Elemente De Baza In Rezistenta Materialelor

Cornel MARIN

ELEMENTE DE BAZĂ ÎN REZISTENŢA MATERIALELOR ŞI TEORIA ELASTICITĂŢII

1

dr. ing. Cornel MARIN

ELEMENTE DE BAZĂ ÎN REZISTENŢA MATERIALELOR ŞI TEORIA ELASTICITĂŢII

Recenzia ştiinţifică: Prof. dr. ing. Nicolae ILIESCU Conf. dr. ing. Anton Marian HADAR

2

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României MARIN, CORNEL ELEMENTE DE BAZĂ ÎN REZISTENŢA MATERIALELOR ŞI TEORIA ELASTICITĂŢII / Cornel Marin, - Târgovişte : Editura Macarie, 2002

210 p; 25cm - (Universitaria) Bibliogr. ISBN I. -

Tehnoredactare computerizată: Cornel MARIN

2002 - Toate drepturile sunt rezervate autorului

3

CUPRINS PREFAŢĂ CAPITOLUL I – INTRODUCERE 1.1. Obiectul disciplinei Rezistenţa Materialelor 1.2. Problemele Rezistenţei materialelor 1.3. Metode de studiu, modele de calcul şi ipoteze de lucru folosite în Rezistenţa materialelor 1.4. Clasicarea sarcinilor exterioare 1.5. Forţe elementare interioare şi eforturi 1.6. Tensiuni, deformaţii şi deplasări 1.7. Curba caracteristică a materialului 1.8. Coeficienţi de siguranţă şi rezisenţe admisibile CAPITOLUL II – DIAGRAME DE EFORTURI ÎN BARELE DREPTE. RELAŢIILE DIFERENŢIALE ÎNTRE EFORTURI 2.1. Diagrame de eforturi axiale 2.2. Diagrame de eforturi tăietoare şi eforturi încovoietoare 2.3. Diagrame de eforturi torsionale CAPITOLUL III – CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR PLANE 3.1. Definiţii 3.2. Calculul momentelor de inerţie la translaţia axelor. Formulele lui Steiner. 3.3. Variaţia momentelor de inerţie cu rotaţia axelor 3.4. Valori extreme ale momentelor de inerţie axiale 3.5. Cercul momentelor de inerţie 3.6. Caracteristici geometrice ale secţiunilor plane simple 3.7. Caracteristici geometrice ale secţiunilor plane compuse CAPITOLUL IV – ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE 4.1. Definiţii 4.2. Tensiunea la încovoierea pură. Formula lui Navier 4.3. Calcule de rezistenţă ale barelor supuse la încovoiere 4.4. Tensiuni tangenţiale la încovoierea simplă. Formula lui Juravski 4.5. Lunecarea longitudinală a barelor cu secţiune compusă supuse la încovoiere simplă. 4.6. Deformaţiile barelor supuse la încovoiere. Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate. a. Metoda funcţiei de încărcare sau a funcţiei de forţă b. Metoda lui Mohr CAPITOLUL V – GRINZI CONTINUE a. Ecuaţia celor trei momente sau ecuaţia lui Clapeyron. b. Metoda funcţiei de încărcare. 5.1. Grinda continuă pe trei reazeme rigide punctuale situate la acelaşi nivel cu axa barei. 5.2. Grinda continuă pe patru reazeme rigide punctuale situate la acelaşi nivel cu axa barei. 5.3. Grinda continuă încastrată la un capăt şi situată pe un reazem punctual la acelaşi nivel cu axa barei. 5.4. Grinda continuă încastrată la un capăt şi situată pe două reazeme punctuale la acelaşi nivel cu axa barei. 5.5. Grinda continuă încastrată la ambele capete fără reazem intermediar. 5.6. Grinda continuă încastrată la ambele capete şi situată pe un reazem punctual la acelaşi

4 nivel cu axa barei . CAPITOLUL VI – ÎNTINDEREA ŞI COMPRESIUNEA BARELOR DREPTE 6.1. Generalităţi. 6.2. Tensiuni şi deformaţii în bara solicitată la întindere compresiune. 6.3. Deformaţii şi deplasări. 6.4. Energia potenţială de deformaţie la solicitarea de întindere-compresiune 6.5. Probleme static nedeterminate de întintindere şi compresiune CAPITOLUL VII – RĂSUCIREA BARELOR DREPTE DE SECŢIUNE CIRCULARĂ ŞI INELARĂ 7.1. Generalităţi. 7.2. Tensiuni tangenţiale şi deformaţii la răsucire 7.3. Energia potenţială de deformaţie la solicitarea de răsucire 7.4. Calculul arcurilor elicoidale cilindrice CAPITOLUL VIII – STUDIUL DEPLASĂRILOR PRIN METODE ENERGETICE 8.1. Generalităţi. 8.2. Lucrul mecanic al forţelor sau cuplurilor exterioare 8.3. Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti) 8.4. Teorema reciprocităţii deplasărilor (Maxwell) 8.5. Metoda Mohr Maxwell pentru calculul deplasărilor a. Calculul deplasărilor la solicitarea de întindere - compresiune b. Calculul deplasărilor şi rotirilor la solicitarea de încovoiere c. Calculul rotirilor la solicitarea de răsucire 8.6. Metoda lui Vereşceaghin de integrare grafică 8.7. Regula lui Simpson pentru calculul integralelor 8.8. Teorema lui Castigliano CAPITOLUL IX – SISTEME STATIC NEDETERMINATE DIN BARE DREPTE 9.1. Generalităţi 9.2. Metoda eforturilor. Sisteme de bază 9.3. Aplicaţia 1 9.4. Simetrii în sisteme static nedeterminate 9.5. Calculul deplasărilor în sisteme static nedeterminate 9.6. Aplicaţia 2 CAPITOLUL X–FLAMBAJUL DE COMPRESIUNE AXIALĂ A BARELOR DREPTE 10.1 Generalităţi 10.2. Formulel lui Euler pentru calculul forţei critice de flambaj de compresiune al barei drepte 10.3. Limitele de aplicare ale formulei lui Euler. Flambajul elastic şi plastic. 10.4. Calculul la flambaj al barelor drepte. CAPITOLUL XII – SOLICITĂRI SIMPLE ALE BAREI CURBE PLANE CU AXA CIRCULARE 11.1. Relaţii diferenţiale dintre eforturi şi sarcinile exterioare. Diagrame de efortuturi 11.2. Tensiuni în bare curbe plane cu axa circulară 11.3. Calculul deplasărilor pentru bare curbe plane 11.4. Aplicaţie

5

CAPITOLUL XII – SOLICITĂRI DINAMICE 12.1. Generalităţi 12.2. Solicitări dinamice prin forţe de inerţie 12.3. Solicitări dinamice prin şoc CAPITOLUL XIII – ELEMENTE DE TEORIA ELASTICITĂŢII 13.1. STAREA SPAŢIALĂ DE TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII ÎN JURUL UNUI PUNCT DIN INTERIORUL UNUI CORP ELASTIC 13.1.1. Componentele tensorului tensiunilor din jurul unui punct din interiorul corpului elastic 13.1.2. Componentele tensorului deformaţiilor in jurul unui punct din interiorul corpului elastic 13.1.3. Ecuaţiile diferenţiale de echilibru ale tensiunilor. Condiţiile de contur. 13.1.4. Ecuaţiile diferenţiale ale deformaţiilor elastice. Ecuaţiile geometrice (formulele Cauchy) 13.1.5. Condiţiile de continuitate ale deformaţiilor elastice sau ecuaţiile lui Saint Venant. 13.1.6. Legea lui Hooke generalizată (ecuaţiile fizice). 13.1.7. Variaţia tensiunlor din interiorul unui corp. Tensiuni şi direcţii principale. Elipsoidul tensiunilor. Tensiuni octaedrice. Cercurile tensiunilor. 13.1.8. Variaţia deformaţiilor din interiorul unui corp. Deformaţii şi direcţii principale. Relaţia dintre constantele E, G, ν. 13.1.9. Deformaţia volumică specifică (ecuaţia lui Poisson) 13.1.10. Expresia energiei potenţiale de deformaţie totale, de modificare a formei şi de modificare a volumului 13.2. STAREA PLANĂ DE TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII ÎN JURUL UNUI PUNCT DIN INTERIORUL UNUI CORP ELASTIC 13.1.1. Tensiuni şi direcţii principale penru starea plană de tensiuni. Cercul lui Mohr. 13.1.2. Cazuri particulare ale stării plane de tensiuni CAPITOLUL XIV – TEORII DE REZISTENŢĂ 14.1. Generalităţi 14.2. Teoriile clasice de rezistenţă 14.3. Teoria lui Mohr

6

PREFAŢĂ Această lucrare este rezultatul experienţei autorului în activitatea de curs şi seminar la disciplina Rezistenţa materialelor, activitate desfăşurată începând din 1994 cu studenţii Facultăţii de Inginerie Electrică şi Colegiului Universitar Tehnic din cadrul Universităţii “Valahia” Târgovişte. Lucrarea cuprinde 14 capitole fiind structurată într-o formă clasică, cu o parte teoretică de prezentare bine fundamentată şi cu aplicaţii practice specifice, într-o formă accesibilă sper, tuturor studenţilor de la specializările facultăţilor şi colegiilor tehnice , fiind în concordanţă cu Programa analitică a disciplinei Rezistenţei materialelor (partea I). Autorul speră că prezentarea sub această formă a teoriei şi problemelor de Rezistenţa materialelor va fi utilă pentru însuşirea cunpştinţelor de bază de către toţi studenţii interesaţi, precum şi pentru rezolvarea unor aplicaţii practice inginereşti de către ingineri şi specialiştii proiectanţi în domeniul mecanic. De asemenea autorul recomandă folosirea în paralel cu acest curs pentru partea aplicativă a culegerii de probleme apărută anterior în Editura Macarie în anul 2001: REZISTENŢA MATERIALELOR- PROBLEME DE EXAMEN. Acest curs şi culegerea de probleme sunt disponibile şi pe site-ul Universităţii Valahia Târgovişte care poate fi accesat pe adresa: www/intranet/valahia.ro. Autorul mulţumeşte pe acestă cale tuturor studenţilor şi colegilor pentru sugestiile pe care le-au adus pe tot parcursul redactării acestei lucrări (începută din anul 1994). De asemena doresc să îi mulţumesc d-lui prof. dr. ing. Nicolae ILIESCU, şeful Catedrei de Rezistenţa materialelor din cadrul Universităţii POLITEHNICA Bucureşti şi d-lui Conf. dr. ing. Anton HADAR de la aceeaşi Catedră, pentru observaţiile făcute şi răbdarea de care au dat dovadă la parcurgerea manuscrisului. Mulţumesc de asemenea d-lui prof. dr. ing. Mihail ATANASIU care prin bogata sa experienţă de peste 50 de ani în învăţământul superior, a contribuit substanţial la pregătirea mea pentru doctorat (fiindu-mi conducător de doctorat din 1996) şi la formarea mea ca şi cadru didactic. Sugestiile şi remarcile D-sale în ceea ce prveşte calitatea actului de învăţământ şi rigoarea ştiinţifică a oricărui curs sau articol publicat, au contribuit deplin la apariţia sub această formă a prezentei lucrări. De asemenea doresc să mulţumesc călduros sponsorilor care au contribuit la apariţia acestei prime ediţii şi pe care îi asigur de recunoştinţa beneficiarilor acestei lucrări. Târgovişte

Autorul

7

CAPITOLUL I INTRODUCERE

1.1. Obiectul disciplinei Rezistenţa materialelor Mecanica este disciplina tehnică generală care s-a impus ca ramură a stiinţei odată cu enunţarea celor trei principii de către Isaac Newton, principii care definesc echilibrul respectiv mişcarea corpurilor sub acţiunea forţelor exterioare exercitate asupra lor. Mecanica clasică este o ramură a mecanicii ce studiază echilibrul respectiv mişcarea sistemelor mecanice macroscopice (sisteme discrete rigide sau deformabile de puncte materiale şi sisteme continue rigide - continuum material) pentru care mişcarea se efectuează cu viteze neglijabile în raport cu viteza luminii. Mecanica fluidelor este o ramură a mecanicii care studiază echilibrul respectiv mişcarea sistemelor materiale continue deformabile de tipul fluidelor - incompresibile (hidrostatica şi hidrodinamica) sau de tipul gazelor - compresibile (aerostatica şi aerorodinamica). Mecanica cerească este o ramură a astronomiei care studiază mişcarea corpurilor cereşti sub acţiunea forţei de atracţie universală. Mecanica relativistă studiază mişcarea sistemelor de particule elementare din structura materiei care se efectuează cu viteze comparative cu viteza luminii şi redefineşte noţiunile de spaţiu, timp şi masă (care formează o unitate indisolubilă şi sunt interdependente): spaţiul nu mai este omogen şi izotrop, timpul nu mai este omogen, masa este variabilă, depinzând de viteza cu care se mişcă particula. Mecanica cuantică studiază mişcarea particulelor elementare din structura materiei (electroni, mezoni, nucleoni) ţinând seama atât de proprietăţile lor materiale cât şi de cele de undă. Începând cu revoluţia tehnică din secolul XIX din Mecanica clasică s-au desprins diferite ramuri tehnice cu preocupări de sine stătătoare şi cu un pronunţat caracter aplicativ, aceste discipline fiind cunoscute sub denumirea generală de Mecanică tehnică: 1. Statica construcţiilor este disciplina care se ocupă cu studiul echilibrului elementelor de construcţii civile static determinate şi mai ales studiul sistemelor static nedeterminate situate pe medii rigide sau elastice; 2. Rezistenţa materialelor este o disciplină tehnică generală care se ocupă cu studiul echilibrului elastic al tensiunilor din interiorul unui corp solicitat de un sistem de sarcini exterioare şi se bazează pe ipoteza corpului deformabil care ţine seama de proprietăţile reale de elasticitate sau plasticitate ale corpurilor.

8

Din această disciplină s-au desprins apoi noi ramuri cum sunt: 3. Teoria elasticităţii şi Teoria plasticităţii ce studiază starea generală de tensiuni şi deformaţii care se produce în interiorul unui corp datorită acţiunii unui sistem de sarcini exterioare sau a unor câmpuri termice, care se bazează pe ipoteza comportării liniar elastice respectiv neliniar plastică a materialului; 4. Teoria stabilităţii elastice studiază echilibrul la limită al corpurilor elastice supuse anumitor sarcini exterioare, condiţiile în care aceste corpuri îşi pierd echilibrul elastic stabil care caracterizează în general starea de tensiuni din interiorul lor; 5. Încercările mecanice experimentale este o disciplină complementară Rezistenţei materialelor, care se ocupă cu determinarea experimentală a caracteristicilor fizico-mecanice ale materialelor precum şi cu studiul experimental al stării de tensiuni şi deformaţii în diferite elemente de construcţii; 6. Experimentul numeric este o disciplină apărută recent în practica inginerească care care se ocupă cu determinarea experimental-numerică a stării de tensiuni şi deformaţii pe un model virtual, utilizând programe de analiză cu elemente finite sau programe de analiză cu elemente de frontieră, valori validate de rezultatele analitice sau experimentale cunoscute (pachetul de analiză cu elemente finite ANSIS 5.7 este validat de cca. 7000 de rezultate analitice sau experimentale). Experimentul numeric s-a dezvoltat independent pe baza următoarelor metode : a. Metoda diferenţelor finite care utilizează un model matematic diferenţial al fenomenului care este transpus într-o formă compatibilă cu modul de operare al calculatorului; această metodă se bazează pe aproximarea locală punctiformă a variabilei de câmp, precum şi a derivartelor ei cu ajutorul unei reţele rectangulare din domeniul studiat. b. Metoda elementelor finite utilizează un model matematic integral al fenomenului studiat, model care se obţine cu ajutorul metodelor variaţionale. Spre deosebire de metoda diferenţelor finite, se aproximează variabila de câmp cu ajutorul unor funcţii de aproximare pe subdomenii elementare ale domeniului studiat numite elemente finite. De exemplu teorema de staţionaritate a energiei potenţiale elastice a unui corp este o astfel de formă variaţională (integrală) utilizeazată în studiul stării de tensiuni şi deformaţii într-un corp elastic. c. Metoda elementelor de frontieră utilizează de asemenea un model matematic integral al fenomenului studiat. Această metodă a apărut ca o alternativă a metodei elementelor finite în cazul unor probleme de frontieră cum ar fi de exemplu: probleme cu gradienţi foarte mari pe frontiera domeniului, cu domenii infinite, cu discontinuităţi şi concentratori de tensiuni, etc. De exemplu teorema reciprocităţii lucrului mecanic (BETTI) este o formă variaţională (integrală) pe frontiera domeniului.. Alte discipline din Mecanica tehnică sunt: Teoria profilelor cu pereţi subţiri, Teoria plăcilor plane şi curbe, Metoda stărilor limită, Fotoelasticitatea, Tensometria, Stabilitatea echilibrului elastic al plăcilor, Similitudinea sistemelor elastice, Fluajul.

9

1.2. Problemele Rezistenţei materialelor În general în problemele de Rezistenţa materialelor se determină sau verifică valorile anumitor mărimi în funcţie de altele pe baza unor relaţii matematice specifice. Aceste mărimi pot fi grupate în trei clase: 1. mărimi ce caracterizează geometria piesei (forma şi dimensiunile piesei sau forma şi mărimea diferitelor secţiuni); 2. mărimi ce caracterizează configuraţia şi intensitatea sarcinilor exterioare (tipul, valoarea şi modul de aplicare a sarcinilor exterioare); 3. mărimi ce caracterizează proprietăţile fizico-mecanice ale materialului (limita de elasicitate, de curgere, rezistenţa la rupere, etc.) şi siguranţa în funcţionare a piesei (coeficienul de siguranţă, rezistenţa admisibilă, etc). În funcţie de mărimile necunoscute, problemele Rezistenţei materialelor pot fi în general de trei categorii: 1. Probleme de dimensionare atunci când se cunosc sarcinile din exploatare, caracteristicile fizico-mecanice ale materialului, elemente legate de siguranţa în funcţionare impusă piesei şi se doreşte proiectarea formei optime, determinarea dimensiunilor piesei pentru ca acestea să îndeplinească: (a) condiţiile de rezistenţă, rigiditate şi stabilitate impuse piesei în timpul funcţionării în ansamblul din care fac parte; (b) condiţiile de economicitate (costuri minime legate de de material); (c) condiţiile de rentabilitate (costuri minime legate de tehnologia de fabricaţie); 2. Probleme de verificare atunci când se cunosc forma şi dimensiunile piesei, configuraţia şi mărimea sarcinilor, caracteristicile mecanice ale materialului şi se doreşte să se verifice dacă sunt respectate condiţiile de rezistenţă, rigiditate sau stabilitate pentru un anumit coeficient de siguranţă impus; 3. Probleme de calcul a sarcinii capabile când se cunosc forma şi dimensiunile piesei, configuraţia de încărcare, caracteristicile mecanice ale materialului şi se determină sarcina capabilă (sarcina maximă) ce o poate suporta piesa pentru un anumit coeficient de siguranţă impus piesei.

1.3. Metode de studiu, modele de calcul şi ipoteze de lucru folosite în Rezistenţa materialelor Metodele de studiu clasice şi moderne utilizate pentru rezolvarea aplicaţiilor tehnice de Rezistenţa materialelor sunt: 1. Metode teoretice bazate pe construcţii logice, algoritmi de calcul sau programe speciale care utilizează un anumit aparat matematic care furnizează rezultate teoretice acceptabile pentru un calcul ingineresc;

10

2. Metode experimentale pe modelul real sau pe o machetă, având ca scop verificarea rezultatelor obţinute folosind metodele teoretice, în scopul validării algoritmilor de calcul sau programelor de calcul folosite. 3. Metode experimental-numerice pe modelul virtual se bazează pe simularea fenomenului fizic pe un model analitic, creat pa baza modelului matematic ce caracterizează fenomenul (ecuaţiile diferenţiale, condiţiile la limita domeniului şi condiţii iniţiale în cazul fenomenelor ce se desfăşoară în timp). Calculul ingineresc s-a dezvoltat în mod sistematic pe baza experimentului pe modelul real, care a fost absolut necesar pentru confirmarea ipotezelor de lucru şi a modelului de calcul adoptat. Limitele experimentului pe modelul real s-au restrâns tot mai mult odată cu dezvoltarea sistemelor tehnologice, a imposibilităţii reproducerii la scară de laborator a unor instalaţii şi procese noi care au apărut. Aceste schimbări au condus la apariţia experimentului numeric. Dezvoltarea foarte rapidă a tehnicii hardware (în special apariţia calculatorului personal şi a staţiilor grafice) şi software (apariţia programelor profesionale de analiză şi simulare) a dus la dezvoltarea într-un ritm extraordinar a experimentului numeric. Modelul matematic ce caracterizează un fenomen necesită transcrierea lui sub o formă compatibilă cu modul de operare al calculatorului, acest lucru realizându-se cu ajutorul programe specializate cu elemente finite având la bază un aparat matematic riguros. La rezolvarea unei probleme de Rezistenţa materialelor o influenţă hotărâtoare asupra rezultatului îl are precizia calculului numeric, întrucât rezultatele obţinute trebuie să fie cât mai apropiate de cele reale (determinate experimental), în Rezistenţa Materialelor se admit erori de calcul în limitele de ± 2 ,5% . Modelul de calcul folosit în calculele analitice din Rezistenţa materialelor este o reprezentare simplificată (schematizată) a piesei şi configuraţiei de încărcare cu sarcini exterioare conţinând informaţiile esenţiale care definesc: geometria corpului, modul de constrângere (legăturile cu mediul fix şi legăturile cu celelalte elemente ale ansamblului din care facre parte) şi configuraţia de încărcare. Modelul de calcul utilizează diferite ipoteze simplificatoare care scot în evidenţă şi reţin aspectele esenţiale ale geometriei corpului, legăturilor şi configuraţiei de încărcare. După mărimea relativă a dimensiunilor principale ale geometriei corpului, se folosesc trei tipuri de modele : 1. Modelul de tip bară (fig. 1.1.a) se utilizează atunci când una dintre dimensiunile corpului este mult mai mare în raport cu celelalte două. Elementele specifice ale acestui tip de model sunt: (a) axa longitudinală a barei şi (b) secţiunea normală (pe axa longitudinală); în funcţie de forma axei longitudinale se deosebesc: bare drepte, curbe, cotite. Exemple de piese ce utilizează modelul de tip bară: axul de piston, biela, tija unei supape, şina de cale ferată, bara de filetare a strungului, axul cu came al unui motor, arcul elicoidal, arborele unui reductor, arborele cotit al unui motor, etc. Un caz particular al modelului de tip bară este firul flexibil care preia numai forţe de întindere.

11

a.

b.

c.

Fig.1.1

2. Modelul de tip placă (fig. 1.1.b) se utilizează atunci când una dintre dimensiunile corpului este mult mai mică în raport cu celelalte două; elementele specifice principale ale acestui tip de model sunt: (a) suprafaţa mediană a plăcii (forma şi mărime) şi (b) grosimea plăcii. În funcţie de forma suprafaţei mediane se deosebesc: plăci plane (circulare, dreptunghiulare, etc.), plăci curbe (de revoluţie, riglate, etc.). În funcţie de grosime: plăci subţiri, plăci groase, plăci de grosime neuniformă, etc. Plăcile foarte subţiri se mai numesc membrane şi suportă numai eforturi de întindere. Exemple: discul unei supape, planşaiba unui strung, capul unui piston, o foaie de geam, planşeul unei camere, capacul unui rezervor, cilindrul unui motor, rezervoarele cilindrice, sferice, conice , etc. 3. Modelul de tip bloc regulat (fig. 1.1.c) se utilizează atunci când cele trei dimensiuni ale corpului sunt cam de acelaşi ordin de mărime; se pot modela piese având o formă geometrică simplă: sferă, cilindru, con, prismă, cub, etc. Exemple: bile şi role de rulmenţi, matriţe simple, roţi dinţate, arbori scurţi, batiuri de maşini, fundaţii, blocuri de beton, etc. Rezolvarea clasică a multor aplicaţii tehnice se bazează deci pe creerea unor modele de lucru şi introducerea unor ipoteze simplificatoare de calcul, ipoteze rezonabile care simplifică modelul real şi ilustrează cât mai fidel comportarea globală a sistemului real. În Rezistenţa materialelor se utilizează în mod curent următoarele ipoteze simplificatoare numite şi ipoteze de bază ale Rezistenţei materialelor: 1. ipoteza mediului continuu, omogen şi izotrop; 2. ipoteza deformaţiilor mici în raport cu dimensiunile corpului supus acţiunii unor sarcini exterioare; 3. ipoteza secţiunii plane a unei bare supusă la încovoiere (ipoteza lui BERNOULLI) şi a liniei drepte perpendiculare la suprafaţa mediană a plăcii supuse la încovoiere (ipoteza lui KIRKHHOFF); 4. ipoteza privind ponderile relative ale tensiunilor sau a unor tipuri de solicitări într-un corp supus acţiunii unor sarcini exterioare: unele dintre tensiuni pot fi neglijate în raport cu altele (de exemplu într-o bară dreaptă tensiunile tangenţiale produse de eforturile tăietoare se neglijează în raport cu cele normale produse de

12

eforturile încovoietoare, sau într-o bară curbă tensiunile normale produse de eforturile axiale se neglijează în raport cu cele normale produse de momentele încovoietoare; într-o placă tensiunile normale după o direcţie perpendiculară la suprafaţa plăcii se neglijează în raport cu cele radiale sau circumferenţiale, etc.) 5. ipoteza privind legea distribuţiei tensiunilor într-o secţiune oarecare a unei bare: ! distribuţia uniformă a tensiunilor normale pe suprafaţa transversală în cazul unei bare solicitată la eforturi axiale, ! distribuţia liniară a tensiunilor în cazul unei bare solicitată la încovoiere pură (NAVIER), ! distribuţia liniară a tensiunilor tangenţiale în cazul unei bare de secţiune circulară solicitată la răsucire, ! distribuţia uniformă a tensiunilor tangenţiale într-o secţiune longitudinală în cazul unei bare solicitată la încovoiere simplă (JURAVSKI); 6. ipoteza privind valabilitatea legii lui HOOKE sau a unei relaţii liniare dintre tensiuni şi deformaţii (în cazul solicitărilor în domeniul elasto-plastic a unor materiale cum ar fi cele elasto-plastice, rigido-plastice, ideal elsto-plastice, ideal plastice, etc. se folosesc anumite legi dintre tensiuni şi deformaţii). 7. principiul suprapunerii efectelor sau principiul independenţei acţiunii forţelor, care se bazează pe ipoteza privind valabilitatea legii lui HOOKE; 8. ipoteza lui SAINT VENANT privind efectul unei sarcini distribuite pe o suprafaţă care este acelaşi cu efectul unei sarcini concentrate echivalente, într-o zonă a corpului îndepărtată de zona de acţiune a sarcinii distribuite;

1.4. Clasificarea sarcinilor exterioare În timpul funcţionării, orice piesă de maşină sau element de construcţie este supus unor sarcini exterioare, care în funcţie de efectul pe care îl produc asupra lui pot fi de următoarele două tipuri: forţe sau cupluri de forţe. Sarcinile exterioare reprezintă măsura acţiunilor altor corpuri sau câmpuri exterioare asupra piesei studiate. Clasificarea sarcinilor exterioare se face după următoarele criterii: 1. după modul de aplicare: sarcini active (aplicate direct) şi sarcini pasive (aplicate indirect) prin intermediul elementelor de legătură, numite şi forţe de legăură sau reacţiuni; 2. după modul de distribuţie: sarcini concentrate, sarcini distribuite pe o zonă sau pe o suprafaţă a corpului, sarcini volumice distribuite în toată masa corpului (de exemplu greutatea, forţa electromagnetică); 3. după cauza producerii: sarcini datorate interacţiunii mecanice (de contact mecanic) şi sarcini datorate unor câmpuri exterioare (gravitaţionale, electrice, electromagnetice, etc.); 4. după variaţia în timp a poziţiei şi direcţiei lor: sarcini fixe şi sarcini mobile; 5. după variaţia în timp a intensităţii lor: sarcini statice şi sarcini dinamice;

13

6. după efectul produs în piesa solicitată: forţe (care produc solicitări de întidere, compresiune şi forfecare) şi cupluri de forţe (care produc solicitări de încovoiere şi de răsucire); 7. după natura lor: sarcini fundamentale (sarcini permanente, utile, suplimentare controlate) şi sarcini accidentale sau întâmplătoare (necontrolate).

1.5. Forţe elementare interioare şi eforturi Sub acţiunea sarcinilor exterioare iau naştere în interiorul piesei forţele elemetare interioare respectiv tensiunile (definite ca raportul dntre forţele elementare şi aria elementară corespunzătoare) caracterizate printr-o anumită distribuţie care depinde de mai mulţi factori cum ar fi: mărimea şi modul de aplicare a sarcinilor exterioare, geometria corpului, direcţia de măsurare, proprietăţile mecanice ale materialului, etc. Determinarea distribuţiei şi valorilor extreme ale tensiunilor în interiorul unui corp este una dintre problemele cele mai importante ale Rezistenţei materialelor. După stabilirea zonelor în care se produc şi valorilor acestor tensiuni, pe baza unei Teorii de rezistenţă se determină tensiunea echivalentă şi se determină coeficientul de siguranţă în raport cu tensiunea admisibilă a materialului. Forţele interioare sau eforturile din secţiunea unei bare se pot pune în evidenţă cu ajutorul metodei secţiunilor (Ritter) de la calculul grinzilor cu zăbrele. Secţionând cu un plan imaginar o grindă cu zăbrele se introduc în secţiunile barelor respective forţele interioare sau eforturile N, care împreună cu forţele exterioare direct aplicate Fi şi cu forţele de legătură H,V, N corespunzătoare fiecărei părţi trebuie să se afle în echilibru (vezi fig1.2). 12

F1

α

Forţe direct aplicate 10

8

11

H

9

Forţe de V legătură

F3

N68 N86 Forţe interioare (eforturi) N 78 N87 N97

6

5

3

Forţe direct F 4 aplicate 1

N79

2 N Forţe de legătură

F2 4

7

Fig. 1.2

P

x x y

C M y

z Fig.1.3

M

dF dA

z Fig 1.4

C y z

14

Se consideră o bară dreaptă având axa longitudinală Ox (fig.1.3) încărcată cu un sistem de sarcini exterioare (direct aplicate şi de legătură) care se secţionează cu un plan imaginar P transversal şi perpendicular pe axă, obţinându-se două părţi. Pentru a se păstra echilibrul celor două părţi este necesar să se introducă pe fiecare faţă a secţiunii forţele elementare interioare (care sunt de fapt forţele interatomice ale reţelei cristaline secţionate de planul imaginar) egale şi opuse pe cele două feţe ale secţiunii, conform principiului acţiunii şi reacţiunii din Mecanica clasică (fig.1.4). Dacă în jurul unui punct M se consideră o arie elementară dA (elementul de arie dA poate fi o faţă a unui element de volum dV) atunci raportul dintre forţa elementară interioară dF şi aria elementară dA se numeşte tensiune: p=

dF dA

(1.1)

Dacă se reduc aceste forţe elementare dF care acţionează pe toată suprafaţa în centrul de greutate al secţiunii barei considerate se obţine: ! pentru faţa din stânga a secţiunii (faţa pozitivă) un torsor (τint) format din rezultanta ( R int ) şi cuplul rezultant ( M int ) ; ! pentru faţa din dreapta a secţiunii (faţa negativă) un torsor (-τint) format din rezultanta (- R int ) şi un cuplu rezultant (- M int ) (fig.1.5). Fi stg Faţa pozitivă M

ext stg

Fi dr

Faţa negativă

x

− M int C

ext Rstg y

R M int

z

Rdrext

int

− R int

C

M drext

x

Fig 1.5

y

z

Reducând şi sarcinile exterioare în acelaşi punct C, se obţine: ! pentru partea din stânga torsorul forţelor exterioare ( τ ext ) format din rezultanta stg Rstgext şi cuplul rezultant M stgext ;

! pentru partea din dreapta torsorul forţelor exterioare ( τ ext dr ) format din rezultanta Rdrext şi cuplul rezultant M drext (fig.1.5). Ecuaţiile de echilibru al forţelor pentru fiecare dintre cele două părţi se scriu: int a. pentru partea din stânga: τ int + τ ext = τ ext stg = 0 ⇒ − τ stg

sau : Rstgext + R int = 0;

M stgext + M int = 0;

(1.2)

15

− R int = Rstgext ;

− M int = M stgext ;

int b. pentru partea din dreapta: − τ int + τ ext = τ ext dr = 0 ⇒ τ dr

sau

Rdrext − R int = 0; R int = Rdrext ;

M drext − M int = 0;

(1.3)

M int = M drext

Concluzii: • elementele torsorului forţelor interioare corespunzătoare feţei din dreapta (-τint) sunt egale cu elementele torsorului forţelor exterioare ce acţionează asupra părţii din stânga ( τ ext ); stg • elementele torsorului forţelor interioare corespunzătoare feţei din stânga (τint) sunt egale cu elementele torsorului forţelor exterioare ce acţionează asupra părţii din dreapta ( τ ext dr ); Dacă se descompun elementele torsorului forţelor interioare de pe faţa din stânga (sau de pe faţa din dreapta) după cele trei direcţii ale triedrului triortogonal drept Cxyz (fig. 1.6) se obţin şase componente notate cu: Nx, Ty, Tz, Mtx, Miy, Miz numite eforturi secţionale (legate de secţiunea barei). Pentru elementele torsorului forţelor interioare sunt valabile următoarele relaţii vectoriale: R int = N x + T y + T z

(1.5)

M int = M iy + M iz + M tx

(1.6)

C Nx

Ty y

Tz

Miy x

R

int

C Mt

y

Miz

x

M int z

(a)

Fig. 1.6

(b)

z

În funcţie de efectul pe care îl produc în bara dreaptă, eforturile secţionale au următoarele denumiri: • Nx eforturi axiale , produc solicitarea de întindere sau compresiune; • Ty , Tz eforturi tăietoare , produc solicitarea de forfecare; • Miy , Miz eforturi încovoietoare , produc solicitarea de încovoiere; • Mtx eforturi de răsucire , produc solicitarea de răsucire sau torsiune.

16

Variaţia eforturilor pe lungimea barei se reprezintă grafic sub forma diagramelor de eforturi, pentru trasarea cărora se ţine seama de următoarele convenţii de semne (conform fig.1.7): • eforturile de pe faţa din stânga secţiunii (faţa pozitivă) sunt pozitive dacă au acelaşi sens cu axa respectivă şi negative dacă dacă au sens invers; • eforturile de pe faţa din dreapta secţiunii (faţa negativă) sunt pozitive dacă au sens invers axei respective şi negative dacă au acelaşi sens; • un efort axial Nx pozitiv într-o secţiune produce solicitarea de întindere iar un efort axial negativ produce solicitarea de compresiune; • eforturile Miy şi Miz pozitive produc alungirea fibrei inferioare, respectiv comprimarea fibrei superioare dacă privim în sens invers axelor Oy respectiv Oz; • efortul Tz este pozitiv dacă produce rotirea în sens orar a celor două secţiuni privind în sens invers axei Oy iar efortul Ty este pozitiv dacă produce rotirea în sens antiorar a celor două secţiuni privind în sens invers axei Oz ; faţa pozitivă Mtx y

Tz

faţa negativă

Ty

Miy Nx

Miy

Miz

Tz

Mtx

Nx x

Ty

Miz

x y

z a. Fig 1.7

b.

z

Pentru un sistem de forţe coplanare (din planul xOz , fig. 1.8) regula semnelor de mai sus aplicată eforturilor N, Miz şi Tz pe cele două feţe ale secţiunii barei (care corespund selor două sensuri de parcurgere) este prezentată în fig. 1.8; faţa pozitivă

faţa negativă

Miy

Miy Nx

Nx

x Tz z

Tz Regula corespunde ensului de parcurgere de la dreapta- stânga z

Regula corespunde ensului de parcurgere de la stânga-dreapta Fig 1.8

x

17

1.6. Tensiuni, deformaţii şi deplasări Secţionând o piesă cu un plan imaginar, asupra ariei elementare ∆A din vecinătatea punctului M, va acţiona forţa interioară elementară ∆F (fig.1.9). Se defineşte tensiunea ca valoarea la limită a raportului dintre forţa interioară elementară ∆F şi aria elementară ∆A :

ui

M ∆A

p

σi τji

uj

τi

τki

∆F d F = ∆A→ 0 ∆A dA

p = lim

(1.7)

Mărimea tensiunii depinde atât de mărimea şi direcţia forţei dF cât şi de orientarea normalei suprafaţei considerate dA (fig.1.9), deci tensiunea p este o mărime tensorială .

vi

uk Fig. 1.9

Tensiunea p se descompune în: ! componenta σ după normala ui la suprafaţa elementară dA numită tensiune normală ; ! componenta τi după o direcţie vi cuprinsă în planul suprafeţei elementare dA, numită tensiune tangenţială. Această componentă se descompune la rândul ei după cele două direcţii uj şi uk din planul secţiunii obţinându-se tensiunile τji respectiv τki (primul indice indică direcţia, al doilea indică normala la suprafaţă). Între aceste componente se poate scrie relaţia vectorială: p = σ i + τ i = σi + τ ji + τ ki

(1.8)

şi relaţia scalară: p 2 = σ i + τ i = σ i + τ ji + τ ki 2

2

2

2

2

(1.9)

Unitatea de măsură în Sistemul Internaţional pentru tensiuni ( σ ,τ ) este N N 1N Pascalul: 1Pa= 2 şi multiplul ei 1MPa=106 2 = 1 m mm 2 m σz

O τxz τzx y

σx

τyz

τzy

τzx

x

τxy

σy

τyx

σx

σy τxy τzy τxz z

τyz

τzx σz

Fig. 1.10

Dacă se consideră trei plane perpendiculare ale unui sistem triortogonal drept Oxyz de versori i, j şi k , matricea celor nouă tensiuni normale şi tangenţiale definite în raport cu aceste plane, se numeşte tensorul tensiunilor şi defineşte complet starea de tensiuni în jurul punctului considerat: σ x  Tσ = τ yx  τ zx

τ xy σy τ zy

τ xz   τ yz  σ z 

(1.10)

18

Sub acţiunea sarcinilor exterioare corpurile se deformează, adică îşi schimbă forma şi dimensiunile iniţiale. Deformaţiile sunt de două feluri: liniare şi unghiulare. Pentru a pune în evidenţă deformaţiile liniare se consideră o piesă cilindrică de lungime L0 şi diametru d0, solicitată la întindere de o forţă axială F (fig. 1.11.a). Bara suferă o deformaţie liniară longitudinală numită lungire longitudinală ( ∆ L=L1 -L0) şi o deformaţie liniară transversală ( ∆ d0=d1 - d0) numită contracţie transversală. Pentru deformaţiile liniare se utilizează însă următoarele mărimi adimensionale: ∆L ! deformaţia specifică longitudinală sau alungirea: ε l = (1.10) L0 ∆d εt = (1.11) ! deformaţia specifică transversală : d0 Între cele două mărimi există relaţia de legătură: ε t = −ν ⋅ ε l

(1.12)

unde ν este coeficientul contracţiei transversale (sau coeficientul lui Poisson). d0

F

Mt

d0-∆d dV

F

L0 L0+∆L

dV Mt

a.

Fig. 1.11

b.

γ

Pentru a pune în evidenţă deformaţiile unghiulare se consideră o piesă cilindrică de diametru d solicitată solicitată la răsucire de un moment Mtx (fig. 1.11.b) Dacă se studiază deformaţia un element paralelipipedic drept din vecinătatea conturului (dV) se observă că suferă deformaţii unghiulare: unghiurile iniţiale de π/2 între muchiile concurente în punctul M se modifică cu valoarea γ (în radiani) care se numeşte deformaţie unghiulară specifică sau lunecare specifică ( γ > 0 dacă unghiul scade). În cazul general, starea de deformaţii din jurul unui punct M, raportată la un sistem de axe triortogonal drept Mxyz (fig. 1.12) se exprimă în funcţie de lungirile specifice: εx, εy, εz corespunzătoare celor trei direcţii şi lunecările specifice: γxy, γyz, γzx, corespunzătoare fiecărui plan, care sunt elementele unei matrici simetrice Tε, numită tensorul deformaţiilor specifice:   εx 1 Tε =  γ yx 2 1 γ  2 zx

1 γ xy 2 εy 1 γ zy 2

1  γ xz 2  1  γ yz  2  εz  

(1.13)

19 dy(1+εy)

π/2-γxy

u

y

v dy

w

x

dx

Deplasarea reprezintă drumul parcurs de un punct M în raport cu un sistem de referinţă fix Mx y z, şi se x exprimă prin deplasările u, v, w, după direcţia axelor Mx, My, respectiv Mz (fig. 1. 12).

dx(1+εx)

y

M π/2-γyz π/2-γzx

M dz

dz(1+εz)

z

z

În aceeaşi figură sunt reprezentate şi semnificaţiile deformaţiilor specifice: εx, εy, εz şi lunecărilor specifice: γxy, γyz, γzx.

Fig. 1.12

1.7. Curba caracteristica a materialului Încercarea la tracţiune conform STAS SR EN 10002-1/1995 (înlocuieşte STAS 200-85) se face în scopul determinării următoarelor caracteristici mecanice -alungirea procentuală la rupere (A) -limita de curgere convenţională (Rp) -limita de extensie convenţională (Rt) -limita de curgere remanentă (Rr) Încercarea la tracţiune constă în aplicarea progresivă a unei forţe de întindere F pe direcţie longitudinală asupra unei piese cilindrice de o anumită formă numită epruvetă până la ruperea ei. Deformaţiile longitudinale ∆L ale piesei se înregistrează grafic pe o diagramă în funcţie de forţa de tracţiune F obţinânduse o diagramă ca în fig.13.a pentru materiale liniare (oţeluri carbon, aliate, etc.), sau ca în fig. 13.b. pentru materiale neliniare (bronzuri, alame, aliaje neferoase, etc.) . F F

C

C

A

D B

FeH

D

B A

Fmax

Fu Ft

FeL

Lungirea la rupere

∆L

Fmax

Fu

Fp

0,2%L0 0,5%L0

Lungirea la rupere

∆L

Fig. 1.13 b. a. Semnificaţia notaţiilor de pe curbele din fig. 13, conform STAS SR EN 100021/1995 este următoarea:

20

! FeH forţa de tracţiune în momentul când se înregistrează prima scădere a sarcinii ; ! FeL forţa de tracţiune cea mai mică înregistrată în timpul curgerii plastice a materialului epruvetei; ! Fmax forţa de tracţiune maximă înregistrată; ! Fu forţa de tracţiune din momentul ruperii epruvetei (ultima valoare înregistrată înainte de rupere); ! Ft forţa de tracţiune înregistrată, corespunzătoare unei valori prescrise a lungirii totale (∆L= 0,5 L0); ! FP forţa de tracţiune înregistrată, corespunzătoare unei valori a alungirii prescrise ε= 0,2% (neproporţionale sau remanente). Pe baza acestor diagrame se poate reprezenta grafic variaţia deformaţiilor longitudinale specifice în funcţie tensiuni obţinându-se o reprezentare σ = f(ε) numită curba caracteristică a materialului (fig.1.14). D

σ

S C E P

Rm

Rr

σr0.01

σp

O

Fig. 1.14

ε=r %

alungirea la rupere An

ε%

Conform STAS SR EN 10002-1/1995, pe curba caracteristică (fig. 1.14) se deosebesc următoarele puncte ce corespund unor caracteristici importante ale materialului 1. Punctul P corespunde limitei de proporţionalitate σP care este valoarea maximă a tensiunii atinsă în material pentru care mai este valabilă legea lui Hooke: σ = E ⋅ ε (unde E este modulul de elasticitate sau modulul lui Young). Limita de proporţionalitate convenţională se determină din condiţia ca abaterea modulului de elasticitate EP (corespunzătoare punctului P) faţă de valoarea E0 determinată pentru prima porţiune a curbei caracteristice să nu depăsească 10%: E − Ep × 100% < 10%. e= 0 E0 Valoarea tensiunii corespunzătoare punctului P de pe curba caracteristică care îndeplineşte această condiţie se numeşte limita de proporţionalitate convenţională şi se notează σp10.

21

2. Punctul E corespunde limitei de elasticitate σe sau valoarea tensiunii atinsă în material până la care comportarea materialului este perfect elastică (după anularea forţei de întindere epruveta revine exact la forma iniţială). Experienţele au arătat că nu există materiale perfect elastice şi epruveta suferă o deformaţie remanentă. Se defineşte limita de elasticitate tehnică σe0,01 corespunzătoare unei valori convenţionale maxime a deformaţiei specifice remanente εr = 0,01% . 3. Punctul C corespunde limitei de curgere aparentă Rc sau valoarea tensiunii din epruvetă pentru care lungirea epruvetei creşte când sarcina F rămâne practic constantă. După atingerea limitei de curgere aparentă Rc , curba caracteristică are un traseu orizontal, uneori sinuos, numit palier de curgere. La unele materiale, palierul de curgere nu există, ceea ce face ca limita de curgere aparentă să nu poată fi stabilită. Se defineşte limita de curgere remanentă Rr0,2 ca valoarea tensiunii pentru care la descărcarea epruvetei se produce o alungire remanentă εr = 0,2% ; 4. Punctul D corespunde rezistenţei la rupere Rm sau valoarea tensiunii din epruvetă corespunzătoare valorii maxime a sarcinii şi se determină cu relaţia: Rm = Fmax / S 0 unde: Fmax - este forţa maximă înregistrată în timpul încercării; S0 - aria secţiunii iniţiale a epruvetei. 5. Punctul S corespunde producerii ruperii pentru care se definesc: ! Alungirea la rupere An este dată de raportul procentual dintre creşterea lungimii epruvetei (măsurată după rupere) şi lungimea iniţială. Alungirea la rupere se notează cu An şi se calculează deci cu relaţia: An = unde

Lu − L0 ⋅100[% ] L0

Lo este lungimea iniţială a epruvetei, Lu - lungimea ultimă dintre repere, măsurată după rupere.

Indicele n este un factor dimensoinal pentru epruvete de secţiune circulară este: n = L0 / d 0 , unde d0 este diametrul secţiunii iniţiale a epruvetei. Determinarea alungirii la rupere se face în general, pe epruvete având n = 5 sau n = 10. ! Gâtuirea la rupere Z este dată de raportul procentual între variaţia ariei secţiunii transversale a epruvetei ∆S=So- Su şi aria suprafaţei secţiunii iniţiale şi se calculează cu relaţia: Z=

So − Su ⋅ 100[% ] So

unde Su este aria secţiunii transversale minime a epruvetei după încercare S0 este aria secţiunii iniţiale a epruvetei

22

1.7. Coeficienţi de siguranţă şi rezistenţe admisibile Pentru funcţionarea corespunzătoare a unei piese în ansamblul din care face parte se impun în general una sau mai multe din următoarele condiţii : a) condiţii de rezistenţă: piesa corespunde rolului funcţional din punct de vedere al rezistenţei atunci când tensiunea echivalentă maximă nu depăşeşte o anumită valoare stabilită convenţional numită tensiune admisibilă (σa): σech < σa Se cunosc cinci teorii clasice de rezistenţă şi o teorie modernă pentru calculul tensiunii echivalente (vezi capitolul XV). Tensiunea admisibilă σa se determină în funcţie de una dintre caracteristicile mecanice ale materialului (limita de curgere, rezistenţa de rupere, etc) cu ajutorul relaţiei : σa =

σ c ,r cc ,r

cc este coeficientul de siguranţă faţă de limita de curgere pentru materiale tenace; cr - coeficientul de siguranţă faţă de limita de rupere pentru materiale fragile. Coeficientul de siguranţă c (cc,cr) ţine seama de tipul materialului, de tehnologia de obţinere a semifabricatului, tratamentele termice aplicate, de durata de utilizare, de tipul sarcinilor aplicate, de regimul de funcţionare, de modelul de calcul ales, de condiţiile de lucru (temperatura, agentul de lucru, etc). b) Condiţii de rigiditate: piesa corespunde rolului funcţional din punct de vedere al deformaţiilor produse sub acţiunea sarcinilor exterioare, dacă acestea nu depăşesc anumite limite, în caz contrar aceste deformaţii pot duce la pierderea rolului funcţional sau la distrugerea sa. c) Condiţii de stabilitate: piesa corespunde rolului funcţional din punct de vedere al stabilităţii echilibrului elastic sub acţiunea sarcinilor exterioare, dacă aceste sarcini nu depăşesc anumite valori critice, deşi condiţiile de rezistenţă şi rigiditate sunt satisfacute; funcţionarea piesei în astfel de cazuri este compromisă sau pierderea echilibrul stabil poate duce la distrugerea ei.

23

CAPITOLUL II DIAGRAME DE EFORTURI ÎN BARELE DREPTE RELAŢIILE DIFERENŢIALE ÎNTRE EFORTURI ŞI FORŢELE EXTERIOARE Se consideră modelul de tip bară solicitat de un sistem de forţe coplanare cuprinse în planul Oxz. Eforturile secţionale pe faţa negativă (partea din dreapta a secţiunii corespunzătoare sensului de parcurgere de la stânga spre dreapta) se calculează ca sumă a tuturor proiecţiilor forţelor după axele Cx, Cz respectiv a momentelor faţă de Cy, ce acţionează asupra părţii din stânga, cu respectarea convenţiei de semne stabilite în capitolul I (fig. 2.1). Nx

Miy

Faţa negativă

x

Tz x

z

Fig 2.1

2.1 Diagrame de eforturi axiale Se consideră o bară dreaptă supusă acţiunii unor forţe axiale concentrate P şi distribuite axial qx şi un tronson de lungime dx aflat la distanţa x de capătul din stânga al barei. Pe feţele elementului vom avea eforturile axiale (pozitive) Nx respectiv Nx+dNx (fig. 2.2). Variaţia eforturilor axiale Nx pe lungimea barei ca o funcţie de x: Nx=Nx(x) se reprezintă sub forma diagramei de eforturi axiale. În continuare vom nota Nx cu N. Pentru a scrie relaţiile diferenţiale dintre eforturile axiale şi forţele exterioare vom scrie ecuaţia de echilibru a forţelor exterioare şi eforturilor din cele două feţe ce delimitează elementul considerat: -N+qx dx+N+dN=0 Nx

x

(2.1) qx

dx Fig 2.2

N+dN

24

Rezultă dN=-qx dx

dN = −q x dx

sau

(2.2)

Dacă se integrează prima relaţie (2.2) se obţine expresia eforturilor axiale în funcţie de forţele exterioare: N ( x ) = ∫ − q x dx (2.3) Pe baza relaţiei (2.3) se trasează diagramele de eforturi axiale. Este evident faptul că dacă qx=0, N=constant, adică în absenţa sarcinilor distribuite eforturile axiale sunt constante pe acea porţiune. În dreptul forţelor axiale concentrate trebuiesc determinate cele două valori ale efortului în secţiunea respectivă: limita la stînga (Nst) respectiv la dreapta (Ndr). Exemplu: Să de traseze diagrama de eforturi axiale pentru bara dreaptă încărcată cu un sistem format din două forţe axiale distribuite: qx1 , qx2 şi trei forţe axiale concentrate 4P, P şi 2P ca în fig.2.3. 1

0

4P

qx1=P/a

P

qx2=2P/a 2P

3a

a

3a

4

3

2

a

Fig 2.3

Se înlocuieşte legătura din secţiunea 0 (încastrarea) cu o forţă de legătură H0 (întrucât nu există alte sarcini exterioare:T=0, Mi=0, Mt=0) şi se scrie ecuaţia de echilibru a forţelor exterioare şi de legătură pe direcţia axială (fig. 2.4): -H0 + q1x ⋅3a + 4P – P - q2x ⋅2a + 2P=0

(2.4)

De unde rezultă: H0 = 6P

(2.5) 1

0 H0

4P

qx1=P/a

a

3a

4

3

2 P

3a

qx2=2P/a 2P

a

Fig 2.4

! Pe tronsonul 0-1avem: N 0−1 ( x ) = ∫ − q x1dx = −

P x + C1 a

(2.6)

25

Constanta de integrare C1 se determină din condiţia la limită a tronsonului 0-1:  x  x=0 ⇒ N(0)=+H0 deci C1=6P ⇒ N 0−1 ( x ) =  − + 6  P (2.7) a   În secţiunea 1 vom avea efortul: N1=N0-1(3a)=3P ! Pe tronsonul 1-2 avem: N1−2 ( x ) = ∫ − q x dx = C 2

(constant)

(2.8)

Constanta de integrare C2 se determină din condiţia la limită a tronsonului 1-2: x=0 ⇒ N(0)=N1=3P deci

C2=3P ⇒ N1-2=3P

(2.9)

! Pe tronsonul 2-3 avem: N 2−3 ( x ) = ∫ − q x dx = C3

(constant)

(2.10)

Constanta de integrare C3 se determină din condiţia la limită a tronsonului 2-3: x=0 ⇒ N(0) =N2dr= N2st -4P=-P deci

C3=-P ⇒ N2-3=-P

(2.11)

! Pe tronsonul 3-4 avem: N 3−4 ( x ) = ∫ − q x 2 dx =

2P x + C4 a

(2.12)

Constanta de integrare C4 se determină din condiţia la limită a tronsonului 3-4: x=0 ⇒ N(0)=N3dr=N3st +P=0 deci

C4=0

⇒

N 3− 4 ( x ) =

2x P a

(2.13)

În secţiunea 4 vom avea efortul: N4=N3-4(a)=2P. Se observă că efortul axial din secţiunea de capăt este egal cu forţa exterioară ce acţionează în această secţiune (2P) şi este pozitiv, conform convenţiei de semne pentru faţa pozitivă stabilită la capitolul I; spunem că diagrama de eforturi se închide. Diagrama de eforturi axiale pentru exemplul considerat are forma din fig. 2.5. 1

0

4P

qx1=P/a

6P

3a

4

3

2 P

3a

a

qx2=2P/a 2P

a

6P 3P

2P

+ + Fig 2.5

-P

26

2.2 Diagrame de eforturi tăietoare şi eforturi încovoietoare Se consideră o bară dreaptă supusă acţiunii unor forţe perpendiculare pe axa Ox concentrate şi / sau distribuite, momente după axa Oy şi un tronson din această bară aflat la distanţa x de capătul din stânga de lungime dx, pe feţele căruia vom avea numai eforturile tăietoare (pozitive) Tz şi Miy respectiv Tz+dTz şi Miy +dMiy (fig. 2.6). Variaţia eforturilor Tz şi eforturilor Miy pe lungimea barei ca funcţii de x: Tz=Tz(x) şi Miy =Miy(x) se reprezintă sub forma diagramelor de eforturi tăietoare respectiv a diagramelor de eforturi încovoietoare. În continuare vom nota Tz cu T şi Miy cu Mi. qz

M+dM

M C

C’

T Fig 2.6

x

dx

T+dT

Pentru a scrie relaţiile diferenţiale dintre eforturile T şi M şi forţele exterioare vom scrie ecuaţiile de echilibru a forţelor exterioare şi eforturilor din cele două feţe ce delimitează elementul considerat :

∑F

z

= 0 ⇒ −T + q z dx + T + dT = 0

⇒ dT = − q z dx

q (dx ) ∑ M C' z = 0 ⇒ − M − Tdx + z 2 + M + dM = 0 2 se neglijeaza (dx ) in raport cu dx 2

[

⇒ dM = Tdx

(2.14)

]

Dacă se integrează prima relaţie (2.14) se obţine expresia eforturilor tăietoare T ( x ) = ∫ − q z dx (2.15) funcţie de forţele exterioare: Dacă se integrează şi a doua relaţie (2.14) se obţine expresia eforturilor (2.16) încovoietoare funcţie de eforturile tăietoare: M ( x ) = ∫ Tdx Pe baza relaţiilor (2.15) şi (2.16) se trasează diagramele de eforturi T şi M. Se observă că: dacă qz=0 ⇒ T=constant adică în absenţa sarcinilor distribuite eforturile tăietoare sunt constante pe acea porţiune, respectiv dacă T=0 ⇒ M=constant, dacă eforturile tăietoare sunt nule pe o porţiune a barei, eforturile încovoietoare sunt constante pe acea porţiune. În dreptul forţelor (sau momentelor) concentrate trebuie să se determine cele două valori ale efortului în secţiunea respectivă, sau limitele funcţiilor 2.15 (respectiv 2.16) la stînga Tst (Mst) respectiv la dreapta Tdr (Mdr).

27

Exemplu Să de traseze diagramele de eforturi tăietoare şi eforturi încovoietoare pentru bara dreaptă încărcată cu un sistem format din forţele distribuite qz1=2q , qz2=q, forţele concentrate F1=4qa, F2=5qa şi momentele încovoietoare M1=2qa2, M2=8qa2 ca în fig.2.7. qz1

F2

M1

M2

F1 2a

qz2

a

4a

2a Fig 2.7

Se înlocuieşte legătura din stânga (încastrarea) prin forţa de legătură V0 şi momentul de legătură M0 (întrucât nu există sarcini şi cupluri axiale, H0 =0, Mt=0) (vezi fig. 2.8) şi se scriu ecuaţiile de echilibru ale forţelor exterioare şi de legătură:

ΣFz=0

⇒ +V0 + q1z ⋅ 2a –F1 +F2 - q2x ⋅ 4a =0

⇒ V0 = qa

(2.17)

ΣMOy=0 ⇒ - M0 + 2q⋅2a⋅a +4qa⋅3a - 2qa2 –5qa⋅5a+q⋅4a⋅7a - 8qa2 =0 ⇒ M0 = qa2

(2.18) 1

0

3

2

qz1=2q

F2=5qa

M1=2qa2

M0

4

M2=8qa2 x

F1=4qa

V0 2a z

a

qz2=q 4a

2a Fig 2.8

! Pe tronsonul 0-1 avem: Eforturile tăietoare: T0−1 ( x ) = ∫ − q z1 dx = −2qx + C1

(2.19)

Constanta de integrare C1 se determină din condiţia la limită pe tronsonul 0-1: x=0 ⇒ T(0)=+V0 deci C1=qa

⇒

T0−1 ( x ) = −2qx + qa

(2.20)

În secţiunea 1 vom avea efortul: T1=T0-1(2a)=-3qa Eforturile încovoietoare: M 0−1 ( x ) = ∫ Tdx = − qx 2 + qax + C2

(2.21)

Constanta de integrare C2 se determină din condiţia la limită a tronsonului 0-1:

28

x=0 ⇒ M(0)=+M0 deci C1=qa2 ⇒ M 0−1 ( x ) = − qx 2 + qax + qa 2

(2.22)

În secţiunea 1 vom avea efortul: M1=M0-1(2a)=-qa2 ! Pe tronsonul 1-2 avem: Eforturile tăietoare: T1− 2 ( x ) = ∫ − q z dx = C3

(constant)

(2.23)

Constanta de integrare C3 se determină din condiţia la limită pe tronsonul 1-2: x=0 ⇒ T(0)=T1=-3qa deci C2=-3qa

⇒ T1-2=-3qa

(2.24)

În secţiunea 2 vom avea efortul: T2st=T1-2(a)=-3qa Eforturile încovoietoare: M 1−2 ( x ) = ∫ Tdx = −3qax + C 4

(2.25)

Constanta de integrare C4 se determină din condiţia la limită pe tronsonul 1-2: x=0 ⇒ M(0)=M1 deci C1=-qa2 ⇒ M 1−2 ( x ) = −3qax − qa 2

(2.26)

În secţiunea 2 vom avea efortul: M2st=M1-2(a)=-4qa2 ! Pe tronsonul 2-3 avem: Eforturile tăietoare: T2−3 ( x ) = ∫ − q z dx = C5

(constant)

(2.27)

Constanta de integrare C5 se determină din condiţia la limită pe tronsonul 2-3: x=0 ⇒ T(0)=T2dr= T2st +4qa=qa deci C5=q

⇒ T2-3=qa

(2.28)

În secţiunea 3 vom avea efortul: T3st=T2-3(2a)=qa Eforturile încovoietoare: M 2−3 ( x ) = ∫ Tdx = qax + C6

(2.29)

Constanta de integrare C6 se determină din condiţia la limită pe tronsonul 2-3: x=0 ⇒ M(0)=M2dr=M2st+2qa2=-2qa2 deci C6=-2qa2

⇒ M 2−3 ( x ) = qax − 2qa 2

(2.30)

În secţiunea 3 vom avea efortul: M3=M2-3(2a)=0 ! Pe tronsonul 3-4 avem: Eforturile tăietoare: T3−4 ( x ) = ∫ − q z 2 dx = qx + C7

(2.31)

Constanta de integrare C7 se determină din condiţia la limită pe tronsonul 3-4: x=0 ⇒ T(0)= T3dr= T3st -5qa=-4qa deci C1=-4qa

⇒

T3−4 ( x ) = qx − 4qa

(2.32)

În secţiunea 4 vom avea efortul: T4=T3-4(4a)=0 qx 2 − 4qax + C8 (2.33) Eforturile încovoietoare: M 3−4 ( x ) = ∫ Tdx = 2 Constanta de integrare C8 se determină din condiţia la limită a tronsonului 3-4:

29

qx 2 − 4qax 2 În secţiunea 4 vom avea efortul: M4=M3-4(4a)=-8qa2

x=0 ⇒ M(0)=M3 deci C1=0 ⇒ M 3−4 ( x ) =

(2.34)

Se observă că în secţiunea 4 avem eforturile: T4=0 şi M4=-8qa2. Se observă că în secţiunea din capătul din deapta efortul tăietor este zero şi efortul încovoietor este egal cu momentul exterior ce acţionează în această secţiune (8qa2) cu semn schimbat, (conform convenţiei de semne pentru faţa pozitivă); spunem că diagramele de eforturi se închid. Diagramele de eforturi tăietoare şi încovoietoare pentru exemplul considerat au forma din fig. 2.9. Axa ordonatelor pentru diagrama de eforturi încovoietoare este orientată în jos. 1

0 qz1=2q

M0=qa2

3

2 M1=2qa2

4 F2=5qa

M2=8qa2 x

V0=qa

F1=4qa a

2a

qz2=q 4a

2a

z Diagrama T +

qa

qa

+

+ a/2

-

-

-3qa

-4qa -8qa2 -4qa2

-qa2

qa2

Diagrama M +

-

-2qa2

-

+ 1,25qa2

Fig 2.9

30

2.3 Diagrame de eforturi torsionale Se consideră o bară dreaptă supusă acţiunii unor momente axiale concentrate şi distribuite mx şi un tronson din această bară aflat la distanţa x de capătul din stânga, de lungime dx, pe feţele căruia vor acţiona numai eforturile axiale (pozitive) Mtx respectiv Mtx+dMtx (fig. 2.10). Variaţia eforturilor axiale Mtx pe lungimea barei ca funcţii de x: Mtx = Mtx (x) se reprezintă sub forma diagramei de eforturi axiale. Pentru a găsi relaţiile diferenţiale dintre eforturile Mtx şi cuplurile axiale exterioare vom scrie ecuaţia de echilibru a cuplurilor exterioare şi eforturilor ce acţionează asupra elementul considerat : - Mtx +mx dx+ Mtx +dMtx =0

(2.35)

Mtx

mx

x

Mtx+dMtx

dx Fig 2.10

Rezultă dMtx =-mx dx

dM tx = −mx dx

sau

(2.36)

Dacă se integrează prima relaţie (2.36) se obţine expresia eforturilor axiale în funcţie de forţele exterioare: M tx ( x ) = ∫ − m x dx (2.37) Pe baza relaţiei (2.37) se trasează diagramele de eforturi torsionale. Este evident faptul că dacă mx=0 ⇒ Mtx =constant, adică în absenţa sarcinilor distribuite eforturile torsionale sunt constante pe acea porţiune. În dreptul momentelor axiale concentrate trebuie să se determine cele două valori ale efortului Mtx în secţiunea respectivă sau limitele funcţiei 2.37: la stînga (Mtx st) respectiv la dreapta (Mtx dr). Exemplu: Să de traseze diagrama de eforturi axiale pentru bara dreaptă încărcată cu un sistem format din două cupluri distribuite mx1=Pa/a , mx2=2Pa/a şi două cupluri concentrate Mtx1 =5Pa, Mtx2 =3Pa ca în fig.2.11. 1

0

Mtx1

mx1

4a

4

3

2

a

Fig 2.11

mx2

3a

2a

Mtx2

31

Se înlocuieşte legătura din secţiunea 0 (încastrarea) cu cuplul de legătură Mt0 (întrucât nu există alte sarcini exterioare: H0=0, V0=0 şi Miy=0) şi se scrie ecuaţia de echilibru a sarcinilor exterioare şi cuplului de legătură (fig. 2.12): -Mt0 + mx1 ⋅ 4a + Mtx1 – m2x ⋅2a - Mtx2 =0

(2.38)

De unde rezultă: Mt0 = 2Pa

(2.39) 1

0

Mt0=2Pa

Mtx1=5Pa

mx1=P

4

3

2

mx2=2P

Mtx2=3Pa x

4a

a

3a

2a

Fig 2.12

! Pe tronsonul 0-1: M tx 0−1 ( x ) = ∫ − m x1 dx = − Px + C1

(2.40)

Constanta de integrare C1 se determină din condiţia la limită a tronsonului 0-1: x=0 ⇒ Mtx (0)=+ Mt0 deci C1=2Pa ⇒ M tx 0−1 ( x ) = (− x + 2a )P

(2.41)

În secţiunea 1 vom avea efortul: Mt1 = Mtx 0-1(4a)=-2Pa ! Pe tronsonul 1-2: M tx1−2 ( x ) = ∫ − m x dx = C2

(constant)

(2.42)

Constanta de integrare C2 se determină din condiţia la limită a tronsonului 1-2: x=0 ⇒ Mtx (0)= Mt1=-2Pa deci C2=-2Pa ⇒ Mtx 1-2=-2Pa ! Pe tronsonul 2-3: M tx 2−3 ( x ) = ∫ − m x dx = C3 (constant)

(2.43) (2.44)

Constanta de integrare C3 se determină din condiţia la limită a tronsonului 2-3: x=0 ⇒ Mtx (0) = Mt2dr= Mt2st -5Pa=-7Pa deci

C3=-7Pa

⇒ Mtx 2-3=-7Pa

(2.45)

! Pe tronsonul 3-4: M 3−4 ( x ) = ∫ − m x 2 dx = 2 Px + C4

(2.46)

Constanta de integrare C4 se determină din condiţia la limită a tronsonului 3-4: x=0 ⇒ Mtx (0)= Mt3=-7Pa deci C4=-7Pa ⇒ M tx 3− 4 ( x ) = 2 Px − 7 Pa

(2.47)

În secţiunea 4 vom avea efortul: Mt4= Mtx 3-4(2a)=-3Pa. Se observă că efortul axial din secţiunea de capăt este egal cu momentul exterior ce acţionează în această secţiune (3Pa) cu semn schimbat, conform convenţiei de semne pentru faţa pozitivă; spunem că diagrama de eforturi se închide.

32

Diagrama de eforturi axiale pentru exemplul considerat are forma din fig. 2.13. 1

0

Mtx1=5Pa

mx1=P

Mt0=2Pa

4

3

2

mx2=2P

Mtx2=3Pa x

Diagrama Mt

3a

a

4a

2a

+

2Pa

+ -2Pa

-7Pa

Fig 2.13

-3Pa

33

CAPITOLUL III CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECŢIUNILOR PLANE

3.1. Definiţii Se consideră o secţiune transversală plană într-o bară având aria A, un element de arie elementară dA al secţiunii şi un sistem rectangular de axe Oyz. Poziţia acestui element de arie în raport cu axele sistemului rectangular este dată coordonatele (y , z) şi respectiv în raport originea O de distanţa r (fig.3.1). O

O

y r

zC

z

dA

-y

dA

y

C

C dA

y z

+y

yC

z

Fig. 3.1

Fig. 3.2

! Momentul static ale secţiuni plane în raport cu axa Oz (Sy) respectiv Oy (Sz), este definit prin integrala: S y = ∫ z dA

respectiv

A

S z = ∫ y dA

(3.1)

A

Dimensiunea pentru momentul static este [S] = L3 În Sistemul Internaţional unitatea de măsură pentru momentul static este m3 . Ţinând seama de relaţia pentru calculul coordonatelor centrului de greutate al secţiunii : yC =

∫ y dA A

A

respectiv

zC =

∫ z dA A

rezultă:

S y = zC ⋅ A;

unde: A

este aria secţiunii plane respective;

A

,

S z = yC ⋅ A;

(3.2) (3.3)

zC, yC – sunt coordonatele centrului de greutate al secţiunii. În raport cu un sistem central de axe (un sistem pentru care O≡C), momentele statice ale secţiunii plane sunt nule (cf. 3.3), deoarece: yC = zC = 0.

34

! Momentul de inerţie axial al secţiunii plane în raport cu axa Oy şi Oz, este definit prin integrala (strict pozitivă): I y = ∫ z 2 ⋅ dA

respectiv

A

I z = ∫ y 2 ⋅ dA

(3.4)

A

! Momentul de inerţie polar al secţiunii plane în raport cu polul O este definit prin integrala (strict pozitivă): I 0 = ∫ r 2 ⋅ dA = ∫ (y 2 + z 2 )dA = I y + I z A

(3.5)

A

Se observă că momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie (axiale) faţă de două axe rectangulare ce trec prin polul respectiv. ! Momentul de inerţie centrifugal al secţiunii plane în raport cu axele rectangulare Oy şi Oz, este definit prin integrala: I yz = ∫ yz ⋅ dA

(3.6)

A

Din relaţia (3.6) se observă că momentele de inerţie centrifugale pot fi pozitive, negative sau nule. O secţiune plană având cel puţin o axă de simetrie are momentul de inerţie centrifugal nul faţă de sistemul pentru care una din axe este axa de simetrie. Proprietetea este evidentă dacă se ţine seama că secţiunea este formată în perechi de elemente de arie simetrice (fig. 3.2) şi se poate scrie: + yz ⋅ dA − yz ⋅ dA = 0 (3.7) Dimensiunea corespunzătoare pentru momentele de inerţie este [I ] = L4 .În Sistemul Internaţional unitatea de măsură pentru momentul de inerţie este m4 ! Raza de inerţie a secţiunii plane axială (în raport cu o axă) respectiv polară (în raport cu polul O), se defineşte prin relaţiile: iy =

Iy A

iz =

;

Iz ; A

i0 =

I0 A

(3.8)

Dimensiunea corespunzătoare pentru raza de inerţie este [i ] = L În Sistemul Internaţional unitatea de măsură pentru raza de inerţie este m. I z = i z2 ⋅ A; I 0 = i02 ⋅ A. Din formulele (3.8) rezultă: I y = i y2 ⋅ A; deci razele de inerţie reprezintă distanţa fictivă de la axa sau polul considerat până la un punct în care ar fi concentrată întreaga arie a secţiunii considerate. ! Modulul de rezistenţă al secţiunii plane în raport cu o axă sau cu un pol, se defineşte ca raportul dintre momentul de inerţie respectiv şi distanţa de la acea axă sau acel pol până la punctul cel mai îndepărtat al secţiunii: Wy =

Iy z max

;

Wz =

Iz ; y max

WO =

I0 . rmax

Dimensiunea corespunzătoare pentru modulul de rezistenţă este [W ] = L3 .

(3.9)

35

3.2. Calculul momentelor de inerţie la translaţia axelor Formulele lui Steiner. Se consideră o secţiune plană care se raportează la un sistem de axe Oyz, şi un sistem de axe O’y’z’ paralel cu sistemul Oyz (fig. 3.3), obţinut prin două translaţii efectuate cu distanţa a după axa Oy şi respectiv b după axa Oz. Un element de arie dA al secţiunii plane are coordonatele (y, z) în raport cu sistemul de axe Oyz, respectiv coordonatele (y’, z’) în raport cu sistemul de axe O’y’z’(fig. 3.3). Între aceste coordonate există relaţiile: y' = y + a;

z' = z + b

(3.10)

Aplicând relaţiile (3.4) se calculează momentul de inerţie al secţiunii A în raport cu axa O’y’ respectiv axa O’z’: I y' = ∫ (z' ) ⋅ dA = ∫ (z + b ) dA = ∫ (z 2 + 2bz + b 2 )dA = I y + 2bS y + b 2 A 2

2

I z' = ∫ ( y' ) ⋅ dA = ∫ ( y + a ) dA = ∫ (y + 2ay + a )dA = I z + 2aS z + a A 2

2

2

2

2

(3.11)

Aplicând relaţiile (3.6) se calculează momentul de inerţie centrifugal al secţiunii A în raport cu axele O’y’ şi O’z’: I y' z' = ∫ y' z' dA = ∫ ( y + a )(z + b )dA = ∫ ( yz + az + by + ab )dA

(3.12)

⇒ I y' z' = I yz + aS y + bS z + abA

Rezultă astfel formulele lui Steiner pentru calculul momentelor de inerţie la translaţia axelor: I y' = I y + 2bS y + b 2 ⋅ A;

I z' = I z + 2aS z + a 2 ⋅ A

I O' = I y' + I z' = I O + 2bS y + 2aS z + ( a 2 + b 2 ) A

(3.13)

I y' z' = I yz + aS y + bS z + ab ⋅ A a

O’

y' z'

b

O

dA

y

y

C≡O

dA

z

y'

α

z'

y' y z'

z

z

y

Fig. 3.3

z'

z

y'

Fig. 3.4

Dacă sistemul Oyz este un sistem central de axe (O≡C), faţă de acesta momentele statice şi sunt nule (Sy =Sz=0) şi formulele lui Steiner (3.13) au forma particulară:

36

I y' = I y + d y2' y ⋅ A C

C

I z' = I z + d C

2 z ' zC

⋅A

I O' = I C + d 2 A; unde d 2 = d y2' y + d z2' z C

(3.14) C

I y' z' = I yz + d y' y ⋅ d y' y ⋅ A C

C

C

3.3. Variaţia momentelor de inerţie la rotaţia axelor Se consideră o secţiune plană şi două sisteme rectangulare de axe: sistemul iniţial Oyz, respectiv sistemul O’y’z’ rotit cu unghiul α faţă de Oyz (fig.3.4). Un element de arie dA al secţiunii are coordonatele y şi z în raport cu sistemul de axe Oyz, respectiv coordonatele y’ şi z’, în raport cu sistemul de axe Oy’z’. Între cele două perechi de coordonate există relaţiile, conform figurii 3.4:  y' = z ⋅ sin α + y ⋅ cos α   z' = z ⋅ cos α − y sin α

(3.15)

Aplicând relaţiile (3.4) se poate calcula momentul de inerţie al secţiunii A în raport cu axele O’y’ respectiv O’z’: I y' = ∫ (z' ) ⋅ dA = ∫ (z ⋅ cosα − y ⋅ sinα) dA = I y cos2 α + I z sin2 α − 2I yz sinα cosα 2

2

I z' = ∫ (y' ) ⋅ dA = ∫ (z ⋅ sinα + y ⋅ cosα) dA = I y sin2 α + I z cos2 α + 2I yz sinα cosα 2

2

I O = ∫ (y' 2 +z' 2 )⋅ dA = I z' + I y' = I z + I y

(3.16)

I y' z' = ∫ ( y' z' )⋅ dA = ∫ (z ⋅ sinα + y ⋅ cosα)(z ⋅ cosα − y ⋅ sinα)dA

⇒ I y' z' = (I y − I z )sinα cosα + I yz (cos2 α − sin2 α)

Deoarece IO’ = IO se observă că suma momentelor de inerţie axiale, în raport cu orice pereche de axe rectangulare ce trec printr-un punct O, este un invariat. Formulele (3.16) se mai pot scrie în funcţie de unghiul 2α astfel: I y' = I z' = I y' z'

Iy + Iz 2 Iy + Iz

+

Iy − Iz 2 Iy − Iz

cos 2α − I yz sin 2α;

− cos 2α + I yz sin 2α; 2 2 I − Iz = y sin 2α + I yz cos 2α. 2

(3.17)

3.4. Valori extreme ale momentelor de inerţie axiale Deoarece momentele de inerţie Iz’ şi Iy’ depind de unghiul 2α, se poate determina valoarea extremă a acestora şi poziţiile axelor de coordonate pentru care

37

momentele de inerţie au valori extreme. Pentru aceasta se anulează derivatele în raport cu unghiul 2α: dI y '

d (2α )

=−

dI z ' = d (2α )

Iy − Iz

2 Iy − Iz 2

sin 2α − I yz cos 2α = − I y ' z ' = 0 (3.18)

sin 2α + I yz cos 2α = I y ' z ' = 0

Din relaţia (3.18) rezultă următoarea proprietate: momentele de inerţie axiale au valori extreme faţă de acel sistem de axe în raport cu care momentul de inerţie centrifugal este nul. Reciproca acestei proprietăţi nu este adevărată. tg 2α = −

 2 I yz  2I yz  ⇒ 2α1 = arctg −  − Iy − Iz I I z   y

2α 2 = 2α 1 + π ⇒

respectiv:

α 2 = α1 + π / 2

(3.19) (3.20)

Deci cele două direcţii pentru care momentele de inerţie sunt maxime sau minime sunt perpendiculare. Dacă se înlocuiesc în expresiile (3.17) valorile lui 2α1 respectiv 2α2 obţinute, rezultă valorile extreme ale momentelor de inerţie axiale: I + Iz 1 (I y − I z )2 + 4 I yz2 ± I 1 ,2 = y (3.21) 2 2 Aceste valori se numesc momente de inerţie principale, iar axele corespunzătoare (perpendiculare între ele) se numesc axe de inerţie principale. Dacă se însumează momentele de inerţie principale (3.21), rezultă: I1 + I2 = Iy +Iz = constant;

(3.22)

Deci suma momentelor de inerţie axiale faţă de orice pereche de axe rectangulare ce trec printr-un punct dat, este un invariat.

3.5. Cercul momentelor de inerţie Relaţiile (3.17) pentru calculul momentelor de inerţie în raport cu un sistem de axe rotit cu unghiul α se mai pot scrie sub forma: I y' −

Iy + Iz 2 Iy − Iz

=

Iy − Iz 2

cos 2α − I yz sin 2α ;

(3.23)

sin 2α + I yz cos 2α . 2 Ridicând la pătrat expresiile (3.23) şi însumând membru cu membru rezultă: 2 2 Iy + Iz    Iy − Iz  2  I y ' −  + I y ' z ' =   + I yz2 . (3.24) 2    2  I y 'z ' =

38 I’yz M(I’y, I’yz)

2α I’z, I’y

C

Expresia obţinută reprezintă ecuaţia unui cerc într-un sistem de axe în care pe abscisă se măsoară momentele de inerţie axiale, iar pe ordonată momentele de inerţie centrifugale (fig.3.5) având centrul în punctul C de coordonate:  I + Iz  C  y ,0  2  

Iz M’(I’z, I’yz)

Iy

şi raza:

Fig. 3.5

R=

1 2

(I

− I z ) + 4 I yz2 . 2

y

3.6. Caracteristici geometrice ale unor secţiuni plane simple Se consideră următoarele secţiuni simple: ! O secţiune plană simplă în formă de dreptunghi, cu laturile b şi h raportată la sistemul central de axe Oyz (fig.3.6). Un element de arie, al acestui dreptunghi, se obţine ca o fâşie îngustă, de lungime b şi înălţime dz, situată la distanţa z de axa Oy: dA=bdz. Momentul de inerţie axial al secţiunii dreptunghiulare, în raport cu axa Oy, se poate scrie: +

h 2

bh 3 I y = ∫ z ⋅ dA = ∫ z ⋅ b ⋅ dz = . 12 h − 2

2

(3.25)

2

Dacă se procedează în mod similar pentru calculul momentul de inerţie axial în raport cu axa Oz (elementul de arie se ia paralel cu axa Oz, dA=hdy) se obţine: +

b 2

hb 3 I z = ∫ y ⋅ dA = ∫ y ⋅ h ⋅ dy = . 12 b − 2

2

(3.26)

2

Momentul de inerţie polar, în raport cu punctul O, se calculează cu relaţia: bh 3 hb 3 A( b 2 + h 2 ) + = IO = I y + I z = 12 12 12 unde A=bh este aria secţiunii dreptunghiulare.

(3.27)

Din cauza simetriei, faţă de axele Oy şi Oz, momentul de inerţie centrifugal este nul : Iyz = 0. (3.28) Razele de inerţie, se calculează cu relaţiile: iy =

Iy A

=

h 3 ; 6

iz =

Iz b 3 = A 6

(3.29)

39

3( b 2 + h 2 ) I0 i0 = = A 6

(3.30)

Modulele de rezistenţă în acest caz, se calculează cu relaţiile: Wy =

Iy z max

Iz hb 2 = WZ = ; y max 6

bh 2 = ; 6

(3.31)

IO A b2 + h2 = WO = . rmax 6 b

dr

h

z

C

d

C

r

y

y dy z

dz

y

Fig. 3.6

z

Fig. 3.7

! O secţiune simplă circulară pentru care elementul de arie se consideră un inel de rază r şi lăţime dr (fig. 3.7): dA = 2πr ⋅ dr (3.32) Momentul de inerţie polar se scrie: πd 4 I O = ∫ r ⋅ dA = ∫ r ⋅ 2πr ⋅ dr = 32 0 d/2

2

2

Din cauza simetriei există relaţia: I O = I y + I z = 2 I y = 2 I z

(3.33) (3.34)

de unde rezultă momentele de inerţie axiale: Iy = Iz =

I O πd 4 = 2 64

(3.35)

Tot datorită simetriei, momentul de inerţie centrifugal este nul: Iyz = 0. Razele de inerţie pentru secţiunea circulară sunt: i y = iz =

Iy A

=

πd 4 4 d ⋅ 2 = 64 πd 4

I0 πd 4 4 d 2 = ⋅ 2 = i0 = A 32 πd 4 Modulele de rezistenţă pentru secţiunea circulară sunt:

(3.36) (3.37)

40

I y πd 4 2 πd 3 ⋅ = W y = Wz = = ; (3.38) d 64 d 32 2 I 0 πd 4 2 πd 3 ⋅ = Wo = = . (3.39) d 32 d 16 2 ! o secţiune simplă sub formă de triunghi z oarecare raportată la un sistem de axe Oyz (axa Oy coincide cu baya triunghiului, ca în fig. 3.8). Baza triunghiului este b, înălţimea h, iar elementul de arie dA este o fâşie îngustă cu baza variabilă b’ şi înălţimea dz, paralelă cu axa Oy şi situată la distanţa z C faţă de axa Oy.

h

dz

h/3

z

O

b'

Pe baza asemănării triunghiurilor având bazele b şi b’ se poate scrie relaţia:

y

b' h − z = ; de unde rezultă: b h

b

Fig. 3.8

b' =

b (h − z ). h

(3.40)

În acest caz suprafaţa elementului de arie se scrie: dA = b'⋅dz =

b (h − z )⋅ dz; h

(3.41)

Aplicând formula (3.4) se poate calcula momentul de inerţie al secţiunii triunghiulare faţă de axa Oy (care coincide cu baza triunghiului): h

I y = ∫ z ⋅ dA = ∫0 2

b bh 3 z (h − z )dz = . h 12 2

(3.42)

Dacă dorim să determinăm caracteristicile geometrice în raport cu un sistem de axe central, se aplică în mod corespunzător formulele lui Steiner (3.14) pentru translaţia axelor de coordonate: 2

bh 3  h  bh bh 3 −  ⋅ = Iy = Iy − z ⋅ A = 12  3  2 36 Iy bh 3 2 h 2 = ⋅ = ; Raza de inerţie este: i y = A 36 bh 6 bh 3 Iy bh 2 36 = = Wy = Modulul de rezistenţă este: 2h z max 24 3 C

2 C

C

(3.43)

(3.44)

41

3.7. Caracteristici geometrice pentru secţiuni plane compuse Pentru calculul caracteristicilor geometrice ale secţiunilor plane compuse se descompun acestea în suprafeţe simple (ale căror caracteristici se pot calcula uşor), apoi se însumează ţinând seama de formulele pentru translaţiile sau rotaţiile axelor de coordonate locale faţă de sitemul de axe central. Dacă secţiunea plană compusă prezintă goluri, termenii corespunzători apar în formule cu semnul minus (sau se scad). y O

y2

C2

a

z2 4a

C1

C

! poziţia centrului de greutate,

yC

!

y1 z1

Pentru exemplificare, se consideră o secţiune plană compusă, în formă de L, pentru care se cere să se determine:

zC

momentele de inerţie şi modulele de rezistenţă faţă de cele două axe centrale CyC şi CzC (fig.3.9).

! razele de inerţie corespunzătoare; z

! modulele de rezistenţă .

2a

a

Fig. 3.9

Pentru rezolvarea problemei, se descompune secţiunea în două dreptunghiuri, notate cu 1 şi 2, având centrele de greutate notate în figură cu C1 şi respectiv C2. În notarea momentelor de inerţie, indicele superior se referă la numărul dreptunghiului secţiunii compuse, iar indicele inferior la axa în raport cu care se calculează acestea. Cu dyy au fost notate distanţele dintre axe, iar cu A ariile dreptunghiurilor corespunzătoare. ! Calculul momentului de inerţie al secţiunii faţă de axa Oy : Momentul de inerţie al dreptunghiului 1, faţă de axa centrală corespunzătoare acestuia C1y1 este: a(4a ) 64a 4 = I = . (3.45) 12 12 Momentul de inerţie al aceluiaşi dreptunghi, faţă de axa Oy, se determină utilizând formula lui Steiner pentru translaţia axelor: 3

(1 ) y1

64a 4 256a 4 2 + 4a 2 (2a ) = . (3.46) 12 12 Pentru dreptunghiul 2 se procedează similar şi se obţine momentul de inerţie I y( 1 ) = I y( 1 ) + A1 ⋅ d y2 y = 1

1

faţă de axa centrală corespunzătoare acestuia C2y2: 2a ⋅ a 3 2a 4 = I = ; 12 12 respectiv momentul de inerţie faţă de axa Oy: (2) y2

(3.47)

42 2

I

(2) y

=I

(2) y2

+ A2 ⋅ d

2 y2 y

2a 4 8a 4 2 a  = + 2a   = . 12 12 2

(3.48)

Momentul de inerţie al întregii secţiuni faţă de Oy se obţine prin însumarea valorilor obţinute pentru momentele de inerţie ale dreptunghiurilor : 256a 4 8a 4 264a 4 + = = 22a 4 . Iy = I + I = 12 12 12 Raza de inerţie a secţiunii compuse în raport cu axa Oy este: (1 ) y

iy =

Iy A

(2) y

22a 4 11 = a ; 6a 2 3

=

(3.49)

(3.50)

Modulul de rezistenţă faţă de aceeaşi axă se calculează astfel: Wy =

Iy z max

22a 4 = = 5,5a 3 . 4a

(3.51)

! În mod similar se calculează momentul de inerţie al secţiunii faţă de axa Oz : Momentul de inerţie al dreptunghiului 1, faţă de axa centrală C1z1 este: 4a (a ) 4a 4 = I = (3.53) 12 12 Momentul de inerţie al aceluiaşi dreptunghi faţă de axa Oz, utilizând formula lui Steiner pentru translaţia axelor este: 3

(1 ) z1

4a 4 16a 4 2 2 + 4a (0,5a ) = I = I + A1 ⋅ d = . (3.54) 12 12 Se procedează similar pentru dreptunghiul 2 şi se obţine momentul său de inerţie faţă de axa centrală C2z2: (1) z

(1) z1

2 z1 z

a ⋅ ( 2a )3 8a 4 = I = ; 12 12 respectiv momentul de inerţie faţă de axa Oz: (2) z2

(3.55)

8a 4 104a 4 2 2 + 2a (2a ) = I = I + A2 ⋅ d = (3.56) 12 12 Momentul de inerţie al întregii secţiuni faţă de Oz se obţine prin însumarea valorilor obţinute pentru cele două dreptunghiuri: (2) z

(2) z2

2 z2 z

16a 4 104a 4 120a 4 + = = 10a 4 . Iz = I + I = 12 12 12 Raza de inerţie a secţiunii compuse în raport cu axa Oz este: (1) z

(2) z

Iz 10a 4 5 = =a iz = 2 A 6a 3

(3.57)

(3.58)

43

Modulul de rezistenţă faţă de aceeaşi axă este: Iz 10a 4 = = 3,333 a 3 Wz = y max 3a

(3.59)

! Momentul de inerţie centrifugal al secţiunii faţă de axele Oy şi Oz. Momentul de inerţie centrifugal al dreptunghiului 1, faţă de axele centrale C1y1 şi C1z1 este nul deoarece ambele sunt axe de simetrie Momentul de inerţie centrifugal al aceluiaşi dreptunghi faţă de axele Oy şi Oz, utilizând formula lui Steiner pentru translaţia axelor (3.14) este: I yz( 1 ) = I yz( 1 ) + A1 ⋅ d z z ⋅ d y y = 0 + 4a 2 (0 ,5a )( 2a ) = 4a 4 1

1

1

(3.60)

Se procedează similar pentru dreptunghiul 2 şi se obţine momentul său de inerţie centrifugal faţă de axele Oy şi Oz: I yz( 2 ) = I yz( 2 ) + A2 ⋅ d z z ⋅ d y y = 0 + 2a 2 (0 ,5a )( 2a ) = 2a 4 2

2

2

(3.61)

Momentul de inerţie centrifugal al întregii secţiuni se obţine prin însumarea valorilor obţinute pentru cele două dreptunghiuri: I yz = I yz( 1 ) + I yz( 2 ) = 6a 4 .

(3.62)

În rezolvarea unor probleme de Rezistenţa materialelor intervin însă caracteristicile geometrice faţă de axele centrale şi principale ale secţiunii. Pentru determinarea lor în cazul unor secţiuni compuse, se aplică relaţiile lui Steiner pentru translaţia axelor, după ce în prealabil s-au determinat caracteristicile geometrice faţă de două axe oarecare (Oy şi Oz) şi poziţia centrului de greutate al secţiunii. După determinarea acestor caracteristici se pot determina: momentele de inerţie principale (maxim şi minim în raport cu direcţiile principale), modulul de rezistenţă şi razele de inerţie corespunzătoare. Pentru figura compusă considerată (fig. 3.9) vom calcula: ! Poziţia centrului de greutate al secţiunii (fig. 3.9): d zz = C

d yy = C

A1 ⋅ d zz + A2 ⋅ d zz 1

4a 2 ⋅ 0,5a + 2a 2 ⋅ 2a = =a 4a 2 + 2a 2

2

A1 + A2 A1 ⋅ d yy + A2 ⋅ d yy 1

A1 + A2

2

=

4a ⋅ 2a + 2a ⋅ 0 ,5a = 1,5a 4a 2 + 2a 2 2

2

(3.63)

! Momentele de inerţie al întregii secţiuni faţă de axele Cz şi Cy utilizând formula lui Steiner (3.14) pentru translaţia axelor: I z = I z − A ⋅ d zz2 = 10a 4 − 6a 2 (a ) = 4a 4 2

C

C

I y = I y − A ⋅ d yy2 = 22a 4 − 6a 2 (1,5a ) = 8,5a 4 2

C

C

! Razele de inerţie ale secţiunii compuse în raport cu axele Cz şi Cy :

(3.64)

44

Iz

Iy 4a 4 2 8,5a 4 17 = = a ; iy = = =a 2 2 A A 6a 3 6a 12

iz = C

C

(3.65)

C

C

! Modulele de rezistenţă faţă de aceleaşi axe: Wz = C

Iz

C

Iy 4a 4 8,5a 4 3 = = 2 a ; Wy = = = 3,4 a 3 z max 2,5a 2a

(3.66)

C

y max

C

! Momentul de inerţie centrifugal al întregii secţiuni faţă de axele Cz şi Cy utilizând formula lui Steiner (3.14) pentru translaţia axelor: I yz = I yz − A ⋅ d zz ⋅ d yy = 6a 4 − 6a 2 (a )(1,5a ) = −3a 4 C

C

(3.67)

C

! Poziţia axelor principale cu ajutorul relaţiei (3.19): tg 2α = −

2 I yz

= 1,333 ⇒ α1 = 26,5650 si α 2 = 116,5650

C

Iy − Iz C

(3.68)

C

! Momentele de inerţie principale faţă de noile axe Czm şi Cym rotite cu ungiul α1 se determină utilizând formula (3.21): I max,min =

Iy + Iz

I max = I ym

4 4 1 (I y − I z )2 + 4 I yz2 = 12,5a ± 7 ,5a 2 2 2 2 4 4 = 10a respectiv I min = I zm = 2,5a C

C

±

C

C

(3.69)

C

! Razele de inerţie ale secţiunii compuse în raport cu axele Czm şi Cym : I ym I zm 10a 4 5 2,5a 4 10 = = = = = i ym = a ; i a ; zm A A 6a 2 3 6a 2 24

(3.70)

! Modulul de rezistenţă faţă de axa Cym (fig. 3.10): W ym =

I ym z max

10a 4 = = 3,727 a 3 ; 2,683a

unde z max = max( z A ; z E ) = 2,683a;

E O a

z A = 2 ,5a ⋅ cos α1 + a ⋅ sin α1 = 2,683a ; z E = 0 ,5a ⋅ cos α1 + 2a ⋅ sin α1 + a ⋅ cos α1 = 2 ,236a .

D

! Modulul de rezistenţă faţă de axa Czm (fig. 3.10): Wzm

C

2,5a α1

unde y max = max( y B ; y D ; yO ) = 1,565a; y D = −0 ,5a ⋅ sin α1 + 2a ⋅ cos α1 = 1,565a ; yO = 1,5a ⋅ sin α1 + a ⋅ cos α1 = 1,565a ;

yC

α1

ymax

I zm 2,5a 4 = = = 1,597 a 3 ; y max 1,565a

y B = 2 ,5a ⋅ sin α1 = 1,118a ;

0,5a

ym

zmax B

A

2a

a zm zC

Fig. 3.10

45

CAPITOLUL IV ÎNCOVOIEREA BARELOR DREPTE

4.1. Definiţii O bară dreaptă este supusă la încovoiere dacă într-o secţiune oarecare acţionează eforturi încovoietoare Miy , Miz. Dacă forţele care acţionează sunt situate într-un plan de simetrie ce conţine axa barei, spunem că bara este supusă la încovoiere plană simplă dacă în secţiunea ei apar şi eforturi tăietoare, respectiv încovoiere pură, dacă în secţiunea ei apar numai eforturi încovoietoare (eforturi tăietoare sunt nule). Dacă planul de acţiune al forţelor exterioare este diferit de planele de simetrie ale barei, sau dacă bara nu are nici un plan de simetrie, spunem că avem încovoiere oblică. Dacă forţele care acţionează asupra barei nu sunt situate într-un singur plan, dar intersectează axa longitudinală a barei spunem că bara este supusă la încovoiere strâmbă. Dacă forţele care acţionează asupra barei nu intersectează axa longitudinală a barei, spunem că bara este supusă la încovoiere cu răsucire.

4.2. Tensiunea la încovoiere pură. Formula lui Navier Se consideră o bară dreaptă supusă la încovoiere pură şi un element din această bară de lungime dx aflat la distanţa x de capătul ei (fig. 4.1). dϕ

Se fac următoarele notaţii:

ρ

MN o fibră situată la distanţa z faţă de axa neutră CC’; Miy+dMi

Miy C’

C M’

M

x

z

M dx Fig 4.1

ε=

N’

dϕ rotirea relativă a celor 2 supra-feţe ale secţiunii elemntului dx;

ρ raza de curbură a fibrei medii deformate: dx = ρdϕ , întrucât fibra dx nu îşi modifică lungimea. Se foloseşte ipoteza lui Bernoulli pentru suprafeţele secţiunii :

∆( MN ) M ' N' − MN ( ρ + z )dx − ρdx z = = = ϕdx ρ MN MN

(4.1)

Fibra medie deformată poate fi considerată o curbă rectificabilă z=f(x) (funcţie derivabilă de două ori) pentru care se poate scrie raza de curbură cu ajutorul relaţiei cunoscute din geometria diferenţială:

46

z ′′ 1 = ρ 1 + z′2

(4.2)

Folosind ipoteza deformaţiilor mici se poate neglija z ′ 2 în raport cu 1 şi relaţia (4.2) se mai scrie: d 2z 1 ′ ′ =z = 2 (4.3) ρ dx Folosind legea lui Hooke (care exprimă relaţia liniară între tensiunile σ şi deformaţia specifică ε a fibrei MN determinată cu relaţia 4.1) tensiunea normală la încovoierea pură se scrie: z σ = Eε = E = Eω z (4.4) ρ 1 dϕ este rotirea specifică a secţiunii barei supusă la încovoiere. unde ω = = ρ dx Conform celor stabilite la capitolul I eforturile secţionale sunt rezultatul reduceri forţelor interioare elementare în centrul de greutate al secţiunii. În cazul barei drepte supusă a încovoiere pură, în secţiune apar numai tensiuni normale σ care produc forţe elementare normale la secţiune dF= σ dA. Putem deci scrie relaţiile de echivalenţă: N = ∫ σdA = 0;

M iy = ∫ z ⋅ σdA ≠ 0

A

(4.5)

A

Din prima relaţie (4.5) rezultă: ∫ E ω zdA = 0 ⇒ E ω S y = 0

⇒ S y = 0 , adică

A

axa Oy trece prin centrul de greutate al secţiunii C. Din a doua relaţie (4.5) rezultă: M iy 2 ω = ⇒ E ω z dA = M sau E ω I = M (4.6) iy y iy ∫A EI y Temenul de la numitor EIy se numeşte rigiditatea la încovoiere a barei supusă la încovoiere.Înlocuind relaţia (4.6) în (4.4) se obţine formula lui Navier: M σ = E ω z = iy ⋅ z (4.7) Iy σmin C

zmax

σmax

Fig 4.2

y

zC

z

Această formulă arată că tensiunea la încovoierea pură într-un punct al secţiunii este direct proporţională cu momentul încovoietor din secţiune şi cu distanţa z până la axa neutră. Este evident faptul că pentru punctele situate pe axa Cy tensiunile sunt nule (σ=0) de aceea axa Cy se mai numeşte axă neutră. Tensiunea maximă (în valoare absolută) se obţine pentru punctele situate la distanţa cea mai mare de axa neutră:

47

σ max =

M iy Iy

⋅ z max =

M iy M iy = Iy Wy z max

(4.8)

unde Wy este modul de rezistenţă la încovoiere în raport cu axa Oy (fig.4.2). Semnul lui σmax depinde de semnele mărimilor Miz şi zmax.

4.3. Calcule de rezistenţă al barelor supuse la încovoiere a. Calcule de verificare Se consideră o bară dreaptă încărcată cu un sistem de forţe, pentru care se cunosc: valoarea forţelor şi modul de amplasare, legăturile şi dimensiunile barei, forma şi dimensiunile secţiunii şi materialul din care este executată. Pentru verificarea la încovoiere a barei se parcurg următoarele etape: 1. se determină reacţiunile şi se trasează diagrama eforturilor încovoietoare; 2. se determină secţiunile periculoase ale barei şi valoarea momentului încovoietor maxim (în modul) ; 3. se determină modulul de rezistenţă al secţiunii (secţiunilor) barei; 4. se calculează tensiunea σmax pentru secţiunea periculoasă şi se compară cu tensiunea admisibilă a materialului: trebuie îndeplinită condiţia: σ max ≤ σ a Rezistenţa admisibilă se determină în funcţie de tensiunea de curgere σc (pentru materiale ductile) respectiv în funcţie de rezistenţa de rupere σr (pentru materiale fragile) şi coeficientul de siguranţă corespunzător: σa =

σc , cc

respectiv:

σa =

σr cr

(4.9)

b) Calcule de dimensionare Se consideră o bară dreaptă încărcată cu un sistem de forţe, pentru care se cunosc: valoarea forţelor şi modul de amplasare, legăturile şi dimensiunile barei, forma secţiunii şi materialul din care este executată bara. Pentru dimensionarea barei supusă la încovoiere se parcurg următoarele etape: 1. se determină reacţiunile şi se trasează diagrama eforturilor încovoietoare; 2. se determină secţiunile periculoase ale barei şi valoarea momentului încovoietor maxim (în modul); 3. se determină modulul de rezistenţă al barei Wy în funcţie de parametrul s al (4.10) secţiunii: Wiy = β s 3 ; 4. se calculează parametrul s al secţiunii din condiţia: M M M W ynec = iy max ⇒ β ⋅ s 3 = iy max ⇒ s = 3 iy max (4.11) σa σa β ⋅ σa

48

c) Calculul sarinii capabile Se consideră o bară dreaptă încărcată cu un sistem de forţe, pentru care se cunosc următoarele elemente: direcţia forţelor şi modul de amplasare, legăturile şi dimensiunile barei, forma şi dimensiunile secţiunii barei şi materialul din care este executată bara. Pentru calculul sarcinii capabile se parcurg etapele: 1. Se determină reacţiunile şi se trasează diagrama eforturilor încovoietoare. 2. Se determină secţiunile periculoase ale barei şi valoarea momentului încovoietor maxim (în modul) în funcţie de sarcina parametrică P. 3. Se determină modulul de rezistenţă al secţiunii barei Wy ; 5. Se calculează sarcina capabil Pcap din condiţia: M iy max = αPcap = W y σ a

(4.12)

4.4. Tensiuni tangenţiale la încovoierea simplă. Formula lui Juravski. Se consideră o bară dreaptă supusă la încovoiere simplă (într-o secţiune a ei există atât eforturi Miy cât şi Tz) şi un element din această bară de lungime dx aflat la distanţa x de capătul barei fig. 4.3. Fie AB o linie paralelă cu axa neutră Cy situată la distanţa z faţă de aceasta, de lungime b; C’ Miy+d Miy Tz Miy

Tz+d Tz

A’

B’

C y

τxz τzx

D’

b

A σ

B dA

E

D z

Fig 4.3

dx

E’

Pe suprafaţa elementară dA aflată în vecinătatea liniei AB acţionează atât tensiunile normale σ datorate efortului încovoietor Miy (care se calculează cu ajutorul formulei lui Navier) cât şi tensiuni tangenţiale τ datorate eforturilor tăietoare Tz. Teorema dualităţii tensiunilor tangenţiale stabileşte că tensiunile tangenţiale situale în două plane perpendiculare şi care sunt perpendiculare pe muchia comună (linia de intersecţie a celor două plane) sunt egale şi opuse: τxz=τzx (4.13)

Deci tensiunile tangenţiale (τzx) care acţionează asupra elementului de arie dA situat pe faţa secţiunii transversale ABED sunt egale cu tensiunile tangenţiale (τxz) care acţionează asupra elementului da arie dA situat în secţiunea longitudinală ABB’A’ (fig. 4.3).

49

Eforturile secţionale se obţin prin reducerea forţelor interioare elementare în centrul de greutate al secţiunii. În cazul de faţă asupra elementului de arie din secţiunea transversală acţionează: dFn= σ ⋅ dA

! forţa elementară normală:

! forţa elementară tangenţială: dFt= τzx ⋅ dA . Pentru eforturile din secţiunea barei sunt valabile relaţiile de echivalenţă: N = ∫ σdA = 0; Tz = ∫ τ zx dA ≠ 0; M iy = ∫ z ⋅ σdA ≠ 0 (4.14) A

A

A

Vom scrie în continuare ecuaţia de echilibru pentru forţele care acţionează asupra elementului de bară situat sub planul longitudinal ABB’A’: −

∫ σdA − τ

xz

⋅ bdx +

ABED

∫ (σ + dσ )dA = 0

A' B' E ' D'

  z ⋅ dA = 0 (4.15) ∫  ABED I y  dM iy dM iy − τ xz ⋅ bdx + ∫ z ⋅ dA = 0 ⇒ τ xz ⋅ bdx = ∫ z ⋅ dA Iy I y A' B' E' D' A' B' E ' D' Ţinând seama de relaţia pentru momentul static al secţiunii aflată sub linia AB faţă de axa neutră Cy: S * y = ∫ z ⋅ dA şi de relaţia diferenţială dintre eforturile Tz şi −

M iy

z ⋅ dA − τ xz ⋅ bdx +

 M iy + dM iy  ∫  Iy A' B' E ' D' 

A' B' E ' D'

Miy: Tz =

dM iy

din ultima relaţie rezultă formula lui Juravski: dx dM iy S y * S * τ xz = ⇒ τ zx = τ xz = Tz y dx bI y bI y

(4.16)

Este evident faptul că eforturile tangenţiale τzx pe linia DE sunt nule (deoarece momentul static al secţiunii aflată sub linia DE faţă de axa Cy este nul) ceea ce arată că tensiunile tangenţiale din vecinătatea conturului sunt nule. De fapt tensiunile tangenţiale în vecinătatea conturului sunt paralele cu acesta. Tensiunea tangenţială maximă se obţine pentru valorile S*max şi bmin. Exemplul 1 h

y

C

z A

A*

C’

b

τmax zC’

B

Sy*= A*⋅ zC’

z

Fig. 4.4

τ(z)

Se consideră o bară dreaptă având secţiunea dreptunghiulară b×h (fig.4.4). Tensiunile tangenţiale τzx pe linia AB se determină formula lui Juravski : τ zx = Tz

Sy * bI y

în care momentul static al porţiunii din secţiunea barei situată sub linia AB (vezi fig. 4.4) se calculează astfel :

50 2   bh h  1h Sy*= A*⋅ zC’= b − z  ⋅  + z  =  − z 2   2 4 2  2 2 

(4.17)

Deci obţinem: 2 Tz  h 2 3Tz   z   2  12 τ zx = Tz =  − z ⋅ 3 = 1 − 4   bh bh bI y 2 4 2 h    

Sy *

(4.18)

Tensiunile tangenţiale τzx se reprezintă în fig. 4.4. ca o funcţie de gradul al II lea (o parabolă), având un maxim pentru z=0: τ zx max = 1,5

Tz bh

(4.19)

Deci tensiunile tangenţiale maxime τzxmax apar în punctele axei neutre şi sunt 1,5 ori mai mari decât tensiunea tangenţială medie calculată cu formula de la forfecarea pieselor subţiri. Exemplul 2

d

C z

CC zC’

ϕ A

C’

y B

A*

z Fig. 4.5

τmax

Se consideră o bară dreaptă având secţiunea circulară (fig.4.5) de diametru d. Tensiunile tangenţiale τzx pe linia AB se determină formula lui Juravski :

τ(z)

τ zx = Tz

Sy * bI y

unde momentul static al porţiunii din secţiunea barei situată sub linia AB se calculează astfel (vezi fig. 4.5):

Sy*= A*⋅ zC’ A* =

d2 (ϕ − sin ϕ cos ϕ) 4

(4.20) (4.21)

d 2 d sin ϕ d 2 sin ϕ cos ϕ d cos ϕ ϕ ⋅ − ⋅ d sin ϕ( 1 − cos 2 ϕ ) 4 3ϕ 4 3 = zC' = d2 3( ϕ − sin ϕ cos ϕ ) (ϕ − sin ϕ cos ϕ) 4 d3 Deci obţinem: S y * = sin 3 ϕ ; de asemenea b = d sin ϕ . 12 Introducând în formula lui Juravski se obţine: Sy *

d 3 sin 3 ϕ 1 64 16Tz sin 2 ϕ τ zx = Tz = Tz ⋅ ⋅ 4 = 2 bI y d sin ϕ πd 12 3πd

(4.22)

51

Tensiunile tangenţiale τzx se reprezintă în fig. 4.4. ca o funcţie de gradul al II lea în sinϕ având un maxim pentru ϕ=π/2: τ zx max =

16Tz 4 Tz = 3πd 2 3 A

(4.23)

Deci tensiunile tangenţiale maxime τzxmax apar în punctele axei neutre şi sunt de 1,333 ori mai mari decât tensiunea medie calculată cu formula de la forfecarea pieselor subţiri. Exemplul 3 3a

A2*

a C A 3a

A’

z

z

τA’

y

τA τmax

zC

τ zx = Tz

A1* a

a

Se consideră o bară dreaptă având secţiunea compusă din două dreptunghiuri ca în fig.4.6. Tensiunile tangenţiale τzx se determină formula lui Juravski : Sy * bI y

Momentul de inerţie se determină aşa cum s-a stabilit la capitolul 3:

z

3a 2 ⋅ 1,5a + 3a 2 ⋅ 3,5a zC = = 2,5a 6a 2

Fig 4.6

a ⋅ (3a ) 3a ⋅ (a ) + 3a 2 ⋅ a 2 + + 3a 2 ⋅ a 2 = 8,5a 4 Iy = (4.24) 12 12 Momentul static al unei porţiuni a secţiunii barei situată sub linia AA’ între linia inferioară şi o linie situată la distanţa z de axa neutră se calculează astfel : 3

3

1 (2,5a + z ) = a (6,25a 2 − z 2 ) (4.25) 2 2 Tensiunile tangenţiale corespunzătoare acestei linii (situată la distanţa z) sunt: Sy1*= A1*⋅ zC’= a(2,5a − z ) ⋅

2  Tz ⋅ a Tz  z 1   2 2 (6,25a − z )⋅ 4 = 2  6,25 −    τ zx = Tz = bI y 2a 8,5a 17a  a 

Sy *

Tz 6Tz = , 0 353 a2 17a 2 Tz 6,25Tz = , 0 368 şi pentru z=0 se obţine un maxim local: τ zx max = a2 17a 2

(4.26)

Pentru z=-0,5a se obţine: τ zx A =

(4.27)

Momentul static al porţiunii din secţiunea barei situată deasupra liniei AA’ (fig. 4.6) se calculează analog : Sy2*= A2*⋅ zC’= 3a(1,5a − z ) ⋅

1 (1,5a + z ) = 3a (2,25a 2 − z 2 ) 2 2

(4.28)

52

Tensiunile tangenţiale corespunzătoare acestei zone sunt: 2  S y * Tz ⋅ 3a Tz  z 1   2 2 (2,25a − z )⋅ 4 = 2  2,25 −    τ zx = Tz = bI y 6a 8,5a 17a  a  Tz 2Tz = , Pentru z=-0,5a se obţine: τ zx A' = 0 117 a2 17a 2

(4.29) (4.30)

Tensiunile tangenţiale τzx se reprezintă în fig. 4.6 ca o funcţie de gradul al II lea având un maxim pentru z=0 şi un salt ( τ zx A = 3τ zx A' ) corespunzător lui z=-0,5a unde lăţimea variază de la a la 3a.

4.5. Lunecarea longitudinală a barelor cu secţiune compusă supuse la încovoiere simplă Se consideră o bară dreaptă supusă la încovoiere simplă având secţiunea compusă din două dreptunghiuri independente între ele (fig. 4.7) sau sudate între ele (fig. 4.8). 3a

3a C1

a

3a

y1

y

C

3a

C2

zC

y2 a

a

a

a

a z

z Fig 4.7

Fig 4.8

Pentru secţiunea compusă din două bucăţi independente între ele momentul de inerţie şi modulele de rezistenţă se determină ca sumă a momentelor de inerţie / modulelor de rezistenţă pentru fiecare din cele două părţi , astfel: a ⋅ (3a ) I = = 2,25a 4 ; 12 3 3a ⋅ (a ) I (y 2 ) = = 0,25a 4 12 I (y1 ) 2,25a 4 (1) Wy = = = 1,5a 3 ; z max 1 1,5a 3

(1) y

W

(2) y

=

I (y 2 ) z max 2

=

0,25a 4 = 0 ,5a 3 0,5a

⇒ I y = I (y1 ) + I (y 2 ) = 2,5a 3

(4.31)

⇒ W y = W y( 1 ) + W y( 2 ) = 2a 3

53

Pentru secţiunea compusă din două bucăţi sudate (fig. 4.8) momentul de inerţie se determină la fel ca în cazul în care secţiunea ar fi dintr-o singură bucată (vezi exemplul 3): a ⋅ (3a ) 3a ⋅ (a ) + 3a 2 ⋅ a 2 + + 3a 2 ⋅ a 2 = 8,5a 4 Iy = 12 12 4 I 8,5a = 3,4a 3 Wy = y = z max 2,5a 3

3

(4.32)

P

a) d

d

P

3a a

L

3a

P/2

P/2

zC

g a

a

+

P/2

-

Diagrama T

Fig 4.9

y

C

z

-P/2 b)

c)

Să considerăm cel mai simplu exemplu de încovoiere simplă: cazul unei bare de lungime L aflată pe două reazeme rigide la capetele ei, încărcată cu o forţă concentrată P la mijlocul distanţei între reazeme (fig. 4.9). Pentru secţiunea compusă din două bucăţi independente în urma încărcării cele două bare se deplasează una în raport cu cealaltă, sau alunecă longitudinal una în raport cu cealaltă (fig. 4.9.a). Prin sudarea celor două bucăţi (fig. 4.9.b) este împiedicată lunecarea longitudinală şi cordonul de sudură este supus la forfecare, jumătate într-un sens, cealaltă jumătate în celălalt sens. Pentru a determina forţa de forfecare preluată de cordoanele de sudură (pentru jumătate din bară de lungime L/2 şi lăţimea în dreptul cordonului a) se foloseşte relaţia: Ff =

L/2

L/2

0

0

∫ τ xz a ⋅ dx =

∫

L/2 Tz S * P ⋅ 3a 3 3PL ⋅ a ⋅ dx = ∫ ⋅ a ⋅ dx = 4 bI y 34a 0 2a ⋅ 8,5a

(4.33)

54

Verificarea cordonului de sudură (având lăţimea g ca în fig. 4.9.c) se face astfel: τf =

Ff Af

=

3PL 1 3P ⋅ = ≤ τ af 34a Lg 34ag

(4.34)

unde τaf este rezistenţa admisibilă la forfecare a cordonului de sudură. Dacă în locul cordonului de sudură sunt prevăzute două bolţuri cilindrice de diametru d (fig. 4.9.b) (aproape de capete) atunci relaţia pentru verificarea acestor elemente de rigidizare este : τf =

Ff Af

=

3PL 4 6 PL ⋅ 2 = ≤ τ af 34a πd 17πad 2

(4.35)

4.6. Deformaţiile barelor supuse la încovoiere. Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate. Se consideră o bară dreaptă de lungime L supusă la încovoiere simplă având rigiditatea la încovoiere EIy constantă pe lungimea sa. La paragraful 4.2 s-a arătat că fibra medie deformată (sau linia elastică a barei) este caracterizată de ecuaţia diferenţială : M 1 dϕ d 2 w = = 2 = ω = iy EI y ρ dx dx

A

(4.36)

ϕ(x)

ϕ0

w0

z

x

B

w(x)

x

L Fig 4.10

Întrucât pentru sistemul de axe ales Oxz un moment încovoietor pozitiv aplicat la capetele barei produce totdeauna săgeţi w(x) pozitive rezultă că derivata a două este negativă w”(x)<0, de aceea este necesar ca în relaţia (4.36) să se introducă semnul minus, adică ecuaţia diferenţială a rotirilor specifice şi a fibrei medii deformate se scrie: M dϕ d 2 w = 2 = − iy (4.37) dx dx EI y Dacă se integrează ecuaţia diferenţială (4.37) se obţine rotirea secţiunii aflate la distanţa x de capătul barei. Aceste rezultate se pot obţine prin metode analitice sau metode grafo-analitice aşa cum rezultă din cele prezentate în continuare.

55

a. Metoda funcţiei de încărcare sau a funcţiei de forţă 1 Aceasta este o metodă analitică, care utilizează aşa numita funcţie de încărcare sau funcţie de forţă. Integrând ecuaţia diferenţială (4.37) se obţine rotirea secţiunii aflate la distanţa x de capătul barei: M Φ ′( x ) dw ϕ( x ) = = ∫ − iy dx = ϕ0 + (4.38) dx EI y EI y unde: ϕ0 este rotirea secţiunii aflate la capătul din stânga al barei (originea barei), Φ ′( x ) = ∫ − M iy dx

(4.39)

reprezintă derivata funcţiei Φ(x), numită funcţie de încărcare sau de forţă. Dacă se integrează încă o dată ecuaţia diferenţială (4.38) şi se ţine seama de relaţia (4.39) se obţine săgeata (deplasarea după Oz) secţiunii aflate la distanţa x de capătul barei: Φ( x ) w( x ) = w0 + ϕ 0 x + (4.40) EI y unde s-a notat cu w0 deplasarea secţiunii din capătul din stânga al barei. Constantele de integrare ϕ0 şi w0 se mai numesc parametrii din origine şi se determină din condiţiile la limită ce se impun barei supuse la încovoiere (fie deplasările impuse în dreptul reazemelor rigide sau elastice, fie rotirile ϕ impuse din încastrări sau culisele elastice). Se consideră în continuare o bară dreaptă OB de lungime L având rigiditatea la încovoiere EIy constantă pe lungimea sa care este supusă la încovoiere simplă datorită acţiunii a trei tipuri de sarcini exterioare (care pot fi atât forţe direct aplicate cât şi forţe de legătură): un moment încovoietor N la distanţa a, o forţă concentrată P la distanţa b şi o sarcină distribuită q la distanţele c şi d ca în fig. 4.11. L N

O a z

q

P b

B x

c

d x Fig 4.11

Funcţia de încărcare Φ(x), se determină cu ajutorul următoarei relaţii generale: 1

Funcţia de încărcare (de forţă) a fost introdusă de către prof. dr. ing. Mihail ATANASIU în lucrarea

“Metode analitice noi în Rezistenţa materialelor” Ed. U.P.Bucureşti 1994

56 2 N( x − a ) ( x − a + x − a ) + P( x − b ) ( x − b + x − b) + 2 ⋅ 2! 2 ⋅ 3! (4.41) 3 q( x − c ) q( x − d )3 + ( x − c + x − c)− (x − d + x − d ) 2 ⋅ 4! 2 ⋅ 4!

Φ( x ) =

iar derivata funcţiei de încărcare se determină astfel: N ( x − a + x − a ) + P( x − b ) ( x − b + x − b ) + 2 2 ⋅ 2! 2 q( x − c )2 + ( x − c + x − c ) − q( x − d ) ( x − d + x − d ) 2 ⋅ 3! 2 ⋅ 3!

Φ ′( x ) =

(4.42)

Parantezele din relaţiile de mai sus practic anulează efectul sarcinilor la stânga punctului sau începutului intervalului lor de acţiune: pentru x ≤ a 0 etc. 2( x − a ) pentru x > a

( x − a + x − a ) = 

(4.43)

Ţinând seama de relaţiile (4.41), (4.42) şi (4.43) se obţine o regulă mult mai simplă pentru calculul acestor funcţii într-un punct k al barei este dată în fig. 4.12: k

N rN P

k rP

q Rq

N⋅ rN2 Φk = 2

Φ ′k =

P⋅ rP2 Φk = 6

P⋅ rP2 Φ ′k = 2

k rq

Φk =

q( Rq4 − rq4 ) 24

N⋅ rN 1

Φ ′k =

Fig.4.12

q( Rq3 − rq3 ) 6

b. Metoda lui Mohr Dacă se integrează ecuaţia diferenţială (4.37) pe intervalul (0, x) se obţine rotirea secţiunii aflate la distanţa x de capătul barei: x M dw = − ∫ iy dx + tgϕ 0 tgϕ = (4.44) dx 0 EI y Ω sau: tgϕ − tgϕ0 = − 0 x (4.45) (pentru unghiuri mici tgϕ ≅ ϕ ) EI y x

unde Ω 0 x = ∫ M iy dx reprezintă aria diagramei momentelor încovoietoare pe 0

intervalul (0, x) (fig. 4.13).

57

Relaţia (4.45) se numeşte ecuaţia rotirilor şi permite calculul rotirii ϕ într-o secţiune oarecare a barei cu condiţia să se cunoască rotirea ϕ0 într-o secţiune considerată ca origine şi aria diagramei de momente încovoietoare Ω0x. L N

O a

q

P b

x

B

c

d

x

z

x d1

d2 C

+

Diagrama M

Ω0x Fig 4.13

Dacă se integrează încă o dată relaţia (4.45) se obţine: x

EI y ( w − x ⋅ tgϕ0 ) = − ∫ Ω 0 x dx + C

(4.46)

0

Dacă se integrează prin părţi integrala din membrul drept se obţine: x

∫Ω 0

x

0x

dx = xΩ 0 x − ∫ xdΩ 0 x = xΩ 0 x − d1 ⋅ Ω 0 x = ( x − d1 )Ω 0 x = d 2 ⋅ Ω 0 x = S x 0

(4.47)

0

unde Sx0 reprezintă momentul static al diagramei de momente încovoietoare faţă de o axă paralelă cu Oz situată la disatanţa x de origine. Constanta de integrare se obţine tot din condiţiile la limită (în origine): EI y ( w0 − 0 ⋅ tgϕ 0 ) = − S x 0 + C

(4.48)

Relaţia (4.46) devine: EI y ( w − w0 − x ⋅ tgϕ0 ) = − S x 0 sau: S w − w0 − x ⋅ tgϕ 0 = − x 0 EI y

(4.49) (4.50)

Relaţia (4.50) se numeşte ecuaţia săgeţilor şi permite calculul săgeţii w într-o secţiune oarecare a barei cu condiţia să se cunoască săgeata w0 şi rotirea ϕ0 în secţiunea considerată ca origine şi momentul static al diagramei de momente încovoietoare Sx0. Metoda de calcul grafo-analitică de mai sus se mai numeşte metoda lui Mohr.

58

Aceste relaţii sunt valabile pentru orice tronson al barei, astfel încât se pot calcula din aproape în aproape rotirile şi săgeţile pentru capetele fiecare tronson. Aplicarea formulelor (4.45) şi (4.50) pentru calculul rotirilor şi săgeţilor se face prin suprapunerea efectelor satrcinilor care acţionează pe tronsonul respectiv: pentru cele trei tipuri de sarcini ale căror diagrame M(x) au forma din tabelul 4.1 formulele de calcul ale ariei şi momentului static al diagramelor de momente încovoietoare sunt date în tabel: Tabelul 4.1: Caz de încărcare şi

Aria diagramei

diagrama de momente

Ω01

N

0

1 -N

-

O

Ω01=-aN

S10=-a2N/2

Ω01=-a2 P/2

S10=-a3P/6

C

a

z

Momentul static la diagramei S10

d2=a/2

x

P

0

1 -Pa

C

-

O z

a

x

d2=a/3

a q 0

1 b

Ω01=-a3q/6 + b3q/6

2

-qa /2

-

O

z

d2=a/4 d'2=b/4 +qb2/2

x

S10=-a4q/24 + b4q/24

59

CAPITOLUL V GRINZI CONTINUE

Grinzile continue sunt sisteme static nedeterminate de tipul barelor drepte situate pe mai multe reazeme, libere la capete sau încastrate, cu sau fără console, ca în fig. 5.1. Reazemele pot fi situate la acelaşi nivel, sau pot fi denivelate. Reazemele se consideră punctuale şi rigide. V1

q

P

N

H1 c

V2

b1

V3

b2

V4

b2

V5

b3

a. M0

q

P

H0 V0

V1

b1

N

V2

b2 b.

b2

V3

c

Fig 5.1

În cazul unei grinzi continue plane situată pe n reazeme avem n+1 necunoscute: H1, V1, V2, ... Vn şi se pot scrie din Mecanică 3 ecuaţii de echilibru:

∑F

x

= 0;

∑F

z

= 0;

∑M

y

= 0;

Aceasta este un sistem static nedeterminat având gradul de nedeterminare: GN=n-2 În cazul barelor încastrate la un capăt şi situate pe n reazeme acestea se pot echivala cu o grindă continuă pe n+2 reazeme (cu b0=0 , fig. 5.2) care introduce n+3 necunoscute, deci este un sistem static nedeterminat având: GN=n H0 b0 V’0 V0

q

P

b1

N

b2

b2 V1

V2

c V3

Fig 5.2

Pentru rezolvarea unor astfel de sisteme se pot folosi metode grafo-anlitice sau analitice după cum urmează.

60

a. Ecuaţia celor trei momente (ecuaţia lui Clapeyron) Dacă se secţionează bara în dreptul reazemului n, se pot pune în evidenţă două tipuri de reacţiuni necunoscute (se face abstracţie de reacţiunile orizontale H fig. 5.3): ! Momentul încovoietor Mn care este acelaşi pentru cele două tronsoane care concură în reazemul n; ! Reacţiunile Vns şi Vnd diferite pentru cele două tronsoane din reazemul n; n-1

n

Mn-1

n Mn

bn

Vn-1d

n+1

Mn

Vns

Vnd

bn+1

Vn+1s

Fig 5.3

Dacă se consideră cazul general în care cele trei reazeme consecutive sunt şi denivelate cu valorile wn-1 wn, wn+1, iar momentele de inerţie diferă pe cele două tronsoane In şi In+1, se scrie ecuaţia săgeţilor conform metodei lui Mohr pentru fiecare din cele două tronsoane alegând următoarele sensuri de deplasare: ! pentru primul tronson de la n la n-1: wn −1 − wn − bn tgϕ′n = −

S n −1 EI n

⇒ tgϕ′n = ϕ′n =

wn −1 − wn S + n −1 bn bn EI n

(5.1)

! pentru al doilea tronson de la n la n+1: wn +1 − wn − bn +1tgϕ′n′ = −

S n +1 EI n +1

⇒ tgϕ′n′ = ϕ′n =

wn+1 − wn S n +1 + bn +1 bn +1 EI n+1

(5.2)

Dacă se ţine seama că rotirile în dreptul reazemului n sunt egale şi opuse ca semn: ϕ′n = −ϕ′n′

sau

ϕ′n + ϕ′n′ = 0 ,

(5.3)

se obţine: wn −1 − wn wn +1 − wn S S n +1 + + n −1 + =0 bn bn+1 bn EI n bn +1 EI n+1

(5.4)

Se exprimă momentele statice Sn-1, Sn+1, ale diagramelor de momente static nedeterminate datorate momentelor Mn-1, Mn, Mn+1 şi ale diagramelor de momente datorate sarcinilor exterioare astfel (vezi fig. 5.4): b 1 2b 1 S n −1 = S ns−1 + M n−1bn ⋅ n + M n bn ⋅ n 2 3 2 3 b 2b 1 1 S n +1 = S ns+1 + M n bn +1 ⋅ n +1 + M n +1bn+1 ⋅ n +1 2 3 2 3

(5.5)

61 n-1

P1

n

n

Mn-1

Mn

P2

P3

n+1

Mn

Mn+1

bn

bn+1

xn-1

xn+1

bn/3

bn/3 bn+1/3

Mn-1

Mn

Mn

bn+1/3 Mn+1

Fig 5.4

Relaţia (5.4) devine:  w − wn wn +1 − wn + 6 E  n −1 b bn +1 n 

(5.6)

  S ns−1  M n bn M n bn +1  M n +1bn +1 S ns+1  M n −1bn +  + 6   + + + + =0 2  b I b I I I I I 1 1 1 1 n n n n n n n n + +  + +    

Aceasta se numeşte ecuaţia celor trei momente sau ecuaţia lui Clapeyron. Pentru cazul particular în care bara are aceeaşi rigiditatela încovoiere EI şi nu există denivelări ale reazemelor (wn-1=wn=wn+1 =0) relaţia (5.6) devine: Ss Ss  M n −1bn + 2 M n ( bn + bn +1 ) + M n +1bn +1 + 6 n −1 + n +1  = 0 bn +1   bn

(5.7)

Ultima paranteză reprezintă suma reacţiunilor din reazemul n pentru barele reciproce corespunzătoare celor două tronsoane de lungimi bn şi bn+1. Reacţiunile din reazemul n se determină prin suprapunerea efectului celor două seturi de reacţiuni corespunzătoare fiecărui tronson: M − Mn M − Mn + Vnd + n +1 Vn = Vns + n−1 unde: (5.8) bn bn +1 Vns , Vnd sunt reacţiunile din reazemul n ale sarcinilor exterioare corespunzătoare celor două tronsoane de lungimi bn şi bn+1. M − Mn M − Mn Vn′ = n −1 ; Vn′′ = n +1 (5.9) bn bn +1 sunt reacţiunile suplimentare datorate celor trei momente Mn-1 , Mn Mn+1 pentru cele două tronsoane din reazemul n; În cazul unei grinzi continue cu încastrare în capăt (fig. 5.1.b) se înlocuieşte această încastrare cu două reazeme situale la distanţa b0=0. Ecuaţia celor trei momente pentru reazemele 0-1-2 se scrie în acest caz: Ss (5.10) 2M 0 b1 + M 1b1 + 6 1 = 0 b1

62

b. Metoda funcţiei de încărcare1 Este o metodă analitică care elimină construcţiile grafice ale metodei Clpeyron, permiţând determinarea directă a reacţiunilor din legăturile grinzii cu mediul fix. Această metodă se bazează pe scrierea ecuaţiilor de deformaţii cu ajutorul funcţiei de încărcare, prezentată în capitolul de încovoiere a barelor drepte: EIw(x) = EIw0 + EIϕ 0 x + Φ( x )

(5.11)

EIϕ(x) = EIϕ0 + Φ' ( x )

Aceste ecuaţii de deformaţii se referă fie la valoarea săgeţii în dreptul reazemelor, fie la valoarea rotirii secţiunii în încastrare. Ecuaţia de deformaţii legate de deplasări se mai poate scrie cu ajutorul ecuaţiei celor trei săgeţi care se obţine astfel: ! se scriu săgeţile corespunzătoare celor trei puncte i, j, k aflate la distanţele xi, xj, respectiv xk de capătul barei (fig. 5.5): EIwi = Φ (xi )+ EIϕ 0 xi + EIw0 Lj EIw j = Φ (x j )+ EIϕ0 ( xi + Li ) + EIw0

− ( Li + L j )

EIwk = Φ(xk )+ EIϕ0 ( xi + Li ) + EIw0

(5.12)

Li

! se amplifică fiecare din cele trei ecuaţii cu expresiile din dreapta şi se adună membru cu membru, iar după reducerea termenilor asemenea se obţine ecuaţia celor trei săgeţi: EI [wi L j − w j ( L j + Li ) + wk Li ] = Φ i L j − Φ j ( L j + Li ) + Φ k Li

(5.13)

unde Φi, Φj, Φk sunt funcţiile de încărcare calculate în punctele i, j, k corespunzătoare secţiunilor aflate la distanţele xi, xj, respectiv xk de capătul barei. i

xi

wi Li

xj

j

wj

k

wk

Lj

xk Fig.5.5

1

Acestă metodă pentru calculul reacţiunilor este prezentată de prof. dr. ing. Mihail ATANASIU în lucrarea

“Metode analitice noi în Rezistenţa materialelor” Ed. U.P.Bucureşti 1994

63

5.1. Grinda continuă pe trei reazeme rigide punctuale situale la acelaşi nivel ca axa barei (3R) Modelul matematic folosit este prezentat în figura generală 5.6 unde bara este supusă la înconvoiere simplă prin acţiunea unor sarcini exterioare cunocute ca module, direcţii şi poziţie, şi a forţelor de legătură cunocute direcţii şi poziţie, astfel: ! două forţe concentrate P1, P2 acţionând normal pe axa barei în planul principal, ! două sarcini uniform distribuite q1, q 2 , normale la axa barei în planul principal, ! două cupluri concentrate N1, N2 dirijate după Oy,cunoscute ca sens şi module. ! forţele de legătură (reacţiunile) V1, V2, V3 în cele trei reazeme punctuale rigide (cunoscute ca direcţie si poziţie, dar necunoscute ca module). f2

d2 g1 d1

e2

g2

f1

e1

P2 q1

P1

q2

N1 a

V1

N2 V2

b2

V3

b3

c

Fig. 5.6

Pentru determinarea celor 3 reacţiuni necunoscute se utilizează două ecuaţii din Mecanică şi o ecuaţie de deformaţii din Rezistenţa materialelor:

ΣZs ↓ =V1+V2+V3

(5.14)

ΣM3s=V1 (b2+b3)+V2 b3

(5.15)

Ecuaţia celor 3 săgeţi se scrie pentru reazemele 1-2-3 astfel: EI [w1b3 − w2 ( b2 + b3 ) + w3b2 ] = Φ1b3 − Φ 2 ( b2 + b3 ) + Φ 3b2

(5.16)

Dacă se înlocuiesc în ecuaţia (5.16) valorile săgeţilor în rezemele punctuale rigide (w1=w2=w3=0) şi valorile pentru funcţiile de încărcare corespunzătoare:

V1 (b2 + b3 ) V2b33 V1b23 ; ; Φ1 = Φ1s Φ 2 = Φ 2 s − Φ3 = Φ3 s − − 6 6 6 3

(5.17)

(unde cu Φ1S, Φ2S, Φ3S am notat funcţiile de încărcare corespunzătoare sarcinilor exterioare cunoscute), atunci ecuaţia (5.16) devine:

64 3  V1 (b2 + b3 ) V2b33  V1b23    b2 = 0 − Φ1s b3 −  Φ 2 s − (b2 + b3 ) +  Φ 3s − 6 6 6    

Notând cu A2s expresia : A2 s = Φ1s b3 − Φ 2 s ( b2 + b3 ) + Φ 3 s b2 ; atunci ecuaţia (18) devine: 3 V1b23 (b2 + b3 ) V1 (b2 + b3 ) b2 V2b2b33 − = − A2 s − 6 6 6 Dacă se multiplică ecuaţia (5.15) cu

(5.18) (5.19)

(5.20)

b2 b32 şi se adună cu ecuaţia (5.20) 6

membru cu membru, se elimină V1 şi rezultă:  b2b32 (b1 + b2 ) (b2 + b3 )b23 (b2 + b3 )3 b2  b2b32 + − V1  = 6 6 6 6  

! M ∑ 3 S − A2 s

(5.21)

Efectuând calculele din paranteză rezultă reacţiunea V1:

V1 =

 3A2 s b 3 1  − b 2 (b 2 + b 3 )  b 2b 3 2

!   3s  

∑M

(5.22)

Din ecuaţia (5.15) se obţine reacţiunea V2:

V2 =

1 b3

!

∑M

3s

 b  − 1 + 2 V1  b3 

(5.23)

Din ecuaţia (5.14) rezultă reacţiunea V3: V3 = ∑ Z i ↓ − V1 − V2

(5.24)

5.2. Grinda continuă pe patru reazeme rigide punctuale situale la acelaşi nivel cu axa barei (4R) Modelul matematic folosit este prezentat în fig. 5.7. Asupra barei acţionează un sistem de sarcini după cum urmază: ! două forţele concentrate P1, P2, acţionând normal pe axa barei în planul principal, la distanţele d1 şi d2 de capătul barei; ! două sarcini uniform distribuite q1, q 2 cunocute ca module, direcţii si poziţii pe bară, acţionând normal pe axa barei în planul principal ! două momente concentrate după axa Oy: N1, N2 cunoscute ca sens şi module. ! cele patru reacţiuni din reazemele simple punctuale rigide cu care bara este legată de mediul fix, sub forma forţelor concentrate V1, V2, V3, V4, cunoscute ca direcţii si poziţie pe bară, dar necunoscute ca module.

65

f2 g2

e2

d2 g1 d1

f1

e1

q1

P1 N1

a

P2

V1

b2

V2

q2 N2 b3

V3

b4

V4

c

Fig. 5.7 Pentru determinarea reacţiunilor se calculează mai întâi funcţiile de încărcare ale sarcinilor exterioare Φ1S, Φ2S, Φ3S, Φ4S , suma tuturor forţelor exterioare cu sensul plus indicat (ΣZS↓), suma momentelor tuturor sarcinilor exterioare faţă de reazamul 4 cu sensul plus trigonometric (sensul axei Oy) : ΣM4S. Pentru determinarea celor patru reacţiuni se folosesc două ecuaţii de echilibru din Mecanică şi două ecuaţii de deformaţii, după cum urmează :

ΣZs ↓ =V1+V2+V3+V4

(5.25)

ΣM4s=V1(b2+b3+b4)+V2(b3+b4)+V3(b4)

(5.26)

Celelalte două ecuaţii se scriu aplicând ecuaţia celor trei săgeţi pentru cele două triplete de reazeme: 1-2-3 şi 2-3-4: EI [w1b3 − w2 ( b2 + b3 ) + w3b2 ] = Φ 1b3 − Φ 2 ( b2 + b3 ) + Φ 3b2 EI [w2 b4 − w3 ( b3 + b4 ) + w4 b3 ] = Φ 2 b4 − Φ 3 ( b3 + b4 ) + Φ 4 b3

(5.27) (5.28)

unde dacă se înlocuiesc valorile săgeţilor în rezemele punctuale rigide (toate sunt nule) şi valorile pentru funcţiile de încărcare din reazeme : V1b23 Φ 1 = Φ 1s ; Φ 2 = Φ 2s − ; 6 3 V1 (b2 + b3 ) V2 b33 Φ 3 = Φ 3s − − ; (5.29) 6 6 3 3 V1 (b2 + b3 + b4 ) V2 (b3 + b4 ) V3b43 Φ 3 = Φ 3s − − − 6 6 6 ecuaţiile (5.27) şi (5.28) devin:

66 3  V1 (b2 + b3 ) V2 b33  V1b23    b2 = 0 Φ 1s b3 −  Φ 2 s − − (b2 + b3 ) +  Φ 3 s − 6 6 6     3  V1 (b2 + b3 ) V2 b33  V1b23    (b3 + b4 ) + −  Φ 2s −  b4 −  Φ 3 s − 6  6 6    3 3  V1 (b2 + b3 + b4 ) V2 (b3 + b4 ) V3b43   b3 = 0 +  Φ 3 s − − − 6 6 6  

(5.30)

(5.31)

Dacă se notează în ecuaţiile (5.19) şi (5.20) : A2 s = Φ 1s b3 − Φ 2 s ( b2 + b3 ) + Φ 3 s b2 A3 s = Φ 2 s b4 − Φ 3 s ( b3 + b4 ) + Φ 4 s b3 atunci ecuaţiile (5.30) şi (5.31) se scriu astfel: 3 V1b23 (b2 + b3 ) V1 (b2 + b3 ) b2 V2 b33b2 − − = − A2 s 6 6 6 V b3 V (b + b3 ) (b3 + b4 ) V2 b33 (b3 + b4 ) − 1 2 b4 + 1 2 + − 6 6 6 3 3 V1 (b2 + b3 + b4 ) b3 V2 (b3 + b4 ) b3 V3b43 b3 − − − = − A3 s 6 6 6

(5.32)

(5.33)

3

(5.34)

b b  Dacă se multiplică ecuaţia (5.26) cu  3 4  şi se adună cu ecuaţia (5.34)  4   3   , eliminăm pe V3 şi rezultă : multiplicată cu  b 2  4 3 3  b3b4 b23 (b2 + b3 ) (b3 + b4 ) (b2 + b3 + b4 ) b3  (b2 + b3 + b4 ) − + − V1  + 4 4b4 4b4  4   b3b4 (b3 + b4 ) b33 (b3 + b4 ) b42 b3  b3b4 3A + V2  + − = M 4S − 3S ∑  4 4b4 4  4 3b4 

(5.35)

 3( b3 + b4 )   şi se adună cu ecuaţia Dacă se multiplică ecuaţia (5.33) cu  − b2 b3   (5.35), eliminăm pe V2 şi rezultă reacţiunea V1: ! bb 3(b3 + b4 ) 1,5 A2 S − A3 S + 3 4 ∑ M 4 S b2 b3 b4 4 1 V1 = (5.36) b2 b3 (0,75b3 + b4 ) + b2 (b3 + b4 ) Înlocuind pe V1 în relaţia (5.22) vom obţine reacţiunea V2:

67

V2 =

  6 A2 S  b2  b2   + 1 ⋅ V1 − + 2 3  b2 b33  b3  b3  

(5.37)

Înlocuind V1 şi V2 în relaţia (5.26) obţinem reacţiunea V3: ! 1 V3 = ∑ M 3 S − (b3 + b4 )V2 − (b2 + b3 + b4 )V1 b4

[

]

(5.38)

Înlocuind în relaţia (5.25) pe V1 , V2 şi V3 obţinem: V4 = ∑ Z S ↓ −V1 − V2 − V3

(5.39)

5.3. Grinda continuă încastrată la un capăt şi situată pe un reazem punctual la acelaşi nivel cu axa barei (I+R) Modelul matematic folosit este prezentat în fig. 5.8: o bară dreaptă de secţiune constantă pe lungimea sa, încastrată la un capăt şi situată pe un reazem punctual la acelaşi nivel cu încastrarea care este supusă la înconvoiere simplă prin acţiunea unor sarcini cunocute ca module, direcţii si poziţii pe bară, astfel: • două forţele concentrate P1, P2, acţionând normal pe axa barei în planul principal, la distanţele d1 şi d2 de capătul barei; • două sarcini uniform distribuite q1, q 2 cunocute ca module, direcţii si poziţii pe bară, acţionând normal pe axa barei în planul principal • două momente concentrate după axa Oy: N1, N2 cunoscute ca sens şi module. • trei reacţiuni din încastrare şi reazemul punctual rigid cu care bara este legată de mediul fix, sub forma forţelor V0, V1 şi a momentului din încastrare M0, cunoscute ca direcţii si poziţie pe bară, dar necunoscute ca module. b1 P1

M0

V0

P2

c N1

N2

q2

q1

d1 d2

V1 g1

g2 e1

f1 e2

f2 Fig. 5.8

68

Pentru determinarea celor trei reacţiuni (M0, V0, V1) se folosesc două ecuaţii de echilibru din Mecanică şi o ecuaţie de deformaţii: ↓ ΣZ s = V0 + V1 ! ΣM 1s = M 0 + V0 b1 EIw1 = Φ 1s −

M 0 b12 V 0b13 − =0 2 6

Din relaţia (5.41) rezultă M0: ! M 0 = ΣM 1s − V0 b1 Înlocuind pe M0 în relaţia (5.42) rezultă: ! ΣM 1s − V0 b1 b12 V0 b13 Φ 1s − − = 0; sau 2 6 ! ΣM 1s b12  b13 b13  Φ 1s − + V0  −  = 0 2 2 6

(

(5.40) (5.41) (5.42)

(5.43)

)

De unde rezultă reacţiunea V0: ! 3  ΣM 1s Φ1s  − 2  V0 =  b1  2 b1  Înlocuind pe V0 în ecuaţia (5.42) rezultă M0 : ! 3Φ1s ΣM 1s M0 = 2 − b1 2 Din ecuaţia (5.40) se determina reacţiunea V1: ! 3  ∑ M 1s Φ 1s  − 2  V1 =↓ ΣZ s −  b1  2 b1 

(5.44)

(5.45)

(5.46)

(5.47)

5.4. Grinda continuă încastrată la un capăt şi situată pe două reazeme punctuale la acelaşi nivel cu axa barei (I+2R). Modelul matematic folosit este prezentat în fig. 5.9: o grindă continuă încastrată la un capăt şi situată pe două reazeme punctuale la acelaşi nivel cu încastrarea, care este supusă la înconvoiere simplă prin acţiunea unor sarcini cunocute ca module, direcţii si poziţii pe bară, astfel: ! două forţele concentrate P1, P2, acţionând normal pe axa barei în planul principal, la distanţele d1 şi d2 de capătul barei; ! două sarcini uniform distribuite q1, q 2 cunocute ca module, direcţii si poziţii pe bară, acţionând normal pe axa barei în planul principal

69

! două momente concentrate după axa Oy: N1, N2 cunoscute ca sens şi module. ! patru reacţiuni din încastrare şi reazemele punctuale rigide cu care bara este legată de mediul fix, sub forma forţelor V0, V1, V2, şi a momentului din încastrare M0 , cunoscute ca direcţii si poziţie pe bară, dar necunoscute ca module. b1 P1

M0

V0

P2

b2

N1

N2

q2

q1

d1 d2

c

V1 g1

V2

g2 e1

f1 e2

f2 Fig. 5.7

Pentru determinarea celor trei reacţiuni M0, V0, V1 se folosesc două ecuaţii de echilibru din Mecanică şi următoarele două ecuaţii de deformaţii: ΣZ s ↓= V0 + V1 + V2 ! ΣM 2 s = M 0 + V0 ( b1 +b2 ) + V1b 2

(5.48) (5.49)

M 0 b12 V0 b13 ΕΙw1 = Φ 1s − − =0 2 6

(5.50)

M 0 (b1 + b2 ) V0 (b1 + b2 ) V1b23 ΕΙw2 = Φ 2 s − − − =0 2 6 6 2

3

(5.51)

Din relatia (5.50) rezulta V0 în funcţie de M0 iar din relatia (5.49) rezultă V1 în funcţie de M0 şi V0: V0 =

 1  6Φ 1s  2 − 3M 0  b1  b1 

V1 =

1 ! ΣM 2 s − M 0 − V0 (b1 + b2 ) b1

[

(5.52)

]

(5.53)

Înlocuind pe V0 si pe V1 în relaţia (5.51) rezultă:  (b1 + b2 )2 3(b1 + b2 )(b1 + 2b2 ) b22  Φ1s b2 ! Φ2s − M0  − −  − 2 (b1 + b2 )(b1 + 2b2 ) − 2 ΣM2s = 0 2 6 6  b1 6 

Din relaţia (5.54) rezultă M0:

(5.54)

70

M0 =

 Φ 1s 6  3b1 + 4b2  b1

 Φ  2b b  b !  3 + 2 + 1  + 2 ΣM 2 s − 2 s  b1 b2  6 b2  

(5.55)

Se înlocuieşte M0 în expresia (41) şi rezultă V0: V0 =

 Φ 1s 6Φ 1s 18  − b13 b1 ( 3b1 + 4b2 )  b1

 Φ  2b b  b !  3 + 2 + 1  + 2 ΣM 2 s − 2 s  b1 b2  6 b2  

Se inlocuieşte M0 şi V0 în expresia (5.53) şi rezultă V1: ! 1 V1 = ΣM 2 s − M 0 − V0 (b1 + b2 ) b1

[

]

(5.56)

(5.57)

Se înlocuieşte V0 şi V1 în expresia (5.48) şi rezultă V2: V2 = ΣZ s ↓ −V0 − V1

(5.58)

5.5. Grinda continuă încastrată la ambele capete fără reazem intermediar (2I) Modelul matematic folosit este prezentat în fig. 5.9: o grindă continuă încastrată la un capăt şi situată pe două reazeme punctuale la acelaşi nivel cu încastrarea, care este supusă la înconvoiere simplă prin acţiunea unor sarcini cunocute ca module, direcţii si poziţii pe bară, astfel: • două forţele concentrate P1, P2, acţionând normal pe axa barei în planul principal, la distanţele d1 şi d2 de capătul barei; • două sarcini uniform distribuite q1, q 2 cunocute ca module, direcţii si poziţii pe bară, acţionând normal pe axa barei în planul principal • două momente concentrate după axa Oy: N1, N2 cunoscute ca sens şi module. • patru reacţiuni din încastrările cu care bara este legată de mediul fix, sub forma forţelor din încastrări V0, V1 şi a momentelor M0 , M1 cunoscute ca direcţii si poziţie pe bară, dar necunoscute ca module. L P1

M0

V0

P2

N1

N2

q2

q1

d1

M1

V1 d2

g1

g2 e1

f1 e2

f2

Fig. 5.9

71

Pentru rezolvarea sistemului de două ori static nedeterminat se aplică ecuaţiile de echilibru din Mecanică: ΣZ s ↓= V0 + V1 ! ΣM 1s = M 1 + M 0 + V0 b1

(5.59) (5.60)

şi următoarele două ecuaţii de deformaţii: M 0 L2 V0 L3 − EIw1 = 0 = Φ 1s − 2 6 M 0 L V0 L2 − EIϕ1 = 0 = Φ'1s − 1 2 Din ecuaţiile (5.61) şi (5.62) rezultă reacţiunile V0 şi M0: 2Φ  6 Φ'1s − 1s  2  L  L  2  3Φ  M 0 =  1s − Φ'1s  L L  Din relaţiile (5.59) şi (5.60) rezultă reacţiunile V1 şi respectiv M1: 2Φ  6 V1 = ΣZ s ↓ − 2  Φ'1s − 1s  L  L  ! 6Φ 4 M 1 = ∑ M 1s − Φ'1s + 21s L L V0 =

(5.61) (5.62)

(5.63) (5.64)

(5.65) (5.66)

5.6. Grinda continuă încastrată la ambele capete cu un reazem intermediar punctual rigid la acelaşi nivel cu axa barei (2I+R). Modelul matematic folosit este prezentat în fig. 5.10: o grindă continuă încastrată la un capăt şi situată pe două reazeme punctuale la acelaşi nivel cu încastrarea, care este supusă la înconvoiere simplă prin acţiunea unor sarcini cunocute ca module, direcţii si poziţii pe bară, astfel: ! două forţele concentrate P1, P2, acţionând normal pe axa barei în planul principal, la distanţele d1 şi d2 de capătul barei; ! două sarcini uniform distribuite q1, q 2 cunocute ca module, direcţii si poziţii pe bară, acţionând normal pe axa barei în planul principal ! două momente concentrate după axa Oy: N1, N2 cunoscute ca sens şi module. ! patru reacţiuni din încastrările cu care bara este legată de mediul fix, sub forma forţelor concentrate din încastrări V0, V1, şi a momentelor M0 , M1 cunoscute ca direcţii si poziţie pe bară, dar necunoscute ca module. Pentru rezolvarea sistemului de două ori static nedeterminat se aplică ecuaţiile de echilibru din Mecanică:

72

b1 P1

M0

V0

P2

b2 N1

N2

q2

q1

d1 d2

V1 g1

M2

V2

g2 e1

f1 e2

f2 Fig. 5.10

ΣZ s ↓= V0 + V1 + V2 ! ΣM 2 s = M 0 + M 2 + V0 ( b1 +b2 ) + V1b 2

(5.67) (5.68)

precum şi următoarele trei ecuaţii evidente de deformaţii: M 0 b12 V0 b13 − EIw1 = 0 = Φ 1s − 2 6

(5.69)

M 0 ( b1 + b2 )2 V0 ( b1 + b2 )3 V1b23 − − EIw2 = 0 = Φ 2 s − 2 6 6

(5.70)

M 0 ( b1 + b2 ) V0 ( b1 + b2 )2 V1b22 − − EIϕ 2 = 0 = Φ' 2 s − 1 2 2 Din ecuaţia (5.71) rezultă M0 în funcţie de V0: 1 M 0 = 2 ( 6Φ 1s − V0 b13 ) 3b1 Se introduce această valoare în ecuaţiile (5.69) şi (5.70) şi rezultă :  6Φ 1s ( b1 + b2 )2 1 − V0 b2 ( b1 + b2 )2  V1 = 3  6Φ 2 s − 2 b2  b1 

(5.71)

(5.72)

(5.73)

 3Φ 2 s Φ' 2 s Φ ( b + 3b1 )    − − 1s 22 b1 b2  b2 ( b1 + b2 ) ( b1 + b2 )  Φ' 2 s Φ ( b + 3b1 ) 2Φ 3Φ 2 s + + 1s 22 M 0 = 21s − b1 b2 ( b1 + b2 ) ( b1 + b2 ) b1 b2

V0 =

3 b1

V1 =

1 [2Φ'2 s −2( b1 + b2 )M 0 − ( b1 + b2 )2 V0 ]; 2 b2

V2 = ∑ Z s ↓ −V0 − V1 ; ! M 2 = ∑ M 2 s − M 0 − V0 ( b1 + b2 ) − V1b2

5.74)

73

CAPITOLUL VI INTINDEREA ŞI COMPRESIUNEA BARELOR DREPTE

6.1 Generalităţi Dacă asupra unei bare drepte se aplică un sistem de forţe pe direcţia axei, atunci o porţiune a barei este solicitată la întindere când eforturile axiale sunt pozitive şi ea îşi măreşte lungimea (se lungeşte) şi este solicitată la compresiune atunci când eforturile axiale sunt pozitive şi ea îşi micşorează lungimea (se scurtează) . Într-o secţiune transversală a barei efortul axial pe faţa negativă (din dreapta, corespunzătoare sensului de parcurgere al barei acelaşi cu sensul axei Ox) se calculează ca suma tuturor forţelor axiale ce acţionează asupra părţii din stânga, iar pe faţa pozitivă (din stânga, corespunzătoare sensului de parcurgere al barei opus sensului axei Ox) se calculează ca suma tuturor forţelor axiale ce acţionează asupra părţii din dreapta. Diagrama de eforturi axiale reprezinta variaţia eforturilor N pe lungimea barei: N = N(x), aşa cum este reprezentată diagrama din fig. 6.2 pentru cazul barei prezentate în fig. 6.1 0

1 4A

2

H0

A

2A

3P

2P

4P

P 3a

2a

a

0,5a

4

3

3A

Fig.6.1

2P

x

+ -

-P Diagrama N

-3P -4P Fig.6.2

Se observă că forma diagramei de eforturi nu depinde de secţiunea barei şi nici de sensul de parcurgere al ei. Pe tronsonul 0-1 eforturile din bară sunt pozitive (N>0), deci pe această porţiune bara este supusă la întindere, iar pe tronsoanele 1-2, 2-3, 3-4 eforturile din bară sunt negative (N<0) deci bara este supusă la compresiune.

74

6.2. Tensiuni şi deformaţii în bara solicitată la întinderecompresiune Se consideră o secţiune transversală printr-o bară solicitată la întindere la distanţa x de capătul ei şi un elemt din acestaă bară de lungine dx, ca în figura 6.3. Ţinând seama de ipotezele de bază ale Rezistenţei Materialelor (ipoteza lui Bernoulli, ipoteza valabilităţii legii lui Hooke şi principiul suprapunerii efectelor) sub acţiunea sarcinilor exterioatre asupra barei, suprafaţa plană AA’ (înainte de aplicarea sistemului de forte) rămâne tot plană şi perpendiculară pe axa barei A1A1’ şi după aplicarea sistemului de forţe: deci orice punct al secţiunii suferă aceleaşi deplasare, adică deformaţiile ∆(dx) ale diferitelor fibre ale barei sunt aceleaşi, deci deformaţiile specifice pentru elementul de bară sunt constante (fig. 6.3.a): ε=constant (6.1) A

A1

N A’ x

dx

σ

σ

N A1’

dx

∆(dx)

a.

b.

Fig 6.3

Conform legii lui Hooke între tensiunile normale şi deformaţiile specifice există relaţia: σ = E ⋅ ε , ţinând seama de (6.1) rezultă că tensiunile normale pe (6.2) suprafaţa secţiunii sunt constante (fig. 6.3.b): σ=constant Efortul axial elementar într-un punct oarecare al secţiunii este prin definiţie : dN=σ dA iar efortul axial total se scrie :

(6.3) N = ∫ σdA = σ ∫ dA = σ ⋅ A A

(6.4)

A

N (6.5) A Relaţia (6.5) se utilizează pentru calculele de rezistenţă la solicitarea simplă de întindere-compresiune astfel: deci tensiunea normală este:

σ=

! Pentru calculul de verificare: σ max =

N ≤ σa A

(6.6)

unde N este efortul axial maxim iar σa este rezistenţa admisibilă a materialului; ! Pentru calculul de dimensionare: Anec =

N , σa

(6.7)

unde N este efortul axial maxim iar Anec este aria secţiunii periculoase; ! Pentru calculul sarcinii capabile: N cap = σ a A

(6.8)

75

Pentru exemplul considerat în fig. 6.1, în tabelul 6.1 avem valorile tensiunii pentru fiecare tronson (se consideră cunoscute valorile forţei P şi ale secţiunii A) Tabelul 6.1 Tronson

0-1

1-2

2-3

3-4

Efortul N

2P

-P

-3P

-4P

Aria secţiunii

4A

3A

2A

A

σ

P/2A

-P/3A

-3P/2A

-4P/A

Tipul de solicitare

întindere

compresiune

compresiune

compresiune

Rezultă că valoarea maximă a tensiunii este pe tronsonul 3-4 : 4P 4P = A A

σ max = −

(6.9)

6.3. Deformaţii şi deplasări Pentru calculul deformaţiei totale a unei bare supuse la întindere - compresiune am văzut că elementul de lungime dx (infinit mic) pe feţele căruia acţionează eforturile axiale N suferă deformaţia ∆(dx) (fig 6.3.a.) care se scrie: ∆( dx ) = ε ⋅ dx

(6.10)

σ N (conform legii lui Hooke) şi σ = conform relaţiei (6.5), rezultă că E A deformaţia elemnului dx în funcţie de efortul axial N se scrie astfel:

deoarece ε =

∆(dx ) = ε ⋅ dx =

N ⋅ dx EA

(6.11)

Deformaţia totală a barei este suma integrală a acestor deformaţii elementare: ∆L = ∫ ∆( dx ) = ∫ εdx = ∫ !

!

!

N dx EA

(6.12)

unde EA se numeşte rigiditatea la întindere/compresiune a barei. Pentru exemplul considerat în fig. 6.1, pentru fiecare tronson avem: N / EA =const şi relaţia 6.12 se poate scrie pentru fiecare porţiune astfel: ∆! i = ∫ !i

Ni N! dx = i i EAi EAi

(6.13)

Deformaţia totală a barei este suma deformaţiilor corespunzătoare fiecărui tronson: 4

∆! = ∑ i =1

Ni ⋅ ! i EAi

(6.14)

76

În tabelul 6.2 sunt date valorile acestor deformaţii pentru exemplul din fig. 6.1: Tabelul 6.2 Tronson

0-1

1-2

2-3

3-4

Efortul N

2P

-P

-3P

-4P

Rigiditatea tronsonului

4EA

3EA

2EA

EA

Deformaţia

Pa/4EA

-Pa/3EA

-3Pa/EA

-12Pa/EA

tronsonului Deformaţia

-181Pa/12EA

Totală a barei

6.4. Energia potenţială de deformaţie la solicitarea de întindere - compresiune Presupunem că asupra capătului liber al unei bare se aplică progresiv o forţă axială până atinge valoarea maximă P (fig. 6.4.a); bara suferă deformaţii ce variază liniar cu creşterea forţei ca în figura 6.4.b. P P N

F

N dx a.

∆! Fig 6.4

b.

O

du

∆!

u

Punctul de aplicaţie al forţei se deplasează cu ∆L, deci forţa efectuează lucru mecanic care se acumulează integral sub formă de energie de deformaţie elastică a barei. Lucrul mecanic total al forţei aplicate progresiv se scrie astfel: ∆!

L = ∫ Fdu

(6.15)

0

Relaţia liniară dintre forţa F (aplicată progresiv asupra barei) şi deformaţia u corespunzătoare acestei forţe se scrie: F( u ) =

P ⋅u ∆!

(6.15)

Relaţia (6.15) se scrie deci: ∆!

L = ∫ Fdu = 0

P P ∆! P∆! ⋅ = u du udu = ∫0 ∆! ∫ ∆! 0 2

∆!

(6.16)

77

Se observă că lucrul mecanic efectuat de forţa F este egal cu aria cuprinsă sub diagrama de variaţie a forţei aplicate progresiv: F=F(u) Dacă în locul barei de lungime ! se consideră elemntul de lungime dx şi în locul forţei P efortul N pe feţele acestui element se poate scrie analog lucrul mecanic elementar corespunzător acestui element sub forma: dL =

∆ (dx )

∆ (dx )

0

0

∫ Fdu = ∫

N N ∆ (dx ) N∆(dx ) N 2 ⋅ dx ⋅ u du = ∫ udu = 2 = 2 EA ∆(dx ) ∆(dx ) 0

(6.17)

Lucrul mecanic total se transformă în energie potenţială de deformaţie elastică a barei şi se scrie: N 2 dx L = U = ∫ dL = ∫ 0 0 2EA !

!

(6.18)

Ţinînd sema de expresia tensiunii şi deformaţiei specifice de mai sus se poate exprima energia potenţială specifică U1 ca raportul dintre energia potenţială dU corespunzătoare elementului de lungime dx şi volumul acestui element: dU N 2 dx 1 1 1 1 2 U 1= = ⋅ = σ ⋅ ε = E ⋅ ε2 = σ dV 2 EA Adx 2 2 2E

(6.19)

Pentru exemplul considerat în fig. 6.1 energia potenţială totală (6.18) se scrie: N2 4 P 2 ⋅ 0,5a P2a 9 P 2 2a 16 P 2 3a 347 P 2 a + + + = L =U = ∫ dx = 2E ⋅ 4 A 2E ⋅ 3 A 2E ⋅ 2 A 2E ⋅ A 12 EA 0 2 EA

(6.20)

sau ţinând seama de relaţia (6.19) obţinem acelaşi rezultat:

(6.21)

!

1  1  P2 P2 9P 2 16 P 2 2   U= ∑Vi σ i  = 2 E  0,5a ⋅ 4 A ⋅ 4 A 2 + a ⋅ 3 A ⋅ 9 A 2 + 2a ⋅ 2 A ⋅ 4 A 2 + 3a ⋅ A ⋅ A 2 2 E   

 347 P 2 a  =  12 EA

6.5. Probleme static nedeterminate de întindere şi compresiune 6.5.1. Dilatarea impiedicată a) Dilatarea impiedicată fără joc (fig. 6.5.a.) Se consideră o bară de lungime L şi secţiune constantă A fixată între doi suporţi rigizi care este încălzită uniform astfel încât temperatura creşte de la t1 la t2. Se cunosc: modulul de elasticitate E şi coeficientul de dilatare termică α al materialului. Dorim să determinăm forţa axială P ce ia naştere în bară P

∆L P

L a.

∆L

L δ Fig 6.5

b.

78

Considerăm că această bară se dilată liber şi apoi ea suferă o comprimare axială cu deformaţia ∆L, forţa de compresiune P fiind chiar forţa ce ia naştere la dilatarea împiedicată: ! pentru faza de dilatare se poate scrie: ∆L = α ⋅ L ⋅ ∆t = αL(t 2 − t1 ); ! pentru faza de compresiune se poate scrie: ∆L =

PL EA

(6.22) (6.23)

Egalînd cele două expresii se obţine: PL ⇒ P = EA ⋅ α ⋅ (t 2 − t1 ) (6.24) EA Se observă că forţa axială nu depinde de lungimea barei, ci doar de rigiditatea la compresiune EA , tipul materialului şi diferenţa de temperatură. αL(t 2 − t1 ) =

b) Dilatarea impiedicată cu joc (fig.6.5.b.) Aceeaşi bară de lungime L şi secţiunea constantă aflată între doi suporţi rigizi astfel încât există un joc axial δ ca în figura 6.5.b, este încălzită uniform de la temperatura t1 la t2; Se cunosc: modulul de elasticitate E şi coeficientul de dilatare termică α al materialului. Dorim să determinăm forţa axială P ce ia naştere în bară. Se utilizează acelaşi raţionament ca la problema precedentă: bara se dilată cu: ∆L = α ⋅ L ⋅ ∆t = αL(t 2 − t1 ); întrucât bara are un joc δ atunci se poate considera că ea se comprimă cu cantitatea: ∆L − δ = PL / EA . Egalînd cele două expresii se obţine: αL∆t − δ =

PL δ  ⇒ P = EAα∆t −  EA L 

(6.25)

Observaţie: Pentru ∆t ≤ δ / αL valorile forţei axiale din bară nu sunt negative aşa cum rezultă din relaţia (6.25) ci sunt nule. 6.5.2. Bara dublu articulată cu secţiunea omogenă(fig. 6.6) Se consideră o bară articulată la ambele capete de lungime L şi secţiune constantă, solicitată la distanţa a faţă de capătul din stânga cu o forţă axială P (fig. 6.6). Dorim să determinăm valorile reacţiunilor din cele două articulaţii. H1

1

P a

2 H2

3 L Fig 6.6

O primă ecuaţie se scrie pentru echilibrul forţelor astfel: H1 + H2 - P = 0

(6.26)

79

A doua ecuaţie se obţine din condiţia ca deformaţia totală a barei să fie nulă: Ndx ; L EA

0 = ∆L = ∫

(6.27)

Eforturile axiale pe cele două tronsoane ale barei se scriu: N13 = - H1 ; N32 = -H1 + P

(6.28)

deci relaţia (6.26) se scrie: 1 a 1 L 0= ∫ (− H 1 )dx + EA ∫a ( − H 1 + P )dx EA 0 − H1 + P Ha ⋅( L − a ) 0= − 1 ⋅a + EA EA Rezultă:

a  H 1 = P 1 −  ;  L

H2 = P ⋅

(6.29)

a L

(6.30)

6.5.3. Bara de secţiune neomogenă solicitată la compresiune (fig. 6.7) Se consideră o piesă de lungime L (mm) şi secţiune neomogenă formată din trei piese din materiale diferite (de exemplu două tuburi din aluminu şi cupru şi un cilindru din oţel), solicitată la compresiune cu o forţă axială P (fig. 6.6). Dorim să determinăm valorile forţelor preluate de cele trei piese având rigidităţile la compresiune respectiv E1A1, E2A2 şi E3A3 , iar tubul interior este mai scurt decât tubul exterior cu δ şi bolţul interior mai lung decât tubul exterior cu δ (mm). O primă ecuaţie se scrie pentru echilibrul forţelor astfel:

P δ δ

E1A1

N1 + N2+ N3 - P = 0

(6.26)

A doua ecuaţie se obţine din condiţia că între deformaţiile celor două perechi de piese există relaţiile:

E2A2 L E3A3

∆L2 = ∆L1 − δ

;

(6.27)

N3L E3 A3

(6.28)

∆L3 = ∆L2 + δ Fig 6.7

Deformaţiile celor trei piese se scriu: N1 dx N1 L = ; E1 A1 L E1 A1

∆L1 = ∫

∆L2 =

N2 L ; E 2 A2

∆L3 =

Introducând aceste relaţii în ecuaţiile (6.27) se obţine: N1 L N 2 L = − δ; E1 A1 E 2 A2

N3L N2 L = +δ E3 A3 E 2 A2

(6.29)

Rezultă un sistem de trei ecuaţii (6.26) şi (6.29) din care se obţin valorile forţelor axiale N1, N2 şi N3 ale celor trei piese.

80

6.5.4. Sistem plan de bare paralele (fig. 6.8) Se consideră un sistem format din 4 bare având aceeaşi lungime L şi rigidităţile la întindere - compresiune: E1A1, E2A2, E3A3, respectiv E4A4, fixate la unul din capete de un perete fix iar la celălalt capăt de o bară rigidă de lungime 5a ca în fig. 6.8. La capătul barei rigide acţionează o forţă P. Dorim să determinăm forţele axiale pe care le preiau cele 4 bare. Se pot scrie numai două ecuaţii de echilibru din Mecanică: V + N1 + N2 + N3 + N4 - P = 0

(6.30)

N1 ⋅a + N2 ⋅2a + N3 ⋅3a + N4 ⋅4a - P⋅5a=0

(6.31)

Avem 5 necunoscute : V, N1, N2, N3 şi N4 .Celelalte trei ecuaţii rezultă din condiţiile de deformaţii şi se pot scrie ţinând seama de asemănarea unor triunghiuri ∆L1 ∆L2 ∆L3 ∆L4 = = = (6.32) din fig. 6.8: a 2a 3a 4a

E1A1

E2A2

E4A4

E3A3

P O a

V

a

a

N1

a

a

a

a

∆L1

a

a

N2

N3

∆L2

∆L3

a N4 ∆L4

P

Fig.6.8.

Deformaţiile celor 4 bare se scriu: ∆L1 =

N1 L ; E1 A1

∆L2 =

N2 L ; E2 A2

∆L3 =

Înlocuind în relaţiile (6.32) se obţine:

N3L N L ; ∆L4 = 4 ; E3 A3 E2 A2

(6.33)

81

N1 N2 N3 N4 = = = E1 A1 2 E 2 A2 3E3 A3 4 E 2 A2

(6.34)

Rezultă un sistem de cinci ecuaţii (6.31), (6.32) şi (6.34) din care se obţin valorile reacţiunii V şi a forţelor axiale N1, N2 , N3 şi N4 din cele 4 bare. 6.5.5. Sistem spaţial de bare paralele (fig. 6.9) Se consideră un sistem format din 4 bare având aceeaşi lungime L şi aceleaşi rigidităţi la întindere EA, fixate la unul din capete de un perete fix iar la celălalt capăt de o placă rigidă avînd dimensiunile a × b ca în fig. 6.9. Într-un punct al plăcii de coordonate A(xA, yA, 0) acţionează o forţă P. Dorim să determinăm forţele axiale pe care le preiau cele 4 bare. Se pot scrie trei ecuaţii de echilibru din Mecanică:

ΣFz=0 : N1 + N2 + N3 + N4 - P = 0

(6.35)

ΣMOx=0 : N3 ⋅ b + N4 ⋅b - P⋅y0=0

(6.36)

ΣMOy=0 : N2 ⋅ a + N3 2a - P⋅x0=0

(6.37)

Ultima ecuaţie rezultă din condiţia de deformaţii şi se poate scrie ţinând seama relaţia geometrică evidentă dintre cele patru deformaţii: ∆L1 + ∆L3 ∆L2 + ∆L4 = 2 2

⇔

N1 + N 3 = N 2 + N 4

(6.38)

z

EA

L

L EA

N1 L

L

O

EA

P

N2

N4 EA

x0

y a

y0

C

N3 b

x

B

A

A ∆L 2

(∆L2+∆L4)/2

∆L4 C

O ∆L1

(∆L1+∆L3)/2

∆L3 B

Fig.6.9

82

83

CAPITOLUL VII RĂSUCIREA BARELOR DREPTE DE SECŢIUNE CIRCULARĂ ŞI INELARĂ

7.1. Generalităţi Această solicitare este specifică barelor de torsiune, arborilor, arcurilor, etc. Pentru un arbore care transmite o putere dată P, având turaţia n (rot/min), cuplul sau momentul de răsucire Mt, se calculează cu ajutorul relaţiei cunoscută din Mecanică: Mt = P/ω (7.1) unde: ω=2π n este viteza unghiulară a arborelui. În Sistemul Internaţional de unităţi de măsură mărimile din relaţia (7.1) au dimensiunile: [Mt]SI= Nm; [P]SI= W=Nms-1; [ω]SI= s-1; (7.2) Ţinând seama de unităţile de măsură utilizate curent în calculele inginereşti:

[Mt] = Nm; [P]= kW; [ω]= min-1; ([n]= rot/min)

(7.3)

P ⋅ 103 30000 P P = ⋅ = 9549,3 ⋅ relaţia (7.1) devine: M t = (7.4) 2πn n π n 60 Pentru un arbore de secţiune circulară sau inelară efortul de răsucire (torsional) pe faţa negativă (din dreapta, corespunzătoare sensului de parcurgere al barei acelaşi cu sensul axei Ox) se calculează ca sumă a tuturor momentelor axiale Mtx ce acţionează asupra părţii din stânga, iar pe faţa pozitivă (din stânga, corespunzătoare sensului de parcurgere al barei opus sensului axei Ox), ca suma tuturor momentelor axiale Mtx ce acţionează asupra părţii din dreapta, cu respectarea convenţiei de semne. Diagrama de eforturi de răsucire reprezintă deci variaţia eforturilor Mt pe lungimea barei: Mt= Mt(x) . În fig. 7.1 şi 7.2 sunt prezentate două exemple practice de diagrame de eforturi. Mt1 x

z

Mt2 Mt2

Mt3

Mt4

+ Mt4

-

Diagrama Mt

Mt3+ Mt4 Fig. 7.1

84

În Figura 7.1 este prezentat cazul unui arbore care primeşte fluxul de putere la roata 1 având cuplul Mt1 şi îl transmite în două sensuri la roţile 2, 3, 4 prin cuplurile Mt2, Mt3, respectiv Mt4. Este valabilă relaţia: Mt1 = Mt2+ Mt3+ Mt4. Mt1 x

z

Mt3

Mt2

Mt4

Diagrama Mt

Mt4

Mt1= Mt2+ Mt3+ Mt4

Mt3+ Mt4 Fig. 7.2

În Figura 7.2 este prezentat cazul unui arbore care primeşte fluxul de putere la roata 1 având cuplul Mt1 şi îl transmite într-un singur sens la roţile 2, 3, 4 prin cuplurile Mt2, Mt3, respectiv Mt4. Este valabilă şi aici relaţia: Mt1 = Mt2+ Mt3+ Mt4

7.2. Tensiuni tangenţiale şi deformaţii la răsucire Se consideră o bară dreaptă de secţiune constantă (circulară sau inelară) de lungime L solicitată la răsucire la capetele ei de momentul Mt. Pentru uşurinţa studiului tensiunilor şi deformaţiilor sunt necesare următoarele ipoteze: ! Ipoteza lui Bernoulli - o secţiune plană şi normală pe axa barei rămâne după deformarea ei tot plană şi normală pe axa barei; ! O reţea de generatoare trasate pe suprafaţa exterioară a barei cilindrice devine o reţea de linii elicoidale după deformare iar cercurile nu-şi modifică forma (fig.7.3.a), astfel încât un element de volum dV din vecinătatea suprafeţei exterioare de forma unui paralelipiped drept devine după deformare un paralalipiped având muchiile înclinate cu unghiul γ faţă de axa barei (fig. 7.3.b); ! ipoteza valabilităţii legii lui Hooke). Între tensiunile tangenţiale τ şi deformaţiile unghilare γ există o relaţie linară de forma τ = G⋅γ (7.5) Se consideră un element din bară situat între două secţiuni paralele O şi O’, de lungime dx şi o linie BA paralelă cu axa situată la distanţa r de axa barei, După aplicarea momentului de răsucire Mt cele două secţiuni paralele O (fixă) şi O’ se rotesc între ele cu unghiul dϕ, iar generatoarea BA devine o elice BA’ (fig. 7.3.c). În fig. 7.3.c, există relaţia geometrică evidentă: γ ≈ tgγ =

A1 A1′ rdϕ = = r ⋅θ dx dx

(7.6)

85

dV

Mt a.

Mt O

O’ A

γ

B

dx

Mt

R

γ

ϕ

dx

dV b.

Fig. 7.3

unde: θ =

Mt

A’

γmax c.

r

dϕ este răsucirea specifică dx

(7.7)

γ - lunecare specifică (variaţia ungiului de π/2) (fig. 7.3.b); Relaţia (7.5) dintre tensiuni şi deformaţia unghiulară se scrie:

τ = G⋅θ⋅ r

(7.8)

Efortul de răsucire Mt este rezultatul însumării momentelor forţelor elementare dF=τ⋅ dA care apar în secţiunea barei ca urmare a tensiunilor tangenţiale (fig. 7.4): R

R

R

0

0

0

M t = ∫ r ⋅ dF = ∫ r ⋅ τdA = ∫ r ⋅ τ ⋅ 2πrdr = Gθ∫ 2πr 3 dr =GI p ⋅ θ A

(7.9)

D d

τmax

τmax τ

τmin dF Mt

τmax a.

Fig. 7.4

τ

dF Mt

b.

Rezultă că răsucirea specifică este direct proporţională cu momentul de M (7.10) răsucire Mt: θ = t GI p unde GIp este rigiditatea la răsucire a barei. M τ = t ⋅r (7.11) Relaţia (7.8) devine: Ip

86

Rensiunea tangenţială maximă se obţine pentru r=R: M M M τ max = t = t = t I p Wp Ip R

(7.12)

unde Wp este modulul de rezistenţă polar (la răsucire) ! momentul de inerţie şi modulul de rezistenţă polar pentru secţiunea circulară: Ip

πD 4 I p = ∫ 2πr dr = ; 32 0

πD 3 = Wp = D / 2 16

D/2

3

(7.13)

! momentul de inerţie şi modulul de rezistenţă polar pentru secţiunea inelară: Ip

π( D 4 − d 4 ) I p = ∫ 2πr dr = ; 32 d/2

π( D 4 − d 4 ) = Wp = D/2 16 D

D/2

3

(7.14)

Deformaţii la răsucire Relaţia (7.10) pentru răsucirea specifică se mai scrie: θ=

dϕ M t = dx GI p

⇒

dϕ =

Mt ⋅ dx GI p

(7.15)

Integrînd relaţia (7.15) pe lungimea L a barei se obţine unghiul de deformaţie totală al barei ϕ (sau de rotire a secţiunii aflată la distanţa L faţă de secţiunea din M ϕ = ∫ t ⋅ dx capătul barei): (7.16) GI L p

7.3. Energia potenţială de deformaţie la solicitarea de răsucire Presupunem că asupra capătului liber al unei bare se aplică progresiv un moment axial până atinge valoarea maximă Mt0 (fig. 7.5.a); bara suferă deformaţii unghiulare ce variază liniar cu creşterea momentului ca în figura 7.5.b. , deci momentul ce se aplică progresiv efectuează lucru mecanic care se presupune că acumulează integral sub formă de energie de deformaţie elastică a barei. Mt0

∆ϕ Mt

Mt

Mt0 Mt

dx a. Fig 7.5

b.

O

dϕ

∆ϕ

Lucrul mecanic total al momentului aplicat progresiv se scrie astfel:

ϕ

87 ∆ϕ

L = ∫ M t dϕ

(7.17)

0

Relaţia liniară dintre momentul Mt (aplicat progresiv asupra barei) şi deformaţia ϕ corespunzătoare acestei forţe se scrie: Mt(ϕ) =

M t0 ⋅ϕ ∆ϕ

(7.18)

Relaţia (7.17) se scrie deci: ∆ϕ

L = ∫ M t dϕ = 0

M t0 M t 0 ∆ϕ M ∆ϕ ⋅ ϕ ϕ = ϕdϕ = t 0 d ∫0 ∆ϕ ∫ ∆ϕ 0 2

∆ϕ

(7.19)

Dacă în locul barei de lungime L se consideră numai elemntul de lungime dx, lucrul mecanic elementar corespunzător acestui element se poate scrie analog: M dϕ dL = t (7.20) 2 Energia potenţială de deformaţie elastică a barei şi se scrie: M t2 dx U =L=∫ 0 2GI p L

(7.21)

Ţinînd sema de expresia tensiunii şi lunecării specifice deduse mai sus, se poate exprima energia potenţială specifică U1 ca raportul dintre energia potenţială dU corespunzătoare elementului de lungime dx şi volumul acestui element: U 1=

dU 1 1 1 2 = τ ⋅ γ = G ⋅ γ2 = τ dV 2 2 2G

(7.22)

7.4. Calculul arcurilor elicoidale cilindrice Arcul elicoidal este o bară curbă în spaţiu având axa geometrică sub forma unei elice cilindrice (fig. 7.6). P

R Mt=PR cosα

d M=PR α

Psinα

Mi=PR sinα P P

Pcosα a.

Fig 7.6

b.

88

S-au utilizat următoarele notaţii: - R raza de înfăşurare a spirei (raza cilindrului de înfăşurare) - D diammetrul spiei arcului - α unghiul de înclinare al spirelor sub acţiunea forţei axiale P - n numărul total de spire - L=2πRn lungimea totală a spirelor arcului Din fig. 7.6.b se observă că într-o secţiune a arcului acţionează patru eforturi: efortul axial Psinα, efortul tăietor Pcosα, momentul încovoietor Mi=PRsin α şi momentul torsional Mt=PR cosα. Deoarece unghiul α este mic sin α ≅ 0 şi cosα ≅ 1 efortul axial şi momentul încovoietor se neglijează. Calculul de rezistenţă se face deci la solicitarea de răsucire (principală ) şi de forfecare (secundară): τ max =

PR P + ≤ τa Wp A

(7.23)

Pentru calculul săgeţii arcului f (sau a comprimării arcului sub acţiunea forţei P) se egalează lucrul mecanic al forţei P cu energia potenţială de deformaţie elastică înmagazinată de arc: 64 PR 3 n P Pf M t2 L = ⇒f = = 2 2GI p Gd 4 k

(7.24)

Gd 4 unde s-a notat cu k = constanta elastică a arcului (constantă). 64 R 3 n Deci între forţa P şi săgeata f există o relaţie liniară care se reprezintă în STAS sub forma caracteristicii elastice liniare a arcului.

89

CAPITOLUL VIII STUDIUL DEPLASĂRILOR PRIN METODE ENERGETICE

8.1. Generalităţi În cazul solicitărilor corpurilor liniar elastice, se poate considera că lucrul mecanic produs de forţele exterioare se acumulează integral sub formă de energie potenţială de deformaţie elastică. Folosind expresiile analitice ale energiei potenţiale în funcţie de eforturi, tensiuni şi deformaţii se obţin relaţii care pot servi la studiul deplasărilor şi deformaţiilor, sistemelor statice nedeterminate, vibraţiilor, etc. Metodele de calcul care utilizează expresia energiei potenţiale de deformaţie elastică se numesc metode energetice. Expresiile energiei potenţiale de deformaţie în cazul barei drepte scrise în funcţie de cele patru tiputi de eforturi secţionale ale sunt date în tabelul 8.1: Tabelul 8.1 Tipul de solicitare

Întinderecompresiune

Încovoiere

Forfecare

Răsucire

Efortul secţional

N

Mi

T

Mt

M 2 dx U =∫ i l 2 EI

kT 2 dx U =∫ l 2GA

Expresia energiei N2 U = potenţiale de ∫l 2 EA dx deformaţie în funcţie de efort

U =∫ l

M t2 dx 2GI p

8.2. Lucrul mecanic al forţelor/cuplurilor exterioare Dacă la capetele unei bare drepte acţionează câte o forţă de întindere care creşte progresiv de la zero la valoarea maximă P (fig.8.1.a), atunci lucrul mecanic al acestei forţe se scrie (vezi paragraful 6.3 şi fig.6.4) astfel: P P ∆! P∆! L = ∫ Fdu = ∫ ⋅ u du = udu = ∫ ∆! 0 2 0 0 ∆! ∆!

∆!

(8.1)

Dacă la capetele barei drepte acţionează câte un moment încovoietor care creşte progresiv de la zero la valoarea maximă Mo (fig.8.1.b), atunci lucrul mecanic al acestei forţe se scrie analog: L=

M 0 ∆ϕ 2

(8.2)

90

P

P

M0

∆!

a.

Fig. 8.1

M0

∆ϕ b.

Dacă la capetele unei bare drepte de secţiune circulară acţionează câte un moment de torsiune care creşte progresiv de la zero la valoarea maximă Mt0 atunci lucrul mecanic al acestei forţe se scrie analog: L=

M t 0 ∆ψ 2

(8.3)

Dacă asupra barei se aplică un al doilea sistem de forţe independent de primul atunci lucrul mecanic al forţelor cuplurilor pe deplasările produse de acest sietm de ∆!

∆!

0

0

forţe /cupluri este: L = ∫ Fdu = ∫ P du = P ⋅ ∆! la întindere, respectiv L = M 0 ∆ϕ la încovoiere şi L = M t 0 ∆ψ la răsucire

(8.4)

8.3. Teorema reciprocităţii lucrului mecanic (Betti) Să considerăm că asupra unei bare drepte se aplică două stări succesive de solicitare. Considerăm că cele două stări de solicitare sunt caracterizate de câte o forţă. Lucrul mecanic total produs de cele două stări succesive de solicitare se va scrie astfel (fig. 8.2): a. cele două stări se aplică în ordinea 1-2: L1−2 = L11 + L12 + L22

(8.5)

b. cele două stări se aplică în ordinea 2-1: L2−1 = L22 + L21 + L11

(8.6)

unde: L11 - lucrul mecanic produs de forţele din prima stare pe deplasările 1 L11 = F1 w11 ; proprii: 2 L12 - lucrul mecanic produs de forţele din prima stare pe deplasările produse de a doua stare de încărcare: L12 = F1 w12 ; L22 - lucrul mecanic produs de forţele din a doua stare pe deplasările proprii: 1 L22 = F2 w22 ; 2 L21 - lucrul mecanic produs de forţele din a doua stare pe deplasările produse de L21 = F2 w21 ; prima stare: Deoarece în acest caz (ipoteza de corp liniar elastic) lucrul mecanic se acumulează integral sub formă de energie potenţială de deformaţie elastică, este evident că această energie potenţială nu depinde de succesiunea aplicării celor două stări de încărcare, deci vom avea: L1− 2 = L2−1 ⇒ L12 = L21 (8.7)

91 F2

F1

w11

w22 a.

w12

F2

F1

w22

w11

b.

w12

Fig. 8.2

Aceasta reprezintă expresia teoremei lui Betti. Enunţul acestei teoreme este următorul: Dacă asupra unui corp elastic se aplică două stări succesive de încărcare, lucrul mecanic efectuat de forţele/cuplurile din prima stare pe deplasările produse de a doua stare este egal cu lucrul mecanic efectuat de forţele/cuplurile din a doua stare pe deplasările produse din prima stare.

8.4. Teorema reciprocităţii deplasărilor (Maxwell) Considerăm că cele două stări de solicitare sunt caracterizate de câte o forţă având aceeaşi valoare F1=F2=P. L1− 2 =

1 1 Pw11 + Pw22 + Pw12 2 2

(8.8)

L2 −1 =

1 1 Pw22 + Pw11 + Pw21 2 2

(8.9)

Din teorema lui Betti rezultă: L1− 2 = L2 −1

⇒

w12 = w21

(8.10)

Aceasta reprezintă expresia teoremei reciprocităţii deplasărilor (Maxwell) şi are următorul enunţ: Deplasarea produsă în secţiunea 1 a unei bare când o forţă oarecare P este aplicată în secţiunea 2 este egală cu deplasarea produsă în secţiunea 2 de aceeaşi forţă P care acţioneză în secţiunea 1. Cele două deplasări se consideră că au direcţia forţelor.

92

8.5. Medoda Mohr-Maxwell pentru calculul deplasărilor 8.5.1. Calculul deplasărilor la solicitarea de întindere compresiune Se consideră o bară dreaptă solicitată axial de cele două stări succesive: prima, starea de încărcare reală dată, a doua se consideră starea de încărcare cu o forţă unitară aplicată în secţiunea în care dorim să calculăm deplasarea δA corespunzătoare capătului A al barei . a. Starea 1 de încărcare H

P

b. Starea 2 de încărcare A

3P

δA

!

N dx

∆(dx)

n

n

N

x

A 1

h

2P

Fig. 8.3

x

dx

δ(dx)

L21 - lucrul mecanic produs de forţele din a doua stare pe deplasările produse de (8.11) prima stare este: L21 = 1 ⋅ δ A L12 - lucrul mecanic produs de forţele din prima stare pe deplasările produse de a doua stare de încărcare; dL12 = N ⋅ ∆(dx ) = unde

∆(dx ) =

doua stare.

Nndx Nndx ⇒ L12 = ∫ EA EA !

(8.12)

ndx este deformaţia elementului dx sub acţiunea forţelor din a EA

Egalând cele două expresii (8.11) şi (8.12) se obţine deplasarea capătului barei care coincide cu deformaţia totală a barei: δ A = ∆! = ∫ l

Nn dx EA

(8.13)

care reprezintă expresia matematică a metodei Mohr Maxwell de calcul a deplasărilor la întindere-compresiune În cazul în care dorim să calculăm deplasarea în altă secţiune, se aplică în secţiunea respectivă o forţă axială egală cu unitatea. Dacă rezulatul obţinut este pozitiv, atunci deplsarea reală coincide ca sens cu sensul forţei unitare aplicate. 8.5.2. Calculul deplasărilor şi rotirilor la solicitarea de încovoiere Se consideră două stări de încărcare a unei bare supusă la încovoiere. Prima: starea reală de încărcare a barei (fig.8.4.a) iar a doua: starea de încărcare corespunzătoare unei forţe unitare aplicată în secţiunea dorită, atunci când se doreşte

93

calculul săgeţii (fig.8.4.b) sau cea corespunzătoare unui moment unitar aplicat în secţiunea dorită, atunci când se doreşte calculul rotirii (fig.8.4.c) pe direcţia deplasării (fig. 8.4). a. Starea 1 de încărcare ϕA q

P

Mi A

wA

N

x

dϕ Mi dx

b. Starea a2a de încărcare A

P=1

m'i x

dθ

m'i

dx

c. Starea a2a de încărcare A N=1

m''i x

dψ

m''i

dx

Fig. 8.4

Calculul săgeţii vA . Se calculează: L21 - lucrul mecanic produs de forţele din a doua stare pe deplasările produse de (8.14) prima stare este: L21 = 1 ⋅ w A L12 - lucrul mecanic produs de forţele din prima stare pe deplasările produse de a doua stare de încărcare; dL12 = M i ⋅ dθ = M unde

dθ =

doua stare.

mi′dx M m′dx ⇒ L12 = ∫ i i EI EI !

(8.15)

mi′dx este rotirea feţelor elementului dx sub acţiunea forţelor din a EI

Egalând cele două expresii (8.14) şi (8.15) se obţine deplasarea secţiunii A a barei (săgeata barei în punctul A): wA = ∫ !

M i mi′dx EI

(8.16)

Calculul rotirii ϕA . Se calculează analog: L21 - lucrul mecanic produs de cuplul din a doua stare pe deplasările produse de prima stare este: L21 = 1 ⋅ ϕ A (8.17)

94

L12 - lucrul mecanic produs de forţele /cuplurile din prima stare pe deplasările produse cuplul din a doua stare de încărcare este: dL12 = M i ⋅ dψ = M

mi′′dx M m′′dx ⇒ L12 = ∫ i i EI EI !

(8.18)

mi′′dx este rotirea feţelor elementului dx sub acţiunea forţelor din a EI doua stare. Egalând cele două expresii (8.17) şi (8.18) se obţine rotirea secţiunii A

unde

dψ =

M i mi′′dx EI !

ϕA = ∫

(8.19)

În cazul în care se cere deplasarea sau unghiul de rotire din altă secţiune, se aplică în secţiunea respectivă o forţă egală cu unitatea, respectiv un cuplu egal cu unitatea. În cazul barelor supuse la încovoiere se neglijează deformaţiile datorate forţelor axiale sau tăietoare. 8.5.3. Calculul rotirilor la solicitarea de răsucire Se consideră două stări de încărcare ale une bare de secţiune circulară (inelară) supusă la răsucire: Prima: starea reală de încărcare a barei (fig. 8.5.a) iar a doua, starea de încărcare corespunzătoare unui moment unitar aplicat în secţiunea în care dorim să determinăm rotirea (fig. 8.5.b). ϕA a. Starea 1 de încărcare b. Starea 2 de încărcare

Mt0

3P !

P!

2P !

Mt=1

mt0

!

dϕ Mt

Mt x

dx

mt Fig. 8.5

x

mt dx

L21 - lucrul mecanic produs de cuplul din a doua stare pe deplasările produse de prima (8.20) stare este: L21 = 1 ⋅ ϕ A L12 - lucrul mecanic produs de cuplurile de răsucire din prima stare pe deplasările produse cuplul din a doua stare de încărcare este: m dx M m dx dL12 = M t ⋅ dϕ = M t t ⇒ L12 = ∫ t t (8.21) GI p GI p ! dϕ mt = este rotirea specifică a elementului dx sub acţiunea unde θ = dx GI p cuplurilor axiale din a doua stare. Egalând cele două expresii se obţine M i mi′′dx EI !

ϕA = ∫

(8.22)

95

8.5.4. Aplicaţie Aplicarea metodei Mohr Maxwell sub forma de mai sus este destul de laborioasă datorită expresiilor analitice ale eforturilor pentru cele două stări de încărcare, aşa cum rezultă din următorul exemplu din fig. 8.6 relativ simplu pentru care se cere deplasarea w4 şi rotirea ϕ4 a capătului din dreapta al barei. 3

1

4

ϕ4

2

P

w4 P/2

P/2

a/2

a/2

a/2

a. Starea 1 de încărcare P=1

-1/2

3/2

a/2

a/2

a/2

b. Starea a2a de încărcare N=1

1/a

a/2

a/2

-1/a

a/2

c. Starea a2a de încărcare Fig. 8.6

Pentru starea 1 de încărcare expresiile momentului pentru fiecare din cele trei tronsoane sunt (se consideră originea mobilă pentru fiecare troson): M 13 =

P x; 2

M 32 =

Pa Pa    + x  − Px =  − x ; M 24 = 0 22 22  

(8.23)

Pentru a doua stare de încărcare (fig. 8.6.b) expresiile momentului pentru fiecare din cele trei tronsoane sunt: 1 m13′ = − x; 2

1a  m32′ = −  + x ; 22 

m24′ = −

1 (a + x ) + 3 x 2 2

(8.24)

Pentru a doua stare de încărcare (fig. 8.6.c) expresiile momentului pentru fiecare din cele trei tronsoane sunt: m13′′ =

x ; a

1a  m32′′ =  + x ; a2 

m′24′ =

1 (a + x ) − 1 a = 1 a a

(8.25)

96

Înlocuind în exresia (8.16) se obţine săgeata w4:

(8.26)

a/2 Mm′ Pa Pa 3 1 a / 2 P  1     1  a w4 = ∫ dx = ∫ x ⋅  − x dx + ∫0 2  2 − x  − 2  2 + x dx  = − 32EI EI  0 2  2  l EI 

Înlocuind în exresia (8.19) se obţine rotirea ϕ4: 2 Mm′′ 1 a / 2 P x a / 2 P  a 1a  Pa ϕ4 = ∫ dx = x⋅ +  − x   + x  = EI EI  ∫0 2 a ∫0 2  2 a2  16 EI l

y

8.6. Metoda lui Vereşceaghin de integrare grafică a integralelor de forma ∫ Mmdx

dA=M(x)dx M(x) C xA

x

xB

dx xC

y m(x)

Pentru calculul integralei ∫ Mmdx unde funcţia m(x) este o funcţie liniară, Vereşceaghin a propus o metodă mult mai x rapidă, metodă grafoanalitică care este prezentată mai jos. Din fig 8.7 se poate scrie: dA =M(x)dx şi m(x)=xtgα

yC xA

x

(8.22)

xB xC Fig. 8.7

(8.23)

deci integrala de la xA la xB devine: x

xB

xB

xA

xA

∫ M ( x )m( x )dx = ∫ xtgαdA = xB

(8.24)

= tgα ∫ xdA = S y tgα = A xc ⋅ tgα = A y c xA

unde : yc reprezintă ordonata corespunzătoare centrului de greutate C al suprafeţei diagramei M(x) din diagrama m(x); A este aria diagramei M(x) cuprinsă între xA şi xB (fig 8.7). Formulele pentru calculul distanţei până la centrul de greutate şi al ariei unor suprafeţe uzuale din diagrama M(x) sunt date în tabelul 8.2: Tabelul 8.2: Figura geometrică y

C

h x

xC

a

Aria

Distanţa xC

A=ah

xC=a/2

97 y h

C

A=ah/2

xC=2a/3

A=ah/3

xC=3a/4

A=2ah/3

xC=3a/8

x xC

a

y

C

h

a

xC

x

y h

C xC

a

x

8.7. Regula lui Simpson de calcul a integralei de forma ∫ Mmdx Pentru calculul integralei de forma ∫ Mmdx în care funcţia M(x)⋅m(x) este o funcţie de gradul max III (fig.8.8) se poarte folosi regula 1/3 a lui Simpson: xB

a

∫ M ( x)m( x)dx = 3 (h k

1 1

+ 4hk + h2 k 2 )

(8.25)

xA

y

y M(x)

h1 xA

h3

h2 a

a

xB

M(x)

h2

h1 xA

x

a

a

h3 a

h4 xB x

y

y

m(x) m(x) k2

k1 xA

k3

a

a Fig. 8.8

xB

k2

k1 x

xA

a

a Fig. 8.9

k3 a

k4 xB x

98

unde : h1, h2, h3 sunt valorile ordonatelor din cele două diagrame de pe diagrama M(x) şi k1, k2, k3 sunt valorile ordonatelor de pe diagrama m(x) corespunzătoare lui xA şi xB şi mijlocului distanţei dintre xA şi xB (fig 8.8) Pentru calculul integralei de forma ∫ Mmdx în care funcţia M(x)⋅m(x) este o funcţie de gradul max IV (fig.8.9) se poarte folosi regula 3/8 a lui Simpson: xB

∫ M ( x)m( x)dx =

xA

3a (h1k1 + 3h2 k 2 + 3h3 k3 + h4 k 4 ) 8

(8.26)

unde : h1, h2, h3 h4, sunt valorile ordonatelor din diagrama M(x) şi k1, k2, k3 k4, valorile ordonatelor din diagrama m(x) corespunzătoare lui xA şi xB şi celor două puncte ce împart distanţa dintre xA şi xB în trei părţi egale (fig 8.9). P

3

1

P/2

P/2

a/2

a/2

4

2

a/2

+ P=1

Pa/4

-1/2

3/2

a/2

a/2

a/2

a/2 N=1

1/a

-1/a

a/2

a/2

a/2

+ Fig. 8.10

+1

Aplicând metoda lui Vereşeagin pentru aplicaţia de la pargraful 8.5.4 (fig 8.10) se obţin următoarele rezultate:

99

Pa 3 1  1 Pa a 1  a  1 Pa a 2  a  ⋅ ⋅ ⋅−  = − ⋅ ⋅ ⋅ −  + ⋅ w4 = EI  2 4 2 3  2  2 4 2 3  2  32 EI 1  1 Pa a 1 1 Pa a 2  Pa 2 ϕ4 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 = EI  2 4 2 3 2 4 2 3  16 EI

(8.27)

Aplicând formula lui Simson pentru aplicaţia de la pargraful 8.5.4 (fig 8.10) se obţin următoarele rezultate: (8.28) EIw4 =

a  Pa  a  Pa  a  a  Pa  a  Pa  3a   a  0⋅0 + 4⋅ ⋅−  + ⋅  −  + ⋅−  + 4⋅ ⋅  −  + 0 ⋅  −    2⋅6  8  8  4  4  2 ⋅ 6  4  4  8  8   2 

Pa 3 32 a  Pa  1  Pa  1  a  Pa  1  Pa  3   Pa 2 EIϕ 4 = 0 0 4 4 0 1 ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ( )          = 16 2 ⋅ 6  8  4  4  2  2 ⋅ 6  4  2  8 4  EIw4 = −

8.8. Teorema lui Castigliano Terema lui Castigliano permite calculul deplasărilor liniare sau unghiulare ale unui punct sau plan al unui corp elastic sub acţiunea forţelor sau cuplurilor aplicate asupra lor. Fie un sistem de forţe P1 , P2..., Pn independente ce acţionează asupra unui corp astfel încât energia potenţială de deformaţie elastică acumulată de acesta are valoarea U (fig.8.10). Se consideră că una dintre forţe Pi suferă o creştere de dPi, atunci energia δU dPi . potenţială de deformaţie elastică creşte dela valoarea iniţială U la U + δPi dPi dδi δi

Pi Ai

Pn

Considerăm că cele două serii de forţe se aplică în ordine inversă, adică mai întâi se aplică forţa dPi apoi se aplică forţele P1, P2, ... Pn. Se notează cu: dδi - deplasarea punctului Ai produsă datorită acţiunii forţei dPi pe direcţia ei;

A’i

δi - deplasarea punctului Ai produsă datorită acţiunii forţelor P1, P2,... Pi,... Pn pe direcţia forţei Pi.

P2 P1

Fig. 8.10

L′(dPi ) =

Lucrul mecanic efectuat de forţa deplasarea proprie dδi este:

dPi ⋅ dδ i 2

dPi (8.29)

Lucrul mecanic efectuat de forţa dPi pe deplasarea δi este: L ′′(dPi ) = dPi ⋅ δ i

(8.30)

pe

100

Energia potenţială de deformaţie elastică totală acumulată de corp va fi: 1 U tot = dPi dδ i + dPi δ i + U (8.31) 2 Deoarece în acest caz (corp liniar elastic) energia potenţială de deformaţie elastică nu depinde de succesiunea aplicării celor două stări de încărcare, vom avea: ∂U 1 U+ dPi = dPi dδ i + dPi δ i + U (8.32) ∂Pi 2 unde dacă se neglijează infinitul de ordinul II în raport cu cei de ordinul I obţinem: ∂U ∂U ⇒ δi = dPi = dPi δ i (8.33) ∂Pi ∂Pi Aceasta este expresia teoremei lui Castigliano, care are următorul enunţ: Deplasarea δi pe direcţia unei forţe exterioare Pi este egală cu derivata parţială a energiei potenţiale totale a corpului scrisă în funcţie de Pi. Dacă în locul forţei Pi se consideră un moment Mk , atunci deplasarea unghiulară ϕk a planului în care acţionează cuplul Mk este egală cu derivata parţială a energiei potenţiale totale a corpului scrisă în funcţie de Mk . ∂U ϕk = (8.34) ∂M k Pentru a determina deplasarea liniară sau unghiulară a unui punct (sau plan) în cazul în care în punctul (sau planul) respectiv nu acţionează o forţă exterioară (sau un cuplu exterior) se aplică în secţiunea respectivă o forţă fictivă P0 (sau un cuplu fictiv M0) care serveşte numai la exprimarea energiei potenţiale de deformaţie U şi apoi la ∂U ∂U (respectiv ) din teorema lui Castigliano. determinarea derivatei parţiale ∂P0 ∂M 0 Pentru aplicaţia de la pargraful 8.5.4 dacă aplicăm teorema lui Castigliano (fig 8.11) şi obţinem aceleaşi rezultate: 3

1

4

2 P

P0

P/2+3P0/2

P/2-P0/2 a/2

a/2

a/2

a.

M0

P

P/2+M0/a

a/2

a/2 b.

P/2-M0/a

a/2

Fig. 8.11

101

M i2 dx 2 EI

(8.35)

∂M i M i ∂U =∫ ⋅ dx ∂M 0 l ∂M 0 EI

(8.36)

Expresia energiei de deformaţie este:U = ∫ l

deci relaţiile (8.33) şi (8.34) devin : w4 =

∂M i M i ∂U =∫ ⋅ dx; ∂P0 l ∂Pi EI

ϕ4 =

Expresiile momentului M(x,P0) pe cele trei tronsoane în primul caz (fig. 8.11.a)

sunt:

P − P0 P − P0  a  x; M 32 =  + x  − Px; 2 2 2  P − P0 P + 3P0 M 24 = x (a + x) − P a + x  + 2 2 2  M13 =

(8.37)

iar derivatele parţiale corespunzătoare sunt: ∂M 13 x =− ; ∂P0 2

∂M 32 1a 1 3x  ∂M 24 = − (a + x ) + = −  + x ; ∂P0 22 2 2  ∂P0

(8.38)

Expresiile momentului M(x) pe cele trei tronsoane pentru P0=0 sunt M 13 =

P x; 2

M 32 =

Pa Pa    + x  − Px =  − x ; M 24 = 0 22 22  

(8.39)

Rezultă: w4 =

Pa 3 1 a/2 P  x  a/2 P  a  1  a  − + − − + = − x x x dx       EI ∫0 2  2  ∫0 2  2 32 EI  2  2 

(8.40)

Expresiile momentului M(x,M0) pe cele trei tronsoane în al doilea caz (fig. 8.11.b) sunt: a  P M  P M  M 13 =  + 0  x; M 32 =  + 0  x +  − Px; a  a  2 2 2

(8.41)

P M  l  P M  M 24 =  + 0 (l + x ) − P + x  +  − 0  x = M 0 l  l  2  2 2 iar derivatele parţiale corespunzătoare sunt: ∂M 13 x ∂M 32 1  a = ; =  x + ; ∂M 0 a ∂M 0 a  2

∂M 24 =1 ∂M 0

Rezultă: ϕ4 =

a/2 a a Pa 2 1 a/2 a x P  1 = − ⋅ + + + x dx x Px x dx .  ∫ ∫0  2  2  a EI 0 2 a EI 2 16    

(8.42)

102

103

CAPITOLUL IX SISTEME STATIC NEDETERMINATE FORMATE DIN BARE DREPTE 9.1. Generalităţi Prin sistem static nedeterminat format din bare drepte (hierstatic) se înţelege acel sistem pentru care nu se pot determina folosind ecuaţiile de echilibru din Mecanică, toate forţele de legătură cu mediul fix (sistem static nedeterminat exterior) respectiv toate eforturile din barele sale (sistem static nedeterminat interior) În primul caz (sistem static nedeterminat exterior) gradul de nedeterminare GNe este diferenţa dintre numărul de necunoscute introduse de legături NN (numărul de reacţiuni) şi numărul de ecuaţii de echilibru independente EI ce se pot scrie din Mecanică. Pentru sistemul de bare articulate plan din fig. 9.1 gradul de nedeterminare exterioară se calculează astfel: GNe=NN-EI=5-3=2 a

P

a

a

a

B

a 2P 2

a

2P a

2P

A

Fig.9.1

P

Fig.9.2

În al doilea caz (sistem static nedeterminat interior) gradul de nedeterminare GNi este diferenţa dintre numărul de necunoscute introduse de barele sistemului NB (eforturi axiale din barele sistemului) şi numărul de ecuaţii de echilibru independente EI ce se pot scrie din Mecanică (prin metoda izolării nodurilor EI=2n-3, n= numărul de noduri). Pentru sistemul de bare articulate plan din fig. 9.1 plan gradul de nedeterminare interior este: GNi=NB-EI=8-7=1. Deci gradul de nedeterminare global în acest caz este: GN = GNe+ GNi=3 În cazul unui sistem spaţial de bare articulate vom avea analog: GNe=NN-EI unde

EI = 6

GNi=NB-EI unde

EI = 3n-6

În cazul unui sistem plan format din bare sudate (cadru plan) (fig.9.2) numărul de necunoscute introdus de fiecare bară este 3 şi corespunde celor trei eforturi care apar în secţiunea barei N, T şi Mi . Fiecare contur interior plan introduce deci trei

104

necunoscute care corespund celor trei eforturi din secţiunea barei (fig.9.3), deci gradul de nedeterminare interior este: GNi=3.

T

N

N

Mi2

Mi2

Mi

Mi

T2 T

A

B

N2 Mi1

Mi1 T1

Fig.9.3

N2

T2

N1 N1

T1

2P

P

Fig.9.4

Pentru sistemul de bare sudate plan din fig. 9.2 gradul de nedeterminare exterior se calculează analog: GNe=NN-EI=6-3=3, iar gradul de nedeterminare interior este GNi=3 (are un singur contur interior). Deci gradul de nedeterminare al sistemului în acest caz este: GN = GNe+ GNi=6. Într-adevăr secţionând cadrul cu un pan imaginar ca în fig. 9.4 şi introducând eforturile secţionale: N1, T1, Mi1, N2, T2, Mi2 rezultă două cadre static determinate (în ipoteza că cele 6 eforturi de mai sus sunt cunoscute), cu câte 3 necunoscute în A şi B şi cu câte 3 ecuaţii de echilibru din Mecanică, deci sistemul de bare din fig. 9.4 are gradul de nedeterminare egal cu 6. În spaţiu numărul de necunoscute introduse este după cum urmează: un contur închis introduce 6 necunoscute, o încastrare introduce 6 necunoscute, o articulaţie sferică 3 necunoscute, etc. şi numărul de ecuaţii independente de echilibru ce se pot scrie este 6. Grinzile continue sunt de asemenea sisteme static nederminate: astfel grinda încastrată la un capăt şi situată pe două reazeme rigide punctuale are gradul de nedeterminare GNe =5 – 3 = 2, iar o grinda încastrată la ambele capete şi situată pe un reazem rigid punctual are gradul de nedeterminare : GNe =7 – 3 = 4 (vezi capitolul V - Grinzi continue)

9.2. Metoda eforturilor. Sistem de bază. Ecuaţiile de condiţie ale metodei eforturilor Pentru rezolvarea sistemelor static nedeterminate de tipul celor prezentate mai sus se folosesc diferite metode: metoda eforturilor, metoda deplasărilor, etc. Metoda eforturilor introduce un număr de necunoscute X1, X2, ... Xn, prin suprimarea legăturilor exterioare (reacţiunilor), sau a legăturilor interioare (a barelor aparţinând contururilor închise) şi transformarea lui într-un sistem static determinat numit sistem de bază sau sistem fundamental. Necunoscutele X1, X2, ... Xn se numesc eforturi static nedeterminate. Pentru sistemul de bare articuate din fig. 9.1 de trei ori static nedeterminat sunt prezentate două sisteme de bază în fig. 9.5.a,b (X1, X2, X3 sunt eforturile static nedeterminate),

105

iar pentru sistemul de bare sudate din fig. 9.2 de 6 ori static nedeterminat în fig.9.4 a fost deja prezentat un sistem de bază (X1≡N1, X2≡T1, X3≡Mi1, X4≡N2 , X5≡T2 , X6≡Mi2 sunt eforturile static nedeterminate), P

a

a

P

a

a

X3 X3

a

2P 2

X3

2P 2

a X3

X1

2P

2P

X1

X2

X2

a.

X1 b.

Fig.9.5

Transformarea sistemului static nedeterminat dat (sistemul real) în sistem de bază se poate face în mai multe moduri. Sistemul de bază trebuie să fie un sistem indeformabil geometric, adică un sistem care să nu permită deplasări cinematice sub acţiunea sarcinilor exterioare. În principiu, metoda eforturilor se bazează pe scrierea condiţiilor de deplasări ale diferitelor puncte ale sistemului de bază, datorate sarcinilor exterioare şi necunoscutelor static nedeterminate, care deplasări trebuie să fie identice cu cele ale sistemului real. Aceste condiţii se pot obţine imediat pentru sistemele static nedeterminate exterior anulând deplasările diferitelor puncte ale sistemului de bază, deplasări obţinute prin suprapunerea efectelor forţelor exterioare aplicate şi a eforturilor static nedeterminate în sistemul de bază. 1

P

4

X3 2

X3 2P

1

5

4

δ30

5

δ31 2P 2

X1 3 X2 a.

δ20

2

δ10

3 δ11

X1=1

δ21

b. Fig.9.6

Astfel pentru sistemul de bază din fig 9.5 s-au făcut următoarele notaţii:

δ10 – deplasarea nodului 3 pe direcţia efortului X1 sub acţiunea forţelor exterioare P, 2P şi 2P 2 ;

106

δ20 – deplasarea nodului 3 pe direcţia efortului X2 sub acţiunea forţelor exterioare P, 2P şi 2P 2 ; δ30 – deplasarea nodului 4 pe direcţia efortului X3 sub acţiunea forţelor exterioare P, 2P şi 2P 2 ; δ11 – deplasarea nodului 3 după direcţia efortului X1 sub acţiunea uneui forţe X1=1; δ21 – deplasarea nodului 3 după direcţia efortului X2 sub acţiunea uneui forţe X1=1; δ31 – deplasarea nodului 4 după direcţia efortului X3 sub acţiunea uneui forţe X1=1; δ12 – deplasarea nodului 3 după direcţia efortului X1 sub acţiunea uneui forţe X2=1; 1

4

5

1

4 X3=1

δ32

3 X2=1 c.

δ23 3

2

δ12 Fig.9.6

δ33

X3=1

δ22 2

5

d.

δ13

δ22 – deplasarea nodului 3 după direcţia efortului X1 sub acţiunea uneui forţe X2=1; δ32 – deplasarea nodului 4 după direcţia efortului X1 sub acţiunea uneui forţe X2=1; δ13 – deplasarea nodului 3 după direcţia efortului X1 sub acţiunea uneui forţe X3=1; δ23 – deplasarea nodului 3 după direcţia efortului X2 sub acţiunea uneui forţe X3=1; δ33 – deplasarea nodului 3 după direcţia efortului X3 sub acţiunea uneui forţe X3=1. Deplasările totale δ1 şi δ2 ale nodului 3 după cele două direcţii X1 şi X2 se obţin prin suprapunerea efectelor celor patru stări de încărcare şi trebuie să fie identice cu cele din sistemul real (adică nule):

δ1= δ10 + δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 = 0

(9.1)

δ2= δ20 + δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 = 0 Pentru sistemul static nedeterminat interior deplasarea nodului 4 în sistemul de bază pe direcţia efortului X3 sub acţiunea forţelor exterioare aplicate, trebuie să fie egală şi de sens contrar cu cea corespunzătoare acţiunii eforturilor static nedeterminate X1, X2 şi X3 aplicate de asemenea în sistemul de bază şi care se obţin prin suprapunerea efectelor: -δ30 = δ31X1 + δ32X2 + δ33X3.

(9.2)

Rezolvând sistemul format din cele trei ecuaţii (9.1) şi (9.2) se obţin necunoscutele static nedeterminate X1, X2 şi X3 .

107

Deplasările δio, δij se detremină folosind metoda Mohr-Maxwell: N k nik ! k ; EAk k =1 Nb

δ io = ∑

Nb

nik n jk ! k

k =1

EAk

δ ij = ∑

(9.3)

unde Nk este efortul axial din bara k atunci când în sistemul de bază acţionează forţelor exterioare date. nik este efortul axial din bara k atunci când în sistemul de bază acţionează forţa unitară Xi=1.

9.3. Aplicaţia 1 Se consideră sistemul static nedetreminat format din două bare sudate din fig. 9.7, se alege sitemul de bază ca în fig. 9.8 şi ecuaţiile ce condiţie ale metodei eforturilor se scriu în mod analog:

δ1= δ10 + δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 = 0 δ2= δ20 + δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 = 0

(9.4)

δ3= δ30 + δ31X1 + δ32X2 + δ33X3 = 0 a

P

a

a

P

B

X3 a

a

a

B

X1 X2

2P

2P

a

a A

A

Fig.9.7

Fig.9.8

Pentru calculul deplasărilor δio, δij se foloseşte metoda Mohr-Maxwell, iar pentru calculul integralelor, formula lui Simsom sau regula lui Vereşceaghin: -Pa P

-

-Pa

2P -

X1=1

M0

m1 -

-2Pa -Pa A

a.

Fig.9.8

-2a

b.

108 1

2a

+

+

2a

1

X2=1

+

m2

+

+

c.

X3=1

m3

Fig.9.8

d.

Avem următoarele valori ale deplasărilor δi0 (Simson): EIδ 10 = ∫ M 0 m1dx = +

a [0 ⋅ a + 4(−0,5Pa) ⋅ 1,5a + (−Pa)2a] + 2a [(−Pa)2a + 4(−Pa)2a + (−Pa)2a] + 6 6

a [0 ⋅ (2a) + 4(−Pa)(2a) + (−2Pa)(2a)] = − 41 Pa3 6 6

EIδ 30 = ∫ M 0 m3 dx = +

2a [(−Pa) ⋅ 0 + 4(−Pa)(−a) + (−Pa)(−2a)] + 6

a [0 ⋅ (−a) + 4(−Pa)(−1,5a) + (−2Pa)(−2a)] = 11 Pa3 3 6

EIδ 20 = ∫ M 0 m2 dx = +

(9.5)

a [0 ⋅ 1 + 4(−0,5Pa) ⋅ 1 + (−Pa) ⋅1] + 2a [(−Pa) ⋅ 1 + 4(−Pa) ⋅ 1 + (−Pa) ⋅1] + 6 6

a [0 ⋅1 + 4(−Pa) ⋅1 + (−2Pa) ⋅1] = − 7 Pa2 2 6

respectiv δij (Simson): EIδ 11 = ∫ m12 dx =

2a [0 ⋅ 0 + 4(−a)(−a) + (−2a)(−2a)] = 8 a 3 3 6

EIδ 12 = EIδ 21 = ∫ m1 m2 dx =

2a [2a ⋅ 0 + 4(2a)(−a) + (2a)(−2a)] = −4a 3 6

EIδ 13 = EIδ 31 = ∫ m1 m3 dx =

2a [1 ⋅ 0 + 4(1)(−a) + (1)(−2a)] = −2a 2 6

EIδ 22 = ∫ m22 dx =

2a [0 ⋅ 0 + 4(a)(a) + (2a)(2a)] + 2a [2a ⋅ 2a + 4(2a)(2a) + (2a)(2a)] = 32 a 3 3 6 6

EIδ 23 = EIδ 32 = ∫ m2 m3 dx = EIδ 33 = ∫ m32 dx =

(9.6)

2a [0 ⋅ 1 + 4(a)(1) + (2a)(1)] + 2a [2a ⋅ 1 + 4(2a)(1) + (2a)(1)] = 6a 2 6 6

2a [1 ⋅ 1 + 4(1)(1) + (1)(1)] + 2a [1 ⋅ 1 + 4(1)(1) + (1)(1)] = 4a 6 6

Folosind regula lui Vereşceaghin se obţin aceleaşi valori pentru deplasări:

109 11 5 1 EIδ 10 = ∫ M 0 m1dx = 2a(−Pa) ⋅ (−a) + a(−2Pa) (−2a) = Pa 3 3 6 2 41 1 5 1 EIδ 20 = ∫ M 0 m2 dx = a(−Pa) (2a) + 2a(−Pa) ⋅ (2a) + a(−2Pa) ⋅ (2a) = − Pa 3 6 2 6 2

(9.7)

7 1 EIδ 30 = ∫ M 0 m3 dx = a(−Pa) ⋅ 1 + 2a(−Pa) ⋅ 1 = − Pa 2 2 2 EIδ 11 = ∫ m12 dx =

8 2 1 2a (−2a) (−2a) = a 3 3 3 2

EIδ 12 = EIδ 21 = ∫ m1 m2 dx =

1 2a (−2a) 2a = −4a 3 2

EIδ 13 = EIδ 31 = ∫ m1 m3 dx =

1 2a (−2a) ⋅1 = −2a 2 2

EIδ 22

32 3 2 1 a = ∫ m dx = 2a (2a) ⋅ (2a) + 2a (2a) 2a = 3 3 2

(9.8)

2 2

EIδ 23 = EIδ 32 = ∫ m2 m3 dx = 2a ⋅ 1 ⋅ a + 2a ⋅ 1 ⋅ 2a = 6a 2 EIδ 33 = ∫ m32 dx = 2 ⋅ 2a ⋅ 1 ⋅ 1 = 4a

Introducând valorile obţinute în sistemul (9.4) se obţine X3=-0,1875Pa

P

B a

a a

X1=-0,906P X2=0,406P

2P a HA

 8a 3 11a 3 3 2 X 1 − 4a X 2 − 2a X 3 = − P  3  3 32a 3 41a 3  3 2 a X X a X P 4 6 − + + =  1 2 3 3 6   7a 2 2 2 P − 2a X 1 + 6a X 2 + 4aX 3 = 2 

(9.9)

Rezolvând acest sistem rezultă:

A

X 1 = −0,906 P;

MA Fig.9.9

VA

X 2 = 0,406 P; X 3 = −0,1875 Pa

(9.10)

Reacţiunile din A rezultă din ecuaţiile de echilibru (fig.9.9):

∑F ∑F ∑M

x

= 0 : H A + 2 P − 0,906 P = 0

⇒ H A = −1,094 P

y

= 0 : V A − P + 0,406 P = 0

⇒ V A = 0,594 P

z

= 0 : M A − 2 P ⋅ a − P ⋅ a − 0,1875 Pa + 0,406 P ⋅ 2a + 0,906 P ⋅ 2a = 0

(9.11)

⇒ M A = 0,5635 P

Cu aceste date se pot trasa diagramele de eforturi N, T şi M (fig. 9.10).

110 -0,3755Pa

0,594P

+

-

-

+

-

-0,906P

N

-

-0,1875Pa

0,2185Pa

-0,406P

-0,906P

+ 0,5305Pa

T

M

+ -0,594P 1,094P

-

Fig.9.10

-0,5635Pa

9.4. Simetrii în sisteme static nedetreminate Metoda eforturilor introduce în sistemele static nedeterminate un număr mare de necunoscute X1, X2, ... Xn, prin suprimarea legăturilor exterioare sau a interioare şi transformarea lor în sisteme static determinate (sisteme de bază). Anumite sisteme prezintă simetrii care permit încă de la început determinarea unor necunoscute (fie că sunt nule sua egale pe perechi), ceea ce micşorează gradul

N

de nedeterminare.

Mi

Mi

Dacă se secţionează o bară cu un plan imaginar şi se introduc eforturile secţionale pe cele două feţe ale secţiunii se observă (fig. 9.11) că eforturile N şi M sunt eforturi simetrice , iar efortul T este un efort antisimetric.

N T

T Fig.9.11

În fig. 9.12 este prezentat un sistem simetric încărcat simetric cu cele două diagame de eforturi T şi M. Se observă din aceste diagrame că efortul antisimetric T este nul în planul de simetrie. Acestă proprietate se poate generaliza astfel: în planul de simetrie al unui cadru (simetric) încărcat simetric eforturile antisimetrice sunt nule. q

B

A qa/2

qa/2

Diagrama T T=0

q A

B

qa/4 qa/4

q Diagrama T

-qa2/16

Diagrama M

Mmax=qa2/8 Fig.9.12

Diagrama M

-qa/4 qa/4

-qa/4 M=0

Fig.9.13

qa2/16

111

În fig. 9.13 este prezentat un sistem simetric încărcat antisimetric cu diagamele de eforturi T şi M corespunzătoare. Se observă din aceste diagrame că efortul simetric M este nul în planul de simetrie. Acestă proprietate se poate generaliza astfel: în planul de simetrie al unui cadru (simetric) încărcat antsimetric eforturile simetrice sunt nule.

9.5. Calculul deplasărilor în sisteme static nedetreminate Deplasările din sistemele static determinate se pot calcula cu metode energetice (Metoda Mohr Maxwell) prin suprapunerea efectelor forţelor exterioare date şi a eforturilor static nedeterminate (acum cunoscute) în sistemul de bază, care este echivalent din punct de vedere mecanic cu sistemul real. Astfel deplasarea punctului A pe direcţia forţei FA (fictive) se determină cu relaţia:

δ A = δ A0 + δ A 2 X 2 + δ A3 X 3 + ...δ An X n

(9.12)

unde deplasările au aceeaşi semnificaţie: δA0 – deplasarea punctului A pe direcţia FA în sistemul de bază sub acţiunea forţelor exterioare date;

δAi – deplasarea punctului A pe direcţia forţei FA , în sistemul de bază, sub acţiunea unei forţe unitare Xi=1;expresiile acestor deplasări prin metoda Mohr Maxwell sunt: 1 EI 1 δA = EI 1 δA = EI δA =

[∫ M m dx + X ∫ m m dx + X ∫ m m dx + ... + X ∫ m m dx] [∫ M m dx + X m m + X m m + ... + X m m ] [∫ ( M + X m + X m + ... + X m )m dx]= EI1 ∫ M m dx 0

A

1

A

1

1

A

2

A

2

n

A

n

0

1

A

2

A

2

n

A

n

(9.13)

0

1

1

2

2

n

n

A

A

Acest rezultat arată că deplasarea într-un punct oareacare A al unui sistem static nedeterminat se obţine cu formula lui Mohr Maxwell în care se înmulţesc: diagrama de momente reale M cu diagrama mA coespunzătoare unei forţe unitare aplicate în sistemul de bază pe direcţia pe care dorim să determinăm deplasarea. Pentru cadrul de la aplicaţia 9.3 dorim să calculăm deplasarea punctelor de aplicaţia ale celor două forţe exterioare 2P şi P. Se construiesc cele trei diagrame M, mC şi mD (fig.9.14. b, c,d). Deplasările se calculează folosind regula 1/3 a lui Simson: EIδ D = ∫ MmD dx =

a [(0,2185Pa) ⋅ 0 + 4(−0,0785Pa)(−0,5a) + (−0,3755Pa)(−a)] + 6

a [(−0,3755Pa) ⋅ (−a) + 4(0,0755Pa)(−a) + (0,5305Pa)(−a)] + 6 a + [(0,5305Pa) ⋅ (−a) + 4(−0,01655Pa)(−a) + (−0,5635Pa)(−a)] = 0,0278Pa3 6

+

EIδ C = ∫ MmD dx =

a [(0,5305Pa) ⋅ 0 + 4(−0,01655Pa)(−0,5a) + (−0,5635Pa)(−a)] = 0,0994Pa3 6

(9.14)

112 -0,3755Pa

X3=-0,1875Pa

P

B a

a

X1=-0,906P

a

-0,3755Pa

2P

+ 0,2185Pa

0,0775Pa

X2=0,406P

-0,1875Pa

-0,0785Pa

-

+ 0,5305Pa a A

HA

M

-0,01655Pa

Sistemul de bază

-

-0,5635Pa

MA a.

VA

b.

-a

1

D

1

mD

-

mC

C

-a

-a

Fig.9.14

c.

d.

9.6. Aplicaţia 2 Se consideră sistemul format din 7 bare rigide articulate în noduri , de secţiune constantă. În nodul 5 acţionează două forţe exterioare P şi 2P (fig. 9.15). Bara este legată de mediul fix prin două articulaţii (nodurile 1,2) şi un reazem rigid (nodul 3). Dorm să determinăm reacţiunile din articulaţiile 1, 2 şi reazemul simplu 3, precum şi deplasările pe orizontală şi verticală ale nodului 5. 1

a

4

a

5

P

1

2P

a 3

2

4

a

5 P

2P

a X1 X2

Fig.9.15

a

3

2 Fig.9.16

Acesta este un sistem de două ori static nedeterminat exterior. Sistemul de bază se obţine suprimând legătura din nodul 2 şi introducând necunoscutele static nedeterminate X1 şi X2 (fig. 9.16).

113

Ecuaţiile de condiţie se obţin scriind deplasările nodului 2 în sistemul de bază după cele două direcţii (X1 şi X2 ) care trebuie să fie identice cu cele din sistemul real (nule):

δ1= δ10 + δ11X1 + δ12X2 = 0

(9.15)

δ2= δ20 + δ21X1 + δ22X2 = 0 unde:

δ10 , δ20, reprezintă deplasarea nodului 2 în sistemul de bază pe direcţia lui X1 respectiv pe direcţia lui X2, sub acţiunea forţelor date P şi 2P; δ11 , reprezintă deplasarea nodului 2 în sistemul de bază pe direcţia lui X1, sub acţiunea unei forţe X1=1; δ12 =δ21 , reprezintă deplasarea nodului 2 în sistemul de bază pe direcţia lui X1, sub acţiunea unei forţe X2=1 respectiv deplasarea nodului 2 pe direcţia lui X2 pentru o forţă X1=1(conform teoremei lui Betii aceste deplasări sunt egale); δ22 , reprezintă deplasarea nodului 2 în sistemul de bază, pe direcţia lui X2, sub acţiunea unei forţe X2=1; Aceste deplasări se determină prin metoda Mohr-Maxwell: δ i0 = ∑ ∫

N 0 p nip

δ ij = ∑ ∫

nip n jp

EAp

p

p

EAp

dx = ∑ p

dx = ∑

N 0 p nip L p EAp

nip n jp L p

p

EA p

=

1 ∑ N 0 p nip L p EA p

(9.16)

1 = ∑ nip n jp L p EA p

unde: ! EA sunt rigidităţile barelor articulate constante şi aceleaşi pentru toate barele; ! N0 sunt eforturile din barele sistemului de bază sub acţiunea forţelor exterioare P şi 2P (fig. 9.16), p=1,2…7; ! n1 ,n2 sunt eforturile din barele sistemului de bază sub acţiunea unei forţe X1=1 (fig. 9.17) , respectiv a unei forţe X2=1 (fig. 9.18) , p=1,2…7; 2P -P

1

-2P

P

2 2P

4

1 P

1

-1

2P

1

X1=1 3

1

- 2

-2 2 P

4P Fig.9.16

5

-2P

-2P

2

3P

0

2 Fig.9.17

4

5

0

1 0

3

114

Înlocuind valorile corespunzătoare ale eforturilor axiale din fig. 9.16, 9.17, 9.18 rezultă: -1

1

4

0

-1

5

0

0

0

3

2

)

(

0

0

X2=1

(

Pa 1 N 0i n1i Li = − 3 − 4 2 ∑ EA i EA Pa 1 N 0i n2i Li = 2 δ 20 = ∑ EA i EA a 1 n1i n1i Li = 3 + 2 2 δ 11 = ∑ EA i EA a 1 n1i n2i Li = − δ 12 = δ 21 = ∑ EA i EA a 1 n2i n2i Li = δ 22 = ∑ EA i EA

δ 10 =

Fig.9.18

)

(9.17)

Se introduc aceste valori în (9.15) şi rezolvând sistemul rezultă următoarele valori pentru necunoscutele X1 şi X2: X1 =

1+ 4 2 P = 1,379 P; 2+2 2

X2 = −

3 P = −0,621P 2+2 2

(9.18)

Din ecuaţiile de echilibru pentru toate forţele din sistemul de bază rezultă şi celelalte necunoscute ale problemei (fig. 9.19): H1 = − P − X 1

⇒ H1 = −2,379 P;

(9.19)

V1 = 2 P − X 2 − V3 ⇒ V1 = 0 V3 = 4 P − X 1

⇒ V3 = 2,621P

Pentru a calcula deplasările nodului 5 se foloseşte metoda Mohr Maxwell: u5 = ∑

N p n5 Hp L p EAp

p

=

1 ∑ N p n5 Hp L p ; EA p

v5 = ∑ p

N p n5Vp L p EAp

=

1 ∑ N p n5Vp L p EA p

(9.20)

unde: ! Np sunt eforturile din barele sistemului real dat sub acţiunea forţelor exterioare, de legătură şi a necunoscutelor static nedeterminate X1 şi X2 (fig. 9.19); ! n5H sunt eforturile din barele sistemului de bază, sub acţiunea unei forţe X=1 aplicată în nodul 5 pe direcţia deplasării căutate (u5) (fig. 9.20); V1=0

1

2,379P

4

3P

5

P

1

-1

1

4

5 X=1

1

H1=-2,379P 0,879P

X1=1,379P

-2P

2 X2=-0,621P

2P

-0,621P

0

0

0 0

-2,828P

3 V3=2,621P

Fig.9.19

0

3

2 Fig.9.20

115

! n5V sunt eforturile din barele sistemului de bază, sub acţiunea unei forţe X=1 aplicată în nodul 5 pe direcţia deplasării căutate (v5) (fig. 9.21); Înlocuind valorile eforturilor corespunzătoare din fig. 1.15, 1.16, 1.17 , 1.18 , 1.19 şi 1.20 rezultă: u 5 = −5,379

Pa Pa ; v5 = −13,035 EA EA

1

1

0

(9.21)

4

0

1

2

X=1

1

- 2

2

3 -1

Fig.9.21

5

-1

116

117

CAPITOLUL X FLAMBAJUL DE COMPRESIUNE AXIALĂ AL BARELOR DREPTE

10.1. Generalităţi Fenomenul de pierdere al stabilităţii echilibrului elastic ce ia naştere în interiorul unui corp care este supus acţiunii unor anumite tipuri de sarcini, se întâlneşte la numeroase elemente din construcţia dre maşini. De exemplu: o bară dreaptă supusă la o forţă de compresiune P (fig.10.1.a); un inel supus unei forţe distribuite pe lungimea sa la exterior (pe partea convexă) (fig.10.1.b); o bară subţire încărcată cu o forţă perpendiculară le axa ei(fig.10.1.c), un cilindru sau o sferă supusă unei forţe distribuite pe suprafaţă la exteriorul său (pe partea convexă) (fig.10.1.d). P P c. Q Q Q

b. a.

d. Fig 10.1

În cazul barei supusă la compresiune axială (fig.10.1.a), atât timp cât forţa P nu depăşeşte o anumită valoare valoare (numită critică Pcr), dacă se aplică o forţă transversală Q acesta va produce încovoierea barei, iar după înlăturarea ei ea revine la forma iniţială (dreaptă) de echilibru. Spunem că bara se află în domeniul echilibrului elastic stabil. Atunci când forţa P atinge valoarea critică Pcr, după aplicarea şi înlăturarea forţei Q ea nu mai revine la forma de echilibru. Spunem că bara a ieşit din domeniul echilibrului elastic stabil (echilibru nestabil). Acest fenomen de trecere din starea de echilibru stabil în cea de echilibru nestabil se numeşte în acest caz flambaj de compresiune axial a barelor drepte.

118

Experienţele arată că valoarea forţei critice de flambaj Pcr depinde atât de materialul, forma şi dimensiunile barei, cât şi de modul de rezemare al barei - sau legăturile cu mediul fix - şi modul aplicare a sarcinilor exterioare. Calculul la flambaj constă în alegerea pentru siguranţă a forţei maxime Pmax de cf ori mai mică decât forţa critică de flambaj Pcr. Relaţia de dimensionare, verificare sau calculul forţei capabile la flambaj se bazează deci pe relaţia: cf =

Pcr ≤ caf Pmax

(10.1)

unde caf este coeficientul de siguranţă la flambaj admisibil. Tensiunea critică de flambaj corespunzătoare forţei critice de flambaj:

σ cr =

σcr

este

tensiunea

de

compresiune

Pcr A

(10.2)

Tensiunea critică de flambaj σcr poate să fie în unele cazuri cu mult inferioară limitei de curgere σc , de elasticitate σe , de proporţionalitate σp sau chiar tensiunii admisibile σa . Dacă tensiunea critică de flambaj este mai mare decât limita de curgere (σcr > σc) practic nu se mai poate vorbi de flambaj, deoarece materialul intră în domeniul curgerii plastice care se manifestă prin deformaţii foarte mari. Dacă tensiunea critică de flambaj este inferioară limitei de curgere dar mai mare decât limita de proporţionalitate (σp < σcr < σc ) spunem că avem flambaj în domeniul elasto-plastic (sau mai simplu flambaj plastic) iar dacă este inferioară limitei de proporţionalitate (σcr < σp) spunem că avem flambaj în domeniul elastic(sau mai simplu flambaj elastic). Problema calculul tensiunii critice de flambaj în domeniul elastic a fost rezolvată din sec. XVIII de către LEONARD EULER În continuare este prezentat modul de calcul al forţei critice pentru bara dreaptă de secţiune constantă.

10.2. Formulele lui EULER pentru calculul forţei critice de flambaj de compresiune al barei drepte a) Bara dreaptă de secţiune constantă articulată la ambele capete Se consideră o bară dreaptă de lungime L şi secţiune constantă, articulată la capete, supusă unei forţe axiale de compresiune P. Acestă forţă creşte de la zero până la valoarea critică Pcr când bara flambează după direcţia corespunzătoare momentului de inerţie minim Imin (care în fig. 10.2 este axa Oy). Fie w(x) săgeata barei la distanţa x de capăt . Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate este: EI min w′′ = − M iy unde momentul încovoietor are expresia: M iy ( x) = Pcr w( x)

(10.3) (10.4)

119 Pcr

Ecuaţia (10.3) se mai scrie:

Pcr x.

O z

x

w′′ +

Pcr ⋅w=0 EI min

w(x)

Notând cu:

Fig. 10.2

α2 =

ecuaţia diferenţială (10.3’) devine: w′′ + α 2 w = 0

(10.3’) Pcr EI min (10.3”)

Ecuaţia caracteristică corespunzătoare este: r 2 + α 2 = 0;

cu radacinile r1, 2 = ±iα

Soluţia ecuaţiei diferenţiale omogene (10.3”) se scrie: w( x) = C1e iαx + C2 e − iαx

(10.5)

deoarece această soluţie trebuie să fie reală, explicitând eiαx şi e-iαx ea devine: w( x) = A sin α x + B cosα x

(10.6)

Constantele A şi B se determină din condiţiile la limită ale problemei: ⇒ x=0 , w=0 B=0 ⇒ x = L, w = 0 AsinαL=0 şi deoarece A ≠ 0 ⇒ αL=kπ sau α 2 L2 = k 2π 2 sin αL=0 ⇒ Înlocuind pe α 2 rezultă: Pcr 2 k 2π 2 EI min L = k 2π 2 ⇒ Pcr = EI min L2  kπ  x Soluţia problemei se scrie deci: w( x) = A sin L  

(10.7)

(10.8) (10.9)

Pentru k=1 rezultă forţa critică de flambaj fundamentală, iar forma fibrei medii deformate corespunde unei semisinusoide pe lungimea barei (fig. 10.3.a): 4π 2 EI min k = 1 ⇒ Pcr1 = ; L2

 πx  w( x) = A sin  L

(10.10)

Pentru k=2 forţa critică de flambaj care este de 4 ori ai mare decât cea fundamentală iar forma fibrei medii deformate corespunde unei sinusoide întregi pe lungimea barei (practic în acest caz bara este prevăzută cu un reazem intermediar situat la jumătatea distanţei, ca în fig. 10.3.b): 4π 2 EI min k = 2 ⇒ Pcr 2 = ; L2

 2πx  w( x) = A sin   L 

(10.11)

Pentru k=3 forţa critică de flambaj este de 9 ori ai mare decât cea fundamentală şi forma fibrei medii deformate corespunde a trei semisinusoide pe lungimea barei (practic în acest caz bara este prevăzută cu două reazeme intermediare situate la aceeaşi distanţă L/3, ca în fig. 10.3.c):

120

k = 3 ⇒ Pcr 3 =

9π 2 EI min ; L2

 3πx  w( x ) = A sin   L 

Pcr1

(10.12) Pcr1

L

a. Pcr2

Pcr2 L/2

L/2

b. Pcr3

Pcr3

L/3

L/3

L/3

Fig. 10.3

c.

b) Bara dreaptă de secţiune constantă încastrată la un capăt şi liberă la celălalt Se consideră o bară dreaptă de lungime L şi secţiune constantă încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, supusă unei forţe axiale de compresiune P. Acestă forţă creşte de la zero până la valoarea critică Pcr, când bara flambează după direcţia corespunzătoare momentului de inerţie minim Imin (care în fig. 10.4 este axa Oy). Fie w(x) săgeata ei la distanţa x de capăt. Momentul încovoietor are în acest caz aceeaşi expresie (10.4): M iy ( x) = Pcr w( x) Pcr

Se obţine deci aceeaşi

O x.

w′′ +

w(x) z

ecuaţie diferenţială (10.3’):

x

Pcr ⋅w=0 EI min

(10.13)

Soluţia ecuaţiei diferenţială

Fig. 10.4

are aceeaşi formă (10.6):

w( x) = A sin α x + B cosα x iar derivata ei este: w′( x) = αA cosα x − αB sin α x

(10.14) (10.15)

Constantele A şi B nu mai sunt aceleaşi şi se determină din condiţiile la limită ale problemei care în acest caz se scriu: x=0 , w=0

⇒

B=0

(10.16)

121

x = L, w’=ϕ = 0 ⇒

⇒ cos αL=0 ⇒

αA cosαL=0 αL=(2k-1)π /2

deoarece αA ≠ 0 ( 2k − 1 ) 2 π 2 2 2 sau α L = 4

Înlocuind pe α 2 rezultă: Pcr 2 ( 2k − 1 )2 π 2 ( 2k − 1 )2 π 2 EI min ⇒ Pcr = (10.17) L = EI min 4 4 L2 Pentru k=1 rezultă forţa critică de flambaj fundamentală pentru acest caz: π 2 EI min (10.18) k = 1 ⇒ Pcr1 = 4 L2 iar forma fibrei medii deformate corespunde unui sfert de sinusoidă (fig. 10.4):  πx  w( x) = A sin   2L 

(10.19)

c) Bara dreaptă de secţiune constantă încastrată la un capăt şi articulată la celălalt Se consideră o bară dreaptă de lungime L şi secţiune constantă încastrată la un capăt şi articulată la celălalt, supusă unei forţe axiale de compresiune P. Acestă forţă creşte de la zero până la valoarea critică Pcr, când bara flambează după direcţia corespunzătoare momentului de inerţie minim Imin (care în fig. 10.5 este axa Oy). Fie w(x) săgeata ei la distanţa x de capăt. În articulaţia O acţionează şi forţa de legătură Q după Oz (care readuce bara în poziţia din fig.) Momentul încovoietor are în acest caz expresia: M iy ( x ) = Pcr ⋅ w( x ) − Q ⋅ x

Înlocuind în (10.3) se obţine Pcr

Q

O

x. x

z

ecuaţia diferenţială de ordinul II: w′′ +

w(x)

Pcr Q ⋅w= x EI min EI min

(10.20)

Soluţia ecuaţiei omogene Fig. 10.5

are aceeaşi formă (10.6):

(10.21) w( x) om = A sin α x + B cosα x Soluţia generală a ecuaţiei (10.20) se scrie ca suma dintre soluţia ecuaţiei omogene şi o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale : Q w( x) = w( x) om + w( x) p = A sin α x + B cosα x + x (10.22) Pcr Q (10.23) iar derivata ei este: w′( x) = αA cosα x − αB sin α x + Pcr Constantele A şi B se determină din condiţiile la limită ale problemei, care se scriu în acest caz astfel:

122

x=0 , w=0

⇒

B=0

x = L, w = 0

⇒

A sin αL +

x = L, w’= ϕ =0

⇒

Q L=0 Pcr Q αA cosα L + =0 Pcr

(10.24)

Dacă multiplicăm a doua ecuaţie (10.24) cu (-L) şi adunăm cu prima rezultă: A ( sin αL − αL ⋅ cos αL ) = 0 şi întrucât A≠0 trebuie ca paranteza să fie nulă: sin αL − αL ⋅ cos αL = 0 sau : tgαL = αL , care este o ecuaţie transcendentă. Prima soluţie nenulă a ecuaţiei transcendente este pentru: α1 L = 4,4934 ( rad ) ≅ tgα1 L = 4,4932

⇒ α12 L2 = 20,19 = 2,046π 2 ≅ 2π 2

Rezultă forţa critică de flambaj pentru acest caz : 2π 2 EI min ⇒ Pcr1 = L2

Pcr1 2π 2 2 = α1 = 2 EI min L

(10.25)

d) Bara dreaptă de secţiune constantă încastrată la un capăt şi având o culisă la celălalt capăt Se consideră o bară dreaptă de lungime L şi secţiune constantă încastrată la un capăt şi având o culisă la celălalt capăt, supusă unei forţe axiale de compresiune P. Acestă forţă creşte de la zero până la valoarea critică Pcr, când bara flambează după direcţia corespunzătoare momentului de inerţie minim Imin (care în figura 10.6 este axa Oy). În culisa O mai acţionează cuplul de legătură M0. Fie w(x) săgeata ei la distanţa x de capăt. Momentul încovoietor are în acest caz expresia: M iy ( x ) = Pcr ⋅ w( x ) − M 0

(10.26) Înlocuind în (10.3) se obţine

M0

ecuaţia diferenţială:

Pcr O z

x

x w(x) Fig. 10.6

w′′ +

Pcr M0 ⋅w= EI min EI min

(10.27)

Soluţia omogenă a ecuaţiei (10.27) are aceeaşi formă (10.6):

(10.28) w( x) om = A sin α x + B cosα x Soluţia generală a ecuaţiei (10.27) se scrie ca suma dintre soluţia ecuaţiei omogene şi o soluţie particulară: w( x) = w( x) om + w( x) p = A sin α x + B cosα x + respectiv derivata ei: w′( x) = αA cosα x − αB sin α x

M0 Pcr

(10.29) (10.30)

123

Constantele A şi B se determină din condiţiile la limită ale problemei care se scriu în acest caz: M ⇒ x = 0: w=0 B+ 0 =0 Pcr ⇒ w’ =0 A=0 (10.31) M ⇒ B cosαL + 0 = 0 x = L, w=0 Pcr w’= ϕ =0 ⇒ − αB sin α L = 0 (B≠0) Din prima şi a treia ecuaţie (10.31) rezultă: cosαL=1 cu soluţiile: αL=2kπ , iar din ultima ecuaţie rezultă: sin α L = 0 cu soluţiile: αL=kπ . Prima soluţie αL comună nenulă este: α1L=2π . Înlocuind pe α rezultă: 4π 2 EI min ⇒ Pcr1 = L2

Pcr1 2 L = 4π 2 EI min

(10.32)

Soluţia ecuaţiei diferenţiale se scrie pentru acest caz: w( x) =

M0 2M 0 (1 − cosα x) = sin 2 αx Pcr Pcr

(10.33)

şi reprezintă o sinusoidă completă le lungimea barei. Observaţie: Expresiile forţei critice de flambaj pentru fiecare din cele 4 cazuri diferă doar printr-un coeficient, astfel încât se pot scrie sub forma generală: π 2 EI min Pcr = ( k f L )2

(10.34)

Pentru fiecare din cele 4 cazuri fundamentale valorile: a) kf=1; b) kf=2; c) kf= 2 / 2 ; d) kf=0,5.

prezentate mai sus kf are

Notând cu L f = k f L lungimea de flambaj, această mărime care depinde de modul de rezemare a barei, se obţine formula lui Euler pentru calculul forţei critice de flambaj al barei drepte supusă la compresiune:

π 2 EI min Pcr = L2f

(10.35)

Tensiunea critică de flambaj se calculează cu relaţia (10.2): Pcr π 2 E I min π 2 E 2 σ cr = = 2 = 2 imin A Lf A Lf unde: imin =

I min A

(10.36)

124

10.3. Limitele de aplicare a formulei lui Euler. Flambajul elastic şi flambajul plastic Dacă în relaţia (10.36) se notează : λ =

Lf

(10.38) imin care se numeşte coeficientul de zvelteţe sau coeficientul de subţirime al barei, atunci tensiunea critică de flambaj se scrie: π 2E σ cr = 2 (10.38) λ Tensiunea critică de flambaj σcr este o funcţie hiperbolică de coeficientul de zvelteţe λ, numită hiperbola lui Euler σcr = f(λ) şi este reprezentată în fig. 10.7.

σcr Zona flambajului elastic σp

Întrucât formula pentru calculul tensiunii critice de flambaj s-a stabilit pe baza unor relaţii care admit valabilitatea legii lui Hooke, atunci ele sunt valabile numai pentru: domeniul de tensiuni : λ0

Fig. 10.7

λ

σ cr ≤ σ p (σp - limita de proporţionalitate).

Linia λ=λ0 împarte domeniul funcţiei σcr = f(λ) în două zone: I. λ > λ 0 ,

σ cr < σ p

- zona flambajului elastic

(10.39)

II. λ < λ 0 ,

σ p ≤ σ cr ≤ σ c - zona flambajului plastic (elasto-palstic)

(10.39’)

Încercările experimentale au demonstrat că există o bună concordanţă între valorile forţei critice de flambaj (tensiunii critice) determinate prin măsurători şi cele determinate cu ajutorul formulei lui Euler în zona flambajului elastic. Pentru a determina valoarea lui λo se înlocuieşte în relaţia (10.38) σcritic cu σp şi rezultă : λ 0 = π2 E / σ p .

(10.40)

De exemplu pentru OL37 considerând pentru σp=210 MPa, E=2,1⋅ 106MPa, rezultă λo≅100 Pentru zona flambajului plastic σ c ≤ σ cr ≤ σ p în cazul oţelurilor traseul curbiliniu al curbei caracteristice face dificilă detreminarea forţei critice de flambaj cu ajutorul formulei lui Euler datorită necunoaşterii valorii modului de elasticitate; în plus, la descărcarea barei curba caracteristică este o linie dreaptă paralelă cu cu porţiunea rectilinie având panta egală cu E. Engesser-Karaman a introdus noţiunea de modul de elasticitate redus:

125

I1 I +E 2 (10.41) I I unde: I1 şi I2 sunt momentele de inerţie ale celor două părţi ale secţiunii pentru care tensiunile σ1 şi σ2 produse la încărcare –descărcare diferă datorită curbării accentuate a barei (axa neutră a secţiunii nu mai trece prin centrul de greutate al secţiunii); E r = ET

ET modul de elasticitate care este egal cu panta la curba caracteristică în punctul corespunzător forţei maxime. Forţa critică de flambaj se determină cu o formulă similară: π 2 Er I Pcr = L2f

(10.42)

Teoria Engesser-Karaman nu se aplică datorită incertitudinii asupra valorilor modului de elasticitate redus. Acestă inceritudine a condus pe unii cercetători ca să dea diferite relaţii analitice pentru funcţia σcr = f(λ) din zona flambajului plastic , relaţii stabilite pe baza înercărilor experimentale. σcr

După studiile făcute de TETMAJER şi IASINSKI se poate considera în domeniul flambajului plastic (adică pentru σ c ≤ σ cr ≤ σ p , sau între punctele A şi B din fig. 10.8) o relaţie liniară de forma:

Zona flambajului plastic

σc σp

C B

A

Zona flambajului elastic

σ cr = a − bλ O

λ1

λ0

λ

(MPa) (10.43)

unde coeficienţii a şi b s-au determinat experimental .

Fig. 10.8

Tabelul 10.1 Material

a

b

λo

λ1

OL37

(σc=240MPa)

304

1,12

105

60

OL

(σr=480MPa)

460

2,57

100

60

577

3,74

100

60

Oţel aliat (5%Ni)

461

2,25

86

0

oţel aliat (Cr-Mo)

980

5,3

55

0

Duraluminu

372

2,14

50

0

Lemn (fibră longitudinală)

28,7

0,19

100

0

(σc=310MPa) OL

(σr=520MPa) (σc=360MPa)

126

Pentru diferite materiale, valorile acestor coeficienţi, precum şi valorile coeficienţilor de zvelteţe λo şi λ1 sunt daţi în tabelul 10.1. Pentru materiale casante se foloseşte o relaţie parabolică. Astfel pentru fontă (λo=80 şi λ1=0) avem următoarea formulă: σ cr = 776 − 12λ + 0,053λ2

(MPa)

(10.44)

10.4. Calculul la flambaj al barelor drepte a. Calculul de dimensionare Calculul de dimensionare se începe cu formula lui Euler, rezultând momentul de inerţie necesar: caf Pmax L2f π 2 EI min Pcr = caf ⇒ I min = (10.45) Pcr = ; unde π2 E L2f Pmax Întrucât formula folosită este valabilă pentru zona flambajului elastic trebuie să verificăm dacă λo > λ. Se determină momentul de inerţie imin: imin =

L I min şi coeficientul de subţirime: λ = f A imin

(10.46)

Dacă: λ > λ0 ⇒ dimensionarea cu formula lui Euler este corectă; ⇒ dimensionarea nu este corectă şi se folosesc în continuare λ < λ0 formulele pentru domeniul flambajului plastic (Tetmajer - Iasinski): σ cr = a − bλ , rezultând dimensiunea secţiunii (aria necesară sau monetul de σcr A caf Pmax = caf ⇒ a − bL f = ⇒ Anec sau I min (10.47) inerţie minim): σ max I min A b. Calculul de verificare Calculul de verificare se face calculând coeficientul de zvelteţe pentru a stabili în ce zonă se produce flambajul: 1. Dacă λ > λ0

verificarea coeficientului de siguranţă la flambaj se face cu ajutorul formulei lui Euler : Pcr π 2 EI min ≥ caf ; unde Pcr = (10.48) Pmax L2f

2. Dacă λ < λ0

verificarea coeficientului de siguranţă la flambaj se face cu ajutorul formulelor pentru domeniul flambajului plastic (Tetmajer - Iasinski): σ cr ≥ caf unde σ cr = a − bλ σ max

si

σ max =

Pmax A

(10.49)

127

c. Calculul forţei capabile La fel ca în cazul calculului de verificare se determină coeficientul de zvelteţe pentru a stabili în ce zonă se produce flambajul: 1. Dacă λ > λ0

calculul forţei capabile se face cu ajutorul formulei lui Euler : Pmax

Pcr π 2 EI min = = caf caf L2f

(10.50)

2. Dacă λ < λ0 ⇒ verificarea coeficientului de siguranţă la flambaj se face cu ajutorul formulelor pentru domeniul flambajului plastic (Tetmajer - Iasinski): Pmax = σ max A =

σ cr a − bλ A= A caf caf

(10.51)

128

129

CAPITOLUL XI SOLICITĂRI SIMPLE ALE BAREI CURBE PLANE CU AXA CIRCULARĂ

11.1. Relaţii dierenţiale dintre eforturi şi sarcinile exterioare Diagrame de eforturi în bare curbe Q=qds

q

My+dMy

My

N+dN dθ/2

N dθ/2

x

T

T+dT

R dθ/2 dθ/2

θ

Fig. 11.1

z

Se consideră o bară curbă având axa de formă circulară încărcată cu sarcini exterioare sub forma unor forţe concentrate sau distribuite cuprinse în planul barei (Oxz), momente după axa Oy şi un element de lungime ds din această bară având unghiul la vârf dθ aflat la unghiul θ de capătul ei, pe feţele căruia vom avea eforturile tăietoare N, T şi My (pe faţa negativă) respectiv N+dN, T+dT şi My +dMy (pe faţa pozitivă), (fig. 11.1).

Pentru a găsi relaţiile diferenţiale dintre aceste eforturi şi forţele exterioare vom scrie ecuaţiile de echilibru a forţelor/cuplurilor exterioare şi eforturilor corespunzătoare celor două feţe ale elementului : dθ dθ − (T + T + dT) sin = 0 2 2 dθ dθ ∑Fz = 0 ⇒ (N + N + dN) sin 2 + (−T + T + dT) cos 2 + qds = 0 dθ dθ   ∑MOy = 0 ⇒− (T + T + dT)R sin 2 + (N − N − dN)R1 − cos 2  − M + M + dM = 0

∑F

x

= 0 ⇒ (−N + N + dN) cos

(11.1)

Dacă ecuaţiile (11.1) se fac următoarele aproximări: 2

dθ dθ dθ  dθ  sin ; cos ≅ ≅ 1;   ≅ 0 in raport cu 2 2 2  2 

dθ 2

(11.2)

dM − Tds = 0

(11.3)

Ecuaţiile (11.1) devin: dN − Tdθ = 0;

Ndθ + dT + qds = 0;

Înlocuind în expresiile (11.3) dθ = ds / R se obţin relaţiile diferenţiale dintre eforturi pentru bara curbă plană:

130

dN T = ; ds R

dT N = − −q ; ds R

dM =T ds

(11.4)

Dacă se integrează relaţiile (11.4) se obţin expresiile eforturilor axiale tăietoare şi înconvoietoare pe lungimea barei curbe (variabila independentă s): N ( s) =

1 1 Tds ; T ( s) = − ∫ ( N + qR)ds ; M ( s ) = ∫ Tds ; ∫ R R

(11.5)

Dacă variabila independentă este θ = s / R atunci relaţiile (11.5) se scriu: N (θ ) = ∫ Tdθ ; T (θ ) = − ∫ ( N + qR)dθ ; M (θ ) = R ∫ Tdθ ;

(11.6)

Observaţii: ! Pe baza relaţiilor (11.5) şi (11.6) se trasează diagramele de eforturi în mod asemănător cu trasarea diagramelor de eforturi pentru barele drepte: în dreptul forţelor (momentelor) concentrate trebuie să se determine cele două valori ale efortului în secţiunea respectivă, adică limitele funcţiilor la stînga Tst (Mst) respectiv la dreapta Tdr (Mdr). Diagramele se construiesc în coordonate polare de o parte şi de alta a axei circulare a barei respectând acceaşi regulă a semnelor ca la barele drepte (N şi T pozitive în exteriorul barei, iar M pozitiv în interior). ! din (11.5 şi 11.6) rezultă că funcţiile pentru cele două eforturi: axiale şi înconvoietoare, au acceaşi formă, diferind doar printr-un coeficient (1/R) şi o constantă de integrare (dată de condiţiile la limită); ! din (11.4) rezultă că pentru T=0 se obţin valori maxime sau minine (locale) ale eforturilor N şi M, iar pentru q=0 şi N=0 se obţin valori maxime sau minine (locale) ale eforturilor T; ! pentru R → ∞ relaţiile (11.4) devin relaţiile diferenţiale ale eforturilor coresunzătoare barelor drepte ( s → x ), deduse la capitolul II: dN = 0; dx

dT = −q ; dx

dM =T dx

(11.7)

11.2. Tensiuni în bare curbe plane cu axa circulară Eforturile N , T şi Mi produc în secţiunea barei curbe aceleaşi tipuri de tensiuni ca şi la bara dreaptă. Astfel eforturile axiale N produc tensiuni normale cre se determină cu relaţia: σ=

N A

(11.8)

Eforturile tăietoare T produc în secţiunea barei tensiuni tangenţiale care se determină cu formula lui Juravski: τ zx = Tz

Sy * bI y

(11.9)

131

Eforturile M produc tensiuni normale care se determină cu altă relaţie decât în cazul barelor drepte (Navier). Se fac următoarele ipoteze de calcul şi simplificări ale modelului real: se admite valabilă legea lui Hooke şi ipoteza lui Bernoulli, forţele acţionează în planul axei geometrice al barei , secţiunea admite un plan de simetrie care coincide cu planul axei geometrice al barei. σmin -

My

My

C C’ N’ B

C N

e

y

N

dθ

A

+

A’

z

σmax

R2 R

∆(dθ)

r R1 z

O

dθ-∆(dθ)

Fig. 11.2

O’

Se consideră un element infinit mic din bara curbă delimitat de două plane ce trec prin puntele C şi C’ (Fig. 11.2), având unghiul la centru dθ, care este supus unui efort încovoietor Miy pe feţele sale. În fig. 11.2 s-au făcut următoarele notaţii: ! R raza axei geomerice a barei curbe corespunzătoare centrelor de greutate ale secţiunilor (cerc); ! r raza fibrei neutre a barei, corespunzătoare axelor neutre ale secţiunilor ! e = R - r distanţa de la centrul de greutate la axa neutră ; ! R1, R2 raza interioară respectiv exterioară a secţiunii barei; ! AB o fibră situată la distanţa z de fibra neutră a barei. Elementul de bară se deformează sub acţiunea momentului încovoietor pozitiv ca în fig. 11.2, astfel încât fibra AB se lungeşte devenind A’B şi unghiul dθ se micşorează devenind dθ -∆(dθ). Ţinând sema de aceasta se poate scrie: ds= AB=(r-y) dθ;

∆(AB)= ∆ds= A’B – AB=z∆( dθ)

(11.10)

Deformaţia specifică a elementului AB=ds este: ε=

∆( ds ) z ⋅ ∆( dθ ) = ds ( r − z )dθ

(11.11)

132

Conform legii lui Hooke tensiunea se scrie: σ = Eε =

∆( ds ) E ⋅ ∆( dθ ) z z = ⋅ = EΩ ⋅ ds dθ r−z r−z

(11.12)

unde cu Ω s-a notat rotirea specifică relativă a celor două secţiuni. Se observă că legea de variaţie a tensiunilor pe suprafaţa secţiunii este hiperbolică. Întrucât în secţiunea barei efortul N este nul se poate scrie: N = ∫ σdA = ∫ EΩ ⋅ A

A

z z dA =EΩ ⋅ ∫ dA = 0 r−z A r − z

Deoarece EΩ ≠ 0 din (11.13) rezultă:

z

∫ r − z dA = 0

(11.13) (11.14)

A

relaţie din care rezultă poziţia axei neutre (raza r) a barei. Ecuaţia de momente faţă de axa Nz arată că suma momentelor tuturor forţelor elementare dF = σ dA este egală cu momentul încovoietor al secţiunii (efortul Miy): z2 z 2 − rz + rz M iy = ∫ z ⋅ σdA = EΩ ∫ dA = EΩ ∫ dA r−z A A r − z A rz M iy = − EΩ ∫ zdA + ∫ dA = − EΩ ⋅ S *Ny = − EΩ ( −e ⋅ A ) = EΩ e ⋅ A A A r − z M ⇒ EΩ = iy e⋅ A

(11.15)

unde S*Ny este momentul static al secţiunii în raport cu axa Ny iar a doua integrală este nulă, conform (11.14). Înlocuind în (11.12) expresia lui EΩ obţinută prin (11.15) se obţine expresia tensiunii la încovoiere a barelor curbe: σ=

M iy

z e⋅ A r − z ⋅

(11.16)

Tensiunea maximă / minimă se obţine pentru fibrele extreme (fig. 11.2). Pentru Miy > 0 tensiunea este pozitivă în fibra interioară (R1) şi negativă în fibra exterioară (R2), deci avem: σ max = σ min =

M iy

z e⋅ A r − z M iy

= z = r − R1

M iy r − R1 M iy d1 ⋅ = ⋅ >0 e ⋅ A R1 e ⋅ A R1

= z = R2 − r

R2 − r d = ⋅ 2 <0 e ⋅ A R2 e ⋅ A R2

⋅

z e⋅ A r − z ⋅

M iy

⋅

M iy

(11.17)

133

Observaţii: ! Dacă Miy < 0 tensiunile sunt negative în fibra inferioară (R1) şi pozitive în fibra exterioară (R2); ! tensiunea în fibra interioară este de regulă mai mare decât cea în fibra exerioară, M iy d1 M d ⋅ > iy ⋅ 2 în modul: (11.18) e ⋅ A R1 e ⋅ A R2 ! Tensiunile datorate eforturilor axiale N şi momentelor încovoietoare Miy se adună algebric în secţiunea periculoasă (în care momentul încovoietor este maxim în modul) ! eforturile axiale N şi momentele încovoietoare Miy sunt de regulă maxime în aceeaşi secţiune datorită faptului că anularea derivatei (T=0) are loc în aceeaşi secţiune (vezi 11.4).

11.3 Calculul deplasărilor pentru bare curbe plane Deplasările pentru barele curbe plane se pot calcula prin metode energetice (Mohr Maxwell). Întrucât deplasările datorate eforturilor N şi T în general se neglijează în raport cu cele produse de efortul Miy , deplasarea (rotirea) unei secţiuni oarecare al barei A se poate scrie astfel: δA =

1 ∫ M ⋅ m A dθ EI

(11.19)

unde M=M(θ) este expresia funcţiei momentului încovoietor pe lungimea barei datorat forţelor reale ce acţionează aupra barei; mA=mA(θ) este expresia funcţiei momentului încovoietor datorat unei forţe (sau cuplu) unitare ce acţionează aupra barei în punctul A pe direcţia pe care dorim să determinăm deplasarea (rotirea secţiunii). În aplicaţia de la paragraful 11.4 se calculează separat deplasările după cele două direcţii: cea orizontală δH şi cea verticală δV şi apoi se aplică principiul suprapunerii efectelor calculânduse (geometric) deplasarea totală cu relaţia: δ A = δ 2H + δV2

(11.20)

11.4. Aplicaţie Se consideră bara curbă având axa geometrică sub forma unui semicerc ca în fig.11.3.a. Asupra capătului A ala barei acţionează sub unghiul α=450 o forţă concentrată P=2 2 P şi un cuplu M=2PR. Să se determine reacţiunile din încastrare, diagramele de eforturi N, T şi M, valoarea maximă a tensiunii din secţiunea periculoasă şi deplasarea punctului de aplicaţie a forţei şi cuplului.

134

t

α=450

2PR 2P 2

R

P

θ

A

y

n

R

O

B

A 2PR

Fig.11.3.a

P

MB

θ α=450

2P 2

O

HB VB

x

Fig.11.3.b

Calculul reacţiunilor din B Pentru a determina reacţiunile din încastrare se scriu ecuaţiile de echilibru din Mecanică pentru forţele şi cuplurile ce acţionează pe bara curbă astfel (fig.5.1.b):

∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0 x

⇒

2P 2 cos α + H B = 0;

H B = −2P

y

⇒

− 2P 2 sin α + VB = 0 ;

VB = 2P

⇒

2P 2 sin α ⋅ 2R − 2PR + M B = 0; M B = −2PR

Bz

(11.21)

Diagramele de eforturi N, T şi M Pentru trasarea diagramelor se exprimă eforturile N, T şi M în funcţie de forţele aplicate şi unghiul θ (ca parametru) şi se trasează prin patru puncte, (respectiv θ = 0; π / 4; π / 2; 3π / 4; π ) astfel: ! Efortul N într-o secţiune oarecare situată la unghiul θ faţă de A, se determină ca sumă a proiecţiilor după direcţia tangentei la cerc (t) a tuturor forţelor situate în stânga secţiunii (fig.11.3.b): N ( θ ) = −2 P 2 cos α ⋅ sin θ + 2 P 2 sin α ⋅ cos θ = 2 P( − sin θ + cos θ )

(11.22)

! Efortul T într-o secţiune situată la unghiul θ faţă de A se determină ca sumă a proiecţiilor tuturor forţelor situate în stânga secţiunii pe direcţia normalei la cerc (n) (direcţia razei) (fig.11.3.b) : T ( θ ) = −2 P 2 cos α ⋅ cos θ − 2 P 2 sin α ⋅ sin θ = −2 P(cos θ + sin θ )

(11.23)

! Efortul M într-o secţiune oarecare situată la unghiul θ faţă de A se determină ca suma cuplurilor şi momentelor faţă de secţiunea curentă a tuturor forţelor situate în stânga secţiunii (fig.5.1.b) M ( θ ) = −2 P 2 [cos α ⋅ R sin θ + sin α ⋅ R( 1 − cos θ )] + 2 PR = 2PR(cosθ − sin θ ) (11.24)

Din aceste diagrame rezultă următoarele:

135

! diagrama N şi M admite un maxim (în modul) pentru θ = 1350 , ce corespunde punctului în care se anulează efortul T (rezultă din relaţia difrenţială între cele dN dM =T , = T ⋅ r ). Valoarea eforturilor pentru θ = 1350 , este: două eforturi dθ dθ N=-2 2 P; M=-2 PR 2

(11.25) Diagrama T

Diagrama N -2P +

-

-

-2 2 P

1350 -2 2 P

0

45

+2P

-2P

O Fig. 11.3.c

0

450 + +2PR

135

- -2 PR 2

450

+ +2P

-2P O Fig. 11.3.d

dT = − N − qr , dθ

-2PR

O Fig. 11.3.e

1350

• diagrama T admite un maxim pentru θ = 450 , ce corespunde punctului în care se anulează efortul N, din relaţia difrenţială între cele două eforturi:

Diagrama M -2PR

-2P

q=0

Valoarea efortului este: T = -P 2

(11.26)

Calculul tensiunii maxime în secţiunea periculoasă: Întrucât ambele eforturi N şi M sunt negative, valorile maxime sunt: N max = N θ=135 , M max = M (negative): 0

θ =135 0

, atunci tensiunile maxime sunt în fibra interioară

σ max =

N max M i max d / 2 − e + A A⋅e R1

(11.27)

σ max =

N max M i max d / 2 − e 8 2 P d − 2e 8 2 PR + = + 2 ⋅ 2 πd πd ( R − r ) 2 R − d A A⋅e R1

(11.28)

unde r distanţa până la axa neutră pentru secţiunea circulară este dată de: r=

d2 4( 2 R − 4 R 2 − d 2 )

;

(11.29)

iar e distanţa dintre cele două axe Cy şi Ny este: e=R–r

(11.30)

136

Calculul deplasării şi rotirii secţiunii A Deplasările δH , δV şi ϕA se calculează prin metoda Mohr-Maxwell şi integrarea analitică a funcţiilor obţinute: mV M o mH M o mA M o δH = ∫ ϕA = ∫ ds; δV = ∫ ds ; ds ; (11.32) EI EI EI unde mH , mV şi mA sunt momentele produse în bara curbă sub acţiunea unor forţe unitare aplicate în A pe orizontală, pe verticală şi respectiv momentul produs de un cuplu unitar aplicat în A, conform fig. 11.3. f, g, h .

R 1

A

R

θ

A O

B

mH ( θ ) = − R sin θ;

θ O Fig.11.3.g

B

Din fig.11.3. f, g, h rezultă expresiile celor trei funcţii mH , mV şi mA au forma:

R

1

O

1

Fig.11.3.g

Fig.11.3.f

A

θ

B

mV ( θ ) = R ( 1 − cos θ );

(11.33)

mA ( θ ) = 1

Înlocuind în relaţiile de mai sus expresia (11.24) a momentului M=M(θ) şi expresiile (11.33) pentru mH , mV şi mA în relaţiile (11.32) rezultă : 1 1 π δH = ∫ M ( θ ) ⋅ mH ( θ ) ds = EI ∫0 2 PR( − sin θ + cos θ )( − R sin θ ) Rdθ = EI (11.34) π PR 3 2 PR 3  θ sin 2θ cos 2θ  π 2 PR 3 = + =π  −  = ⋅ EI  2 EI 4 4  0 2 EI 1 1 π M ( ) m ( ) ds δV = θ ⋅ θ = V ∫ ∫ 2PR( − sin θ + cos θ )R( 1 − cos θ ) Rdθ = EI EI 0 (11.35) π cos 2θ PR3 θ sin 2θ  2PR3  = + sin θ − −  cos θ −  = −(4 + π) EI  EI 4 2 4 0 3 2 2 2 2 PR Deplasarea totală este: δ = δ H + δV = π + ( 4 + π ) (11.36) EI PR 2 1 1 π ϕA = (11.37) ∫ M ( θ ) ⋅ mA ( θ ) ds = EI ∫0 2PR( − sin θ + cos θ ) Rdθ = 4 EI (rad) EI

137

CAPITOLUL XII SOLICITĂRI DINAMICE

12.1. Generalităţi În multe aplicaţii din construcţia de maşini se întâlnesc solicitări care nu satisfac condiţiile unei solicitări statice admise până acum: forţele nu se aplică progresiv, nu sunt constante în timp sau prezintă discontinuităţi, sarcini care se manifestă prin şocuri dure sau moi sau acţionează local producând o stare de tensiuni de contact specifică (contact hertzian) sau deformaţii plastice mari. Aceste solicitări intră în categoria solicitărilor dinamice şi pot fi clasificate în : ! solicitări prin forţe de inerţie ca rezultat al forţelor de inerţie ce apar datorită acceleraţiilor unor piese în mişcare; ! solicitări prin şocuri produse datorită variaţiilor bruşte a vitezelor sau acceleraţiilor pieselor aflate în mişcare; ! solicitări la oboseală datorate variaţilor periodice ale eforturilor sau tensiunilor din piese care se repetă ciclic, produse de sarcini din exterior sau de forţele de inerţie ce apar în timpul vibaţiilor mecanice.

12.2. Solicitări dinamice prin forţe de inerţie a. Solicitări dinamice axiale ale barei drepte Se consideră o bară dreaptă la capătul căreia este fixat un corp de masă M, care se roteşte în jurul unei axe verticale cu vitea unghuiulară constantă ω. Bara este de secţiune constantă A, are lungimea L şi masa specifică pe unitatea de lungime γ (masa barei este: m=γL). Într-o secţiune oarecare a barei avem eforturi axiale, tăietoare şi încovoietoare datorate greutăţii corpului de masă M, greutăţii proprii a barei şi a forţelor de inerţie centrifuge, conform proncipiului lui d’Alembert din Mecanica analitică (fig. 12.1). ω M x

O x

a)

L dFi

x

N Mi

dx b)

Fig.12.1

x c)

T z

x

138

Pentru un element de bară de lungime dx situat la distanţa x de axa de rotaţie (fig. 12.1.b), forţa centrifugă ce acţionează asupra lui se scrie: dFi = xω 2 dm = xω 2γdx

(12.1)

Efortul axial N din secţiunea aflată la distanţa x de axa de rotaţie, se scrie pentru faţa pozitivă (fig. 12.1.c) astfel: 1 N ( x) = Lω M + ∫ dFi = Lω 2 M + ( L2 − x 2 )ω 2γ 2 x L

2

(12.2)

Se observă că N(x) are o variaţie parabolică şi este maximă pentru x=0: m 1    N max = Lω 2  M + Lγ  = Lω 2  M +  2  2  

(12.3)

Diagrama de variaţie a eforturilor axiale este reprezentată în fig. 12.2 ω

M

Nmax

+

x

Fig.12.2

b. Solicitări dinamice în cazul volantului Pentru calculul volantului la solicitări dinamice se fac următoarele ipoteze de calcul: grosimea obezii se neglijează în raport cu raza volantului R, se neglijează greutatea volantului (sau axa de rotaţie este verticală) şi se face abstracţie de existenţa spiţelor. Cu aceste ipoteze simplificatoare problema se reduce la calculul unui cadru circular încărcat cu o sarcină uniform distribuită (fig. 12.3) : p=

dF Rω 2γds = = Rω 2γ ds ds

(12.4)

unde am notat cu γ masa specifică pe unitatea de lungime a obezii (M=2πRγ). Fiind un cadru plan simetric cu o infinitate de axe de simetrie încărcat simetric, eforturile antisimetrice T sunt nule. De asemenea eforturile încovoietoare sunt nule datorită relaţiilor diferenţiale dintre eforturi: dN T = = 0 ⇒ N = ct ≠ 0; ds R

dM = T ⇒ M = ct = 0 ds

(12.5)

139 dF R θ

O

N

ω

ω

N

Fig.12.3 Scriind ecuaţia de proiecţii pe direcţie verticală a forţelor exterioare de inerţie dF şi eforturilor din secţiunea volantului obţinem: π

2 N − ∫ dF sinθ ds = 0 ⇒ 2 N − ∫ R 2ω 2γ dθ = 0

(12.6)

0

L

⇒ N = R 2ω 2γ = v 2γ unde v =ωR este viteza periferică a volantului. Relaţia de dimensionare / verificare se scrie ţinând seama de ipotezele de N v 2γ ≤σa calcul, pentru care tensiunile pot fi considerate constante: σ = = A A

12.3. Solicitări dinamice prin şoc a. Solicitări dinamice axiale ale barei drepte

P

A

L h

δst δd

Fig.12.4

Se consideră o bară dreaptă verticală la capătul căreia este fixat un opritor. Bara este de secţiune constantă A, are lungimea L . Dealungul barei cade un corp degreutate P de la înălţimea h (fig. 12.4) care loveşte opritorul. În urma impactului bara suferă lungirea δd, după care corpul de greutate P se opreşte şi apoi bara începe să se scurteze şi au loc vibraţii longitudinale care se amortizează după un timp . Pentru a determina această deformaţie δd, efortul axial Nd ce ia naştere în bară sau tensiunea dinamică σd corespunzătoare în vederea verificării sau dimensionării barei, se face următoarea ipoteză: energia potenţială gravitaţională a corpului ce cade de la înălţima h, se acumulează în întregime sub formă de energie potenţială de deformaţie elastică a barei: Ep=U

⇒

2 d

N dx P (h + δ ) = ∫ 2 EA d

L

(12.7)

140

Deoarece rigiditatea la întindere a barei EA=const., efortul axial Nd este constant pe lungimea barei. Relaţia (12.7) devine: PL (h + δ d ) = 1  N d L  EA 2  EA 

N d2 L P (h + δ d ) = ⇔ 2 EA

2

(12.8)

Ţinând seama de expresiile deformaţiilor statică şi dinamică a barei: N d dx N d L = EA L EA

Pdx PL = ; EA L EA

δ st = ∫

δd = ∫

relaţia (12.8) devine: 2δ st (h + δ d ) = δ d

(12.9)

2

(12.10)

Aceasta este o ecuaţie de gradul al II-lea în δ d care admite două soluţii: soluţia negativă nu este acceptabilă, deci soluţia unică este:

(

δ d = δ st + δ st2 + 2hδ st = δ st 1 + 1 + 2h / δ st

)

(12.11)

Se notează paranteza din relaţia (12.11) cu ψ, care se numeşte multiplicator sau factor de impact:

ψ = 1 + 1 + 2h / δ st

(12.12)

Se observă din acestă expresie că pentru: h=0 ⇒ ψ=2, deci efectul sarcinii P aplicată brusc asupra capătului barei este de două ori mai mare decât în cazul în care aceasta se aplică static (progresiv, de la 0 la valoarea maximă P). Tensiunea dinamică care ia naştere în bară atunci când se atinge deformaţia maximă δ d este proporţională cu δ d dacă se ţine seama de relaţiile :

σ st = deci:

P E = δ st ; A L

σd =

(

)

Nd E = δd ; A L

(12.13)

σ d = σ st 1 + 1 + 2h / δ st = σ st ⋅ ψ

(12.14)

Relaţia de verificare (dimensionare) în acest caz este: P ⋅ψ ≤ σ a A

(12.15)

Dacă în expresia (12.12) se face aproximarea:

ψ≅

2h 2hEA = δ st PL

(12.16)

şi se înlocuieşte în relaţia (12.15) se obţine: P 2hEA ≤σa A PL

⇔

2hEP ≤ σ a2 AL

⇔

(AL ) ≥ 2hEP σ a2

(12.17)

Deci în cazul solicitărilor dinamice prin şoc este necesar să se dimensio-neze atât secţiunea A cât şi volumul barei (AL)nec pentru a putea prelua şocul.

141

b. Solicitări ale barei drepte prin şoc transversal Se consideră o bară dreaptă de secţiune constantă A, are lungimea L situată pe două reazeme rigide punctiforme la capetele ei. La mijlocul barei cade de la înălţimea h un corp de greutate P (fig. 12.5). În urma impactului bara suferă deformaţii care se concretizează la mijlocul ei prin săgeata fd, după care corpul de greutate P se opreşte şi apoi bara începe să vibreze transversal (vibraţii flexionale) şi se amortizează după un timp oarecare. P EI

h δst

δd

L/2

L/2

+

M(x)

PL/4 Fig.12.5

Pentru a determina această deformaţie fd, eforturile încovoietoate Mi(x) ce ia naştere în bară şi tensiunea dinamică σd corespunzătoare lui Mimax în vederea verificării sau dimensionării barei, se face aceeaşi ipoteză: energia potenţială gravitaţională a corpului de greutate P se acumulează în întregime sub formă de energie potenţială de deformaţie elastică a barei (se neglijează greutatea barei): Ep=U

⇒

M id2 dx P (h + f d ) = ∫ L 2 EI

(12.18)

efortul încovoietor se poate scrie (fig. 12.5):  Pd  2 ⋅ x M id (x ) =   Pd ⋅ ( L − x)  2

pentru x ∈ [0, L / 2]

(12.19)

pentru x ∈ [ L / 2, L]

Deoarece rigiditatea la încovoiere a barei EI=const, relaţia (12.18) devine: L Pd2  L / 2 2  2 P(h + f d ) =  ∫ x dx + ∫ ( L − x) dx  8EI  0 L/2 

Pd2 L3 P(h + f d ) = 96 EI

⇔

PL 1  Pd L3  (h + f d ) =   48EI 2  48EI  3

2

(12.20)

142

Ţinând seama de expresiile săgeţilor statică şi dinamică la mijlocul barei: PL3 f st = ; 48EI

Pd L3 fd = 48EI

relaţia (12.20) se scrie: 2 f st (h + f d ) = f d

2

(12.21) (12.22)

Se obţine aceeaşi ecuaţie (12.10) de gradul al II-lea în fd care admite soluţia f d = f st 1 + 1 + 2h / f st valabilă: (12.23)

(

)

Multiplicatorul sau factorul de impact este în acest caz:

ψ = 1 + 1 + 2h / f st

(12.24)

Se observă din acestă expresie că pentru: h=0 ⇒ ψ=2, deci efectul sarcinii P aplicată brusc asupra mijlocului barei este de două ori mai mare decât în cazul în care aceasta se aplică static (progresiv, de la 0 la valoarea maximă P). Tensiunea dinamică maximă care ia naştere în bară atunci când se atinge deformaţia maximă fd se scrie ţinând seama de relaţiile : M M σ st = max = f stα ; σ d = d max = f d α ; (12.25) W W (12.26) deci tensiunea dinamică maximă este: σ d = σ st ⋅ ψ Relaţia de verificare /dimensionare în acest caz este: M ψM max ψPL σ d = d max = = ≤σa (12.27) W W 4W Dacă în expresia (12.24) se face aproximarea: 2h 96hEI ψ≅ = (12.28) f st PL3 şi se înlocuieşte în relaţia (12.27) se obţine: PL 96hEI hEP ≤σa ⇔ (AL ) ≥ β 2 (12.29) 3 σa PL 4W În cazul solicitărilor dinamice prin şoc este deci necesar să se dimensione-ze atât secţiunea A cât şi volumul barei (AL)nec. c. Solicitări ale arborilor prin şoc torsoinal Se consideră o bară dreaptă de secţiune circulară constantă (arbore de diametru d) aflată în mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ω=const., la capătul căreia se află un volant de moment de inerţie mecanic J (fig. 12.6). La un moment dat se produce o blocare bruscă a arborelui în secţiunea din celălalt capăt astfel încât se poate considera că întreaga energie cinetică a volantului se transformă în energie potenţială de deformaţie elasică a arborelui (se neglijează energia cinetică a arborelui şi deformaţia elastică a volantului). Efortul torsional din arbore este constant pe lungimea sa L, deci se poate scrie:

143

M2 1 Jω 2 = ∫ td dx 2 L 2GI p

GIp

M2L 1 Jω 2 = td 2 2GI p

⇒

(12.30)

J

d ω L

Fig.12.6

Arborele suferă o deformaţie torsională care se concretizează prin unghiul ϕd cu care se roteşte volantul din momentul frânării şi până la oprire: M td M L dx = td GI p L GI p

ϕd = ∫

(12.31)

Tensunea dinamică maximă se scrie:

τ d max =

16M td πd 3

⇒ M td =

πd 3 τ d max 16

(12.32)

Înlocuind în relaţia (12.30) se obţine: 2

L πd 2 2 1 2 16 L  πd 3τ d max  1 2 Jω = J ⇔ ω = τ d max   Gπd 4  16  2 2 4G 4

(12.33)

πd 2 Înlocuind volumul arborelui V = L se obţine tensunea dinamică maximă: 4 τ d max = ω

2GJ ≤τa V

(12.34)

Ca şi în celelalte două cazuri prezentate, în acest caz se dimensionează volumul arborelui pentru a putea prelua şocul produs prin blocarea capătului său: 2GJω 2 Vnec = (12.35) τ a2

144

145

CAPITOLUL XIII ELEMENTE DE TEORIA ELASTICITĂŢII

13.1. STAREA SPAŢIALĂ DE TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII ÎN JURUL UNUI PUNCT DIN INTERIORUL CORPULUI 13.1.1. Componentele tensorului tensiunilor în jurul unui punct din interiorul corpului elastic Se consideră un corp elastic solicitat de un sistem complex spaţial de sarcini şi un punct oarecare P(x, y, z) din interiorul lui. Se separă în jurul punctului un element de volum paralelipipedic, cu cele trei feţe adiacente perpendiculare între ele Oxy, Oyz, Ozx (P≡O, fig. 13.1). σz

O≡P

x

τyz

τxz

τzy

y

τxy

σy σx

σx τzx τ yx τxy σy z

τyx τ zx

τzy τyz

τxz σz Fig. 13.1

Cele 9 componente ale tensiunilor pe fiecare faţă a paralelipipedului determină tensorul tensiunilor care se exprimă sub forma unei matricii 3×3 (tensor de ordinul II): σ x  Tσ =τ yx τ  zx

τ xy τ xz   σ y τ yz  τ zy σ z 

(13.1)

Conform teoremei dualităţii, între tensiunile tangenţiale există relaţiile: τxy = τyx ,τyz = τzy, τxz = τzx, ceea ce conduce la concluzia că starea de tensiune într-un punct este caracterizată de şase mărimi scalare independente: trei componente normale σx , σy , σz şi trei tangenţiale τxy , τyz , τzx .

Indicele componentelor normale semnifică direcţia axei pe care acţionează, iar pentru componentele tangenţiale primul indice semnifică direcţia axei după care acţionează iar al doilea direcţia normalei la suprafaţa pe care acţionează. A cunoaşte starea de tensiune într-un punct din interirul unui corp înseamnă a cunoaşte cele şase tensiuni ca funcţii de coordonatele punctului respectiv. Teoria elasicităţii se ocupă cu analiza stării de tensiuni şi determinarea valorilor principale (maxime şi minime) ale tensiunilor precum şi a direcţiilor după care acţionează acestea. 145

146

13.1.2. Componentele tensorului deformaţiilor în jurul unui punct din interiorul unui corp. Se poate arăta că există o analogie perfectă între relaţiile care descriu starea de tensiune din jurul unui punct şi cele care descriu starea de deformaţie. Astfel, dacă se consideră o deformaţie specifică liniară ε de-a lungul unei direcţii normale la o suprafaţă oarecare On (fig. 13.2) având cosinuşii directori ! , m şi n, componentele sale de pe cele trei axe de coordonate se scriu în funcţie de O

εy

γxy

εz y

γyz

x

εx

δy δz

γzx

δx ε

n z

Fig. 13.2

ε = prOn (δ x ) + prOn (δ y ) + prOn (δ z )

componentele astfel:

tensorului

1 1 δ x = ε x ⋅ ! + γ xy ⋅ m + γ xz ⋅ n 2 2 1 1 δ y = γ yx ⋅ ! + ε y ⋅ m + γ yz ⋅ n 2 2 1 1 δ z = γ zx ⋅ ! + γ zy ⋅ m + ε z ⋅ n 2 2

deformaţiilor

(13.2)

respectiv:

ε = ε x ⋅ ! 2 + ε y ⋅ m 2 + ε z ⋅ n 2 + γ xy ⋅ !m + γ yz ⋅ mn + γ zx ⋅ n!

(13.3)

Tensorul deformaţiilor se exprimă analog sub forma unei matricii 3×3 : 1 1   ε γ γ xz x xy  2 2    1 1   γ yz Tε = γ yx ε y 2 2  1  1  γ zx γ zy ε z  2 2  

(13.4)

13.1.3. Ecuaţiile diferenţiale de echilibru ale tensiunilor. Condiţiile pe contur Variaţia componentelor tensorului tensiune în jurul unui punct din centrul de masă al elementului de volum dV=dxdydz, se determină ţinând seama că aceste valori sunt prin ipoteză funcţii continue de coordonatele punctului respectiv: deci pentru variaţiile dx, dy, dz ale elementului creşterile acestor tensiuni vor fi egale cu diferenţialele lor “parţiale” în raport cu variabilele respective ( din cauza numărului prea mare al acsetor tensiuni , în fig 13.3 sunt reprezentate numai variaţiile componentelor orientate după axa Ox): 146

147

∂σ x dx; ∂x ∂ τ yx dx; → τ yx + ∂x

σx →σx+ τ yx

τ zx → τ zx +

O

σx

∂ τ zx dx; ∂x

τ zy → τ zy +

x

dx

τxy

dz

τ xy +

τ xz +

∂τ xy ∂y

σx +

∂σ x dx ∂x

dy

∂τ xz dz ∂z

O

x τxz

τ xz M

τ xz + z

∂τ xz dz ∂z

∂y ∂σ y

∂y ∂ τ zy ∂y

dy;

dy;

∂ τ xz dz ∂z ∂ τ yz dz → τ yz + ∂z

τ xz → τ xz + τ yz

σz →σz+

(13.5)

∂σ z dz; ∂z

Să presupunem că asupra elementului de volum dV=dxdydz, în afară de tensiuniile de mai sus acţionează şi forţele masice pe unitatea de volum care sunt reprezentate prin proiecţiile lor pe axe X, Y şi Z. Ţinând seama de variaţiile tensiunilor de la o faţă la alta a elementului (13.5), de expresiile forţelor elementare pe feţele elementului şi de forţele masice date, ecuaţiile de proiecţii pe axa Ox sunt:

 ∂τ  +  τ xz + xz dzdxdy (13.6) ∂z   − σ x dydz− τ xy dzdx− τ xz dxdy+ Xdxdydz= 0

Fig. 13.3

τzx

dy;

∂τ xy    ∂σ   σ x + x dxdydz+  τ xy + dydzdx+ x y ∂ ∂    

z

y

∂ τ xy

σ y →σ y+

τxz

dy y

τ xy → τ xy +

∂τ + xz dz ∂z

Fig. 13.4

Făcând reducerile de termeni asemenea avem: ∂ σ x ∂τ xy ∂ τ xz + + +X =0 ∂x ∂ y ∂z

(13.7)

Ecuaţiile de proiecţii pe axa Oy şi Oz se obţin analog: ∂ τ yx ∂ σ y ∂τ yz + + +Y = 0 ∂x ∂y ∂z ∂ τ zx ∂τ zy ∂ σ z + + +Z =0 ∂x ∂ y ∂z

(13.7’)

În cazul în care elementul de volum este în mişcare (de exemplu de vibraţie) asupra lui mai acţionează şi forţele de inerţie şi ecuaţiile (13.7) şi (13.7’) se scriu: ∂ σ x ∂ τ xy ∂ τ xz ∂2u + + +X =ρ 2 ∂x ∂ y ∂z ∂t ∂τ yx ∂ σ y ∂τ yz ∂ 2v + + +Y = ρ 2 ∂t ∂x ∂ y ∂z ∂2 w ∂τ zx ∂τ zy ∂ σ z + + +Z = ρ 2 ∂t ∂x ∂y ∂z

(13.8)

147

148

În absenţa forţelor masice şi de inerţie ecuaţiile (13.8) se scriu: ∂ σ x ∂τ xy ∂ τ xz + + =0 ∂x ∂ y ∂z ∂ τ yx ∂ σ y ∂ τ yz + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂ τ zx ∂τ zy ∂ σ z + + =0 ∂x ∂y ∂z

(13.9)

Scriind ecuaţia de momente a celor 4 forţe elementare corespunzătoare tensiunilor tangenţiale pe cele patru feţe faţă de axa paralelă cu Oy ce trece prin centrul M al elementului de volum (singurele care dau momente, vezi fig. 13.4) avem: τ xz dxdy ⋅

  dz dx  dz  dx ∂τ ∂τ − τ zx dydz ⋅ − τ xz + xz dz dxdy ⋅ + τ zx + zx dx dydz ⋅ =0 2 2  2  2 ∂z  ∂x 

(13.9)

Dacă se neglijează termenii infinit mici de ordinul patru în comparaţie cu termenii infinit mici de ordinul trei şi se fac reducerile de termeni asemenea, rezultă: (τ xz −τ zx ) dxdydz=0 şi deoarece dxdydz ≠ 0 rezultă : τ xz =τ zx (13.10) Acestă relaţie exprimă legea dualităţii tensiunilor tangenţiale În mod similar se dovedeşte valabilitatea acestei legi pentru celelalte două tensiuni tangenţiale. Ecuaţiile diferenţiale ale echilibrului elastic sunt stabilite pentru o zonă oarecare din interiorul corpului. Dacă zona respectivă este situată în vecinătatea conturului corpului, atunci trebuiesc scrise anumite relaţii de echilibru care poartă numele de condiţii pe contur.

σz

O

τyz

τxy B y

τzx

τyx

σx

τ

τzy

σz

x

fx

fy fz

C z

f

Fig. 13.5

A

n

Se consideră elementul de volum tetraedric din vecinătatea conturului pentru care se cunoaşte forţa elemntară de suprafaţă f (forţa pe contur), ce acţionează pe suprafaţa elementară de contur notată în fig. 13.5 cu ABC. Ecuaţiile de echilibru în proiecţii pe cele trei axe se scriu: f x A − σ x A! − τ xy Am − τ xz An = 0 f y A − τ yx Al − σ y Am − τ yz An = 0

⇒

f z A − τ zx Al − τ zy Am − σ z An = 0 f x = σ x ! + τ xy m + τ xz n = 0 f y = τ yx ! + σ y m + τ yz n = 0

(13.11)

f z = τ zx ! + τ zy m + σ z n = 0 Ecuaţiile echilibrului elastic şi condiţiile pe contur se mai numesc ecuaţiile statice ale Teoriei Elasticităţii. 148

149

13.1.4. Ecuaţiile diferenţiale ale deformaţiilor elastice (ecuaţiile geometrice sau formulele lui Cauchy) În vecinătatea punctului P, se consideră punctele A, B, C la distanţele dx, dy, dz (fig.13.6.a). Dacă punctul P are deplasările după cele trei axe Ox, Oy, Oz, notate cu u, v, w, atunci prin dezvoltarea în serie Taylor a funcţiilor conţinute u, v, w şi păstrarea derivatelor de ordinul unu, deplasările punctelor A, B, C vor fi: ∂u ∂v ∂w u A = u + dx; v A = v+ dx; wA = w+ dx; ∂x ∂x ∂x ∂u ∂v ∂w u B = u + dy; v B = v+ dy; wB = w+ dy; , (13.12) ∂y ∂y ∂y ∂u ∂v ∂w uC = u + dz; vC = v+ dz; wC = w+ dz; ∂z ∂z ∂z O≡P uP

vP B dy uB vB

dx

wP

A uA

x

vA wA

O≡P vP

A

A”

x vA

A’

y vC

α

P’

dz

wB

uA

uP

β uC

C

vB

wC

B B”

uB

z a)

B’ b)

Fig. 13.6

Pe baza acestor componente în fig. 13.6.b, este reprezentată în planul Oxy, poziţia înainte şi după deformare a segmentului PA şi PB, care au devenit P’A’, respectiv P’B’. Deformaţia segmentului PA = dx în direcţia axei Ox, se scrie: 

∆(PA) = ∆(dx) = P’A” - PA =  dx + u + 

 ∂u ∂u dx−u −dx= dx ∂x ∂x 

(13.13)

Deformaţia specifică liniară în sensul axei Ox este : ∂u dx ∂u ∆(dx) ∂ x εx= = = dx dx ∂ x

(13.14)

Deformaţia segmentului PB = dy în direcţia axei Oy, se scrie: 

∆(PB) = ∆(dy) = P’B” - PB =  dy + u + 

 ∂v ∂v dy −u −dy = dy ∂y ∂y 

(13.15)

Deformaţia specifică liniară în sensul axei Ox este : ∂v dy ∂v ∆(dy ) ∂ y εy= = = dy dy ∂ y

(13.16) 149

150

În mod analog se găseşte:

εz=

∂w ∂z

(13.17)

Pentru unghiul de rotire al muchiei PA în planul Oxy avem : ∂v ∂v dx−v A′A′′ ∂x ∂x tgα = = = P′A′ dx+u + ∂ u dx−u 1+ ∂ u ∂x ∂x v+

Dacă se neglijează la numitor termenul tgα ≈α =

(13.18) ∂u =ε x în raport cu 1, rezultă: ∂x

∂v ∂x

(13.19)

În mod analog, pentru unghiul de rotire al muchiei PB în planul Oxy: tgβ ≈ β =

∂u ∂y

(13.20)

Prin urmare, deformaţia unghiulară sau lunecarea specifică γxy, care este modificarea unghiului drept în planul Oxy (fig.4.3.b) are valoarea: γ xy = α + β =

∂v ∂u + ∂x ∂y

(13.21)

În mod analog se obţin modificările de unghiuri în celelalte două plane : γ

yz

=

∂w ∂v + ; γ ∂y ∂z

zx

=

∂u ∂w + ∂z ∂x

(13.22)

În consecinţă, între deformaţiile specifice liniare în punctul curent P(x, y, z) lunecările specifice în planele Oxy, Oyz, Ozx şi deplasările u, v, w din punctul P există relaţiie diferenţiale:  ∂u , ε x = x ∂   ∂v , ε y = y ∂   dw ε z = dz 

 ∂v ∂u γ x y = ∂ x + ∂ y   ∂v ∂u γ x y = + ∂x ∂y   ∂v ∂u γ x y = + ∂x ∂y 

(13.23)

Dacă variaţia deplasărilor din punctul curent P se notează prin vectorii: ∂ u    ∂ x  ∂ v  δx = , ∂ x  ∂ w    ∂ x 

∂ u    ∂ y  ∂ v  δy = , ∂ y  ∂ w     ∂ y 

∂ u    ∂ z  ∂ v  δz =  ∂ z  ∂ w     ∂ z 

(13.24)

150

151

Se poate definii tensorul deplasărilor specifice în punctul P:

[

Tδ = δ x , δ y , δ z

]

∂ u  ∂ x ∂ v = ∂ x ∂ w   ∂ x

∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y

∂u   ∂z  ∂v   ∂z  ∂ w  ∂ z 

(13.25)

carereprezintă un tensor de ordinul doi; se poate descompune acest tensor într-unul simetric Tε şi altul antisimetric Tω, adică: Tδ = Tε + Tω

(13.26)

unde tensorul simetric Tε se scrie:  ∂u  ∂x    ∂ v ∂ u 1 Tε =   +  2  ∂ x ∂ y   1  ∂ w ∂ u  2  ∂ x + ∂ y  

1  ∂ u ∂ v +   2  ∂ y ∂ x

∂v ∂y 1  ∂ w ∂ v +   2  ∂ y ∂ z

1  ∂ u ∂ w  +   2∂ z ∂ x   1  ∂ v ∂ w  +   2∂ z ∂ y   ∂w   ∂z 

(13.27)

1  ∂ u ∂ w  −   2∂ z ∂ x   1  ∂ w ∂ v  −  −  2  ∂ y ∂ z    0  

(13.28)

şi tensorul antisimetric Tω se scrie:  0     ∂ v ∂ u 1 Tω =   −   2  ∂ x ∂ y   1  ∂ u ∂ w − 2  ∂ z − ∂ x  

−

1  ∂ v ∂ u −   2  ∂ x ∂ y 0 1  ∂ w ∂ v −   2  ∂ y ∂ z

Dacă se folosesc relaţiile dintre deformaţii şi deplasări (13.23) tensorul simetric Tε (13.27) reprezintă tensorul deformaţiilor:   εx  1 Tε =  γ xy 2 1  xz  2

1 γ 2

yx

εy 1 γ 2

yz

    zy   εz  

1 γ 2 1 γ 2

zx

(13.29)

Tensorul antisimetric Tω reprezintă tensorul rotaţiilor rigide ale elementului, rotaţii care nu prezintă interes, deoarece acestea au numai rolul de a deplasa elementul, nemodificându-i forma şi nici dimensiunile. Prin urmare, starea de deformaţie din jurul unui punct este complet definită dacă se cunoaşte tensorul deformaţie Tε din acel punct . 151

152

13.1.5. Condiţiile de continuitate ale deformaţiilor elastice (ecuaţiile lui Saint Venant). Dacă se dau diferite valori ale deplasărilor după cele teri axe (u, v, w), formulele lui Cauchy permit calculul celor 6 componente ale deformaţiei (εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx.) În schimb dacă se cunosc componentele deformaţiei, nu se pot obţine valori determinate ale componentelor deplasării. Deci între componentele deformaţiei trebuie să existe anumite relaţii matematice care să exprime faptul că materialul corpului este un mediu continuu care îşi păstrează acestă proprietate şi după deformarea corpului. Aceste relaţii sunt de două feluri: ! relaţii între componentele deformaţiilor situate în acelaşi plan Se derivează parţial relaţiile (13.14), (13.16), (13.21) după cum urmează: ∂u εx= ; ∂x γ xy

∂ 3u ∂2 ; (ε x )= ∂ x∂y 2 ∂y 2

∂u ∂v ; = + ∂y ∂x

∂v εy= ; ∂y

∂2 ∂ 3v ( ) εy = 2 ∂ x ∂y ∂x 2

∂ 3u ∂ 3v ∂2 (γ xy ) = + ∂x∂y ∂x∂ y 2 ∂ x 2 ∂y

(13.30)

Rezultă deci următoarele relaţii : 2 ∂ 2 γ xy ∂ 2ε x ∂ ε y + = ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2

∂ 2ε y ∂z 2

∂ 2 γ yz ∂ 2ε z + = ∂y∂z ∂y 2

(13.31)

∂ 2 γ zx ∂ 2ε z ∂ 2ε x + = ∂z∂x ∂x 2 ∂z 2

! relaţii între componentele deformaţiilor situate în plane diferite: Se derivează parţial relaţiile (13.21), (13.22) după cum urmează: ∂γ xy

∂ 2u ∂ 2v = + ∂z ∂ y∂z ∂ z∂x ∂γ yz ∂ 2 v ∂ 2 w = + ∂x ∂ z∂x ∂ x∂y

(13.32)

∂γ zx ∂ 2 w ∂ 2 u = + ∂y ∂ x∂y ∂ y∂z

Însumând primele două relaţii membru cu mebru şi scăzând a treia se obţine: ∂γ xy ∂z

+

∂γ yz ∂x

−

∂γ zx ∂ 2v =2 ∂ z∂x ∂y

(13.33)

! Derivând parţial în raport cu y se obţin relaţii între componentele deformaţiilor situate în plane diferite: ∂  ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx  + − ∂y  ∂z ∂x ∂y

∂ 2ε y  ∂ 3v = 2 =2 ∂ z∂ x  ∂x∂y∂ z

(13.34) 152

153

În mod analog se obţine: ∂  ∂γ zx ∂γ xy ∂γ yz  + − ∂x  ∂y ∂z ∂x

 ∂ 2ε x ∂ 3u = 2 =2 ∂ y∂z  ∂x∂y∂ z

(13.34’)

... ∂  ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy  + − ∂z  ∂x ∂y ∂z

 ∂ 2ε z ∂ 3w = 2 =2 ∂ x∂ y  ∂x∂y∂ z

Cele 6 ecuaţii care leagă cele 6 deformaţii specifice se numesc condiţiile de continuitate sau ecuaţiile lui Saint Venant.

13.1.6. Legea lui Hooke generalizată (ecuaţiile fizice) În cazul general, forma relaţiei tensiuni - deformaţii σ =f(ε) reflectă de fapt dependenţa între componentele tensorului tensiune Tσ şi componentele tensorului deformaţie Tε adică: Tε = f (Tσ )

(13.35)

Dacă funcţia f(ε) este o funcţie liniară, acesta conduce la o corespondenţă biunivocă între Tε şi Tσ şi relaţia (13.35) poartă denumirea de legea lui Hooke generalizată. Pentru a găsi forma concretă a legii (13.35) vom examina din nou un element de volum din corp de forma unui paralelipiped în cazul general al stării de tensiune din spaţiu (fig.13.1). Relaţia dintre tensiuni şi deformaţii în starea de tensiune spaţială se poate exprima cu uşurinţă prin extinderea legii lui Hooke de la întinderea compresiunea simplă şi lunecarea simplă pentru care avem relaţiile binecunoscute:

σ = εE;

τ = γG

(13.36)

Posibilitatea practică de a face această extrapolare se justificată prin determinări experimentale pentru multe din materialele folosite în tehnică, dacă sunt respectate următoarele condiţii (ipoteze de bază): ! prezenţa simultană a tuturor componentelor tensorului tensiune, la fel ca şi prezenţa lor separată (dacă aceasta este posibilă), menţine materialul în domeniul deformaţiilor elastice; ! materialul poate fi considerat izotrop; ! deformaţiile sunt foarte mici în comparaţie cu dimensiunile corpului; ! procesul deformaţiei este izotermic. Aceste condiţii fac posibilă aplicarea principiului suprapunerii efectelor, considerând volumul elementar acţionat pe rând de perechile de tensiuni normale σx, σy, σz, τyz, τzx, τyx . Se consideră paralelipipedul elementar acţionat de tensiunile σx, (fig.13.7): 153

154 O≡P

dx

ε’x

dy y

ε’y dz

σx

acesta

prezintă

o

întindere

monoaxială σ producând după direcţia Ox alungirea ε x′ = x E şi contracţiile biaxiale după direcţiile normale Oy şi Oz:

σx , (13.37) E unde E este modulul de elasticitate longitudinal şi ν coeficientul lui Poisson. ε ′y =ε z′ =−ν ε ′x =−ν

σx ε’z

z

Fig. 13.7

Admiţând apoi că asupra paralelipipedului elementar acţionează numai tensiunile σy respectiv numai σz , prin raţionamente analoage obţinem:

σ σ ε ′y′= y , ε ′x′=ε ′z′=−ν ε ′y′=−ν y (13.37’) E E σ σ ε ′z′′= z , ε ′x′′=ε ′y′′=−ν ε ′z′′=−ν z E E Prin suprapunerea efectelor celor trei încărcări independente, deformaţiile specifice ale elementului (fig.5.5.a) după cele trei direcţii vor fi date de : σ σ σ 1 ε x =ε ′x +ε ′x′+ε ′x′′= x −ν y −ν z = [σ x −ν (σ y +σ z )] E E E E σ σ σ 1 ε y =ε ′y +ε ′y′+ε ′y′′= x −ν y −ν z = [σ y −ν (σ z +σ x )] (13.38) E E E E σ σ σ 1 ε z =ε′z +ε′z′ +ε′z′′= x −ν y −ν z = [σ z −ν(σ x +σ y )] E E E E Admiţând apoi că asupra O x paralelipipedului elementar (fig. 13.8) τxz acţionează numai tensiunile tangenţiale τxz = τzx , se va produce o deformare unghiulară a y feţelor paralele cu planul Oxz, fără a se deforma celelalte feţe ale paralelipipedului. γxz Conform legii lui Hooke scrisă sub forma (13.37) putem scrie: τxz

z

Fig. 13.8

τ γ ′zx = zx , G

γ xy′ = y ′yz =0

unde G este transversal.

modulul

(13.39) de

elasticitate

În mod analog, dacă asupra paralelipipedului elementar (fig. 13.8) acţionează numai tensiunile tangenţiale τyz=τzy respectiv τxy=τyx vom obţine: 154

155

τ γ ′yz′ = yz , G τ γ ′xy′′ = xy , G

γ ′zx′ =γ ′xy′ =0

(13.39’)

γ ′yz′′ =γ ′zx′′ =0

Aplicând principiul suprapunerii efectelor acţiunii tuturor componentelor tensorului tensiune rezultă următoarele componente ale tensorului deformaţie: τ 1 ε x = [σ x −ν (σ y +σ z )], γ xy = xy E G τ 1 (13.40) ε y = [σ y −ν (σ z +σ x )], γ yz = yz E G τ 1 ε z = [σ z −ν (σ x +σ y )], γ zx = zx E G Formulele (13.40) exprimă relaţiile care există între componentele deformaţiei şi componentele tensiunilor. Uneori este necesar să se exprime tensiunile în funcţie de deformaţii. Este uşor de observat că se obţin relaţiile:  3ν E  σx= ε x+ ε m , τ xy =Gγ xy  1 + ν  1−2ν   3ν E  σ y= ε + ε , y m 1 + ν  1−2ν 

τ yz =Gγ yz ,

 3ν E  σz= ε + ε , z m 1 + ν  1−2ν 

τ zx =Gγ zx .

1 unde s-a notat cu εm deformaţia medie: ε m = (ε x +ε y +ε z ) 3

(13.41)

(13.42)

13.1.7 Variaţia tensiunilor din interiorul unui corp. Tensiuni şi direcţii principale. Elipsoidul tensiunilor. Tensiuni octaedrice. Cercurile tensiunilor a. Tensiuni şi direcţii principale Se izolează, dintr-un corp, un tetraedru elementar având laturile OA = dx, OB = dy, OC = dz, pe feţele căruia s-au introdus tensiunile corespunzătoare (fig. 13.9), astfel: 1. pe feţele ortogonale din planele de coordonate acţionează tensiunile σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx 2. iar pe faţa înclinată de arie dA, a cărei normală ν are cosinuşii directori ! = cos ( n ,Ox) = =cosα, m = cos( n , Oy)= cosβ, n=cos( n , Oz)=cosγ, acţionează vectorul tensiune p având componentele : px , py , pz .

156

Feţele ortogonale au ariile şi tensiunile respectiv:

σz O

τyz

τxy

τzy

σz

A x

τ B

- Aria (OAC) = dAy = m dA, cu (13.43) tensiunile: τyx, σy, τyz.

px

τzx

y

τyx

σx

- Aria (OBC) = dAx = ! dA, cu tensiunile : σx, τxy, τzx.

- Aria (OAB) = dAz = n dA, cu tensiunile : τzx , τzy , σz.

py pz p

n

C

Proiecând pe axele de coordonate toate forţele care acţionează asupra tetraedrului se obţine respectiv: (13.44) px ⋅ dA - σx dAx - τxy dAy - τxzdAz = 0

z Fig. 13.9

py ⋅ dA - τyx dAx - σy dAy - τyzdAz = 0 pz ⋅ dA - τzx dAx - τzy dAy - σ z dAz = 0

Împărţind cu dA şi ţinând seama de relaţiile (13.42) se obţine: px = σx ! + τxy m + τxz n py = τyx ! + σy m + τyz n

(13.45)

pz= τzx ! + τzy m + σ z n sau matricial: sau:

 p x  σ x τ yx τ zx  !       = τ σ τ p y xy y zy  m      p  τ τ σ  n   z   xz yz z 

(13.46)

p = Tσ n

(13.47)

Rezultă tensiunea totală: p=

p x2 + p y2 + p z2

(13.48)

Dacă se descompune tensiunea totală p după direcţia normalei n şi o direcţie din planul secţiunii ABC situată în acelaşi plan cu p şi n , se poate exprima tensiunea normală σ ca proiecţie a tensiunii p pe direcţia normalei n :

σ = prν p = !p x + mp y + np z =

(13.49)

= σ x ! 2 + σ y m 2 + σ z n 2 + 2τ xy ⋅ !m + 2τ yz ⋅ mn + 2τ zx ⋅ n! Tensiunea tangenţială de pe faţa ABC se poate obţine cu relaţia: τ =

p 2 − σ 2. sau:

τ 2 = p x2 + p x2 + p x2 − (σ x ! 2 + σ y m 2 + σ z n 2 + 2τ xy ⋅ !m + 2τ yz ⋅ mn + 2τ zx ⋅ n! )

(13.50)

157

Există însă secţiuni având o anumită orientare a normalei n pentru care tensiunile tangenţiale sunt nule. Să considerăm în continuare că suprafaţa BCD din fig. 13.9 este o astfel de secţiune. În acest caz putem scrie p ≡ σ şi τ = 0 , iar relaţiile (13.45) devin: p x = σ ⋅ !;

p y = σ ⋅ m;

pz = σ ⋅ n

(13.51)

Se înlocuiesc aceste relaţii în (13.45) şi se obţine:

(σ

x

− σ )! + τ xy m + τ xz n = 0;

τ yx ! + (σ y − σ )m + τ yz n = 0;

(13.52)

τ zx ! + τ zy m + (σ z − σ )n = 0.

Rezultă astfel un sistem de ecuaţii omogene având ca necunoscute cosinuşii directori ! , m, n cu următoarea legătură între ele: ! 2 + m 2 + n 2 = 1.

(13.53)

Pentru ca sistemul de ecuaţii omogene (13.52) să prezinte soluţii diferite de zero, este necesar ca determinantul său să fie nul:

σ x −σ

τ xy

τ xz

τ yx

σ y −σ

τ yz

τ zx

τ zy

σz −σ

=0

(13.54)

Dezvoltarea acestui determinant conduce la următoarea ecuaţie de gradul III în σ : σ 3 − I 1σ 2 + I 2σ − I 3 = 0; (13.55) care admite trei rădăcini reale numite tensiuni principale: σ 1 > σ 2 > σ 3 . Coeficienţii acestei ecuaţii se numesc invariaţii stării generale de solicitare şi au următoarele expresii: (13.56) I1 = σ x + σ y + σ z I2 =

σ x τ xy τ yx

σy

+

σ y τ yz τ zy σ z

+

σ z τ zx = τ xz σ x

(13.57)

= σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x − τ xy2 − τ yz2 − τ zx2 ;

σ x τ xy

τ xz

I 3 = τ yx σ y τ yz

(13.58)

τ zx τ zy σ z Dacă se înlocuiesc, pe rînd, tensiunile principale σ 1 ,σ 2 ,σ 3 , determinate, în sistemul de ecuaţii (5.45) şi se rezolvă ţinând seama de (13.52), se găsesc cosinuşii directori ! i , mi , ni ai normalelor la secţiunile principale (numite şi direcţii principale): σ = σ1 ⇒ ! 1 ,m1 ,n1 ;

σ = σ 2 ⇒ ! 2 ,m2 ,n2 ;

σ = σ 3 ⇒ ! 3 , m 3 , n3 .

(13.59)

158

Asa cum rezultă la pararaful 13.2 pentru tensiunile tangenţiale se găsesc trei valori extreme: τ12 = τ 21 =

σ1 − σ 2 ; 2

τ 23 = τ 32 =

σ2 − σ3 σ − σ1 ; τ 31 = τ13 = 3 2 2

(13.60)

Deoarece există de relaţia de ordine σ 1 > σ 2 > σ 3 , rezultă τ max = τ13 = τ 31 Se demonstrează la pararaful 13.2 că planele în care acţionează tensiunile tangenţiele maxime sau minime sunt planele bisectoare ale unghiurilor diedre definite de secţiunile principale, luate două câte două. Se consideră un cub elementar având dx=dy=dz, orientat după direcţiile principale: cele două secţiuni în care acţionează tensiunile tangenţiale τ12 şi τ 21 sunt perpendiculare între ele şi sunt dispuse la 450 faţă de secţiunile principale pe care acţionează tensiunile σ1 şi σ 2 (fig.13.10). În mod similar se găsesc secţiunile pe care secţiunile pe care acţionează: τ 23 = τ 32 şi τ 31 = τ13 . 1

O τ21

2

O 2

τ12

(13.61)

3

O

1 τ23

τ32

1

2

τ31

τ13

3

3

a.

b.

Fig. 13.10

c.

b. Elipsoidul tensiunilor Se consideră expresia tensiunii normale σ , de pe o faţă înclinată oarecare ABC (fig. 13.9):

σ = σ x ! 2 + σ y m 2 + σ z n 2 + 2τ zy !m + 2τ yz mn + 2τ zx n! z σ3 O σ2 y

σ1

x

(13.62)

Pe normala la suprafaţa ABC, cu " se ia un vector v , coliniar σ , de valoare: k (13.63) ; v=± σ de unde:

k2 σ= 2, v Fig. 13.11 " Dacă proiecţiile vectorului v , pe axele de coordonate, sunt:

(13.64)

159

x = v ⋅ !; y = v ⋅ m; z = v ⋅ n atunci cosinuşii directori ai normalei la suprafaţa ABC sunt: x y z != ; m= ; n= . v v v Se înlocuiesc expresiile (13.66) şi (13.64) în (13.62) şi se obţine: x2 y2 z2 xy yz zx k 2 σ x 2 + σ y 2 + σ z 2 + 2τ xy 2 + 2τ yz 2 + 2τ zx 2 = 2 v v v v v v v 2 După simplificarea cu v , rezultă: σ x ⋅ x 2 + σ y ⋅ y 2 + σ z ⋅ z 2 + 2τ xy ⋅ xy + 2τ yz ⋅ yz + 2τ zx ⋅ zx = k 2

(13.65) (13.66)

(13.67) (13.68)

Aceasta este ecuaţia unei cuadrice şi reprezintă suprafaţa generată de vârful " vectorului σ orientat după normala la planul ABC, când aceasta are toate orientările posibile din spaţiu. Forma concretă a cuadricei depinde de valoarea constantei arbitrare k. Dacă se face o rotire convenabilă a sistemului de axe, se obţine anularea termenilor care conţin tensiunile tengenţiale şi se obţin direcţiile principale (σx=σ1; σy=σ2; σz=σ3). Relaţiile (13.68) devin: σ1 ⋅ x2 + σ 2 ⋅ y2 + σ 3 ⋅ z2 = k 2 (13.69) În acest caz, relaţiile (13.45) devin: (13.70) p x = σ 1 ⋅ !; p y = σ 2 ⋅ m; p z = σ 3 ⋅ n; iar relaţia (13.62) se scrie: σ = σ 1 ⋅ !2 + σ 2 ⋅ m2 + σ 3 ⋅ n2 (13.71) Din expresiile (13.70) se scot cosinuşii directori: p p p != x; (13.72) m= y; n= z. σ1 σ2 σ3 care se înlocuiesc în (13.53), obţinându-se: 2 p x2 p y p z2 + + = 1. (13.73) σ 12 σ 22 σ 32 A rezultat ecuaţia unui elipsoid, raportat la axele sale (fig. 13.11), denumit elipoidul tensiunilor sau elipsoidul lui Lame de semiaxe OA= σ1,OB=σ 2 , OC=σ3.

c. Tensiuni octaedrice O x τoct σoct

y Fig. 13.12

z

voct

Octaedrul este un volum cu opt feţe triunghiulare, egal înclinate faţă de sistemul triortogonal de axe (fig. 5.14) În acest caz pentru normalele la cele opt feţe avem: 3 !=m=n= care rezultă din condiţia: 3 ! 2 + m 2 + n 2 = 1;

(13.74)

160

p X = σ 1 ⋅ l ; pY = σ 2 ⋅ m; p Z = σ 3 ⋅ n;

Având în vedere că: poct =

rezultă:

p x2 + p y2 + p z2 =

(σ

2 1

+ σ 22 + σ 32 ) / 3

σ oct = σ1l 2 + σ 2 m 2 + σ 3 n 2 = (σ1 + σ 2 + σ 3 ) / 3 = σ med

şi:

(13.75) (13.76) (13.77)

Deci, tensiunea normală pe una din feţele octaedrului, este egală cu media tensiunilor principale . Rezultă tensiunea tangenţială octaedrică:

σ 12 + σ 22 + σ 32 (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) τ oct = p − σ = − = 3 9 1 = (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 = 2 τ 12 + τ 22 + τ 32 3 3 2

2 oct

2 oct

(13.78)

d. Cercurile tensiunilor Se consideră relaţiile 13.48 şi 13.70: p 2 = p x2 + p y2 + p z2 = σ12 ! 2 + σ 22 m 2 + σ 32 n 2 = σ 2 + τ 2 ;

σ = σ1 ! 2 + σ 2 m 2 + σ 3 n 2 ; ! 2 + m 2 + n 2 = 1.

(13.79) (13.80)

Se procedează la eliminarea lui m2 şi n2, între aceste trei relaţii. În acest scop, din relaţia (13.80) rezultă: n2 = 1 − !2 − m2 ;

(13.81)

şi se înlocuieşte în cele două relaţii precedente:

σ12 ! 2 + σ 22 m 2 + σ 32 (1 − ! 2 − m 2 ) = σ 2 + τ 2 ;

σ = σ1! 2 + σ 2 m 2 + σ 3 (1 − ! 2 − m 2 );

(13.82) (13.83)

care se pot scrie forma:

(σ

2 1

(σ

1

− σ 32 )! 2 + (σ 22 − σ 32 )m 2 = σ 2 + τ 2 − σ 32 ;

(13.84)

− σ 3 )! 2 + (σ 2 − σ 3 )m 2 = σ − σ 3 .

(13.85)

Relaţia (13.85) se înmulţeşte cu σ 2 + σ 3 , astfel încât:

(σ

1

− σ 3 )(σ 2 + σ 3 )! 2 + (σ 22 − σ 32 )m 2 = (σ − σ 3 )(σ 2 + σ 3 ).

(13.86)

Prin scăderea relaţiilor (13.84)şi (13.86) se obţine:

(σ

1

− σ 3 )( [ σ1 + σ3 ) − (σ 2 + σ3 )]! 2 = σ 2 + τ 2 − σ32 − (σ − σ3 )(σ 2 + σ3 );

(13.87)

respectiv, după transformările de rigoare se obţine:

(σ − σ )(σ − σ ) + τ 2

3

2

= (σ1 − σ 2 )(σ1 − σ 3 )! 2 ;

(13.88)

161

Dacă se procedează similar, eliminând n2 şi ! 2, respectiv ! 2 şi m2, rezultă alte două expresii, de formă asemănătoare, astfel încât se obţin relaţiile:

(σ − σ )(σ − σ ) + τ = (σ −σ )(σ − σ )! ; (σ − σ )(σ − σ ) + τ = (σ − σ )(σ − σ )m ; (σ − σ )(σ − σ ) + τ = (σ − σ )(σ − σ )n . 2

2

3

3

1

1

2

2

1

2

1

3

2

2

2

3

2

1

3

1

3

2

2

(13.89)

2

Pentru cazul particular, când α = 90 0 ,cos α = 1 = 0, prima dintre relaţiile (13.89)devine:

(σ − σ )(σ − σ ) + τ 2

= 0.

2

3

(13.90) σ 2 + σ3  σ − σ3 ,0  şi raza r1 = 2 2  2 

Aceasta reprezintă ecuaţia unui cerc cu centrul C1  ca în fig. 13.13.

În mod similar, pentru β = 900 , m = 0, a doua relaţie devine ecuaţia unui cerc,

(σ − σ3 )(σ − σ1 ) + τ 2 = 0, cu centrul C2  σ3 + σ1 ,0  şi raza 

Pentru

a

γ = 90 0 , n = 0

2

treia



relaţie

r2 =

devine

(σ − σ1 )(σ − σ 2 ) + τ 2 = 0 cu centrul C3  σ1 + σ 2 ,0  şi raza 

2



τ

O

C1

C2

σ

C3

r3 =

σ1 σ2 Fig. 13.13

ecuaţia

unui

alt

cerc,

σ1 − σ 2 . 2

Se poate arăta că o stare oarecare de tensiune se poate reprezenta, în planul Oστ , printr-un punct situat în afara cercului C1 şi a cercului C3, dar în interiorul cercului C2. Într-adevăr, dacă este valabilă relaţia de ordonare a tensiunilor principale, σ 1 > σ 2 > σ 3 , pentru ! ≠ 0, m ≠ 0, n ≠ 0 se obţine:

(σ (σ (σ

1

σ3

σ 3 − σ1 . 2

2 3

− σ 2 )(σ1 −σ 3 )! 2 > 0;

− σ 3 )(σ 2 − σ1 )m 2 < 0; (13.91)

− σ1 )(σ 3 − σ 2 )n 2 > 0;

care introduse în relaţiile (13.89) conduc respectiv la inegalităţile:

(σ − σ )(σ − σ ) + τ (σ − σ )(σ − σ ) + τ (σ − σ )(σ − σ ) + τ 2

3

3

1

1

2

2

> 0;

2

< 0;

2

>0

(13.92)

şi care reprezintă tocmai zonele haşuarate situate în afara cercului C1 şi a cercului C3 şi în interiorul cercului C2, ceea ce confirmă afirmaţia de mai sus.

162

13.1.8. Variaţia deformaţiilor din interiorul unui corp. Deformaţii şi direcţii principale. Relaţia dintre constantele elastice E, G şi ν a. Deformaţii şi direcţii principale Să considerăm un sistem de axe Oxyz şi un corp raportat la acest sistem de axe. Acum, după ce deformaţiile normale şi tangenţiale în raport cu axele x, y, z au fost " definite, să considerăm deformaţia normală într-o direcţie oarecare n (fig.13.14). dx

O≡M dy

x

M1

y dz

N z

N1 Fig. 13.14

Fie punctele infinit vecine M (x, y, z) şi N (x + dx, y + dy, z + dz) care aparţin corpului şi care după deformare devin respectiv M1 (x1, y1, z1) şi N1 (x1 + dx1, y1 + dy1, z1 + dz1) adică după deformare segmentul MN devine segmentul M 1 N1 astfel că deformaţia specifică în punctul M (a segmentului MN ) se defineşte prin: M 1 N1 − MN ds1 −ds ε= = (13.93) ds MN unde: 2

ds 2 =MN =dx 2 +dy 2 +dz 2 2 1

şi

x1 = x + u y1 = y + v z1 = z + w

⇒ ⇒ ⇒

ds12 =MN =dx12 +dy12 +dz12 dx1 = dx + du, dy1 = dy + dv, dz1 = dz + dw.

(13.94) (13.95) (13.96)

Ridicând la pătrat relaţia (13.93)şi ordonând termenii se obţine : d s12 =d s 2 ( ε 2 +2ε+1 )

(13.97)

unde dacă ţinem seama de ipoteza micilor deformaţii, se neglijează termenii de (13.98) ordinul doi (ε2 = 0) obţinem: 2εd s 2 =d s12 −d s 2 Ţinând seama de formulele (13.94), (13.95) şi (13.96) membrul drept al ecuaţiei (13.98) devine: 2εd s 2 =2( dxdu+dydv+dz dw )+du 2 +dv 2 +dw2 Ţinând seama de relaţiile diferenţialelor du, dv, şi dw: ∂u ∂u ∂u du= dx+ dy+ dz ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v dv= dx+ dy+ dz ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w dw= dx+ dy+ dz ∂x ∂y ∂z

(13.99)

(13.100)

163

şi neglijând termenii de ordinul doi du2, dv2, şi dw2 relaţia (13.99) devine: εds 2 =

  ∂u (dx )2 + ∂v (dy )2 + ∂w(dz )2 + ∂u + ∂v dxdy+ ∂x ∂y ∂z  ∂ y ∂x 

 ∂v ∂ w   ∂ w ∂u  + + dydz+ + dzdx  ∂z ∂ y   ∂x ∂z 

(13.101)

Împărţind membru cu membru cu ds2 şi ţinând seama de relaţiile : dy dz dx =cos( n ,y )=m , =cos( n ,z )=n . =cos( n ,x )= ! , ds ds ds

(13.102)

precum şi de relaţiile (13.23) rezultă relaţia (13.3):

ε = εx ! 2 + εy m2 + εz n2 + γx y ! m + γy z m n + γz x n !

(13.103)

Prin urmare, deformaţia specifică a unui segment oarecare care trece printr-un punct oarecare M (x, y, z) poate fi exprimată în funcţie de cele şase componente ale deformaţiei definite în raport cu axele de coordonate (vezi fig. 13.2). Prin urmare, componentele deformaţiei pot fi scrise ca tensor într-o matrice pătrată 3×3:   εx  1 Tε =  γ xy 2 1  xz  2

1 γ yx 2 εy 1 γ yz 2

1  γ zx 2   1  γ zy 2   εz  

(13.104)

Se poate demonstra că între teoria tensiunilor şi cea a deformaţiilor, analogia este deplină. Toate formulele din teoria deformaţiilor se pot scrie prin analogie cu formulele corespunzătoare din teoria tensiunilor. Există astfel trei direcţii principale 1, 2, 3, pentru care ε1 > ε2 > ε3 au valori extreme iar lunecările specifice sunt nule. Direcţiile principale ale tensorului Tε coincid cu direcţiile principale ale tensorului Tσ pentru corpurile izotrope şi liniar elastice. Mărimile lungirilor specifice principale sunt date de ecuaţia de gradul III în ε scrisă sub forma determinantului: ε x −ε

1 γ yx 2

1 γ xy 2 1 xz 2

ε y −ε 1 γ yz 2

1 γ zx 2 1 γ zy =0 2

(13.105)

ε z −ε

analoagă ecuaţiei (13.54); în acelaşi fel se găsesc şi cei trei invarianţi I’1, I’2, I’3 corespunzători tensorului deformaţiilor specifice.

164

De asemenea, se poae demonstra că lunecările specifice au valori extreme în planele bisectoare ale diedrelor având ca normale direcţiile principale două câte două. Lunecările specifice maxime sunt date de :

γ12 = ε1 - ε2 ; γ23 = ε2 - ε3; γ13 =γmax = ε1 - ε3

(13.106)

Se poate defini prin analogie deformaţia octaedrică normală εoct şi deformaţia octaedrică tangenţială γoct . b. Relaţia dintre constantele elastice ale materialului E, G şi ν Din relaţiile (13.40) se obţine: 1 ε1 = [σ1 −ν(σ 2 +σ 3 )] E 1 ε 2 = [σ 2 −ν(σ 3 +σ1 )] E 1 ε 3 = [σ 3 −ν(σ1 +σ 2 )] E

(13.107)

şi ţinând seama de relaţiile (13.106) se obţine: ε1 − ε 2 = de unde rezultă:

1+ ν (σ1 − σ 2 ) = γ12 = τ12 = σ1 − σ 2 2G E G G=

E 2(1+ν )

(13.108) (13.109)

numită relaţie de izotropie, care arată faptul că între E, G şi ν există numai două constante elastice independente, cea de-a treia fiind funcţie de cele două.

13.1.9. Deformaţia volumică specifică (ecuaţia lui Poisson). Se consideră un paralelipiped elementar din interiorul unui corp elastic având laturile dx, dy, dz , care în urma deformaţiei are dimensiunile dx1 , dy1 , dz1 ( fig. 13.14). Astfel, volumul iniţial fiind: (13.110)

dV = dx dy dz iar după deformare dV1 = dx1 dy1 dz1

adică:

 du  dv  dw  dV1 = (dx+du )(dy +dv )(dz + dw)= dxdydz1+  1+  1+ =  dx  dy  dz  = (1+ε x )(1+ε y )(1+ε z )dxdy dz

(13.111)

se defineşte deformaţia specifică volumică în jurul unui punct, prin raportul: εv =

∆(dV ) dV1 −dV = =(1+ε x )(1+ε y )(1+ε z )−1 dV dV

(13.112)

165

unde neglijând termenii care conţin produse ale deformaţiilor specifice, rezultă: εv = εx + εy + εz , (13.113) Notând deformaţia medie cu: avem relaţia:

εm =

1 ( εx + εy + εz ) 3

εv = 3 εm .

(13.114) (13.115)

Adunând membru cu membru primele trei relaţii (13.40) se obţine: 1−2ν (σx + σy + σz) E σ +σ +σ σm = p = x y z Notând tensiunea medie cu: 3

εx + εy + εz =

relaţia (13.116) devine:

σm =

E εm 1−2ν

(13.116) (13.117) (13.118)

Deci tensiunea medie este proporţională cu deformaţia medie. Ţinând seama de relaţiile (13.115), ecuaţia (13.118) se mai poate scrie şi sub forma:

σm =

E εv. 3( 1−2ν )

(13.119)

Expresia (13.119), precum şi (13.118) poartă denumirea de legea variaţiei elastice a volumului. Cercetările experimentale au confirmat această lege chiar şi pentru valori ale tensiunii medii care depăşesc limita de elasticitate a materialului σe. Relaţia (13.119) se mai poate scrie şi : 3( 1−2ν ) σm (13.120) E Din ecuaţia lui Poisson rezultă că deformaţia volumică este nulă atunci când este îndeplinită condiţia: σx + σy + σz = 0 (13.121) E (13.122) Se notează modulul de elasticitate cubică: K = 3( 1−2ν )

εv =

ecuaţia lui Poisson se scrie:

εv =

1 σm K

(13.123)

Revenim din nou la ecuaţiile (13.41) şi scădem din membrii din stânga şi din dreapta relaţia (13.117), obţinem:  E 3ν E  E εm = σ x −σ m = ε + ε (ε x −ε m ) = 2G (ε x −ε m ) x m −  1 + ν  1−2ν  1−2ν 1+ ν E (ε y −ε m ) = 2G(ε y −ε m ) 1+ ν E (ε z −ε m ) = 2G(ε z −ε m ) σ z −σ m = . . . = 1+ ν

σ y −σ m = . . . =

(13.124)

166

Dacă se adaugă relaţiile: 1 1 1 τ xy =2G γ xy , τ yz =2G γ yz , τ zx =2G γ zx . (13.125) 2 2 2 Relaţiile (13.124) şi (13.125) se folosesc în teoria deformaţiilor plastice şi reprezintă legea variaţiei formei exprimând faptul că componentele tensiunilor şi ale deformaţiilor, corespunzătoare variaţiei formei sunt proporţionale unele cu altel. Ele se pot scrie matricial astfel:  σ x −σ m   τ yx   τ zx

τ xy σ y −σ m τ zy

  ε x −ε m τ xz     1 τ yz =2G γ yx 2   σ z −σ m   1γ  zx  2

      ε z −ε m  

1 γ xy 2

1 γ xz 2 1 γ yz 2

ε y −ε m 1 γ zy 2

(13.126)

În concluzie se obţine relaţia de descompunere a tensorilor tensiune şi deformaţie ca o sumă a doi tensori: unul sferic modificator al volumului (TSσ şi TSε ) şi unul deviator (TDσ şi TDε) modificator al formei:  σm  Tσ = TSσ + TDσ =  0  0   εm  Tε = TSε + TDε =  0 0 

0 σm 0

0 εm 0

0   σ x −σ m   0  +  τ yx  σ m   τ zx

  ε x −ε m 0    1 0  + γ yx 2 ε m    1γ  zx  2

τ xy σ y −σ m

1 γ xy 2 ε y −ε m 1 γ zy 2

  τ yz   σ z −σ m  τ xz

τ zy

      ε z −ε m   1 γ xz 2 1 γ yz 2

(13.127)

(13.128)

13.1.10 Expresia energiei potenţiale de deformaţie totale, de modificare a formei şi modificare a volumului. Sub acţiunea forţelor exterioare, corpul elastic suferă o deformaţie în urma căreia forţele efectuează un anumit lucru mecanic. Considerăm că acest lucru mecanic se transformă integral în energie potenţială de deformaţie care, în urma înlăturării forţelor exterioare, este consumat pentru restabilirea formei iniţiale nedeformate. Întrucât energia potenţială de deformaţie specifică se referă la un volum elementar egal cu dV, energia potenţială de deformaţie totală a unui corp se obţine cu ajutorul relaţiei: U = ∫ U 1 dV , (13.129) (V )

167

Se consideră un cub cu laturile egale dx=dy=dz=1. Pe feţele acestui cub se dezvoltă tensiunile normale şi tangenţiale σx , σy, σz , τxy , τyz , τzx şi el suferă deformaţiile specifice εx ,εy, εz, γxy, γyz, γzx . Starea generală de deformaţie poate fi considerată ca fiind rezultatul însumării a trei stări liniare de întindere simplă (σx -εx , σy -εy, σz -εz) şi a trei stări liniare de forfecare pură (τxy - γxy, τyz - γyz, τzx - γzx ). Se poate exprima energia specifică de deformaţie totală pentru starea generală de deformaţie: 1 [σ x ε x +σ y ε y +σ z ε z +τ xy γ xy +τ yz γ yz +τ zx γ zx ]. (13.130) 2 Folosind legea generalizată a lui Hooke (13.40) şi înlocuind în expresia (13.130) se obţine: U1 =

U1 =

1 2 2 2 [σ x +σ y +σ z −2ν(σ x σ y +σ y σ z +σ z σ x )]+ 1 (τ 2xy +τ 2yz +τ 2zx ) 2E 2G

(13.131)

În funcţie de tensiunile principale (13.131) se scrie: 1 2 2 2 [σ1 +σ 2 +σ 3 −2ν(σ1σ 2 +σ 2 σ 3 +σ3σ1 )] . (13.132) 2E Prin aplicarea forţelor exterioare, un corp îşi schimbă forma şi dimensiunile iniţiale. Corespunzător, energia de deformaţie înmagazinată în corp se compune din două cantităţi: o energie de variaţie a volumului U1V, şi o energie de variaţie a formei U1D . U1 =

Să presupunem un paralelipiped cu laturile dx, dy, dz, care după deformare îşi modifică proporţional dimensiunile: dx1=(1+εx)dx, dy1 =(1+εy)dy, dz1=(1+ εz)dz (forma nu se modifică) deci există relaţia de asemănare: dx1 dy1 dz1 = = dx dy dz care conduce la condiţia: εx = εy = εz = ε0

(13.133) (13.134)

Introducând aceste valori în relaţiile (5.18), rezultă că starea de tensiune care produce deformaţii egale după cele trei direcţii are componentele egale:

σx = σy = σz = σ0

(13.135)

sau după cele trei direcţii principale cu componentele egale:

σ1 = σ2 = σ3 = σm

(13.136)

Energia potenţială specifică de modificare a volumului se calculează înlocuind relaţia (13.136) în (13.132): U 1V =

3( 1−2ν ) 1−2ν σm = (σ1 +σ 2 +σ 3 )2 6E E

(13.137)

168

Energia potenţială specifică de modificare a formei se calculează scăzând din energia potenţială specifică totală energia potenţială specifică de modificare a volumului: 1+ν 2 2 2 [σ1 +σ 2 +σ3 −(σ1σ 2 +σ 2 σ3 +σ 3σ1 )] U 1D =U 1 −U 1V = 3E

(13.138)

care se poate scrie şi sub forma:

[

1+ν (σ1 −σ 2 )2 +(σ 2 −σ 3 )2 +(σ 3 −σ1 )2 U 1D = 6E sau : 2( 1+ν ) 2 2 2 τ12 + τ 23 +τ 31 U 1D = 3E

[

] (13.139)

]

Divizarea energiei potenţiale de deformaţie specifice în cele două componente este legată de divizarea tensorului tensiunii în două componente (13.127): 0   σ1 −σm 0 0     σy −σm 0  σm 0  +  0  σm   0 0 0 σz −σm   σ1 −σ2 σ1 −σ3  + 0 0   2  2   τ12 + τ13 0 0     σ2 −σ1 σ2 −σ3 2 + = τ + τ 0 0 0 TDσ =  0   21 23  3 2 2  0 0 τ31+ τ32   σ − σ σ − σ 0 3 1 + 3 2  0  2 2    σm  Tσ = TSσ + TDσ =  0 0 

0

(13.140)

Tensorul sferic produce numai modificarea volumului, iar tensorul deviator produce modificarea formei.

169

13.2. STAREA PLANĂ DE TENSIUNI ŞI DEFORMAŢII ÎN JURUL UNUI PUNCT

13.2.1. Tensiuni şi direcţii principale pentru starea plană de tensiuni . Cercul lui Mohr a. Tensiuni şi direcţii principale Un corp este supus la o stare plană de tensiune dacă are aceaşi distribuţie a tensiunilor în toate planele paralele cu un plan dat. Starea plană de tensiune se întâlneşte la plăci plane de grosime neglijabilă acţionate de un sistem de forţe coplanare, la corpuri de secţiune constantă, la care intensitatea direcţia şi sensul forţelor aplicate rămân constante în lungul generatoarelor respective (cum ar fi de exemplu tuburile cu pereţi groşi). Corpurile respective se pot deforma liber, în lungul direcţiei normale pe planele considerate. Dacă deformarea în lungul direcţiei normale pe planele considerate este împiedicată, atunci se obţine o stare plană de deformaţii şi o stare spaţială de tensiuni deoarece împiedicarea deformării produce tensiuni şi pe a treia direcţie. Se consideră solicitarea unei plăci plane de un sistem de forţe cuprinse în planul Oxz; tensorul tensiunii va fi caracterizat doar prin compomentele ce acţionează în acest plan: σ x τ xz  Tσ =  (13.141)  τ σ σ z z  zx τxz O x dA sinα în schimb, tensorul deformaţiei va avea B toate componentele diferite de zero: α τzx 1 1   ε γ γ xz x xy  τ σx 2 2    1 1 σ γ yz  (13.142) Tε =  γ yx ε y   2 2 dA cosα dA α 1  1 n  γ zx γ zy εz  2  2  C z

Fig. 13.15

În acest caz particular, există doar două tensiuni principale, respectiv două direcţii principale.

Se consideră placa subţire, de grosime constantă h acţionată de forţe coplanare cu suprafaţa mediană a plăcii. Dacă din această piesă se separă un element elementar de volum cu baza un triunghi dreptunghic şi înălţimea egală cu grosimea plăcii , ipotenuza BC făcând un unghi oarecare α cu Oz (sau normala la faţa BC face unghiul α cu Ox) ca în fig. 13.15.

170

Pe cele trei feţe laterale ale elementului acţionează tensiunile normale şi tangenţiale: σx , τzx , σz , τxz respectiv σ , τ. Se pune următoarea problemă: dacă se cunosc tensiunile de pe feţele perpendiculare OB şi OC (σx , τzx , σz , τxz) şi unghiul α, care este expresia tensiunilor (σ , τ) pe faţa înclinată BC ? Suprafaţa laterală ale elementului prismatic pe care acţionează tensiunile (σx , τzx ) este dAx= dA cosα, cea pe care acţionează (σz , τxz) este dAz= A sin α şi cea pe care acţionează (σ , τ ) este dA. Se scriu cele două ecuaţii de echilibru ale forţelor pentru elementul OBC, în proiecţii pe direcţia lui σ, respectiv pe direcţia lui τ:

∑F

= 0 ⇒ σ ⋅ dA − σ x dA cos α ⋅ cos α − σ z dA sin α ⋅ sin α −

∑F

= 0 ⇒ τ ⋅ dA − σ x dA cos α ⋅ sin α + σ z dA sin α ⋅ cos α +

σ

τ

− τ zx dA cos α ⋅ sin α − τ xz dA sin α ⋅ cos α = 0; + τ zx dA cos α ⋅ cos α − τ xz dA sin α ⋅ sin α = 0.

(13.143) (13.144)

Simplificând prin dA şi ţinând seama de principiul dualităţii tensiunilor tangenţiale τ zx = τ xz , se obţine: σ = σ x cos 2 α + σ z sin 2 α + 2τ zx sin α ⋅ cos α; τ = (σ x − σ z )sin α ⋅ cos α − τ zx (cos 2 α − sin 2 α ).

(13.145) (13.146)

Aceste relaţii se pot exprima şi în funcţie de argumentul 2α astfel: σx + σz σx − σz + cos 2α + τ zx sin 2α; 2 2 σ − σz τ= x sin 2α − τ zx cos 2α. 2

σ=

(13.147) (13.148)

Pentru a determina valorile extreme ale funcţiilor σ(α) şi τ(α) în funcţie de unghiul α, se anulează derivata lor în raport cu 2α :

σ −σz dσ =− x sin 2α + τ zx cos 2α = −τ = 0. 2 d (2α )

(13.149)

σ − σz dτ = x cos 2α + τ zx sin 2α = 0; d (2α ) 2

(13.150)

Deoarece expresia derivatei lui σ în raport cu 2α este identică cu expresia lui -τ (α), rezultă că tensiunile normale vor avea valori extreme în acele secţiuni în care tensiunile tangenţiale sunt nule (reciproca acestei proprietăţi nu este adevărată), ceea ce confirmă faptul că în planele de acţiune ale tensiunilor principale tensiunile tangenţiale sunt nule. Valorile extreme ale tensiunilor normale σ1 şi σ2 se numesc tensiuni principale iar normalele la planele pe care acţionează acestea se numesc direcţii principale. Soluţia ecuaţiei (13.149) este soluţia ecuaţiei trigonometrice:

171

tg 2α =

2τ zx ; σx − σz

(13.151)

2τ zx + kπ . σx − σz Dintre aceste valori, sunt distincte doar primele două : 2τ zx π 1 α1 = arctg si α 2 = α1 + σx − σz 2 2 de unde rezultă: 2α = arctg

(13.152)

(13.153)

Deci, înclinările direcţiilor principale sunt date de α1 şi α2 care diferă între ele cu 90 , adică cele două sunt perpendiculare între ele. 0

Înlocuind în relaţia (13.147) se obţin tensiunile principale: σ + σz 1 σ1,3 = x ± (σ x − σ z )2 + 4τ 2zx 2 2 Soluţia ecuaţiei (13.150) este soluţia ecuaţiei trigonometrice: σ − σx tg 2α* = z ; 2τ zx σ − σx de unde rezultă: 2α* = arctg z + kπ . 2τ zx

(13.154)

(13.155) (13.156)

Dintre aceste valori, sunt distincte doar primele două : σ − σx 1 α *1 = arctg z 2 2τ zx

si α *2 = α *1 +

π 2

(13.157)

Şi în acest caz înclinările direcţiilor planelor date de α*1 şi α*2 diferă între ele cu 90 , adică cele două plane sunt perpendiculare între ele. 0

Înlocuind în relaţia (13.147) se obţin tensiunile extreme: 1 (σ x − σ z )2 + 4τ 2zx . (13.158) 2 Se obsearvă din produsul tg 2α ⋅ tg 2α* = −1 că cele două drepte având pantele π m1 = tg 2α şi m2 = tg 2α * sunt perpendiculare, adică: 2α* = 2α ± . 2 τ13 ,31 = ±

π adică secţiunile pe care acţionează valorile extreme ale 4 tensiunilor tangenţiale τ , sunt bisectoarele unghiurilor diedre definite de secţiunile pe care acţionează tensiunile principale. Rezultă că α* = α ±

Se observă că suma tensiunilor principale nu depinde de unghiul α: σ1 + σ 3 = σ x + σ z = cons tan t ;

(13.159)

sau suma tensiunilor normale, de pe oricare pereche de plane perpendiculare între ele este o constantă, denumită invariantul stării plane de tensiune. Diferenţa tensiunilor principale dă:

172

(σ

σ 3 − σ1 =

− σ z ) + 4τ 2zx = 2τ13 ; 2

x

(13.160)

σ1 − σ 3 (13.161) 2 Ultima relaţie arată că valorile extreme ale tensiunilor tangenţiale se mai pot calcula ca semidiferenţa tensiunilor principale. de unde:

τ13 =

b. Cercul tensiunilor (cercul lui Mohr) Relaţiile de calcul (13.147) şi (13.148) se pot pune sub forma: σx + σz σx − σz = cos 2α + τ zx sin 2α; 2 2 σ − σz τ= x sin 2α − τ zx cos 2α; 2 care, ridicate la pătrat şi însumate membru cu membru dau relaţia: σ−

(13.162) (13.163)

2

σ + σz    σ − σz  2 2 (13.164) σ − x  +τ = x  + τ zx 2    2  Această relaţie reprezintă ecuaţia cercului tensiunilor pentru starea plană de tensiune în coordonate σ - τ:

1 2 σ +σ  cu centrul C x z ,0 şi raza r = (σx − σz ) + 4τ2zx . 2  2  Dacă se consideră că sistemul de axe Oxz coincide cu direcţiile principale: σx≡σ1 , σz≡σ3 , τxz=0 atunci relaţia (13.164) se scrie: 2

σ + σ3    σ − σ3  2 σ − 1  +τ = 1  2    2 

M

r =(σ1-σ3)/2 2α

C[(σ1+σ3)/2] σ1 M’ σ3 Fig. 13.16

(13.165)

Se obţine astfel ecuaţia cercului lui Mohr pentru starea plană de tensiune în coordonate σ - τ , reprezentat în figura 13.16.

τ

O

2

σ

Coordonatele punctului M sunt tensiunile de pe faţa BC a elementului iar coordonatele punctului M’ exprimă tensiunile de pe o faţă perpendiculară pe faţa BC

173

13.2.2. Cazuri particulare ale stării plane de tensiuni a. Întinderea sau compresiunea după două direcţii perpendiculare Se consideră un element de placă dreptunghiular de grosime h solicitat numai la întindere după două direcţii perpendiculare, cu tensiunile normale: σx > 0 şi σz > 0 şi tensiunile tangenţiale pe cele patru feţe laterale nule τ zx = τ xz = 0 (fig. 13.17). Deci tensiunile normale sunt principale σx = σ1 , σz = σ3 .

σz O

x B

α σx

Tensiunile de pe o secţiune înclinată cu unghiul α sunt:

τ

M

σx

σ

σx + σz σx − σz + cos 2α; (13.166) 2 2 σ − σz τ= x (13.167) sin 2α. 2

σ=

n C

D

În cazul particular când σ x = σ z = σ 0 , se obţine: σ = σ 0 ; τ = 0 (13.168)

σz

z

Fig. 13.17

Deci dacă elementul de volum este solicitat la întindere (sau compresiune) egală după două direcţii perpendiculare, atunci în orice punct al său apare o stare de solicitare de întindere (sau compresiune), uniformă după toate direcţiile ce trec prin acel punct. b. Întinderea şi compresiunea simultană după două direcţii perpendiculare σz O

x B

α σx

τ

M

σx

σ

n C z

D σz Fig. 13.18

Dacă elementul de placă de grosime h este solicitat simultan la întindere şi la compresiune după două direcţii perpendiculare (fig. 13.18) atunci tensiunile tangenţiale pe cele patru feţe laterale sunt nule, τ zx = τ xz = 0 iar tensiunile normale sunt chiar tensiunile principale: σ x = σ1 > 0 ; σ z = σ 3 < 0 Formulele de clcul ale tensiunilor, de pe o secţiune înclinată BC se scriu: σx + σz σx − σz + cos 2α; 2 2 σ − σz τ= x sin 2α. 2

σ=

În situaţia σ x = σ z = σ 0 , aceste formule iau o formă şi mai simplă:

(13.169) (13.170)

174

σ = σ 0 ⋅ cos 2α ; τ = σ 0 ⋅ sin 2α .

(13.171) (13.172)

Pentru secţiuni înclinate la 450, faţă de secţiunile principale, se obţine: σ = 0;

τ = ±σ 0 .

(13.173)

Rezultatele arată că asupra feţelor unui element cu normalele feţele rotite la 45 , faţă de direcţiile principale, vor acţiona numai tensiuni tangenţiale, deci acest element va fi solicitat la forfecare pură. 0

c. Forfecarea pură τxz

O

B

x

α

τzx

τ σ

τzx

D

C z

τxz

n

Fig. 13.19

Se consideră un element pătrat de placă solicitat forfecare pură adică pe feţele lui vor acţiona numai tensiunile şi τ zx = τ xz σ x = σ z = 0 (fig. 13.19). Formulele de calcul pentru tensiunile σ şi τ pe o secţiune înclinată cu α sunt: σ = τ zx ⋅ sin 2α ;

(13.174)

τ = −τ zx ⋅ cos 2α

(13.175)

Pentru secţiuni înclinate la 450, faţă de axele Ox şi Oz, se obţin:

σ = τ zx ; τ = 0;

(13.176)

σ1 = + τ zx ; σ 3 = −τ zx .

(13.177)

respectiv:

La cazul precedent, s-a plecat de la întindere şi compresiune, egale pe două direcţii perpendiculare, pentru a se obţine pe feţe înclinate cu 450 solicitarea de forfecare pură; în cazul acesta se pleacă de la solicitarea de forfecare pură şi se obţine pe feţe înclinate cu 450 solicitarea de întindere şi compresiune, egale pe două direcţii perpendiculare. Solicitarea de forfecare pură prezintă o împortanţă practică deosebită pentru acele materiale care au o bună rezistenţă la compresiune, dar se comportă slab la întindere. Este cazul pentru fonte, piatră, cărămidă, beton, sticlă, etc. Asemenea materiale se rup, de obicei, după secţiuni dispuse perpendicular pe direcţia de acţiune a tensiunilor σ1 adică secţiuni dispuse la 450 faţă de secţiunile pe care se manifestă solicitarea de forfecare pură.

175

d. Încovoierea simplă a unei bare cu secţiunea simetrică Se consideră o bară dreaptă de secţiune constantă solicitată de un sistem de forţe coplanare în planul de simetrie axială Oxz. Starea de tensiuni în planele paralel cu Oxz este aceeaşi, deci putem afirma că în acest caz avem o stare plană de tensiuni(fig. 13.20). Tensiunile într-un punct M al secţiunii sunt σx , σz= 0 şi τzx şi au următoarele legi de distribuţie: σx =

M iy Iy

τ zx = τ xz =

⋅ z;

Tz S y *

(13.178)

bI y

σmin

B

C τmax

σ1

σ3

τzx

σ3

σ1

A

σ1

x

σ1

z

Fig. 13.20

Direcţiile principale sunt date de: tg 2α =

σ3

C σx

σmax

σ3

2τ zx ; σx

(13.179)

Deci direcţiilor principale date de α1 şi α2 diferă în funcţie de valorile σx , şi τzx adică de poziţia punctului M pe suprafaţa secţiunii (fig. 13.20). Înlocuind în relaţia (13.154) se obţin tensiunile principale: σ1,3 =

σx 1 2 ± σ x + 4τ 2zx 2 2

(13.180)

Din relaţia 13.180 se observă că σ1≥ 0 şi σ3 ≤ 0 iar valorile diferă în funcţie de poziţia punctului pe suprafaţa secţiunii. Astfel în cazul secţiunii dreptunghiulare avem: ! pentru punctul C : σx=0, τyx= τ max = tg 2α =

2τ zx π 3π = ∞ ⇒ α1 = , α 2 = ; σx 4 4

! pentru punctul A : σx=σmax=+ tg 2α =

3Tz 2bh

6M iy bh 2

⇒ (fig. 13.20) σ1,3 =

, τyx=0

2τ zx π = 0 ⇒ α1 = 0, α 2 = ; σx 2

σ1,3 =

σx 1 2 ± σ x + 4τ 2zx = ± τ max . 2 2

⇒ (fig. 13.20) σx σx ± ; σ1=σx , σ3=0. 2 2

176

6M iy

! pentru punctul B : σx=σmin= − tg 2α =

bh 2

2τ zx π = 0 ⇒ α1 = , α 2 = 0 ; σx 2

, τyx=0 σ1,3 =

⇒ (fig. 13.20) σx σx ± ; σ1=0 , σ3= − σx . 2 2

Direcţiile principale se rotesc din punctul A în punctul B al secţiunii cu 900 în sens trigonometric (cînd eforturile secţionale Tz şi Miy sunt pozitive). Înfăşurătoarele direcţiilor principale corespunzătoare lui σ1 şi σ3 sunt două curbe perpendiculare între ele numite linii izostatice de întindere resectiv de comprersiune (fig. 3.21), care prezintă o importanţă deosebită la materialele care se comportă diferit la întinderecompresiune (de exemplu în cazul betonului armat se caută ca armăturile din oţel să urmeze traseul isostaticelor de întindere). B σ3

σ3

C

σ1

σ3

τzx

σ3

σ1

σx

σ1

x

σ1

A z

Fig. 13.20

177

CAPITOLUL XIV TEORII DE REZISTENŢĂ

14.1. Generaliţi Teoria stărilor limită sau teoriile de rezistenţă caută să dea răspuns la întrebarea: care sunt condiţiile pentru care se atinge starea limită de rezistenţă într-un corp elastic ? Este cunoscut faptul că încărcările exterioare produc în interiorul unui corp elastic stări de tensiuni şi deformaţii având distribuţii complexe ale tensiunilor şi deformaţiilor. Aceste stări complexe de solicitare produc anumite stări limită care se compară cu starea limită de rezistenţă corespunzătoare celei mai simple solicitări, cea de întindere. Prin stare limită de rezistenţă pentru solicitarea de întindere se înţelege starea de solicitare corespunzătoare fie atingerii unei caracteristici naturale a materialului (cum ar fi limita de proporţionalitate σp, de elasticitate σe, de curgere σc, sau rezistenţa de rupere σr), fie a unei caracteristici convenţionale (cum ar fi rezistenţa admisibilă σa). În general pentru calculul de verificare, tensiunea maximă produsă în piesă trebuie să fie inferioară rezistenţei admisibile a materialului: σmax ≤ σa

(14.1)

Ipoteza că un anumit factor ce caracterizează starea de tensiuni şi deformaţii este preponderent în atingerea stării limită şi că valoarea limită a acestuia trebuie să fie egală cu cea corespunzătoare de la întinderea simplă, constituie o teorie de rezistenţă sau o ipoteză de rupere. Pe baza factorului preponderent, se stabileşte o relaţie între tensiunile principale σ1, σ2, σ3 din piesă şi tensiunea σk corespunzătoare stării limită de la întinderea simplă. Coeficientul de siguranţă corespunzător stării reale de tensiune (fig.6.1.a) se determină cu relaţia: C =σ k / σ ech

care este analogă relaţiei pentru întinderea simplă: C = σ k / σ max

(14.2) (14.3)

Întrucât tensiunea echivalentă corespunzătoare stării limită - ca funcţie de tensiunile principale - se scrie σech = f (σ1 , σ2 , σ3) înlocuind în (14.2) rezultă că starea limită se poate exprima printr-o funcţie: F (σ 1 , σ 2 , σ 3 , σ k ) = 0 care reprezintă în sistemul de axe (σ1 , σ2 , σ3) o suprafaţă închisă.

(14.4)

178

O stare oarecare de tensiune se reprezintă în acest sistem de coordonate printrun punct P(σ1 , σ2 , σ3). Dacă punctul P este în interiorul suprafeţei dată de relaţia (14.4.) atunci starea de tensiune corespunzătoare este inferioară stării limită, iar dacă punctul P se află pe suprafaţă, atunci starea de tensiune este la limită. În afara suprafeţei, spunem ccă avem o stare periculoasă de tensiune. Teoriile de rezistenţă diferă între ele prin factorii ales ca preponderent în atingerea stării limită şi poartă denumirea acestor factori. Astfel, avem: 1. (Tσ ) teoria tensiunii normale maxime ( G. Galilei); 2. (Tε ) teoria deformaţiilor maxime (E. Moriotte); 3. (Tτ ) teoria tensiuni tangenţiale maxime (C. Coulomb); 4. (TE ) teoria energiei potenţiale specifice totale de deformaţie (E. Beltrami); 5. (TED ) teoria energiei potenţiale specifice de deviaţie (M.T.Huber, H.Hencky, R.Mises) Ca o generalizare a teoriilor de mai sus numite clasice, a apărut şi teoria lui Mohr (TM) , care exprimă sub o formă unitară starea limită dintr-un corp pentru caree se ţine seama de tipul de solicitare şi comportarea diferită a materialui la întindere şi compresiune. Valabilitatea uneia sau alteia dintre teoriile de mai sus pentru o anumită stare de solicitare se poate demonstra experimental. Astfel, din experienţele efectuate pe cuburi de marmură supuse la compresiune uniformă triaxială, rezistenţa la rupere este practic nelimitată, întrucât pentru o astfel de solicitare probele nu s-au distrus. Experienţele efectuate pe cilindri subţiri supuşi la torsiune, în care se realizează o stare de forfecare pură (σ1 = - σ2 = τxy), au arătat că starea limită se atinge pentru: τ lim =τ k = σ k / 2 .

14.2. Teoriile clasice de rezistenţă 1. Teoria tensiunii normale maxime (sau a tensiunii principale) (Tσ ) Conform aceastei teorii starea limită într-un corp se atinge atunci când tensiunea normală maximă σ1 într-un punct al său, atinge valoarea σk corespunzătoare stării limită de la întinderea simplă. Starea generală de tensiune este caracterizată prin componentele normale principale σ1 , σ2 , σ3. Condiţia generală de rezistenţă : σmax ≤ σa

(14.5)

conform acestei teorii se exprimă prin relaţiile: - σk ≤ σ1 ≤ σk;

- σk ≤ σ2 ≤ σk;

- σk ≤ σ3 ≤ σk

(14.6)

În sistemul de coordonate (σ1, σ2, σ3) relaţiile (14.6) reprezintă interiorul unui cub cu laturile 2σk, iar pentru starea plană de tensiune (σ2 = 0) interiorul unui pătrat (fig.14.1). Dezavantajele acestei teorii sunt următoarele:

179

- suprafaţa limită fiind închisă înseamnă că la compresiune uniformă triaxială distrugerea are loc pentru σ1 = σ2 = σ3 = −σk, (şi nu concordă cu realitatea); - teoria aceasta nu ţine seama de valorile diferite ale rezistenţei la întindere şi compresiune monoaxială. O îmbunătăţire parţială se aduce teoriei prin luarea în considerare a limitei de rezistenţă la compresiune σ′k = α σk (α > 1); σ2 = 0), se reprezintă - starea limită în cazul forfecării pure (σ1 = − σ3 = τxz, conform acestei teorii prin 2 puncte E şi F de pe a doua bisectoare, corespunzând lui: σ1= −σ3 = τlim = σk ; experienţele au arătat însă, că starea limită are loc pentru τ lim =± σ k / 2 care corespunde punctelor L şi L’(fig.14.1). D’ -σk

D1 A’ -σk

A σ2

B’ σk

O L’

σ1 C

C1

σk

F

σech = max{σ1 , σ2 , σ3 } ≤ σa (14.7)

E

L

D

Condiţia de rezistenţă conform teoriei Tσ se scire sub forma:

C’

B

Pentru starea plană (14.7) devine: σ ech = max{σ1 , σ 3 }≤ σ a

(14.8)

unde tensiunile principale σ1 ,σ3 se calculează cu formulele (13.154).

Fig. 14.1

σ3

2. Teoria deformaţiei specifice maxime (deformaţiei principale) (Tε ) Conform aceastei teorii, starea limită într-un punct oarecare al corpului se atinge atunci când lungirea specifică maximă atinge valoarea deformaţiei principale εk corespunzătoare stării limită de la întinderea simplă. Condiţia de rezistenţă pentru acest criteriu este : ε max ≤ ε a =

σa , E

(14.9)

unde εa este deformaţia specifică corespunzătoare tensiunii admisibile σa. S-a notat cu ε1 , ε2 , ε3 deformaţiile principale corespunzătoare tensiunilor principale σ1 , σ2 , σ3 şi cu εk deformaţia limită corespunzătoare stării limită de la întinderea simplă, atunci condiţia (14.9) se exprimă prin relaţiile: - εk ≤ ε1 ≤ εk;

- εk ≤ ε2 ≤ εk;

- εk ≤ ε3 ≤ εk.

(14.10)

Ţinând seama de relaţia: σk (14.11) E şi de relaţiile (13.107) care reprezintă legea lui Hooke generalizată, înlocuind în (14.10) se obţin următoarele relaţiile în tensiuni: εk =

180

- σk ≤ σ1 - ν ( σ2 + σ3 ) ≤ σk, - σk ≤ σ2 - ν ( σ3 + σ1 ) ≤ σk,

(14.12)

- σk ≤ σ3 - ν ( σ1 + σ2 ) ≤ σk. În cazul stării plane de tensiune (σ2 = 0) relaţiile (14.12) devin: - σk ≤ σ1 - ν σ3 ≤ σk, - σk ≤ σ3 - ν σ1 ≤ σk

(14.13) care în sistemul de coordonate (σ1, σ3)

σ1=σ3=-σk/(1-ν) -σk

reprezintă interiorul unui paralelogram σ1= -σ3=σk/(1+ν) care este reprezentat în fig. 14.2. Pentru materiale fragile rezultatele obţinute cu Tε sunt mai bune decât cele obţinute prin teoria Tσ.

σk

-σk

σ1

O -σ1= σ3=σk/(1+ν) Fig. 14.2

Condiţia de rezistenţă după teoria Tε , pentru starea generală de solicitare se scrie sub forma:

σk σ3

σ ech = max{σ1 −ν(σ 2 +σ 3 ); σ 2 − ν(σ 3 +σ1 ); σ 3 −ν(σ1 +σ 2 )} ≤ σ a

(14.14)

Pentru starea plană de tensiune (σ2 = 0) relaţia (14.14) se scrie: σ ech = max{σ1 −νσ 3 ; σ 3 − νσ1 }≤ σ a

(14.15)

unde valorile tensiunilor principale σ1 > σ3 se calculează cu formulele (13.154). Înlocuind aceste valori în relaţia (14.15) se obţine: 2

σ +σ  σ −σ  σ ech = (1−ν ) x z + (1+ν )  x z  +τ 2xz ≤ σ a 2  2 

(14.16)

Luând coeficientul lui Piosson ν=0,3 se obţine: σ ech = 0,35(σ x +σ z ) + 0,65 (σ x −σ z ) +4τ 2xz ≤ σ a 2

(14.17)

Iar pentru coeficientul lui Piosson ν=0,25 se obţine formula lui Saint - Venant: 3 (σ x +σ y ) + 5  σ x −σ y 8 4  2

2

 2  +τ xy ≤ σ a 

(14.18)

181

3. Teoria tensiunii tangenţiale maxime (Tτ ) Conform aceastei teorii starea limită într-un corp se atinge atunci când într-un punct din interiorul lui se produc lunecări după planele pe care acţionează tensiunile tangenţiale maxime, sau atunci când tensiunea tangenţială maximă atinge valoarea τk corespunzătoare stării limită de la întinderea simplă. Tensiunile tangenţiale maxime conform (13.60) sunt: σ1 − σ 2 σ − σ3 σ − σ1 ; τ 23 = 2 ; τ 31 = 3 (14.19) 2 2 2 Valoarea tensiunii tangenţiale maxime corespunzătoare stării limită de la (14.20) întinderea simplă este: τ k = σ k / 2 τ12 =

Condiţia de rezistenţă după teoria Tτ , pentru starea generală de solicitare se scrie sub forma: - τk ≤ τ12 ≤ τk;

- τk ≤ τ23 ≤ τk;

- τk ≤ τ31 ≤ τk

(14.21)

sau sub forma: - σk ≤ σ1 - σ2 ≤ σk; - σk ≤ σ1 - σ3 ≤ σk; - σk ≤ σ2 - σ3 ≤ σk

(14.22)

Relaţiile (14.22) reprezintă în sistemul de axe (σ1, σ2, σ3) o prismă hexagonală regulată având ca axă trisectoarea primului treideru: σ1 = σ2 = σ3 . Pentru starea plană de tensiune (σ2 = 0) se obţine un hexagon neregulat (fig.14.3) având ecuaţiile corespunzătoare celor 6 laturi:

-σk B’

σ1 - σ3 = ± σk

L -σk A’

O

σk A

σ1

L’ σk B σ3

Fig. 14.3

σ1 = ± σk

(14.23)

σ3 = ± σk, Se observă că rezultatele obţinute folosind aceatsă teorie coincid cu cele de la teoria Tσ în cadranele I şi III; în cadranele II şi IV, ce corespund unor stări de tensiune cu σ1 ⋅ σ2 < 0, conturul este reprezentat de dreptele AB’ şi A’B.

Se observă că pentru starea limită de forfecare pură σ1 = -σ2 =±τk corespund punctele L şi L’ (fig.14.1), ceea ce este în concordanţă cu rezultatele experimentale. Deoarece teoria Tτ a fost verificată experimental în cazul stării de forfecare pură, ea dă rezultate bune în toate cazurile, cu excepţia stărilor de tensiune apropiate de întinderea uniformă triaxială, în care tensiunile τ sunt foarte mici şi ruperea nu se produce prin lunecări, ci prin smulgere. Se observă că teoria Tτ nu depinde de tensiunea normală pe planul de alunecare şi nici de rezistenţa diferită a materialelor la compresiune şi întindere.

182

Condiţia de rezistenţă după teoria Tτ pentru o stare generală de solicitare se scrie sub forma: σ ech = max{σ1 −σ 2 ; σ1 −σ 3 ; σ 2 −σ 3 }≤ σ a

(14.24)

Pentru o stare plană de tensiuni (σ2 =0) condiţia de rezistenţă (14.24) devine: σ ech = max {σ1 ; σ1 − σ 3 ; σ 3 }≤ σ a

(14.25)

Dacă σ1 ⋅ σ3 < 0, atunci termenul σ1 - σ3 din relaţia (14.25) este cel mai mare şi avem: σ ech = σ1 −σ 3 ≤ σ a

(14.26)

Dacă σ1 ⋅ σ3 > 0, cea mai restictivă este una din condiţiile : σ ech = σ1 ≤ σ a ;

σ ech = σ 2 ≤ σ a

(14.26’)

Întrucât condiţiile de rezistenţă ale teoriei Tτ nu conţin constanta elastică ν, ele pot constitui şi criterii de plasticitate pentru calculul în domeniul plastic. 4. Teoria energiei specifice totale de deformaţie (TE) Această teorie admite că într-un corp nu se atinge starea limită atât timp cât energia potenţială specifică totală U1 corespunzătoare unui element de volum din jurul oricărui punct al său, este inferioară valorii U1k corespunzătoare stării limită de la întinderea simplă: U1 ≤ U1k . Pentru o stare generală de tensiuni energia specifică totală de deformaţie se exprimă conform (13.132) cu relaţia: U1 =

1 2 2 2 [σ1 +σ 2 +σ3 −2ν(σ1 σ 2 +σ 2 σ3 +σ 3 σ1 )], 2E

iar valoarea corespunzătoare pentru solicitarea de întindere simplă (σ1 = σk, = 0) a energiei specifică totală de deformaţie devine: U 1k =

σ 2k 2E

(14.27) σ2 = σ3 (14.28)

Egalând expresiile (14.27) şi (14.28) starea limită după teoria TE se exprimă prin relaţia: σ12 +σ 22 +σ 32 −2ν(σ1σ 2 +σ 2 σ 3 +σ 3 σ1 ) = σ k

(14.29)

Condiţia de rezistenţă după teoria TE se scrie deci sub forma: σ ech = σ12 +σ 22 +σ 32 −2ν(σ1σ 2 +σ 2 σ 3 +σ 3 σ1 ) ≤ σ a

(14.30)

În cazul stării plane de tensiune (σ2=0) se obţine în sistemul de coordonate (σ1, σ3 ) ecuaţia unei elipse având semiaxa înclinată cu α=450 ca în figura 14.4: σ ech = σ12 +σ 32 −2νσ1σ 3 ≤ σ a (14.31)

183 -σk

σ1=σ3=-σk / 2 − 2ν

σ1=-σ3=σk / 2 + 2ν

σ1=σ3=-σk

-σk

L O

-σk

L σk

σ1

L’ σ1=-σ3=-σk / 2 + 2ν

σk σ3

σ1=-σ3=σk / 3

σ1=σ3=σk / 2 − 2ν

σk -σk

O

σ1

L’ σ1=-σ3=-σk / 3

σk Fig. 14.4

σ1=σ3=σk

σ3

Fig. 14.5

5. Teoria energiei specifice de deviaţie TED (sau de variaţie a formei) Teoria energiei specifice de deviaţie (sau de variaţie a formei) se aplică în cazul solicitărilor cu compresiune preponderentă (adică pentru σ1+σ2+σ3 < 0). Ea se bazează pe rezultatele experimentale obţinute cu un corp elastic comprimat uniform triaxial, care rezistă foarte bine în comparaţie cu acelaşi corp elastic comprimat monoaxial. La o compresiune uniformă triaxială se modifică numai volumul faţă de cazul compresiunii monoaxiale când se produce şi o modificare a formei. Această teorie admite deci ca factor preponderent energia potenţială specifică de variaţie a formei. Conform acestei teorii într-un corp se atinge starea limită atunci când energia specifică de deviaţie U1D corespunzătoare unui element de volum din jurul unui punct al său, atinge valoarea U1k corespunzătoare energiei specifice de deviaţie pentru starea limită de la întinderea simplă. Pentru o stare de tensiune oarecare, energia specifică de deviaţie U1D se scrie conform (13.138): 1+ν 2 2 2 U 1D = [σ1 +σ 2 +σ3 −(σ1σ 2 +σ 2 σ3 +σ 3σ1 )], 3E

(14.32)

iar valoarea corespunzătoare pentru solicitarea de întindere simplă (σ1 = σk, σ2 = σ3 = 0) a energiei specifică totală de deformaţie devine: 1+ν 2 U 1Dk = σk . (14.33) 3E Egalând expresiile date de relaţiile (14.32) şi (14.33), stare limită după teoria TED se exprimă prin relaţia: σ12 +σ 22 +σ 32 − (σ1σ 2 +σ 2 σ 3 +σ 3 σ1 )=σ k

(14.34)

Condiţia de rezistenţă după teoria TED se scrie deci sub forma: σ ech = σ12 +σ 22 +σ 32 − (σ1σ 2 +σ 2 σ 3 +σ 3 σ1 ) ≤ σ a

(14.35)

184

care în sistemul de coordonate σ1 , σ2 , σ3 reprezintă un cilindru având ca axă trisectoarea σ1 =σ2 = σ3. Se observă că pentru σ1 =σ2 = σ3 = σm relaţia (14.34) devine σk=0 adică starea limită nu se atinge oricât de mare ar fi σm ; rezultă că trisectoarea nu intersectează suprafaţa limită şi deci cilindrul este deschis atât în zona compresiunilor cât şi a întinderilor triaxiale uniforme. Deci teoria TED este o teorie de lunecare ca şi Tτ. În cazul stării plane de tensiune (intersectând cilindrul cu planul σ2 = 0) se obţine o elipsă (fig.14.5) care trece prin vârfurile hexagonului de la teoria Tτ având ecuaţia: σ12 +σ 32 − σ1σ 3 =σ k

(14.36)

În cazul stării de forfecare pură (σ1 =-σ2 =± τ) starea limită este reprezentată de punctele L şi L’ , astfel încât rezultă valoarea limită a tensiunii: (14.37) τ k = σ k / 3 =0 ,577σ k care este foarte apropiată de cea determinată experimental (τ=0,5 σk). Prin urmare, teoria TED prezintă aceleaşi avantaje ca teoria Tτ având avantajul că exprimă condiţia de rezistenţă printr-o singură relaţie şi ia în consideraţie şi influenţa tensiunii intermediare σ2, datorită căreia suprafaţa limită de la Tτ (prismă) sa transformat într-un cilindru. Observaţii 1) Teoria aceasta prezintă aceleaşi dezavantaje ca şi teoria Tτ , adică nu poate fi aplicată la stări de tensiune apropiate starea de întinderea triaxială uniformă. 2) La fel ca şi teoria Tτ , teoria TED, neconţinând constante elasice poate fi folosită sub forma relaţiilor (14.34) şi (14.35) ca un criteriu de plasticitate pentru calculul în domeniul elasto - plastic.

14.3. Teoria lui Mohr (TM) Ca şi teoria Tτ , teoria lui Mohr admite că starea limită se atinge când într-un punct din interiorul corpului se produc lunecări după planele pe care acţionează tensiunile tangenţiale maxime, prin lunecare. Altfel exprimat, primele deformaţii de lunecare apar atunci când tensiunea tangenţială maximă (τ) dintr-un plan atinge o anumită valoare care depinde de tensiunea normală (σ) din planul de lunecare. Aceasta dependenţă τ = f(σ) reprezintă în sistemul de coordonate (τ ,σ) o curbă care este denumită curba intrinsecă de rezistenţă sau înfăşurătoarea lui Mohr, simetrică faţă de axa σ . Pentru o stare spaţială de tensiune cu σ1 > σ2 > σ3, am văzut la paragraful 13.1.7.d că tensiunile σ şi τ corespunzătoare unei stări limită pot fi reprezentate în sistemul de coordonate (τ, σ) prin cele trei cercuri ale lui Mohr (fig. 14.6).

185

Se observă că valoarea maximă σ1 −σ3 (14.38) 2 este dată de raza cercului mare C2. Pentru a nu depăşi starea limită trebuie ca cercul mare a lui Mohr, pentru orice solicitare posibilă, să nu intersecteze curba intrinsecă (la limită să fie tangent la această curbă). τ max =τ 2 =

τ

O

C1

C2

σ

C3

Dacă se consideră o serie de cercuri ale lui Mohr de diametre σ1 σ3, reprezentând diferite stări limită corespunzătoare diferitelor tipuri de solicitare, curba intrinsecă reprezintă înfăşurătoarea acestor cercuri (fig.14.7).

σ1 σ2 σ3 Fig. 14.6

Teoria lui Mohr, întâmpină dificultăţi din cauza necunoaşterii curbelor intrinseci pentru diferite materiale. De aceea, în calcule se utilizează o schematizare curbei lui Mohr prin două linii drepte tangente la cercurile limită corespunzătoare solicitărilor de întindere şi compresiune simplă (fig.14.8). τ

C2

C0

O

C3

C1

C4 C5 σm

Fig. 14.7 G

τ

E σac

C2

D

F σ3

O

C

C1 σ1

σat

Fig. 14.8

σ

σ

186

Se notează cu σat tensiunea admisibilă la tracţiune şi cu σac tensiunea admisibilă la compresiune . Cercurile având centrele C1 şi C2 au respectiv razele σ σ RC1 = at , RC 2 = ac . Din asemănarea triunghiurilor C1CF şi C1C2E rezultă proporţio2 2 nalitatea laturilor , adică: C1C F C = (14.39) C1C2 EC 2 σ σ −σ unde: C1 C =OC1 −OC = at − 1 3 2 2 σ σ (14.40) C1 C2 =C2 O+OC1 = at + ac 2 2 σ +σ σ F C =C D−F D= 1 3 − at 2 2 σ σ EC 2 =C 2 G − EG = ac − at 2 2 Inlocuind relaţia (14.40) în (14.39) şi luând în faţa lui σac semnul minus, (limita la compresiune fiind dată pozitivă), se obţine următoarea relaţie: σ σ1 − at ⋅σ3 =σ at (14.41) σ ac σ Notând K = at , relaţia (14.41) devine relaţia lui Mohr : σ ac σech = σ1 - K σ3 (14.42) Acestă relaţie care exprimă tensiunea echivalentă conform teorirei lui Mohr, în cazul particular al materialelor care rezistă la fel la întindere şi la compresiune (σat = σac , K=1) devine condiţia de rezistenţă corespunzătoare teoriei tensiunii tangenţiale maxime Tτ: σech = σ1 - σ3 (14.43) În cazul forfecării pure (σ1 = - σ3 = τ) relaţia (14.42) se scrie: σ τ ech = ech (14.44) τ + K τ = σech sau 1+ K În cazul stării plane de tensiune (σ1, σ3 ) condiţia de rezistenţă se exprimă: σech = σ1 - Kσ3 ≤ σa (14.45) Relaţia (14.45) reprezintă, pentru cazul stării plane de tensiune cu σ1 ≥ σ3, o generalizare a teoriilor clasice prezentate mai sus. Astfel: - pentru K = 0, se obţine Tσ şi Tτ (varianta σ1 ⋅ σ2 > 0 ) ; - pentru K = 1, se obţine Tτ (varianta σ1 ⋅ σ2 < 0 ) ; - pentru K = ν = 0,3 se obţine Tε ; σ se obţine TM ; K = at - pentru σ ac

187

Dezavantaje ale teoriei - neglijarea influenţei tensiunii intermediare care are drept consecinţă faptul că nu dă o reprezentare corectă a ruperilor din vecinătatea întinderilor uniforme triaxiale, pentru care se recomandă aplicarea teoriei Tσ . Experienţele au arătat că arătat că niciuna din teoriile de rezistenţă nu s-a impus ca o teorie general valabilă. Totuşi, în majoritatea stărilor de tensiune teoria lui Mohr, cazul ei particular, teoria tensiunii tangenţiale maxime şi teoria energiei de deformaţie modificatoare de formă (de deviaţie ) dau rezultatele cele mai apropiate de cele obţinute experimental.

188

189

BIBLIOGRAFIE 1. Atanasiu, M.- Metode analitice noi în Rezistenţa materialelor. Ed. U.P.B. 1994 2. Buzdugan, Gh. - Rezistenţa materialelor. Ed.Academiei, Bucureşti 1986 3. Buzdugan, Gh. s.a. - Culegere de probleme din Rezistenţa Materialelor E.D.P. Bucureşti 1979 4. Bucura I, Constantinescu E, Alexandrescu I, - Rezistenţa Materialelor Culegere de probleme. Vol. 1. Ed. Tehnică. Bucureşti 1997 5. Creţu, A- Rezistenţa materialelor. Probleme alese. Ed. Univ. Tehnice Cluj Napoca 1993 6. Drobotă, V. - Rezistenţa materialelor. Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1982 7. Deutsch, I.s.a. - Probleme din Rezistenţa materialelor. Ed. Did. şi Pedagogică Bucureşti 1986 8. Iliescu, N., Jiga, G. , Hadar A.- Teste grilă de Rezistenţa materialelor. Ed. Printech, Bucureşti 2000 9. Mirolioubov, I, et coll, - Problemes de Rezistance des materiaux, Ed. Mir Moscou, 1977 10.Petrescu, Gh., Marin, M.- Rezistenţa materialelor. Ed.Certi Craiova 1994 11.Posea, N. s.a. - Rezistenţa materialelor. Probleme. Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică Bucureşti 1986 12.Radu, Gh., Munteanu M. Gh. –Rezistenţa materialelor şi elemente de Teoria elasticităţii. Vol. 1, 2. Ed. Macarie Târgovişte, 1994 13.Stepine, P.- Rezistance des materiaux, Ed. Mir Moscou, 1986 14.Tudose I., s.a - Rezistenţa materialelor. Aplicaţii. Ed. Tehnică, Bucureşti 1990