Aplicaciones De Integrales Multiples A La Fisica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

APLICACIONES DE INTEGRALES MULTIPLES APLICACIONES A LA FISICA QUIROZ GIRÓN CRISTIAN LARRY

MATEMATICA III

FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA MINERA Y METALURGICA

[APLICACIONES DE INTEGRALES MULTIPLES] MATEMATICA III

APLICACIONES DE INTEGRALES MULTIPLES A LA FISICA.  APLICACIONES DE INTEGRALES DOBLES:  MASA DE UNA FIGURA PLANA. Considere una lámina plana de densidad variable entonces su masa viene dada por m, la cual es:

, que ocupa una región D en el plano xy,

EJEMPLO. Determine la masa de las placas delimitadas por las curvas varía de acuerdo a la función SOLUCION:

, cuya densidad

La solución se obtiene de aplicar directamente la fórmula de integral doble entonces aplicando al problema dado se tiene:

,

Aplicando sobre la región dada D:

Dividimos esta área en dos partes (D1 y D2) para pasar a integrar convenientemente:

Donde:

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[APLICACIONES DE INTEGRALES MULTIPLES] MATEMATICA III Entonces tendriamos por problema:

 MOMENTOS ESTATICOS FIGURAS PLANAS:

DE

El momento estatico de una particula alrededor de un eje se define como el producto de su masa por la distancia que la separa de ese eje. A continuación se trata de los momentos de la figura D alrededor de los ejes cordenados.

EJEMPLO: A manera de ejemplo determinaremos los momentos estáticos de la figura utilizada en el problema anterior.

Ahora tomamos a la figura como un gran numero de partes infinitesimales y tomamos una integral en este limite. Sea D una región en el plano xy , tal que su densidad viene dada por la función la cual es continua entonces el momento estatico alrededor del eje x denotado por Mx se define como :

Mientras el momento de y es My:

Calculando el momento respecto al eje y se tiene:

Concluimos el ejemplo con los siguientes resultados:  

Mx= 64/3 My= 1424/15

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 CENTRO DE MASA: El centro de gravedad de una figura plana D , es un punto P de coordenadas en el cual la región se equilibra horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtiene mediante las acuaciones:

De donde tanto las masas como los momentos estáticos se calculan mediante integrales dobles. Sea D una región del plano xy tal que su densidad viene dada por la función cual es continua

la

entonces el centro de gravedad viene dado por:

Apliquemos esta nueva formula al problema ya dado al inicio. EJEMPLO: Determine el centro de masa de la placa descrita anteriormente. SOLUCION. Sustituyendo los valores hallados en los ejemplos anteriores obtenemos:

.: Quedándonos

= ( 178/75 ; 8/15 )

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 MOMENTO DE INERCIA. El momento de inercia de una particula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y el cuadrado de la distancia que los separa de ese eje y se considera como una medida de oposición a girar del cuerpo cuando actua sobre el una fuerza de rotación. Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función la cual es continua entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes x y y , denotados por Ix e Iy se obtienen como:

El momento de inercia I0 es :

EJEMPLO: Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en el ejemplo anterior.

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 APLICAIONES DE INTEGRALES TRIPLES. Las aplicaciones de las integrales triples son similares a las de la dobles , por ello no entraremos en detalles de definiciones físicas .

 MASA DE UN SOLIDO EN EL ESPACIO.

masa es un punto coordenadas son:

donde sus

Considere un cuerpo tridimensional B de densidad variable entonces su masa denotada por m, se obtiene como :

 MOMENTOS ESTATICOS DE UN SOLIDO EN EL ESPACIO. Sea B un recinto del espacio , tal que su densidad viene dada por la función la

cual

es

continua

entonces los momentos estáticos son:

 CENTRO SOLIDO.

 MOMENTO DE INERCIA FIGURAS PLANAS.

DE

Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función la

cual

es

continua

entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados , denotados Ix ,Iy e Iz se obtienen por :

DE

MASA

DE

UN

Sea B un recinto del espacio, tal que su densidad viene dada por la función la

cual

es

El momento de inercia Io , es:

continua

Entonces el centro de

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN. 

PROBLEMA 01:

Hallar el centro de masa de un cubo de lado 1 que tiene un vértice inferior el origen de coordenadas, sabiendo que en cada punto (x, y, z) la distancia es proporcional al cuadrado de la distancia. SOLUCION: Como la densidad en cada punto (x , y, z) es proporcional al cuadrado de su distancia al origen se tiene:

Donde k es una constante.

Por otra parte,

Como se comprueba fácilmente, la integral entre corchetes s calculó más arriba, con lo cual

Finalmente por la simetría de la figura , se tiene por consiguiente : .: CM = ( 7/12 , 7/12, 7/12 )



PROBLEMA 02:

Hallar el centro de masa de un tetraedro de densidad constante y vértices (0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) y (0,0,1) . SOLUCION: Teniendo en cuenta los vértices del tetraedro , estará formado por tres planos que coinciden con los que forman el primer octante, además del plano x + y + z = 1 , por cortar a los ejes en los puntos (1 , 0 , 0 ), (0 , 1 , 0) y (0 , 0 , 1).Ahora bien, este plano corta al plano XY según la recta x + y = 1 .cuando x varía entre 0 y 1, y varía entre 0 y 1-x , y z entre 0 y 1 – x –y. Por lo tanto, si denotamos por S al tetraedro, se tendrá:

Y así, la densidad es será:

constante la masa

De lo que sigue:

Por otra parte,

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De lo que sigue que

= ¼ y por simetría, el centro de masas es el punto (¼, ¼, ¼).

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