Integrales Iteridas

Integrales Iteradas. Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión

Se refiere a una integral iterada, la parte externa

Es la integral con respecto a x de la función de x:

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. En otras palabras, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.

Esto ocurre, cuando f es una función acotada y tanto A como B son regiones acotadas también. Esto se entiende fácilmente pensando que si la función o la región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir. La notación

Se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una iterada.

Integrales Iteradas: dobles y triples Hasta ahora se han calculado el área de figuras geométricas planas elementales: el rectángulo, el círculo, el trapecio, etc. Pero, ¿cómo calcular el área de figuras no regulares? Una buena aproximación puede ser la de dividir la zona en pequeños rectángulos y sumar las aéreas de cada uno de ellos. Esta idea era la que subyacía en la construcción de la integral que vimos en el tema anterior y que nos permitió calcular longitudes de curvas, aéreas limitadas por curvas y volúmenes de cuerpos de revolución. En este tema, se generaliza el concepto de integral definida a funciones de dos o tres variables, obteniendo las llamadas integrales de área o de volumen, respectivamente. Esto nos permitirá calcular el volumen de cuerpos limitados por superficies, no necesariamente de revolución. También permitirá calcular áreas mediante integrales dobles sencillas que en el tema anterior resultaban algo más complicadas. Se empezara definiendo la integral sobre un rectángulo.  Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales dx y dy. Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa.  Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluada con respecto a diferentes variables). Es importante tomar en cuenta en qué posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa.  La integración iterada es un método de integración en el cual efectuamos la operación de integración en cascada con respecto a cualquier variable en relación con las otras variables que se mantienen constantes. La notación convencional de la integración iterada es como se muestra a continuación,

En el ejemplo anterior, primero se calcularía la integración con respecto a la variable y, y luego con respecto a la variable x. Por motivos de conveniencia y para aumentar la comprensión, también puede ser escrita como,

La integración iterada también puede realizarse como integración definida e indefinida. En el ejemplo anterior hemos mostrado una integración indefinida iterada. Lo anteriormente definido es una integración iterada doble. De manera similar,también puede llevarse a cabo una integración iterada triple. En esa situación, efectuamos la integración tres veces en cascada cada momento con respecto a una variable diferente, mientras que tratamos las otras dos variables como términos constantes.

La notación convencional para la integración triple es,

Se pueden definir las integrales iteradas sobre regiones F limitadas por curvas. Esta situación es más complicada que la que hemos visto.

Consideremos una región F donde la frontera está formada por las rectas x = a, x = b, y = p(x), y = q (x) con p(x) < q(x) para a  x  b. b q( x ) f ( x , y).dy.dx donde primero integramos (para x fijo) desde la curva Definimos   a p( x ) inferior hasta la superior, es decir a lo largo de un segmento típico. Luego integramos con respecto a x desde a hasta b. Con mayor generalidad se puede definir las integrales iteradas b q( x ) sobre una región F, integrando primero respecto de y tenemos   f ( x, y).dy.dx a p( x ) d s( y ) integrando respecto de x será   f ( x, y).dx.dy c r ( y)

Integrales dobles Área por doble integración La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área está dada por una cualquiera de las integrales

Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales. Integrales dobles como volúmenes Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) "Ak en la suma Sn = "Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como

Coordenadas Polares En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:

EJEMPLO.

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos. El determinante jacobiano de la transformación es:

Definición Integral triple Es la aplicación sucesiva de tres procesos de integración definida simple a una función de tres variables f (x, y, z); tomando en consideración en función de que variable se encuentran los límites para saber cuál diferencial (dx, dy, dz) se utilizará primero y cual después y cual al final. Una integral triple es una generalización de una integral doble en el mismo sentido que una doble es una generalización de una integral sencilla. Esto es, una integral triple extiende el concepto de una integral al caso en que F es una función de tres variables independientes cuyo dominio es una región cerrada acotada en el espacio de 3 dimensiones. En este tipo de espacio los conceptos de conjunto abierto, conjunto cerrado, región, punto frontera, punto interior, región cerrada, y región cerrada acotada son definidos por extensiones de las definiciones en el espacio de dos dimensiones, con una adaptación de la terminología. EJEMPLO.

Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas Coordenadas cilíndricas. Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a él. r = 4 Cilindro, radio 4, eje el eje z

Plano que contiene al eje z z= 2 Plano perpendicular al eje z El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es

Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son entonces evaluadas como integrales iteradas, como el siguiente ejemplo. EJEMPLO.

Solución Paso 1: La base de D también es la proyección de la región R sobre el plano xy. La frontera de R es el círculo

Su ecuación en coordenadas polares es

Paso 2: Los límites z de integración. Una recta M, que pasa por un punto típico (r, paralela al eje z, entra a D en z=0 y sale en

) en R,

Paso 3: Los límites r de integración. Un rayo L que pasa por (r, ) desde el origen, entra a R en r =0 y sale en Paso 4: Los límites de integración. Al barrer L a través de R, el ángulo que forma con el eje x positivo varía de La integral es

Coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas son apropiadas para describir con centro en el origen, medios planos articulados a lo largo de eje z y conos simples, cuyos vértices se encuentran en el origen, y con ejes a lo largo del eje z. Las superficies como ésas tienen ecuaciones de valor coordenado constante:

EJEMPLO. El volumen es

EJEMPLO.

Evaluar

Para una funcion

donde

que toma valores positivos y negativos,

es una diferencia

de volumenes: V1-V2 donde V1 es el volumen de arriba de la función y el V2 es el de abajo. El echo de que la integral del ejemplo 3 sea 0 significa que estos dos volumenes son iguales.

EJEMPLO. Evalúe las integrales iteradas:

En la figura siguiente, tenemos una función como, z = f(x, y),

Si calculamos la integración doble de esta función, la salida sería algo como,

Vamos ahora comprender el método de cálculo para esta integral. El método para determinar el volumen de una figura sólida mediante dividirla en trozos de igual tamaño e integrarla para el sólido entero es conocido por todos. Sin embargo, es conocido por muy pocas personas que también este puede utilizarse para determinar la integral doble de una función. Attach: cv115.jpg Δ Suponga que la columna cilíndrica Q pasa a través de la figura dada, como se muestra en la figura anterior. Dibuje un plano paralelo al plano y-z en esta figura y nombre el plano como xx. El área transversal de la columna Q es similar al área de la curva z = f (x’, y). Esta área yace entre (x’, Y2) y (x’, Y1). Aquí los puntos (x’, Y2) y (x’, Y1), son los puntos de intersección de la región dada y del plano de intersección. La sección transversal de esta pieza es,

La figura anterior es una mirada cercana de la parte inferior de la figura dada. Suponga que el mayor valor adquirido por x es b y el valor más pequeño es a. Como se puede ver en la figura anterior la recta x= x’ intersecta el plano R en sólo dos puntos y los valores correspondientes de y en estos puntos son Y1 y Y2. El valor de Y1 es menor que Y2. Es posible determinar el valor de Y para algún valor de x a partir de la ecuación de frontera de la región R. La ecuación anterior puede reescribirse como,

Al colocar este valor en la ecuación del volumen obtenemos,

Donde la ecuación de volumen es,

Para esta ecuación, primero realizamos la integración con respecto ay, la cual es la integración interior considerando a x como un término constante y luego con respecto a x considerando a y como término constante. De la misma forma, la integración iterada triple se utiliza para calcular el momento de inercia, centroides, etc. La integración triple también es calculada en los sistemas de coordenadas esféricas y cilíndricas.

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MINATITLÁN

ING. ELECTROMECÁNICA

MATERIA: CALCULO VECTORIAL

EQUIPO A7: Emmanuel Rabelo Martínez Diego Alejandro Ortiz Villegas Yazmin Alejandra López Ricalde

TEMA. Integrales Iteradas: Dobles y Triples