Integrales De Superficie

INTEGRALES DE SUPERFICIE REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DE UNA SUPERFICIE De manera similar a la representación paramétrica de curvas en R2 → R3 mediante una función vectorial, que dependía de un solo parámetro , las superficies se representan de igual manera solo que en función de dos parámetros La superficie S es el conjunto de puntos (x , y , z) dado por:

⃗ ⃗y (u , v ) ⃗j+⃗z (u , v ) k⃗ r (u , v )=⃗x (u , v ) i+

Las ecuaciones

x=x (u , v ); y= y (u , v) ; z=z (u , v )

son las ecuaciones

parámetricas de la superficie S. Si S es una superficie paramétrica dada por la función vectorial r entonces S es recorrida por el vector posición

r (u , v )

cuando el

punto (u , v ) se mueve en el dominio D. VECTORES NORMALES Y PLANOS TANGENTES Sea S una superficie paramétrica dado por: r (u , v )=x (u , v )i+ y (u , v ) j+ z (u , v )k

Sobre una región abierta D en la que

x , y , z tienen derivadas

parciales continuas, las derivadas parciales de r se define asi:

r u=

con respecto a u y v

∂ x( u , v) ∂ y (u , v ) ∂ z(u , v) ∂ x(u , v) ∂ y (u , v) ∂ z (u , v ) i+ j+ k ; r v= i+ j+ k ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v

Las derivadas parciales geométricamente son vectores tangentes a las curvas, dadas por la función

r (u , v )=x (u , v )i+ y (u , v ) j+ z (u , v )

en el caso

de que v o u sean constantes, ya que la función quedaría descrita en un solo parámetro.

VECTOR NORMAL A UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA SUAVE Dada una superficie paramétrica suave r (u , v )=x (u , v )i+ y (u , v ) j+ z (u , v ) k, definida sobre una región abierta D del plano UV.Sea (u 0,v0) un punto de D , un vector normal en el punto (x0,y0,z0) =(x(u0,v0),y(u0,v0),z(u0,v0) viene dado por: i ∂x N=r u(u 0, v 0) xr v (u 0, v 0)= ∂ u ∂x ∂v

j ∂y ∂u ∂y ∂v

k ∂z ∂u ∂z ∂u

AREA DE UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA

Sea S una superficie regular definida sobre un abierto medible D: r (u , v )=x (u , v )i+ y (u , v ) j+ z (u , v )k

Entonces, el área de la superficie AS es: ❑

❑

s

❑

‖∂∂ur x ∂∂ rv‖

∬ dS=∬

S: z = f (x;y) entonces r(x;y) = (x,y, f (x;y)) As= f x (x , y )2 ¿ f x ( x , y ) 2+¿ 1+¿ √¿ ❑

¿ ∬ ❑

Integrales de Campos escalares sobre Superficies Sea S una superficie de ecuación Z =g ( x , y ) y R es la proyección sobre el plano XY, cuya parametrizacion de la superficie S es: r (u , v )=( x(u , v) , y (u , v ), z (u , v )) y sea f una funcion continua en S entonces la integral de superficie de f sobre S es:

r (u , v ) ❑

❑

s

R

∬ f ( x , y , z ) ds=∬ f ( ¿‖r u x r v‖) dudv

DEMOSTRACION: Sea S C R3una superficie regular y f: S C R3→R una función definida: (x, y ,z)→f (x, y ,z)

Sea r : D C R2

→S C R

3

una parametrización de la superficie S

(u , v )→ r (u , v )=(x(u , v), y (u , v ), z (u , v ))

Donde D es una región cerrada en R2 Sea P={R11,R12,…..Rij,….Rmn} una partición de la región D C R2 , esta partición induce otra P’,= ={S11,S12,…..Sij,….Smn} de r(D) donde r (Rij,) =Sij para 1≤i≤m, 1≤j≤n Sea (u’i, v’i,) ∈ R ij un punto arbitrario tal que r ( u ’ j , v ’ j , ) =( x ’ ij , y ’ ij , zij) La suma de Riemann de f(x,y,z) correspondiente a la partición P’ es: m

n

∑ ∑ f (x ’ ij , y ’ ij , zij) A(S i=1 j=1

ij ¿

: donde

A( S ij ¿

=

area de la superficie ( S ij ¿

m

Si existe el

lim ‖ A (S ij)‖→ 0

n

❑ ∑ ∑ f ( x ’ ij , y ’ ij , zij) A (S ij) : i=1 j=1

donde

‖ A( S ij)‖=m á xima á rea de la superficie de partici ó n P’.El límite de esta suma de Riemann es la integral de superficie de f sobre S y se denota por: ❑

∬ f ( x , y , z ) ds= lim s

‖ A (S ij)‖→ 0

m

n

❑ ∑ ∑ f (x ’ ij , y ’ ij , zij) A ( S ij) i=1 j=1

Donde A( S ij ¿=‖∆ μ r ui x ∆ v r uj‖=‖r ui x r uj‖∆ μ ∆ v

y ds= ‖r ui x r uj‖∆ μ ∆ v

Integrales de Flujo Una de las aplicaciones principales que permite la forma vectorial de las integrales tiene que ver con el flujo de un fluido a través de una superficie S. Supongamos una superficie S inmensa en un fluido que tiene un campo de velocidades continuas

⃗ F

.

Sea ∆ S el área de un trozo pequeño de la superficie S sobre el cual ⃗ F

es aproximadamente constante.

Entonces la cantidad de fluido que atraviesa esta región por unidad de tiempo viene aproximada por el volumen de la columna de altura ⃗ F,⃗ N

, esto es

∆ V = ( altura ) ( área de la base )=( ⃗ Fx⃗ N )∆ S

Por lo tanto el volumen del fluido que atraviesa de la superficie S por unidad de tiempo (conocido como flujo de dado por la integral de superficies.

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE FLUJO

⃗ F

a través de S) viene

⃗

⃗

⃗

⃗

F ( x , y , z ) =P ( x , y , z ) i +Q ( x , y , z ) j+ R ( x , y , z ) k , donde P, Q, R tiene Sea derivadas parciales primeras continuas en la superficie S orientada ⃗ ⃗ mediante un vector normal unitario N . La integral de flujo de F a ❑

través de S viene dado por:

N ds ∬ ⃗F . ⃗ S

Genéricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre ⃗ S de la componente normal de F . Si ρ( x , y , z) es la densidad de ❑

fluido en ( x , y , z) entonces la integral de flujo

∬ ρ ⃗F . ⃗N ds S

representa la

masa de fluido que fluye a través de S por unidad de tiempo.

DEFINICIÓN CÁLCULO DE INTEGRAL DE FLUJO Sea S una superficie orientada dado por sobre el plano XY. I)

II)

❑

❑

S

S

z=g(x , y)

∬ ρ ⃗F . ⃗N ds=∬ ⃗F (−g x ( x , y ) i⃗ −g y ( x , y ) ⃗j + ⃗k ) dA ❑

❑

S

S

N ds=∬ ⃗ F ( g x ( x , y ) i⃗ −g y ( x , y ) ⃗j− ⃗k ) dA ∬ ⃗F . ⃗

y R su proyección

(orientada hacia arriba)

(orientada hacia abajo)

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA El teorema de la divergencia, conocido también como el Teorema de Gauss, establece una forma analítica del cálculo de la integral de campo vectorial sobre una superficie como una simple integral de volumen. Específicamente el teorema de la divergencia dice que:

Donde S es una superficie cerrada cuyo interior contiene al volumen V, F es un campo ⃗ vectorial arbitrario, y N es, como siempre, el vector unitario normal a la superficie. Podemos pensar que el flujo de F a través de la superficie S es igual a la divergencia de F tomada a través del volumen V. La aplicación del teorema de la divergencia se fundamenta en saber calcular simples integrales sobre un volumen, juega un papel fundamental las coordenadas esféricas y cilíndricas. Demostración Si hacemos

⃗ F ( x , y , z ) =P ( x , y , z ) i⃗ +Q ( x , y , z ) ⃗j+ R ( x , y , z ) k⃗

el teorema de la

divergencia adquiere la forma: ❑

❑

s

D

k .⃗ N ) ds=∭ ∬ ( P . i⃗ . ⃗N +Q . ⃗j. ⃗N + R . ⃗

∂R + dV ( ∂∂ Px + ∂Q ∂y ∂z )

Podemos demostrar este

resultado verificando que las tres ecuaciones siguientes son válidas. ❑

❑

∬ P . i⃗ . ⃗N ds=∭ ∂∂ Px dV ; s D

❑

❑

∂Q N ds=∭ dV ; ∬ Q. ⃗j . ⃗ s D ∂ y

❑

❑

∂R k .⃗ N ds=∭ dV ∬R.⃗ ∂z s D

Como la comprobación de las tres ecuaciones es similar, trataremos solamente de la tercera, por lo tanto restringiremos la demostración a una región solida simple con superficie superior

z=g2 ( x , y )

y superficie

inferior z=g1 ( x , y ) , cuyas proyecciones en el plano XY coinciden y forman la región R.

Si D tiene una superficie lateral semejante a S 3 en la figura, entonces R .⃗ k.⃗ N =0 . En consecuencia

un vector normal es horizontal, por tanto tenemos: ❑

R .⃗ k.⃗ N ds+ ¿∬ R . ⃗ k .⃗ N ds s2

❑

R .⃗ k.⃗ N ds=¿ ∬ ¿ s1

❑

∬¿ s

En la superficie S 2 la normal hacia el exterior se dirige hacia arriba, mientras que la superficie inferior S 1 la normal hacia arriba el exterior está orientado hacia abajo tenemos: ❑

❑

s1

R

k .⃗ N ds=∬ R( x , y , z) ⃗ k .( ∬R.⃗

∂ g1 (x , y ) ⃗ ∂ g1 ⃗ ⃗ i .+ j .− k .)dA ∂x ∂y

❑

¿−c=−∬ R(x , y , g1 ( x , y )) R

❑

❑

s1

R

k .⃗ N ds=∬ R ( x , y , z ) ⃗ k .( ∬R.⃗ ❑

❑

R

R

−∂ g 2 ( x , y ) ∂ g2 ⃗ i⃗.− j .+ ⃗ k .)dA ∂x ∂y

∬ R (x , y , z)dA=∬ R( x , y , g2 (x , y)) Sumando estos dos resultados se tiene: ❑

❑

R .⃗ k.⃗ N ds=¿ ∬ R( x , y , g2 ( x , y))−∬ R ( x , y , g 1( x , y)) R

R

❑

∬¿ s

❑

¿∬ [ R ( x , y , g2 ( x , y ) )−R ( x , y , g1 ( x , y ) ) ] =∬ R

[

g2( x, y)

]

❑

∂R ∂R dZ dA=∭ dV ∂z g ( x, y) ∂ z D

∫

1

❑

❑

s

D

∂R k .⃗ N ds=∭ dV …..(1) ∬R.⃗ ∂z

Análogamente para las integrales: ❑

❑

∬ P . i⃗ . ⃗N ds=∭ ∂∂ Px dV ….(2) s D ❑

❑

s

D

∬ Q. ⃗j . ⃗N ds=∭ P . i⃗ . ⃗ N ds+ ¿ ❑

∬¿

∂Q dV …(3) ∂y

❑

❑

❑

s

s

D

N ds∬ R . ⃗ k .⃗ N ds=∭ ∬ Q. ⃗j . ⃗

s

❑

❑

❑

❑

∂P ∂Q ∂R dV +∭ dV +∭ dV ∂x ∂ y ∂z D D

∂ P ∂Q ∂ R k .) ⃗ N ds=∭ + + dV ∬ ( P . i⃗ .+Q . ⃗j .+ R . ⃗ ∂x ∂ y ∂z s D ❑

❑

R

D

(

)

∬ ⃗F ( x , y , z ) ⃗N ds=∭ ¿ ⃗F ( x , y , z ) dV

Teorema ⃗ F ( x , y , z ) =P ( x , y , z ) i⃗ +Q ( x , y , z ) ⃗j+ R ( x , y , z ) k⃗

Si

, D la región limitada por una

superficie cerrada S, mostrar que el teorema de la divergencia expresado en coordenadas cartesianas es: ❑

∂R + dxdydz=∯ Pdydz+Qdzdx + Rdxdy ∭( ∂∂ Px + ∂Q ∂y ∂z ) D

Demostración

Si escribimos

⃗ F =P i⃗ +Q ⃗j+ R ⃗k ,

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ y N =cosα i+ cosβ j+cosδ k en general para

cualquier superficie S.

⃗ N . i⃗ ds=cos α ds=dydz

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , N . jds=cos β ds=dzdx , N . k ds=cos δ ds=dxdy

∂ P ∂Q ∂ R ⃗ F es ∇ ⃗ F= + + ∂ x ∂ y ∂z

Como la divergencia de

❑

❑

∂R + dxdydz como ∭ ∇ ⃗F dv=∭ ∂∂ Px + ∂Q ∂y ∂z D R

(

)

❑

∯ ⃗F . d ´s=∯ ( ⃗F =P ⃗i+Q ⃗j+ R ⃗k ) ⃗N ds S

P cos α +Q cosβ + R ❑

(¿cos δ)ds=∯ Pdydz +Qdzdx+ Rdxdy S

❑

∯¿ S

❑

∯ ⃗F . d ´s=∯ Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy S

❑

❑

❑

∂R + dxdydz=∯ Pdydz+Qdzdx + Rdxdy ∯ ⃗F . d ´s=∭ ¿ ⃗F dV =∭ ∂∂ Px + ∂Q ∂y ∂z D R S

❑

∭( R

(

)

❑

∂ P ∂Q ∂ R + + dxdydz=∯ Pdydz+Qdzdx + Rdxdy ∂x ∂ y ∂ z S

)

El teorema de Green: caso especial del teorema de la divergencia El teorema de la divergencia nos dice que el flujo de un campo vectorial que pasa por una superficie cerrada es igual a la integral de volumen de su divergencia,

Vamos a considerar un caso particular de campo vectorial, para decantar el el conocido teorema de Green. Supongamos que tenemos el campo vectorial F = F1( x, y ) i + F2( x, y ) j Y vamos a considerar un volumen V de un sólido acotado por los planos z = 0 y z = 1, y cuya sección transversal es la región R proyectada sobre el plano XY Un volumen elemental está dado por dV = dx dy dz. Vamos a calcular la integral sobre el volumen V de la divergencia de F, esto es

De modo que

Vamos a probar que esta última integral doble corresponde a una particular integral de superficie

Observemos que sobre los planos z = 0 y z = 1, el vector normal es, respectivamente, y . Y por lo tanto tenemos el siguiente resultado para ambos casos De modo que si consideramos la integral de flujo

Las caras determinadas por los planos z = 0 y z = 1 no hacen ninguna contribución. De modo que debemos preocuparnos por la superficie "lateral", y sobre esta superficie consideraremos una superficie elemental de la forma dS = 1 ds puesto que en esencia esta superficie elemental será una superficie planar (rectangular) de altura 1 y longitud basal ds, que corresponderá a la longitud del arco de la curva que rodea a la región R Entonces la integral de superficie se reduce a una integral de línea sobre la curva cerrada C que rodea a la región R, esto es

Por otro lado el vector es normal a la curva C (puesto que es normal a la superficie lateral del cilindro), y el vector k es normal a la región R y por lo tanto es el vector binormal a la curva C, tenemos que constituyen el triedro de Frenet, junto al vector tangente , donde

y puesto que

Obtenemos que

y puesto que dr = dx i + dy j, entonces

Comparando (1) y (3), obtenemos el teorema de Green, esto es

Donde, F1 = M, F2 = - L, y obtenemos la antigua fórmula

Nota: en la utilización del vector estamos asegurando que la integración a lo largo de la curva se realiza en sentido contrario a las

"manecillas de un reloj".

El teorema de Stokes

El teorema de Stokes establece que, dada una curva cerrada Γ, la circulación de un campo vectorial equivale al flujo de su rotacional a través de una superficie S arbitraria con Γ como borde, y orientada según la regla de la mano derecha

Este teorema es sólo uno de una familia de teoremas de estructura similar. Generalización a un campo escalar La primera generalización viene de considerar la integral vectorial

Esta integral no es una circulación, sino que da como resultado un vector, obtenido sumando el valor del campo escalar φ en cada punto de Γ multiplicado por el desplazamiento diferencial a lo largo de la curva.

La pregunta que nos hacemos es si podemos convertir esta integral en una sobre la superficie S apoyada en Γ. Vamos a demostrar que se puede y se cumple la identidad

Para ver cómo, multiplicamos la integral por un vector constante

El vector puede entrar en la integral por ser constante. Ahora sí tenemos una circulación, a la que se puede aplicar el teorema de Stokes

Desarrollando el rotacional del producto de un escalar por un vector

Sustituyendo en la expresión anterior

Aplicando ahora la propiedad del producto mixto

Nos queda

Usando de nuevo el que es un vector constante

y, puesto que esta identidad se verifica sea cual sea el vector cumplirse que, finalmente,

, debe

Generalización a un producto vectorial Nos preguntamos ahora por la integral también vectorial

Vamos a demostrar que también puede reducirse a una integral sobre S. En este caso

El procedimiento es similar al anterior. Multiplicamos la integral por un vector constante

Aplicando de nuevo la propiedad del producto mixto

Ya tenemos de nuevo una circulación, a la que se puede aplicar el teorema de Stokes

Aplicamos ahora dos veces la propiedad del producto mixto

Aquí también hemos hecho uso de que es constante y por tanto puede salir de las derivadas. También puede salir de las integrales y nos queda

y, puesto que se debe cumplir para todo vector

,

Expresión general Si comparamos el teorema de Stokes, (escrito de una forma ligeramente diferente, con ayuda, de nuevo, de la propiedad del producto mixto), junto con los otros dos teoremas que hemos demostrado, resulta una estructura común

Vemos que los tres pueden ponerse en la forma

Donde representa cualquier tipo de producto (por un escalar, escalar, vectorial u otros que no hemos visto) y A es un campo cualquiera, escalar, vectorial o tensorial. Teniendo en cuenta que , en la integral de superficie aparece el operador , que puede desarrollarse empleando coordenadas cartesianas

o las correspondientes en otros sistemas de coordenadas. En particular, si la integral se hace sobre una superficie coordenada, dos de las componentes de se anulan, lo que simplifica notablemente la expresión.

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