3 Integrales Multiples: 3.1 Intgracion En Intervalos Cerrados

68

Integrales Múltiples / Integración en Conjuntos Acotados

3 INTEGRALES MULTIPLES

3.1

INTGRACION EN INTERVALOS CERRADOS

3.1.1 Definiciones Previas En este tema daremos una generalización del cálculo de integrales para funciones de varias variables. En una variable usualmente calculábamos la integral en un intervalo [a,b]  , uno de los problemas que se presentan para calcular integrales múltiples es la región de integración. Definición 3.1: Intervalo en n n

El conjunto I = [a1,b1]  [a2,b2]  . . .  [an,bn] =  ak ,bk   n, se k 1

llama intervalo cerrado de  , donde [ak,bk] es un intervalo en   k = 1 a n n

Nota: Observar que la definición no descarta el caso en que ak = bk Separaremos el estudio en dos casos, según si la región es un intervalo o no. Primero veremos la integración en intervalos que es muy similar a la integración en una variable. Recordando que en este caso, para poder definir la integral, primero definíamos partición, norma de la partición y suma superior e inferior, generalizaremos estos conceptos para el caso de intervalos en n. Definición 3.2: Descomposición Sea I un intervalo de n. Una Descomposición de I es el conjunto P = n

 Pk , donde Pk es una partición del intervalo [ak,bk]  k =1 a n

k 1

Ejemplo: Sea P1 = { a1 , x1 , x2 , x3 , b1 } una partición de [a1,b1] y sea P2 = { a2 , y1 , y2 , b2 } una partición de [a2,b2] Tomemos la descomposición P = P1  P2 de 2, la figura siguiente representa dicha descomposición en el plano:

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69

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b2 y2 y

1

a2 a1

x1

x2

x3

b

1

Observar que P1 divide el intervalo [a1,b1] en 4 subintervalos y P2 divide [a2,b2] en 3 subintervalos, y que la descomposición P divide a I en 4  3 = 12 subintervalos. n

Genéricamente si Pk divide [ak,bk] en rk subintervalos, P divide a I en r =



k 1

rk

subintervalos. Para definir la norma de una descomposición primero definiremos lo que es el diámetro de un conjunto. Definición 3.3: Diámetro de un Conjunto Sea D  n, se define A = { (x,y) / x , y  D } a) Si existe el supremo del conjunto A, d(D) = sup A se le llama diámetro del conjunto D b) Si D =  , se define d(D) = 0 Nota: Observar que cuando d(D) es finito, el conjunto D es acotado Ejemplo: I = [0,3]  [1,5] d(I) =

3 2  (5  1) 2 = 5

Definición 3.4: Norma Sea P una descomposición del intervalo I  n, que subdivide dicho intervalo en r subintervalos Ik  P  = sup { d(Ik), k = 1 a r } se llama norma de la descomposición de P

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70

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Ejemplo: Sea I = [0,3]  [1,5] y P = P1  P2, donde P1 = { 0, 1, 3 } y P2 = { 1, 2, 4, 5 } I1 = [0,1]  [1,2]



d(I1) =

2

I2 = [1,3]  [1,2]



d(I2) =

5

I3 = [0,1]  [2,4]



d(I3) =

5

I4 = [1,3]  [2,4]



d(I4) = 2 2

I5 = [0,1]  [4,5]



d(I5) =

2

I6 = [1,3]  [4,5]



d(I6) =

5

 P  = sup {

2,

5,2 2 }=2 2

Definición 3.5: Dadas dos descomposiciones P y Q de I, se dice que P es posterior o más fina que Q si se cumple que Q  P. Se anota P  Q Ejemplo: Sea P = P1  P2, donde P1 = { 0, 1, 3 } y P2 = { 1, 2, 4, 5 } Si Q1 = { 0, 1, 3 } y Q2 = { 1, 2, 3, 4, 5 }  Q = Q1  Q2  P En el ejemplo, observar que P1  Q1 y que P2  Q2 Definición 3.6: Contenido de Jordan o medida de Jordan n

Sea I =  a k ,bk   n, el contenido de Jordan o medida de Jordan k 1

del intervalo I, es el número real (I) =

n



k 1

(bk  ak )

Nota: Observar que para el caso particular de , (I) = I, que era la medida que utilizamos en integrales de una variable. En el caso de 2 y 3, el valor de (I) coincide con el valor del área y del volumen respectivamente. Ejemplo: Siguiendo con el ejemplo del la descomposición del intervalo I = [0,3]  [1,5] y P = P1  P2, donde P1 = { 0, 1, 3 } y P2 = { 1, 2, 4, 5 } (I1) = 1

(I2) = 2

(I3) = 2

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(I4) = 4

(I5) = 1

(I6) = 2 Análisis II

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71

3.1.2 Suma Superior e Inferior Definición 3.7: Sea  definida y acotada en I  n, P una descomposición de I que lo divide en r subintervalos Ik mk = inf{ (x) / x  Ik }

 k = 1, 2, . . . , r

Mk = sup{ (x) / x  Ik }

 k = 1, 2, . . . , r

Se define: suma inferior de  relativa a la descomposición P r

s(P,) =

 m k μ(Ik )

k 1

suma superior de  relativa a la descomposición P r

S(P,) =

 M k μ(Ik )

k 1

Ejemplo: (x) = c Tomemos una descomposición P de I en r subintervalos Ik 

m k = Mk  k = 1 a r



s(P,) = S(P,) =

r



M k μ(Ik ) 

k 1

r



k 1

c μ(Ik )  c

r

 μ(Ik )  c μ(I)

k 1

Propiedades: Sea  definida y acotada en I i) s(P,)  S(P,)  P de I ii) Sean P y Q descomposiciones de I  n / P  Q, se cumple: a) s(P,)  s(Q,) b) S(P,)  S(Q,) iii)  P y Q descomposiciones de un intervalo I  n

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 s(P,)  S(Q,) iv) a)  j = sup { s(P,) / P es descomposición de I } b)  J = inf { S(P,) / P es descomposición de I } v) j  J Nota: Las propiedades anteriores para las sumas superior e inferior son las mismas que para el caso de funciones de una variable y las demostraciones son similares, cambiando la medida en , por la medida en n.

3.1.3 Integral de Riemann Definición 3.8: Sea  definida y acotada en I  n. Si j = J se dice que  es integrable Riemann en I. (Se anota   R en I ) Se define la integral de  en I como

 f =j=J I

Ejemplo: Si (x) = c , vimos que  P / s(P,) = S(P,) = c (I) 

s(P,) = c (I)  j  J  c (I) = S(P,)



j = J = c (I) =

f I

Como podemos ver a partir del ejemplo, cuando la función es constante la integral depende de la medida del intervalo y en el caso particular de que la función sea igual a uno, los valores coinciden. Este es un resultado que generalizaremos más adelante para el caso de una región cualquiera. Teorema 3.1: Condición de Riemann s(P,) < 

  R en I  dado  > 0,  P una descomposición de I / S(P,) –

La demostración de la condición de Riemann es similar a la demostración para el caso de una variable y queda como ejercicio. Teorema 3.2:

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  R en I   un único    /  P descomposición de I se verifica s(P,)    S(P,) Demostración: () Si   R en I  j = J s(P,)    P   es cota superior de { s(P,) / P es descomposición de I }    j S(P,)    P   es cota inferior de { S(P,) / P es descomposición de I }    J =j  =j=J () s(P,)  j  J  S(P,)  P de I Si j  J   puede tomar cualquier valor del intervalo [j,J]  no es único Absurdo, por lo tanto  = j = J    R en I #

Teorema 3.3: Linealidad i) Si  y g  R en I  ( + g)  R en I y

 ( f  g) =  f +  g I

ii) Si   R en I y     ()  R en I y

I

I

αf I

=

f I

Teorema 3.4:Aditividad de intervalos Sean I1 e I2 dos intervalos de n / I1  I2   I1  I2 e I  I1  I2 es un intervalo   R en I   R en I1 y  R en I2 En este caso

f =f +f I

I1

I2

Demostración: ()   R en I  dado  > 0,  P / S(P,) – s(P,) <  Tomemos P / P  P y además P = P1  P2 , donde P1 sea descomposición de I1 y P2 una descomposición de I2 S(P,) – s(P,) < S(P,) – s(P,) < 

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74

Integrales Múltiples / Integración en Conjuntos Acotados

y además es claro que S(P,) = S(P1,) + S(P2,) s(P,) = s(P1,) + s(P2,) S(P,) – s(P,) = S(P1,) + S(P2,) – [s(P1,) + s(P2,)] = [S(P1,) – s(P1,)] + [S(P2,) – s(P2,) ] <  Por lo tanto: S(P1,) – s(P1,) <  y S(P2,) – s(P2,) <    R en I1 y  R en I2 ()   R en I1  dado  > 0,  P’ descomposición de I1 / S(P’,) – s(P’,) < /2   R en I2  dado  > 0,  P” descomposición de I2 / S(P”,) – s(P”,) < /2 Sea P = P’  P” se cumple que P es descomposición de I, por lo tanto: S(P,) – s(P,) = [S(P’,) + S(P”,)] – [s(P’,) + s(P”,)] < [S(P’,) – s(P’,)] + [S(P”,) – s(P”,)] < /2 + /2 =     R en I La demostración de la igualdad de las integrales queda a cargo del lector #

3.1.4 Funciones Integrables Teorema 3.5: Si   C en I  n    R en I Demostración:  es continua en I   es uniformemente continua en I  dado  > 0,   > 0 /  x, y  I con  x – y  <    (x) – (y)  < /(I) Sea P una descomposición de I /  P  <  y P divide a I en r subintervalos Ik. Como   C en I    C en Ik  k  Mk = sup{ (x) / x  Ik } = max { (x) / x  Ik }, esto es  x’k  Ik / Mk = (x’k) Análogamente  x”k  Ik / mk = (x”k) /(I)

Pero x’k y x”k  Ik   x’k – x”k   d(Ik)   P  <   (x’k) – (x”k) < Por lo tanto

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r

S(P,) – s(P,) =



k 1 r

ε

 μ(I) μ(Ik ) =

k 1

r

r

M k μ(Ik ) –



m k μ(Ik ) =

 (M k  m k ) μ(Ik ) <

k 1

k 1 r

ε μ(Ik ) =  μ(I) k 1



   R[a,b] # Nota: Cuando trabajamos con funciones de una variable, se demostró que si  una función definida y acotada en [a,b] /  es continua en [a,b] – D, siendo D  [a,b] un conjunto finito de puntos,  es integrable en [a,b]. Generalizaremos este resultado para el caso de varias variables, pero previamente debemos generalizar el concepto de "un conjunto finito de puntos" en n.

Definición 3.8: Contenido de Jordan nulo Un conjunto D  n, tiene contenido de Jordan nulo, si dado  > 0, existe un conjunto finito de intervalos, I1, I2, . . . , Ip de n tales que: p

i) D 

 Ik

k 1

p

 μ(Ik ) < 

ii)

k 1

Ejemplo: Sea D = { x1, x2 , . . . , xp }  n, un conjunto finito de puntos. Para cada xk, tomemos un intervalo Ik / xk  Ik y (Ik) < /p D

p

p

 Ik

k 1

y

p

ε

 μ(Ik )   p

k 1

=

k 1

Si consideramos el caso particular del plano, con este ejemplo vemos que un conjunto finito de puntos también tiene contenido nulo en 2, pero no son los únicos conjuntos con contenido nulo, ya que cualquier curva tendrá contenido nulo, porque intuitivamente, una curva "no tiene área" que es la medida de Jordan en 2. En el siguiente teorema veremos algunos conjuntos cuya medida también es nula

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Integrales Múltiples / Integración en Conjuntos Acotados

Teorema 3.6: Si   C en I  n , el grafo de  = { (x,(x))  n+1 / x  I } sobre I es un conjunto de contenido nulo en n+1 La demostración de este teorema queda como ejercicio. Teorema 3.7: Sea  definida y acotada en I  n . D = { x  I /  no es continua } Si D tiene contenido de Jordan nulo    R en I Demostración: Sea P una descomposición de I en p + r intervalos, I1, I2, . . . , Ip, J1, J2, . . . , Jr / Ik  D =  y Jk  D    k Como D tiene contenido nulo, dado  >0, tomamos P /

r

ε

 μ(Jk )  2(M - m) ,

k 1

donde M = sup { (x) / x  I } y m = inf { (x) / x  I }   C en Ik  k   es UC en Ik  dado  > 0,   > 0 /  x, y  Ik con  x – y  <    (x) – (y)  < /2(I) S(P,) – s(P,) =

p

r

k 1

k 1

 (M k  m k ) μ(Ik ) +  (M k  m k ) μ(Jk )

  C en Ik  k   x’k  Ik / Mk = (x’k) y  x”k  Ik / mk = (x”k) x’k y x”k  Ik   x’k – x”k   d(Ik)   P  <   (x’k) – (x”k) < /2(I) 

p

p

k 1

k 1

 (M k  m k ) μ(Ik ) <  2μ (I) μ (I k )  2 ε

ε

Además: r

 (M

r

k

 m k ) μ(J k ) 

k 1

 S(P,) – s(P,) <

r

 (M  m) μ(J )  (M  m) μ(J )  2 k

k 1

ε ε + = 2 2

ε

k

k 1

   R en I #

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Teorema 3.8: Sean  y g definidas y acotadas en I  n . D = { x  I / (x)  g(x) } tiene contenido de Jordan nulo en n   R en I  g  R en I , además

 f =g I

I

La demostración de este teorema queda a cargo del lector.

Teorema 3.9: Sean  y g  R en I  n i) Si (x)  0  x  I 

f

0

I

ii) Si (x)  g(x)  x  I 

 f g I

I

La demostración a cargo del lector

3.1.5 Cálculo de integrales El cálculo de integrales en varias variables reside en aplicar el siguiente teorema Teorema 3.10: Sea :n+1 /   R en J = n

n 1

 a k ,bk   n+1

k 1

Si  x  I =  a k ,bk   n ,  (x) = k 1

   R en I y



f= J

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

 = I

bn 1

a

f ( x, y )dy

n 1

 bn 1   f ( x, y )dy   I  a n 1 

 

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Integrales Múltiples / Integración en Conjuntos Acotados

Demostración: Sea P una partición de [an+1,bn+1] en r intervalos Ij y P' una descomposición del intervalo I en p intervalos I'k, por lo tanto Q = P'P es una descomposición del intervalo J en r p intervalos Jkj = I'k  Ij  ( Jkj) = ( I'k)( Ij )   R en J  Dado  > 0,  Q / S(Q,) – s(Q,) < , a partir de esto tenemos que demostrar que   R en I, o sea S(P',) – s(P',) <  p

s(Q,) =

r



p

m k j μ(Jk j ) 

k 1 j 1

r



 r  μ(I'k ) m k j μ(I j )   j1  k 1   p

m k j μ(I'k )μ(I j ) 

k 1 j 1





donde el valor mkj = inf { (x,y) / (x,y)  Jkj }= inf { (x,y) / x  I'k, y  Ij } Definamos la siguiente función auxiliar: g: [an+1,bn+1] / g(y) = (x,y) Sea m'j = inf { g(y) / y  Ij }= inf { (x,y) / y  Ij }  mkj  m'j  x  I'k r



m k j μ(I j ) 

j 1

r

 m' j μ(I j ) = s(P,g)  x  I'

k

j 1

s(P,g) 



bn 1

g ( y )dy =

a n 1

bn 1

a

f ( x, y )dy = (x)  x  I'k  s(P,g)  inf { (x) / x  I'k

n 1

}, llamemos mk = inf { (x) / x  I'k }  s(P,g)  mk p p  r    s(Q,) = μ(I'k ) m k j μ(I j )   μ(I'k ) s(P, g )  μ(I'k ) m k = s(P',)   k 1 k 1  j1  k 1 p









 s(Q,)  s(P',) Análogamente se llega a que S(Q,)  S(P',)  S(P',) - s(P',)  S(Q,) - s(Q,) <     R en I Sabemos que  Q , s(Q,)  s(P',)  S(P',)  S(Q,)  j  j  J  J y como j = J  j = J  =



f= J



 = I

 bn 1    f ( x , y ) dy  I  a n 1 

 

# Ejemplo: Sea :[1,2][-1,2][0,2] / (x,y,z) = x y cos (x z) Llamemos I1 = [1,2], I2 = [1,2][-1,2] e I3 = [1,2][-1,2][0,2], es claro que   C en I3 y por lo tanto  R en I3

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Integrales Múltiples / Integración en Conjuntos Acotados

2

0

  :I2 / (x,y) =

2

0

f ( x, y, z )dz  x y cos(x z )dz  y sen( x z )

2

= y sen (2 x) 0

Razonando análogamente obtenemos:



 g:I1 / g(x) =







f= I3

I2

2

=

1



 =

g ( x) dx 

y2 y sen 2 x dy  sen(2 x) 2 1 2

g = I1



2

= 3/2 sen(2x) 1

2

3 sen 2 x dx = 1 2

2 2  2  2       ( x, y ) dy  dx   f ( x, y, z ) dz  dy  dx    1  1 1  1  0    2 

 

  

Este tipo de integral se conocen como integrales iteradas, ya que en cada iteración necesitamos calcular una integral simple. Otra forma más sencilla de anota la misma integral iterada es la siguiente 2

2

2

 1 1 0 f (x, y, z) dz f=

dx

dy

I3

de esta manera evitamos confundir los intervalos de integración con la variable correspondiente a dicho intervalo. Propiedad: n

Si (x1, x2, . . . , xn) =

f

k (x k )

y k  C en [ak,bk], siendo I

k 1

n

=  a k ,bk   n k 1





n

f =



k 1

I

bk

a f ( xk )dxk k

La demostración queda como ejercicio Ejemplo: Sean I = [0,1]3 y (x,y,z) = ex + y + z



1

1

0 0  dx

dy

 1 x  1 y  1 z  e x  y  z dz   e dx  e dy  e dz  = (e -1)3 0  0  0  0  1

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





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80

3.2

Integrales Múltiples / Integración en Conjuntos Acotados

INTEGRACION EN CONJUNTOS ACOTADO

3.2.1 Funciones integrables Veremos a continuación como integrar cualquier función definida y acotada en una región cualquiera de n, para ello utilizaremos la integración sobre intervalos que estudiamos en la sección anterior. Definición 3.9: Sea :n definida y acotada en un conjunto T  I un intervalo de n  f ( x) Sea *(x) =  0

 x T  xI T

Si *  R en I, se define

f f

*

I

T

Se dice que  es integrable Riemann en T (  R en T)

Ejemplo: Sea T = { (x,y) / x2 + y2  1 } y :T / (x,y) = 1 – (x2 + y2) Sea I = [-1,1][-1,1]  T  I   1 x2  y2 *(x,y) =   0 

 ( x, y )  T  ( x, y )  I  T

Se cumple que *  C en I  *  R en I    R en T

Propiedades: Sean T, S conjuntos acotados de n i) Si  y g  R en T y  y     ( + g)  R en T y

 (α f  β g ) =   f T

ii) Si  y g  R en T

T



+

g T

a)     R en T b) 2  R en T c)  g  R en T

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iii) Si   R en T y   R en S con T  S = 



S T

f =

   R en T  S

f +f S

T

iv) Si   R en T y   R en S con T  S  



S T

f =

81

f +f – S

T

   R en T  S

S T

f

v) Si   R en T y S  T    R en S vi) Si (x)  0  x  T y   R en T 

f

0

T

vii) Si (x)  g(x)  x  T y , g  R en T 

 f g T

T

Las demostraciones quedan a cargo del lector. Teorema 3.11: Sea T un conjunto acotado de n tal que T tiene contenido nulo. o

Sea  definida y acotada en T y continua en T

   R en T

Demostración: T es acotado   I un intervalo de n / T  I  f ( x) Sea *(x) =  0 o

 x T  xI T o

*  C en T y *  C en (I  T )   es continua salvo en T   es continua salvo en un conjunto de contenido nulo  *  R en I    R en T #

3.2.2 Cálculo Ahora veremos como generalizar el cálculo para el caso de una región genérica. Primero definiremos un tipo de conjunto que me permite calcular la integral en forma similar a la integral iterada sobre un intervalo.

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Definición 3.10: Sea D  n, x = (x1 , x2, . . . ,xn) a) D se llama xi-axial , si la intersección entre D y cualquier recta paralela al eje xi, es un conjunto conexo b) Si D es xi-axial  i = 1 a n, D se llama C-axial Nota: Un intervalo I de n, es un conjunto C-axial.

y

y

B

A x

x

De los conjuntos representados en la figura anterior, podemos ver que A es un conjunto x-axial, pero no es y-axial, en cambio el conjunto B es C-axial. Observar también que el conjunto A puede dividirse en 2 conjuntos C-axiales. Teorema 3.12: Sea un conjunto C-axial D definido de la siguiente manera: 1,1(x2 , x3, . . . ,xn)  x1  1,2(x2 , x3, . . . ,xn) 2,1(x3 , . . . ,xn)  x2  1,2(x3 , . . . ,xn) : n-1,1(xn)  xn-1  n-1,2(xn) a  xn  b donde las funciones i,j  i,  j , son continuas en su dominio Si   C en D 

b

 n -1,2

 D  a  f 

dxn

n -1,1

 2,2



dxn -1 

2,1

dx2

1,2



f ( x)dx1

1,1

Demostración: Haremos la demostración para el caso de 2. Tomemos D = { (x,y)  2 / a  x  b , 1(x)  y  2(x) }

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Sean m1 = inf { 1(x) / x  [a,b] } y M2 = sup { 2(x) / x  [a,b] }  D  I = [a,b]  [m1,M2]  ( x, y )  T  ( x, y )  I  T

 f ( x, y ) *(x,y) =  0 

y * continua a lo sumo en D

D por el teorema 3.6, tiene contenido nulo  *  R en I Por definición:

f f b

  dx

a



b

  dx

a



=

I

D



*



f  D

M2

f ( x, y )dy 

m1



 2 ( x) M2   1 ( x) dx  0 dy  f ( x, y )dy  0 dy   a 1 ( x )  2 ( x)   m1 b







 2 ( x)

f ( x, y )dy

1 ( x )

b

  dx

a

 2 ( x)

f ( x, y)dy

1 ( x)

# Ejemplo: Calcular

 (x

2

 y ) dx dy donde D = { (x,y)  2 / 0  x  1, x  y  2 x }

D

y

y = 2x

2

1

y=x

1

 (x D

2

 y) dx dy 

1

2x

0

x

 dx

1

x 2x

1 y2  3 ( x  y)dy   x y  ( x 3  x 2 )dx =  dx  2  2 0  0 x 2



2



1  x 4 3 x3  3 =    2 3  4  4 0

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Otra posibilidad es intercambiar el orden de integración. En este caso debemos calcular:

D

( x 2  y) dx dy 

1

y

0  y / 2 dy

( x 2  y)dx 

2

1

1  y /(2x dy

2

 y)dy

que obviamente dará el mismo resultado.

Definición 3.11:



Sea D  n, si  1 decimos que D es medible de Jordan y (D) =

1 D

D

3.2.3 Cambio de Variable

Teorema 3.13: Sea   R en T, una región acotada de n / T tiene contenido nulo en n Sea g:S( n)n, donde S una región acotada de n y g(S) = T Si además: i) g es de clase C1 en S ii) g es inyectiva iii) Jg  0 en S, salvo a lo sumo en un subconjunto de contenido nulo 

Tf   S ( fog) J g

La demostración de este teorema no es posible realizarla con los temas vistos en el curso. Como podemos ver, el teorema de cambio de variable no es tan sencillo como el mismo teorema para el caso de una variable, por lo que generalmente solo se utilizan algunos cambios de variables ya preestablecidos, dada la cantidad de condiciones que debe verificar la función para poder aplicar el teorema. A continuación veremos algunos de los diferentes cambios de variables para aplicar en integrales múltiples. Sólo en el primer caso demostraremos que se verifican las hipótesis del teorema de cambio de variable.

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Polares: Sea g(,) = ( cos,  sen ) , con este cambio de variable a cada punto del plano le asignamos un ángulo y una distancia. En este caso la matriz jacobiana queda: g(,)

cos θ  ρ sen θ  =    senθ ρcosθ 

donde todas las derivadas son continuas por lo tanto g es de clase C1. Calculando Jg = , por lo tanto para que Jg  0 se tiene que cumplir   0 y dado que  representa la distancia al origen, tomaremos  > 0 Lo último a ver es la inyectividad de dicha función, tenemos que demostrar que si g(1,1) = g(2,2)  1 = 2 y 1 = 2, que evidentemente no se verifica por la periodicidad de la función seno y coseno. Para lograr que la función sea inyectiva restringimos el dominio a unos de los siguientes intervalos [0,2) o [-,). a partir de esto probaremos que g es inyectiva.

 ρ1  ρ cos θ1  cos θ 2  ρ1 cos θ1  ρ 2 cos θ 2 g(1,1) = g(2,2)     2  ρ1  ρ1 sen θ1  ρ 2 sen θ 2  sen θ1  sen θ 2  ρ 2

  ρ 2   1  cos2 θ1  cos2 θ 2   ρ 2    2   ρ1  2 2   ρ  sen θ1  sen θ 2  2 

ρ   1  ρ2

2

   1   1  =  2   1 = 2 

 cos θ1  cos θ 2   1 = 2  g es inyectiva  sen θ1  sen θ 2 Resumiendo, siempre que utilicemos el cambio de variable a polares tenemos que tener en cuenta que:

 ρ0  θ  [0,2π) o [-π , π)  Jg  ρ  nos falta determinar cuando utilizar este cambio de variable, para ello veremos el siguiente ejemplo.

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Ejemplo: :D(2) / (x,y) = (x2 + y2)-1/2 , donde D = { (x,y)  2 / 1  x2 + y2  4 }

f

Calcular

D

(og)(,) = (2 cos2 + 2 sen2 )-1/2 = -1 

g(S) = D

1  x2 + y2  4  1  2  4  1    2



y g

S

D x





2π

f = D

2 1

0 1 dθ

ρ

ρ dρ 

2π

2

0 1

dθ 1 dρ  2π (2 - 1)

Como vemos al aplicar el cambio de variable a polares, transformamos circunferencias en rectángulos, esta es una de las ventajas de aplicar los cambios de variable, ya que se simplifica el cálculo. En el ejemplo podemos ver las integrales necesarias a calcular sin aplicar el cambio a polares y lo complicado de las mismas, en cambio, después del cambio de variable queda una simple integral en un rectángulo. Polares generalizadas: g(,) = ( a  cos, b  sen )

 ρ0  θ  [0,2π) o [-π , π)  Jg  abρ  En este caso mediante el cambio de variable:

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x2 y2  a2 b2

  ρ 2

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Lineales: En este cambio de variable la idea es si estamos integrando en un paralelogramo limitado por las rectas de ecuación: a x + b y = 1 , a x + b y = 2 , c x + d y = 1 y c x + d y = 2

g

y

u S

D

x

v

transforma dicha región en un rectángulo. Esto ocurre si tomamos: u=ax+by v=cx+dy ya que obtenemos: 1  u  2 1  v  2 Para encontrar la función cambio de variable, debemos hallar: g(u,v) = (x(u,v), y(u,v)) para ellos debemos resolver el sistema anterior. Sea  = a d – b c, para que dicho sistema tenga solución única   0, si esto se verifica, las rectas no son paralelas, resolviendo el sistema obtenemos: g(u,v) =

1 (d u – b v, a v – c u) 

 Jg  =

1 

Ejemplo: :D(2) / (x,y) = (2x + y) , donde D = { (x,y)  2 / 0  2 x + y  1 , -1  x – y  2 } Calcular

f D

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u=2x+ y v= x– y 



 = -3 2

f = D

 



 Jg  =

1 3

1

1 1 1 1 u du  (2  1)( - 0 )  3 2 2 1 0 3 dv

Veremos a continuación algunos cambios de variable para 3: Cilíndricas: g(,,z) = (  cos,  sen ,z)

 ρ0  θ  [0,2π) o [-π , π)  Jg  ρ   ρ 2 igual que en En este caso mediante el cambio de variable: x 2  y 2  polares, pero la tercer variable, z en este caso, puede ser independiente. Por ejemplo en el caso de cilindros, conos o paraboloides.

Esféricas: g(,,) = (  cos  sen ,  sen  sen ,  cos )

 ρ0  θ  [0,2 π) o [-π , π)     (0, π)  J g  ρ 2 sen   En este caso mediante el cambio de variable: x 2  y 2  z 2

  ρ 2

Esféricas generalizadas: g(,,) = ( a  cos  sen , b  sen  sen , c cos )

 ρ0  θ  [ 0 , 2 π) o [-π , π)      (0, π)  J g  a b c ρ 2 sen  En este caso mediante el cambio de variable:

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x2 y2 z2   a2 b2 c2

  ρ 2

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