Guia Mate1 2010 Ii Final

INTRODUCCION

La presente Guía de Ejercicios y Problemas de Matemática I para el estudiante representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinación Académica y el Área de Matemática vienen realizando en cada semestre académico. Su elaboración está decididamente orientada a incrementar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemática I, en la Unidad Académica de Estudios Generales. Esta Guía que se presenta, contiene ejercicios y problemas de aplicación de cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarán en el presente semestre académico 2010 - II, por lo que está dividida en cuatro unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidades son: Lógica matemática y conjuntos, los números reales, funciones, tópicos de geometría analítica y aplicaciones de la programación lineal. Es nuestra intención y propósito, que la presente guía sea en un instrumento básico de trabajo para el estudiante y que contribuya a la formación profesional y académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la Asignatura de Matemática I, así como también el de mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje.

La Coordinación del Área de Matemática

SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

M AT EMA T ICA I

SEMANA 1

LÓGICA MATEMÁTICA

1.

ENUNCIADO. Es toda oración o frase que exprese alguna idea, a través de afirmaciones, negaciones, preguntas, órdenes, saludos, emociones, etc.

2.

ENUNCIADO ABIERTO. Es aquel enunciado que contiene variables o letras, pero no tiene la propiedad de ser verdadero o falso.

3.

PROPOSICIÓN LÓGICA. Una proposición es un enunciado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas a la vez. Por tanto no puede ser ambigua. Una proposición se representa simbólicamente por letras minúsculas tales como: p, q, r, s,… llamadas variables proposicionales.

4.

VALOR DE VERDAD. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota con V(p) y escribimos: V(p) = V si el valor de p es verdadero y V(p) = F si el valor de p es falso.

5.

PROPOSICIÓN SIMPLE. Es aquella proposición lógica que consta de un solo sujeto y un predicado. Se llaman variables proposicionales.

6.

PROPOSICIÓN COMPUESTA. Es aquella proposición lógica compuesta de dos o más proposiciones simples.

7.

OPERADORES LÓGICOS. Son signos que representan palabras y que son usados para relacionar proposiciones. Tenemos: - Conjunción ∧ - Disyunción débil o inclusiva ∨ - Disyunción fuerte o exclusiva ∆ - Condicional → - Bicondicional ↔

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- Negación ~ 8.

TABLAS DE VERDAD. DISYUNCIÓN DÉBIL

CONJUNCIÓN P

Q

p∧q

V

V

V

V

F

F F

p∨q

p

q

V V

V

V

V

F

F

V F

V

V

F

V

V

F

F

V

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

CONDICIONAL

P Q

9.

p→q

p

Q

DISYUNCIÓN FUERTE

NEGACIÓN

BICONDICIONAL

p

Q

p∆q

p↔q

p

~p

V V

V

V

V

V

V

F

V F

F

V

F

F

F

V

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

V

SIGNOS DE AGRUPACIÓN. Los signos de agrupación

( ) , [ ] ,{ }

se usan en lógica

cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos. Otra finalidad de estos signos es darle mayor o menor jerarquía a los operadores. 10.

FÓRMULA LÓGICA. Es una combinación de variables proposicionales y operadores lógicos. Se evalúa mediante tablas de verdad. Las fórmulas lógicas o esquemas moleculares, se evalúan mediante tablas de valores de verdad, el número de valores de verdad queda determinado por 2n , donde n es el número de proposiciones. Si al evaluar una fórmula lógica resulta que todos los valores de verdad de su operador principal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGÍA. Si todos estos valores son falsos, es una CONTRADICCIÓN. Si es una combinación entre valores verdaderos y falsos, entonces se tiene una CONTINGENCIA

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EJERCICIOS I.

De las siguientes expresiones, indicar cuáles son proposiciones lógicas, justificar. 1. ¡Hace calor! 2.

Todo número entero es negativo

3.

¡Silencio!

4.

4x − 2 < 5

5.

Viajo el fin de semana.

6.

Las rosas son hermosas.

7. El verano es una estación playera. 8.

x −8 ≥ 4+ 6

9.

El número 333 es divisible por 3.

10. 3 + 8 = 1 + 2 + 3 11. ¿Qué edad tienes? 12. ¡Viva el Perú! 13. Prohibido fumar 14. 3 x + 1 ≤ 7 x − 2 15. 3 x + 4 y = 10 16. 6 es un número primo o 3 en un número impar. II. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. O Alan García es el Presidente del Perú o es el Presidente del Congreso. 2. Lima es la Ciudad de los Virreyes y Arequipa es la Ciudad Blanca. 3. 10 es múltiplo de 3 y 30 es divisor de 600 4. Noviembre tiene treinta días. 5. El día tiene 24 horas y una hora tiene 60 minutos. 6.  0.25 = 0.5 ∧ −9 = −3 → 22 + 32 = 52



7. 



(



(

 1

)

25 = −5 ∆ ( 252 − 122 = 132 )  → ( 82 − 6 = 112 ) 

)

3

5 

1 

8.  + =  ∆  23 >   ↔ ( −3) = −32    8   3 2 6  

 5< 7→ 

9.

(

2

 1  52 − 3 = 7 2 − 2 ∆  = 0.4    25 

)

10.  0.36 = 0.6 ∨ −4 = 2  → 52 − 32 = 42



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

(

)

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11. 



16 = −4 ∆ ( 62 − 30 = 32 )  ∧ ( 32 − 5 = 30 ) 

(

)

2 12. 49 = −7 2 ↔  20 = 01 ∧ x 2 + y 2 = ( x + y ) 

(

)

(

) (

)



13. (52 + 1 = 62 − 10) ↔ ( 2 < 4 )

3  4+   1 2 → 55 = 1 14.  +2= )  ( 3 2   2+  4  15. 



(

45 > 67 ∆ ( 34 − 43 = −30 )  → 23 − 52 − 42 = 3 

(

)

)

III. Establecer la tautología, la contradicción y la contingencia de las siguientes proposiciones: 1.

( p → q ) → ( p∨ ~ q ) → ( p ∧ q )

2.

( ~ p ∧ q ) ∆ ( p∨ ~ q ) ↔ ( ~ p ∧ ~ q )

3. ~ ( p ∧ q ) ∧ ~ ( p →~ r )  4. ( p ↔ q ) ∨ ( p → r )  → ( ~ q ∧ p )

( ~ p →~ q ) ∧ ( p → q )

5.

6. ( p → p ) ∧ ( q → r )  → ( p → r )

{

}

7. ~ ( p → p ) ∧ ( q → r )  → ( p → r )

8. ( ~ p ∧ q ) ↔ ~ r  →  r ∧ ~ ( p ∨ ~ q )  9. ~   ~ ( p ∧ q ) ∨ ~ r  ↔ ~ ( p ∧ q ∧ r )  10.

( ~ p∆ ~ r ) →  ~ ( p ∧ q ) ∨ ~ r 

{

}

11. ( p ∧ V ) ∨ ( q ∧ ~ V )  ∧ ( p ∨ q ) ↔ p

{

}

12. ( p ∨ q ) ∨ ( ~ p ∧ ~ q )  ∧ ( p ∨ q ) ↔ V

{

}

13. ( p ∨ q ∨ ~ V ) ∧ ~ V  ∨ ( ~ p ∧ V ) ∨ V  ↔ V

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14. ~  ~ p →~ ( ~ q ∧ ~ p )  ∨ ~ ( ~ p ∨ ~ q ) IV. De la falsedad de  p → ( ~ q )  ∨ ( ~ r → s )  deduzca el valor de verdad de: 1.

( ~ p ∧ ~ q )  ∨ ( ~ q∆p )

2.

( ~ r ∨ q ) ∧ q  ↔ ( ~ q ∨ r ) ∧ s 

3.

( r ∆s ) ↔ ( q →~ p ) ↔ s 

V. Si ~  ( ~ p ∨ r ) ∧ ( q ∧ ~ s )  → ( ~ r → s )  es verdadero, determine el valor de verdad de:

VI.

1.

( p → q ) ∧ ( q ↔ p ) ∆ ( ~ r ∨ s )

2.

( q ∧ r ) → ( ~ s →~ q )  ∨ ( p ↔ r )

3.

( q ∧ V ) ↔ ( p ∨ q ) → F 

Si

( p ∧ q) → (q → r )

es falso, determinar el valor de:

1.

( ~ p ∧ ~ q ) ∧ ~ r  → ( ~ p ∧ r ) ∆p 

2.

~ ( w∆t ) ∧ ~ x  → ( p ∧ q )

3.

( p ∧ F ) → (q ∨V )

VII. Si el esquema ( p → q ) ∧ ( r ∨ s )  → ( p → s ) es falso, hallar el valor de: 1.

( p ∧ ~ q ) ∨ ~ s  → ( p ∧ ~ r ) ∆s 

2.

~ ( w∆t ) ∧ ~ p  ↔ ( p ∧ q ) ∨ u 

3.

( p → q ) ∨ ( q → p )  ∧ ( p ∧ ~ q )

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CUANTIFICADORES

FUNCIÓN PROPOSICIONAL. La función proposicional es un enunciado abierto de la forma P( x) , es decir, se trata de una expresión que contiene alguna variable que al ser sustituida por un valor particular se convierte en proposición. Por ejemplo:

P ( x) : x 2 + 3 > 10 es un enunciado abierto P (2) : 22 + 3 > 10 es una proposición falsa P (3) : 32 + 3 > 10 es una proposición verdadera

CUANTIFICADORES. Los cuantificadores sirven para transformar un enunciado abierto o función proposicional en una proposición para lo cual su misión es indicar cuántos elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta función proposicional. 1.

CUANTIFICADOR UNIVERSAL. Representado por ∀ se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada función proposicional. Notación: ∀ x ∈ A :, se lee: ”Para todo x que pertenece al conjunto A se cumple que”

2.

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. Representado por ∃ , se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con determinada función proposicional. Notación: ∃ x ∈ A /, se lee: ” Existe algún x que pertenece al conjunto A tal que se cumple que”

NEGACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES.

~ [∃x ∈ A / p ( x)] ≡ ∀x ∈ A : ~ p ( x ) “la negación de un existencial da un universal” ~ [∀x ∈ A : p ( x)] ≡ ∃x ∈ A / ~ p ( x ) “la negación de un universal da un existencial” NOTA. En general, la proposición universal ∀x ∈ A : P ( x ) es verdadera si la propiedad P ( x ) lo es, es decir, si cumple con cada uno de los elementos de A y es falso si hay al menos un elemento de A que no cumple la propiedad P ( x ) . En general, la proposición existencial ∃x ∈ A : P ( x) es verdadera si en A hay al menos un elemento x que cumple P ( x ) y es falsa si ningún elemento de A cumple con P ( x ) , esto es, todo elemento de A no cumple P ( x ) .

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EJERCICIOS I.

Dado el conjunto A = {−3, −2, −1, 0,1, 2, 3} . Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1) ∃x ∈ A / x + 5 ∈ A

2) ∀x ∈ A : x 2 − 5 x − 6 = 0

3) ∃ x ∈ B /

x−4 ≥8 2

4) ∃ x ∈ B /

5) ∀x ∈ B :

x−4 =6 x +1

6) ∀x ∈ A : 2 x + 4 ≠ −5

x 2 − 10 ≤ 2

II. Consideremos el conjunto: A = { x ∈
/ −4 < x < 7 } , diga si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones, justificando su respuesta: 1) ∀x ∈ A : x 2 + 4 > 8

2) ∃ x ∈ A / 4 x + 2 = 12

3) ∀x ∈ A : 3 x + 2 ≤ 6

4) ∃ x ∈ A /

5) ∀x ∈ A /

3x − 1 >7 2

7) ∃ x ∈ A / 2 x − 3 > 13 9) ∃ x ∈ A /

x−2 >5 5

6)

3x − 2 >5 5

∀x ∈ A : 4 x3 − 5 > 6

8) ∀x ∈ A : 3 x − 9 ≠ 24 10) ∃ x ∈ A / ( x + 8)( x 2 + 1) = 0

III. Dado el conjunto B = {−2, −1, 0,1, 3, 4, 5, 7} . Negar cada un de las siguientes proposiciones y dar su valor de verdad: 1) ∀x ∈ B : x 2 + 5 > 16

2) ∀x ∈ B : 2 x − 3 = 26

3) ∃ x ∈ B / 5 x + 1 = 38

4) ∀x ∈ B :

4x + 1 < 5 5

2x − 3 > 10 2

6) ∃ x ∈ B /

x 2 − 2 ≤ 45

5) ∃ x ∈ B /

7) ∀x ∈ B : 4 x − 2 ≥ 30 9) ∀x ∈ B :

x−2 =2 x−4

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8) ∃ x ∈ B / 5 x + 3 ≠ 10 10) ∃ x ∈ B / ( x − 6)( x + 9) = 0

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SEMANA 2

CONJUNTOS

¿Agrupaciones?,¿ para qué? En la vida diaria y en la vida profesional, nos encontramos ante situaciones en las cuales de manera natural agrupamos objetos, personas, proyectos, etc., que tienen alguna cualidad en común. Por ejemplo los compañeros de la escuela, las enfermedades del corazón, estudiantes de matemática, entre otros. Nos hacemos preguntas respecto a estas agrupaciones y sus componentes, por eso la matemática se encarga de estudiarlas y este estudio es conocido como Teoría de Conjuntos. 1. IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO. De manera intuitiva diremos que un conjunto es una colección bien definida de objetos. A cada uno de estos objetos le denominamos elemento del conjunto. Un conjunto se denota por una letra mayúscula, sus elementos se encierran entre llaves y se separan por comas cuando el conjunto esta expresado por extensión. 2. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS. 2.1. POR EXTENSIÓN. Aquí se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista de elementos la escribimos entre llaves. 2.2. POR COMPRENSIÓN. Aquí se escribe una propiedad que cumplen todos los elementos que están en el conjunto. 3. RELACIÓN DE PERTENENCIA. Cuando un elemento se encuentra en un conjunto se dice “que este elemento pertenece al conjunto” y se denota por ∈ “pertenece”. 4. SUBCONJUNTO. Es aquel que forma parte de otro. Se denota por ⊆ y se lee “es subconjunto de” ó “está contenido en”. Un conjunto A es subconjunto de B si y sólo si cada elemento de A también es elemento de B y se denota por A ⊆ B . El conjunto vacío ∅ es subconjunto de todo conjunto A. 5. DIAGRAMA DE VENN-EULER. Son gráficos que nos ayudan a ilustrar algunas ideas. En el caso de la teoría de conjuntos se usan diagramas de Venn-Euler. Se usan generalmente círculos para graficar los conjuntos y un rectángulo para el conjunto universal. 6. CARDINAL DE UN CONJUNTO. Es la cantidad o número de elementos de un conjunto y se denota por n ( A ) .

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7. CONJUNTOS ESPECIALES. 7.1. CONJUNTO UNIVERSAL. Es aquel formado por todos los elementos con los cuales estamos trabajando en un problema particular. Se denota por U ó Ω . Es muy importante establecer el conjunto universal, ya que eso determinará nuestro marco de referencia. 7.2. CONJUNTO VACÍO. Es aquel que carece de elementos. Se denota por φ ó

{ }.

7.3. CONJUNTOS DISJUNTOS. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos en común. 7.4. CONJUNTO UNITARIO. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. 7.5. CONJUNTO POTENCIA. El conjunto potencia de un conjunto A , es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A . Se denota por P ( A ) y el número de elementos de P ( A ) = 2n , donde n es el número de elementos de A . 7.6. CONJUNTO FINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada. 7.7. CONJUNTO INFINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es ilimitada. Por ejemplo el conjunto de números reales.

EJERCICIOS: I.

Expresar por extensión los siguientes conjuntos:

{

}

2

1.

A = x / x = ( n − 1) ; n ∈
; −1 ≤ n < 4

2.

3−n   B = x / x = ; n ∈
; 0 ≤ n ≤ 5  n−3  

3.

C = x / x = n 2 − 3; n ∈ ; −3 < n ≤ 3

4.

D = { x ∈
/ −2 ≤ x < 11; x es impar}

5.

n   A = x / x = ; n ∈
; −3 ≤ n < 3 n−3  

6.

B = { x / x es un día de la semana}

7.

{

}

C = { x / x es un número natural menor que 6}

8.

A = { x / x = n 2 − 1; n ∈
; −2 < n ≤ 5}

9.

B = { x / x = n 2 + n; n ∈ ; −1 ≤ n ≤ 4}

10.

D = { x ∈
/ −4 ≤ x < 8; x es par}

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II. Resolver: 1. Si A = { x ∈  / 1 < x ≤ 5} . Determinar P ( A ) . 2.

Si A = { x ∈  / 0 ≤ x ≤ 4} . Determinar P ( A ) .

3. Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas: a)

φ = {0}

b)

{φ} = {0}

c)

φ = {φ }

d)

φ ∈ {{φ}}

{

}

4. Dado el conjunto A = 3, 4, {6} ,8 , colocar verdadero o falso, según corresponda: a) d) g) 5.

{3} ∈ A {3,8} ∈ A

{φ} ⊂ A

b)

{4} ⊆ A

c)

8∈ A

e)

φ∈A

f)

{{6}} ⊂ A

h)

{6} ∈ A

i)

{6} ∈ A

Cuáles de los siguientes conjuntos son vacíos:

{

}

a)

A = { x ∈
/ x ∈ }

b)

B = x ∈
/ x3 = 3

c)

C = { x ∈  / (1/ x ) ∈ }

d)

D = x ∈  / x2 + 4 = 0

{

}

6. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a)

A = { x ∈  / 6 < x < 7} es un conjunto vacío.

b) B = { x / x es múltiplo de 3} es un conjunto infinito. c)

A = {1, 2,3} y B = {1,1,3, 2,3} son disjuntos

d) E = {1, 2,3, 4} es subconjunto de F = { x ∈
/1 < x ≤ 4} e)

A = { x ∈  / x es par} y B = { x ∈  / x es impar} son disjuntos.

f)

P (φ ) = {φ }

g) El número de elementos de P ( A ) es 2n . h) P = {3, 6,9,12,...,30} es un conjunto finito. i)

N = { x / x es un número entero mayor que 42} es un conjunto finito.

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SEMANA 3

OPERACIONES CON CONJUNTOS. 1. UNIÓN. Dado dos conjunto A y B, la unión de A y B se define como:

A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B} U

B

A

Siempre se cumple que A ∪ φ = A

2. INTERSECCIÓN. Dado dos conjuntos A y B, la intersección de A y B se define como:

A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B} U

B

A

Dos conjuntos son disjuntos si A ∩ B = φ . Además siempre se cumple que A ∩ φ = φ .

3. DIFERENCIA. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos A y B se define como:

A − B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B}

U

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A

B

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4. DIFERENCIA SIMÉTRICA. Dado dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica de A y B se define como:

A∆B = { x / x ∈ ( A − B ) ∨ x ∈ ( B − A )} U

B

A

5. COMPLEMENTO. Dado un conjunto A y el conjunto universal U, donde A ⊆ U , se define el complemento de A como:

A ' = { x / x ∈ U ∧ x ∉ A} U

A

Siempre se cumple que: U ' = φ y φ ' = U .

EJERCICIOS I.

Resolver: 1. Sean

los

conjuntos:

U = { x ∈
/ 2 ≤ x < 9} ,

A = { x ∈  / x ≥ 1 ∧ x < 5}

y

B = { x ∈
/ −10 ≤ x ≤ 10 ∧ x es par} . Hallar: a)

A− BA

b)

A '− B '

c)

d)

P( A)

e)

P( B)

f) P ( A) ∩ P( B)

A∆B

2. Sean los conjuntos A = { x ∈  / −3 < x ≤ 8} , B = { x ∈  / −2 < x < 4} y U = A ∪ B , determine: a)

B− A

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b) ( A ∩ B ) '− A

c)

A∆B

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3.

Sean

los

A = { x ∈  * / x ( x + 2 )( x − 1) = 0} ,

conjuntos

{

}

B = x ∈
/ ( x 2 − 1)( x 2 − 4 ) = 0 y U = A ∪ B , determine E = ( A − B ) ' U = { x ∈
/ −4 < x ≤ 6} ,

4. Considerando

A = { x ∈  / x ≥ 0 ∧ x < 4}

y

B = { x ∈
/ −2 ≤ x < 7 ∧ x es par} , determinar: a) A − U d) 5.

P ( A)

b)

A '− ( B ∩ A ) '

c)

e)

P ( B)

f)

A∆B P ( A) ∩ P ( B )

Sean los conjuntos A = { x ∈  / −2 < x ≤ 6} y B = { x ∈  / −1 < x ≤ 4} , determine:

( A∆B ) ∪ ( A ∩ B ) ∪ ( B − A) ∪ ( A − B ) . 6.

Sean

los

{

conjuntos

A = { x ∈
+ / ( x − 3)( x + 1)( x − 1) = 0} ,

}

B = x ∈
/ ( x 2 − 1)( x 2 − 9 ) = 0 y U = A ∪ B , determine E = ( A ∪ B ) '∩ ( A − B ) ' 7.

Sean

los

conjuntos

A = { x ∈  / −5 < x < 3} ,

B = {1, 2,3, 4,5, 6} − {5, 6} ,

C = {3, 4,5, 6} y U = A ∪ B ∪ C , determine E = ( B − A ) ' ∆ ( C − B ) ' .

II. APLICACIONES 1. De un grupo de 30 personas, 20 van al teatro, 5 sólo van al cine, 18 van al cine o al teatro, pero no a ambos sitios. ¿Cuántos van a ambos sitios?. 2.

A un grupo de 25 alumnos se le ha tomado un examen de Matemática y un examen de Economía, obteniéndose los siguientes resultados: 16 alumnos aprobaron Matemática; 20 alumnos aprobaron Economía y 14 aprobaron ambas asignaturas. ¿Cuántos alumnos aprobaron por lo menos un curso? , ¿Cuántos alumnos aprobaron sólo Matemática? , ¿Cuántos alumnos no aprobaron ninguna de las dos asignaturas?.

6. De un grupo de 62 atletas, 25 lanzan bala; 36 lanzan jabalina y 30 lanzan disco; 3 lanzan los tres; 10 lanzan jabalina y disco; 15 disco y bala, 7 lanzan bala y jabalina. ¿Cuántos no lanzan jabalina ni disco? . 7.

Una agencia de Turismo convocó a un concurso para administradores con conocimientos de algún idioma extranjero. De los que se presentaron, 25 saben inglés, 21 francés y 17 alemán. Además 17 saben inglés y francés; 14 inglés y alemán; 11 francés y alemán y 9 inglés, francés y alemán. ¿Cuántas personas se presentaron al concurso?.

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8. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican básquet, 14 fútbol y 11 tenis. 6 alumnos practican los tres deportes, 2 practican fútbol y básquet pero no tenis, 1 practica básquet y tenis pero no fútbol, 3 practican sólo tenis. ¿Cuántos alumnos practican sólo 1 deporte? . 9. De un total de 200 personas sobre su preferencia acerca de dos productos A y B, 50 dijeron no consumir el producto A y 40 no consumir el producto B. Si 15 personas manifestaron no consumir ninguno de ellos. ¿Cuántos consumen los dos productos? 10. De un conjunto de 40 personas se tiene la siguiente información: 15 personas que no estudian ni trabajan, 10 personas que estudian y 3 personas que estudian y trabajan. ¿Cuántas personas realizan una sola actividad? . 11. En una reunión hay 160 personas de los cuales se tiene la siguiente información: los que toman son el triple de los que fuman, los que fuman y toman son 40 y los que no fuman ni toman son 12. ¿Cuántos solamente toman?. 12. En una encuesta realizada en 100 viviendas de un distrito se obtuvo que:
60 casas tenían aparatos de TV a color
30 casas tenían equipo de sonido
20 casas tenían DVD
21 casas tenían TV a color y equipo de sonido.
15 casas tenían TV a color y DVD
4 casas tenían equipo de sonido y DVD. ¿Cuántas casas, como máximo, no tenían estos aparatos? 13.

Un grupo de alumnos de Administración ha planeado realizar una investigación sobre las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las películas A, B y C. Después de encuestar a 50 personas se obtuvo la siguiente información: 20 han visto la película A; 17 han visto la película B; 23 han visto la película C. 6 han visto las películas A y B, 8 han visto las películas B y C, 10 han visto las películas A y C. Además se sabe que 2 han visto las tres películas. ¿Cuántas personas han visto una sola película?, ¿Cuántas personas han visto al menos dos películas?

14.

En un conjunto de 40 personas, hay algunos que estudian o trabajan y otras que ni estudian ni trabajan. Si hay 15 personas que no estudian ni trabajan, 10 personas que estudian; 3 personas que estudian y trabajan. ¿Cuántas personas sólo estudian? , ¿Cuántas personas sólo realizan una actividad?

15.

En una encuesta realizada a personas adultas de la región norte del país, con respecto al género de cine que preferían, se obtuvo la siguiente información: 120 prefieren la comedia; 100 prefieren el género policial; 50 les gusta el suspenso. 10 prefieren los géneros policial y comedia; 16 prefieren comedia y suspenso ; 16 prefieren suspenso y policial. 6 les agrada los tres géneros. Si se entrevistó a un total de 290 personas, ¿Cuántos optan por uno sólo de estos géneros? , ¿Cuántos sólo prefieren la comedia?

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16. En un aula hay 72 alumnos que gustan de la música rock o salsa. La cantidad de los que gustan el rock es el quíntuplo de los que sólo gustan la salsa; la cantidad de los que sólo gustan el rock es el triple de los que gustan ambos géneros. ¿Cuántos alumnos sólo gustan de un género? 17. Un grupo de 60 chef se presentaron a un Concurso de Cocina en las siguientes especialidades: postres, cremas y pastas. Obteniéndose como resultado que: 30 ganaron en la especialidad de pastas. 25 ganaron en la especialidad de postres. 20 ganaron en la especialidad de cremas. 5 ganaron en pastas y postres pero no en cremas. 7 ganaron en pastas y cremas. 1 ganó en las tres especialidades. Además se sabe que el número de los que ganaron sólo postres es la mitad de los que ganaron la especialidad de pastas. Determine cuantos ganaron, al menos, en dos de las especialidades. 18. Para obtener la licencia de conducir, hay que aprobar necesariamente 3 exámenes: el médico, el de manejo y el de reglas de tránsito. En una evaluación de 80 personas que solicitaron la licencia de conducir, aprobaron el examen médico 26, y son tantos como los que aprobaron el examen de manejo, pero la mitad de los que aprobaron el examen de reglas de transito. 12 aprobaron el examen médico y el de manejo; 8 aprobaron el examen médico y el de reglas, 10 aprobaron el examen de manejo y reglas. Si ninguno pudo obtener su licencia para conducir (es decir, ninguno aprobó los tres exámenes), determine cuántos aprobaron sólo uno de los exámenes. 19. De una encuesta realizada a 130 personas para establecer sus preferencias de lecturas de las Revistas Magaly TV, Gisela y Caretas, se obtiene el resultado siguiente: todos leen alguna de las tres revistas, 75 leen Magaly TV , 15 leen Magaly TV y Gisela pero no Caretas, 11 leen Gisela y Caretas pero no Magaly TV , 20 leen sólo Caretas. El número de personas que leen las tres revistas es 12 y el número de los que leen Magaly TV y Caretas es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen sólo Gisela es el mismo que el total de los que leen Magaly TV

y Caretas.

Determine: a) El número de personas que leen solamente Magaly TV . b) El número de personas que leen solo dos revistas c) El número de personas que leen solo Magaly TV y Caretas. 20. En la Unidad Académica de Estudios Generales, se realizó una encuesta a un grupo de 200 alumnos, sobre

la responsabilidad en el cumplimiento de sus

tareas,

puntualidad a clase y confianza en aprobar sus cursos; obteniendo los siguientes resultados: 100 responden que son responsables con sus tareas, 110 responden tener confianza en aprobar sus cursos y 120 responden que su asistencia es puntual a clase; 60 responden ser responsables en sus tareas y confían aprobar sus cursos, 20 responden ser responsables con sus tareas y ser puntuales a clase pero no confían aprobar sus cursos, 80 responden ser puntuales a clase y confían en aprobar

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16

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sus cursos. Además, según la respuesta de los alumnos, se estima que 50 alumnos son responsables, puntuales y confían aprobar sus cursos. ¿Cuántos alumnos son sólo puntuales a clase?,

¿Cuántos alumnos

no son responsables, no llegan

puntuales a clase y no tienen confianza de aprobar sus cursos?, ¿Cuántos alumnos cumplen con, por lo menos, dos de las tres preguntas? 21. Un grupo de 160 jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertas marcas de bebida gaseosa (Coca Cola, Inca Kola y Pepsi) y se obtuvo el resultado siguiente: los que beben Coca Cola son 59, los que beben Inca Kola 73 y los que beben Pepsi 77. Los que beben Inca Kola y Pepsi son 22, Pepsi y Coca Cola 17, solamente Coca Cola 30. Además, los que beben Inca Kola y Pepsi, pero no Coca Cola, son la mitad de los que solamente beben Coca Cola. ¿Cuántos jóvenes beben las tres bebidas?, ¿Cuántos jóvenes beben solamente una de las tres bebidas. 22. En un estudio de mercado, para conocer la marca de automóvil que prefieren los peruanos, se realizó una encuesta a 310 personas obteniéndose los siguientes resultados: 140 personas prefieren la marca Nissan; 70 prefieren la marca Volvo y 110 la marca Toyota; 20 personas prefieren las marcas Volvo y Toyota pero no la marca Nissan; 15 personas prefieren las marcas Volvo y Nissan; 25 personas prefieren las marcas Nissan y Toyota. Además se sabe que el número de personas que prefieren las tres marcas, es la séptima parte de los que prefieren la marca Volvo. a) ¿Cuántas personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de Automóvil? b) ¿Cuántos personas prefieren, por lo menos, dos de las tres marcas? c) ¿Cuántas persona prefieren sólo dos de las tres marcas de automóvil?

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SEMANA 4

ECUACIONES LINEALES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas lados o miembros, y están separados por el signo de igualdad “=”. Toda ecuación lineal con una incógnita se puede llevar a la forma: ax + b = 0 , con

a ≠ 0.

Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera dicha igualdad. La solución es también llamada raíz de la ecuación siendo expresada por: x =

−b a

1. Resolver ∀x ∈ R a) 5x − { − x − (−4 x + 1) } = −6 − { −(3x + 5) − ( x − 2) } b) 4 [ 3x − ( x − 2) ] + 2( x + 8) = 4 − ( x − 6) c) 6( x − 2) − 8(3x − 2) = 14x d) 4 − 3  x − (5 x − 4)  − x 2 = 3 − ( x + 1) 2 e)

(3x − 1)2 − (5 x − 3)2 = −(4 x − 2)2

f)

7x + 3 9x − 8 − =6 2 4

g)

x + 11 4 + 10 x − = 2x − 3 3 6

h)

2 x − 7 8 x − 9 3x − 5 + = 3 14 21

x x −7 = 3 3

2. Resolver las siguientes ecuaciones racionales: a)

x x−2 = x+2 x−4

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b)

x 2 x2 −1 + = 2 x−2 x+2 x −4

18

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c)

3x + 4 3x − 5 12 − = 2 x+2 x − 4 x − 2x − 8

h)

y−6 6 y+6 − = y y y−6

d)

2x − 1 14 x + = 2 +3 x −3 x+3 x −9

i)

x + 1 x + 4 3x + 5 − = x x + 5 x 2 + 5x

e)

x+3 x+4 13 − = 2 x x + 6 x + 6x

j)

x 2 + 1 x + 8 4 x + 11 − = 7x + 3 7 14

f)

1 11 2 2 + = − x 10 x 5

k)

x−2 x +1 4 − 2 = 2 x + 2x − 3 x − 9 x − 4x + 3

1 3 4 − = x − 3 x − 2 1 − 2x

l)

2 1 13 + 2 = 2 x − 2 x − 8 x − x − 12 x + 5 x + 6

g)

2

2

4. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales: a) 6 −

2x + 5 = 0

f)

x−

b)

x2 −9 = 9− x

g)

5 x − 14 = 2 x − 1

c)

x+3−

x−2 =5

h)

x+5 +

d)

x+2−

x + 7 =1

i)

9 x + 10 − 2 x + 3 =

e)

5 + 2x =

4x − 2

j)

9x + 7 −

E S T U D I O S G E N E R AL E S

x +1 = 1

x−2 =

4x + 5 x−2

x = 16 x − 7

19

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EJERCICIOS DE REPASO 1. Resolver ∀x ∈ R : a)

(x + 2)3 − (x − 2)3 = 4 x(3x + 4)

b)

4  3x − 1  3  2 x + 5  6  8 x − 7   −  −  =0 5  2  5  6  5  12 

c)

5x x − 1 1 3 − = x + + ( x + 1) 6 2 3 8

d)

(2 x − 1)(x + 1) = 2[x + (x + 1)(x − 1)]

e)

(x + 1)(x − 2) = x 2 − 3(x − 4)

f)

( x + 2 )2 − ( x − 2 )2 = 5

g) 1 −

3 − x 1 − x  2 + x  − + 1 −  = 0 4 6    3

3. Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias: a)

−4 7 3 = + x −1 2 − x x +1

b)

x x 3x − 4 − = 2 x +3 x −3 x −9

c) 1 +

5x 7 − x 8 + x − = 3+ x 5 5

d)

3 2 2 = − x −1 x +1 x

e)

3 6x − 5 5 − = 2 x − 2 4 − 2x

f)

3x x−2 4 + 2 = x −1 x + x x +1

g)

x−2 2x − 5 x+2 − 2 + 2 =0 x − 6 x − 7 x − 49 x + 8 x + 7

h)

5 3 7x − 2 − = 2 7 x + 7 14 x − 7 2 x + x − 1

2

2

2

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20

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4. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales: a)

5 x − 6 − 16 = 0

c)

4x − 6 −

e)

x + 31 −

g) 2 i)

x −3 =

2x +

x =0

x + 8 −1 = 0 x+2+

2 x −1 =

x−6

3 2 x −1

b)

x 2 + 33 − x = 3

d)

y −3 −

f)

y+

h)

x−4 +

j)

y = −3

y+2 =3 x + 4 = 2 x −1

14 − x + 11 − x =

3 11 − x

APLICACIONES 1. El ingreso mensual total de una guardería por el cuidado de x niños está dado por I = 450 x , y sus costos mensuales totales están dados por C = 380 x + 3500 . ¿Cuántos niños se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de equilibrio? En otras palabras ¿cuándo los ingresos igualan a los costos? 2. Una compañía de refinación de maíz produce gluten de maíz para alimento de ganado, con un costo variable de $76 por tonelada. Si los costos fijos son $110,000 por mes y el alimento se vende en $126 por tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual de $540,000? 3. Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $20. El costo de fabricación de cada cartucho es de $12. Los costos fijos mensuales son de $8000 .Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego ¿cuántos cartuchos debe vender el fabricante para llegar al punto de equilibrio? 4. Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios, el costo combinado de mano de obra y material es de $21 por calentador .Los costos fijos son $70,000. Si el precio de venta de un calentador es $35. a) ¿Cuántos calentadores debe vender para que la compañía tenga una utilidad de $140 000? b) ¿Cuál será el ingreso para esa utilidad? 5. La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $60,000, determine: a) El número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $90,000. b) ¿Cuál será el ingreso para esa utilidad? c) ¿Cuál será el costo total para esa utilidad? E S T U D I O S G E N E R AL E S

21

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6. Suponga que los consumidores comprarán q unidades de un producto al precio de

1000 + 2 dólares por unidad. ¿Cuántas unidades deberá vender para obtener un ingreso q de $5000?. 7. Se sabe que los consumidores comprarán q unidades de un producto si el precio es de

200 + 10 dólares por unidad. ¿Cuántas unidades deberá vender para obtener un q

ingreso de $4000?.

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22

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SEMANA 5

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACION DE SEGUNDO GRADO Definición. Una ecuación de segundo grado es aquella expresión en la que el exponente máximo es 2, siendo además racional y entera de la forma: ax 2 + bx + c = 0 ; donde a , b , c , son números reales y a ≠ 0 . Clases: Completas: ax 2 + bx + c = 0 Incompletas: ax 2 + bx = 0 donde c = 0 ;

ax 2 + c = 0 donde b = 0

METODOS DE SOLUCION Los métodos para resolver una ecuación de segundo grado son: a) Factorización. Se factoriza a través del aspa simple. Para obtener las soluciones o raíces iguala cada factor a cero:

se

Ejemplo: Resolver: 2 x 2 + x − 3 = 0 Factorizando por aspa simple:

2x 2 + x − 3 = 0

2x

3

x

-1

Los factores son: (2 x + 3)( x − 1) = 0 Igualando a cero cada factor: 2 x + 3 = 0 ; Resolviendo se obtiene: x = − 3

{

El conjunto solución es: C.S = − 3 ; 1

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x =1

;

2

2

x −1 = 0

} 23

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b) Formula General: Una ecuación de segundo grado puede resolverse utilizando la formula general:

x=

−b ±

b 2 − 4 ac 2a

donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación.

Procedimiento a) Se halla el valor de los coeficientes : a, b y c b) Se reemplaza el valor de los coeficientes en la fórmula general. c) Se reducen los términos semejantes en cada miembro d) Se despeja la incógnita.

Ejemplo: Resolver: 2 x 2 − 8 x + 6 = 0 Los valores de a, b y c son: a = 2 , b = − 8

Reemplazando en la F.G. x =

Entonces: x = 1

8+4 4

y

− (−8) ± (−8) 2 − 4(2)(6) 8 ± 64 − 48 8 ± 16 8± 4 = = = 2(2) 4 4 4

x = 2

, c=6

8−4 4

x = 3 y x =1 1

2

El conjunto solución es: C.S = { 3 ; 1 }

EJERCICIOS Resolver las siguientes ecuaciones: a) x 2 + 6 x − 55 = 0 c)

x 2 − 10 x + 25 = 0

e) 2 x 2 − 6 x = 6 x 2 − 8 x

b) 14 x 2 − 28 = 0 d)

w 2 − 2w + 9 = 0

f)

2y2 − y − 3 = 0

g)

5 2 2 x − x=0 3 7

h)

i)

x2 x + =2 4 2

j) 0.3 x 2 + 1.3 x − 1 = 0

E S T U D I O S G E N E R AL E S

3x 2 − 5x = 0

24

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(

)

k) 5 x( x − 1) − 2 2 x 2 − 7 x = −8

l) (2 x + 1) 2 = x(3 x + 2)

m) x(3 x − 2) = (2 x − 3) 2

n)

o) 3 x + 4 = x − 6

p)

2 6 − =5 x − 1 2x + 1

EJERCICIOS DE REPASO Resolver las siguientes ecuaciones:

1) x 2 = 81

2) 14x2 - 28 = 0

3) (x + 6)(x - 6) = 13

4) (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0

5) (x + 11)(x - 11) = 23

6) x2 = 7x

7) 21x2 + 100 = - 5

8) 2x2 - 6x = 6x2 - 8x

9) (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16

10) (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)

11) x2 + 12x + 35 = 0

12) x2 - 3x + 2 = 0

13) x2 + 4x =285

14) 5x(x - 1) - 2(2x2 - 7x) = - 8

15) (x + 2)2 = 1 - x(x + 3)

16) 2 x + 3 = 13 3 2x 6

17) x + 4 − x + 2 = 1 x + 5 x + 3 24

18)

2 19) x + x = 2 x 6 2 3

20) 5x − 8 = 7 x − 4 x −1 x+2

x2 + x = 2 4 2

APLICACIONES 1.

Hallar la suma de dos números consecutivos tales que su producto sea igual al producto de los dos consecutivos siguientes disminuidos en 30.

2.

Si la suma de un número con 3 se multiplica por la diferencia de dicho número con 2, se obtiene el cuadrado de dicho número menos 2. Hallar el número.

3.

Un terreno rectangular de 4x8 m. se usa como jardín. Se decide poner una vereda en toda la orilla interior de modo que 12 m2 del terreno se dejen para flores. ¿Cuál debe ser el ancho de la vereda?

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4.

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Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto, el ingreso total por las ventas será 100 q . Si el costo variable por unidad es de S/. 2 y el costo fijo es S/. 1200, determine los valores de q para que la utilidad sea cero.

5.

La ecuación de ingresos de cierta compañía es: I = 340 p − 4 p 2 ; donde p es el precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿Cuál será el precio para que el ingreso sea de $ 6000, si el precio debe ser mayor de $ 40?

6.

El ingreso mensual de cierta compañía está dado por R = 800 p − 7 p 2 , donde p es el precio en nuevos soles del producto que fabrica esa compañía. ¿A que precio el ingreso será de S/. 10,000, si el precio debe ser mayor de S/. 50?

7.

Cuando el precio de un producto es de p dólares por unidad, suponga que un

3 p 2 − 4 p unidades del producto al mercado y que los consumidores demandarán 24 − p 2 unidades. Si el valor de p para el cual la oferta es igual a la demanda, se dice que el mercado esta en equilibrio, halle el valor de p . fabricante suministrará

8.

Una compañía de muebles para computadoras tiene la ecuación de ingresos mensuales dada por: I = 450 p − 9 p 2 , donde p es el precio en dólares de cada mueble. Determine e precio de cada mueble para que el ingreso mensual sea de 5400 dólares, si el precio debe ser mayor que 20 dólares.

9.

Suponga que un comerciante venderá q unidades de un producto, cuando el precio es de (110 − q) dólares por unidad. Determine el número de unidades que debe vender a fin de obtener un ingreso por ventas de 3000 dólares, si debe vender más de 50 unidades.

10.

Un fabricante de camisas puede vender q unidades semanales al precio de p dólares por unidad, en donde p = 150 − q . El costo total de producir q unidades de camisas es de (1800 + 40q) dólares. Halle el número de camisas que debe vender a la semana para obtener una utilidad de 1200 dólares, si el número de camisas debe ser mayor que 50.

11.

Un fabricante de pantalones puede vender q unidades semanales al precio de p dólares por unidad, en donde p = 185 − q . El costo total de producir q unidades de pantalones es de (2800 + 45q) dólares. Halle el número de camisas que debe vender a la semana para obtener una utilidad de 2000 dólares, si el número de camisas debe ser mayor que 60.

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DESIGUALDADES LINEALES

Propiedades de las desigualdades 1) Si a < b → a + c < b + c Si a < b y c > 0 → ac < bc y

a b < c c

3) Si a < b y c < 0 → ac > bc y

a b > c c

2)

Desigualdades Lineales

ax + b < 0 , a y b son constantes y a ≠ 0 < se lee menor que ≤ se lee menor o igual que > se lee mayor que ≥ se lee mayor o igual que

Ejemplo 1: Resolver: 4 x + 8 ≤ −3 x − 5 Pasando las variables al primer miembro:

4 x + 3 x ≤ −5 − 8

Simplificando: 7 x ≤ −13 Dividiendo entre 7:

x≤

−13 7

El conjunto solución es:

CS = −∞, − 13  7

Ejemplo 2: Resolver: −2 x − 6 > 6 x − 9 Pasando las variables al primer miembro:

−2 x − 6 x > −9 + 6

Simplificando: −8 x > −3 Multiplicando por ( −1) y dividiendo entre 8: El conjunto solución es:

x<

3 8

CS = −∞, 3  8

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Ejemplo 3: Resolver: 2 −

4x 3 2x < + 3 2 4

Multiplicando por 12 (MCD): 24 − 16 x < 18 + 6 x Pasando las variables al primer miembro:

−16 x − 6 x < 18 − 24

Simplificando: −22 x < −6 Multiplicando por ( −1) y dividiendo entre 6: El conjunto solución es:

CS =

x>

3 11

3 ; +∞ 11

EJERCICIOS: I. Resolver: 1. 3 x − 5 > 5 x + 1

2.

6x − 3 x −3 − (2 x − 6) ≥ 2 4 2 4 (4 x + 2) − ( x − 2) ≤ (4 x + 5) 3 13

3.

2 x − 15 5 2 < (2 − x) > (8 − 5 x) 2 3 3

4.

5.

x−3 5 x 2x + 9 + < + 3 4 12 15

6. 11 −

7.

x 6 3x 11 14 + < + > 2x − 2 5 4 5 5

8.

9.

5x − 1 7( x + 1) < −3 −2

10. 9 − 0.1 y ≤

11.

7 −8 x > x 4 3

12. 4 x −

13.

3(2 x − 2) 6x − 3 x > + 2 5 10

14. 0.1(0.03 x + 4) ≥ 0.02 x + 0.434

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3 1 9 x < (5 x + 14) ≥ (2 + x) 2 3 5

4 x + 5 > 6 x − 13 2 − 0.01 y 0.2

1 3 ≤ x 2 2

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SEMANA 6

APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES

Obtener ganancia:

U >0

; I t − Ct > 0

No obtener pérdida: U ≥ 0

;

I t − Ct ≥ 0

1. Si al doble de la edad de Juan se resta 17 años resulta menor que 35, pero mayor que 31. ¿Cuál es la edad de Juan?. 2. Miguel tiene S .520 para gastar en ropa. Si compra un terno que cuesta S .250 y el precio de unas camisas es de S .30 cada una, determine el mayor número de camisas que él puede comprar. 3. Una empresa produce jarras de vidrio. Mencionadas jarras tienen un precio unitario de venta de S .18 y un costo unitario de S .13 . Si los costos fijos son S .300 000 , determine el número mínimo de jarras que deben venderse para que la empresa tenga utilidades. 4. Ricardo, se dedica a la venta de sándwich de pollo. El precio de venta al público es de S .1.50 cada uno. Tiene un costo unitario de S .0.80 y costo fijo de S .20, determine el número de sándwich de pollo que deben venderse para que Ricardo no tenga pérdidas. 5. En la producción del periódico “La Nueva” se tienen: costos de materia prima en S .0.20 y mano de obra en S .0.30 , por unidad. El costo que se hace sin importar el volumen de ventas, es de S .1000 mensual. El precio de cada periódico es S .1.00. Determine el número de periódicos que se deben vender para que la editorial obtenga utilidades. 6. Los niños de una escuela compran q unidades de galletas “Dulces” al precio de

10 + 2 por unidad. ¿Cuál es el número mínimo de unidades de galletas que deben q venderse para que el ingreso sea mayor que S .130.00 ? 7. Hoy, un fabricante tiene 2 500 unidades de un producto. El precio unitario del producto es S .4 . El próximo mes el precio por unidad se incrementará en S .0.50. El fabricante quiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2 500 unidades no sea menor que S .10 750. ¿Cuál es el número máximo de unidades que pueden venderse este mes? 8. Lupita prepara marcianos de fruta para vender en su barrio. Gasta S .0.2 0 en fruta y S .0.20 en otros insumos (como azúcar, bolsas de marcianos, etc...) por unidad. Además, debe aportar S .20.00 mensual por consumo de luz, agua y gas que utiliza para la preparación de los mismos. Si los vende a S .0.50 cada uno. ¿Cuántos marcianos debe elaborar y vender para obtener utilidades?

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29

SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

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INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Procedimiento: Resolver la inecuación como si fuera una ecuación, las raíces o soluciones de la ecuación, serán los extremos del intervalo o los intervalos correspondientes al conjunto solución. Depende de la relación de orden que tenga la inecuación, para establecer el conjunto solución. Sea la inecuación: ax 2 + bx + c ≥ 0 , entonces: 1)

2)

ax 2 + bx + c = 0 , al resolver supongamos que obtenemos como soluciones y x2 = n Como

la

relación

de orden x ∈ −∞ ; m ] ∪ [ n ; +∞ y m< n

es

≥

entonces

el

conjunto

x1 = m

solución

será

Nota: Si la desigualdad hubiera sido solo > el conjunto solución sería: x ∈ −∞; m ∪ n; +∞ Si la inecuación fuera: ax 2 + bx + c ≤ 0 se procede de la misma forma pero el conjunto solución estaría dado por [ m, n ] , en el caso de ser solo < el conjunto solución sería

m; n . Ejemplo: Resolver x 2 − x − 6 ≥ 0 1)

x 2 − x − 6 = 0 ⇒ ( x − 3)( x + 2) = 0 ⇒ x1 = 3 ó x2 = −2

2) Como la inecuación es ≥ el conjunto solución es x ∈ −∞ ; −2 ] ∪ [ 3; + ∞

Para analizar: Si

la

inecuación

es

de

la

forma

(ax + b) 2 ≥ 0

el

conjunto

solución

es:

es

de

la

forma

(ax + b) 2 ≤ 0

el

conjunto

solución

es:

………………………. Si

la

inecuación

………………………… ¿Cuál sería el conjunto solución si en las desigualdades cuadráticas anteriores no existe el igual?

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30

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SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

EJERCICIOS Resolver: 1. x 2 + 11x + 28 ≥ 0

2. 3 x 2 − 8 x + 5 ≤ 0

3. 3 x 2 − 14 x − 5 ≤ 0

4. 4 − x 2 ≥ 0

5. 4 x 2 − 81 ≥ 0

6. − 4 x 2 + 4 x + 3 ≤ 0

7. 12 + x − x 2 ≥ 0

8. x 2 + 3 x − 5 ≤ 0

-x<0

10. 3 x 2 − 8 x + 5 ≤ 0

11. 5 x 2 + 14 x ≥ 55

12. x 2 − 6 x + 9 ≥ 0

13. x 2 + 8 x + 16 ≤ 0

14. ( x + 3)( x + 2) ≤ 11x + 12

15. x 2 + 7 x − 10 ≥ 2 x + 4

16. 2( x − 3) ≤ 3( x + 2)( x − 3)

17. 3 x 2 + 2 x − 5 ≤ x 2 + x + 1

18. 3 x 2 − 8 x + 4 ≥ 0

19. ( x − 4) 2 > 0

20. (2 x − 5) 2 < 0

9. x2

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31

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SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

SEMANA 7

APLICACIONES DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

(Producción y utilidades). Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es p dólares están dadas por p = 200 − 3 x . El costo de producir x unidades al mes del artículo es C = (650 + 5 x) dólares. ¿Cuántas unidades de este articulo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2200 dólares? Solución.

I = (unidades vendidas) × ( precio por unidad ) I = xp

I = x(200 − 3x) I = 200 x − 3 x 2 El costo C (en dólares) de fabricar x unidades es C = 650 + 5 x , la utilidad U (mensual) obtenida por producir y vender x unidades está dada por:

U = I −C

U = (200 x − 3x 2 ) − (650 + 5 x) U = 195 x − 3x 2 − 650 Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que

U ≥ 2200

195 x − 3x 2 − 650 ≥ 2200 Al escribir esto en la forma estándar y dividir todo entre -3 (notando que el signo de la desigualdad se invierte), se obtiene la desigualdad:

x 2 − 65 x + 950 ≤ 0 Que es una inecuación cuadrática, por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo cerrado [22.2 ; 42.8] Rpta. Para alcanzar la meta requerida el número de unidades producidas y vendidas por mes debe estar entre 22.2 y 42.8 inclusive.

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32

SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

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(Decisión de precios). Una peluquería tiene un promedio de 120 clientes semanales a un costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de 75% en el precio, la peluquería perderá 10 clientes. ¿Cuál debe ser el precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales? Solución. Sea x el numero de incremento de 75% por encima de $8. Entonces el precio por corte de cabello es (8 + 0, 75 x) dólares, y el número de clientes será de (120 − 10 x) por semana. Entonces: Ingresos totales semanales = numero de clientes × precio por corte

I = (120 − 10 x)(8 + 0.75 x) Los ingresos por los 120 clientes actuales son 120 × 8 = $960 por tanto los nuevos ingresos deben ser al menos $960

(120 − 10 x)(8 + 0, 75 x) ≥ 960 Simplificando

10 x − 7,5 x 2 ≥ 0 Por tanto la solución de la desigualdad es el intervalo [0 , 4/3] Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $( 8 + 0,75(4/3) )=$9.00 Rpta. El precio máximo que puede cobrarse es $9.00

(Ingresos del fabricante). Al precio de p dólares por unidad, x unidades de cierto articulo pueden venderse al mes en el mercado con p = 500 − 5 x . ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $12500? Solución:

Ingresos totales semanales = numero de unidades × precio I = x (500 - 5 x )

;

I ≥ 12500

x(500 − 5 x) ≥ 12500

→

500 x − 5 x 2 ≥ 12500

x 2 − 100 x + 2500 ≤ 0

→

→

5 x 2 − 500 x + 12500 ≤ 0

( x − 50) 2 ≤ 0

La solución de la desigualdad es x = 50 Rpta. Al mes se deben venderse 50 unidades.

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33

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M AT EMA T ICA I

EJERCICIOS 1.

Si “ x ” árboles producen (60 − x) frutos cada uno. ¿Cuántos árboles habrán de plantarse para que la próxima cosecha supere los 9000 frutos?

2.

La fábrica de cierto articulo ha estimado que su ganancia en miles de dólares esta dado por la expresión G ( x) = −6 x 2 + 30 x − 10 donde ( x en miles) es el número de unidades producidas ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de al menos S/. 14 000?

3.

La demanda mensual de un cierto artículo cuando su precio es de p euros viene dada por

 200 − p  x=  unidades. Los costes generales de la planta son 650 euros  3 

mensuales y el coste de producción de cada unidad es de 56. ¿Qué producciones garantizan que el beneficio mensual sea de por lo menos 2500 euros? 4.

El costo de producir “ x ” lámparas esta dado C = 300 + 70 x + x 2 . Si estas se pueden vender a 140 soles. ¿Cuántas deben producirse y venderse para obtener utilidades semanales de al menos 900 soles?

5.

Juguetes BASA puede vender al mes, a un precio p por unidad, x unidades de cierto artículo, con p = 120 − x . Si a la empresa le cuesta (160 + 15 x) dólares producir x unidades, ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes con objeto de obtener una utilidad de al menos $1100?

6.

Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada una. El costo C (en dólares) de producir x unidades cada semana, está dado por C = 40000 + 300 x − x 2 . ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana para obtener alguna utilidad?

7.

Las ventas mensuales “ x ” de cierto producto cuando su precio es “ p ” dólares está dada por: p = 240 − 4 x . El costo de producir “ x ” unidades del mismo artículo es

C = 700 + 20 x dólares. ¿Cuántas unidades de éste artículo deberán

producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de $2300? 8.

Si el precio “ p ” de cierto articulo depende de la cantidad demandada “ q ” y está dado por p = 120 − 2q , y además se tienen costos fijos de $300 y el costo de unidad es de $20. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse para obtener utilidades de al menos $900?

9.

Un fabricante de relojes puede producir un reloj marca “TIC TAC” con un costo de $15 por unidad. Se estima que si el precio de venta del reloj es “ x ”, entonces el número de relojes que se vende por semana es (125 − x) . Expresa el monto semanal de las utilidades del fabricante como función de ” x ” Determina cual debe ser el precio de venta, si se busca que se alcance alguna utilidad.

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34

M AT EMA T ICA I

10.

SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

Al precio de “ p ” dólares por unidad, “ x ” unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en el mercado con p = 600 − 5 x . ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $18000?

11.

En el ejercicio anterior, si cuesta (800 + 75 x) dólares producir “ x ” unidades. ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse con el objeto de obtener una utilidad de al menos $5500?

12.

En el ejercicio 10, si cuesta (2800 + 45 x) dólares producir x unidades. ¿A qué precio p deberá venderse cada unidad para generar una utilidad mensual de por lo menos $3200?

13.

UNIQUE vende 300 unidades de un cosmético cuando su precio unitario es de $60. Por cada disminución de $5 en el precio se venderán 45 unidades más. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos de al menos $19500?

14.

Un editor puede vender 12000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno; por cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio máximo deberá fijarse a cada ejemplar con el objeto de lograr ingresos de por lo menos de $ 300000?

15.

Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobrándoles $4 por corte. Por cada incremento de 50% en el precio el peluquero pierde 8 clientes. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520?

16.

Un estilista cobra $20 por cortar el cabello, con ese precio tiene 120 clientes por semana. Si sabe que por cada dólar que aumente el precio, perderá cuatro clientes, ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $2500?

17.

Un comerciante puede vender 8 electrodomésticos a $15 cada uno. Por cada incremento de $2 en el precio, deja de vender 1 electrodoméstico. Cada electrodoméstico le costó al comerciante $7, quien desea generar utilidades de al menos $64. ¿Qué precio máximo podrá fijar y qué cantidad se venderá a este precio?

18.

Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p céntimos por kilo, venderá x kilos, con x = 1000 − 20 p . ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener ingresos de por lo menos $12000?

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35

SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

M AT EMA T ICA I

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO: El valor absoluto de un número real “ x ”, denotado por

si:

x ≥ 0 si: x < 0

; ;

x = 

x  −x

x , se define como:

Se lee “el valor absoluto del número real “ x ” es igual al mismo número x , si x es positivo o cero; o es igual a ( − x ) , si x es negativo. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:

Se presentan las siguientes propiedades:

x =0 ↔ x=0 x =b ↔ x = y

[ b≥0

∧ ( x = b ∨ x = −b)

]

↔ x= y ∨ x=−y

EJERCICIOS I.

Resolver en  , las siguientes ecuaciones con valor absoluto: 2.

1− x

4.

5x + 3 = 3

6.

5x −1 =

1.

x−2

3.

4x − 1 = 2

5.

3x − 2 =

7.

x + 1 = 19 − x

8. 3 − x = 17 − x

9.

x −1 = 2x −1

10. 3 x − 5 − x + 7 = 0

= 5

3 2

= 3

1 2

11. 4 x − 2 + 5 = 3 x − 1

12.

3 x + 3 = 10 + x + 1

13. 2 2 x + 2

14.

x−2 +4 x−2 =0

= 18 + x + 1

14. 1 − 3 x = 5 − 15 x

15. 3 x − 4 x = 2 x − 1

16. 3 − x − 1 = 1

17.

18.

3 x−2 − x−2

19.

x − x2 = 0

= 0

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18. 20.

x −1 − x + 2

= 0

2x −1 x −1 +6 = 4− 5 2 x2 − 4 x = 5 − 4 x 36

SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

M AT EMA T ICA I

SEMANA 8

FUNCIONES

I.

SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES

A continuación se indica como asignar un par ordenado, (a, b)

de números reales a

cada punto de un plano. Se representa un sistema de coordenadas rectangulares, o cartesiano, en un plano mediante dos rectas perpendiculares, llamados ejes coordenados, que se intersectan en el origen, O. A la línea horizontal se le llama eje x (eje de abscisas), y a la línea vertical, eje y (eje de las ordenadas). Cada punto p en un plano xy debe tener asignado un par ordenado P(a, b) . a se llama abscisa de p y b ordenada de p . Se dice que p tiene las coordenadas (a, b) .

(eje de las ordenadas)

y

y I

II C U AD R AN T E

(a, b)

C U AD R AN T E

b

o

x III

IV

C U AD R AN T E

C U AD R AN T E

a

x ( eje de las abscisas)

EJERCICIOS

Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares y si es posible, indique el cuadrante al que pertenece cada punto. a)

(−2,6)

(1,−1)

(5,7)

b)

(1,−8)

(−2,0)

(0,−11)

c)

( 0 ,−3)

d)

( 0 ,0 )

( 2, −1) ( 3,−3)

( 3,5 ) ( 4 ,−5 )

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(6,−3) (−2,9)

( −4 ,6 ) ( −1, −6 ) 37

SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

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II. PRODUCTO CARTESIANO

Dados dos conjuntos A y B , el producto cartesiano se define como:

A × B = { ( x , y )/ x ∈ A ∧ x ∈ B } Ejemplo 1

Dado los conjuntos:

A = {0; 1; 2} y B = {2; 4} , hallar: A × B

Solución:

A × B = {(0,2); (0,4); ((1,2); (1,4); (2,2); (2,4)} Ejemplo 2

Dado el conjunto:

A = { 4; 3; − 1 } hallar: A × A

Solución:

A × A = { (4, 4); (4, 3); (4, −1); (3, 4); (3, 3); (3, −1); ( −1, 4); ( −1, 3); ( −1, −1) } Propiedad

A× B ≠ B × A III. RELACIONES

Sean los conjuntos A y B entonces se define la RELACIÓN como un subconjunto del producto cartesiano: Simbólicamente “ R es una relación de A en B si y sólo si

R ⊂ A× B

Observación

Si A × B tiene n elementos entonces existen 2 n relaciones de A en B EJERCICIOS

1. Si A = {− 1; 0;1; 2} y B = {− 2; 0; − 1;1}. Hallar las relaciones siguientes: a)

R1 = { ( x , y ) ∈ A × B / x. y es un número par }

b)

R 2 = { ( x, y ) ∈ A × B / x + y = 0 }

c)

R3 = { ( x, y ) ∈ A × B / x − y ≥ 2 }

d)

R 4 = { ( x , y ) ∈ A × B / x. y = −1 }

e)

R 5 = { ( x , y ) ∈ B × A / x. y es un número impar }

f)

R6 = { ( x, y ) ∈ B × A / x − y = 0 }

g)

R7 = { ( x, y ) ∈ B × A / x + y < 1 }

h)

R 8 = ( x , y ) ∈ B × A / xy = 1

{

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} 38

SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

M AT EMA T ICA I

2. Si A = { −2; 0; 1; 3 } , hallar las relaciones siguientes: a) R1 = { ( x , y ) ∈ A × A / x = y

}

b) R 2 = { ( x , y ) ∈ A × A / x − y = 0 } c)

R3 = { ( x, y ) ∈ A × B / 2 x ≥ y }

d) R 4 = { ( x , y ) ∈ A × A / x − 1 = y e) R 5 = { ( x , y ) ∈ A × A / x ≤ y f)

{

R 6 = ( x , y ) ∈ A × A / xy = 1

}

}

}

IV. FUNCIONES Definición de Función

Una función de A en B , es una relación f ⊂ A × B que hace corresponder a cada elemento " x " del conjunto A a lo más un elemento " y " del conjunto B. La notación de una función es y = f ( x) que se lee “ y es igual a f de x ”, donde " x " es la variable independiente e " y " la variable dependiente. El conjunto de valores que puede tomar " x " se denomina dominio de una función, y al conjunto de valores que puede tomar " y " se le denomina rango de la función. Formas de Representar una Función

Con el fin de describir una función específica podemos usar las siguientes formas: a) Verbal (mediante una descripción con palabras).

El interés bancario producido por un capital, está en función del tiempo que esté depositado. b) Algebraica (por medio de una fórmula explícita).

Con una fórmula:

A(r) = πr2 que es el área de un círculo.

c) Visual (con una gráfica).

y

x

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39

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d) Numérica (a través de una tabla de valores).

Con una tabla de valores. w(kilos)

C(w) (dólares)

0<w≤1

4

1<w≤2

6.5

2<w≤3

8.5

3<w≤4

10

Costo de enviar por correo de primera clase una encomienda. e) Diagrama Sagital

f

A

B

Dominio

Rango

f) Conjunto de Pares Ordenados  1  2  g = (4,−2);  ,3 ; (0,1); (− 6,0);  ,−3  2  5  

g es una función

EJERCICIOS

1) Analiza cuáles de las siguientes correspondencias son funciones y cuáles no. Fundamenta tus respuestas. a) A cada número real se le asocia su doble. b) A cada número real se hace corresponder su raíz cúbica. c) La nota 16 y los alumnos de un salón. d) El costo del servicio de luz del distrito de Miraflores y los vecinos. e) El peso de un estudiante y el número de estudiantes de un salón. f)

Las personas y la huella digital de su dedo índice de la mano derecha.

g) El número de latidos del corazón de una persona y las personas a las que se les tomo las medidas.

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40

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M AT EMA T ICA I

2) Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una función.

c)

{(2;−3), (3;4), (−3;1), (4;5)} {(1;2), (2;2), (3;3)} {(1;1), (2;7), (1;4), (−2;7)}

d)

{(1;2), (5;2), (3; a), (a;−2), (a,5)}

a) b)

 

g)

{(−2;1), (6;−2); (3; 16 ), (4;1), (3,−4)} {(−3;0), (0;0), (2; − 8 ), (5;3), (2;−2)}

h)

{(3;2), (−3 ;7), (−1;2

i)

 1   4   + 1;3 , (2;1),  ;2 , (a, a)  3   3 

f)

 

6 3

e) (0;2), (−1;3), (0; ), (−1;2), (1,−6)

3

2

2

), (0;2), (9;7)}

3) Si f es una función determinar a, b e indicar su dominio y rango. a)

f = {(3;4), (7;8), (3; b), (7; a )}

b)

f = {(2;4), (3;5), (2;3a − 2), (4;6), (3, b + 1)}

c)

f = {(a; a + b), (a;14), (b; b − a ), (b;4)}

d)

f = {(1; a + b), (−3;2), (1;5 − a ), (1,6)}

e)

f = (3;−1), (2; b), (3; a 2 − b), (2;2)

f)

f = (−1;2 2 a +b ), (2;5 a −3b ), (3;5), (2, 625 ), (−1;64)

g)

f = (5;7), (−1; a + b), (a 2 − b;2b − a 2 ), (5; a − 2b), (−1;2)

h)

f

{

}

{

}

{ = {(1;27), (7;2), (2;4

}

2 a +b

), (1,3 a −b ), (2;16)}

4) ¿Cuál de los siguientes diagramas representan una función?

a)

B

A

• • •

b)

• • •

•

B

• • •

B

c) A

A

d)

B

A

• •

•

•

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•

• • •

41

SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

M AT EMA T ICA I

5) De los siguientes gráficos, determinar cuales son funciones.

y

y

x

x

(a)

(b)

y

y

x

x

(c)

(d)

y

y

x

x

(e)

(f)

y

y

x

x

(g) E S T U D I O S G E N E R AL E S

(h) 42

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6) Hallar el dominio y el rango de cada función representada en los gráficos siguientes:

y (0, 3)

y

(2, 3)

( −3, 0) x

x

(a)

(b)

y

y

( −3, 5)

( 1 , 2) 2

(0,1) 4

x

(c)

x

(d)

y

y

(3, 6)

3

(0, 4) (4, 4) −5

−1

−3

x

(0, −1)

−2

x

3

−4

(e)

(f)

y

y

4

6 3

2 −5 −4 −3

1

(g) E S T U D I O S G E N E R AL E S

3

−5

−2

−1 −2

x

2

x

(h) 43

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M AT EMA T ICA I

VI. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN •

Función

creciente:

Una

función

es

f

y

estrictamente creciente en el intervalo I , si x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 )

f ( x1 )

∀ x1 , x 2 ∈ I

f ( x2 )

La grafica está creciendo o subiendo de izquierda a derecha conforme el valor de x

x1

también aumenta. •

Función decreciente: Una función

f

x

x2

x

es y

estrictamente decreciente en el intervalo I , si x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 )

x2

∀ x1 , x 2 ∈ I

f ( x1 )

La grafica está decreciendo o bajando de

f ( x2 )

izquierda a derecha conforme el valor de x x1

aumenta.

Ejemplo

La función f ( x) = ( x + 1) 2 , x ∈ [ 0,5 ] es estrictamente creciente. Solución

Considerando x1 = 0 y x 2 = 5 , entonces:

f ( x1 ) = f (0) = (0 + 1) 2 = 1 f ( x 2 ) = f (5) = (5 + 1) 2 = 36 Se tiene que si x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) se cumple ∀ x1 , x 2 ∈ [0,5] Por lo tanto la función es estrictamente creciente en [0,5] •

Signos de la función

y f ( x)

a

i. ii.

f ( x) < 0 f ( x) > 0

E S T U D I O S G E N E R AL E S

b

c

x

f ( x) es negativa ⇔ x ∈ [ a ; b f ( x) es positiva ⇔ x ∈ b ; c ] 44

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•

Intersecciones con los ejes coordenados - Intersección con el eje

x

Hacemos y = f ( x) = 0 , y hallamos el valor de x . - Intersección con el eje

y

Hacemos x = 0 , y hallamos el valor de y .

Ejemplo

Dada la siguiente gráfica y = f ( x)

y 3 1

−8

− 6 −5

3

1

5

7 8

x

−2 −3 −4

Tenemos:


Dominio:

domf = −∞, −8 ∪ {−6} ∪ −5, 0] ∪ 1,8


Rango:

Ranf = − ∞, −4] ∪ {−3} ∪ [ −2,3


f ( x) es positiva en

{−6} ,


1,3] , [ 7 ,8

f ( x) es negativa en


Intervalos de crecimiento:

−5, 0 , 5,8
Intervalos de decrecimiento

1,5
Puntos de intersección con el eje x

(3, 0), (7, 0)




Punto de intersección con el eje y

(0, −4)

−∞, −8 , −5, 0] , [3, 7 ]

E S T U D I O S G E N E R AL E S

45

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EJERCICIOS

1) Considerando que la gráfica adjunta corresponde a cierta función y = f ( x) , halle: y 9

a) Dominio

8 7

b) Rango

6

c) Los intervalos de crecimiento

5 4

d) Los intervalos de decrecimiento

3 2

e) Los intervalos en el cual f ( x) < 0 f)

1 x −5

Los intervalos en el cual f ( x) > 0

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

−1 −2

g)

f (−3), f (0)

f (−1)

f (3)

h) Los puntos de intersección con los ejes coordenados. 2) Evalúa las siguientes funciones en los valores indicados: Función

f (−4)

f (− 2 3)

f (1)

f (a)

f ( a + 2)

f ( x) = 3 x − 5 f ( x) = 1 x

f ( x) = 3x 3 f ( x) = 1 + x 2 4) Determinar el valor de la función, para cada una de las siguientes funciones: a)

f ( x) = 9 ,

b)

f ( x) = 3x − 5 , f (−1) ; f (a) ; f ( x + h)

c)

f ( x) =

d)

f ( x) = 2 x 2 − x + 4 , f (h) ; f (0) ; f (− 3)

e)

f ( x) = 3x 2 + 6 x − 1 ,

f ( 4) ; f ( h) ; f ( −5)

i)

2

x+5 , x+3

1 f ( ) ; f ( − 6 ) ; f ( 0) ; 3

f (−1) ; f (0) ; f ( x + h)

1 x−6 , 2

j)

1 f ( ) ; f (11) 3

f ( x) =

g)

f ( x) = 7 − x 2

h)

f ( x) = x + 1 − 7 x + 3 , 1 f ( ) ; f (t ) ; f (3) 3

1 3

, f ( ) ; f (− 5) ; f (0)

E S T U D I O S G E N E R AL E S

k)

f (−2)

 x 2 ; −4≤ x≤4 , f ( x) =  16 − x 2 ; 4 < x < 8

H=

1 f ( ); f (0) ; f (−1) 3

f)

x 2 − 5x + 2 , x < 2 f ( x) =  , x>2 6 x − 8

3 f (− 3) + 2 f (4) − 3 f (1) + 2 f (− 6)

a ;  f ( x ) = a + b ; b − a ; 

H=

x ∈ ( 0 ,5] x ∈ ( 5 ,10] x ∈ 11;+∞

2 f (1) + 3 f (4) f (12) − a

46

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5) Dada la gráfica de la función: a) Hallar

f (7) + f (−3) f (2) + f (−6) + f (0)

b) Hallar los “ x ” para los cuales se cumple que

f ( x) = 0. c) Halle el dominio y el rango. d) Indique los intervalos decrecimiento.

de

crecimiento

y

e) Indique los intervalos en que la función es constante. f) ¿En qué intervalos la función es negativa? g) Hallar los puntos de intersección con los ejes coordenados.

E S T U D I O S G E N E R AL E S

47

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SEMANA 10 FUNCIONES ESPECIALES Funciones especiales

1.

Función constante. f ( x) = c , donde c es una constante, Dom( f ) = ℜ , Ran( f ) = { c }

2.

Función lineal

f ( x) = ax + b, con a ≠ 0 , Dom( f ) = ℜ . 3.

Función cuadrática

f ( x) = ax 2 + bx + c, con a ≠ 0 , Dom( f ) = ℜ . 4.

Función polinomial f ( x) = p( x), donde p( x) es un polinomio, Dom( f ) = ℜ

5.

Función Racional f ( x) =

p ( x ) , donde p ( x) y q ( x) son funciones polinomiales. q( x)

Dom( f ) = ℜ − {x / q ( x) = 0} 6.

Función radical f ( x ) = n p ( x ) , si n es par, Dom( f ) : p ( x ) ≥ 0

7.

Función por partes o tramos  f 1 ( x ) , x ∈ Dom ( f 1 )  f ( x ) =  f 2 ( x ) , x ∈ Dom ( f 2 )  f ( x ) , x ∈ Dom ( f ) 3  3

8.

Dom( f ) = Dom ( f1 ) ∪ Dom ( f 2 ) ∪ Dom ( f 3 ) .

Función valor absoluto

 x , si x ≥ 0 f ( x ) = x , donde x =  , Dom( f ) = ℜ − x, si x < 0 Ejemplo Hallar el dominio de las siguientes funciones:

1.


f ( x) =

4− x

2.

2

x −x

4− x ≥ 0 4≥ x




x2 − x ≠ 0 x ( x − 1) ≠ 0 x ≠ 0 x ≠1




f ( x) =

6 − 3x − 3 3 + 4x

6 − 3x ≥ 0 2≥ x

−3 4

4

∴ Dom ( f ) = −∞ , 4] − {0,1}

E S T U D I O S G E N E R AL E S

∧

3 + 4x > 0 x > −3 4




2

∴ Dom ( f ) = −3 / 4, 2]

48

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EJERCICIOS

Determine el dominio de las siguientes funciones: 1. f ( x) = 9

9.

f ( x) =

2. f ( x ) = x 2 − 2 x 3. f ( x) = 8 x − 1 + 5 x 2 4. f ( x) = 16 − x

10. f ( x) =

2

11. f ( x) =

5. f ( x) = 5 − 2 x

3− x 6. f ( x) = 2 x − 2x 4

7. f ( x) =

5x + x − 2 2x 2 − 3x − 2 2

8.

f ( x) =

x − 4x + 2 x

12. f ( x) = 13. f ( x) = 14. f ( x ) =

3x x − 2x + 1

15. f ( x) =

2+ x−2 x 2 − 16

16. f ( x ) =

2

6x − 2 − 3 x2 +1 x x + x−6 2

7x

(4 x − 1)2 9x + 4 2 − 3x

+ 5x

x−2 x +1 − 2 2− x −3 6 + 2x

x + 4 − 5 x 2 + 10

17. f ( x ) =

x 2 + 2x + 1

18. f ( x) =

x 2 − 5x + 6

19. f ( x) =

x 2 − 5x + 6 x+4

 2 − x ; x ≤ 2  x 3 − 1 ; x > 0

20. f ( x) = 

OPERACIONES CON FUNCIONES 1. Suma de funciones ( f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) ,

Dom ( f + g ) = Dom ( f ) ∩ Dom ( g )

2. Diferencia de funciones

(f

− g )(x ) = f ( x ) − g ( x ) ,

3. Multiplicación de funciones ( fg )(x ) = f (x ) . g (x ) , 4. División de funciones  f  f (x ) ,   ( x ) = g (x ) g

Dom ( f − g ) = Dom ( f ) ∩ Dom ( g )

Dom ( f . g ) = Dom ( f ) ∩ Dom ( g )

Dom ( f + g ) = Dom ( f ) ∩ Dom ( g ) − {x / g ( x ) = 0}

5. Composición de funciones

(f

 g )( x ) = f ( g ( x ) ),

Dom ( f  g ) = {x ∈ Dom ( g ) ∧ g ( x ) ∈ Dom ( f )}

(g  f )( x) = g ( f ( x) ),

Dom ( g  f ) = {x ∈ Dom ( f ) ∧ f ( x ) ∈ Dom ( g )}

Observación

Las operaciones entre funciones están definidas siempre y cuando el dominio de las nuevas funciones sea distinto de vacío.

E S T U D I O S G E N E R AL E S

49

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Ejemplos

1. Si f ( x ) =

f y g ( x ) = x + 2, hallar ( f + g )( x) y ( )( x ) g

1− x

Solución Como D om ( f ) = −∞ ;1 ] y Dom ( g ) =  , entonces: D om ( f + g ) = −∞ ;1 ] ,

f Dom   = −∞ ;1] − { −2 } g

Luego:

(f

+ g )( x) = f ( x) + g ( x) = 1 − x + x + 2

f  f ( x) 1− x  ( x) = = g ( x) x+2 g 2. Si f ( x) = 2 − x , x ∈ [3,7] y g ( x) = x + 4 , x ∈ 0,3 . Hallar ( f  g )(x) y (g  f )(x) Solución a) Dom ( f  g ) = {x ∈ Dom ( g ) ∧ g ( x ) ∈ Dom ( f )}

x ∈ 0,3 ∧

(x + 4 ) ∈ [3,7 ] 3≤ x+4≤7 −1 ≤ x ≤ 3

Dom ( f  g ) = 0,3

−1

0

3

Por lo tanto:

(f

 g )( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( x + 4 ) = 2 − ( x + 4 ) = − 2 − x

b) Dom ( g  f ) = {x ∈ Dom ( f ) ∧ f ( x ) ∈ Dom ( g )}

x ∈ [3,7 ] ∧

(2 − x ) ∈

0 ,3 0< 2− x <3 − 2 < −x < 1 −1 < x < 2

Dom ( g  f ) = φ

−1

2 3

7

Por lo tanto:

(g  f )(x )

no está definido.

EJERCICIOS

1) Dada las funciones: •

f ( x) = 3x − 1 y g ( x) = 4 x + 2, hallar las operaciones siguientes: a) ( f + g )( x)

•

f ( x) = x a) ( f + g )( x)

b) ( f − g )( x) y

g ( x) = 3x 2 + 2 x + 1, b) ( f − g )( x)

E S T U D I O S G E N E R AL E S

c) ( f .g )( x)

f g

d) ( )( x)

hallar las operaciones siguientes c) ( f .g )( x)

g f

d) ( )( x)

50

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2)

Sean las funciones:

 2x − 4 ; x < 2 f ( x) =  3 x − 6 ; x ≥ 2 hallar: 3)

a)

H=

y

3 ( g. f ) 2 + 5 2 ( f  g )( 2 ) − 6

Si

a) H =

7 ( f / g )( 0 )

4 x − 2 ; x < 0 g ( x) =  2 ; x≥0 x

y

3 ( f / g )( 2 ) + 2 ( f  g )(1)

b) H =

3 ( g  f )( 3)

f = { (− 3 , 2 ), (− 1, 5 ), (0 , 4 ), (5 , 9 ) }

Hallar:

y

f /g ;

f + g ; f − g ; f .g ;

3 ( f .g )( 2 ) + ( f + g )( −2 )

( f  g )( 2 ) + ( g  f ) (1 / 2 )

g = {(2 , 4 ), (3 , 2 ), (5 ,1 ), (8 , 6 )}

f 2 − 3g

Sean las funciones:

f = { (2 , 2 ), (− 1, 5 ), (0 , 4 ), (3 , 2 ) } Hallar: 6)

2 ( f .g )( 6 ) + ( g  f )(12 )

Sean Las funciones:

hallar:

5)

H=

b)

( x − 6 )2 + 4 ; x < 1 f ( x) =   6 x − 5 + 2 ; x ≥ 1

4)

4 x 2 − 2 ; x < 4 g ( x) =   x − 4 ; x ≥ 4

M=

g = {(2 , 4 ), (3 , 2 ), (5 ,1 ), (0 , 6 )}

y

( f / g ) (2) + 2 ( f + g ) (0) 4 ( g  f ) (3)

Sean las Funciones

y

y

f ( x)

6

g ( x)

8

2 −6

−4

2

4

−3

−6

x

5

−3 −4

Hallar: 7)

a)

E =

x

−4

2 ( f . g .)( 5 ) − 4 ( f + g )( 0 ) 3( f − g )( − 6 )

b) E =

3( f − g )(−15) + 2( f + g )(8) 5( f  g )(−20)

En cada uno de los ejercicios, indicar el dominio de f  g , g  f

y hallar su regla de

correspondencia si existe. a)

f ( x) = x + 4 ,

x ∈ [− 1, 4 ]

y

g ( x) = 2 x − 1, x ∈ (0 , 5]

b)

f ( x) = 3 x − 3,

x ∈[1, 7 ]

y

g ( x ) = x + 12, x ∈ −2 ; 4 ]

c)

f ( x) = ( x − 1) ,

y

g ( x) = 3 − x,

2

E S T U D I O S G E N E R AL E S

x ∈ [3, 8]

x ∈ −5; 2 ]

51

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GRÁFICA DE FUNCIONES 2)

1) Función constante

f ( x) = c ,

c constante

Función lineal

f ( x) = x y

y c

1 1

x

Ran( f ) = { c }

Dom ( f ) =  ,

x

Dom ( f ) =  ,

Ran ( f ) = 

4) Función raíz cuadrada

3) Función cuadrática

f ( x) = x 2

f ( x) = x , y

y 1

2 -1

1

x

1

1

Dom ( f ) =  ,

Ran ( f ) = [ 0 ; +∞

4) Función valor absoluto

Dom ( f ) = [0, +∞ [

x

Ran ( f ) = [ 0 ; +∞

5) Función racional

y

 x, x ≥ 0 f ( x) = x =   − x, x < 0

4

f ( x) =

1 x

y 1

1 -1 -1

Dom ( f ) = 

1

x

Ran ( f ) = [ 0 ; +∞

E S T U D I O S G E N E R AL E S

1 -1

Dom ( f ) =  − { 0 } Ran ( f ) =  − { 0 }

52

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EJERCICIOS I.

II.

Determinar las intersecciones con los ejes coordenados, dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones: 1.

f ( x) = 5

2.

f ( x) = −2

3.

f ( x) = 2 x + 3

4.

f ( x) = 1 − 4 x

5.

f (x) = −4 x

6.

f (x) = x − 5

7.

f (x) = 3x + 1

8.

f (x) = 2 x + 6 + 2

9.

f (x) = 1 − 4 x

12. f ( x ) =

1 2x

13. f ( x ) =

3 x −1

 3x − 2, si − 4 ≤ x ≤ 4 , si 4 < x < 6 x

14. f ( x) = 

10. f ( x ) =

x − 3

11. f ( x ) =

2 − 3x

x <1  4x − 3 ;  15. f ( x) =  1 ; 1≤ x < 6 1 − x − 6 ; x≥6  x < -2  − 20 ;  16. f ( x) = - 6 x-12 + 4 ; -2 < x < 4  3 x-20 ; x≥4  x<0  − 4;  17. f ( x) =  x + 6; 0 ≤ x < 2  10; x>2 

Determine las intersecciones con los ejes coordenados, también pruebe la simetría con respecto al eje x, al eje y y al origen No haga el bosquejo de la gráfica. a)

y = −3 x

b)

x2 + y2 = 1

c)

e) x = −2 y 2

y=

g)

x 2 + xy + y 2 = 0

y = x +1

d) 4 y + x 2

2

= 4

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3 x−5

f)

h)

y =

i)

y =

j)

y = x3

x 2 + 25

4 x +6 2

53

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SEMANA 11

FUNCIÓN LINEAL RECTAS Pendiente de una recta

Sean ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la recta se define como: m =

y2 − y1 cambio vertical = x2 − x1 cambio horizontal

Podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente: Pendiente cero

Recta horizontal

Pendiente indefinida Recta vertical Pendiente positiva

Recta que sube de izquierda a derecha

Pendiente negativa

Recta que desciende de izquierda a derecha

ECUACIONES DE RECTAS •

Ecuación punto – pendiente

Sea la recta L con pendiente m que pasa por el punto ( x0 , y0 ) , tiene por ecuación:

y − y0 = m( x − x0 ) Ejemplo 1: Hallar la recta que pasa por (1,4) que tiene pendiente 5. Solución.

Tenemos punto de paso (1,4) y m = 5 luego la ecuación de la recta es y − 4 = 5( x − 1) simplificando L : y = 5 x − 1 . •

Ecuación que pasa por dos puntos

Sea la recta L que pasa por los puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) . Entonces la ecuación de recta

 y2 − y1   ( x − x1 )  x2 − x1 

es: y − y1 = 

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54

SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

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Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la recta L que pasa por: (-1,2) y (3,5). Solución.

Es claro que m =

5−2 3 − ( −1)

=

3

y tomando como punto de paso cualquiera de ellos,

4

digamos el punto (3,5) se tiene la ecuación: y − 5 =

L: y =

3 4

x+

11 4

3 4

( x − 3) .

Reduciendo tenemos:

.

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

•

Rectas Paralelas

Dos rectas L1 y L2 son paralelas, si sus pendientes m1 y m2 son iguales. Es decir:

L1 // L2 si sólo si m1 = m2 . •

Rectas Perpendiculares

Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares, si sus pendientes m1 y m2 satisfacen la siguiente relación m1.m2 = −1 . Es decir L1 ⊥ L2 si y solo si m1 = −

1 m2

.

Ejemplo 3:

Hallar la ecuación de la recta L (y su perpendicular) que pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta y = 2 x − 3 . Solución. Si L pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta y = 2 x − 3 entonces la

pendiente de L es 2. Luego aplicando la ecuación punto pendiente tenemos

y − 2 = 2( x − 1) → L : y = 2 x . Luego la ecuación de la recta L1 perpendicular a L y que pasa por (1,2) es L1: y − 2 = −

1 2

( x − 1)

resolviendo tenemos L1: y = −

1 2

x+

3 2

que es la

recta perpendicular a L.

E S T U D I O S G E N E R AL E S

55

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Ejercicios

1) Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

1 2

a) (1,1) y (2,5) 2)

 

 

3 4

b)  ,3  y  5, 

c) (-2,3) y (0,6)

En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuación de la recta con las condiciones dadas: a) Pasa por el punto (-2,1) con pendiente m = 3.

 4 b) Pasa por  2;  y m = 5.  5 3 1 6 c) Pasa por  ;  y m = 2 − 4 5 5 d) Pasa por (-1,3) y (2,5)

3  2 

2

e) Pasa por el punto  ,1 y m =

7 − 3  2 4

1− 

f) Pasa por el origen y de pendiente -4. g) Corta al eje X en 3, de pendiente 2. h) Corta al eje Y en 5 de pendiente 4. i)

Corta al eje X en 6 y al eje Y en 3.

j)

Pasa por (1,5) y paralela a la recta y = -x + 3.

k) Pasa por el punto (-2, 5) y perpendicular a la recta y = 3x + 2. l)

Pasa por el punto (2, 4) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (0, 2) y (-1, 5).

m) Pasa por el punto (2,1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2,6) y (9,1). n) Que pasa por (0,4) y paralelo a la recta L: 2x + y = -1 o) Es perpendicular a la recta y = -x + 2 y pasa por el punto (3,4). p) Pasa por el punto (5,6) y perpendicular a la recta que corta a los ejes X e Y en 3 y 4 respectivamente. q) Pasa por (5, 4) y paralela al eje Y. r) Pasa por (2, 4) y paralela al eje X.

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56

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APLICACIONES

p

p Pendiente negativa

Pendiente positiva

q

q

Demanda Lineal

Oferta Lineal

p n

(m,n) Punto de equilibrio

m

q

m es cantidad de equilibrio n es precio de equilibrio.

Ejemplo

Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio de $ 40 por unidad y de 300 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuación de demanda, si dicha ecuación es lineal. Solución.

Según los datos, es claro que q = 150 y p = 40; también q = 300 y p = 35. Por el hecho que es lineal, el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente, de modo que podemos representar en un plano cartesiano de ejes q y p, los puntos (150, 40 ) y ( 300,35 ) , hallando así la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que 35 − 40 −1 , y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (40, 150) m= = 300 − 150 30 −1 454 q+ , que es la ecuación de demanda. tenemos la recta p = 30 3 E S T U D I O S G E N E R AL E S

57

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SEMESTRE ACADEMICO 2010 - II

EJERCICIOS

1) (Ecuación de demanda). Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de un producto cuando el precio es de $ 20 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $ 40 cada una. hallar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal. Hallar el precio por unidad cuando se requiere 35 unidades. 2) (Ecuación de demanda). La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de 30,000 ejemplares cuando el precio es de $ 15 c/u y de 20, 000 libros cuando el precio es de $ 25 c/u. hallar la ecuación de demanda para el libro, sabiendo que es lineal. 3) (Ecuación de oferta). Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precio es de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1 500. Hallar la ecuación de oferta, sabiendo que es lineal. 4)

(Ecuación de oferta). Suponga que un fabricante de zapatos colocara en el mercado 50 mil pares cuando el precio es $ 35 el par y 35 mil pares de zapatos cuando el precio es de $ 30. determine la ecuación de oferta, sabiendo que p y q están relacionados linealmente.

5) (Función de demanda). Sea la función de demanda de un producto: p = f ( q ) =

551 − q

. 4 Si la demanda de un producto es de 255, ¿Cuál será el precio unitario (en dólares) del producto?

6) (Función

de demanda). Sea la función de demanda de un producto: 2200 − 2q p = f (q) = . Si la demanda de un producto es de 350, ¿Cuál será el precio 3 unitario (en dólares) del producto?

7) (Función de demanda). Se tienen dos bienes B1, B2, cuyas funciones de demanda 90 − 3 p son: q = f ( q ) = y q = f ( q ) = 140 − 12 p , respectivamente, donde p está expresado 5 en dólares.


Si el precio unitario de ambos bienes es de $ 5, 75, ¿Cuál de los dos bienes tendrá mayor demanda?.




¿Existe algún precio del mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la misma?

8) (Función de oferta). Se tienen dos bienes A, B, con ecuaciones de oferta dadas por p = f ( q ) = 5q − 20 y p = f ( q ) = 15q − 120 respectivamente. Un consumidor acude al mercado con las intenciones de comprar uno, cualquiera de dichos bienes. Si el consumidor esta dispuesto a pagar $ 12 por cada unidad del bien comprado, ¿Cuál de los bienes debería comprar? 9) (Función de oferta) Una compañía va a entregar mensualmente 5000 linternas de bolsillo a un precio de s/.50 la unidad; si el precio unitario es de s/ 35, ofrece 2000 unidades. Suponiendo que la función de la oferta es lineal. Obtenga la función de la oferta.

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10) (Punto de equilibrio) Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado bien son, respectivamente:

q=

180 − 15 p 2

y

s = 6 p − 18 . Obtenga el punto de equilibrio.

11) (Ecuación de costo). Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es de $ 40 y el costo para 20 unidades es de $ 70. Si el costo C esta relacionado de forma lineal con la producción q, determine el costo de producir 35 unidades. 12) (Ecuación de demanda). Una compañía ha analizado sus ventas y ha encontrado que sus clientes compran 10 artículos mas de sus productos por cada s/ 2,50 de reducción en el precio unitario. Cuando el precio es de s/ 12,75 la compañía vende 500 unidades. Asumiendo que la relación entre la cantidad demandada q y el precio unitario p es lineal. ¿Cuál es la ecuación de la demanda? 13) (Ecuación de oferta). En un cierto mercado se sabe que cuando el precio de una lámpara es de s/ 2000, no hay lámparas disponibles, sin embargo, por cada s/ 1000 de aumento en el precio, se dispone de 20 lámparas más para el mercado. Asumiendo que la relación entre la cantidad ofrecida S y el precio unitario p es lineal. ¿Cuál es la ecuación de la oferta?

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SEMANA 12 FUNCIÓN CUADRÀTICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

f es una función cuadrática si y sólo si puede escribirse en la forma donde a, b y c son constantes, con a ≠ 0 .

•

f ( x ) = ax 2 + bx + c ;

Representación gráfica de una función cuadrática.

Su gráfica es una curva, llamada parábola, y es simétrica respecto a la recta vertical x = h , llamada eje de simetría y con vértice V (h, k ) .


si a > 0 , y = ax 2 + bx + c

si a < 0 ; y = ax 2 + bx + c

la parábola se abre hacia arriba.

la parábola se abre hacia abajo.

y

y

(h;k)

k

k

(h;k) h

Dom( f ) = R ;

Ran( f ) = [k , ∞[

k = valor mínimo de la función

•

h

x

x

Dom( f ) = R ; Ran( f ) = ]− ∞, k ] k = valor máximo de la función

Coordenadas del vértice

 − b  − b  , f    2a  2a  

Las coordenadas del vértice son: V (h, k ) = 

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Ejemplo 1

Determinar dominio, rango y gráfica de y = f ( x) = 2 x 2 − 5 x + 3 Solución:
Primero hallamos el vértice

Como a = 2, b = −5 y c = 3 , luego h= −

−8 b =− =2 y 2a 2(2)

f (2) = 2(2) 2 − 5(2) + 3 = 1

Entonces el vértice es: V = (2,1)
Como a = 2 > 0 , entonces la parábola se abre hacia arriba


Gráfica

y 3

Dom( f ) = R Ran( f ) = [1, +∞

1

(2;1) 2

x

Ejemplo 2

Determinar dominio, rango y gráfica de y = f ( x) = 2 − 4 x − 3 x 2 Solución:
Primero hallamos el vértice

Como

a = −3,

b = −4

y

c = 2,

luego

h= −

b −6 =− = −1 2a 2(−3)

y

f (−1) = 2 − 4(−1) − 3(−1) 2 = 4 Entonces el vértice es: V = (−1,4)
Como a = −3 < 0 , entonces la parábola se abre hacia abajo
Gráfica

y

Dom( f ) = ℜ ( −1; 4)

4

Ran( f ) = ]− ∞,4]

−1

x

-

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EJERCICIOS

Determinar dominio, rango, siguientes funciones: a)

y = f ( x) = x 2 − 4 x + 1

b)

y = f ( x) = 2 − 3x − 2 x 2

c)

y = f ( x) = 2 − 4 x − 3x 2

d)

y = k ( x) = 3 x 2 + 4

e)

y = h( x ) = −2 x 2 − 8 x

f)

f ( x ) = x ( x + 3) − 14

g)

t = f ( s ) = s 2 + 6 s + 13

h)

y = g (t ) = −2 + 4t − t 2

i)

f ( x ) = x ( x + 3) − 14

j)

y = f ( x) = 1 + 6 x + x 2

k)

y = f ( x) = 4 x 2 + 5 x − 1

l)

y = f ( x ) = 2 − x ( x + 3)

m)

y = f ( x) = x 2 + x

n)

y = f ( x) = 5 − x 2

o)

y = f ( x) = x 2 + 7

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intersecciones con los ejes coordenados y graficar las

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APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÀTICA

Recuerda:

U = IT - CT

IT = p.q

−b ,  2a

V (h, k) = 

donde: p precio unitario. q cantidad.

 − b  f   el vértice de una parábola.  2a  

Ejemplo:

El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la siguiente función I = −24t 2 + 288t − 64 , donde I es el ingreso en miles de dólares y t es el tiempo medido en años. a) ¿En que año se alcanzará el máximo ingreso y cuánto será ? b) Grafique la función ingreso. Resolución: a)

I = −24t 2 + 288t − 64 Luego I (6) = −24(6) 2 + 288(6) − 64

I (6) = 800 El máximo ingreso se alcanzará en el 6to año. El máximo ingreso será de 800 mil dólares. b)

I (6,800)

800

6

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t

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APLICACIONES

1. La función de demanda de un fabricante de muebles es p = f (q ) = 1400 − 7q , donde p es el precio (en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana). a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante. b) Determine el ingreso máximo. 2. La función de demanda para una compañía de seguros para autos es p = f (q) = 2600 − 13q , donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (semanales). a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante. b) Determine el ingreso máximo. c) Grafique la función ingreso. 3. La función de demanda para el fabricante de un producto es p = f ( q ) = 1200 − 3 q , en donde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades. a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso. b) Determine este ingreso máximo. c) Grafique la función ingreso. 4. La utilidad diaria por la venta de árboles de jardinería de un almacén, esta dada por 2 P ( x ) = 169 + 16 x − x , en donde x es el numero de árboles vendidos. a) Determine la cantidad de árboles vendidos que maximizará la utilidad. b) Determine dicha utilidad máxima. 5. El ingreso mensual por conceptos de venta de q unidades de cierto artículo está dado por I ( q ) = 12q − 0.01q 2 soles. Determine el número de unidades que debe venderse cada mes con el propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el máximo ingreso correspondiente? 6. Para una empresa dedicada a la venta de materiales de construcción se tiene que la función ingreso se expresa como I = p 2 − 100 p + 2500 , determinar el ingreso máximo de dicha empresa. 7. Un grupo de inversionistas le encargó a una compañía de investigación de mercado que estimara los f(t) miles de alumnos que estudiaron en cierta universidad entre los años 2000 y 2008, donde f (t ) =

10 t (12 − t ) , 2000 ≤ t ≤ 2008 . Estime el número 9

máximo de alumnos que estudiaron en la universidad entre esos años. Indique el año en que se obtuvo la máxima cantidad de alumnos.

8. Una compañía de productos de belleza estima que t meses después de la introducción de un nuevo perfume, h(t) miles de mujeres lo usarán, donde

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h(t ) = −18t 2 + 3600,

0 ≤ t ≤ 12. Estime el número máximo de mujeres que usarán el

producto. 9. Una fábrica vende 300 carteras al mes, a $15 cada una. Se desea aumentar el precio y se estima que por cada incremento de $1 en el precio de venta, se venderán 4 carteras menos. Si el costo de cada cartera es de $10. a) Hallar la función utilidad mensual.

10.

11.

b)

Determinar el número de carteras que se deben vender para obtener la utilidad máxima.

c)

Graficar la función utilidad.

Los costos de producción de una empresa que ensambla computadoras se expresa mediante la función C (q ) = 3q 2 − 780 + 60000 , en donde q representa el número de computadoras ensambladas. a)

Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que el costo sea mínimo.

b)

Determinar dicho costo.

c)

Graficar la función costo.

Se estima que, de aquí a “t” años, el número de personas que visitarán el parque de las leyendas será dado por la función N (t ) = 30t 2 − 120t + 3000 . a)

Actualmente ¿Cuál es el número de personas que visitan el parque de las leyendas?

b)

Determinar el año en que será registrado el menor número de visitantes.

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SEMANA 13 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES Sistema de Ecuaciones Lineales.

2 x + 4 y = 5 3x + 5 y = 2

Al conjunto de ecuaciones: 

se le llama sistema de 2 ecuaciones lineales

con 2 variables. Las variables o incógnitas son x e y. el problema consiste en encontrar valores para x e y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas (de manera simultánea). a estos valores se les llama soluciones del sistema. Interpretación Geométrica. Como las ecuaciones del sistema son lineales, sus gráficas son rectas. Si los dibujamos en un mismo plano, existen sólo 3 posibilidades:

1.

y Un sólo punto de intersección. El sistema tiene solución única:  x = x0   y = y0

L1

(xo; yo)

xo

x L2

y

L1 L2

2.

No hay intersección. El sistema no tiene solución.

x

y

L1

L2

Infinitos puntos de intersección. El sistema tiene infinitas soluciones. Se le llama Solución paramétrica.

3. x

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x = r r∈R   y = f (r )

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Métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, antes de usar uno de los métodos, es conveniente alinear los términos en x y en y: A. Método de eliminación por adición

 2 x + 4 y = 5 .....(1) 3x + 5 y = 2 .....( 2)

Ilustramos este método para el sistema: 

Busquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales, excepto por el signo, para esto multiplicamos a la ecuación (1) por 3 y a la ecuación (2) por -2, así queda un sistema

 6 x + 12 y = 15 − 6 x − 10 y = −4

equivalente: 

Luego sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos: 2 y = 11 que es una ecuación lineal en la variable y, fácil de resolver: y = 11 / 2 Para obtener el valor de x, reemplazamos y = 11 / 2 en cualquiera de las ecuaciones originales (1) ó (2), para este caso elegimos la ecuación (1):

2 x + 4 y = 5 ó   y = 11 / 2

2 x + 4(11 / 2) = 5 que es una ecuación lineal en la variable x, fácil de resolver, así x = −17 / 2 . Por lo tanto, la solución del sistema es única: x = −17 / 2 , y = 11 / 2 Esta solución cumple en ambas ecuaciones. B. Método de eliminación por sustitución

 2 x + 4 y = 5 .....(1) 3x + 5 y = 2 .....( 2)

Ilustramos este método, con el sistema: 

Primero escogemos una de las ecuaciones, en este caso (1) y despejamos una de las variables, en este caso despejamos la variable y, así obtenemos:

5 − 2x  y=  4 3x + 5 y = 2 Luego sustituimos el valor de y en la ecuación (2), resultando una ecuación lineal, de una variable, fácil de resolver:

3x + 5(

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5 − 2x ) = 2, 4

luego x = −17 / 2

.

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Reemplazamos, el valor hallado de x en la ecuación (1) se obtiene una ecuación lineal en la variable y, fácil de resolver:

2(

− 17 ) + 4 y = 5 , luego y = 11 / 2 2

.

Por lo tanto, la solución del sistema es única: x = −17 / 2 , y = 11 / 2 . Esta solución cumple en ambas ecuaciones. Se pudo haber elegido la ecuación (2) y despejar la variable x, y proceder de manera similar.

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES.

Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel sistema en el que al menos una ecuación no es lineal. Se puede resolver un sistema no lineal, por el Método de eliminación por sustitución. Ejemplos:

1.

 y = x2 Resolver:  x + y = 0 Despejamos una variable (cualquiera) de la ecuación lineal. Por ejemplo y,

 y = x2

así: 

x + y = 0

luego reemplazamos en la ecuación no lineal: x = x 2 , cuadrática, que al resolver se obtiene: x = 0 ó x = −1 .

la cual es una ecuación

Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos: sí x = 0 entonces y = 0 ; sí x = −1 entonces y = 1 . Por lo tanto, las soluciones del sistema no lineal son:

x=0  x = −1 ó   y = 0  y =1

Forma Gráfica y

(-1,1)

(0,0)

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x x+y=0

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y =

2. Resolver: 

x +1

 y = x +1

Observamos que en la ecuación lineal, la variable y está despejado. Sólo queda sustituir en la ecuación no lineal: x + 1 = x + 1 , la cual es una ecuación con radical que nos lleva a una ecuación cuadrática. Resolviendo se obtiene: ( x + 1) 2 = x + 1 , entonces resolviendo se tiene: x = 0 ó x = −1 Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos: sí x = 0 entonces y = 1 ; sí x = −1 entonces y = 0 Por lo tanto las soluciones del sistema no lineal son:

 x = 0  x = −1 ó   y = 1  y=0

Forma Gráfica y y = x+1

(-1,0)

y=

(0,1)

x +1

x

I.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

x + 4 y = 3 3x + 12 y = −5

5v − 2w = 36 8v − 3w = −54

a) 

b) 

1 2  3 x + 2 y = 2 c)   3 x + 5 y = − 11  8 6 2

1 1 1  2 z − 4 w = 6 d)  z + 1 w = 2  2 3

4 p + 12q = 6 6q + 2 p = 3

f)

e) 

− p − q = −3  2q + 3 p = 19

II. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

y = 4 − x 2 a)  3 x + y = 0

 p = q  p = q 2

d) 

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x = y + 6 b)  y = 3 x + 4  p − q2 = 0  3q − 2 p − 1 = 0

e) 

 x 2 − y = 8 c)   y − x 2 = 0  p = 5 − q2  p = q +1

f) 

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APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES.

1. En los problemas siguientes, se proporciona una ecuación de oferta y una de demanda para un producto. Si “p “representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio. a) Oferta: p =

3 q+2 100

;

b) Oferta: 35 q − 2 p + 250 = 0 c) Oferta : p = 2 q + 20

;

2. En los problemas a) , b) y

demanda: p = − ;

7 q + 12 100

demanda: 65 q + p − 785 = 0

demanda : p = 200 − 2 q 2 c) se representa el ingreso total en IT dólares

y CT el

costo total en dólares para un fabricante. si “q” representa tanto el número de unidades producidas como el número de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de equilibrio . Esquematice un diagrama de equilibrio

C = 2q + 4500 a)  T  I T = 3q

 I = 0.05q b)  T CT = 0.85q + 600

 I = ( q − 10) 2 c)  T CT = 3q + 30

3. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son: 125 p − p − 250 = 0 y 100 p + q − 1100 = 0 respectivamente, encuentre el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio. 5. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son;

p−

6 q=5 y 150

p+

9 q − 20 = 0 150

respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente. 6. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 2q = 20 y p + 2q2 -200 = 0 , respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente. 7. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 4q = 24 y

p + 4q2 -248 = 0

respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente. 8. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: 3q − 200 p + 1800 = 0 y 3q + 100 p −1800 = 0 , respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de unidades vendidas por periodo. a) Encuentre, algebraicamente, el precio de equilibrio y dedúzcalo por medio de una gráfica. b) Encuentre el precio de equilibrio, cuando se fija un impuesto de 27 centavos por unidad, al proveedor.

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9. A un precio de $2400, la oferta de cierto bien es de 120 unidades, mientras que su demanda es 560 unidades. Si el precio aumenta a $2700 por unidad, la oferta y la demanda serán de 160 y 380 unidades respectivamente. a) Determine las ecuaciones de oferta y de demanda, suponiendo que son lineales. b) Determine el precio y la cantidad de equilibrio. 10. El punto de equilibrio de mercado para un producto, ocurre cuando se produce 13500 unidades a un precio de $ 4,50 por unidad. El productor no ofertará unidades a $1 y el consumidor no demandara unidades a $20. Encuentre las ecuaciones de oferta y demandas si ambas son lineales. 11. A un precio de 50 soles por kg. la demanda de un cierto artículo es de 4500kg., mientras que la oferta es de 3300kg. Si el precio se incrementa en 10 soles por kg., la demanda y la oferta serán de 4400 y 4200kg., respectivamente. Encontrar la ecuación de la oferta y demanda sabiendo que son lineales, indicando el punto de equilibrio. 12. Un empresario de ropa para niños observa, que el punto de equilibrio del mercado ocurre cunado se producen 10000 unidades a un precio de 40 soles por unidad. El consumidor no demandará unidades a un precio de 50 soles la unidad y el productor no ofertará unidades a 20 soles la unidad. Hallar la ecuación de la oferta y demanda sabiendo que son lineales. 13. Un fabricante vende todo lo que produce .Su ingreso total esta dado por : el costo total

es C T = 6 q + 800

donde

“q” representa

IT = 7 q y

el número de unidades

producidas y vendidas . a) Encuentre equilibrio.

el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama de

b) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio, si el costo total se incrementa en 5%. 14. Un fabricante vende un producto a $ 8,35 por unidad, y vende todo lo que produce. Los costos fijos son de son de $2116 y el costo variable es de $ 7,20 por unidad .¿A que nivel de producción existirán utilidades de $ 4600?. ¿A que nivel de producción ocurre el punto de equilibrio? 15. La compañía de Sandalias Cómodas fabrica sandalias para las que el costo del material es de $ 0.80 por par, y el costo de de mano de obra es de adicionales e $ 0,90 por par. Hay costos adicionales por par de $0.30 .Los costos fijos son de $ 70,000.Si cada par se vende a $ 2,50 ¿Cuántos pares se deben vender para que la compañía llegue al equilibrio?

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FUNCIÓN EXPONENCIAL Es la función de la forma y = f ( x ) = a x con a > 0, a ≠ 1 . Representación gráfica. Según la base de la función exponencial se tiene:

Si a >1 (función creciente)

Si 0 < a < 1 (función decreciente)

y

y ax

ax

1

1

x

x

D f ( x) = 

D f ( x) = 

R f ( x) = 0, +∞

R f ( x ) = 0, +∞

Observación: Si a = e ≅ 2,7182, entonces a > 1 Nota:

Propiedades de los exponentes: a)

x m+ n = x m . x n

b)

( x)−m =

1 xm

Ejemplo 1

Graficar, hallar dominio y rango de la función: f ( x ) = 5 x − 3 + 4 a) Base : 5 > 1, entonces la función es creciente. b) Asíntota Horizontal: y = 4 c) Punto de paso: x – 3 = 0

→ x = 3 , luego f(3) = 5. Punto de paso: (3,5)

y

f ( x ) = 5 x −3 + 4

5

y=4

4

dom f ( x ) =  rang f ( x ) = 4 ; + ∞

3

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x

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Ejemplo 2

( )

Graficar, hallar dominio y rango de la función: f ( x ) = 1 2

x+2

−3

( 12 ) < 1, entonces la función es decreciente.

a)

La base es

b)

Asíntota Horizontal:

c)

Punto de paso: x + 2 = 0

y = −3

→

x = − 2 , luego f(-2) = -2. Punto de paso: (-2,-2)

y f ( x) =

( 12 )

x+2

−3

x

−2 −2

-3

y = −3 dom f ( x ) =  rang f ( x ) = −3 ; + ∞

Ejemplo 3

Graficar, hallar dominio y rango de la función: f ( x ) = e 2 x −8 + 2 a)

La base es: e ≅ 2,7182,

b)

Asíntota Horizontal: y = 2

c)

Punto de paso: 2x – 8 = 0

e > 1 , entonces la función es creciente.

→ x = 4 , luego f(4) = 3. Punto de paso: (4,3)

y f ( x ) = e 2 x −8 + 2

3

y=2

2 4

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x

dom f ( x ) =  rang f ( x ) = 2 ; + ∞

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Ejemplo 4

( )

Graficar, hallar dominio y rango de la función: f ( x ) = 1 5

2 x−6

+4

( 15 ) < 1, entonces la función es decreciente.

a)

La base es

b)

Asíntota Horizontal:

c)

Punto de paso: 2x - 6 = 0

y=4

→

x = 3 , luego f(3) = 5. Punto de paso: (3,5)

y

f ( x) =

5 4

( 15 )

2 x−6

+4

y=4 dom f ( x ) = 

3

rang f ( x ) = 4 ; + ∞

x

EJERCICIOS I. Graficar cada una de las siguientes funciones exponenciales e indicar su dominio y rango:

f ( x) = 3x−1 −1

1)

3) h ( x ) =

1 x (2 ) + 4 3

(

)

5) g ( x ) = 3 2 − x +1 − 4

2)

g ( x ) = e 2 x −1

4)

f ( x ) = 10 32 x −1 − 10

6)

h (x)= ( ) x + 1

(

)

1 4

7)

f ( x) = e2 x + 1

8) g ( x ) = e −2 t − e

9)

f ( x ) = 4 −2 x +4 − 2

10) f ( x ) = (3) 3 x +6 + 5

11)

f ( x) = −2 x +3 + 4

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12) g ( x) = −

5 − e 5+ x 2

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II. APLICACIONES

1)

El ser humano elimina a través de la orina, cierto medicamento que ingiere y la cantidad (en mg) que queda en su cuerpo “t” horas después está dado por la función Q(t )I. = 15(0,8) t . a) ¿Cuál fue la dosis inicial?. b) Al cabo de 12 horas ¿Cuánta medicina quedó en su organismo?

3)

En un cierto cultivo de bacteria, Si F(t) bacterias se encuentran presentes a los “t” minutos, donde F (t ) = Be 0, 05t (B es una constante). a) Si inicialmente hay 1500 bacterias presentes, calcular la constante B. b) ¿Cuántas habrá después de 2 horas?

4)

Doña Julia tiene ahorrado 10 000 dólares, y tiene la intención de incrementar sus ahorros con el tiempo para ayudar a resolver el pago de la carrera de su hijo en la USMP. Para este propósito coloca su dinero en un banco que ofrece pagar cada año el 8% del total acumulado del año anterior. a) ¿Cuánto tendrá doña Julia al finalizar el primer año, segundo y tercer año?. b) Hallar la función exponencial que expresa el ahorro de doña Julia.

5)

Según el problema anterior si la familia de doña Julia desea comprar un departamento dentro de 10 años, cuyo precio para ese entonces se estima en 30 000 dólares. ¿Será posible comprar el departamento?.

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FUNCIÓN LOGARITMICA Definición.

Es la función de la forma:

f ( x ) = log x , con 0 < b ≠ 1 . b es llamado la base del b

logaritmo, y además: x > 0. Representación gráfica.

Según la base del logaritmo: Si b>1 (función creciente)

y

log x b

Si 0< b <1 (función decreciente)

y

x

1

x

1

log b x

Df =< 0, + ∞ >

Df =< 0, + ∞ > Rf = R

Notación.

Rf = R

f ( x ) = y = log x , se lee logaritmo de x en base b es igual a y. b y y = log x ⇔ b = x b

Observación:

Es necesario tener en cuenta las propiedades de los logaritmos siguientes:


log b ( A.B ) = log b A + log b B




log b ( A / B ) = log b A − log b B




log b ( A) n = n log b A




log b (1) = 0

y




ln x = log

e

log b (b) = 1

x

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Ejemplo 1

Graficar y hallar dominio y rango de la función:

f ( x ) = log 3 ( x + 2) + 3

a) La base del logaritmo es 3 > 1, por lo tanto la función es creciente. b) Asíntota Vertical: x + 2 > 0 luego: x > −2 c) Punto de paso: x + 2 =1 punto de paso es: ( −1,3) .

entonces

x = −2 es la su ecuación.

x = −1 , evaluando la función:

→

y

f ( −1) = 3 entonces el

f ( x ) = log 3 ( x + 2) + 3

3

−2

x

−1

D f ( x) = −2, +∞ R f ( x) = 

Ejemplo 2

Graficar y hallar dominio y rango de la función:

f ( x ) = log ( x − 4) − 2 1 3

a) La base del logaritmo es 1/3 < 1, por lo tanto la función es decreciente. b) Asíntota Vertical: x − 4 > 0

x>4 c) Punto de paso: x − 4 =1 punto de paso es: (5; −2) .

→

x = 4 es la ecuación de la asíntota vertical. x = 5 , evaluando la función:

→

f (5) = −2 entonces el

y

f ( x ) = log ( x − 4) − 2 1 3

4

−2

5

x

D f ( x) = 4, +∞ R f ( x) = 

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Ejemplo 3

Graficar y hallar dominio y rango de la función:

f ( x ) = log 2 (3 x − 6) − 4

d) La base del logaritmo es 2 > 1, por lo tanto la función es creciente. e) Asíntota Vertical: 3 x − 6 > 0 luego: x > 2 , entonces f)

x = 2 es la su ecuación.

Punto de paso: 3 x − 6 = 1 → x = 7 / 3 , evaluando la función: entonces el punto de paso es: (7 / 3, −4) .

f (7 / 3) = −4

y

f ( x ) = log 2 (3 x − 6) − 4 2

7 3

x

−4

D f ( x) = 2, +∞ R f ( x) = 

Ejemplo 4

Graficar y hallar dominio y rango de la función:

f ( x ) = log ( x + 3) − 1 1 4

d) La base del logaritmo es 1/4 < 1, por lo tanto la función es decreciente. e) Asíntota Vertical: x + 3 > 0

x > −3 f)

→

Punto de paso: x +3 =1 → el punto de paso es: ( −2; −1) .

x = −3 es la ecuación de la asíntota vertical. x = −2 , evaluando la función:

f ( −2) = −1 entonces

y

f ( x ) = log ( x + 3) − 1 1 4

−3

−2

x −1

D f ( x) = −3, +∞ R f ( x) = 

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EJERCICIOS I.

Graficar cada una de las siguientes funciones logarítmicas e indicar su dominio y rango: 1.

2.

g ( x ) = − log 5 (1 − x )

3. h ( x ) = 2 + log( x + 5)

4.

f ( x ) = 2 + log 2 (3 − 3 x )

5.

6.

f ( x ) = log 1 ( x + 4 ) + 1

f ( x ) = log 5 (2 x − 1) − 1

g ( x ) = − log 1 ( x ) 2

7.

f ( x ) = log 1 ( 2 x − 3) + 1

3

8.

g ( x ) = − ln(5 x − 2) .

2

9. f ( x) = −4 + ln(3x)

10. h( x) = − ln( x − 2) + 1

II. APLICACIONES

1) Para una compañía, el costo de producir q unidades de un producto está dado por la ecuación C ( q) = 5 + 10 log(10 + 2 q) . ¿Cuál es el costo de producir 10 y 15 unidades?

 

2) La ecuación de oferta de un fabricante es: p = log10 +

q  2

donde “q” es el número

de unidades ofrecidas con el precio de “p” por unidad. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 3000 unidades?. 3) Dado que

una cantidad Q (t) exhibe un crecimiento exponencial descrito por Q(t ) = 2000e 0, 06t donde “t” se mide en minutos.

a) ¿Cuál es la cantidad presente al principio? b) ¿En qué momento aproximadamente Q = 10000? 4) Una determinada máquina industrial se deprecia de modo que su valor después de “t” años está dado por una función de la forma Q(t ) = Q0 e −0, 04t . Después de 20 años, la máquina tiene un valor de $8986,58. ¿Cuál fue su valor original Q0 ?

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SEMANA 14

DESIGUALDADES EN EL PLANO CARTESIANO

Si en un plano p consideramos una recta L éste queda dividido en tres conjuntos: el conjunto de puntos que están en la recta misma, y los semiplanos p y p formados por los 1

2

puntos que están a uno y otro lado de la recta L . Consideremos la recta vertical x = a .

Los puntos que están en la recta son aquellos que satisfacen su ecuación. Los puntos que están a la izquierda satisfacen la inecuación x < a , y los puntos que están a la derecha satisfacen la inecuación x > a . EJEMPLO 1. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad

Primero graficamos a la recta

y<x

y = x.

y=x

La recta ha sido trazada en forma punteada ya que los puntos sobre ella no forman parte del conjunto solución de la desigualdad (semiplano abierto). Por tanto, la recta trazada es la frontera entre los puntos que satisfacen la desigualdad y los puntos que no la satisfacen.

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Para determinar el semiplano que representa gráficamente a la inecuación se toman dos puntos. Uno que este por encima de la recta y el otro por debajo. El punto que satisface la desigualdad determina el semiplano que representa la solución. En nuestro caso tomamos los puntos ( −2; 2) y (3; −2) , entonces el punto que satisface la desigualdad es (3; −2) , por lo que la grafica de y < x es el semiplano bajo la recta fronteriza.

y=x

EJEMPLO 2. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad

Primero graficamos a la recta

y ≤ x +1

y = x + 1.

Luego verificamos si las coordenadas del punto (0, 0) satisfacen la desigualdad. Como este es el caso, entonces el semiplano que representa gráficamente a la inecuación es el que contiene al origen.

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EJEMPLO 2. Graficar en un mismo sistema de coordenadas el conjunto formado por las siguientes desigualdades:

    

x x x y

+ + ≥ ≥

2 y ≤ 6 y ≤ 4 0 0

Indicar los vértices del polígono formado. Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la intersección de las regiones correspondientes a cada una de ellas. Es claro que la región que corresponde a x ≥ 0 es el semiplano ubicado a la derecha del eje Y , y la que corresponde a y ≥ 0 es el semiplano ubicado arriba del eje X . Graficaremos las rectas x + 2 y = 6 y x + y = 4 .

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EJERCICIOS

1. Trace la gráfica del sistema de desigualdades: a)

x − y < 5   x + 2 y < 14

c)

3x + y ≤ 6  y − 2 x ≥ 1  y ≤ 4  x ≥ −2

e)

x + 2y ≤ 8  0 ≤ x ≤ 4  0 ≤ y ≤ 3

g)

x + y ≥ 2  x + 2 y ≤ 10  x ≤ 8 x ≥ 0  y ≥ 0

i)

x − 2y ≤ 3  3 x + 2 y ≥ 9  x + y ≤ 6  x ≥ 1

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b)

2x − y > 2  y − x > 4

d)

 3 x − 4 y ≥ 12  x − 2 y ≤ 2  y ≤ 5  x ≥ 9

f)

2x + 3y ≥ 6  0 ≤ x ≤ 5  0 ≤ y ≤ 4

h)

x − 2y ≥ 3  3 x + y ≥ 9  x + y ≤ 7  x ≥ 2

j)

2x + y ≤ 8  2 x + 3 y ≤ 12  x ≥ 0  y ≥ 0

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SEMANA 15

INTRODUCCIÓN A LAPROGRAMACION LINEAL

La teoría de la programación lineal fue desarrollada en la década 1940 - 1950 por matemáticos tales como John von Neumann, George Dantzig, T. Koopmans, etc. La programación lineal sirve para encontrar el valor máximo o el valor mínimo de una expresión lineal sujeta a un conjunto de desigualdades lineales. La aplicación más común abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible, esto es, en forma óptima. Tiene aplicaciones en la investigación de operaciones, ciencias administrativas, física y biología. Veamos el ejemplo de una fábrica que produce una gama de artículos y que dispone de una variedad de recursos (personal, materias primas, máquinas, créditos, etc.) cada uno de los cuales supone un costo a considerar. ¿Cuál debe ser la política a seguir si se quieren conseguir los máximos beneficios?

EJEMPLO.

Supongamos que una compañía fabrica dos tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto manual requiere del empleo de la máquina A durante dos horas, de una hora en la máquina B y de una hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de una hora en A, dos horas en B y una hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas disponibles por mes para el uso de las tres máquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y de $6 para los eléctricos. Si la compañía vende todos los artefactos que fabrica ¿cuántos artefactos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual?

Un resumen de los datos se presenta en la siguiente tabla A

B

A

Utilidad

Manual

2h

1h

1h

4

Eléctrica

1h

2h

1h

6

Horas disponibles

180

160

100

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Consideremos

x : numero de artefactos manuales que se fabrican en el mes. y : número de artefactos eléctricos que se fabrican en el mes. U : utilidad mensual.

La función objetivo es:

Maximizar : U = 4 x + 6 y Sujeta a:

2 x + y ≤ 180

(1)

x + 2 y ≤ 160

(2)

x + y ≤ 100

(3)

x≥0

(4)

y ≥0

(5)

A las restricciones (4) y (5) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que satisface simultáneamente las condiciones (1) a (5) se denomina región factible. Aunque existen una cantidad infinita de soluciones, se debe hallar la que maximice a la función de utilidad.

Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía tiene un valor máximo (o mínimo) y se puede encontrar este valor en un vértice. Esta afirmación permite hallar soluciones óptimas, para lo cual es suficiente evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y después elegir aquél en que la función objetivo resulte óptima. En nuestro caso, tenemos A (40, 60)

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B (80, 20)

C (90, 0)

D(0, 0)

E (0, 80) .

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Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto: U (40, 60) = 4 (40) + 6 (60) = 520 U (80, 20) = 4 (80) + 6 (20) = 440 U (90, 0) = 4 (90) + 6 (0) = 360 U (0, 0) = 4 (0) + 6 (0) = 0 U (0, 80) = 4 (0) + 6 (80) = 480. Por consiguiente U tiene un valor máximo de $520 en A , en donde x = 40 e y = 60 .

EJERCICIOS

1. Maximice: z = 5 x + 7 y sujeta a las condiciones x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 3 x + 2 y ≤ 7 ; 2 x + 5 y ≤ 12 2. Minimice: z = 4 y − 3 x sujeta a las condiciones x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 3 x + 4 y ≤ 4 ; x + 6 y ≤ 8 3. Maximice: z = x + 2 y sujeta a las condiciones x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; 2 y − x ≥ −1 ; 4 y + x ≤ 9 4. Minimice: z = 2 y + x sujeta a las condiciones x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; − y + x ≥ −1 ; 3 y − x ≤ −2 5. Dada las siguientes restricciones: 2 x + y ≤ 4 ;

x + 2y ≤ 5 ; x ≥ 0; y ≥ 0

a) Grafica la región defina por las restricciones indicando sus vértices. b) Calcule el valor máximo de la función objetivo z = 5 x + 2 y sujeta a las restricciones dadas.

 x+ y≥3 1 x − y ≥ −5 6. Grafique el sistema de inecuaciones  4 y≥x   x ≥ 0, y ≥ 0  7. Dado el siguiente problema de programación lineal: m ax : f ( x , y ) = 5 x + 4 y

3 x + 5 y ≤ 150 Sujeta a  2 x + y ≤ 60 .Esboce la gráfica  x ≥ 0, y ≥ 0   2x + y ≤ 4 8. Dada las restricciones  x + y ≤ 3  x ≥ 0, y ≥ 0  Determine el máximo valor de f ( x, y ) = 2 x + 3 y

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9.

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Maximizar la función f ( x, y ) = 2000 x + 5000 y

 2 x + 3 y ≥ −3  2x − y ≤ 9 Sujeta a las restricciones    2x − 5y ≥ 5  x ≥ 0, y ≥ 0

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SEMANA 16 APLICACIONES

1. Un estudiante de la San Martín dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaría. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 soles por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que cabe 120, y otra para los impresos B, en la que cabe 100 Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? 2. Una industria alimentaria produce alimentos de dos tipos, A y B. El alimento A cuesta 12 soles/kilo y el alimento B cuesta 8 soles/kilo. Se quiere minimizar el costo total de los alimentos, de manera que satisfagan tres condiciones vitamínicas. Se desea por lo menos, 30 unidades de vitamina P, 50 unidades de W y 60 unidades de vitamina Q. Cada kilo del alimento A proporciona dos unidades de vitamina P, cuatro unidades de vitamina W y siete unidades de vitamina Q. El alimento B proporciona tres unidades de P, tres unidades de W y seis unidades de Q por kilo, respectivamente. Formulé el problema de programación lineal. ¿Cuántos kilos de cada alimento deben comprar? 3. Un fabricante produce un artículo en dos presentaciones: A y B, usando las materias primas m1 y m2. Diaro se necesita por lo menos 18 kg. de m1 y 12 kg. de m2; y como máximo 34 horas de mano de obra. Se requiere 2 kg. de m1 para cada artículo A y 1 kg. de m1 para cada artículo B. Para cada artículo de A y B se requiere 1 kg. de m2. Además en la fabricación de un artículo de A se emplean 3 horas y 2 horas en un artículo de B. Si la utilidad por artículo en el modelo A es de $5 y $3 por el artículo B, ¿cuántos artículos de cada modelo deben producirse para maximizar la utilidad y cuál es la utilidad máxima? 4. una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fabrica dispone de 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 Kg. de acero y 3 Kg. de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se necesitan 2 Kg. de acero y otros 2 Kg. de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a 200 soles y las de montaña a 150 soles. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo? 5. Una compañía petrolera, que tiene dos refinerías, necesita al menos 800, 1400 y 500 barriles de petróleo de grados bajo, medio y alto, respectivamente. Cada día, la refinería I produce 200 barriles de grado bajo, 300 de medio y 100 de alto grado, mientras que la refinería II produce 100 barriles de grado alto, 100 de bajo y 200 de grado medio. Si los costos diarios son de $2500 para operar la refinería I y de $2000 para la refinería II, ¿cuantos días debe ser operada cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo? . 6. El Ministerio de Pesquería obliga a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de jurel; además la captura de éstas dos

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especies no pueden pasar de 3000 toneladas. Si el precio de venta de la merluza es de S/. 1 por kilogramo y el de jurel S/. 1,5 por kilogramo, determine: a) La cantidad de cada especie que debe de pescar para que el ingreso sea máximo. b) El ingreso máximo. 7. Una fábrica de muebles fabrica dos tipos de sillones A y B. La fábrica cuenta con dos secciones: carpintería y tapicería. Para hacer un sillón del tipo A requiere 1 hora de carpintería y 2 de tapicería, mientras que uno de tipo B requiere 3 horas de carpintería y 1 hora de tapicería. El personal de tapicería trabaja en total 80 horas y el de carpintería 90 horas. Las ganancias por la venta de cada sillón del tipo A y B son $60 y $30 respectivamente. a) Calcular cuántos sillones de cada tipo tiene que fabricarse para que las ganancias sean máximas. b) Determinar la ganancia máxima 8. Una empresa de transportes desea vender a lo más 260 pasajes de la ruta “Lima– Trujillo”, de dos clases: clase ejecutivo (E) y clase media (M). La ganancia correspondiente a cada pasaje de clase E es de 40 soles y de clase M es de 30 soles. Además la empresa decide vender 150 pasajes como mínimo de clase M. d) La cantidad pasajes de cada clase que deben venderse para que las ganancias sean máximas. e) La ganancia máxima. 9. Una empresa fabrica dos modelos de DVD el modelo A y el modelo B. El modelo A produce una ganancia de $120 por unidad y el modelo B $80 por unidad. Para cumplir con la demanda diaria, dicha empresa debe producir como mínimo 250 DVD del modelo A y un mínimo de 150 DVD del modelo B. Si la producción diaria no debe sobrepasar de 520 DVD, ¿cuántos DVD de cada modelo se deben producir para maximizar las ganancias de la empresa?. 10. Una empresa fabrica dos modelos de fundas de muebles A y B que le generan una ganancia de S/. 40 y S/. 20 respectivamente. Para confeccionar una funda del modelo A se emplean 4 horas de trabajo y 3 metros de tela. Para confeccionar una funda del modelo B se emplean 3 horas de trabajo y 5 metros de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 metros de tela. Si a lo más pueden hacerse 9 fundas del modelo A, ¿cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener la máxima ganancia y cual sería la ganancia?. 11. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte que desean contratar tiene 8 buses de 40 asientos y 10 buses de 50 asientos, pero solo dispone de 9 choferes. El alquiler de un bus con mayor capacidad cuesta S/. 350 y uno de menor de capacidad S/. 280. Determine cuántos buses de cada tipo se debe contratar para que la excursión resulte lo más económica para la escuela.

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