Koordinat Bola

INTEGRAL GANDA TIGA SISTEM KOORDINAT BOLA DAN PENERAPANNYA DALAM MENGHITUNG VOLUM BENDA

A. Sistem Koordinat Bola Sistem koordinat ini digunakan untuk menyelesaikan soal-soal geometri dan fisika yang melibatkan suatu pusat simetri. (Sutopo,Kalkulus 4 hal 25) Mengerjakan lipat tiga atau menghitung volum benda dengan memakai sistem koordinat Cartesius maupun koordinat tabung terkadang sulit. Alternatif pemecahannya adalah dengan memakai koordinat bola. Apabila benda pejal memiliki sumbu simetri, pemilihan koordinat bola untuk menghitung volumnya adalah pilihan yang tepat. Demikian pula perhitungan integral lipat tiga atas daerah 𝑆 yang mempunyai sumbu simetri akan lebih efektif memakai koordinat bola. Dalam koordinat bola terdapat suatu bidang kutub 𝑥𝑦, dan suatu sumbu 𝑧 yang tegak lurus bidang kutub itu dengan titik asal sumbu 𝑧 berimpit dengan titik kutub dari bidang kutub tersebut. (Sugiman, Kalkulus JICA hal 147-148) Z S

(0) 0≤𝜙≤𝜋

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑃(𝜌, 𝜃, ∅) 𝜌 Y

𝜙 O

𝜃

Q X

R

𝑃′ Gambar 1

Misalkan 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) suatu titik di 𝑅 3 dan 𝑃′ adalah proyeksi titik 𝑃 pada bidang 𝑋𝑂𝑌. ̅̅̅̅| adalah jarak 𝑃 ke titik asal, θ adalah sudut antara Dalam koordinat bola, 𝜌 = |𝑂𝑃 sumbu x dengan ̅̅̅̅ 𝑂𝑃2 dan 𝜙 adalah sudut antara garis ̅̅̅̅ 𝑂𝑃 dan sumbu z positif, maka ρ, θ, dan 𝜙 disebut koordinat bola titik P dan dinyatakan sebagai P(ρ, θ, 𝜙). Untuk sembarang titik P(ρ, θ, 𝜙) berlaku   0 , 0    2 , dan 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋. (Sugiman,Kalkulus JICA hal 147-148)

Hubungan koordinat bola dengan koordinat kartesius Perhatikan Gambar 1, dari gambar tersebut akan dicari hubungan koordinat kartesius dengan koordinat bola dengan menggunakan bantuan dua buah segitiga yaitu ∆ OPP′ dan ∆ OQP′. 1. Lihat ∆ OPP′ Dari gambar di samping terlihat bahwa O

cos 𝜙 =

|𝑃𝑃′| 𝑧 = ⇔ 𝑧 = 𝜌 cos 𝜙 |𝑂𝑃| 𝜌

sin 𝜙 =

|𝑂𝑃′| |𝑂𝑃′| = ⇔ |𝑂𝑃′| = 𝜌 sin 𝜙 … (𝑖) |𝑂𝑃| 𝜌

𝜙 P’

P

2. Lihat ∆ OQP′ P P

Dari gambar di samping terlihat bahwa |𝑂𝑄| 𝑥 cos 𝜃 = = ⇔ 𝑥 = |𝑂𝑃′ | cos 𝜃 … (𝑖𝑖) ′ |𝑂𝑃 | |𝑂𝑃′ |

𝑦 y 𝜃

sin 𝜃 =

|𝑃′ 𝑄| 𝑦 = ⇔ 𝑦 = |𝑂𝑃′ | sin 𝜃 … (𝑖𝑖𝑖) ′ |𝑂𝑃 | |𝑂𝑃′ |

Q Q

O 𝑥 O x Diperoleh persamaan (𝑖), (𝑖𝑖), dan (𝑖𝑖𝑖). Substitusikan persamaan (𝑖) ke persamaan (𝑖𝑖) dan (𝑖𝑖𝑖) maka akan diperoleh : 𝑥 = |𝑂𝑃′ | cos 𝜃 = 𝜌 sin 𝜙 cos 𝜃 𝑦 = |𝑂𝑃′ | sin 𝜃 = 𝜌 sin 𝜙 sin 𝜃 Jadi diperoleh hubungan antara koordinat kartesius (𝑥, 𝑦, 𝑧) dengan koordinat bola (𝜌, 𝜃, 𝜙) yaitu :

𝑥 = 𝜌 sin 𝜙 cos 𝜃 𝑦 = 𝜌 sin 𝜙 sin 𝜃 𝑧 = 𝜌 cos 𝜙

Contoh : 𝜋 2𝜋

Cari koordinat Kartesius dari titik P dengan koordinat bola(8, 3 ,

3

).

(Purcell, Kalkulus Jilid 2 hal 240)

Penyelesaian :

Z

2𝜋 3

Y 𝜋

8

3

X

P

Kita telah melukiskan titik P pada gambar di atas, dengan menggunakan persamaan pada koordinat bola dapat dicari koordinat kartesius dari titik P yaitu : 𝑥 = 8 sin 𝑦 = 8 sin 𝑧 = 8 cos

2𝜋 3 2𝜋 3 2𝜋 3

𝜋

cos 3 = 8 ∙ sin

𝜋 3

= 8∙

√3 1 ∙ 2 2

= 2√3

√3 √3 ∙ 2 2

=6

1

= 8. (− 2) = −4

Jadi koordinat kartesius dari titik P adalah (2√3, 6, −4).

B. INTEGRAL GANDA TIGA DALAM KOORDINAT BOLA Suatu partisi sferis dari daerah 𝑆 berdimensi tiga yang dibentuk oleh bidangbidang yang memuat sumbu 𝑧, bola-bola dengan pusat titik asal, dan kerucut-kerucut lingkaran yang berpusat di titik asal dan sumbu 𝑧 sebagai sumbu kerucut. Daerah partisi sferis tersebut dinamakan daerah bagian tipikal. (Purcell ,Kalkulus edisi 8 hal 344) Misalkan ∆𝑖 𝑉 adalah volum daerah bagian ke-𝑖 dan (𝜌𝑖 , 𝜃𝑖 , 𝜙𝑖 ) suatu titik di dalamnya, maka akan diperoleh suatu harga ∆𝑖 𝑉 dengan menganggap daerah ke-𝑖 tersebut sebagai paralelepipedum siku-siku dan mengambil hasil kali dari ketiga ukurannya yaitu 𝜌𝑖 sin 𝜙𝑖 ∆𝑖 𝜃, 𝜌𝑖 sin 𝜙𝑖 ∆𝑖 𝜙, dan ∆𝑖 𝜌 sehingga |∆𝑖 𝑉𝑖 = 𝜌̅𝑖 2 sin 𝜙𝑖 ∆𝑖 𝜌 ∆𝑖 𝜃 ∆𝑖 𝜙| Untuk memperoleh ukuran-ukuran tersebut, perhatikan gambar di bawah ini :

H E F

G

D A

C B Gambar 3

Gambar 2

Untuk mencari volum dari sebuah bola, kita dapat membagi bola menjadi bagianbagian dari bola seperti yang diperlihatkan pada gambar 2 untuk dicari volumnya. Kemudian dari volum partisi-partisi bola ini dapat dijumlahkan sehingga mendapatkan volum dari sebuah bola yang utuh. Misalkan kita mengambil sebuah partisi dari bola dan dinamai dengan ABCD.EFGH (lihat gambar 3). Volum dari bangun ABCD.EFGH dapat dicari dengan mengalikan luas alas dengan tingginya. Dari gambar 3 terlihat bahwa alasnya adalah ABCD dan untuk tinggi misalkan kita mengambil AE. Maka Volum ABCD.EFGH = Luas alas x tinggi ̅̅̅̅ × 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ × ̅̅̅̅ = 𝐴𝐵 𝐴𝐸 dimana ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 dan ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 merupakan panjang busur .

Untuk dapat menemukan volum dari bola maka kita harus mencari panjang dari ̅̅̅̅ dan 𝐴𝐷 ̅̅̅̅ serta panjang AE. Berikut merupakan langkah-langkah untuk panjang busur 𝐴𝐵 mencar ketiga komponen tersebut : 1. Menentukan ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 Dari gambar 2 dapat terlihat jelas bahwa ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 = △𝑖 𝜌. ̅̅̅̅ 2. Menentukan 𝐴𝐵

Perhatikan gambar 2. Dari gambar tersebut dapat diperoleh gambar sebagai berikut:

̅̅̅̅ dapat dicari dengan menggunakan rumus untuk 𝐴𝐵

A

mencari panjang busur yaitu : ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ∆𝑖 𝜙 𝐴𝐵 ∆𝑖 𝜙 = ⇔ = 𝐾𝑒𝑙𝑙 ⊙ 2𝜋 2𝜋𝜌𝑖 2𝜋

∆𝑖 𝜙

⇔ ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 𝜌𝑖 ∆𝑖 𝜙

B

3. Menentukan ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 Perhatikan gambar berikut : 𝑍 S

W

A 𝜙

D

𝜌

O 𝜃

𝑌 ∆𝑖 𝜃

𝑋 Untuk mencari ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 maka kita terlebih dahulu harus mencari ̅̅̅̅ 𝐴𝑆. ̅̅̅̅ 𝐴𝑆 dapat dicari dengan melihat ∆𝐴𝑂𝑆, siku-siku di 𝑆. A sin 𝜙 =

𝜌

̅̅̅̅ 𝐴𝑆 ̅̅̅̅ 𝐴𝑆 = ⇔ ̅̅̅̅ 𝐴𝑆 = 𝜌𝑖 sin 𝜙𝑖 ̅̅̅̅ 𝐴𝑂 𝜌𝑖

𝜙 S

O ̅̅̅̅ dapat dicari yaitu dengan menggunakan rumus mencari busur Kemudian 𝐴𝐷

pada lingkaran W dengan jari-jari ̅̅̅̅ 𝐴𝑆 sehingga diperoleh :

Volum bola dapat dicari dengan mengalikan ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐵 , ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐷 , dan ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 diperoleh : V = L.ABCD x ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 = ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐵 . ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐷 x ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 = 𝜌𝑖 sin 𝜙𝑖 ∆𝑖 𝜃 . 𝜌 ∆𝑖 𝜙 .△𝑖 𝜌 = 𝜌𝑖 2 sin 𝜙𝑖 ∆𝑖 𝜌 ∆𝑖 𝜃 ∆𝑖 𝜙. Integral ganda tiga dalam koordinat bola dari suatu fungsi f pada daerah 𝑆 adalah 𝑛

̅𝑖 ) ∆𝑖 𝑉 = ∭ 𝑓(𝜌 , 𝜃 , 𝜙) 𝑑𝑉 lim ∑ 𝑓(𝜌̅𝑖 , 𝜃̅𝑖 , 𝜙

‖∆‖→0

𝑖=1

𝑆

𝑛

̅𝑖 ) 𝜌̅𝑖 2 sin 𝜙𝑖 ∆𝑖 𝜌 ∆𝑖 𝜃 ∆𝑖 𝜙 = ∭ 𝑓(𝜌 , 𝜃 , 𝜙) 𝜌2 sin 𝜙𝑖 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙 lim ∑ 𝑓(𝜌̅𝑖 , 𝜃̅𝑖 , 𝜙

‖∆‖→0

𝑖=1

𝑆

Jika 𝑓(𝜌 , 𝜃 , 𝜙) = 1maka

 1.dv =  dv adalah volum S. S

S

Jadi, Volum 𝑆 = ∭ 𝜌2 sin 𝜙𝑖 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑆

Contoh : 1. Tentukan volum bola dengan jari-jari 𝑎 dengan menggunakan sistem koordinat bola. (Sugiman, Kalkulus JICA hal 148). Penyelesaian : Misalkan bola tersebut berpusat pada titik O (0,0,0) dan jari-jari bola adalah a sehingga daerah tersebut dapat dinyatakan sebagai 𝑆. 𝑆 dapat dituliskan sebagai berikut 𝑆 = {(𝜌, 𝜃, 𝜙)|0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑎, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋)} Dan volum bola tersebut adalah 𝜋 2𝜋 𝑎

∭ 1 𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫ 𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑆

0 0

𝜋 2𝜋

0

𝑎3 = ∫∫ sin 𝜙 𝑑𝜃 𝑑𝜙 3 0 0

𝜋

2𝜋𝑎3 = ∫ sin 𝜙 𝑑𝜙 3 0

=

4 3

𝜋 𝑎3 . 4

Jadi volum bola tersebut adalah 3 𝜋 𝑎3 satuan volum.

Z

Y a

X

DAFTAR PUSTAKA

Adams, Robert A. 1990. Calculus : a complete course third edition. Canada : Addison-Wesley Publishers. Arjuna, Lilik. 1983. Pengantar Penyelesaian Deret Integral Lipat Persamaan Differensial. Bandung : ARMICO. Edwin J. Purcell, dkk. 2004. Kalkulus Jilid 2 Edisi Kedelapan. Jakarta : Erlangga. Stein, Sherman K. 1982. Calculus and Analytic Geometry third edition. United States of America. Rand McNally & Company.

Tugas Awal Kelompok 6 Sistem Koordinat Bola 1. Tentukan a. Koordinat cartesius dari titik A yang memiliki koordinat bola ( 2,

  , ) 3 2

b. Koordinat bola dari titik B yang memiliki koordinat cartesius (1, 1, 2 ) (Kalut IV, Sutopo hal 26-27) 2. Gunakan koordinat bola untuk mencari volume bola yang berjari-jari a . (Kalut, Sugiman, JICA, hal 149) 3. Carilah volume benda pejal yang bagian atas dibatasi oleh bola  = 4 dan bagian bawah dibatasi oleh kerucut  



. Sketsalah bendanya. 4 (Kalut Sugiman, JICA, hal 149-150) 4. Sketsalah benda pejal dan cari volumenya, benda yang berada di dalam bola x2 + y2 + z2 = 9 dan di luar kerucut z =

x2  y2 .

(Kalut Sugiman, JICA, hal 150)

Tugas Awal Kelompok 6 Sistem Koordinat Bola 1. Tentukan 𝜋 𝜋

a. Koordinat cartesius dari titik A yang memiliki koordinat bola (2, 3 , 2 ) b. Koordinat bola dari titik B yang memiliki koordinat cartesius (1, 1,√2) ( Kalut IV, Sutopo hal 26-27) 2. Gunakan koordinat bola untuk mencari volume bola yang berjari-jari a . (Kalut, Sugiman, JICA, hal 149) 3. Carilah volume benda pejal yang bagian atas dibatasi oleh bola  = 4 dan bagian bawah dibatasi oleh kerucut  



. Sketsalah bendanya. 4 (Kalut Sugiman, JICA, hal 149-150) 4. Sketsalah benda pejal dan cari volumenya, benda yang berada di dalam bola x2 + y2 + z2 = 9 dan di luar kerucut z = (Kalut Sugiman, JICA, hal 150)

x2  y2 .

Kunci Jawaban Soal Awal Kelompok 6 Sistem Koordinat Bola 1. Penyelesaian   a. A ( 2, , ) 3 2 Jelas  = 2,  



3 Sehingga x =  sin  cos    =  sin cos 3 2 1 3 .0 =2. 2 =0 y =  sin  sin    =  sin sin 3 2 1 3 .1 = 2. 2 = 3 z =  cos   = 2 cos 3 1 = 2. 2 =1

, 

 2

Jadi koordinat cartesius dari titik A adalah (0, 3 , 1 ) b. B (1, 1, 2 ) Jelas x = 1, y =1, z = Jelas  = =

2

x  y  z2 2

2

12  12  ( 2 ) 2

= 4 = 2 y 1 Jelas tan  = = =1 x 1   = tan-1 1  5   =   = 4 4

Karena y > 0 dan x > 0, maka  =

 ( Kuadran I ) 4

O

 P’

P

2

cos  =

PP' OP



 

= cos-1 (

 

=

 4

2 1  2 2 2

1 2) 2

Jadi koordinat bola dari titik B adalah (2,

  , ) 4 4

2. Penyelesaian Anggaplah bola tersebut berpusat pada titik asal O. Sehingga daerah tersebut dapat dinyatakan sebagai S = (  ,  ,  ) 0    a , 0    2 , 0      V =

 1 dv S



= = =

a

   0

0



2

0 

2

0

0

  0

 



= [ 0



=

2

 0

2

sin  d d d

0

1 [  3 sin  ] 0a d d 3

a3 sin  d d 3

a3 sin  ]02 d  3

2a 3  sin  d  3

2 a 3 = [-cos  ] 0 3 2 a 3 = 1  (1) 3

=

4  a3 . 3

Jadi volume bola yang berjari-jari a adalah

4  a 3 satuan volume 3

3. Penyelesaian Sketsa gambar

Daerah benda pejal S = (  ,  ,  ) 0    4, 0    2 , 0    Selanjutnya volume bola tersebut adalah V =  1 dv S

 3

=

4

   0



=

2

0

3

2

0

0

 

2

sin  d d d

0

1 [  3 sin  ] 04 d d 3



=

3

2

0

0

 

64 sin  d d 3

 3

= [ 0

64 sin  ]02 d  3

 3

=

 0

128  sin  d  3

  3



128 =  [-cos  ] 03 3 128  1  =    (1) 3  2  64 = . 3 Jadi, volume benda tersebut adalah

64  satuan volume. 3

4. Penyelesaian Sketsa gambar



Bola x2 + y2 + z2 = 9 Jelas a  9  3 Jelas   a  3



x2  y2

Kerucut z =

Jelas z = tan 

x2  y2

Jelas tan  = 1

 =

 4

Jelas  =  =

 4

Daerah kerucut K = (  ,  ,  ) 0    3, 0    2 , 0    Selanjutnya volume kerucut tersebut adalah

  4

V =

 1 dv K  4

=

2

3

   0

0

2

sin  d d d

0



=

4

2

0

0

 

1 [  3 sin  ] 30 d d 3



=

4

2

0

0

 

9 sin  d d

 3

=  [9 sin  ]02 d  0

 3

=



18  sin  d 

0



= 18  [-cos  ] 04  1  = 18   2  (1)  2  = 9  (2- 2 ) Maka volum kerucut tersebut adalah 9  (2- 2 ) satuan volum.

Volum benda yang di arsir = Volum bola – Volum kerucut 4 =   3  ( 9  (2- 2 )) 3 4 =  33  ( 9  (2- 2 )) 3 = 36  ( 9  (2- 2 )) = 9  ( 4-(2- 2 )) = 9  ( 2+ 2 ) Jadi volume benda pejal yanng diarsir adalah 9  ( 2+ 2 ) satuan volume.

Soal Quiz 3

1. Hitung ∭𝑠 𝑒

(𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 )2

𝑑𝑣 dengan S = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 1}.

(Steward, hal 490). 2. Sketsa dan hitung integral benda pejal yang bagian atas dibatasi oleh bola ρ = 1 dan 𝜋

bagian bawah dibatasi oleh kerucut ø = 2 (Sugiman hal 149) 1

3. Hitung integral rangkap tiga F(ρ,ø,θ)=𝜌 pada daerah R dalam oktan pertama yang 1

dibatasi oleh kerucut ø = 4 𝜋 dan ø = arc tan 2 dan bola 𝜌 = √6. (Schaum hal 332)

Kunci Quiz

1. Karena batas S adalah bola, maka digunakan koordinat bola 𝑆 = {(𝜌, 𝜃, 𝜙)|0 ≤ 𝜌 ≤ 1, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋)} Jadi, ∭𝑠 𝑒 (𝑥

3 2 +𝑦 2 +𝑧 2 )2

𝜋

2𝜋

1

2

𝑑𝑣 = ∫0 ∫0 ∫0 𝑒 (𝜌 ) 𝜌2 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜙 𝜋

2𝜋

1

3

= ∫0 𝑠𝑖𝑛𝜙𝑑𝜙 ∫0 𝑑𝜃 ∫0 𝜌2 𝑒 𝜌 𝑑𝜌

= [− sin 𝜙]𝜋0 (2𝜋) [

=

4𝜋 3

𝑒𝜌 3

3

1

] 0

(𝑒 − 1)

2. Daerah benda 𝜋

𝜋

𝑆 = {(𝜌, 𝜃, 𝜙)|0 ≤ 𝜌 ≤ 1, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 , 0 ≤ 𝜙 ≤ 2 )}

𝜋 2

𝜋 2

𝜋 2

1

∫ ∫ ∫ 𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙 = ∫ ∫ 0

0

0

0

=∫

𝜋 21

0

3

sin 𝜙 𝑑𝜃 𝑑𝜙

𝜋 2𝜋

0

1 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑑𝜙 2 3

𝜋 𝜋 1 ∙ [−𝑐𝑜𝑠𝜙]02 2 3 𝜋 = 6

=

1

3. Integrasi mula-mula terhadap 𝜌 dari 𝜌 = √6 kemudian terhadap 𝜙 dari 𝜙 = 4 𝜋 1

sampai 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐 tan 2 dan akhirnya terhadap θ dari 𝜃 = 0 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑎𝑖 𝜃 = 2 𝜋. 𝜋 𝜋

𝑆 = {(𝜌, 𝜃, 𝜙)|0 ≤ 𝜌 ≤ √6, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 , 4 ≤ 𝜙 ≤ 𝑎𝑟𝑐 tan 2)} 𝜋

𝑎𝑟𝑐 tan 2 √6 2 1 1 2 ∭ 𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝜌 sin 𝜙𝑑𝜌𝑑𝜃 𝜋 𝑅 𝑝 0 0 𝜌 4

𝜋 2

𝑎𝑟𝑐 tan 2

= 3∫ ∫ 0

𝜋 4 𝜋 4

sin 𝜙 𝑑𝜙 𝑑𝜃

1 1 = −3 ∫ ( − ) 𝑑𝜃 √5 √2 0 3𝜋 1 1 = ( − ) 2 √2 √5

Tugas Akhir 1. Hitung volum setengah bola yang persamaan bolanya 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 36. (Kalkulus Lanjut, Stewart, hal 492) 2. Hitung 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 2 2 2 2 𝐺 (1 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ) jika G adalah daerah yang memenuhi 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 1. (Kalkulus IV, Sutopo) ∭

1

3. Carilah potongan volum dari kerucut 𝜙 = 𝜋 dengan bola 𝜌 = 2𝑎 cos 𝜙, kemudian 4

hitung volum benda yang terjadi. (Schaum, hal.334) Penyelesaian, 1. Persamaan bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑎2 ⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 36 ⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 62 Jelas 𝜌 = 𝑎 Jelas 𝜌 = 6, dengan pusat di titik (0,0,0). 𝜋

Daerah setengah bola: S = {(𝜌, 𝜃, 𝜙)|0 ≤ 𝜌 ≤ 6, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜙 ≤ 2 }

𝜋 2 2𝜋 6

V = ∭ 𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑆

0 0

0

𝜋 2 2𝜋

63 sin 𝜙 𝑑𝜃 𝑑𝜙 3

= ∫∫ 0 0

=

𝜋 2

216 ∫[𝜃]2𝜋 0 sin 𝜙 𝑑𝜙 3 0 𝜋 2

= 72 ∫ 2𝜋 sin 𝜙 𝑑𝜙 0

=

𝜋 144𝜋[−cos 𝜙]02

= 144𝜋 (− cos

𝜋 + cos 0) 2

= 144𝜋(0 + 1) = 144𝜋 Jadi, volum setengah bola adalah 144𝜋 satuan volum.

2. Persamaan bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 Jelas 𝜌 = 1, dengan pusat di titik (0,0,0). Daerah benda: G = {(𝜌, 𝜃, 𝜙)|0 ≤ 𝜌 ≤ 1, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋} V = ∭ 𝑑𝑉 = G

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )2 𝜋 2𝜋 1

𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙 = ∫∫ ∫ (1 + 𝜌2 )2 0 0 0 1 𝜋

= ∫ ∫[𝜃]2𝜋 0 0 0

𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜙 𝑑𝜃 (1 + 𝜌2 )2

1

𝜌2 𝑑𝜌 (1 + 𝜌2 )2

= 2𝜋 ∫[−cos ϕ]𝜋0 0 1

𝜌2 𝑑𝜌 = 2𝜋 ∫(− cos 𝜋 + cos 0) (1 + 𝜌2 )2 0 1

= 2𝜋 ∫(1 + 1) 0 1

= 4𝜋 ∫ 0 1

= 2𝜋 ∫ 0 1

𝜌2 𝑑𝜌 (1 + 𝜌2 )2 𝜌 2𝜌 𝑑𝜌 (1 + 𝜌2 )2

= 2𝜋 ∫ 𝜌 𝑑 ( 0

𝜌2 𝑑𝜌 (1 + 𝜌2 )2

1 ) 1 + 𝜌2 1

𝜌 𝑑𝜌 = 2𝜋 ( − ∫ ) 1 + 𝜌2 1 + 𝜌2 0

1 𝜌 − 𝑎𝑟𝑐 tan 𝜌] 1 + 𝜌2 0 1 1 = 2𝜋 ( − ) 2 4 =𝜋

= 2𝜋 [

3. Jelas 𝜌 = 2𝑎 cos 𝜙 𝜋 2

𝜋 4

2𝑎 cos 𝜙

𝑉 = 4 ∭ 𝑑𝑉 = 4 ∫ ∫ ∫ 𝑆

0

0

0 𝜋

𝜌2 sin 𝜙 𝑑𝜌 𝑑𝜃 𝑑𝜙 (1 + 𝜌2 )2

𝜋

32𝑎3 2 4 = ∫ ∫ cos3 𝜙 sin 𝜙 𝑑𝜙 𝑑𝜃 3 0 0 𝜋 2

= 2𝑎3 ∫ 𝑑𝜃 0

= 𝜋𝑎3 Jadi, volum benda yang tejadi 𝜋𝑎3 satuan volum.

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Satuan Pendidikan : Pendidikan Matematika, S1 Mata Kuliah

: Kalkulus Lanjut 2

Semester

: IV

Alokasi Waktu

: 2 x 40 menit

Waktu Pelaksanaan : 27 April 2010

A Standar Kompetensi 1) Memahami konsep integral ganda tiga sistem koordinat bola. 2) Memecahkan masalah yang berkaitan dengan konsep integral ganda tiga sistem koordinat bola. B Kompetensi Dasar 1) Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan konsep integral ganda tiga sistem koordinat bola. 2) Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan konsep integral ganda tiga sistem koordinat bola. C Indikator 1) Dapat merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan konsep integral ganda tiga sistem koordinat bola . 2) Dapat menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan konsep integral ganda tiga sistem koordinat bola. D Model Pembelajaran Pembelajaran dengan model Contextual Teaching and Learning (CTL ). Pembelajaran

dengan

model

“Contextual

Teaching

and

Learning”

yaitu

pembelajaran yang mengaitkan masalah kehidupan sehari-hari kedalam dunia matematika. Pembelajaran CTL melandaskan diri pada prinsip konstruktivisme, dan penyaji/tutor sebaya bukan seorang yang paling tahu, penyaji/tutor sebaya layak

mendengarkan para mahasiswa, penyaji/tutor sebaya sebagai rekan belajar mahasiswa dalam pencapaian kompetensi dasar.

Komponen-komponen CTL : 1. Constructivisme Mahasiswa diarahkan untuk mengkonstruk (membangun) pengalamannya dalam kehidupan sehari-hari untuk menemukan pengetahuan baru. Misalnya mahasiswa dapat menemukan contoh masalah yang berkaitan dengan konsep integral ganda tiga sistem koordinat bola. 2. Inquiry Prinsip ini mempunyai seperangkat siklus, yaitu observasi, bertanya, mengajukan, dugaan, mengumpulkan data, dan menyimpulkan. Dalam pembelajaran ini prinsip inquiry (menemukan) dapat ditemukan pada saat penyaji/tutor sebaya memberikan serangkaian pertanyaan sehingga mahasiswa dapat menyimpulkan bahwa sebelum menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi konsep integral ganda tiga sistem koordinat tabung, perlu terlebih dahulu merancang model matematika dari masalah tersebut. 3. Modelling Pemodelan dilakukan oleh penyaji/tutor sebaya dengan cara memberikan sebuah contoh masalah yang berkaitan dengan konsep integral ganda tiga sistem koordinat bola dalam bentuk gambar. 4. Quesioning Bertanya dilakukan oleh penyaji/tutor sebaya secara langsung selama proses pembelajaran. Selain itu mahasiswa dapat bertanya kepada penyaji/tutor sebaya, misalnya pada saat penyaji/tutor sebaya selesai menjelaskan materi atau saat ada salah satu mahasiswa yang mengungkapkan gagasannya di depan kelas. 5. Learning Community Masyarakat belajar terjadi pada diskusi menyelesaikan tugas awal dengan kelompok masing - masing, hal ini merupakan aspek terjadinya Think Pair and Share antara siswa. Selain itu masyarakat belajar juga terjadi pada saat diskusi secara bersama-

sama dalam kelas, misalnya pada saat penyaji/tutor sebaya mengemukakan pertanyaan-pertanyaan kepada mahasiswa dengan berdiskusi sejenak, mahasiswa mencoba untuk menjawab pertanyaan tersebut. 6. Reflection Refleksi merupakan cara berpikir tentang apa yang telah dipelajari. Refleksi dilakukan penyaji/tutor sebaya dengan cara memberi kesempatan kepada mahasiswa untuk memberikan kesimpulan mengenai serangkaian kegiatan yang telah dilakukan selama proses pembelajaran. 7. Autentic Assessment Penilaian dilakukan pada saat proses pembelajaran. Misalnya saat mahasiswa menyelesaikan masalah dalam tugas awal dan tugas akhir, mempresentasikan gagasanya di depan kelas, dan penilaian dilakukan dengan melihat mahasiswa yang aktif dalam pembelajaran, misalnya pada saat menjawab pertanyaan-pertanyaan yang dilontarkan oleh penyaji/tutor sebaya. E Tujuan Pembelajaran Pemberian model pembelajaran “Contextual Teaching and Learning” bertujuan agar mahasiswa mampu merancang dan menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan konsep integral ganda tiga sistem koordinat bola. F Materi Ajar Materi Pokok

: Konsep Integral Ganda Tiga Sistem Koordinat Bola

Uraian Materi : Dalam kehidupan sehari-hari maupun dalam bidang matematika itu sendiri, ada banyak persoalan yang dapat diselesaiakan dengan menggunakan konsep integral ganda tiga sistem koordinat bola. Misalkan  i V adalah volum daerah bagian ke-i dan (  i ,  i ,  i ) suatu titik di dalamnya, maka akan diperoleh suatu harga  i V dengan menganggap daerah ke-i tersebut sebagai paralelepipedum siku – siku dan mengambil hasil kali dari ketiga ukurannya yaitu  i sin

 i  i  ,  i  i  , dan  i  sehingga  iVi   i

2

sin i  i  i i

Dalam koordinat bola dV =  2 sin ddd , sehingga rumus yang digunakan untuk menghitung volum benda S dengan integral ganda tiga sistem koordinat bola adalah :

 dV =  

2

sin ddd

2

sin ddd satuan volum

S

S

V

=

  S

G Alat dan Sumber Belajar 1. Media/Alat

: Gambar, Tugas Awal dan Tugas Akhir.

2. Sumber Belajar : Buku Kalkulus Lanjut 2, Buku Kalkulus jilid 2, Buku Pengantar Penyelesaian Deret Integral Lipat dan Persamaan Differensial dan sumber belajar yang lain.

H Langkah-langkah Pembelajaran Waktu

BKP

Tahap Pembelajaran

Alat Bantu Pembelajaran

Kegiatan Awal  Pra Pendahuluan 1’

1. Penyaji (tutor sebaya) mengondisikan mahasiswa supaya siap menerima materi yang

akan

didiskusikan

dengan

menyapa.

 Pendahuluan 5’

1. Penyaji (tutor sebaya) menyampaikan materi pokok dan indikator yang akan dicapai pada perkuliahan yang akan diberikan. 2. Penyaji

(tutor

sebaya)

memberikan

informasi awal tentang jalannya proses diskusi/perkuliahan yang dilaksanakan

menggunakan pendekatan Contextual Teaching and Learning. 3. Penyaji (tutor sebaya) menginformasikan tujuan pembelajaran dengan pendekatan Penyaji (tutor sebaya)

Contextual Teaching and Learning. 4. Apersepsi, menyegarkan ingatan peserta

memberikan

didik mengenai konsep integral ganda

pertanyaan

tiga sistem koordinat tabung yang telah

apersepsi

dipelajari mahasiswa pada pertemuan

yang

sebelumnya.

ditujukan

a. Apakah teman-teman masih ingat

kepada

mengenai

konsep integral ganda

seluruh

tiga sistem koordinat tabung yang

mahasiswa

telah

secara acak

sebelumnya? (Jawab: ya)

dibahas

pada

pertemuan

b. Rumus apakah yang digunakan untuk menghitung volum dengan integral ganda tiga sistem koordinat tabung? (Jawab:



f ( x, y, z )dV

s

 20’

 2 r2 ( ) g 2 ( r , )

   f (r cos , r sin  , z ).rdzdrd )

1 r1 ( ) g1( ( r , )

Kegiatan Inti 1. Penyaji (tutor sebaya) menyajikan suatu masalah

yang berhubungan dengan

integral ganda tiga system koordinat tabung (Modelling). Permasalahan: Dalam mengerjakan integral lipat tiga atau

Gambar

menghitung volum benda dengan memakai koordinat Cartesius maupun koordinat tabung terkadang masih sangat sulit. Alternatif pemecahannya adalah dengan memakai sistem koordinat bola. Misalnya kita diminta mencari volum bola

5’

Pertanyaan-

yang berjari – jari 𝑎 dengan menggunakan

pertanyaan

sistem koordinat bola.

yang diajukan 2. Penyaji (tutor sebaya)

memberikan

penyaji (tutor

pertanyaan-pertanyaan

sebaya)

dengan

kepada

mahasiswa secara bertahap berusaha

mahasiswa

mengkonstruk pengetahuannya untuk

dimaksudkan

ikut andil dalam memecahkan suatu

untuk

permasalahan tersebut (Constructivisme

menemukan

dan inquiry ).

penyelesaian suatu

yang

permasalahan,

sesuai sehingga

Pertanyaan: a. Bila

teman-teman

menemukan

permasalahan

masalah seperti diatas, hal apa yang

.

perlu

dicari

terlebih

dahulu?

(Jawab: yang perlu dicari terlebih dahulu adalah pusat dari bola tersebut. Kita misalkan pusat dari bola tersebut adalah titik asal O). b. Setelah kita temukan, lalu kita merancang

apa

menyelesaikan diatas?

permasalahan

(Jawab:

permasalahan

untuk

di

Menyatakan atas

dengan

himpunan dalam koordinat bola) c. Bagaimana

cara

menyatakan

permasalahan

tersebut

dengan

himpunan dalam koordinat bola? Jawab: Misal daerah bola tersebut dinyatakan dengan S, maka 𝑆 = {(𝜌, 𝜃, 𝜙)│0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑎, 0 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 } d. Setelah dalam

mengetahui koordinat

himpunan

bola

dari

permasalahan di atas, tahap apa yang selanjutnya akan kita cari? (Jawab: tahap yang akan kita cari selanjutnya adalah mencari volum benda

tersebut

dengan

menggunakan integral lipat tiga dengan sistem koordinat bola) e. Bagaimana cara mencari volumnya? Jawab: 𝜋 2𝜋 𝑎

∭ 1 𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝜌2 sin 𝜙𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜙 0 0

0

𝜋 2𝜋

𝑎3 = ∫∫ sin 𝜙 𝑑𝜃 𝑑𝜙 3 0 0 𝜋

Tanya Jawab

=∫ 0

15’

2𝜋𝑎3 sin 𝜙 𝑑𝜙 3

4 = 𝜋𝑎3 3 Jadi volum dari benda tersebut

4 adalah a 3 satuan volum. 3 3. Penyaji (tutor sebaya) 10’

menanyakan

kesulitan mahasiswa dalam melengkapi tugas

awal

yang

telah

dibagikan

Tugas

Awal

(Terlampir)

beberapa hari sebelum materi disajikan. 4. Dengan berdiskusi, setiap kelompok mencari titik temu tentang berbagai 10’

permasalahan yang ada didalam Tugas awal(Inquiry). 5. Penyaji (tutor sebaya) memberikan perwakilan

secara acak

kesempatan

kepada

kelompok

untuk

mempresentasikan hasil temuannya di 5’

depan kelas (Autentic Assessment). 6. Dengan metode Tanya jawab, mahasiswa yang lain diberi kesempatan oleh penyaji

5’

(tutor sebaya)

untuk mengajukan

pertanyaan dan memberikan tanggapan dari

presentasi

yang

telah

dilakukan(Questioning). Menarik Kesimpulan 2’

7. Bersama-sama penyaji (tutor sebaya) , mahasiswa

berusaha

menarik

kesimpulan (Inquiry dan Reflection). Kegiatan Penutup 1. Penyaji (tutor sebaya) pendapat

dan

mengenai

menanyakan

respon

kegiatan

mahasiswa

belajar

hari

ini(Reflection). 2. Penyaji (tutor sebaya)

memotivasi Tugas Akhir

mahasiswa untuk lebih memperdalam (Terlampir) materi yang telah disampaikan. 2’

3. Penyaji

(tutor

sebaya)

membagikan

tugas akhir kepada mahasiswa sebagai tugas individu. 4. Penyaji (tutor sebaya) mengingatkan

kepada mahasiswa untuk menyelesaikan tugas akhir sebagai tugas individu yang harus dikumpulkan minggu depan.

A. Penilaian 1. Tes awal

:

Ada, dilakukan secara tertulis dalam bentuk tugas awal sebagai tuigas kelompok

2. Tes dalam proses :

Ada, dilakukan secara lisan dalam pembelajaran.

3. Tes Hasil Belajar :

Ada, dilakukan secara tertulis dalam bentuk tugas akhir sebagai tugas individu

B. Aspek yang dinilai: 1. Kognitif Ditunjukkan dengan kemampuan setiap kelompok dan individu dalam menyelesaikan tugas awal dan tugas akhir. 2. Afektif Ditunjukkan dengan sikap mahasiswa yang antusias saat mengikuti pembelajaran 3. Psikomotorik Ditunjukkan dengan kemampuan aktivitas peserta didik dalam mengerjakan soal di depan kelas, bertanya dan mengungkapkan gagasan.

Semarang, April 2010 Penyaji

Kelompok 6