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144 CAPfWI,..O 3

MOMeNTO LINeAR

Vamos então dividir as velocidades nas suas partes constituintes. como tal. na forma de v = (v x• v): v

= (V1 • O).

V2

= (V 2 COS e.

v 2 seno

e). V1 = (V cos rp. -V seno rp)

Agora que fizemos isso. considere que a lei do momento deve ser verdade em ambas as direções x e y. Note que o objeto inicialmente não tem momento na direção y. Então. isso significa que o seguinte deve ser verdade: Para a direção x: Para a direção y:

e + fv1V cos rp O = mV2 seno e - fv1V seno rp mV1 = mV 2 cos

Quando a de moeda 500 ienes colide com a moeda de 100 ienes. a moeda de 100 ienes muitas vezes pula para trás. Nesse caso. e > 90°. então cosseno e < O. A figura a seguir mostra um exemplo onde e < 90°.

o

• 8 f----.. Objeto A

ObjetoA

--~-'r-"::"-_-----+

(eixo x)

(eixo x)

Objeto B (em repouso)

Vamos ver como nós dividimos o momento dos objetos nas partes horizontais e verticais. Objeto A

e_

mV;/

~ -----J mV2 seno e mV; cos

e

Objeto B

Se colocarmos da ponta para início. podemos visualmente mV2 fv1V2 ver o que já sabemos: o momento foi conservado no sistema. Em outras palavras. na direção y. o momento dos objetos e rp -- ----------- --~ 1 e 2 deve compensar um ao outro. E a soma do deslocamento deles nas direções x deve ser igual a mv1 . Precisamos saber mais do que a lei da conservação do momento para prever com qual velocidade e ângulo os objetos vão se mover depois da colisão. Vamos ver isso com mais detalhes no próximo capítulo.

~

lei DA CON?e~AçÃO DO MOMeNTO PA~A veTO~e? 145

AVI$O: CÁL.CUL.O À

Fl<çNTç!

Com o uso de cálculo diferencial e integral. podemos facilmente obter a lei de conservação do momento. Vamos assumir vem para a velocidade e a massa do objeto 1 e VeM para estas do objeto 2. Suponha que não exista força externa agindo nesses objetos. Assumindo Fm- Mpara a força aplicada no objeto 2 pelo objeto 1 e ~-m para a força aplicada no objeto 1 pelo objeto 2. podemos aplicar a segunda lei de Newton como a seguir: e

Substitua essas duas equações na equação seguinte. pela lei da ação e reação:

o resultado é o seguinte: dv dV m - = -M-

dt

dt

Como a massa é constante. a expressão acima pode ser transformada no seguinte: d(m v )

d(MV)

dt

dt

Consolide esses duas equações: d -

_ (mv+ MV) = O

dt

v

Essa equação indica que a soma do momento dos objetos 1 e 2 (m + MV) não vai mudar ao longo do tempo. A partir dessa equação. você pode obter a lei de conservação de momento: mv + MV

= constante

Uma derivada constante significa que o momento não muda! A lei de conservação do momento é derivada tanto da lei da ação e reação e como da segunda lei de Newton. Então você também pode dizer que a lei da conservação do momento provem da lei da ação e reação. Você pode usar o mesmo método para obter a lei da conservação do momento para três ou mais objetos.

146 CAPfTUL.O 3

MOMENTO L.INEAIit

A P~OPUL..?ÃO De UM F06uere Na seção Laboratório, da página 126, nós aprendemos que um astronauta no espaço vai se mover na direção contrária de algo que ele arremesse. Esse fenômeno ocorre de acordo com os mesmos princípios que regem a propulsão de um foguete. O foguete aumenta sua velocidade pelo lançamento de grande quantidade de gás pelo seu motor, e se move na direção contrária à descarga do gás. Vamos olhar esse fenômeno em profundidade.

v=o 10

-v

1.....-_ _

)

m

M-m

)

Primeiro, vamos assumir que um foguete estacionário no espaço sideral descarrega um pequeno objeto com massa m na velocidade v. Em seguida vamos assumir 10 para a soma da massa do pequeno objeto e do foguete e V1 para a velocidade do foguete depois da descarga do gás. Considerando a lei da conservação do momento (e sabendo que essas velocidades estão em direções contrárias), você obter a seguinte equação:

o = (M -

m) V1

-

mv

mv O

V1 = - M-m

Solucionamos assim o movimento subsequente do foguete, V1 . Agora, suponha que esse foguete descarrega outro objeto de massa m na velocidade relativa (velocidade como vista pelo foguete) -ve na mesma direção da descarga anterior. Nesse momento, assumindo V2 para a velocidade do foguete e notando que a massa total do foguete antes e depois da descarga do segundo objeto é 10 - m e 10 - 2m, respectivamente, você obtém a seguinte equação:

Note que o pequeno objeto se move na velocidade V1 - v quando o foguete está avançando na velocidade V1 . Da expressão acima, você pode descobrir o valor de V2 como a seguir: @

V2

= V1 +

mv ---

10- 2m

Ao substituir o valor de V1 nessa equação pela equação anterior nós descobrimos o seguinte: mv V2

C)

mv

= -- +

10 - m V2

10 - 2m

1

1

10 - m

10 - 2m

= mv{--+ - - )

Encontramos a velocidade do foguete depois da descarga de dois pequenos objetos. A PJ<:OPUL5ÃO De UM F00uere 147

Um foguete real continuará a descarregar pequenos objetos. Então vamos obter a expressão geral para a velocidade do foguete depois da descarga de n pequenos objetos. Vamos assumir que o foguete descarrega continuamente pequenos objetos com massa m na velocidade relativa v. Vn _ 1

Vn

•

•m

M-(n-1}m )

1....._ M_- n_m _ )

Como foi visto para o foguete com velocidade Vn -1 ' o pequeno objeto é descarregado na velocidade -v na parte traseira do foguete .

Assumindo Vn para a velocidade do foguete quando descarrega n pequenos objetos, a lei da conservação do momento é expressa como a seguir: [M - (n -1}m] Vn _ 1

= (M - nm)Vn + m(Vn_1 -

v)

Assim, Vn é expressa como a seguir: m

Vn = Vn - 1 +

M- nm

V

Pelo uso dessa expressão repetidas vezes, você pode descobrir o seguinte:

e

AVI?O: CÁl-CUL..O À F~çNTç!

1 1 n m Vn = ( - - + ". + - - - ) mv= L - - - v M- m M - nm k= I M - km

Um foguete real descarrega continuamente gás de seus motores traseiros. Então vamos transformar a expressão e para esse caso. Vamos assumir que o foguete emite um jato de pequena massa llm em intervalos de um minuto M na velocidade relativa -v. Assumindo t para o tempo do estado estacionário ao n-ésimo jato de gás, então t = nM. Vamos assumir que V(t) é uma função que descreve a velocidade do foguete em relação ao tempo, e vamos transformar a expressão e em m - llm, Vn = - V(t) para descobrir o seguinte: V(t}

=

k~1

llm M _ (llm / M) (kM) v

Ouando o intervalo do jato M é dividido em seções infinitamente pequenas, isto é, quando M - O, você pode descobrir a soma usando cálculo integral.- Para trabalhar com cálculo integral. note as seguintes transformações: n se torna 00 e llm / M se torna dm / dt

* A expressão llt -.0 pode ser lida como "a variação do tempo se aproxima de zero". 148 CApfTUI,..O 3

MOMeNTO L.INeA~

(a massa perdida em tempo unitário. ou a massa que é descarregada na forma de exaustão de gás). Transforme a equação assim: óm - (dm / dt) dtoA seguinte equação vai resultar: t

V(t)

=

v Io

1

dm (-) dt M - (dm / dt) t dt 1

=v ( o

M (dm / dtr 1 -t

dt

Se a descarga de gás em tempo unitário for uniforme. o seguinte é verdade: dm / dt

=

(um valor constante)

a

Isso significa que alfa (a) é a medida da quantidade de massa que o motor descarrega por tempo unitário:

V(t)

t

=

v Io

1 (M / a) - t

dt

t

=

v [-Ioge (M / a - t)]o

M

= vlog e ( - - ) M - at

A expressão 8 representa a velocidade de um foguete com velocidade inicial V(O) = O. Note que at é o total da massa do gás lançada pelo foguete no intervalo de tempo t. Portanto. assumindo que a massa total inicial do combustível carregado no foguete foi mo. o foguete consome todo o combustível no tempo t (t = mo / a) e então muda de movimento uniforme acelerado para movimento uniforme (como mostra a figura a seguir).

V(t)

A ~OPUL..?ÃO

De UM foeue-re 1.w

fNe~61A

PODeMO? ve~ TUDO DAQUI.

é BONITO. OB~leADO PO~ Me MO?T~A~ S$Te I,..U6A~!

B6M, 6U NÃO T~OUX6

você

AQUI 56 PA~A ... D61XA PA~A LA 15Z CAPfTtJ t..O 4 ENe~6IA

NA V6~DAD61 $AB6MO? QU6 O CO~PO HUMANO CON$OM6 C6~CA D6 T~ê$ V6Ze? MAI$ 6N6~61A AO $UBI~ UMA e?CADA COMPA~ADA COM AP6NA$

OI,..HA QUANTA eNel<:61A l$?O U$A!

CAMINHA~.

,, ,

~ AN'1 )I - - L.

,,

,,, ,, , ,

~

~

MeDIDOI<: De eNel<:61A De Me6UMI

VAZIO!

MA? Nó? VeMO? A PAL-AVfl.A eNeR@/A eM TODO? O? L-U6Afl.e?, NÃO é?

~IM!

COMO CAfl.RO? eFICieNTe? eM Tefl.MO? De eNefl.61A, eNefl.61A Vefl.De, e BeBIDA? eNefl.6éTICA?!

é UMA PAL-AVfl.A UM POUCO COMO FORÇA. A? PÇ?~OA? U?AM A PAL-AVfl.A BeM MAl? VA6AMeNTe PAfl.A De?Cfl.eVefl. COI?A?, MA?... .diEmi';}l./

IFNFIZ,'-..,IA

e?pefl.e! VOCê Quefl. DIZefl. Que...

eNefl.61A TeM ?16NIFICADO? e?pecfFICO? eM ff?ICA?

A eNefl.61A TAMBéM TeM UMA DeFINiçÃO e?Tfl.ITA.

154 CAPíTUL..O 4 ENe~0IA

I$?O MS I..SMB~A QUS JÁ OUVI O? TS~MO? eNEH
VOGê QUS~ DIZS~ QUS SXI$TS UMA I..SI QUS DS?G~SVS A GON$S~AÇÃO DA SNS~6IA, TAMBéM?

PA~SGS

$SMSI..HANTS AO MOMSNTo. MA$ A SNS~6IA GINéTIGA DSVS $S~ DIFS~SNTS, GS~O?

71M, el,..A? ?ÃO DIFe~eNTe? o MOMeNTO é 60ve~NADO pel,..A I..el De CON?e~AçÃO DO MOMeNTO. MA? A eNe~61A TAMBéM Deve ?e~ CON?e~ADA .

?IM. MA$ SNS~6IA PODS TS~ MUITA$ FO~MA$, eXI$TS A SNS~6IA CINéTICA,

NÃO 60?TOU?

eNTÃO A eNe~61A é COMO UMA MUTANTe...

AINDA Que ~A$ FO~MA$ $eJAM MUITO DIFe~eNTe?, A QUANTIDADe TOTAL.. De eNe~61A CONTINUA A Me?MA. ~A é A L.el De CON$e~AçÃO De

A QUANTIDADe TOTAL.. De eNe~61A é A Me7MA

eNe~6IA.

VAMO? U$A~ UM eXeMPL..O DA VIDA ~eAL..,

156 CAprTUL..O 4

~NeI<:6IA

o FA~OL.. CONve~ A eNe~61A CINéTICA DO 61~0 DA ~ODA DA BICICL..eTA eM eNe~61A eL..éT~ICA e DepOI$ eM eNe~61A L-UMINO?A.

DO Mç$MO JçlTO, UM CA~~O ç(...éT~ICO CONVç~ç çNç~elA

ç(...éT~ICA

çM çNç~elA CINéTICA.

PA~A CONVç~ç~

çNç~01A Té~MICA

çM çNç~01A CINéTICA.

MA$ Ç5SoA

çNç~elA

Té~MICA é T~AN$Fç~IDA DA çNç~elA QUfMICA A~MAZçNADA

NA

eA$O(...INA. NOVAMçNTç, A QUANTIDADç TOTA(... Dç çNç~61A é CON$ç~VADA,DU~ANTç TODO O P~OCÇ5So0.

o CO~PO HUMANO FAZ A Me?MA COl7A, U7ANDO COMIDA ç OXI6êNI0 COMO FONTe? Dç çNç~6IA . O

CO~PO CONVç~ç ~A

çNç~61A

QUíMICA

NO MOVIMçNTO CINéTICO De N07707 Mú?CUL.07, e NA eNe~61A Té~MICA,

Que MANTéM A TeMPe~ATU~A DO N0770 CO~PO.

O QUç

é

eNç~6IA?

157

~ó E$TAM~

ENTÃO ATé EM NO$?~ CO~P~, A ENE~6IA MUDA DE FO~MA.

ENTÃO, QUANDO

Nó?

\\CON$UMIM~/I ENE~6IA ...

~EAL.MENTE T~AN~FO~MANDO-A

EM UMA FO~MA DI FE~ENTE.

A eNelOt61A e?TÃ ?eMPlOte CIIOtCUL.ANDO, MA? A QUANTIDADe TOTAL. De eNelOt61A pelOtMANeCe CON?TANTe.

MA$VAM~$E~ MEN~ AB$T~AT~ E DI$CUTI~

UM POUCO

A

ENE~6IA

POTENCIAL.

ENE~6IA CINéTICA. AMBA$ $ÃO TIP~ DE

EA

eNeRt.3/A MeCÂNICA.

ENE ~6IA

POTENCIAL.?

1':78 CAPfWL.O 4 eNelOt61A

êNSi<6IA CINéTICA = Yz

voCê

x MA5~A x VSI...OCIDADS

DI5~S

e~CAl..AR

x VSI...OCIDADS

, \

\

e~CAl..AR

/

VeL.OCIDADe e~CAl..AR, NÃO

VSI...OCIDADS!

BOM PONTO!

COMO A VEWCIDADE é UMA QUANTIDADE APfNA5 MASNITUDf, A fNfF<:SIA CINéTICA TAMBéM DfVf 5fF<: UMA APfNA5 QUANTIDADf COM MASNITUDf. VAM05 U5AF<: A VAF<:IÁVfl.. v PAF<:A 5lMPl..IFlCAF<:.

MOMeNTO - MA55A )( VeWCIDADe e5CAl..AR p = mv

é CI...Ai
ENEIZ0IA? 1~

o MOMeNTO é UMA QUANTIDADe veTO~IAL.. Que TeM TANTO MAGNITUDe COMO DI~eçÃO.

?el - eNTÃO A eNe~GIA CINéTICA NÃO TeM O~leNTAçÃO.

OH,~IM?

UM OBJeTO COM A De 0,5 1<6 e A VeL.OCIDADe De 2 M/? AMBO? TêM O MÇ7MO MOMeNTO: 1 1<6 x M/?

PO~ COMPA~e o

eXeMPL.O, MOMeNTO De UM OBJeTO COM A MA?~A De 1 1<6 e A VeL.OCIDADe De 1 M/? COM ...

I (ttt I S) í - - - - - - - - , p = 1 kg )( m/s KE = O.5J

Yz x 0.5

~~------..

p = 1 kg )( m/s KE = 1J

160 CApfTUI...O 4 eNe~01A

MA?, NO CA?O DA eNe~61A CINéTICA, O VAL.O~ PA~A A p~IMel~A BOL.A é Yz x 1 1<6 x C1 M/?)z :: 0 .5.J. PA~A A ?e6UNDA BOL.A ...

çNe~61A é 16UAL. A

~ ll.,.,/~ J ) Qr;lk,.l

MA?~A

~6 x C2 M/?)z ::

1.J

1J :: 1 1<6 x MZ/t;,z, DS ACO~DO COM A DSFINIÇÃO ~TABSL..SCIDA .

J t;,1~NIFICA JOL/t..e, A UNIDADS PA~A MSDIÇÃO DS SNS~~IA.

UM JOUL..S é SQUIVAL..SNTS À SNS~~IA NSCSt;,~Á~IA PA~A L..SVANTA~

UM

~ DI~STAMSNTS ACIMA DS 1 MST~O.

OBJSTO DS 102

A eNe~61A eM JOUL.e? PODe ?e~ CONve~IDA eM VAL.O~e? eM QUIL.OWATI? HO~A? (COMO A eNeRGIA e1.éTRICA é MeDIDA) ou eM CAL.ORIA?, Que Nó? U?AMO? PARA COMIDA.

UM peDAço De 601..0 Que Pe?A 50 ~ TeM CeFi:CA De 170 QUII..OCAI..OFi:IA?, OU 710,OOOJ.

O,23SQ CAL.. COMO ~TA? ?ÃO UNIDAD~ PA~A

A MeDiçÃO De eNe~6IA, VOCê

PODe FACIL..MeNTe CONVepê-L..A?

o VAL.O~

CAL.ó~ICO

De UM peDAço De 601..0 .......II::.-V'~

CHOCAVA

LA60~ATó~IO QUAL. A DIFe~eNçA

eNT~e MOMeNTO

e ENe~6IA CINéTICA?

A diferença entre momento linear energia cinética é fácil de perceber quando nós consideramos dois ou mais objetos juntos.

Oh. sim?

Vamos lembrar do cenário em que você ficava encalhada fora da sua espaçonave (página 126). e usava a lei da conservação do momento para voltar para a nave. O seu momento mudou como resultado do momento da chave inglesa. que você arremessou na direção contrária. E. como estou certo de que você lembra. nós usamos a equação p = mv para expressar a relação entre momento. massa. e velocidade.

Claro. eu lembro.

Antes de você arremessar a chave inglesa. o momento de ambos objetos era zero (pois v = O). Depois do arremesso. a chave inglesa. considerando a lei da conservação do momento. sabemos o seguinte: a soma do momento da chave inglesa e do astronauta = mv + MV = O Assim. sabemos que mv = -MV Em outras palavras. o momento da chave inglesa (mv) e o seu momento (MV! são equivalentes em magnitude e contrários em direção. Eles devem iguais a zero quando somados juntos.

Como o momento é um vetor. ele tem orientação! Então. dois momentos com magnitudes equivalentes e direções contrárias vão se anular mutuamente.

162

CAPfWI,..O 4

E:NE:12:6IA

Agora, vamos pensar na energia cinética da chave inglesa e na do astronauta. Antes do arremesso da chave inglesa, ambos estão parados, e o momento é zero , para ambos objetos. Depois do arremesso da chave inglesa, a soma da energia dos dois objetos em movimento não é zero: KEchave inglesa + KEastronauta =

~ mv2

+

~ MI/ > O

Mas você disse energia é sempre conservada'

Essa energia cinética foi gerada quando você arremessou a ferramenta . Considere a lei da conservação de energia: a quantidade de energia perdida em seu corpo deve ser a mesma que a quantidade de energia cinética ganha nesses dois objetos.

Bem, tudo bem.

Embora seja difícil medir com exatidão a energia gasta pelo corpo humano, podemos dizer que é possível determinar um decréscimo de energia no corpo ao descobrir a energia transferida por esse corpo.

Em outras palavras, eu sei que o meu corpo perdeu pelo menos tanta energia quanto ganha pelos objetos que arremessei, certo?

Sim, isso mesmo. Agora você precisa lembrar, nós precisamos ter em mente as diferenças entre energia e momento.

QUAL. A DIFe FteNçA eNTFte MOMeNTO e E:NeFt6IA CINéTICA? 163

eNe~61A

POTeNCIAL.

VOCê PODS PSN$A~ NA eNeRt3IA POTeNCIAl, COMO A SNS~6IA DA PO$IÇÃO.

ANTS$, SU MSNCIONSI QUS A SNS~6IA MSCÂNICA INCL.UI A SNS~6IA CINéTICA S A SNS~6IA POTSNCIAL...

o QUS

POTeNCIAl, $S ~SFS~S À CAPACIDADS A~MAZSNADA DS FAZS~ T~ABAL..HO.

SNTÃO A eNeRt3IA POTeNCIAl, $16NIFICA eNeRt3IA ARMAZeNAVA?

164 CAPfTUL.O 4 ENE~0IA

I$~O

QUS~ DIZS~?

•

N~S

PONTO, VOCê P~UI SNS~6IA POTeNCIAL. GAAVITACIONAL., S NÃO SNS~6IA CINéTICA.

•

• NO MOMSNTO QUS VOCê Al,CANÇA A MAI$ At..TA PO$IÇÃO NO $At..TO, A $UA SNS~6IA CINéTICA DS$APA~SCS Cv = O).

MA$ A MSDIDA QUS VOCê CAI, A $UA SNS~6IA CINéTICA AUMSNTA. eM O~A$ PAt..AV~$, NO PONTO MAI$ At..TO, você FICA S$TACIONÁ~IA. eNTÃO DSVS S,)(I$TI~ AL..6UMA SNS~6IA A~MAZSNADA S$CONDIDA QUS PODS 6S~A~ SNS~6IA CINéTICA.

~IM,

eNTÃO~AéA SNS~6IA

POTSNCIAt...

A SNS~6IA POTSNCIAt.. DS UMA At..TU~ SM

PA~CUt..A~ C~IA SNS~6IA

CINéTICA SM UM OBJSTO SM QUSDA.

se ~OTA ?e0U~A UM OBJeTO NÇ??A Al..TU~A, el..e A~MAZeNA eNe~01A PQTÇNCIAl.. NÇ??e OBJeTO.

o OBJeTO NA MÃo DS ~OTA TeM eNe~01A POTeNCIAl...

QUANDO O OBJSTO CAI, ?UA eNe~01A POTSNCIAl.. ?e T~AN?FO~MA eM SNe~0IA CINéTICA.

A eNe~61A POTeNCIAL.. Que veM DA AL..TU~A é CHAMADA De eNeRt3/A POTl3NCIAl C3R4VITACIONAl

VOCê Que~ Dlze~ Que eXI5TeM OUT~O? TIPO? De eNe~61A POTeNCIAL..?

ce~AMeNTe. PO~ eXeMPL..O, CON5IDe~e UMA

TI~A

De BO~RACHA

ou UMA MOL..A.

eL..e TeM TANTO? B~INQUeDO? ..

QUANDO você 50L..TA O e7TIL..IN6US, A SNS~6IA POTeNCIAL.. DA TI~A DS BO~~ACHA VI~A SNS~6IA

CINéTICA PA~A O T1~0.

QUANDO é e?TIGADA PA~A FO~A, A TIRA De BO~RAGHA ARMAZSNA eNSR61A POTeNGIAI,...

BO~RACHA, Ou A MOL..A, TeM eNe~61A PA~A ~e5TAU~A~ A 51 Me5MA PA~A 5eu COM~IMeNTO O~16INAL... e5~e TIPO De eNe~elA POTeNCIAL.. é CHAMADO De eNeRt3/A POTl3NCIAl ~----------------~ eL47~~. ~------------------~ 166 CAPírUI,..O 4

eNel't61A

A TI~A De

VOCê p~eCI$A L..eVANTA~ O OBJeTO ou PUXA~ A PONTA DA TI~A De BO~RACHA PA~A DA~ eNe~~IA POTeNCIAL.. AO

A$~IM, De MODO A T~AN$FO~MA~

eNe~~IA, VOCê

Deve UMA FORÇA POR UMA DI$TÃNCIA.

OBJeTO.

IMPO~

I$~O

é

~eFe~IDO

COMO DO Me7MO JeITO, VOCê Deve IMPO~ A FO~ÇA A UM OBJeTO

T~ABAL..HO.

PA~A C~IA~ eNe~~IA

CINéTICA. seM, I$~O NÃO PA~ece Te~ NADA A ve~ COM AL.GO

CA$UAL...

VOCê S7TÁ ce~A . o T~ABAL.HO eM MeCÂNICA é DeFINIDO eXATAMeNTe A$7IM:

COMPONeNTe DA FO~ÇA APL..ICADA NA DI~eçÃO DO De5L..OCAMeNTO

T~ABAL.HO :

De?L.OCAMeNTO De UM OBJeTO )( COMPONeNTe DA FO~ÇA APL.ICADA NA

Me?MA

DI~eçÃO

.-----..... , ,

De5L..OCAMeNTO DO OBJeTO

FAL..ANDO $IMPL..e?MeNTe, O T~ABAL..HO é 16UAL.. À DI$TÂNCIA MUL..TIPL..ICADA peL..A FORÇA. ..

eNe~61A

POTeNCIAL.. 167

QUANDO VOCê l,..çVANTA UM OBJçTO NA Vç~ICAI,.., O TI2:ABAI,..HO FçlTO é 16UAI,.. À FO~ÇA APl,..lcADA MUI,..TIPL..ICADA ?ÇI,..A DI$TÂNCIA I,..SVANTADA. POl2:éM, 5ç Nó? 5IMPL..Ç5MçNTç 5ç6U12:AMO? O OBJçTO 5çM MOVê-L..O, Nó? NÃO l2:çAL..IZAMO? TI2:ABAL..HO NO 5çNTIDO DA MçCÂNICA, MÇ5MO 5ç FICAMO? l2:çAL..MçNTç CAN5ADO?

(' i) ? :l

Co

FO~ÇA FO~ÇA

você l2:çAL..IZA TI2:ABAL..HO QUANDO L..çVANTA A MAL..A

MAS SS6U~A~ A MAI,..ANÃO é T~ABAI,..HO.

MOVIMeNTA

peN$A~ NO T~ABAL.HO COMO UM MeiO De AUMeNTA~ OU D I MINUI~ A eNe~61A De

VOcê Deve

MÇ5MO 5ç FICAI2: CAN5ADA, I~O NÃO QUSI2: DIZçl2: QUç çU I2:SAL..IZçl TI2:ABAL..HO.

~çl.

UM OBJeTo. DepOI$ De eM UM OBJeTO, você PODe Dlze~ Que...

~eAL.IZA~ T~ABAL.HO

o OBJeTO Deve re~ eNe~61A CINéTICA ou POTeNCIAL.. MA$ VOcê NÃO PODe Dlze~: O OBJeTO TeM T~ABAL.HO. o TAABAL.HO é ~eAL.IZADO NO? PO~ UMA FO~ÇA .

PUP UI

TI<:ABA1..HO f fNfl<:61A POTfNCIA1..

PO~ e)(eMPL-O, VAMO? CON7IDe~A~ Ç7TA MAL-A

NOVAMeNTe.

eNTÃO, vOCê PODe A eNe~61A POTeNCIAL- AO

AUMeNTA~

~eAL-IZA~ T~ABAL-HO.

~IM, 7e VOCê ~eAL-IZA T~ABAL-HO PA~A L-eVANTA~ UM OBJeTO, A eNe~61A

POTeNCIAL- DeL-e AUMeNTA.

AQUI, fOI

~eAL-IZADO

A O~leNTAçÃO DA fO~ÇA e DO MOVIMeNTO DA MAL-A ~Ç7UL-TA eM UM VAL-O~ PO?ITIVO PA~A A QUANTIDADe De

I7~0 716NlflCA Que eNe~61A POTeNCIAL-

A

AUMeNTOU.

~ABAL..HO

Eõ

ENEõ~6IA

POTENCIAL.. 16'?

o VAI..O~ DO T~ABAI..HO $e TO~NA Ne6ATIVO $e eu ABAIXA~ A MAI..A?

EXATAMeNTe.

ENe~6IA

POTeNCIAl.. AUMeNTA FOJ<:ÇA

ENe~6IA

POTeNCIAl.. l..::===--DIMINUI

MOVIMeNTA

T~ABAI..HO

PO?ITIVO

T~ABAI..HO

Ne6ATIVO

QUANDO VOCê DIMINUI A eNe~61A POTeNCIAl.. DA MAI..A/

A O~leNTAçÃO DA FO~ÇA é CONT~Á~IA À DI~eçÃO DO MOVIMeNTO/ $16NIFICANDO Que T~ABAI..HO Ne6ATIVO FOI ~eAI..IZADO NA MAI..A.

DA Me?MA FO~MA/ QUANDO PUXA A TI~A De BO~~ACHA/ VOCê e?TÁ FAZeNDO T~ABAL..HO PO$ITIVO/

JÁ Que e)(I$Te eNe~61A

POTeNCIAl.. A~MAZeNADA.

BeM, Deixe-Me peN5AK .. Nó? PODeMO? U5A~ UMA POL..IA, OU UMA ~AMPA.

MA5 vou e5CL..A~ece~: T~ABAL..HO é NÃO L..IMITADO PO~ FO~ÇA5 APL..ICADA5 DI~eTAMeNTe PA~A CIMA.

~IM, AO U5A~ e5~e5 MéTOD05, Voa ~eDUZ A QUANTIDADe De FO~ÇA Que TeM Que APL.. ICA~ AO OBJeTO PA~A

o

CON5e6UI~ eNe~6 1A

POTeNCIAL...

Ne?~e5 CA50?, A DI5TÂNCIA

QUe O OBJeTO Deve 5e Move~ é MAIO~, MA5 A FO~ÇA APL..ICADA é MeNO~ . . r _ -__ PO~éM,

O

T~ABAL..HO

~eAL..IZADO

TOTAL..

é O Me5MO, 5e

eL..e5 e5TIVe~eM 5eNDO L..eVANTAD05 NA Me5MA

~ABAL.HO

e eNel't61A POTeNCIAL. 171

LA60~ATó~IO o

T~ABAL.HO

e A CON5e~VAçÃO DA

eNe~61A

Vamos considerar o cenário no qual nós vamos levantar uma carga pesada a uma certa altura. O jeito mais simples de fazer isso é levantar em linha reta para cima. O diagrama a seguir mostra como isso parece.

Força de Levantamento

I

mg

h

1 Estamos levantando uma carga com massa m até a altura h. Consideremos quanto trabalho devemos realizar para levantar a carga até a altura de h pela aplicação de uma força igual à força da gravidade sobre a massa, isto é, vamos impor uma força para cima equivalente à força da gravidade para baixo. Assumindo g para a aceleração gravitacional. sabemos que a força para baixo é mg: trabalho para cima = força de levantamento x altura h = mgh Note que para simplificar, não vamos levar em conta nem o atrito e nem a resistência do ar nesses exemplos. Mas este é um jeito bem difícil de levantar algo pesado! Hum ... talvez seja mais fácil se empurrarmos a carga para cima em uma rampa. Sim, vamos considerar o caso de empurrar a carga para cima em um plano inclinado.

172 CAPITULO 4

fNf~0 1 A

Q

Olhe para este diagrama. A magnitude da força necessária para empurrar a carga para cima nessa rampa (F) é igual ao componente da força da gravidade paralela à rampa (PR). Então, se a rampa tem um comprimento d, o trabalho necessário para mover a carga até a altura h pode ser representado como: Trabalho

=

Fd

Agora, sabemos intuitivamente que F é menor que mg, e d é maior que h.

Isso faz sentido. É por isso que precisamos da mesma quantidade de trabalho para empurrar a carga para cima em uma rampa ou quando levantamos a carga em linha reta para cima?

Sim, de fato. Agora vamos mostrar porque isso funciona. matematicamente. O f:" ABC representa a rampa na figura , e o f:" POR representa a composição da força mg. Esses dois triângulos são similares. Isso significa que LCAB = L RPO. Isso também significa que a proporção dos seus lados correspondentes deve ser a mesma, também. Assi m, o seguinte deve ser verdade: AB

PO

AC

PR

Vamos tornar isso um pouco menos abstrato. O segmento de linha AB é igual a d (comprimento da rampa) e AC é igual a h (altura). Da mesma forma, o segmento de linha PO é igual a mg (a força para baixo, devida à gravidade), enquanto que PR é igual a F (a força aplicada para compensar uma porção dessa força).

o ~ABAL.HO e A CON?e~AçÃO DA eNel<:61A 173

~

Isso significa: d

mg

h

F

Veja. apenas rearranjando um pouco essa equação. temos o seguinte: Fd = mgh

Portanto. o trabalho para levantar uma carga usando uma rampa deve ser igual ao trabalho para levantar essa carga em linha reta para cima. Além disso. por favor note que nossos resultados são os mesmos. apesar do ângulo da rampa. Considerando a conservação da energia. apesar da rota do levantamento. o trabalho feito para levantar um objeto com massa m na altura h é igual ao seguinte: Força necessária para equilibrar a gravidade

x

altura

= mgh

Então. com qualquer método que você usa para levantar uma coisa. a quantidade de trabalho você realiza é a mesma.

Para dizer de outra forma. o seu trabalho aumenta a energia potencial da carga de mgh.

E aposto que isso também funciona para o trabalho negativo. Isto é. você verá um decréscimo na energia potencial de mgh se você abaixar o objeto por mgh.

Sim. isso mesmo.

T~ABAL..HO

6

eN6~61A

o Que e?TÁ ACONTeCeNDO? e?TOU FICANDO MAl? JOVeM ...

o T~ABAL.HO NÃO é ~EAI.IZADO APENA~ COM O AUMENTO OU DIMINUiÇÃO DA ENE~6IA POTEN

voCê Que~ Dlze~ Que TRABAL.HO TAMBéM é ~eAL.IZADO QUANDO MoveMO? UM OBJeTO OU PARAMO? UM OBJeTO Que ?e MOVe?

DI?FA~ÇA

1---_

ENQUANTO você UMA FO~ÇA EM UMA DETE~MINADA DI$TÂNCIA $OB~E UM OBJETO EM ~EPOU?O, A ENE~6IA CINéTICA DE$~E OBJETO AUMENTA. IMPU$E~

IMPO~ OU API..ICA~ UMA FO~ÇA $OB~e UM

OBJETO

-

JL 6E~A eNE~6IA

CINéTICA.

UFA! IS~O TAMBéM é ve~DADe PA~A OBJeT05 eM MOVIMeNTO. eM OUT~AS PA("AV~AS, A eNe~61A CINéTICA De UM OBJeTO AUMeNTA AINDA MAIS

PO~

Al..6UMA

~AZÃO, VOCê

Me L.eMB~A UMA BOL.A De BOL.ICHe.

COMO A ~N~~6IA é CON?~~VADA, Nó? ?AB~MO? O ?~6UINT~: ~ABA("HO ~eA(..IZADO NO OBJeTO = MUDANÇA NA eNe~61A CINéTICA DO OBJeTO

~~A ~~I..AÇÃO D~V~ P~~MAN~C~~ V~~DAD~I~A.

~~

A FO~ÇA QU~ Nó? APL.ICAM05 SOB~e UM OBJeTO ~Tlve~ NA DI~~ÇÃO DO MOVIMeNTO DO OBJeTO,

ISTO é, QUANDO

A FO~ÇA

~

T~ABAL.HO

P05ITIVO.

176 CAPfTUL.O 4

ENEIZ61A

A

VeL.OCIDADe SÃO PA~AL.eL.A?, Nó? VAM05 ~eAL.IZA~

~ABçMO? QUç OCO~RçU MUDANÇA PO?ITIVA NA çNç~61A

CINéTICA, I$TO é, O OBJçTO ç$TÁ

DA MÇ$MA FO~MA, VOCê PODç PA~A~ UM OBJçTO çM MOVIMçNTO AO APl,.ICA~ UMA FO~ÇA NA DI~çÇÃO CONTAA~IA À $UA Vçl,.OCIDADç.

ACçl,.ç~ANDO.

RçDUZINDO A çNç~6 1A CINéTICA Dçl,.ç, $UPONHO.

NÇ5Sç IN7TANTç,A7 Ol<:lçNTAÇÕÇ5 DA VçL.OCIDADç ç DA FOI<:ÇA 7Çl<:ÃO OP07TA7 UMA À OUTI<:A, çNTÃO O VAL.OI<: DO TI<:ABAL.HO 7Çl<:Á Nç6ATIVO.

PO~ANTO,

A

VA~IAÇÃO NA çNç~61A CINéTICA

TAMBéM l,.çVA A UM Nç6ATIVO VAl,.O~, çl,.A DIMINUI. I~OFOI

BIZAI<:/itO. e?TOU CONTeNTe DE VOI..TAl<: PAI<:A A MINHA ANTl0A PçI<:$ONAI..IDADE ()() NOVAMENTE.

IAU!

TAABAI..HO E ENEI<:01A 177

LA60~ATó~IO A RSL.AÇÃO eNT~e T~ABAL.HO S eNS~6IA CINéTICA Vamos examinar como podemos obter/derivar uma equação que expresse a relação entre trabalho e energia cinética. Suponha que continuamos a aplicar a força F em um carrinho em movimento. em uma direção paralela à velocidade desse carrinho. Esse carrinho tem massa m e começa com a velocidade inicial uniforme v. Velocidade inicial v1

Velocidade final v2

~

I( D~ FOCÇ'F Distância d. a distância em que a força é aplicada

Isso significa que uma força adicional é aplicada ao objeto em movimento.

Nesse momento. o seguinte é verdadeiro: Trabalho realizado no objeto

= Fd

Além disso. como representamos a velocidade final como v2• podemos representar a variação da energia cinética do objeto assim: Variação da energia cinética

=

~ mv2

2

-

~ mv12

E como nós já sabemos que a variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado no objeto. podemos expressar a seguinte relação:

e 178

Rá.

CAF'fTUI,..O 4 eNe~61A

Também podemos obter essa equação de outro jeito. Como F é definida como constante, o carrinho está experimentando aceleração uniforme. Portanto, se representarmos a aceleração do carrinho como a, sabemos que o seguinte deve ser verdade: v2 2

-

v1 2

= 2ad

(Por que isso então? Veja a expressão w na página 85.) Para chegar mais perto da nossa expressão original, vamos substituir usando a segunda lei de Newton: F = ma , ou apenas um pouco rearranjada, a

F

=-

m E vamos obter o seg uinte: 2 V2

2 - V1

2Fd

=-

m

Em seguida, basta multiplicar ambos os lados por " que você chega lá l

Eu posso fazer isso direito se calcular com muito cuidado.

seM, peN~O Que N~O é APeNA$ PA~A CA~~O$. é A DI$TÂNCIA Que QUAI,.QUe~ OBJeTO eM MOVIMeNTO p~eCI$A PA~A

CON$IDe~ANDO

CON5IDe~ANDO Que 5ABeMO? Que A VA~IAÇÃO DA eNe~61A CINéTICA é 16UAL.. AO T~ABAL..HO ~eAL..IZADO, 5ABeMO? Que O 5e6UINTe Deve 5e~ ve~DADe AO L..eVA~ UM OBJeTO eM MOVIMeNTO AO ~epOU50:

UMA ce~A FO~ÇA NA DI~eçÃO CONT~Á~IA.

y~ MA$~A )( Vel..OCIDADeZ = FO~ÇA DO$ F~eIO$ )( DI$TÂNCIA QUe 0$ F~eIO$ $ÃO APl..ICADO$ 2

~ mv = Ffreios

x d

S?~A SQUAÇÃO ?16NIFICA

~S ~SA~RANJA~MO$

A SGUAÇÃO, PODSMO$ ~S$OL..VS~ A DI?TÂNCIA DA F~SNA6SM!

/

/

/

QUS QUANTO MAIO~ ?S TO~NA A MA~A ( m ) S A VSL.OCIDADS ( v) DO VSfCUL.O, MAIO~ A DI?TÂNCIA NSC~Á~IA PA~A F~SA~ (d).

S GUANTO

MAIO~

A FO~ÇA

DO$ F~SIO$ (Ffreio.), MAl? CU~A A DI?TÂNCIA NSCS$~Á~IA PA~A CHS6A~ À PA~ADA TOTAL...

~ mv2

d= -

-

F freios

I~O ?16NIFICA GUS DI?TÂNCIA DS F~SNA6SM (d) é P~OPO~CIONAL.. À VSL..OCIDADS SL..SVADA AO QUADRADO (~GUNDA POTêNCIA)

RÁ, I;;?SI;; é UM óTIMO I;;NTI;;NOIMI;;NTO OA RI;;L.AÇÃO OI;;L.A? é PI;;RI60?0 A?SUMIR QUI;; A OI?TÂNCIA OI;; FRI;;NA61;;M é L.INI;;ARMI;;NTI;; PROPORCIONAL. À VI;;L.OCIOAOI;; 00 CARRO.

A DI~TÂNCIA OS F~SNA6SM OS FATO QUAD~UPL..ICADA QUANDO ~UA VSL..OCIDADS é DOB~ADA.

é

PA~A UMA BICICL..I;;TA, NÃO é NSNHUM 6~ANOS P~OBL.I;;MA, MA? PA~A O? AUTOMóvel?, I~SO pooe Te~ ?é~IA? cON?eQUêNCIA?

POR I;;XI;;MPL.O, ?UPONHA QUI;; UM CARRO VIAJA A 40 i<M/H, I;; QUI;; ?UA OI?TÂNCIA OI;; FRI;;NA61;;M é 10 M. SI;; e?SI;; MI;;?MO CARRO e?TIVI;;R VIAJANOO A 120 i<M/H, OU A UMA RAPIOI;;Z ~ê? VI;;Ze? ?UPI;;RIOR, QUAL. ?I;;RÁ A OI?TÂNCIA OI;; FRI;;NA6I;;M?

-tI

HUM ••.

•

COMO A ~APIDSZ

é

T~ê? VSZS~ MAIO~, NÓ$ APSNA~ P~SCI~AM~ SL..SVA~ AO QUAD~ADO I~SO. SNTÃO 3 )( 3 = q VSZS~ MAIO~, OU

~ ---------

10 M )( q = qO M!.

MOTO~I$TA$ p~UDeNTe$ FAZeM MUITO BeM $e Tlve~eM

e$~e p~INcíplO

eM

MeNTe.

se el<:RONeAMeNTe Nó? A$SUMf$seMO? Que A NO?SA DI$TÂNCIA De PAI<:ADA e?TAVA L.INeARMeNTÇ l<:eL.ACIONADA COM A RAPIDeZ, peN$Al<:fAMO? Que $ 6 PReCI$Al<:fAMO? De 30 M! Sel<:lA UM el<:RO De 60 M!

A De$pelTO DA HABIL..IDADe DÇ?~e MOTO~I$TA, UM ACIDeNTe Te~RrveL.. $e~IA MUITO PO?~rveL.., POI$ A DI$TÂNCIA De F~eNA6eM é MUITO 6~ANDe.

OUVI Dlze~ Que TODA$ A$ MeL..HO~Ç? AUTO-e$COL..A$ eN$INAM Que A DI$TÂNCIA De F~eNA6eM é P~OPO~CIONAL.. À

AO

~APIDez QUAD~ADO.

A CON5e~VAçÃO DA ENe~6IA MeCÂNICA

A Tf(:AN$FOf(:MAÇÃO DA fNSf(:6IA .

fNTÃO, A60AA 5ABfMO$ COMO A fNf~61A CINéTICA e A eNe~61A POTeNCIAL.. PODeM 5e~ T~AN5FO~MADA5

UMA NA

ourAA.

~IM,

eNe~61A Deve ?e~ CON?e~ADA,

A

e)(ATAMeNTe COMO O MOMeNTO.

QUANDO VOCê ?AL..TA DO CHÃO, O? ?eU? MÚ?CUL..O? T~ABAL..HAM PA~A DA~

eNe~61A CINéTICA

?eU

VAMO? ~eCONFI~MA~ ~A L..el U?ANDO

O

e)(eMPL..O DO ?eU

?AL..TO eM AL..TUAA. 184 CAPfTUL.O 4

fNç~elA

CO~PO.

AO

o

DepOI? De DeIXA~ CHÃO, QUANTO MAl? AI..TO VOCê e?Tlve~, MeNO? eNe~61A CINéTICA Te~Á.

VOCê NÃO TeM eNe~61A CINéTICA

NO PICO DO ?eu ?AI..TO, POI? A ?UA Vel..OCIDADe é ze~o.

N~e MOMeNTO, A ?UA eNe~61A

POTeNCIAl..

~TÁ NO MÁXIMO!

VeJA, é A~IM Que A eNe~61A CINéTICA MUDA PA~A eNe~61A POTeNCIAl...

AP6~ A QUEDA PArnNDO DA ?UA PO?IÇÃO DE PICO, ?UA ENE~6IA POTENCIAL.. é CONVE~DA EM eNe~61A CINéTICA. DU~ANTe A ATe~RI~A6eM, o COL..CHÃO ReAL..IZA TRABAL..HO NE6ATlVO eM ?eu CORPO, NA MEDIDA Que ?UA eNER61A CINéTICA DIMINUI.

A TAAN?fO~MAÇÃO DA çNe~61A 185

A eNe~61A POTeNCIAL.. PODe TOMA~ OUT~A$ FO~MA$, AL..éM DA 6~AVITACIONAL...

EU TeNHO A COI$A ce~A PA~A A OCA$IÃO. VAM05 FAZe~ OUT~A e)(pe~lêNCIA.

AQUI e5TÁ.

...... . "..... '....... ... \.

~e$~IONe

O BOTÃO PA~A AB~I~ A CAIXA.

18 6

CAPíTUl,..O 4

ENE~0 IA

e??A MINHOCA De B~INQUeDO TeM UMA MOL.A DeNT~O.

eNel<:61A POTeNCIAL. pl<:e?eNTe

eNel<:61A POTeNCIAL. $e TOI<:NA t::"Nt:'I<é1IP.6..... CINéTICA

~

eNQUANTO FICA NA CAIXA, A MOL.A e?TÁ CONT~AfDA, A~MAZeNANDO eNe~61A POTeNCIAL..

, ,

.,

,

,

QUANDO A TAMPA é A eNe~61A POTeNCIAL. 7e TO~NA eNe~61A CINéTICA.

~eMOVIDA,

,

-

COMO FitS7UL.TADO, O BFitINQUeDO TeM VeL.OCIDADe! NS7Te CA'3IO, FOI DIFiteTAMeNTe PAFitA o '3Ieu FitO'3lTO...

CON$E~VAÇÃO DA ENE~6IA

MECÂNICA

A TI<:AN$FOI<:MAÇÃO DA eNel<:61A 187

TÃO A~U,TADA COM UMA COB~INHA De B~INQUeDO!

HUNF.

~eM Que~e~ MUDA~ De A~UNTO, MA, 605TA~IA De ,ABe~ ,e PODeM05 FAI,..A~

DA CONve~?ÃO De eNe~61A CINéTICA e

NUNCA MAl, VOI,..Te A UMA B~INCADel~A INFANTIl,.. De?~A, COMI60 NOVAMeNTe!

FAZe~

POTeNCIAl,.. COM MAl? DeTAI,..He? ..

v

e" peN,A~! ~OMeTO

NeM

eu

0I<,6TIMO. e eNTÃO?

N~OeXeMPL..O ANTe~IO~ DO ,AI,..TO eM AL..TU~A eNVOI,..VeU O CO~PO HUMANO,

O

eNTÃO VAM05 OB,e~A~ UM' eXeMPL..O MAl, ,IMPL..e5: UMA BOL..A

Que COMPL..ICA O

A~ReM~ADA

A'~UNTO.

NOA~.

1?O/..TA

188 CAPfTl)L.O 4 eNeli!01A

QUANDO A BOI,..A

ê

A~R~M~ADA ~M I,..INHA ~~TA PARA CIMA, QUANTO MAl? ~I,..A ?OB~, MAl? ~N~R6IA POT~NCIAI,.. ~I,..A

NO PICO, TODA A eNe~61A CINéTICA

MUDOU PA~A eNe~61A POTeNCIAL...

6ANHA.

COMO A BOL..A CAI, ~AeNe~6IA

POTeNCIAL.. é eM eNe~61A CINéTICA. CONve~IDA

~XATAM~NT~ COMO ~U ~ O M~U ?AI,..TO ~M AI,..TU~A.

ONDe Que~ Que BOL..A ~TeJA, A 50MA D~~A5 DUA5 FO~MA5 De eNe~61A é

/ 0070

(PICO)

CON5TANTe. I5~O é ~eFe~IDO

COMO AteI 17A

CON~eRVAçÃO 17A

3

.,.,

eNeRt3IA MeCÂNlCA.*

-

_

eNe~61A

....__IJ_o....c_o-~

POTeNCIAL..

eNe~61A

CINéTICA

01h * Que é

?IMPL..e5MeNTe UMA APL..ICAÇÃO DA I..el DA CON?e~AçÃO DA eNe1i:61A!

/00

/o

PO~éM, PA~A

Que e?~A 1..el $eJA ve~DADe, DeveMO? CON$IDe~A~ A ~e$I$TêNCIA DO A~ e OUT~O? AT~ITO? COMO De$p~eZÍVel$.

TIJNC!

o AT~ITO e A ~e?I$TêNCIA DO A~ PODeM FAZe~ A eNe~61A MUDA~ De FO~MA, TAMBéM.

EXATAMENTO COMO EU

IMA0INAVA!

Ne$~e CA$O, A L.el DA CON$e~vAçÃO DA çNe~61A AINDA A6e, $ó Que eM NÍVe1..

MIC~O?CóPICO!

A ~e?I$TêNCIA DO A~ PODe $e~ CON$IDe~ADA COMO A$ C01..I$Õe? COM M01..éCU1..A$ De A~, Que 1..He? DÃO eNe~61A CINéTICA. e?~A é UMA MUDANÇA NA eNe~6IA.

LA60~ATó~IO A L.el DA CON?e~VAçÃO DA eNe~61A MeCÂNICA eM AÇÃO Vamos provar que a lei da conservação de energia mecânica se aplica no arremesso de uma bola em linha reta para cima. Primeiro. sabemos que a equação da variação da energia cinética e no trabalho é assim:

Isto é: Variação na KE

=

trabalho

Sim. confirmamos isso antes.

Nesse caso. o trabalho Fd representa o trabalho realizado pela gravidade. Vamos assumir que a bola começa na altura h1 com velocidade v1 . Depois de percorrer a distância d. está na altura h2• e sua velocidade diminuiu para v2 . A distância d pode ser considerada como a mudança na altura ou h 2 - h1 .

i

Velocidade v2 no ponto h2

T

Força da gravidade F = -mg

,_', t Velocidade v no ponto h I 1

:

,

'

1

I

Sim. então qual o grande problema? Você está tentando mostrar que a força da gravidade está realizando trabalho negativo sobre a bola?

Exatamente. É a força da gravidade que age contra a direção da velocidade. Então é expressa assim: F= - mg

o que significa que o trabalho realizado pela bola (força x distância) é igual a:

Substituindo os valores da primeira equação O. temos o seguinte:

Agora. vamos reescrever isso. primeiro expandindo o termo do lado esquerdo:

Em seguida com algumas trocas teremos algo que deve parecer familiar:

Sim. é isso. Mostra que a soma da energia cinética e a energia potencial tanto em h1 como hz deve ser a mesma.

Sim. é exatamente isso.

Então o lado esquerdo dessa equação é a energia mecânica total no ponto h z. e o lado direito é a energia mecânica total no ponto h1 .

Sim. nós obtivemos a equação que indica que a soma da energia mecânica deve ser igual em quaisquer dois pontos do caminho de uma bola quando arremessada diretamente no ar.

Sim. entendi.

Agora, vamos usar essa equação para calcular uma coisa um pouco diferente: a velocidade (v1 ) que você precisa para arremessar a bola, para alcançar uma determinada altura máxima {hJ Como a velocidade da bola chega a zero no pico, sabemos que ela não tem energia cinética nessa hora. E para simplicidade de entendimento, vamos definir h1 igual a 0, isto é, vamos medir h2 da bola no ponto de arremesso. Isto é, h 2 será igual a d, a distância que a bola percorre. Isso significa que a energia cinética da bola no ponto de arremesso deve ser igual à energia potencial que tem nessa altura. Portanto, o seguinte é verdade:

Espere, acho que percebi uma coisa interessante aqui: a massa aparece em ambos os lados dessa equação. Isso significa que a massa não afeta a relação!

Você está certa! Vamos resolver para a velocidade inicial v1 :

gd

=

1V/

2gd = V1 2

Se apenas usarmos números reais nessa equação, podemos descobrir a velocidade inicial necessária para alcançar uma determinada altura!

COMO

De?C06~1~

CIDADe

A veL..O-

e A AL..TU~A De UMA

60L..A A~~eMes7ADA

COMO FIZSMO? ANTS?

A60rz.A VAMO? APt..ICArz. A SQUAÇÃO QUS ACABAMO? DS OBTSrz.

Vi

= J2gd

é ?ABSMO? QUS g::: q,B M/?2 S d=4M.

PArz.A DS?COBrz.Irz. COM QUAl.. VSt..OCIDADS A BOt..A DSVS ?srz. Arz.IC:SM~ADA PArz.A At..CANÇAIC: A AI..TUrz.A DS4M.

DélXA VSrz. ... Vi = Vi

J29d

= ~2x9 .8 ;:2 x4m v1 = 8.9 m/si

~IM,

é?TÁ CSRTO?

PSrz.FSITO!

COMO U?OD~A SXPIC:S?~ÃO,TAt..VSZ P~AMO?

CAt..CUt..Arz. A QUAl.. AI..TUrz.A UMA BOt..A ?UBIrz.IA COM A VSt..OCIDADS INICIAI.. Dé 100

éNTÃO St..A VAI CHS6Arz. À AI..TUrz.A Dé Cérz.CA DS 3q M

I<M!H ...

51M, VAMO? VS~ ... 5ABSMO? QUS d= 2g

V/ /

COMO VOCê

é rz.ÁPIDO!

(

~6 MS?MO

UM CAMPSÃO Ot..fMPICO Dé Ff?ICA...

LA60~ATó~IO A CON?e~VAçÃO DA fNe~61A MeCÂNICA eM UM lADel~A A lei da conservação da energ ia mecânica é verdadeira, mesmo quando você não está atirando bolas no ar, certo? Ela não funciona também para muitas de outras situações, como um objeto em uma ladeira?

Bem, vamos examinar o caso em que você escorrega uma caixa a partir da altura h para a altura O. No caminho para baixo, nós vamos assumir que a caixa atinge velocidade vA na altura hA, a velocidade Vs na altura hs' e assim por diante.

Como v = O no ponto mais alto, a energia potencial inicial da caixa é igual a toda a sua energia mecânica. Mas nós também sabemos que a energia potencial no ponto h é mgh, então podemos expressar isso como: PEh

=

mgh

Agora, como você pode expressar a energia cinética (KEo) da caixa no ponto O?

Nós já sabemos que a energia cinética é igual a isto:

KEo = } mv

2

Exatamente' E sabemos que a energia cinética em h

= O deve igual à

energia potencial no ponto h:

Mas além disso, devido

à conservação

da energia, sabemos que a soma

da energia mecânica ser igual em todos os pontos intermediários nessa ladeira. Isto é:

E isso também implica que a energia potencial é equivalente em dois pontos de mesma altura, como o ponto B na figura. Nesses dois pontos, a energia cinética da caixa é equivalente, mesmo que a orientação de sua velocidade seja diferente.

v=O Numa mesma altura. a energia cinética é equivalente. m esmo que a orientação da velocidade seja diferente.

h

v

h=O

A energia cinética não está associada com a orientação da velocida de!

Sim. senhor. quero dizer. senhorita. A energia cinética só tem magnitude. Da mesma form a. a energia potencial só depende da altura.

Se nós esticássemos essa ladeira. seria possível que a caixa voltasse para cima para sua altura original novamente?

Sim . isso seria possível. se o atrito e a resistência do ar forem desprezíveis.

É claro

h

que seria impossível atingir uma altura maior que a original h.

h

A CONSt:õ~AÇÃO DA ~Nt:õ~IA Mt:õCÃNICA t:õM UM l.ADt:õIAA lq;7

o $eu úl..T1MO DIA6~AMA Me Fez $eNTI~ COMO $e eu e?TIVe?~e eM UMA MONTANHA-~U~A.

f7TOU Fçl,..lZ QUç VOCê TçNHA 00?TADO

ACHO Que Nó? JÁ VIMO? A$ NOÇÕe? BÁ$ICA$ DA$ L.el$ DA MeCÂNICA.

DI~O.

óT1MO! e $e AI..6UM DIA VOCê $e APAIXONA~ PSI..A Fr$ICA1 Me?MO $ó UM POUQUINHO... --~::';l eu TAMBéM FICO FeI..IZ.

c::

reNHO Que FAZe~ UMA AP~Ç?eNTAçÃO

De fr?ICA NÇ??e DIA.

OH ...

Que peNA! eu QUe~IA Que VOCê Me vl??e VeNCe~!

Ç?Pç~O

Que AINDA NO?

eNCONT~eMO?,

À? vezÇ?!

UNIDAD~ De MeDiçÃO De eNe~61A As unidades de energia podem ser encontradas quando se aplica a definição de energia mecânica. que é a seguinte: energia cinética

=

1 x massa x (velocidadd

Da expressão acima. nós descobrimos o seguinte: un ode energia 1 joule NOTA: Como

=

kg

x

=

uno de massa

x

uno de velocidade

x

un ode velocidade

m2 / s2

t não afeta as unidades. você pode omitir isso ao determinar as unidades.

Como a energia é uma quantidade física muito comum. uma unidade especial. o jou/e (J). é atribuída a ela. Por outro lado. considerando o fato de que a variação na energia cinética é igual ao trabalho realizado (como aprendemos na página 176). o seguinte é verdade: unidades de energia

=

unidades de trabalho

Portanto, a expressão a seguir também é verdade: unidades de trabalho = unidades de força x unidades de distância = (N) x (m) = (N x m)

À primeira vista. essa unidade. (N x m). parece diferente de um joule (kg x m2/s2). Porém. lembre-se que um newton (N) é simplesmente igual a 1 kg x m/s 2. Então pela multiplicação de força e distância. nós realmente temos a mesma unidade. Para se ter uma ideia de quanta energia é representada por 1J. é útil ter em mente que 1J é igual a 1 (N x m). Em outras palavras. pode-se dizer que "1J representa a energia gerada pelo trabalho que move um objeto por 1 m pela aplicação contínua de uma força de 1N". Além disso. considerando que a força da gravidade sobre um objeto com massa de 1 kg é 9.8N. a massa de um objeto sob exatamente 1N de gravidade é 1 / 9.8 kg = 0.102 kg = 102 g. É isso o que eu quero dizer quando digo que: "um joule é equivalente à energia necessária para levantar um objeto de 102 g. 1 metro diretamente para cima" (na página 161). Além do joule. outra unidade comum de medição de energia é a caloria (cal). que é usada em aparelhos térmicos como aquecedores e na comida. Uma caloria (1 cal) representa a energia térmica necessária para aumentar a temperatura de um grama de água de 1°C sob uma atmosfera de pressão (1 atm). Em relação à um joule. essa unidade é definida como a seguir: 1 cal = 4.2J. Ao falarmos sobre comida. uma qui/oca/oria (kcal) é usada. Uma quilocaloria é definida como 1.000 calorias. Embora a palavra caloria seja usada informalmente quando se fala de comida e dieta. a unidade científica que de fato está sendo referida é a quilocaloria. Por exemplo. a energia contida em 50g de sorvete é de cerca de 100 kcal. Se converter isso em joules. você obterá o seguinte: 100 kcal = 100.000 cal = 4.2

200 CAPITUI-O 4

eNe~elA

x

100.000J = 420.000J

Parece um valor bastante alto , mas realmente não é, se você compará-Ia com a quan tidade de energia precisamos para sobreviver. De acordo com dados do Ministério da Saúde, Trabalho e Bem Estar do Japão, a necessidade diária de energia é de cerca de 2.200 kcal para uma mulher de 17 anos de idade e de cerca de 2.700 kcal para um homem de 17 anos de idade. As quilocalorias são convertidas em joules assim: 2.200 kcal x 1.000 cal/kcal

x

4,2J/cal

= 9.240.000J

Vamos ver o quanto isso é. Como a energia necessária para levantar uma carga com massa de 1 kg a um metro é 9,8J, esse valor é quase a quantidade de energia necessária para levantar a massa de um milhão de quilogramas apenas um metro! Isso indica que nós precisamos de uma imensa quantidade de energia todo dia para mantermos a vida

fN6~61A

POT6NCIAL. A energia cinética reside em um objeto em movimento. Em contraste, a energia potencial não fica armazenada dentro do objeto. Normalmente é a energia que vem da posição do objeto. Formas típicas da energia potencial incluem a energia potencial gravitacional e a energia potencial de um campo eletrostático, que fornece a força de atração e repulsão da eletricidade. Você pode também considerar a energia elástica das molas e da borracha como uma forma de energia potencial. Porém, diferentes fatores estão envolvidos na armazenagem dessa energia potencial em diferentes materiais. A resistência das molas vem da contração da mola em seu estado original: a mola quer recuperar sua posição inicial estável depois que os intervalos entre os átomos (dependente da energia potencial do campo eletrostático que age entre os átomos) são ligeiramente deslocados. Uma mola espiral. usada no mundo real. é projetada para transformar pequenas distorções em uma haste de metal reta em espiral.

f----- --------- ---------------- ----- ---------------I

_ -_-_-_-_ -_-_-_-_------- - - - - - -_ t

é~ i~~~_Contraído

Estado natural

-~ Distorcido

Força

Estado com espaços maiores entre os átomos (instável. com alto nível de energia potencial) Estado natural dos espaços entre os átomos (estável. com baixo de nível energia potencial) Estado com espaços menores entre os átomos (instável. com alto nível de energia potencial)

Por outro lado, a elasticidade da borracha se origina da atividade das moléculas dos polímeros para recuperar o estado inicial com maior "desordem", quando elas estão enroladas muito próximas, depois de um estado de "desordem" mais baixo, no qual as moléculas são expandidas e alinhadas.

ENE~eIA

PO'rENCIAL. 201

Moléculas de polímeros de borracha

~ E,~do Expansão

com m,'oc

d~,d.m

1t

Liberação

Estado com menor desordem

A$

MO~A$

ç A CON$ç~VAÇÃO DA fNç~61A

Vamos pensar na resistência da mola como um exemplo da conservação da energia.

Mola em repouso Comprimento 11

x

Mola comprimida Comprimento 12

x (deslocamento) = 11

-

12

Quando você comprime uma mola com uma constante k (você pode pensar em k como a medida do "molejo" em N/m) por x (diferença do seu comprimento natural). a energia potencial armazenada na mola pode ser expressa como a seguir:

PE = , k/ Essa energia armazenada é chamada de energia potencial elástica. Se colocarmos uma massa m perto dessa mola e o lado contrário for fixo. que força ela vai receber? E qual será sua velocidade?

* Note que as molas também funcionam do mesmo jeito se você esticá-las. Essas equações vão continuar verdadeiras em casos de estiramento e compressão. ZOZ CAPfTl)L..O 4

eNe~61A

A mola quer retornar ao estado natural e vai exercer uma força sobre a massa m. Bem, sabemos que devido à conservação da energ ia, a energia cinética da massa deve ser igual à energia potencial da mola. Isso significa que o seguinte deve ser verdade:

PEmola

= KEmassa

Como resultado para v, nós temos:

Além disso, quando a mola expande, sabemos que o objeto está sujeito a força:

AVI$O: CÁl-CUl..O À F~SNTS!

F = ~(lkx2 ) = -kx dx 2

Pela lógica, o cálculo do trabalho realizado quando a mola com força de resistência F = -kx expande pela quantidade x relativa ao seu comprimento natural nos dá o seguinte:

Isso equivale à energia potencial. e é apenas possível dada a conservação da energia.

VeL.OCIDADe

PA~A A~~eM~A~ PA~A

CIMA e

AL.TU~A

ATIN61DA

Na página 194, em resposta à pergunta de Megumi sobre qual altura a bola subiria se fosse arremessada com a velocidade inicial de 100 km/h , eu respondi que seria 39 m. Vamos descobrir a razão. Considerando que sabemos que a equação a seguir se mantém, você pode ter o resultado para h, a altura atingida pelo objeto arremessado:

v/ = 2gh v1 2

h=2g

A$ MOt...A$

e A CON$e~AçÃO DA eNe~6 1A

203

Agora, usando alguns números de verdade sabemos que 100 km/h é igual ao seguinte: km 100 h

x

m 1.000 km

1h x --

3.600 s

m

= 27.78 -

s

Agora vamos colocar esse valor em nossa equação e ver o que encontramos: Vi

2

h=-

2g 27.782 h=

h

A O~leNTAçÃO DA

=

2

x

9,8 m/s2

39,36 m

FO~ÇA

e DO T~ABAL.HO

Como você sabe, representamos o trabalho em termos da força e da distância (ou do deslocamento) que uma força é aplicada a um objeto. Vamos considerar um objeto sendo movido por um deslocamento d, submetido à uma força F conforme mostrado abaixo .

• r-----------~----------~

Deslocamento

Quando as orientações de uma força e um deslocamento não são equivalentes, precisa mos levar isso em conta. No exemplo acima, o trabalho (VV) é representado como a seguir:

Nós dividimos as forças e os deslocamentos em seus componentes horizontais (x) e verticais (y). Porém, nesse caso, sabemos que o deslocamento vertical da caixa é O, pois a

204 CAF'fTUl-O 4

eNe~IA

caixa está se movendo no nível do chão. Portanto, podemos desprezar esse termo em nosso cálculo do trabalho total realizado na caixa:

W = Fcosseno

ex d

x

Também vale notar que nós apenas realizamos um produto escalar. Então .. .0 que é isso? Bem, trabalho e energia são escalares, não têm orientação. Mas força e deslocamento são ambos vetores, pois têm orientação. A multiplicação de dois vetores desse jeito é chamada de produto escalar. Em um caso onde a força está na direção contrária do deslocamento, o trabalho é considerado negativo. Esse tipo de trabalho resulta em desaceleração. Além disso, quando a orientação da força é perpendicular ao deslocamento, considerando que cosseno 90 = O, nenhum trabalho é realizado. Um típico caso no qual a orientação da força é perpendicular ao desse deslocamento é o movimento circular uniforme. Enquanto a força age em direção ao centro do círculo (força centrípeta). a energia cinética não muda porque o valor do trabalho é zero. Por causa disso, um objeto pode se mover em direção circular com velocidade uniforme. A orientação da velocidade corresponde a do deslocamento.

Orientação da força

COMO D~COB~I~ UMA QUANTIDADe DS T~ABAL.HO COM FO~ÇA NÃO UNIFO~MS (UNIDIMSN~IONAL.) AVI?O:

CÁ~UL.O À

FI<:SNTÇ!

No caso de uma força uniforme, podemos expressar o trabalho como o produto do deslocamento pela força na direção do deslocamento. Mas muitas vezes, forças não são constantes. Para lidar com forças não uniformes, podemos dividir a força em pequenos segmentos. Se cada segmento for bem pequeno, podemos dizer que a força é constante durante cada um deles. Podemos observar qualquer um desses segmentos, que vamos marcar com um símbolo i, e o trabalho ainda pode ser expresso como o produto que vimos antes:

A OI<: I ~ NTA';:ÃO DA fO I<:';:A ~ DO Tl':ABAL..HO :205

É claro, isso é verdade para cada segmento i, então podemos adicionar todos eles para descobrir o trabalho realizado através do deslocamento inteiro, de Xl para X: 2 (t mv/ - t mv12 )+(t mv/ - t mv/ )+(t mv/ - t mv3 )+ ... = F/lX + F2 tv< + F3 tv< + ...

Olhando com atenção para o lado esquerdo, você pode ver que a maioria dos termos se anula! Restam apenas dois termos:

Então podemos reescrever essa equação como: 12 mvn 2 -

=~ L.J Ftv< ,

1 mv 2 2

1

;",1

Nós somamos os pequenos segmentos do trabalho realizado a cada instante para obter a variação total de energia, o trabalho W. Você verá que isso é muito semelhante com a definição de uma integral. Acontece que se tivermos seções infinitamente pequenas fazendo n ao infinito, então podemos trocar a somatória pela integral conforme as regras do cálculo:

w=Ix,XF(x)dx NOTA: F aqui não denota uma função. Lembre-se que F significa forçai

É mais fácil ver isso graficamente, pois tudo o que estamos fazendo é adicionar a área sob a curva de F vs. x. Uma integral é exatamente isso, no limite de fazer a largura do segmento se tornar zero. F

F ;:::1 ,..",,~

/

w=fx, F(x)dx X

i

~"

X

.. X

Em conclusão, a afirmação "a variação da energia cinética entre dois pontos é equivalente ao trabalho realizado no objeto dentro desse segmento", significa o seguinte:

w=fx, F(x)dx X

Quando assumimos isso, a afirmação pode ser expressa como:

Note que v na equação acima é igual velocidade final do objeto, vn.

A FO~ÇA NÃO CON~eRVATIVA e A lei DA CON?e~VAçÃO DA eNe~61A Nem todas as forças podem ser expressas como tendo um potencial. Forças como essas são consideradas não conservativas. O atrito é uma típica força não conservotiva. Quando uma força não conservativa realiza trabalho, a energia do sistema declina. Por exemplo, se você empurra um livro sobre uma mesa, ele desliza até parar. Isso não significa que a energia não é conservada, apenas que foi convertida de modo que não se pode obtê- Ia facilmente de volta. Por exemplo, o livro dá energia cinética para as moléculas da mesa na forma de calor. AT~ITO:

UMA fO~ÇA NÃO CON~S~VATIVA

Agora vamos examinar a força do atrito, um exemplo de uma força não conservativa. Primeiro, vamos considerar que a massa m está em movimento com a velocidade v1 .

-~

-~

Se o objeto não tivesse forças agindo sobre nele, continuaria a viajar com velocidade v1 para sempre. É apenas a primeira lei de Newton em ação. Mas a vida não é tão simples. Considerando que o movimento desse objeto é impedido pela força do atrito entre o fundo

AI
do objeto e a superfície onde ele se desloca. A magnitude dessa força depende de dois fatores: a força normal e o coeficiente de atrito. Mas o que são essas coisas, você pergunta? Bem, a força normal é simplesmente a força perpendicular à superfície onde o corpo se desloca. Quanto maior a massa de um objeto, maior a força normal, e maior a força do próprio atrito. No exemplo acima, a força

AT~ITO: UMA FO~ÇA NÃO CONSe~AnVA

207

normal é simplesmente o peso da massa, (F = ma, então nesse caso, F normal = m x g). Veremos um exemplo mais complicado de forças normais em seguida para ver como a força normal difere do peso de um objeto.

m

x

9

o coeficiente de atrito é simplesmente uma medida de quão "aderentes" duas superfí cies são. A borracha sobre o concreto, por exemplo, tem um coeficiente de atrito muito alto. Mas o coeficiente de atrito entre o gelo e os patins de gelo é muito baixo. Vamos usar a seguinte fórmula para determinar a força de atrito que age sobre um objeto:

força de atrito

= coeficiente de atrito x força normal

Como F = ma, sabemos que a força normal é simplesmente a massa vezes a acelera ção devido à gravidade. Isto é, Fn = m x g:

A variável !1 que usamos para representar o coeficiente de atrito é a letra grega !1 (que se pronuncia "mu"). Os cientistas podem determinar o coeficiente de atrito de dois objetos através da experimentação e da observação direta. O coeficiente de atrito varia de muito próximo de zero a maior que um . Mas espere, como determinamos a direção da força de atrito? E o que acontece quando objeto finalmente fica em repouso? Bem, vamos usar o bom senso: o atrito fun ciona no movimento oposto. Está sempre na direção contrária da velocidade ou da força aplicada (inclusive nos casos em que o objeto está em repouso). E a equação acima não é válida nesse caso. Ela é apenas a máxima força possível exercida pelo atrito sobre o objeto. Quando o mesmo está em repouso, sem forças externas aplicadas, não existirá força de atrito. O atrito não vai mover o objeto para trás, é claro

o AT~ITO éM UMA

L.ADél~A

Agora vamos considerar um cenário mais complicado. A pequena massa m é está em uma rampa com ângulo e. A massa m está ligada a uma massa maior M por uma corda, que exerce uma força sobre a massa menor, na direção paralela à da rampa.

208

CAPrTUL.O 4 eNe~0 1A

Se não existem outras forças a considerar. as únicas forças na massa m são a força da gravidade. m x g. e a força da tensão da corda. M x g. Para determinar a aceleração da massa m. vamos decompor a força da gravidade em uma força que se opõe à direção do movimento (isto é. uma paralela à direção da rampa e a tensão da corda ligada às massa M). e uma força perpendicular à própria rampa.

.,.,e mg

F graVidade

cosseno

= mg

e

Sabemos que o triângulo reto formado pela decomposição dessa força é semelhante ao triângulo formado pela rampa (isto é. tem o mesmo ângulo. e). Isso significa que a fo rça oposta à tensão da corda é igual a mg seno e. A força que é perpendicular à rampa e o movimento da massa m é igual a mg cosseno e. Se não existe atrito no trabalho. podemos ignorar essa força . que é compensada por uma força perpendicular a ela. apli cada pela própria rampa. É simplesmente a terceira lei de Newton em ação.

o AT~ITO çM UMA LADçl~A

ZQq

Agora que sabemos tudo isso, você pode determinar como esse sistema funciona se levarmos em conta o atrito entre a massa m e a rampa? Primeiro, vamos pensar na força normal. Antes, eu disse que ela é a força perpendicular à superfície. Isso significa que a força do objeto perpendicular à rampa, mg cosseno a, é igual à nossa força normal. A força de atrito para esse objeto é como a seguir: Fatrito

=)1 mg cosseno a

Levando em conta todas forças no objeto paralelas à rampa sada pela força normal), nós temos a seguinte relação: F liquida

= Mg -

força líquida

mg

seno

(mg

cosseno

aé compen-

a-)1 mg cosseno a

= tensão da corda - componente da força da gravidade - força do atrito

Sabendo de tudo isso, podemos determinar quão rapidamente o objeto m vai acelerar para cima na rampa!

A COL.I~ÃO De MoeDA~ AVISO: CÁl,CUI..O À F~eNTe!

e A CON~e~VAçÃO DA eNe~61A

No Capítulo 3, examinamos a colisão de moedas, a conservação do momento linear, e como ela deve ser verdade em duas dimensões (página 144). Neste exemplo, sabemos que o momento inicial da moeda de 100 ienes na direção x deve ser equivalente ao momento final das moedas na direção x. Nas equações a seguir, a moeda de 100 ienes tem massa m e a moeda de 500 ienes tem massa M:

o

mV1

= mV2 cosseno a+ MV2 cosseno 'fi

E como a moeda de 100 ienes não tem deslocamento inicial na direção y, sabemos que os momentos das moedas na direção y devem se compensar mutuamente:

e o = mV2 seno a - MV2 seno 'fi

Moeda de 100 .....

Vi

...........

------<\ ......~----....~-~~.._..... r"-...,.....-----.... !04.

X

m

Moeda de 500 ienes

Assumindo que esta é uma colisão totalmente elástica (isto é. a energia cinética é conservada). nós também sabemos o seguinte: energia cinética inicial

= energia cinética final

Nessas três equações (O. 8 . e e) nós temos quatro incógnitas-v2 • V2• e. e 1fJ. Não é possível encontrar uma solução. pois temos mais variáveis para determinar do que equações. Porém. podemos explorar as relações entre essas variáveis. Então vamos examinar a moeda de 100 ienes e a relação entre a razão de sua velocidade inicial e final (v 2 / v1 ) no subsequente ângulo de dispersão (e). Para simplificar: vamos assumir que m < M (a colisão das moedas de 100 ienes e de 500 ienes satisfaz essa condição). Primeiro. vamos resolver nossas equações para nos livrarmos da variávellfJ. Vamos resolver para seno lfJ e cosseno 1fJ. por simplicidade de entendimento. Primeiro. vamos considerar a equação O. onde parece que podemos facilmente resolver para cosseno 1fJ: MV2 cosqJ =

mVi - mV2 cose

cos qJ =

mVi - mV 2 cose --"-____ ~--

MV2

Agora vamos resolver para seno lfJ na equação 8 : MV2 senoqJ = mv2seno e

mv2 senoe senoqJ = --:=-:,-MV2

Com essas duas relações a mão. podemos substituir essas equações (O e e) em uma relação trigonométrica básica. que é válida para qualquer ângulo:

Fique avisado que a álgebra necessária nesta seção é difícil! Depois de resolver para 2

V2 . você deve obter o seguinte:

A COL.I?ÃO De MoeDA? e A CON?e~AÇÃO DA eNe~IA 211

Sabemos que a energia foi conservada, então sabemos que a equação C) deve ser válida. Então vamos substituir a equação a na equação C). Em seguida teremos apenas três variáveis a considerar: v1 , v2, e f), exatamente como queríamos. Tente resolver para v2. (dica: talvez você precise usar uma fórmula quadrática). Depois de todo o seu trabalho, você vai descobrir a seguinte relação:

Além disso, atribua f) = O a essa expressão, e você vai descobrir v1 = v2 . Isso é relevante no caso em que o objeto 1 passa pelo objeto 2 sem colidir. Por outro lado, assumindo um caso onde os objetos batem e voltam em direções opostas e f) = 180 o , você obtém o seg uinte:

1- M V =__ fll

V 2

1+~

1

Essa equação indica que como a massa M se torna muito maior que a massa m, a seguinte relação é válida: v2 = v1 . (isso porque o termo (m / M) se aproxima de zero). Isto significa que um objeto de pequena massa ao sofrer uma colisão frontal com um objeto enorme volta na mesma velocidade que estava antes de bater no objeto maior. Por outro lado, como M = m, v2 = O. Você pode comprovar essa relação provocando uma colisão frontal de duas moedas de 100 ienes ao substituir a moeda de 500 ienes por outra moeda de 100 ienes, tomando cuidado para não permitir uma colisão oblíqua é claro. Depois da colisão, a moeda de 100 ienes para e a outra moeda de 100 ienes anteriormente em estado estacionário inicia esse percurso na mesma velocidade. Nesse caso, podemos facilmente descobrir que V2 = V1 a partir da equação a . As duas moedas essencialmente trocam velocidades. Agora vamos marcar em um gráfico a relação entre o âng ulo disperso (f)) e a razão da velocidade v2 / v1 para a moeda de 100 ienes antes e depois da colisão. Como a massa da moeda de 100 ienes é 4,8 g, enquanto que a da moeda de 500 ienes é 7,0 g, temos m/ M = 4,8/7,0 = 0,69. Vamos usar esse resultado na equação 0 , depois resolver para v2 / v1 ' e plotar os resultados. Aqui está a equação resultante que vamos plotar: . IID

ZlZ

CAPfTUL.O 4

fNfl<:61A

v2 v1

0.69(os8 + ../1- 0.69 2 sen0 2 8 1 +0.69

Razão da velocidade: v2 / v1

1

0,8 0,6 0,4

45°

90°

135°

180°

Ângulo de dispersão

e

Este gráfico deve fazer sentido intuitivo para você depois de algumas considerações. Se o ângulo de dispersão for maior (isto é, se a colisão das moedas for de raspão), a velocidade secundária da moeda (v2 ) será menor. Assim a relação de v2 / v1 também será menor. Note que se você usar objetos de massas diferentes, essa relação (e o gráfico que a representa) vai mudar.

~eAL.MeNTe ~ONTA PA~A A ~eVANCHe!

EU e7TOU

A COL.ISÃO De MoeDAS e A CONse~AçÃO DA eNe~0 1A 213

NÃO IMPO~AQUÃO POO&~O$A $&JA A CO~TAOA O&lA ..

V&I..OCIOAO& O&POI$ DO $AQU& fO~ÇA

~

.. MOM&NTC O&POI$ De $AQU&

V&I..OCIOAO& ANT&$ DO $AQU&

DçTç~MINA A Vçl..OCIDADç DO MçU ~çTO~NO.

&pf1..000 Z1'5

TOMS!

"

•

RYOTA SN?INOU BSM VOCê!

O~A, I?TO FOI MUITO ATSNCIO?O DA ?UA PA~S.

MA? NÃO FOI RYOTA ...

VOCê 5ASe TUDO O QUe ~eCI5A 5ASel<:. TUDO O Que VOCê pI<:eCI5A PAI<:A VeNCeI<: é 5e CONCeNTI<:AI<:!

216 ePfL.000

ruM

:::: li 'Ih

I'

-'lI',

J

I

ME-MEGU

'.

RYOTA?!?!!

peDI AO~ ORGANIZADORé~

PARA ADIAReM MINHA APRe5eNTAçÃO.

VAL.eU! é óTIMO,

I5~O

TUDO BeM!

fi, FINAI,..MfNTe VOCê Me CHAMOU De Me6U!

e

L.A Ç?TÁ MUITO

MeL.HO~!

Ace/Á~!

VANTAeeM PARA MeeUM/!

ZZZ

éPfL.000

ACE!

GAME,

~T,

ACABOU! veNCIDA PO~ MeeUMI!

CON5eeUI! EU veNCI, RYOTA!

"

. ,

.

EPfL..000 ZZ3

Z24 éPrl,.000

COMO fNTeNDe~ A'=' UNIDADe? Quando se trata de mecânica clássica. existem apenas três unidades básicas. Com o uso dessas três medições simples. você pode obter unidades de medida mais complicadas. como o newton e o joule. As três unidades básicas são as seguintes: metros. m (que mede a distância)

I

'

I

quilograma. kg (que mede a massa)

segundos. s (que mede o tempo)

VeL.OCIDADe e ACeL.e~AçÃO Vamos explorar como podemos combinar essas três unidades para derivar outras. Primeiro. vamos explorar velocidade e aceleração: velocidade =

variação da distância (m) tempo (s)

= m/s

variação da velocidade (m/s) aceleração

=

= m/s2

tempo (s) Considerando essas relações. você pode ver que a velocidade é definida como a variação da distância. e a aceleração é simplesmente a variação dessa variação! Os estudantes de cálculo sabem que isso significa que a velocidade é a primeira derivada da distância. e a aceleração é a segunda derivada da distância (ambas com respeito ao tempo). fO~ÇA

Considerando a segunda lei de Newton. sabemos que força é igual a massa vezes acelera ção (F = ma): força

=

massa (kg)

x

aceleração (m/s2) = kg

x

m/s2 = N

Para evitar dor de cabeça. nós chamamos um kg x m/s2 de um newton (N). Lembre-se dessa relação. pois será importante para obter outras unidades! 1 kg

x

m/s 2

= lN

MOMeNTO L.INeAR e IMPUL.$O Momento linear é uma importante quantidade física para medir. especialmente quando se

consideram colisões. aterrissagens. e impacto. É definida como: momento linear = massa (kg)

x

velocidade (m/s) = kg

x

m/s

Impulso. como você já leu no Capítulo 3. é apenas a variação do momento linear. e pode ser calculada como assim:

impulso

=

força (N)

x

tempo (s)

=

kg

x

m/s

Porque esse cálculo funciona? Lembre-se que 1N do momento. kg x m/s. não tem um nome mais curto.

=

1 kg

x

m/s2. Note que a unidade

eNeJ<61A e TJ
energia cinética

= ~ x massa (kg) x velocidade 2 (m/s) = kg x m2/s2 = J

Como fizemos com a força. vamos usar um nome mais simples para a unidade de energia: um joule (J). que é chamada assim em homenagem ao físico inglês James Prescott Joule. A energia potencial gravitacional pode ser calculada assim: energia potencial

= peso (N) x altura (m) = kg x m2/s2 = J

E naturalmente. as nossas unidades são equivalentes às da energia cinética. Trabalho é a medida da energia transferida por uma força sobre uma distância. Observe as similaridades dessa equação com a anterior: trabalho

= força (N) x distância (m) = kg x m2/s2 = J

O resultado de todos esses cálculos é o joule. a nossa unidade de energia. exatamente como deve ser I

ZZ6 COMO eNTeNDel't AS UNIDADe?

P~SFIXO$ ~I

Você pode adicionar um prefixo na unidade para aumentar ou diminuir sua magnitude. Esses prefixos para diferentes potên cias de 10 são chamados de Prefixos SI, e se originam das regras para unidades determinadas internacionalmente chamadas de 5istema Internacional de Unidades (Unidades 51). Por exemplo, 1 quilômetro (km) é igual a 1 .000 metros, 7 megajoules (MJ) são iguais a 7.000.000 de joules, e 3 nanogramas (ng) são iguais a 0,000 000 003 gramas. NOTA: Os símbolos dos prefixos acima de quilo são em letras maiúsculas.

Nome

Potência de dez

y

Símbolo

yocto-

10- 24

z

zepto-

10- 21

a

atto-

10-18

femto-

10-15

p

pico-

10-12

n

nano-

10-9

~

micro-

10-6

m

milli-

1/1000

c

centi-

1/100

d

deci-

1/10

da

deca-

10

h

hecto-

100

k

quilo -

1000

M

mega -

10 6

G

giga-

10

9

T

tera-

10

12

P

peta-

10

15

E

exa-

1018

Z

zeta-

10 21

y

yotta-

10

24

~eFI)(O?

SI ZZl

ÍNDice A ação e reação. lei da. 4. 15-20. 33-36.40.42.43.74.83. 92. 93. 142. 143. 209 equilíbrio e. 23-30 lei da conservação do momento e. 120-125. 146 aceleração (a) definição. 37. 46. 50-52. 66-69. 112. 225 gravitacional. 80. 82. 94-96. 172 ~i da 40-41. 58. 66-72. 90-93. 100. 111-116. 139-140. 146.179 movimento acelerado unifurme. 51. 85-86. 90.101 orientação da. 78-84. 90-92 para baixo. 25-26. 41. 79-82. 88. 90-91. 95-97. 172-173 três regras. 85-86 unidades de medição. 50. 92 usando cálculo. 99-100 velocidade e. 50-52. 90. 225 altura determinação. 165. 169. 171-174. 189.191-197. 203-204 átomos. 143. 201 atrito. 207-210 coeficiente de. 207 -208 energia e. 207-210 resistência do ar e. 64. 190. 197 B baixo aceleração para. 25-26. 41. 79-82.88.90-91.95-97. 172-173 borracha. 166-167. 170. 201202. 208

C cálculo. 55. 99-100. 101. 146. 148. 203. 205-207 integral. 101. 146. 148 caloria (cal). 161. 200-201 campo eletrostático. 201 centro de gravidade. 42. 126 cinética. 155-157. 178-180. 184-185. 187. 189-193. 196-197. 200. 203. 205. 207. 211. 226 coeficiente de atrito (~.!l. 207 -208 colisão de moedas. 121-123.210-213 elástica. 143. 210-213 elástica e inelástica. 143-144 comutativa. lei. 38 conservação de energia. lei da. 155-156. 163. 171-174. 189. 190. 196. 202-203. 207. 210-212 de energia mecânica. lei da. 184.187-193. 195-197 do momento linear. lei da. 120-128. 141-149155. 162. 210 conversão de unidades. 92. 118119.161. 194.200-201. 225-226 corpo-livre. diagrama de. 41-42 cosseno. 89

D desaceleração. 51. 67. 205 direção de uma força. 18. 21-22. 29. 37-39.40.42-43. 47. 49. 62. 67. 75. 78-79. 82 horizontal (xl. 61. 79. 87-89. 91-92.96-98. 144-145. 204. 210

vertical (y). 61-62. 79. 87-91. 96-98.144-145. 204. 210 desordem. 201-202 deslocamento. 47. 52. 85. 99. 100.101.167. 201.202. 204-206 distância com velocidade variável. 53-57 definição. 47 energia e. 167. 168. 171. 175.178. 191.200 gráfico v-t, 54. 56-57. 100-101

e Einstein. Albert, 93. 95 elástica. colisão. 143 energia armazenada. 166. 187. 202 atrito e. 207 -210 cinética. 155-157. 178-180. 184-185. 187.189-193. 196-197. 200. 203. 205. 207. 211. 226 conservação da. lei da. 155-157. 163.171-174. 189. 190. 196. 202-203. 207. 210-212 definição. 153-161.200-201. 226 elétrica. 156-157. 161. 201 luminosa. 156 mecânica. 158. 164. 184185. 187-193.195-197. 200 mecânica. lei da conservação da. 184. 187-193. 195-197 momento linear e. 159-163 nuclear. 155 potencial. 155. 158. 164-171. 174-175.184-189.192197. 201-203.226

potencial elástica, 166, 187, 202 potencial gravitacional. 165 -166-226 química, 155, 157 térmica, 155, 157, 200 transformação da, 184-187, 189 unidades de medição, 161, 200-201 equilíbrio ação e reação, lei da , 23-30 definição, 20-22 forças vetoriais e, 38-40 romper 0,27 , 41 de forças , 21, 25-26, 39-41, 61 , 87 escalares, 37, 39-40, 205 espaço sideral. 43, 63-64 , 69, 90, 95, 1 26-127, 147 estático, estado, 21 , 25, 30, 40-41 , 59-62, 65

F física, definição, 34-36, 83 força (F), 18, 43 atração, de, 43, 201 centrípeta, 205 composição e decomposição, 87-88 de atração, 43 , 201 definição, 3, 6-7, 18, 21 , 71-72, 92, 112 de repulsão, 43 , 201 divisão de, 87 -89 eletromagnética, 43 equilíbrio de, 21, 25-26, 39-41, 61 , 87 equilíbrio e, 38-40 gravidade, da, 21-27 , 30-32, 39, 40-43,58-59,76-77 , 79, 88,91-96, 172 -174, 191-192,200,209-210 horizontal. 87-89, 96-97 líquida, 39-41, 58, 60-61 , 64-66, 72, 90, 210

no

fNDICç

líquida não-nula, 41 máxima possível. 208 não conservativa, 207 não uniforme, 205 normal. 207-208, 210 orientação da, 75-78, 90-92, 169, 204-205 repulsão, de, 43 , 201 unidades de medição, 43, 70, 72, 92, 119, 144, 200 valor exato, 73 - 7 4 vertical. 87 -89, 96-97 frenagem , distância de (d), 180-183

G gráfico v-t, 54-57, 73, 85, 100-101 gravidade centro de, 42 , 126 força da, 21-27, 30-32, 39, 40 - 43 , 58-59, 76-77, 79, 88,91-96,172-174,191192, 200, 209-210 zero, 63, 96 gravitação universal. 32, 43, 94-95 gravitacional aceleração, 80, 82, 94-96 , 172 energia potencial. 165-166, 226 força, 21-27, 30-32, 39, 40-43 , 58-59, 76 -7 7, 79, 88,91-96, 172-174,191192, 200, 209-210

H horizontal (x), direção, 61, 79, 87 - 89,91-92,96-98, 144-145, 204, 210

I impulso e momento linear, 104, 111, 113-116,118,129130, 132,136, 139-144, 215,226 inelástica, colisão, 143 inércia, lei da, 40 -41, 58-65, 69, 82-83, 90-92 , 126, 207

J Joule, James Prescott, 226 joule Ul. 161, 200-201, 226

lei conservação da energia, 155-157,163, 171-174, 189-190, 196, 202-203, 207, 210-212 conservação da energia mecânica, 184, 187-193, 195-197 conservação do momento linear, 120-128, 141-149, 155, 162, 210 da aceleração, 40 -41, 58, 66-72,74,90 - 93 , 100, 111-116, 139-140, 146, 179, 225 da inércia, 40-41 , 58-65, 69, 82 - 83, 90-92, 126, 207 primeira de Newton, 40-41 , 58-65, 69, 82 - 83, 90-92, 126, 207 seg unda de Newton, 40 - 41 , 58, 66-72, 74,90-93 , 100, 111 -116, 139-140, 146,179,22 5 terceira de Newton, 4, 15-20, 23-30, 33 -3 6, 40, 42- 43, 74 , 83, 92-93 , 120-125, 142-143, 146, 209 líquida, força , 39-41, 58, 60-61 , 64-66, 72, 90, 210 líquida não-nula, força, 41 luminosa, energia, 156.

M magnitude. 19. 21-22. 24-25. 27. 29. 37-42. 49. 59. 77. 86-87. 90-96. 100. 108. 117-118. 139.144. 159160. 173. 197. 207 magnitude equivalente. 40. 62. 162 massa (m). 32 43. 70. 90 definição. 41-42. 68-69. 90. 207 e atrito . 207 e momento linear. 109-110. 118. 127 e peso. 94-96 gravitacional. 93 gravidade e. 43. 80 inercial. 93. medição. 68- 72. 70. 74. 80. 93-95 unidades de medi ção. 70. 92. 119. 201. 225-226 máxima possível. força . 208 medição. 68-72. 80. 93-95 unidades de. Veja unidades de medição. mecânica. 34. 41. 131. 134. 138. 167-168. 198 mecânica. energia. 158. 164. 184-185.187-193. 195197.200 método ponta-para-início. 62. 86-88.145 metro (ml. 49. 53. 118. 225 metro por segundo (m/s). 49. 53-54. 82. 118 metro por segundo ao quadrado (m/5 2). 50. 70. 82. 92 mo~ . 166 . 187 . 201-203 momento linear (p) cálculo do. 107-110. 117119.226 colisões. 122. 143-146. 210-212

conservação do. lei da. 120-128. 141-149. 155. 162. 210-212 definição. 37. 84. 106-110. 139-140.159.226 e energia. 159-163 e massa. 109-110. 127-128 e impulso. 104. 111. 113116. 118. 129-130. 132. 136. 139-144. 215. 226 espaço sideral. 126-128. 147-149 orientação do. 139. 144-145 redução do impacto. 129-132 variação no. 111-116. 119. 121-122.133-136. 140 velocidade e. 107-110. 112-116 movimento. 33-36. 40-41. 58. 63 aceleração do. 85-86. acelerado uniforme. 51. 69. 79-82. 85-86. 90. 101. 149 cálculo do. 10. 75-84 circular. 96. 205 parabólico. 75-78. 81. 91 . 96-99 simples. 46-47. 65 leis do. 33-35. 40-42. 83-84. 90-91 unidades de medição. 49. 144. 225 uniforme. 65. 90. 149 velocidade. 47 mu (~). 207-208

N não conservativa. força. 207 não uniforme. força. 205 Newton. lsaac. 33. 40. 43. 58. 90. 92-93. 122 leis do movimento. 33-35. 40-42. 83-84. 90-91

primeira lei. 40-41. 58-65. 69.82-83.90-92. 126. 207 segunda lei. 40-41. 58. 66-72. 74. 90-93. 100. 111-116. 139-140. 146. 179. 225 terceira lei. 4. 15-20. 23-30. 33-36.40.42-43. 74.83. 92 - 93. 120-125. 142143. 146. 209 terceira lei e conservação do momento linear. 120-125.126 terceira lei e equilíbrio. 23-30 newton (N). 43. 70. 72. 92. 119. 144. 225 -22 6 normal. força. 207 -2 08. 210 nuclear. energia. 155

o orientação da aceleração. 78-84. 90-92 da força. 75-78. 90-92. 169. 204-205 da velocidade. 76. 78. 81-82. 90-92. 196. 197 do momento linear. 139. 144-145 do trabalho. 204-205

p parábola. 78. 91. 98 parabólico. movimento. 75 - 78. 81. 91. 96 - 99 peso. determinando o. 60-62. 68. 94-96 estado sem. 63. 69. 95 potencial. energia. 155. 158. 164-171.174-175.184189. 192-197. 201-203. 226. prefixos SI. 227 princípio da equivalência. 93 propulsão de foguete. 147-149

fNDlce 231

Q

energia cinética e,

quadrática, função,

175-180,

226

98

169-171, 175-177. 226 orientação do, 204-205 trigonometria, 88-89 energia potencial e,

quantidade

37 vetorial. 37 escalar,

quilocaloria (kcal). 161, 200-201 quilograma (kg), 70, 92, 119,

144, 201, 225-226 quilowatt-hora (kWh). 161 química, energia, 155, 157.

unidades básicas,

225

básicas, 225 caloria (cal). 161,

4, 15-20, 33-36,40,42,43,74,83, 92, 93 , 142,143, 209. relativa, velocidade, 63, 147-148 relatividade geral. 93 repulsão, força de, 43, 201

200-201 92, 118-119, 161, 194,200-201, 225-226 joule (J), 161, 200-201, 226 metro (m), 49, 53,118, 225 metro por segundo (m/s), 49, 53-54,82,118,144

~

metro por segundo ao quadrado (m/s2). 50, 70,

conversão,

82, 92

49, 53, 54, 75, 81-82, 118, 132, 225 seno, 89 segundo (s).

símbolos de valores absolutos,

37,

simples, movimento, simples,

46-47, 65 sistema internacional de unidades

(51),227

T tangente,

43, 70, 72, 92, 119, 144, 225-226 prefixos 51, 227 quilocalorias (kcal), 161, 200-201 quilograma (kg), 70, 92, 119, 144,201,225-226 quilowatt-hora (kWh), 161 segundo (s). 49, 53-54, 75, 81-82, 118, 132, 225 unidades 51, 227 newton (N).

40, 42

89

temperatura do corpo, 157 tempo (t), 49, 53-57, 75, 81-82,

85-86,100-101,118,132 49, 53-54, 75, 81-82, 118, 132, 225 térmica, energia, 155, 157, 200 tira de borracha, 166-167, 170, 201-202, 208

uniforme

65, 90, 149 51, 69, 79-82,85-86,90,101, 149 velocidade, 53, 55, 64, 81, 90-91,96,99-100,178. movimento,

movimento acelerado,

unidades de medição,

trabalho (W) conservação de energia e,

172-174 definição, 167-169,

Z3Z ÍNDice

226

180-183 gráficos v-t,

53-57, 73 , 85,

76, 78, 81-82, 90-92, 196, 197 relativa, 63, 147-148 unidades de medição, 49, 53-54,82,118,144 uniforme, 53, 55, 64, 81, 90-91,96,99-100, 178 usando cálculo, 99-100 variação na, 50-52, 74, 81, 85, 90-91, 112-113 vertical (y), direção, 61, 79, 87-91, 92, 96-98, 144-145, 204, 210 vetor, 21, 37-40, 49, 160 adição, 37, 62, 86-88, 145 definição, 21, 37 diferença, 38 método ponta-para-início, 62, 86-88, 145 multiplicação por escalar, 39 negativo, 38 nulo, 38 orientação da,

unidade de medição

rea ção, forças de,

distância de frenagem e,

100-101

u

R

41, 46-49, 53-55, 81, 159 descobrindo a, 194, 200, 205 definição,

V 37, 85-86 50-52, 90, 225 constante, 53, 55, 64, 81, 90-91,96,99-100,178

velocidade (v),

aceleração e,

eNTÃO I$~O $16NIFICA Que você $e~Á Meu PA~Cel~O!

~06~e

o

AUTO~

Hideo Nitta, PhD, é professor do Departamento de Física da Universidade Gakugei de Tóquio. Ele tem muitos estudos e livros publicados em editoras japonesas e estrangeiras sobre assuntos que incluem dinâmica quântica e física da radiação . Ele também tem forte inte resse em educação física .

É membro

da Comissão Internacional de Educação Física (ICPEl,

que é um comitê da União Internacional de Física Pura e Aplicada (lUPAP).

EQUIpe De PRODUÇÃO DA EDIÇ~O J"APONE~A Produção: TREND-PRO Co ., Ltd. Fundada em 1988, a TREND-PRO produz jornais e revistas de propaganda que incorporaram o mangá a uma ampla faixa de clientes, de agências governamentais a grandes corporações e associações. Atualmente, a TREND-PRO está participando ativamente em publicidade e projetos editoriais que utilizam conteúdo digital. Alguns resultados de criações passadas estão disponíveis publicamente no website da empresa, em

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Ikeden Bldg ., 3F, 2-12-5 Shinbashi, Minato-ku, Tóquio, Japão Telefone: 03 - 3519-6769; Fax: 03-3519-6110

Roteirista: re_akino Desenhista: Keita Takatsu DTP: Move Co., Ltd.

CONHeçA MAI~ GUIA~ MAN6Á A série The Manga Guide em português é uma co-publicação da Novatec Editora com a editora americana No 5tarch Press e a editora japonesa Ohmsha, uma das mais antigas e mais respeitadas editoras de livros técnicos e científicos do Japão. Cada título desta coleção de sucesso é produto do trabalho conjunto de um ilustrador. um roteirista e um acadêmi co ou um profissional especializado. O resultado é a versão que você tem em suas mãos. Encontre mais Guias Mangá em sua livraria favorita , e saiba mais sobre a série em http:// www.novatec.com.br.

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