluciones y trace las trayectorias descritas por las funciones que integren el conjunto fundamental de soluciones.

´ 10.2. SISTEMAS HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

µ 0¶ µ ¶µ ¶ x1 0 1 x1 a) = 0 x x2 1 0 ¶µ ¶ µ 02 ¶ µ x1 0 1 x1 = b) 0 x2 x2 −5 −2

213

µ 0¶ µ ¶µ ¶ x1 0 1 x1 c) = 0 2 x2 x2 −ω 0

Respuestas 1. En las respuestas x1 = x, x2 = x0 . µ 0 ¶ µ µ 0 ¶ µ ¶µ ¶ x1 0 1 x1 x1 a) = c) = x02 −5 −2 x02 x2 µ 0 ¶ µ ¶µ ¶ µ 0 ¶ µ x1 x1 0 1 x1 b) = d) = 2 0 −ω 0 x2 x2 x02

0 1 3 2 0 1 1 0

¶µ ¶µ

x1 x2 x1 x2

¶ ¶

2. En todos los casos x = x1 y x0 = x2 ; c1 y c2 representan constantes arbitrarias. a) x00 − x = 0; x1 = c1 et + c2 e−t , x2 = c1 et − c2 e−t . b) x00 + 2 x0 + 5 x = 0; x1 = c1 e−2t cos 2t + c2 e− t sen 2t, x2 = −c1 e−t (cos 2t + 2 sen 2t) + c2 e−t (− sen 2t + 2 cos 2t). c) x00 + ω 2 x = 0; x1 = c1 cos ωt + c2 sen ωt, x2 = −c1 ω sen ωt + c2 ω cos ωt.

10.2.

Sistemas homog´ eneos con coeficientes constantes

En esta secci´on presentaremos un m´etodo que permite hallar las soluciones de sistemas homog´eneos con coeficientes constantes. x0 = A x. La matriz A asociada al sistema es una matriz n × n cuyas componentes son n´ umeros reales aij :   a11 · · · a1n  ..  . A =  ... .  an1 · · · ann

214

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

La idea, debida a Euler, es buscar soluciones del tipo x(t) = eλt w, donde λ es una constante y w = (w1 , ..., wn )T es un vector de Rn . Como dtd (eλt w) = λ eλt w y A (eλt w) = eλt A w, entonces x(t) = eλt w es soluci´on de x0 = A x si y s´olo si λ wA w. Como se desea que x(t) sea una soluci´on no trivial, entonces λ debe ser un valor propio de la matriz A y w debe ser un vector propio asociado a λ. En consecuencia la b´ usqueda de soluciones de la forma x(t) = eλt w se reduce a la b´ usqueda de los valores y los vectores propios de la matriz A. Recordemos que λ es un valor propio de la matriz A si existe un vector w 6= 0 para el cual A w = λ w. Como el sistema (A − λ I) w = 0 tiene soluciones no triviales u ´nicamente si el determinante de la matriz A − λ I es igual a 0 tenemos que los valores propios de la matriz A son precisamente las ra´ıces de la llamada ecuaci´ on caracter´ıstica pA (λ) = det (A − λ I) = 0, donde I es la matriz identidad n × n. Los vectores propios asociados a un valor propio λ son entonces las soluciones no triviales w del sistema lineal (A − λI)w = 0. Ejemplo 10.2.1. Vamos a aplicar las ideas anteriores para encontrar las soluciones del sistema x0 = y y 0 = 3x + 2y que ya hab´ıamos considerado en el ejemplo 10.1.1. La matriz del sistema en este caso es la matriz µ ¶ 0 1 A= , 3 2 que tiene ecuaci´on caracter´ıstica ¯ ¯ 0−λ 1 det(A − λ I) = ¯¯ 3 2−λ

¯ ¯ ¯ = −λ (2 − λ) − 3 ¯

= λ2 − 2λ − 3 = (λ + 1)(λ − 3) = 0. Los valores propios son pues los n´ umeros λ1 = −1 y λ2 = 3 y los correspondientes vectores propios son las respectivas soluciones de los sistemas

´ 10.2. SISTEMAS HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

215

(A + I) w = 0 y (A − 3I) w = 0. Resolviendo estos sistemas vemos que en particular los vectores µ ¶ µ ¶ −1 1 w1 = y w2 = 1 3 son vectores propios que corresponden respectivamente a los valores propios λ1 = −1 y λ2 = 3. Correspondiendo a esta selecci´on de vectores propios se tienen las dos siguientes soluciones de la forma eλt w : µ ¶ µ ¶ −1 1 λ1 t −t λ2 t 3t x1 = e w 1 = e y x2 = e w 2 = e . 1 3 Estas dos soluciones forman un conjunto fundamental de soluciones pues son funciones linealmente independientes, un hecho que puede confiremarse calculando su determinante wronskiano ¯ ¯ ¯ −e−t e3t ¯ ¯ = −4e2t 6= 0. W (t) = ¯¯ e−t 3e3t ¯ Para terminar vemos que la soluci´on general del sistema puede escribirse en la forma ¶ µ ¶ µ ¶ µ −1 1 x(t) −t 3t = c1 e + c2 e , x(t) = 1 3 y(t) donde c1 y c2 representan constantes arbitrarias. Si por ejemplo ahora quisi´eramos encontrar la soluci´on que satisface las condiciones iniciales x(0) = 0, y(0) = 1, bastar´a con reemplazar estos valores para determinar las constantes c1 y c2 que corresponden a esta soluci´on: x(0) = −c1 + c2 = 0 y(0) = c1 + 3c2 = 1. El anterior sistema tiene como soluciones a los n´ umeros c1 = c2 = 41 , as´ı que la soluci´on del problema de valores iniciales planteado es la que sigue, x(t) =

1 −t 1 3t e + e , 4 4

y(t) =

1 −t 3 3t e + e . 4 4

La situaci´on del ejemplo anterior se generaliza a matrices n×n que tengan n valores propios reales distintos de acuerdo con el siguiente teorema.

216

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

Teorema 10.2.1. Sup´ongase que la matriz A de dimensi´on n × n, tiene n valores propios reales y distintos, λ1 , . . . , λn , y sean w1 , . . . , wn n vectores propios (no nulos) asociados a dichos valores propios. Entonces las funciones eλ1 t w1 , . . ., eλn t wn forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema x0 = A x y para cada una de las soluciones x(t) de este sistema existen constantes reales c1 , . . . , cn , tales que x(t) puede escribirse en la forma x(t) = c1 eλ1 t w1 + . . . + cn eλn t wn . El teorema anterior admite una peque˜ na generalizaci´on en el sentido de que no se necesita en realidad que los n valores propios de la matriz del sistema sean diferentes: la condici´on que realmente importa es que el n´ umero m´aximo de vectores propios linealmente independientes que se puedan asociar a cada uno de los valores propios coincida con la multiplicidad algebraica de cada valor propio. Se recordar´a de los cursos de ´algebra lineal que la multiplicidad algebraica de un valor propio es el exponente del factor correspondiente a ese valor propio cuando se factoriza el polinomio caracter´ıstico de la matriz. Ejemplo 10.2.2. Consid´erese el sistema x0 = 2 x − 3 y y 0 = −y z 0 = −3 y + 2 z. La matriz de coeficientes es la matriz   2 −3 0 A =  0 −1 0  , 0 −3 2 cuyo polinomio caracter´ıstico es igual a p(λ) = −(λ − 2)2 (λ + 1). Las ra´ıces de este polinomio son los n´ umeros λ1 = 2, de multiplicidad algebraica 2, y λ2 = −1 cuya multiplicidad algebraica es 1. Para encontrar los vectores propios asociados a λ1 = 2 debemos resolver el sistema (A − 2 I) w = 0, esto es el sistema      0 −3 0 0 w1  0 −3 0  w2  = 0 w3 0 −3 0 0

´ 10.2. SISTEMAS HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

217

En consecuencia los vectores propios asociados a λ1 = 2 son todos aquellos vectores w = (w1 , w2 , w3 )T que satisfagan la condici´on w2 = 0. En otras palabras vectores de la forma       w1 1 0      w = 0 = w1 0 + w3 0 w3 0 1 con w1 y w3 n´ umeros aritrarios. En particular los vectores (1, 0, 0)T y (0, 0, 1)T son vectores propios linealmente independientes asociados al valor propio λ = 2. Asociados a estos vectores propios tendr´ıamos dos soluciones linealmente independientes     1 0 x1 (t) = e2t 0 y x2 (t) = e2t 0 0 1 Para terminar encontramos los vectores propios asociados a λ2 = −1 resolviendo el sistema (A + I) w = 0,      3 −3 0 w1 0  0 0 0  w2  = 0 . 0 −3 3 w3 0 Las soluciones de este sistema son vectores de la forma     w3 1    w = w3 = w3 1 , w3 1 en particular w = (1, 1, 1)T es un vector propio linealmente independiente y asociado a este vector propio tenemos la soluci´on   0 x3 (t) = e2t 0 . 1 La soluci´on general del sistema de ecuaciones diferenciales propuesto puede entonces escribirse en la forma       1 0 1 x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t) + c3 x3 (t) = c1 e2t 0 + c2 e2t 0 + c3 e−t 1 . 0 1 1

218

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

Todav´ıa quedar´ıa por ver c´omo se puede resolver un sistema cuando algunos de los valores propios de la matriz de coeficientes sean complejos o cuando algunos de esos valores propios tengan un n´ umero de vectores propios linealmente independientes inferior a su multiplicidad algebraica. El siguiente ejemplo ilustra el caso de los valores propios complejos. Ejemplo 10.2.3. Se buscan las soluciones del sistema x0 = x − 2 y y 0 = 2 x + y. La matriz del sistema es la matriz µ A=

1 −2 2 1

¶

a la que corresponde la ecuaci´on caracter´ıstica ¯ ¯ ¯ 1 − λ −2 ¯ ¯ = (1 − λ)2 + 4 = λ2 − 2λ + 5 = 0. det(A − λ I) = ¯¯ 2 1−λ ¯ Los valores propios son los n´ umeros λ1 = 1 + 2i y λ2 = 1 − 2i, un par de n´ umeros complejos conjugados. Para hallar los vectores propios asociados debemos resolver ecuaciones de la forma (A − λI) w = 0 donde el vector w = (w1 , w2 )T tiene en general componentes complejas. Para λ1 = 1 + 2i la ecuaci´on por resolver es ¶µ ¶ µ ¶ µ w1 0 −2i −2 = 2 −2i w2 0 que se reduce a la ecuaci´on w1 − iw2 = 0. Los vectores propios son entonces vectores de la forma µ ¶ µ ¶ iw2 i w= = w2 , w2 1 donde w2 un n´ umero (complejo) arbitario. En particular tomando w2 = 1 se obtiene el vector propio µ ¶ µ ¶ µ ¶ i 0 1 w= = +i = α + iβ 1 1 0

´ 10.2. SISTEMAS HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

219

cuyas partes real e imaginaria, α y β, son vectores reales linealmente independientes. Asociada a este vector propio tenemos una soluci´on (compleja) linealmente independiente, x(t) = eλ1 t w = e(1+2i)t (α + iβ) = et (cos 2t + i sen 2t) (α + iβ) ¡ ¢ ¡ ¢ = (et cos 2t) α − (et sen 2t) β + i (et sen 2t) α + (et cos 2t) β = u(t) + iv(t). (10.10) Procediendo en la misma forma puede obtenerse una segunda soluci´on compleja asociada al segundo de los valores propios, λ2 = λ1 . Sin embargo ´esto no es totalmente satisfactorio si el inter´es es obtener soluciones reales, como suele ser el caso. Pr´oximamente vamos a discutir c´omo determinar soluciones reales partiendo de las soluciones complejas. Si λ = a + ib es un valor propio complejo de la matriz A y w es un vector propio asociado a ese valor propio, entonces la funci´on x(t) = eλt w es una soluci´on compleja del sistema x0 = A x. Puede notarse de otro lado que A w = A w = λ w = λ w. En consecuencia λ es tambi´en un valor propio de la matriz A, y w es uno de los vectores propios asociados a este valor propio. Eso quiere decir que los vectores propios asociados a λ no son otra cosa que “conjugados” de los vectores propios asociados a λ; es de esperarse entonces que el valor propio λ no aporte informaci´on realmente “nueva” cuando se trate por ejemplo de obtener las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales asociado a la matriz A. Se tiene en efecto el siguiente resultado, an´alogo a los ya conocidos del cap´ıtulo 5: Teorema 10.2.2. Si la matriz A(t) es real y si z(t) = u(t) + iv(t) es una soluci´on compleja del sistema lineal homog´eneo x0 = A(t) x, donde u(t) y v(t) son respectivamente las partes real e imaginaria de z(t), entonces u(t) y v(t) son soluciones reales del mismo sistema. Demostraci´ on. z0 (t) = A(t) z(t) ⇒ u0 (t) + iv0 (t) = A(t) u(t) + i A(t) v(t) ⇒ u0 (t) = A(t) u(t) y v0 (t) = A(t) v(t).

220

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

Ejemplo 10.2.4 (continuaci´on del ejemplo 10.2.3). Retomemos la f´ormula (10.10) para la soluci´on compleja x(t) = u(t) + i v(t) obtenida en el ejemplo 10.2.3. De acuerdo con el teorema 10.2.2 las partes real e imaginaria de dicha soluci´on son a su vez soluciones del sistema considerado en ese ejemplo. Esto es, las funciones µ ¶ − sen 2t t t t u(t) = (e cos 2t) α − (e sen 2t) β = e cos t y

µ t

t

t

v(t) = (e sen 2t) α + (e cos 2t) β = e

cos 2t sen 2t

¶

son soluciones del sistema. No es dif´ıcil ver que las curvas param´etricas representadas por u(t) y v(t) son espirales recorridas alej´andose del origen , tal y como se muestran en la figura 10.4. Adicionalmente las soluciones u(t) y v(t) y 20

10

−20

−10

10

20

x −10

−20

Figura 10.4: Las soluciones u(t) y v(t) del ejemplo 10.2.4 son funciones linealmente independientes, condici´on que podemos confirmar calculando su determinate wronskiano. En efecto, ¯ ¯ ¯ −et sen 2t et cos 2t ¯ ¯ = −e2t 6= 0 W (t) = ¯¯ et cos 2t et sen 2t ¯

´ 10.2. SISTEMAS HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

221

de manera que u(t) y v(t) forman un conjunto fundamental de soluciones, y podemos escribir la soluci´on general del sistema en la forma µ ¶ µ ¶ µ ¶ x(t) − sen 2t cos 2t t t x(t) = = c1 u(t) + c2 v(t) = c1 e + c2 e . y(t) cos 2t sen 2t Con algo m´as de trabajo se puede comprobar que todas las soluciones representan espirales alej´andose del origen, similares a las que se muestran en la figura 10.4. La situaci´on del anterior ejemplo se generaliza en el teorema que sigue. Teorema 10.2.3. Si λ = a + ib y λ = a − ib, b 6= 0, son un par de valores propios complejos conjugados de la matriz A, w = α + iβ es un vector propio asociado a λ, y los vectores α y β son respectivamente las partes real e imaginaria de w, entonces las funciones u(t) = eat (cos bt α − sen bt β) y

v(t) = eat (sen bt α + cos bt β)

son soluciones linealmente independientes del sistema x0 = A x. Observaci´on. Si A es una matriz de dimensi´on n × n que posee n vectores propios (reales o complejos) linealmente independientes w1 , . . ., wn , asociados a valores propios, λ1 , . . ., λn , (que pueden ser reales o complejos y no ser todos necesariamente distintos), entonces las funciones x1 (t) = eλ1 t w1 , . . ., xn (t) = eλn t wn , forman un conjunto fundamental de soluciones del sistema x0 = A x. Sin embargo algunsa de estas soluciones pueden ser complejas. En particular para los valores propios reales los vectores propios asociados pueden siempre escogerse como vectores reales, sin embargo si algunos de los valores propios de la matriz real A no son reales, digamos λj = aj + ibj donde aj y bj son n´ umeros reales y bj 6= 0, entonces los vectores propios asociados son necesariamente vectores complejos, esto es, tienen parte imaginaria diferente de cero. En ese caso las partes real e imaginaria de la soluci´on compleja x(t) = eλj t w = uj (t) + ivj (t) proporcionan dos soluciones reales linealmente independientes del sistema x0 = A x. El n´ umero λj es tambi´en un valor propio de A, pero las soluciones del sistema asociadas a este valor propio corresponden a combinaciones lineales de uj (t) y vj (t).

222

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

Desafortunadamente no siempre una matriz n×n tiene asociados n vectores propios linealmente independientes. Esto no ocurre cuando el polinomio caracter´ıstico tiene ra´ıces “repetidas”, digamos de multiplicidad k > 1, pero la dimensi´on del espacio de vectores propios asociados a esa ra´ız es estrictamente menor que k. En esos casos el conocimiento de los vectores propios asociados a los distintos valores propios no basta para conseguir un conjunto fundamentalde soluciones y se hace necesario considerar vectores propios generalizados que se definir´an m´as adelante.

10.2.1.

La exponencial de una matriz

La idea es generalizar el m´etodo de soluci´on de la ecuaci´on diferencial lineal 1–dimensional, dx = ax dt Se recordar´a que multiplicando por e−at esta ecuaci´on se reduce a d −at (e x(t)) = 0. dt De all´ı seconcluye que e−at x(t) es igual a una constante c y en consecuencia x(t) = eat v. Consideremos ahora el sistema homog´eneo, dx = Ax dt

(10.11)

Supongamos de momento que dada una matriz n × n A se encuentre definida la matriz etA , t real, de modo que la funci´on t 7→ etA sea diferenciable y se satisfaga d tA (e ) = etA A. dt En ese caso si x = x(t) es una soluci´on del sistema (10.11) en cierto intervalo J, aplicando las reglas usuales de derivaci´on se sigue que para todo t en J dx d −tA (e x) = e−tA − e−tA A x = 0. dt dt Lo anterior por supuesto implica que e−tA x es igual a un vector constante w: e−tA x(t) = w

´ 10.2. SISTEMAS HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

223

Despejando x(t) (y asumiendo que la exponencial etA satisface las propiedades “usuales” de la funci´on exponencial) se concluye que las soluciones de (10.11) son de la forma x(t) = etA w, (10.12) donde w es un vector constante. Definici´ on 10.2.1. Si A es una matriz n × n de componentes complejas y t es un n´ umero real, etA es la matriz definida como la suma de la serie e

tA

µ ¶ ∞ X 1 tN N m = (tA) = l´ım I + tA + · · · + A . N →∞ m! N! m=0

Ejemplo 10.2.5.

a) Si A es la matriz  λ  0  A = λ I =  ..  . 0

0 ··· λ ··· .. .

0 0 .. .

(10.13)

   , 

0 ··· λ

entonces (tA)m = (tλ)m I y ¶ µ 1 1 2 N tA tλI (tλ) I e = e = l´ım I + tλI + (tλ) I + · · · + N →∞ 2! N! µ ¶ (tλ)2 (tλ)N = l´ım 1 + tλ + + ··· + I N →∞ 2! N! = etλ I. b) Si A es la matriz

se tiene que   0 0 1 A2 =  0 0 0  , 0 0 0



 0 1 0 A= 0 0 1  0 0 0 

 0 0 0 A3 =  0 0 0  = 0, 0 0 0

A4 = A5 = · · · = 0.

224

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

Se sigue entonces que etA

 ∞ 1 t m X t 1 = Am = I + tA + t2 A2 =  0 1 m! 2! m=0 0 0

t2 2



t . 1

Observaci´on. La definici´on de etA para t y A dados tiene sentido en la medida en que la serie en (10.13) “converja”. Empleando t´ecnicas an´alogas a las que se en c´alculo para demostrar que para todo n´ umero real x la serie P∞usan xn umero real, se puede probar para n=0 n! converge hacia un cierto n´ P que 1 m (tA) toda matriz A y todo n´ umero real t la serie de “matrices” ∞ m=0 m! converge hacia una cierta matriz n × n. En otras palabras se puede probar N que el l´ımite l´ım (I + tA + · · · + tN ! AN ) existe, quienquiera que sean la matriz N →∞ A y el n´ umero t. En este caso estamos hablando del l´ımite de una sucesi´on de matrices, que debe entenderse en el mismo sentido en el que se entiende el l´ımite de una sucesi´on de vectores. A fin de cuentas una matriz n × n puede verse como un vector de n2 componentes. Se puede adem´as verificar que la funci´on etA definida mediante (10.13) satisface las propiedades “usuales” de la funci´on exponencial, como se especifica a continuaci´on. Teorema 10.2.4. Para cada matriz A de dimensi´on n la funci´on t 7→ etA , est´a definida para todo t real, es diferenciable y satisface las propiedades i) e0A = I ii) e(s+t)A = esA etA = etA esA iii) etA es invertible y (etA )−1 = e−tA iv)

d tA (e ) = A etA . dt

Sin embargo etA+tB = etA etB s´ olamente si AB = BA. Demostraci´ on. Se puede consultar por ejemplo el texto de Hirsch y Smale [3]. La definici´on de la matriz etA y sus propiedades validan ahora nuestro trabajo previo, que condujo a las soluciones (10.12) del sistema (10.11).

´ 10.2. SISTEMAS HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

225

Teorema 10.2.5. Dados x0 ∈ Rn y A una matriz real n × n, la soluci´on del problema de valores iniciales dx = Ax, dt

x(t0 ) = x0

est´a dada por x(t) = e(t−t0 )A x0 ,

−∞ < t < ∞.

(10.14)

Ejemplo 10.2.6. La soluci´on del problema de valores iniciales     1 0 1 0 dx    2  0 0 1 x, x(0) = = dt 3 0 0 0 est´a dada por 

  1 1 t tA    2 x(t) = e = 0 1 3 0 0

  2  1 1 + 2t + 3t2  t  2  =  2 + 3t 3 1 3

t2 2



El c´alculo de la matriz etA se llev´o acabo en el ejemplo 10.2.5 b ). Conjuntos fundamentales de soluciones La utilizaci´on directa de las f´ormulas (10.12) o (10.14) para obtener una expresi´on para el conjunto de todas las soluciones de (10.11) presenta una dificultad: se requiere calcular la matriz exponencial etA , lo que puede ser m´as bien complicado si uno se basa simplemente en la definici´on de matriz exponencial como la suma de una serie infinita. Una alternativa es, en lugar de calcular expl´ıcitamente etA , buscar n soluciones linealmente independientes de la forma etA w, correspondientes a n vectores w convenientemente escogidos. Una observaci´on clave es que para cierto tipo de vectores w el c´alculo del vector etA w se reduce a una suma finita. N´otese primero que etA w = et(A−λI)+tλI w = et(A−λI) etλI w = eλt et(A−λI) w, donde se ha tenido en cuenta que (A − λI)λI = λI(A − λI). De esta forma ∞ X tm e w=e (A − λI)m w. m! m=0 tA

λt

(10.15)

226

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

As´ı, si por ejemplo w es un vector propio asociado a λ, entonces (A−λI)w = 0 de manera que (A−λI)m w = 0 para m ≥ 1. En este caso la serie en (10.15) se reduce al t´ermino Iw = w y por lo tanto etA w = eλt w. El c´alculo tambi´en se simplifica en el caso de los vectores propios generalizados que pasamos a definir. Definici´ on 10.2.2. Dado un valor propio λ de la matriz A se dice que el vector w 6= 0 es un vector propio generalizado asociado a λ, si w es soluci´on de la ecuaci´on (A − λI)k w = 0, donde k es la multiplicidad de λ. Si w es un vector propio generalizado de A asociado al valor propio λ y k es la multiplicidad de λ, entonces, dado que (A − λI)k+1 w = (A − λI)k+2 w = · · · = 0 la serie (10.15) se reduce a la suma finita µ ¶ tk−1 tA λt k−1 x(t) = e w = e w + t(A − λI) w + · · · + (A − λI) w . (k − 1)! (10.16) Podemos entonces obtener un conjunto fundamental de soluciones formado por soluciones de la forma (10.16), apoy´andonos en el siguiente teorema de ´algebra lineal: Teorema 10.2.6 (Teorema de la descomposici´on primaria). Sea A una matriz n × n real o compleja. Sup´ongase que el polinomio caracter´ıstico de A, pA (λ) = det(A − λI) tiene r ra´ıces reales o complejas distintas λ1 , · · · , λr , con multiplicidades k1 , · · · , kr de forma que pA (λ) = (−1)n (λ − λ1 )k1 . . . (λ − λr )kr ,

k1 + · · · + kr = n.

Entonces i) Para cada valor propio λj , j = 1, . . ., r, el sistema lineal (A − λj I)kj w = 0 tiene kj soluciones linealmente independientes k

wj1 , . . . , wj j (si λj no es un n´ umero real, los vectores wjl tienen componentes complejos).

´ 10.2. SISTEMAS HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

227

ii) Los n vectores w11 , . . . , w1k1 , w21 , . . . , w2k2 , . . . , wr1 , . . . , wrkr son linealmente independientes. Demostraci´ on. Se da en los textos de ´algebra lineal avanzada; puede consultarse por ejemplo el texto de M.W. Hirsch and S. Smale, [3]. El conjunto de los valores propios de la matriz A, λ1 , . . ., λr , y sus respectivos vectores propios generalizados, wjl , j = 1, . . . , r, l = 1, . . . , kj como se describi´o en el teorema de la descomposici´on primaria, permiten construir un conjunto fundamental de soluciones de la forma kj −1

xj,l (t) = e

tA

wjl

λj t

=e

X tm (A − λj I)m wjl , m! m=0

j = 1, . . . , r, l = 1, . . . , kj .

(10.17) Si λj = aj + ibj , bj > 0, es un valor propio complejo, las correspondientes kj soluciones complejas (10.17) pueden separarse en sus partes reales e imaginarias de manera que se generan 2kj soluciones reales. De otro lado el valor propio complejo conjugado λj = aj − ibj conduce a las mismas soluciones reales, por lo cual basta con considerar los valores propios complejos con parte imaginaria positiva, bj > 0. Ejemplo 10.2.7. Buscamos las soluciones del sistema   −1 1 −2 dx  0 −1 4  x. = dt 0 0 1 El polinomio caracter´ıstico es ¯ ¯ −1 − λ 1 −2 ¯ 0 −1 − λ 4 pA (λ) = ¯¯ ¯ 0 0 1−λ

¯ ¯ ¯ ¯ = (λ + 1)2 (1 − λ). ¯ ¯

Los valores propios son λ1 = −1, de multiplicidad 2 y λ2 = 1, de multiplicidad 1. Los vectores propios “generalizados” asociados a λ1 = −1 se obtienen como sigue:     0 1 −2 0 0 0 4  , (A + I)2 =  0 0 8  . A+I = 0 0 0 0 2 0 0 4

228

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

La ecuaci´on (A + I)2 w = 0, para w = (w1 , w2 , w3 )T , se reduce a w3 = 0. En otras palabras los vectores propios generalizados son vectores de la forma w = (w1 , w2 , 0)T con w1 y w2 n´ umeros arbitrarios. En particular los vectores     1 0    0 , y w2 = 1  w1 = 0 0 son dos vectores propios generalizados linelamente independientes. Correspondientemente se obtienen las soluciones x1 (t) = e−t et(A+I) w1 = e−t [I + t(A + I)]w1      1 t −2t 1 1 −t  −t     0 , 0 1 4t 0 =e =e 0 0 0 1 + 2t 0 y x2 (t) = e−t et(A+I) w2 = e−t [I + t(A + I)]w2      1 t −2t 0 t 4t   1  = e−t  1  . = e−t  0 1 0 0 1 + 2t 0 0 Los vectores propios asociados al valor propio simple λ2 = 1 son las soluciones de (A − I) w = 0:      −2 1 −2 w1 0  0 −2     4 w2 0 , = 0 0 0 w3 0 que se reduce a las ecuaciones w1 = 0 y w2 − 2w3 = 0, de forma que los vectores propios son los vectores de la forma (0, 2w3 , w3 )T con w3 un n´ umero arbitrario. En particular, tomando por ejemplo w3 = 1, se obtiene el vector propio linealmente independiente w3   0  2 , w3 = 1 al cual est´a asociada la soluci´on



 0 x3 (t) = et w3 = et  2  . 1

´ 10.2. SISTEMAS HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

229

Finalmente la soluci´on general del sistema puede escribirse en la forma       1 t 0 x(t) = c1 e−t  0  + c2 e−t  1  + c3 et  2  0 0 1   −t   c1 e te−t 0 =  0 e−t 0   c2  . c3 0 2 et Ejemplo 10.2.8. Buscamos las soluciones del sistema   0 −1 0 0 dx  1 0 0 0   x. =  0 0 0 −1  dt 1 0 1 0 El polinomio caracter´ıstico es el polinomio pA (λ) = |A − λ I| = (λ2 + 1)2 = (λ − i)2 (λ + i)2 . Los valores propios son los n´ umeros λ1 = i, y λ2 = λ1 = −i, ambos de multiplicidad 2. Bastar´a con obtener las soluciones correspondientes a λ1 . Los vectores propios generalizados asociados se hallan resolviendo el sistema (A − i I)2 w = 0. Se tiene     −i −1 0 0 −2 2i 0 0  1 −i 0  −2i −2 0  0 0  2 ,  . A−i I =  (A−i I) =  0  −1 0 −i −1  0 −2 2i  1 0 1 −i −2i −1 −2i −2 El sistema (A − iI)2 w = 0 se reduce a las ecuaciones, w1 + 2 w3 − 2i w4 = 0,

w2 − 2i w3 − 2 w4 = 0,

En consecuencia los vectores propios generalizados son vectores de la forma         −2 2i −2 w3 + 2i w4 w1      w2   2i w3 + 2 w4   = w3  2i  + w4  2  .   w=      w3  =  1 0  w3 w4 0 1 w4

230

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

Dos vectores propios generalizados linealmente independientes pueden obtenerse tomando w3 = 1, w4 = 0 y w3 = 0, w4 = 1 :     −2 2i  2i   2  ,   w1 =  w = 2  1   0 . 0 1 Las soluciones del sistema correspondientes a este par de vectores son correspondientemente z1 (t) = etA w1 = eit et(A−iI) w1 = eit (I + t(A − iI))w1   −2  2i   = (cos t + i sen t)   1 − it  −t     −2 cos t −2 sen t     −2 sen t 2 cos t  + i  =  cos t + t sen t   sen t − t cos t  −t cos t −t sen t z2 (t) = etA w2 = eit et(A−iI) w2 = eit (I + t(A − iI))w2   2i  2   = (cos t + i sen t)   −t  1 + it     −2 sen t 2 cos t     2 cos t 2 sen t  + i  =     −t cos t −t sen t cos t − t sen t t cos t + sen t Las partes real e imaginaria de cada una de estas soluciones complejas son soluciones reales; en consecuencia las siguientes funciones forman un conjunto fundamental de soluciones (reales):     −2 cos t −2 sen t     −2 sen t 2 cos t   x1 (t) =  x2 (t) =   cos t + t sen t  ,  sen t − t cos t  , −t cos t −t sen t

´ 10.2. SISTEMAS HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES



 −2 sen t   2 cos t , x3 (t) =    −t cos t cos t − t sen t

231



 2 cos t   2 sen t . x4 (t) =    −t sen t t cos t + sen t

El c´ alculo de la matriz exponencial En esta secci´on vamos a mostrar c´omo calcular la matriz exponencial etA cuando se conozca un conjunto fundamental de soluciones del sistema homog´eneo x0 = A x. Sup´ongase que se tiene un conjunto fundamental de soluciones formado por las funciones x1 (t) = etA w1 , . . . , xn (t) = etA wn y que tomando estas soluciones como columnas se construye una matriz Π(t),   x11 (t) · · · xn1 (t)   .. .. Π(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) =  . . . x1n (t) · · · xnn (t) La matriz Π(t) es una matriz invertible dado que x1 (t), . . ., xn (t) son funciones linealmente independientes de manera que det Π(t) = W (t) 6= 0. Como adem´as Π(t) = (etA w1 , . . ., etA wn ) = etA Π(0), se sigue que etA = Π(t) Π(0)−1 . Una matriz Π(t) como la que acabamos de describir recibe el nombre de matriz fundamental. Ejemplo 10.2.9. Para la matriz A del Ejemplo 10.2.7 tendr´ıamos  −t  e te−t 0 Π(t) =  0 e−t 2et  , 0 0 et y   1 0 0 Π(0)−1 =  0 1 −2  0 0 1 de manera que  −t  e te−t −2te−t etA = Π(t) Π(0)−1 =  0 e−t 2(et − e−t )  . 0 0 et

232

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

Ejercicios 1. Reduzca el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden a un sistema de cuatro ecuaciones de primer orden en las variables x1 = y, x2 = y 0 , x3 = z, x4 = z 0 , d2 y dz + 2α + y = A cos ωt dt2 dt dy d2 z + 2β + z = B cos ωt 2 dt dt 2. En cada caso escriba el sistema de ecuaciones con condiciones iniciales dado como un problema de valores iniciales en forma normal x0 = A x, x(t0 ) = x0 . a)

 0  x y0   0 z

b) = x − 2y + z = 3x + y − 8z = −x + y − z,

x(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = 10

 du   dt dv dt   dw dt

= −w = −u + w = u − w,

u(1) = α, v(1) = 0, w(1) = 1 . α

3. Sea xp (t) la soluci´on del sistema dx = A(t)x + b(t) que satisface la dt condici´on x(t0 ) = 0. Muestre que la soluci´on del problema de valores iniciales dx = A(t) x + b(t), x(t0 ) = x0 , dt es la funci´on x(t) = xp (t) + xH (t), donde xH (t) es la soluci´on del problema de valores iniciales dx = A(t)x, dt

x(t0 ) = x0

4. Suponga que Aw = λw. Verifique que x(t) = eλ(t−t0 ) w es la soluci´on del sistema x0 = A x que satisface la condici´on x(t0 ) = w.

´ 10.2. SISTEMAS HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

233

5. Suponiendo que las funciones   t   t   t e + e2t e + e3t e − e3t x1 (t) =  e2t  , x2 (t) =  e3t  , x3 (t) =  −e3t  −e3t 0 e3t son soluciones de un sistema de dimensi´on 3, x0 = A x, a) decida si estas funciones forman o no un conjunto fundamental de soluciones del sistema y b) determine, de ser posible, la soluci´on que satisface la condici´on x(0) = (1, 1, 1)T . 6. En cada uno de los siguientes casos halle la soluci´on general del sistema y la soluci´on particular que satisface la condici´on inicial dada. µ ¶ µ ¶ 6 −3 1 0 a) x = x, x(0) = . 2 1 2 µ ¶ µ ¶ 1 −3 1 0 b) x = x, x(0) = . −2 2 1     1 −3 2 1 0  x, x(0) =  0  . c) x0 =  0 −1 0 −1 −2 −1     3 1 −2 1 0    −1 2 1 2 . d) x = x, x(0) = 4 1 −3 3 ¶ µ ¶ µ 1 1 −1 . x, x(0) = e) x0 = 1 5 −3 µ ¶ µ ¶ 1 −1 1 π 0 f) x = x, x( 2 ) = . 5 −3 1 µ ¶ µ ¶ 3 −2 1 0 g) x = x, x(0) = . 4 −1 2     −3 0 2 0 h) x0 =  1 −1 0  x, x(0) =  −1  . −2 −1 0 −2     0 2 0 0 0     −2 0 0 0  1   i) x0 =   0 0 0 3  x, x(0) =  0  . 0 0 3 0 1

234

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

µ 0

j) x = 

a 1 0 a

µ

¶

2 0  0 2 k ) x0 =   0 0 0 0 7. Dada la matriz A

x,

0 1

¶

x(0) = , (a constante).    1 0 1  0  1 0   x, x(0) =   .  1  2 0  −1 2 0   λ 1 0 =  0 λ 1  , donde λ representa un n´ umero 0 0 λ

real, 

 0 1 0 a) muestre que A − λI = N =  0 0 1  , y determine las matri0 0 0 k ces (A − λ I) , k = 2, 3, . . . b) emplee los resultados del literal anterior para calcular la matriz etA , teniendo en cuenta que A = λ I + N y que et λI+tN = etλ etN c) generalice los resultados anteriores a las matrices n×n de la forma   λ 1 ··· 0 . . ..   . .   0 λ A= . . . .  .. . . . . 1  0 ··· 0 λ µ ¶ 0 −1 8. Si A0 es la matriz , 1 0 2k+1 k a) verifique que A20 = −I, y deduzca que A2k = 0 = (−1) I, A0 k (−1) A0 para k = 0, 1, 2, . . .

b) muestre que e

tA0

∞ ∞ X t2k 2k X t2k+1 A0 + A2k+1 = (cos t)I + (sen t)A0 . = 0 2k! (2k + 1)! k=0 k=0

9. Dada la matriz

µ A=

a −b b a

¶ = aI + bA0

´ 10.2. SISTEMAS HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

235

donde a y b representan n´ umeros reales con b ≥ 0, muestre que µ ¶ cos bt − sen bt tA at . e =e sen bt cos bt 10. Halle etA si A es la matriz de coeficientes en los ejercicios a) 6a ), b) 6e ) y c) 6k ) 11. Resuelva el sistema (10.2) que modela el sistema de bloques acoplados de la figura 10.1, suponiendo que, en unidades apropiadas, m = 2, k = 2, kc = 3 y que el sistema parte del reposo con x1 (0) = 1, x2 (0) = 0. Respuestas 1. x01 = x2 , x02 = −2α x4 − x1 + A cos ωt, x03 = x4 , x04 = −2β x2 − x3 + B cos ωt     1 −2 1 0 1 −8  , x (0) =  0  2. a) x0 =  3 −1 1 −1 10     0 0 −1 α 0    −1 0 1 , u(1) = 0  b) u = 1 1 0 −1 α 5. 6.

b) x(t) = e3t (1, 1, 1)T µ ¶ ¶ µ 4 −3 3t 4t a) x(t) = e +e 4 −2 µ 6 ¶ µ 1 ¶ −5 b) x(t) = e−t 54 + e4t 1 5 5  2 −2t 1 t  e + 3e 3   0 c) x(t) = −e−2t       7 1 1 d ) x(t) = 13 e−t  −2  − 4 et  0  + 83 e2t  1  13 1 1 µ ¶ cos t + sen t e) x(t) = e−t cos t + 3 sen t

236

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

µ

¶ − cos t + sen t f ) x(t) = e −3 cos t + sen t µ ¶ cos 2t − sen 2t g) x(t) = et 2 cos 2t √ √     √ − √2 sen √2t − 2 cos√ 2t 2 h) x(t) = e−2t  −2  + e−t  − 2 sen 2t √ + cos 2t  1 −3 cos 2t       0 0 sen 2t  0  1 3t  0   cos 2t       i) x(t) = 12 e−3t   −1  + 2 e  1  +  0  1 1 0 µ ¶ t j ) x(t) = eat 1     1 1  0     + t e2t  1  k ) x(t) = e2t   1   0  0 −1   1 t 2t 7. b) etA = eλt  0 1 t  0 0 1 µ ¶ −2 e3t + 3 e4t 3 e3t − 3 e4t 10. a) −2 e3t + 2 e4t 3 e3t − 2 e4t µ ¶ cos t + 2 sen t − sen t b) e−t 5 sen t cos t − 2 sen t   1 0 t 0  0 1 t 0   c) e2t   0 0 1 0  0 0 −t 1     cos 2t − cos t  −2 sen 2t  1  sen t     11. x(t) = 12   − cos 2t  − 2  − cos t  2 sen 2t sen t −t

´ 10.3. SISTEMAS NO HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

10.3.

237

Sistemas no homog´ eneos con coeficientes constantes

Vamos a considerar ahora sistemas de ecuaciones lineales no homog´eneas, dx = A x + b(t), dt

(10.18)

donde A = (aij ) es una matriz n × n, cuyas componentes son n´ umeros reales y   b1 (t)   b(t) =  ...  bn (t) es una funci´on vectorial continua, definida en cierto intervalo J. De acuerdo al segundo principio de superposici´on (teorema 10.1.6), si xp (t) es una soluci´on particular del sistema (10.18) y se conoce la soluci´on general xH (t) para el sistema homog´eneo asociado dx = A x, dt

(10.19)

entonces la soluci´on general sel sistema no homog´eneo puede escribirse en la forma x(t) = xp (t) + xH (t). En la secci´on anterior aprendimos t´ecnicas para obtener la soluci´on general de sistemas homog´eneos con coeficientes constantes, por lo tanto si lo que se requiere es resolver un sistema no homog´eneo s´olo nos restar´ıa estar en capacidad de determinar al menos una soluci´on particular de tal sistema. Los m´etodos que estudiaremos para resolver sistemas no homog´eneos son an´alogos a los ya conocidos para resolver ecuaciones lineales no homog´eneas de segundo orden. Empezaremos por considerar el m´etodo de los coeficientes indeterminados, tambi´en llamado m´etodo del tanteo.

10.3.1.

El m´ etodo de los coeficientes indeterminados

Al igual que ocurre con el caso de las ecuaciones de segundo orden, este m´etodo puede aplicarse u ´nicamente cuando el t´ermino no homog´eneo, b(t) en (10.18), sea de ciertos tipos especiales, similar a las soluciones que se obtienen

238

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

para los sistemas homog´eneos con coeficientes constantes, esto es funciones que sean de la forma P (t)eα t cos β t b1 o Q(t)eα t sen β t b2 , donde P (t) y Q(t) representan polinomios, b1 y b2 son vectores y α y β son constantes reales. En ese caso es generalmente cierto que el sistema no homog´eneo posee una soluci´on particular que es del mismo tipo que el t´ermino no homog´eneno. Ilustraremos esta idea con un ejemplo. Ejemplo 10.3.1. Consid´erese el sistema µ ¶ µ t ¶ 0 1 e 0 . x = x+ 3 2 e2t

(10.20)

La soluci´on general del sistema homog´eneo asociado se obtuvo en el ejemplo 10.2.1: µ ¶ µ ¶ −1 1 −t 3t xH (t) = c1 e + c2 e . 1 3 Buscaremos ahora una soluci´on particular par el sistema no homog´eneo, que sea de la forma µ ¶ µ ¶ a1 b1 t 2t xp (t) = e +e . a2 b2 Derivando y reemplazando en (10.20) obtenemos µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ t ¶ a1 b1 a2 b2 e t 2t t 2t e +2e =e +e + , a2 b2 3a1 + 2a2 3b1 + 2b2 e2t de donde, igualando componentes y coeficientes, llegamos a los siguientes sistemas de ecuaciones en las variables a1 , a2 , b1 y b2 : a1 = a2 + 1 a2 = 3a1 + 2a2

2b1 = b2 2b2 = 3b1 + 2b2 + 1

De aqu´ı se siguen los valores de los coeficientes, a1 = 41 , a2 = − 43 , b1 = − 31 y b2 = − 23 . Concluimos entonces que la soluci´on general del sistema considerado puede escribirse en la forma µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ et e2t 1 1 −1 1 −t 3t x(t) = − + c1 e + c2 e , −3 2 1 3 4 3 donde c1 y c2 representan constantes arbitrarias.

´ 10.3. SISTEMAS NO HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

239

As´ı como ocurre en el caso de las ecuaciones de segundo orden, surgen inconvenientes al aplicar el m´etodo de los coeficientes indeterminados cuando el t´ermino no homog´eneo b(t) resulta ser de la misma forma que algunas de las soluciones del sistema homog´eneo asociado. Vamos a aclarar c´omo se debe proceder en esa situaci´on con el siguiente ejemplo. Ejemplo 10.3.2. Consideremos el sistema µ ¶ µ −t ¶ 0 1 e 0 x = x+ , 3 2 0

(10.21)

que tiene asociado el mismo sistema homog´eneo que el considerado en el ejemplo anterior. El t´ermino no homog´eneo µ −t ¶ e b(t) = 0 es por lo tanto “de la misma forma” que una de las soluciones del sistema homog´eneo asociado. Puede verificarse que efectivamente cuando se intenta encontrar una soluci´on particular de la forma µ ¶ a1 −t xp (t) = e (10.22) a2 se llega a un sistema inconsistente en las variables a1 y a2 . Se concluye entonces que no existe ninguna soluci´on del sistema no homog´eneo que sea de la forma propuesta. A diferencia de lo que se hac´ıa en el caso de las ecuaciones de segundo orden, debemos modificar la soluci´on propuesta a˜ nadiendo un t´ermino de la forma dada en (10.22) pero multiplicado por t. As´ı que ensayamos con una soluci´on de la forma µ ¶ µ ¶ a1 b1 −t −t xp (t) = e + te . a2 b2 Derivando y reemplazando en (10.21) para luego igualar componentes y coeficientes, se llega al siguiente sistema de ecuaciones en las variables a1 , a2 , b1 y b2 : a1 + a2 − b1 3a1 + 3a2 − b2 b1 + b2 3b1 + 3b2

= −1 =0 =0 = 0.

240

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

Resolviendo este sistema vemos que se reduce a las relaciones b1 = 43 , b2 = − 34 y a1 + a2 = − 14 . Se puede entonces, por ejemplo, despejar a1 en t´erminos de a2 y asignarle valores arbitrarios a esta u ´ltima variable. Si tomamos a2 = 0 entonces a1 = − 14 y se llegar´ıa a la soluci´on particular µ 1 ¶ µ 3 ¶ −4 −t −t 4 xp (t) = e + te . 0 − 34 A˜ nadiendo a la anterior soluci´on particular la soluci´on general del sistema homog´eneo asociado tendremos la soluci´on general de nuestro sistema.

10.3.2.

F´ ormula de variaci´ on de par´ ametros

La soluci´on general del sistema homog´eneo (10.19) puede representarse en t´erminos de la matriz exponencial, escribiendo x(t) = etA c, donde c es un vector de componentes constantes. En analog´ıa con el m´etodo de variaci´on de par´ametros desarrollado para ecuaciones lineales de segundo orden (o en general de orden n), vamos ahora a ver que las soluciones del sistema no homog´eneo x0 = A x + b(t) (10.23) pueden representarse en la forma x(t) = etA c(t), donde ahora c(t) representa una funci´on vectorial que puede calcularse expl´ıcitamente. Si x(t) = etA c(t) es soluci´on de (10.23), entonces derivando y reemplazando en esa ecuaci´on obtendr´ıamos, ¡ ¢ etA A c(t) + etA c0 (t) = A etA c(t) + b(t), de donde se sigue que la funci´on c(t) debe satisfacer la ecuaci´on c0 (t) = e−tA b(t). Integrando esta relaci´on, digamos entre t0 y t, tenemos que c(t) viene dado por la f´ormula Z t c(t) = c(t0 ) + e−sA b(s) ds. t0

De otro lado si x(t0 ) = x0 observamos que c(t0 ) = e−t0 A x0 , de donde concluimos finalmente que las soluciones de (10.23) est´an dadas por la expresi´on que sigue y que se conoce como f´ormula de variaci´on de param´etros: µ ¶ Z t Z t tA −t0 A −sA (t−t0 )A x(t) = e e x0 + e b(s)ds = e x0 + e(t−s)A b(s)ds. t0

t0

´ 10.3. SISTEMAS NO HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES

241

En la anterior expresi´on el t´ermino xp (t) = e(t−t0 )A x0 como la soluci´on general del Rsistema homog´eneo asociado a (10.23) mientras que el t´ermino t xp (t) = t0 e(t−s)A b(s) corresponde a una soluci´on particular del sistema (10.23) (la soluci´on que satisface x(t0 ) = 0). Ejemplo 10.3.3. Vamos a emplear la f´ormula de variaci´on de par´ametros para obtener (de nuevo) una soluci´on particular para el sistema del ejemplo 10.3.2, µ ¶ µ −t ¶ 0 1 e 0 x = x+ . 3 2 0 Para obtener la matriz etA podemos recurrir a la f´ormula etA = Π(t)Π(0)−1 . En nuestro caso podemos tomar por ejemplo µ ¶ −e−t e3t Π(t) = , e−t 3 e3t de manera que µ ¶µ ¶ µ ¶ 1 −3 e−t − e3t 1 −e−t e3t 3 −1 e−t − e3t tA = . e =− e−t 3 e3t −1 −1 3 e−t − 3 e3t −e−t − 3 e3t 4 4 As´ı, si aplicamos la f´ormula de variaci´on de par´ametros para conseguir en particular la soluci´on que satisface la condici´on x(0) = 0, obtenemos Z

t

e(t−s)A b(s) ds 0 ¶ µ −s ¶ Z µ 1 t −3 e−t+s − e3t−3s e−t+s − e3t−3s e = ds −t+s 3t−3s −t+s 3t−3s 3e − 3e −e − 3e 0 4 0 ¶ Z µ 1 t −3 e−t − e3t−4s = ds 3 e−t − 3 e3t−4s 4 0 µ ¶ 1 12 t e−t − e−t + e3t = 16 −12 t e−t − 3 e−t + 3 e3t µ 1 ¶ µ 1 ¶ µ 3 ¶ − 16 −t 3t −t 4 16 +e +e = te 3 3 − 34 − 16 − 16

xp (t) =

Ejercicios Halle la soluci´on general de los siguientes sistemas de ecuaciones:

242

10. SISTEMAS DE ECUACIONES

( 1.

x01 x02

= x2 + sen t = 3 x1 + 2 x2 µ

0

2. x = (

6 −3 2 1

¶

µ

−1 4t

x+

¶ .

x01 x02

= x2 + 1 = − x1 + et µ ¶ µ ¶ 2 1 0 . 4. x0 = x+ 0 2 2 et µ ¶ µ ¶ 0 1 tan t 0 5. x = x+ . −1 0 0     0 1 0 cos t dx  0 0 1 x +  0 . 6. = dt 0 0 0 2t 3.

Respuestas

µ

1. x(t) = −

1 2

1 µ

2. x(t) = cos t µ

3. 4. 5.

6.

¶

µ −t

− 25 ¶

1 2

¶

µ −t

+ c1 e

¶

µ + sen t

3 10

t

1 2 1 2

¶

¶

µ 3t

+ c2 e

¶

µ 3t

+ c1 e

µ

sen t cos t

¶

1 1 µ

1 3

¶

¶

µ + c2 e

4t

3 2

¶

¶ − cos t +e x(t) = + c1 + c2 sen t ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ 2 1 1 t t t 2t 2t x(t) = e + te + c1 e + c2 e −1 −1 0 1 µ ¶ µ ¶ µ ¶ t sen t − cos t −1 + cos t + sen t ln 1+sen cos t + c1 + c2 x(t) = t cos t sen t − sen t + cos t ln 1+sen cos t      1 2    1 4 1 t sen t + 12 t t 2 1 3        0 1 t t  + c1 + c2 + c3 x(t) = 3 2 t 0 0 1 0 −1 µ

µ

3 10 − 35

−1 1

´Indice alfab´ etico Amortig¨ uaci´on viscosa, ley de, 119 Arqu´ımedes, principio de, 61

lineal de orden n., 206 Ecuaci´on caracter´ıstica, 105, 214 Ecuaci´on de ´ındices, 166, 168 Ecuaci´on lineal de orden n, 91 Bernoulli, de primer orden, 24 ecuaci´on de, 27 soluci´on general de una, 25 Bessel, de segundo orden, 92 ecuaci´on de, 92, 156, 160, 169 homog´enea, 94 funciones de, 155, 172 soluci´on general de una, 97 Cambios de variables, 38 Ecuaci´on lineal, Campos de direcciones, 13 factor integrante para una, 25 Cauchy–Euler, Ecuaci´on diferencial, 1 ecuaci´on de, 158, 166 de orden n, 6 Coeficientes indeterminados, 111 de primer orden, 5 Coeficientes indeterminados, Ecuaci´on diferencial, m´etodo de los, 150 soluci´on de una, 7 m´etodo de los, 237 Ecuaciones aut´onomas, 72 Conjunto Ecuaciones exactas, 30 fundamental de soluciones ecuaciones reducibles a, 35 de un sistema de ecuaciones, 210 Conjunto fundamental de soluciones, Ecuaciones homog´eneas, 22 Ecuaciones lineales 95 de orden n, 139 para ecuaciones de orden n, 142 homog´eneas de orden n, 140 Convoluci´on de dos funciones, 197 Equilibrio Desintegraci´on radioactiva, 48 estable, 76 Determinate de Wronski Euler, de un sistema de ecuaciones, 210 funci´on gamma de, 171 m´etodo de, 84 Ecuaci´on 243

244

Factor integrante, 25 Factores integrantes, 36 que s´olo dependen de x, 37 que s´olo dependen de y, 37 Forma normal de una ecuaci´on diferencial, 7 Frecuencia amortiguada, 126 Frecuencia angular amortiguada, 126 natural, 124 Frobenius, m´etodo de, 165 Fuerza de amortiguamiento, 118 de fricci´on, 118 restauradora, 117 Fuerzas arm´onicas, 129 de excitaci´on, 119 de excitacion, 129 Funci´on de salto unitario, 180 encendido–apagado, 187 Heaviside, funci´on escal´on de, 180 Hermite, ecuaci´on de, 156, 159, 161 polinomios de, 155 Hooke, ley de, 119 Independencia lineal, 95 Integral general, 32 Intervalo maximal de definici´on, 73 Laplace, transformada de, 177

´INDICE ALFABETICO ´

Legendre, ecuaci´on de, 92, 156, 159 polinomios de, 155 Longitud del paso, 84 M´etodo de los coeficientes indeterminados, 237 Malthus, modelo de, 2 Matriz exponencial, 223 propiedades de la, 224 Matriz fundamental, 231 Movimiento rectil´ıneo, 4 Multiplicidad de un valor propio, 216 Newton, ley de enfriamiento de, 54 segunda ley de, 4, 119, 120 Orden exponencial, 182 Oscilaciones cr´ıticamente amortiguadas, 127 sobreamortiguadas, 127 subamortiguadas, 126 Oscilaciones forzadas, 129 Oscilaciones libres, 122 Oscilaciones no amortiguadas forzadas, 132 Oscilador arm´onico simple, 123 amplitud del, 124 frecuencia natural del, 124 periodo del, 124 no lineal, 121 Osciladores lineales, 117 mec´anicos, 118

´INDICE ALFABETICO ´

P´endulo, 120 Periodo amortiguado, 126 Posici´on de equilibrio, 117 Problema de valor inicial, 11 punto ordinario, 158 singular, 158 Punto singular regular, 167 Reducci´on de orden, 39 Resonancia, 119, 133 Retratos de fases, 78, 207 Runge-Kutta, m´etodos de, 88 Sistema de ecuaciones, 205 lineales con coeficientes constantes, 205 de primer orden, 205, 206 homog´eneas, 209 Sistemas din´amicos, 1 Soluci´on estacionaria, 131 Soluci´on general de un sistema de ecuaciones lineales, 211 Soluci´on general de una ecuaci´on lineal homg´enea de orden n., 143 Soluciones cl´asicas, 19 Soluciones de equilibrio, 73 T´ermino transitorio, 131 Tanque, modelo del, 56 Teorema de la descomposici´on primaria, 226 Teorema fundamental

245

de existencia y unicidad, 10, 93 para ecuaciones de orden n, 140 Transformada de Laplace, 177 inversa, 188, 189 Trayectorias ortogonales, 63 Variables separables, 9, 20 Variaci´on de par´ametros para sistemas de ecuaciones, 240 Variaci´on de par´ametros, 108 Vector propio generalizado, 226 Verhulst, modelo de, 50, 70 Wronski, determinante de, 95, 142, 210

246

´INDICE ALFABETICO ´

Bibliograf´ıa [1] R.V. Churchill. Operational Mathematics. McGrawHill, new York, 1972. [2] E. Coddingnton y N. Levinson. Theory of Ordinary Differential Equations. McGrawHill, 1955. [3] M.W. Hirsch y S. Smale. Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press, New York, 1974. [4] H. Lehning. The teaching of mathematics: From experimentation to proof. Am. Math. Mon., 96(7):631–635, 1989. Art´ıculo dedicado al estudio de la ecuaci´on diferencial x0 = t − x1 . [5] G. Murphy. Ordinary differential Equations and their Solutions. D. Van Nostrand Company, Princeton, New Jersey, 1960. Manual de consulta en donde se rese˜ nan muchos m´etodos para obtener soluciones expl´ıcitas de ecuaciones diferenciales. [6] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, y B. P. Flannery. Numerical Recipes in C. The art of scientific computing. Cambridge University Press, Cambridge, 2nd edition, 1992. Libro de referencia para ingenieros y cient´ıficos que deseen aplicar el an´alisis num´erico. [7] A. Rabenstein. Introduction to ordinary Differential Equations. Academic Press, New York, 1966. [8] F. Simmons. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas hist´oricas. McGrawHill Interamericana, M´exico, 2 edition, 1993. [9] I. Stegun y M. Abramowitz. Pocketbook of Mathematical Functions (Abridged edition). Verlag Harri Deutsch, 1984. 247

248

BIBLIOGRAF´IA

[10] G.A. Watson. Treatise on the Theory of Bessel Functions. University Press, Cambridge, 1962.