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ARQ. EDMUNDO LLAGUNO

DOCENTE FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO AÑO 2015

PRESENTACIÓN El presente texto académico es el resultado de la producción docente de muchos años de catedra en la asignatura de geometría descriptiva. Cada uno de los capítulos y gráficos han sido debidamente estudiados y configurados para propiciar en el estudiante el interés por captar el mensaje que conlleva de manera adecuada el contenido de este trabajo, que a su vez permite un aprendizaje interactivo, lógico y técnico.

La rigurosidad con la que se ha desarrollado todos los capítulos y temas del contenido, ejercicios orientados a lograr un conocimiento amplio, preciso y claro del objetivo principal de esta asignatura. Se espera que este documento cumpla a cabalidad con las intenciones académicas, tanto para el estudiante como para el profesional, apoyo técnico en la solución de la graficación de las diversas proyecciones en los planos de proyección. La Universidad Central del Ecuador, la Facultad de Arquitectura y Urbanismo, las Autoridades y mi experiencia académica han posibilitado que este trabajo este disponible para la formación de las generaciones futuras, reconozco y agradezco el apoyo brindado para que esto se haga realidad.

ARQ. EDMUNDO LLAGUNO ANDRADE

AÑO 2015

Cap. Tema

Contenido BREVES DE GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Página 001

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

CAPITULO I

Introducción, Importancia, Competencias, Objetivos, Contenido, Apoyos y Conclusiones

GEOMETRÍA PLANA I.1 I.2 I.3 I.4

Conceptos básicos geométricos El punto y la línea La recta y la poligonal La curva

I.5 I.6

Ángulos Polígonos

Lámina 001 002 003 004 007 009

FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES I.7

012

Sólidos y poliedros

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN I.8

015

Cuerpos redondos

REPRESENTACIÓN GRÁFICA I.9

Tipos de líneas y escala para la representación técnica

017

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

CAPITULO II

SISTEMAS DE PROYECCIÓN II.1 II.2 II.3 II.4

Elementos del sistema de proyección Sistemas y tipos de proyección Proyección cilíndrica Otros sistemas

II.5 II.6

Proyección cilíndrica diédrica Proyección axonométrica

018 019 021 022

PROYECCIÓN ORTOGONAL 023 024 PROYECCIÓN CÓNICA II.7

Proyección cónica o perspectiva

028

SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN II.8 II.9 II.10 11.11 11.12

Proyección diédrica usada en geometría descriptiva Representación simbólica Definición de términos empleados en la proyección ortogonal Fundamentos de la proyección ortogonal Rebatimiento de los planos de proyección (horizontal, vertical y de perfil)

029 031 032 034 036

Cap. Tema

Contenido

Página

PLANOS DE PROYECCIÓN II.13 II.14 II.15 II.16

Planos principales Planos auxiliares de elevación Planos auxiliares inclinados Clave, proyección y cambio de planos

037 038 039 040

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

CAPITULO III

POSICIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO III.1 III.2 III.3 III.4

Posiciones principales de la recta Posiciones particulares de la recta VL de una recta y mínima distancia entre un punto y la recta Orientación y pendiente de la recta

041 043 045 047

RELACIÓN ENTRE RECTAS III.5 III.6 III.7 III.8

Rectas paralelas (//) y paralelas aparentes Rectas perpendiculares Distancia mínima entre dos rectas oblicuas Rectas oblicuas intersecantes y no intersecantes, ángulo real

048 049 050 051

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

CAPITULO IV

DEFINICIÓN, GENERACIÓN Y VISTAS IV.1 IV.2 IV.3 IV.4

Generación de una superficie plana Vista de canto de una superficie plana oblicua y ángulo de inclinación Vista de canto de una superficie plana oblicua e inclinación respecto al PV Vista de canto y forma real (VL) de un plano oblicuo

IV.5 IV.6 IV.7 IV.8 IV.9

Relaciones básicas entre el punto, la recta y el plano Recta paralela a una recta del plano y perpendicular Recta paralela al plano Mínima distancia entre el plano y la recta paralela Recta perpendicular al plano

IV.10 IV.11

Ángulo diedro (real) de la intersección Punto de intersección entre un plano y una recta

052 053 054 055

RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTAS 056 057 058 059 060 063 064

INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS IV.12 IV.13

Intersección y visibilidad entre dos superficies planas Vista de canto y ángulo diedro de dos planos

IV.14

Ángulo diedro (real) de la intersección (Método de rotación)

065 067 068

Cap. Tema

Contenido

Página

EJERCICIOS DE SUPERFICIES PLANAS IV.15

Dados algunos datos completar las proyecciones

069

INTERSECCIÓN DE PLANOS Y VOLÚMENES IV.16 IV.17

Intersección de un plano y un prisma oblicuo Intersección de una pirámide y un prisma triangular

073 074

PRISMAS V.1 V.2 V.3 V.4

Desarrollo de superficies de cuerpos geométricos básicos Prisma recto Prisma recto trunco Prisma oblicuo

075 076 077 078

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

CAPITULO V

CILINDROS V.5 V.6 V.7

Cilindro recto Cilindro recto trunco Cilindro oblicuo

V.8 V.9 V.10 V.11

Pirámide recta Pirámide oblicua Pirámide recta trunca Pirámide oblicua trunca

079 080 081 PIRÁMIDES 082 083 084 085 CONOS

V.12 V.13 V.14 V.15

086 087 088 090

Cono recto Cono recto trunco Cono oblicuo Cono oblicuo trunco

ROTACIÓN 091

V.16

Rotación de elementos geométricos

V.17 V.18 V.19

Proyección sucesiva de un prisma Proyección sucesiva de un prisma recto trunco Proyección sucesiva de una pirámide

PROYECCIONES SUCESIVAS 092 093 094

Cap. Tema

Contenido

Página

CUBIERTAS TRADICIONALES

CAPITULO VI

CARACTERÍSTICAS VI.1

095

Definiciones

MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO VI.2 VI.3 VI.4 VI.5 VI.6 VI.7 VI.8

096 097 098 101 102 103 104

Trazado de módulo base Diferentes tipos de encuentros Casos de acoplamientos entre faldones Variante de faldones Ejemplo de acoplamientos Cubiertas con patio interior (vacio) Cubiertas en dos niveles

CUBIERTAS ESPECIALES VI.9

105

Cubierta con planos triangulares

SUPERFICIES ALABEADAS

CAPITULO VII

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO VII.1 VII.2 VII.3 VII.4

106 107 108 109

Paraboloide hiperbólico Aplicación en la arquitectura Paraboloide hiperbólico (reglada) Aplicación en la arquitectura

CONOIDE VII.5 VII.6

Conoide Aplicación en la arquitectura

VII.7 VII.8 VII.9

Hiperboloide Hiperboloide de revolución inclinado Aplicación en la arquitectura

110 111 HIPERBOLOIDE 112 113 114 HELICOIDE

VII.10 VII.11 VII.12

115 116 117

Helicoide (recto cilindrico) Helicoide (recto cónico) Aplicación en la arquitectura

CILINDROIDE VII.13

Cilindroide

118

PIEZAS DE TRANSICIÓN

CAPITULO VIII

Cap. Tema

Contenido

Página

CONEXIÓN DE SECCIONES VIII.1 VIII.2 VIII.3 VIII.4

Secciones cuadrangulares diferentes Conexión de secciones cilindricad diferentes Conexión de sección cuadrangular y circular Aplicación en la arquitectura

119 120 121 123

SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS

SOMBRAS

CAPITULO IX

IX.1 IX.2 IX.3 IX.4 IX.5 IX.6 IX.7

Sombra arrojada del punto en los planos horizontal, vertical e inclinado Sombra arrojada por una recta principal al PH y PV Sombra arrojada por una recta de punta al PH y PV Sombra arrojada por una recta oblicua al PH y PV Sombra arrojada por una superficie plana Sombra de un volado en una superficie concava y convexa Sombra de una línea curva

124 125 126 127 128 129 130

EJERCICIOS DE APLICACIÓN IX.8 IX.9 IX.10 IX.11 IX.12 IX.13 IX.14 IX.15 IX.16 IX.17

Sombra de una chimenea sobre una cubierta Sombra de un pasamanos en una grada Sombra de un poste sobre una pared con molduras Método para determinar la sombra de una recta en una cúpula Sombra de un punto en una cúpula (semiesfera) Sombra de una recta vertical en una superficie curva Sombra de una recta horizontal en una superficie curva Sombra de un plano en una superficie curva Sombra de una cúpula en el PH y PV Sombra de una esfera en el PH

131 133 134 135 136 137 139 140 141 142

BREVES DE GEOMETRÍA DESCRIPTIVA A manera de introducción es válido que se presente el entorno del cual se origina esta asignatura, datos que permitan enfocar las raíces de esta práctica, técnica que posibilita a que las ideas se transformen en gráficos, a dibujar los aspectos y características de los objetos reales del mundo tridimensional. Por historia sabemos que los hombres no han podido ponerse de acuerdo para llegar a un lenguaje mundial de palabras y frases, sin embargo ha existido un lenguaje realmente universal desde los tiempos mas remotos: el lenguaje gráfico, tal como se puede observar en los vestigios encontrados en todas las latitudes. La comunicación de los pensamientos de una persona a otra por medio de figuras existió desde épocas remotas. Los hombres primitivos registraban sus improntas a través de figuras hechas sobre superficies como pieles, piedras, paredes de cavernas, etc. Las formas mas antiguas de escritura se realizaron con imágenes, tal como lo prueban los jeroglíficos egipcios. Más adelante, estas figuras fuero simplificadas y transformadas en los símbolos abstractos que dieron origen a la escritura actual, la cual tiene por lo tanto su fundamento en el dibujo. A saber hoy podemos afirmar que la representación gráfica se desarrolló básicamente en dos direcciones distintas: a) la artística y b) la técnica. En la antigüedad casi todo el mundo era iletrado, la imprenta apareció mucho más tarde, por lo tanto no había periódicos ni libros, y los pocos que había eran manuscritos realizados en papiro o pergamino, que por lo general no eran asequible al público. Se aprendía escuchando, mirando esculturas, dibujos, cuadros que eran expuestos para ser apreciados en lugares públicos. La persona, el artista no era simplemente eso, era también un transmisor de ideas, maestro, filósofo, un medio de expresión y comunicador. Página 001

La representación técnica, se desarrolló desde los comienzos de la historia registrada ante la necesidad de representar los objetos diseñados para su posterior construcción o fabricación. De la lectura actual de las ruinas de antiguos edificios, acueductos, puentes, y otras estructuras de buena construcción se desprende que no pudieron haberse realizado sin que antes se hubiese elaborado un dibujo meticuloso que sirviera de guía a sus ejecutores. Por ello se deduce que el dibujo técnico más antiguo que se conoce es un grabado realizado sobre una loseta de piedra que representa el diseño en planta de una fortaleza, allá por el año 4.000 a.C. por el Ingeniero caldeo Gudea. Así mismo en el año 30 a. C., el Arquitecto romano Vitruvius escribió un tratado sobre Arquitectura. Se atribuye a los Arquitectos italianos Alberti, Brunelleschi y otros el desarrollo, a principios de siglo XV, de la teoría de las proyecciones de objetos sobre planos imaginarios de proyección (lo que se conoce actualmente como proyección en vistas). Leonardo da Vinci ya usaba dibujos para transmitir a los demás sus ideas y diseños de construcciones mecánicas, claro que no se puede afirmar que haya hecho dibujos en los que aparecieran vistas ortográficas, aunque es muy probable que los hubiera hecho. El tratado de Leonardo da Vinci sobre pintura, publicado en 1.651, se considera como el primer tratado impreso sobre los fundamentos del dibujo de proyecciones enfocado a la perspectiva, y no a la proyección ortográfica, que es la base de la geometría proyectiva. Al ser la Geometría (un aspecto de la matemática que se ocupa de las propiedades, medidas y relaciones entre puntos, líneas, ángulos, superficies y cuerpos), tuvo su origen en Egipto hacia el año 1.700 a. C., apareciendo por la necesidad práctica de la medición de terrenos. Tales de Mileto la introdujo en Grecia y fundó la escuela jónica en el año 600 a. C. Pitágoras discípulo de Tales fundó la escuela Página 002

pitagórica que dio gran avance a la geometría demostrando, entre otros su famoso teorema para los triángulos rectángulos (a 2 + b 2 = h 2 ). Otros estudiosos de este campo fueron: Hippias, Platón, Zenón, Hipócrates, Eudoxio, Arquímides, etc. Euclides en su obra conocida como Elementos fechada 300 años a.C. culmina una prolongada evolución de las ideas y establece de forma sistemática los fundamentos de la geometría elemental. En el período de la edad media se observó poco avance en el campo de la geometría, contrariamente al desarrollo extraordinario que se observó en la edad moderna, en la cual Desargues estableció los fundamentos de la Geometría Proyectiva y Monge los de la Geometría Descriptiva, constituyéndose en la base del lenguaje gráfico. La Geometría Descriptiva, sus comienzos están asociados en los problemas que se encontraron en el diseño de edificios y fortificaciones militares en Francia en el siglo XVIII. Se considera a Gaspar Monge (1.746 - 1.818), ya citado anteriormente, como el "inventor" de la geometría descriptiva, aunque con anterioridad aparecieron varias publicaciones sobre el arte y técnica de tallar la madera o piedra con fines constructivos, conocido como Estereotomía, perspectiva donde ya se aplicaban muchos de los conceptos de la moderna geometría descriptiva que se aplica a la Arquitectura. Monge a finales del siglo XVII, cuando era profesor de la Escuela Tecnológica de Francia, desplegó los principios de la proyección que constituyen la base del dibujo técnico de hoy en día. Se reconoció que estos principios de la geometría descriptiva tenían gran importancia militar, razón por la que se obligó a Monge a mantenerlos en secreto hasta 1.795, año en el cual se dio inicio de la educación técnica en Francia como en Alemania; posteriormente pasa a los Estados Unidos. Su libro La Géométrie Descriptive, se considera aun como el primer texto para exponer los principios básicos del dibujo de proyectistas. Página 003

De Francia, pasa en 1816 a Estado Unidos estos principios de Monge, por medio del Sr. Claude Crozet, profesor de la Academia Militar de West Point. El profesor Crozet publicó en 1.821 el primer texto en inglés sobre geometría descriptiva. En los años siguientes estos principios son parte regular del plan curricular de estudios de los primeros años de ingeniería en el Instituto Politécnico Rensselaer, en la Universidad de Harvard, en la Universidad de Yale, y en otras, llegando de esta forma hoy en día la geometría descriptiva a ser la materia de estudio en los primeros años de las carreras de Ingeniería y Arquitectura en la gran mayoría de las universidades del mundo. En el país las escuelas y facultades enfocadas a profesiones en torno a la creación de objetos físicos para uso humano, en sus pensum constan materias orientadas a la enseñanza de las técnicas de representación gráfica, pasando la geometría descriptiva a ser la base o pilar fundamental del aprendizaje de la proyección. Importancia El estudiante de Ingeniería, Arquitectura, ú otras carreras afines, al iniciar sus estudios podría interpretar equivocadamente que el trabajo en la mesa de dibujo será una actividad de importancia secundaria en su vida profesional, carente de sentido dedicar tiempo y esfuerzo en adquirir el dominio de una actividad tan rutinaria como la elaboración de dibujos, propia netamente de los dibujantes. Ahora más que nunca este criterio no solo es de estudiantes, también de maestros solo por el hecho de disponer de un instrumento técnico (computación) que facilita esta tarea, sin entender que primero debe dominarse la fundamentación de la proyección, precisamente es la geometría descriptiva la técnica que opera estos principios.

Página 004

Es el dominio de la expresión gráfica de sus ideas lo que lo hará mejor profesional. Y lejos de concebirla como una actividad sin importancia debe asumirla como lo que realmente es: fundamento sobre la que se apoya toda su vida profesional. El inicio de sus estudios, marca el momento en el cual el futuro profesional debe tomar una decisión que afectará toda su vida, pues debe elegir, paradójicamente hablando, si fundará su edificio sobre suelo sólido ó en arena. La profesión de arquitecto o ingeniero o cualquier otra carrera afín, pide que el autor sea capaz de expresar gráficamente y con toda claridad sus ideas. Todo proyecto consta de: cálculos de esfuerzos, análisis de movimientos, diseño y dimensionamiento de partes, especificación de materiales, proceso de ensamblaje y/o construcción, entre otros aspectos, estas características no se expresan con palabras, aunque es el dibujo, imagen o gráfico, lenguaje propio de los planos que sirvan de guía para la construcción del proyecto, y la expresividad de estos planos es responsabilidad neta del proyectista y lo que determinará que el aspecto final del proyecto sea o no el que él ha concebido inicialmente. Razón necesaria que el proyectista domine, las técnicas de dibujo y expresión gráfica, pues deben hacerse muchos esquemas antes de concebir una idea definitiva, que solo las realiza el arquitecto u otro profesional, estos no los va a realizar el dibujante, pues él no es quien esta desarrollando la idea. Es cierto que al momento de realizar un proyecto se elaboran varias alternativas, esquemas a mano alzada, también es frecuente, en esta fase de diseño, la realización de dibujos técnicos aunque no definitivos para fijar detalles constructivos, arquitectónicos y otros más, que sería imposible definir en un esquema impreciso, y estos en la mayoría de los casos tampoco los realiza el dibujante. Razón por la cual el Ingeniero ó Arquitecto debe dominar el dibujo a mano alzada y el Dibujo Técnico y ser consciente que la calidad y precisión de un dibujo es algo muy personal que cada uno debe desarrollar y transmitir a sus dibujantes, para que sus dibujos expresen lo que se ha conceptualizado. Página 005

Esta verdad hace que el profesional de la Ingeniería ó Arquitectura que no domine el dibujo y sus técnicas, un ser limitado incapaz de trasmitir sus ideas a los otros profesionales del ramo, perjudicando que la obra proyectada pueda tener así mismo limitaciones de cualquier índole. Competencias -Trabajo en equipo y creatividad -Comunicación oral, escrita y gráfica -Uso de las tecnologías de información y comunicación. Actitud vital positiva frente a las innovaciones sociales y tecnológicas -Capacidad de búsqueda, análisis y selección de información -Organización y Planificación. Aprendizaje autónomo. Hábito de estudio y método de trabajo -Iniciativa, compromiso, entusiasmo y capacidad de motivación -Adquirir y desarrollar la visión espacial tridimensional aplicando los sistemas de representación -Conocer y aplicar los procesos de las proyecciones ortogonales y sus diferentes sistemas de representación -Dominar el lenguaje de la representación gráfica de los elementos y procesos constructivos en el ámbito del proyecto de edificación. Saber leer y elaborar la documentación gráfica de un proyecto -Saber realizar levantamientos de planos y el control geométrico de las unidades de obra universal Página 006

Objetivos Una de las propiedades más relevante de la Geometría Descriptiva es: aprender "haciendo" y no solo "viendo". Podría ser que este aspecto lo que dificulta su aprendizaje, siendo necesario por parte del estudiante la realización constante de ejercicios prácticos que le permitan consolidar los conocimientos teóricos, fundamentación expuesta. Este considerando de la Geometría Descriptiva, se traduce en la dedicación docente a realizar tanto en clase como en el trabajo autónomo del estudiante la mayor cantidad de ejercicios de práctica en la solución de asuntos que nacen de la interpretación del entorno real. Otra de las dificultades con que se encuentra el estudiante de Geometría Descriptiva es el ejercicio mental de abstracción, grado de sintetización que se alcanza al representar objetos tridimensionales mediante esquemas bidimensionales. Por este aspecto de la enseñanza en el texto se procura ilustrar no solo las proyecciones en los planos, también figuras volumétricas que expone el detalle del procedimiento. El texto que es materia de esta introducción tiene orientación en doble sentido, académica y didáctica, pretende que la presente obra sirva como materia de apoyo y consulta para los estudiantes de Geometría Descriptiva, quienes durante el transcurso de su asistencia diaria a clases se encuentran con la dificultad de la toma de apuntes, en algunos casos de difícil elaboración, y que por lo tanto son copiados en forma imprecisa en sus láminas de dibujo trayendo posteriormente resultados desastrosos en el momento de pretender consolidar los conocimientos adquiridos. El contenido de la presente obra esta basado en el programa microcurricular vigente de la materia que se dicta en la Facultad de Arquitectura y Urbanismo de la Universidad Central del Ecuador. Veamos algunas consecuciones: Página 007

-Formar profesionales capaces de elaborar los planos de los diversos proyectos técnicos -Desempeñar la dirección de obra de edificación en el ámbito de su competencia -Formar profesionales capaces de dirigir y gestionar el uso, conservación y mantenimiento de los edificios, graficando los documentos necesarios -Formar profesionales capaces de efectuar levantamiento de planos de solares y edificios -Formar profesionales capaces de aplicar los sistemas de representación gráfica a los elementos y procesos constructivos. -Formar profesionales que tengan en cuenta los derechos fundamentales de los trabajadores de la construcción, así como los valores propios de una cultura universal. Contenido En el afán de alcanzar los objetivos propuestos, la presente obra se desarrolla acorde a las siguientes unidades de aprendizaje: Capítulo I) Conceptos .- Se presenta un marco teórico en el cual se exponen los conceptos básicos de la Geometría Elemental; geometría plana, formas geométricas espaciales, superficies de revolución y representación gráfica. Los conceptos expuestos en este capítulo se supone que son del conocimiento previo por parte del estudiante de Geometría Descriptiva, por lo tanto son mostrados de manera informativa gráfica, por medio de ilustraciones sencillas y de fácil interpretación, no obstante si se dificulta su comprensión deben estudiarse estos métodos por medio de cualquier texto básico de Geometría. Página 008

-Formar profesionales capaces de elaborar los planos de los diversos proyectos técnicos -Desempeñar la dirección de obra de edificación en el ámbito de su competencia -Formar profesionales capaces de dirigir y gestionar el uso, conservación y mantenimiento de los edificios, graficando los documentos necesarios -Formar profesionales capaces de efectuar levantamiento de planos de solares y edificios -Formar profesionales capaces de aplicar los sistemas de representación gráfica a los elementos y procesos constructivos. -Formar profesionales que tengan en cuenta los derechos fundamentales de los trabajadores de la construcción, así como los valores propios de una cultura universal. Contenido En el afán de alcanzar los objetivos propuestos, la presente obra se desarrolla acorde a las siguientes unidades de aprendizaje: Capítulo I) Conceptos .- Se presenta un marco teórico en el cual se exponen los conceptos básicos de la Geometría Elemental; geometría plana, formas geométricas espaciales, superficies de revolución y representación gráfica. Los conceptos expuestos en este capítulo se supone que son del conocimiento previo por parte del estudiante de Geometría Descriptiva, por lo tanto son mostrados de manera informativa gráfica, por medio de ilustraciones sencillas y de fácil interpretación, no obstante si se dificulta su comprensión deben estudiarse estos métodos por medio de cualquier texto básico de Geometría. Página 008

Capítulo II) Sistemas de .- Se trata los sistemas de proyección conocidos, la proyección ortogonal, la proyección cónica, sistema diédrico de proyección y planos de proyección. Los conceptos teóricos, fundamentos aquí expuestos son de gran importancia para la comprensión del resto de esta obra y el estudiante no debe pasar esta sección si no comprende y/o ejecuta sin dificultad los procedimientos prácticos aquí mostrados, ya que son la base del trabajo proyectivo ortogonal. Con respecto a la nomenclatura utilizada en la elaboración de la presente obra, su significado se explica en el momento en que es introducida por primera vez, por considerar que este es el momento más propicio para su comprensión. Capítulo III) Rectas en el espacio tridimensional.- Es el estudio de la recta y que trata la posición de la recta en el espacio y relaciones entre rectas. En adelante se definirán con exactitud los métodos de representación de puntos, rectas, planos, poliedros, determinación de intersecciones, trazado de rectas y planos paralelos y perpendiculares, procedimientos de observación de elementos geométricos en verdadero tamaño, visibilidad, etc. Se estudia a la línea recta y se define las diversas posibilidades de posicionamiento de ésta en el espacio y sus características. Se puede observar que cada posición arroja cualidades propias y que permite diferenciarlas. Se expone, mediante un breve comentario teórico, el concepto que se quiere emitir. Este debe ser leído por el estudiante, las veces que lo considere necesario hasta lograr su comprensión. Se acompaña al concepto teórico en estudio un gráfico en axonometría que lo ilustra, el cual, al ser observado paralelamente con la lectura, facilitará la comprensión de la idea que se quiere Página 009

expresar. Estas dos ilustraciones deben compararse minuciosamente para lograr la comprensión total de las mismas. Por medio de estos ejercicios el estudiante podrá darse cuenta si ha adquirido la comprensión de lo explicado y si se encuentra en condiciones de continuar el estudio de los siguientes conceptos. Capítulo IV) Superficies planas en el espacio tridimensional.- Definición, generación y vistas, relación entre planos y rectas, intersección entre planos e intersección entre planos y volúmenes. Cuando el estudiante se encuentra ya en capacidad de comprender lo anterior, este tema tiene aspectos más elaborados por lo que se requiere mayor atención y dominio de los procedimientos adquiridos. El desarrollo de la capacidad visual virtual es de suma importancia para el manejo de este capítulo, siendo el paso previo para las definiciones proyectuales posteriores. Esta habilidad mental y manual para expresar estas relaciones que son cimentadas con este contenido. Capítulo V) Desarrollo de y proyecciones sucesivas.- Este tema ve los siguientes cuerpos geométricos, prismas, cilindros, pirámides, conos y rotación. Las vistas sucesivas adiestran al observador a mirar de diferentes posiciones a los cuerpos volumétricos y tomar en cuenta su forma real y ubicación espacial. Se concreta las vista y no vistas de los elementos constitutivos del sólido. Esto se logra cambiando el plano base horizontal con uno inclinado que pasa por una arista o vértice del volumen. En cuanto al desarrollo de las caras o superficies planas de los cuerpos geométricos, se desdobla éstos en una superficie plana (cartulina, cartón, madera, plástico o metal) identificando el dobles, para luego elaborar el cuerpo real a escala, maqueta que representa al volumen. Página 010

En arquitectura estos modelos de objetos reales tridimensionales es de vital importancia, permitiendo al estudiante entender el espacio en todas sus dimensiones, que pueda trabajar en ellos para la realización de sus ideas proyectuales de objetos arquitectónicos. En otras carreras posibilita hacer o plasmar el mismo criterio con objetos de su pertinencia. Capítulo VI) especiales.

Cubiertas tradicionales.- Características, módulo base y pasos de trazado y cubiertas

Es un tema que trata de las cubiertas que tienen características de la arquitectura vernácula, realizadas en materiales propios y con ciertas consideraciones estructurales. Se define cómo se estructura la forma a partir de faldas o faldones de cubierta, mismas que se unen en intersecciones comunes como el cumbrero y limatones, los aleros que son volados de las faldas y que permiten el paso cubierto de peatones. Al manejar todo lo anteriormente aprendido, este conocimiento permite al estudiante reproducir modelos a escala, ya que es diestro en proyectar, dimensionar, desarrollar y armar la maqueta respectiva. Capítulo VII) cilindroide.

Superficies alabeadas.- Paraboloide hiperbólico, conoide, hiperboloide, helicoide y

Constituye cuerpos formados por superficies curvas regladas que son parte de las estructuras edificadas que usan tecnología de punta, para producir arquitectura espectacular. El estudiante debe conocer sus principios y su aplicación en el diseño, por ello también es importante que realice modelos a escala para su entendimiento. Capítulo VIII)

.- Conexión de secciones.

Es el tratado de las posibles conexiones entre cuerpos que tienen diferente geometría, siendo importante Página 011

su graficación y dimensión para el desarrollo de las caras y poder armar el cuerpo a escala para observar su configuración total, que permita llevar a efecto su construcción final. Capítulo IX) Sombras.- Sistema de proyección de sombras y ejercicios de aplicación Los objetos del espacio tridimensional interceptan a los rayos de iluminación natural o artificial ocasionando que estos proyecten sombras en los planos que conforman el espacio real (suelo o plano horizontal, paredes o planos verticales, rampas o planos inclinados). En este capítulo se ha tratado de todos los casos posibles de sombras arrojadas por estos cuerpos, los que han sido representados en los diversos planos de proyección, siguiendo ciertos códigos prestablecidos para su dibujo técnico. Este aspecto posibilita al estudiante y al profesional de la arquitectura u otra rama establecer en sus dibujos para lograr ambientación y carácter la trama que realce el gráfico y lo torne más atractivo para su expresión artística. En general, esta obra debe ser estudiada inicialmente en el orden expuesto y en la forma descrita, ya que cada uno de los conceptos emitidos inicialmente tiene relación con los que serán presentados posteriormente. No obstante, una vez conocido todo el contenido de esta obra, el estudiante podrá darse cuenta que logrará repasar fácilmente cualquier tema en particular por medio de la simple observación de los gráficos que lo acompañan, sin que sea necesario leer nuevamente todo el contenido teórico expuesto. El estudiante debe ejercitarse en la resolución de problemas, resolviendo para ello los ejercicios que podrá encontrar en cualquier problemario ó guía de ejercicios de Geometría Descriptiva, o en su defecto solicitar al profesor que le prepare el o los ejercicios que sean suficientes para reforzar el aprendizaje. Página 012

Apoyos La comprensión, saber ágil y oportuno de la Geometría Descriptiva para el estudiante que desee dominar las unidades y el contenido, podría si es el caso utilizar un asistente de dibujo computarizado basado en la ejecución secuencial de procedimientos o lo que se conoce como memoria descriptiva, el cual es utilizado para complementar la enseñanza y/o aprendizaje de esta asignatura. Existen muchos textos que contienen ejercicios de aplicación teórica que facilita la resolución de problemas de arquitectura e ingeniería, que cada institución y maestros deben recomendar a los estudiantes. La alternativa adecuada es que el profesor mande tareas para el trabajo autónomo en cada caso en particular, acorde a las necesidades de cada uno. Toda la tarea gráfica debe ir dirigido en última fase del proceso a la elaboración de maquetas, tal como ya se explicó, puesto que este ejercicio permite concretar el conocimiento adquirido y llevado a la práctica. En cuanto a bibliografía, existen muchos textos que su contenido sirve de apoyo para reforzar lo aprendido en el desarrollo de este libro. Algunos son más familiares como: Geometría Descriptiva Tridimensional del autor Steve Slaby, Editorial Publicaciones Cultural S.A. Geometría Descriptiva 175 problemas resueltos, del autor Hawk Minor, Editorial Mcgraw Hill, Colección Shaum

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Conclusiones El mundo real creado por el hombre, desde un simple elemento hasta la más compleja maquinaria, planta industrial, obra civil, etc., son concebidos inicialmente en forma mental, y antes de su fabricación deben ser descritos con toda precisión para resolver con exactitud cualquier problema relacionado con su forma, tamaño y funcionalidad. Es el estudio de la Geometría Descriptiva, lo que permite definir correctamente la representación plana (proyección) de los objetos tridimensionales antes ó después de su existencia real. Estudiar Geometría Descriptiva es estudiar el mundo que nos rodea, es describir la forma de: tornillos; resortes; engranajes; sillas; mesas; televisores; carros; casas; urbanizaciones; carreteras; represas; planetas; elementos estructurales; elementos arquitectónicos; en fin, todos los objetos físicos tanto naturales como artificiales que nos rodean pueden ser concebidos por el hombre mediante representaciones planas de los mismos, y es la Geometría Descriptiva la que define las reglas que rigen la elaboración de estas proyecciones. Es por lo tanto necesario que el estudiante de Geometría Descriptiva domine y exprese estos conceptos en forma correcta, razón por la cual se inicia la presente obra de Geometría Descriptiva. El manejo diestro de los instrumentos del dibujo técnico se logra con el permanente trazado, el uso continuo de escuadras y compás; incluyendo una breve descripción del concepto de escala.

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CAPÍTULO I CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA Introducción.- Cualquier objeto puede sintetizarse mediante sus elementos simples: puntos, superficies, etc. Es por lo tanto necesario que el estudiante de Descriptiva domine y exprese estos conceptos en forma correcta, por la cual se inicia el presente tema, trabajo en el que se describen en forma simple los conceptos pensando en la del estudiante en la de problemas de Descriptiva, aplicables a la destrezas que posibilita el dibujo y de objetos y sus diversos componentes, se incluyen en este punto las nociones de trazado manejo de escuadras, de mina dura y suave, habilidades para conseguir un trazado claro, preciso, imaginativo del dibujo, Se supone que todo el contenido antes descrito es del conocimiento previo del estudiante de Descriptiva, motivo de presentar este en

LÁMINA # 001

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.2. EL PUNTO Y LA LÍNEA

Punto A

A

A

Con un círculo

Con un cuadrado

Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones

Cortando Líneas

Línea Es una sucesión infinita de puntos. Las líneas se clasifican basicamente en: recta, poligonal, curva.

Línea recta

Línea poligonal

Línea curva

LÁMINA # 002

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.3. LA RECTA Y LA POLIGONAL Recta

Segmento A-B

Semirrectas a y b

Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia  

Poligonal abierta

b

b A a

Semirrecta: cada una de las dos partes en que se divide a una recta que une cualquiera de sus puntos

Poligonal cerrada

A-B

Segmento: porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos

a

Poligonal Línea formada por segmentos rectos consecutivos no alineados. Se clasifican en:

poligonal abierta: si el primer y último segmentos no están unidos

poligonal cerrada: si cada segmento esta unido a otros dos

LÁMINA # 003

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.4. LA CURVA V

V

Circunferencia

Curva

Elipse

α° = β°

Línea del plano o del espacio que no tiene segmentos rectos. Las curvas se clasifican en:

α

α° < β° α

β°

β°

α°

Cónica Curva que se genera al seccionar un cono recto de revolución con un plano. Las cónicas son cuatro y su formación depende de la relación entre los ángulos (α°: ángulo que forma el plano seccionante (a) con el plano base del cono) y (β°: ángulo que forman las generatrices del cono con el plano base del mismo) como se describe a continuación:

Circunferencia: se forma cuando el plano seccionante (a) es paralelo al plano base del cono, por lo tanto α°=0° V

Elipse: se forma cuando α°<β° V

α

α

Parábola

Hipérbola

α° = β°

α° > β°

α°

α° β°

: se forma cuando α°=β°

β°

: se forma cuando α°>β° LÁMINA # 004

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.4. LA CURVA Espiral de Arquímedes

P

Curva del plano, generada por un punto (P) que se mueve con velocidad lineal constante (v), a lo largo de una recta (a); mientras esta gira, con velocidad angular uniforme (w), alrededor de un punto fijo contenido en ella.

A

Involuta de una recta

Involuta (envolvente) V

Curva del plano, generada por un punto fijo (P) de un hilo, mientras este se desenrolla a partir de un segmento, polígono regular ó circunferencia.

a

P W

B

A D

La involuta de un círculo se utiliza en la construcción de los dientes de engranajes.

B C

P

Involuta de un polígono 1.0

Curva matemática Estas curvas son generadas por ecuaciones propias de cada una de estas ciencias y su estudio es de gran utilidad en la solución de problemas relacionados con las mismas.

f(x) =seno α° 0.5 P 0 -0.5

-1.0

0°

90°

180°

270°

360°

Involuta de un círculo LÁMINA # 005

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.4. LA CURVA Cicloide

Hélice

Curva del plano, generada por un punto fijo (P) de una circunferencia, que ruede sin deslizarse a lo largo de una recta (a). Las cicloides tienen aplicación en la construcción de los dientes de engranajes.

Curva del espacio, generada por un punto (P), de una recta (a); la cual se desplaza, con velocidad constante (v) y a su vez rota, con velocidad constante (w), sobre otra recta (e), con la que se corta.

Hélice

B a

P

cilíndrica.

Si el punto (P) que la genera, es un punto fijo de la recta (a)

e P v

a

β

Catenaria Curva plana que forma, por la acción de su propio peso, un hilo, completamente homogéneo, flexible e inextensible, cuando se fijan dos de sus puntos.

Hélice cónica. Si el punto (P) que la genera, se mueve, con velocidad lineal constante (VO), a lo largo de la recta (a).

e

Vp P v

a

β

LÁMINA # 006

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.5.

ÁNGULOS

Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común

Ángulos consecutivos

Clasificación según su medida angular Según su medida angular en grados sexagesimales (un grado sexagesimal es la 90a. parte del ángulo recto), un ángulo se define como:

180°<α<360°

α=180°

α=360°

α+β=90°

β

α Llano

Completo

Ángulos complementarios

α+β=180°

Agudo α<90°

Recto α=90°

Obtuso 90°<α<180°

β

α Ángulos suplementarios Convexo

LÁMINA # 007

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.5. ÁNGULOS Ángulos opuestos y adyacentes Dos rectas que se cortan definen cuatro ángulos, los cuales, tomados en pares se definen como: α

α β

α

α α

α

β

β

β

β

opuestos: si no poseen ninguna semirrecta común. En este caso sus medidas angulares son iguales

β

adyacentes: si poseen una semirrecta común. En este caso son ángulos suplementarios Alternos internos

Alternos externos

α α

Ángulos alternos y correspondientes

α

α

β

β β

β

Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, se forman ocho ángulos, los cuales, considerados en pares de igual medida ángular, se denominan:

Ángulos alternos

α

α

α

α

β

β β

β

Ángulos correspondientes

LÁMINA # 008

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.6. POLÍGONOS Figura geométrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se corta a sí misma

Polígonos regulares Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en una circunferencia

Triángulo equilátero

Hexágono regular

Cuadrado

Heptágono regular

Pentágono regular

Octágono regular

LÁMINA # 009

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.6. POLÍGONOS Polígonos irregulares

Triángulo

Polígono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados

Polígono de tres lados. De acuerdo a la magnitud de sus ángulos

β

γ γ

α

Triángulo

Cuadrilátero

α

β

α

Triángulo isósceles: 2 ángulos iguales

β

90°

Triángulo escaleno: 3 ángulos diferentes

Triángulo rectángulo: 1 ángulo recto

α

γ Pentágono

Hexágono

γ

α

β

Triángulo obtusángulo: 1 ángulo obtuso

Heptágono

Octágono

α

β

Triángulo acutángulo: 3 ángulos agudos

α

α

Triángulo equilátero: 3 ángulos iguales

LÁMINA # 010

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

GEOMETRÍA PLANA

I.6. POLÍGONOS b

a α

β

Cuadriláteros Polígonos de 4 lados

a

Paralelogramo: Cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos

a

b

a β

α

a

Rombo: Paralelogramo que no tiene ángulos rectos, pero sus lados son de igual longitud

a β

α

a

b

Paralelogramo en el cual los cuatro ángulos son rectos, pero los lados adyacentes no son de igual longitud

α

β

a

b

Romboide: Paralelogramo que no tiene ángulos rectos y sus lados adyacentes no son de igual longitud

Trapecio: Cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos

α Trapecio trapecio que tiene dos ángulos rectos

α

Trapecio Isosceles: Cuadrilátero en que sus lados no paralelos son de igual longitud

Trapezoide: Cuadrilatero que no tiene lados paralelos

LÁMINA # 011

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES

I.7. SÓLIDOS Y POLIEDROS Vértice

Sólido

ar ist

a

Espacio limitado por superficies

Poliedro Regular Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vértices están contenidos en una esfera

Hexaedro regular (cubo):

Poliedro regular definido por 4 triángulos equiláteros iguales

Poliedro regular definido por 6 cuadrados iguales

sta i r a

ar

ist

a

Vértice

Tetraedro regular:

cara

Vértice cara

Octaedro regular: Poliedro regular definido por 8 triángulos equiláteros iguales

Dodecaedro regular: Poliedro regular definido por 12 pentágonos regulares iguales

Icosaedro regular: Poliedro regular definido por 20 triángulos equiláteros iguales

LÁMINA # 012

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES

I.7. SÓLIDOS Y POLIEDROS Poliedro Irregular

Pirámides Regulares

Poliedro definido por polígonos que no son todos iguales

Según el número de sus caras Vértice

ari s

ta

cara

Tetraedro

Vértice

Pirámide Poliedro definido por un polígono base y cuyas caras laterales son triángulos que poseen un vértice común (V), denominado de la , que no está contenido en el plano base. La recta que pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de la pirámide (e)

regular recta: La base es un polígono regular y el eje es perpendicular al polígono base

regular oblicua: La base es un polígono regular y el eje no es perpendicular al polígono base

Pentaedro V

eje

Hexaedro

Heptaedro

Octaedro

LÁMINA # 013

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES

I.7. SÓLIDOS Y POLIEDROS Prisma V

Poliedro definido por dos iguales y paralelos (bases) y cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que une

eje

Prismas Regulares e

eje

Prisma regular oblicuo: las bases son poligonos regulares y el eje no es perpendicular a

Prisma regular recto: las bases son poligonos regulares y el eje es perpendicular a los base

Pirámide recta: el eje es base

V

Prismas Irregulares e

e

Prisma recto: el eje es perpendicular a los base

Prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los base

Pirámide oblicua: el eje no es perpendicular

LÁMINA # 014

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

I.8. CUERPOS REDONDOS Sólido que contiene superficies curvas (regladas)

Cilindro

Cono

Cuerpo redondo limitado por una superficie cilíndrica y dos bases planas paralelas. La recta que pasa por los centros geométricos de las bases se denomina eje del cilindro (e), y es paralela a la generatriz (g) de la superficie cilíndrica

Cuerpo redondo limitado por una superficie cónica y por una base plana. La recta que pasa por el vértice (V), de la superficie cónica y el centro geométrico de la base se denomina eje del cono (e)

eje

e

Cilindro oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a g las bases

Cilindro recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases

generatriz

V

Cono recto: si el eje (e), es perpendicular a la base g

Vértice eje

e

de

oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a las bases

riz

t ra

ne

Cilindro

ge

triz

recto: si el eje (e), es perpendicular a las bases

era

g

gen

Cilindro de

eje

Cono oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base

LÁMINA # 015

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

I.8. CUERPOS REDONDOS Sólido de Revolución Cono

V

Cuerpo redondo limitado por una generatriz (g) curva, que rota alrededor de un eje (e) e

Cono de revolución recto: si el eje (e), es perpendicular a la base

g e

e

e

g

g e e

Esfera: La generatriz es una circunferencia

g e

Elipsoide: La generatriz una elipse

es

Paraboloide: La generatriz

es

e

V

Cono de revolución oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base

eje

g

g

g e

e e

Hiperboloide: La generatriz es

Toro (anillo): Su superficie la genera una circunferencia una elipse, que gira alrededor de un eje (e), coplanar con ella, y situado fuera de ella

LÁMINA # 016

CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

I.9. TIPOS DE LÍNEAS Y ESCALA PARA LA REPRESENTACIÓN TÉCNICA Escalas

Líneas Tipo Representación Designación Espesor Proporción A

Contínua

Fina intensa

0,2

Mapas y planos

Aplicación Objetos espaciales, proyecciones, contornos visibles, diedros, planos de proyección y linea de tierra

B

Contínua

Fina menos intensa

C

Trazo corto

Fina intensa

D

Trazo corto

Fina menos intensa

0,2

Ejes de simetría, prolongaciones auxiliares, indicaciones

E

Continua

Mediana intensa

0,3

Texto para títulos, subtítulos y anotaciones

0,2

Líneas auxiliares, ejes de simetría, proyectantes

0,2

Objetos espaciales, proyecciones y contornos ocultos

Clase

Escalas

Reducción

1: 5 1:10 1:20 1:50 1:100 1:200 1:500 1:1000

Natural

1:1

Ampliación

2:1 5:1 10:1

LÁMINA # 017

CAPÍTULO II SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMAS DE PROYECCIÓN

II.1. ELEMENTOS DEL SISTEMA DE PROYECCIÓN Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyección de un objeto sobre una superficie. Como puede observarse en la figura, en todo sistema de proyección intervienen cuatro elementos, denominados:

Superficie de proyección

P Objeto P´

ctante

Proye

Objeto Es la figura, objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano, superficie, sólido, etc; en fin cualquier elemento geométrico ú objeto real

Proyección

Punto de observación

La proyección (P´) de cualquier punto (P) del objeto se obtiene interceptando su proyectante con el plano de proyección

Punto de observación

Superficie de proyección

Proyectantes

Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera del espacio

Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto. Generalmente es un plano; aunque también puede ser una superficie esférica, cilíndrica, cónica, etc.

Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto de observación

LÁMINA # 018

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMAS DE PROYECCIÓN

II.2. SISTEMAS Y TIPOS DE PROYECCIÓN Punto de observación

Punto de observación

B

Punto de observación a1

Lineas visuales (Rayos proyectantes)

B

Proyección de la forma

A

Pla

no

de

A d1 C

C

Plano de Proyección a1

b1

a1

Pla no

pro

c1

ye cc

Figura real en el espacio

x1

b1

ión

Proyección cónica o central

de

ye

c1

b1 c1

pro

y1

cci

ón

Proyección cilíndrica o paralela ortogonal

a2c2

Pla n

od

x2y2

ep

roy

ecc

ión

b2d2

Proyección cilíndrica o paralela oblicua

Toda figura inclinada u oblicua con respecto a un plano de proyección se proyecta deformada con cualquier sistema de proyección

LÁMINA # 019

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMAS DE PROYECCIÓN

II.2. SISTEMAS Y TIPOS DE PROYECCIÓN Punto de observación

Punto de observación

Punto de observación

a1

Rayos proyectantes A A

B

C

de

b1 c1

ye cc

ión

Proyección cónica o central

y1

c1

Pla

no

pro

d1

Plano de Proyección a1

Pla no

x1 b1

C

B

a1

Figura real en el espacio (objeto)

de

b1 c1

pro

x2y2

a2c2

Pla

no

de p

roy

ye

cci ó

n

Proyección cilíndrica o paralela ortogonal

Toda figura paralela con respecto a un plano de proyección, se proyecta en su verdadera forma (VF) en cualquier sistema de proyección

b2d2

ecc

ión

Proyección cilíndrica o paralela ortogonal

Toda figura perpendicular con respecto a un plano de proyección, se proyecta como una arista o vista de canto en cualquier sistema de proyección LÁMINA # 020

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMAS DE PROYECCIÓN

II.3. PROYECCIÓN CILÍNDRICA Se obtiene cuando el punto de observación se encuentra a una distancia tan grande del objeto, que permita considerar que las proyectantes son paralelas al interceptarse con el plano de proyección. Los principales tipos de proyección cilíndrica son: Plano d

A

e proy

Proyección oblicua

ección

Se obtiene cuando las proyectantes no son perpendiculares al plano de proyección. Preferentemente al dibujar en proyección oblicua se coloca el plano de proyección paralelo a una de las caras principales del objeto; ya que de esta forma dicha cara se proyectará en verdadero tamaño A

A´

C B C´ B´ Plano

de pro y

ección

A´

Proyección ortogonal También denominada proyección ortográfica. Se obtiene cuando las proyectantes son perpendiculares al plano de proyección

C B

C´ B´

LÁMINA # 021

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMAS DE PROYECCIÓN

II.4. OTROS SISTEMAS PLANOS ACOTADOS.- Se basan en Proyecciones Ortogonales, con un Plano de Proyección. Su aplicación práctica es la representación de terrenos, relieves, urbanizaciones, carreteras y planos relacionados con curvas de nivel

MERCATOR.- Es un tipo de proyección cartográfica cilíndrica, ideada por Gerardus Mercator en 1569, para elaborar planos terrestres, Es muy utilizada en planos de navegación por la facilidad de trazar rutas de rumbo constante o loxodrómicas. Mercator, mediante proyección, pretende representar la superficie esférica terrestre sobre una superficie cilíndrica, tangente al Ecuador, que al desplegarse genera un mapa terrestre plano.

P MOLLWEIDE.- Creada por el alemán Karl Mollweide en 1805. Proyección pseudocilíndrica equivalente en la que el meridiano central, recto, tiene la mitad de longitud que el Ecuador y el resto de los meridianos equidistantes sobre cada paralelo son elípticos. Si el meridiano central, los paralelos se trazan como líneas rectas que se cortan en ángulo recto en el meridiano central. Cada paralelo dentro de cada hemisferio se divide en espacios iguales según la distancia entre meridianos y las mismas divisiones proporcionarán los puntos de intersección de los meridianos más al exterior. Entre los dos polos se trazan elipses a través de las intersecciones de los meridianos y paralelos. Esta proyección es equivalente ya que la distancia entre paralelos esta calculada para que sea así. La escala lineal es real sólo a lo largo de los paralelos 40 grados y 40 minutos norte y sur, aumentado hacia los polos y disminuyen hacia el Ecuador. Sinónimo: Proyección homolográfica. Nota: Puede hacerse discontinua con el objeto de aminorar la anamorfosis.

LÁMINA # 022

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

PROYECCIÓN ORTOGONAL

II.5. PROYECCIÓN CILÍNDRICA DIÉDRICA Sistema diédrico Se basan en Proyecciones Ortogonales, con 2 o más Planos de Proyección Su aplicación práctica es la representación de objetos espaciales en planos de proyección, basados en vistas de las piezas, como alzados, plantas, perfiles, secciones, etc.

Proyección horizontal

PV L TA N ZO AL RI O NT H O O FR AN O L N P A PL

Proyección posterior

Cuadrante II Cuadrante I PH

LT

PH

RA

DE

A NE

Cuadrante III

R TIE

LI

PL

Cuadrante IV PV

Sistema diédrico formando los cuatro cuadrantes

AN

O

LA T

ER A

L

Proyección frontal

Figura volumétrica o espacial LÁMINA # 023

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

PROYECCIÓN ORTOGONAL

II.6. PROYECCIÓN AXONOMÉTRICA Dependiendo de los ángulos que forman entre sí los ejes axonométricos se clasifican en: Isométrica, Dimétrica y Trimétrica Proyección isométrica

149°

Y

5°

X

10

5°

0°

12

12

0°

120°

Se obtiene cuando solo dos de los tres ángulos que forman los ejes axonométricos son iguales

10

Se obtiene cuando los tres ángulos que forman los ejes axonométricos son iguales. Al representar objetos Y en proyección isométrica se mide en una misma escala sobre los tres ejes isométricos

1

Al representar un objeto en proyección dimétrica debe medirse en dos de los ejes con una misma escala y con una escala diferente en el tercer eje

Z

Z

3/4 1

3/4

1

Figura volumétrica o espacial

71/2ͧ

71/2ͧ

30°

30°

X

Proyección dimétrica

1

Figura volumétrica o espacial LÁMINA # 024

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

PROYECCIÓN ORTOGONAL

II.6. PROYECCIÓN AXONOMÉTRICA Variantes dimétricas Proyección trimétrica 1

Se obtiene cuando los tres ángulos que forman los ejes axonométricos son diferentes. En la proyección trimétrica cada eje posee su propia escala diferente a la de los otros dos

1

5

371

Y

130°

/2ͧ

X

2.5

371

/2ͧ

2.5

5 0

3°

11

11

7°

3/4 1/2

Z 1

3

0

Figura volumétrica o espacial

71/2°

45ᵁ

1

1

Figura volumétrica o espacial

LÁMINA # 025

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

PROYECCIÓN ORTOGONAL

II.6. PROYECCIÓN AXONOMÉTRICA De la clasificación anterior se desprenden estas cuatro proyecciones particulares 1. Proyección oblicua

ra

Y

An

gu

lo

cu

alq

u ie

X

Se obtiene cuando los ejes X y Z forman un angulo de 90 grados, y el eje Y forma un angulo cualquiera. Al representar objetos en esta proyección oblicua las escalas son las mismas para el eje X y Z.

Z

Y

X

135 °

Eje recedente

2. Proyección caballera

Z

45°

30°

Figura volumétrica o espacial

Se obtiene cuando solo dos de los tres ángulos que forman los ejes axonométricos son iguales. Al representar un objeto en proyección dimétrica debe medirse en dos de los ejes con una misma escala y con una escala diferente en el tercer eje.

Figura volumétrica o espacial LÁMINA # 026

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

PROYECCIÓN ORTOGONAL

II.6. PROYECCIÓN AXONOMÉTRICA 3. Proyección de gabinete

Y

135 °

X

4. Proyección oblicua aérea

Se obtiene cuando solo dos de los tres ángulos que forman los ejes axonométricos son iguales. Al representar un objeto en proyección dimétrica debe medirse en dos de los ejes con una misma escala y con una escala diferente en el tercer eje

Se obtiene cuando los tres ángulos que forman los ejes axonométricos son diferentes. En la proyección trimétrica cada eje posee su propia escala diferente a la de los otros dos. El plano horizontal se encuentra en su verdadero tamaño y dimensión.

Z

45°

Figura volumétrica o espacial LÁMINA # 027

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

PROYECCIÓN CÓNICA

II.7. PROYECCIÓN CÓNICA O PERSPECTIVA Perspectiva de un punto de fuga

Denominada también perspectiva. Se obtiene cuando el punto de observación y el objeto se encuentran relativamente cercanos Plano de proyección

Plano de proyección

A Punto de observación

A´

Proyectantes

Objeto C´

C B´

Punto de observación

Se obtiene cuando el plano de proyección es paralelo a una de las caras principales del objeto (el plano de proyección es paralelo a dos de los tres ejes principales del objeto)

B

Proyección

Plano Base

Perspectiva de dos puntos de fuga Se obtiene cuando el plano de proyección es paralelo a solamente uno de los tres ejes principales del objeto Plano de proyección

Perspectiva de tres puntos de fuga Se obtiene cuando ninguno de los tres ejes principales del objeto es paralelo al plano de proyección Plano de proyección

Punto de observación

Punto de observación

Plano Base

Plano Base

LÁMINA # 028

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN

II.8. PROYECCIÓN DIÉDRICA USADA EN GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMA AMERICANO ( trabaja en el cuadrante III)

SISTEMA EUROPEO ( trabaja en el cuadrante I ) PV

PV

Cuadrante II

PV

Cuadrante II Cuadrante I T

PH

Cuadrante II L

PH

PH PV

T

no

Pla

riz ho

Cuadrante III Cuadrante IV

PV

rra tie cia e n d ea fere Lin e re od

Cuadrante IV

PV

Variación del ángulo visual de los cuadrantes

l

ta on

PH

L

Cuadrante IV Cuadrante III

T

PH

PH

L

Cuadrante III

Cuadrante I

Cuadrante I

cal

i ert

ov

n Pla

Cuadrante I

rra tie ia e c d ea ren Lin refe e od

Cuadrante III

tal

cal

n zo ori h o lan

n Pla

i ert v o

P

LÁMINA # 029

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN

II.8. PROYECCIÓN DIÉDRICA USADA EN GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Giro o rebatimiento de planos Sistema Americano Línea de Tierra PH

p1

p2

P

P

Cuadrante III

d ati

PV

Proyección Vertical Punto del Espacio

do

o

eb VR

p2 PV

Giro o Rebatimiento

Proyección vertical rebatida

T

L

Giro o rebatimiento Sistema Europeo

Giro o rebatimiento

P

ati eb R V

Proyección Vertical Rebatida

p2

Cuadrante I T

p2

Proyección Horizontal

P

PH

L

Línea Visual de Proyección

p1

Figura volumétrica o espacial Plano Horizontal

1 2

p2

Línea de Tierra o de referencia

Proyección Horizontal del Punto P

p1 L

Plano Vertical

Proyección Vertical del punto P

T

L

2 1

T

p1 p2 Plano Vertical

Figura descriptiva

Proyección Vertical del Punto P

Proyección Horizontal del Punto P

Plano Horizontal

Figura descriptiva LÁMINA # 030

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN

II.9. REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA

Punto

Recta

Plano

Volumen

a=b Perpendicularidad (Ángulo Recto)

Igualdad

Equivalencia / Coincidencia

Ángulo Recto

Paralelismo

Ángulo Inclinado

Paralelas (equidistancia)

Más otros signos y símbolos que se utilizan en geometría plana. VM: Verdadera Magnitud h: Altura Dl: Distancia Lateral Al. Alejamiento LT: Línea de Tierra o de Referencia PH (PV): Planos de proyección LÁMINA # 031

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN

II.10. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS EMPLEADOS EN LA PROYECCIÓN ORTOGONAL

Líneas Visuales

Son la líneas de vista de un observador que mira un punto o serie de puntos. Se supone que son rectas paralelas. La posición del observador con respecto al punto o serie de puntos que esta mirando, se considera en el infinito.

Líneas proyectoras

Rectas que pueden considerarse como prolongaciones de líneas visuales del observador y que van desde los planos de proyección a un punto o serie de puntos en el espacio definido por los mismos planos.

Planos de Proyección

Son superficies planas que no tienen espesor, transparentes y que se supone estan colocadas entre el observador y el punto o serie de puntos que mira. La posición de un plano de proyección es tal que siempre es perpendicular a las líneas visuales del observador.

Línea de tierra

Es la recta común a dos planos de proyección mutuamente perpendiculares que se intersecan. Esta línea se usa como base para las mediciones que definen la ubicación o localización de los objetos en el espacio tridimensional.

LÁMINA # 032

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN

II.10. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS EMPLEADOS EN LA PROYECCIÓN ORTOGONAL Proyección horizontal (vista de planta)

Es la proyección de un punto o serie de puntos en el espacio, sobre el plano de proyección horizontal. Vista que se aprecia cuando sus líneas visuales son verticales osea, perpendiculares al plano de proyección horizontal.

Proyección vertical (vista de elevación frontal)

Es la proyección de un punto o serie de puntos en el espacio, sobre el plano de proyección vertical. Vista que se aprecia cuando sus líneas visuales son horizontales osea, perpendiculares al plano de proyección vertical.

Proyecciones o vistas de elevación (principales y auxiliares)

Proyecciónes o vistas inclinadas auxiliares

Esto significa que el observador puede tener un número infinito de posiciones en las cuales su línea visual permanece horizontal. Los planos principales son el vertical, lateral derecho e izquiedo y posterior. Las proyecciones auxiliares de elevación son todas las que no son principales. Se observara que los planos de proyección de elevación son siempre perpendiculares al plano de proyección horizontal.

Son todas aquellas vistas en las cuales las líneas visuales del observador no son verticales ni horizontales, siendo infinito su número y son perpendiculares a otros planos de proyección tanto de elevación como inclinados.

LÁMINA # 033

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN

II.11. FUNDAMENTOS DE LA PROYECCIÓN ORTOGONAL Línea visual de proyección perpendicular al plano de proyección horizontal (línea vetical). El observador ve los planos frontal y de perfil como aristas

Proyección utilizada en geometria descriptiva de la facultad de arquitectura de la universidad central del ecuador Distancia bajo del PH (altura)

Proyección horizontal de la figura geométrica

PP

PH

p1

ión

Línea de Tierra o de Referencia

PH

de

P

ecc y o r

Distancia detras del PV (alejamiento)

3 1 2

Proyección lateral izquierda de la figura geométrica

Distancia bajo del PH (altura) PV

Proyección frontal de la figura geométrica

P.L

de

ón

Pro yec

cci ye

ció n

P

e Vd

Pro

Línea visual de proyección perpendicular al plano de proyección vertical (línea horizontal). El observador ve los planos horizontal y de perfil como aristas LÁMINA # 034

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN

II.11. FUNDAMENTOS DE LA PROYECCIÓN ORTOGONAL Linea visual de proyección (proyectante)

Proyección del Punto en el plano horizontal Plano Horizontal

Proyección horizontal

p1

Alejamiento

e roy P e d PH

Línea visual del observador (línea visual de proyección) que ve la proyección horizontal del punto en el espacio n

cció

p1

Ale jam

Línea de tierra

ien

Perpendicularidad

to

a ierr

Perpendicularidad

eT ea d

1

Lín

2

Proyección horizontal

p2

Plano Vertical

Figura descriptiva

Altura

P

Altura Punto en el espacio

p2

Proyección del punto en el plano vertical.

espacial

ión

PV

ecc roy P e d

Línea visual del observador (línea visual de proyección) que ve la proyección vertical del punto en el espacio

LÁMINA # 035

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN

II.12. REBATIMIENTO DE LOS PLANOS DE PROYECCIÓN: HORIZONTAL,VERTICAL y PERFIL

Superficie plana del panel de dibujo Planos de proyección antes de abatirse sobre el plano de la superficie del dibujo

O L AN NTA L P O RIZ O H

p1 1 2

p1

3

1 2

P

p2

p3

Superficie plana del panel de dibujo

AL

p3

NO

IC RT E V

A

PL

Proyección horizontal del punto

Plano Horizontal

p1

Líneas visuales del observador después de que los planos de proyección coinciden con el plano de la superficie del dibujo

Alejamiento 1 3 2

Altura

p3 Alejamiento Plano de Perfil

p2

Plano Vertical

FIL

PL

O AN

DE

R PE

Proyección de perfil del punto

Proyección vertical del punto

Figura descriptiva

LÁMINA # 036

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

PLANOS DE PROYECCIÓN

II.13. PLANOS PRINCIPALES Línea visual (vertical)

su ano

1

Plano Posterior

Proyección posterior del punto P

ior

per

Pl

5

Al

to

eja

ien

A

m leja

mi

p1

en

to

3 2

2

Línea visual (horizontal)

Plano Lat. Izquierdo 1 2 4

Línea visual (horizontal)

p2

p5

p4

Altura

Alejamiento Plano Lateral Izquierdo

Planos rebatidos en sus respectivas líneas de tierra Altura

p1

p3

Proyección frontal del punto P

Plano Frontal

Altura Plano Posterior 5 3 1 Plano Horizontal 1 4

Figura volumétrica o espacial

Altura

Plano Lateral Derecho Altura

o ent

i jam Ale al ont r f no Pla

p1

Altura

Alejamiento

p2

p3

Pla no izq de uie pe rd rfil o

p3 Altura

P

Altura 5 3 1 Plano Horizontal 1 4

1

Altura Altura

Proyección horizontal del punto P

p5

p4 Alejamiento

1 2

Plano Lateral Derecho

Plano Frontal

Altura

p2

Figura descriptiva pura

LÁMINA # 037

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

PLANOS DE PROYECCIÓN

II.14. PLANOS AUXILIARES DE ELEVACIÓN Línea visual (vertical)

o ent

3

Plano horizontal

1

h

Ele au vaci p3 xil ón iar

Línea visual (horizontal) p5

Línea visual (horizontal)

6

p6 h

1

5 h

1 3 2

h

2

p2 Elevación frontal

1 4

iar

p4

il ux a n

ió ac v e El

ien to Al

5 4

ra tu Al (h)

3 h

p3

1

to

eja m

ien m

eja

1

4

Al

6

5

Figura descriptiva (rebatimiento de planos)

p1

o espacial Los planos 3, 4, 5 y 6 son auxiliares de elevación, ya que entre ellos no hay perpendicularidad

1

ra

p4

p2

Línea visual (horizontal)

p1

tu Al

h

Alejamiento

Ele au vac xil ión iar

to

6

h

1

5

ien m

1 2

n ció r a v lia Ele uxi a

1 4

nto

p3

p1 Ale jam h ien to P

p5 6

p6

eja Al

1 6 h

1 5

ie Alejam

A

mi leja

Alejamiento

Los planos 2,3,4,5 y 6 son planos de proyección de elevación, ya que son perpendiculares al plano de proyección horizontal

3

1 2

2

h

1 4

p4

p2

Figura descriptiva pura LÁMINA # 038

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

PLANOS DE PROYECCIÓN

II.15. PLANOS AUXILIARES INCLINADOS

Línea visual inclinada del observador. El plano de proyección vertical aparece como una arista

Plano de Proyección Horizontal

a1

Línea visual (vertical) X Plan o de

a3 3

1

h h

in

Au xil

iar

Plano de Proyección Vertical

X

Proy . Ho

2

od

eP r cli oyec na ci do ón

a1

1

2

rizo

X

Pl an

Los planos #2 (frontal) y #3 (auxiliar inclinado) son perpendicular entre si

a2

Figura descriptiva

ntal 3 2 h

Línea visual (inclinada)

a3

A X

X

Plan o incli de Pro y. A na d o ux.

a2 al

ertic

o de Plan

.V Proy

Línea visual (horizontal)

espacial

LÁMINA # 039

SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

II.16. CLAVE DE LA PROYECCIÓN ORTOGONAL Y CAMBIO DE PLANOS

Vista #4 plano de proyección auxiliar inclinado PA

PLANOS DE PROYECCIÓN

PROYECCIÓN DEL PUNTO

E

#1

Líneas visuales verticales # 1. El plano vertical y los demás planos de elevación aparecen siempre como aristas

3

1

PH

H

p3

3

E

E

p1

E

3 4

p4

1

Línea visual horizontal #3. El PH y el plano Aux. inclinado #4 aparecen como aristas

p1

AI

P

Vista #3 plano de proyección auxiliar de elevación Vista #1 plano de proyección horizontal

F

1 2

PV

H

Vista #2 plano de proyección vertical o frontal

p2

H

p3

Plan

o de

p5

H

Proy

. Au

x. In

clina

p5

PAI

Línea visual inclinada #4 el plano de elevación Aux. Aparece como una arista

do

5

p4 E

p2

F #5

#2 2

#4 F

2

al tal ertic izon r V o . H roy oy. de P e Pr o d n o a Pl Plan

P Pr lan oy o d de . A e El ux ev . . 3 4

2 5

Vista #5 plano de proyección auxiliar inclinado

Figura descriptiva

1

P #3

F

Línea visual inclinada #5. El PV o frontal aparece como una arista

espacial

Línea visual horizontal #2. El PH aparece siempre como una arista

LÁMINA # 040

CAPÍTULO III RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO

III.1. POSICIONES PRINCIPALES DE LA RECTA Recta horizontal

Recta frontal

a1 (VL)

b1

Alejamiento

La recta horizontal es // al PH, por tanto tiene la misma altura y la proyección horizontal esta en verdadera magnitud o longitud

1 2

Altura a2

a1

b1

Alejamiento 1 2

La recta frontal es // al PV, por tanto tiene el mismo alejamiento y la vista frontal esta en VL

Altura b2 (VL)

a2

b2

Figura descriptiva

Figura descriptiva

1 3

b1

(VL)

b1

1

a1

3

1

a1

1 2

2

B B A

b2

A b2

(VL)

a2

a2

o espacial

o espacial

LÁMINA # 041

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO

III.1. POSICIONES PRINCIPALES DE LA RECTA Recta de perfil 3 1

a3

a1

(VL)

(VL)

a1

1 2

La recta // al PH y PV a2

Figura descriptiva

b2

b2

Figura descriptiva

a1 b1

3

1

b1

(VL)

1

3

La recta //, las proyecciones H y V son // a la Línea de Tierra

2

a2

1

b1

1

b1

b3

Recta paralela

La recta de perfil es // al PF, por tanto tiene el mismo alejamiento. La proyección de perfil esta en VL

a1

1

2

A

2

B

a3 a2 B

(VL)

b3

A

b2

b2 a2

o espacial

o espacial

LÁMINA # 042

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO

III.2. POSICIONES PARTICULARES DE LA RECTA Recta de punta al pf (recta horizontal)

Recta de punta al ph (recta vertical)

3

3

1 (VL)

a3b3

a1

3

a3

1

a1

1

a1b1

(VL)

b1

Recta de punta al pv (recta horizontal)

(VL)

a3

b3

(VL)

b1 1 2

Esta recta es I al PF

2

Esta recta es I al PV

a2

Figura descriptiva

b2

1

2

Esta recta es I al PH

Figura descriptiva a2

b3

1

Figura descriptiva

b2

a2b2

(VL)

1

b1

1

a1

3

1

3

a3b3

A

1 2

a2 B

b3

a1 (VL) b1

3

2

a3

b2 a2

1

A

2

B

1

a1b1

A

(VL)

b2

B

a3 b3

a2b2

LÁMINA # 043

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

III.2. POSICIONES PARTICULARES DE LA RECTA Recta oblicua (inclinada) 3

Vista de punta de una recta

1

Vista de punta de la recta a un plano auxiliar (plano 3)

a3b3 b1

b3

b1 a3

a1

3 1

Esta recta es inclinada a los planos

a1

2

1 2

Vista de punta de la recta a un plano auxiliar inclinado (plano 3)

(VL)

1

a2 (VL)

b2

1

b2

a1

b1

2

Figura descriptiva

Figura Descriptiva

a2

b2

b1

b1

1 3

B

a1 b3

a2

(VL)

2

a1 b1

1

3

a2 a3b3

B

A

B

A

a2 a2

(VL)

a3b3 b2

b2 3

Figura Volumétrica o Espacial

1 2

A

2

b2

a3

2

Figura Descriptiva

a1

1

1

3

a3b3

Figura Volumétrica o Espacial

2

Figura Volumétrica o Espacial

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO

III.3. VERDADERA LONGITUD (VL) DE UNA RECTA x

y 1 2

b1

a3

Plano 3 paralelo a la proyección horizontal de la recta

1

ra

(VL)

a1

x

le la

3

Pa

Proyección 3 (auxiliar de elevación) de la recta que se ve en VL (verdadera longitud)

b1

Método del plano paralelo

b3

a2

y

l ra a P

a1

y

1 2

Figura Descriptiva

2 x

a2

(VL) 3 x

b1

3

a3

(VL)

a1

1

b3

b2

b3

a1

b1

El plano 3 es // a la PV a3

b2

y

1

a

el

1

Proyección 3 (auxiliar inclinado) de la recta que se ve en verdadera longitud Figura Descriptiva

2

2

A

A

B B

a2 b2

(VL)

b3

3

a3

a2

b2

2

LÁMINA # 045

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO

III.3. VL DE UNA RECTA Y MÍNIMA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y LA RECTA Mínima distancia entre un punto y una recta

Método de giro

b1

p4

Al girar cualquiera de las proyecciones hasta ubicarla paralela al plano de proyección (LT), en el plano correspondiente se observara la verdadera magnitud de la recta a1

VL de la mínima distancia 4

a4b4

3

b3

°

b1'

90

p3

x

o3

b1

b1'

Paralela

3

(VL)

1

1 1 2

LT

m 2

a1

a3

b1 o1 y

a2

A (VL)

y

B

p1

B' a2

a1

(VL)

b2'

P

al ar

el

a 1 2

b2 y

b2

Figura Descriptiva

b2'

x

a2

Figura Descriptiva

o2 b2 p2

LÁMINA # 046

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO

III.4. ORIENTACIÓN Y PENDIENTE DE LA RECTA Orientación La orientación de una recta se observa y mide solo en la proyección horizontal.

N

b1

O

E

a1

La medición del ángulo de la orientación o rumbo, parte del norte al este, del norte al oeste, del sur al este y del sur al oeste

S 1 2

b2

La proyección vertical de la recta cualquiera sea su ubicación o pendiente, no tiene ningun efecto en la orientación en el PH

a2'

a2

Pendiente b3

La proyección en el plano 3 (plano auxiliar de elevación) esta en verdadera longitud

b

la de n o ul ció ng ina Á cl in

(VL)

Para medir el ángulo de inclinación se puede prolongar la VL de la recta hasta la LT 13, o utilizar los planos auxiliares horizontales

3 1

b1

b

a3

b

a el al

a1

r

Pa

1 2

3 1

b1

a2

E

N

b2'

El plano #3 es // a la proyección horizontal

b1

a1

a1 b3

S

O

1 2

B

a2'

b

1 2

g

B

a3

b2

Figura Descriptiva

A

A a2

b2

b2

a2 b2'

o espacial

LÁMINA # 047

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

RELACIÓN ENTRE RECTAS

III.5. RECTAS PARALELAS (//) Y PARALELAS APARENTES (DETERMINACIÓN DE LA EQUIDISTANCIA)

a5

Rectas paralelas (//) aparentes

Rectas paralelas (//)

c5

Dadas las proyecciones de las rectas AB y CD, comprobar si son o no paralelas en el espacio

La proyección de la una recta se encuentra sobre la segunda recta

b5 1 3

d5 c3

c1 5 4

c4d4 a4b4

d3 4 (VL)

3

b3

(VL)

3

c3

Distancia real equidistante entre las dos rectas En la proyección 4 se ve a las rectas como un punto, y se observa la mínima distancia entra las dos rectas //

a1

a3

b1

b3

1

d3

d1

a3

b1

1

d1

2

a2 a1

c1

Las dos rectas de perfil aparentemente //, se demuestra en el plano #3 que no lo son

d2

1 2

a2 c2

b2

Las rectas // se proyectan en cualquier plano de proyección d2 siempre //

b2

Figura Descriptiva

c2

LÁMINA # 048

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

RELACIÓN ENTRE RECTAS

III.6. RECTAS PERPENDICULARES ( ┴ ) Rectas no intersecantes

Rectas intersecantes (rectas que se cortan)

(rectas que se cruzan)

43

d4

Paralela

b3 a4b4

Cuando la proyección de una de las rectas esta en VL, se dibujara la segunda recta ┴ . El punto de intersección real se encuentra en la misma línea visual ┴ a la LT

Cuando la proyección de una de las rectas se encuentra en VL, en ese plano de proyección se definirá la otra recta ┴

Mínima distancia ┴ entre las 2 rectas

a3

VL

5 4

b3 3

VL

d4

43

la rale

d3

Pa 1

d5 3 VL

b1 c4 c3

VL

x4

a3

a5

d1

a1

a4b4

VL

x5

x3

b3

90 °

b1

b5

c1

c4

1 2

c2

c3

c5

a2

Figura Descriptiva

d2

Vista o proyección simultánea de las rectas en VL

a1

Proyectante ┴ a la LT, la misma para ambas proyecciones

1 2

b2

c2

Vista de punta de la recta

d1

x1 c1

b2

1

x2 a2

Figura Descriptiva

d2

LÁMINA # 049

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

RELACIÓN ENTRE RECTAS

III.7. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS OBLICUAS

y4 m4

La mínima distancia MN entre las dos rectas oblicuas es la ┴ levantada desde M hasta N en la recta AB

°

y3

n4

b3

VL n3 90

a4b4

a3

m3

90°

La VL de la mínima distancia entre las dos rectas oblicuas es la ┴ levantada desde la vista de punta de la recta AB hasta la recta XY

x3

x4

B

3 1 4 3

x1

b1 n1 90

N

La recta MN es la distancia mínima entre las 2 rectas cualquiera, AB y XY, ya que es ┴ a ambas rectas

l ara

ela a1

P

m1 y1

1 2

Y 90°

A x2

M m2

y2

X

Figura Descriptiva

b2 a2

n2

LÁMINA # 050

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

RELACIÓN ENTRE RECTAS

III.8. RECTAS OBLICUAS INTERSECANTES Y NO INTERSECANTES, ÁNGULO REAL Rectas intersecantes

Rectas no intersecantes c5

Mínima distancia ┴ entre las dos rectas que se cruzan

c4

VL

En la vista 3 cuando una de las rectas esta en VL se puede medir el ángulo real entre las dos rectas oblicuas intersecantes

b5

4 3

d4

a4b4

x3

g

VL

b

c4

3

d5 1

a3

b3

c3

b3

c3 Pa

ra

VL

le

la

b1

d1

α

4

5

4 3

α

β d3

Cuando la proyección de las dos rectas están en VL, se puede medir los ángulos de abertura

3 1

a3

x1 c1

d1

a1

Proyectante ┴ a la LT, diferente en ambas proyecciones

b1

1 2

El punto de intersección real entre las dos rectas que se cortan, se encuentra en la misma línea visual de proyección ┴ a la LT

d4 β

En la vista 4 se observa a una de las rectas como un punto

VL

a4b4

d3 x4

β α α β

b2

a1

c1 1

d2

2

a2

d2

x2

c2

b2

a2 c2

El punto de intersección es aparente y no se encuentra en la misma línea visual ┴ a la LT LÁMINA # 051

a5

CAPÍTULO IV SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

DEFINICIÓN, GENERACIÓN Y VISTAS

IV.1. GENERACIÓN DE UNA SUPERFICIE PLANA La recta XY pertenece a la superficie plana, por tanto todos sus puntos esta en contacto con la misma Y

B B'

P

A' Y

A'

Y

A B X

X A

A

X

Plano generado por una recta y un punto fuera de ella

Plano generado (sector circular) por una recta que gira en uno de sus extremos

Plano generado por una recta que se desplaza // asi misma

B

B C Y

Y A

A B

B

Y

D

A X

X

X D

Plano generado por dos rectas que se intersecan

C

Plano generado por tres puntos no colineales

C

Plano generado por dos rectas // LÁMINA # 052

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

DEFINICIÓN, GENERACIÓN Y VISTAS

IV.2. VISTA DE CANTO DE UNA SUPERFICIE PLANA OBLICUA Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN Empleando una recta horizontal auxiliar a1

Ángulo de inclinación o pendiente 3

x1

1

(VL)

Vista de Canto (VC) del plano ABC

a1

b1

x1

c1

b1 c1

a3

3

lela

°

c3x3

1 2

46

Para

1 2

1

Vista de Punta de la LH

3

b2

b3

4

B

c2

b2 b3

x2

LH

C

A

x2

c3x3

c4

c2 3 6,7

Forma real (VL)

68°

a2

a2

a3

5,66

63

°

49°

a4

6,99

Figura Descriptiva

b4

El plano 4 es // a la VC (vista de canto del plano en el #3), por tanto en el plano 4 se ve la verdadera magnitud VL

o espacial LÁMINA # 053

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

DEFINICIÓN, GENERACIÓN Y VISTAS

IV.3. VISTA DE CANTO DE UNA SUPERFICIE PLANA OBLICUA E INCLINACIÓN RESPECTO AL PV Empleando una recta frontal auxiliar Forma real

7,45

°

a4

63

El plano 4 es // a la VC del plano #3, por lo tanto en el plano 4 se ve la c4 verdadera magnitud (VM) o VL

49°

6,03

1 3

68°

a1

17

7,

b1

a1

a3

b4 x1 Línea Frontal

b1 Para

c1

lela

c3

c1

Vista de Canto del plano ABC

b2 (VL)

x2

2

3

1

2

B

3

a3

c2

c3

4

x3b3

1 2

x3b3

Vista de Punta A de LF

b2 C

(VL)

c2 x2 a2

Figura Descriptiva a2

LÁMINA # 054

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

DEFINICIÓN, GENERACIÓN Y VISTAS

IV.4. VISTA DE CANTO Y FORMA REAL (VL) DE UN PLANO OBLÍCUO Empleando una recta oblicua auxiliar El plano #4 es perpendicular a la VL de la c

Vista de Canto del plano

4

4

x4y4r4s4

3 4

VL de la recta XY

a4

y3

y5

c5

s3 r3

61 5,

b4

s5 r5

lel

°

a

69°

ra Pa

72

b3

3,79

x3 a3

40°

La recta XY en el plano #3 se encuentra en VL

c3

recta auxiliar XY. La proyección #4 permite observar la Vista de Canto del plano ABC

5

x5 a5

b5 5,51

b1

3 1

Forma real del plano ABC y1

s1 r1

a1

c1

x1 1 2

La recta oblicua auxiliar debe estar en VL para proceder a encontrar la VC de la superficie plana

b2

r2

a2 x2

y2

s2 c2

Figura Descriptiva

LÁMINA # 055

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTAS

IV.5. RELACIONES BÁSICAS ENTRE EL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO Recta que no pertenece al plano

Recta que pertenece al plano

c1 x1

o1

a1

El punto aparente (o) de contacto entre la recta y el plano, se ve que pertenece solo a la recta y no al plano

m1' y1

m1'' d1

o2'

a2

o2''

x1

b1

El punto P no pertenece al plano, ya que no pertenece a una recta del plano, como se observa en la proyección vertical

y1 p1

a1

c1

d1 1 2

b2 p2 d2

10'

9' 8'

Para que la recta XY pertenezca al plano, los puntos de contacto M y N deben pertenecer al plano

y2

n2 7' 4'

5'

6'

Punto que pertenece al plano b1

y1

Para que el punto P pertenezca al plano, debe pertenecer a la recta XY del plano

m1 p1 a1

c1

x1 x2

1 2

c2

a2 p2

y2

a2

9 1 2

1'

Punto que no pertenece al plano

x2

11'

2' m2 x2 3'

x1

10

11

12'

d2

y1

8 12

c2

7

n1

1

m2 x2

6

2 m1

1 2

y2

5

4

3

c2

m2 b2

y2

LÁMINA # 056

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTAS

IV.6. RECTA PARALELA (//) A UNA RECTA DEL PLANO Y PERPENDICULAR B

rectas auxiliares que pertenecen al plano

B D A

A B X N

A

X

L

R

X

PL

AN

M

S

O

DA

DO

0

C

C C

D la

ale

a lel

Y

ra Pa

La recta XY es paralela a la recta AC del perímetro del plano ABC. Por tanto, XY es paralela a la superficie plana ABC

r Pa

Y

La recta XY es paralela a la recta CD contenida en el plano ABC. Por tanto, XY es paralela a la superficie plana ABC

Y

La recta XY es perpendicular al plano ABCD en el espacio

LÁMINA # 057

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTAS

IV.7. RECTA PARALELA (//) AL PLANO La recta XY es // al plano ABC, por ser tambien // a la recta BC del plano, como se observa en la proyección 3, donde la vista de canto y la recta son //

b1 x1

b1

h1 1

y1

(VL)

x1 y1

3

a1

1

c1

2

c1 a1 3

C

1

Y

c3 b3h3

VC

c2

A

y2

y3 X

x3

a3h3

b3

1

c3

x3

VC

a2 x2

B

b3

2

c2

y3

b2 y2

a2

LH

h2 x2

Figura Descriptiva b2

LÁMINA # 058

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

b3

la recta y el plano en vista de canto

a3h3 y1

x3y3

n3

b1

(VL)

m1

90 °

x1 y1

punto N es arbitraria

1

b1

c3

c1

a1

3

1 2

90°

m1

h1

n1

(VL)

h1

Y

n1

M 1

c1

3

a1 x3y3 1 2

m2

x2

H C

X 90

x2

b3

N A

m3

n3

a3h3

a2

I

entre la recta y el plano

Figura descriptiva a2

n2 b2

y2

n2 b2

Figura volumétrica o espacial

c2 h2

90

c2

Distancia

y2

m2 x2

c3

90 °

(VC)

B

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTAS

IV.9. RECTA PERPENDICULAR ( I ) AL PLANO c1

b1

EN CONTACTO CON EL PLANO

n1

r1 x1y1

o1

p1 a1

Ángulo real

s1

m1

Cuando el plano dado ABCD, aparece como una arista o un canto (para el caso en las proyecciones vertical y de perfil) se puede apreciar el ángulo real de 90° que forma la recta XY con el plano

d1

e1

f1

1 2 2

o2m2 a2b2

f2

b2 VC r2s2 x 2 e2

n2p2

3

e3f3 c2

d2

VC

d3 a3 x3

90 °

y2

b3c3

90 °

y3

LÁMINA # 060

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTAS

IV.9. RECTA PERPENDICULAR ( I )AL PLANO EN CONTACTO CON EL PLANO b1

El punto Y de la recta XY esta en contacto con el plano por tanto pertenece al plano ABC

b1 x1

h1 y1

c1

(VL)

y1 (VL)

1

a1

1

2

3

c1 3

h1

x1

X

C

a1

1

x3

c3

(VL) (VL)

c2

Y

x3 A

x2

B

h2 y2

a3h3 a2 b3

b3

b2

1

a3h3y3 c3

2

x2

a2

c2

LH

h2

y2

Figura Descriptiva b2

LÁMINA # 061

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTAS

IV.9. RECTA PERPENDICULAR ( ┴ ) AL PLANO NO HACE CONTACTO CON EL PLANO x3

3 1

b3 (VL)

b1

y3

x1

c1

y1 (VL)

b1 a eC

o nt

d sta

a3

Vi

h1

d1

1

x2

c3h3

h1

3

2

a1

y2

D

(VL)

c1

B (VL)

C

Y

a1

La recta XY se encuentra separada del plano ABC, como se ve en la proyección #3, vista de canto del plano.

1

b3

b2

X 1

y3

2

c2

c3h3

A

(VL)

h2

y2

x3 b2

h2

Figura Descriptiva

LH

a3

a2

x2

c2

y1

x1 a2

LÁMINA # 062

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTAS

IV.10. ÁNGULO REAL (DIEDRO) ENTRE UNA RECTA OBLICUA Y UN PLANO b3

Vista de canto del plano ABC x1

b1 a3h3

d itu

y3

a el

Ve

g

n Lo

a1

d rda

b1

3

Para determinar ángulo diedro necesaria la vista canto del plano y la de la recta

y1 c3

Lo

itu

d

1

c1

α

C

x2

a3h3

Ve

rd

ad e

A

ra

el es de VL

1 2

3

x1 ng

X

1

h1

c3

c1

(VL)

al

α

h1

x3

x3 a er

Pa r

Ángulo real (ángulo diedro) de abertura entre una recta y un plano

y3

y1 a1

b3 Y

c2

B

a2 h2 y2

1 2

b2

x2

c2 y2

Figura descriptiva

LH

h2

b2

a2

LÁMINA # 063

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTAS

IV.11. PUNTO DE INTERSECCIÓN ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA Método vista de canto Vista de canto del plano ABC

Método del plano de corte Vista de canto del plano de corte vertical auxiliar WZ

En PH es visible la sección de la recta que se encuentra sobre la VC que se observa en PE, y la otra sección es invisible

3 1

x1

c1

x3

c3

z1

x1

c1

b1

p1 b3h3

Intersección

(VL)

h1 p3

b1

p1

y1

Intersección

y3

a1

y1 a3

Intersección

w1

a1 1 2

1 2

En PV es visible la sección de la recta que se encuentra delante, esto se observa en PH, el resto que esta detrás es invisible

x2

a2

a2

w2

p2 LH

h2

x2

p2

b2

b2 z2

y2

y2 c2

Intersección

c2

LÁMINA # 064

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS

IV.12. INTERSECCIÓN Y VISIBILIDAD ENTRE DOS SUPERFICIES PLANAS Método de la vista de canto e1

b1

f1

a1

LF

y1

x1

M

Linea de intersección

f1

d1

C

Linea de intersección

c1 N

g1

Y A

1 2

b2

P

Vista de canto del plano ABC (considerado como un plano de corte)

e2 f2

a2

X

O

2 3 (VL)

B

y2

x2

b3

h2

d2 g2

f3 y3

c2

a3h3 g3

d3

c3

e3

Vista de punta de la recta auxiliar H perteneciente al plano ABC. Los puntos X-Y son las intersecciones entre los dos planos LÁMINA # 065

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS

IV.12. INTERSECCIÓN Y VISIBILIDAD ENTRE DOS SUPERFICIES PLANAS Método del plano de corte b1 m1

t1

Planos de corte que contienen a las rectas MP y NO

n1

x1

s1 y1

a1 p1

M

u1

r1

c1

N o1

B

1 2

T

Línea de intersección XY que resulta de la relación entre UT y la recta PM, y RS y la recta NC

m2 n2

b2 S t2 X U A

P

a2

Y

x2 s1

R

u2

C

O

Línea de intersección ( UT y RS) de los planos de corte entre los planos ABC y MNOP

Intersección de Planos

y2 r1 r1

c2

p2

o2

LÁMINA # 066

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS

IV.13. VISTA DE CANTO Y ÁNGULO DIEDRO DE DOS PLANOS Intersección entre dos planos a2 d2

3

Ángulo diedro real (VL)

ra

b2

lel

a

3

1

Pa

4

El plano #3 auxiliar de elevación es // a la proyección horizontal de la intersección, para encontrar la VL de la misma

b1

d3 (VC)

c2

12°

a3

(VC)

Los planos ABC y BCD aparecen como aristas, cuando la VL de la intersección CB se ve como un punto

d1

a1

b3c3

Vista de punta de la intersección

c1 1 2

b2

Línea de intersección

c2 a2 d2

LÁMINA # 067

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Pasamos un plano de corte L a la recta de intersección entre los planos dados. Este plano corta una sección plana cuya forma real contiene el ángulo diedro. Haciendo girar la sección plana de modo que sea perpendicular a la línea visual del observador, podremos ver el ángulo diedro real. A

Eje n1

Ɵ

l

nta

C

Ar

o oriz h o lan

L

Eje de rotación

Línea visual del observador

X

ist

P1R

Ɵ

LR M

o

an pl el

o1

ad

P

Línea visual del observador

Ángulo diedro real Re int cta ers de ec ció

X

D

n A

N

C

Determinación del ángulo entre una recta y un plano Eje

de

ció rota

n

PR

Determinamos una vista en el que la recta y el plano aparezcan simultáneamente en longitud verdadera y como una arista, respectivamente..

O P D A

EJERCICIOS DE SUPERFICIES PLANAS

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

IV.15. DADOS ALGUNOS DATOS COMPLETAR LAS PROYECCIONES Trazar la PV del plano, dada por 2 rectas II

Trazar la PV del plano, dada por 2 rectas I

d1

b1

c1 b1

a1 c1

1 2

d1

a1 1 2

a2

b2

d2

a2

d2 c2

Trazar la PV del plano, dada por 2 rectas que se intersecan

Trazar la PV del plano, dada por 3 puntos no colineales c1

b1 b1

a1

d1

o1 c1

a1 e1

d1

1 2

d2 a2

1 2

c2

a2

o2 b2

d2

LÁMINA # 069

EJERCICIOS DE SUPERFICIES PLANAS

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

IV.15. DADOS ALGUNOS DATOS COMPLETAR LAS PROYECCIONES Trazar la PV del plano, dado por una recta y un punto y la inclinacion del plano 60° b1 a1

Trazar la PV del plano dada por dos puntos y la pendiente del plano perpendicular a una recta del plano b1 a1

c1

c1

e1

e1 d1

1 2

d1

1 2

a2

a2

Trazar la PV del plano dada por las pendientes de dos lados del plano e1

50%

a1

c2 Trazar la PV y PH dada por una recta y un punto fuera de ella

30

a1

%

c1

b1

% 15

b1 1 2

d1

c1

1 2

c2

a2 a2

LÁMINA # 070

EJERCICIOS DE SUPERFICIES PLANAS

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

IV.15. DADOS ALGUNOS DATOS COMPLETAR LAS PROYECCIONES Completar la PV de los planos dada la pendiente de dos rectas de un plano y la PV de una recta del otro plano c1 % 20

b1

Completar la PV dada la pendiente de un plano y la pendiente de una recta del otro plano

e1

d1

f1

0%

a1

d1

5

a1 e1

f1 1 2

1 2

a2 f2 Completar la PV dada la pendiente de la interseccion y la PV de la recta de un plano e1

c1

b1 50%

a2 b2 Trazar la PV, dada la pendiente de la interseccion y la PV de la otra interseccion b1

f1

a1 ho riz

d1

on

c1

l

a1 b1 1 2

° 70

ta

%

50

e1 c1

d1

1 2

a2 b2

a2

c2 LÁMINA # 071

EJERCICIOS DE SUPERFICIES PLANAS

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

IV.15. DADOS ALGUNOS DATOS COMPLETAR LAS PROYECCIONES Trazar la PV, dada la pendiente de un plano y un punto

Trazar la PV, dada la pendiente de un plano y de una interseccion

b1

b1

a1

a1 ° 70

horizontal

c1

70°

50

°

c1

e1

e1 d1

1 2

a2

d1

1 2

a2

LÁMINA # 072

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

INTERSECCIÓN DE PLANOS Y VOLÚMENES

IV.16. INTERSECCIÓN DE UN PLANO Y UN PRISMA OBLÍCUO Métodos de la vista de canto y de los planos de corte II

IV

III

I

Vista de canto del plano de intersección ABCD h1

q3

g1 o1

a1 i1

C) (V

s3 m3

x3 w3

x1 w1

m1

y1

Q

p1 z1

y3

LHLV y1

z3

p3

Planos verticales de corte vistos como aristas

s1

o3

a3d3

d1

q1 f1

n1 x1

Plano de intersección

u1 c1

v1

S

O

r1

x

M

b1

n3

C

B

Puntos de interseccion de las aristas laterales

y

l1 b3c3

3 1

1 2

r3 l3

Puntos de intersección

o2 m2

q2

s2

z2 i2

a2 h2 Vista de canto del plano base

z

P D

A

N

b2

Aristas laterales del prisma

w

w2 g2 f 2

y2

x2 y2

v2 u2

c2 Pla

x2

no

R L

ba se

Aristas laterales

d2 n2 l2 p2 r2

Línea visual del observador, el plano de intersección se ve como una arista LÁMINA # 073

SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

INTERSECCIÓN DE PLANOS Y VOLÚMENES

IV.17. INTERSECCIÓN DE UNA PIRÁMIDE Y UN PRISMA TRIANGULAR Los puntos 2, 4, 7, 8 son puntos de intersección de las aristas laterales del prisma con las caras de la pirámide

V

O

N L

2

1

8

6

M

Línea visual en que se aprecia la vista axial del prisma

3

B

5

P X Pla n

ob

ase

W

Q

C

Plano del corte que contiene la arista lateral del prisma PQ y que interseca la cara lateral de la pirámide BVC

4

7

A

los puntos 1, 3, 5, 6 son puntos de intersección de las aristas laterales de la pirámide con las caras del prisma LÁMINA # 074

CAPÍTULO V DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

PRISMAS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.1. DESARROLLO DE SUPERFICIES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS Prisma recto

Los cuerpos geométricos se desdoblan o extienden, sobre un plano. En estas condiciones, la superficie adopta una forma que puede rodarse o doblarse para obtener la forma original del cuerpo dado

Líneas de doblez

4' 1' 4

2' VL

1 3

PL

OD

ED

1

ES A

1'

PLA NO 4'

Paralelo

RR OL LO

DE

DE SAR 3'

4 3

VL

VL

3' 2'

4

3

2

1

RO

LLO

Prisma recto

4'

1' 1'

3' 4' 2'

3 4

1

1'

2

2'

1

1'

VL

VL

2

AN

Línea de desarrollo (sobre la cual se desdobla el perímetro del prisma)

Caras del prisma extendidos

3'

1 1'

2 1

Líneas de doblez Todas las líneas aparecen en VL LÁMINA # 075

PRISMAS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.2. PRISMA RECTO VISTA AXIAL DEL PRISMA

3,3'

Nota: se usan números en lugar de letras para designar las proyecciones del prisma con objeto de facilitar la notación usada en el desarrollo

4,4' 2,2'

1,1' VL

Base Superior

1'

4 Base Inferior

2

VL

1 2

Líneas de doblez

4'

1

Perímetro del prisma visto en la proyección #1

3'

3'

3

2'

2

2'

1'

1

Línea de desarrollo

Desarrollo de las caras laterales del prisma, incluyendo las bases superior e inferior

3'

1'

4'

Base superior en vista de canto

aristas laterales en VL

2'

Forma Real de la base superior e inferior

2

3

1

4

Base inferior en vista de canto (VC)

En el desarrollo se ha cambiado de escala por efecto de la proporción del dibujo LÁMINA # 076

PRISMAS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.3. PRISMA RECTO TRUNCO 4'

LV aristas laterales Forma real de la base inferior

la de or l ea ri a r supe rm Fo base

1'

1,1' 2,2' Forma real de la base inferior

3' 4'

2' 1'

1'

Vista axial del prisma Línea de

4,4'

desarrollo 1

3,3'

2

3

4

1

4' Forma real de la base inferior

3'

1 2 2 3

e la eal d or r a Form e superi bas

3'

3'

1 1'

Líneas de doblez

4

Desarrollo completo de la superficie

4' 4'

2'

VC del plano de corte 2' 2'

1'

VL

4

1

3

2

3

VL

VL

4

Vista de canto de la base inferior

VL

2

4

1' 3

1

Se debe realizar el análisis de las proyecciones, y determinar que elementos se encuentran en VL, para aplicar al desarrollo, caso contrario hay que proyectarlos para este efecto LÁMINA # 077

PRISMAS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.4. PRISMA OBLÍCUO 4'

1’, 2’, 3’, 4’, es la forma real de la base inferior.

4'' 1'

3'

1'' 3'' Forma real de la 3'' base superior

2''

2' 1

Trasladar VL y ángulos

2

2''

2''

2'' S

3

VL

Paralela

2 3

2''

4''

1''

1''

1 x

VL VL

2'

Líneas de doblez

1'' 3''

1''

4

VL

1'' 4''

2

3'

4'

1'

O

Vista de canto de la base inferior

2

3

4''

3''

El plano S-O es perpendicular a la cara de las aristas laterales del prisma. corta una sección 1-2-3-4, que se aprecia en forma real en la vista #4.

Línea de

1

desarrollo

4

3

2

1

y 1'

1' 4'

2 4

1 4

2'

1' 3'

Perímetro del prisma en VL en vista axial

Forma real de la base inferior

2'

Desarrollo completo de la superficie LÁMINA # 078

CILINDROS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.5. CILINDRO RECTO 7

6

Forma real de la base superior

4

5

Vista axial del cilindro. La forma real de las bases superior e inferior aparece 2 aquí

3

6

1'

2'

3'

o'

7

Cuerda del arco en VL

1

8 4'

5'

6'

7'

8'

Cuerda del arco en VL

eje

o1'

4

10

eje

11

3 2

12

1

10

9 9'

9

5

12

11

8

10'

11'

12'

1

1'

2

5' 4' 3'

6' 2'

7' 1'

8' 9' 12' 11' 10'

1

4

5

6

Línea de

7

2

8

9

10

11

12

1

eje

3

desarrollo

o'' eje

generatriz

generatriz

o2'

o2''

Forma real de la base inferior

Desarrollo completo de la superficie

4 3 5

2 6

1 7

12 11 10 8 9

LÁMINA # 079

CILINDROS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.6. CILINDRO RECTO TRUNCO Forma real de la base superior 9’’

Forma real de la base superior 8’’

9’’

12’’

6’’

7’’

8’’

2’’

o3'

10

9 8

5’’

o1 eje

1

7

2

6 3

3’’

5

4

2’’

1 2

10’’ 11’’

3’’

3

8’’

2

12’’

1’’

1’’

7’’ 6’’

9’’ 5’’ 10’’

ra

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

Línea de

le

la s

12’’

desarrollo

8 o''

7

1

6

Forma real de la base inferior

1’’

12

2 5

4

3

4’’ 11’’ o2 3’’

2’’

generatriz

Pa

eje

Línea de

1

11 12

4’’ 1’’

9’’

5’’

Cuerda del arco en VL

6’’

12’’

4’’ 1’’

7’’

7’’ 6’’

11’’

8’’

10’’ 11’’

10’’ o'

Vista axial del cilindro (Se aprecia el perímetro y la real de la base inferior)

Elementos en VL

Cuerda del arco en VL 1

2 3 12 11

o2' 4 10

5 9

6 7 8

Desarrollo completo de la supeficie LÁMINA # 080

1 2

CILINDROS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

Cuerda del arco en VL 4

Forma real de la base superior

3

6 o3'

1

7''

4'' o3'

8 11

8''

2''

Vista axial del cilindro (perímetro en VL)

7

12

3''

1''

5

2

6''

5''

V.7. CILINDRO OBLICUO

10

9

1

9''

2

10'' 12'' 11''

El plano auxiliar S-O es perpendicular a los elementos del cilindro en VL, corta la sección que aparece en la vista #1 en forma real. ( Vista axial del cilindro)

7’’

6’’ 6' 3 2

2''

1''

S

y

8’’

5’’

7''

1’’

11'' 12''

2’’

5’’ 4’’

8’’

3’’

o3'

9’’

4’’

2’’ 10’’ 11’’

3’’

12’’

1’’ 1’’

x

eje

x

5'' 8'' 4'' 9'' 3'' 10''

7’’

6’’

Forma real de la base superior

12 3 4 5 6 7 12 11 10 9 8

1

O

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

Línea de

1

desarrollo

y

1'

2' 12' 3' 11' 4' 3' 4' 10' 5' 9' 6' 5' 8' 7' o3' 6'

2'

Forma real de la1' base inferior 12' 11' 10'

9'

8'

7'

V la C d ba el se pl 2 in an fe o 4 rio de r

1' 2' 1' 12'

12'

3' 11'

4'

10'

5'

o3'

11'

Forma real de 9'la base inferior

8'

7'

Cuerda del arco en VL

9' 6'

10'

1'

7'

8'

Desarrollo completo de la supeficie LÁMINA # 081

PIRAMIDES

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.8. PIRÁMIDE RECTA

Todas las caras triangulares en forma de la pirámide aparecen en forma real en el desarrollo Vértice (V1)

1

LV n

se

le era t a sl

Forma real de la base de la pirámide (perimetro de la base en VL)

LV

V1 LV

LV

VL

4

1

a ist

Ar

2

El radio del arco es igual a la VL de las aristas laterales de la pirámide

3

LV

LV

LV

LV

LV

1 2

1 V1

LV

4

LV 3 Forma re al de base de la la piramide

Líneas de doblez

2

En una pirámide recta, todas las aristas son de igual longitud; por lo tanto, sólo es necesario determinar la longitud verdadera de una de ellas

LV

LV

1 2

Desarrollo completo de la supeficie

2'

2

1

Vista de canto de la base

3

4

LÁMINA # 082

PIRAMIDES

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.9. PIRÁMIDE OBLICUA

1

Método de giro

VL de la arista

Forma real de la base de la pirámide

Rebatimiento de las aristas a la posición frontal

2

5

V 4

3

1

V 3'

4'

2'

5' 1' 3

4 5

1 2

2

V 3

1

Forma real de la base pentagonal de la pirámide

VL de las aristas

4 5 1'

5'

2'

4'

3'

Vista de canto de la base

3'

4'

2'

5'

1'

Desarrollo completo de la supeficie LÁMINA # 083

PIRAMIDES

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.10. PIRÁMIDE RECTA TRUNCA 2

Se debe dibujar la cara superior trasladando las

Forma real de la base inferior

2' Arista V1-2 gira hasta II a la LT 12

Base rectangular

3

LV

LV

V1 4'

LV

Distancia del corte en VL

2'

LV

4

1

V1

Aristas laterales en VL

1'

1'

1

3' 1'

1 2

4'

2'

3'

1

V1

LV

Plano de corte en vista de canto

2' 1'

3'

2

4' 4 La

arista

v1-2''

3 Forma re al de la base inferior d e piramide la

2''

2

1

3

1

4

2

Desarrollo completo de la supeficie 4'

1' Forma real de la base superior

3' 2'

LÁMINA # 084

PIRAMIDES

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.11. PIRÁMIDE OBLICUA TRUNCA Base pentagonal 1

2' 3

1

3'

1' 5'

n

VL

Rebatimiento de las aristas a la posición frontal

2

Ar ist ae

Forma real de la base inferior de la pirámide

5

1'

V 3

4

2

5

1

5'

V

4'

4

4'

4'

4

3'

5

5'

3'

1' Distancia del corte en VL

2'

3

V 1' 5'

1

5

2

4

2 VL de las aristas

2' 4'

3

3' 3

4

2

5

1' 2'

4' 3'

Forma real

Forma real de la base inferior de la pirámide

1

Método de giro para determinar las VL de las aristas

5'

3

1

4 5

Desarrollo completo de la supeficie

de la base superior de la pirámide

LÁMINA # 085

CONOS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.12. CONO RECTO Desarrollo completo de la cara del cono incluyendo su base

7

6

Generatriz en VL

Cuerda del arco en VL 8 9

5 V

o1 4

10

eje

107°

3 ANGULO DE AVERTURA DE LA CARA DEL CONO EN FORMA REAL

7

11 2

7

6

1 2

8

V

9

5 1

2

3

12

10

11

Cuerda del arco en VL

11

3

Generatriz en VL 10

triz

5

era

gen

o1 4

eje

4

12

1

9 o2

Forma real de la base inferior

6 7

8

4 3 5

2 6

1 7

12 8

11 10 9

LÁMINA # 086

CONOS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.13. CONO RECTO TRUNCO

7

6 5

El radio del desarrollo es igual a la longitud verdadera de los elementos del cono (desde el vértice V)

Mientras mayor altura posee el cono menor es el ángulo de apertura del mismo

6'

4

3'

12

1

8'

1 2

V2

2'

8 9' 9

10' 10

4

La VL de las generatrices se miden desde V2 a 4

VL

5' 6' 4' 3' 2' 7' 1'

triz

11'

era

12'

gen

5

8' 12' 9' 11' 10'

11

3 2

12

1

4

3

11 VL

o

4

10 VL

5

9 6

11

7

7'

4' 3'

1'

Forma real de la base inferior

11'

1' 12'

eje

6

4'

5' 6'

9 10' 10

V

2'

Generatriz (V 7) en VL

9'

eje

3' 3

V 5'

8'

2

7' 6'

7'

5' 4'

Corte de la generatriz en VL

7

8

8 7

Desarrollo completo de la superficie

3

2

o2 1

12

11

10

Vista de canto de la base

Distancias en VL de las cuerdas se miden la base inferior

2

5'

6' 7'

4' 3'

3

8' 9'

V3

2'

10'

1' 12'

11'

Forma real de la base superior

LÁMINA # 087

CONOS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.13. CONO RECTO TRUNCO

7

6 5

El radio del desarrollo es igual a la longitud verdadera de los elementos del cono (desde el vértice V) 9' V

8'

10'

7'

9' 8'

9

10'

2

1

3

4

4 2

6

VL

o

7

1 VL

12

8 9

x3 10

2

11

Desarrollo completo de la superficie

triz era

5' 6' 4' 3' 2' 7' 1'

La VL de las generatrices se miden desde V2 a 4

2 5

12

1

11

1 6

11

V2

12 7

11'

1' 12'

10

12'

3' 2' 1'

8

Forma real de la base inferior

2'

gen

7' 6' 5' 4'

10' 10

V

11'

1'

9

9'

3'

Generatriz (V 10) en VL

12

8'

8' 12' 9' 11' 10'

eje

10

5' 4'

3 11'

7'

6'

4

10'

Corte de la generatriz en VL

8

3

2

oo22 1

12

11

10

Vista de canto de la base

Distancias en VL de las cuerdas se miden la base inferior

2

5'

6' 7'

4' 3'

3

8' 9'

V3

2'

10'

1' 12'

11'

Forma real de la base superior

LÁMINA # 088

CONOS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.14. CONO OBLÍCUO V

Generatrices en VL v1 7

6

Cuerda del arco en VL

8

5

9 o1

4

9

10

2

10 11

7

12

1

6

12 5

1

1

z

Cuerda del arco en VL

ge

1

6

o

VL Generatrices

Forma real de la base inferior

12

7

11 8

9

10

Desarrollo completo de la supeficie

eje

1 7

2

5

tri

2 6

3

4

v2

ra ne

2

4

2

4 3 5

9

8

11

3

Forma real de la cara del cono

12 11 10 8 9

9 10 8

11 7

12 6

1 23 5 4

Método de giro para determinar las VL de las generatrices

LÁMINA # 089

CONOS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.15. CONO OBlÍCUO TRUNCO V

Generatrices en VL

Cuerda del arco en VL

v1 7

6

8

5 o1

4

6' 7' 8' 5' 9' 4' 3' 10' 9 2' 11' 1' 12'

9 5' 6' 7' 4' 8' 3' 9' 2' 10' 1' 12'11'

10 11

3 2

12

1

9 Forma real de la cara del cono

8

11

7 6

12 1

5 2

4 1

1

6 Forma real de la base inferior

3

o

11

4 3 5

2 6

9

10

riz

rat

o2 1 7

12

7 8

g

Cuerda del arco en VL

2

5

v2

e en

3

4

2

2

10

eje

12 11 10 8 9

Desarrollo completo de la supeficie

VL Generatrices

9 10 8

11 7

12 6

1 23 5 4

Método de giro para determinar las VL de las generatrices

LÁMINA # 090

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.16.

ROTACIÓN

ROTACIÓN DE ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

Línea visual del observador

Cuande se hace girar un punto dado con respecto a un eje, el punto ésta situado a una distancia específica del eje.

Eje de rotación

PR (rotado)

A

Plano de rotación

Al hacer girar una recta dada alrededor de un eje, si uno de los extremos de la recta dada está situada en el eje y la rotación es de 360°, se genera un cono de revolución. Línea visual del observador

R C

R P (posición inicial)

A D

Trayectoria de P durante la rotación Recta DB antes de rotar

Forma real de ABC vista por el observador después de la rotación

A

Eje

B

de r

ota

CR (rotado)

ció

n

90

°

Eje

DB en VL vista por el observador p#1

Línea visual del observador

Una superficie plana se puede hacer girar alrededor de un eje de manera que sea l a la línea visual D del observador. En esta posición el observador puede ver la forma real de la superficie plana dada.

B R

C

BR (rotado) R

BR (rotado) Línea visual del observador (p#1) X

D DR (rotado)

LÁMINA # 091

PROYECCIONES SUCESIVAS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.17.

PROYECCIÓN SUCESIVA DE UN PRISMA

1

2

1

1'

2'

1'

4 3 4' 4

2

4

1,1' 4'

3'

2,2'

1

2' 3

4,4' 3'

1 3

3,3' 1' 1

4'

2

1 4 2' 3'

4'

1'

3'

2'

2 La línea base pasa por una arista o vértice de la PV del volumen de manera que forme un ángulo con la base del prisma

3

5

1

4

1

3

2

LÁMINA # 092

PROYECCIONES SUCESIVAS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.18. 1

PROYECCIÓN SUCESIVA DE UN PRISMA RECTO TRUNCO 1

1'

1'

2 2'

4

1,1'

2

4' 4'

4

2'

3 4

2,2' 3

4,4'

3' 1

3' 1

3,3'

3

1 2

4'

1'

3'

1 4'

4 2'

2'

3' 1'

2 3

4

1

3

2

1 5

LÁMINA # 093

PROYECCIONES SUCESIVAS

DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS

V.19.

PROYECCIÓN SUCESIVA DE UNA PIRÁMIDE 2

3

2

1 4 4

1

A

1

2 A

3

1 4

A

2

1

1

3

3

A 4

3 1 2

4 A 5 1

1

4

2

3

LÁMINA # 094

CAPÍTULO VI CUBIERTAS TRADICIONALES

CUBIERTAS TRADICIONALES

CARACTERISTICAS

VI.1. DEFINICIONES

Las cubiertas tradicionales.- Se basan en la intersección de 2 o más superficies planas inclinadas para formar las faldas o faldones. La intersección entre 2 faldones inclinados opuestos se conoce como cumbrero, el mismo que es horizontal. Esta línea recta siempre se ubica en el centro del área que se pretende cubrir. La intersección entre dos faldones adyacentes, línea recta inclinada que parte del extremo del cumbrero hacia el vértice exterior conformada por los dos faldones que forman un ángulo superior, lomo o dorso configurado en la proyección horizontal a 45 grados, se conoce como limatesa.

La intersección entre dos faldones adyacentes, línea recta inclinada que parte del extremo del cumbrero hacia el vértice exterior conformada por los dos faldones y formando un ángulo inferior, canal configurado en la proyección horizontal a 45 grados, se conoce con el nombre de limahoya. Tanto limatones y limatesa son los limatones en una cubierta tradicional. Los lados extremos inferiores de los faldones configuran los aleros de la cubierta, teniendo la misma altura en cualquiera de sus costados.. El alero generalmente sobresale del paramento o pared de la edificación una dimensión que sirve para proteger a la misma.

LÁMINA # 095

CUBIERTAS TRADICIONALES

MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO

VI.2. TRAZADO DEL MÓDULO BASE

1.- Definición del espacio a cubrirse.

4.- Trazado de encuentros

2.- Trazado de zonas

3.- Trazado del módulo base por zonas

5.- Eliminación de líneas auxiliares y trazados permanentes

LÁMINA # 096

CUBIERTAS TRADICIONALES

1.- Espacio a cubrirse

MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO

VI.3. DIFERENTES TIPOS DE ENCUENTROS

2.- Trazado de las zonas.

Alternativa 1

Alternativa 2

Alternativa 3

Alternativa 2

Alternativa 3

Alternativa 2

Alternativa 3

3.- Trazado del módulo base.

Alternativa 1

4.- Trazado encuentros.

Alternativa 1

5.- Eliminación de las líneas auxiliares y trazado de pendientes.

LÁMINA # 097

CUBIERTAS TRADICIONALES

MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO

VI.4. CASOS DE ACOPLAMIENTOS ENTRE FALDONES Superposición de igual geometría Encuentro en rectángulo

Cubierta resuelta Encuentro en cuadrado

Cubierta resuelta LÁMINA # 098

CUBIERTAS TRADICIONALES

MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO

VI.4. CASOS DE ACOPLAMIENTOS ENTRE FALDONES

1.- Primera variante

2.- Segunda variante

3.- Tercera variante

Encuentro en cuadrado

Encuentro en rectángulo

Encuentro adyacente

Elevación frontal

Elevación frontal

Elevación frontal

LÁMINA # 099

CUBIERTAS TRADICIONALES

MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO

V.4. CASOS DE ACOPLAMIENTOS ENTRE FALDONES Encuentro de dos cumbreros de diferente altura

Encuentro de dos cumbreros de la misma altura

Planta cubierta

Planta cubierta

Elevación frontal

Elevación frontal LÁMINA # 100

CUBIERTAS TRADICIONALES

MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO

VI.5. VARIANTES DE FALDONES

elevación frontal

elevación frontal

elevación frontal

elevación frontal

elevación frontal

elevación frontal

elevación frontal

elevación frontal LÁMINA # 101

CUBIERTAS TRADICIONALES

MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO

VI.6. EJEMPLO DE ACOPLAMIENTOS

Elevación lateral derecha

Elevación lateral izquierda

Todas las faldas inclinadas en ambos sentidos PV son (//)

45º

30º

Elevación frontal LÁMINA # 102

CUBIERTAS TRADICIONALES

MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO

VI.7. CUBIERTAS CON PATIO INTERIOR (VACIO)

Espacio a cubrirse PH

Elevación frontal Cubierta resuelta LÁMINA # 103

CUBIERTAS TRADICIONALES

MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO

VI.8.

CUBIERTAS EN DOS NIVELES

Contorno de nivel superior

1.- Trazado de la cubierta inferior

PH

2.- Eliminación de líneas internas

3.- Trazado de la cubierta del nivel superior

LÁMINA # 104

CUBIERTAS TRADICIONALES

CUBIERTAS ESPECIALES

VI.9. CUBIERTAS CON PLANOS TRIANGULARES Planta cuadrada

Pendientes: Horizontales y verticales de sentidos contrarios y diferentes magnitudes Cumbreras: Centrales (transversal y longitudinal) Limahoyas y limatesas: descendientes hacia los bordes exteriores

Planta cuadrada

Pendientes: De sentidos contrarios e igual magnitud Cumbreras: Centrales (transversal y longitudinal)

Planta hexagonal

Limatesas: Convergentes y descendentes hacia el centro Limahoyas: Descendentes hacia el centro

LÁMINA # 105

CAPÍTULO VII SUPERFICIES ALABEADAS

SUPERFICIES ALABEADAS

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

VII.1. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO 1'

2'

3'

4'

5'

6'

7'

Superficie generada por una recta que se desplaza, apoyada en otras dos rectas cualesquiera, y se conserva paralela a un plano. existen dos posibilidades de generación

8'

9'

10' B

A

1

PLANO DIRECTOR HORIZONTAL

2

2 4 A

6 8

9

10

7 5

Superficie generada por rectas que se apoyan en directrices rectas

B

FIgura volumétrica o espacial

3

Figura descriptiva 1

LÁMINA # 106

SUPERFICIES ALABEADAS

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

VII.2.

APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURA

En geometría analítica, es una superficie tridimensional que se describe mediante la ecuación (X2/A2 )-(Y2/B2 ) = -Z

Lobby del hotel Waikikian, (construido el 1956)

LÁMINA # 107

SUPERFICIES ALABEADAS

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

VII.3.

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO (REGLADA) 1' 3' 19' 5'

17'

7'

15' 13'

8' 6'

4'

2'

12'

10'

9'

14' 16' 18' 20' 11'

1

PLANO DIRECTOR HORIZONTAL

2

2

4

6

13

8

10

15

Superficie generada por rectas que se apoyan en directrices oblicuas

12

17

14 16

19

FIgura volumétrica o espacial

18

1

3

PLA N

5

OD

IRE

20 7

9 CTO RO BLIC UO

11

Figura descriptiva

LÁMINA # 108

SUPERFICIES ALABEADAS

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

VII.4. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURA La paraboloide hiperbólica es de gran importancia en la construcción de formas arquitectónicas, generalmente cubiertas, pues este doble apoyo de las generatrices resuelven algunos problemas estáticos, además de permitir la construcción de cubiertas nervadas en las cuales todas las piezas son rectas, dando lugar, también, a generaciones poliédricas. Estas superficies se emplean en canales, acequias, canales de hormigón y túneles. Superficies mínimas. Félix Candela ( 1910-1997), El maestro de las cubiertas de hormigón llevo al extremo las posibilidades estructurales de estas formas curvilíneas inversas. Se opto por las superestructuras en forma de paraboloide hiperbólico. En concreto cada cubierta esta formada por cuatro cuadrantes entre sí.

Richard Rogers: Palacio de Justicia de Ámbares (Bélgica) Es una enorme catedral de metal, cristal y madera tiene 7800m". El edificio esta formado por 6 alas en torno a un gran espacio central. Su estructura a partir de secciones triangulares, las que forman una malla tridimensional compleja. Cubierta de la Ciudad olímpica de Munich Esta diseñada a partir de la construcción del paraboloide hiperbólico, superficies mínimas. Este sistema tiene 2 ventajas construcción de gran ligereza y la tensión superficial esta equilibrada. LÁMINA #109

SUPERFICIES ALABEADAS

CONOIDE

VII.5. CONOIDE Conoide recto d1

A y1 a1 b1 3’ 3’’ B x1

3 c1

1 2

D

FIgura volumétrica o espacial C 2 3

3

c2d2

a2 3’

3’’

x2y2

b2

Figura descriptiva

3

c3

x3

3’’

b3

Superficie generada por una recta que se desplaza, apoyada en otra recta, y en una curva cualquiera plana o de doble curvatura, conservándose siempre paralelo a un plano director.

3’

y3

d3

LÁMINA # 110

SUPERFICIES ALABEADAS

CONOIDE

VII.6. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURA Se emplea en los intrados de las bóvedas, uniendo aberturas de forma diferente. Conveniente cuando es necesario unir techos de bóvedas curvadas o abovedadas con otros techos planos. Se emplea frecuentemente, formando piezas de unión o de tránsito. Su forma le permite ser usada como componente de un muro. Estructura conoide para la exposición de automóviles en Cartagena (Murcia) Conoide de planta dodecagonal con mástil central y doce mástiles periféricos, superficie cubierta 400m

Escuelas de la Sagrada Familia (Gaudi) Construcción concebida totalmente como provicional, lo más importante de todo esto es el conjunto de superficies onduladas. La superficie de estas fachadas estan formadas por conoides . La cubierta usa conoides para ahorrarse de hacer encaballadas. Gaudí dispone un pórtico central dentro del edificio como apoyo central de las vigas.

LÁMINA # 111

SUPERFICIES ALABEADAS

HIPERBOLOIDE

VII.7. HIPERBOLOIDE

o 21 24 2 4 6 8 20 17 16 14 12 10

Hiperboloide de revolución ( elíptico) Superficie generada por una recta, que se apoya en tres circulos situados en planos paralelos se encuentra en un mismo eje perpendicular a ellos.

9´ 8´ 7´ 11´ 10´ 6´ o 5´ 12´ 4´ 13´14´ 1´ 2´ 3´

o' 1 13

19 21 23 17 15

13

12

11 10

14

2

3

4

9

6

24

21

7

FIgura volumétrica o espacial

1

23

8

5

57 9 1 2

o'

1

3 11

3 2

4

O

20

19

8

18 17

5 6

22

7

10 16

15

Figura descriptiva

14 13

9

12 11

LÁMINA # 112

SUPERFICIES ALABEADAS

HIPERBOLOIDE

VII.8. HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN

10 8

11

9 8

7 A

C

7

B

C

5 4

Hiperboloide de revolución ( elíptico) inclinado

9

11 10

5 3

4 2

1

1

Superficie generada por una recta, que se apoya en tres circulos situados en planos paralelos se encuentra en un mismo eje perpendicular a ellos.

2

12

3 1 2

34

5C

78

9 10 11

A

C

B

Figura descriptiva LÁMINA # 113

SUPERFICIES ALABEADAS

HIPERBOLOIDE

VII.9. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURA La gran ventaja de las cuádricas regladas de permitir un doble pretensado de las armaduras en las direcciones de los dos sistemas de generatrices, se ha utilizado con frecuencia para consegir la estanqueidad en depósitos de agua. El hiperbole también se ha utilizado en rascacielos. Al momento de realizar esta rotación en torno al eje de abscisas entonces se llega a generar un hiperboloide de dos hojas. Ahora bien también se llega a crear una hipérbole de una hoja cuando la rotación se crea en tono al eje de las ordenadas. Las coordenadas cartesianas llegan a dividir a la perfección el plano en cuatro cuadrantes, estos ejes se llegan a cortar en un solo punto, lo cual es conocido como coordenada, donde la recta vertical es el eje de las ordenadas, y la horizontal es el de las abscisas. Las estructuras hiperboloides que hoy día se han construido son muy variadas, siendo la más antigua una torre de acero elaborada por Nizhny Novgorod en el año 1896 en Rusia. Así mismo años más tarde se dieron a conocer otras estructuras creadas por Oscar Niemeyer, Eduardo Torroja, Antoni Gaudí, Le Corbusier, etc. Cabe reconocer la cúpula central de las caballerizas de la Finca Gaudí, así como también la bóveda para el giro de carruajes y la iglesia de la Sagrada Familia de Parc Guell, donde la hipérbole se forma en los techos de las naves, la cual se caracteriza por ser de una hoja. Torre de control del aeropuerto de Barcelona (2007, Bruce Fairbanks)

Catedral de Brasilia (1959-70, Oscar Niemeyer)

Planetario McDowel (Centro de Ciencias de Saint Louis; 1963, Gyo Obata)

LÁMINA # 114

SUPERFICIES ALABEADAS

HELICOIDE

VII.10. HELICOIDE 13

12

14

11

15

9

d1c1

e1

a1 b1

8

1

7 6

2 3

1 2

Superficie que se genera por el movimiento de una recta, que tiene como directrices una hélice y su eje, y se conserva perpendicular a un plano director. existen dos posibilidades de generación

Helicoide recto (cilindrico)

10

4

5

d1c1 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 c2

e2 a2

LÁMINA # 115

HELICOIDE

SUPERFICIES ALABEADAS

VII.11. HELICOIDE

Helicoide recto (cónico) Superficie que se genera por el movimiento de una recta, que tiene como directrices una hélice y su eje, y se conserva perpendicular a un plano director. existen dos posibilidades de generación e

a

Vp P

v

β

LÁMINA # 116

SUPERFICIES ALABEADAS

HELICOIDE

VII.12. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURA Estas superficies tienen enormes posibilidades en su empleo como forma constructiva, pues de ser matematicamente dificil de manejar

Helicoide de la Roca Tarpeya y Centro Profesional del Este Son obras de Jorge Romero Gutiérrez, arquitecto venezolano merecedor del premio nacional de arquitectura en 1996. En 1995 escoja la roca tarpeya como el lugar adecuado para edificar un importante centro comercial. Tiene la forma geométrica triangular y esta construida sobre una colina que le da forma piramidal.

Templo de la Sagrada Familia (Gaudi) Utiliza el helicoide en su sentido de agarre en las columnas arboladas. Las bóvedas de hiperboloides tienen el ojo, el cuello del hiperboloide, un vacío por donde pasa luz natural. Las costuras entre hiperboloides son intersecciones que no aparecen nunca curvas extrañas sino que utilizan siempre rectas generatrices para hacer transiciones entre los planos que forman biseles.

Arquitecto : Rafael de la Hoz Pantallas dispuestas radicalmente a soportar losas helicoidales y a su vez, las cerchas que se colocan el segundo volúmen, dispuestas igualmente de la forma radial sustenta los forjados de las oficinas. La volumetría aparece como un disco flotante, cuyo interior se vacía para albergar una espiral que se hunde en el terreno, dejando un patio concéntrico

Gaudí logra la máxima resistencia y optimizar el comportamiento mecánico en su última versión de las bóvedas con superficies alabeadas de doble curvatura.

LÁMINA # 117

CILINDROIDE

SUPERFICIES ALABEADAS

VII.13. CILINDROIDE Superficie albeada, cuya generatriz recta se mueve de tal modo que esta continuamente en contacto con 2 líneas curvas directrices y es siempre paralela a un plano director

g1

a1

Aplicación del cilindroide en la arquitectura.Empleando en los intradós de las bóvedas, uniendo aberturas de forma diferente. Es útil cuando los vanos que tienen que unirse no están en planos paralelos. Estas superficies se emplean fundamentalmente, formando piezas de unión o de tránsito más para el proseso de construcción de estas superficies, a partir de la chapa o lámina plana o bien de superficies de simple curvatura.

f1 b1

c1 e1

1 2

f2

b2

a2

c2

e2

g2

LÁMINA # 118

CAPÍTULO VIII PIEZAS DE TRANSICIÓN

PIEZAS DE TRANSICIÓN

CONEXIÓN DE SECCIONES

VIII.1. SECCIONES CUADRANGULARES DIFERENTES En este caso las aristas laterales no se intersecan en un mismo vértice para formar una pirámide. Es conveniente desarrollar las caras (A) y (B) prolongando sus lados hasta formar triángulos; se encuentran la verdadera longitud de los lados empleados el método de giros. Las caras (C) y (D) se desarrollan por triangulación, y se encuentran las verdaderas longitudes de las diagonales así como de las aristas laterales, luego se ensambla como se puede ver. D

C

A

B H

G

o' o

A’ E

B’ F

A

H’

G’ B

A

D

E

1 2 O' O

oo'

H G

EH

FG

E

G’

F

VL

VL

VL

H’

VL

AD

C

BC

A

B

LÁMINA # 119

PIEZAS DE TRANSICIÓN

CONEXIÓN DE SECCIONES

VIII.2. CONEXION DE DOS SECCIÓNES CILINDRICAS DIFERENTES La forma descrita en esta figura semeja un cono, pero una simple observación nos revela que los elementos laterales no se intersecan en un vértice común. La intersección circular con el tubo inferior aparece en verdadera magnitud en el plano (1) y la intersección superior con el tubo inclinado pequeño se ve en su forma real en la vista auxiliar de (3). Se puede conseguir un desarrollo bastante aproximado de la pieza si se considera que esta compuesta por varios triángulos planos. 9

10

11

8

12

9

10

8 1 7 6

7 2

6 5 1

4

3

12 1 2 5

4

Para determinar las longitudes verdaderas de las aristas laterales, diagonales y elementos en # 13, sería incómodo emplear el método de planos auxiliares y aún el de giros; resulta más conveniente formar diagramas de verdadera longitud que consiste en conformar para cada arista un triángulo rectángulo cuya base es igual a la arista superior y cuya altura es la diferencia en elevación de sus extremos. La hipotenusa de el triángulo será la verdadera magnitud de la arista.

11

3

7´

8´

6´ 5´ 4´ 3´

2´

9´ 10´ 11´ 12´ 1´

2

3

7´ 6´ 5´ 4´ 3´ 2´ 1´

2

7 8 9 6 5

10 11 12 1 4 3 2

7 6 5

4

3

2 1

7´ 6´ 5´ 4´ 3´ 2´ 1´

7 6 5

4

3

2

1

VL con el método de giro LÁMINA # 120

PIEZAS DE TRANSICIÓN

CONEXIÓN DE SECCIONES

VII.3. CONEXIÓN DE UNA SECCIÓN CUADRANGULAR Y CIRCULAR

D

C 11

X'

10

X'

9 8

12

7 7´ 6 6´

1 2 3

4

5 5´ 4´

VL 1 2

A

B

4´5´6´7´ 12

1´ 2´ 3´

3 4 56 7

4´ 5´ 6´

4´

7´

A´D´

AD

BC

B´C'

VL con el método de giro LÁMINA # 121

PIEZAS DE TRANSICIÓN

CONEXIÓN DE SECCIONES

VIII.3. CONEXIÓN DE UNA SECCIÓN CUADRANGULAR Y CIRCULAR El desarrollo de esta pieza de transición se compone de cuatro superficies triangulares planas y de porciones de superficies cónicas. Por ser la pieza simétrica en el eje XX´. Se construye el medio desarrollo. Hacemos girar la semi-circunferencia 1-7 hasta una posición 1´-7´para tener la longitud real entre los puntos de las superficies cónicas, mientras que las bases de las caras triangulares planas están en verdadera magnitud en los planos (1) y (2). Los diagramas de verdadera longitud son similares a los de la figura anterior. costura

4

Desarrollo del cuerpo

3

4

5

4 1

3

2

1 2

23

M L K J N A B C D E F G

C D B A

1

2

Longitud verdadera de los elementos 1 4 5

2 3

1 2 3 4

2

4

FIgura volumétrica o espacial

1

LÁMINA # 122

PIEZAS DE TRANSICIÓN

CONEXIÓN DE SECCIONES

VIII.4. APLICACIONES EN ARQUITECTURA

Estas piezas de transición son utilizadas en conductos de ventilación, captación de polvo, etc. son de salidas cuadradas o rectangulares con conexión a tuberías cilíndricas.

Piezas especiales de hormigón para vados

Conductos de ventilación

LÁMINA # 123

CAPÍTULO IX SOMBRAS

SOMBRAS

SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS

IX.1.

SOMBRA ARROJADA DEL PUNTO EN PH, PV y PI Sombra del punto en el Plano Inclinado (PI)

Sombra del punto en el Plano Horizontal (PH) PH

Sombra arrojada por un punto en el PH

Sombra arrojada por un punto en el PI

45°

p1

sp1

PI

sp1 p1 p3

Línea de proyección

45°

p2

PH

Sombra del punto en el Plano Vertical (PV) PV

Línea de proyección

p2

sp2

PI

Sombra del punto en el Plano Inclinado (PI) sp1

PI

45°

p1

p1

1 2

PV

45°

p2

sp2

Sombra arrojada por un punto en el PV

45°

1 2

p2

Plano inclinado l al plano de proyección de perfil

45°

Los rayos de luz que van ha generar las sombras en los planos de proyección, se considera lo siguiente: En PH tienen una dirección N45E. En PV tienen una inclinación de 45 grados.

1 3 2 45°

1 2

Plano inclinado l al plano de proyección frontal LÁMINA # 124

SOMBRAS

SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS

IX.2.

SOMBRA ARROJADA POR UNA RECTA PRINCIPAL AL PH Y PV

Recta horizontal PH

sa1

Recta frontal PH

sb1

PH

sb1 sa1

Sombra en el PH

b1

1 2 45°

Línea de proyección

1 2

1 2

b2

a2

a2 45°

Línea de proyección

b2

a1

b1

Línea de proyección

45°

b1

Sombra en el PH

45°

a1

sa1 sb1

45°

45°

Sombra en el PH

a1

a2

Recta de perfil

b2 PH

PH

Recta horizontal

PV

PV

PH

Recta frontal

PV

Recta de perfil a1

45°

45°

Línea de proyección

b1

a1

b1

Línea de proyección

45°

Línea de proyección

a1

b1

1 2

1 2

b2

sa2 sb2

b2 45°

45°

Sombra en el PV PV

b2

a2

a2

45°

a2

PV

sa2

sb2

Sombra en el PV

sa2 PV

sb2

Sombra en el PV LÁMINA # 125

SOMBRAS

SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS

IX.3.

SOMBRA ARROJADA POR UNA RECTA DE PUNTA AL PH Y PV

Recta vertical apoyada en el PH PH

Recta vertical separada del PH PH

sa1

sa1

Sombra en PH

Sombra en PH sb1 45°

45°

a1b1

a1b1

sb1

1 2

1 2

45°

b2

a2 Recta separada de PH b2

Línea de proyección

45°

Línea de proyección

a2

Recta en contacto con PH

PH

PH

Recta horizontal apoyada en el PV PV

PV

a1

b1

Recta a1 separada de PV b1

Línea de proyección

45°

Línea de proyección

45°

Recta en contacto con PV

Recta horizontal separada del PV

1 2

sa2

45°

a2b2

45°

a2b2

1 2

sa2

Sombra en PV PV

sb2

Sombra en PV PV

sb2

LÁMINA # 126

SOMBRAS

SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS

IX.4.

SOMBRA ARROJADA POR UNA RECTA OBLICUA AL PH y PV Sombra en PH

Recta oblicua

Recta oblicua

Sombra proyectada de la recta oblicua en los 2 planos principales

PV

PH

sa1

PH

a1

sb1

a1

b1

Sombra en PH

45°

b1

a1

1 2

Línea de proyección

sb1 b1

1 2

b2

Línea de proyección

Sombra en PV a2

45°

b2

1 2

a2

PV

sa2

sb2

PH

Sombra en PH a1b1

PV

Recta en contacto con PH

Recta en contacto con PV

sa2

b2

PV

PH

PH

a2

Sombra en PV

a1

sb1

Sombra en PH

b1

sb1 1 2

PV

Sombra en PV

a2 sa2

Sombra en PV

b2

Sombra de la recta vertical en los 2 planos principales

1 2

a2b2

sa2

Sombra de la recta horizontal en los 2 planos principales

LÁMINA # 127

SOMBRAS

SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS

IX.5.

SOMBRA ARROJADA POR UNA SUPERFICIE PLANA

PH

PH

sa1 a1' a1

sb1

Sombra en el PH

Sombra en el PH a1' b1'

b1' b1

a1 b1 1

1

2

2

a2 a2' PV

a2'

b2'

b2 b2' PV

a2

a2'

b2

b2'

b2 b2'

PH

Plano vertical frontal

PH

a2

b2

a2 a2'

Plano vertical de perfil

1 2

2

a1' b1'

1

Plano horizontal (cornisa) a1' a1

Plano vertical en volado

b1' b1

Sombra en el PV PV

Sombra en el PV

a1 b1

PV

LÁMINA # 128

SOMBRAS

SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS

IX.6.

SOMBRA DE UN VOLADO (CORNISA) EN UNA SUPERFICIE CONCAVA Y CONVEXA

Sombra en una superficie cóncava

Sombra en una superficie convexa Sombra del punto 1

3´ 4´ 5´

1´ 2´

1´ 2´ 6´ 7´ 8´ 9´ 10´ 11´12´13´ 14´

12´

12´ 13´

16´

4´ 6´

1 2

4

6

8

11´ 8´ 10

10´ 11

13

16

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 2

1

1

1

2

2

1112 13 14 10

2

6

5 3 4

6

10

11

4

9 7

8

8 1 2

12 13

16

Sombra del punto 3 LÁMINA # 129

SOMBRAS

SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS

IX.7.

a' 123

4

5

6

SOMBRA DE UNA LÍNEA CURVA

b' PV

S2 S1

1'

5

5 6

4 5

6 b2

3

4

5

1 2' 1'

4'

2

34 5 2

6 7

1 b2 S1

6' a'

7

1

6

a2

5'

1 2

2 3'

6 b1

6

7

5

4 5

3

PI

6

3

a1 1 2

1

3 4 5

S7

4 3

b'

2

S6

3

b2 1 2

S4 S5

1 2

5' 6'

4

a2

a2 1 2

a'

6

1

4'

7

2

4

3

3'

2

2'

1

PH

PI

S3

b'

PV

Sombra arrojada en el PV

PH

a'

1

2

PI

S7

3 b'4 5 6

Sombra arrojada en el PH

Sombra arrojada en el PI

LÁMINA # 130

SOMBRAS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

IX.8.

SOMBRA DE UNA CHIMENEA SOBRE UNA CUBIERTA

1

1 2

1 2

4

34

3

2

4 3

1

1 4

2 3

2

La sombra proyectada de los lados inclinados de la chimenea en la falda inclinada de la cubiera, se observa que forma una sola línea recta de sombra en PV y PH

LÁMINA # 131

SOMBRAS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

IX.8.

SOMBRA DE UNA CHIMENEA SOBRE UNA CUBIERTA 1 2

12 34

4 3

1 2 4 3

1 4

2 3

1 2

La sombra proyectada de los lados inclinados de la chimenea en las dos faldas inclinadas de la cubiera, se observa que la línea recta de sombra se corta adoptando diferente orientación.

LÁMINA # 132

SOMBRAS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

IX.9.

SOMBRA DEL PASAMANO EN LA GRADA

11

10

9 7

8 10 9 8 7 6 5

5

6 4

3 2

1 2

1

1 3

10

5

Plano base

Los tramos de sombra del pasamano en la grada se determina en primer lugar en la proyección de perfil, señalando en PF las alturas y profundidades de la grada y el pasamano, para luego regresar a PV y PH y definir sus diferentes puntos. LÁMINA # 133

SOMBRAS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

b3

1

2

3

6 5 4

8 7

a3

a1b1

9

SOMBRA DE UN POSTE SOBRE UNA PARED CON MOLDURAS

12 11 10

IX.10.

1 2

a2

12

Este caso como los anteriores, el procedimiento señala en primer lugar la determinación de los puntos de sombra del poste en la proyección de perfil, luego se regresa las líneas visuales y se define la ubicación de los diferentes puntos de sombra en la proyección horizontal y vertical.

11 10 9 8

7 6

4 2 b2

5

3 1

LÁMINA # 134

SOMBRAS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

IX.11.

MÉTODO PARA DETERMINAR LA SOMBRA DE UNA RECTA EN UNA CÚPULA CURVA QUE ORIENTA LA UBICACIÓN DE LA SOMBRA EN PROYECCIÓN H Y V EN LA CÚPULA

Orientación coincidente con un meridiano

Orientación no coincidente con un meridiano

2. Rebatir la altura de los paralelos en proyección vertical hasta la proyección horizontal (arcos inscritos) de la dirección de la sombra, en este caso se asume en el meridiano a 45 grados (diagonal), y otro arbitrario. El procedimiento genera intersecciones que se deben determinar en los paralelos de la proyección vertical.

1

PH

1

PH

4. En esta curva del meridiano en PV y la arbitraria en PH y PV estará contenida la proyección de la sombra, sea del punto o los puntos de cualquier recta.

3. Los puntos de intersección encontrados en el meridiano a 45 grados y en el arbitrario en PH se proyectan al PV y se determinan las respectivas alturas en cada paralelo. Se procede a unir estos puntos y se define la forma de la curva del meridiano y la arbitraria en PV. 9

9

8

8

7

7

6 5 4 3 2 1

PV

1. Dividir la cúpula en paralelos de igual distancia y proyectarlos al PH, como arcos inscritos.

6 5 4 3 2

PV

1

LÁMINA # 135

SOMBRAS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

IX.12.

SOMBRA DE UN PUNTO EN UNA CÚPULA (SEMI ESFERA)

Sombra del punto fuera del meridiano

Sombra de varios puntos verticales a diferente altura, fuera del meridiano

Orientación de la línea de sombra del punto o serie de puntos en PH.

sp1'' sp1

sp1' sp1 P1 P1' P1''

P1 PH

Dirección de la sombra de los puntos, ubicados en la curva que generó la orientación en PH. P2

Dirección de la sombra del punto

PH

P2''

P2' sp2'' sp2

sp2' P2 PV

Inicio de la dirección de la sombra entre el PH y el Plano curvo

sp2

PV

LÁMINA # 136

SOMBRAS

IX.13.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

SOMBRA DE UNA RECTA VERTICAL EN UNA SUPERFICIE CURVA (CÚPULA) Sombra de la recta apoyada en el PH

Sombra de la recta apoyada en el PH

Sombra de la recta no apoyada en el PH

sa1

sa1 sb1

sa1

a1 b1 sb1

a1 b1 sb1

PH

a1 b1

PH

Sombra coincidente con la orientación del meridiano

PH

Sombra no coincidente con la orientación del meridiano a2

Sombra no coincidente con la orientación del meridiano

a2

a2 b2

sa2 sa2 b2 sb2

sa2 sb2

PV

b2 sb2

PV

PV

LÁMINA # 137

SOMBRAS

IX.13.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

SOMBRA DE UNA RECTA VERTICAL EN UNA SUPERFICIE CURVA (CÚPULA) sa1

Sombra de la recta apoyada en el PH

Sombra no coincidente con la orientación del meridiano y que sobrepasa la cúpula en el PH y en el PV

a1 b1 sb1 a2

b2 sb2

PH

PV

sa2

LÁMINA # 138

SOMBRAS

IX.14.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

SOMBRA DE UNA RECTA HORIZONTAL EN UNA SUPERFICIE CURVA (CÚPULA)

Sombra de la recta de punta al PV

Sombra de la recta de punta que sobrepasa la cúpula

sombra de la recta frontal en los planos H y V

sa1

sa1

a1 sa1

sb1 a1

o1

sb1

a1

so1

so1

o1

b1 PH

sb1 PH

PH

b1

b1

a2 b2

a2 o2 b2

a2

o2

b2

so2

sa2

sb2 so2

sb2

sb2

sa2 PV

sa2

PV

PV

LÁMINA # 139

SOMBRAS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

IX.15.

SOMBRA DE UN PLANO EN UNA SUPERFICIE CURVA (CÚPULA)

Sombra del plano horizontal

Sombra del plano vertical de perfil en el plano H y V

sa1 sc1

sb1 sd1

a1

b1

c1

d1

sa1

a1 b1 sb1

PH

a2 a2c2

b2d2

sa2

sb2 sa2

sd2 sc2 b2 sb2

PV

LÁMINA # 140

SOMBRAS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

IX.16.

SOMBRA DE UNA CÚPULA EN EL PH Y PV

Sombra de la cúpula en el PH

Sombra de la semi esfera en el PV

LÁMINA # 141

SOMBRAS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

IX.17.

SOMBRA DE UNA ESFERA EN EL PH

Sombra de la esfera en el plano de proyección horizontal

Línea de sombra

Umbría (lineas que representan los rayos de luz interceptados)

Esféra Rayos de luz paralelos

Su

pe

rfic ie P

lan

a

Penumbra sombra proyectada

En esta figura la umbría es un volúmen

Contorno de la sombra

LÁMINA # 142