Ecuaciones De Segundo Orden Taller 4.pdf

Universidad de Pamplona Materia: Ecuaciones Diferenciales

Departamento de Matem´ aticas Primer Semestre 2020

Tema: EDO Lineales Homogeneas de Segundo Orden Tiempo: 2 Horas

1.

Secci´on 2.1 Libro 2 TALLER 4

Objetivo

Reconocer una Ecuaci´ on Diferencial Ordinaria Lineal Homog´enea de segundo orden. Encontrar una soluci´ on general, soluci´ on particular y una base para la EDO.

2.

Introducci´ on Una ecuaci´ on diferencial ordinaria lineal de segundo orden tiene la siguiente forma y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = r(x) donde p, q, r son funciones que dependen de x. La ecuaci´ on diferencial y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0 es una EDO lineal Homogenea. La ecuaci´ on y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = r(x) es una EDO lineal NO homog´enea.

3.

Principio de superposici´ on

Sea y1 , y2 , ..., yk soluciones de la ecuaci´ on diferenical homog´enea de n-´esimos orden en un intervalo I entonces la combinaci´ on lineal y = c1 y1 + c2 y2 + ... + ck yk donde ci son constantes arbitrarias con i = 1, 2, 3, ..., k tambien con soluci´on en el intervalo I. Ejemplo 1 Sea y1 = x y y2 = x lnx soluciones de la ecuaci´on homogenea x2 y 00 − xy 0 + y = 0 en el intervalo (0, ∞). Por el principio de suerposici´ on la combianci´ on lineal y = c1 x + c2 x lnx es tambien una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo. Verificaci´ on: Tenemos y = c1 x + c2 x lnx hallamos la primera y segunda derivada   1 0 00 y = c1 + c2 lnx + c2 ; y = c2 x Reemplazamos en la ecuaci´ on diferncial c  2 x2 − x(c1 + c2 lnx + c2 ) + y = c1 x + c2 x lnx = 0 x Multiplicando terminos y cancelando terminos semejantes se tiene 0 = 0. Por lo tanto la combinaci´ on lineal si es soluci´on de la EDO lineal.

1

Ejemplo 2 Sean y1 = 1 + cos x y y2 = 1 + sin x soluciones de la EDO lineal y 00 + y = 1. Verificar si la suma de las soluciones tambien es soluci´ on de la EDO. Soluci´ on Tenemos y = (1 + cos x) + (1 + sin x) entonces derivamos y 0 = − sin x + cos x y 00 = − cos x − sin x Reemplazamos en la EDO − cos x − sin x + (1 + cos x) + (1 + sin x) = 1 ⇒ 2 6= 1 Luego el principio de superposici´ on solo se cumple para ecuaciones homogeneas lineales.

4.

Problemas de valores iniciales. Bases. Soluci´ on general

Para las EDO homogeneas de segundo orden el problema de valores inciales consiste en buscar una funci´ on definida en un intervalo que contiene a x0 , y que satisface la ecuaci´on diferencial y las dos condiciones iniciales que se especifican y(x0 ) = k0 ; y 0 (0) = k1 Las condiciones anteriores son usadas para determinar las dos constantes arbitrarias c1 y c2 en la soluci´ on general y = c1 y1 + c2 y2 De la EDO. El resultado es una ´ınica soluci´ on que pasa por el punto (x0 , k0 ) y con pendiente k1 en este punto. Ejemplo 3 Resuelva el problema del valor inicial, si su soluci´on general es y = c1 ex + c2 e−x en el intervalo (−∞.∞). y 00 − y = 0;

y(0) = 0;

y 0 (0) = 1

Soluci´ on Tenemos y = c1 ex + c2 e−x y y 0 = c1 ex − c2 e−x , reemplazando las condiciones iniciales 0 = c1 e0 + c2 e0 ;

1 = C1 e0 − c2 e0

Solucionando el sistema se obtiene c1 = 1/2, c2 = −1/2 Soluci´on y=

5.

1 x 1 −x e − e 2 2

Definici´ on soluci´ on general. Bases. Soluci´ on particular

Una soluci´ on general de una EDO en un intervalo abierto I es y = c1 y1 + c2 y2 en las que y1 y y2 son soluciones de y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0 en I, que no son proporcionales y c1 , c2 son constantes arbitrarias. Estas y1 y y2 son bases (o un sistema fundamental) de la ecuaci´on diferencial en I. Una soluci´on particular se obtiene si asignamos valores especificos a c1 y c2 .

2

5.a.

Definici´ on de base

Una base de soluciones de y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0 en un intervalo abierto I es un par de soluciones linealmente independientes de y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0 en I. Ejemplo 4 Verifique por sustituci´ on que y1 = ex y y2 = e−x son soluciones de la EDO y 00 − y = 0. Resolver el problema de valores iniciales y 00 − y = 0; y(0) = 6; y 0 (0) = −2 Soluci´ on Primero se prueba si las soluciones y1 y y2 son linealmente independientes. Entonces ex = e2x 6= cons e−x por lo tanto son linealmente independientes. Ahora teniendo y = c1 ex + c2 e−x y y 0 = c1 ex − c2 e−x reemplazando las condiciones iniciales y(0) = 6 y y 0 (0) = −2 se obtiene el siguiente sistema

c1 + c2 = 6

(5.1)

c1 − c2 = −2

(5.2)

Solucionamos y obtenemos c1 = 2 y c2 = 4. Soluci´on PVI y = 2ex + 4e−x

5.b.

Reducci´ on de orden

Se puede obtener una segunda soluci´ on linealmente independiente resolviendo una EDO de primer orden. Esto se llama m´etodo de reducci´ on de orden. Ejemplo 5 Dado que y1 = e5x es una soluci´ on de y 00 − 25y = 0, use reducci´on de orden para hallar una segunda soluci´ on y2 . Soluci´ on y = ue5x y 0 = u0 e5x + 5ue5x y 00 = u00 e5x + 10u0 e5x + 25ue5x Reemplazamos en la ecuaci´ on diferencial u00 e5x + 10u0 e5x + 25ue5x − 25ue5x = 0 u00 e5x + 10u0 e5x = 0 u00 + 10u0 = 0

3

Sustituimos w = u0 , w0 = u00 para reducir el orden quedando w0 + 10w = 0 Solucionamos la ecuaci´ on diferencial de primer orden y obtenemos w = ce−10x volvemos al valor de w = u0 u0 = ce−10x Integramos con respecto a x u= pero u =

y e5x

−1 −10x ce + c1 10

y −1 −10x = ce + c1 5x e  10  −1 −10x 5x ce y=e + c1 10 −1 −5x ce y= + c1 e5x 10 para que sean linealmente independientes c1 = 0 y c2 = −10 Luego y2 = e5x Ejemplo 6 Resolver la siguiente ecuaci´ on y 00 + y 0 = 0 Soluci´ on Hacemos la soluci´ on z = y 0 y z 0 = y 00 y obtenemos z 0 + z = 0 y resolvemos esta ecuaci´on diferencial de primerorden y nos queda z = cex sustituimos a z entonces y 0 = cex integramos con respecto a x obteniendo y = cex + c1

6.

Ejercicios propuestos

1. Resolver la ecuaci´ on diferencial xy 00 + y 0 = 1, para x > 0.
2. Dado que y1 = x es una soluci´ on de x2 − x y 00 − xy 0 + y = 0, use reducci´on de orden para hallar una segunda soluci´ on y2 . 3. Dado que y1 = sen 3x es una soluci´ on de y 00 + 9y = 0, use reducci´on de orden para hallar una segunda soluci´ on y2 4. Verifique que las siguientes funciones son linealmente independientes y forman una base para la EDO. Resolver el problema de Valores iniciales. a) y 00 + 2y 0 + 2y = 0 y (0) = 0 e−x cos x, e−x senx b) x2 y 00 − xy 0 + y = 0 y (1) = 3 x, x ln x

y / (0) = 15, y / (1) = 1

Referencias [1] Kreyssig E,Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition. [2] Dennis G. Zill y Michael R. Cullen, Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera, Quinta edici´ on.

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