Ecuaciones De Mezcla

ECUACIONES DIFERENCIALES EN MEZCLA Alumnos: TRINIDAD SALVADOR, gibson Poma Trejo, Lizeth Nataly Cárdenas Durand, Flavio

27.- Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 galones de fluido en los que se disolvieron 10 libras de sal. La salmuera tiene 1/2 de sal por galón que entra al tanque a razón de 6 gal/min. La solución bien mezclada sale del tanque a razón de 4 gal/min. Determine la cantidad de libras de sal que hay en el tanque después de 30 minutos.

A=6 gal/min. V(t). Q(t). C1

B=4 gal/min.

C1 =1/2 gal/min. C2(t)=? Datos: V(t)=100 galones. Q(t)=10 libras de sal. C1 =1/2 libras/gal. A=6 gal/min. B= 4 gal/min. Hallamos el volumen V(t) = (A - B) t + V0 V(t) = (6 - 4) t + 100 V(t) = 2 t + 100 Hallamos la variación del soluto en cualquier instante 𝑑𝑄 = 𝑅1 − 𝑅2 𝑑𝑡 𝑑𝑄(𝑡) 𝑄(𝑡) = 𝐴 ∗ 𝐶1 − 𝐵 𝑑𝑡 𝑉(𝑡) 𝑑𝑄(𝑡) 1 𝑄(𝑡) =6∗ −4 𝑑𝑡 2 2𝑡 + 100 𝑑𝑄(𝑡) 4𝑄(𝑡) =3− 𝑑𝑡 2(𝑡 + 50)

𝑑𝑄(𝑡) 𝑄(𝑡) =3−2 𝑑𝑡 (𝑡 + 50)

𝑑𝑄(𝑡) 𝑄(𝑡) +2 =3 𝑑𝑡 (𝑡 + 50)

𝑑𝑄(𝑡) 𝑑𝑡

+

2 (𝑡+50)

∗ 𝑄(𝑡) = 3 …………….ec.d lineal

Ahora hallamos la ec.d de la variación por el factor de integración 𝑒 ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 …………..Formula 𝐹. 𝐼 = 𝑒 𝑒

2∫

2 ∫(𝑡+50)𝑑𝑡

𝑑𝑡 (𝑡+50)

𝑒 2𝑙𝑛│𝑡+50│ 𝑒 𝑙𝑛│𝑡+50│

2

𝐹. 𝐼 = (𝑡 + 50)2

Después de hallar el resultado por el factor de integración. Lo multiplicamos el resultado a cada elemento de la ec.d de variación. (𝑡 + 50)2

𝑑𝑄(𝑡) 2 + ∗ 𝑄(𝑡)(𝑡 + 50)2 = 3(𝑡 + 50)2 𝑑𝑡 (𝑡 + 50)

(𝑡 + 50)2

𝑑𝑄(𝑡) 2 + ∗ (𝑡 + 50)2 𝑄(𝑡) = 3(𝑡 + 50)2 𝑑𝑡 (𝑡 + 50)

Ahora vemos que estos de acá vistos de color azul son el producto de dos funciones o mejor dicho la derivada de dos funciones

(𝑡 + 50)2

𝑑𝑄 (𝑡 ) + 2(𝑡 + 50)𝑄(𝑡) = 3(𝑡 + 50)2 𝑑𝑡

Como es el producto de una derivada, lo ponemos su respectiva derivada

𝑑[(𝑡 + 50)2 ∗ 𝑄(𝑡)] = 3(𝑡 + 50)2 𝑑𝑡 𝑑[(𝑡 + 50)2 ∗ 𝑄 (𝑡 )] = 3(𝑡 + 50)2 𝑑𝑡 Ahora integramos ambos lados ∫ 𝑑[(𝑡 + 50)2 ∗ 𝑄(𝑡)] = ∫ 3(𝑡 + 50)2 𝑑𝑡

Método de sustitución u=t+50 du=dt

∫ 𝑑[(𝑡 + 50)2 ∗ 𝑄(𝑡)] = ∫ 3(𝑡 + 50)2 𝑑𝑡 3

(𝑡 + 50)2 ∗ 𝑄 (𝑡 ) =

3 (𝑡 + 50) + 𝐶 3

∫ 3(𝑢)2 𝑑𝑢

luego dividimos a cada elemento por: (𝑡 + 50)2 ∗ 𝑄(𝑡 ) (𝑡 + 50)3 𝐶 = + (𝑡 + 50)2 (𝑡 + 50)2 (𝑡 + 50)2 𝑄 (𝑡 ) = (t + 50) + C (𝑡 + 50)−2 Hallamos C con la condición inicial

𝐶. 𝐼 = {

𝑄(𝑡 ) = 10 𝑡 = 0 → 𝑄 = 10

10 = (0 + 50) + C (0 + 50)−2 10 = 50 + C 50−2 −40 = C 50−2 −40 =C 50−2 Por último, hallamos lo siguiente (Determine la cantidad de libras de sal que hay en el tanque después de 30 minutos.) 𝑄(30) = (30 + 50) +

−40 (30 + 50)−2 50−2

515 = 64.375 . 8 Rpta: 64.375 libras de sal habrá después de 30 min.

3(𝑢)3 3

Tarea resuelta del libro 22. Resuelva el problema 21 suponiendo que al tanque entra agua pura.

Hallamos la variación del soluto en cualquier instante. Sabemos que cuando agua pura en un tanque que esta disuelto la salmuera es 0 𝑑𝐴 = 𝑅1 − 𝑅2 𝑑𝑡 𝑑𝐴 𝑄(𝑡) = 𝐴 ∗ 𝐶1 − 𝐵 𝑑𝑡 𝑉(𝑡) 𝑑𝐴 𝐴 =0− 𝑑𝑡 50 𝑑𝐴 𝐴 =− 𝑑𝑡 50 50𝑑𝐴 = −𝐴𝑑𝑡 cambio de variable 𝑑𝐴 −𝑑𝑡 = 𝐴 50 INTEGRAMOS ∫

𝑑𝐴 𝑑𝑡 = −∫ 𝐴 50

∫

𝑑𝐴 1 = − ∫ 𝑑𝑡 𝐴 50

𝑙𝑛𝐴 = −

𝑡 +𝑐 50

para quitar el logaritmo aplicamos Euler en ambos lados 𝑡

𝐴 = 𝑒 −50 + 𝑒 𝑐 sabemos que Euler es un numero(e=2.718281828), por lo que el elevado es una constante(c) el resultado es otro constante 𝑒𝑐 = 𝑐 Sustituyendo la condición inicial (𝐴0 = 𝐴(0) = 30 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐶 0

30 = 𝑐𝑒 −50 30 = 𝑐

𝑡

𝐴(𝑡) = 30𝑒 −50 el problema 21 tiene nueva ecuación cuando entra agua pura 𝑡

𝐴(𝑡) = 30𝑒 −50

24. En el problema 23, ¿cuál es la concentración c(t) de sal en el tanque al tiempo t? ¿Y al tiempo t = 5 min? ¿Cuál es la concentración en el tanque después de un largo tiempo, es decir, conforme t→∞? ¿Para qué tiempo la concentración de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor límite? La cantidad de libras de sal en este momento t es: 𝑡

𝐴(𝑡 ) = 1000 − 1000𝑒 −100 la concentración en el tiempo t es c(t)

𝑐 (𝑡 ) =

𝐴(𝑡) 500 𝑡

1000 − 1000𝑒 −100 𝑐 (𝑡 ) = 500 𝑡

𝑐 (𝑡 ) = 2 − 2𝑒 −100 5

𝑐 (5) = 2 − 2𝑒 −100

Esta ecuación es la concentración del sal en el tanque en un tiempo(t)

Y en un tiempo de 5 min la concentración del sal en el tanque es de

𝑐 (𝑡 ) = 0,09754 𝑐 (𝑡 ) = 0,09754 el limite t→∞ c(t)=2 𝑡

1=2-2𝑒 −100

después de un largo tiempo, es decir, conforme t→∞ es esta ecuación

aplicamos logaritmo, donde obtendremos t= 100ln2 t=69,3147

t=69.3 min.

El tiempo para que la concentración de sal en el tanque sea igual a la mitad de este valor límite es de: t=69.3 min.

25. Resuelva el problema 23 suponiendo que la solución sale con una razón de 10 gal/min. ¿Cuándo se vacía el tanque?

𝑑𝐴 = 𝑅1 − 𝑅2 𝑑𝑡 𝑑𝐴 𝑄(𝑡) = 𝐴 ∗ 𝐶1 − 𝐵 𝑑𝑡 𝑉(𝑡) 𝑑𝐴 10𝐴 2𝐴 = 10 − = 10 − 𝑑𝑡 500 − (10 − 5)𝑡 100 − 𝑡 𝑑𝐴 (1000 − 10𝑡 ) − 2𝐴 = 𝑑𝑡 100 − 𝑡 (100 − 𝑡)𝑑𝐴 = (1000 − 10𝑡 ) − 2𝐴𝑑𝑡 cambio de variable

𝑑𝐴 (1000 − 10𝑡 ) − 2 = 𝑑𝑡 𝐴 (100 − 𝑡) INTEGRAMOS

∫

(1000 − 10𝑡 ) − 2 𝑑𝐴 = −∫ 𝑑𝑡 𝐴 (100 − 𝑡)

∫

(1000 − 10𝑡 ) − 2 𝑑𝐴 = 2∫ 𝑑𝑡 𝐴 (100 − 𝑡)

𝑙𝑛𝐴 = 10𝑡 − 1000 + 2𝑙𝑛│ − 𝑡 + 100│ + 𝑐 para quitar el logaritmo aplicamos Euler en ambos lados 𝐴 = 𝑒 10𝑡 − 𝑒 1000 + 𝑐(−𝑡 + 100)2 Sustituyendo la condición inicial (𝐴0 = 𝐴(0) = 0 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐶

𝐴(0) = 𝑒 10(0) − 𝑒 1000 + 𝑐(−0 + 100)2 𝑐=−

1 1000

𝐴(𝑡 ) = 𝑒 10(𝑡) − 𝑒 −1000 −

1 (−𝑡 + 100)2 1000

El tanque está vacío en t minutos. Pero si suponemos en el tiempo del problema 24 𝐴(5) = 𝑒 10(5) + 𝑒 −1000 −

1 (−5 + 100)2 1000

𝐴(5) = 59.025

28. En el ejemplo 5, no se dio el tamaño del tanque que tiene la solución salina. Suponga, como en el análisis siguiente al ejemplo 5, que la razón con que entra la solución al tanque es de 3 gal/min pero que la solución bien mezclada sale del tanque a razón de 2 gal/min. Esta es la razón por la cual la salmuera se está acumulando en el tanque a razón de 1 gal/min, cualquier tanque de tamaño finito terminará derramándose. Ahora suponga que el tanque está destapado y tiene una capacidad de 400 galones. a) ¿Cuándo se derramará el tanque? b) ¿Cuántas libras de sal habrá en el tanque cuando comienza a derramarse? c) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera continúa entrando a razón de 3 gal/min, que la solución está bien mezclada y que la solución sigue saliendo a razón de 2 gal/min. Determine un método para encontrar la cantidad de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t = 150 min. d) Calcule la cantidad de libras de sal en el tanque conforme t→∞ ¿Su respuesta coincide con su intuición?

Solución: Inicialmente el tanque contiene 300 galones de solución. Dado que la salmuera se bombea a una tasa de 3 gal / min y la mezcla se bombea a una velocidad de 2 gal / min. la red. el cambio es un aumento de 1 gal / min. Así, en 100 minutos el tanque contendrá su capacidad de 400 galones.

La ecuación diferencial que describe la cantidad de sal en el tanque es

𝐴´(𝑡 ) = 6 −

2𝐴 300 + 𝑡

con solución

𝐴´(𝑡 ) = 600 + 2𝑡 − (4.95 × 107 )(300 + 𝑡 )−2 ;

0 < 𝑡 ≤ 100;

como se indica en la discusión siguiente Ejemplo 5 en el texto. Por lo tanto, la cantidad de sal en el tanque cuando se desborda es

𝐴(100) = 600 + 2(100) − (4.95 × 107 )(300 + 100)−2 𝐴(100) = 800 − (4.95 × 107 )(400)−2 𝐴(100) = 490.625 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠. a) ¿Cuándo se derramará el tanque? El agua se desbordará en 490.625 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠. Cuando el tanque se desborda, la cantidad de sal en el tanque se rige por la ecuación diferencial

𝑑𝐴 = 𝑅1 − 𝑅2 𝑑𝑡 𝑑𝐴 3 𝑔𝑎𝑙 2 𝑙𝑏 𝐴 𝑙𝑏 𝑔𝑎𝑙 )×( )−( ) (3 ) =( 𝑑𝑡 𝑚𝑖𝑛 𝑔𝑎𝑙 400 𝑔𝑎𝑙 𝑙𝑏

𝑑𝐴 𝑑𝑡

=6−

3𝐴 400

𝐴(100) = 490.625 b) ¿Cuántas libras de sal habrá en el tanque cuando comienza a derramarse? la cantidad de sal que habrá en el tanque cuando se desborda es de 490.625 libras. 3𝑡

Resolviendo la ecuación, obtenemos 𝐴 = 𝐶𝑒 −400 + 800 .

𝑑𝐴 (2400 − 3𝐴) = 𝑑𝑡 400

𝑑𝐴 −3(−800 + 𝐴) = 𝑑𝑡 400 −400 𝑑𝐴 = (−800 + 𝐴)𝑑𝑡 3 cambio de variable 𝑑𝐴 3 =− 𝑑𝑡 −800 + 𝐴 400 Método de sustitución

INTEGRAMOS ∫

𝑑𝐴 3 = ∫− 𝑑𝑡 −800 + 𝐴 400

u=-800+A du=dA

𝑑𝐴 3 ∫ ∫ 𝑑𝑡 =− −2400 + 3𝐴 400 ∫

∫

𝑑𝑢 3 ∫ 𝑑𝑡 =− 𝑢 400

𝑙𝑛𝑢 = −

𝑙𝑛│𝑢│

3𝑡 +𝑐 400

aplicamos Euler a ambos lados 3𝑡

𝑒 𝑙𝑛│−800+𝐴│ = 𝑒 −400 + 𝑒 𝑐 𝑡

│ − 800 + 𝐴│ = 𝑒 400 + 𝑒 𝑐 sabemos que Euler es un numero(e=2.718281828), por lo que el elevado es una constante(c) el resultado es otro constante 𝑒𝑐 = 𝑐 𝐴 = 𝐶𝑒

3𝑡 − 400

+ 800

La condición inicial cede. c = -654.947, para que 3𝑡

𝐴(𝑡) = −654.947𝑒 −400 + 800 𝐴(150) = −654.947𝑒 −

𝑑𝑢 𝑢

3(150) 400

+ 800

Cuando t = 150, A (150) = 587.37 libras.

b) Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera continúa entrando a razón de 3 gal/min, que la solución está bien mezclada y que la solución sigue saliendo a razón de 2 gal/min. Determine un método para encontrar la cantidad de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t = 150 min.

El método utilizado es separación de variables, y la cantidad de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t = 150 min. Es de: 587.37 libras. Como t→∞, la cantidad de sal es de 800 libras, lo que se espera ya que (400 gal) (2 lb / gal) = 800 libras.

c) Calcule la cantidad de libras de sal en el tanque conforme t→∞ ¿Su respuesta coincide con su intuición? si, porque en el problema me dice que la solución bien mezclada sale del tanque a razón de 2 gal/min. Esta es la razón por la cual la salmuera se está acumulando en el tanque a razón de 1 gal/min, cualquier tanque de tamaño finito terminará derramándose. Ahora suponga que el tanque está destapado y tiene una capacidad de 400 galones. Al multiplicarlos ambos obtengo 800 libras de sal.

Un tanque contiene 200 litros de un liquido en el que se han disuelto 30g de sal. Salmuera que tiene 1g de sal por litro entra al tanque con una razón de 4 L/min; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t.

Datos conocidos:  Volumen del liquido  Cantidad de sal disuelta

200L 𝐴0 = 𝐴(0) = 30𝑔

 Concentración de solución entrante

1

𝑔 𝐿

 Rapidez de entrada 4  Concentración de solución saliente

𝐿 𝑚𝑖𝑛 𝐴𝑔

200𝐿

 Rapidez de saliente 4

𝐿 𝑚𝑖𝑛

𝐶𝑒 = 1𝑔/𝐿

𝑅𝑠 = 4𝐿/𝑚𝑖𝑛 200 L

𝑅𝑒 = 4𝐿/𝑚𝑖𝑛

𝐶𝑠 = 𝐴𝑔/200𝐿

𝑅𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐶𝑒 ∗ 𝑅𝑒

200

=(1𝑔/𝐿) ∗ (4𝐿/min) =4𝑔/ 𝑚𝑖𝑛

𝑅𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝐶𝑠 ∗ 𝑅𝑠 =(𝐴𝑔/200𝐿) ∗ (4𝐿/min) =𝐴𝑔/50𝑚𝑖𝑛

 Formulación de la ecuación 𝑑𝐴 = 𝑅𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 − 𝑅𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑡

𝑑𝐴 𝐴 =4− (ecuacion lineal) 𝑑𝑡 50

 Resolvemos por variables separadas  Primero realizo la resta de fracciones de la derecha(m.c.m) 𝑑𝐴 200 − 𝐴 = 𝑑𝑡 50  Ahora, productos de medios es igual a productos de extremos: 50𝑑𝐴 = (200 − 𝐴)𝑑𝑡  Separamos variables 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 200 − 𝐴 50

 Usamos sustituciones: 𝑢 = 200 − 𝐴 𝑑𝑢 = −𝑑𝐴

− 𝑑𝑢 = 𝑑𝐴

 Asi: −∫

𝑑𝑢 1 ∫ 𝑑𝑡 = 𝑢 50

−𝐿𝑛 𝑢 =

1 𝑡 + 𝐶1 50

 Multiplicamos por -1 ambos lados −𝐿𝑛 𝑢 =

1 𝑡 + 𝐶1 50

𝐿𝑛 𝑢 = −

1 𝑡 − 𝐶1 50

 Para quitar el logaritmo natural, aplicamos Euler a ambos lados: 𝑒 ln(𝑢) = 𝑒 (−𝑡/50−𝐶1)  Por tanto: 𝑒 𝑢 = 𝑒 (−𝑡/50) 𝑒 (−𝐶1 )  Sabemos que 𝑒 es un numero (𝑒 = 2,718281828)por lo que al elevarlo a una constante (−𝐶1 ) el resultado es otra constante: 𝑒 (−𝐶1 )  Expresando en función de las variables originales 𝑢 = 200 − 𝐴: 200 − 𝐴 = 𝐶𝑒 (−𝑡/50)  Despejamos A: 𝐴(𝑡 ) = 200 − 𝐶𝑒 −𝑡/50  Sustituimos la condición inicial: 𝐴0 = 𝐴(0) = 30𝑔 0

30 = 200 − 𝐶𝑒 −50 30 = 200 − 𝐶𝑒 0 30 = 200 − 𝐶 170 = 𝑐

 Queda:

𝐴(𝑡) = 200 − 170𝑒 −𝑡/50

Un gran depósito está lleno con 500 gal de agua pura. Una salmuera que contiene 2 lb de sal por galón se bombea al tanque a razón de 5 gal/min; la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez. Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera.  V◦= 500 galones  x◦= O gr.(agua pura)  C1= 2lb/gal  Q1= razón de entrada

𝒅𝒚 𝒅𝒕

+

𝑸𝟐

x = Q1C1

𝒗◦+(𝑸𝟐−𝑸𝟏)𝒕

Reemplazamos: 𝒅𝒙 𝒅𝒕

+

𝟓

x = 10

𝟓𝟎𝟎+(𝟓−𝟓)𝒕

Simplificando: 𝒅𝒙 𝒅𝒕

+

𝟏 𝟏𝟎𝟎

x =10

Despejando: 𝒅𝒙 𝒅𝒕

= 10 -

𝟏 𝟏𝟎𝟎

x

𝒅𝒙

𝒅𝒙

𝒅𝒕

𝒅𝒕

De sal en el tanque es dx = ( ) sustituyendo Dada por la ecuación dx = (10 -

𝟏 𝟏𝟎

x) dt

La ecuación es una ecuación diferencial de variables separables