Integrales Multiples

INTEGRALES MULTIPLES 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Integrales dobles sobre rectàngulos Propiedades Càlculo Teorema de Fubini Cambio de variable La transformaciòn a coordenadas polares Aplicaciones de las integrales dobles ROSA N. LLANOS VARGAS

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS

 ||P||=

máx { diagonales de , i = } Sea ( . Consideremos el prisma que tiene por base el rectángulo y altura f ( ; entonces el volumen del prisma será  

 

 La

suma de Riemann sobre R, es

Si ||P||0 , entonces el volumen del sólido es Definición . Si la función f es continua sobre un rectángulo R, la integral doble de f sobre R ,es Si el límite existe. R se llama dominio de integración

  eneral si D es una región acotada del plano y si f es una fun nua sobre D, entonces la integral doble existe y su valor es mite (1).

ema. Si f es una función continua sobre la región acotada D d o, entonces f es integrable sobre D.

nición. El volumen del sólido debajo de la superficie S: z = a base es el conjunto acotado D es,

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES  Si f y g son funciones integrables sobre la región

acotada D

Linealidad Monotonía: 4. Si f(x,y) g(x , y ) sobre D entonces

 Aditividad

5. Si D = son acotados, entonces

6. Si f (x , y ) > 0 sobre D , entonces 7. Teorema del valor medio .- Si f : es continua entonces en el punto , tenemos: donde A(D) es el área de la región D

CÁLCULO DE LAS INTEGRALES DOBLES

ES ITERADAS. [ a , b] x [ c , d ] un rectángulo sobre el cual la función f es continua eniendo fija la variable x , la función depende de y, e integrando con cto a y , se tiene

llamada integral i

=

  TEOREMA DE FUBINI . Si f es continua sobre el rectángulo R= [a , b] Entonces

2. Si R = { (x,y) / } , siendo funciones continuas en [ a, b ] , f es una función continua sobre R. Y

X

3. Si  R = { (x,y) / } , siendo funciones continuas en [ c , d ] , f es una función continua sobre R.

  f(x , y ) = g ( x ) h ( y ) , sobre R= [ a, b ]x [ c ,d ] entonces - si

CAMBIO DE VARIABLE

es  una función continua definida sobre la región acotada S de en R y s

una transformación continua definida sobre una región acotada D de

; tales que existe

,v)

onde,

T S

f ( x , y)

z

f ( x , y ) = f ( x ( u, v) , y ( u ,v ))

 

El determinante de la matriz jacobiana , denotado por |J(u,v)|, es Entonces dA = dxdy = |J(u,v)|dudv De allí que

LA TRANSFORMACION A COORDENADAS POLARES

:  =

De allí que

sta transformación se utiliza, por lo general, cuando aparece en el ntegrando o en los límites de integración.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE

Si f :  D es continua sobre la región acotada D.

3. Area de la superficie S : z = f (x,y) ,limitada por la curva C. C es la fro S. D es la región limitada por la proyección de C sobre el plano XY.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE

sa.  Si R es la región del plano ocupada por una lámina cuya densidad da punto P(x,y) es Entonces la masa de la lámina es:

ntro de masa .

  Ejemplos. Dibujar la región de integración y calcular la s integrales dobles siguientes: 1) En esta integral x varía entre 0 e y , mientras y varía entre 0 y 4π ; es decir 0≤x ≤ y 0≤ y ≤ 4π Y =

4π x=y

Luego, = -4π

0

Cambiando el orden de la integración: =

= = - ( x – senx ) = - 4

X 0≤x ≤ 4π

,

x ≤ y ≤ 4π

 

II.  Si a) Graficar la región D b) Calcular como una sola integral III: Efectuar un cambio de variable para calcular

Sea la transformación T: y J(u,v) = 2 X+2Y=4 Por otro lado, transformando D, b) x= 0 , y 0 4 x V = -u , u = -2y , luego u ∈ [-4, 0 ]

b) y  = 0 , x∈ [0 , 4 ] , entonces v= u , u = x luego u∈ [0, 4 ] c) x + 2y = 4 4 Pero

0 ≤ x≤4 , y , x= =

Entonces 0 ≤

= 4(1-cos1)

v=- u 0

v=u U

V

INTEGRALES TRIPLES SOBRE RECTÁNGULOS Si f : R ⇾ IR es una función continua sobre R siguiendo el método del cálculo integral, luego de definir una partición sobre cada uno de los intervalos [ a , b ], [ c , d ], [ u , v ] en m, n y l subintervalos, respectivamente, entonces R queda dividido en mnl pequeños paralelepípedos de la forma B

ijk

= [ xi-1 , xi ]x[yj-1 , yj ]x[zk-1 , zk ]

Cuyo volumen es Δijk V= Δi x Δj y Δk z

INTEGRAL TRIPLE

INTEGRAL TRIPLE

 

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE

Las Propiedades del 1 al 6 de las integrales dobles se generalizan para las integrales Triples, en general sobre un sólido Q , se tiene:

donde Q = . y

se llaman «solapamientos»

CÁLCULO DE INTEGRALES TRIPLES – INTEGRAL ITERADA

dV

EVALUACIÓN DE INTEGRALES ITERADAS  Si

R es el rectángulo R = [a, b] x [c , d] x [u , v ] sobre el cual f es integrable, entonces

REGIONES DE INTEGRACIÓN

1. Si  R :

La región de integración R ,es proyectada Sobre el plano XY.  

 

X= f(y,z)

Y=f(x,z)

Ejemplo 1

  yectando sobre el plano XY, hacemos z = 0 , entonces

y 

 

-2 



y

















x







Ejemplo 2 Determinar el sólido cuyo volumen es dado por la integral  

  0

0 x y 0 z 1-

TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES TRIPLES

Si suponemos   que la región de integración es de la primera forma Q: a

Cambio de Variable  

,y)

CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

COORDENADAS CILINDRICAS

s o  rc  rsen

CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS

ERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS CILINDRIC

 

La integral triple en coordenadas cilíndricas

Coordenadas Esféricas  

X= F(, , )

CAMBIO A COORDENADAS ESFERICAS

FERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS ESFÉRICA

 

z=1-

 

y+z=2, x=4-

MOMENTOS DE INERCIA DE UNA REGIÓN SÓLIDA

Cambio de Variable  

,y)

CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

COORDENADAS CILINDRICAS

s o  rc  rsen

CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS

 

La integral triple en coordenadas cilíndricas

Coordenadas Esféricas  

X= F(, , )

 

z=1-

 

y+z=2, x=4-