Division De Surfacess

S Milles

division de surfacess

13/10/2013

Topographie EXERCICE   

NIVEAU : TSGT 2eme année OBJECTIF : division de surfaces DUREE : 2 heures

ENONCE Énoncé inspiré du sujet de l’examen préliminaire de géomètre, session de 1987. Les tableaux ci-après reprennent les données d’un lever effectué sur les propriétés délimitées par les points 101, 102, 203 et 204 (voir le schéma du lever). Le point 103 est le milieu de 102-203 ; le point 201 est le milieu de 101-204.

Stations 1 X1 = 100,00 Y1 = 500,00 2 X2 = 183,72 Y2 = 500,00

Points visés

Hz gon 356,789 98,573 236,033 325,692 1,205 378,010 137,660 283,581

2 101 102 104 1 202 203 204

Dh m

Les propriétaires de ces deux parcelles chargent un géomètre expert de remplacer la limite 103104-202-201 par une nouvelle limite AB parallèle à la façade 101-102 et qui conserve les superficies initiales.

On vous demande de : 1) calculer les superficies des deux parcelles. 2) calculer les cotes d’implantation 101-B et 102A. 3) calculer la cote d’implantation 102-A dans le cas ou la nouvelle limite passe par le point 201. 4) comparer les deux solutions. Barème…

1) : 6 points

2) : 6 points

3) : 6 points

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4) : 2 points.

83,72 65,38 50,14 31,71 83,72 27,92 37,70 25,43

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Correction Correction informatique Dessin AutoCAD :

ex10.dwg

Correction manuelle 1) Calcul des coordonnées locales des points levés par rayonnement : G1-2 = 100 gon ; on retranche donc 256,789 gon à toutes les lectures angulaires effectuées en station au point 1 pour obtenir les gisements des différentes directions. On obtient le tableau suivant : Points 101 102 104

Gisement (gon) Distance (m) 241,784 65,38 379,244 50,14 68,903 31,71

X (m) 60,10 83,94 128,00

Y (m) 448,20 547,50 514,88

G2-1 = 300 gon ; on ajoute donc 298,795 gon à toutes les lectures angulaires effectuées en station au point 2 pour obtenir les gisements des différentes directions. On obtient le tableau suivant : Points 202 203 204

Gisement (gon) Distance (m) 276,805 27,92 36,455 37,70 182,376 25,43

X (m) 157,63 204,15 190,67

Y (m) 490,05 531,69 475,54

Les points 103 et 201 étant les milieux des segments 102-203 et 101-204, leurs coordonnées sont : Points X (m) Y (m) 103 144,04 539,59 201 125,39 461,87 On contrôle les distances mesurées sur le terrain entre points. Seules distances 201-202 (42,82 m) et 203-204 (57,74 m) font apparaître un écart de l’ordre du centimètre. On considère ces écarts acceptables, les coordonnées des points d’appui étant données au centimètre près. Les surfaces sont calculées en coordonnées cartésiennes, on obtient : S1 = S101-102-103-104-202-201 = 5912,5888 m2. S2 = S203-204-201-202-104-103 = 3725,1428 m2. On contrôle que la surface totale est bien de S1 + S2 = Stotale = 9637,7316 m2. 2) On applique la relation du cours (tome 2, § 2.5.2.) qui permet de déterminer directement la cote AB : AB = [D101-1022 – 2.S1 .(cotan + cotan)] = 77,95 m.  = angle 102-101-201 = 71,863 gon ;  = angle 101-102-103 = 106,672 gon. On en déduit la distance entre les droites 101-102 et A-B : h = 2.S1 / (D101-102 + AB) = 65,67 m. D’où les cotes d’implantation demandées : 101-B = h / sin = 72,65 m ; 102-A = h / sin = 66,03 m. On contrôle la surface de la parcelle 101-102-A-B : pour cela, on détermine les coordonnées de A et B par rayonnement depuis 102 et 101. G102-203 = 108,327 gon, donc XA = X102 + 66,03.sin(108,327) = 149,41 m ; YA = Y102 + 66,03.cos(108,327) = 538,89 m. G101-204 = 86,862 gon, donc XA = X102 + 72,65.sin(86,862) = 131,21 m ; YA = Y102 + 72,65.cos(86,862) = 463,09 m. S101-102-A-B = 5912,2999 m2. Ce résultat est correct étant la précision centimétrique des mesures. Une construction graphique (voir tome 2, § 2.5.1.) permet d’obtenir les valeurs exactes au mm près. Autre résolution possible : on construit le point E d’intersection des façades 102-203 et 101-204. Page 2 / 3

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Les coordonnées de E sont déterminées par Delambre : E (360,577 m ; 511,108 m). On en déduit : D101-E = 306,988 m D102-E = 279,020 m. La surface du triangle 101-102-E est St = 14 167,9806 m2. 2

2

St  S1  AE   BE      . St 102  E    101  E  On en déduit : AE = 212,990 m et BE = 234,338 m. Donc : 102-A = 66,03 m et 101-B = 72,65 m. Dans le triangle 101-102-E, on peut écrire :

On contrôle la surface S1 en utilisant Sarron : 2.S1 = a.b.sin(ab) + a.c.sin(ac) + b.c.sin(bc) Avec : a = B-101 = 72,65 m b = 101-102 = 102,12 m c = 102-A = 66,03 angle ab = 200 –  = 128,137 gon angle bc = 200 -  = 93,328 gon angle ac = ab + bc = 221,465 gon. On trouve S1 = 5912,5675 m2 ce qui est d’une précision acceptable compte tenus de la précision de données. 3) On calcule la surface du triangle 101-102-201 : S101-102-201 = 3078,2516 m2. On en déduit que le point A est tel qu’il détermine un triangle 102-201-A de surface S102-201-A = 5912,5888 – 3078,2516 = 2834,3372 m2. On connaît : D102-201 = 95,13 m Angle 203-102-201 = 62,975 gon. On en déduit D102-A = 2 x 2834,3372 / 95,13 / sin(62,975) = 71,31 m. On calcule les coordonnées de A depuis 102 : XA = X102 + 71,31.sin(108,327) = 154,64 m ; YA = Y102 + 71,31.cos(108,327) = 538,20 m. On contrôle la surface S101-102-A-201 = 5912,4897 m2. Cette précision est acceptable étant donnée la précision centimétrique des points d’appui. Une construction graphique (voir tome 2, §3.3.) permet de confirmer ce résultat et d’obtenir les cotes exactes. 4) les façades 101-102 et 203-204 étant pratiquement parallèles (à 2 mgon près), la première solution donnera les parcelles les plus régulières.

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