Fisica

PROBLEMAS CAPITULO 12

Asignatura: Física mecánica de fluidos

Tema: Problemas capítulo 12

Alumnos: Manuel Alejandro Molano 2106656gg

Docente: Rafael Guzmán Escandón

Bogotá 30/04/2015 Escuela colombiana de ingeniería Julio Garavito

PROBLEMAS CAPITULO 12 Problemas 12.49. Tres esferas uniformes están fijas en las posiciones indicadas en la figura 12.36. a) ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza que actúa sobre una partícula de 0.0150 kg colocada en P? b) Si las esferas están en el espacio lejano fuera de alguna atracción gravitacional adicional, y una partícula de 0.0150 kg se suelta del reposo a 300 m del origen sobre una línea inclinada 458 bajo el eje 2x, ¿qué rapidez tendrá la partícula cuando llegue al origen?

12.50. Una esfera uniforme con masa de 60.0 kg se sostiene con su centro en el origen, y una segunda esfera uniforme con masa de 80.0 kg se sostiene con su centro en el punto x 5 0, y 5 3.00 m. a) ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza gravitacional neta que estas esferas ejercen sobre una tercera esfera uniforme con masa de 0.500 kg cuyo centro está en x 5 4.00 m, y 5 0? b) ¿En qué posición, que no sea a una distancia infinita, podría colocarse la tercera esfera de modo que la fuerza gravitacional neta que actúa sobre ella debida a las otras dos esferas sea cero?

12.51. a) Demuestre que la fuerza gravitacional que actúa sobre la estrella pequeña debida a las dos estrellas grandes del ejemplo 12.3 (sección 12.1) no está dirigida hacia el punto a medio camino entre las estrellas grandes. b) Considere que las dos estrellas grandes forman un solo cuerpo rígido (como si estuvieran unidas por una varilla de masa despreciable). Calcule la torca ejercida por la estrella pequeña sobre el cuerpo rígido respecto a su centro de masa. c) Explique cómo el resultado del inciso b) demuestra que el centro de masa no coincide con el centro de gravedad. ¿Por qué sucede esto en esta situación?

12.52. En cierto instante, la Tierra, la Luna y una nave estacionaria de 1250 kg está en los vértices de un triángulo equilátero, cuyos lados miden 3.84 3 105 km cada uno. a) Calcule la magnitud y dirección de la fuerza gravitacional neta que la Tierra y la Luna ejercen sobre la nave. Exprese la dirección en términos de un ángulo medido a partir de la lí- nea que pasa por la Tierra y la nave. En un dibujo, muestre la Tierra, la Luna, la nave y el vector de fuerza. b) ¿Qué cantidad mínima de

PROBLEMAS CAPITULO 12 trabajo tendría que efectuarse para desplazar la nave hasta un punto distante de la Tierra y la Luna? Pueden despreciarse los efectos gravitacionales debidos a los demás planetas y al Sol.

12.53. Se realiza un experimento en el espacio lejano con dos esferas uniformes, una con masa de 25.0 kg y la otra con masa de 100.0 kg. El radio de las dos esferas es el mismo: r 5 0.20 m. Las esferas se sueltan del reposo con sus centros separados 40.0 m, y aceleran una hacia la otra por su atracción gravitacional mutua. (Ignore todas las demás fuerzas gravitacionales.) a) Explique por qué se conserva el momento lineal. b) Cuando sus centros están separados 20.0 m: i) ¿qué rapidez tiene cada esfera? ii) ¿Con qué magnitud de velocidad relativa se acerca una esfera a la otra? c) ¿A qué distancia de la posición inicial del centro de la esfera de 25.0 kg chocan las superficies de las dos esferas?

12.54. Suponga que la órbita de la Luna es circular. A partir del periodo orbital observado de 27.3 días, calcule la distancia de la Luna al centro de la Tierra. Suponga que los movimientos de la Luna sólo están determinados por la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre ella, y use la masa de la Tierra dada en el Apéndice F.

12.55. Satélites geosincrónicos. Muchos satélites se mueven en un círculo en el plano ecuatorial de la Tierra y están a tal altura que siempre permanecen sobre el mismo punto. a) Determine la altura de estos satélites sobre la superficie terrestre. (A una órbita con estas características se le llama geosincrónica.) b) Explique, con un dibujo, por qué las señales radiales de estos satélites no pueden llegar directamente a receptores terrestres situados a más de 81.3° de latitud norte.

PROBLEMAS CAPITULO 12 12.56. Un módulo de descenso con masa de 12,500 kg está en órbita circular a una distancia de 5.75 3 105 m sobre la superficie de un planeta. El periodo de la órbita es de 5800 s. Los astronautas del módulo han determinado que el diámetro del planeta es de 9.60 3 106 m. El módulo desciende en el polo norte del planeta. ¿Cuánto pesará un astronauta de 85.6 kg al pararse en la superficie del planeta?

12.57. Determine la rapidez de escape desde un asteroide de 300 km de diámetro y densidad de 2500 kg>m3 .

12.58. a) Los asteroides tienen densidades medias del orden de 2500 kg>m3 y radios desde 470 km hasta menos de 1 km. Suponiendo que un asteroide tiene una distribución esféricamente simétrica de masa, estime el radio del asteroide más grande del que podría escapar con sólo saltar. (Sugerencia: puede estimar su rapidez de salto relacionándola con la altura máxima que puede saltar en la Tierra.) b) Europa, una de las cuatro lunas grandes de Júpiter, tiene un radio de 1570 km. La aceleración debida a la gravedad en su superficie es de 1.33 m>s 2 . Calcule su densidad media.

12.59. a) Suponga que está en el ecuador de la Tierra y observa un satélite que pasa directamente arriba en dirección oeste a este. Exactamente 12.0 horas después, observa otra vez el satélite directamente arriba de su cabeza. ¿A qué altura sobre la superficie terrestre está la y x P 1.0 kg 2.0 kg 1.0 kg 0.50 m 0.50 m Figura 12.36 Problema 12.49. 416 CAPÍTULO 12 Gravitación órbita del satélite? b) Ahora observa otro satélite que se mueve de este a oeste y pasa directamente arriba de su cabeza. El satélite vuelve a estar en esa posición 12.0 horas después. ¿A qué distancia sobre la super- ficie terrestre está su órbita?

PROBLEMAS CAPITULO 12 12.60. El planeta X gira de forma análoga a la Tierra, en torno a un eje que pasa por sus polos norte y sur, y es perfectamente esférico. Un astronauta que pesa 943.0 N en la Tierra pesa 915.0 N en el polo norte del planeta X y sólo 850.0 N en su ecuador. La distancia entre el polo norte y el ecuador es de 18,850 km, medidos sobre la superficie del planeta X. a) ¿Qué duración tiene el día en el planeta X? b) Si un satélite de 45,000 kg se coloca en órbita circular 2000 km arriba de la superficie del planeta X, ¿qué periodo orbital tendrá?

12.61. Hay dos ecuaciones para calcular el cambio en la energía potencial gravitacional U del sistema de una masa m y la Tierra. Una es U 5 mgy (ecuación 7.2) y la otra es U 5 2GmEm>r (ecuación 12.9). Como se demostró en la sección 12.3, la primera sólo es correcta si la fuerza gravitacional es constante dentro del cambio de altura Dy. La segunda siempre es correcta. En realidad, la fuerza gravitacional nunca es exactamente constante dentro de ningún cambio de altura pero, si la variación es pequeña, podemos despreciarla. Considere la diferencia en U entre una masa en la superficie terrestre y a una distancia h arriba de ella, usando ambas ecuaciones, y determine el valor de h con el que la ecuación (7.2) tiene un error de 1%. Exprese h como una fracción del radio de la Tierra y también como valor numérico.

12.62. Imagine que usted es el principal ingeniero científico de la nave Despistado Errante, la cual se posa en el misterioso planeta Mongo. Usted efectúa estas mediciones: una piedra de 2.50 kg lanzada hacia arriba desde el suelo a 12.0 m>s vuelve al suelo en 8.00 s; la circunferencia de Mongo en el ecuador es de 2.00 3 105 km; y el planeta carece prácticamente de atmósfera. El capitán Confusión, comandante de la nave, pide la siguiente información: a) ¿Qué masa tiene Mongo? b) Si el Despistado Errante se coloca en una órbita circular 30,000 km arriba de la superficie de Mongo, ¿cuántas horas tardará en dar una vuelta completa al planeta?

12.63. Calcule la diferencia porcentual entre el peso que tiene usted en Sacramento, cerca del nivel del mar, y en la cima del monte Everest, que está a 8800 m sobre el nivel del mar.

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12.64. En el ejemplo 12.5 (sección 12.3), despreciamos los efectos gravitacionales de la Luna sobre una nave que viaja de la Tierra a la Luna. De hecho, debemos incluir también la energía potencial gravitacional debida a la Luna. Para este problema, desprecie los movimientos de ambos cuerpos. a) Si la Luna tiene radio RM y la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es REM, calcule la energía potencial gravitacional total de los sistemas partícula Tierra y partícula-Luna, cuando una partícula de masa m está entre ambos cuerpos, a una distancia r del centro de la Tierra. Sea la energía potencial gravitacional cero cuando los objetos están muy alejados entre sí. b) Hay un punto en la línea entre la Tierra y la Luna, donde la fuerza gravitacional neta es cero. Use la expresión que dedujo en a) y valores numéricos del Apéndice F para calcular la distancia de este punto al centro de la Tierra. ¿Con qué rapidez debe lanzarse una nave desde la superficie terrestre para llegar apenas a este punto? c) Si se lanzara una nave de la superficie terrestre a la Luna con una rapidez inicial de 11.2 km>s, ¿qué rapidez tendría al chocar contra la Luna?

12.65. Una nave no tripulada está en órbita circular alrededor de la Luna, observando la superficie lunar desde una altura de 50.0 km (vea el Apéndice F). Para consternación de los científicos en la Tierra, un desperfecto eléctrico hace que un motor a bordo se incendie y reduzca la rapidez de la nave en 20.0 m>s. Si no se corrige la órbita, ¿con qué rapidez (en km>h) chocará la nave contra la superficie lunar? *12.66. ¿Cuánto duraría un día (es decir, la duración de una revolución de la Tierra sobre su eje), si la rapidez de rotación de la Tierra fuera tal que g 5 0 en el ecuador?

12.67. Martillo que cae. Un martillo de masa m se deja caer del reposo desde una altura h arriba de la superficie terrestre, no necesariamente pequeña en comparación con el radio RE de la Tierra. Despreciando la resistencia del aire, deduzca una expresión para la rapidez v del martillo cuando llega a la superficie terrestre. Su expresión deberá incluir h, RE y mE, la masa de la Tierra.

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12.68. a) Calcule cuánto trabajo se requiere para lanzar una nave espacial de masa m desde la superficie de la Tierra (masa mE, radio RE) y colocarla en una órbita baja circular, es decir, una órbita cuya altura sobre la superficie terrestre es mucho menor que RE. (Por ejemplo, la Estación Espacial Internacional está en órbita baja a una altura aproximada de 400 km, mucho menor que RE 5 6380 km.) Se puede despreciar la energía cinética que la nave tiene en el suelo debido a la rotación de nuestro planeta. b) Calcule la cantidad mínima de trabajo adicional requerida para pasar la nave de una órbita baja a una distancia muy grande de la Tierra. Se pueden ignorar los efectos gravitacionales del Sol, la Luna y los demás planetas. c) Justifique la afirmación de que “en términos de energía, una órbita baja está a la mitad de la distancia a los confines del Universo”.

12.69. Se va a lanzar una nave de la superficie terrestre, de modo que escape del Sistema Solar. a) Calcule la rapidez relativa al centro de la Tierra con que se debe lanzar la nave. Tenga en cuenta los efectos gravitacionales de la Tierra y el Sol, e incluya los efectos de la rapidez orbital de la Tierra, pero desprecie la resistencia del aire. b) La rotación terrestre puede ayudar a esta nave a alcanzar la rapidez de escape. Calcule la rapidez que la nave debe tener relativa a la superficie terrestre, si se lanza de Florida en el punto indicado en la figura 12.37. Los movimientos rotacional y orbital de la Tierra tienen la misma dirección. Las instalaciones de lanzamiento de Florida están 28.5° al norte del ecuador. c) La Agencia Espacial Europea (ESA) usa instalaciones de lanzamiento en la Guyana Francesa (inmediatamente al norte de Brasil), 5.15° al norte del ecuador. ¿Qué rapidez relativa a la superficie terrestre necesitaría adquirir una nave para escapar del Sistema Solar, si se lanza desde la Guyana Francesa?

12.70. Gravedad dentro de la Tierra. Calcule la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre una masa de 10.0 kg, si se coloca en los siguientes lugares. Consulte la figura 12.9 y suponga una densidad constante en cada una de las regiones interiores (manto, núcleo exterior, núcleo interior), pero no la misma densidad en cada una de estas regiones. Utilice la gráfica para estimar la densidad media para cada región. a) En la superficie terrestre; b) en la superficie exterior del núcleo exterior fundido; c) en la superficie del núcleo interior sólido; d) en el centro de la Tierra.

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12.71. Huecos de Kirkwood. Cientos de miles de asteroides giran alrededor del Sol en la franja de asteroides, que se extiende desde aproximadamente 3 3 108 km hasta 5 3 108 km del Sol. a) Calcule el periodo orbital (en años) de un asteroide en i) la orilla interior de la franja y ii) la orilla exterior de la franja. Suponga órbitas circulares. b) En 1867, el astrónomo estadounidense Daniel Kirkwood señaló que existen varios huecos en la franja de asteroides, donde se encuentran relativamente pocos asteroides. Ahora se sabe que esos huecos de Kirkwood se deben a la atracción gravitacional de Júpiter, el planeta más grande, cuyo periodo orbital alrededor del Sol es de 11.86 años. Por ejemplo, si un asteroide tiene un periodo orbital que es la mitad del de Júpiter, o sea, 5.93 años, en cada segunda órbita el asteroide estaría a una distancia mínima de Júpiter y experimentará Figura 12.37 Problema 12.69. Sol Florida Tierra Problemas 417 una fuerte atracción hacia ese planeta. Dicha atracción, al actuar repetidamente en órbitas sucesivas, podría ir sacando a los asteroides del hueco de Kirkwood. Utilice esta hipótesis para determinar el radio orbital de ese hueco de Kirkwood. c) Otro hueco de Kirkwood aparece a una distancia del Sol, en la que el periodo orbital es 0.400 veces el de Júpiter. Explique esto y calcule el radio orbital de ese hueco de Kirkwood.

12.72. Si un satélite está en una órbita lo bastante baja, experimentará arrastre de la atmósfera terrestre. Dado que el arrastre realiza trabajo negativo (la dirección de la fuerza de arrastre es opuesta al movimiento), la energía mecánica disminuirá. Según la ecuación (12.13), si E disminuye (se hace más negativa), el radio r de la órbita disminuirá. Si el arrastre es relativamente pequeño, puede considerarse que el satélite está en una órbita circular con radio continuamente decreciente. a) Según la ecuación (12.10), si el radio de la órbita circular de un satélite disminuye, la rapidez orbital v del satélite aumenta. ¿Cómo puede conciliar esto con la afirmación de que la energía mecánica disminuye! (Sugerencia: ¿El arrastre es la única fuerza que realiza trabajo sobre el satélite al disminuir el radio orbital?) b) Por el arrastre del aire, el radio de la órbita circular de un satélite disminuye de r a r 2 Dr, donde la cantidad positiva Dr es mucho menor que r. La masa del satélite es m. Demuestre que el aumento en la rapidez orbital es que el cambio de energía cinética es que el cambio de energía potencial gravitacional es y que la cantidad de trabajo efectuado por la fuerza de arrastre es Interprete estos resultados a la luz de sus comentarios del inciso a). c) Un satélite con masa de 3000 kg está inicialmente en una órbita circular a 300 km arriba de la superficie terrestre. A causa del arrastre el aire, la altura del satélite disminuye a 250 km. Calcule la rapidez orbital inicial, el aumento en dicha rapidez, la energía mecánica inicial, el cambio de energía cinética, el cambio de energía potencial gravitacional, el cambio de energía mecánica y el trabajo realizado por la fuerza de arrastre del aire. d) A final de cuentas, un satélite descenderá a una altura tan baja en la atmósfera que se quemará y los restos caerán a la superficie. ¿Qué pasa con la energía mecánica inicial?

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12.73. Estrella binaria-masas iguales. Dos estrellas idénticas de masa M están en órbita alrededor de su centro de masa. Las dos órbitas son circulares con radio R, de modo que las dos estrellas siempre están en lados opuestos del círculo. a) Calcule la fuerza gravitacional que una estrella ejerce sobre la otra. b) Calcule la rapidez orbital de cada estrella y el periodo de la órbita. c) ¿Cuánta energía se requeriría para separar las estrellas hasta el infinito?

12.74. Estrella binaria: masas distintas. Dos estrellas, de masas M1 y M2, están en órbitas circulares alrededor de su centro de masa. La primera tiene una órbita de radio R1; y la segunda, R2. a) Demuestre que la relación de los radios orbitales de las dos estrellas es igual al recíproco de la relación de sus masas, es decir, R1>R2 5 M2>M1. b) Explique por qué las dos estrellas tienen el mismo periodo orbital T y que éste está dado por c) Las dos estrellas de cierto sistema binario se mueven en órbitas circulares. La primera estrella, Alfa, tiene una rapidez orbital de 36.0 km>s; y la segunda estrella, Beta, de 12.0 km>s. El periodo orbital es de 137 días. Calcule las masas de las estrellas. d) Uno de los mejores candidatos para agujero negro está en el sistema binario llamado A0620-0090. Los dos objetos del sistema son una estrella anaranjada, V616 Monocerotis, y un objeto compacto que se cree es un agujero negro (figura 12.22). El periodo orbital de A0620-0090 es de 7.75 horas. Se estima que la masa de V616 Monocerotis es 0.67 veces la masa del Sol, y la del agujero negro, 3.8 veces la masa del Sol. Suponiendo que las órbitas T 5 2p 1R1 1 R2 2 3/2 /"G 1 M1 1 M2 2 . W 5 2 1 GmEm/2r 2 2 Dr. DU 5 22 DK 5 2 1 GmEm/r 2 2 Dr; DK 5 1 1 GmEm/2r 2 2 Dr; Dv 5 1 1Dr/2 2 "GmE/r 3 ; son circulares, determine el radio de la órbita y la rapidez orbital de cada objeto. Compare sus respuestas con el radio orbital de la Tierra y su rapidez orbital alrededor del Sol.

12.75. Los cometas viajan alrededor del Sol en órbitas elípticas de gran excentricidad. Si un cometa tiene una rapidez de 2.0 3 104 m>s cuando está a una distancia de 2.5 3 1011 m del centro del Sol, ¿qué rapidez tiene cuando está a 5.0 3 1010 m?

PROBLEMAS CAPITULO 12 12.76. Cuando Marte viaja en torno al Sol en su órbita elíptica, su distancia de mayor acercamiento al centro del Sol (en el perihelio) es de 2.067 3 1011 m, y su distancia máxima (en el afelio) es de 2.492 3 1011 m. Si la rapidez orbital de Marte en el afelio es de 2.198 3 104 m>s, ¿qué rapidez tiene en el perihelio? (Desprecie la influencia de los demás planetas.)

12.77. Considere una nave en órbita elíptica alrededor de la Tierra. En el punto bajo (perigeo) de su órbita, la nave está 400 km arriba de la superficie de la Tierra; en el punto alto (apogeo), está a 4000 km de la superficie de la Tierra. a) Calcule el periodo de la nave en esa órbita. b) Usando la conservación del momento angular, calcule la razón entre la rapidez de la nave en el perigeo y la rapidez de la nave en el apogeo. c) Usando la conservación de la energía, determine la rapidez de la nave tanto en el perigeo como en el apogeo. d) Se desea que la nave escape totalmente de la Tierra. Si sus cohetes se encienden en el perigeo, ¿cuánto tendrá que aumentarse la rapidez para lograrlo? ¿Qué ocurre si los cohetes se disparan en el apogeo? ¿Qué punto de la órbita se puede usar con mayor eficiencia?

12.78. Urano tiene un radio de 25,560 km y en la superficie de sus polos la aceleración debida a la gravedad es de 11.1 m>s 2 . Su luna Miranda (descubierta en 1948 por Kuiper) está en una órbita circular a una altura de 104,000 km sobre la superficie del planeta y tiene una masa de 6.6 3 1019 kg y un radio de 235 km. a) Calcule la masa de Urano a partir de estos datos. b) Calcule la magnitud de aceleración de Miranda debida a su movimiento orbital alrededor de Urano. c) Calcule la aceleración debida a la gravedad de Miranda en su superficie. d) ¿Las respuestas a los incisos b) y c) implican que un objeto soltado 1 m arriba de la superficie de Miranda en el lado que da hacia Urano caerá hacia arriba relativo a Miranda? Explique.

12.79. Una nave de 3000 kg está en órbita circular 2000 km arriba de la superficie de Marte. ¿Cuánto trabajo deben efectuar sus motores para llevarla a una órbita circular 4000 km arriba de la superficie?

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12.80. Uno de los cometas más brillantes del siglo xx fue el cometa Hyakutake, que pasó cerca del Sol a principios de 1996. Se estimó que el periodo orbital de ese cometa es de unos 30,000 años. Calcule el eje semimayor de la órbita de este cometa y compárela con la distancia media entre Plutón y el Sol, y con la distancia a Alfa Centauri, la estrella más cercana al Sol, que está a 4.3 años luz.

12.81. Los planetas no son uniformes en su interior. Normalmente, son más densos en el centro y su densidad se reduce hacia la superfi- cie. Modele un planeta esféricamente simétrico, con el mismo radio que la Tierra, suponiendo que su densidad disminuye linealmente al aumentar la distancia al centro. Sea la densidad en el centro de 15.0 3 103 kg>m3 , y en la superficie, de 2.0 3 103 kg>m3 . Determine la aceleración debida a la gravedad en la superficie de ese planeta.

12.82. Un alambre uniforme con masa M y longitud L se dobla para formar una semicircunferencia. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza gravitacional que este alambre ejerce sobre una masa puntual m colocada en el centro de curvatura de la semicircunferencia.

12.83. Un objeto en forma de un anillo circular delgado tiene radio a y masa M. Una esfera uniforme de masa m y radio R se coloca con su centro a una distancia x a la derecha del centro del anillo, a lo largo de una línea que pasa por el centro del anillo y es perpendicular a su plano (figura 12.35). ¿Qué fuerza gravitacional ejerce la esfera sobre el 418 CAPÍTULO 12 Gravitación Sol Órbita de la Tierra Órbita de transferencia de Hohmann Órbita de Marte Figura 12.38 Problema de desafío 12.87. anillo? Demuestre que su resultado se reduce al valor esperado cuando x es mucho mayor que a.

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12.84. Una varilla uniforme delgada tiene una longitud L y una masa M. Calcule la magnitud de la fuerza gravitacional que la varilla ejerce sobre una partícula de masa m, situada en un punto a lo largo del eje de la varilla y a una distancia x de un extremo (figura 12.34). Demuestre que su resultado se reduce al valor esperado cuando x es mucho mayor que L.

12.85. Se perfora un pozo de la superficie al centro de la Tierra (fi- gura 12.25). Como en el ejemplo 12.10 (sección 12.6), suponga que la densidad de la Tierra es uniforme. Con esta aproximación poco realista, la fuerza gravitacional que actúa sobre un objeto de masa m ubicado dentro de la Tierra a una distancia r del centro tiene magnitud Fg 5 GmEmr>RE 3 (como se demostró en el ejemplo 12.10) y apunta hacia el centro de la Tierra. a) Deduzca una expresión para la energía potencial gravitacional U(r) del sistema objeto-Tierra en función de la distancia del objeto al centro de la Tierra. Considere la energía potencial igual a cero cuando el objeto está en el centro de la Tierra. b) Si un objeto se deja caer por el pozo desde la superficie terrestre, ¿qué rapidez tendrá cuando llegue al centro de la Tierra?

Problemas de desafío 12.86. a) Cuando un objeto está en una órbita circular de radio r alrededor de la Tierra (masa mE), el periodo de la órbita es T [dado por la ecuación (12.12)] y la rapidez orbital es v [dada por la ecuación (12.10)]. Demuestre que, cuando el objeto se pasa a una órbita circular con radio un poco mayor r 1 Dr, donde su nuevo periodo es T 1 DT y su nueva rapidez orbital es v 2 Dv, donde Dr, DT y Dv son cantidades positivas y (Sugerencia: use la expresión válida para b) La Estación Espacial Internacional (ISS, por las siglas de International Space Station) está en una órbita casi circular a una altitud de 398.00 km. Una cuadrilla de mantenimiento está a punto de llegar en un transbordador espacial que también está en una órbita circular en el mismo plano orbital que la ISS, pero con una altitud de 398.10 km. La cuadrilla acudió para retirar un cable eléctrico inutilizado con una longitud de 125 m que está unido a la ISS por un extremo, con el otro extremo flotando libre en el espacio. El plan es que el transbordador pesque el extremo libre en el instante en que la nave, la ISS y el centro de la Tierra están alineados. Al tensarse el cable, se soltará de la ISS. ¿Cuántos minutos después de que el transbordador atrapa el extremo suelto el cable se soltará de la ISS? c) Demuestre que, si el transbordador no logra pescar el cable, la cuadrilla deberá esperar

PROBLEMAS CAPITULO 12 un tiempo para tener otra oportunidad. Calcule el valor numérico de t y explique si valdría la pena esperar.

12.87. Navegación interplanetaria. La forma más eficiente de enviar una nave de la Tierra a otro planeta es usar una órbita de transferencia de Hohmann (figura 12.38). Si las órbitas de los planetas de origen y de destino son circulares, la órbita de transferencia de Hohmann es una órbita elíptica, cuyos perihelio y afelio son tangentes a las órbitas de los dos planetas. Los cohetes se encienden brevemente en el planeta de origen para colocar la nave en la órbita de transferencia; a continuación, la nave viaja sin motor hasta llegar al planeta de destino. En ese instante, los cohetes se encienden otra vez para poner a la nave en la misma órbita alrededor del Sol que el planeta de destino. a) Para un vuelo de la Tierra a Marte, ¿en qué dirección se deben disparar los cohetes en la Tierra y en Marte: en la dirección del movimiento o en la dirección opuesta? ¿Y en un vuelo de Marte a la Tierra? b) ¿Cuánto tarda un viaje de ida de la Tierra a Marte, entre los disparos de los cohetes? c) Para llegar a Marte desde la Tierra, el instante del lanzamient < T2 /DT 0 x 0 V 1.) 1 1 1 x 2 n < 1 1 nx, DT 5 3pDr v y Dv 5 p Dr T Dr V r, to debe calcularse de modo que Marte esté en el lugar correcto cuando la nave llegue a la órbita de Marte alrededor del Sol. En el lanzamiento, ¿qué ángulo deben formar las líneas Sol-Marte y Sol-Tierra? Use datos del Apéndice F

. 12.88. Fuerzas de marea cerca de un agujero negro. Una astronauta, dentro de una nave que la protege de las radiaciones dañinas, está en órbita alrededor de un agujero negro a una distancia de 120 km de su centro. El agujero tiene 5.00 veces la masa del Sol y un radio de Schwarzschild de 15.0 km. La astronauta está situada dentro de la nave, de modo tal que una de sus orejas de 0.030 kg está 6.0 cm más lejos del agujero negro que el centro de masa de la nave, y la otra oreja está 6.0 cm más cerca. a) ¿Qué tensión hay entre las orejas? ¿Sería difícil para la astronauta evitar ser desgarrada por las fuerzas gravitacionales? (Puesto que todo su cuerpo está en órbita con la misma velocidad angular, una oreja se mueve con demasiada lentitud para el radio de su órbita y la otra lo hace con demasiada rapidez. Por ello, la cabeza debe ejercer fuerzas sobre las orejas para mantenerlas en sus órbitas.) b) ¿El centro de gravedad de la cabeza está en el mismo punto que su centro de masa? Explique.

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*12.89. La masa M está distribuida uniformemente en un disco de radio a. Calcule la fuerza gravitacional (magnitud y dirección) que actúa entre esta masa y una partícula de masa m situada a una distancia x arriba del centro del disco (figura 12.39). ¿Su resultado se reduce a la expresión correcta cuando x se hace muy grande? (Sugerencia: divida el disco en anillos concéntricos infinitesimalmente delgados, use la expresión deducida en el ejercicio 12.41 para la fuerza gravitacional debida a cada anillo, e integre para obtener la fuerza total.)

*12.90. La masa M está distribuida uniformemente a lo largo de una línea de longitud 2L. Una partícula de masa m está en un punto a una distancia a arriba del centro de la línea en su bisectriz perpendicular (el punto P en la figura 12.40). Para la fuerza gravitacional que la línea ejerce sobre la partícula, calcule las componentes perpendicular y paralela a la línea. ¿Su resultado se reduce a la expresión correcta cuando a se hace muy grande? a x m M Figura 12.39 Problema de desafío 12.89. P a L L M Figura 12.40 Problema de desafío 12.90.