1111 Résolution De Triangles, Intersections, Approximations Successives

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résolution de triangles, intersections, approximations successives

13/10/2013

Topographie CONTROLE   

NIVEAU : TSGT 1. OBJECTIF : résolution de triangles, intersections, approximations successives. DUREE : 3 heures

ENONCE (1) Trigonométrie et calcul par approximations successives Un géomètre veut raccorder par un pan coupé BC régulier (c’est à dire CT = BT et BCT = CBT) une façade rectiligne AB et une façade circulaire de centre O. Ce raccordement sera tel que CT soit tangente au cercle de centre O et de rayon OC. Calculez l’angle BCT = CBT et les coordonnées de B, C et T (fig. 1). Données : A (10,83 ; 26,18) O (76,51 ; 39,67) GAB = 100 gon OC = R = 25 m BC = L = 10 m

Fig. 1

Démarche conseillée : - calculez la différence d’ordonnée YAO en fonction des données, de l’angle entre la droite OC et l’axe des abscisses et de l’angle cherché... - ajoutez à cette équation une relation entre les deux angles utilisés et résolvez par approximations successives.

(2) Calcul de surface Retrouvez de manière simple (construction graphique) l’expression littérale donnant la surface d’un quadrilatère ABCD (fig. 2) connu par la mesure de ses diagonales (AD de longueur D 1 et BC de longueur D2) et de l’angle () entre ces dernières (fig. 2).

Fig. 2

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(3) Résolution de triangles Un feu de navigation balaie depuis M deux secteurs S1 et S2 de 20 gon chacun. Les limites de ces secteurs passent par 3 amers alignés A, B et C tels que : AB = 48,36 m BC = 49,07 m. En vue du repérage d'un troisième secteur S3 adjacent aux deux précédents, un topographe est chargé de mettre en place l'amer D aligné avec les 3 autres. Calculer la distance CD à 1 cm près.

(4) Intersections droites - cercles

Fig. 3

L'aménagement d'un carrefour (schématisé fig. 4) a fait l'objet du levé succinct suivant: Données : S11 (1032,20 ; 819,58) S12 (1070,06 ; 917,23) S13 (1164,65 ; 935,15) P76 (901,44 ; 1159,13) P77 (1235,47 ; 710,59) Mesures sur le terrain: - levé du point 1 angle 1-21-S12 = 61,040 gon angle 1-S12-21 = 78,019 gon - triangulation du point 2 S11-20 = 46,60 m S11-21 = 58,98 m 20-2 = 12,37 m 21-2 = 2,24 m - triangulation du point 3 S12-31 = 29,76 m S12-3 = 30,94 m 3-31 = 26,72 m

Fig. 4

4.1) Le cercle extérieur du rond-point passe par les points 1, 2 et 3. 4.1.1) calculez les coordonnées des points 20, 21 puis 1, 2 et 3. 4.1.2) calculez les coordonnées du centre du centre du cercle O ainsi que le rayon R du cercle. 4.2) Une canalisation doit être placé suivant l'axe P76-P77. Elle coupe le cercle extérieur en M et N. 4.2.1) calculez la distance minimale de la canalisation au centre O. 4.2.2) déduisez en les coordonnées de M et N. Barème:

- (1) 1 heure , 6 points - (2) 10 minutes , 2 points - (3) 50 minutes, 5 points - (4) 1 heure, 7 points 4.1.1) 2 points 4.1.2) 2 points 4.2.1) 1 points 4.2.2) 2 point

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Correction Correction informatique Dessin AutoCAD :

ds4.dwg

Correction manuelle (1) A partir du schéma ci-après, on écrit : YAO = BC.sin X . OC.sin t = 39,67 – 26,18 = 13,49 m. Avec BC = 10 m et OC = R = 25 m. Dans le triangle A’CB, on peut écrire : t + (200 – X) + (100 – X) = 200, soit t = 2.X – 100. On obtient donc un système de deux équations à deux inconnues que l’on résout par substitution. Cela revient à résoudre l’équation suivante : 13,49 = 10.sinX + 25.sin(2.X – 100). Cette équation n’étant pas linéaire, elle se résout par approximations successives ; on trouve X = 57,2687 gon. D’où t = 14,5374 gon.

On en déduit les coordonnées suivantes : XC = XO + R.sin(300 – t) = 52,16 m. YC = YO + R.cos(300 – t) = 34,01 m. XB = XC + 10.sin(100 – t + 100 + X) = 45,94 m. YB = YC + 10.cos(300 – X) = 26,18 m (ce calcul permet un contrôle, on doit retrouver Y A) Calcul de la distance BT : BT = BC /sin(200 – 2.X) . sin X = 8,039 m. XT = XB + 8,04 = 53,98 m. YT = YA = 26,18 m. On contrôle ce résultat en calculant T par intersection (Delambre) depuis A (G A = 100) et C (GC = 200 – X). (2) En construisant les parallèles aux diagonales passant par les sommets opposés, on arrive au schéma ci-contre sur lequel on fait apparaître un parallélogramme de surfaces double la surface S ABCD cherchée. La surface du parallélogramme A’B’C’D’ est égale à : BC.AD.sin() donc SABCD = BC . AD . sin() / 2.

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(3) On note CD = x, longueur cherchée. Dans le triangle MCD, on écrit : x / sin(20) = CM / sin(CDM). Dans le triangle MBD, on écrit : (x + BC) / sin(40) = BM / sin(CDM). Dans le triangle MAB, on écrit : AB / sin(20) = BM / sin(MAB). Dans le triangle MCA, on écrit : CM / sin(MAB) = (AB + BC) / sin(40), donc CM = (AB + BC).sin(MAB) / sin(40). En utilisant toutes ces équations, on obtient : (AB  BC).BC.sin 2 20 x AB.sin2 40  (AB  BC).sin 2 20 Ceci donne numériquement : x = 61,66 m La construction graphique ci-contre est réalisée en utilisant la construction d’un point déterminé par relèvement (M relevé depuis A, B et C alignés). (4) 4.1.1) Coordonnées de 20, 21, 1, 2 et 3 : - les points 20 et 21 sont alignés sur la droite S11-S12 : GS11-S12 = 23,547 gon. donc X20 = XS11 + 46,60 . sin(23,547) = 1049,05 m ; Y20 = YS11 + 46,60 . cos(23,547) = 863,13 m ; X21 = XS11 + 58,98 . sin(23,547) = 1053,52 m ; Y21 = YS11 + 58,98 . cos(23,547) = 874,57 m. - le point 1 est triangulé depuis 21 et S12 : la résolution du triangle 1-21-S12 donne 1 (1024,27 ; 918,36). - le point 2 est triangulé depuis 20 et 21 : la résolution du triangle 2-20-21 donne 2 (1055,52 ; 873,57). - le point 3 est triangulé depuis S12 et 31 : la résolution du triangle S12-31-3 donne 3 (1084,15 ; 944,78). 4.1.2) le cercle est déterminé par 3 points (1, 2 et 3). Soit M le milieu de 1-3 : I (1054,21 ; 931,57) et N le milieu de 1-2 : J (1039,90 ; 895,96). Le centre O est à l’intersection des perpendiculaires à 1-3 et 1-2 respectivement issues de I et J.  G1-3 = 73,544 gon donc GI-O = 173,544 gon.  G1-3 = 161,216 gon donc GJ-O = 61,216 gon. Les formules de Delambre pour l’intersection donnent : O (1062,85 ; 911,98). On contrôle ce résultat à partir d’un autre couple de points. Le rayon est déterminé par la distance entre O et 1 : R = 39,10 m. On contrôle que DO-2 = DO-3 = R. 4.2.1) M et N sont déterminés par intersection entre la droite P76-P77 et le cercle de centre O et de rayon R. GP77-P76 = 359,250 gon. GP77-O = 354,888 gon et DP77-O = 265,24 m. Angle O-P77-P76 = 359,250 – 354,888 = 4,362 gon. Soit H le pied de la perpendiculaire à P77-P76 issue de O : OH = 265,24 . sin(4,362) = 18,16 m. 4.2.2) HN = HM = (R2 – OH2) = 34,63 m. DP77-H = (265.242 – 18,162) = 264,62 m. donc DP77-N = 264,62 – 34,63 = 229,99 m et DP77-M = 264,62 + 34,63 = 299,25 m. On en déduit les coordonnées de M et N depuis P77 : XN = XP77 + 229,99 . sin(359,250) = 1098,10 m ; YN = YP77 + 229,99. cos(359,250) = 895,05 m ; XM = XP77 + 299,25 . sin(359,250) = 1056,73 m ; YM = YP77 + 299,25 . cos(359,250) = 950,60 m.

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