Informe Avance Ii Final-scrib

Informe de Avance II Proyecto Laboratorio

Profesor Julián Ortiz

Diciembre, 2011

INFORME AVANCE I

Índice

1

Introducción ...............................................................................................................................1

2

Objetivos....................................................................................................................................2

3

2.1

Objetivos generales ....................................................................................................................... 2

2.2

Objetivos específicos ..................................................................................................................... 2

Antecedentes .............................................................................................................................3 3.1

Geología Regional ......................................................................................................................... 3

3.2

Geología Distrital .......................................................................................................................... 3

4

Despliegue de Datos ...................................................................................................................6

5

Análisis Estadístico .....................................................................................................................9

6

Despliegue de datos compósito 10[m] ....................................................................................... 17

7

Análisis variográfico.................................................................................................................. 19 7.1 Mapas variográficos ................................................................................................................... 19 7.1.1 Pórfido..................................................................................................................................... 20 7.1.2 Roca Caja ................................................................................................................................. 22 7.1.3 Vetas ....................................................................................................................................... 23 7.2 Variogramas experimentales ...................................................................................................... 25 7.2.1 Pórfido..................................................................................................................................... 26 7.2.2 Roca Caja ................................................................................................................................. 26 7.2.3 Vetas ....................................................................................................................................... 27 7.3 Variogramas modelados ............................................................................................................. 28 7.3.1 Pórfido..................................................................................................................................... 29 7.3.2 Roca Caja ................................................................................................................................. 29 7.3.3 Vetas ....................................................................................................................................... 30

8

Validaciones cruzadas ............................................................................................................... 31 8.1

Gráficos de dispersión Pórfido .................................................................................................... 31

8.2

Gráficos de dispersión Roca Caja ................................................................................................ 34

8.3

Gráficos de dispersión Vetas ....................................................................................................... 37

ii

INFORME AVANCE I 8.4 9

Análisis de resultados- Validaciones Cruzadas ........................................................................... 40

Conclusiones y recomendaciones .............................................................................................. 42

10 Anexos ..................................................................................................................................... 44 10.1 U-mine ......................................................................................................................................... 44 10.1.1 Importación de datos ......................................................................................................... 44 10.1.2 Despliegue de datos ............................................................................................................ 45 10.2

Histogramas Litologías restantes................................................................................................ 45

10.3 Archivos de parámetros Mapas Variográficos ............................................................................ 49 10.3.1 Pórfido................................................................................................................................. 49 10.3.2 Roca Caja ............................................................................................................................. 50 10.3.3 Vetas ................................................................................................................................... 50 10.4 Marco teórico Kriging ................................................................................................................. 51 10.4.1 Vecindad de kriging ............................................................................................................. 51 10.4.2 Variogramas: Continuidad Espacial..................................................................................... 52

iii

INFORME AVANCE I

Índice de tablas Tabla 1: Resumen Principales Estadísticos ....................................................................................................................1 Tabla 2: Mejores planes de krigging para cada dominio geológico ...............................................................................1 Tabla 3: Análisis descriptivo global ................................................................................................................................9 Tabla 4: Análisis descriptivo según dominio ................................................................................................................10 Tabla 5: Análisis descriptivo según litología - Parte I ...................................................................................................11 Tabla 6: Análisis descriptivo según litología - Parte II ..................................................................................................11 Tabla 7: Estadísticas básicas de despliegue de datos ..................................................................................................18 Tabla 8: Parámetros de cálculo del mapa variográfico (Pórfido) .................................................................................20 Tabla 9: Parámetros de cálculo – Pórfido ....................................................................................................................21 Tabla 10: Parámetros de cálculo del mapa variográfico (Roca Caja) ...........................................................................22 Tabla 11: Parámetros de cálculo – Roca caja...............................................................................................................23 Tabla 12: Parámetros de cálculo del capa variográfico (Vetas) ...................................................................................23 Tabla 13: Parámetros de cálculo – Vetas .....................................................................................................................24 Tabla 14: Parámetros de cálculo – Vetas (2 direcciones) ............................................................................................25 Tabla 15: Parámetros de cálculo – Pórfido ..................................................................................................................26 Tabla 16: Parámetros de cálculo – Roca caja...............................................................................................................27 Tabla 17: Parámetros de cálculo – Vetas .....................................................................................................................28

Índice de gráficos Grafico 1: Presencia de Litologías en Datos Compositados a 10[m] .............................................................................1 Gráfico 2: Comportamiento Global de Litologías en Compósito 10[m] ......................................................................12 Gráfico 3: Frecuencia de Litologías según Dominio .....................................................................................................13 Gráfico 4. Histograma Global – compósito 10 [m] ......................................................................................................13 Gráfico 5. Histograma Pórfido – Compósito 10 [m].....................................................................................................14 Gráfico 6. Histograma Veta – Compósito 10 [m] .........................................................................................................14 Gráfico 7. Histograma roca caja – Compósito 10 [m] ..................................................................................................15 Gráfico 8. Histograma Litología 1 – Compósito 10 [m] ................................................................................................15 Gráfico 9. Histograma Litología 4 – Compósito 10 [m] ................................................................................................16 Gráfico 10. Histograma Litología 5 – Compósito 10 [m] ..............................................................................................16 Gráfico 11: Dispersión Leyes Real y estimada- Pórfido-Elipsoidal 24 ..........................................................................31 Gráfico 12: Dispersión Leyes Real y estimada- Pórfido-Elipsoidal 32 ..........................................................................31 Gráfico 13: Dispersión Leyes Real y estimada- Pórfido-Elipsoidal 40 ..........................................................................32 Gráfico 14: Dispersión Leyes Real y estimada- Pórfido-Octante 3 ..............................................................................32 Gráfico 15: Dispersión Leyes Real y estimada- Pórfido-Octante 4 ..............................................................................33 Gráfico 16: Dispersión Leyes Real y estimada- Pórfido-Octante 5 ..............................................................................33 Gráfico 17: Dispersión Leyes Real y estimada- Roca Caja-Elipsoidal 24 ......................................................................34 Gráfico 18: Dispersión Leyes Real y estimada- Roca Caja-Elipsoidal 32 ......................................................................34 Gráfico 19: Dispersión Leyes Real y estimada- Roca Caja-Elipsoidal 40 ......................................................................35 Gráfico 20: Dispersión Leyes Real y estimada- Roca Caja-Octante 3...........................................................................35

iv

INFORME AVANCE I Gráfico 21: Dispersión Leyes Real y estimada- Roca Caja-Octante 4...........................................................................36 Gráfico 22: Dispersión Leyes Real y estimada- Roca Caja-Octante 5...........................................................................36 Gráfico 23: Dispersión Leyes Real y Estimada- Vetas-Elipsoidal 24 .............................................................................37 Gráfico 24: Dispersión Leyes Real y Estimada- Vetas-Elipsoidal 32 .............................................................................37 Gráfico 25: Dispersión Leyes Real y Estimada- Vetas-Elipsoidal 40 .............................................................................38 Gráfico 26: Dispersión Leyes Real y Estimada- Vetas-Octante 3 .................................................................................38 Gráfico 27: Dispersión Leyes Real y Estimada- Vetas-Octante 4 .................................................................................39 Gráfico 28: Dispersión Leyes Real y Estimada- Vetas-Octante 5 .................................................................................39 Gráfico 29: Efecto Soporte – Leyes de Cobre ..............................................................................................................42 Gráfico 30. Histograma Litología 0 – Compósito 10 [m] ..............................................................................................45 Gráfico 31. Histograma Litología 2 – Compósito 10 [m] ..............................................................................................46 Gráfico 32. Histograma Litología 3 – Compósito 10 [m] ..............................................................................................46 Gráfico 33. Histograma Litología 6 – Compósito 10 [m] ..............................................................................................47 Gráfico 34. Histograma Litología 7 – Compósito 10 [m] ..............................................................................................47 Gráfico 35. Histograma Litología 8 – Compósito 10 [m] ..............................................................................................48 Gráfico 36. Histograma Litología 30 – Compósito 10 [m] ............................................................................................48 Gráfico 37. Histograma Litología 112 – Compósito 10 [m] ..........................................................................................49

Índice de figuras Figura 1: Despliegue de Datos 2D a 650[m] Sin Compositar .........................................................................................6 Figura 2: Despliegue de Datos 3D Sin Compositar .........................................................................................................6 Figura 3: Despliegue de Datos 2D a 650[m] Compósito 5[m] ........................................................................................7 Figura 4: Despliegue de Datos 3D Composito 5[m] .......................................................................................................7 Figura 5: Despliegue de Datos 2D a 650[m] Compósito 10[m] ......................................................................................8 Figura 6: Despliegue de Datos 3D Composito 10[m] .....................................................................................................8 Figura 7: Compósito (“z” hace referencia a la longitud de composito seleccionada, “l” a la ley original del testigo, “t” al largo original del testigo) .............................................................................................................................9 Figura 8: Despliegue de datos de Cobre (Pórfido) .......................................................................................................17 Figura 9: Despliegue de datos de Cobre (Roca Caja) ...................................................................................................17 Figura 10: Despliegue de datos de Cobre (Vetas) ........................................................................................................18 Figura 11: Mapas variográficos XY (cortes 1, 10 y 15) .................................................................................................20 Figura 12: Mapas variográficos (Pórfido) .....................................................................................................................20 Figura 13: Variograma experimental – Varias direcciones (Pórfido) ...........................................................................21 Figura 14: Mapas variográficos (Roca Caja) .................................................................................................................22 Figura 15: Variograma experimental – Varias direcciones (Roca Caja) .......................................................................22 Figura 16: Mapas Variográficos (Roca Caja) ................................................................................................................23 Figura 17: Variograma experimental – Varias direcciones (Vetas) ..............................................................................24 Figura 18: Variograma Experimental – 2 Direcciones (Vetas) .....................................................................................25 Figura 19: Variograma Experimental (Pórfido) ............................................................................................................26 Figura 20: Variograma Experimental (Roca Caja) ........................................................................................................27 Figura 21: Variograma Experimental (Vetas) ...............................................................................................................28 Figura 22: Variograma experimental y modelado – (Pórfido) .....................................................................................29 Figura 23: Variograma experimental y modelado – (Roca Caja) .................................................................................29 Figura 24: Variograma experimental y modelado – (Vetas) ........................................................................................30

v

INFORME AVANCE I Figura 25: Resumen validaciones cruzadas -Pórfido ...................................................................................................40 Figura 26: Resumen validaciones cruzadas- Roca Caja ................................................................................................40 Figura 27: Resumen validaciones cruzadas- Roca Caja ................................................................................................41 Figura 28: Importación de datos U-mine .....................................................................................................................44 Figura 29: Despliegue de datos en U-mine ..................................................................................................................45 Figura 30: Vecindad de kriging ....................................................................................................................................52 Figura 31: Modelo pepa ...............................................................................................................................................53 Figura 32: Modelo esférico ..........................................................................................................................................53

vi

Resumen Ejecutivo Para la evaluación de un yacimiento minero es necesario comenzar con una campaña de sondajes en una localidad dada. Según los datos de entrada, los que muchas veces puede tener inconsistencias, es posible generar los primeros estudios estadísticos, junto con una estimación de las unidades más relevantes del depósito. El presente informe muestra los trabajos realizados, dentro de un yacimiento tipo pórfido cuprífero que muestra un modelo clásico de alteración y mineralización, a partir de la información proveniente de una base de datos de 100 sondajes y un modelo de 186300 bloques de 20 x 20 x 10 m. Además se dispone de la caracterización geológica del yacimiento, de la topografía del área de emplazamiento y de la delimitación de los dominios geológicos. Con la información de la campaña de sondaje se realizaron estudios sobre todos los datos, entregando: Sin Compositar

# Datos Media Varianza

Pórfido

Veta

4789 0,688 0,388

974 0,490 0,944

Compositados 5[m] Roca Caja 145 0,423 0,067

Pórfido

Veta

1843 0,707 0,297

276 0,457 0,526

Roca Caja 8281 0,405 0,125

Compositados 10[m] Pórfido

Veta

893 0,697 0,264

145 0,423 0,067

Roca Caja 4145 0,410 0,123

Tabla 1: Resumen Principales Estadísticos

Aquí se precia el efecto soporte, lo que muestra la disminución de la variabilidad a volúmenes ponderados mayores. Luego de este análisis se decide continuar el estudio con los datos compositados a 10[m]. Otro resultado importante es que no todas las litologías presentes en el yacimiento son correctamente representadas, siendo las litologías 1, 4 y 5 las de mayor peso, con más de un 90% de presencia. Así, la gran parte de los análisis se indican para estas litologías por ser las más relevantes. Finalmente, mediante el uso de mapas variográficos y variogramas experimentales, fue posible modelar los variogramas, para así tener herramientas funcionales en todo lugar del espacio. Luego, generando distintos planes de krigging en cada dominio geológico, se llegó a definir los mejores planes, en virtud de su condición de insesgo global y condicional. Los resultados de los mejores planes se exhiben a continuación: Dominio Porfido Roca caja Veta

Plan Octante 3 Octante 5 Octante 4

Tabla 2: Mejores planes de krigging para cada dominio geológico

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1 Introducción La evaluación de yacimientos hace uso integrado de información proveniente de geofísica, geología, ingeniería y otras áreas, principalmente para generar un modelo geológico de un yacimiento con el fin de calcular reservas y crear un plan de desarrollo minero óptimo. La información generada mediante los métodos geostadísticos es de gran utilidad en la toma de decisiones en cada una de las diferentes etapas del desarrollo de un proyecto minero, tales como, exploración, modelamiento, planificación minera y explotación. El presente informe es un avance del proyecto que consiste en evaluar un depósito de cobre, a partir de informaciones de sondaje, de la caracterización geológica de un yacimiento, de la topografía del área donde éste se emplaza y de la delimitación de los dominios geológicos. Para poder realizar este análisis, se utilizarán los sofwares U-MINE y GEMS. La información recibida para realizar el estudio de este yacimiento consiste en una base de datos de 100 sondajes y un modelo de 186300 bloques de 20 x 20 x 10 m, rotado en una dirección de 49.33° de azimut, ambos en formato ASCII. En este avance, se mostrarán los resultados obtenidos tras el análisis estadístico de los datos y la definición de las unidades de estimación, junto con la visualización de las campañas de sondajes.

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INFORME AVANCE I

2 Objetivos Este avance del proyecto busca cumplir los siguientes objetivos:

2.1 Objetivos generales  

Realizar un análisis de los recursos encontrados en un depósito de cobre a partir de una base de datos proveniente sondajes realizados al yacimiento. Familiarizarse con el uso de herramientas computacionales como los sofwares U-Mine, Gems y GSLIB para la evaluación de yacimientos metálicos.

2.2 Objetivos específicos    

Analizar estadísticamente los datos entregados, para la caracterización del yacimiento. Definir las unidades de estimación del yacimiento. Visualizar las campañas de sondajes realizadas al yacimiento para poder comprender espacialmente la disposición de los recursos. Realizar estudio variográfico del compósito seleccionado, donde se deberán incluir los respectivos mapas variográficos, variogramas experimentales y modelados que permitirán analizar la variabilidad de leyes.

2

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3 Antecedentes El depósito es un pórfido de cobre y oro, siendo el cobre el elemento en estudio. Se trata de un yacimiento angosto que posee ramas de mineralización, y profundo, donde se distingue un sector superficial de alta ley y otro más profundo de mayor ley que el anterior, ambos de densidad de la roca de 2.64 t/m3, ambos separados por un sector de baja ley. Rodean a este cuerpo alargado rocas de menor ley, correspondientes a esquistos de densidad 2.73 t/m3. Los sondajes se distribuyeron en una malla seudo regular de 50 x 50 m, sobre una superficie de 600 x 800 m y 1000 m verticales, lo que representa alrededor de 480 millones de m3 de material, es decir, 1300 millones de toneladas.

3.1 Geología Regional La franja en la cual está emplazado el yacimiento en estudio, contiene una variedad de depósitos tipo pórfidos cupríferos, de edad Oligocénica-Miocénica. Su formación está aparentemente relacionada a magmas alcalinos y calcoalcalinos. El área del yacimiento se ubica en la mitad de dos grandes fallas neotectónicas, de 15 y 30 km. de largo, respectivamente. El lugar del depósito se ubica cercano al borde de una planicie, con una elevación promedio de 620 m sobre el nivel del mar. Se pueden distinguir dos sistemas de fallas. El primero, de orientación NNW-SSE, con un largo promedio de 300 a 400 m. El segundo sistema presenta una orientación NE-SW o E-W. La roca huésped del pórfido es un basamento cristalino de edad paleozoica, y formada principalmente de gneiss de biotita, gneiss de muscovita-biotita y esquistos delgados de anfibolita-biotita. En general, los esquistos micáceos tienen una orientación NW-SE, con un manteo de 30 a 65º al SW.

3.2 Geología Distrital El yacimiento en estudio está centrado en un cuello intrusivo, de sienita porfídica gruesa de edad terciaria, que intruye un esquisto micáceo. La forma de este intrusivo es la de una pipa elíptica que se emplaza verticalmente por más de 800 m, con ramificaciones de la misma litología, que se extienden en una dirección E-W. Hacia el sur, en una extensión sobre los 200 m más allá del intrusivo porfídico principal, hay varios otros diques de similar composición, los cuales mantean hacia el norte con ángulos subverticales. Estos diques tienen anchos sobre los 10 m y largos sobre los 90 m, los cuales parecen ser ramas profundas de la pipa. La roca huésped del pórfido y su mineralización circundante corresponden a esquistos de alteración de biotita-clorita. La foliación de dichos esquistos mantea en 60 a 80º hacia el sur, con tensos pliegues y pequeñas fallas medidas en escala desde centímetros hasta metros.

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Un patrón concéntrico de alteración caracteriza a este depósito. Una alteración potásica interna se encuentra bien desarrollada dentro de la sienita porfídica, formando un halo alrededor de la pipa. Una zona externa de alteración propilítica rodea a la alteración potásica mencionada anteriormente, afectando al esquisto. Una débil alteración fílica se encuentra sólo en forma de estructuras tabulares, y una débil a moderada alteración argílica está principalmente relacionada a zonas de falla. La alteración potásica consiste en feldespatos potásicos, biotita, cuarzo y abundante magnetita. En el pórfido, este grupo puede observarse fenocristales de feldespatos reemplazando a la masa fundamental y también en vetillas de 1 a 7 mm (ocasionalmente sobre 20 mm). Sin embargo, en el esquisto, la ocurrencia común corresponde a reemplazos parciales de biotita con menores cantidades de cuarzo y feldespato potásico y vetillas delgadas. Un importante desarrollo de vetillas de cuarzo tipo stockwork (de 0.2 hasta 30 mm, con un promedio de 5 mm) se encuentra en mayor proporción en la sienita porfídica con respecto al esquisto, al extremo que en algunos casos el centro se encuentra completamente silicificado. La alteración propilítica se caracteriza por el siguiente conjunto de minerales: clorita, epidota, albita y calcita. Estos grupos reemplazan parcialmente a los minerales de las rocas primarias y, en algunos casos, se encuentran como vetillas irregulares y discontinuas, como fracturas o como planos de foliación. La rareza de afloramientos no ha sido admitida como una interpretación robusta del carácter verdadero de las grandes estructuras, tales como sistemas de fallas mayores (o desplazamientos) y pliegues. Se han inferido grandes lineamentos sobre la superficie, basados primariamente en la topografía. Las direcciones dominantes de estos lineamentos son: E-W, NNE-SSW y NNW-SSE. A la fecha, no se ha descrito un modelo de estructuras menores tales como deslizamientos, fracturas, junturas, cortes y fallas menores. Información preliminar obtenida de afloramientos porfídicos en una pequeña área del rajo abierto, determina tres sistemas de fracturas: E-W/85ºN, N60E/30ºN y N-W/desde 80º SW a 70º NE. La mineralización en la zona potásica consiste en vetillas de calcopirita con bornita subordinada (de 0.1 a 5 mm de espesor), calcopirita diseminada y escasa bornita. Se observan también cantidades variables de calcosina, digenita, covelina, molibdenita y pirita. Escasamente se encuentra galena y esfalerita. La magnetita aparece diseminada en vetillas de cuarzo, en proporciones de 10 a 15%. La mineralización en la zona de alteración propilítica, consiste en pirita diseminada (con una ocurrencia menor al 1%) y rara vez contiene calcopirita.

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Finalmente, la mineralización de oro corresponde a metal nativo, cuyos tamaños de las partículas varían desde pocos micrones hasta más de 158 micrones. Generalmente está asociada con minerales de ganga. La distribución de las leyes de oro y cobre es dependiente de la litología.

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4 Despliegue de Datos Teniendo las bases de datos en mano, y con la utilización del software U-Mine se procede a crear un modelo 2D y 3D los tres tipos de compósitos. Vale decir que se eliminaron 42 datos, que corresponden a los valores -999, ya que estos son muestras que no fueron medidas por lo que se eliminan de la base de datos para todos los cálculos posteriores. Para mayor información acerca del procedimiento seguido en U-Mine revisar anexos.

Figura 1: Despliegue de Datos 2D a 650[m] Sin Compositar

Figura 2: Despliegue de Datos 3D Sin Compositar

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Figura 3: Despliegue de Datos 2D a 650[m] Compósito 5[m]

Figura 4: Despliegue de Datos 3D Composito 5[m]

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Figura 5: Despliegue de Datos 2D a 650[m] Compósito 10[m]

Figura 6: Despliegue de Datos 3D Composito 10[m]

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5 Análisis Estadístico En primera instancia se realiza un análisis general de los datos (Ver Tabla 2). Sin Compositar

Compositados 5[m]

Compositados 10[m]

# Datos

26.503

10.400

5.183

Máximo

28,600

11,748

6,204

Mínimo

0,011

0,011

0,011

Media

0,461

0,460

0,460

Varianza

0,239

0,180

0,157

Tabla 3: Análisis descriptivo global

Una compositación es simplemente homogeneizar los datos con los que se trabaja, en otras palabras, se calcula una ley media de Cu para un largo único de muestras. Así, un compósito de 5[m] significa calcular una ley ponderada en 5 [m] de los diferentes testigos obtenidos, independientemente de sus características geológicas (Ver figura 7).

Figura 7: Compósito (“z” hace referencia a la longitud de composito seleccionada, “l” a la ley original del testigo, “t” al largo original del testigo)

De esta manera, trabajar con datos compositados significa minimizar errores posteriores del análisis geoestadistico, pues se están utilizando valores numéricos “iguales” en términos comparativos, estadísticamente hablando. Por otra parte se tienen las propiedades geológicas de los datos, con lo que se pueden realizar análisis descriptivos de acuerdo a litologías y dominios. Se cuenta con 13 litologías diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 30, 111 y 112) y 3 dominios (pórfido, veta y roca caja).

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Roca Caja

Veta

Pórfido

INFORME AVANCE I

Sin Compositar

Compositados 5[m]

Compositados 10[m]

# Datos

4789

1843

893

Máximo Mínimo

10,648 0,011

5,654 0,011

4,455 0,011

Media

0,688

0,707

0,697

Varianza Curtosis

0,388 39,182

0,297 9,450

0,264 8,652

Coeficiente de Asimetría

4,025

2,263

2,203

# Datos

974

276

145

Máximo

28,600

11,748

1,727

Mínimo

0,033

0,055

0,055

Media Varianza Curtosis

0,490 0,944 721,392

0,457 0,526 215,653

0,423 0,067 4,849

Coeficiente de Asimetría

25,082

13,859

1,595

# Datos

20740

8281

4145

Máximo Mínimo Media

7,117 0,011 0,407

4,466 0,011 0,405

6,204 0,011 0,410

Varianza

0,157

0,125

0,123

Curtosis Coeficiente de Asimetría

31,373 4,053

17,951 3,183

27,421 3,488

Tabla 4: Análisis descriptivo según dominio

De la tabla 3 se puede extraer que el compósito de 10[m] posee menor varianza en los tres tipos de dominio, lo que se explica por el efecto soporte que produce una dilución de los datos disminuyendo la varianza.. Asimismo, se observa que este compósito posee una curtosis muy pequeña, lo que conlleva una menor distribución de frecuencias en torno a la media. Dicha situación solo significa que podrán existir datos extremos que podrían, eventualmente, entorpecer el estudio. En cuanto a los datos no compositados, no se concibe un análisis más detallado pues estos datos son más que nada para observar el comportamiento del yacimiento, pero no serán los que determinen el trabajo descriptivo y analítico (Más adelante se explica el por qué). Al igual que con los dominios, se hace un análisis descriptivo de acuerdo a los tipos de litologías existentes en los testigos.

10

Compositados 10[m]

Compositados 5[m]

Sin Compositar

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Litología 0

Litología 1

Litología 2

Litología 3

Litología 4

Litología 5

Litología 6

# Datos Máximo

89 1,76

6.632 10,648

144 5,148

236 2,035

10.375 4,928

8.447 4,224

13 0,990

Mínimo

0,011

0,011

0,044

0,011

0,011

0,011

0,110

Media Varianza

0,218 0,077

0,715 0,435

0,551 0,331

0,284 0,092

0,414 0,119

0,324 0,079

0,465 0,092

# Datos Máximo

67 1,353

2.585 11,748

59 2,849

81 1,573

4.049 3,762

3.337 3,080

5 0,869

Mínimo

0,011

0,011

0,088

0,022

0,011

0,011

0,253

Media

0,200

0,721

0,604

0,301

0,413

0,324

0,557

Varianza

0,066

0,384

0,263

0,075

0,089

0,064

0,074

# Datos Máximo Mínimo

35 1,309 0,011

1.301 4,455 0,011

26 1,870 0,088

39 0,726 0,066

2.017 6,204 0,011

1.649 2,640 0,011

3 0,825 0,286

Media Varianza

0,202 0,063

0,714 0,298

0,539 1,141

0,282 0,033

0,413 0,095

0,327 0,059

0,499 0,082

Compositados 10[m]

Compositados 5[m]

Sin Compositar

Tabla 5: Análisis descriptivo según litología - Parte I

Litología 7

Litología 8

Litología 9

Litología 30

Litología 111

Litología 112

Global

# Datos Máximo Mínimo

235 2,343 0,055

150 28,600 0,022

6 2,211 0,165

134 0,627 0,044

8 1,298 0,253

34 1,441 0,077

26.503 28,600 0,011

Media Varianza

0,596 0,149

0,505 5,386

1,001 0,561

0,192 0,013

0,540 0,112

0,523 0,135

0,461 0,239

# Datos

87

55

1

53

5

16

10.400

Máximo Mínimo

1,969 0,110

1,342 0,044

1,650 1,650

0,484 0,066

0,517 0,319

1,826 0,132

11,748 0,011

Media

0,568

0,340

1,650

0,193

0,420

0,531

0,460

Varianza

0,100

0,072

-

0,010

0,007

0,186

0,180

# Datos

44

34

-

26

-

9

5.183

Máximo

1,353

1,243

-

0,649

-

1,342

6,204

Mínimo Media

0,121 0,585

0,044 0,347

-

0,077 0,209

-

0,165 0,606

0,011 0,460

Varianza

0,084

0,068

-

0,014

-

0,169

0,157

Tabla 6: Análisis descriptivo según litología - Parte II

11

INFORME AVANCE I

De las tablas 4 y 5 se observa que las litologías 1, 4 y 5 son las que tienen mayor cantidad de datos, por lo tanto, las más relevantes para el estudio. Además, en aquellas litologías con pocos datos la media y varianza se ven modificadas en algún grado, siendo esta variación mayor en las litologías 2, 6, 30 y 112. Particularmente, la litología 9 y 111 desparecen en el compósito de 10[m] puesto que desde un inicio contaban con poca información. Una vez realizados todos los análisis generales, se procede a definir qué tipo de datos se usarán en el resto del estudio. Se determina continuar el análisis con los datos compositados a 10[m] puesto que la media es igual a la de los datos no compositados, pero la varianza es menor. Esto concuerda con el efecto soporte, el que dice que a menor tamaño de muestra la variabilidad es mayor. Luego, ya elegido el compósito, se realiza un gráfico que permita ver el comportamiento de las diferentes litologías en el compósito (Ver gráfico 2).

Gráfico 1: Comportamiento Global de Litologías en Compósito 10[m]

Posteriormente, se intenta buscar una relación entre las litologías y los dominios (Ver gráfico 3), sin embargo, no se observa mayor dependencia entre ellas sino más bien una preponderancia de las litologías 1, 4 y 5 en los tres dominios.

12

INFORME AVANCE I

Porcentaje

70,0% 60,0%

Porfido

50,0%

Veta

40,0%

Roca Caja

30,0% 20,0%

10,0% 0,0%

Gráfico 2: Frecuencia de Litologías según Dominio

Del gráfico 2 también se desprende que en el pórfido predomina la litología 1 con un 63% y, tanto en la veta como en la roca caja, la litología 4 con un 43% y 44%, respectivamente. Cabe destacar que en la roca caja la litología 5 tiene gran importancia pues representa un 36% de la misma, lo que no es menor. Siguiendo con el estudio, se construyen diversos histogramas para los datos del compósito de 10[m]. Ello, para observar la distribución de leyes. Primero se analiza el compósito a cabalidad.

Histograma Global

Frecuencia

Global Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 1246 0,4 1698 0,6 1013 0,8 565 1 254 1,2 150 1,4 93 1,6 52 1,8 37 y mayor... 75

1800

100,00%

1600

90,00%

1400

80,00% 70,00%

1200

60,00%

1000

50,00%

800

40,00%

600

30,00%

400

20,00%

200

10,00%

0

0,00%

Ley de cobre [%]

Gráfico 3. Histograma Global – compósito 10 [m]

13

Frecuencia % acumulado

INFORME AVANCE I

Se aprecia que las leyes más importantes están en el sector de baja ley, entre 0 y 1% de ley de cobre. Además las leyes alta representar un pequeño porcentaje con respecto al total, cerca de un 10 %. A continuación, se desarrollan histogramas para cada dominio.

250

Pórfido Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 89 0,4 167 0,6 209 0,8 160 1 99 1,2 52 1,4 42 1,6 20 1,8 17 y mayor... 38

Histograma Pórfido

Frecuencia

200 150 100 50 0

Ley de cobre [%] Gráfico 4. Histograma Pórfido – Compósito 10 [m]

Histograma Veta Frecuencia

Veta Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 26 0,4 49 0,6 42 0,8 19 1 4 1,2 2 1,4 2 1,6 0 1,8 1 y mayor... 0

60 50 40 30 20 10 0

Ley de cobre[%]

Gráfico 5. Histograma Veta – Compósito 10 [m]

14

INFORME AVANCE I

Histograma Roca caja Frecuencia

Roca Caja Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 1131 0,4 1482 0,6 762 0,8 386 1 151 1,2 96 1,4 49 1,6 32 1,8 19 y mayor... 37

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

Ley de cobre [%]

Gráfico 6. Histograma roca caja – Compósito 10 [m]

Para los dominios veta y roca caja la ley es menor que para el pórfido, además se aprecia que la roca caja tiene más leyes bajas que la veta. Por lo cual es consecuente con lo esperado para un pórfido cuprífero. Finalmente, se vuelven a construir histogramas, pero esta vez para las litologías. Se eligieron las litologías 1, 4 y 5 por ser las que tiene un mayor número de datos para el composito de 10[m]; este fue el criterio más importante ya que representan de mejor manera los datos globales, además de tener medias cercanas al los datos no compositados.

Frecuencia

Histograma Litología 1 Litología 1 Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 161 0,4 236 0,6 298 0,8 194 1 125 1,2 88 1,4 66 1,6 41 1,8 29 y mayor... 63

350 300 250 200 150 100 50 0

Ley de cobre [%]

Gráfico 7. Histograma Litología 1 – Compósito 10 [m]

15

INFORME AVANCE I

Litología 4 Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 453 0,4 725 0,6 463 0,8 230 1 71 1,2 38 1,4 15 1,6 6 1,8 7 y mayor... 9

Frecuencia

Histograma Litología 4 800 700 600 500 400 300 200 100 0

Ley de cobre [%]

Gráfico 8. Histograma Litología 4 – Compósito 10 [m]

Histograma Litología 5 Frecuencia

Litología 5 Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 558 0,4 674 0,6 220 0,8 113 1 49 1,2 20 1,4 7 1,6 5 1,8 1 y mayor... 2

800 700 600 500 400 300 200 100 0

Ley de cobre [%]

Gráfico 9. Histograma Litología 5 – Compósito 10 [m]

El histograma de la litología 1 es similar al histograma del pórfido, lo que indica que esta litología predomina en el pórfido, lo que se mencionó anteriormente. Mientras que los histogramas de las litologías 4 y 5 son similares a la roca caja lo que concuerda a los dicho precedentemente sobre el este dominio y las litologías que son más predominantes.

16

INFORME AVANCE I

6 Despliegue de datos compósito 10[m] En este capítulo se realiza el despliegue de datos, y se entregan las principales estadísticas por domino geológico.

Figura 8: Despliegue de datos de Cobre (Pórfido)

Figura 9: Despliegue de datos de Cobre (Roca Caja)

17

INFORME AVANCE I

Figura 10: Despliegue de datos de Cobre (Vetas)

Cut

Cantidad

Mínima [%]

Máxima [%]

Promedio[%]

Varianza

Pórfido Roca Caja Vetas

893 4145 145

0.01 0.01 0.06

4.46 6.20 1.73

0.70 0.41 0.42

0.26 0.12 0.07

Tabla 7: Estadísticas básicas de despliegue de datos

18

INFORME AVANCE I

7 Análisis variográfico El estudio variográfico tiene por objetivo conocer la variabilidad de la ley en el espacio, para lo cual se utilizan una serie de herramientas, entre las que se destacan el uso de: mapas variográficos, variogramas experimentales y variogramas modelados. Cada uno de estos se dan a partir de los compósitos a 10 metros. El primer paso consiste en realizar los mapas variográficos de cada dominio en distintas direcciones, pues de esta forma se logran apreciar asimetrías zonales. Prácticamente, corresponde a una visualización del variograma experimental en todas las direcciones, mediante un mapa de colores. Se utilizaron con este fin los programas varmap y pixelplt de gslib que permiten graficar los mapas variográficos en direcciones de interés. Luego, se da paso a la determinación de los variogramas experimentales en las direcciones deducidas de los mapas variográficos. Se destaca que para el variograma experimental se deben fijar una serie de parámetros (como el número de pasos, el largo del paso, la dirección, inclinación, junto a sus tolerancias), lo que le dan características limitadas al variograma experimental según los datos de entrada que se le fijen. Así, se utilizaron los programas gamv y vargplt los cuales permiten generar los variogramas experimentales en las direcciones deseadas. El hecho de que los datos del variograma experimental estén sujetos a imprecisiones (imperfecto) y que no esté calculado en todas las direcciones (incompleto), limita su uso, por lo cual es necesario modelarlo (a través de distintas funciones) a modo de poseer una herramienta funcional. Para modelar un variograma se hacen necesarios datos que se estiman a partir del variograma experimental, como lo son el efecto pepa (continuidad de la función en el origen), meseta (donde se estabiliza el variograma) y el alcance (distancia a la cual se alcanza la meseta). Algunas consideraciones que se deben tomar al momento de realizar los variogramas modelados son:     

El variograma modelado debe ser consistente en las distintas direcciones, es decir, debe tener el mismo efecto pepa y el mismo número y tipo de estructuras anidadas. El variograma experimental es poco confiable para distancias muy grandes. No existen modelos únicos, por tanto dependen del criterio del evaluador. Se debe desconfiar de los ajustes automáticos. La varianza del variograma (teórica) podría diferir de la varianza del histograma (empírica).

7.1 Mapas variográficos El mapa variográfico consiste en calcular y visualizar el variograma experimental en todas las direcciones del espacio, bajo la forma de un mapa de colores. De este modo, se puede distinguir si existe anisotropía (geométrica, zonal, u otra) y calcular el variograma a lo largo de las direcciones principales de esta.

19

INFORME AVANCE I

A continuación se muestran los variogramas experimentales para los 3 dominios (roca caja, pórfido y vetas), los cuales fueron calculados y plotados con los programas varmap y pixelplt de GSLib (el detalle de los archivos de parámetros empleados, se encuentra en Anexos). 7.1.1 Pórfido El mapa variográfico para el pórfido, fue calculado con los siguientes parámetros: Parámetros

nxlag

nylag

nzlag

Número de pasos

4

4

20

Largo de pasos Mínimo número de pares

40

40 1

20

Tabla 8: Parámetros de cálculo del mapa variográfico (Pórfido)

Los mapas obtenidos para el plano XY, para diferente z, se muestran a continuación:

Figura 11: Mapas variográficos XY (cortes 1, 10 y 15)

No encontrando ninguna dirección de anisotropía clara en estos mapas, se procede a mostrar los mapas variográficos en todos los planos (XY, XZ e YZ).

Figura 12: Mapas variográficos (Pórfido)

En estos mapas tampoco se logran apreciar direcciones claras de anisotropía, por lo que se decide adoptar otra estrategia de análisis graficando el variograma en diversas direcciones (con el objetivo de ver si la variación entre distintas direcciones es significativa o no).

20

INFORME AVANCE I

A continuación se muestra el resultado del cálculo del variograma experimental para la roca caja en 5 direcciones (cálculo obtenido utilizando el programa gamv y ploteado con el programa vargplt de GSLib).

Figura 13: Variograma experimental – Varias direcciones (Pórfido)

Los parámetros de cálculo de este variograma se muestra a continuación (el detalle del archivo de parámetros utilizado se muestra en anexos). Dirección 1

Dirección 2

Dirección 3

Dirección 4

Dirección 5

Azimut

0

45

90

135

0

Dip

0

0

0

0

90

22.5ᵒ

22.5ᵒ

22.5ᵒ

22.5ᵒ

10ᵒ

20

20

20

20

20

22.5ᵒ

22.5ᵒ

22.5ᵒ

22.5ᵒ

10ᵒ

Alto de Banda [m]

20

20

20

20

10

Número de Pasos

6

6

6

6

6

Largo del Paso

20

20

20

20

20

10

10

10

10

10

Parámetros de Cálculo

Ángulo de Tolerancia en el Plano Ancho de Banda [m] Ángulo de Tolerancia en el Plano Perpendicular

Tolerancia al Paso

Tabla 9: Parámetros de cálculo – Pórfido

Del variograma experimental se obtiene que los variogramas calculados en el plano horizontal presentan una gran similitud, pero el variograma vertical presenta diferencias. Por lo tanto, se decide trabajar con dos direcciones principales: una dirección omni-horizontal y una dirección vertical.

21

INFORME AVANCE I 7.1.2 Roca Caja El mapa variográfico para la roca caja, fue calculado con los siguientes parámetros: Parámetros

nxlag

nylag

nzlag

Número de pasos

4

4

20

Largo de pasos

40

40

20

Mínimo número de pares

1

Tabla 10: Parámetros de cálculo del mapa variográfico (Roca Caja)

Los mapas obtenidos para los distintos planos, se muestran a continuación:

Figura 14: Mapas variográficos (Roca Caja)

En estos mapas no se logran apreciar direcciones claras de anisotropía, por lo que se decide adoptar la misma estrategia usada en el dominio anterior. A continuación se muestra el resultado del cálculo del variograma experimental para la roca caja en 5 direcciones (cálculo obtenido utilizando el programa gamv y ploteado con el porgrama vargplt de GSLib).

Figura 15: Variograma experimental – Varias direcciones (Roca Caja)

22

INFORME AVANCE I

Los parámetros de cálculo de este variograma se muestra a continuación (el detalle del archivo de parámetros utilizado se muestra en anexos). Dirección 1

Dirección 2

Dirección 3

Dirección 4

Dirección 5

Azimut

0

45

90

135

0

Dip

0

0

0

0

90

22.5ᵒ

22.5ᵒ

22.5ᵒ

22.5ᵒ

10ᵒ

20

20

20

20

20

22.5ᵒ

22.5ᵒ

22.5ᵒ

22.5ᵒ

10ᵒ

Alto de Banda [m]

20

20

20

20

10

Número de Pasos

12

12

12

12

12

Largo del Paso

20

20

20

20

20

Tolerancia al Paso

10

10

10

10

10

Parámetros de Cálculo

Ángulo de Tolerancia en el Plano Ancho de Banda [m] Ángulo de Tolerancia en el Plano Perpendicular

Tabla 11: Parámetros de cálculo – Roca caja

Del variograma experimental se obtiene que los variogramas calculados en el plano horizontal presentan una gran similitud, pero el variograma vertical presenta diferencias. Por lo tanto, se decide trabajar con dos direcciones principales: una dirección omni-horizontal y una dirección vertical. 7.1.3 Vetas El mapa variográfico para vetas, fue calculado con los siguientes parámetros: Parámetros

nxlag

nylag

nzlag

Número de pasos Largo de pasos

4 40

4 40

20 20

Mínimo número de pares

1

Tabla 12: Parámetros de cálculo del capa variográfico (Vetas)

Los mapas obtenidos para los distintos planos, se muestran a continuación:

Figura 16: Mapas Variográficos (Roca Caja)

23

INFORME AVANCE I

En estos mapas no se logran apreciar direcciones claras de anisotropía, por lo cual se opta por la estrategia usada en los dos dominios anteriores. A continuación se muestra el resultado del cálculo del variograma experimental para la veta en 5 direcciones (cálculo obtenido utilizando el programa gamv y ploteado con el porgrama vargplt de GSLib).

Figura 17: Variograma experimental – Varias direcciones (Vetas)

Los parámetros de cálculo de este variograma se muestra a continuación (el detalle del archivo de parámetros utilizado se muestra en anexos). Dirección 1

Dirección 2

Dirección 3

Dirección 4

Dirección 5

Azimut

0

45

90

135

0

Dip

0

0

0

0

90

22.5ᵒ

22.5ᵒ

22.5ᵒ

22.5ᵒ

10ᵒ

20

20

20

20

20

22.5ᵒ

22.5ᵒ

22.5ᵒ

22.5ᵒ

10ᵒ

Alto de Banda [m]

20

20

20

20

10

Número de Pasos

8

8

8

8

8

Largo del Paso

40

40

40

40

40

Tolerancia al Paso

20

20

20

20

20

Parámetros de Cálculo

Ángulo de Tolerancia en el Plano Ancho de Banda [m] Ángulo de Tolerancia en el Plano Perpendicular

Tabla 13: Parámetros de cálculo – Vetas

Del variograma experimental se obtiene que los variogramas calculados en todas las direcciones presentan diferencias. Por lo tanto se decide verificar si el variograma omni-horizontal y vertical, es idóneo para trabajar. A continuación se muestra un variograma utilizando 2 direcciones de cálculo (una omni-horizontal y una vertical).

24

INFORME AVANCE I

Figura 18: Variograma Experimental – 2 Direcciones (Vetas)

Los parámetros de cálculo de este variograma se muestra a continuación (el detalle del archivo de parámetros utilizado se muestra en anexos). Parámetros de Cálculo

Dirección 1 Dirección 2

Azimut

0

0

Dip

0

90

90ᵒ

10ᵒ

Ancho de Banda [m]

1e21

20

Ángulo de Tolerancia en el Plano Perpendicular

22.5ᵒ

10ᵒ

Alto de Banda [m]

20

10

Número de Pasos

8

8

Largo del Paso

40

40

Tolerancia al Paso

20

20

Ángulo de Tolerancia en el Plano

Tabla 14: Parámetros de cálculo – Vetas (2 direcciones)

De los 2 variogramas anteriores se concluye que, en ambos casos, los variogramas calculados en diferentes direcciones no son semejantes y más aún, son difíciles de modelar. Por lo tanto, se decide trabajar con un variograma en una sola dirección del tipo omnidireccional.

7.2 Variogramas experimentales El variograma experimental nos permite estudiar la variabilidad de datos (muestra) en distintas direcciones y con ello, caracterizar la distribución de la variable regionalizada en estudio. En anexos se muestra un detalle de la teoría del variograma experimental y los parámetros de cálculo relacionados.

25

INFORME AVANCE I 7.2.1 Pórfido Como se estudió en el capítulo anterior, las direcciones más idóneas para realizar el estudio de la distribución de la ley de cobre, para este dominio, son la dirección omni-horizontal y vertical. En la siguiente figura se muestra el variograma experimental del pórfido.

Figura 19: Variograma Experimental (Pórfido)

A continuación se entregan los parámetros de cálculo utilizados en el variograma experimental del dominio. Parámetros de Cálculo Azimut

Dirección 1 Dirección 2 (Omni-Horizontal) (Vertical) 0 0 0

90

90ᵒ

10ᵒ

Ancho de Banda [m]

1e21

20

Ángulo de Tolerancia en el Plano Perpendicular

22.5ᵒ

10ᵒ

Alto de Banda [m]

20

10

Número de Pasos

6

6

Largo del Paso

20

20

Tolerancia al Paso

10

10

Dip Ángulo de Tolerancia en el Plano

Tabla 15: Parámetros de cálculo – Pórfido

7.2.2

Roca Caja

Como se estudió en el capítulo anterior, las direcciones más idóneas para realizar el estudio de la distribución de la ley de cobre, para este dominio, son la dirección omni-horizontal y vertical. En la siguiente figura se muestra el variograma experimental de la roca caja.

26

INFORME AVANCE I

Figura 20: Variograma Experimental (Roca Caja)

A continuación se entregan los parámetros de cálculo utilizados en el variograma experimental del dominio. Parámetros de Cálculo

Dirección 1 Dirección 2 (Omni-Horizontal) (Vertical)

Azimut

0

0

Dip

0

90

90ᵒ

10ᵒ

Ancho de Banda [m]

1e21

20

Ángulo de Tolerancia en el Plano Perpendicular

22.5ᵒ

10ᵒ

Alto de Banda [m]

20

10

Número de Pasos

10

10

Largo del Paso

25

25

12.5

12.5

Ángulo de Tolerancia en el Plano

Tolerancia al Paso

Tabla 16: Parámetros de cálculo – Roca caja

7.2.3 Vetas Como se estudió en el capítulo anterior, la dirección más idónea para realizar el estudio de la distribución de la ley de cobre, para las vetas, es la dirección omnidireccional En la siguiente figura se muestra el variograma experimental del dominio.

27

INFORME AVANCE I

Figura 21: Variograma Experimental (Vetas)

A continuación se entregan los parámetros de cálculo utilizados en el variograma experimental del dominio. Parámetros de Cálculo

Dirección 1 (Omnidireccional)

Azimut

0

Dip

0

Ángulo de Tolerancia en el Plano Ancho de Banda [m] Ángulo de Tolerancia en el Plano Perpendicular

90ᵒ 1e21 90ᵒ

Alto de Banda [m]

1e21

Número de Pasos

16

Largo del Paso

20

Tolerancia al Paso

10

Tabla 17: Parámetros de cálculo – Vetas

7.3 Variogramas modelados Debido a que el variograma experimental es incompleto e imperfecto, se debe ajustar un modelo teórico (definido en todos los direcciones del espacio y para todas las distancias) en torno al variograma experimental ya obtenido. Este variograma modelado se utilizará como si fuera el verdadero variograma de la función aleatoria que representa la variable en estudio (ley de cobre). En anexos, se muestra un detalle de la teoría del variograma modelado, modelos básicos, y estructuras anidadas.

28

INFORME AVANCE I 7.3.1 Pórfido A continuación se muestra el ajuste del variograma experimental para el pórfido, mostrando el variograma experimental y modelado.

Figura 22: Variograma experimental y modelado – (Pórfido)

El modelo matemático utilizado se entrega a continuación: ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

7.3.2 Roca Caja A continuación se muestra el ajuste del variograma experimental para la roca caja, mostrando el variograma experimental y modelado.

Figura 23: Variograma experimental y modelado – (Roca Caja)

29

INFORME AVANCE I

El modelo matemático utilizado se entrega a continuación: ( )

(

)

(

)

(

)

7.3.3 Vetas A continuación se muestra el ajuste del variograma experimental para el domino vetas, mostrando el variograma experimental y modelado.

Figura 24: Variograma experimental y modelado – (Vetas)

El modelo matemático utilizado se entrega a continuación: ( )

(

)

(

)

30

INFORME AVANCE I

8 Validaciones cruzadas Para validar los parámetros de los distintos planes de kriging se realiza una validación cruzada de los datos, la cual estima sucesivamente cada dato considerando solamente los datos restantes. Luego analizamos estadísticamente los errores cometidos para ver si el kriging fue satisfactorio. A continuación se entregan los gráficos de dispersión entre ley estimada por kriging y ley real para los distintos dominios geológicos.

8.1 Gráficos de dispersión Pórfido

Gráfico Dispersión Leyes Real y Estimada-Pórfido-Elipsoidal 24 5 y = 0.8333x + 0.1122 R² = 0.5315

Ley Real [%]

4 3

Series1

2

Linear (Series1) 1 0 0

1

2

3

4

Ley Estimada [%] Gráfico 10: Dispersión Leyes Real y estimada- Pórfido-Elipsoidal 24

GráficoDispersión Ley Real y Estimada-PórfidoElipsoidal 32 y = 0.8318x + 0.114 R² = 0.5301

5

Axis Title

4 3 2

Series1

1

Linear (Series1)

0 0

1

2

3

4

Axis Title Gráfico 11: Dispersión Leyes Real y estimada- Pórfido-Elipsoidal 32

31

INFORME AVANCE I

GráficoDispersión Ley Real y Estimada-PórfidoElipsoidal 40 y = 0.8286x + 0.1161 R² = 0.5275

5

Axis Title

4 3 Correlación

2

Linear (Correlación)

1 0 0

1

2

3

4

Axis Title Gráfico 12: Dispersión Leyes Real y estimada- Pórfido-Elipsoidal 40

Ley Real [%]

Gráfico Dispersión Leyes Real y EstimadaPórfido-Octante 3

-1

5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

y = 0.839x + 0.11 R² = 0.5355

Series1 Linear (Series1)

0

1

2

3

4

Ley Estimada [%] Gráfico 13: Dispersión Leyes Real y estimada- Pórfido-Octante 3

32

INFORME AVANCE I

Ley Real [%]

Gráfico Dispersión Leyes Real y Estimada- PórfidoOctante 4 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

y = 0.8342x + 0.1125 R² = 0.5326

Correlación Linear (Correlación)

0

1

2

3

4

Ley Estimada [%] Gráfico 14: Dispersión Leyes Real y estimada- Pórfido-Octante 4

Ley Real [%]

Gráfico Dispersión Leyes Real y Estimada- PórfidoOctante 5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

y = 0.831x + 0.1147 R² = 0.5297

Series1 Linear (Series1)

0

1

2

3

4

Ley Estimada [%] Gráfico 15: Dispersión Leyes Real y estimada- Pórfido-Octante 5

33

INFORME AVANCE I

8.2 Gráficos de dispersión Roca Caja

Gráfico Dispersión Leyes Real y Estimada- Roca Caja- Elipsoidal 24 7

y = 0.9626x + 0.0145 R² = 0.6411

Ley Real [%]

6 5 4

Correlación

3

Linear (Correlación)

2 1 0 0

1

2

3

Ley Estimada [%] Gráfico 16: Dispersión Leyes Real y estimada- Roca Caja-Elipsoidal 24

Gráfico Dispersión Leyes Real y Estimada- Roca Caja- Elipsoidal 32 7

y = 0.9651x + 0.0135 R² = 0.6408

Ley Real [%]

6 5 4

Correlación

3

Linear (Correlación)

2 1 0 0

1

2

3

Ley Estimada [%] Gráfico 17: Dispersión Leyes Real y estimada- Roca Caja-Elipsoidal 32

34

INFORME AVANCE I

Gráfico Dispersión Leyes Real y Estimada- Roca Caja- Elipsoidal 40 7 y = 0.9658x + 0.0132 R² = 0.6406

Ley Real [%]

6 5 4

Correlación

3

Linear (Correlación)

2 1 0 0

1

2

3

Ley Estimada [%] Gráfico 18: Dispersión Leyes Real y estimada- Roca Caja-Elipsoidal 40

Gráfico Dispersión Leyes Real y Estimada- Roca Caja- Octante 3 7

y = 0.9635x + 0.0142 R² = 0.6427

Ley Real [%]

6 5 4

Correlación

3

Linear (Correlación)

2 1 0 0

1

2

3

Ley Estimada [%] Gráfico 19: Dispersión Leyes Real y estimada- Roca Caja-Octante 3

35

INFORME AVANCE I

Gráfico Dispersión Leyes Real y Estimada- Roca Caja- Octante 4 7

y = 0.9669x + 0.013 R² = 0.6437

Ley Real [%]

6 5 4

Correlación

3

Linear (Correlación)

2 1 0 0

1

2

3

Ley Estimada [%] Gráfico 20: Dispersión Leyes Real y estimada- Roca Caja-Octante 4

Gráfico Dispersión Leyes Real y Estimada- Roca Caja- Octante 5 7

y = 0.9677x + 0.0128 R² = 0.6419

Ley Real [%]

6 5 4

Correlación

3

Linear (Correlación)

2 1 0 0

1

2

3

Ley Estimada [%] Gráfico 21: Dispersión Leyes Real y estimada- Roca Caja-Octante 5

36

INFORME AVANCE I

8.3 Gráficos de dispersión Vetas

Gráfico dispersión Leyes Reales y EstimadasVetas-Elipsoidal 24 2

y = 0.9451x + 0.0191 R² = 0.3294

Axis Title

1.5 1

Series1 Linear (Series1)

0.5 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

Axis Title Gráfico 22: Dispersión Leyes Real y Estimada- Vetas-Elipsoidal 24

Gráfico de Dispersión Leyes real y EstimadaVetas-Elipsoidal 32

Ley Real [%]

2 1.5 y = 0.9451x + 0.0194 R² = 0.3249 Series1

1

Linear (Series1)

0.5 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

Ley Estimada [%] Gráfico 23: Dispersión Leyes Real y Estimada- Vetas-Elipsoidal 32

37

INFORME AVANCE I

Gráfico de Dispersión Leyes Real y EstimadaVetas-Elipsoidal 40

Ley Real [%]

2 y = 0.9452x + 0.0193 R² = 0.3246

1.5 1

Correlación Linear (Correlación)

0.5 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

Ley Estimada [%] Gráfico 24: Dispersión Leyes Real y Estimada- Vetas-Elipsoidal 40

Gráfico de Dispersión Leyes Real y EstimadaVetas-Octante 3

Ley Real [%]

2

y = 0.9492x + 0.0284 R² = 0.3182

1.5 1

Correlación Linear (Correlación)

0.5 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ley Estimada [%] Gráfico 25: Dispersión Leyes Real y Estimada- Vetas-Octante 3

38

INFORME AVANCE I

Gráfico de Dispersión Leyes real y EstimadaVetas-Octante 4

Ley Real [%]

2

y = 0.9527x + 0.0226 R² = 0.3177

1.5 1

Correlación Linear (Correlación)

0.5 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ley Estimada [%] Gráfico 26: Dispersión Leyes Real y Estimada- Vetas-Octante 4

Gráfico de Dispersión Leyes real y EstimadaVetas-Octante 5

Ley Real [%]

2

y = 0.9448x + 0.0249 R² = 0.3145

1.5 1

Correlación Linear (Correlación)

0.5 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

Ley Estimada [%] Gráfico 27: Dispersión Leyes Real y Estimada- Vetas-Octante 5

39

INFORME AVANCE I

8.4 Análisis de resultados- Validaciones Cruzadas Para elegir el mejor plan de kriging, se deben analizar los indicadores estadísticos y el comportamiento de cada validación. A continuación se presenta una tabla resumen con los principales indicadores de las validaciones cruzadas realizadas para cada uno de los dominios geológicos. Validaciones Pórfido Estadísticas Datos Totales Datos Robustos Porcentaje de Datos Robustos pendiente nube correlación Media Error Estandarizado Media Error Varianza Error Estandarizado Varianza Error Dispersión Error Estandarizado

Elipsoidal 24 893 830 92.95% 0.8333 0.006 0.005 2.44 0.129

Elipsoidal 32 893 829 92.83% 0.8318 0.004 0.004 2.46 0.130

Elipsoidal 40 893 829 92.83% 0.8286 0.005 0.004 2.48 0.131

Octante 3 893 833 93.28% 0.8390 0.002 0.003 2.41 0.128

Octante 4 893 829 92.83% 0.8342 0.003 0.004 2.45 0.129

Octante 5 893 829 92.83% 0.8310 0.003 0.004 2.48 0.130

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

Figura 25: Resumen validaciones cruzadas -Pórfido

Bajo los criterios de mínima media del error (para asegurar insesgo global), pendiente más cercana a 1 (para asegurar insesgo condicional) y varianza del error estandarizado más cercano a 1, se determina que el mejor plan de kriging para la estimación de leyes en el pórfido es el Octante 3. Validaciones Roca Caja Estadísticas Datos Totales Datos Robustos Porcentaje de Datos Robustos pendiente nube correlación Media Error Estandarizado Media Error Varianza Error Estandarizado Varianza Error Dispersión Error Estandarizado

Elipsoidal 24 4145 4010 96.74% 0.9626 0.004 0.001 1.47 0.044

Elipsoidal 32 4145 4007 96.67% 0.9651 0.004 0.001 1.47 0.044

Elipsoidal 40 4145 4006 96.65% 0.9658 0.004 0.001 1.47 0.044

Octante 3 4145 4007 96.67% 0.9635 0.003 0.001 1.46 0.044

Octante 4 4145 4011 96.77% 0.9669 0.003 0.001 1.46 0.044

Octante 5 4145 4011 96.77% 0.9677 0.002 0.000 1.47 0.044

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

Figura 26: Resumen validaciones cruzadas- Roca Caja

En este caso, el plan de kriging más adecuado es el Octante 5.

40

INFORME AVANCE I

Validaciones Vetas Estadísticas Datos Totales Datos Robustos Porcentaje de Datos Robustos pendiente nube correlación Media Error Estandarizado Media Error Varianza Error Estandarizado Varianza Error Dispersión Error Estandarizado

Elipsoidal 24 145 138 95.17% 0.9451 0.016 0.004 1.22 0.045 0.000

Elipsoidal 32 145 138 95.17% 0.9451 0.014 0.004 1.22 0.045 0.000

Elipsoidal 40 145 138 95.17% 0.9452 0.015 0.004 1.23 0.045 0.000

Octante 3 145 139 95.86% 0.9492 -0.046 -0.007 1.20 0.046 0.000

Octante 4 145 139 95.86% 0.9527 -0.022 -0.003 1.23 0.046 0.000

Figura 27: Resumen validaciones cruzadas- Roca Caja

En el caso de las vetas, el plan de kriging más adecuado es el Octante 4.

41

Octante 5 145 138 95.17% 0.9448 -0.017 -0.002 1.24 0.046 0.000

INFORME AVANCE I

9 Conclusiones y recomendaciones Como primera gran conclusión se menciona la selección del compósito a utilizar en los análisis. Si bien en un principio se realizaron análisis descriptivos para todos los datos, se determinó que la información proveniente de los sondajes compositados a 10[m] incurría en menos errores con respecto a los datos sin compositar y compositados a 5 [m]. Ello debido a que su media es muy similar a la media de los datos no compositados, su varianza es menor, y la cantidad de datos con los que se trabaja es una cuarta parte de lo original, es decir, es una muestra representativa de la realidad del yacimiento y la poca cantidad de datos implica menores errores de arrastre en el estudio, sin embargo hay que tener presente que se incurre a una dilución de los datos por el efecto soporte. Concluyendo al realizar la elección de qué base de datos utilizar se prefirió tener menos datos con una menor dispersión que más datos, que podría parecerse más a la muestra, con una mayor dispersión. La base de datos contenía información geológica del yacimiento, litologías y dominios. Uno de los puntos importante en el trabajo recae en la correcta elección de las unidades de estimación, las que en esta oportunidad pueden ser las características geológicas antes mencionadas. A partir de lo analizado, se concluye que los dominios geológicos son más representativos del yacimiento, pues tienen continuidad en el espacio (variabilidad de leyes de cobre es baja para sectores cercanos y están presentes en todo el yacimiento), tienen mayor número de datos (lo que hace posible una mejor estimación) y propiedades bien definidas (leyes de cobre). Por otra parte, se descartó la posibilidad de utilizar las litologías como unidades de estimación debido a que solo predominan 3 de ellas, con más de un 90% respecto de las otras, al momento de compositar algunas litologías desaparecen y no existen características específicas para cada tipo litológico. Es importante mencionar el efecto soporte, el que permite finalmente discriminar que tipo de compósito deberá usarse en el estudio. Este efecto “suaviza” los datos, leyes de cobre, al ponderar en volúmenes más grandes, lo que influye directamente en la variabilidad numérica disminuyéndola, pero manteniendo a media global. 0,5

0,461

0,46

0,46

0,239 0,3

0,2

Varianza

Media

0,4

0,3

0,18 0,2

0,157

0,1

0,1 Sin Compositar

Compositados 5[m] Compositados 10[m] Media

Varianza

Gráfico 28: Efecto Soporte – Leyes de Cobre

42

INFORME AVANCE I

La utilización de mapas variográficos resulta de gran utilidad para definir asimetrías zonales, no obstante, la cantidad de datos en algunos dominios (por ejemplo en las vetas) limita su uso por la incapacidad de apreciar correctamente estos datos. Además, los parámetros usados para la creación de estos mapas serán muy influyentes puesto que pequeñas variaciones en ellos permitirán mostrar las distintas fluctuaciones en el espacio. En lo que respecta a los variogramas experimentales se debe resaltar que, como se busca representar las anisotropías del yacimiento, las direcciones seleccionadas para su realización influirán fuertemente en los resultados finales. A su vez, es importante mencionar lo errático que puede volverse el variograma experimental en caso de definir un número de pasos muy grande, pues se sale de su rango de alcance (empíricamente la mitad del largo del dominio en la dirección analizada) y se mostrará muy sensible en base a los datos de entrada que se le otorguen. El hecho de contar con variogramas experimentales limita el trabajo de la estimación de recursos debido a que este es impreciso e incompleto, es decir, se encuentra restringido tanto por los parámetros utilizados como por el rango espacial en que se puede utilizar. Dado lo anterior, nace la necesidad de modelar el variograma, ajustando una determinada función que represente lo más cercanamente posible a los datos del variograma experimental y que sea funcional, esto es, que sea aplicable en todo punto del espacio. La definición de los variogramas modelados lleva a generar distintos planes de krigging, los cuales reflejan la calidad de la estimación en función del sesgo global y condicional de las leyes estimadas sobre las reales. De este modo, el variograma tiene injerencia en la determinación de los ponderadores del krigging, por formar parte de la matriz de varianzas y covarianzas que debe invertirse para generar los ponderadores. Por otro lado, se tiene que la definición del mejor plan de estimación del krigging está sujeta a errores del mismo proceso de estimación, el cual “suaviza” los valores estimados, es decir, para las leyes extremas (altas y bajas), se produce un efecto de acercamiento a modo de generar un modelo preciso y exacto. Finalmente, se apreció que al tomar mayor cantidad de datos, tanto por octante como en planes elipsoidales, se llega a errores medios más bajos, lo cual es consistente con el hecho de que con mayor cantidad de datos se minimiza la varianza del krigging.

43

INFORME AVANCE I

10 Anexos 10.1 U-mine 10.1.1 Importación de datos 1. Se crea una carpeta donde se generará el proyecto, posterior a esto se le da el nombre y se ubica en la carpeta creada. 2. Se importan los archivos en la opción IMPORT_NEW (sin compositar, compositados 5m y compositados 10m) 3. Definir columnas asociadas a coordenadas. 4. Identificar tipos de variabes. 5. Verificar mediante el preview. 6. Importar datos.

Figura 28: Importación de datos U-mine

44

INFORME AVANCE I 10.1.2 1. 2. 3.

Despliegue de datos Mediante la opción LOCATION MAP se despliegan las figuras en 2D y en 3D. Seleccionar variable a desplegar y base de datos a la cual pertenece. Desplegar con RUN.

Figura 29: Despliegue de datos en U-mine

10.2 Histogramas Litologías restantes

Histograma Litología 0 25 Frecuencia

Litología 0 Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 23 0,4 9 0,6 1 0,8 1 1 0 1,2 0 1,4 1 1,6 0 1,8 0 y mayor... 0

20 15 10 5 0

Ley de cobre [%]

Gráfico 29. Histograma Litología 0 – Compósito 10 [m]

45

INFORME AVANCE I

Histograma Litología 2 Frecuencia

Litología 2 Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 5 0,4 5 0,6 5 0,8 7 1 3 1,2 0 1,4 0 1,6 0 1,8 0 y mayor... 1

8 7 6 5 4 3 2 1 0

Ley de cobre [%]

Gráfico 30. Histograma Litología 2 – Compósito 10 [m]

Histograma Litología 3 20 Frecuencia

Litología 3 Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 17 0,4 12 0,6 6 0,8 4 1 0 1,2 0 1,4 0 1,6 0 1,8 0 y mayor... 0

15 10 5 0

Ley de cobre[%]

Gráfico 31. Histograma Litología 3 – Compósito 10 [m]

46

INFORME AVANCE I

Histograma Litología 6 2.5 Frecuencia

Litología 6 Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 0 0,4 2 0,6 0 0,8 0 1 1 1,2 0 1,4 0 1,6 0 1,8 0 y mayor... 0

2 1.5 1 0.5 0

Ley de cobre [%]

Gráfico 32. Histograma Litología 6 – Compósito 10 [m]

Histograma Litología 7 Frecuencia

Litología 7 Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 2 0,4 11 0,6 13 0,8 10 1 3 1,2 3 1,4 2 1,6 0 1,8 0 y mayor... 0

14 12 10 8 6 4 2 0

Ley de cobre[%]

Gráfico 33. Histograma Litología 7 – Compósito 10 [m]

47

INFORME AVANCE I

Histograma Litología 8 Frecuencia

Litología 8 Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 13 0,4 9 0,6 6 0,8 4 1 1 1,2 0 1,4 1 1,6 0 1,8 0 y mayor... 0

14 12 10 8 6 4 2 0

Ley de cobre [%]

Gráfico 34. Histograma Litología 8 – Compósito 10 [m]

Histograma Litología 30 Frecuencia

Litología 30 Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 13 0,4 12 0,6 0 0,8 1 1 0 1,2 0 1,4 0 1,6 0 1,8 0 y mayor... 0

14 12 10 8 6 4 2 0

Ley de cobre[%]

Gráfico 35. Histograma Litología 30 – Compósito 10 [m]

48

INFORME AVANCE I

Histograma Litología 112 Frecuencia

Litología 112 Ley de cobre [%] Frecuencia 0,2 1 0,4 3 0,6 1 0,8 1 1 1 1,2 1 1,4 1 1,6 0 1,8 0 y mayor... 0

3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

Ley de cobre [%]

Gráfico 36. Histograma Litología 112 – Compósito 10 [m]

10.3 Archivos de parámetros Mapas Variográficos 10.3.1 Pórfido Parameters for PIXELPLT *********************** START OF PARAMETERS: varmap_porfido.out 4 0 1.0e21 mapa_var_porfido_xy.ps 1 9 0 40 9 0 40 41 0 20 1 1 Mapa var porfido XY Norte Este 0 1 0 0.0 0.7 0.1 4

-file with gridded data - column number for variable - data trimming limits -file with PostScript output -realization number -nx,xmn,xsiz -ny,ymn,ysiz -nz,zmn,zsiz -slice orientation: 1=XY, 2=XZ, 3=YZ -slice number -Title -X label -Y label -0=arithmetic, 1=log scaling -0=gray scale, 1=color scale -0=continuous, 1=categorical -continuous: min, max, increm. -categorical: number of categories 1 3 Code_One -category(),

code(), name() 2 3 4

1 6 10

Code_Two Code_Three Code_Four

49

INFORME AVANCE I 10.3.2 Roca Caja Parameters for VARMAP ********************* START OF PARAMETERS: Datos_Compositados_10m_RC.txt -file with data 1 5 number of variables: column numbers 0 1.0e21 trimming limits 0 -1=regular grid, 0=scattered values 50 50 1 -if =1: nx, ny, nz 1.0 1.0 1.0 xsiz, ysiz, zsiz 1 2 3 -if =0: columns for x,y, z coordinates varmap_caja.out -file for variogram output 4 4 20 -nxlag, nylag, nzlag 40 40 20 -dxlag, dylag, dzlag 1 -minimum number of pairs 0 -standardize sill? (0=no, 1=yes) 1 -number of variograms 1 1 1 -tail, head, variogram type

10.3.3 Vetas Parameters for PIXELPLT *********************** START OF PARAMETERS: varmap_vetas.out 1 0 1.0e21 mapa_var_vetas_xy.ps 1 9 0 40 9 0 40 41 0 20 1 1 Mapa var vetas XY Norte Este 0 1 0 0 0.07 0.01

-file with gridded data - column number for variable - data trimming limits -file with PostScript output -realization number -nx,xmn,xsiz -ny,ymn,ysiz -nz,zmn,zsiz -slice orientation: 1=XY, 2=XZ, 3=YZ -slice number -Title -X label -Y label -0=arithmetic, 1=log scaling -0=gray scale, 1=color scale -0=continuous, 1=categorical -continuous: min, max, increm. 4 -categorical:

number of categories 1

3

2 3 4

1 6 10

Code_One

-category(),

code(), name() Code_Two Code_Three Code_Four Parameters for PIXELPLT

50

INFORME AVANCE I

10.4 Marco teórico Kriging Ideado por el ingeniero en minas sudafricano Danie Krige y formalizado posteriormente por el ingeniero francés Georges Matheron, el Kriging es un interpolador espacial, es decir, estima variables regionalizadas en sitios donde no existe información a partir de una cierta cantidad de datos que sí son conocidos. Difiere del resto de los interpoladores pues considera al error como una variable aleatoria. En torno a esto, el kriging se construye como un estimador insesgado y preciso. El kriging es un estimador lineal ponderado de la siguiente forma:

Donde z*(xo) es el valor de la variable a estimar en una localidad xo, z(xa) los datos y los lambda los ponderadores que multiplican a los datos, cuyos valores son a determinar y dependen de tres factores principales: 1) La distancia al sitio a estimar 2) Redundancias entre los datos 3) Continuidad espacial de la variable  Variograma (explicado más adelante) Como el kriging es un estimador insesgado y preciso, se le pide también que cumpla:

Es decir, que la esperanza del error sea nula y que su varianza sea mínima. Ahora bien, cabe destacar que existen dos tipos principales de kriging: simple y ordinario. En el kriging simple se asume que la media de la variable es conocida y constante en todo el espacio. Sin embargo, una suposición tan fuerte puede afectar a la robustez de la estimación. Por lo tanto, se asume la media desconocida y se usa el otro tipo de kriging, el ordinario. 10.4.1 Vecindad de kriging Dado que la cantidad de datos que se tiene puede ser muy alta, utilizar todos los datos existentes para estimar cada punto puede resultar excesivamente costoso y lento. Es por esto que se define una vecindad móvil (pues cambia con cada sitio a estimar) que incluye una cantidad de datos reducida, ya que los datos más lejanos aportan muy poco a la calidad de estimación. Esta vecindad tiene forma elipsoidal, ya que teóricamente una elipsoide representa anisotropía espacial. Para mejorar la calidad de estimación, se suele dividir este elipsoide en sectores angulares, usualmente en octantes.

51

INFORME AVANCE I

Figura 30: Vecindad de kriging

Para determinar el tamaño y cantidad de datos a considerar dentro de una vecindad, se usan validaciones cruzadas. La calidad de la estimación depende de la media y dispersión del error de estimación, además de la correlación entre valores estimados y datos medidos. 10.4.2 Variogramas: Continuidad Espacial Con el fin de medir la continuidad espacial de una variable regionalizada, se utiliza la herramienta conocida como variograma. El variograma experimental mide la desviación cuadrática promedio entre dos datos en función de su separación espacial:

Donde h es el vector de separación y N(h) la cantidad de pares de datos que están separados por ese vector. El variograma experimental se puede calcular a lo largo de más de una dirección si se requiere (anisotropía direccional), y sus parámetros de cálculo principales son: 1) Paso: cada cuanto se calcula el variograma (vector h) 2) Tolerancia angular y ancho de banda: Cuanto del espacio se desea cubrir en el cálculo 3) Dirección de interés: Anisotropía direccional

Una vez calculado el variograma experimental, se procede a aproximarlo por ciertos modelos matemáticos, denominados estructuras, generando un variograma modelado. Esto es necesario pues el variograma experimental es incompleto (se calcula en algunas direcciones y para ciertas distancias) y no cumple con las condiciones matemáticas para usarse en interpolación de datos. En este trabajo se utilizan dos de estas estructuras: el modelo pepa y el modelo esférico:

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INFORME AVANCE I

Figura 31: Modelo pepa

El modelo de pepa o “efecto pepita” denota ausencia de correlación entre datos a pequeña escala, además de posibles errores de muestreo. El modelo esférico, en cambio, busca aproximar el variograma experimental a través de una función que se estabiliza en un valor llamado meseta (C), a una distancia llamada alcance (a).

Figura 32: Modelo esférico

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