Coordenadas Cilindricas Y Esfericas E Integrales Multiples

Investigar sobre los siguientes contenidos Parte I (45%)  Definición y representación grafica de coordenadas cilíndricas 1 Definición

Las coordenadas cilíndricas constituyen una generalización de las coordenadas polares del plano, a base de extenderlas al espacio paralelamente a una recta (el eje ), perpendicular al plano , como sigue: La coordenada radial, , es la distancia (en valor absoluto) del punto

al eje

.

La coordenada acimutal, , es el ángulo que la proyección del vector de posición sobre el plano forma con el eje . La coordenada vertical, , es la distancia (con signo) al plano Los rangos de variación de estas coordenadas son:

El ángulo

también puede variar en el intervalo *0,2π).

1.1 ρ es siempre una cantidad positiva

.

A diferencia de las distancias en cartesianas, que tienen un signo indicando a qué lado del plano se encuentran, la coordenada radial cilíndrica es siempre positiva. Si nos encontramos en un punto y, sin cambiar ni , vamos reduciendo ρ lo que hacemos es acercarnos al eje en línea recta. ¿Qué ocurre cuando atravesamos el eje? Que a partir de ahí vuelve a aumentar, pero cambia a oa . 1.2 Discos duros

La ubicación de los datos en los discos duros mediante el sistema CHS se realiza indicando tres cantidades: el cilindro (C), la cabeza (H) y el sector (S). Para ver qué tiene que ver esto con las coordenadas cilíndricas conviene describir cómo son los discos duros. Un disco duro en realidad es una pila de discos (por ejemplo, 4 discos) separados una distancia fija y grabados por sus dos caras. A cada lado de cada disco hay una cabeza lectora/escritora identificado por el número H, que equivale a la coordenada cilíndrica .

La distancia al eje de cada disco la da el número C, ya que un cilindro lo constituyen los puntos a la misma distancia del eje, en los distintos discos. Por tanto, C equivale a la coordenada radial . Por último, dados la cabeza y el cilindro, la posición a lo largo de una circunferencia (lo que se denomina una pista) se indica mediante el sector S, que corresponde a la coordenada cilíndrica . 1.3 Grúas

Uno de los ejemplos más sencillos de uso de las coordenadas cilíndricas lo proporcionan las grúas. Para controlar la posición de la carga, es preciso indicar el ángulo de giro de la flecha (el brazo de la grúa), dado por , la altura a la que se sube la carga ( ), y cuanto hay que desplazarla a lo largo de la flecha ( ).

 Conversión de coordenadas cilíndricas a rectangulares y viceversa, ejemplos Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares   

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas   

Ejemplo # 1 Convertir el Punto

a coordenadas cilíndricas.

Encontramos

Ahora encontramos

el cuadrante donde

es negativo (-3) y

es positivo (3) es el IV

cuadrante.

Ahora encontramos :

Entonces, el punto en coordenadas cilíndricas es: Ejemplo # 2 Convertir el punto

Encontremos

Ahora encontremos

en coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares.

Ahora encontremos

Entonces, el punto en coordenadas rectangulares es:

 Casos especiales de coordenadas cilíndricas(cuando r ,θ, o z es constante), ejemplos

 Ejemplos de transformación de ecuaciones cilíndricas a rectangulares (5ejemplos) Ejemplo # 3 Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de la grafica determinada por la ecuación en cilíndricas: r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0 Solución: r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0 r2 (cos2ө – sen2 ө) + z2 = 0

ecuación en cilíndricas identidad trigonometrica.

r2 cos2 ө – r2 sen2 ө +z2 = -1 X2 – y2 +z2 = -1 Y2 – x2 – z2 = 1

sustituir r cos ө por x y r sen ө por y ecuación rectangular.

Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje y.

 Definición y representación grafica de coordenadas esféricas

Coordenas Esféricas

Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto P en el espacio, donde ρ =│OP│ es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que P≥ 0

0≤φ≤ π

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

Dado un vector del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de , se definen las coordenadas esféricas como los tres números que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:

Sistema de Coordenadas Esféricas Es el sistema de coordenadas esféricas un punto p del espacio que viene representado por un trío ordenado

, donde:

1.- es la distancia de P al origen,

.

2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para

.

3.-

,

es el Angulo entre el semieje positivo y el segmento recto

.

Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.

Coordenadas Esféricas

 Relaciones entre sistemas de esféricas a rectangulares y viceversa de esféricas a cilíndricas y viceversa, ejemplos

Ecuaciones para transformar de Esféricas a Rectangulares

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esféricas

Ecuaciones para transformar de Esféricas a Cilíndricas

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto. Ejemplo # 4 Convertir el punto

a coordenadas rectangulares.

( )

( )

(

( )

( )

(

√

√

)( ) √

√

)( ) √

√

El punto en coordenadas rectangulares es:

.

Ejemplo # 5 Convertir la ecuación rectangular a coordenadas cilíndricas.

Ejemplo # 6 Convertir la ecuación rectangular a coordenadas esféricas.

Ejemplo # 7 Encuentre una ecuación rectangular para la superficie cuya ecuación esférica es ρ = senθsenφ Solución, = ρ =ρ = senθsenφ = y

Que es la ecuación de una esfera con centro

y radio

 Casos especiales (cuando ρ,φ,θ son constantes) ejemplos