Integrales De Norma.

Integrales de Norma o de Henstock-Kurzweil Fausto A. Contreras Rosales Universidad Autónoma De Aguascalientes, Departamento de Matemáticas y física, Av. Universidad 940, Fracc. Bosques. E-mail address: [email protected]

Introducción El propósito de estas breves notas es presentar una nueva integral conocida como integral de norma1 o integral de Henstock-Kurzweil. Esta integral se de…ne haciendo una modi…cación a la de…nción clásica dada por Riemann que, aunque esta variante es muy ligera, tiene profundas consecuencias tanto en que incluye todas las funciones integrables según Riemann (más aún, las funciones integrables según Lebesgue) así como en cuestiones de convergencia e integrales impropias. A

B

C

D

La de…nición de esta integral se motiva mediante el Teorema Fundamental del Cálculo II (TFC II). Si f : [a; b] ! R es una función derivable con derivada f 0 , entonces se desea que se cumpla la igualdad Z b f 0 = f (b) f (a) : a

Se conocen funciones que no satisfacen esta ecuación, esto es, funciones que son derivables en [a; b] pero su derivada no es integrable sobre el intervalo. Lo anterior nos dice que el TFC no se cumple con completa generalidad para la integral de Riemann. Esta versión del TFC requiere la hipótesis de la integrabilidad de f 0 . En este breve curso se cubre la de…nición de la integral y se dan algunos ejemplos que muestran como se maneja la de…nición. Las integrales impropias que se estudian son las que se suelen llamar de segundo tipo, esto es, funciones no acotadas en intervalos cerrados y acotados. Las integrales sobre intervalos no acotados no se consideran. Esto se hace en la primera sección. En la segunda sección se presentan las propiedades de la integral como linealidad, monotonía entre otras. Se dan también criterios de integrabilidad tanto de su…ciencia como necesidad y su…ciencia. El resultado conocido como TFC I que habla sobre integrales inde…nidas se establece también en esta segunda sección. La tercera y última sección trata sobre la integral y los conjuntos nulos según Lebesgue. Ahí se ven versiones de los TFC cuando las hipótesis se debilitan en conjuntos nulos. Los prerrequisitos para este curso son conocimientos de la Teoría de Integración de Riemann (o Darboux). Con el material en [S] es su…ciente. Los Teoremas de Convergencia no se desarrollan en este curso, pero se hace uso del concepto de 1

Del vocablo en inglés gauge 3

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INTRODUCCIÓN

Convergencia Uniforme y su relación con la continuidad. El tema puede ser consultado en [R]. Lo relacionado con los conjuntos nulos, el Conjunto de Cantor y la Función de Cantor se presentan con mayor detalle en [G] y [H]. Finalmente, el autor de estas notas considera pertinente aclarar que este curso está pensado en estudiantes de licenciatura de segundo o tercer año. No obstante, los graduados que no hayan tenido contacto con esta integral podrían encontrarlo interesante

Integrales de Norma o de Henstock-Kurzweil Supóngase que se tiene una función derivable f : [a; b] ! R y tratemos de construir una prueba del TFC. Sea P = fa = x0 < x1 < < xn = bg una partición del intervalo [a; b]. En cada subintervalo [xi 1 ; xi ] se busca un punto ti tal que el término f 0 (ti ) (xi xi 1 ) dé una buena aproximación del valor f (xi ) f (xi 1 ). Si la elección Pn de este punto es posible en cada subintervalo, entonces la suma de Riemann i=1 f 0 (ti ) (xi xi 1 ) proporciona una buena aproximación al valor de Rb 0 Pn f ya que i=1 f (xi ) f (xi 1 ) = f (b) f (a). Luego, la primer pregunta que a debe hacerse es si tal elección de puntos es posible. El siguiente lema muestra que, en algún sentido, si es el caso. Lema 1 (Lema de Estricción). Sea f : [a; b] ! R derivable en z 2 [a; b]. Entonces para cada " > 0 hay un > 0 tal que jf (v) siempre que u

z

f (u)

v y [u; v]

f 0 (z) (v

[a; b] \ (z

u)j

" (v

; z + ).

Demostración. Ya que f es derivable en z, hay un f (x) x

u)

f (z) z

> 0 tal que

f 0 (z) < "

para z 2 [a; b] con 0 < jx zj < . Si z = u o z = v, entonces el lema es inmediato, así que supóngase que u < z < v. Entonces jf (v)

f (u)

f 0 (z) (v

jf (v) f (z) f 0 (z) (v z)j jf (z) f (u) f 0 (z) (z u)j " (v z) + " (z u) = " (v u) :

u)j

El lema es falso si los puntos u y v no estriñen a z; considérese f (t) = t2 cos ( =t) para t 6= 0 y f (0) = 0 cerca de t = 0. Si es posible dar una partición del intervalo [a; b] de tal modo que el punto ti 2 [xi 1 ; xi ] y el subintervalo [xi 1 ; xi ] satisfagan la conclusión del lema 1, obtenemos n P

f 0 (ti ) (xi

xi

1)

[f (b)

f (a)]

i=1

(1)

=

n P

i=1

ff 0 (ti ) (xi

xi

1)

[f (xi )

f (xi

1 )]g

<"

n P

(xi

xi

1)

i=1

= " (b Pn

0

a)

así que la suma de Riemann i=1 f (ti ) (xi xi 1 ) da una buena aproximación al valor deseado de la integral de f 0 sobre [a; b], a saber, f (b) f (a). 5

6

INTEGRALES DE NORM A O DE HENSTOCK-KURZW EIL

Recuérdese que una función g : [a; b] ! R es integrable según Riemann sobre [a; b] si existe A 2 R tal que para cada " > 0 existe un > 0 con la propiedad de que si P = fa = x0 < x1 < < xn = bg es una partición del intervalo [a; b] con (2)

max fxi xi 1 : 1 i ng < ; Pn entonces j i=0 g (ti ) (xi xi 1 ) Aj < " para cualquier ti [xi 1 ; xi ]. El número A Rb se denomina integral de g sobre [a; b] y se denota como a g. Nótese que el = (z) dado en el lema 1 depende del punto z e indudablemente variará cuando z varíe en [a; b] dependiendo, además, del comportamiento de la función f . Esto indica que puede no existir una constante positiva que cumpla la condición del lema 1 para todos los puntos de [a; b]. Esta di…cultad se puede evitar si escribimos la condición (2) en la siguiente forma (3)

ti

< xi

ti

1

xi < ti + :

Nuestra difucultad reside en el hecho de que no se puede garantizar la existencia de la constante positiva que satisfaga (3) y la condición del lema 1 para ti 2 [a; b] para todo i = 1; : : : ; n. Pero como para cada t 2 [a; b] sí podemos encontrar un (t) > 0 satisface la condición del lema 1, reemplacemos en (3) por (ti ), es decir, escribamos (4)

ti

(ti ) < xi

ti

xi+1 < ti + (ti ) :

Esto sugiere que en la nueva de…nición se pida una función : [a; b] ! (0; 1). La integral resultante se llama integral de norma o integral de Henstock-Kurzweil (también se denomina integral de Riemann generalizada). Procedemos a continuación a establecer la de…nición de esta integral. Una partición etiquetada de un intervalo I = [a; b] es una colección …nita de pares ordenados D = f(ti ; Ii ) : 1 i ng donde fIi : 1 i ng es una partición de I en el sentido usual de la de…nción de Riemann. El punto ti 2 Ii se llamará etiqueta asociada a Ii . Si f : I ! R, la suma de Riemann de f con respecto a D se de…ne como S (f; D) =

n X

f (ti ) (xi

xi

1) :

i=0

Algunos autores llaman a la función : [a; b] ! (0; 1) norma (gauge), pero aquí se llamará norma a la función de…nida en I como (t) = (t

(t) ; t + (t)) ;

es decir, (t) es un intervalo abierto centrado en t de radio (t). Si Ii = [xi escribimos (4) como (5)

ti 2 Ii

1 ; xi ],

(ti ) :

Si D = f(ti ; Ii ) : 1 i ng es una partición etiquetada de I y es una norma en I, decimos que D es -…na si (5) se cumple para cada i = 1; : : : ; n; este hecho lo denotaremos como D . Podemos dar ahora la generalización de la de…nición de la integral de Riemann. Definición 1. Sea f : [a; b] ! R. Se dice que f es integrable en norma sobre [a; b] si existe A 2 R tal que para todo " > 0 existe una norma en [a; b] tal que

INTEGRALES DE NORM A O DE HENSTOCK-KURZW EIL

jS (f; D) .

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Aj < " siempre que D sea una partición etiquetada de [a; b] con D

El número A se llama integral de norma de f sobre [a; b] y se denotará como R f o I f . Es necesario hacer ver que dada cualquier norma en [a; b] siempre a podremos encontrar una partición etiquetada D . Rb

Teorema 1. Sea una norma en I = [a; b]. Entonces existe una partición etiquetada D de I con D . Demostración. La prueba es en realidad la prueba del Teorema de HeineBorel sobre intervalos cerrados y acotados. Defínase un subconjunto E de I como E = ft 2 I : hay una partición etiquetada -…na de [a; t]g. Primeramente, E 6= ?, pues podemos encontrar un x 2 (a) con a < x < b. Luego, f(a; [a; x])g es una partición etiquetada -…na de [a; x]. Es obvio que E es acotado superiormente; b es una cota superior. Sea pues y = sup E. Se a…rma que y 2 E. Elíjase x 2 E tal que x 2 (y) y x < y. Entonces hay una partición etiquetada D de [a; x] -…na. El conjunto D [ fy; [x; y]g es una partición etiquetada de [a; y] que es -…na, así que y 2 E. A continuación se establece que y = b. Si y < b, puede elegirse w 2 (y)\(y; b). Si D es una partición etiquetada de [a; y] -…na, entonces D1 = D [ fy; [y; w]g es una partición etiquetada de [a; w] que además es …na. Esto nos dice que w 2 E, lo que contradice que y = sup E. Como ocurre en la integral de Riemann, el número A es único. Pero primero tenemos la proposición siguiente. Proposición 1. Si 1 y 2 son normas en [a; b], entonces (t) = es una norma en [a; b]. Más aún, si D , entonces D 1 y D

(t) \ . 2

1

2

(t)

Demostración. La primera parte de la proposición es trivial. La segunda también, pues es obvio que (t) i (t) para i = 1; 2 y todo t 2 [a:b]. Teorema 2. El número A en la de…nición 1 de integral de norma es único. Demostración. Sea " > 0. Supóngase que A1 y A2 satisfacen las condiciones en la de…nición 1 con respecto a las normas 1 y 2 para "=2. Sea ahora (t) = , entonces D 1 (t) \ 2 (t). Ahora bien, si D i para i = 1; 2. Luego jA1

A2 j

jA1

S (f; D)j + jS (f; D)

A2 j < ":

Entonces A1 = A2 . De las consideraciones anteriores se sigue que si una función es integrable según Riemann, entonces es integrable en norma, pues la constante > 0 de…ne la norma (t) = (t ; t + ). Con todo lo anterior, ya se puede establecer el TFC II en completa generalidad. Teorema 3 (Teorema Fundamental del Cálculo Parte II). Si f : [a:b] ! R es derivable en [a; b], entonces f 0 es integrable sobre [a; b] con Z b f 0 = f (b) f (a) : a

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INTEGRALES DE NORM A O DE HENSTOCK-KURZW EIL

Demostración. Sea " > 0. Para cada t 2 [a; b] sea (t) como en el lema de estricción y sea la norma (t) = (t (t) ; t + (t)). Si D = f(ti ; Ii ) : 1 i ng entonces los cálculos en (1) muestran que f 0 es integrable en norma sobre [a; b] Rb con a f 0 = f (b) f (a).

Hasta ahora el punto importante es que cualquier derivada es integrable en Rb norma y además se tiene la igualdad a f 0 = f (b) f (a). Este resultado no se cumple en las integrales de Riemann y Lebesgue, pero los contraejemplos no son del todo triviales. También se observó que toda función que es integrable según Riemann es integrable en norma. Lo mismo ocurre con la integral de Lebesgue; el conjunto de las funciones integrables según Lebesgue sobre [a; b] está contenido en el conjunto de las funciones integrables en norma sobre [a; b]. Ejemplo 1. Un ejemplo conocido que es integrable según Lebesgue pero no es integrable según Riemann es la función de Dirichlet. Esta función está de…nida en el intervalo [0; 1] y está dada por f (t) = 1 si t 2 Q y f (t) = 0 si t 2 = Q. Esta función se generaliza a la función f (t) =

c1 c2

t 2 [a; b] \ E t 2 [a; b] \ E c

donde E es un conjunto numerable (numerable signi…ca que es …nito o equipotente a los enteros). Sea E = fzk : k = 1; 2; : : :g. Esta función es integrable en norma con Rb f = c2 (b a). Para establecerlo sea " > 0. Si D = f(ti ; Ii ) : 1 i ng es una a partición etiquetada de [a; b], considérese (6)

jS (f; D)

c2 (b

a)j =

n X i=1

ff (ti )

c2 g (xi

xi

1)

:

Si ti 2 E c , entonces ff (ti ) c2 g (xi xi 1 ) = 0, y así se puede de…nir (t) = (t 1; t + 1) si t 2 E c . A continuación se debe encontrar una manera de de…nir (t) para t 2 E. Si t 2 E, jf (t) c2 j > 0. Ahora bien, como se tendrá que D , se cumplirá que (xi xi 1 ) < 2 (ti ), lo que sugiere que para t 2 E se de…na (t) = "= 2k+2 jf (t) c2 j donde t = zk para algún k 2 N. Con esto se tiene que " jf (t) c2 j (xi xi 1 ) < jf (t) c2 j 2 (t) = k+1 : 2 Como en (6) se tiene una suma …nita, se concluye que

jS (f; D)

c2 (b

a)j =

n P

ff (tk )

k=1 n P

<2 <2

k=1 1 P

k=1

c2 g (xk

xk 1 )

" 2k+1 " 2k+1

= ":

donde el factor 2 obedece a que cada zk pudiera ser etiqueta de dos intervalos contiguos en D. Ejemplo 2. Si la función a integrar tiene una singularidad en un punto de [a; b] (y por ende no es acotada en [a; b]), entonces es conveniente dar una norma en [a; b] que obligue a que si una partición etiquetada ha de ser -…na, entonces el punto de la singularidad sea etiqueta del subintervalo al que pertenece (quizá

INTEGRALES DE NORM A O DE HENSTOCK-KURZW EIL

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depdos subintervalos). Considérese la función f : [0; 1] ! R dada por f (x) = 1= x para x 6= 0 y f (0) = 0. De la teoría clásica de Riemann sobre integrales R1 impropias sabemos que 0 f = 2. En las integrales de norma las integrales impropias Rb "no existen.en el sentido de que no es necesario hablar de los límites l m c f y + c!a Rc l m a f , sino que bastará con dar la norma que satisfaga la de…nición 1. c!b

Volviendo al ejemplo, p sea " > 0. De cálculo elemental se sabe que el área bajo la , entonces curva sobre [0; x] es 2 x. Si construimos una norma tal que si D 0 sea una etiqueta del subintervalo [0; x1 ], entonces podemos çontrolar"la singup p p (0) donde (0) = laridad. Tenemos que f (0) (x1 0) 2 x1 = 2 x1 < 2 ( (0) ; (0)). Luego, conviene elegir (0) = "2 =16. Con ello r p "2 " jf (0) (x1 0) 2 x1 j < 2 = 16 2 siempre que [0; xp ] (0). Ahora bien, si 0 < u < v < 1, el área bajo la curva 1 p u), luego, si u z v, tenemos la siguiente estimación sobre [u; v] es 2 ( v

jf (z) (v

p [2 v

u)

p 2 u]j = (v =

p1 p 2p z v+ u p p p z ( v+ u) 2z p p v+ u p p p z ( v+ u) 2z p z

u)

v u z v u z

= =

p p p j pv + pu 2 pzj (j v zj + j u

v u z v u z v u z

pv zp v+ z vp z z

v u z

+

p

zj)

+ pzz+upu (v u)2 zp u = : z z 3=2

Esto sugiere deinir (z) = "z 2=3 =4 y hacer (z) = (z (z) ; z + (z)) \ (0; 2) para z > 0. Nótese que si se aplica esta fórmula a 0 < t1 < x1 , se tendría (t1 ) < x1 para 0 < " < 1, entonces no se cumpliría [0; x1 ] (t1 ). Por ello debe ser t1 = 0. Ahora supóngase que D = f(ti ; Ii ) : 1 i ng con Ii = [xi 1 ; xi ] y 0 = x0 < x1 < < xn = 1. Entonces t1 = 0 y de las estimaciones anteriores tenemos que

jS (f; D)

2j =

n P

f (ti ) (xi

xi 1 )

2

p

p

xi

i=1

n P p 2 x1 + f (ti ) (xi " 2

+

=

" 2

+

<

" 2

+

<

i=2 n P (xi xi

i=2 n P

1)

2

3=2 ti

(xi

i=2 " = 2

xi 1 ) 2"

" 2

xi 1 ) +

n P

i=2

2

(xi xi 3=2

ti

xi

p 1)

1

xi

p

xi

1

2 (ti )

":

Con los dos ejemplos anteriores ya se perciben las bondades de la integral de norma. Se sigue además del TFC II que las reglas del cálculo elemental para evaluar integrales usando antiderivadas se cumplen para esta nueva integral. Otra

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INTEGRALES DE NORM A O DE HENSTOCK-KURZW EIL

sencillísma consecuencia del TFC II es la fórmula del cambio de variable que dice que bajo ciertas hipótesis Z b Z (b) (f ) 0: f= (a)

a

Otro hecho importante pero sutil es que en la de…nición de Riemann tanto el punto ti 2 Ii como la partición son totalmente arbitrarios mientras que en la integral de norma el punto ti 2 Ii puede no ser arbitrario, como en el Ejemplo 2.

Propiedades de la Integral de Norma En esta sección se establecen las propiedades básicas de la integral de norma. En toda esta sección se considerarán I = [a; b] y f; f1 ; f2 : I ! R. Teorema 4. Supóngase que f1 ; f2 son integrables en norma sobre I. R R R 1. f1 + f2 es integrable en norma sobre I con I (f1 + f2 ) = I f1 + RI f2 . 2. Para R cada c 2 R la función cf es integrable en norma sobre I con I cf = c I f. R 3. Si f 0 en I, entonces IRf 0. R 4. Si f1 f2 en I, entonces I f1 f . I 2

Demostración.

1. Sea " > 0. Para i = 1; 2 existen normas Z S (fi ; D) fi < "=2

i

tales que

I

siempre que D = 1 \ 2 es una norma tal que i . Ya se hizo ver que si D , entonces D i , así que R R R S (f1 + f2 ; D) f + I f2 S (f1 ; D) R I f1 I 1 + S (f2 ; D) f I 2 <" 2. Es un ejercicio. R S (f; D) f < 3. Sea " > 0. Hay una norma tal que si D , entonces I R ". Dado que f 0, se tiene que 0 S (f; D) f + ". I 4. Es una consecuencia de las anteriores con c = 1 y f = f1 f2 . Una consecuencia del TFC II y del Teorema 4 produce la fórmula de integración por partes. Corolario 1. Sean f1 y f2 derivables en I. Entonces f1 0 f2 es integrable en norma sobre I ssi f1 f2 0 es integrable en norma sobre I y en tal caso Z b Z b f1 0 f2 = f1 (b) f2 (b) f1 (a) f2 (a) f1 f2 0 a

a

Demostración. Por la regla del producto tenemos que (f1 f2 ) 0 = f1 0 f2 +f1 f2 . El resultado se sigue ahora del Teorema 4 y el TFC II. R La integral de norma I f también puede ser vista como una función real del intervalo I. 0

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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE NORM A

Teorema 5. Sean a < c < b. Si f es integrable sobre [a; c] y [c; b], entonces f es integrable sobre [a; b] con Z b Z c Z b f= f+ f: a

a

c

Demostración. Sea " > 0. Existe una norma R c 1 (resp. 2 ) en [a; c](resp. en [c; b]) tal que si D1 , entonces S (f; D ) f < "=2 (resp. si D2 1 1 2, a Rb f < "=2). Ahora se debe de…nir una norma en [a; b] en entonces S (f; D2 ) c términos de i de tal manera que si D es una partición etiquetada de [a; b] con D , entonces se cumpla que D contenga uno o dos subintervalos que tengan a c como etiqueta. Defínase como 8 (a; c) \ 1 (t) ; t 2 (a; c) ; > > > > t 2 (c; b) ; < (c; b) \ 2 (t) ; t = c; (t) = 1 (c) \ 2 (c) ; > > (a) \ ( 1; c) ; t = a; > > : 1 t = b: 2 (b) \ (c; 1) ; Es obvio que es una norma en [a; b]. Si D es una partición etiquetada de [a; b], entonces se puede asumir que c es un punto de subdivisión, pues si no lo fuese, simplemente se agrega tal punto. Ahora bien, si D , entonces c debe ser la etiqueta de los subintervalos que lo contienen (compruébese). Con ello, sean ahora D1 = f(t; J) : J [a; c]g y D2 = f(t; J) : J [c; b]g particiones de [a; c] y [c; b] respectivamente. Por construcción se tiene que Di i para i = 1; 2. Luego, con la separación de la suma S (f; D) = S (f; D1 ) + S (f; D2 ) y la desigualdad del triángulo se tiene que Z b Z c Z c Z b ! f < ": S (f; D1 ) f + S (f; D2 ) S (f; D) f+ f a

c

a

c

Entonces las normas en [a; c] y [c; b], que existen por hipótesis, permitieron construir una norma en [a; b] para obtener el resultado. Para establecer el recíproco del Teorema 5 se necesita el Criterio de Cauchy de integrabilidad en norma. Como ocurre con el criterio de Cauchy para sucesiones reales, este criterio permite no tener conocimiento del valor de la integral. Teorema 6 (Criterio de Cauchy). Sea f : I ! R. Entonces f es integrable en norma sobre [a; b] ssi para cada " > 0 existe una norma en I tal que si D; E , entonces jS (f; D) S (f; E)j < ". Demostración. La necesidad se establece inmediatamente la desigualdad del triángulo: Z Z jS (f; D) S (f; E)j S (f; D) f + f S (f; E) < ": I

I

Para la su…ciencia sea k , k 2 N; una norma tal que si D; E k , entonces jS (f; D) S (f; E)j < 1=k. Las normas se pueden elegir de tal manera que k+1 (t) k (t) para cada t 2 I (simplemente elíjanse los k (t) > 0 que de…nen a los k de tal manera que k+1 (t) < k (t), o hágase la sustitución n 0 (t) = m n f 1 (t) ; : : : n (t)g). Esta construcción es para que si Dn es una partición etiquetada asociada a la norma n con Dn n para cada n 2 N, entonces k > j

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE NORM A

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_ Así, la implique que Dk S (f; Dj )j < 1=j. j , y en consecuencia jS (f; Dk ) sucesión real fS (f; Dk )g es de Cauchy y, por tanto, converge a un número A. Sea " > 0 dado. Elíjase N tal que 1=N < "=2 y jS (f; DN ) Aj < "=2. Sea D N cualquiera. Entonces jS (f; D)

Aj

jS (f; D) S (f; DN )j + jS (f; DN ) Aj < 1=N + 1=N < ". R Esto prueba que f es integrable sobre I con I f = A. El Criterio de Cauchy para integrales permitió construir una sucesión en R de Cauchy consistente en las sumas de Riemann que converge al valor de la integral. Ahora se puede establecer el recíproco del Teorema 5. Teorema 7. Sea f : I ! R integrable en norma sobre I. Entonces f es integrable sobre cualquier subintervalo cerrado J de I. R Demostración. Como no tenemos candidato para el valor de J f , se usará el criterio de Cauchy. Sea " > 0. Entonces hay una norma en I tal que si D; E , entonces jS (f; D) S (f; E)j < ". Considérese a < c < d < b y J = [c; d]; si a = c o d = b, las modi…caciones a la prueba son mínimas. Sea la restricción de a J y sea 1 (resp. 2 ) la resticción de a [a; c] (resp. a [d; b]). Sea ahora D1 (resp. D2 ) una partición etiquetada de [a; c] (resp. de [d; b]) con D1 1 (resp. D2 2 ). Finalmente tómense particiones etiquetadas D y E de J con D; E . Entonces D 0 = D1 [D[D2 y E 0 = D1 [E [D2 son ambas particiones de [a; b] y además son -…nas, así que jS (f; D 0 )

S (f; E 0 )j = jS (f; D)

S (f; E)j < "

ya que los términos que surgen de los subintervalos [a; c] y [d; b] se anulan entre ellos. En virtud del Criterio de Cauhcy se concluye que f es integrable sobre J. Aplicando el Teorema 5 un número …nito de veces se deduce para la integral de norma el resultado que en la integral de Riemann clásica se denomina aditividad por intervalos. En la primer sección se probó el TFC II. A continuación se enuncia y prueba el TFC I. Teorema 8 (TFC Parte I). Sea f : I ! R integrable en norma sobre I y sea Rx F (x) = a f para a x b. Si f es continua en c 2 [a; b], entonces F es derivable en c con F 0 (c) = f (c). Demostración. Sea " > 0. Por la continuidad de f en c podemos encontrar un > 0 tal que jf (x) f (c)j < " siempre que x 2 [a; b] y jx cj < . Supóngase que jy cj < y c < y. Entonces f (c) para c

t

" < f (t) < f (c) + "

y. Aplicando los Teoremas 4 y 7, la integración sobre [c; y] nos da Z y (f (c) ") (y c) f (t) dt (f (c) + ") (y c) c

o

f (c)

"

F (y) y

F (c) c

f (c) + ":

14

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE NORM A

Una desigualdad similar se cumple para y < c. Entonces tenemos así el resultado puesto que se tiene la de…nición de la derivada como límite. Se sabe que si f es continua en [a; b], entonces es integrable según Riemann sobre [a; b]. De ello se sigue que f también será integrable en norma sobre [a; b] siempre que sea continua en el intervalo. Consideraremos ahora una propiedad de la integral de norma que no se cumple para las integrales de Riemann y Lebesgue. En la integral de Riemann se tiene que si f es integrable sobre I, entonces jf j también lo es. El recíproco es falso, como lo muestra la función f : [0; 1] ! R dada por f (t) = 1 si t es racional y f (t) = 1 si t es irracional. En la teoría de Lebesgue la integrabilidad sobre I de f y jf j son equivalentes. Es por ello que se dice que las integrales de Riemann y Lebesgue son absolutas. Definición 2. Se dice que f es absolutamente integrable en norma sobre I si f y jf j son integrables en norma sobre I. Si f es integrable en norma sobre I pero jf j no lo es, decimos que f es condicionalmente integrable en norma sobre I. Corolario 2 (Desigualdad del TriánguloR para Integrales). Si f es absolutaR mente integrable en norma sobre I, entonces I f jf j. I

Demostración. La prueba es exactamente la misma que la integral de Riemann clásica. El siguiente ejemplo muestra que la integral de norma es una integral condicional.

Ejemplo 3. Para 0 < t 1 sea f (t) = t2 cos =t2 y f (0) = 0. Entonces f es derivable en [0; 1] con f 0 (t) = 2t cos =t2 +(2 =t) sin =t2 si t 6= 0 y f 0 (0) = 0. R1 Por el TFC, f 0 es integrable sobre [0; 1] con 0 f 0 = 1. Sin embargo, jf 0 j no es p p integrable sobre [0; 1]. Para ver esto, sean k = 2= (4k + 1) y k = 1= 2k. Los intervalos f[ k ; k ]g son ajenos dos a dos y jf 0 j es continua en cada [ k ; k ], por lo que es integrable sobre cada [ k ; k ]. Por el TFC y la Desigualdad del Triángulo para Integrales Z k Z k 1 0 jf j f 0 = : 2k k k Si jf 0 j fuese integrable sobre [0; 1], tendríamos, de acuerdo a la aditividad por intervalos, que para cada n 2 N Z 1 n Z k n X X 1 jf 0 j jf 0 j 2k 0 k k=1

k=1

0

lo cual es imposible. Luego, jf j no puede ser integrable en norma sobre [0; 1]. Así, f 0 es condicionalmente integrable sobre [0; 1]. Se da a continuación un criterio de integrabilidad en norma. Teorema 9. Sea f : I ! R. Entonces f es integrable en norma sobre [a; b] ssi para cada " > 0 existen funciones g y h integrables en norma sobre [a; b] tales que g f h en [a; b] y Z b (h g) < ": a

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE NORM A

15

Demostración. Si f es integrable en norma sobre [a; b], tómense g = h = f . Recíprocamente, si g f h en [a; b] y satisfacen que Z b " (7) (h g) < ; 3 a

entonces para cualquier partición etiquetada D de [a; b] se tiene que (8)

S (g; D)

Sea " > 0. Existen normas entonces (9)

S (f; D)

1

y

(10)

en [a; b] tales que si D

2

S (g; D)

Z

S (h; E)

Z

y

S (h; D) :

1

y E

2,

b

g < "=3

a

b

h < "=3

a

Sea ahora la norma en términos de 1 y 2 que satisface i para i = 1; 2 (se escoge = m n f 1 ; 2 g). Luego, si D; E entonces D 1 y E , y, en cosecuencia se veri…can (9) y (10) pero ahora ambas desigualdades con 2 ambas particiones etiquetadas. Combinándolas con (8) para D y E se obtienen las desigualdades Z b Z b " " g < S (f; D) < h+ 3 3 a a y Z b Z b " " h < S (f; E) < g+ : 3 3 a a Sumando estas desigualdades se obtiene que Z b Z b 2" 2" < S (f; D) S (f; E) < (h g) (h g) + 3 3 a a y de acuerdo con (7), se tiene que jS (f; D)

S (f; E)j <

Z

b

(h

g) +

a

2" < ": 3

Finalmente el Criterio de Cauchy nos da el resultado. Definición 3. Se dice que ' : [a; b] ! R es una función escalonada si toma únicamente un número …nito de valores. La función f : [a; b] ! R se dice que es regulada en [a; b] si para cada " > 0 existe una función escalonada ' tal que (11) para todo t 2 [a; b].

jf (t)

' (t)j < "

Proposición 2. La función f : [a; b] ! R es regulada en [a; b] ssi existe una 1 sucesión f'n gn=1 de funciones escalonadas que converge uniformemente a f en [a; b]. Demostración. El resultado se sigue inmediatamente tomando " = 1=n. Este concepto nos da una condición su…ciente para que f sea integrable en norma sobre [a; b].

16

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE NORM A

Teorema 10. Si f : [a; b] ! R es regulada en [a; b], entonces f es integrable en norma sobre [a; b]. Demostración. Dado " > 0, sea ' : [a; b] ! R la función escalonada tal que (11) se cumple para "=2 (b a). Entonces tenemos que ' "=2 (b a) < f < ' + "=2 (b a) en [a; b]. Ahora bien, las funciones escalonadas son integrables según Riemann, por lo que son integrables en norma. Por tanto, si hacemos g = ' "=2 (b a) y h = ' + "=2 (b a), se tiene que g y h son integrables en norma sobre Rb [a; b] con g f h y a (h g) < ". El Teorema 9 nos dice que f es integrable en norma sobre [a; b]. El recíproco de este resultado no es cierto. Ver el Ejercicio 22. Concluimos esta sección con un criterio para la integrabilidad del producto de dos funciones. Teorema 11. Si f : [a; b] ! R es integrable en norma sobre [a; b] con m f (t) para todo t 2 [a; b] y : [a; b] ! R es regulada en [a; b], entonces f es integrable en norma sobre [a; b]. Demostración. Es obvio que es su…ciente probar el resultado para f 0 (¿por qué?). En virtud de la aditividad por intervalos (Teorema 5) si ' : [a; b] ! R es una función escalonada, entonces 'f es integrable en norma sobre [a; b]. Sea Rb 0 f < A. Dado " > 0, sea ' : [a; b] ! R una función escalonada que satisface a j (t) ' (t)j < "=2A para todo t 2 [a; b], o lo que es lo mismo ' (t)

"=2A <

(t) < ' (t) + "=2A:

Si de…nimos ahora g (t) = f (t) (' (t) "=2A) y h (t) = f (t) (' (t) + "=2A) para t 2 [a; b], entonces el Teorema 4 nos dice que g y h son integrables en norma sobre [a; b] y se sigue que g f h en [a; b] y además Z b Z b (h g) = "=A f < ": a

Ahora el Teorema 9 nos dice que f

a

es integrable en norma sobre [a; b].

La Integral de Norma y Conjuntos Nulos En esta sección estudiaremos las relaciones entre la integral de norma y los conjuntos nulos o conjuntos de medida de Lebesgue cero. si I es un intervalo (cerrado, aberto o semiabierto) en R, denotaremos su longitud como ` (I). Primero de…nimos los conjuntos nulos. Definición 4. Un subconjunto E

[a; b] es nulo (según Lebesgue) si para cada 1 S " > 0 existe una familia numerable de intervalos abiertos fIj gj2N tal que E Ij j=1 P1 y j=1 ` (Ij ) < ".

Observación 1. La de…nición de conjunto nulo también puede hacerse pidiendo intervalos cerrados. Si los intervalos son abiertos, considérense únicamente las cerraduras de éstos. P1 Recíprocamente, si los intervalos son cerrados, para cada Ij = [aj ; bj ] donde j=1 ` (Ij ) < "=2, defínase Jj = aj "=2j+2 ; bj + "=2j+2 . Entonces ` (Jj ) = ` (Ij ) + "=2j+1 , y con ello se tiene que los Jj cubren a E y P1 j=1 ` (Jj ) < "=2 + "=2 = ". Proposición 3. Los conjuntos nulos tienen las siguientes propiedades. 1. Si E F y F es nulo, entonces E es nulo. 2. Si fEk : k 2 Ng es una sucesión de conjuntos nulos, entonces E = es un conjunto nulo. 3. Cualquier conjunto numerable es un conjunto nulo.

1 S

Ek

k=1

Demostración. La primera parte es inmediata. Para P1la segunda, sea fIj k g la sucesión de intervalos abiertos que cubren a Ek con j=1 ` (Ij k ) < "=2k . La tercer a…rmación se deja como ejercicio. Si una propiedad P se cumple para cada punto de un subconjuto A excepto en un conjunto nulo, diremos que P se cumple casi donde quiera y lo abreviaremos cdq. Entonces P se cumple cdq en A si fx 2 A : :P g es un conjunto nulo. El siguiente ejemplo generaliza de alguna manera el ejemplo 1. Ejemplo 4. Supóngase que f : [a; b] ! R es tal que f = 0 cdq en [a; b]. Rb Entonces f es integrable en norma sobre [a; b] con a f = 0. Sean " > 0 y E = ft 2 [a; b] : f (t) 6= 0g. Entonces E es un conjunto nulo. Para k 2 N, hágase Ek = 1 S ft 2 E : k 1 < jf (t)j kg. Entonces E = Ek y Ek es un conjunto nulo. k=1

Para cada k sea fIj k g la sucesión de intervalos abiertos que cubren a Ek con P 1 k en [a; b] como (t) = R si t 62 E j=1 ` (Ij k ) < "=k2 . Defínase una norma y (t) = Ij k si t 2 Ek donde j es el mínimo entero positivo tal que t 2 Ij k . 17

18

LA INTEGRAL DE NORM A Y CONJUNTOS NULOS

Supóngase ahora que D = f(ti ; Ii ) : 1 i mg y sean Dk = f(ti ; Ii ) : ti 2 Ek g para k 2 N y D0 = f(ti ; Ii ) : ti 62 Eg. Entonces S (f; D0 ) = 0 y, dado que si ti 2 Ek , entonces f (t) k, también se veri…ca que jS (f; Dk )j < para k

1 X

k` (Ij k ) <

j=1

" 2k

1. Tomando enseguida la suma sobre k X k

S (f; Dk ) = jS (f; D)j <

y se tiene que f es integrable sobre [a; b] con

Rb a

1 X " = ": 2k

k=1

f = 0.

En seguida se muestran que si la función es derviable cdq en [a; b] (pero no en todo el intervalo), es decir, E = ft 2 [a; b] : 9/ f 0 (t)g = 6 ?, entonces no se cumple la igualdad del TFC II. Primero ncesitamos construir el Conjunto de Cantor, que es un conjunto nulo y no numerable. Ejemplo 5 (El Conjunto de Cantor). Sea C0 = [0; 1]. Defínase C1 a partir de C0 elinimando el intervalo abierto central con 1=3 de longitud. Así C1 = 0;

1 2 [ ;1 : 3 3

Del mismo modo elimínense los intervalos abiertos centrales de 1=32 de longitud de los 2 intervalos que confroman a C1 para obtener C2 . Con ello se tiene que C2 = 0;

2 1 2 7 8 1 [ ; = ; [ ;1 : 9 9 3 3 9 9

Para obtener C3 se eliminan los 22 = 4 intervalos abiertos centrales de longitud 1=3 de cada uno de los intervalos que constituyen C2 . Se construye así una sucesión de conjuntos fCn g cerrados consistentes en la unión …nita de 2n intervalos cerrados cada uno de longitud 1=3n . De hecho 3

Cn = 0;

1 2 3 4 5 [ n; n [ n; n [ 3n 3 3 3 3

El Conjunto de Cantor se de…ne como 1 \ C= Cn :

[

3n 1 ;1 : 3n

n=1

El conjunto C es un conjunto nulo. En efecto, para " > 0 dado, sea N tal que N (2=3) < ". Dado que C CN , entonces C está contenido en una unión …nita de intervalos cerrados cuyas lognitudes tienen una suma arbitrariamente pequeña. En consecuencia, de acuerdo con la Observación 1, C es un conjunto nulo. Para establecer que C no es numerable usaremos los siguientes hechos conocidos sin probarlos: P1 1. Los puntos x 2 C tienen una expansión decimal de la forma x = i=1 ai =3i donde ai = 0; 2. 2. El conjunto S0 de sucesiones fai g donde ai = 0; 1 es un conjunto no numerable

LA INTEGRAL DE NORM A Y CONJUNTOS NULOS

19

Entonces hay un acorrespondencia sobreyectiva de C al conjunto S0 . Luego, C tiene cardinalidad mayor o igual que la de S0 , por lo que C es un conjunto no numerable. Este conjunto nos permite construir una función : [0; 1] ! R llamada la función de Cantor que será muy útil para dar ejemplos y contraejemplos. Primeramente sea 1 : [0; 1] ! R la función de…nida como 1 (0) = 0, 1 (1) = 1 y 1 (x) = 1=2 si x 2 31 ; 23 . Para x 2 0; 13 , 1 se de…ne como la recta que une los puntos (0; 0) y 13 ; 12 ; del mismo modo para x 2 32 ; 1 la función 1 será la recta que une los puntos 23 ; 12 y (1; 1). Este tipo de función se denominará lineal por pedazos y sólo se indicarán los valores donde sea constante. Con esto, se de…ne 1 2 2 como la función lineal por pedazos tomando los valores de 1=4 en 9 ; 9 , de 1=2 1 2 7 8 en 3 ; 3 y de 3=4 en 9 ; 9 ; por supuesto en donde no se indican los valores de 2 se trata de una recta. En general, se de…ne n como n (0) = 0, n (1) = 1, tomando los valores de 1=2n ; 2=2n ; 3=2n ; : : : ; (2n 1) =2n en los intervalos que fueron removidos (tomando su cerrdadura) [0; 1] para construir Cn y segmentos de recta en los intervalos restantes de tal manera que n sea continua en [0; 1]. Por construción, cada n es una función continua y no decreciente en [0; 1]. Teorema 12. La sucesión de funciones f a una función continua y no decreciente. j

n

ng

converge uniformemente en [0; 1]

Demostración. Como los valores de n y n+1 son iguales o satisfacen (x) 1=2n para todo n 2 N, se tiene que si n < m, entonces n+1 (x)j j

n

(x)

m

(x)j

m X

k=n

j

k

(x)

k+1

(x)j

m X 1 2k

k=n

1 2n 1

:

Esto implica que el límite lm

n!1

n

(x) =

(x)

existe y que j n (x) (x)j 1=2n 1 para todo x 2 [0; 1]. Así que la sucesión converge uniformemente en [0; 1] a . Dado que cada n es continua, se sigue que es continua en [0; 1]. Asimismo, debido a que cada n es no decreciente, se concluye que es no decreciente en [0; 1]. La función se denomina función de Cantor. Si x 2 [0; 1] rC, entonces hay un intervalo abierto que contiene a x y en el que n es constante para n su…cientemente grande. Por lo tanto, es constante en tal intervalo y por ende 0 (x) = 0. Si x 2 C, no es derivable. Tenemos una función de…nida en un intervalo [a; b] que es derivable cdq en [a; b] y que además el conjunto nulo donde no se tiene la derivabilidad es no numerable. Estos hechos serán importantes en los siguientes ejemplos. Tenemos antes las siguientes de…niciones. Definición 5. Sean I : [a; b] y F; f : I ! R.

1. Se dice que F es una antiderivada (o primitiva) de f si F es derivable en I y F 0 (x) = f (x) para todo x 2 I. 2. Si F es continua en I y la igualdad F 0 (x) = f (x) se cumple cdq en I; se dice que F es una cdq-antiderivada de f .

20

LA INTEGRAL DE NORM A Y CONJUNTOS NULOS

3. Si F es continua en I y la igualdad F 0 (x) = f (x) se cumple en I excepto en un conjunto numerable de puntos, se dice que F es una c-antiderivada de f . Rx 4. Si f es integrable en norma sobre I, entonces la función F (x) = f (t) dt se llama integral inde…nida de f con base en el punto . Obsérvese que si f es continua, entonces de acuerdo con el TFC II, su integral inde…nida es una antiderivada y que ésta siempre es una c-antiderivada que a su vez siempre es una cdq-antiderivada. En el TFC II la hipótesis de derivabilidad de la función se puede debilitar a que sea derivable excepto en un conjunto numerable (ver el Ejemplo 1). Teorema 13. Si F es una c-antiderivada de f en [a; b], entonces f es integrable Rb en norma sobre [a; b] y a f = F (b) F (a) :

Demostración. Sea E = fzk : k 2 Ng el conjunto donde la ecuación F 0 (x) = f (x) no se cumple. Si t 2 [a; b] nE, defínase (t) como en el lema 1. Se puede asumir que f (t) = 0 para t 2 E. Si t = zk para algún k, de la continuidad de F en zk se elige un (zk ) > 0 tal que jF (x) F (zk )j < "=2k+3 siempre que x 2 [a; b] y jx zk j < (zk ). Tenemos una norma de…nida en [a; b] como (t) = (t (t) ; t + (t)). Sea ahora D = f(ti ; Ii ) : 1 i ng . Si ti 62 E para todo i = 1; : : : ; n, el TFC I no cambia en absoluto. Si ti0 2 E para algún i0 , entonces

jF (xi0 )

F (xi0 ) F xi0 1 f (ti0 ) (xi0 xi0 1 ) F (ti0 )j + F (ti0 ) F xi0 1 + jf (ti0 ) (xi0 " " " + 2k+3 + 0 = 2k+2 : 2k+3

xi0 1 )j <

Ahora bien, ya se ha visto que cada punto de E puede ser la etiqueta de a lo más dos subintervalos en D, por lo que la suma de los términos con ti 2 E satisface X

ti 2E

jF (xi )

F (xi

1)

f (ti ) (xi

xi

1 )j

<2

1 X

k=1

" " = : 2k+2 2

De acuerdo con el lema 1, si t 2 [a; b] rE, se tiene que " jF (xi ) F (xi ) f (ti ) (xi xi 1 )j < (xi 2 (b a) entonces X jF (xi )

F (xi

1)

f (ti ) (xi

xi

ti 62E

En consecuencia, si D

1 )j

<

" 2 (b

a)

X

xi

(xi

1) ;

xi

1)

ti 62E

, separando nuevamente la suma, ahora como

S (f; D) = +

P

tP i 62E

F (xi )

F (xi 1 )

f (ti ) (xi

xi 1 )

F (xi )

F (xi 1 )

f (ti ) (xi

xi 1 )

ti 2E

tenemos que

jS (f; D)

(F (b)

F (a))j < ": Rb con lo que se prueba que f es integrable en norma con a f = F (b)

F (a).

" : 2

LA INTEGRAL DE NORM A Y CONJUNTOS NULOS

21

Este resultado no se cumple para la integral de Riemann. Por ejemplo, una función F constante en [0; 1] es una c-antiderivada de la función de Dirichlet. El resultado también es falso si F es una cdq-antiderivada con el conjunto E no numerble. La función de Cantor es una cdq-antiderivada de la función constante f = 0, y aunque esta función si es integrable en norma, no se cumple la igualdad Z b 0 = (1) (0) ; a

pues el lado derecho es 1 y el izquierdo 0. Los conjuntos nulos no numerables son más nobles con el TFC I. El siguiente resultado se establece sin prueba, ya que ésta necesita del concepto de variación acotada, que está fuera de los objetivos de este breve curso.

Teorema 14. Si f es integrable en norma sobre [a; b], entonces cualquier inRx tegral inde…nida F (x) = f (t) dt es continua en [a; b] y además es una cdqantiderivada de f . El Teorema anterior no garantiza que F sea una c-antiderivada. El siguiente ejemplo muestra que, en efecto, una integral inde…nida puede tener una cdq- antiderivada sin que ésta sea una c-antiderivada. Ejemplo 6. Sea ' : [0; 1] ! R de…nida como ' (t) = 1 si t 2 C y ' (t) = 0 si t 62 C. Se de…ne la integral inde…nida Z x (x) = ' (t) dt: 0

0 En virtud del Ejemplo 4, es la función constante 0. Luego, = 0 en [0; 1]. 0 Entonces 6= ' en un conjunto nulo no numerable. Ahora bien, si ' tuviera una c-antiderivada F , entonces F y di…eren en una constante, a saber F = F (0), y como es la función constante 0, se sigue que F 0 (x) = 0 para todo x 2 [0; 1]. Pero ello implicaría que ' (t) 6= 0 únicamente en un conjunto numerable, lo que contradice la de…nción de '. Se concluye que ' no tiene una c-antiderivada en [0; 1].

Para …nalizar esta sección, presentamos otra función que es integrable en norma. Ejemplo 7. Sea F : [0; 1] ! R dada por F (t) = t jcos ( =t)j para t 6= 0 y F (0) = 0. Es claro que es continua en [0; 1] y F (t) = 0 ssi t 2 E = f0g [ f2= (2k + 1) : k 2 Ng. Cálculos directos muestran que F 0 (0) no existe ya que F (1=k) = 1=k y F (2= (2k + 1)) = 0. Teniendo presente que jxj no es derivable en 0, se tiene que F no es derivable en los puntos donde cos ( =t) = 0, es decir, F no es derivable ssi t = 2= (2k + 1). Defínase ahora f : [0; 1] ! R como f (t) =

F 0 (t) ; t 62 E 0 t 2 E:

Entonces F es una c-antiderivada de f , de donde se sigue que f es integrable en norma sobre [0; 1].

Ejercicios Ejercicio 1. Si t 2 [a; b], entonces D

1

y

son normas en [a; b] tales que siempre que D 1.

2 2

1

(t)

2

(t) para todo

Ejercicio 2. Si 1 ; : : : ; M son normas en [a; b], entonces (t) de…nida como el i (t) de longitud mínima con i = 1; : : : M es una norma en [a; b]. Además D ssi D i para cada i = 1; : : : M . Ejercicio 3. Sea (t) = t=2 si 0 < t 1 y (0) = 1=4 y sea la norma (t) = (t (t) ; t + (t)). Construya dos particiones etiquetadas de [0; 1] con una -…na y la otra no. (1

Ejercicio 4. Haga lo mismo que en el Ejercicio 3 pero ahora con t) =2 si 0 t < 1 y (1) = 1=4.

(t) =

Ejercicio 5. Sea ahora (0) = (1) = 1=4 y (t) = dist (t; f0; 1g) =2 para 0 < t < 1. La norma se de…ne de la manera usual. Muestre que si D es una partición de [0; 1] -…na, entonces 0 y 1 deben ser etiquetas. Ejercicio 6. Muestr que f : [0; 1] ! R dada por f (t) = log (t) si t 6= 0 y f (0) = 0 es integrable en norma sobre [0; 1] proporcionando una norma adecuada. Ejercicio 7. La función f : [0; 1] ! R dada por f (t) = 0 si t es irracional y f (p=q) = 1=q donde p y q son primos relativos se llama la función de Thomae. R1 Esta función es integrable según Riemann con 0 f = 0. Modifíquese ahora como f (p=q) = q. Muestre que ahora f no es acotada en cualquier subintervalo con más de un punto de [0; 1]. Establezca además que f es integrable en norma y determine R1 el valor de 0 f 1

Ejercicio 8. Sea fcn gn=1 una sucesión real. Se de…ne ' : [0; 1] ! R como ' (t) = n (n + P 1) cn si 1= (n + 1) < t 1=n. Muestre que ' es integrable en norma 1 sobre [0; 1] ssi n=1 cn converge (se tiene que proporcionar una norma adecuada). R1 R1 Determine el valor de 0 '. Explique qué pasa con 0 j'j y la convergencia absoluta o condicional de la serie. p p Ejercicio 9. Sea A = 3=2m + 2=3n : m; n 2 N . Determine si A es un conjunto nulo o no. Ejercicio 10. Sea E [a; b] un conjunto numerable y sea f : [a; b] ! R dada por f (t) = 0 si t 2 [a; b] rE y tal que jf (t)j M para t 2 E. Muestre que f es Rb integrable en norma sobre [a; b] con a f = 0. Ejercicio 11. Sea f como en el Ejercicio 10 pero con la variante de que E es nulo y no numerable. Muestre que f es integrable en norma sobre [a; b] con Rb f = 0. a 23

24

EJERCICIOS

Ejercicio 12. Si f es integrable en norma sobre [a; b] y g = f cdq en [a; b], Rb Rb entonces g es integrable en norma y a f = a g. Ejercicio 13. Si f y g son integrables en norma sobre [a; b] y g Rb Rb [a; b], entonces a g f. a

Ejercicio 14. Si f y g son integrables en norma sobre [a; b] y jgj Rb Rb f. [a; b], entonces a g a

f cdq en

f cdq en

Rb Ejercicio 15. Si f es integrable en norma sobre [a; b] con a f = 0 y jgj f Rb cdq en [a; b], entonces g es absolutamente integrable sobre [a; b] con a g = 0 = Rb jgj. a Ejercicio 16. Sea f integrable en norma sobre [a; b] y c 2 (a; b). Supóngase que g (t) = 0 para a t < c y g (t) = f (t) para c t b. Muestre que g es Rb Rb integrable sobre [a; b] con a g = c f . 1

Ejercicio 17. Sea ffn gn=1 una sucesión de funciones integrables en norma Rb sobre [a; b] tal que 0 fn f en [a; b] y a fn n para todo n 2 N. Muestre que f no es integrable en norma sobre [a; b]. Ejercicio 18. Muestre que f (t) = 1=t para 0 < t que f no es integrable en norma sobre [0; 1].

1 y f (0) = 0. Muestre

Ejercicio 19. Dé funciones f y g integrables en norma sobre [a; b] tales que h = max ff; gg no sea integrable en norma sobre [a; b]. Ejercicio 20. Dé una función f integrable en norma sobre [a; b] tal que si E [a; b] y se de…ne ' : [a; b] ! R como ' (t) = f (t) si t 2 E y ' (t) = 0 si t 62 E, entonces ' no sea integrable en norma sobre [a; b] (El conjunto E no puede ser un intervalo cerrado). Ejercicio 21. Dé funciones f y g integrables en norma sobre [a; b] tales que g es acotada en [a; b] pero f g no es integrable en norma sobre [a; b]. Ejercicio 22. Muestre que la función del Ejemplo 2 no es una función regulada en [0; 1]. Ejercicio 23. Muestre que la función del Ejercicio 18 no tiene una c-antiderivada en [0; 1]. Ejercicio 24. Determine para que valores de la constante la función de Dirichlet sí tiene una integral inde…nida. Ejercicio 25. Muestre que si f : [0; 1] ! R está dada por f (t) = t2 cos ( =t) para t 6= 0 y f (0) = 0, entonces f 0 existe en [0; 1] y es acotada. ¿Es f 0 integrable sobre [0; 1]? Ejercicio 26. Muestre que una función f regulada en [a; b] tiene una antiderivada en [a; b] ssi es continua en [a; b]. Ejercicio 27. Sea f integrable en norma sobre [a; b] y acotada en una vecindad de c 2 [a; b]. Muestre que cualquier integral inde…nida F de f es continua en c pero dé un ejemplo que muestre que F puede ser no derivable en c.

EJERCICIOS

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Ejercicio 28. Dé un ejemplo de un función que no sea continua en un punto c pero que tenga una integral inde…nida derivable en c. Ejercicio 29. Muestre que si F y G son integrales inde…nidas de f , entonces F y G di…eren en una constante. Ejercicio 30. Si F y G son continuas en [a; b] y si existe un conjunto numerable E [a; b] tal que F 0 (t) = G 0 (t) para t 2 [a; b] rE, entonces F y G di…eren en una constante. Ejercicio 31. Sea f integrable en norma sobre [a; b]. Supóngase que f tiene una c-antiderivada en [a; b]. Muestre que existe una función g : [a; b] ! R tal que g = f cdq en [a; b] pero g no tiene una c-antiderivada.

Bibliografía [B]

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