Estadistica Y Probabilidades

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAÉN CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

GUÍA DE APRENDIZAJE SEMANA N°12

Curso: Estadística y Probabilidades. Docente: Rosario Yaqueliny Llauce Santamaria.

Jaén- Perú, agosto 2020

Índice 1

INTRODUCCIÓN. ................................................................................................................................3

2

CONTENIDO TEMÁTICO ..................................................................................................................3

3

DESARROLLO .....................................................................................................................................4 3.1 ESTIMACIÓN PUNTUAL .......................................................................................................... 5 3.2 ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA ............................................................... 6 3.2.1

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL 𝜇..........................7

3.3 I. C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES 𝜇1 − 𝜇2 ........................... 12 4

ACTIVIDAD Y EVALUACION ........................................................................................................17 4.1 Actividad N° 1 : Reforzamiento ................................................................................................ 17 4.2 Evaluacion de la Actividad N° 1 : .............................................................................................. 18

5

GLOSARIO .........................................................................................................................................19 5.1 Siglas .......................................................................................................................................... 19 5.2 Glosario ...................................................................................................................................... 19

6

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................19

2

1

INTRODUCCIÓN.

Los métodos más utilizados en inferencia estadística son los intervalos de confianza y las pruebas de significación. Ambos métodos son un producto del siglo XX. A partir de un complejo y a veces confuso origen, las pruebas estadísticas tomaron su forma actual en los escritos de R. A. Fisher. Los intervalos de confianza aparecieron en 1934 gracias al ingenio de Jerzy Neyman (1894-1981). El principal objetivo de la Estadística es inferir o estimar características de una población que no es completamente observable (o no interesa observarla en su totalidad) a través del análisis de una parte de ella a la que llamamos muestra. Lo que se hace es analizar la muestra y extrapolar conclusiones desde la muestra a la población. Ahora bien, para considerar válidas en la población las conclusiones obtenidas en la muestra, ésta ha de representar bien a la población (representativa). Por lo tanto, la selección de la muestra es de suma importancia, y para ello hay diversos métodos (métodos de muestreo). Cuando se intuye que la característica en estudio puede presentar valores homogéneos Dado el desarrollo acelerado de la Ciencia y la Técnica en estos tiempos, cada día crecen de forma continua las investigaciones en esta rama del saber y con ello los problemas en donde es necesaria la utilización de técnicas estadísticas para el análisis y obtención de resultados en forma racional. Por consiguiente, los futuros ingenieros y científicos deben tener una amplia y adecuada preparación estadística, que comprende además de los conocimientos teóricos que abarca esta rama de la matemática, una correcta interpretación de los resultados de la investigación y la utilización de las herramientas de cómputo tan eficaces en la actualidad, ya que son muy útiles para comparar distribuciones y comprender los riesgos en la toma de decisiones. En esta sesión de aprendizaje, aprenderemos a tomar decisiones Mediante estimaciones de parámetros, estimación por intervalo, intervalos de confianza para la media y diferencia de medias poblacionales con sus respectivas reglas, para tal fin además de las guía de aprendizaje semanal, contarán con materiales complementarios como capítulos de libros, problemas resueltos, que servirán para reforzar el aprendizaje. 2

CONTENIDO TEMÁTICO  Estimación de Parámetros: estimación puntual  Estimación por intervalos  Intervalos de confianza para la media poblacional  Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales

3

3

DESARROLLO Estadística Inferencial

Población (N)

Muestra (n)

𝜇

𝑋̅

𝜎2

𝑆2

𝜋

𝑝

Parámetros

Estadísticos

INFERENCIA ESTADÍSTICA ̂ Estimador (𝜃 = 𝜃) Proceso de utilizar información de una muestra (Estadísticos) para extraer conclusiones acerca de toda la población. Media poblacional (𝜇)

𝑢̂ = 𝑋̅

Varianza Poblacional(𝜎 2 )

𝜎̂ 2 = 𝑆 2

Proporción Poblacional (𝜋)

𝜋̂ = 𝑃

Insesgado Consistente Eficiente Suficiente

La inferencia estadística comprende  La estimación de parámetros(Estimación puntual y por intervalos)  Prueba de Hipótesis

4

Métodos de estimación

Estimación puntual Utilización de datos de la muestra para calcular un solo número para estimar el parámetro de interés.

3.1

Estimación de intervalo ofrece un intervalo de valores razonables dentro del cual se pretende que esté el parámetro de interés:𝜃 𝜇, 𝜎, 𝜋

ESTIMACIÓN PUNTUAL Media Poblacional (𝜇) 𝜇̂ = 𝑋̅ =

∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑛

Varianza Poblacional (𝜎 2 ) 𝜎̂ 2 = 𝑆 2 =

∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2 𝑛−1

Proporción poblacional (𝜋) 𝜋̅ = 𝑃 =

𝑋 𝑛

Ejemplo: De la población de tallas de los estudiantes de la UNJ 2019, se extrae una muestra aleatoria de 8 alumnos, cuyos valores observados son: 1.50 1.60

1.58 1.45 1.52

1.68 1.62 1.55

Halle un estimador puntual para la media, la varianza y la desviación estándar poblacionales. Solución: 𝑛

Media

∑ 𝑋𝑖 𝜇̂ = 𝑋̅ = 𝑖=1 𝑛

= Varianza

1.5 + 1.6 + 1.58 + 1.45 + 1.52 + 1.68 + 1.62 + 1.55 = 1.56 𝑚𝑡 8

𝜎̂ 2 = 𝑆 2 =

∑81(𝑋𝑖 −𝑋̅)2 𝑛−1

=

(1.5 − 1.56)2 + (1.6 − 1.56)2 + ⋯ + (1.55 − 1.56)2 8−1 = 0.0053 𝑚𝑡 2 5

Desviación estándar 𝑠 = √𝑠 2 𝑆 = √0.0053𝑚𝑡 2 = 0.0728 Error Muestral (𝑒) Viene hacer la diferencia entre la Media Aritmética de una Muestra 𝑋 y la Media Poblacional 𝜇 𝑒 = 𝑋̅ − 𝜇 Ejemplo: Hallar el error muestral de la edad promedio de una población de adolescentes, si de esta se extrae una muestra aleatoria de 25 adolescentes, siendo los resultados obtenidos Media de la muestra 12, y Media de la población 15. 𝑒 = 12 − 15 = −3 3.2

ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA

Especifica el rango dentro del cual está el parámetro desconocido y el nivel de confianza que el intervalo contiene del parámetro. Por lo tanto se llama intervalo de confianza. En base a una muestra aleatoria y la correspondiente estadística 𝜃̂, se trata de encontrar un intervalo [𝐿1 , 𝐿2 ] llamado Intervalo de Confianza que debe contener el parámetro (𝜃) con una probabilidad dada (1 − 𝛼) llamado nivel de confianza. Si 𝜃̂ es una estadística

El intervalo [𝐿1 , 𝐿2 ] es un intervalo aleatorio ya que sus extremos 𝐿1 𝑦 𝐿2 dada una muestra aleatoria y un nivel de confianza (1 − 𝛼) y decir que se tiene confianza del 100(1 − 𝛼)% que el intervalo contiene el valor desconocido (𝜃). Por ejemplo: Si 1 − 𝛼 = 0.95, se dice que se tiene una confianza del 95% que el intervalo contenga el valor desconocido (𝜃); o bien, de 100 intervalos aleatorios que se tomen 95 de las veces contendrá el parámetro y sólo 5 veces no lo contendrá. 6

Estudiaremos la estimación de intervalos de confianza para la media poblacional. Y diferencia de las medias poblacionales. 3.2.1

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL (𝜇)

7

𝑪ASO 𝟏: Tamaño de la muestra 𝑛 ≥ 30 “Utilizando la estadística Z” ̅− 𝑍 𝛼∗ [𝑿 1− 2

𝜎 √𝑛

̅+ 𝑍 𝛼∗ ≤𝜇≤ 𝑿 1− 2

𝐿𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑪ASO 2: Tamaño de la muestra 𝑛 < 30

√𝑛

]

𝐿𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

“Utilizando la estadística T”

̅− 𝑇 𝛼 ∗ [𝑿 (1− ; 𝑛−1) 2

𝜎

𝑆 √𝑛

̅+ 𝑇 𝛼 ≤𝜇≤ 𝑿 ∗ (1− ; 𝑛−1) 2

𝑆 √𝑛

]

Observación: Si el muestreo es con o sin reemplazo en una población infinita (o con sustitución en una población finita de tamaño N), el error estándar de la media muestral es:  𝜎𝑋̅ =

𝜎 √𝑛

 𝑆𝑋̅ =

𝑆 √𝑛

Si el muestreo es sin reemplazo en una población finita de tamaño N, el error estándar de la media muestral es:  𝜎𝑋̅ =

𝜎 𝑁− 𝑛 √ √𝑛 𝑁−1

 𝑆𝑋̅ =

𝑆 𝑁− 𝑛 √ 𝑛 𝑁−1 √

𝑁− 𝑛

Donde: √ 𝑁−1

es el factor de corrección para población finita.

Ejemplos: 1. Una compañía desea estimar la duración media de tiempo que necesita una secretaria para llegar del trabajo a su casa. En una muestra al azar de 40 secretarias se encuentra que la media es de 𝑋̅ = 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠.Suponiendo que 𝜎 = 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 y el coeficiente de confianza del 95%, construir un intervalo de confianza para la media poblacional. Recuerda: Primeramente tenemos que observar el valor de la muestra y tener en cuenta si la muestra es: 8

𝒏 ≥ 𝟑𝟎 Utilizamos el Primer caso 𝒏 < 𝟑𝟎 Utilizamos el Segundo caso

Solución: -

Sea X: el tiempo en minutos que emplea una secretaria para llegar del trabajo a su casa, cuya media se quiere estimar a partir de una muestra de tamaño n = 40

-

Se conoce que 𝑋̅ = 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝜎 = 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

-

Usamos la estadística Z , 𝒏 ≥ 𝟑𝟎 : Caso 1

-

Para el nivel de confianza 1 − 𝛼 = 0.95 , el valor de 𝑍0 = 1.96 Recordamos: 𝒁𝟎 -

El 0.95 obtengo del enunciado del

calculamos el nivel de confianza 𝟏 − 𝛂 = 𝟎. 𝟗𝟓

ejercicio

𝛼 = 1 − 0.95 𝛂 = 𝟎. 𝟎𝟓 -

Reemplazamos en 𝑍1−𝛼

El valor 0.975 lo ubicamos en la tabla

2

estadística de distribución normal Z

𝟎. 𝟎𝟓 1− = 0.975 2

Y obtenemos el valor 1.96

9

Reemplazamos en la fórmula CASO 1 ̅− 𝑍 𝛼∗ [𝑿 1− 2

[𝟔𝟎 − 𝟏. 𝟗𝟔 ∗

𝜎 √𝑛

𝟏𝟓 √𝟒𝟎

̅+ 𝑍 𝛼∗ ≤𝜇≤ 𝑿 1− 2

𝜎 √𝑛

≤ 𝝁 ≤ 𝟔𝟎 + 𝟏. 𝟗𝟔 ∗

]

𝟏𝟓

] √𝟒𝟎

[𝟓𝟓. 𝟑𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 ≤ 𝝁 ≤ 𝟔𝟒. 𝟔𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔] Interpretación: Se tiene una confianza del 95% que el tiempo medio que emplea una secretaria para llegar del trabajo a su casa varía de entre 55.35 y 64.65 minutos. 2. Los siguientes datos corresponden a sueldos en soles de ingenieros en arreglar un motor. 220

320

180

250

350

250

190

220

210

220

200

215

310

300

330

Suponiendo que la población está distribuida normalmente, construir e intervalo de confianza del 95% para los ingenieros en arreglar un motor. Solución: -

Sea X: ingenieros en arreglar un motor.

-

𝒏 = 𝟏𝟓 (muestra pequeña n < 30)

-

Calculamos el promedio y la desviación estándar de los datos dados. ̅ = 𝟐𝟓𝟏 𝑿

y 𝑺 = 𝟓𝟔. 𝟎𝟎𝟒

-

Usamos la estadística T. Caso 2

-

Para un nivel de confianza del 95% el valor de 𝑡0 es: 𝑡0 = 𝑡𝟎.𝟗𝟕𝟓,14 = 2.145 Dónde: n =15 aplicando la fórmula de los grados de libertad n -1 = 15 - 1 = 14 𝑡𝟎.𝟗𝟕𝟓;14 -

Ubicamos en tabla t-student 0,975 , 14 = 2.145

Reemplazamos en la fórmula CASO 2 ̅− 𝑇 𝛼 ∗ [𝑿 (1− ; 𝑛−1) 2

[251 − 𝟐. 𝟏𝟒𝟓 ∗

𝑆 √𝑛

̅+ 𝑇 𝛼 ≤𝜇≤ 𝑿 ∗ (1− ; 𝑛−1) 2

56.004 √15

𝑆 √𝑛

≤ 𝜇 ≤ 25 + 𝟐. 𝟏𝟒𝟓 ∗

[𝟐𝟏𝟗. 𝟗𝟖 ≤ 𝜇 ≤ 25 + 𝟐𝟖𝟐. 𝟎𝟐 ]

10

]

56.004 √15

]

Interpretación: Los sueldos de los ingenieros en arreglar un motor varían de entre S/ 219.98 y S/282.02 con una confianza del 95% 3. De un lote de 2200 calculadoras científicas se probó 81 al azar. La vida promedio en la muestra fue de 3.2 años con una desviación estándar de 0.9 años. Construya un intervalo de confianza del 95% para la vida media de las calculadoras científicas Solución: Si se conoce población , le aumento el factor de corrección a la fórmula

-

Sea X: El tiempo de vidas en años de las calculadoras científicas

-

N= 2200 (población finita)

-

̅ = 𝟑. 𝟐 𝒂ñ𝒐𝒔 y 𝝈 = 𝟎. 𝟗 𝒂ñ𝒐𝒔 n = 81 con 𝑿

-

Usamos Z – CASO 1 , pero aumentados el factor de corrección en la fórmula

-

Para el nivel de confianza 𝟏 − 𝜶 = 0.95 , el valor de 𝒁𝟎 = 𝟏. 𝟗𝟔

Reemplazamos en la fórmula: ̅− 𝑍 𝛼∗ [𝑿 1− 2

[𝟑. 𝟐 − 𝟏. 𝟗𝟔 ∗

𝜎

𝑁−𝑛 𝜎 𝑁−𝑛 ̅+ 𝑍 𝛼∗ √ √ ≤𝜇≤ 𝑿 ] 1− 2 √𝑛 𝑁 − 1 √𝑛 𝑁 − 1

𝟎. 𝟗

𝟐𝟐𝟎𝟎 − 𝟖𝟏 𝟎. 𝟗 𝟐𝟐𝟎𝟎 − 𝟖𝟏 √ √ ≤ 𝜇 ≤ 𝟑. 𝟐 + 𝟏. 𝟗𝟔 ∗ ] √𝟖𝟏 𝟐𝟐𝟎𝟎 − 𝟏 √𝟖𝟏 𝟐𝟐𝟎𝟎 − 𝟏 [𝟑. 𝟎𝟎𝟖 𝑎ñ𝑜𝑠 ≤ 𝜇 ≤ 𝟑. 𝟑𝟗𝟐 𝒂ñ𝒐𝒔]

Interpretación: Se tiene una confianza del 95% de que el tiempo de vida media de las calculadoras científicas varía entre de 3.008 y 3.392 años.

11

I. C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES 𝜇1 − 𝜇2

3.3

UTILIZANDO EL ESTADÍSTICO Z 𝑪ASO 𝟏 :Varianza Poblacional Conocida (MUESTRAS ≥ 30)

•

𝝈𝟐 𝝈𝟐 𝝈𝟐 𝝈𝟐 ̅𝟏 − 𝑿 ̅ 𝟐 ) − 𝒁 𝜶 √ 𝟏 + 𝟐 ≤ (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ) ≤ (𝑿 ̅𝟏 − 𝑿 ̅ 𝟐) + 𝒁 𝜶 √ 𝟏 + 𝟐 (𝑿 𝟏− 𝟏− 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝟐 𝟐 UTILIZANDO EL ESTADÍSTICO T



𝑪ASO 2 : Varianza Poblacional desconocida pero iguales 𝝈𝟐𝟏 = 𝝈𝟐𝟐

(MUESTRAS < 30)

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ̅𝟏 − 𝑿 ̅ 𝟐) − 𝑻 𝜶 ̅𝟏 − 𝑿 ̅ 𝟐 ) + 𝑻 𝜶 𝑺𝒑 ∗ √ + (𝑿 ∗ 𝑺𝒑 ∗ √ + ≤ (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ) ≤ (𝑿 (𝟏− ;𝑮𝒍) (𝟏− ;𝑮𝒍) 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝟐 𝟐 Donde:

𝑮𝒍 = 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 𝑮𝒍 = 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟐 𝑺𝒑 = 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 (𝒏𝟏 − 𝟏)𝑺𝟐𝟏 + (𝒏𝟐 − 𝟏)𝑺𝟐𝟐 𝑺𝒑 = √ 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟐 12

𝑪ASO 3: Varianza Poblacional desconocida pero diferentes 𝝈𝟐𝟏 ≠ 𝝈𝟐𝟐



̅𝟏 − 𝑿 ̅ 𝟐 ) − 𝑻 𝜶 √( (𝑿 (𝟏− ;𝑮𝒍) 𝟐

(MUESTRAS < 30)

𝑺𝟐𝟏 𝑺𝟐𝟐 𝑺𝟐 𝑺𝟐 ̅𝟏 − 𝑿 ̅ 𝟐 ) + 𝑻 𝜶 𝑺𝒑 √( 𝟏 + 𝟐 ) + ) ≤ (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ) ≤ (𝑿 (𝟏− ;𝑮𝒍) 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝟐

Donde:

𝒈𝒍 =

𝑺𝟐 𝑺𝟐 (𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝟐

𝑺𝟐 (𝒏𝟏 ) 𝟏

𝟐

𝑺𝟐 (𝒏𝟐 )

𝟐

𝟐

𝒏𝟏 − 𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟏 Ejemplos: 1. Un alumno de la UNJ en su tesis pretende comparar el contenido de CO2 que emanan 2 tipos de vehículos deportivos nuevos (Speeddy, Correcaminos), para ello toma 10 muestras en el primero y 8 en el segundo. En el primero encuentra un contenido medio de 3.1 PPM y 2.7 PPM y una desviación estándar de 0.5 y 0.7 respectivamente. Suponiendo que los conjuntos de datos provienen de muestras tomadas al azar de poblaciones normales con varianzas iguales, construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia real de contenido de CO2 Solución: Aplicamos CASO 2 Datos Población: No hay datos

Datos Muestra: Speedy

𝝈𝟐𝟏 = 𝝈𝟐𝟐

Nivel de confianza NC = 𝟏 − 𝜶 = 0.95

(𝟏−

𝒏𝟏 = 𝟏𝟎

𝒏𝟐 = 𝟖

̅ 𝟏 = 𝟑. 𝟏 𝑿

̅ 𝟐 = 𝟐. 𝟕 𝑿

𝑺𝟏 = 𝟎. 𝟓

𝑺𝟐 = 𝟎. 𝟕

(𝟏𝟎 − 𝟏)𝟎. 𝟓𝟐 + (𝟖 − 𝟏)𝟎. 𝟕𝟐 𝑺𝒑 = √ 𝟏𝟎 + 𝟖 − 𝟐

𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝑻

Correcaminos

𝑺𝒑 = 0.596

𝟎.𝟎𝟓 ;𝒈𝒍) 𝟐

𝒈𝒍 = 𝟏𝟎 + 𝟖 − 𝟐 = 𝟏𝟔 13

𝑻(𝟎.𝟗𝟕𝟓 ;𝟏𝟔) = 𝟐. 𝟏𝟐𝟎

𝑿𝒊 = 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒆𝒏𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝑶𝟐 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝟐 𝒗𝒆𝒉𝒊𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 Reemplazamos en la fórmula.

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ̅𝟏 − 𝑿 ̅ 𝟐) − 𝑻 𝜶 ̅𝟏 − 𝑿 ̅ 𝟐) + 𝑻 𝜶 (𝑿 ∗ 𝑺𝒑 √ + ≤ (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ) ≤ (𝑿 ∗ 𝑺𝒑 √ + (𝟏− ;𝑮𝒍) (𝟏− ;𝑮𝒍) 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝟐 𝟐

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 (𝟑. 𝟏 − 𝟐. 𝟕) − 𝟐. 𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝟎. 𝟓𝟗𝟔 ∗ √ + ≤ (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ) ≤ (𝟑. 𝟏 − 𝟐. 𝟕) + 𝟐. 𝟏𝟐𝟎 ∗ 𝟎. 𝟓𝟗𝟔 ∗ √ + 𝟏𝟎 𝟖 𝟏𝟎 𝟖

−𝟎. 𝟏𝟗𝟗 ≤ (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ) ≤ 𝟎. 𝟗𝟗𝟗

Interpretación: con el 95% de confianza, la verdadera diferencia media del contenido de 𝐶𝑂2 que emanan los 2 vehículos, encuentre -0.199 y 0.999 2. En un estudio para determinar si hay diferencia en el salario semanal de los hombres y las mujeres de una gran empresa se toma una muestra de 18 hombres encontrándose un promedio de S/. 420 y una desviación estándar de S/. 50, mientras que en una muestra de 15 mujeres se encontró un promedio de S/. 360 y una desviación estándar de S/. 90. Se pide encontrar el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de los salarios medios de hombres y mujeres. En dicho país se sabe que los sueldos medios semanales tienen una variabilidad diferente Solución: Aplicamos CASO 3 Datos Población:

Datos Muestra:

No hay datos

Hombres

Mujeres

𝝈𝟐𝟏 ≠ 𝝈𝟐𝟐

𝒏𝟏 = 𝟏𝟖

𝒏𝟐 = 𝟏𝟓

̅ 𝟏 = 𝟒𝟐𝟎 𝑿

̅ 𝟐 = 𝟑𝟔𝟎 𝑿

𝑺𝟏 = 𝟓𝟎

𝑺𝟐 = 𝟗𝟎

14

𝟐

Nivel de confianza NC = 𝟏 − 𝜶 = 0.95

𝒈𝒍 =

𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝑻

(𝟏−

𝟓𝟎𝟐 𝟗𝟎𝟐 ( + ) 𝟏𝟖 𝟏𝟓 𝟐

𝟐

𝟗𝟎𝟐 𝟓𝟎𝟐 ( ) ( 𝟏𝟖 ) 𝟏𝟓 + 𝟏𝟖 − 𝟏 𝟏𝟓 − 𝟏

= 20.98 ≅ 𝟐𝟏

𝟎.𝟎𝟓 ;𝒈𝒍) 𝟐

𝑻(𝟎.𝟗𝟕𝟓 ;𝟐𝟏) = 𝟐. 𝟎𝟖𝟎 𝑿𝒊 : 𝑺𝒂𝒍𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒔𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝑯𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒚 𝒎𝒖𝒋𝒆𝒓𝒆𝒔. Reemplazamos en la fórmula ̅𝟏 − 𝑿 ̅ 𝟐 ) − 𝑻 𝜶 √( (𝑿 (𝟏− ;𝑮𝒍) 𝟐

𝑺𝟐𝟏 𝑺𝟐𝟐 𝑺𝟐 𝑺𝟐 ̅𝟏 − 𝑿 ̅ 𝟐 ) + 𝑻 𝜶 𝑺𝒑 √( 𝟏 + 𝟐 ) + ) ≤ (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ) ≤ (𝑿 (𝟏− ;𝑮𝒍) 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝟐

𝟓𝟎𝟐 𝟗𝟎𝟐 (𝟒𝟐𝟎 − 𝟑𝟔𝟎) − 𝟐. 𝟎𝟖𝟎√( + 𝟏𝟖 𝟏𝟓

𝟓. 𝟖𝟎𝟓

𝟓𝟎𝟐 𝟗𝟎𝟐 ≤ (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ) ≤ (𝟒𝟐𝟎 − 𝟑𝟔𝟎) + 𝟐. 𝟎𝟖𝟎√( + 𝟏𝟖 𝟏𝟓

≤ (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ) ≤ 𝟏𝟏𝟒. 𝟐𝟎

Interpretación: La diferencia entre los salarios medios semanales de hombres y mujeres se encuentra comprendido entre S/.5.805 y S/.114.2 con el 95% de confianza. 3. En un estudio para determinar el gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B, se toma una muestra al azar de 200 hogares de A arrojando un gasto medio de S/. 250 y una desviación estándar de 15. Una muestra al azar de 180 hogares de la ciudad B da un gasto medio de 235 y una desviación estándar de 10. a) Determine un intervalo de confianza del 99% para la diferencia del gasto medio en las ciudades A y B. b) Es diferente el gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B? Solución: a) Aplicamos CASO 1 𝑋𝑖 = 𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.

15

Datos Población:

Datos Muestra:

No hay datos

A 𝒏𝟏 = 𝟐𝟎𝟎

B 𝒏𝟐 = 𝟏𝟖𝟎

̅ 𝟏 = 𝟐𝟓𝟎 𝑿

̅ 𝟐 = 𝟐𝟑𝟓 𝑿

𝝈𝟏 = 𝟏𝟓

𝝈𝟐 = 𝟏𝟎

Nivel de confianza NC = 𝟏 − 𝜶 = 0.99 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟏 𝒁

(𝟏−

𝟎.𝟎𝟏 ) 𝟐

𝒁(𝟎.𝟗𝟗𝟓 ) = 𝟐. 𝟓𝟖 Reemplazando en la fórmula. 𝝈𝟐𝟏 𝝈𝟐𝟐 𝝈𝟐𝟏 𝝈𝟐𝟐 ̅ ̅ ̅ ̅ √ √ (𝑿𝟏 − 𝑿𝟐 ) − 𝒁𝟏−𝜶 + ≤ (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ) ≤ (𝑿𝟏 − 𝑿𝟐 ) + 𝒁𝟏−𝜶 + 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟓𝟐 𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟓𝟐 𝟏𝟎𝟐 (𝟐𝟓𝟎 − 𝟐𝟑𝟓) − 𝟐. 𝟓𝟖√ + ≤ (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ) ≤ (𝟐𝟓𝟎 − 𝟐𝟑𝟓) − 𝟐. 𝟓𝟖√ + 𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟖𝟎

𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ≤ (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ) ≤ 𝟏𝟖. 𝟑𝟒

Interpretación: con el 99% de confianza, la diferencia del gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B se encuentra entre S/.11.66 y 18.34 b) Solución : Responder a la pregunta ¿Es diferente el gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B? implica responder si ¿ 𝐴 ≠ 𝐵? O también ¿𝐴 − 𝐵 ≠ 0? Si apreciamos el intervalo de confianza construido en 𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ≤ (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ) ≤ 𝟏𝟖. 𝟑𝟒 Interpretación: 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 no puede ser cero, es decir, el gasto medio mensual en arbitrios en ambas ciudades es diferentes.

16

4 4.1

ACTIVIDAD Y EVALUACION Actividad N° 1 : Reforzamiento 1. Construya un intervalo de confianza del 94% para la diferencia real entre las duraciones de dos marcas de focos, si una muestra de 40 focos tomada al azar de la primera marca dio una duración media de 418 horas, y una muestra de 50 focos de otra marca dieron una duración media de 402 horas. Las desviaciones estándares de las dos poblaciones son 26 horas y 22 horas, respectivamente. 2. Cierto metal se produce, por lo común, mediante un proceso estándar. Se desarrolla un nuevo proceso en el que se añade una aleación a la producción del metal. Los fabricantes se encuentran interesados en estimar la verdadera diferencia entre las tensiones de ruptura de los metales producidos por los dos procesos. Para cada metal se seleccionan 12 ejemplares y cada uno de éstos se somete a una tensión hasta que se rompe. La siguiente tabla muestra las tensiones de ruptura de los ejemplares, en kilogramos por centímetro cuadrado: Proceso estándar

446

401

476

421

459

438

481

411

456

427

459

445

Proceso nuevo

462

448

435

465

429

472

453

459

427

468

452

447

Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos distribuciones normales e independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 95% y 99% para la diferencia entre los dos procesos. Interprete los resultados 3. Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7. Determine el intervalo de confianza del 95%, donde la muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A y una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B. 4. Se ha tomado una muestra aleatoria de 50 artículos producidos por una industria y se obtuvo que la media muestral del peso de los artículos fue 165gr. Con una desviación estándar de 40 gr. Encuentre un intervalo para la media poblacional, con un nivel de confianza del 98% 5. De una población con distribución desconocida se tomó una muestra aleatoria de tamaño 40 y se obtuvo una media de 6..2 y una desviación estándar de 16.Construya un intervalo de confianza de 90% para la media poblacional 6. Un fabricante de pintura desea determinar el tiempo promedio de secado de una nueva pintura. En 36 pruebas realizadas obtuvo un tiempo de secado medio de 64.2 minutos con una desviación estándar de 8.5 minutos. Construya un intervalo de confianza del 95% para la media del tiempo de secado de la nueva pintura. 7. De una población con distribución normal se tomó una muestra aleatoria de 4 observaciones obteniéndose : 9.4 ,12.2 , 10.7 , 11.6 Encuentre un intervalo para la media poblacional con un nivel de confianza de 90% 17

8. De una población con distribución normal y varianza 225 se tomó una muestra aleatoria de tamaño 20 y se obtuvo una media de 64.5.Construya un intervalo de confianza de 95% para la media poblacional 9. Un fabricante sostiene que al menos el 95% de los equipos que envió a una fábrica está acorde con las especificaciones técnicas. Una revisión de un amuestra de 200 piezas reveló que 18 eran defectuosas. Presente los resultados en un intervalo de confianza para el 99% 4.2

Evaluacion de la Actividad N° 1 : Rubrica para evaluar la resolución de problemas propuestos 4 Muy bueno

3 Bueno

2 Regular

Elementos

Cada ejercicio

Cada ejercicio

Cada ejercicio

Cada

(25%)

tiene más del

tiene por lo

tiene por lo

ejercicio tiene

90% de lo

menos el 80%

menos el 70%

menos de

solicitado

de los

de los

70% de los

elementos

elementos

elementos

solicitados

solicitados

solicitados Se intentaron

Categoría

1 Malo

(Contenido

Se intentaron

Se intentaron

Se intentaron

(35%)

por lo menos

por lo menos

por lo menos el menos del

el 100% de los

el 85% de los

70% de los

70% de los

ejercicios

ejercicios

ejercicios

ejercicios.

Se resolvieron

Se resolvieron

Se resolvieron

Se

correctamente

correctamente

correctamente

resolvieron

por lo menos

por lo menos

por lo menos el correctamente

el 90%

el 85%

70%

Exactitud (25%)

menos el 70%

Presentación

El trabajo es

El trabajo:

El trabajo:

El trabajo

(15% )

claro,

No es claro ó

No es claro ni

está muy

ordenado y de

No es

ordenado, ni de descuidado

fácil revisión y

ordenado ó no

fácil revisión y

lectura

es de fácil

lectura

revisión y lectura Calificación

18

Calificación

5

GLOSARIO

5.1

Siglas

5.2

Glosario -

Intervalo de confianza: es una técnica de estimación utilizada en inferencia estadística que permite acotar un par o varios pares de valores, dentro de los cuales se encontrará la estimación puntual buscada (con una determinada probabilidad).

-

Nivel de confianza: Nos va a informar en qué porcentaje de casos nuestra estimación acierta. Los niveles habituales son el 95% y el 99% etc.

-

Margen de error de nuestra estimación: Este se denomina como alfa y nos informa de la probabilidad que existe de que el valor poblacional esté fuera de nuestro intervalo.

-

Lo estimado en la muestra (media, varianza, diferencia de medias…): De esto va a depender el estadístico pivote para el cálculo del intervalo

-

µ es la esperanza y s es la desviación típica de la distribución normal.

-

La forma de la campana depende de los parámetros.

-

Tiene una única moda que coincide con su media y su mediana

-

La curva normal es asintótica al eje de X

-

Es simétrica con respecto a su media µ. Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.

6

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Córdova Zamora Manuel (2009) “Estadística descriptiva y Probabilidades para ingenieros” Edit MACRO EIRL.Lima - Perú Ávila Acosta Roberto (1997).”Estadística elemental”. Editorial Estudios y Ediciones.R.A Lima - Perú. Moya Calderón Rufino (1991). ”Estadística Descriptiva Conceptos y aplicaciones”. PrimeraEdición.Edit, San Marcos lima, Perú. García Oré Celestino (2011). ” Estadística Descriptiva y Probabilidades para ingenieros”.Edit. MACRO EIRL. Lima-Perú

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