Electromagnetismo Solucionario (1).pdf

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Capítulo 1 Análisis vectorial Problemas suplementarios . Dados ⃗ = 4 ⃗ + 10 ⃗ y ⃗ = 2 ⃗ + 3 ⃗, encuentre la proyección de ⃗ sobre

. ⃗.

? ⃗ = 4 ⃗ + 10 ⃗ ⃗=2 ⃗+3 ⃗ á

:

. ⃗

. ⃗

.

. Dados ⃗ =

√

⃗ = ⃗. ⃗ =

⃗=

⃗. ⃗ ⃗

2(0) + 4(3) + 10(0)

( ⃗ + ⃗) y ⃗ = 3

(2) + (3)

?

√

⃗=3

( ⃗ + ⃗) ⃗+ ⃗ . ⃗

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√

⃗ + ⃗ , exprese la proyección de ⃗ sobre

⃗ como un vector en la dirección de ⃗.

⃗=

=

⃗= ⃗. ⃗=

⃗. ⃗ ⃗

(0) . ⃗

.

⃗=

10 10 + 3(0) + 3 √2 √2 = √ = . 10 10 + √2 √2

. Halle el ángulo entre ⃗ = 10 ⃗ + 2 ⃗ y ⃗ = −4 ⃗ + 0.5 ⃗ usando tanto el

producto escalar como el producto vectorial. ? ⃗ = 10 ⃗ + 2 ⃗ ⃗ = −4 ⃗ + 0.5 ⃗ Producto escalar ⃗. ⃗ = ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ ⃗ . ⃗ = 10(−4) + 2(0.5) = −39

cosθ =

⃗. ⃗ ⃗ ⃗

=

−39 (10) + (2)

(−4) + (0.5)

= −0.9486832981

= 161.5° Producto vectorial ⃗

⃗

⃗

⃗x ⃗ =

⃗ ⃗x ⃗ = 0 0

⃗ ⃗ 10 2 = 5 ⃗ + 8 ⃗ = 13 ⃗ −4 0.5 ⃗x ⃗ =

(13) = 13

Entonces, como ⃗ x ⃗ = ⃗ ⃗ senθ

senθ =

⃗x ⃗ ⃗ ⃗

=

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13 = 0.316227766 41.10960958

= 18.43494882° Donde 180 − 18.43494882 = 161.5° .

. Halle el ángulo entre ⃗ = 5.8 ⃗ + 1.55 ⃗ y ⃗ = −6.93 ⃗ + 4 ⃗ usando tanto el

producto escalar como el producto vectorial. ? ⃗ = 5.8 ⃗ + 1.55 ⃗ ⃗ = −6.93 ⃗ + 4 ⃗ Producto escalar ⃗. ⃗ = ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ ⃗ . ⃗ = 5.8(−6.93) + 1.55(4) = −33.994

cosθ =

⃗. ⃗

=

⃗ ⃗

−33.994 (5.8) + (1.55)

(−6.93) + (4)

= −0.7076530162

= 135° Producto vectorial ⃗

⃗

⃗

⃗x ⃗ =

⃗ ⃗x ⃗ = 0 0

⃗ ⃗ 5.8 1.55 = 23.2 ⃗ + 10.7415 ⃗ = 33.9415 ⃗ −6.93 4 ⃗x ⃗ =

(33.9415) = 33.9415

Entonces, como ⃗ x ⃗ = ⃗ ⃗ senθ

senθ =

⃗x ⃗ ⃗ ⃗

=

33.9415 = 0.7065601238 48.03766708 = 44.9557223°

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Donde 180 − 44.9557223° = 135° .

. Dado el plano 4 + 3 + 2 = 12, halle el vector unidad normal a la superficie

dirigida hacia afuera del origen. 4

+3

+2

(4)² + (3)² + (2)² .

=

4

+3

+2

√29

. Demuestre que los campos vectoriales ⃗ y ⃗ son siempre perpendiculares si ⃗ ⃗+

⃗ ⃗+ ⃗ ⃗ = .

Como el producto escalar contiene cos , un producto escalar igual a cero, proveniente de dos vectores cualesquiera diferentes de cero, implica que .

= 90°.

Halle la relación que deben satisfacer las componentes cartesianas de ⃗ y ⃗ si los

campos vectoriales son siempre paralelos.

.

.

⃗ ⃗

=

⃗ ⃗

=

⃗ ⃗

Exprese el vector unidad dirigido hacia el origen desde un punto arbitrario sobre

la línea descrita por

= , ⃗=

= . ( − ) ⃗+( − ) ⃗+( − ) ⃗ (− ) + (− )² . ⃗=

−

⃗−

⃗

+ ² .

Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto (

arbitrario en el punto

,

,

) desde un punto

=− . .⃗=

(

− ) ⃗+( (

− ) +(

+ ) ⃗+( + ) +(

− ) ⃗ − )²

1.27 Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto (0, 0, ℎ) desde un punto arbitrario en el plano

= −2. Explique el resultado cuando ℎ se aproxima a −2. ⃗=

( − ) ⃗+( − ) ⃗+( + ) ⃗ ( − ) + ( − ) + ( + )²

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−

.⃗=

⃗−

⃗+( + ) ⃗

²+

+ ( + )²

Si ℎ se aproxima a −2 el vector seria el siguiente: ⃗−

−

⃗=

⃗

²+

1.28 Dados ⃗ = 5 ⃗ y ⃗ = 4 ⃗ +

tal que el ángulo entre ⃗ y ⃗ sea

⃗ halle un

45°. Si ⃗ tiene también un término

⃗, ¿Qué relación debe existir entre

Datos: ⃗=5 ⃗ ⃗=4 ⃗+

⃗

=? Producto vectorial ⃗

⃗

⃗

⃗ 0

⃗ 0 =5 0

⃗x ⃗ =

⃗ ⃗x ⃗ = 5 4 Entonces, como ⃗ x ⃗ = ⃗ ⃗ senθ

senθ =

45 =

⃗ ⃗ 5

5∗

16 +

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⃗x ⃗

⃗ 16 +

=

⃗ 45

⃗

y

?

16 +

=

0.5

8 + 0.5

=

0.5

=8 = 16 =±

⃗ ⃗x ⃗ = 5 4

⃗ 0 4

⃗ 0 = 20 ⃗ − 5

45 =

⃗=5 4 ⃗−

5 4 ⃗− 5∗

32 +

=

32 +

=

⃗

⃗

32 + 4 ⃗−

⃗ 45

16 + 0.5

= .

=± , (

) +(

) =

1.29 Demuestre que el valor absoluto de ⃗ . ⃗ x ⃗ es el volumen del paralelepípedo con aristas ⃗ , ⃗ y ⃗. (Sugerencia: Primero demuestre que ⃗ . ⃗ es el área de la base.)

Volumen del paralelepípedo = A⃗ . B⃗ x C⃗

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Volumen = Superficie de la base * Longitud de la altura Superficie de la base = longitud de la base * Altura .

= .

=

∗

Altura = Superficie de la base = Superficie de la base = ⃗ × ⃗ Longitud de la altura = Volumen = ⃗ × ⃗ ∗

⃗ ⃗ ∙ ⃗× ⃗ ⃗× ⃗

1.30 Dados ⃗ = 2 ⃗ − ⃗, ⃗ = 3 ⃗ + ⃗, y ⃗ = −

⃗× ⃗ = = ⃗. ⃗

⃗ ∙ ⃗× ⃗ ⃗× ⃗

⃗

⃗ + 6 ⃗ − 4 ⃗, demuestre que ⃗

es perpendicular a ⃗ y a ⃗. Datos: ⃗=2 ⃗− ⃗ ⃗=3 ⃗+ ⃗ ⃗=−

⃗+6 ⃗−4 ⃗

Como el producto escalar contiene cos , un producto escalar igual a cero, proveniente de dos vectores cualesquiera diferentes de cero, implica que

= 90°.

⃗ ∙ ⃗ = ( )(− ) + ( )( ) + (− )(− ) = ⃗ ∙ ⃗ = ( )(− ) + ( )( ) + ( )(− ) = 1.31 Dados ⃗ = ⃗ − ⃗, ⃗ = 2 ⃗ y ⃗ = − ⃗ + 3 ⃗, halle ⃗ . ⃗ x ⃗. Examine otras variantes del triple producto escalar.

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1.32 Con los vectores del problema 1.31, halle

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⃗ x ⃗ x ⃗.

1.33 Encuentre el vector unidad dirigido desde (2, −5, −2) hacia (14, −5, 3). ⃗ = (14 − 2) ⃗ + (−5 + 5) ⃗ + (3 + 2) ⃗ ⃗ = 12 ⃗ + 5 ⃗ ⃗ =

(12) + (5)²

⃗ = √144 + 25 ⃗ = 13 ⃗=

12 ⃗ + 5 ⃗ 13

1.34 Indique por qué el método del problema 1.1 no puede ser usado en coordenadas cilíndricas para los puntos ( ,

,

) y ( ,

,

). Hágase la misma pregunta

respecto de las coordenadas esféricas. Si se dice que las coordenadas cilíndricas no se pueden utilizar para el problema 1.1 es porque el problema está planteado para un espacio libre sin ningún solido que tenga radio y ángulo entonces para las coordenadas esféricas que también no se podrá utilizar ya que también contiene radio y ángulo. 1.35 Verifique que la distancia ²=

+

entre los dos puntos del problema 1.34 está dada por: (

−

−

)+(

−

)²

Atravez de esta fórmula se puede calcular la distancia entre dos puntos en coordenadas cilíndricas en tres dimensiones. 1.36 Halle el vector dirigido desde dados en coordenadas esféricas. Datos: =

,

=

, ,

,

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,

,

hacia

, ,

, donde los puntos están

1.37 Halle la distancia entre

y ( , , ). Los puntos están dados en

, ,

coordenadas cilíndricas.

=(

,

= (2

30, 2

= (1.732, 1, 0) ;

, ); 30, 0) ;

=( =(

,

, )

180,

= (−1, 0, 2)

=

(1.732 + 1) + (1) + (−2)²

=

(2.732) + 1 + 4

= √12.463 = .

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180, 2)

, ,

1.38 Halle la distancia entre

y

,

,

. Los puntos están dados en

coordenadas esféricas.

=

∗

=

∗

= = (1 ∗

45 ∗

0, 1 ∗

45 ∗

0,

45)

= (0.707, 0, 0.707) = (1 ∗

135 ∗

180, 1 ∗

135 ∗

180, 1 ∗

= (−0.707, 0, −0.707) =

(0.707 + 0.707) + (0) + (0.707 + 0.707)²

= √1.999 + 1999 = √4 =

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135)

1.39 Utilice coordenadas esféricas e integre para hallar el área de la región 0 ≤ sobre la concha esférica de radio . ¿Cuál es el resultado cuando

≤

=2 ?

= ² =

²

= ² ∗ |− cos | ∗ | | = ² ∗ −(cos 180 − cos 0) ∗ ( ) =

²

=

²

1.40 Utilice coordenadas cilíndricas hallar el área de la superficie curva de un cilindro circular recto de radio

y altura . = = =

1.41 Utilice coordenadas cilíndricas e integre para obtener el volumen del cilindro circular recto del problema 1.40. = =

Φ

= (2 )(ℎ)

² 2

= ℎ( ² − 0) =

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²

1.42 Utilice coordenadas esféricas para escribir las áreas diferenciales de superficie y

y luego integre para obtener las áreas de las superficies marcadas con 1 y 2 en la

figura.

= = /

=

=

= = =

² ∗| | 2

/

² ∗ 2 2 4

²

4 = ² /

/

= ²

= ² ∗ |− = ²∗ −

| ∗| |

2

−

/

0

∗

6

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= ² =

6

6

1.43 Utilice coordenadas esféricas para hallar el volumen de una concha hemisférica de radio interno 2 m y radio externo 2.02 m. Datos: =2 = 2.02 = ² .

/

=

²

Φ

.

=

|− cos |

3

=

(2.02) (2) − 3 3

/

(2 )

2

= 0.08(2 ) = .

³

1.44 Utilizando coordenadas esféricas para expresar el diferencial de volumen, integre para obtener el volumen definido por 1 ≤

≤2

= ² /

=

/

²

=

³ ∗ |− cos | ∗ | | 3

=

2 1 − 3 3

∗ −(cos 90° − cos 0) ∗

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2

,0≤

≤ /2 y 0 ≤

≤ /2.

=

7 ∗ 3 2

³

=

7 6

³

1.45 Transforme el vector ⃗ =

⃗+

⃗+

⃗ a coordenadas cilíndricas.

1.46 Transforme el vector ⃗ =

⃗+

⃗+

⃗ a coordenadas cartesianas.

1.47 Transforme el vector ⃗ =

⃗ que está expresado en coordenadas esféricas, a

coordenadas cartesianas. ⃗=

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x ⃗+y ⃗+z ⃗ x² + y² + z²

1.48 En coordenadas cilíndricas

define un cilindro recto y ⃗ =

=

⃗

describe una fuerza que es normal en cualquier parte a la superficie. Exprese la superficie y la fuerza en coordenadas cartesianas. ²+ ²= ⃗=

x ⃗+y ⃗ x² + y²

1.49 Transforme el campo vectorial ⃗ = 2 cos

⃗+

⃗

a coordenadas

cartesianas. ⃗=

3xz ⃗ + 3yz ⃗ + (2z − x − y ) ⃗

1.50 Dibuje el campo vectorial ⃗ =

x² + y² + z² ⃗+

⃗.

1.51 Dibuje el campo de coordenadas cilíndricas ⃗ = 2 cos

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⃗+

⃗.

1.52 Dibuje el campo vectorial del problema 1.49, usando coordenadas esféricas.

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Capítulo 2 Fuerzas de Coulomb e intensidad del campo eléctrico 2.25 Dos cargas puntuales, 𝑄1 = 250 μC y 𝑄2 = −300 μC, están localizadas en (5, 0, 0) m y (0, 0, −5) m, respectivamente. Halle la fuerza sobre 𝑄2 .

⃗⃗⃗ 𝐅2 =

𝑄1 𝑄2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 12 2 𝐚 4𝜋𝜖0 𝑅12

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑧 𝐑 𝐚𝑥 + (−5 − 0)𝐚 12 = (0 − 5)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑥 − 5𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 𝐑 12 = −5𝐚 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐑 12 | = √(−5) + (−5)²

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐑 12 | = √50 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐚 12 =

⃗⃗⃗ 𝐅2 =

⃗⃗⃗⃗𝑥 − 5𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 −5𝐚 √50

(250 x 10−6 C) ∗ (−300 x 10−6 C) −5𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑥 − 5𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ( ) 2 10−9 √50 4𝜋 ∗ ( 36𝜋 ) ∗ (√50) ⃗⃗⃗ 𝐅𝟐 = 𝟏𝟑. 𝟓 (

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝒛 𝐚𝒙 + 𝐚 √𝟐

)𝐍

2.26 Dos cargas puntuales, 𝑄1 = 30 μC y 𝑄2 = −100 μC, están localizadas en (2, 0, 5)m y (−1, 0, −2)m, respectivamente. Halle la fuerza sobre 𝑄1 .

⃗⃗⃗ 𝐅1 =

𝑄1 𝑄2 𝐚21 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4𝜋𝜖0 𝑅21

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑧 𝐑 21 = (2 + 1)⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑥 + (5 + 2)𝐚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑥 + 7𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 𝐑 21 = 3𝐚 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐑 21 | = √(3) + (7)²

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐑 𝟐𝟏 | = √𝟓𝟖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐚21 =

⃗⃗⃗ 𝐅1 =

⃗⃗⃗⃗𝑥 + 7𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 3𝐚 √58

(30 x 10−6 C) ∗ (−100 x 10−6 C) 3𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑥 + 7𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ( ) −9 2 10 √58 4𝜋 ∗ ( 36𝜋 ) ∗ (√58) ⃗⃗⃗⃗𝒙 − 𝟕𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝒛 −𝟑𝐚 ⃗⃗⃗ 𝐅𝟏 = 𝟎. 𝟒𝟔𝟓 ( )𝐍 √𝟓𝟖

2.27 En el problema 2.26, halle la fuerza sobre 𝑄2 . Datos 𝑄1 = 30 μC en (2, 0, 5)m 𝑄2 = −100 μC en (−1, 0, −2)m ⃗⃗⃗ 𝐅1 = 0.465 (

⃗⃗⃗⃗𝑥 − 7𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 −3𝐚 √58

)N

⃗⃗⃗ 𝐅2 =

𝑄1 𝑄2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 12 2 𝐚 4𝜋𝜖0 𝑅12

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑧 𝐑 𝐚𝑥 + (−2 − 5)𝐚 12 = (−1 − 2)⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑥 − 7𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 𝐑 12 = −3𝐚 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐑 12 | = √(−3) + (−7)²

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐑 12 | = √58 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐚 12 =

⃗⃗⃗ 𝐅2 =

⃗⃗⃗⃗𝑥 − 7𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 −3𝐚 √58

(30 x 10−6 C) ∗ (−100 x 10−6 C) −3𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑥 − 7𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ( ) −9 2 10 √58 4𝜋 ∗ ( 36𝜋 ) ∗ (√58)

⃗⃗⃗⃗𝑥 + 7𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 3𝐚 ⃗⃗⃗ 𝐅2 = 0.465 ( )N √58 ⃗⃗⃗ 𝐅2 = − ⃗⃗⃗ 𝐅1

2.28 Cuatro cargas puntuales, cada una de 20 μC, están situadas en el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 y en el 𝑒𝑗𝑒 𝑦 a ± 4 m. Halle la fuerza sobre una carga puntual de 100 𝜇𝐶 situada en (0, 0, 3)m.

Considere la fuerza debida a la carga en y = 4 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 3𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 (10−4 )(20 𝑥 10−6 ) −4𝐚 ( ) −9 10 5 2 4𝜋 ( 36𝜋 ) (5) La componente y se anula por la carga en 𝑦 = − 4. En forma similar, las componentes x debidas a las otras dos cargas se anulan. Por consiguiente, 𝐅=𝟒∗(

𝟏𝟖 𝟑 )( 𝐚 ⃗⃗⃗⃗ ) = 𝟏. 𝟕𝟑𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝒛 𝐍 𝟐𝟓 𝟓 𝒛

2.29 Diez cargas idénticas, de 500 μC cada una, están espaciadas igualmente alrededor de un círculo de radio 2 m. Encuentre la fuerza sobre una carga de −20 μC localizada en el eje, a 2 m del plano del círculo. ⃗⃗⃗⃗𝒏 )𝑵. Resp. (𝟕𝟗. 𝟓)(−𝒂 Datos: Q1 = 500 μC en (2,0,0)m Q 2 = −20 μC en (0,0,2)m ϵ0 =

10−9 36π

F

(m) ⃗⃗⃗ 𝐅2 =

𝑄1 𝑄2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐚 4𝜋𝜖0 R212 12

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑟 + (2 − 0)𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 𝐑 12 = (0 − 2)𝐚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑟 + 2𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 𝐑 12 = −2𝐚 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐑 12 | = √(−2) + (2)²

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐑 12 | = √8 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐚 12 =

⃗⃗⃗ 𝐅2 =

⃗⃗⃗⃗𝑟 + 2𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 −2𝐚 √8

(500 x 10−6 C) ∗ (−20 x 10−6 C) −2𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑟 + 2𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ( ) −9 2 10 √8 ) ∗ (√8) 4𝜋 ∗ ( 36𝜋 ⃗⃗⃗ 𝐅2 =

⃗⃗⃗⃗𝑟 + ⃗⃗⃗⃗ −9 × 10−8 2(−𝐚 𝐚𝑧 ) ( )N −9 8 × 10 √8 ⃗⃗⃗ 𝐅2 = −7.95(⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝐧 ) N

Por ser 10 cargas idénticas se lo debe multiplicar por las 10 cargas. ⃗⃗⃗ 𝐅2 = −79.5(⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝐧 ) N

2.30 Determine la fuerza sobre una carga puntual de 50 μC situada en (0, 0, 5) debida a una carga puntual de 500𝜋 μC en el origen. Compare la repuesta con los problemas 2.4 y 2.5, donde esta misma carga total es distribuida sobre un disco circular.

⃗⃗⃗ 𝐅1 =

⃗⃗⃗ 𝐅1 =

𝑄1 𝑄2 𝐚21 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4𝜋𝜖0 𝑅21

(50 x 10−6 C) ∗ (500𝜋 x 10−6 C) ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑧 10−9 2 4𝜋 ∗ ( 36𝜋 ) ∗ (5) ⃗⃗⃗ 𝐅1 = 28.3 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑧 N

2.31 Encuentre la fuerza sobre una carga puntual de 𝟑𝟎 𝛍𝐂 situada en (𝟎, 𝟎, 𝟓) 𝐦 debida a un cuadrado de 4 m en el plazo 𝐳 = 𝟎 entre 𝐱 = ±𝟐 𝐦 y 𝐲 = ±𝟐 𝐦 con una carga total de 𝟓𝟎𝟎 𝛍𝐂, distribuida uniformemente. Datos: Q1 = 30 μC en (0,0,5) m Q 2 = 500 μC

La densidad de carga es: ρs =

Q 500 × 10−6 C C = = 31.25 × 10−6 2 A m 16 m² dQ = ρs dS dQ = 31.25 × 10−6 (

C ) dx dy m2

⃗𝐑 ⃗ 21 = −x𝐚 ⃗⃗⃗⃗x − y𝐚 ⃗⃗⃗⃗y + 5𝐚 ⃗⃗⃗⃗z ⃗ 21 | = √(𝑥 2 + 𝑦 2 + 25) |𝐑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐚21 =

⃗⃗⃗𝟏 = 𝑑𝐅

⃗⃗⃗⃗x − y𝐚 ⃗⃗⃗⃗y + 5𝐚 ⃗⃗⃗⃗z −x𝐚 √(𝑥 2 + 𝑦 2 + 25)

⃗⃗⃗⃗x − y𝐚 ⃗⃗⃗⃗y + 5𝐚 ⃗⃗⃗⃗z (30 × 10−6 )(31.25 × 10−6 )𝑑𝑥 𝑑𝑦 −x𝐚 ( ) −9 2 + 𝑦 2 + 25) 10 ( 𝑥 2 2 √ ( ) 4𝜋 ( 36𝜋 ) 𝑥 + 𝑦 + 25

⃗⃗⃗𝟏 = 𝑑𝐅

(30 × 10−6 )(31.25 × 10−6 )𝑑𝑥 𝑑𝑦 ⃗⃗⃗⃗z 5𝐚 ( ) −9 2 + 𝑦 2 + 25) 10 ( 𝑥 2 2 √ 4𝜋 ( 36𝜋 ) (𝑥 + 𝑦 + 25)

⃗⃗⃗𝟏 = ∫ 𝑑𝐅

2 2 (9.375 × 10−10 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ( ) (⃗⃗⃗⃗ ∫ ∫ 5 𝐚 ) −9 10 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 25)3⁄2 z −2 −2 ( ) 9 2

2

𝑑𝑥 𝑑𝑦 (⃗⃗⃗⃗ 𝐚z) 2 2 3⁄2 −2 (𝑥 + 𝑦 + 25)

⃗⃗⃗ 𝐅𝟏 = 42.1875 ∫ ∫ −2

Bueno hasta ahí se lo dejo plateado otra forma de realizar este ejercicio y que esta aproximado al resultado es la siguiente: La densidad de carga es: ρl =

Q 500 × 10−6 C C = = 125 × 10−6 l 4m m dQ = ρl dl C dQ = 125 × 10−6 ( ) dx m ⃗𝐑 21 = −x𝐚 ⃗⃗⃗⃗x + 5𝐚 ⃗⃗⃗⃗z ⃗ 21 | = √(𝑥 2 + 25) |𝐑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐚21 =

⃗⃗⃗⃗x + 5𝐚 ⃗⃗⃗⃗z −x𝐚 √(𝑥 2 + 25)

⃗⃗⃗𝟏 = 𝑑𝐅

(30 × 10−6 )(125 × 10−6 )𝑑𝑥 −x𝐚 ⃗⃗⃗⃗x + 5𝐚 ⃗⃗⃗⃗z ( ) 10−9 √(𝑥 2 + 25) 4𝜋 ( 36𝜋 ) (𝑥 2 + 25)

⃗⃗⃗𝟏 = 𝑑𝐅

(30 × 10−6 )(125 × 10−6 )𝑑𝑥 ⃗⃗⃗⃗z 5𝐚 ( ) −9 2 + 25) 10 ( 2 √ 𝑥 ( ) ( ) 4𝜋 36𝜋 𝑥 + 25

⃗⃗⃗𝟏 = ∫ 𝑑𝐅

2 3.75 × 10−9 𝑑𝑥 ( ) (𝐚 ∫ ⃗⃗⃗⃗z ) 5 −9 10 2 + 25)3⁄2 ( −2 𝑥 ( ) 9

2

𝑑𝑥

⃗⃗⃗ 𝐅𝟏 = 168.75 ∫

−2 (𝑥 2

+ 25)

3⁄ 2

(𝐚 ⃗⃗⃗⃗z )

Resolviendo la integral por sustitución trigonométrica:

u² = x² u=x a² = 25 a=5 u = atgθ x = 5tgθ dx = 5Sec²θ dθ 2

5Sec²θ dθ

⃗⃗⃗ 𝐅𝟏 = 168.75 ∫

−2 (√25𝑡𝑔2 𝜃

+ 25 )

⃗⃗⃗⃗z ) 3 (𝐚

2

5Sec²θ dθ (⃗⃗⃗⃗ 𝐚z) −2 125Sec³θ

⃗⃗⃗ 𝐅𝟏 = 168.75 ∫

2

dθ (𝐚 ⃗⃗⃗⃗z ) −2 25Secθ

⃗⃗⃗ 𝐅𝟏 = 168.75 ∫ 2

⃗⃗⃗ 𝐅𝟏 = 6.75 ∫ 𝐶𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 (⃗⃗⃗⃗ 𝐚z ) −2

⃗⃗⃗ 𝐅𝟏 = 6.75|𝑆𝑒𝑛𝜃 |2−2 (⃗⃗⃗⃗ 𝐚z ) 𝑆𝑒𝑛𝜃 =

⃗⃗⃗ 𝐅𝟏 = 6.75 |

𝑥 √𝑥² + 25

𝑥 √𝑥² + 25

2

|

= 6.75 ( −2

2 √29

+

2 √29

) (⃗⃗⃗⃗ 𝐚z) = 𝟓(⃗⃗⃗ 𝐚𝐳 ) 𝐍

2.32 Demuestre la fuerza sobre una carga puntual localizada en un punto cualquiera de un anillo circular de densidad de carga uniforme es cero, siempre y cuando la carga puntual permanezca en el plano del anillo. Datos: 𝐅 = ?= 0 𝜌𝑆 = 0 𝑑𝐅 =

𝑄𝜌𝑆 𝑟𝑑𝑟𝑑Φ ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑟 4𝜋𝜀0 R

Si 𝜌𝑆 = 0 Entonces: 𝐅=0 2.33 Dos cargas puntuales idénticas de Q (C) cada una, están separadas por una ⃗ para puntos a lo largo de la línea que une distancia d(m). Exprese el campo eléctrico 𝐄 las dos cargas. ⃗⃗⃗⃗1 = 𝐄

𝑄1 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 4𝜋𝜀0 𝑟² 𝑟

⃗⃗⃗⃗ 𝐄2 =

𝑄2 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 4𝜋𝜀0 𝑟² 𝑟

y

Entonces si 𝑄1 = 𝑄2 Los dos campos eléctricos son iguales por lo tanto: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗1 𝐄T = 2𝐄

2.34 Cargas idénticas de Q (C) están localizadas en las ocho esquinas de un cubo de lado 1 m. Demuestre que la fuerza de Coulomb sobre cada carga tiene una magnitud Q2

(3.29 4πϵ l2 ) N. 0

Tomaremos cualquiera de las cargas: 𝑄1 = 𝑄2 = 𝑄3 = 𝑄4 = 𝑄5 = 𝑄6 = 𝑄7 = 𝑄8 = 𝑄 𝐅=

𝑄² ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 4𝜋𝜀0 𝑙 2 𝑛

⃗⃗⃗⃗ 𝐅T = 3.29

𝑄² ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 4𝜋𝜀0 𝑙 2 𝑛

⃗ fuera de una concha esférica de densidad de 2.35 Demuestre que el campo eléctrico 𝐄 ⃗ debido a la carga total sobre la concha localizada carga uniforme 𝜌𝑠 es el mismo que 𝐄 en el centro. Simplemente por la razón que: 𝑑𝑄 = 𝜌𝑠 𝑑𝑣 Entonces para una concha esférica: ⃗ =∫ 𝐄

𝜌𝑠 𝑑𝑣 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑅

Y para una concha localizada en el centro: ⃗ = 𝑑𝐄

𝑑𝑄 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 4𝜋𝜀0 𝑟 2 𝑅

⃗ debido a una 2.36 Desarrolle la expresión en coordenadas cartesianas para 𝐄 configuración de carga recta infinitamente larga con densidad uniforme 𝜌𝑙 . ⃗ = 𝐄

⃗ = 𝐄

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜋𝜀0 𝑟 𝑟

𝜌𝑙 2𝜋𝜀0 (√𝑥² + 𝑦²)

(

⃗⃗⃗⃗𝑥 + 𝑦𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 𝑥𝐚 √𝑥² + 𝑦²

)

2.37 Una distribución de carga uniforme, infinita en extensión, se encuentra a lo largo nC

del 𝑒𝑗𝑒 𝑧 con 𝜌𝑙 = 20 m . ⃗ en (6, 8, 3) m, expresándolo tanto en sistema de coordenadas Halle el campo eléctrico 𝐄 cartesianas como cilíndricas. ⃗ = 𝐄

⃗ = 𝐄

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜋𝜖0 𝑟 𝑟

⃗⃗⃗⃗𝑥 + 8𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 6𝐚 20 x 10−9 ( ) −9 10 10 2𝜋 ( 36𝜋 ) 10

⃗ = 36 ( 𝐄

⃗⃗⃗⃗𝑥 + 8𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 6𝐚 ) 10 V ⃗ = 21.6𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑥 + 28.8𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 ( ) 𝐄 m ⃗ = 𝐄

⃗ = 𝐄

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜋𝜖0 𝑟 𝑟

20 x 10−9 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑟 10−9 2𝜋 ( 36𝜋 ) 10 V ⃗ = 36 ⃗⃗⃗⃗ 𝐄 𝐚𝑟 ( ) m nC

2.38 Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de 𝜌𝑙 = 4 m , son paralelas al 𝑒𝑗𝑒 𝑧 en ⃗ en (±4, 0, 𝑧) m. 𝑥 = 0, 𝑦 = ±4 m. Determine el campo eléctrico 𝐄 ⃗ = 𝐄

⃗ = 𝐄

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜋𝜖0 𝑟 𝑟

4 𝑥10−9 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑥 10−9 2𝜋 ( 36𝜋 ) (4) V ⃗ = ±18 ⃗⃗⃗⃗ 𝐄 𝐚𝑥 ( ) m

nC

2.39 Dos cargas lineales idénticas y uniformes, 𝜌𝑙 = 5 m , son paralelas al 𝑒𝑗𝑒 𝑥, una en ⃗ en (4, 1, 3) m. 𝑧 = 0, 𝑦 = −2 𝑚 y la otra en 𝑧 = 0, 𝑦 = 4 𝑚. Halle 𝐄

⃗ = 𝐄

⃗1 = 𝐄

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜋𝜖0 𝑟 𝑟

⃗⃗⃗⃗𝑦 + 3𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 3𝐚 5 𝑥 10−9 ( ) −9 10 3 2 √ 2𝜋 ( 36𝜋 ) (3√2)

⃗ 1 = 5(3𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 3𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ) 𝐄 V ⃗ 1 = 15𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 15𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ( ) 𝐄 m ⃗2 = 𝐄

⃗⃗⃗⃗𝑦 + 3𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 −3𝐚 5 𝑥 10−9 ( ) 10−9 3√2 2𝜋 ( 36𝜋 ) (3√2)

⃗ 2 = 5(−3𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 3𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ) 𝐄 V ⃗ 2 = −15𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 15𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ( ) 𝐄 m ⃗ =𝐄 ⃗1+𝐄 ⃗2 𝐄 V ⃗ = 30𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ( ) 𝐄 m

⃗ en el origen debido a una carga lineal distribuida uniformemente, 2.40 Determinar 𝐄 nC

con 𝜌𝑙 = 3.30 m , localizada en 𝑥 = 3 m, 𝑦 = 4 m. ⃗ = 𝐄

⃗ = 𝐄

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜋𝜖0 𝑟 𝑟

⃗⃗⃗⃗𝑥 − 4𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 −3𝐚 3.3 𝑥 10−9 ( ) 10−9 5 2𝜋 ( 36𝜋 ) (5)

⃗ = 2.376(−3𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑥 − 4𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 ) 𝐄 V ⃗ = −7.128𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑥 − 9.5𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 ( ) 𝐄 m ⃗ ? 2.41 Refiriéndose al problema 2.40, ¿en qué puntos será igual el valor de 𝐄 ⃗ en (0, 0, 𝑧) 𝐄

2.42 A dos metros del eje z, se sabe él 𝐸 debido a una carga lineal uniforme a lo largo V

del eje z es 1.80 x 104 m. Encuentre la densidad de carga uniforme 𝜌𝑙 . 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 V

𝐸 = 1.80 x 104 m 𝑟 =2m 𝜌𝑙 = ? ⃗ = 𝐄

𝐸=

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜋𝜖0 𝑟 𝑟

𝜌𝑙 2𝜋𝜖0 𝑟

𝜌𝑙 = 2𝜋𝜖0 𝑟𝐸 𝜌𝑙 = 2𝜋

10−9 36𝜋

∗ (2) ∗ (1.8 x 104 )

𝜌𝑙 = 2 x 10−6 𝐶/𝑚 𝜌𝑙 = 2 μC/m

nC

2.43 El plano −𝑥 + 3𝑦 − 6𝑧 = 6 m contiene una distribución de carga 𝜌𝑠 = 0.53 m2 . ⃗ en el lado que contiene el origen. Encuentre 𝐄 ⃗ = 𝐄

⃗ = 𝐄

𝜌𝑠 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜖0 𝑛

0.53 𝑥 10−9 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑛 10−9 2 ( 36𝜋 ) V ⃗ = 29.97 ⃗⃗⃗⃗ 𝐄 𝐚𝑛 ( ) m

Los vectores unidad normales a un plano 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 𝐷 son: ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑛 = ±

⃗⃗⃗⃗𝑥 + 𝐵𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 𝐶𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 𝐴𝐚 √𝐴² + 𝐵² + 𝐶²

Por lo tanto, los vectores unidad normales a este plano son: ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑛 = ±

⃗⃗⃗⃗𝑥 + 3𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 − 6𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 −𝐚 √46

Se desprende que el vector unidad sobre el lado del plano que contiene el origen se produce por el signo negativo. El campo eléctrico en el origen es: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 6𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 V 𝐚 − 3𝐚 ⃗ = 29.97 ( 𝑥 𝐄 )( ) m √46

2.44 Dos láminas de densidad de carga uniforme 𝜌𝑠 = (

10−9 6𝜋

) C/m² están localizadas en

𝑧 = −5 y 𝑦 = −5 m. Determine la densidad de la carga lineal uniforme 𝜌𝑙 , necesaria ⃗ en (4, 2, 2) m, si la carga lineal está localizada en para producir el mismo valor de 𝐄 𝑧 = 0, 𝑦 = 0. Datos: 10−9

𝜌𝑠 = (

6𝜋

) C/m²

𝜌𝑙 = ? ⃗ = 𝐄

𝜌𝑠 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜀0 𝑛

10−9 ⃗⃗⃗⃗𝑥 + 7𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 7𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 3𝐚 6𝜋 ⃗ = 𝐄 ( ) 10−9 √107 2 ∗ ( 36𝜋 ) ⃗ = 3( 𝐄

⃗⃗⃗⃗𝑥 + 7𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 7𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 3𝐚 √107 ⃗ = 𝐄

⃗ = 𝐄

) V/m

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜋𝜀0 𝑟 𝑟

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗𝑟 𝐚 10−9 2𝜋 ( 36𝜋 ) 𝑟

2.45 Teniendo en cuenta las dos distribuciones de carga uniforme siguiente: una carga lineal uniforme, de densidad 𝜌𝑠 = −50 nC/m² en 𝑦 = 2 m y una carga lineal uniforme ⃗ igual de 𝜌𝑙 = 0.2 μC/m en 𝑧 = 2 m, 𝑦 = −1 m. ¿En qué puntos de la región será 𝐄 cero? Datos: 𝜌𝑠 = −50 nC/m² en (0,2,0) m 𝜌𝑙 = 0.2 μC/m en (0, −1,2) m ⃗⃗⃗⃗𝑠 = 𝐄

⃗⃗⃗⃗𝑠 = 𝐄

𝜌𝑠 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜀0 𝑛

−50 × 10−9 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑛 10−9 2 ( 36𝜋 )

⃗⃗⃗⃗𝑠 = −900𝜋𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑛 V/m 𝐄 ⃗⃗⃗ 𝐄𝑙 =

⃗⃗⃗ 𝐄𝑙 =

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜋𝜀0 𝑟 𝑟

0.2 × 10−6 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑟 10−9 2𝜋 ( 36𝜋 ) 𝑟

1

2.46 Una carga laminar uniforme de 𝜌𝑠 = (− 3𝜋) nC/m² está localizada en 𝑧 = 5 m y una carga lineal uniforme de 𝜌𝑙 = (−

25 9

) nC/m está localizada en 𝑧 = −3 m, 𝑦 = 3 m.

⃗ en (0, −1, 0) m. Encuentre el campo eléctrico 𝐄

⃗ = 𝐄

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜋𝜖0 𝑟 𝑟

25 (− 9 ) x 10−9 −4𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 3𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ⃗ = 𝐄 ( ) 10−9 5 2𝜋 ( 36𝜋 ) ∗ 5 ⃗ = −10(−0.8𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 0.6𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ) 𝐄 ⃗ = (8𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 − 6𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ) V/m 𝐄 ⃗ = 𝐄

⃗ = 𝐄

1 (− 3𝜋) x 10−9 10−9 2 ( 36𝜋 )

𝜌𝑠 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜖0 𝑛

(−𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 )

⃗ = 6𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 V/m 𝐄 ⃗ =𝐄 ⃗𝑙+𝐄 ⃗𝑠 𝐄 ⃗ = 8𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 − 6𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 + 6𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 𝐄 ⃗ = 8𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 V/m 𝐄

√2 ×10−8 ) C/m 6

2.47 Una carga lineal uniforme de 𝜌𝑙 = (

se encuentra a lo largo del eje x

y una carga laminar uniforme está localizada en 𝑦 = 5 m. A lo largo de la línea ⃗ tiene solo una componente 𝑧. ¿Cuál será 𝜌𝑠 de 𝑦 = 3 m, 𝑧 = 3 m el campo eléctrico 𝐄 la carga laminar? Resultado: 𝟏𝟐𝟓 𝐩𝐂/𝐦² Datos: √2 ×10−8 ) C/m 6

𝜌𝑙 = ( 𝜌𝑠 = ?

⃗ = 𝐄

⃗ = 𝐄

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜋𝜀0 𝑟 𝑟

√2 × 10−8 ( ) 6 10−9

(

⃗⃗⃗⃗𝑦 − 3𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 −3𝐚

2𝜋 ( 36𝜋 ) (√18)

√18

V ⃗ = −5√2 ∗ (𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + ⃗⃗⃗⃗ 𝐄 𝐚𝑧 ) ( ) m ⃗ = 𝐄

𝜌𝑠 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜖0 𝑛

)

2.48 Una carga lineal uniforme de 𝜌𝑙 = 3.3 nC/m está localizada en 𝑥 = 3 m, y 𝑦 = 4 m. Una carga puntual 𝑄 está a 2 m del origen. Halle la carga 𝑄 y su localización, de tal manera que el campo eléctrico sea cero en el origen. Datos 𝜌𝑙 = 3.3 nC/m 𝑥 = 3 m, y 𝑦 = 4 m

⃗⃗⃗⃗ 𝐄1 − ⃗⃗⃗⃗ 𝐄2 = 0 ⃗ = 𝐄

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜋𝜖0 𝑟 𝑟

⃗ = 𝐄

𝑄 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 4𝜋𝜖0 𝑟² 𝑟

𝑄 𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑟 = 𝐚 2𝜋𝜖0 𝑟 𝑟 4𝜋𝜖0 𝑟² 𝑄=

4 ∗ 2 ∗ 3.3 𝑥 10−9 5

𝑄 = 5.28 𝑥 10−9 C 𝑄 = 5.28 nC en (−1.2 ; −1.6) m

2.49 Un anillo de carga circular con radio 2 m yace en el plano z = 0, con centro en el origen. Si la densidad de carga puntual 𝑄, en el origen, que produciría el mismo campo ⃗ en (0, 0, 5)𝑚. eléctrico 𝐄

⃗ =∫ 𝐄 𝐿

⃗ = 𝐄

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑅 𝑑𝑙 4𝜋𝜖0 R²

𝜌𝑙 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 𝜖0 R2 𝑧

⃗⃗⃗⃗ 𝐑2 = 25 + 4 ⃗⃗⃗⃗ 𝐑2 = √29 ⃗ = 𝐄

10 x 10−9 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑧 10−9 (√29)² ∗ 36𝜋

V ⃗ = 38.999 ⃗⃗⃗⃗ 𝐄 𝐚𝑧 ( ) m ⃗ = 𝑄→𝐄

𝑄 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 4𝜋𝜖0 𝐑² 𝑧

𝑄 = E(4𝜋𝜖0 R2 ) 𝑄 = 38.999 ∗ (4𝜋 ∗ 𝑄 = 108.3 nC

10−9 ∗ 25) 36𝜋

2.50 El disco circular 𝑟 ≤ 2 m en plano z = 0 tiene una densidad de carga 𝜌𝑠 = 10−8 𝑟

C ⃗ para el punto (0, Φ, h). (m2). Determine el campo eléctrico 𝐄

⃗ =∫ 𝐄 𝑆

𝜌𝑠 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑅 𝑑𝑆 4𝜋𝜀0 𝑅2

Donde 𝑑𝑆 = 𝑟𝑑𝑟𝑑Φ

⃗ = 𝑑𝐄

(

10−8 ) 𝑟𝑑𝑟𝑑Φ 𝑟

4𝜋𝜀0 (√𝑟 2 + ℎ2 )

⃗⃗⃗⃗𝑟 + ℎ𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 −𝑟𝐚

2(

√𝑟 2 + ℎ2

)

La distribución de carga, aunque no uniforme, tiene una simetría tal que todas las componentes radiales se cancelan.

⃗ =( 𝐄

⃗ =( 𝐄

2𝜋 2 10−8 𝑑𝑟𝑑Φ ) ∗ (ℎ ) ∫ ∫ ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 −9 2 10 (𝑟 + ℎ2 )3/2 𝑧 0 0 ( ) 4𝜋 ∗ 36𝜋

10−8 2 ( ) ( ) ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ∗ ℎ ∗ 2𝜋 ∗ 𝐚𝑧 10−9 ℎ2 ∗ √ℎ2 + 4 4𝜋 ∗ ( 36𝜋 ) ⃗ = 𝐄

1.13 × 103

V ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑧 ( ) m ℎ√4 + ℎ²

2.51 Examine el resultado del problema 2.50 cuando ℎ es mucho mayor que 2 m y compárelo con el campo en ℎ que resulta cuando la carga total del disco está concentrada en el origen. ⃗ = 𝐄

⃗ = 𝐄

1.13 × 103

V ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑧 ( ) m ℎ√4 + ℎ²

1.13 × 103

V ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑧 ( ) m 2√4 + 2²

V ⃗ = 199.75 ⃗⃗⃗⃗ 𝐄 𝐚𝑧 ( ) m

2.52 Una carga laminar finita de densidad 𝜌𝑠 = 2𝑥 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 4)

3⁄ C 2 ( ), m2

⃗ en (0, 0, 2) m. 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑧 = 0 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 m y 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 m. Determine 𝐄 Datos: 𝜌𝑠 = 2𝑥 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 4)

3⁄ C 2( ) m2

⃗ = ? en (0, 0, 2) m 𝐄 ⃗𝐑 ⃗ = (−𝑥𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑥 − 𝑦𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 2𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ) (m) 𝑑𝑄 = 𝜌𝑠 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑄 = 2𝑥 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 4)

3⁄ 2𝑑𝑥𝑑𝑦

(C )

3

⃗⃗⃗⃗𝑥 − 𝑦𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 2𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 2𝑥 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 4) ⁄2 𝑑𝑥𝑑𝑦 −𝑥𝐚 ⃗ = 𝑑𝐄 ( ) 4𝜋𝜀0 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 4) √𝑥 2 + 𝑦 2 + 4 ⃗ = 𝑑𝐄

⃗ = 𝐄

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 (−𝑥𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑥 − 𝑦𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 2𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ) 2𝜋𝜀0

2 2 1 ∫ ∫ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 (−𝑥𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑥 − 𝑦𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 2𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ) 2𝜋𝜀0 0 0 2

2

⃗ = 18 × 109 ∫ ∫ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 (−𝑥𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑥 − 𝑦𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 2𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ) 𝐄 0

0

⃗ = (18 × 109 ) (− 𝐄

⃗ = 18 (− 𝐄

16 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 8𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ) V/m 𝐚 − 4𝐚 3 𝑥

16 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 8𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 ) GV/m 𝐚 − 4𝐚 3 𝑥

yace en el

⃗ en (8, 0, 0) m debido a una carga de 10 nC 2.53 Determine el campo eléctrico 𝐄 distribuida uniformemente a lo largo del 𝑒𝑗𝑒 𝑥 entre 𝑥 = −5 m y 𝑥 = 5 m. Repita el ejercicio para la misma carga total, distribuida entre 𝑥 = −1 m y 𝑥 = 1 m. Datos: ⃗ = ? en (8, 0, 0) m 𝐄 𝑄 = 10 nC ⃗ = ((8 − 𝑥 )⃗⃗⃗⃗ 𝐑 𝐚𝑥 ) (m) ⃗ = 𝑑𝐄

⃗ = 𝐄

10 × 10−9 𝑑𝑥 (8 − 𝑥 )⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑥 ( ) 4𝜋𝜀0 (8 − 𝑥 )² √(8 − 𝑥 )²

10 × 10−9 5 𝑑𝑥 (⃗⃗⃗⃗ ∫ 𝐚 ) −9 10 (8 − 𝑥 )² 𝑥 4𝜋 ( 36𝜋 ) −5 ⃗ = 90 ∗ ( 𝐄

10 ) (⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑥 ) V/m 39

⃗ = 23.0769(⃗⃗⃗⃗ 𝐄 𝐚𝑥 ) V/m Para distribuida entre 𝑥 = −1 m y 𝑥 = 1 m. ⃗ = 𝑑𝐄

⃗ = 𝐄

10 × 10−9 𝑑𝑥 (8 − 𝑥 )⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑥 ( ) 4𝜋𝜀0 (8 − 𝑥 )² √(8 − 𝑥 )²

10 × 10−9 1 𝑑𝑥 (⃗⃗⃗⃗ ∫ 𝐚 ) −9 10 (8 − 𝑥 )² 𝑥 −1 4𝜋 ( 36𝜋 ) ⃗ = 90 ∗ ( 𝐄

2 ) (⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑥 ) V/m 63

⃗ = 2.857(⃗⃗⃗⃗ 𝐄 𝐚𝑥 ) V/m

2.54 El disco circular 𝑟 ≤ 1 𝑚, 𝑧 = 0 tiene una densidad de carga 𝜌𝑠 = 2(𝑟 2 + C

⃗ en (0, 0, 5) m. 25)3/2 𝑒 −10𝑟 (m²). Encuentre 𝐄 Datos: C

𝜌𝑠 = 2(𝑟 2 + 25)3/2 𝑒 −10𝑟 (m²) ⃗ = ? en (0, 0, 5) m 𝐄 3

⃗⃗⃗⃗𝑟 + 5𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 2(𝑟 2 + 25)2 𝑒 −10𝑟 𝑟𝑑𝑟𝑑Φ −𝑟𝐚 ⃗ 𝑑𝐄 = ( ) 4𝜋𝜀0 (𝑟 2 + 25) √𝑟 2 + 25 La distribución de carga, aunque no uniforme, tiene una simetría tal que todas las componentes radiales se cancelan. ⃗ = 𝐄

⃗ = 𝐄

10 2𝜋 1 −10𝑟 ∫ ∫ 𝑒 𝑟𝑑𝑟𝑑Φ ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑧 4𝜋𝜀0 0 0

10 1 11𝑒 −10 ∗ (2𝜋) ∗ ( − ) ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑧 4𝜋𝜀0 100 100 V ⃗ = 5652042740.36 ⃗⃗⃗⃗ 𝐄 𝐚𝑧 ( ) m ⃗ = 5.652 ⃗⃗⃗⃗ 𝐄 𝐚𝑧 (

GV ) m

2.55 Demuestre que el campo eléctrico es cero en cualquier punto situado dentro de una concha esférica uniformemente cargada. ⃗ =∫ 𝐄 𝑣

⃗ =∫ 𝐄 𝑣

⃗ = 𝐄

𝜌𝑣 𝑑𝑣 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 4𝜋𝜀0 𝑅2 𝑅

𝜌𝑣 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑Φ ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑅 4𝜋𝜀0 𝑅2

4 3 1 ⃗⃗⃗⃗ 𝜋𝑟 𝜌𝑣 𝐚 3 4𝜋𝜀0 𝑅2 𝑅 ⃗ = 𝐄

𝑟 3 𝜌𝑣 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 3𝜀0 𝑅2 𝑅

2.56 Hay una carga distribuida con densidad constante 𝜌 a través de un volumen esférico de radio 𝑎. Usando los resultados de los problemas 2.35 y 2.55, muestre que

Donde 𝑟 es la distancia desde el centro de la esfera.

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

Capítulo 3 Flujo eléctrico y ley de Gauss Problemas suplementarios 3.22 Halle la carga neta encerrada en cubo de 2 m de arista, paralelo a los ejes y centrado en el origen, si la densidad de carga es: (

(

∫

(

(

|

)

)

∫ ∫ ∫

|

)(

( ) |

(

)

(

)

(

)|

) ( ) (

) ( ) (

(

( ) ( )

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

| |

( ( ))

)) (

( (

)

))) (

(

))

3.23 Halle la carga encerrada en el volumen (

dada la densidad de carga

∫

∫ ∫

∫

(

( | |

| |

(

) ( (

(

) ( ( )

)

)

|

| ) | |

)

(

( ) (

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

(

( )

))

)

( ))) (

)

3.24 Dada una densidad de carga en coordenadas esféricas,

( ) Halle las cantidades de carga en los volúmenes esféricos encerrados por y

.

( )

( )

( )

∫

( )

∫ ∫ ∫

(

) |

( ) (

(

( )

( )

|

( )

) (

(

) (

|

|

(

) (

)

| |

) (

|

| )

)

) ( )

Cuando (

Cuando

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( )

) (

) ( )

(

Cuando

(

)

) (

) ( )

) (

) ( )

. (

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

( )

3.25 Una superficie

contiene una distribución uniforme finita de carga,

con densidad de carga ( ) ¿Qué flujo neto cruza la superficie ?

∫

∫

|

|

(

) ( )

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

3.26 Hay una carga distribuida en una región esférica (

)

¿Qué flujo neto cruza las superficie

∫

y

∫ ∫ ∫ | |

|

|

(

) (

( ) ( (

∫

) (

| | ) (

)

) (

)

)

)

∫ ∫ ∫ | |

|

|

(

) (

( ) (

) (

(

)

(

)

| |

)

( (

)

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

con densidad

)

?

3.27 Una carga puntual

se encuentra en el origen de las coordenadas esféricas y una

distribución de concha esférica en

tiene una carga total de

distribuida. ¿Qué flujo cruza la superficie

para

y

uniformemente ?

El flujo es igual a la carga.

3.28 Una carga lineal uniforme con

yace a lo largo del eje x. ¿Qué flujo

cruza una superficie esférica centrada en el origen con Datos.

∫ ∫ |

|

(

) (

(

(

| | )

)

)

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

?

3.29 Una carga puntual

se encuentra en el origen. Halle una expresión para el flujo

que cruza la porción de una esfera, centrada en el origen, descrita por ∫ ∫

|

|

| |

( (

)) (

( ( (

)) (

)

)

(

(

)

)

3.30 Una carga puntual de Halle el flujo radio

)

( ) está en el centro de un sistema coordenado esférico.

que cruza un área de

sobre una concha esférica concéntrica de

.

El flujo total

cruza una concha esférica completa de área

Entonces el flujo es:

( )

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.

3.31 Un área de cruzada por

sobre la superficie de una concha esférica de radio

está

de flujo en dirección interna. ¿Qué carga puntual está localizada en

el origen? Datos:

El área de la superficie concha esférica

(

(

) (

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

(

)

)( )(

) )

3.32 Una carga lineal uniforme con de la línea cruza la franja del plano

yace a lo largo del eje x. ¿Qué porcentaje de flujo que contiene

?

3.33 Una carga puntual,

está localizada en el origen de sistema de

coordenadas cartesianas. ¿Qué flujo

cruza la posición del plazo

y

para el que

?

La relación:

3.34 Una carga lineal uniforme con

yace a lo largo del eje x. Halla ⃗ en

(3, 2, 1) m. La distancia desde el punto de observación hasta cualquier de las cargas lineales es √ ⃗⃗

Considerándose primero la carga lineal sobre el eje x. ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ (√ ) ⃗⃗

(

( ⃗⃗⃗⃗ √

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

√ ⃗⃗⃗⃗

)

)

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

3.35 Una carga puntual de

se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas

esféricas, rodeado por una distribución concéntrica uniforme de carga sobre una concha esférica en

para la carga total es

Halle el flujo

que cruza las superficie esféricas en

y

Obtenga

en todas

las regiones.

Para

Para

3.36 Dado que ⃗ área

⃗⃗⃗⃗ (

normal al eje

) halle el flujo

y localizado en

que cruza una superficie de y

Como ⃗⃗ es constante en toda el área y es perpendicular a ella,

(

( )

)

(

)

(

( )

)

(

)

(

(

)

)

(

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

)

.

3.37 Dado que ⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ (

) halle el flujo neto saliente que cruza la

superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. Las aristas del cubo son paralelas a los ejes.

∮ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

∫

∫ (

⃗⃗⃗⃗ ) (

∫ ( ( ) ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ )

∫

( (

) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗ ) (

⃗⃗⃗⃗ )

∫

(

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ) (

⃗⃗⃗⃗ ) (

⃗⃗⃗⃗ )

∫ (

⃗⃗⃗⃗

( )⃗⃗⃗⃗ ) (

(

(

⃗⃗⃗⃗

∫

∫ ) (

)

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

)⃗⃗⃗⃗ ) (

∫

⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗ )

∫

(

⃗⃗⃗⃗

3.38 Dado que ⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ (

)

En coordenadas cilíndricas, halle el flujo saliente que cruza el cilindro circular recto descrito por

( )

y

⃗ ∫⃗

⃗⃗⃗⃗

∫(

⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗

∫

∫ (

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

∫ ) (

)(

)

3.39 Dado que ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

En coordenadas cilíndricas, halle el flujo que cruza la porción del plazo

defrinido

por Repita el ejercicio para

Suponga que el flujo positivo tiene la dirección

de ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∫⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

∫(

⃗⃗⃗⃗ )

)

∫(

∫

∫

( )|

( )|

|

|

Para ( )|

( )|

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

|

|

3.40 En coordenadas cilíndricas, el disco uniforme

(

) Utilice superficies gausianas especiales apropiadas para encontrar

valores aproximados de lejos del disco (

contiene carga con densidad no

( ) muy cerca al disco (

sobre el eje

)

( ) (

)

(

)

( )

Donde ∫

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

∫

) ( ) muy

3.41 Una carga puntual

está en el origen de coordenadas esféricas. Una

distribución esférica concéntrica de carga en

tiene una densidad de carga

densidad superficial de carga sobre una concha concéntrica en produciría ⃗⃗

para

Datos:

( )

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

3.42 Dada una distribución de carga con densidad esféricas, utilice la ley de Gauss para hallar ⃗⃗ ∮ ⃗ ⃗⃗⃗⃗

∮

∮

∫

(

) (

)

(

)

⃗⃗

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

⃗⃗⃗⃗ (

)

(

) en coordenadas

3.43 Hay una densidad de carga de

en el volumen

(coordenadas

cartesianas). Utilice la ley de Gauss para hallar ⃗ en todas las regiones. ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ (

)

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ (

)

⃗

(

)⃗⃗⃗⃗ (

)

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ (

)

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ (

)

3.44 Utilice la ley de Gauss para hallar ⃗ y ⃗ en la región que está comprendida entre los conductores concéntricos de un condensador cilíndrico. El cilindro interior es de radio

Deprecie el efecto de bordes. ⃗ ⃗

( ) (

)

3.45 Un conductor de espesor determinado tiene una densidad superficial de carga Suponiendo que

dentro del conductor, demuestre que

conductor, construyendo una superficie gausiana especial. Por formula sabemos que:

PILLIGUA MENÉNDEZ LIDER EDUARDO

apenas fuera del

Capítulo 4 Divergencia y teorema de divergencia Problemas suplementarios 4.25 Desarrolle la divergencia en coordenadas esféricas. Utilice un volumen delta con aristas ∆r, r∆θ y rsenθ∆Φ. ⃗ está definido en 𝑃, esquina correspondiente al menor valor de las El campo vectorial 𝐀 coordenadas 𝑟, 𝜃, 𝛷, como: ⃗ = 𝐴𝑟 𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑟 + 𝐴𝜃 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗𝛷 𝐀 𝐚𝜃 + 𝐴𝛷 𝐚 Por definición: ⃗⃗ ∙ 𝑑𝐒 ∮𝐀 ∆𝑣 →0 ∆𝑣

⃗ = lim div 𝐀

⃗⃗ ∙ 𝑑𝐒 deben cubrirse todas las 6 caras del volumen. Para expresar ∮ 𝐀 ⃗⃗⃗⃗𝑟 dan: Las caras normales a 𝐚 𝐴𝑟 𝑟²𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜃∆𝛷 𝑦 (𝐴𝑟 +

𝜕 2 (𝑟 𝐴𝑟 )) 𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝜃∆𝛷 𝜕𝑟

Para una contribución neta de: 𝟏 𝝏 𝟐 (𝒓 𝑨𝒓 )∆𝒗 (1) 𝒓𝟐 𝝏𝒓 Las caras normales a ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝜃 dan: 𝐴𝜃 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃∆𝑟∆𝛷 𝑦 (𝐴𝜃 +

𝜕 (𝐴 𝑠𝑒𝑛𝜃 )) 𝑟∆𝑟∆𝛷 𝜕𝜃 𝜃

Para una contribución neta de: 𝟏 𝝏 (𝑨 𝒔𝒆𝒏𝜽)∆𝒗 (2) 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 𝝏𝜽 𝜽 ⃗⃗⃗⃗⃗𝛷 dan: Las caras normales a 𝐚

𝐴𝛷 𝑟∆𝑟∆𝜃 𝑦 (𝐴𝛷 +

𝜕 𝐴 ) 𝑟∆𝑟∆𝜃 𝜕𝛷 𝛷

Para una contribución neta de: 𝟏 𝝏 (𝑨 )∆𝒗 (3) 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 𝝏𝜱 𝜱 ⃗⃗ ∙ 𝑑𝐒, la definición de divergencia es: Cuando (1), (2) 𝑦 (3) se combinan para dar ∮ 𝐀 ⃗ = div 𝐀

𝟏 𝝏 𝟐 𝟏 𝝏 𝟏 𝝏𝑨𝜱 ( ) ( ) (𝒆𝒔𝒇é𝒓𝒊𝒄𝒐) 𝒓 𝑨 + 𝑨 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒓 𝜽 𝒓𝟐 𝝏𝒓 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 𝝏𝜽 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 𝝏𝜱

⃗ es cero para el campo producido por una carga laminar uniforme. 4.26 Muestre que 𝛁 . 𝐄 ⃗ = 𝛁 .𝐄

𝟏 𝝏 𝟏 𝝏 𝝏 (𝐸𝛷 ) + (𝐸 ) (𝒓𝐸𝑟 ) + 𝒓 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝜱 𝝏𝒛 𝑧 ⃗ = 𝐄 ⃗ = 𝛁 .𝐄

𝜌𝑠 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 2𝜖0 𝑧 𝝏 𝜌𝑠 ( ) 𝝏𝒛 2𝜖0

⃗ =𝟎 𝛁 .𝐄 4.27 El campo de un dipolo eléctrico con cargas en ± 𝑑/2 sobre el eje z es ⃗ = 𝐄

𝑸𝒅 (𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝐚⃗𝒓 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝐚 ⃗ 𝜽) 𝟒𝝅𝝐𝟎 𝒓𝟑

Demuestre que la divergencia de este campo es cero. ⃗ = div 𝐄

1 𝜕 𝑄𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃 ) 1 𝜕 𝑄𝑑 (𝑠𝑒𝑛𝜃 )²) ( ( )+ 2 𝑟 𝜕𝑟 2𝜋𝜖0 𝑟 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝜃 4𝜋𝜖0 𝑟 3

⃗ = div 𝐄

1 𝑄𝑑 (𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝜕 1 1 𝑄𝑑 𝜕 ((𝑠𝑒𝑛𝜃 )2) ( ) ( ) ( ) + 𝑟2 2𝜋𝜖0 𝜕𝑟 𝑟 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 4𝜋𝜖0 𝑟 3 𝜕𝜃

⃗ = div 𝐄

1 𝑄𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃 ) 1 1 𝑄𝑑 ( ) (2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 ) ( ) (− 2 ) + 2 𝑟 2𝜋𝜖0 𝑟 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 4𝜋𝜖0 𝑟 3

⃗ =− div 𝐄

1 𝑄𝑑 (𝑐𝑜𝑠𝜃) 1 𝑄𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃 ) ( )+ 4( )=0 4 𝑟 2𝜋𝜖0 𝑟 2𝜋𝜖0

⃗ = 𝑒 5𝑥 𝐚⃗𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑦 𝐚⃗𝑦 + 2𝑠𝑒𝑛𝑧 𝐚⃗𝑧 , halle ∇. 𝐀 ⃗⃗ en el origen. 4.28 Dado 𝐀

⃗ = (3𝑥 + 𝑦 2 )⃗⃗⃗⃗ ⃗. 4.29 Dado 𝐀 𝐚𝒙 + (𝑥 − 𝑦 2 )⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝒚 , halle ∇. 𝐀

⃗ = 2𝑥𝑦𝐚 ⃗ en (2, −1,3). ⃗⃗⃗⃗𝑥 + 𝑧𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑦 + 𝑦𝑧²𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 , halle ∇. 𝐀 4.30 Dado 𝐀

⃗ = 4𝑥𝑦𝐚 ⃗ en (2,2,0). ⃗⃗⃗⃗𝑥 − 𝑥𝑦 2 ⃗⃗⃗⃗ 4.31 Dado 𝐀 𝐚𝑦 + 5𝑠𝑒𝑛 𝑧 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑧 , halle ∇. 𝐀

⃗ = 2𝑟 𝑐𝑜𝑠² 𝛷 ⃗⃗⃗⃗ ⃗. ⃗⃗⃗⃗⃗𝛷 + 4𝑧𝑠𝑒𝑛² 𝛷 ⃗⃗⃗⃗ 4.32 Dado 𝐀 𝐚𝑟 + 3𝑟²𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝐚 𝐚𝑧 , halle ∇. 𝐀

⃗ = (102 ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ en (2, 𝛷, 1). 4.33 Dado 𝐀 𝐚𝑟 + 5𝑒 −2𝑥 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑧 , halle ∇. 𝐀 𝑟

⃗ = 5𝑐𝑜𝑠𝑟 𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑟 + ( 4.34 Dado 𝐀

3𝑧𝑒 −2𝑟 𝑟

⃗ en (𝜋, 𝛷, 𝑧). ) ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑧 , halle ∇. 𝐀

⃗ = 10 𝐚 ⃗. ⃗⃗⃗⃗𝑟 + 5𝑠𝑒𝑛𝜃 ⃗⃗⃗⃗ 4.35 Dado 𝐀 𝐚𝜃 , halle ∇. 𝐀

⃗ = 𝑟 ⃗⃗⃗⃗ ⃗. 4.36 Dado 𝐀 𝐚𝑟 − 𝑟 2 𝑐𝑜𝑡𝜃 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝜃 , halle ∇. 𝐀 ⃗ = ∇. 𝐀

1 𝜕(𝑟 2 (𝑟)) 1 𝜕((𝑟 2 𝑐𝑜𝑡𝜃 )𝑠𝑒𝑛𝜃) − 𝜕𝑟 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝜃 𝑟² ⃗⃗ = ∇. 𝐀

1 𝑟² 𝜕(𝑐𝑜𝑠𝜃 ) 3𝑟² − 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝜃 𝑟² ⃗⃗ = 3 + 𝑟 ∇. 𝐀

⃗ =[ 4.37 Dado 𝐀

(10𝑠𝑒𝑛2 𝜃) 𝑟

𝜋

⃗⃗ en (2, , 𝛷). ] ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑟 , halle ∇. 𝐀 4

⃗ = 𝑟²𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐚 ⃗. ⃗⃗⃗⃗𝑟 + 13𝛷𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝜃 + 2𝑟𝐚 ⃗⃗⃗⃗⃗𝛷 , halle ∇. 𝐀 4.38 Dado 𝐀

⃗ es cero si 𝐄 ⃗ = (100) 𝐚 ⃗⃗⃗⃗⃗𝛷 + 40𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑧 . 4.39 Demuestre que la divergencia de 𝐄 𝑟

4.40 En la región 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏 (coordenadas cilíndricas).

⃗⃗ = (4𝑟 −1 + 2𝑒 −0.5𝑟 + 4.41 En la región 0 < 𝑟 ≤ 2 (coordenadas cilíndricas) 𝐃 ⃗ = (2057) ⃗⃗⃗⃗ 4𝑟 −1 𝑒 −0.5𝑟 )⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑟 , y para 𝑟 > 2. 𝐃 𝐚𝑟 . Halle 𝜌 en ambas regiones. 𝑟

2

⃗ = [10𝑟 + (𝑟 )] 𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑟 y para 𝑟 > 2 4.42 En la región 0 ≤ 2 (coordenadas cilíndricas) 𝐃 3 ⃗⃗ = [ 3 ] ⃗⃗⃗⃗ 𝐃 𝐚𝑟 . Halle 𝜌 en ambas regiones. 128𝑟

⃗⃗ = 10 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑟 + 2𝑐𝑜𝑠𝜃 ⃗⃗⃗⃗ 4.43 Sea 𝐃 𝐚𝜃 . Halle la densidad de carga.

4.44 Sea ⃗⃗ = 𝐃

3𝑟 ⃗⃗⃗⃗ 𝐚 𝑟² + 1 𝑟

En coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga.

4.45 Sea ⃗⃗ = 𝐃

10 [1 − 𝑒 −2𝑟 (1 + 2𝑟 + 2𝑟 2 )] ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑟 𝑟²

En coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga.

4.46 En la región 𝑟 ≤ 1 (coordenadas esféricas). 4𝑟 𝑟 3 ⃗⃗ = ( − ) ⃗⃗⃗⃗ 𝐃 𝐚 3 5 𝑟 ⃗ =[ 𝑦 para 𝑟 > 1. 𝐃

5 63𝑟 2

] ⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑟 . Halle la densidad de carga en ambas regiones.

⃗ = (5𝑟 × 4.47 La región 𝑟 ≤ 2 m (coordenadas esféricas) tiene un campo 𝐄 𝑉

10−5 /𝜖0 )⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑟 (𝑚). Halle la carga neta encerrada por la concha 𝑟 = 2 𝑚. Datos: V ⃗ = (5r × 10−5 /ϵ0 )⃗⃗⃗ 𝐄 𝐚r (m)

r= 2m C ⃗⃗ = 𝜀0 𝐄 ⃗ = (5r × 10−5 )𝐚 ⃗⃗⃗r ( ) Si 𝐃 𝑚²

⃗ = div 𝐃

𝟏 𝝏 𝟐 𝟏 𝝏 𝟏 𝝏𝑫𝜱 ( ) ( ) (𝒆𝒔𝒇é𝒓𝒊𝒄𝒐) 𝒓 𝑫 + 𝑫 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒓 𝜽 𝒓𝟐 𝝏𝒓 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 𝝏𝜽 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 𝝏𝜱 ⃗⃗ = div 𝐃

⃗ = div 𝐃

𝟏 𝝏 𝟐 (𝒓 𝑫𝒓 ) 𝒓𝟐 𝝏𝒓

𝟏 𝝏 𝟐 (𝒓 (5r × 10−5 )) 𝒓𝟐 𝝏𝒓

⃗⃗ = div 𝐃

(5 × 10−5 ) (3𝑟 2 ) 𝑟2

⃗ = (5 × 10−5 )(3) div 𝐃 ⃗ = 0.00015 div 𝐃 ⃗ ) 𝑑𝑣 ∫(∇ ∙ 𝐃

∫(0.00015) 𝑟²𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝛷 2

𝜋

2𝜋

0.00015 ∫ 𝑟²𝑑𝑟 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 ∫ 𝑑𝛷 0

0

0

8 −0.00015 ( ) (cos(𝜋) − cos(0))(2𝜋) 3 Q = 0.005026548246 C 𝐐𝒆𝒏𝒄 = 𝟓. 𝟎𝟐𝟔𝟓𝟒𝟖𝟐𝟒𝟔 × 𝟏𝟎−𝟑 𝐂

2

⃗ = (5𝑟 ) 𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑟 en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de 4.48 Sea 𝐃 4 divergencia para el volumen encerrado por 𝑟 = 1 𝑦 𝑟 = 2.

⃗ = (10𝑟³) ⃗⃗⃗⃗ 4.49 Sea 𝐃 𝐚𝑟 en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de 4 divergencia para el volumen encerrado por 𝑟 = 2, 𝑧 = 0 𝑦 𝑧 = 10.

⃗⃗ = 10𝑠𝑒𝑛𝜃𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝑟 + 2𝑐𝑜𝑠𝜃𝐚 ⃗⃗⃗⃗𝜃 . Evalúe ambos lados del teorema de divergencia 4.50 Sea 𝐃 para el volumen encerrado por la concha 𝑟 = 2.

7 i

..)

i,

5.37 Halle las densidades de cargas sobre los conductores del problema 5.17. Datos:

( ⃗

)

( ) ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

(

⃗⃗⃗⃗

∫

) ⃗⃗⃗⃗⃗

∫

5.38 Una carga lineal uniforme con

∫

⃗⃗⃗⃗

yace en el plano para los puntos (

Halle la diferencia de potencial Datos:

∫ ⃗

∫

∫

(

) (

)√

√

paralelo al eje x en )y (

)

(

5.39 Una carga laminar uniforme, con laminar,

(

con

(

)

(

)

está

)

en

está en

y una segunda carga Halle

para

)

Datos: ( ) ( Hallar

) y

para encontrar ⃗ y reemplazar en: ∫ ⃗

5.40 Dados los campos eléctricos en coordenadas cilíndricas ⃗

(

)

y ⃗

⃗⃗⃗⃗

(

)

para

( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) para

halle la diferencia de potencial

∫ ⃗

∫

∫ ⃗

∫

para

5.41 Un condensador de placas paralelas de 0.5 m por 1 m, tiene una distancia de separación de 2 cm y una diferencia de voltaje de 10 v. Halle la energía almacenada, suponiendo que Datos: (

) (

)

(

( (

)(

)

)(

) )

5.42 El condensador descrito en el problema 5.41 tiene un voltaje aplicado de 200 V. a) Halle la energía almacenada. b) Mantenga

(

se aumenta

a 2.2 cm. Halle la energía final almacenada. (

(

)

) en 2 cm y la diferencia de voltaje en 200 V, mientras

)

a) (

)

)(

(

)(

)

(

)

b) (

)

( ( (

)

) (

) )(

)

5.43 Halle la energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales iguales, dispuestas en línea con 0.5 m de separación entre ellas.

5.44 Repita el problema 5.43 si la carga en el centro es

5.45 Cuatro cargas puntuales iguales, deben ser colocadas en las esquinas de un cuadrado de (1/3) m de lado, una por una. Halle la energía en el sistema después que cada carga ha sido colocada. Si colocamos una carga no habrá energía en el sistema por lo tanto es 0. Si colocamos 2 cargas:

( )

(

) (

)

Si colocamos 3 cargas:

(

(

√

)

) (

Si colocamos las 4 cargas tenemos lo siguiente:

)

5.46 Dado el campo eléctrico ⃗

⃗⃗⃗⃗ coordenadas cilíndricas. Halle la energía

almacenada en el volumen descrito por

y

Datos: ⃗

⃗⃗⃗⃗

Coordenadas cilíndricas

∫

∫

∫

∫

∫

(

∫

(

∫

) (

(

(

)

)

)∫

(

))

(

)

5.47 Dado un potencial

( ) Halle la energía almacenada en el volumen

descrito por

y

Datos: (

)

⃗ ⃗

⃗ |⃗ |

√(

(

(

)

(

⃗⃗⃗⃗

)

(

(

)

)

⃗⃗⃗⃗ ) )

√

∫

∫ ∫ ∫ (√

∫ ∫ (

(

)( )(

)

)

)

Capítulo 6 Corriente, densidad de corriente y conductores Problemas suplementarios 6.25 Halle la movilidad de los electrones de conducción en el aluminio, dada una conductividad

Datos:

y una densidad de electrones de conducción de

6.26 Repite el problema 6.25 ( ) para el cobre, donde ( ) para la plata, donde Datos: a) Para el cobre

b) Para la plata

a) Para el cobre

b) Para la plata

y

y

6.27 Halle la concentración de huecos, movilidad de los huecos es Datos:

en germanio tipo p, donde

y la

6.28 Utilizando los datos del problema 6.27, halle la concentración de electrones la concentración intrínseca es Datos:

(

)

si

6.29 Halle la concentración de electrones y huecos en silicio tipo y Datos:

(

)

para el que

6.30 Determine el número de electrones de conducción en un metro cúbico de tungsteno, cuya densidad es

y cuyo peso atómico es

Suponga

dos electrones de conducción por átomo. Datos:

(

)(

)(

)(

)

6.31 Halle el número de electrones de conducción en un metro cúbico de cobre si y

En promedio, ¿cuántos electrones por átomo hay?

El peso atómico es 63.54 y la densidad es

(

)(

)(

)(

)

6.32 Una barra de cobre de sección transversal rectangular tiene una caída de voltaje de

y longitud

Encuentre la resistencia, corriente, densidad

de corriente, intensidad de campo eléctrico y velocidad de corrimiento de los electrones de conducción. Datos:

6.33 Una barra de aluminio de conduce una corriente de

de sección transversal y

de longitud

.

Halle la intensidad de campo eléctrico, densidad de corriente y velocidad de corrimiento de los electrones de conducción.

6.34 Una reja de alambres da una resistencia de a de

para el alambre de cobre

¿Qué conductividad (en S/m) implica esto para el cobre? El diámetro es 32 mils.

Como un mil es

de pulgada, el área de la sección transversal es.

[(

)(

)]

6.35 Una reja de alambres de una resistencia de

para el alambre

AWG # 18 de platino. ¿Qué conductividad (en S/m) implica esto para el platino? El diámetro del AWG # 18 es 40 mils. Datos:

Solución: Como un mil es

de pulgada, el área de la sección transversal es.

[(

)(

)]

6.36 ¿Cuál es la conductividad del alambre de tungsteno AWG # 32 con una resistencia de

? El diámetro del AWG # 32 es 8 mils.

[(

)(

)]

6.37 Determine la resistencia por metro de un conductor cilíndrico hueco de aluminio con un diámetro externo de 32 mm y paredes de 6 mm de espesor. (

)

(

)

(

(

)(

)

)

6.38 Halle la resistencia de una lámina cuadrada de aluminio de 1 mil de espesor y 5 cm de lado ( ) entre bordes opuestos en la misma cara ( ) entre las dos caras del cuadrado. ( )

(

)(

)

( )

(

)(

)

6.39 Halle la resistencia de 100 pies de conductor AWG # 4/0 tanto en cobre como en aluminio. Un alambre AWG # 4/0 tiene un diámetro de 460 mils. Para el cobre:

(

)( )(

)

(

)( )(

)

Para el aluminio:

6.40 Determinar la resistencia de un conductor de cobre de 2 m de largo con una sección transversal circular y un radio de 1 mm en un extremo que crece linealmente hasta un radio de 5 mm en el otro extremo.

√ √

(

(

)

(

) (

) (

6.41 Determine la resistencia de un conductor de cobre de transversal cuadrada de

)

)

de largo con una sección

de lado en un extremo y que aumenta linealmente hasta

en el otro extremo.

6.42 Desarrolle una expresión para la resistencia de un conductor de longitud

si la

sección transversal retiene la misma forma y el área aumenta linealmente desde

hasta

sobre (

)

6.43 Halle la densidad de corriente de un conductor corriente de

Un alambre

tiene un diámetro de

6.44 Halle la corriente total en un conductor circular de corriente varía con r de acuerdo a

(

)

cuando conduce .

de radio si la densidad de

6.45 En coordenadas cilíndricas, ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (

) para la región

Halle la corriente total que cruza la intersección de esta región con el plano Φ = constante. ∫⃗

∫

⃗

∫

∫ (

)

6.46 Dada la densidad de corriente ⃗

(

) ⃗⃗⃗⃗⃗ (

)

En coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la franja cónica

6.47 Halle la corriente total saliente desde un cubo de un metro con una esquina en el origen y aristas paralelas a los ejes coordenadas si ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ (

)

6.48 Como se muestra en la figura 6-19, una corriente de 50 A baja por el eje z, entra a una concha esférica delgada de radio 0.03 m, y en

entra a una hoja plana.

Escribe las expresiones para las densidades laminares de corriente ⃗⃗⃗ en la concha esférica y ene le plano.

∫

∫

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

)

z r

Capítulo 7 Capacitancia y materiales dieléctricos Problemas suplementarios 7.23 Halle la magnitud de ⃗ en un material dieléctrico para el cual 3.05 × 10

y

=

.

7.24 Halle las magnitudes de ⃗ , ⃗ y 0.15

= 1.6 y

= 4.25.

para un material dieléctrico en el cual

=

F,

r-

-----"

r---__ :;

t: is TJ

|

I I

V

Í,

.a

."_.,.w-.__-.._

7.32 Un condensador de placas paralelas de 8 separación de 10

tiene un área de 1.51

. ¿Qué separación se requeriría para obtener la misma capacitancia

con espacio vacío entre las placas?

d=

y una

10 36

F m

C=

ϵ ∗ϵ ∗A d

d=

ϵ ∗ϵ ∗A C

∗ 1 ∗ (1.51 m )

8 × 10

F = .

= 1.6689 × 10

m

7.35 Duplique el diámetro del conductor del problema 7.34 y halle la capacitancia por unidad de longitud. Resp. 10.1 pF/m Datos: Φ = 5.5 pulgadas ℎ = 336 pulgadas =

Φ 5.5 pulgadas = = 2.75 pulgadas 2 2 C 2πϵ = L ln 2h a

C = L

=

10 2π 36 ln

.

F m

2 ∗ (336) 2.75 /

,

r

7.39 Halle la capacitancia por unidad de longitud de un conductor coaxial con el radio externo de 4 mm y radio interno de 0.5 mm si el dieléctrico tiene

= 5.2.

Resp. 139 pF/m Datos: a = 0.5 mm b = 4 mm ϵ = 5.2 C=? =

Del problema 7.9 tenemos que

=

, entonces por unidad de longitud

nosotros tenemos que: =

C = L

10 2π 36

F (5.2) m 4 mm ln 0.5 mm

C = 1.389261891 × 10 L =

.

F m

7.40 Halle la capacitancia por unidad de longitud de un cable con un conductor interno de radio de 0.75 cm y un blindaje cilíndrico de 2.25 cm de radio si el dieléctrico tiene = 2.7. Resp. 137 pF/m Datos: a = 0.75 cm b = 2.25 cm ϵ = 2.7 C=? =

Del problema 7.9 tenemos que

=

, entonces por unidad de longitud

nosotros tenemos que: =

C = L

10 2π 36

F m

(2.7)

2.25 cm 0.75 cm

ln

C = 1.36535884 × 10 L =

.

F m

7.42 Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se carga conectándolo momentáneamente a una fuente constante de 200 V. Después de removerlo de la fuente se inserta un dieléctrico de espacio. Compare los valores de del dieléctrico.

D=

ϵ V d

, , ,

D=

ϵ ϵV D = d

, ,

=

llenando totalmente el

antes y después de la inserción

Q A

D=ρ D=ϵ ϵ E

Q =Q D =D

ϵ ϵV D = d

1 W = CV² 2 C=

Q V

ϵ ϵ V ϵ ϵ V = d d

C =

ϵ ∗1∗V ϵ ∗2∗V = d d

C =

V = 2V =

=

Q 2V Q V

Q C 2V = Q C V C 1 = C 2

C = 2C

Q =Q D =D ρ =ρ E=

D ϵ ∗ϵ

E =

D ϵ ∗1

E =

D ϵ ∗2

D E ϵ ∗1 = D E ϵ ∗2 E =

1 E 2

W W

W W

1 C V 2

W

=

W

1 = C V 2

=

1 2C V

1 2 2C

1 C V = 2 1 1 2 2C 4 V W W W

=2

=

1 W 2

7.46 Un condensador de placas paralelas tiene espacio vacío como dieléctrico y separación dieléctrico de

Sin perturbar la carga

las placas se acercan, hasta

con un

que llena completamente el espacio entre las placas. Exprese los

cambios que se producen en

y

Datos:

(

)

I i

r