Estatica T4

TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO

INSTITUTO TECNOLOGICO

DE CERRO AZUL

UNIDAD 4 “CENTROIDE Y CENTRO DE GRAVEDAD” MATERIA: ESTATICA DOCENTE: ING. JOSÉ VICTOR TRINIDAD PUENTE

TITULO DEL TRABAJO: RESUMEN

PRESENTA: MAR SANTIAGO JOSÉ MIGUEL 17500076

Cd. Cerro Azul, Ver. Octubre De 2018

Contenido INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 3 4 “CENTROIDE Y CENTRO DE GRAVEDAD” .............................................. 4 4.1.- CONCEPTOS GENERALES .................................................................. 4 4.2.- CENTROIDE DE ÁREAS Y LÍNEAS .................................................... 13 4.2.1.- PRIMER MOMENTO DE ÁREAS Y LÍNEAS .................................... 16 4.2.2.- POR INTEGRACIÓN ......................................................................... 19 4.2.3.- DE ÁREAS COMPUESTAS .............................................................. 20 4.2.4.- APLICACIÓN A FUERZAS DISTINTAS ............................................ 22 4.3.- CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOS COMPUESTOS. ............... 27 CONCLUSIÓN. ............................................................................................. 29 FUENTES CONSULTADAS. ........................................................................ 30

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INTRODUCCIÓN Hasta ahora hemos tratado con fuerzas concentradas representadas por un vector con su módulo, una recta soporte, un sentido y en ocasiones, un punto de aplicación. Pero en muchos casos, las cargas no están concentradas en un punto sino que están distribuidas a lo largo de una línea o sobre una superficie. Son cargas cuya distribución puede ser uniforme o no. Este es un breve resumen de lo que es la unida 3 de estática y con este resumen nos podemos dar cuenta de que estudiando más a fondo esta materia nos ayudaría a resolver problemas que se nos presientes en el mundo laboral donde nos vallamos a enfocar.

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4 “CENTROIDE Y CENTRO DE GRAVEDAD” 4.1.- CONCEPTOS GENERALES CONCEPTO DE CENTROIDE, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTRO DE MASA El centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende del campo gravitatorio.

El Centro de masa de un cuerpo se localiza en aquel punto en el cual para cualquier plano que pasa por él los momentos de las masas a un lado del plano son iguales a los momentos de las masas del otro lado.

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El Centro de gravedad de un cuerpo es el punto donde se encuentra aplicada la resultante de la suma de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre cada una de las partículas del mismo. Si el cuerpo es simétrico y homogéneo, la resultante de todas las fuerzas gravitatorias se localizará en el centro geométrico. Con base en su centro de gravedad un cuerpo puede tener un equilibrio estable (abajo), inestable (en medio o arriba) o indiferente.

PESO Y MASA Peso y masa son dos conceptos y magnitudes físicas muy diferentes, aunque aún en estos momentos, en el habla cotidiana, el término “peso” se

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utiliza a menudo erróneamente como sinónimo de masa, la cual es una magnitud escalar. Masa es una constante universal igual a la relación del peso de un cuerpo a la aceleración gravitacional debida a ese peso. Peso es la fuerza de atracción gravitacional y es muy dependiente de la aceleración gravitacional. Por lo tanto, la masa de un cuerpo es sólo una medida de su inercia y no depende para nada de la gravedad. Así, por ejemplo, una persona de 60 kg de masa, pesa 588,34 N en la superficie de la Tierra. La misma persona, en la superficie de la Luna pesaría tan sólo unos 98,05 N; sin embargo, su masa seguirá siendo de 60 kg. DONDE: P = peso, en Newtons (N) m = masa, en kilogramos (kg) g = constante gravitacional, (g = 9,80665 m/s²) POR TANTO: (60 kg) ( 9.80665)= 588.3 N, que corresponde al peso de una persona que tiene una masa de 60 kg. Lo que ocurre es que la costumbre nos ha hecho trabajar desde chicos solo con el concepto de peso, el cual hemos asociado siempre al kilogramo, y nos han habituado a usarlo, sin saberlo nosotros, como sinónimo de masa. Por eso, cuando subimos a una balanza decimos que nos estamos “pesando”, cuando en realidad estamos midiendo nuestra cantidad de masa, que se expresa en kilogramos.

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Lo que hacemos es usar nuestra medición de MASA como si fuera nuestro “PESO” y al bajar de la balanza decimos: “PESÉ 70 KILOS” si la máquina marca esa cantidad, pero el PESO REAL SERÁ: 686 Newtons (N) (70 por 9,8 es igual a 686) Centro de masas

El centro de masas de un sistema discreto es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si estuviese sometido a la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga. Normalmente se abrevia como CM.

En física, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera intercambiable, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico, mientras que los otros dos términos se relacionan con las propiedades físicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masa, el objeto debe tener densidad uniforme, o la distribución de materia a través del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetría. Para que un centroide coincida con el centro de gravedad, el centroide debe coincidir con el centro de masa y el objeto debe estar bajo la influencia de un campo gravitatoriouniforme.

En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, para ciertos efectos, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para análisis físicos en los que no es importante considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en 7

las órbitas de los planetas.

Cálculo del CM de un sistema

Distribución discreta de materia

Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas puntuales, el centro de masas se puede calcular como:

, masa de la partícula i-ésima. , vector de posición de la masa i-ésima respecto al sistema de referencia asumido.

Distribución cuasidiscreta de materia

En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante aproximado.

Distribución continua de materia

Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al Cálculo Infinitesimal e Integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma:

Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida 8

homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación

Nota: V es el volumen total. Para cuerpos bidimensionales o monodimensionales se trabajará con densidades superficiales/longitudinales y con superficies/longitudes. - Para el caso de cuerpos con geometría regular tales como esferas, paralelepípedos, cilindros, etc. el CM coincidirá con el baricentro del cuerpo. Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad . En este caso se calcula el CM de la siguiente forma.

- La resolución de la integral dependerá de la función de la densidad. EJEMPLOS:

EJEMPLO NUM 1

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EJEMPLO NUM 2

EJEMPLO NUM 3

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CENTROIDES En geometría, el centroide o baricentro de un objeto X perteneciente a un espacio n-dimensional es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a X en dos partes de igual n-volumen con respecto al hiperplano. Informalmente, es el promedio de todos los puntos de X.

Momento de Inercia

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inerciarotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

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Un área compuesta A que está constituida por varias áreas componentes A1, A2, A3... Como la integral que representa el momento de inercia de A puede subdividirse en integrales evaluadas sobre A1, A2, A3..., el momento de inercia de A con respecto a un eje dado se obtiene sumando los momentos de áreas A1, A2, A3... con respecto al mismo eje. EJEMPLOS: EJEMPLO NUM 1

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EJEMPLO NUM 2

4.2.- CENTROIDE DE ÁREAS Y LÍNEAS Cada partícula que existe en la Tierra, tiene al menos una fuerza en común con cualquier otra partícula: su peso. En el caso de un cuerpo formado por múltiples partículas, éstas fuerzas son esencialmente paralelas y dirigidas hacia el centro de la Tierra. El centro de gravedad de un cuerpo regular, como una esfera uniforme, un cubo, una varilla o una viga, se localiza en su centro geométrico. Por ejemplo, una esfera hueca, un aro circular y un neumático tienen su centro de gravedad fuera del material del cuerpo. Cualquier cuerpo suspendido desde este punto está en equilibrio, ya que el vector peso, que representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre cada parte del cuerpo, tienen un brazo de palanca igual a cero. Por lo tanto,

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es posible calcular el centro de gravedad de un cuerpo, determinando el punto en el cual una fuerza ascendente producirá un equilibrio rotacional. Teoremas de Pappus y Guldin El área de la superficie de revolución generada al girar una curva plana de longitud L alrededor de un eje coplanario con ella y que no la corte es igual al producto de la longitud de la curva por la longitud del camino que recorre su centroide. La fuerza más corriente que actúa sobre un cuerpo es su propio peso. En todo cuerpo por irregular que sea, existe un punto tal en el que puedo considerarse en él concentrado todo su peso, este punto es considerado el centro de gravedad . El centro de gravedad puede ser un punto exterior o interior del cuerpo que se considere. El centro de gravedad de una línea está en el punto de aplicación de un sistema de fuerzas paralelas aplicadas a cada uno de los fragmentos elementales en que se puede considerar descompuesta la misma y proporcionales respectivamente a las longitudes de estos elementos de línea. Independientemente de la forma y tamaño del cuerpo, existe un punto en el que se puede considerar que está concentrado todo el peso del cuerpo. Por supuesto, el peso no actúa de hecho en éste punto, pero podemos calcular el mismo tipo de momento de torsión respecto a un eje dado si consideramos que todo el peso actúa en este punto. FIGURAS El centro de gravedad G de un cuerpo tridimensional se obtiene dividiendo el cuerpo en pequeños elementos y expresando que el peso W del cuerpo 14

actuando en G es equivalente al sistema de fuerzas distribuidas W que representan a los pesos de los elementos pequeños.

El centroide del área superficial de un objeto, tal como una placa o un disco, se puede encontrar subdividiendo el área en elementos dA y calculando los "momentos" de esos elementos de área con respecto a cada uno de los ejes coordenados

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Si la simetría del objeto, tal como la de una barra delgada o la de un alambre, toma la forma de una línea, el equilibrio de los momentos de los elementos diferenciales dL con respecto a cada uno de los ejes coordenados resulta

4.2.1.- PRIMER MOMENTO DE ÁREAS Y LÍNEAS El primer momento de área (también momento estático o de primer orden) es una magnitud geométrica que se define para un área plana. Normalmente aparece en el contexto del cálculo de vigas en ingeniería estructural, en particular la tensión cortante media dada por la fórmula de Collignon, que es proporcional al primer momento de área de una subsección de la sección transversal de la viga. El primer momento de área coincide con el producto del área total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide del área. Los momentos de primer orden de un área, se designan por la letra S o Q. Dado un eje o recta se define el primer momento de área del área A respecto a un eje de ecuación ( por la integral sobre el área de la distancia al eje fijado:

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viene dado

Si consideramos coordenadas x e y centradas en el centro de masas y se calculan los primeros momentos de área respecto a los ejes coordenados, por la propia definición de centro de masas:

Eso implica que para cualquier otro eje que pase por el centro de gravedad de la sección se tiene:

El cálculo respecto a un eje cualquiera que no pase por en centro de masas es trivial ya que:

Donde resulta que c coincide con la distancia de ese eje al centro de gravedad y el resultado anterior es el equivalente del teorema de Steiner para el primer momento de área. Primer momento de área parcial

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Área parcial para el cálculo de la tensión cortante. Como se ha visto en la sección anterior el primer momento de área calculado respecto al centro de gravedad de la sección es siempre nulo. Sin

embargo,

Para una sección rectangular de

dimensiones 2h x b se tiene:

El cálculo de este momento se requiere para el cálculo de la tensión cortante sobre la línea punteada (ver figura) de acuerdo con la fórmula de Collignon-Jourawski (o Collignon-Zhuravski). Segundo momento de área Análogamente al primer momento de área se define el segundo momento de área, o momento de inercia, como:

Donde c es la distancia entre el eje considerado y el centro de gravedad del área. Que puede expresarse en función de los segundos momentos de área respecto al centro de masas como:

Donde

sería el segundo momento de área según eje paralelo al

considerado, pero que pasa por en centro de gravedad del área. Este último resultado de demostración inmediata se conoce como teorema de Steiner. Momentos de área de orden superior

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En general se definen los n-ésimos momento de área de una área plana como las integrales del tipo: {\displaystyle m_{eje}^{(n)}(A)=\int _{A}d^{n}(x,y)\ {\text{d}}x{\text{d}}y}

Donde la integral se extiende sobre todo el dominio plano A de ℝ² y donde la distancia r es la distancia a un eje contenido en el mismo plano que contiene al área. En particular se definen los dos momentos n-ésimos de área como:

4.2.2.- POR INTEGRACIÓN

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4.2.3.- DE ÁREAS COMPUESTAS Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos "más simples" conectados, los cuales pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etc. Un cuerpo de esta índole a menudo puede ser seccionado o dividido en sus partes componentes y, si se conocen el peso y 20

la ubicación de cada una de esas partes, es posible eliminar la necesidad de la integración para determinar el centro de gravedad del cuerpo entero. 1.1. Método para hallar el centroide de un objeto geométrico compuesto A. Se divide el objeto o cuerpo en un número finito de partes componentes que tengan formas más sencillas. Si una parte componente tiene un agujero, o una región geométrica donde no exista material, ésta se toma como una componente adicional pero con signo negativo. B. Se determina las coordenadas x, y, z del centroide de cada parte. C. Se calcula las coordenadas del centroide del objeto o cuerpo, utilizando las siguientes ecuaciones: xyz 1.2. FÓRMULAS 𝑴𝒚 = (𝑨𝟏+ 𝑨𝟐+ 𝑨𝟑+ ⋯…… ……… . 𝑨𝒏) O sea 𝑴𝒚 = 𝑨𝑿 = ∑ 𝑨𝒊𝑿𝒊𝒏 𝒊=𝟏 O sea 𝑿 = 𝑴𝒚 𝑨 = 𝟏 𝑨 ∑ 𝑨𝒊𝑿𝒊𝒏 𝒊=𝟏 Análogamente 𝑴𝒙 = 𝑨𝒚 = ∑ 𝑨𝒊𝒀𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 O sea 𝒀 = 𝑴𝒙 𝑨 = 𝟏 𝑨 ∑ 𝑨𝒊𝒀𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 Si se considera un agujero como parte integrante de un cuerpo compuesto su área se considerara magnitud negativa. En los trabajos de ingeniería rara vez tenemos que localizar centroides por integración porque los centroides de figuras geométricas comunes ya se conocen y se encuentran tabulados sin embargo con frecuencia necesitamos localizar los centroide de áreas compuestas de varias partes en las que cada parte tiene una forma geométrica familiar como un rectángulo o un circulo Ejemplos de estos son secciones transversales de vigas columnas o figuras irregulares Las áreas y momentos estáticos de las áreas compuestas pueden calcular se sumando las propiedades correspondientes de las partes componentes supongamos que un área compuesta se divide en un total de n partes y denotemos el área y los momentos estáticos con las siguientes sumas:

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Donde y " son las coordenadas del centroide de cada figura Las coordenadas del centroide del área compuesta son

Como el área compuesta está representada exactamente por las n partes las ecuaciones anteriores dan resultados exactos para las coordenadas del centroide

4.2.4.- APLICACIÓN A FUERZAS DISTINTAS El centro de gravedad es el punto de la partícula donde actúa la fuerza la gravedad para atraer la partícula al centro de la Tierra, existen maneras de calcular el centroide de un cuerpo y es útil para después complementarlo con un mejor diagrama de cuerpo libre donde se contemple el peso de la barra a estudiar y la posición precisa donde actúa esa fuerza. Una manera bastante matemática de localizar el centroide de una figura es por el método de integración donde se busca un diferencial en "x" como un diferencial en "y" , como se muestra en la siguiente figura Otro método usado es el de figuras compuestas que consiste en separar la figura original en figuras geométricas conocidas, calcular su área, su x, su y , multiplicarlos y hacer una división de la sumatoria de Ax entre la sumatoria de las áreas, las figuras compuestas no usan la función de la gráfica como en el método de integración y su uso es bastante práctico y rápido. 22

Las fuerzas distribuidas son fuerzas que actúan sobre un área en específico, muchas de ellas no llevan orden alguna y de algunas se pueden definir figuras geométricas conocidas. El cálculo de la fuerza resultante en un sistema de fuerzas distribuidas es encontrar el punto equivalente de fuerza y posición donde actuará toda la reacción. Un diagrama de fuerzas distribuidas se ve de la siguiente manera.

Las fuerzas pueden ser de dos tipos: • Fuerza de contacto: Resultado del contacto físico entre el cuerpo y sus alrededores. • Fuerza de campo: Resulta de una acción a distancia entre el cuerpo y sus alrededores. Una fuerza es un vector (modo de representar una magnitud física), que tiene dirección y sentido, como también magnitud. Cuando se aplica una 23

fuerza (o varias), en diferentes direcciones provocará distintos efectos, pudiendo ser representado a través de flechas y la dirección de éstas será la dirección en que se ejerce la fuerza y su longitud debe ser proporcional a la magnitud o módulo de la fuerza. La representación de las fuerzas en un diagrama se denomina Diagrama de Cuerpo Libre (DCL). La unidad de medida en el Sistema Internacional (SI) es el newton [N] y se expresa en términos de las unidades fundamentales de longitud, tiempo y masa. 1 N = 1 kg m/s2 FUERZA NETA: Cuando varias fuerzas son aplicadas a la vez sobre un objeto, se combinan y dan origen a una sola fuerza llamada Fuerza Neta, Fuerza Resultante o Fuerza Total, y corresponde a la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Ejemplo: Si aplicamos dos fuerzas en el mismo sentido, la fuerza neta será la suma de estos. Si aplicamos dos fuerzas en sentidos contrarios, la fuerza total será el resultado de la resta de estos.

PESO: Fuerza con que la Tierra atrae a un objeto, por tanto, es una interacción entre dos cuerpos y no una medida de un objeto. Esta fuerza está dirigida hacia el centro de la tierra y se mide en Newton (N). El peso se relaciona con la aceleración de la gravedad que tenga un planeta y con la masa de los cuerpos. Mientras mayor sea la gravedad en un planeta en comparación a la Tierra, pesarás menos, y mientras más masa

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posea un objeto, mayor es la fuerza que la Tierra ejerce sobre él, y diremos que pesa más. El peso de un cuerpo se obtiene multiplicando la masa del cuerpo por la aceleración de gravedad (g), por tanto, la aceleración con la que los objetos caen en la Tierra. El valor es de 9, 8 metros/segundos cuadrados (m/s2) en la superficie de la Tierra. La fórmula matemática para obtener el peso de un cuerpo es: P = m • g *Donde P es el peso, m la masa y g, la aceleración de gravedad. FUERZA NORMAL: Cuando un objeto está sobre una superficie, el peso del objeto ejerce una fuerza hacia abajo. También la superficie ejerce una fuerza sobre el objeto (hacia arriba) denominada Fuerza Normal. Por ejemplo, en la figura 2 se muestra un notebook en reposo sobre un escritorio, el notebook no acelera debido a la fuerza de gravedad sobre él porque está sostenido en el escritorio. La fuerza que ejerce hacia arriba el escritorio sobre el notebook es la fuerza normal, que impide que el notebook se hunda o caiga y es perpendicular a la superficie del escritorio. Cuando la superficie del escritorio es horizontal, la normal tiene el mismo módulo y dirección del peso, pero el sentido de los vectores es opuesto.

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Si la superficie donde se apoya el notebook es inclinada, las fuerzas normal y de peso no tendrán la misma dirección y el módulo (longitud) de la normal es menor que el módulo de peso.

FUERZA DE ROCE: Fuerza que se opone al movimiento de un objeto o superficie sobre otra, se produce una fuerza de contacto llamada Fuerza de roce o de fricción y depende del peso del objeto o superficie en movimiento. Tipos de roce: – Por Deslizamiento: Cuando dos superficies de cuerpos sólidos se deslizan una por sobre la otra. Por ejemplo cuando deslizas un baúl a lo largo del piso el roce se opone al movimiento del baúl. Si la superficie del piso es rugosa mayor será la fuerza de roce – Por Rodamiento: Cuando un cuerpo rueda sobre una superficie, existe una fuerza que se opone al movimiento. Es una fuerza que se opone en menor magnitud que la fuerza de roce por deslizamiento. – En Fluidos (gases y líquidos): Cuando una pelota es lanzada en forma recta hacia una piscina, experimentará dos tipos de fuerza de roce, cuando está en el aire (fluido) y cuando está en el agua (otro fluido).

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4.3.- CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOS COMPUESTOS.

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CONCLUSIÓN. Este tema en general es de gran importancia para la ingeniera civil ya que es indispensable en el cálculo de momentos como por ejemplo de las vigas entre otras muchas más aplicaciones en esta área y en otras pero de distinta manera. El centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre sí, aunque designan conceptos diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende del campo gravitatorio. El Centro de masa de un cuerpo se localiza en aquel punto en el cual para cualquier plano que pasa por él los momentos de las masas a un lado del plano son iguales a los momentos de las masas del otro lado. El Centro de gravedad de un cuerpo es el punto donde se encuentra aplicada la resultante de la suma de todas las fuerzas gravitatorias que actúan sobre cada una de las partículas del mismo

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FUENTES CONSULTADAS. https://fisica2judarasa.jimdo.com/la-ciencia-de-lo-absurdo/conocimientosgenerales/concepto-de-centroide-centro-de-gravedad-y-centro-de-masa/ http://estaticaortegamorenomo.blogspot.com/2009/06/cebtroide-centro-demasa.html https://prezi.com/4ct-wttqcbor/37-centroides-de-gravedad-de-lineas-areas-yvolumenes-de-cuadr/ https://es.wikipedia.org/wiki/Primer_momento_de_%C3%A1rea https://www.academia.edu/26773616/CENTROIDES_DE_AREAS http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/nayive/mr10_web/tema2_centroides. pdf http://educommons.anahuac.mx:8080/eduCommons/ingenieriafisica/estatica/tema-4-centroides-y-centros-de-gravedad http://www.icarito.cl/2012/10/364-9630-9-septimo-basico-fuerzas-queactuan-sobre-un-cuerpo.shtml/

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