Integrales Que Implican Productos Seno

INTEGRALES QUE IMPLICAN PRODUCTOS SENO-COSENO CON DIFERENTES ÁNGULOS

Las integrales que implican los productos de senos y cosenos de dos ángulos diferentes se producen en muchas aplicaciones. En estos casos, pueden utilizarse las siguientes identidades para pasar de un producto de funciones trigonométricas a una suma o diferencia de funciones.

1 cos A  B   cos A  B  2 1 cos A cos B  cos A  B   cos A  B  2 1 senAcos B  sen A  B   sen A  B  2 1 cos AsenB  sen A  B   sen A  B  2 senAsenB 

Ejemplos: 1.

 sen5x cos4xdx Utilizar la identidad trigonométrica

senAcos B 

1 sen A  B   sen A  B  2

Reescribir

A  5x B  4 x 1 sen5 x cos 4 x  sen5 x  4 x   sen5 x  4 x  2 1 sen5 x cos 4 x  sen9 x   sen x  2 1  sen5x cos 4 xdx  2  sen9 x  senxdx

Utilizando

la

fórmula

de

integración

 senVdV   cosV  C

V x V  9x dv  9dx dv  dx

1 MOOC “Entendiendo el Cálculo Integral”

Tecnológico Nacional de México © 2016

1 1 1 1 1   sen9 x9dx   senxdx   cos 9 x    cos x   C 2 9 2 18 2 1 1  cos 9 x  cos x  C 18 2

2.

 cos2 x cos6 xdx Utilizar la identidad trigonométrica

cos A cos B 

1 cos A  B   cos A  B  2

A  2x B  6x

 cos 2 x cos 6 xdx  2 cos2 x  6 x   cos2 x  6 x dx 1

 2 cos 4 x   cos8x dx 1

Dado que la función cos A es una función par, tenemos que

f (  x)  f ( x) cos(4 x)  cos(4 x)

 2 cos4 x   cos8 x dx  2  cos(4 x)dx  2  cos(8 x)dx 1

1

1

Utilizando

V  4x dv  4dx

V  8x dv  8dx

la

fórmula

integración

 cosVdV  senV  C

1 1 1 1    cos(4 x)4dx     cos(8 x)8dx 2 4 2 8 1 1 cos(4 x)4dx   cos(8 x)8dx  8 16 1 1 sen(4 x)  sen(8 x)  C 8 16 2 MOOC “Entendiendo el Cálculo Integral”

Tecnológico Nacional de México © 2016

de

3.

 sen2 x cos 4 xdx senAcos B 

Usar la identidad trigonométrica

1 sen A  B   sen A  B  2

A  2x B  4x

 sen2 x cos 4 xdx  2 sen2 x  4 x   sen2 x  4 x dx 1

 2 sen6 x   sen 2 x dx 1

Dado que la función senA es una función par, tenemos que

f (  x)   f ( x) sen(2 x)   sen(2 x)

 2 sen6 x   sen2 x dx  2  sen(6 x)dx  2  sen(2 x)dx 1

1

1

Utilizando

V  6x dv  6dx

V  2x dv  2dx

la

fórmula

 senVdV   cosV  C

1 1 1 1    sen(6 x)6dx     sen(2 x)2dx 2 6 2 2 1 1 sen(6 x)6dx   sen(2 x)2dx  12 4 1  cos(6 x)   1  cos(2 x)  C 12 4 1 1  cos(6 x)  cos(2 x)  C 12 4

3 MOOC “Entendiendo el Cálculo Integral”

de

integración

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