Informe Integrales Impropias.docx

ANALISIS NUMERICO Integrales Impropias

Integrantes: Rezabala Intriago Steeven Yagual Selena Cobos Malavé John Pozo Torres Edison Tomalá Anabel

9 DE FEBRERO DE 2017 QUINTO SEMESTRE

INDICE INTRODUCCION ............................................................................................................................. 2 OBJETIVO ....................................................................................................................................... 3 OBJETIVOS ESPECIFICOS ................................................................................................................ 3 LIMITE ............................................................................................................................................ 4 Definición .................................................................................................................................. 4 INTEGRAL IMPROPIA ..................................................................................................................... 5 Introducción .............................................................................................................................. 5 Integrales Convergentes O Divergentes.................................................................................... 7 Carácter y valor de las Integrales Impropias ............................................................................. 7 1-Primera especie.................................................................................................................. 7 2-Segunda Especie................................................................................................................. 8 3-Tercera Especie .................................................................................................................. 8 Ejemplos de Integrales impropias ......................................................................................... 8 CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 14 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 14

INTRODUCCION Para definir la integral de Riemann de una cierta función f(x) en un intervalo [a, b], se necesita que el intervalo de integración sea cerrado y acotado y que la función esté acotada dentro del intervalo. Cuando una de estas dos condiciones no se cumple, se define la integral impropia como una generalización de la integral de Riemann. Este concepto, de múltiples aplicaciones (probabilidades, normas funcionales, transformadas de Fourier,…), ofrece una gran resistencia a los estudiantes universitarios, que lo aprenden sin darle significado y restringiéndose a cálculos algebraicos y a la aplicación de criterios de convergencia (González-Martín, 2002). Para hacer frente a esta situación, decidimos crear una secuencia de enseñanza para ayudar a los estudiantes a aprender este concepto coordinando los registros gráfico y algebraico, dándole así más significado. Nuestra secuencia de enseñanza juega a la vez el rol de instrumento de investigación; por ello, se decidió utilizar una ingeniería didáctica (Artigue, 1992). Esta metodología desarrolla análisis, previos a la construcción de la secuencia de enseñanza, de tres dimensiones clásicamente consideradas: epistemológica, didáctica y cognitiva. Nuestra revisión de bibliografía (ver GonzálezMartín, 2006) nos mostró que el aprendizaje de la integral impropia no ha sido directamente abordado por la investigación internacional, por lo que el estudio de la dimensión cognitiva resultó de gran utilidad para identificar algunas dificultades y obstáculos. Este artículo da algunos breves detalles de los análisis cognitivo y didáctico y se centra más en el análisis epistemológico, dando algunos

detalles

de

procedimientos

matemáticos para calcular áreas infinitas.

utilizados

históricamente

por

los

OBJETIVO  Explicar de manera didáctica el tema integrales impropias

OBJETIVOS ESPECIFICOS  Analizar las diferentes situaciones en los que sea necesario utilizar el método.  Comprender que es límite de funciones  Comprender la importancia y la aplicación de las teorías matemáticas.

LIMITE Definición Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L|

INTEGRAL IMPROPIA Introducción "Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞, entonces la integral

Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:

En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites. La integral

Puede interpretarse como

Pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor. En contraste al caso anterior,

no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que

Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por

Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta extendida de números reales en los cuales debemos utilizar límites. Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda. El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso extensivo de integrales sobre el total de la recta real. Definición: Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades.

si los límites existen.

Integrales Convergentes O Divergentes

Sabemos que si el resultado me da uno es convergente y si me da infinito es divergente. Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente.

Carácter y valor de las Integrales Impropias Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente. Primero clasifiquemos las integrales en 3 tipos:

1-Primera especie Son del tipo:

ó Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos el primer caso de primera especie, con el segundo es equivalente): Si existe el

y es finito y en ese caso

entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente si

es + ó - infinito, y se dice que es una integral oscilante si el limite no existe.

2-Segunda Especie Son del tipo:

y que f(x) no está definida en el intervalo de integración o en los extremos de integración. Para poder determinar su carácter realizamos la siguiente operación (suponemos que el punto conflictivo se encuentra en x = a): Si el Existe y es finito y en este caso

Entonces se dice que la integral es convergente o que la integral converge. Se dice que es divergente en cualquier otro caso.

3-Tercera Especie Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración. Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.

Ejemplos de Integrales impropias PRIMERA ESPECIE

De la primera forma ∞3

∫𝑒

𝑥

𝑑𝑥

𝑏 𝑑𝑥 = lim (3 ln 𝑥) = lim (3 ln(𝑏) − 3 ln(𝑒)) 𝑥 𝑏⟶∞ 𝑎 𝑏⟶∞

𝑏3

= lim ∫𝑒 𝑏⟶∞

= 𝟑 lim (ln(𝑏) − 1) = 3 (ln(∞) − 1) = 3 (∞ − 1) = 𝑏⟶∞

∞ Diverge

De la segunda forma 4

4

∫−∞ ᴨ𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = lim ∫𝑏 ᴨ𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ ᴨ𝑒 2 𝑑𝑥 = ᴨ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 2𝑥

𝑏 ⟶ −∞

𝜋

= ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 2 =

𝜋 2

𝜋 2

[𝑒 8 − 𝑒 2(−∞) ] =

𝜋 2

[𝑒 8 − 0] =

𝜋 2

[𝑒 8 ] Converge

De la tercera forma ∞ 𝒅𝒙 ∫−∞ 𝒆𝒙 +𝒆−𝒙

=

𝟎

= ∫−∞

𝟎 𝒅𝒙 𝐥𝐢𝐦 ∫𝒃 𝒙 −𝒙 𝒆 +𝒆 𝒃⟶−∞

𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥

𝜋 4 4 𝜋 [𝑒 2𝑥 ] = lim [𝑒 2𝑥 ] = [𝑒 8 − 𝑒 2𝑏 ] 𝑏 𝑏⟶−∞ 2 𝑏 2

𝒅𝒙 𝒆𝒙 +𝒆−𝒙

+

𝑡 = 𝑒𝑥

∞

+ ∫𝟎

𝒅𝒙 𝒆𝒙 +𝒆−𝒙

𝒃 𝒅𝒙 𝐥𝐢𝐦 ∫𝟎 𝒙 −𝒙 𝒆 +𝒆 𝒃⟶∞

𝑑𝑡 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑒𝑥

= 𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑡

= 𝑑𝑥

𝒅𝒕

𝒅𝒙 𝒅𝒕 = ∫ 𝒙 −𝒙 = ∫ 𝒕 𝟏 = ∫ 𝟐 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (𝒕) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (𝒆𝒙 ) 𝒆 +𝒆 𝒕 +𝟏 𝒕+ 𝒕

𝟎 𝒃 = 𝐥𝐢𝐦 [𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (𝒆𝒙 )] + 𝐥𝐢𝐦 [𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒆𝒙 )] 𝒃⟶−∞ 𝒃 𝒃⟶∞ 𝟎 = 𝐥𝐢𝐦 [𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (𝒆𝟎 ) − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒆𝒃 )] + 𝐥𝐢𝐦 [𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒆𝒃 ) − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒆𝟎 )] 𝒃⟶−∞

𝒃⟶∞

𝝅

𝝅

= 𝐥𝐢𝐦 [ − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (𝒆𝒃 )] + 𝐥𝐢𝐦 [𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒆𝒃 ) − ] 𝒃⟶−∞ 𝟒

𝟒

𝒃⟶∞

𝝅

𝝅

𝟒

𝟒

= [ − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒆−∞ )] + [𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒆∞ ) − ] 𝝅

𝝅

𝟒

𝟒

= − 𝒂𝒄𝒓𝒕𝒈(𝟎) + 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 (∞) − 𝝅

𝝅

𝝅

𝟒

𝟐

𝟒

= − (𝟎) + − =

𝝅

Converge

𝟐

SEGUNDA ESPECIE 5 1



∫

∫2

𝑥−2

5 1

𝑑𝑥 = ∫𝑏

𝑥−2

𝑑𝑥

1 𝑑𝑥 = ln(𝑥 − 2) 𝑥−2

5 lim ⌊ln(𝑥 − 2)⌋ = 𝑏

𝑏→2+

lim ⌊ln(5 − 2) − ln(𝑏 − 2)⌋

𝑏→2+

lim ⌊ln(3) − ln(6 − 2)⌋

𝑏→2+

lim ⌊ln 𝑏−2⌋=∞ la función es divergente 3

𝑏→2+

Ejemplo 2 3

∫0

𝑑𝑥 √(9−𝑥 2 )

𝑏

= ∫0

𝑑𝑥 √(9−𝑥 2 )

=∫

𝑑𝑥 √(9−𝑥 2 )

∫

1/√9 2

√(9−𝑥 )

𝑑𝑥 = ∫

9 9

1/3 2

√(1−𝑥 )

𝑑𝑥=∫

9

𝑥

lim ⌊ln(arcsen(3)⌋

𝑏→3−

1/3

𝑥

=arcsen ( )

2 √(1−(𝑥) ) 3

3

𝑏 0 𝜋 𝑏 = lim ⌊ln(arcsen (3) − arcsen (3) ⌋ = arcsen(1) =2 0 𝑏→3−

convergue

Ejemplo 3 4

∫0

𝑑𝑥 (𝑥−1)2

va ha existir 2 areas

𝑏

lim− ∫

𝑏→1

∫

0

4

𝑑𝑥 (𝑥 − 1)

2

+ lim+ ∫ 𝑏→1

𝑏

𝑑𝑥 (𝑥 − 1)2

𝑑𝑥 1 = ∫(𝑥 − 1)−2 𝑑𝑥 = − 2 (𝑥 − 1) (𝑥 − 1)

lim− ⌊−

1 1 4 𝑏 ⌋ + lim+ ⌊− ⌋ = (𝑥 − 1) 0 𝑏→1 (𝑥 − 1) 𝑏

lim− ⌊−

1 1 1 1 4 − (− )⌋ + lim+ ⌊− − (− ⌋ = 𝑏→1 (𝑏 − 1) (0 − 1) (4 − 1) (𝑏 − 1) 𝑏

𝑏→1

𝑏→1

lim ⌊−

𝑏→1−

1 (𝑏 − 1) 1

1 1 − 1⌋ + lim+ ⌊− + ⌋= 𝑏→1 3 (𝑏 − 1)

(∞-1)+ ( − 3 + ∞)=∞ diverge

Tercera especie

Encontrar la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia +∞

𝑥(1 + 𝑥 2 )2

∫ −∞ 0

𝑏

lim ∫ 𝑥(1 + 𝑥 2 )−2 𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑥(1 + 𝑥 2 )−2 𝑑𝑥

𝑛→−∞ 𝑎

𝑛→+∞ 0

1 + 𝑥2 = 𝑢 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 1 1 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = − 𝑢−1 2 2 0

𝑏

(1 + 𝑥 2 )−1 (1 + 𝑥 2 )−1 ⌊− ⌋ −| | 2 2 𝑎 0

1 1 1 1 − + − + 2 2 2 2(1 + 𝑎 ) 2(1 + 𝑏 ) 2 1 1 1 1 lim − + + lim − + 2 2 n→−∞ 2 2(1 + a ) n→+∞ 2(1 + b ) 2 1 1 − + =0 2 2 La integral converge en cero

Encontrar convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia ∞

2𝑥𝑑𝑥 2 −∞ 𝑥 + 1

∫ 0

lim ∫

𝑛→−∞ 𝑎

𝑏 2𝑥𝑑𝑥 2𝑥𝑑𝑥 + lim ∫ 2 𝑥 + 1 𝑛→+∞ 0 𝑥 2 + 1

𝑥2 + 1 = 𝑢 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 ∫

𝑑𝑢 = ln(𝑢) 𝑢

|ln(𝑥 2 + 1)|0𝑎 + |ln(𝑥 2 + 1)|𝑏0 ln(1) − ln(𝑎2 + 1) + ln(𝑏 2 + 1) − ln(1) = − ln(𝑎2 + 1) + ln(𝑏 2 + 1) lim − ln(𝑎2 + 1) + lim ln(𝑏 2 + 1)

𝑛→−∞

𝑛→+∞

+∞ − ∞ = ∄ La integral diverge

CONCLUSIONES Las integrales nos permiten expresar la primitiva de una función elemental. Existen tres tipos de integrales impropias, de primera, segunda y tercera especie; las cuales se diferencian según los límites que presenten ya sea infinito o no. Nos ayuda a realizar el cálculo de áreas, volúmenes, funciones primitivas y demás. Se tiene claro las diversas escuelas matemáticas, es decir la matemática aplicada y la matemática pura, que desarrolla la teoría matemática desde el punto de vista axiomático y riguroso.

BIBLIOGRAFÍA Para realizar gráficas. https://www.desmos.com/calculator/ueqnbdgdch By: Larson, Ron. México, D.F. : McGraw-Hill, 2006 1 v. (en varias paginaciones) : il. col. Language: Spanish, Base de datos: Universidad Privada Del Norte's ILL Catalog By: Stewart, James. México, D.F. : Thomson Learning, 2002 1 v. (en varias paginaciones) : il. col. Language: Spanish, Base de datos: Universidad Privada Del Norte's ILL Catalog