Geometria Descriptiva

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

R ó m u l o

M o r a

A r a u c o

Serie: Cuadernos de Ingeniería Administrativa FONDO EDITORIAL

Geometría Descriptiva

R ÓM ULO M OR A ARAUC O

FICHA TÉCNICA Título: Autor: Categoría: Código: Edición: Formato: Impresión: Soporte: Interiores: Publicado:

Geometría Descriptiva Rómulo Mora Arauco Cuadernos/ Ing. Administrativa CU/338-2014 Fondo Editorial de la UIGV 170 mm X 245 mm. 112 pp. Offsett y encuadernación en rústica Cubierta: folcote calibre 12 Bond alisado de 75 g. Lima, Perú. Mayo de 2014

Universidad Inca Garcilaso de la Vega Rector: Luis Cervantes Liñán Vicerrector: Jorge Lazo Manrique Decano de la Facultad de Ingeniería Administrativa e Ingeniería Industrial: Víctor Rojas Hernández Jefe del Fondo Editorial: Fernando Hurtado Ganoza

ÍNDICE

Presentación................................................................................................ 9 Introducción................................................................................................ 11 Orientaciones metodológicas.......................................................................... 13

PRIMERA UNIDAD

Técnicas básicas de dibujo........................................................................ 15 ©

Universidad Inca Garcilaso de la Vega Av. Arequipa 1841 - Lince Teléf.: 471-1919 Página web: www.uigv.edu.pe

©

Fondo Editorial Editor: Fernando Hurtado Ganoza Correo electrónico: [email protected] Jr. Luis N. Sáenz 557 - Jesús María Teléf.: 461-2745 Anexo: 3712

Diseño, diagramación y corrección: Nérida Curazzi Gutiérrez



Lección 1 Información general................................................................................. 17 1. El dibujo de ingeniería como lenguaje .................................................. 17 2. Dibujo manual: materiales e instrumentos de dibujo............................... 18 3. Alfabeto de líneas............................................................................... 18 4. Tipos de escalas................................................................................. 19



Lección 2 Geometría aplicada ................................................................................. 21 1. Perpendiculares y paralelas................................................................. 21 2. División de una recta en partes iguales................................................. 25 3. Ángulos y bisectrices.......................................................................... 26 4. División de un ángulo en tres partes..................................................... 28

Lectura .................................................................................................. 29 Autoevaluación Nº 1..................................................................................... 33 Resumen .................................................................................................. 37 Bibliografía específica.................................................................................... 37 Bibliografía comentada.................................................................................. 37 Estos textos de educación a distancia están en proceso de revisión y adecuación a los estándares internacionales de notación y referencia. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2014-06383 z5 z

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SEGUNDA UNIDAD

Polígonos y circunferencias............................................................................ 39

Lección 3 Polígonos................................................................................................ 41 1. Construcción de un triángulo dado sus tres lados.................................... 41 2. Construcción de un triángulo dado dos lados y el ángulo comprendido....... 42 3. Construcción de un triángulo dado un lado y los ángulos adyacentes......... 43 4. Construcción de un rectángulo dado los dos lados................................... 43 5. Construcción de un paralelogramo........................................................ 44 Lección 4 Circunferencias........................................................................................ 45 1. División de la circunferencia en N partes............................................... 45 2. Trazar un arco tangente a los lados de un ángulo agudo.......................... 49 3. Trazar un arco tangente a los lados de un ángulo obtuso......................... 50 4. Trazar un circulo en un polígono regular................................................ 50 5. Trazar una curva en S que conecte a dos líneas paralelas......................... 51 6. Trazar un arco tangente a un círculo y a una recta.................................. 51 7. Construir un polígono regular de “n” lados impares................................. 52 8. Construir un polígono regular de “n” lados pares.................................... 53 9. Rectas tangentes a una circunferencia.................................................. 54 10. Trazar las tangentes exteriores a dos circunferencias.............................. 54 11. Trazar las tangentes interiores a dos circunferencias............................... 55 Lectura .................................................................................................. 56 Autoevaluación Nº 2..................................................................................... 57 Resumen .................................................................................................. 64 Bibliografía específica.................................................................................... 64 Bibliografía comentada.................................................................................. 64 Exploración on line....................................................................................... 65

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4. Rectas paralelas ................................................................................ 77 5. Rectas perpendiculares....................................................................... 77 6. Posiciones particulares de una recta..................................................... 78 7. Verdadera magnitud de una recta......................................................... 79 8. Vista de punta de una recta................................................................. 80 9. Orientación de una recta..................................................................... 81 10. Pendiente de una recta ...................................................................... 81



Lección 7 El plano .................................................................................................. 85 1. Determinación de un plano.................................................................. 85 2. Recta contenida en un plano................................................................ 87 3. Rectas notables en un plano................................................................ 87 4. Puntos contenidos en un plano............................................................. 88 5. Posiciones particulares de un plano....................................................... 88 6. Vista de canto y verdadera magnitud de un plano................................... 89

Lectura .................................................................................................. 99 Autoevaluación N° 3..................................................................................... 101 Resumen .................................................................................................. 106 Bibliografía específica ................................................................................... 107 Bibliografía comentada.................................................................................. 107 Exploración on line....................................................................................... 107 Bibliografía General...................................................................................... 108 Glosario .................................................................................................. 109



TERCERA UNIDAD

Proyecciones, recta y plano............................................................................ 67 Lección 5 Proyecciones .......................................................................................... 69 1. Concepto de proyección ..................................................................... 69 2. El Punto ......................................................................................... 71 3. Visibilidades...................................................................................... 72 4. Reglas de las visibilidades................................................................... 72 5. Proyección en el tercer cuadrante ...................................................... 74

Lección 6 La recta 1. Representación y nomenclatura de una recta......................................... 75 2. Depurado de una recta....................................................................... 76 3. Puntos contenidos en una recta............................................................ 76 z6 z

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P R E S E N TA C I Ó N El Fondo Editorial de la Universidad Inca Garcilaso de la Vega participa como editor y productor de los textos universitarios para los alumnos de pregrado de la modalidad de educación a distancia. Esta labor exige del personal directivo, académico, profesional y técnico una visión de conjunto de las estrategias metodológicas propias de esta modalidad. El trabajo del Fondo Editorial se desarrolla en el diseño, diagramación y corrección de estilo lingüístico de los textos universitarios. Los contenidos están ubicados en los tres grandes campos del conocimiento: científico, humanístico o artístico. El esfuerzo compartido con las Facultades, a través de sus docentes-tutores, autores de los referidos libros, conduce, sin duda alguna, a la elaboración de textos de buena calidad, los cuales podrán utilizarse a través de la página web o mediante la presentación física clásica. En los últimos quince años la modalidad de educación a distancia ha evolucionado, pasando por el e-learning, que privilegia la formación profesional digital; b-learning, que combina lo tradicional y lo nuevo en el proceso de la formación profesional; hasta la aproximación actual al móvil learning, que aparece como la síntesis de todo lo anterior y una proyección al futuro. Con todo ello, el Fondo Editorial reitera su compromiso de participar en la tarea universitaria de formación académica y profesional, acorde con los tiempos actuales. 

Fondo Editorial

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INTRODUCCIÓN

La presente publicación, es una guía orientadora de fácil comprensión, utilizando un lenguaje adecuado y práctico, con la finalidad de facilitar su auto aprendizaje, Luego de una exposición teórica, se plantean numerosos problemas resueltos que tienen por objeto completar y ampliar la teoría, facilitando su comprensión. Los temas desarrollados se han dividido en tres unidades: la primera comprende el estudio de las técnicas básicas de dibujo; la segunda, comprende el estudio de los polígonos y circunferencias y la tercera unidad estudia las proyecciones: recta y plano. En numerosos problemas se han usado gráficos, lo que permitirá al estudiante de educación a distancia, una mejor visualización del planteamiento, relacionándolo con la exposición teórica. Mi especial agradecimiento a las autoridades de la Universidad y al personal del Fondo Editorial, por brindarme la oportunidad de hacer realidad la presente publicación, fruto de la experiencia como docente universitario, en especial por haber enseñado el curso de geometría descriptiva, lo cual será en beneficio de los estudiantes. .

El autor

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orientaciones METODOLÓGICAS

Descripción de la sumilla del curso La asignatura de Geometría Descriptiva es de formación básica y de carácter teórico-práctico, tiene por finalidad impartir los conocimientos relacionados al uso adecuado de los materiales, instrumentos de dibujo y las técnicas que se aplican para realizar las construcciones geométricas, proyección de puntos, recta y plano, las proyecciones y sus aplicaciones en el desarrollo de problemas. El desarrollo del curso de Geometría Descriptiva comprende: Técnicas básicas de dibujo, polígonos, circunferencias y proyecciones: recta y plano.

Estructura El curso de Geometría Descriptiva, se ha desarrollado en tres unidades: en la primera unidad se expone las técnicas básicas de dibujo, la segunda unidad polígonos y circunferencias y en la última unidad proyecciones: recta y plano.

Objetivos del curso Desarrollar habilidades y destrezas en el uso de instrumentos de dibujo para realizar las construcciones geométricas mediante el desarrollo de ejercicios y problemas, valorando la importancia que tienen para su desarrollo profesional.

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

Desarrollar y aplicar los conocimientos y procedimientos para construir y trazar polígonos y circunferencias, analizando a nivel competente el desarrollo de ejercicios y problemas, valorando la importancia que tienen para su desarrollo profesional. Analizar y conceptualizar los métodos y normas técnicas para realizar las proyecciones: punto, recta y plano valorando la importancia que tienen para el desarrollo de los conocimientos y capacidades para su formación profesional en Ingeniería.

Estrategias de aprendizaje Para un óptimo aprendizaje, el estudiante debe seguir la secuencia de las unidades del curso de Geometría Descriptiva, desarrollando los ejercicios y problemas. Para complementar debe consultar la bibliografía específica, la bibliografía comentada y las páginas web indicadas en el texto.

p r i m e r a

UNIDAD

En la tutoría presencial el estudiante tiene la posibilidad de acceder directamente a un profesor designado por la facultad que le resuelva sus dudas y oriente en sus actividades de aprendizaje. Las asistencias a estas tutorías no son obligatorias.

Evaluación Considerando el sistema de educación a distancia, la evaluación permite comprobar el auto aprendizaje, para lo cual el estudiante debe revisar los aspectos teórico-prácticos del libro Geometría Descriptiva y las consultas que pueda tener para aclarar alguna lección se debe realizar a través de la tutoría que ofrece la Facultad de Ingeniería Administrativa. Al final de cada unidad se ofrece un cuestionario de diez preguntas con respuestas múltiples que deben ser resueltas por los estudiantes y confrontar sus respuestas con las respuestas de control, lo que permitirá determinar el grado de aprendizaje alcanzado, mediante su autoevaluación. Para la evaluación por parte de la facultad se considera la evaluación de respuesta múltiple similar a la autoevaluación de las tres unidades, para el efecto al estudiante se le ofrecen cinco alternativas, debiendo escoger una respuesta correcta. .

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Técnicas básicas de dibujo “Ciencia es todo aquello sobre la cual siempre cabe discusión”. Ortega y Gasset

L e c c i ó n

I

INFORMACIÓN GENERAL ORIENTACIONES Y PROPÓSITOS Al término de esta unidad el educando estará en condiciones de: • Identificar los instrumentos y materiales de dibujo de Ingeniería por sus características básicas. • Resolver ejercicios y problemas aplicando el concepto de paralelas, perpendiculares y división de una recta en partes iguales. • Aplicar los conocimientos adquiridos para trazar la bisectriz y trisección de ángulos.

1. El dibujo de ingeniería como lenguaje* A medida que los estudiantes aprenden las habilidades básicas del dibujo, también aumentan sus conocimientos técnicos generales y aprenden uno de los procesos de ingeniería y manufactura que intervienen en la producción. Para cualquiera que trabaje en un campo de la tecnología, es necesario que comprenda este lenguaje gráfico y para quienes siguen la carrera de ingeniería, es esencial. Cuando los dibujos se hacen con instrumentos se llaman instrumentales o manuales. Cuando se hacen con un computador se conocen como dibujos asistidos por computador; cuando se realizan sin instrumentos o sin la ayuda del computador se llaman croquis. Los intercambios de opiniones entre los representantes de las naciones industrializadas del mundo llevaron a la creación y adopción del Sistema Métrico o sea el Sistema Internacional (SI) y a la estandarización de los convenios y métodos de dibujo. En esas naciones incluidas el Perú, el dibujo de ingeniería se ha convertido en un verdadero lenguaje universal. A medida que el estudiante aprende las habilidades básicas del dibujo, también aumentan sus conocimientos técnicos generales y aprenden algunos de los procesos de ingeniería y manufactura que intervienen en la producción.

* Jensen, (1993): 1 z1 6 z

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r ó m u lo m o r a a r au c o

2. Dibujo manual: materiales e instrumentos de dibujo Los materiales básicos indispensables son: •

Juego de escuadras: las escuadras son dos, la de 30º- 60º y la de 45º. Se utilizan para trazar paralelas y perpendiculares

•

Compás: Se utiliza para trazar círculos y arcos

•

Regla graduada de 30 cm: Se utiliza para medir distancias y representa la escala 1: 1, o sea los objetos se miden al tamaño natural

•

Transportador para medir ángulos

•

Portaminas con mina delgada HB

•

Borrador blanco

•

Papel bond tamaño A4, 20 hojas, permite realizar los ejercicios propuestos.

3. Alfabeto de líneas* Los tipos de Líneas El alfabeto de líneas es un sistema que da un significado específico a las líneas individuales en un dibujo de ingeniería. Para interpretar el significado de cualquier plano, usted debe ser capaz de identificar cada línea y saber exactamente lo que significa cada una. Hay diez diferentes tipos de línea en este alfabeto básico. Estas líneas se muestran en la siguiente figura y se enlistan aquí: 1. Línea objeto 2. Líneas ocultas 3. Líneas para los ejes 4. Líneas imaginarias 5. Líneas de cota 6. Líneas de extensión 7. Líneas de indicación 8. Líneas para planos de corte 9. Líneas de sección 10. Líneas para interrupción o ruptura

4. Tipos de escalas Cuando se dibujan los objetos a tamaño natural, se dice que el dibujo está a tamaño natural o a escala 1:1. Sin embargo, muchos objetos, como casas, barcos o aviones, son demasiados grandes para ser representados a escala natural, de modo que tienen que dibujarse a escala reducida. Un ejemplo sería el dibujo de una casa que podría dibujarse a la escala 1:50.

La representación gráfica del alfabeto de líneas es la siguiente:

Con frecuencia, algunos objetos como las pequeñas partes de un reloj se dibujan a un tamaño mayor que el natural para que se vea claramente. Un dibujo así esta a escala ampliada. Por ejemplo el minutero de un reloj pulsera podría dibujarse a escala 5:1. Esta problemática la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliación o reducción necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo. Se define la ESCALA como la relación entre la dimensión dibujada respecto de su dimensión real, esto es:

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E= dibujo/realidad Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliación, y será de reducción en caso contrario. La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado a su tamaño real (escala natural)

• Escalas normalizadas

L e c c i ó n

Aunque, en teoría, sea posible aplicar valor de escala, en la práctica se recomienda el uso de ciertos valores normalizados con objeto de facilitar de dimensiones mediante el uso de reglas o escalímetros.

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Estos valores son:

Ampliación: 2:1, 5:1, 10:1, 20:1, 50:1… Reducción: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50…

GEOMETRÍA APLICADA

No obstante, en casos especiales (particularmente en construcción) se emplean ciertas escalas intermedias tales como:

1:25, 1:30, 1:40,…

• Ejemplos prácticos Ejemplo 1 Se desea representar en un formato A3 la planta de un edifico de 60 x 30 metros. La escala más conveniente para este caso sería 1:200 que proporcionaría unas dimensiones de 30 x 15 cm, muy adecuadas al tamaño del formato.

Ejemplo 2 Se desea representar en un formato A4 una pieza de reloj de dimensiones 2x 1 mm. La escala adecuada será 10:1 La forma más habitual del escalímetro es la de una regla de 30 cm de longitud, con sección estrellada de 6 facetas o caras. Cada una de estas facetas va graduada con escalas diferentes, que habitualmente son:

1:100, 1:200, 1:250, 1:300, 1:400, 1:500

Estas escalas son válidas igualmente para valores que resulten de multiplicarlas o dividirlas por 10, así por ejemplo, la escala 1:300 es utilizable en planos a escalas 1:30 o 1:3000, etc. Por supuesto, la escala 1:100 es también la escala 1:1, que se emplea normalmente como regla graduada en cm.

1. Perpendiculares y paralelas* PROBLEMA N°1. Trazar la perpendicular que pase por el punto medio del segmento dado AB: • •

Sea el segmento dado AB Sucesivamente se hace centro en A y en B, con un radio mayor que la mitad de AB, se describen los arcos cuyas intersecciones son C y D; la recta que une estos dos puntos es la perpendicular pedida.

De la igualdad de los dos triángulos DAC y DBC se deduce la igualdad de los dos ángulos ACD y DCB; CD es, por consiguiente, bisectriz del ángulo total ACB, pero el triángulo ABC es isóceles, luego CE es perpendicular a AB y pasa por su punto medio E. Su gráfica es la siguiente:

*Jensen, (1993): 6-8 z2 0 z

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PROBLEMA N°3. Trazar la perpendicular por el extremo B del segmento dado AB, sin prolongarla: • • • • • •

Sea el segmento dado AB. Hágase centro en un punto elegido arbitrariamente, por ejemplo, en C, ubicado próximo al extremo B. Con radio CB, descríbase un arco de círculo que cortará el segmento dado AB, en los puntos D y B. Únase D con C y prolónguese su trazo hasta cortar el arco en E. Únase E con B y se tendrá la perpendicular pedida. El ángulo ABE es un ángulo recto por ser inscrito en una semicircunferencia. La gráfica es:

PROBLEMA N°2. Trazar la perpendicular desde el punto A, dado sobre el segmento BC: • Con centro en A, se toman en las dos direcciones opuestas, dos segmentos iguales y arbitrarios sobre el segmento dado, dando origen a las marcas D y E. • Luego haciendo centro en D y en E, y con un radio mayor que la mitad de su distancia, se describen arcos que se cortan en F. • La recta que une F con A es la perpendicular pedida, porque de la igualdad de los dos triángulos DAF y EAF. La gráfica es:

PROBLEMA N°4. Trazar la perpendicular al segmento dado AB, desde el punto C, situado fuera del segmento: • • • •

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Sea el segmento dado AB, y el punto C dado fuera del segmento. Con centro en C, descríbase un arco arco de círculo que corte el segmento dado AB en dos puntos D y E. Hágase centro sucesivamente en D y en E, y con radios arbitrarios, pero iguales, obténgase la intersección F. Uniéndose F con C se tendrá la recta que partiendo de C corta perpendicularmente al segmento dado AB. La gráfica es:

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PROBLEMA N°5. Trazar una recta paralela al segmento dado AB, de modo que tenga sus puntos a una distancia dada “C” de AB: •

Sea el segmento dado AB.

•

Sobre el segmento dado AB se escogen arbitrariamente dos puntos D y E, sobre los cuales se levantan dos perpendiculares indefinidas.

•

Con centro en D y en E y con radio igual a la distancia dada C, se cortan las perpendiculares levantadas en D y E, obteniéndose los puntos F y G.

•

*Musayon, (1989): 74-76)

Se unen los puntos F y G y esta será la recta paralela buscada.

2. División de una recta en partes iguales PROBLEMA Nº7. Dividir la recta dada AB en “n” partes iguales, por ejemplo en 5 (1er método) •

Sea la recta AB, una recta cualquiera de trazo arbitrario.

•

Trácese por el extremo A una recto indefinida de dirección arbitraria, sobre la cual, a partir de A, se tomará 5 segmentos iguales y sucesivos de magnitud arbitraria.

PROBLEMA N°6. Por un punto dado, A, fuera del segmento BC, trazar una paralela:

•

Únase el punto extremo de la serie de tales segmentos con B.

•

Sea el segmento dado BC, y el punto A situado fuera del mismo.

•

•

Sobre el segmento dado se marca en forma arbitraria el punto D.

Por los otros puntos de división, trácense paralelas a 5B, las cuales, cortarán a la AB en cinco segmentos iguales.

•

Se une el punto dado A con D.

•

•

Con centro en D y radio DA se traza un arco, a partir de A, que corter al segmento dado BC en el punto E.

Siendo cortadas las dos líneas A5 Y AB por las paralelas 1-1’, 2-2’, 3-3’, etc., quedan divididas por éstas en partes proporcionales, y siendo además los segmentos A1, 1-2, 2-3, 3-4, etc., iguales por construcción, serán también iguales entre sí los segmentos A1’. 1’ -2’, 2’-3’, 3’-4’, etc., en los que resulta dividida la recta dada AB.

•

Con el mismo radio y centro en A se traza el arco a partir de D.

•

Se toma como radio la distancia AE.

•

Con centro en D se corta al arco trazado, encontrándose la intersección F.

•

Se une F con A.

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PROBLEMA Nº8. Dividir la recta dada AB en “n” partes iguales, por ejemplo en 5.

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•

(2do método) •

Sea la recta AB, una recta cualquiera, de trazo arbitrario.

•

Tómese, sobre una recta indefinida XY, como segmentos arbitrarios, e iguales entre sí, X-1,1-2, 2-3, 3-4.

•

Sobre el segmento X5 constrúyase un triángulo equilátero, XYC.

•

Únase luego el vértice C con cada uno de los puntos 1,2,3 y 4.

Se une el punto X con a’ y se prolonga, obteniendo de este modo la construcción del ángulo NXO, igual al ángulo dado NMO, son iguales los dos triángulos a’xb’ y aMb son también iguales.

PROBLEMA Nº10. Trazar la bisectriz del ángulo dado NMO: •

Sea el ángulo dado NMO, un ángulo cualquiera.

•

Hágase centro en el vértice del ángulo y con un radio arbitrario; descríbase el arco a y b, (minúsculas).

•

Haciendo luego, centro sucesivamente en los puntos a y b, determínese la intersección F.

•

Siendo el punto F equidistante de los dos lados, la recta que une el punto M con F, será la bisectriz del ángulo dado.

3. Ángulos y bisectrices* PROBLEMA Nº9. Trazar un ángulo igual al ángulo dado NMO. •

Sea el ángulo dado NMO un ángulo cualquiera.

•

Se traza una recta arbitraria, sobre la cual se marca un punto de partida, por ejemplo X.

•

Con una abertura de compás cualquiera y haciendo centro en el vértice del ángulo dado, se traza un arco que corta al ángulo en dos puntos a y b.

•

Con esta misma abertura de compás y haciendo centro en X, se traza también el mismo arco.

•

Se traza una recta cualquiera que corte a las rectas L1 y L2 , obteniendo los puntos M y N.

•

Se toma la abertura del ángulo dado a través de los puntos a, b y con esta misma abertura haciendo centro en b’, se corta el arco trazado en a’.

•

Haciendo centro en M y N con un radio cualquiera, se trazan dos semicircunferencias y se obtienen los puntos A, R, B, C, S y D.

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PROBLEMA Nº11. Trazar la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas L1 y L2, cuyo vértice cae fuera del campo del dibujo:

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

•

Se bisecan los ángulos AMR, BMR, CNS, y SND dichas bisectrices se cortan obteniendo los puntos P y Q.

•

La recta que pasa por los puntos P y Q es la bisectriz del ángulo.

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Lectura Una técnica para estudiar*

4. División de un ángulo en tres partes PROBLEMA Nº12. Dividir un ángulo en tres partes iguales dado el ángulo ABC: •

A partir del vértice B, y sobre uno de los lados, se toma una distacia cualquiera obteniendo el punto M.

•

Por el punto M, se traza una paralela y una perpendicular al otro lado (AB).

•

Se traza una recta que pase por el vértice B, de tal manera que al cortar a la perpendicular y a la paralela, esta distancia comprendida, sea igual a dos veces la distancia BM.

•

El ángulo ABN es igual a un tercio del ángulo ABC.

•

Al bisecar el ángulo NBC, se obtiene la solución del problema.

Este método para estudiar se llama método PQRST* es fácil recordar porque, como se ve, contiene cinco letras consecutivas del alfabeto. Se trata de un procedimiento de estudio que se ha preparado para obtener el máximo provecho de los factores que ayudan al aprendizaje se ha puesto a prueba repetidamente, comparándose los resultados obtenidos entre un grupo de alumnos que estudiaron siguiendo el método PQRST, con los de otro grupo que aplicó sus métodos comunes de estudio. Los estudiantes que siguieron el método de estudio QPRST obtuvieron, consecuentemente, un promedio de calificaciones superior en las pruebas que se hicieron del material estudiado que el que obtuvieron los estudiantes que no utilizaron el método PQRST. Se han repetido estos experimentos, mediante procedimientos muy diferentes, y se ha comprobado que los grupos que emplean el método PQRST obtienen mejores calificaciones en las pruebas, independientemente de que los grupos en confrontación dediquen poco o mucho tiempo al estudio. En otras palabras, los alumnos parecen aprender y recordar y más si utilizan todas las fases del método PQRST, aunque sea rápida y brevemente, que si omiten alguna o algunas de ellas. En cada una de las cinco etapas que vamos a examinar hay dos cosas que debemos conocer: a) como se realiza la etapa. B) cuales son las consecuencias útiles que se obtienen por realizarla bien.

EL MÉTODO DE ESTUDIO PQRST La primera P (preview) etapa en el método de estudio PQRST, consiste en un EXAMEN PRELIMINAR del material que se va a estudiar. Ya sabes lo que es hacer un examen preliminar. Muchas veces has visto un “avance” o examen preliminar de la próxima película en un cine – una rápida ojeada para ver lo que viene más adelante – para conocer el plan e idea generales, para despertar tu interés. En ver más, aunque no se ofrecen los detalles lo cual es exactamente lo que tienes que hacer en el examen preliminar del método PQRST. Puedes efectuar este examen preliminar mediante cualquiera de los diferentes procedimientos que se mencionan a continuación. Muchos autores de libros de texto dividen su material en temas o subtemas. Otros colocan breves títulos descriptivos al principio de estos temas. Si esto está hecho, el análisis de estos títulos te proporcionara unas diademas clara y general del asunto que debes aprender. Si el autor no ha hecho ninguna de estas cosas, quizás ha preparado un sumario, al final del artículo o del capítulo, en el que se incluyen las principales ideas contenidas en los

*Musayon, (1986): 79-81. z2 8 z

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mismos. Si se dispone de estos sumarios contaras con excelentes elementos para hacer el examen preliminar del material. Primero lee el resumen, con el propósito de obtener una idea general del capítulo.

La trascendencia de la lectura eficaz depende de la actitud. Dicho de otra manera: hay que pensar intensamente en lo que se está leyendo. Tu mente no es como un terreno seco que absorbe el conocimiento sin ningún esfuerzo y que lo toma, tan solo, al entrar en contacto con él. El conocimiento es, mas, bien como una pelota que ha sido pateada al aire y que debe perseguirse y atraparse, antes de hacer algo con ella.

La ejecución adecuada de la etapa que se ha llamada examen preliminar te proporcionara el cuadro general que el autor está dando a conocer en su escrito y te ayudara a descubrir la verdadera idea que está tratando de probar. Distinguir exactamente lo que el autor está tratando de hacer te facilita localizar y reconocer os puntos más importantes de las paginas que vas leyendo. El examen preliminar también te permite juzgar la organización del tema que va a estudiar. Es como mirar la imagen de un rompecabezas antes de juntar sus piezas tener una idea general de un capitulo te ayudará considerablemente para ver como se relacionan los temas entre sí. Esta etapa del proceso dele estudio muestra la organización del autor y te ayuda a precisar porque vas a estudiar este material. La segunda etapa Q (Question) del método de estudio PQRST, consiste en formularse preguntas. Desde que estés leyendo el título del capítulo o del tema, o cuando te encuentres desarrollando el examen preliminar, te detendrás un minuto para preguntarte: ¿Cuál será precisamente el contenido del tema que lleva este título?, y conforme vallas desarrollando el examen preliminar, fórmula algunas preguntas que consideres que podrán contestarse mediante una cuidadosa lectura del material. Por ejemplo, imagina que estás leyendo un trabajo sobre la vida de Edgar Allan Poe. Las preguntas que podrías esperar que fuesen contestadas son: ¿Cómo fue su infancia?; ¿Cuál fue su educación?; ¿Cómo influyeron estos aspectos en lo que escribió?; ¿hubo algún acontecimiento especial en su vida que permita explicar el horror y la tragedia contenidos en la mayor parte de sus escritos?; ¿es correcto suponer que haya sido influido, considerable y especialmente por los trabajos de algún otro autor?; ¿En qué forma ha influido su obra en otros autores?. Puedes ver, según lo anterior, que una de las formas para mejorar el estudio consiste en aprovechar hasta lo máximo todos los elementos útiles que proporciona al autor. Esto indica que, algunas veces, no tomaras las cosas en el mismo orden en que el autor ha colocado en su texto. Si el autor coloca algo (en resumen, por ejemplo, o una lista de preguntas para estudiar) al final de un capitulo y te puede ser más útil si lo lees primero, pues… ¡léelo primero! Esta etapa, que consiste en formularse preguntas, ayuda mucho en el momento de preparar los exámenes. Las buenas calificaciones en los exámenes no son la única razón para estudiar; pero sería ridículo pretender que no sean importantes en el trabajo escolar. Nuestra tercera etapa R(Read), en el método PQRST consistes en leer, es decir en ganar información mediante la lectura y no lees solamente las palabras. La lectura eficiente exige ser activo. Cuando empezamos la lectura de un estudio que no ha dejado, muchos de nosotros nos sentamos en una silla cómoda, nos recargamos sobre su respaldo, colocamos nuestros pies sobre el escritorio, el obro sobre nuestras rodillas y, leemos. Nuestros ojos están activos en palabra por palabra, todo lo que está escrito en la página pero nuestras mentes suelen distraerse. El resultado es que leemos un párrafo, palabra por palabra, y entonces, nos damos cuenta de que no tenemos menor idea de lo que hemos leído.

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Aprenderás en el mismo grado en que tu mente se conserve atenta y comprenda cada aspecto de lo que estás leyendo. Todo aprendizaje es un trabajo que pide a tu cerebro entrar en acción, y esto ocurre cuando actúas con interés y dinamismo en relación con el material que vas a aprender. En el capítulo 2 se proporciona otras indicaciones para perfeccionar y acrecentar tus condiciones de estudio, mejorando tu actitud. El cuarto paso S(State) de nuestro método de estudio consiste en hablar para describir o exponer los temas leídos. Con esto queremos decir repitas oralmente, en tus propias palabras, lo que has leído. Cuando termines de leer un párrafo, reclínate hacia atrás, deja ver tu libro y vuelve a decir lo que el autor ha mencionado. Después de que hayas dominado la ejecución de esta etapa, tal vez preferirás leer toda una sección o capitulo antes de detenerte para volver a repetir lo que ya has leído, y puede serte útil, cuando hayas leído varias páginas, mirar el título del tema para recordar mentalmente lo que se ha mencionado en el. Si lo que estás leyendo no tienes temas con títulos, entonces subraya las partes importantes conforme las vallas leyendo. Los subrayados te recordaran los puntos importantes y te servirán para reconstruir el tema, en tu imaginación, tan completamente como sea posible. Si no se trata de un libro de tu propiedad, naturalmente que no deberás subrayarlo. En este caso, podrías recibir de memoria lo que has leído y, después, confirmar con el texto si tu resumen ha sido correcto. Al terminar tu exposición será conveniente que vuelvas a pensar en los puntos importantes para comprobar si recuerdas suficientes detalles que abarquen los hechos que se mencionaron en la descripción. Al reconstruir el tema por medio de un resumen, subrayados, títulos o directamente de tu memoria, presenta tus ideas con palabras eficaces para asegurarte de poder manejarlas con claridad y precisión. Repítelas mentalmente o en voz alta. Si lo realizas, esta etapa íntegramente probara que respondes al estímulo dele estudio que es absolutamente necesario para el aprendizaje. Te encuentras en plena actividad mental cuando haces un resumen del material que el autor ha expuesto y vuelves a expresar en tema con tus propias palabras. Al hacerlo se desarrolla otro aspecto necesario para el aprendizaje que es atender la organización. Es imposible comprender una materia o un tema perfectamente si solo se conocen los hechos individuales de esa materia o tema, o si solo tiene una ligera idea de cómo esos hechos se combinan para dar más a toda la materia o a todo el tema. No puedes expresar lo que dice el autor, con tus propias palabras, salvo que hayas creado, en forma clara en tu mente, la imagen completa, es decir la organización de lo que él está diciendo. La última etapa, T(Test) en tu técnica de estudios PQRST, consiste en investigar los conocimientos que has adquirido. Quizá supongas que, siendo las escuelas y los maestros lo que son, tendrás gran cantidad de exámenes ¡sin que tengas que idear ninguno por ti mismo! Pero la quinta etapa del sistema PQRS (investigar que conocimientos has adquirido), es una

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r ó m u lo m o r a a r au c o

AUTOEVALUACIÓN N° 1

de las comprobaciones que tienes que hacer para asegurarte mejores calificaciones e esa pruebas que inevitablemente tendrás que presentar. Esto es realmente una forma abreviada de la etapa anterior ya escrita, pero que se efectúa, con fines de repaso, algún tiempo después de tu primer estudio. Lo que se debe recorrer es que aquel repaso se basa en la meditación sobre el material que está revisando más bien que en pasar los ojos rápidamente sobre él. Los mismos conceptos que se han mencionado sobre la actitud y sobre la etapa que hemos llamado hablar (para exponer o describir los temas leídos), se aplican aquí. Cuando se te pasa, se aprende de memoria determinado material no porque tus ojos lo vean por segunda o tercera vez, si no como resultado de lo que sucede cuando tu cerebro empieza a examinar el material completamente por segunda o tercera vez.

1. Para dividir una recta en partes iguales, cuál de los gráficos se utilizan.

Si consideras el repaso como un examen (para ver cuando recuerdas y para determinar cuáles son tus puntos débiles, en lugar de mirar solo tus notas o el material), encontraras que recordaras más y que podrás emplear tus conocimientos con gran provecho al hacer tu examen o al aplicarlos en otros usos. Por lo que, cuando repases, utiliza un procedimiento abreviado del paso que hemos llamado hablar (describiendo o exponiendo los temas leídos). A esto lo llamamos investigación de los conocimientos que se han adquirido.

Conclusión Esta es la técnica el estudio PQRST. Se ha comprobado que cada una de las etapas es un eslabón necesario de una cadena que conduce a un estudio más eficiente. No hace milagros. No puede proporcionar aprendizaje salvo que lo dediques tiempo y trabajo Todo esto no es solo teoría. Se ha comprobado repetidamente con las experiencias reales de estudiantes y alumnos como tú. Ensáyalo. * Staton, Thomas (1974) Cómo estudiar. México D.F., Trillas, pp. 9-22



Problema 1 a) El problema 1 b) El problema 2 c) El problema 1 y el problema 2 d) Faltan datos e) N.A.

2. El siguiente gráfico que representa:

a) b) c) d) e) z3 2 z

Problema 2

Dibujar un ángulo igual al dado. Dibujar dos ángulos. Dibujar las bisectrices Faltan datos N.A. z3 3 z

g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

3. Para trazar la bisectriz de un ángulo agudo que implementos usa:

r ó m u lo m o r a a r au c o

6. Qué representa la siguiente gráfica:

a) La regla graduada b) Las escuadras c) Compas d) Regla graduada y compas e) N.A. 4. La siguiente gráfica que representa:

a) Bisectriz de un ángulo. b) Dividir un ángulo en tres partes. c) Trazo de paralela a AB d) Faltan datos para bisectriz e) N.A. 7. Qué escala usaría para representar el horario de un reloj pulsera: a) Bisectriz de un ángulo con vértice conocido b) Bisectriz de un ángulo con vértice desconocido c) Bisectriz de 4 ángulos d) Bisectriz de 3 ángulos e) N.A. 5. Qué representa la siguiente gráfica:

a) Escala 10:1 b) Escala 1: 10 c) Escala 1: 50 d) Escala 1: 1 e) N.A. 8. Qué escala usaría para medir una casa familiar: a) 2: 1 b) 10: 1 c) 1:50 d) 50:1 e) N.A. 9. Qué representa la siguiente gráfica:

a) Dos rectas cualquiera b) Recta AB mayor que CD c) Recta CD menor que AB d) Recta AB perpendicular CD en su punto medio. e) N.A. z3 4 z

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

r ó m u lo m o r a a r au c o

Resumen

a) Perpendicular en su punto medio b) Dos rectas c) Bisectriz de AB d) Perpendicular a AB desde un punto C. e) N.A.

La representación de objetos a su tamaño natural, no es posible cuando éstos son muy grandes o cuando son muy pequeños. Esta problemática la resuelve la escala, aplicando la ampliación o reducción necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el dibujo. Se define la escala como la relación entre la dimensión dibujada respecto de su dimensión real, esto es: E= dibujo/realidad Hay tres tipos diferentes de escalas: La escala natural, es cuando el tamaño del dibujo es igual al tamaño del objeto. La escala de ampliación, cuando el objeto es pequeño y desea observarse bien en detalle. La escala de reducción cuando el objeto es grande o muy grande. Se usarán los instrumentos de dibujo indicados para trazar:

10. Qué representa la siguiente figura:

a. Perpendiculares y oblicuas. b. Ángulos y bisectrices. Los problemas explicados y desarrollados permiten adiestrar al estudiante en el manejo de los materiales de dibujo y aplicar en las siguientes unidades, del presente curso.

a) Trazado de un círculo b) Perpendicular de AB en el extremo B c) Perpendicular en un punto cualquiera. d) Hallar DC e) N.A.

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA Jensen, Cecil (1993) Dibujo Técnico I. Bogotá, Ed. McGraw-Hill. Musayon, Velásquez (1986) Manual de Dibujo Técnico I. Lima, Educativa-INIDE.

BIBLIOGRAFíA COMENTADA Dias, Jorge (1980) Geometría Descriptiva. Lima, Ed. Universo S.A. Texto con numerosos ejercicios y problemas de Geometría Descriptiva.

Respuestas de control 1. c, 2. a, 3. d, 4. b, 5. d, 6. b, 7. a, 8. c, 9. d, 10. b

Leighton, B. (2003) Geometría Descriptiva. Barcelona, Ed. Reverté S.A. Texto con numerosos problemas de Geometría Descriptiva. Nakamura, Jorge (2010) Geometría Descriptiva. Lima, W.H. Editores S.R.L. Publishing Co. Texto con numerosos ejercicios y problemas de Geometría Descriptiva. Rowe, Charles (1974) Geometría Descriptiva. México, Ed. Continental S.A. Texto con numerosos ejercicios y problemas de Geometría Descriptiva. Vidal, Víctor (1979) Manual de Dibujo Técnico. Lima, Univ Particular Ricardo Palma. Texto con numerosos problemas de Construcciones Geométricas.

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s e g u n d a

UNIDAD Polígonos y circunferencias “La ciencia es para el mundo moderno lo que el arte fue para el antiguo”. Disraeli

L e c c i ó n

ORIENTACIONES Y PROPÓSITOS

3

POLÍGONOS

Al concluir la presente unidad el alumno estará en condiciones de: • Resolver ejercicios y problemas sobre dibujos de triángulos y cuadriláteros. • Aplicar los conocimientos adquiridos para dividir una circunferencia en partes iguales. • Construir polígonos de 3, 4, 5, 6, 7 y 9 lados. • Construcción de polígonos de N lados impares. • Construcción de polígonos de N lados pares. • Trazar arco tangente a los lados de un ángulo agudo. • Trazar arco tangente a los lados de un ángulo obtuso. • Trazar una curva en S que conecte a dos líneas paralelas. • Trazar un círculo que pase por tres puntos no alineados.

1. Construcción de un triángulo dado sus 3 lados* Construir un triangulo, dados sus tres lados A, B, C.:

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•

Se traza, como base del triangulo, un segmento ab igual al lado mayor dado en el problema “C”.

•

Hágase centro sucesivamente en sus puntos extremos, y con aberturas de compas respectivamente iguales a los lados “A” y “B”, descríbanse dos arcos que se cortaran en el punto c, determinados el tercer vértice del triangulo que se deberá unir por medio de dos rectas a los vértices a y b, obteniéndose de este modo el triangulo pedido. Esta solución es posible cuando la suma de los dos lados “A” y “B” es mayor y su diferencia menor que “C”.

Vidal, (1979): 123

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

r ó m u lo m o r a a r au c o

3. Construcción de un triángulo, conocidos un lado y los ángulos adyacentes •

Se traza el segmento AB igual al lado dado “a”.

•

A partir de los extremos A y B, usados como vértices, se construyen dos ángulos dados, los lados prolongados se cortan en un punto C, que será el tercer vértice del triángulo pedido.

Esta solución es posible, cuando la suma de los dos ángulos dados, es menor que dos rectas.

2. Construcción de un triángulo dados dos lados y el ángulo comprendido* •

Se traza, como base del triángulo, un segmento AB igual al lado mayor dado en el problema, “b” por ejemplo.

•

Con vértice en el extremo A se construye un ángulo igual al ángulo dado;

•

A la recta resultante que forma el ángulo y que parte del extremo A, se limita con la distancia igual al otro lado dado “a”, determinando el punto C que sería el tercer vértice del triángulo;

•

Se une A con C y con B y obtendremos el triángulo ABC pedido.

4. Construcción de un rectángulo dado los dos lados

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•

Tómese como base del rectángulo el segmento AB igual al lado mayor dado en el problema.

•

En los extremos A y B del segmento trazado, levántese perpendiculares por el método ya conocido;

•

Tómese con el compás la distancia del otro lado dado “a” y haciendo centro en los extremos A y B, córtense a las perpendiculares trazadas determinando los puntos C y D, únanse los cuatro puntos, así se obtendrá el rectángulo pedido.

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

L e c c i ó n

5. Construcción de un paralelogramo •

Se traza como base del paralelogramo el segmento AB igual a la distancia del lado mayor “b”, en este caso;

•

Se construye “a” a partir del extremo A un ángulo igual al ángulo dado;

•

Sobre la recta que forma el ángulo, se determina la distancia del otro lado, encontrándose la intersección C;

•

Con centro en C y radio igual al lado “b” se traza un arco;

•

Con centro en B y radio igual al lado “a” se corta el arco anterior, encontrándose con la intersección, el punto D;

•

Se une C con D, D con B, luego unidos los cuatro puntos, se tendrá resuelto el problema planteado. Su gráfica es la siguiente:

CIRCUNFERENCIAS

1. División de la circunferencia en N partes* División de la circunferencia en 3 partes iguales •

Con centro en O se traza una circunferencia cualquiera;

•

Luego se traza el par de diámetros perpendiculares entre sí a dicha circunferencia.

•

Con centro en cualquiera de los extremos de las perpendiculares trazadas y radio igual al de la circunferencia dada, se traza el arco que corta a dicha circunferencia en los puntos E y F;

•

La distancia EF será igual a FC, e igual también a CE, se unen los tres puntos y obtendremos el triángulo equilátero pedido inscrito.

*Musayon, (1986): 83-85 z4 4 z

4

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r ó m u lo m o r a a r au c o

División de la circunferencia en 5 partes iguales

División de la circunferencia en 4 partes iguales •

Con centro en O se traza una circunferencia cualquiera;

•

Luego se traza el par de diámetros perpendiculares entre sí;

•

Los extremos de estas perpendiculares determinan los puntos AB y CD, determinándose los 4 puntos equidistantes sobre la circunferencia dada;

•

Se unen los 4 puntos y así se obtendrá el cuadrado inscrito pedido.

•

Con centro en O se traza una circunferencia cualquiera;

•

Luego se traza su par de diámetros perpendiculares entre sí, los mismos que dan origen a los puntos extremos AB y CD;

•

Sobre cualquiera de los radios OA, OC, OB, OD, se traza el punto medio m (sobre OA, por ejemplo);

•

Con centro en m y radio mC se traza el arco que corte al radio OB en el punto E, la distancia CE es igual a la quinta parte de la circunferencia dada;

•

Se lleva sobre la circunferencia dada 5 veces la distancia CE y la obtendremos dividida en 5 partes iguales;

•

Se unen estos 5 puntos obtenidos y tendremos la figura del pentágono inscrito pedido en el problema.

División de la circunferencia en 6 partes iguales

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•

Con centro en O se traza una circunferencia cualquiera;

•

Luego se traza su par de diámetros perpendiculares entre sí, los mismos que dan origen a los puntos AB y CD;

•

Con centro en A y en B, y radio igual al de la circunferencia trazada, se trazan arcos que corten a la misma en los puntos E y F y G y H, de este modo tendremos dividida a la circunferencia en 6 partes iguales;

•

El radio de una circunferencia es igual a la sexta parte de la misma;

•

Se unen las puntas AE, EG, GB, BH, HF, y FA y obtendremos el hexágono.

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División de la circunferencia en 7 partes iguales

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*Musayon, (1986): 87-89

2. Trazar un arco tangente a los lados de un ángulo agudo*

•

Con centro en O se traza una circunferencia cualquiera;

•

Luego se traza su par de diámetros perpendiculares entre sí, los mismos que dan origen a los puntos extremos AB y CD;

•

Con centro en C y radio igual al de la circunferencia trazada, se corta a la misma obteniéndose las intersecciones E y F;

1. Dibújese líneas interiores al ángulo, paralelas a los lados del ángulo, a una distancia R, de ellas. El centro del arco quedara en C.

•

Se une E con F y se determina su punto medio “M”;

•

La distancia EM será igual a la sétima parte de la circunferencia dada;

2. Ajústese el compás a un radio R y con centro en C, dibújese el arco tangente a los lados del ángulo. Los puntos de tangencia A y B, se encuentran trazando perpendiculares por el punto C a los lados dados.

•

La distancia EM se lleva 7 veces sobre la circunferencia y de este modo la tendremos dividida en 7 partes iguales;

•

Se unen los 7 puntos entre sí y obtendremos el heptágono inscrito.

Dado el radio R del arco

Trazado de un arco tangente a los lados de un ángulo agudo z4 8 z

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r ó m u lo m o r a a r au c o

3. Trazar un arco tangente a los lados de un ángulo obtuso

5. Trazar una curva en S que conecte a dos líneas paralelas

Sígase el mismo procedimiento para el ángulo agudo.

•

Dadas dos líneas paralelas AB y CD, y las distancias X e Y, únanse los puntos B y C con una línea.

•

Dibújese una perpendicular a AB y CD, desde los puntos B y C respectivamente

•

Selecciónese el punto E, sobre la línea BC donde las curvas deben encontrarse.

•

Biséquense BE y EC.

•

Los puntos F y G, donde las perpendiculares y las bisectrices se cortan, son los centros de los arcos que forman la curva conopial.

Trazado de una arco tangente a lados de a un ángulo

4. Trazar un círculo en un polígono regular Dado el tamaño polígono, biséquense dos lados por ejemplo, BC y DE. El centro del polígono se localiza en el punto “O” donde se cortan las bisectrices FO y GO. El radio del círculo interior es OH y el radio del círculo exterior es OA. Trazado de una curva en s (conopial) que conecta a dos líneas paralelas

6. Trazar un arco tangente a un círculo y a una recta Dado R, el radio del arco dibújese una línea paralela a la línea recta dada entre el círculo y la línea a una distancia R de la línea dada. Con el centro del círculo como centro y radio R, (radio del círculo más R1, dibújese un arco que corte a la recta paralela en C. Con centro en C y radio R, dibújese al arco tangente deseado al círculo y a la línea recta.

Trazado de un círculo sobre un polígono regular

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

Trazado de un arco tangente a un circulo y a una línea.

*Jensen, (1993): 85-86.

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8. Construir un polígono regular de “n” lados pares Por ejemplo trazar un polígono de ocho lados.

7. Construir un polígono regular de “n” lados impares Por ejemplo trazar un polígono de siete lados. Se traza una circunferencia de diámetro deseado. Se divide el diámetro en la cantidad de lados que se desee construir el polígono, en este caso se divide en siete partes. Se hace centro en los extremos de la circunferencia y con radio igual al diámetro de la misma, se trazan dos arcos alternadamente, que al encontrarse entre sí originan los puntos A y B. Con ayuda de las escuadras se traza rectas desde los puntos A y B, que pasen por los puntos de números pares del diámetro hasta llegar al extremo de la circunferencia, originando los puntos I, II, III, IV, V, VI, y VII.

Se traza una circunferencia de diámetro deseado. Se divide el diámetro en la cantidad de lados que uno desee construir el polígono, en este caso se divide en ocho partes. Se hace centro en los extremos de la circunferencia y con un radio igual al diámetro de la misma, se trazados arcos alternadamente, que al encontrarse entre sí originan los puntos A y B. Con ayuda de las escuadras se traza rectas desde los puntos A y B, que pasen por los puntos de números impares del diámetro hasta llegar al extremo de la circunferencia, originando los puntos I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. Con ayuda de las escuadras se unen los puntos obtenidos en números romanos sobre la circunferencia, quedando construido el polígono regular de ocho lados. (Lados pares)

Con ayuda de las escuadras se unen los puntos obtenidos en números romanos sobre la circunferencia, quedando construido el polígono regular de trece lados (lados impares).

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r ó m u lo m o r a a r au c o

9. Rectas tangentes a una circunferencia

11. Trazar las tangentes interiores a dos circunferencias

Trazar tangentes a la circunferencia de centro o y radio r desde un punto a exterior a ella. •

Se une A con O y se divide en dos partes iguales obteniéndose M (AM=MO)

•

Con centro en M y radio AM se describe un arco de circunferencia que corta a la circunferencia de centro O en B y C, puntos de tangencia.

•

Las rectas AB y AC serán tangentes pedidas.

Trazar tangentes cruzadas a dos circunferencias de centros A y B y radios R y R’. •

Se traza una circunferencia con centro en A y de radio R+R’.

•

Desde el centro B se trazan las tangentes a la circunferencia de radio R+R1.

•

Las tangentes cruzadas buscadas serán paralelas a las tangentes concurrentes en B.

10. Trazar las tangentes exteriores a dos circunferencias Trazar tangentes exteriores a dos circunferencias de centros O y O1 y radios R y R1. •

Se traza una circunferencia concéntrica con la mayor de ambas y de radio igual a la diferencia de los radios dados (R-R1).

•

Desde el otro centro O’ se traza tangentes a la circunferencia de radio R-R1.

•

Las tangentes comunes buscadas serán paralelas a las tangentes concurrentes en O1.

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Lectura Técnicas para aprender a aprender y metodología del aula* Una de las primeras preguntas que se plantea el profesorado, después de aprender las técnicas expuestas; es la siguiente: ¿Cómo y cuándo utilizo estas técnicas en el aula? Este capítulo intenta responder a esa cuestión.

Características generales de las estrategias metodológicas derivadas del aprendizaje significativo Hemos expuesto brevemente las bases del aprendizaje significativo, es decir, en qué consiste y lo que implica en el alumnado. En coherencia con dicho enfoque, la estrategia de trabajo en el aula presenta las siguientes características fundamentales EN RELACIÓN CON EL TIPO DE TRABAJO Si se pretende aplicar estas técnicas. en el aula, es necesario plantearse dos modalidades: 1. Trabajo individual: Responde a la concepción del aprendizaje autónomo. Para que se produzca un aprendizaje significativo es necesaria la implicación activa de cada alumno/a. Es el alumnado, individualmente considerado, quien tiene que construir sus conocimientos mediante un proceso interno y personal. Por eso, hablamos de que el aprendizaje es idiosincrásico, es decir, que es el propio individuo quien aprende y nadie puede hacerla por él. 2. Trabajo cooperativo: El trabajo en grupo o aprendizaje en colaboración conlleva intercambio de ideas y aportación de enfoques, es decir, un enriquecimiento de los conocimientos y formas de pensar. El trabajo en grupo implica el establecimiento de consenso en cuanto a los significados, a la importancia de los conceptos, a la forma de expresión gráfica, etc. Supone, pues, compartir los conocimientos, además de desarrollar otros valores derivados del funcionamiento grupal como una micro sociedad. Como síntesis podemos obtener la siguiente conclusión relacionada con la metodología en el aula: compaginar el trabajo individual y el trabajo en grupo.

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EN RELACIÓN CON EL APRENDIZAJE De nuevo tenemos que hacer referencia a las dos formas de aprender: 1. Forma memorística: Se corresponde con el aprendizaje superficial. Lo que se intenta prioritariamente es que el alumnado domine el contenido o información de un tema; no importa cómo lo domina. No existe una preocupación fuerte por la comprensión, sino por el resultado en una prueba (examen, exposición en la clase, etc.). No se rechaza que el alumnado comprenda la información o contenido, de tal manera que, incluso, se le sugiere como mejor forma para obtener buenos resultados. Confía mucho en la memorización, aunque sea mecánica, como estrategia para obtener resultados positivos. 2. Forma significativa: Como contraposición a la anterior, se busca un aprendizaje profundo, que implica prioritariamente la comprensión del contenido o información. Se pretende que el propio alumno/a construya los conocimientos a través de su personal forma de pensar. Lo prioritario es la elaboración de estructuras sólidas y estables de conocimiento, aunque con una actitud de flexibilidad que le permita el cambio ante la nueva información significativa. Interesa lo fundamental, es decir, las ideas básicas más que los conocimientos accesorios y la retención que provenga de la memorización comprensiva. Como síntesis, se puede deducir la siguiente conclusión en relación con el contenido: Se pretende el aprendizaje de las ideas fundamentales de la información sin descartar lo accesorio.

EN RELACIÓN CON LA ACTITUD MENTAL La nueva estrategia metodológica se apoya en una nueva actitud mental en el profesorado y en el alumnado, que se define por los siguientes rasgos: 1. Pensar positivamente: Tanto el alumnado como el profesorado deben trabajar para tener como referencia los aspectos positivos que se ponen en juego, en el trabajo del aula. Así por ejemplo, esta estrategia no encaja con la presentación de la asignatura cómo <>, <>, etc.; o con un nivel de exigencia superior a las posibilidades del alumnado como «enseño para los inteligentes»,’ <>, etc.; o con sentimientos como estos: <<esta asignatura es un rollo», <<no me sirve para nada», etc. ‘. Supone, pues, conocer el nivel de preparación del alumnado; quizás no sean ellos los responsables de su nivel de preparación. Presentar la asignatura con posibilidades de aprobar todos, si son responsables de su trabajo. 2. Aprender como experiencia satisfactoria: Descartar la consideración de que aprender es un trabajo aburrido, desagradable, etc. por el que se tiene que pasar obligatoriamente en una etapa de la vida. Es más eficaz presentar el aprendizaje como una

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experiencia que se puede vivir con diversión y satisfacción, aunque suponga esfuerzo y dedicación. En la vida adulta y juvenil se dan muchas situaciones de entretenimiento, unidas al esfuerzo y dedicación. 3. Potenciar el auto concepto del alumnado: En consonancia con los puntos anteriores, conviene hacer ver al alumnado que es capaz y tiene habilidades suficientes para progresar en el aprendizaje. Apoyar la actividad positiva que haya realizado y considerar los errores como necesidad de mejora son actitudes potenciadoras del alumno como persona y, por tanto, de su aprendizaje. No se pretende ignorar las deficiencias existentes, sino evitar que las carencias o conductas denominadas negativas sean el foco de atención.

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AUTOEVALUACIÓN Nº 2

1. ¿La siguiente construcción qué representa?

Como síntesis se puede extraer la siguiente conclusión sobre la actitud mental: Potenciar al alumno en su aprendizaje es reconocer sus valores y capacidades. De cara a la eficacia en el aprendizaje podríamos recordar aquel dicho antiguo: “Más moscas se casan con una gota de miel que con un barril de vinagre.” *Ontoria, Antonio (2005). Potenciar la capacidad de aprender. Lima, Empresa Editora el Comercio., pp. 181-183.

a) La mediatriz en M b) Trazo de dos círculos c) Circunferencia de radio r d) Trazo de tangentes a un círculo e) N.A. 2. ¿La siguiente gráfica qué representa?

a) Construcción polígono de 7 lados b) Construcción de polígono 8 lados c) Construcción de una circunferencia d) Construcción de dos arcos e) N.A.

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3. ¿La siguiente gráfica qué representa?

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5. ¿Las siguientes gráficas qué representan?

a) b) c) d) e)

a) Trazar un círculo en un polígono regular b) Construcción de dos mediatrices c) Construcción de dos circunferencias d) Trazar un círculo cualquiera e) N.A.

Trazo de dos paralelas. Trazo de arco tangente a los lados de un ángulo obtuso. Trazo de arco tangente a los lados de un ángulo agudo. Trazo de dos arcos N.A.

6. ¿La siguiente gráfica qué representa? 4. ¿La siguiente gráfica qué representa?

a) Tangentes interiores a dos circunferencias b) Trazo de la mediatriz de OO1.. c) Dibujo de tres circunferencias. d) Tangentes exteriores a dos circunferencias. e) N.A.

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a) Construcción de un círculo inscrito b) Construcción de un pentágono c) Trazo de dos diámetros d) Construcción de un círculo circunscrito e) N.A.

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7. ¿La siguiente gráfica qué representa?

a) b) c) d) e)

Construcción de dos mediatrices Construcción de BC Construcción de BE Construcción de una curva en S N.A.

8. ¿La siguiente gráfica qué representa?

r ó m u lo m o r a a r au c o

9. ¿La siguiente gráfica qué representa?

a) b) c) d) e)

Construcción de un triángulo dado 3 lados. Construcción de un triángulo dado dos lados. Construcción de un triángulo dado dos lados y el ángulo comprendido. Construcción de un triángulo dado dos lados y el ángulo en C. N.A.

10. ¿La siguiente gráfica qué representa?

a) Construcción de un hexágono inscrito. b) Construcción de un polígono cualquiera. c) Construcción de dos arcos. d) Construcción de una circunferencia. e) N.A.

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a) Construcción de un rectángulo. b) Construcción de un paralelogramo. c) Construcción de un polígono. d) Construcción de un rombo. e) N.A.

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

r ó m u lo m o r a a r au c o

Texto con numerosos problemas de Geometría Descriptiva.

Respuestas de control

Nakamura, Jorge (2010) Geometría Descriptiva. Lima, W.H. EDITORES S.R.L. Publishing Co. Texto con numerosos ejercicios y problemas de Geometría Descriptiva.

1. d, 2. b, 3. a, 4. d, 5. c, 6. b, 7. d, 8. a, 9. c, 10. b

Rowe, Charles (1974) Geometría Descriptiva. México, Ed. Continental S.A. Texto con numerosos ejercicios y problemas de Geometría Descriptiva.

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EXPLORACIÓN ON LINE

RESUMEN

www.dibujotecnico.com Clase virtual sobre problemas de isometría, actualizado al 02/05/13 Se usarán los instrumentos de dibujo indicados al inicio del curso para trazar: a. Triángulos b. Cuadriláteros. c. División de una circunferencia en tres, cuatro, cinco, seis y siete partes. d. Trazar un arco tangente a los lados de un ángulo agudo. e. Trazar un arco tangente a un ángulo obtuso. f. Trazar un círculo en un polígono regular. g. Trazar una curva en S que conecte a dos líneas paralelas. h. Trazar un arco tangente a un círculo y a una recta. i. Construir un polígono regular de N lados impares. j. Construir un polígono regular de N lados pares. Los problemas explicados y desarrollados permiten adiestrar al estudiante en el manejo de los materiales de dibujo y aplicar en las siguientes unidades, del presente curso.

www.geometriadescriptiva.com Clase virtual sobre teoría y problemas de geometría descriptiva, actualizado al 02/05/13.

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA Jensen, Cecil (1993) Dibujo Técnico I. Colombia, Ed. McGraw- Hill Musayon, Velásquez (1986) Manual de Dibujo Técnico I. Lima, Editorial Educativa-INIDE Vidal, Víctor (1979) Manual de Dibujo Técnico. Lima, Univ. Particular Ricardo Palma.

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BIBLIOGRAFÍA COMENTADA Dias, Jorge (1980) Geometría Descriptiva. Lima, Ed. Universo S.A. Texto con numerosos ejercicios y problemas de Geometría Descriptiva. Leighton, B. (2003) Geometría Descriptiva. Barcelona, Ed. Reverté S.A. z6 4 z

z6 5 z

t e r c e r a

UNIDAD Proyecciones, recta y plano “En el punto donde se detiene la ciencia empieza la imaginación”. Gaultier

L e c c i ó n

ORIENTACIONES Y PROPÓSITOS

5

PROYECCIONES

Al concluir la presente unidad el alumno estará en condiciones de: • Resolver ejercicios y problemas sobre proyecciones • Aplicar los conocimientos adquiridos para aplicar las reglas de visibilidad • Dibujar sólidos a partir de sus vistas principales • Hallar el depurado de un sólido • Hallar la verdadera magnitud de una recta • Determinar la pendiente de un plano • Determinar la orientación de un plano • Hallar la verdadera magnitud de un plano

z6 8 z

1. Concepto de proyección* Si se tiene un sólido tal como se muestra en la siguiente figura:

z6 9 z

g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

Imaginemos dicho sólido dentro de una caja de vidrio transparente de la siguiente figura:

Se observa que dicho sólido se proyectará en la parte superior que se denomina vista horizontal (H), en la vista de frente que se llama vista frontal (F) y en la vista lateral derecha que se llama vista de perfil( P). Si en la referida caja de forma tridimensional, se gira alrededor de sus aristas se obtiene una figura que recibe el nombre de depurado, tal como se muestra en el siguiente gráfico:

r ó m u lo m o r a a r au c o

2. El punto En el siguiente ejemplo el punto A dentro de la caja, se ha proyectado en la vista horizontal H, en la vista frontal F y en la vista de perfil P, y al lado derecho se está comenzando a realizar el depurado.

Con igual criterio si tenemos un punto A dentro de una caja, se proyectará en la parte superior , en la parte frontal y en la vista de perfil, lo mismo se aplica para el punto B, según se indica en la siguiente gráfica, con su depurado.

De esta forma se obtiene una figura de dos dimensiones, donde se muestra las vistas Horizontal (H), la vista frontal (F) y la vista de perfil (P). z7 0 z

z7 1 z

g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

3. Visibilidades

r ó m u lo m o r a a r au c o

•

El vértice o arista más cercana al observador es visible, siendo muchas veces necesario la inspección de una vista adyacente para determinar cuál es más cercano. Por ejemplo en la siguiente figura, el punto 0F, está más cerca de la línea H-F, en consecuencia en la otra vista horizontal, del punto 0H saldrán líneas continuas, según la siguiente figura:

•

El vértice o arista que está más alejado del observador, es invisible si cae dentro del contorno de la proyección, asi tenemos que en la figura anterior se observa que el punto BH es el más alejado de la línea H-F, en consecuencia en la vista frontal, la línea OFBF será invisible.

•

Si en una de las vistas del sólido, dos rectas aparecen cruzadas, una de ellas es visible y la otra invisible. Esto se puede apreciar en la siguiente figura:

Cuando se dibuja un sólido, es necesario indicar las visibilidades, o sea las líneas que sean visibles o invisibles. Las líneas visibles se trazan con líneas continuas y las líneas invisibles con líneas discontinuas o punteadas. En la siguiente figura se muestran dos cubos que ocupan la misma posición, pero las visibilidades han variado. En la figura (a), el punto C se encuentra cerca del observador, pero en la figura (b), el punto C’ se encuentra más alejado del observador.

*Nakamura, (2010) : 14-18

4. Reglas de las visibilidades* •

Las líneas o aristas exteriores que forman el contorno de cada proyección son visibles, como por ejemplo se ilustra:

*Mosto(1980): 27-28

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

5. Proyección en el tercer cuadrante En el desarrollo de proyecciones del presente curso, el caso más usual es la proyección en el tercer cuadrante o proyección ASA (American Estandar Asociation) en el que los planos de proyección están entre el observador y el objeto, según se muestra en la siguiente figura:

L e c c i ó n

6

LA RECTA

1. Representación y nomenclatura de una recta La recta tiene las siguientes características:



• • •

Tiene una sola dimensión que es su longitud. Es ilimitada. Si se le asigna un punto de inicio y un punto final se llama segmento. Se determina en dirección y posición por dos puntos cualquiera.

En la siguiente figura se representa los puntos A y B que limitan el segmento de recta.

z7 4 z

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

r ó m u lo m o r a a r au c o

2. Depurado de una recta

4. Rectas paralelas

Conforme se expuso anteriormente, cuando se desee construir las proyecciones de una recta AB, en los planos de proyección se unirán las proyecciones de A y B en los planos horizontal y frontal. En la siguiente gráfica también se indica el depurado respectivo.

Dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones en cualquier plano serán también paralelas entre sí, lo que se puede apreciar en el siguiente gráfico.

3. Puntos contenidos en una recta Si un punto pertenece a una línea recta, las proyecciones de dicho punto aparecen en todas las proyecciones de la recta, tal como aparece en la siguiente gráfica.

z7 6 z

5. Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse o cruzarse forman un ángulo de 90º. Para observar el ángulo recto por lo menos uno de ellos debe proyectarse en verdadera magnitud (VM), conforme se aprecia en el siguiente gráfico:

z7 7 z

g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

r ó m u lo m o r a a r au c o

6. Posiciones particulares de una recta* Se analizan los siguientes casos: •

Recta horizontal. Es la recta paralela al plano horizontal de proyección. En la vista horizontal aparece en igual magnitud y se le conoce con el nombre de verdadera magnitud (VM). En la siguiente gráfica se representa su proyección y su depurado.

7. Verdadera magnitud de una recta En el caso que la recta no ocupe una posición particular como recta horizontal, recta de frontal y recta de perfil que se vieron anteriormente para hallar la verdadera magnitud, es necesario recurrir a un plano auxiliar paralelo a la recta para hallar la verdadera magnitud de la recta. •

Recta frontal. Es la recta paralela al plano frontal de proyección. En la vista frontal aparece en igual magnitud (VM). En la siguiente gráfica se representa su proyección y su depurado.

•

Recta de perfil. Es la recta paralela al plano de perfil de proyección. En la vista de perfil aparece en igual magnitud (VM). En la siguiente gráfica se representa su proyección y su depurado.

z7 8 z

Así tenemos la recta AB de la gráfica siguiente, se muestra una vista auxiliar F-1 de la vista frontal paralela a la proyección AFBF, la vista A1B1 será la verdadera magnitud (VM) de la recta.

z7 9 z

g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

También se puede hallar la verdadera magnitud de la recta AB, tomando la paralela a la vista horizontal H-1, obteniéndose la recta, A1B1, así tenemos la siguiente gráfica.

r ó m u lo m o r a a r au c o

9. Orientación de una recta La orientación de una recta siempre se toma en la vista horizontal. Por definición la orientación será el ángulo agudo determinado por la vista horizontal de la recta y el meridiano (línea Norte-Sur) y se especifica dando primero el sentido N o S luego el ángulo y finalmente la orientación E u O . Por ejemplo en la siguiente figura la orientación es N60ºE.

8. Vista de punta de una recta

10. Pendiente de una recta

Para hallar la vista de punta de una recta son necesarias dos vistas auxiliares, siguiendo el mismo criterio de la verdadera magnitud. La primera vista auxiliar para hallar la verdadera magnitud de la recta y la segunda se toma sobre un plano perpendicular a la verdadera magnitud hallada, en esta proyección se tiene la vista de punta de la recta, según se muestra en la siguiente gráfica:

La pendiente de una recta se define como el ángulo que determina la recta con el plano horizontal, que se puede expresar en grados o porcentaje. Según se muestra en las siguientes figuras:

La fórmula de la pendiente es:

Pendiente =

altura vertical ×100 distancia horizontal

Según la recta puede ir hacia arriba o hacia abajo, la pendiente puede ser positiva o negativa. El signo de la pendiente se considera vectorial, por ejemplo en las gráficas anteriores la pendiente de la recta AB será positiva, debido a que B está encima de A, donde se ha tomado la dirección de A a B.

*Nakamura, (2010): 69-74 z8 0 z

z8 1 z

g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

r ó m u lo m o r a a r au c o

PROBLEMA 1

PROBLEMA 2

Hallar la vista horizontal del punto “O”, sabiendo que pertenece a AB.

Determinar la vista frontal del punto “x”, sabiendo que pertenece a MN.

Solución. Debido a que A, B y “O” se encuentran en la misma línea, es necesario tomar una vista de perfil AB, ubicándose en esta vista el punto OP , y luego la distancia “x” a la vista auxiliar F-P, se lleva a la vista horizontal. Su gráfica es la siguiente:

z8 2 z

Solución. Similar al problema anterior, se toma la vista de perfil MN, luego se lleva la distancia “y” de la vista horizontal a la vista de perfil, ubicándose XP, obteniéndose XF.

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

PROBLEMA 3 Completar la vista horizontal del segmento MN, sabiendo que corta a AB.

L e c c i ó n 7

EL PLANO Solución. A partir de OF, se levanta una paralela a AB, obteniéndose el punto OH, se une MH con OH, se prolonga y se obtiene NH.

1. Determinación de un plano* Para determinar un plano basta situar tres puntos del mismo que no estén en línea recta. Se observa que una superficie plana está limitada por un contorno de líneas rectas o curvas. Un plano queda determinado por las siguientes formas: • Dos rectas que se cortan AB y CD como el siguiente ejemplo:

z8 4 z

z8 5 z

g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

•

r ó m u lo m o r a a r au c o

2. Recta contenida en un plano*

Por dos rectas paralelas:

En la siguiente figura se da el plano ABC y la recta MHNH, que corta al plano en XHYH. Se pide hallar la vista frontal de esta recta. De XHYH se bajan paralelas hasta el triángulo obteniéndose la recta XHYF:

•

Por un triángulo:

3. Rectas notables en un plano •

De igual forma que se halló en la recta, se puede hallar en el plano las rectas notables que son recta horizontal, recta frontal y recta de perfil, tal como se muestra en las siguientes gráficas:

Por un paralelogramo:

* Leighton, (2003): 86 z8 6 z

z8 7 z

g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

r ó m u lo m o r a a r au c o

4. Puntos contenidos en un plano

6. Vista de canto y verdadera magnitud de un plano

En la siguiente figura se tiene el plano ABC y el punto OF, contenido en el plano, se pasa una recta que pase por dicho punto, se halla la vista horizontal de dicha recta y sobre ella se encuentra OH.

Para hallar la vista de canto y verdadera magnitud se debe seguir la siguiente secuencia: •

Primero se halla la vista de canto. Según la siguiente gráfica se parte del punto BF una paralela a la línea H-F, sube hasta tocar la recta AHCH, se prolonga por BH. Se traza una perpendicular H-1 a BH. Luego se lleva la distancia de AF a la línea H-F a partir de H-1 obteniéndose el punto A1, de igual forma se halla B1 y C1. La recta A1B1C1, es la vista de canto.

Luego se halla la verdadera magnitud del plano, en la misma figura se toma una vista auxiliar 1-2 paralela a esta vista de canto y se lleva la distancia AH a H-1, a partir de la recta 1-2 obteniéndose el punto A2, de la misma forma se halla B2 y C2. El triángulo A2B2C2 es la verdadera magnitud del plano ABC.

5. Posiciones particulares de un plano •

Plano horizontal. Es un plano paralelo al plano horizontal de proyección, proyectándose en verdadera magnitud en el plano horizontal.

•

Plano frontal. Es un plano paralelo al plano frontal, proyectándose en verdadera magnitud en el plano frontal.

•

Plano de perfil. Es un plano paralelo al plano de perfil, proyectándose en verdadera magnitud en el plano de perfil.

*Nakamura, (2010):108-112

En las siguientes gráficas se observan las tres posiciones del plano indicadas.

z8 8 z

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

r ó m u lo m o r a a r au c o

PROBLEMA 1

PROBLEMA 2

Hallar la vita de canto y la verdadera magnitud del plano ABC.

Hallar la vista de canto y verdadera magnitud del plano ABCD.

Solución. El problema de hallar la verdadera magnitud es similar al explicado en la gráfica anterior, comenzando el dibujo en el punto CF, su gráfica es el siguiente:

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Solución. El desarrollo es similar al problema anterior debiéndose comenzar el dibujo en el punto.

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

PROBLEMA 3

r ó m u lo m o r a a r au c o

PROBLEMA 4

Sobre el plano MNP ubicar un punto “O” que se encuentre 2 cm delante y 1.5 cm debajo del vértice “M”.

Solución. A partir de MH, se baja 2 cm y a partir de MF, se baja 1.5 cm, el punto que cumpla las dos condiciones, será las intersecciones de las rectas horizontal y frontal.

z9 2 z

Hallar la distancia del punto “P” a la recta AB.

Solución. Según lo estudiado el punto “P” y la recta AB determinan un plano PAB, el desarrollo es igual al problema 1.

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

PROBLEMA 5 Completar la vista frontal de la recta AB sabiendo que su pendiente es 30º negativa.

Solución. Se halla la vista auxiliar H-1, obteniéndose el punto desde el cual se traza una recta cuya pendiente sea 30º (negativa), ubicándose el punto , llevándose la distancia “a”, a la vista frontal.

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r ó m u lo m o r a a r au c o

PROBLEMA 6 Trazar por el punto “O” un segmento de 3 cm de longitud, con una pendiente de 45º positiva y con una orientación N30ºO.

Solución. Se realiza la secuencia a, b y c según la siguiente gráfica.

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

PROBLEMA 7 Hallar la vista de punta del segmento MN.

Solución. Mediante la vista auxiliar H-1 se halla la verdadera magnitud de MN y mediante el plano auxiliar 1-2 se halla la vista de punta M2N2. z9 6 z

r ó m u lo m o r a a r au c o

PROBLEMA 8 Sobre XY ubicar un punto que diste 2 cm del extremo X.

Solución. Mediante la vista auxiliar H-1, se halla la verdadera magnitud, a partir de X1 se mide 2 cm, obteniéndose P1, que se lleva a las vistas horizontal y frontal. z9 7 z

g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

r ó m u lo m o r a a r au c o

Lectura Aprender y enseñar en una nueva sociedad* Es una idea generalizada que hemos entrado en una nueva sociedad denominada “era de la información”, “sociedad de las nuevas tecnologías”, etc. Al contraponer sociedades o culturas se habla del paso de la sociedad industrial a la sociedad de la información. De hecho, el cambio que han originado la informática o las nuevas tecnologías se evidencia en el funcionamiento de todos los organismos y de todas las sociedades industriales y culturales. Sin embargo, su introducción, en la enseñanza, en los centros educativos, es todavía mínima. La enseñanza parece seguir inmersa en una etapa anterior, sin la menor incidencia de la nueva cultura del aprendizaje.

Características de la nueva sociedad Somos conscientes, incluso por experiencia, de la repercusión de las nuevas tecnologías que definen la sociedad de la información; desde la simple utilización del ordenador como sustituto de la máquina de escribir, hasta la navegación por Internet; pasando por los CDROMS, televisión digital, etc. Todo ello nos permite intuir las posibilidades actuales de la información disponible y de la forma didáctica atractiva con la que se presentan. El aprendizaje de la sociedad industrial, supuso ya un cambio global y radical en la estructuración social y en el rendimiento eficaz del trabajo. Se creó una nueva cultura y una original concepción de la vida, pues la máquina superaba con creces la mano humana y ahorraba una gran energía física. El conocimiento e información se veían incrementados con la imprenta, la prensa, etc. Pero en la nueva sociedad de la información el cambio es toda~ vía mayor en su globalidad, rapidez y formas de vida. Para presentar las características fundamentales que definen esta nueva cultura, nos apoyamos en tres análisis: 1. Los estudios realizados por la World Future Society (Brockert y Braun, 1997:195-200) confirman que el desarrollo del aprendizaje está influido por el progreso que supone la era de las nuevas tecnologías, de tal manera que la escuela, como se concibe hoy resultará caduca y obsoleta. Al no poder reproducir todos los factores que estos autores enumeran, nos limitamos a entresacar los más relacionados con nuestro trabajo: • Internet crecerá, será más influyente y se extenderá por todo el planeta. • Una cultura mundial dominará a todas las personas. Se perderán muchas culturas y surgirán otras nuevas. z9 8 z

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

• Aumentará la velocidad de los cambios tecnológicos, sociales y culturales. • La realidad virtual sustituirá progresivamente a la experiencia directa. • La existencia de tantos conocimientos implicará replantearse lo que en realidad deberán aprender los jóvenes. • Los contenidos de la formación llegarán a casa “prefabricados y envasados”. • Las aulas agruparán a escolares con intereses y capacidades marcadamente diferentes. • Se potenciarán los estudios a distancia. • Los profesores estarán destinados a fabricar programas informáticos y a mantener y controlar a los escolares en sus estudios y en su comportamiento. • Se extenderá el aprendizaje durante toda la vida. • Se fomentarán los trabajos creativos con la informática. • La productividad aumentará rápidamente, el nivel medio de vida crecerá y las diferencias sociales se incrementarán considerablemente. • Los gobiernos solo tendrán un control muy limitado sobre el tráfico de las autopistas de la información y sus decisiones estarán más influencia por los ciudadanos. • Las nuevas tecnologías potenciarán la inactividad física, lo cual repercutirá también en la salud física y mental. Al mismo tiempo, influirán negativamente en la capacidad de pensar y en la toma de decisiones autónomas.

r ó m u lo m o r a a r au c o

AUTOEVALUACIÓN Nº 3 1. En la siguiente gráfica indicar cuáles son las vistas principales:

2. McCarthy (1991) sintetiza en cuatro puntos las características de la sociedad de la información: Eclosión de información: La cantidad de información disponible con las nuevas tecnologías y a la cual se puede tener acceso por medio de la computadora es incalculable, tanto en relación con el pasado como con la que se produce en la actualidad. De hecho, se puede almacenar gran cantidad de información en un simple disco y se puede adquirir información nueva antes de asimilar la que ya se posee. • Cambio del espacio conceptual: La rapidez de la informática lleva a un cambio del concepto de espacio y tiempo. A través de las nuevas tecnologías se está conectado con todo el mundo, lo cual implica un cambio en la eficacia, en las reacciones y en el dinamismo personal, que modifica la potencialidad de aprendizaje.

a) b) c) d) e)

Horizontal, frontal y perfil Horizontal y frontal Horizontal y perfil La vista de arriba y la vista de frente N.A.

2. ¿Qué representan las siguientes gráficas?

• Unificación planetaria: Se tiende a la unificación planetaria debido a las redes de comunicación informática. Todo ello comporta unas mayores intercomunicaciones culturales, económicas y sociales, con sus ventajas e inconvenientes. • Influencia y transformación cultural: El dominio de los medios de comunicación potenciará una transmisión interesada de la cultura, y una mentalización hacia nuevos valores, de tal manera que la posibilidad de manipulación será muy fuerte. Este hecho se reflejará en las manifestaciones culturales, en la comercialización y financiación de proyectos, productos, espectáculos, arte, estilos de vida, etc.

* Ontoria, Antonio (2005) Potenciar la capacidad de aprender a aprender. Lima, Empresa Editora El Comercio., pp.17-19

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

a) b) c) d) e)

Las vistas principales H, F y P. Gráfica del punto A. Dibujo del sólido. Depurado del punto A y B. N.A.

r ó m u lo m o r a a r au c o

a) Un paralelogramo b) Un depurado c) Un plano d) Líneas paralelas e) N.A.

3. ¿Qué se halló en la siguiente gráfica?

5. La pendiente de una recta se puede expresar en: a) ángulos o porcentaje b) ángulos c) Porcentaje d) metros e) N.A.

6. En la siguiente gráfica indicar cuál es la verdadera magnitud del plano ABC

a) La recta AB b) El punto c) El punto d) El punto e) N.A.

4. ¿Las rectas MN y PG del siguiente gráfico qué representan?

a) Recta A1B1C1 b) Plano ABC c) Plano A2B2C2 d) Vista auxiliar 1-2 e) N.A.

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

7. En la siguiente gráfica indicar la vista de canto. a) Plano ABC b) Recta A1B1C1 c) Vista auxiliar H-1 d) Plano e) N.A.

r ó m u lo m o r a a r au c o

a) 60º b) N60ºO c) S 60º E d) N60ºE e) N.A. 9. Qué representa de la siguiente figura:

a) Vista de canto de AB. b) Vista auxiliar F-1 c) Verdadera magnitud de AB. d) Recta horizontal e) N.A. 8. En la siguiente gráfica indicar la orientación de la recta AB.

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10. El depurado de la recta de la figura corresponde a:

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

r ó m u lo m o r a a r au c o

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA

a) Recta frontal b) Recta de perfil c) Recta oblicua2 d) Recta horizontal e) N.A.

Dias, Jorge (1980) Geometría Descriptiva. Lima, Ed. Universo S.A. Leighton, B. (2003) Geometría Descriptiva. Barcelona, Ed. Reverté S.A. Nakamura, Jorge (2010) Geometría Descriptiva. Lima, W.H. EDITORES S.R.L. Publishing Co.

BIBLIOGRAFÍA COMENTADA

Respuestas de control 1. a, 2. d, 3. b, 4. d, 5. a, 6. c, 7. b, 8. b, 9. c, 10. d

Descrep, L. (2000) Geometría Descriptiva. Lima, Ed. Universitas. Texto con problemas de Geometría Descriptiva. Guisecke, Frederick (1998) Dibujo Técnico. México D.F., Trillas. Texto con problemas de Dibujo Técnico. Jensen, Cecil (1993) Dibujo Técnico I. Bogotá, McGraw- Hill Texto con numerosos problemas de Geometría Descriptiva.



Luzador, Warren (1994) Fundamentos de Dibujo de Ingeniería. México, Ed. Cesca. Texto con ejercicios y problemas de Dibujo Técnico. Miranda, Frederick (1993) Geometría Descriptiva. Lima, Editorial AMC. Texto con problemas de Geometría Descrptiva.

RESUMEN Se usarán los instrumentos de dibujo indicados al inicio del curso para resolver ejercicios y problemas relacionados con: a. Proyecciones b. Dibujos isométricos c. El punto d. La representación de la recta e. Rectas paralelas y perpendiculares f. Verdadera magnitud de una recta g. Orientación y pendiente de una recta h. Rectas notables en el plano i. Posiciones particulares de un plano j. Vista de canto y verdadera magnitud de un plano Los problemas explicados y desarrollados permiten adiestrar al estudiante en el manejo de los materiales

Musayon, Velásquez (1986) Manual de Dibujo Técnico I. Lima, Editorial Educativa-INIDE Texto con numerosos ejercicios y problemas de dibujo lineal y Geometría Descriptiva. Rowe, Charles (1974) Geometría Descriptiva. México, Ed. Continental S.A. Texto con numerosos ejercicios y problemas de Geometría Descriptiva.

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Vidal, Víctor (1979) Manual de Dibujo Técnico. Lima, Univ Particular Ricardo Palma. Texto con numerosos problemas de Construcciones Geométricas.

EXPLORACIÓN ON LINE www.dibujotecnico.com Clase virtual sobre problemas de isometría, actualizado al 02/05/13

de dibujo. www.geometriadescriptiva.com Clase virtual sobre teoría y problemas de geometría descriptiva, actualizado al 02/05/13. z1 0 6 z

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

r ó m u lo m o r a a r au c o

BIBLIOGRAFÍA GENERAL

GLOSARIO

Dias, Jorge (1980) Geometría Descriptiva. Lima, Universo S.A. Descrep, L. (2000) Geometría Descriptiva. Lima, Universitas. Guisecke, Frederick (1998) Dibujo Técnico. México, Trillas. Jensen, Cecil (1993) Dibujo Técnico I. Colombia, Mc Graw- Hill Leighton, B. (2003) Geometría Descriptiva. Barcelona, Reverté S.A. Luzador, Warren (1994) Fundamentos de Dibujo de Ingeniería. México D.F., Cesca. Musayon, Velásquez (1986) Manual de Dibujo Técnico I. Lima, Editorial Educativa-INIDE Nakamura, Jorge (2010) Geometría Descriptiva. Lima, W.H. EDITORES S.R.L. Publishing Co. Rowe, Charles (1974) Geometría Descriptiva. México D.F., Continental S.A.. Vidal, Víctor (1979) Manual de Dibujo Técnico. Lima, Univ. Particular Ricardo Palma.

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Abatimiento.

Rotación efectuada sobre una figura plana, que permite calcular dimensiones reales a partir de las proyecciones.

Alejamiento.

Coordenada “Y” que expresa la distancia de un punto al plano vertical de proyección.

Ángulo.

Es la porción del plano limitado por dos semirrectas.

Arco.

Porción de curva.

Asíntota.

Línea recta que se aproxima indefinidamente a una curva hasta ser tangente en el infinito.

Bisectriz.

Es la recta que pasando por el vértice de un ángulo , divide a este en dos partes iguales.

Círculo.

Es la porción de plano limitado por una circunferencia.

Circunferencia.

Es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan de otro llamado centro.

Concéntrico.

Dícese del elemento geométrico que tiene el mismo centro que otro.

Cota.

Cifra que indica una dimensión en general.

Croquis.

Representación a mano alzada de un objeto.

Cuadrante.

Una de las cuatro partes en que dos planos dividen el espacio.

Dao.

Siglas de “Diseño asistido por computador”, que en inglés se corresponden con CAD.

Endecágono.

Polígono de once lados.

Eneágono.

Polígono de nueve lados.

Equidistancia.

Propiedad de un objeto de encontrarse a igual distancia de otros.

Equivalente.

Dícese de la figura plana de igual superficie que otra.

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g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

Escala.

Relación entre la dimensión dibujada y su correspondiente dimensión real.

Generatriz.

Línea que, en su movimiento, engendra una superficie.

Giro.

Transformación geométrica equivalente a una rotación, determinada por un centro, un ángulo y un sentido.

Heptágono.

Polígono de siete lados.

Hexágono.

r ó m u lo m o r a a r au c o

Perímetro.

Longitud del contorno de una figura.

Perpendicular.

Condición de una recta o plano, según el cual, forma ángulo recto, respecto a otra recta o plano.

Perspectiva.

Técnica para representar sobre un plano los objetos tridimensionales, tal como aparecen a simple vista.

Poliedro.

Superficie formada por un conjunto de polígonos que encierran un volumen.

Polígono de seis lados.

Polígono.

Porción de superficie plana limitada por segmentos.

Hipotenusa.

Lado más largo de un triangulo rectángulo.

Prisma.

Horizontal.

Hace referencia a la condición de una recta o plano, de ser paralela al plano horizontal de proyección.

Cuerpo formado por dos bases poligonales, cuyos lados van unidos entre si por caras de aristas paralelas.

Prisma recto.

Isométrico.

Caso del sistema axonométrico, en que los ejes forman entre si un ángulo de 120º. Es el usado en el presente texto.

Las aristas laterales son perpendiculares a los planos de sus bases.

Prisma oblicuo.

Las aristas laterales no son perpendiculares a sus bases.

Línea.

Es la resultante de la sucesión de puntos.

Prisma truncado.

Las bases no son paralelos entre sí.

Línea de tierra.

Es la recta de intersección entre los planos horizontal y frontal.

Punto.

Es el lugar donde se cortan dos rectas.

Radio.

Lugar geométrico.

Dícese del conjunto de puntos que cumplen una condición geométrica.

Es el segmento rectilíneo que une el centro de una circunferencia, con un punto de la misma.

Recta.

Es una sucesión de puntos en una misma dirección.

Mano alzada.

Modo de dibujar sin la utilización y el apoyo de instrumentos de dibujo.

Rectángulo.

Cuadrilátero que posee sus cuatro ángulos rectos.

Mediatriz.

Recta perpendicular a un segmento en su punto medio.

Rombo.

Paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y ninguno de sus lados es recto.

Normal.

Recta perpendicular a una tangente en el punto de tangencia.

Romboide.

Paralelogramo cuyos lados contiguos son desiguales.

Oblicuo.

Condición de una recta o plano, que no es perpendicular, ni paralelo, a otra recta o plano.

Segmento.

Es la porción de recta, comprendida entre dos puntos de la misma.

Obtuso.

Dícese del ángulo mayor de 90º.

Segmento circular.

Es la porción de circulo limitado por un arco y la cuerda correspondiente.

Octógono.

Polígono de ocho lados.

Tangente.

Ortoedro.

Prisma recto de base rectangular.

Condición de una línea plano o cuerpo, según lo cual tienen un solo punto o recta en común.

Paralelogramo.

Cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos entre sí.

Vector.

Segmento rectilíneo, en la cual se determina la magnitud, dirección y sentido. Al primer punto del vector se llama origen y al último, extremo.

z1 1 0 z

z1 1 1 z

g e o m e t r í a d e s c r i p t i va

Vertical.

Condición de una recta o plano, según la cual resulta perpendicular a la línea de horizonte.

Vértice.

Punto en el cual terminan dos semirrectas.

Visual.

Línea recta imaginaria que va del ojo del espectador al objeto observado.

Vista.

Dibujo en dos dimensiones que muestra cada una de las caras de un objeto tridimensional.

Volumen.

Espacio que ocupa un sólido.

z1 1 2 z