La Banda De Mobius - Clifford Pickover.pdf

( 1/2 ) x (2/3 ) x ('1 /5 ) = 80. Los números inferiores a 300 r oprimos d e 300 son 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, : ~1 ,33, 37,39,41,43,47,49,51,53,57,59,61,63,67,69, 71, 73, 77, 79, 81, 83, 87, 89, 91, 93, 97, 99, 101, 103, 107, 109, 111 , 113, 117, 119, 121, 123, 127, 129, 131, 133, 137, 139, 1'1 1, 143, 147, 149, 151, 153, 157, 159, 161, 163, 167, 169, 171, 173, 177, 179, 181, 183, 187, 189, 191, 193, 197, 199, tO l , 203, 207, 209, 211, 213, 217, 219, 221, 223, 227, 229, 231, 233, 237, 239, 241, 243, 247, 249, 251, 253, 257, 259, 261, 263, 267, 269, 271, 273, 277, 279, 281, 283, 287, 289, 291 , 293, 297 y 299. Como último esfuerzo de visualización, observemos el prisma hexagonal retorcido de la figura 5.30 e imaginemos q ue pegamos a cada cara un prisma triangular de manera que cada cara del prisma hexagonal sea coplanaria a una cara de cada prisma triangular. Esto implicaría que cada cara del prisma hexagonal quedara dividida en dos caras distintas al p egar el prisma triangula a la cara. ¿Qué propiedades presentaría esta rosquilla hiperprismática al unir entre sí ambos extremos? Disección de una banda de Mobius en cuadrados perfectos

Un acertijo que h a cautivado a los matemáticos durante al menos cien años guarda relación con la operación de «cuadrar un cuadrado », también conocida como una «disección en cuadrados perfectos». El problema consiste en montar un cuadrado a partir de piezas cuadradas de distintos tamaños . Tal vez parezca fácil, y hasta se puede experimentar con un lápiz, papel normal y papel milimetrado, pero está comprobado que hay muy pocas disposiciones viables. El primer rectángulo cuadrado lo descubrió Z. Morón en 1909. Morón halló un rectángulo de 33 x 32 formado por nueve piezas cuadradas de 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 y 18 de lado. También descubrió un rectángulo de 65 x 4 7 formado por diez piezas cuadradas de 3, 5, 6, 11 , 17, 19, 22, 23, 24 y 25 de lado (figura 1Gr,

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Durante años, los mate máticos consideraron imposible construir disecciones de cuadrados en cuadrados perfectos. 19

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5.31 Disección de Morón de un rectángulo mediante cuadrados de tamaños diversos.

En 1936, cuatro alumnos del Trinity College (R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone y W. T. Tutte) se entusiasmaron con el tema y, al final, estos cuatro matemáticos descubrieron cuadrar el primer cuadrado mediante ¡sesenta y nueve piezas! Tras un esfuerzo adicional, Brooks redujo el número de teselas a treinta y nueve. En 1962, A. W.J. Duivestijn demostró que cualquier cuadratura de un cuadrado debe contener al menos veintiuna teselas, y en 1978 había encontrado esa descomposición y demostró que era única. En 1993, S. J. Chapman descubrió un teselado de una banda de Mobius usando tan solo cinco piezas cuadradas cuyos bordes no coinciden al unir los extremos de la banda (figura 5.32). Las flechas de la figura indican los dos bordes de la banda que se pegan entre sí con un giro. Un cilindro también se puede formar mediante piezas cuadradas de distintos tamaños, pero e n este caso se precisa un mínimo de nueve piezas. Al unir ambos extremos se forma un cuadrado de 9x9

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Piezas cuadradas de distintos tamaños e n

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band a de Móbius.

AJ probar a dividir un cilindro o una banda de Mobius en varios cuadrados perfectos, hay que hacerlo con los bordes de cada pieza paralelos o perpendiculares a los bordes de las superficies. Sin embargo, el toro, la botella de Klein y el plano proyectivo carecen de bordes, de modo que las piezas se pueden incrustar con cualquier ángulo. No he conseguido encontrar mucha información sobre la división en cuadrados de botellas de Klein o planos proyectivos, y me encantaría recibir del público lector opiniones al respecto. Cálculo baricéntrico Una de las mayores contribuciones de Mobius a las matemáticas fue su cálculo baricéntrico, un método geométrico para definir un punto como el centro de gravedad de ciertos puntos adicionales que tienen asignados coeficientes o pesos. Cabe concebir las coordenadas baricéntricas de Móbius (o «baricéntricas») como coordenadas con respecto a un triángulo de referencia. Estas coordenadas suelen expresarse como ternas de números correspondientes a masas situadas en los vértices del triángulo. De este modo, esas masas determinan un punto que constituye el centroide geométrico de las tres masas. Las nuevas herramientas algebraicas desarrolladas por Móbius en su obra de 1827 Der barycentrische Calcul («El cálculo baricéntrico») han revelado desde entonces tener múltiples aplicaciones. Intentaré dejar claro este concepto mediante una ilustración. La palabra baricéntrico deriva del término griego barys («pesado») y alude al centro de gravedad. Mobius entendía que varios pesos situados a lo largo de una vara recta se pueden sustituir por un solo peso colocado en el centro de gravedad de dicha vara. A partir de este principio simple, construyó un sistema matemático que asigna coeficientes numéricos a cada punto del espacio . Durante el proceso de creación de las coordenadas baricéntricas, Móbius visualizó puntos con pesas como los de la 167

lig11ra 5. ~~3. Imaginemos una línea AB sobre un plano. Prn cedamos, en primer lugar, a colgar pesos solo en A y /3. t'I cenlro de gravedad radica en algún punto situado enlre ./\y Balo largo de la línea que los une. A continuación, colguemos un peso en C, y el centro de gravedad Pse desplazará ck la línea AB al centro del triángulo ABC. En concreto, el centro de gravedad se desplaza en la dirección de PC. De hecho, e l triángulo se equilibrará en una fina cuchilla situada a lo largo de la línea PC. Asimismo se equilibra a lo largo de una cuchilla alineada con PA o PB. El centro de gravedad P S'' denomina baricentro, y el triángulo ABC se equilibra en una punta situada debajo del baricentro.

5.33 Coordenadas baricéntricas. El punto Pes el baricentro de a, b y e, y decimos que las coordenadas baricéntricas de P son (a, b, e) .

A continuación, Mobius descendió a grandes profundidades matemáticas en Der barycentrische Calcul para revelar algunas ventajas del empleo de las coordenadas baricéntricas. Para volver a exponer sus principios, señalaremos que para cualquier punto P dentro de un triángulo ABC existen tres masas wA, w8 , wc Al situarlas en los vértices correspondientes del triángulo, el centro de gravedad (el baricentro) de esas tres masas coincide con el punto P. Mobius consideró wA, w8 y wc como las coordenadas baricéntricas de P. Tal como se ha dicho, las coordenadas baricéntricas no son únicas. Las masas kwA, kw8 , kwc poseen exactamente el mismo baricentro con cualquier k > O. La relación completa de la utilidad del cálculo baricéntrico 108

la teoría malemática queda fuera del alcance de este libro, de modo que insto al lector a consultar una introducción accesible en «Mobius's Geometrical Mechanics» de Jeremy Cray. Resulta que las coordenadas baricéntricas constituyen 11 na variedad de coordenadas generalizadas que se utilizan e n muchas ramas de las matemáticas y hasta en gráficas por computadora. Si introducimos una restricción adicional, a saber, wA + w8 + wc = 1, entonces las coordenadas baricéntricas vi enen definidas únicamente por cualquier punto inmerso en ·l triángulo. Muchas de las ventajas de las coordenadas baricéntricas se dan en el campo de la geometría proyectiva, que guarda relación con incidencias, es decir, los lugares donde elementos como líneas, planos y puntos coinciden o no. La geometría proyectiva también se interesa por las relaciones ·ntre objetos y los trazados que resultan al proyectarlos en otra superficie. Como una metáfora visual, considera que las sombras son las proyecciones de objetos sólidos. La coordenadas baricéntricas también surgen, por supuesto, siempre que cantidades variables tengan una suma constante. En su artículo «Barycentric Calculus», Alexander Bogomolny, ·intiguo profesor asociado de matemáticas en la Universidad de Iowa, aporta cierto número de ejemplos prácticos relacionados con la probabilidad y los acertijos. En particular, comenta el problema de tres recipientes, A, By C, con una capacidad de 8, 5 y 3 litros respectivamente. El primer recipiente está lleno de agua. El problema consiste en medir 4 litros de agua. Sus soluciones implican coordenadas baricéntricas mediante la visualización de los puntos A, B, C en los vértices de una rejilla triangular. A, By C se asocian a unas coordenadas baricéntricas u, v, w tales que u + v + w = 8. Bogomolny usa entonces ristras de tres dígitos que se corresponden con los valores de las coordenadas. Por ejemplo, se alude al ápice A mediante su rislra de coordenadas «800», que no es más que una abreviat 11 ra de u= 8, v =O, w =O , ó (8,0,0). El transvase del contenido d(' un recipiente a otro se corresponde con el desplazamiento d(' 11 n nodo a otro '' lo ltl rgo ele una de las líneas de la rejilla

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del triángulo. Sus páginas de matemáticas en l 11ternct, www. cut-the-knot.org, aclamadas en todo el mundo, brindan todos los detalles matemáticos. Huelga decir que las coordenadas baricéntricas de Mobius han ejercido su influencia en varias áreas de matemáticas teóricas y aplicadas. Rompecabezas para colorear un mapa de garabatos

El acertijo de Ja pirámide En este capítulo hemos hablado de los objetos con varias caros, como los tetraedros, la casa de Mobius y las rosquillas prismátims giradas. Este acertijo pone a prueba nuestra capacidad de visualización. Jill ha decorado su habitación con una inmensa pirárnidl' de colores que tiene cuatro caras en forma de triángulos equilát<~ros. jill ha pintado cada cara de un color diferente: rojo, morado, verrfr o amarillo.

Nina ha creado una nueva forma de vida con una piel muy peculiar. Ella llama «morfos» a estos animales parecidos a los lagartos porque, en realidad, puede diseñar los dibujos de su piel simplemente pintándoles el lomo con un rotulador. Los morfos asimilan el patrón dibujado y toda su descendencia portará el mismo diseño. Las coloridas criaturas hacen furor entre los escolares. Los científicos se preguntan cómo es posible que la prole de los morfos nazca con el mismo patrón en la piel que sus progenitores. Hoy, Nina está decorando un morfo con un garabato parecido a un mapa mediante una línea continua, sin levantar el rotulador de la piel del animal hasta regresar al punto donde comenzó. La figura 5.34 muestra un ejemplo del último diseño de Nina, uno de los muchos que creará en los próximos meses. Ahora ha llegado el momento de que Nina coloree el dibujo. Si Nina quiere asegurarse de que ninguna región colindante llevará el mismo color, ¿qué cantidad mínima de colores necesita? (Dos regiones adyacentes pueden tener un vértice común e igual color, pero no pueden compartir lado y tener el mismo color.) Busque la respuesta en el apartado de soluciones.

jill tiene un acertijo para usted. Cuando ella hace girar la pirámide esta muestra cinco imágenes distintas de sus cuatro vértices vista desde arriba. ¿Cuál de las vistas de la figura 5.35 es incorrecta? (Busque la respuesta en el apartado de soluciones.)

www ww 5.35 Varias perspectivas de una pirámide triangular. ¿Cuál es incorrecta?

Mobius en la cultura popular Muy pronto, nunca te encontrarás a más de tres minutos en coche de algún lugar donde poder comprar los siguientes productos: un frappuccino de moca, un burrito de pollo del tamaño de tu cabeza, un recuerdo de NASCAR, un teléfono móvil o un cambio de aceit<'. Todo el universo será una banda de Mobius sin principio ni fin.

-Mark Hasty, en el blogThe Bemusement Park 5.34 Cómo colorear un garabato. ¿Cuál es el número mínimo de colores que necesita Nina para obtener un diseño en el que todas las regiones que compartan borde tengan colores distintos? 171 170

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intergalríctiw sobre Juan y Las judías rnágicas, es La historia del físim Simon Weú; que se pierde en un portal espaciotemporal creado /Jor él mismo. Su hijo, Jac Weir, se ve obligado a buscarlo por una miríada de planetas repletos de paisajes fabulosos y, a menudo, seres gigantescos.

Animated-news.com La pulpa, el refresco de cola, el dado y el excipiente inerte para formar comprimidos se mezclan entonces hasta formar un pastel sólido, de color gris azulado, que pasa por la pila de inmersión y entre una serie de rodillos de compresión y miles de ruedas diminutas y perezosas antes de emerger a una cinta interminable, girada de manera que forma una banda de Mobius de tres caras para la ecualización del desgaste, y donde los trabajadores se ajanan día y noche en la incorporación de acentos floridos de azúcar glaseado que convierten cada tentempié en un placer especial.

Matthew Mclrvin, Mclrvin's Push-Button World of the Future La acción de la historia termina prácticamente en el mismo lugar donde comenzó (Henry de pie junto a la ventana de su habitación f'Onlemplando un cielo oscuro londinense salpicado de aviones), en aj)(lriencia cerrando un círculo pero, como una banda de Mobius, f'sle círculo tiene sus giros y el recorrido parece más largo de lo que alcanzaría a explicar un círculo. Permanece en pie junto a la vPntana abierta, trémulo, viendo el futuro de su familia interrumpiendo el horizonte previo al amanecer.

COSMOS, REALIDAD, TRASCENDENCIA

Al considerar la mera posibilidad de que haya dimensiones espaciales superiores, Kant y Mobius plantearon, cada uno por su lado, cuestiones filosóficas interesantes. ¿Permite la diversidad del cosmos que haya mundos de una dimensionalidad variada en regiones apartadas de nosotros? La existencia de objetos dextrógiros y levógiros, ¿implica una transformación tetradimensional qtu' convierte unos en otros?

Paul Halpern, The Great Beyond A través de los métodos y teoremas de geometría aquí expuestos, pretendo contribuir en alguna medida a la simplificación de s-11s investigaciones y el ensanchamiento de sus horizontes.

August Mobius, Der barycentrische Calcul, 1827

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Randy Michael Signar, «One day in February: Metaphor for a Life», Chicago Sun-Times

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Un viaje al exterior de Nuevo Devonshire Imagine un territorio llamado Nuevo Devonshire parecido a las afueras típicas de los núcleos urbanos de Nueva Inglaterra. Usted lleva muchos años viviendo en Nuevo Devonshire. Es un lugar tranquilo y disfruta paseando por sus calles arboladas, ante iglesias antiguas y parques rústicos. Nuevo Devonshire queda a tan solo una hora al norte de la ciudad de Nueva York, pero bien podría ser también un universo completamente distinto . La localidad tiene poca polución, ningún rascacielos, pocos bocinazos. El orgullo y la alegría de Nuevo Devonshire lo constituyen su bucólica calle Mayor, con la elegante biblioteca en memoria de Mobius, sus casitas de estilo campestre y sus paisajes con veredas serpenteantes, bancos, fuentes de agua y angostos pasillos cubiertos de hiedra entre pintorescas tiendas. Siempre se ha sentido feliz aquí. Un día, tal vez por algún afán de aventura, decide atravesar en bici la calle Mayor y alejarse más que nunca, en realidad, más lejos de lo que nadie en Nuevo Devonshire había llegado jamás. «Buena suerte», dice Linda, la supervisora del pueblo. Ella y otros cien amigos más se despiden con la mano a medida que usted toma velocidad calle abajo. Siente ciertos nervios. Como la mayoría de la gente de Nuevo Devonshire, nunca se había alejado mucho de casa. El viento empieza a soplar por la calle Mayor cubierta de hojas. Percibe un pequeño escalofrío al pasar ante cementerios antiguos, la biblioteca de Mobius de estilo Victoriano, y las casas con columnas de principios del siglo XX. Las mirlas gritan en la altura mientras su vuelo atraviesa las perpetuas nubes tenues. Huele a hojas quemadas. La vía empieza a fragmentarse a esta distancia de casa. Altos árboles del género Lagerstroemia bordean el camino. Usted admira los troncos en forma de jarrón que lucen ramas con pálidas flores rosas. A estas alturas del viaje, ninguna de las 17;¡

encrucijadas tiene letreros. De hecho, no hay sd1alcs viales de ninguna clase. «Estupendo» se dice mirando hacia el resplandor de luz que arrojan las tiendas y viviendas en los adoquines que yacen bajo las ruedas de la bici. Unos minutos después. La carretera se estrecha tanto en algunos lugares que solo hay espacio para que pase un único vehículo. Las paredes de las iglesias, escuelas y tiendas se vuelven de color almendra. Por la espalda le corre un hormigueo, una sensación agradable. Esta iglesia. Este patio de colegio. El carnicero que vende salchichas. Una monja. Un joven que besa a una mujer. Usted se aferra al manillar. Algo ha cambiado. Los niños juegan pero con una lentitud un tanto excesiva que los hace saltar y brincar como envueltos en melaza. El aire se calienta pero aún es fresco y el cielo se ilumina con una tonalidad celeste perlada. Usted alza la vista. La luz de los pisos altos de los edificios torna las estructuras tentadoras, acogedoras. Ahora pedalea más despacio mientras oye la campana d una iglesia; tres tañidos, una pausa; un tañido, otra pausa. Diez minutos después, solo hay casas pequeñas a la orilla del camino. Las sencillas moradas son un revoltillo de edificios de una sola planta rodeados de cercas de madera. De tanto en tanto, estallan risitas de niños que señalan hacia usted. Adelanta a la bici un burro que marcha cuesta abajo acarreando sacos y unas pocas maderas, y usted está a punto de caerse a un charco de barro. ¿Hacia dónde se encamina esta extraña aventura? Los dedos le tiemblan. Tal vez no fuera buena idea. Pero entonces nota que el camino recupera su estado moderno. En los cruces aparecen indicaciones viales de aspecto normal. Un coche pasa zumbando. Tras una hora de viaje, parece haber regresado a lugar del

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q1ll' p:irr i<'1. Linda , la s1q>crvison1 dd p11 c blo , lo saluda ro 11 la 111a 110. ' ll

«¿ Qu é ta l le fue? », pregunta eJJ a sonriente y con lágrimas los oj os.

Usted la mira a los ojos. «No estoy muy seguro». Usted d evuelve el saludo a la multitud sonriente y apoya la bi ci co ntra un banco de madera. Todo el mundo parece normal. La realidad tiene sentido.

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Pero entonces baja la mirada hacia el periódico que Lind a ll eva en la mano. No consigue leerlo. Las letras están como del revés. Usted alarga la mano para tomar un bolígrafo y Linda comenta que ahora parece usted zurdo. Pero, ¡si lleva toda la vida siendo diestro! El consejo del pueblo convoca una reunión para discutir qué le ha pasado, y otros pocos valientes prometen bajar por la calle Mayor para ver si consiguen entender el problema y la forma real de la carretera y de su localidad. Cuando los atrevidos ciclistas regresan unas horas más tarde, han ocurrido algunas cosas extrañas. Las bicicletas que partieron con la cadena a la derecha, ahora la tienen ;1 la izquierda y, lo que es más misterioso aún, los médicos d escubren que los ciclistas que las usaron tienen ahora el ro razón ¡a la derecha del cuerpo y no a la izquierda, como es habitual! ¡Cada persona ha vuelto convertida en una versión ·specular de sí misma! Poco a poco, más gente realiza el viaje, de modo que Nuevo Devonshire no tarda en convertirse en un lugar habitado por una mezcla singular de gente y versiones especulares de la gente. ¡Menuda pesadilla para los médicos locales! Y ahora, las parejas mixtas (formadas por gente normal y gente en versión especular) se preguntan cómo serán sus hijos. Los re lojeros se ven obligados a diseñar dos variedades de reloj es, la especular y la tradicional, para que ambos tipos d "' gente se sientan cómodos y puedan leer la hora. Esta historia ilustra cómo sería vivir en un universo co n 1

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0. 1 El doctor Mobius representado como un ser humano bidimensional c 11 un universo con forma de banda de Mobius. Si el doctor Mobius v i ;~j ara alrededor de toda la cinta, sus órganos internos se invertirían.

/\l imaginar un ser plano que viaja por una superficie co mo la ilustrada en la figura 6.1, debemos concebirlo como 1111a criatura bidimensional que viaja por el interior de una Nt1perficie, no sobre ella. Obviamente, si una hormiga reco1'1'(' una banda de Móbius de papel no se convertirá en una vn.-;i ón especular de sí misma. Para lograr ese efecto hay que i111aginar una hormiga infinitamente plana que viaje por el ititcrior del plano de la banda. U na banda de Móbius es un ejemplo de un espacio no 111ú,ntable. Esto significa, en teoría, que no es posible disting 11 ir un objeto sobre la superficie de su imagen especular. l .: 1 superficie se considera no orientable si tiene un trazado q11c invi erte la orientación de las criaturas que habiten en la

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s11 pe rf id(' .

Por otro lado , si un espacio man t icnc la axia 1id ad de una estructura asimétrica, con independencia de cómo se 1nueva la estructura, entonces ese espacio se d enomina orimtable. Todavía hay que ahondar en el conocimiento de la estructura a gran escala que conforma nuestro universo para esclarecer si existen trayectorias que inviertan la orientación. ¡Imagine las posibilidades que abriría el descubrimiento de ~ sos caminos! Al viajar en una nave espacial y regresar transformados en una versión especular de nosotros mismos, todas las tuercas, tijeras, caracteres escritos, órganos corporales y relojes habrían cambiado de orientación en relación con los de todos los amigos que jamás se aventuraron a realizar el viaje. Si la persona amada regresara invertida, ¿cambiarían nuestros sentimientos hacia ella? ¿Notaríamos la diferencia? ¿Podría conducir un coche, escribir de manera legible, usar un teclado de ordenador, digerir la misma comida que nosotros o leer nuestros libros? ¿Quedarían invertidas también las moléculas quirales del cuerpo de esas personas invertidas, e incapacitadas para digerir las biomoléculas de nuestro mundo? ¿Conllevaría la inversión alguna ventaja? ¿Aprovecharían los entrenadores de béisbol con acceso secreto al recorrido que invierte la orientación para que sus jugadores onfundieran al adversario en el campo de juego? ¿Recurrirían las asociaciones futuras que persigan la uniformidad al envío al espacio de la gente zurda para recibirlas diestras a su regreso? ¿Tomarían los gobiernos la determinación de mandar gente a que vuelva invertida para crear segmentos enteros de población incompatibles con la gente «normal», o libres de contraer patógenos mortales que evolucionen para atacar a biomoléculas con unas características quirales específicas? Los filósofos de Nuevo Devonshire sopesan todos los enigmas aparecidos en una localidad pintoresca donde un paseo en bici transforma la orientación de la gente. ¿En qué momento cambia de lado el corazón de los ciclistas que 178

recorren el trazado que invierte la orientación? ¿Cómo es la gente que se encuentran los viajeros durante el trayecto? ¿Cuáles de esas personas tienen el corazón a la izquierda y cuáles a la derecha? El cambio de axialidad, ¿se produce de repente o de manera gradual? ¿Qué gente a lo largo de la ruta posee las enzimas adecuadas para digerir moléculas dextrógiras y levógiras? En «The New traveleer's Almanac», Alan Moore reescribe parte de la historia de A través del espejo de Lewis Carroll, y atribuye un destino macabro a la joven Alicia. [Alicia] reapareció por el extraño portón tremulante sobre la repisa de la chimenea, que se cerró no mucho después. Sin embargo, esta vez hubo complicaciones. La niña llevaba ahora la raya del pelo al otro lado, y durante una exploración se vio que tenía los órganos del cuerpo invertidos. Al parecer, como consecuencia de ello, la señorita A L. ya no podía comer ni digerir alimentos normales, y a finales de noviembre de aquel mismo año murió de debilidad debido a este desorden. La alteración especular del cuerpo no es un mero síndrome de ficción. La gente aquejada por la enfermedad especular de Móbius, más conocida como dextrocardia con situs inversus, tiene invertida la posición del corazón y en ocasiones de otros órganos internos. Esta gente puede llevar una vida normal y solo ve ligeramente incrementado el riesgo de defectos cardiacos congénitos. La inversión de todos los órganos, llamada situs inversus totalis, implica una inversión derecha-izquierda completa de los órganos torácicos y abdominales. La gente afectada por situs inversus totalis presenta una imagen especular en las tomas de rayos X. Se estima que se da un caso de situs inversus totalis cada siete mil nacimientos aproximadamente. En ocasiones, los órganos invertidos acarrean unas consecuencias más notorias. En 2004, nació una niña en la 1

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provincia china de Henan con Ja mayoría de los órganos ubicados en la parte «equivocada» del cuerpo. La situaci611 no se descubrió hasta que la niña cumplió los seis meses y acudió a una revisión rutinaria. Los médicos se encontraro n con que el corazón, que debía hallarse en la parte izquierda del pecho, se encontraba a la derecha. Por desgracia, e l corazón presentaba, además, una malformación y hasta ]as aurículas y los ventrículos estaban invertidos. El estómago, que debía situarse en el lado izquierdo, estaba a la derecha, y el hígado, supuestamente ubicado a la derecha, estaba a la izquierda. Por lo común, el pulmón izquierdo de las personas se compone de dos partes y el derecho, de tres, pero esto aparecía invertido también en la niña de Henan. Los médicos practicaron una intervención quirúrgica para corregir las malformaciones del corazón pero no operaron el resto de los órganos, que funcionaban bien. Hiperespacio y geometría intrínseca En el apartado anterior hemos comentado que una banda de Mobius puede producir una inversión especular en una criatura bidimensional incrustada en su superficie. Pero, ¿cómo aplicaríamos esto a nuestro universo, de una dimensión más? Imaginemos que criaturas extraterrestres con forma de ameba deambularan por la superficie de una gran pelota hinchable de playa. Los moradores están incrustados en la superficie, cual microbios flotando en la delicada superficie de una pompa de jabón. Los alienígenas llaman a su universo Suibom. Para ellos, Suibom es plano y bidimensional, en parte debido a que Suibom es inmenso en comparación con sus cuerpos. Sin embargo, Einsteinoide, uno de sus brillantes científicos, llega a la conclusión de que, en realidad, Suibom es finito y está curvado en algo que él denomina la tercera dimensión. Él inventa incluso dos palabras nuevas, «arriba» y «abajo», para describir ('! movimie nto e n la 1Ho

111visiblc tercera dimensión. A p esar del escepticismo de sus :1111isLadcs, un día Einsteinoide besa los seudópodos de su 1·sposa y emprende un largo viaje siguiendo una línea que parece recta alrededor de su universo. Una semana después regresa al punto de partida y demuestra así que su universo 1·stá curvado en una dimensión mayor. Durante el largo p('riplo, Einsteinoide no nota que él se curve aunque se está r11rvando en una tercera dimensión perpendicular a sus dos <1i mensiones espaciales. Einsteinoide descubre incluso que ('xiste una ruta más corta para ir de un lugar a otro. Mediante 1111 túnel atraviesa Suibom desde el punto A hasta el punto IJ y crea así lo que los científicos denominan un «agujero de gusano». Con posterioridad, Einsteinoide averigua que Suil>om constituye uno de los muchos mundos curvados que se hallan suspendidos en el espacio tridimensional. Entonces especula con que algún día será posible viajar a esos otros mundos. Supongamos ahora que la superficie de Suibom estuviera arrugada como una hoja de papel. ¿Qué concepto tendrían Einsteinoide y el resto de extraterrestres ameboides de su mundo? A pesar de las arrugas, las amebas de Suibom concluirían que su mundo es perfectamente plano porque viven confinados en el espacio arrugado. Su cuerpo estaría arrugado sin que ellos lo supieran. Esta idea del espacio curvado no es tan extravagante como pudiera parecer. Georg Bernhard Riemann (1826-1866), el gran geómetra decimonónico, meditó sin tregua sobre estas ·uestiones y ejerció gran influjo en el desarrollo de la física teórica moderna al proporcionar los fundamentos de los conceptos y métodos utilizados más tarde en la teoría de la relatividad. Riemann reemplazó el mundo bidimensional de Suibom por nuestro mundo tridimensional arrugado en la cuarta dimensión. A nosotros no nos resultaría obvio que nuestro universo está alabeado a menos que pudiéramos percibir sus efectos. Ri emann creía que la electricidad, el magn e tismo y la gravitari611 se debían al arrugamiento de 1H 1

nucslro universo Lridirnensional en una cuarta dimensión 110 visible. Si el espacio esluviera lo baslanle curvado, co mo la superficie de una esfera, podríamos constatar la confluencia de líneas paralelas o que los ángulos de un triángulo suman más de 180 grados (tal como ocurre con los triángulos trazados en un globo). Alrededor del año 300 antes de nuestra era, Euclides explicó que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo trazado en un papel da como resultado 180 grados. Sin embargo, esto solo es cierto en un trozo plano de papel. En una superficie esférica, podemos dibujar triángulos cuyos ángulos midan ¡90 grados cada uno! Para comprobarlo observe un globo y trace una línea alrededor del ecuador, a continuación siga un meridiano de longitud en dirección al polo sur y realice un giro de 90 grados para regresar al ecuador por otro meridiano de longitud. De este modo habremos formado un triángulo en el que cada ángulo mide 90 grados. Asimismo podemos dibujar triángulos cuyos ángulos sumen más de 180 grados. Volvamos a nuestros extraterrestres bidimensionales de Suibom. Sin hicieran la suma de los ángulos de un triángulo pequeño, el resultado se acercaría mucho a 180 grados, incluso en un universo curvado; sin embargo, en el caso de triángulos grandes, se obtendría un resultado bastante distinto puesto que la curvatura de su mundo se tornaría más manifiesta. La geometría descubierta por Einsteinoick de Suibom se correspondería con la geometría intrínseca de la superficie. Esta geometría depende únicamente de mediciones efectuadas a lo largo de la superficie. A mediados del siglo XIX, las geometrías no euclídeas despertaron gran interés en nuestro mundo; por ejemplo, geometrías esféricas donde líneas paralelas se cruzan. Cuando el físico Herman 11 von Helmholtz (1821-1894) escribió sobre este tema, inst6 a los lectores a imaginar lo difícil que le resultaría a una criatura bidimensional que se moviera a lo largo de una superficie intentar comprender la g<"omctría intrínseca dt• 1H !.!

su mundo sin conlar con e l beneficio de una perspectiva t 1idimcnsional que le revelara de golpe las propiedades curv:1das del mundo. Bernhard Riemann también introdujo las 111ediciones intrínsecas en espacios abstractos y no necesitó .iludir a un espacio contenedor de una dimensión mayor en t•I que los objetos materiales estuvieran «curvados». La geometría extrínseca de Suibom depende del modo en <111c reside la superficie en un espacio dimensional mayor. Por difícil que parezca, las criaturas de Suibom pueden t·nlender su geometría extrínseca mediante la mera toma ele medidas a lo largo de la superficie de su universo. En <>Iras palabras, una criatura de Suibom podría estudiar la r urvatura de su universo sin necesidad de salir de él, del 111 ismo modo que nosotros podemos conocer la curvatura 1 le nuestro universo aunque estemos confinados en él. Para
('it1I. La c urvatura espac ial tambi é n se insinúa e n la órbita elíptica que sigue cJ planeta Mercurio alrededor del Sol, la ·ual experimenta cada año un desplazamiento muy ligero d e orientación, o precesión, debido a la pequeña curvatura d el espacio alrededor del Sol. Albert Einstein sostenía que la fuerza gravitatoria entre objetos masivos aparece como consecuencia de la curvatura del espacio en las proximidades d e cada masa, y que los objetos que se desplazan por él se limitan a seguir líneas rectas en este espacio curvado, como meridianos de longitud en un globo.

En las décadas de 1980 y 1990, varios astrofísicos intentaron comprobar de manera experimental si todo nuestro universo está curvado. Por ejemplo, algunos se han preguntado si el universo tridimensional podría estar curvado sobre sí mismo, de igual modo que una superficie bidimensional sobre una esfera se curva sobre sí misma. Esto mismo se puede volver a exponer en términos de la cuarta dimensión. Del mismo modo que la superficie bidimensional de la Tierra es finita pero carece de bordes (porque está curvada en tres dimensiones para formar una esfera), muchas personas han imaginado el espacio tridimensional del universo como si estuviera curvado (en algún espacio tetradimensional) para dar lugar a una esfera tetradimensional llamada hiperesfera. Por desgracia, la astrofísica es incapaz de extraer conclusiones d efinitivas porque los resultados experimentales contienen incertidumbres. Observaciones cosmológicas más recientes sugieren que probablemente no exista una curvatura local acusada en el universo visible; sin embargo, el universo visible no es más que una pequeña porción de todo el universo, el cual podría albergar toda clase de topologías exóticas. El universo podría ser finito pero carecer de límites, del mismo modo que la superficie de una esfera es finita pero no tiene bordes. En teoría, esto significaría que en caso de alejarnos por el espacio nunca nos toparíamos con una pared que indicara su fin. No habría ninguna señal que pusiera

18"

/la llegado usted al fin del universo.

Por favor, dé la vuelta y regrese a casa. Igual que sucedía en la cinta de Mobius, si viviéramos en la superficie de una pequeña hiperesfera sucederían cosas ex trañas. Como analogía, consideremos a un planilandés, habitante plano del universo que conforma la superficie de una pequeña esfera. Si el planilandés viajara alrededor de la esfera, llegaría un momento en que regresaría al punto de p artida. Si mirara hacia delante se vería la espalda. Si viviéramos en un universo hiperesférico, también nosotros acabaríamos regresando al punto de partida tras recorrer una larga distancia. Si la hiperesfera fuera pequeña, nos veríamos la espalda al mirar hacia delante. Tal y como hemos referido al hablar sobre la geometría extrínseca, algunos cosmólogos han propuesto que nuestro universo es en realidad la superficie de una gran hiperesfera. A lo largo de los últimos cien años, los científicos han especulado sobre las implicaciones de que nuestro universo incluyera otras topologías igualmente extrañas, como hiperbandas de Mobius e hiper-rosquillas. Por ejemplo, en un espacio tetradimensional se pueden construir varias superficies carentes de bordes que contengan bandas de Mobius, del mismo modo que la superficie de una esfera no tiene límites. Tal como hemos comentado, el contorno de un disco se puede unir al contorno de una cinta de Mobius para crear un «plano proyectivo real». Dos bandas de Mobius se pueden unir entr~ sí a lo largo de su contorno común para formar una superficie no orientable llamada botella de Klein, que debe su nombre a su descubridor Felix Klein (figura 6.2). La banda de Mobius tiene límites: los bordes de la banda que no se enlazan entre sí. Por otro lado, una botella de Klein es una superficie de una sola cara sin bordes. A diferencia de una botella normal, el «cuello » de esta se curva hacia dentro, atraviesa la superficie de la botella y se une al cuerpo d e la bote ll a d esde d entro. 185

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6.2 Representación de una botella de Klein hecha de alambre creada por Jos Leys. Una botella de Klein es una superficie de una sola cara. Al igual que la banda de Mobius, no se puede pintar el «interior» de un color y el «exterior» de otro.

La interesante relación que existe entre la banda de Mobius y la botella de Klein se aprecia al cortar la botella de Klein por su mitad longitudinal para dar lugar a dos bandas de Mobius (figura 6.3). Un modo de construir un modelo físico imperfecto de una botella de Klein en nuestro universo tridimensional consiste en hacer que se encuentre consigo misma en una curva pequeña y circular. (Se necesitan cuatro dimensiones para crear una botella de Klein sin a u tointersecciones.)

6.3 Una botella de Klein cortada en dos mitades revela dos bandas de Mobius. dfü

Imagine la frustración (o tal vez el deleite) de intentar pintar tan solo la parte exterior de una botella de Klein.

Empezarnos por el «exterior» bulboso y continuamos por el delgado cuello. El objeto tetradimensional real no tiene autointersecciones, lo que nos permite seguir por el cuello que ahora se encuentra en el «interior» de la botella. A medida que el cuello se abre para reencontrarse con la superficie bulbosa, nos encontramos con que ahora estamos pintando la botella por dentro . Si un planilandés asimétrico residiera en una superficie como la botella de Klein, podría viajar por su universo y regresar como una forma invertida con respecto a todo lo que lo rodea. Nótese que todas las superficies de una sola cara son no orientables, y que si el universo tuviera la forma de una botella de Klein encontraríamos recorridos capaces de invertirnos el cuerpo a nuestro regreso. Animo a los lectores a consultar mi obra Surfing Through Hyperspace para obtener más información sobre dimensiones superiores.

Adoro las botellas de Klein Permítanme introducir una digresión en el tema del cosmos para hablarles sobre una de mis patentes favoritas relacionadas con botellas de Klein: «El vaso de una sola cara» (patente estadounidense 6 419 111, concedida en 2002), inventado por Erl E. Kepner (figura 6.4). Tal como se ha señalado ya, una botella de Klein se parece a una banda de Mobius en que solo tiene una superficie. En nuestro universo tridimensional no se puede construir una verdadera botella de Klein; sin embargo, su forma básica aparece reproducida en este invento. La taza de café de Kepner basada en la botella de Klein permite que el líquido del interior de la taza salga por la parte inferior al aplicar succión a la base del recipiente. Kepner dice: El paso se puede usar en aplicaciones en las que convenga 187

variar d ro 11tc11ido del recipiente sin verterlo por d borde del 111isrno. Una situación en la que algo así podría ser 11eccsario sería cuando el vaso de un piloto de avión debe vaciarse con rapidez debido a turbulencias en el aire . Para usar el recipiente con normalidad, el piloto lo sujetaría y bebe ría de él del mismo modo que cualquier otra taza de café. Para drenar el líquido de la taza se aplica el vacío a la base d e la taza, que contiene una abertura. 14

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10

12 6.4 Patente estadounidense 6 419 111, «vaso de una sola cara», de Erl E. Kepner, 16 de julio de 2002.

Al final de la patente, Kepner dice: «La comercialización futura del recipiente inventado aquí utilizará esta clase de puntos interesantes para estimular el interés de la gente con buena formación técnica y la gente corriente con una curiosidad y apreciación innatas por la maravilla y la belleza de las matemáticas y la naturaleza». Acme Klein Bottle (www.kleinbottle.com) vende tazas de café en forma de botella de Klein con el asa hueca (figura 6.5). El astrofísico Cliff Stoll, que dirige Acme Klein Bottle, señala: «Una botella de Klein que lleva el líquido directamente a los labios que lo esperan. Sí, me han oído bien. Se puede beber directamente de esta taza. Llénenla de cerveza y tendrán una Klein Stein. ¿Creerían ustedes en la Klein Stein de Einstein? Se trata de una auténti ca variedad diferencial de primer orde n , co n volumen nulo y 110 orientable ». 1HH

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Coffee mug handle

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'-----__..::!!:::?""--- Outer chamber 6.5 Dibujo esquemático de un corte transversal de una taza de café basada en la botella de Klein con asa hueca, comercializada por Acme Klein Bottle (www.kleinbottle.com).

Las páginas en Internet de Acme Klein Bottle prosiguen ensalzando las virtudes de la taza. Con la taza en forma de botella de Klein de Acme, podemos llenar el interior con rafé y el exterior con té. El asa conecta la cámara interior y la exterior y, de este modo, proporciona un agujero topológico. l ,a cámara exterior (que, desde un punto de vista topológico, es la cámara interior) aísla la cámara interior (que, desde un punto de vista topológico, también es la cámara exterior). t•:I espacio de aire de siete milímetros separa el interior del exterior y conserva durante más tiempo la temperatura de las bebidas frías o calientes. Stoll escribe: «Esta Klein Stein ('S ideal para las físicas matemáticas que necesiten un vaso de :1gua durante la recepción del un Premio Nobel». Cliff Stoll ha creado junto con el Kingbridge Centre de 'l(>ronto y el Killdee Scientific Glass la botella de Klein de ( ristal más grande del mundo. La botella de Klein de King11ridge mide 1.1 metros de alto y 50 centímetros de diámetro, y contiene 15 kilogramos de vidrio Pyrex transparente. Cliff Sto ll comenta: Tiene una sola cara, carece de bordes y es no orientable < kscle un punto de vista matemático. Divierte a topóloµ;os y asombra a visitantes. Tiene la altura de un niño de 189

·inco aílos. Cabría un hurón en su «interior». l la sido un proyecto nada trivial de soplado d e vidrio. De hecho, muy pocos establecimientos dedicados a soplar vidrio podían llevar a cabo este trabajo. (Un soplador de vidrio dijo, «¡demasiado temerario para nosotros!»). No contentos con las botellas de Klein cotidianas, los matemáticos y artistas gráficos por computadora disfrutan estudiando figuras relacionadas que presentan propiedades extrañas. Las figuras 6.6 y 6.7 ilustran la representación del artista gráfico por computadora Jos Leys de la superficie de Klein-Bonan:J eener y de una superficie de Klein de segundo orden creada por Jeener. Las superficies deben el nombre a Patrice Jeener, artista francés autor de grabados en cobre fascinado con la teoría de superficies, y al francés Edmond Bonan, profesor de matemáticas en la Universidad de Picardía Jules Verne. Las botellas de Klein-Bonan:Jeener tienen las mismas propiedades topológicas que la botella de Klein clásica. Jeener, aunque autodidacto en matemáticas, continúa descubriendo ecuaciones para superficies extrañas que fascinan a la vista y a la mente.

6.6 Doble superficie de Klein de Bonan:Jeener. (Representación de Jos Leys.) Superficie de Klein de segundo orden desarrollada porJeener. (Representación de.Jos L.cys.)

190

La botella de Klein de Banchoff (liguras 0.8 y 6.9) también s<' ba~a en la banda de Mobius. El algoritmo informático que utili cé para crear esta forma se describe en el apartado dF' la sección «Material de consulta» dedicado a este capítulo. 1.as potentes aplicaciones informáticas para desarrollar grá1iras permiten diseñar objetos tan inusuales como estos y estudiarlos a continuación proyectándolos en una imagen bidimensional.

6.7 Botella de Klein de Banchoff. (Representación del autor.) Corte transversal de una botella de Klein de Banchoff que muestra las superficies internas. (Representación del autor.)

Animo a quien ejerza la docencia a que pida a los alumnos qu e diseñen y programen sus propias figuras a partir de la modificación de los parámetros en las ecuaciones que aparecen en la sección de «Referencias y apéndice», y que confeccionen un mural con todos los diseños creados, etiquetados ron las correspondientes fórmulas obtenidas. Durante la d écada pasada, incluso los matemáticos serios empezaron a disfrutar con la creación y la presentación de insólitos patro11 cs matemáticos de maneras novedosas, en ocasiones más di ctadas por cuestiones estéticas que por las necesidades de '" lógica. Es más, las gráficas por computadora permiten a 110 matemáticos apreciar mejor el complejo e interesanu· ('Omportamiento gráfico de fórmulas simples. Para crear el objeto de la figura 6.8, coloco esferas en ubi caciones determin adas por fórmulas obtenidas mediante "lgoritmos informtÍt iros. Ta l vez a muchas personas les resulte

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di l'íci 1 di IH!ia r c:-; l'e ras sombreadas; si 11 c m bargo, se pu('d<' 11

11 i111<'1ría bilalcral hay un ojo, una oreja, un orifi cio nasal,

dib1~j ar

pezó n, una pierna y un brazo. En 2004, paleontólogos d<·I l11s1ituto de Geología y Paleontología d e Nanjing d esrnbricron el ejemplo más antiguo de simetría bilateral en 1111 a cantera del sur de China. Vernanimalcula guizhouena, 1111<1 criatura microscópica que vivía en los fondos marinos l1:irc seiscientos millones de años, presenta tubos digestivos pareados a ambos lados del intestino.

fi guras bastante a trac tivas e instructivas mediante la me ra introducción de puntos en las posiciones x, y, z.

Espejos hiperespaciales En el capítulo 5 comentamos que una banda de Mobius existe en dos formas: la dextrógira y la levógira. La única posibilidad de transformar una variedad en la otra consistiría en rotada en la cuarta dimensión. Aunque a los matemá1icos se les ocurrió la vaga noción de una cuarta dimensión desde la época de Kant, la mayoría utilizaba la idea como una especulación extravagante sin ningún valor dentro de lo posible. Por entonces no debatieron sobre el hecho de que un objeto sólido asimétrico pudiera invertirse, en teoría, al rotado en un espacio superior. Hubo que esperar hasta 1827 para que Mobius revelara esta posibilidad, ochenta años después de los artículos de Kant sobre dimensiones. Pero, ¿qué significa rotar un objeto en una dimensión superior? Si nos encontráramos con un planilandés podríamos, en principio, elevarlo fuera de su plano y volverlo del revés. En consecuencia, sus órganos internos quedarían invertidos. Por ejemplo, el corazón, que antes estaba a la izquierda, estaría ahora a la derecha. De manera similar, un ser tetradimensional podría volvernos del revés e invertir nuestros órganos. Aunque tales poderes son posibles bajo los auspicios de la física hiperespacial, debo recordar al público lector que la tecnología para manipular el espacio de esta guisa no es viable; tal vez dentro de algunos siglos exploremos el hiperespacio de maneras tan sólo soñadas hoy por la ciencia ficción. Muchas criaturas de nuestro mundo, incluidos nosotros mismos, presentan una simetría bilateral en la morfología exterior; es decir, su parte izquierda y derecha se parecen, como en el caso del escarabajo Arlequín de Cayena de la figura 6.10. A cada lado de nuestro cuerpo dotado de 1 \)2

1111

6.8 El escarabajo Arlequín de Cayena es un ejemplo clásico de simetría bilateral.

Un modo de visualizar la inversión de objetos en un espacio superior consiste en considerar las manchas de la figura 0.11, que obviamente no presentan simetría bilateral. Cons1i Luyen un par enantiomorfo porque son congruentes pero no se pueden superponer sin levantar una de ellas del plano. l•'.n esta obra ya hemos hablado de los enantiomorfos cuando l ratamos las bandas de Mobius moleculares. De manera si mi lar, en nuestro mundo tridimensional existen numerosos ejemplos de pares enantiomorfos, los cuales consisten ('11 figuras sólidas asimétricas, como nuestra mano derecha <· izquierda. (Al unirlas palma contra palma, vemos cada 11na de ellas como un reflejo especular de la otra). Al igual que las manos, las manchas de la figura 6.11 no se pueden superponer por mucho que las rotemos o las desplacemos :-;obre el plano. En cambio, al rotar las manchas sobre una línea en el espacio, podemos superponer una de ellas sobre s11 imagen reflejada. De manera semejante, el cuerpo podría

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trn11sf'or111arsc e n su imagen especular si lo rotáramos sobre un plano en el espacio tctradimensional.

~t~ Rotar

6.9 La figura de la izquierda se puede superponer a~&~&re~aoon~~oro~~fu~&~

página a través de una dimensión superior.

En nuestro mundo tridimensional, los espejos son planos bidimensionales. En cuatro dimensiones, las versiones especulares de las figuras son objetos sólidos. Los espejos siempre tienen una dimensión menos que el espacio en el que operan. Si una hiperpersona en un espacio tetradimensional se mirara la mano derecha y la izquierda, consideraría posible superponerlas rotándolas en la cuarta dimensión. Lo mismo sucedería con bandas de Móbius de distinta axialidad, al igual que con conchas marinas cuya espiral girara en sentido horario o antihorario. Curiosamente, existen numerosos ejemplos de manos no enantiomorfas en personas y dioses de representaciones artísticas antiguas.Jamás he conseguido averiguar por qué. Con toda seguridad, los artistas tenían la capacidad y el entendimiento necesarios para ver que cada una de nuestras manos es una imagen especular de la otra. Si se observan de cerca, y los relieves y pinturas murales egipcios representan con frecuencia a faraones con dos manos que derechas. Este derrumbe del enantiomorfismo aparece también en el arte mesopotámico, por ejemplo, en representaciones del dios babilonio Marduk.

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1.os mundos de Móbius Si tocio nuestro universo se convirtiera de pronto en una i111ag-cn especular de sí mismo, ¿notaríamos alguna difercn' i:1 ? Para responder esta cuestión consideremos el mundo " Rect ilandia» habitado por tan solo tres gacelas inteligentcs: «Gacela l», «Gacela 2» y «Gacela 3», que miran hacia l'Stc; esto equivale a decir que las tres miran hacia la derer lta (figura 6.12). Aunque el diagrama las muestra como '1 iIH~os bidimensionales, asumiremos que en realidad son 1111idimensionales y no pueden salirse de la línea, la cual < 01110rma su universo y en la cual se encuentran incrustadas. ,i.;¡ invertimos la Gacela 2, el cambio le resultará manifiesto . 1 la Gacela 1 y a la Gacela 3. Pero si invertimos toda la línea d<' Rectilandia, las gacelas unidimensionales no notarán el < :1rnbio. Nosotros, seres de una dimensión superior, repara' íamos en que Rectilandia está invertida, pero esto se debe :1 que podemos ver Rectilandia en relación con un mundo 1·xlerno. Ellas solo perciben el cambio cuando se inviertt· 11 mt porción de su mundo. En nuestro mundo sucedería lo 111ismo. En cierto modo, carecería de significado afirmar q11c todo nuestro universo está invertido porque no habría 111anera de percibir tal cambio. ¿Por qué es nuestro mundo d<' una manera concreta?

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Lineland

6.10 Si todo nuestro universo se convirtiera de pronto en su imagen especular, ¿notaríamos alguna diferencia?

El filósofo y matemático Gottfried Wilhelm Leibniz (164617 16) creía que plantearse por qué Dios hizo el universo de <·stc modo y no de otro equivale a formularse «una pregunta bastante inadmisible». Para entender mejor el comentario d(' Leibniz, consideremos una Planilandia bidimensional n ·plcta de amebas inteligentes. Para invertir todo el universo

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ele Pla11ila11dia c11 su imagen especular, basw con darle la

vuelta al plano y contemplarlo ¡desde el lado opuesto! ()(' hecho, ni siquiera hay que darle la vuelta al mundo. Imaginemos Planilandia como un hormiguero vertical en el que las hormigas están confinadas a un mundo bidimensional. Este mundo es levógiro cuando se observa desde un lado del cristal, y dextrógiro cuando se ve desde el otro lado. En otras palabras, Planilandia no tiene por qué experimentar ningún cambio en absoluto al contemplarla desde un lado o desde el otro. El único cambio se halla en la relación espacial entre Planilandia y un observador cualquiera sito en un espacio tridimensional. Del mismo modo, cualquier hiper-ser podría cambiar de una posición tetradimensional «arriba» a una posición tetradimensional «abajo» y ver que una caracola marina con una espiral dextrógira pasa a mostrar una espiral levógira. Si ese ser pudiera tomar la caracola y darle la vuelta, nosotros lo consideraríamos un milagro. Veríamos que la caracola desaparece y después reaparece como una imagen especular de sí misma. Todo esto significa que los seres pertenecientes a una dimensión inmediatamente superior contemplan las estructuras enantiomorfas como idénticas y superponibles. Tal vez solo un dios que existiera en dimensiones infinitas lograría ver todos los pares de objetos enantiomorfos como idénticos y superponibles en todos los espacios. En mi obra Surfing Through Hyperspace se tratan en detalle muchos otros tipos de distorsiones espaciales. El toro tridimensional y otras variedades diferenciales fabulosas

Tanto la banda de Mobius como la botella de Klein son superficies o, como se las denomina en matemáticas, variedades diferenciales. Para ser más precisos, cualquier objeto casi «plano» a escalas pequeñas es una variedad diferencial. Por ejemplo, una esfera es casi plana cuando se amplía una pequeña porción de la supcrfici<', y este es el motivo de l!)(i

qrn· hac{' siglos algunas personas creyeran que la Tierra era pl.111:1. De cerca, la Tierra se ve efectivamente plana, aunque 11 is ;111 1iguos griegos notaran que el mástil era la última parte di' los barcos en desaparecer por el horizonte. La superficie de· una esfera es bidimensional, pero las variedades diferen• 1.ll{'s pueden tener cualquier dimensión. Una línea suave, .11111que se curve, es una variedad diferencial unidimensional porque una fracción minúscula de la curva parece una línea 1t·cta. La curva tiene la topología de una línea. De manera Ht'1nejante, una variedad diferencial bidimensional posee l.1 topología local de un plano. Una variedad diferencial 11 idimensional presenta la topología local de un espacio t 1iclimensional. Tal como hemos comentado, una variedad diferencial no •>rientable tiene un trazado de devuelve a cualquier viajero .ti punto del que partió invertido en su imagen especular. 1,;1 superficie de una esfera es una variedad diferencial orientable. En una esfera no existe ningún recorrido que invierta en su versión especular a las criaturas que recorran su superficie. En una esfera también se puede viajar en cualquier dirección y regresar al punto de partida. Pero no podemos caernos por el borde de la superficie de una esfera. Por tanto, una (·sfera es un ejemplo de una variedad diferencial carente de bordes. La superficie de un toro o una rosquilla constituye otra superficie orientable sin ningún borde. Por otro lado, imaginemos un cilindro confeccionado mediante la unión
se puede. Si recorremos el borde al final llegamos al punto del que partimos. Como ya se ha dicho, a partir de la banda de Mobius se pueden crear otras superficies no orientales si se elimina el borde curvando la banda de manera que se unan los dos bordes «aparentes». Por desgracia, esta nueva variedad diferencial no se puede construir en realidad en nuestro mundo tridimensional porque se cruzaría consigo misma. Una criatura dimensional superior conseguiría, sin embargo, crear esta superficie cerrada, denominada botella de Klein. Lo máximo que nos permite hacer nuestro mundo tridimensional es un modelo de botella de Klein que presenta una autointersección en el cuello de la botella. Se trata de una proyección de un objeto tetradimensional en un espacio tridimensional, del mismo modo que un círculo es una proyección de una esfera. A diferencia de la banda de Mobius, una botella de Klein real no tendría ningún borde. Tal como se mencionó en el capítulo 5, otra superficie no orientable fascinante la constituye el plano proyectivo real. Un modo de concebir su construcción consiste en observar el cuadrado que sirve de punto de partida en la figura 5.14 para la botella de Klein y en girar los bordes superior e inferior además del izquierdo y el derecho antes de pegarlos. Otro modo de crear un modelo de plano proyectivo consiste en imaginar un hemisferio y unir cada punto del borde con el punto que le corresponde lado opuesto, pero con un giro (figura 6.13).

6.11 Una manera de visualizar el plano proyectivo consiste en imaginar un hemisferio y conectar cada punto del borde con el punto que se corresponde en el lado opuesto, pero con un giro.

1 ~¡ 8

El pl a no proyectivo e~ un a supe rfi cie d e un a sola cara , ·o rno un a banda de Mobius, pero no se puede ma te rializar e n un espacio tridimensional sin que se cruce a sí mismo. Al igual que la botella de Klein, el plano proyectivo carece d e bordes. En general, una variedad diferencial finita y sin bordes no se puede construir en la misma dimensión en la que viven sus habitantes, pero es fácil proyectar la imaginación a d imensiones superiores mediante el razonamiento y usando analogías con dimensiones inferiores. Imaginemos un trozo de papel (que es una variedad diferencial bidimensional con un borde en todos sus lados) con el que confeccionamos un toro mediante la mera unión de los extremos derecho e izquierdo del papel, y la parte superior e inferior. Para ello, hay que doblar el papel bidimensional en el espacio tridimensional. De manera similar, cabe imaginar el mismo tipo de uniones en un cubo sólido, que es una variedad diferencial tridimensional con un borde en todos sus lados. Supongamos que podemos estirar el cubo para unir la cara derecha con la cara izquierda. Si existiéramos dentro de un objeto tal, al lanzar un balón hacia la derecha regresaría a nosotros por la izquierda si la distancia no fuera excesiva. Probemos a imaginar ahora que unimos la cara frontal del cubo con la cara posterior, y la cara superior con la inferior. Si pudiéramos ejecutar estas conexiones en una dimensión superior, crearíamos una nueva variedad diferencial denominada toro tridimensional. Este objeto carece de bordes, igual que un toro bidimensional, y si residiéramos en un universo con forma de toro tridimensional ofrecería el aspecto de un espacio infinito. Con los años se han propuesto todo tipo de formas hipoté ticas para el universo en el que vivimos, incluido el toro tridimensional. Si habitáramos en un toro tridimensional sería posible, en teoría, escudriñar el universo como un tel escopio de gran potencia y mirar en la dirección de nuestra pro pia espalda. 1 ~ )!)

También cabe visuali zar la confecció n d e un a vari edad diferencial tridimensional no orientable reco rda ndo qu" se puede crear una banda de Móbius m ediante la unió n d e los extremos de un rectángulo tras aplicarles medio giro o vuelta. Si pudiéramos unir la parte anterior y posterior d e un cubo tras darle medio giro a una cara, al caminar hacia atrás acabaríamos apareciendo por la parte frontal invertidos en nuestra imagen especular. La unión, con o sin giros, de diversas paredes emparejadas de un cubo permite crear toda clase de universos disparatados. Los científicos siguen reflexionando sobre la forma del universo. Según Charles Seife en «Polyhedral Model Gives the Universe an Unexpected Twist» («El modelo poliédrico confiere un giro inesperado al universo»), un equipo de científicos de Francia y Estados Unidos ha estudiado mediciones efectuadas desde el satélite Wilkinson Microwave Anisotropy Probe ( WMAP) y ha llegado a una conclusión sorprendente: el universo podría ser finito y tener doce caras. Aunque la mayoría de los astrónomos con los que he hablado considera esta idea como una posibilidad exótica más que como una teoría de aceptación general, no creo que haya quedado descartada por los datos. Según este modelo, las caras opuestas del dodecaedro se corresponden entre sí de un modo extraño. De hecho, esas caras son en realidad una y la misma, de tal modo que si una nave espacial saliera del universo por uno de sus lados acabaría regresando a él por el otro lado. Para crear un espacio finito en forma de dodecaedro, habría que unir entre sí las caras opuestas de un dodecaedro ligeramente curvo, una figura semejante a un balón de fútbol con doce caras pentagonales. Por supuesto, cuesta imaginar esas uniones en nuestro espacio tridimensional corriente. Para decirlo todo, debo advertir que las teorías científicas sobre la forma del universo cambian casi cada mes. En abril de 2004 Frank Steiner, de la Universidad de Ulm, Alem ani a, señaló que el universo tiene la forma de un cuerno medieval, 200

em budo muy largo. En el mod e lo de l un ive rso d e St('in er, conocido técnicam ente como d e to p ología Picard , l' I 1111i.verso p resenta una longitud infinita en la direcció n del caño d el embudo pero, a pesar de ser tan estrecho, e l 11 n iverso tiene un volumen finito.

< oi 11 0 u11

Múltiples universos En la actualidad, muchos de mis compañeros físicos se plan1ean grandes cuestiones, como la formación del universo y la forma última del espacio. Muchos cosmólogos sostienen que la gran explosión que creó el universo no fue más que una e n tre muchas otras. Por fortuna para nosotros, la gran explosión creó estrellas y planetas. La mayoría de los planetas que residen en el universo son mundos inertes, pero la Tierra destaca por contar con unas condiciones que permiten la evolución de la vida. De manera similar, la mayoría del resto d e universos creados por otras grandes explosiones podrían ser universos inertes porque no reúnan las condiciones que p ermitirían que brillen las estrellas. Solo en las últimas décad as hay cada vez más cosmólogos que empiezan a aceptar esta idea de múltiples universos, es decir, el multiverso, e n parte debido a la teoría de supercuerdas, la cual sostiene la posibilidad de que existan muchas formas de un mismo universo. Si existe un número infinito de universos aleatorios (no diseñados), el nuestro podría ser sencillamente uno que p ermita la vida basada en carbono. Algunos investigadores han especulado incluso con que de los universos progenitores brotan de manera constante universos retoño que heredan u n juego de leyes físicas semejantes a las del progenitor, un p roceso que recuerda a la evolución de las características b iológicas de la vida en la Tierra. Los universos con «éxito» desde un punto de vista cosmológico-darwiniano son aquéllos que producen gran can tidad de universos re toño longevos. Por ejemplo, si asum imos que :.1 0 1

la.11 si11g1ilaridacl<'s ('('lllntlcs ele los ag1!jcros negros prod1H'<·11 orros universos, lal como algunas personas han propucsro, los universos con numerosos agujeros negros Lendrían n1;ís éxiLo. Como muchas modalidades de agujeros negros Lardan un Liempo prolongado en formarse, estos universos serían lo bastante longevos como para permitir la formación ck galaxias y la aparición de nucleosíntesis estelar (la forma ción de elementos necesarios para la vida en el seno de las estrellas). Esto significa que los universos exitosos cuentan de manera automática casi con la totalidad de las características adecuadas para la aparición de formas de vida (figura 6.14). Dicho de otro modo, a medida que el ecosistema cosmológico evoluciona, los universos más habituales son los que producen gran cantidad de agujeros negros, estrellas y formas de vida. Si el escenario especulativo de los universos en evolución describiera la realidad, entonces nuestro universo no tendría nada de extraordinario. ..----- Aquí viven mariposas inteligentes

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11J/ 1+-- .N osotros vivimos aquí

6.12 Darwinismo cosmológico. Los investigadores postulan que surgen universos retoño a partir de universos progenitores, y que los universos retoño producen, a su vez, otros retoños. Los retoños heredan leyes fisicas similares de sus progenitores, y los universos «exitosos» tienden a generar descendencias exitosas. Los universos exitosos son longevos y poseen muchos retoños y estrellas, todo lo cual estimulan la aparición de vida.

Si 1111eslro un ivcrso es infinito, tal como proponen algunos eos111<)logos, el universo visible no es más que una pequeña parle del cosmos. Lo que denominamos leyes de la natura1• ·1'.a serian tan solo las leyes que rigen en nuestro rincón del cosmos, y podrían imperar otras leyes en otros lugares. Si 1111cstro universo es infinito, es probable que en otros lugares l1:iya configuraciones de átomos que, por simple azar, imiten l;1 s que se dan en nuestra porción visible del universo. Según c·l astrofísico Max Tegmark, la cantidad de metros que hay q11c recorrer para encontrarse con una copia exacta de uno 111ismo, suponiendo que el universo es homogéneo e infi1ii1 o, asciende a ID 0 ~ • En otras palabras, en virtud tan solo el(' las leyes del azar, en algún lugar de un universo infinito c·x isle una configuración de átomos idéntica a cada uno de 11osotros. 1 lc aquí otra manera de ver esto. Residimos en un univnso visible fácilmente abarcable por una esfera de cien mil 111illones de años-luz de diámetro, con una cantidad finita de e n11figuraciones de la materia y de la energía que contiene. l111aginemos el universo visible como una pompa gigantesca q11C' flota dentro de un universo mayor. (No podemos ver i1dinitamente lejos porque el universo tiene una edad finita, 1 porque ,la información no puede viajar más deprisa que la wlocidad de la luz). Si nuestro universo es infinito, como c 1·<·cn algunos físicos modernos, entonces es probable que c·xislan copias casi idénticas de nuestra burbuja y que éstas e e111 tcngan una réplica de la Tierra y de usted. Según el físico M:ix Tegmark, la más cercana de esas burbujas idénticas se o 100 c·11n1cntra, en promedio, a ID metros de distancia. No se>lo hay infinitas copias de usted, hay infinitas copias de las variantes de usted. Es casi seguro que en este mismo instante 11 s1cd tiene ojos rojos y está besando a alguien que habla c:l n 1sco y tiene largos colmillos en alguna otra burbuja. Si :wcptamos la noción de un universo infinito (sugerida por l:1s l(·orías modernas de la inflación cósmica), entonces exisl 1'11 inlinitas copias de usted con variaciones de una belleza

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y una fealdad fabulosas. Si suspira uslcd por alg(111 amor q1w jarrn"'ts co nseguirá en es le mundo , es casi seguro que 11s1cd s<' ' ncuen lra ahora con esa persona en algún otro lugar de este universo. Sea feliz.

(' i1411orarnos el lu gar que nos corresponde en este gran <'o njunto de universos y universos simulados. 1<:11 «A brief History of the Multiverse», el astrónomo Paul 1>avic::; ha efectuado observaciones parecidas.

Somos simulaciones En nuestra región del universo ya hemos desarrollado computadoras y la capacidad de crear simulaciones de formas d e vida utilizando esas mismas computadoras y reglas matemáticas. Creo que algún día crearemos seres capaces de pensar que viven en ricos ecosistemas simulados. Llegaremos a simular la realidad misma, y tal vez seres más avanzados ya lo estén haciendo en algún lugar del universo. Descomunales supercomputadoras contarán con la capacidad de recrear no solo un fragmento minúsculo de realidad, sino una porción considerable de todo un universo. ¿Y si el número de esas simulaciones excediera el número de universos? ¿Podríamos estar viviendo en una simulación así? El astrónomo y filósofo Martin Rees sostiene que si las simulaciones superan en número a los universos, «tal como sucedería si un universo albergara la muchas computadoras que crearan muchas simulaciones», entonces es probable que nosotros seamos vida artificial. Sostiene Rees que esta teoría permite los «viajes virtuales en el tiempo», porque los seres avanzados creadores en la simulación pueden repetir el pasado. Rees afirma lo siguiente en su ensayo «In the Matrix» (o «Living in a Multiverse»): Una vez aceptada la idea del multiverso, y la de que algunos universos disponen de una capacidad inmensa para la complejidad, se obtiene como consecuencia lógica que en algunos de esos universos cabe la posibilidad de simular partes de ellos mismos y se llega así a una especie de regresión infinita, de manera que no sabemos dónde acaba la realidad y dónde empiezan las mentes y las ideas, :.w11

( :on el tiempo se crearán mundos completamente virtuales dentro de computadoras, con moradores conscientes pero ignorantes de su condición de productos simulados gracias a la tecnología de otros. Cada mundo original dispondrá de un número formidable de mundos virtuales, :dgunos de los cuales contarán incluso con máquinas que si rnulen mundos virtuales en su seno, y así sucesivamente ;1d infinitum. /\ lgunos lectores tal vez no sean conscientes de los avances 11 ;grados ya por los científicos computacionales y biólogos en ..1 rampo de la «vida artificial», donde se simulan entidades 'l('11 1cjantes a las vivas con comportamientos complejos utili1.111do reglas simples ejecutadas en programas informáticos. l•:t estudio de la vida artificial me recuerda a la micología (la ciencia que estudia los hongos) o a la mirmecología (dedil": ida a estudiar las hormigas). Los investigadores han simul.1do formas de vida simples poco duraderas que habitan en sociedades simples. El profesor Tom Ray del departamento de · :t.oología de la Universidad de Oklahoma creó Tierra, un r;islcrna en el que programas en código máquina autorrepli1 .1111c::; evolucionan por selección natural. Aunque se trata 111' criaturas muy pequeñas, de unas pocas instrucciones de lo11gitud, mostraron muchos patrones de comportamiento ,1prcc iables en la naturaleza. Cuando muchas de estas y 11t 1·:1s entidades biomorfas simuladas interaccionan, emerr,1 ·11 diversas comunidades ecológicas. Esta suerte de cornu11 idadcs digitales se ha utilizado para estudiar de manera 1·xpcrimental procesos ecológicos y evolutivos, incluida l.1 regulación d e población huésped-parásito, el efecto d e ~º!í

parasitos en ('I aun1c1110 de la diversidad de la comu11idad, la competencia evolutiva, el equilibri o puntuado y el papel del azar en la evo lución. Los «Boids» de Craig Reynolds (entidades que forman bandadas o bancos como las aves y los peces) han exhibido otra clase de comportamientos naturales. Craig, que ahora trabaja para Sony Computer Entertainment, utilizó tan solo tres reglas simples para regir la vida de los Boids: 1) navega de modo que no te acerques demasiado al resto; 2) navega de modo que se mantenga el rumbo promedio del grupo; y 3) navega de modo que te mantengas cerca de la posición promedio de tus vecinos. Se pueden introducir reglas para perseguir un objetivo y para sortear obstáculos con la finalidad de que las criaturas artificiales viajen por un mundo repleto de objetos. Los comportamientos resultantes basán,
iniciativa mundial para crear ecosistemas digitales en la Red y para recrear la evolución de la vida en la Tierra permitiendo la evolución de criaturas informáticas (www. darwinathome.org). Los equipos Darwin esperan observar procesos evolutivos semejantes a los de la vida en un espacio virtual o robótico. Su plataforma informática interactiva se halla distribuida por una gran cantidad de ordenadores en red en la que se permite a la gente dar forma a cada ecosiste ma biótico digital. Una de las formas de vida autómata celular más célebres y tempranas la representa el juego llamado Life de John Horton Conway. En esta simulación sencilla, las células viven o mueren en un entramado bidimensional de células tras seguir únicamente dos pautas: 1) Una célula se activa (vive) si tres de vecinas están activas, y 2) una célula permanece activa si dos o tres de sus vecinas también están activas; en cualquier otro caso se desconecta (muere). Estas pautas simples controlan el nacimiento, la supervivencia y la muerte de cualquier célula en el transcurso del tiempo. A veces, entidades o formas compuestas por un conjunto de células evolucionan y se desplazan por el universo del tablero del juego conservando el conjunto de su figura, como una criatura que deambula por un estanque. De hecho, algunas formas desarrollan la capacidad de conservar su figura y engendran otras figuras ahora capaces de «explorar» el entorno, simulando de forma básica el acto de la reproducción. Si usando estas reglas simples aparecen fenómenos parecidos a los de la biología, es de esperar que ciertas pautas ejecutadas en universos de tableros de juego consigan producir sociedades complejas si se les brinda el tiempo suficiente y un universo lo bastante extenso en el que evolucionar. El autor de ciencia ficción Greg Egan sostiene en Permutation City que la tecnología de imágenes médicas mejorará, y que en 2020 alcanzará un nivel que permitirá captar neuronas aisladas y las propiedades de sinapsis particulares medidas con métodos no invasivos. «La combinación de varios 1111:1

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escáneres permitirá leer e n el organisn10 vivo c ualq11in detalle del cerebro con relevancia fisiológica, y reprodu cirlo en una computadora lo bastante potente. » Egan sostiene que en un principio solo se podrán crear modelos de vías neurales aisladas: «porciones del contexto visual que tengan interés para quienes diseñan la visión de las máquinas, o secciones del sistema límbico cuya función se haya cuestionado». Estos modelos neurales fragmentarios dieron resultados valiosos, pero una representación funcional completa d e todo el órgano ... habría permitido probar que antemano los logros más delicados de la neurocirugía y la sicofarmacología ... En 2024 un neurocirujano de Boston efectuó una réplica completamente consciente de sí mismo ... Las primeras palabras de la primera réplica fueron: «Esto es como estar enterrado vivo. He cambiado de opinión. Sáquenme de aquí».

Medición de la forma del universo En un apartado anterior mencionamos un satélite de la NASA llamado Wilkinson Microwave Anisotropy Probe del que se ha obtenido información que permite seguir especulando sobre la forma del universo. El satélite registra el patrón de calor del universo en forma de tenue radiación de microondas. Esta radiación es un «rescoldo» de la propia gran explosión y, por tanto, dibuja un retrato del universo primigenio. Si el universo fuera infinito, los remanentes de la gran explosión deberían aparecer de forma aleatoria por todo el cielo y con cualquier tamaño. Pero, según los datos del satélite, el tamaño de la onda puede ser limitado, de manera que no hay ondas que abarquen más de sesenta grados en el cielo. Si el universo fuera una sinfonía, estaría perdiendo las notas más graves, las del chelo, el bajo, la 208

t111>a y d l ~1~ot. ¿Qué hacer co n esas notas perdidas? 'fal wz i11diqrn: 11 que e l universo es finito y, por tanto, no pued'· c:n·ar ondas más largas que él mismo. En un universo tal, los .1st ro nautas podrían viajar por el espacio en una dirección y .1rn bar regresando al punto de partida cual orugas que rep1:1ra11 por la superficie de una esfera. 1'. I doctor George Efstathiou de la Universidad de Cambridge cree que los datos del satélite Wilkinson serían cornp:11 i bles con una hiperesfera. En este caso, las fluctuacion es 111 <Ís grandes que el radio de la esfera se verían reducidas, lo e I' 1(· produciría el límite observado en el patrón de radiación. Además, el universo podría ser esférico pero tan extenso que 1·1 universo visible que observamos nos pareciera plano, del 111ismo modo que la Tierra que nos rodea puede parecernos plana porque constituye una pequeña porción de una esfera 1

gi¡.{ante. Si el universo fuera finito al menos en una dirección , < orno un cilindro o una rosquilla, el patrón de la radiación de fondo tendría ciertas restricciones en esas direcciones. Algunos estudiosos han propuesto que el universo pudo 11acer con forma de rosquilla. En un universo rosquilla, q11e es también un ejemplo de un universo múltiplemente ronexo, la luz dispone de varios caminos directos para viajar desde un punto A hasta un punto B. Los científicos que <· 11t revisté están divididos en cuanto a si el universo es finito () infinito. Algunos dicen que un universo infinito es más probable y, tal como hemos dicho, en tales universos puede O(' urrir casi de todo, incluida la circunstancia de que existan 111i'iltiples réplicas de cada uno de nosotros, aunque con ligen 1s variaciones, como que algunas réplicas tengan cuernos ('11 la cabeza. Otros científicos sostienen que la naturaleza <'ncuentra menos dificultades para crear un universo finito . (Entre los ejemplos de espacios finitos figuran superficies ro nocidas como variedades diferenciales compactas, como el círru lo, la esfera de n dimensiones y el toro. El término variedad rlUimmcial compacta suele implicar una figura cerrada y sin !W! )

bordes). Según Dennis Overbye e n «U nivcrsc as Dough11ut: New Data, New Debate», una figura muy probable, y tal vez la más simple, para un universo compacto finito Ja cons t ituye un toro tridimensional, una rosquilla curvada en tres dimensiones. Esto mismo ya se ha descrito como un cubo cuyos lados opuestos se han unido de un modo determinado. O pensemos en la pantalla de un ordenador en la que al mover el cursor hacia arriba éste vuelve a aparecer por la parte inferior de la pantalla, y al moverlo hacia la derecha reaparece por la izquierda en cuanto se sale de la pantalla. Un universo con forma de rosquilla tridimensional se considera un universo plano en un sentido matemático porque, por alguna razón, los ángulos de un triángulo trazado en su superficie suman los habituales 180 grados, como si estuvieran dibujados en un plano de papel. Esto no es así en el caso de un triángulo trazado sobre una esfera. Las líneas paralelas jamás se encuentran entre sí sobre un plano o un toro, pero sí lo hacen sobre una esfera. Otra manera de concebir que un toro es plano consiste en apreciar que sobre la superficie de un toro se puede trazar un plano con facilidad. Como es bien sabido desde hace siglos, no se puede trazar un mapa plano sobre una esfera sin distorsiones y ahí estriba la razón de que se hayan desarrollado tantos sistemas de proyección para mapas con la intención de crear mapas útiles para nuestro mundo esférico. Tal vez la más conocida de esas proyecciones sea la proyección de Mercator, ideada en 1568 por Gerardus Mercator, geógrafo, matemático y cartógrafo flamenco. Por desgracia, esta proyección introduce una distorsión considerable en latitudes próximas a los polos, de manera que Groenlandia se ve más grande que América del Sur. Lobos sobre cilindros Si las nociones de espacio plano y espacio le siguen pareciendo confusas, considere que un trozo plano de papel 210

1·s 1111 modelo de espacio cerrado plano. Curve este pap<'I ltastn formar un ci lindro. Para ver por qué este espacio sigue siendo plano, imagine que un lobo camina por el interior de la s11perficie del cilindro. Decimos que el espacio es plano porque el lobo no rota a medida que recorre una trayecto' i<1 cerrada, manteniendo siempre el cuerpo paralelo a su posición previa. El espacio se considera cerrado porque el le >bo que recorre el cilindro acaba regresando si camina en 1í11ca recta, lo que indica que se trata de un espacio cerrado (figura 6.5). De manera similar, un toro es un espacio plano. l J 11 modo que visualizar un toro consiste en partir de un rnadrado, llamado el dominio fundamental del toro. Visua1iC'c el cuadrado como un fragmento plano de papel que S(' puede enrollar uniendo entre sí el extremo derecho e i1.quierdo del mismo. Para crear un toro basta con unir entre si la parte superior e inferior del cilindro de papel.

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Lobos en un universo cilíndrico (izqui erda) y esférico (derecha). l ,a dirección del movimiento del lobo está representada por flechas. Si el lobo sigue una trayectoria cerrada sobre el cilindro, su cuerpo 110 rota. A pesar de las apariencias superficiales, este espacio no se e onsidera curvo. En cambio, sobre una superficie esférica, el cuerpo del lobo experimenta una rotación como Ja descrita en el texto.

1.os topólogos consideran los planos, los cilindros y los toros como espacios euclídeos. En la geometría euclídea, al • •"1siderar una línea recta y un punto cualquiera fuera de esa línea, solo existe una única línea paralela a la primera q1w pasa por ese punto. Y, como hemos dicho, la suma de lt1s ;íngulos de un triángulo equivale a 180 grados. El toro es 1111 :1 variedad diferencial bidimensional euclídea (plana) . Si ~

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el espacio tridimensional en el que habitamos tuviera forma de toro, viviríamos en un toro tridimensional. En cambio, aunque estuviéramos seguros de que el universo es euclídeo, este podría tener muchas formas distintas además de la de toro tridimensional. De hecho, sólo existen dieciocho variedades diferenciales tridimensionales euclídeas posibles. De ellas, ocho son no orientales; es decir, cuentan con un giro que invierte la orientación. Si viajáramos por uno de esos recorridos que invierten la orientación, ni siquiera repararíamos en el cambio hasta regresar a la Tierra, donde todos los relojes funcionarían en sentido antihorario. Los cosmólogos, movidos por una curiosidad insaciable, escudriñan el cielo en busca de indicios que apunten a que el universo podría ser no orientable. En teoría, observaríamos patrones energéticos característicos si viviéramos en un espacio tal. Hasta el momento presente no se han observado esos patrones. Volviendo a la figura 6.15, intentemos entender mejor por qué la superficie de la esfera constituye un modelo de espacio cerrado, pero no es plana. Existe otra manera de diferenciar un espacio plano, en el que el lobo camina sobre un cilindro, de un espacio curvo, en el que el lobo recorre una superficie esférica. En la parte derecha de la figura 6.15, el lobo intenta ir de A a B a Cy luego de nuevo a A manteniéndose siempre paralelo a su orientación primera de manera que la cabeza apunte hacia la derecha de la figura. En cambio, cuando regrese a A, la cabeza apuntará más hacia C que hacia B, como hacía en un principio. Por ejemplo, a medida que el lobo se desplaza de B a C, su cuerpo empieza a apuntar poco a poco hacia arriba. (Si le cuesta visualizar este movimiento, en Internet existen numerosas presentaciones interactivas, como la que figura en la página de John Sullivan http:/ / torus.math.uiuc.edu/jms/java/ dragsphere/). Se dice que este espacio es curvo porque a medida que el lobo recorre un camino cerrado intentando mantenerse paralelo en todo momento a su posición primera, su cuerpo experimenta ~ 1 2

1111:1 rnlación. La curvat111·a dd espacio se revela mediante 1111 proceso denominado transporte paralelo. Por otra parte, el 1( 11 >o pu ede recorrer una superficie cilíndrica siguiendo el 1<-rorrido ilustrado y regresar al punto de partida de manera ,'1 11 cuerpo haya experimentado una rotación nula. Por tanto, .11111ciue la superficie de un cilindro parezca curva, no lo es c 11a11do se la considera un modelo de espacio. Universos esféricos, planos e hiperbólicos 1.os cosmólogos continúan reflexionando sobre diversas

.. l(lrmas» posibles para nuestro universo. Por ejemplo, el e·spacio podría tener una curvatura positiva y parecerse a la s11perficie de una esfera. La geometría del universo podría S('I' plana (o euclídea) o podría ser hiperbólica, con una ('t1rvatura negativa toscamente visualizable en una silla de 111ontar. Muchos astrónomos consideran plano el cosmos porque este concepto está íntimamente unido a la «teoría de la inflación», una conjetura muy extendida según la cual el 1111 iverso atravesó un periodo temprano de expansión rápida que amplificó las fluctuaciones subatómicas aleatorias y formó las estructuras que existen actualmente en el universo. /\sí como la expansión hace que una pequeña porción de pelota parezca plana, la inflación habría estirado el universo y habría suavizado cualquier curvatura que tuviera en sus inicios. Es asombroso que vivamos en una época en la que todas estas conjeturas podrán comprobarse pronto con los satélites que estudian la radiación de fondo de microondas del universo. Por ejemplo, en un universo hiperbólico, las variaciones intensas de temperatura en el fondo de microondas se producirían en regiones más pequeñas del cielo que en el caso de un universo plano. (Véanse los artículos escritos por Ron Cowen y lvars Peterson en 1998 en Science News en el apartado de «Material de consulta»). En un universo cerrado, hiperbólico, lo que los astrónomos considerarían un a galaxia distante podría ser en realidad nuestra propia ~ 1 '. \

Galaxia (vista a una edad mucho menor porque la luz ha tardado miles de millones de años en viajar por el universo). Neil Cornish y otros astrónomos de la Universidad del Es Lado de Montana sostienen que «SÍ tuviéramos la suerte de vivir en un universo hiperbólico compacto podríamos mirar ahí fuera y ver nuestros propios orígenes». Es posible que universo tenga una topología extraña, de manera que diferentes partes del mismo estén interconecladas como los cabos de una galleta salada en forma de lazo. Si fuera este el caso, el universo sencillamente daría una impresión de inmensidad y las múltiples vías permitirían que la materia de distintas partes del cosmos se mezclara. En un universo en forma de galleta salada de lazo, la luz procedente de un objeto determinado dispone de distintas vías para llegar hasta nosotros, de manera que divisaríamos varias copias de ese mismo objeto. Si el universo fuera un toro tridimensional, observaríamos el espacio y veríamos estrellas una y otra vez debido a la naturaleza curvada sobre sí mismo del universo. Y la teoría de la inflación, que sostiene que el universo experimentó una expansión acelerada galopante en el principio de los tiempos, implica que el universo observable es hoy una burbuja de 156 mil millones de años-luz de diámetro. (Durante la inflación, lo que ahora constituye el universo observable pasó de ser una región menor que un protón a otra mayor que un pomelo en un intervalo minúsculo de 10-35 de un segundo). El universo observable actual parece terriblemente grande pero podría no ser más que una mota de polvo suspendida en un universo de miles de billones de años-luz de diámetro. La noción de un universo finito «pequeño» contradice la teoría de la inflación. Y, si aceptamos la teoría de la inflación, entonces también es probable que aceptemos la noción de múltiples universos ya que una vez que comienza la inflación, esta se convierte en un fenómeno recurren te que genera una cadena de universos, como burbujas dentro de burbujas. La inflación crea universos planos. 214

< :1111 f rccuencia me planLean la prcgunLa: «¿Cómo puede

1•1 11di11i10 el universo si todo él estuvo concentrado en un ¡i111110 <'11 e l momento de la gran explosión?». Una respuesta c¡tH' d universo no tuvo por qué estar concentrado en un ¡i1111111 en el momento de la gran explosión; tal vez solo el 11111v1·rso visible estuvo concentrado en un punto. Puede que í 1 1111 ivcrso naciera ya infinito con la gran explosión. (En este 1.1'11 >, r uando hablo de «Universo observable», me refiero a le 1 < j l H' cabría observar teniendo en cuenta la velocidad finita •11 • 1:1 1uz). Mundos próximos al nuestro

I•' 11 la actualidad, muchos físicos afirman que existen uni' 1•1sos paralelos al nuestro, dispuestos como capas de una 11 bolla, y que se podrían detectar a medida que la gravedad 1• l 11ga de una capa a otra adyacente. Por ejemplo, la luz ¡.11e1n·dente de estrellas distantes quedaría distorsionada ¡1111 la gravedad de objetos no visibles situados en universos I '·" ;1lclos a tan solo milímetros de distancia. Científicos de la 1.111 iversidad de Colorado en Boulder llevan realizando exped111cntos desde antes de 1997 para localizar esos posibles 1111 ivcrsos cercanos. Estos investigadores buscan desviacio111 ·s minúsculas en la ley de la gravitación del inverso de los • 11:idrados formulada por Newton que pudieran deberse a 111:1lcria de universos paralelos, o a una dimensión oculta. El 101~junto de la idea de los multiversos no está tan traído por le >S pelos como podría parecer. Según un sondeo reciente a ~ físicos notables efectuado por el investigador estadounid1 ·11se David Raub, el 58 por ciento de los físicos (incluido St('phen Hawking) cree en alguna variante de la teoría de 111 t't Iti ples universos. U na de las teorías más novedosas e increíbles de la cosmog <··11 esis sostiene que toda la materia y la energía del universo s11rgió cuando un fragmento tetradimensional de otro univnso se frunció, flol{> por el espacio pentadimensional y al ~

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final se incrustó en nuestro universo. Charles Seifc describe con elocuencia lo que se denomina «modelo ecpirótico» en la revista Science. En el espacio pentadimensional [efectivo] dos membranas tetradimensionales perfectamente planas, como sábanas tendidas en cordeles paralelos. U na de las sábanas es nuestro universo; la otra, un universo paralelo «oculto». Debido a fluctuaciones aleatorias, nuestro compañero no visible se despoja de forma espontánea de una membrana que poco a poco flota hacia nuestro universo ... El objeto en suspensión se acelera y se incrusta en nuestro universo, tras lo cual, parte de la energía de la colisión se transforma en la energía y la materia que conforman nuestro cosmos. Algunos han vinculado la «membrana creadora» ecpirotica procedente del universo oculto al «espíritu de Dios» que aparece en la segunda frase del Génesis, donde se lee: «La tierra era soledad y caos, y las tinieblas cubrían el abismo, pero el espíritu de Dios aleteaba sobre las aguas». La tierra solitaria y caótica se corresponde con nuestro universo antes de que el choque de la membrana tetradimensional creara aquí la materia y la energía. El «aleteo» se corresponde con la membrana flotante. Es más, el modelo ecpirótico afirma que en cualquier momento puede desprenderse otra membrana que avance flotando hacia nuestro universo y nos destruya a todos. Unos físicos sostienen que ya observan signos de nuestra perdición inminente presagiada por la expansión acelerada del universo. Nuestro posible fin a la vuelta de la esquina, augurado por el modelo ecpirótico del universo, también encuentra una correspondencia en varias profecías bíblicas sobre el apocalipsis y el fin de los tiempos. Obvi amente, la idea de casar la física teórica con pasajes bíblicos exige una fantasía extrema, pero yo disfruto con los debates interminables y las conversaciones sesudas a que dan lu ga r. :¿ ¡( )

l'()(ktnos ir incluso más allá, y reflexionar sobre las dispara!. 1< las impli caciones de la multiplicidad de universos y lo que 11os di ce n sobre nuestro poder en relación con el de Dios. El e .tt<"drá tico d e física de la Universidad de Stanford, Andrei l ,i11dc, ha especulado con la posibilidad de crear un nuevo 1111ivcrso primigenio en laboratorio mediante una compre-. ic'>11 violenta de materia a temperaturas elevadas (de hecho, 1111 miligramo de materia podría desencadenar un universo .111torreplicante eterno -véase la referencia a Rucker en el .1partado de «Material de consulta»). ¿Qué beneficio econó111 i('O o espiritual extraeríamos de la creación de un universo, l<'11icndo en cuenta que nos resultaría extremadamente difí1 il , cuando no imposible, acceder al mismo? ¿Deberíamos 1111scar nosotros tal evidencia en los valores de la longitud de l'lanck, de pi o del número áureo? ¿Le importaría a Dios que < 1 cáramos esos universos a nuestra voluntad? Andrei Linde d escritor Rudy Rucker han hablado sobre métodos para l'odificar un mensaje destinado a los moradores potenciales dd nuevo universo mediante la manipulación de parámetros 1isicos, como la masa y la carga de partículas, aunque se tra1a ría de un experimento precario dada la dificultad de manipular esas constantes de manera que, a un mismo tiempo, rod ifiquen un mensaje y permitan evolucionar a la vida. Rompecabezas para transformar una galleta en forma de lazo Una de mis transformaciones favoritas, conocida por los aficionados como la transformación de la galleta en forma de lazo, implica la conversión de la estructura de dos aros que aparece en la parte izquierda superior de la figura 6.16 en la estructura que aparece en la derecha superior sin cortar los aros. En otras palabras, es posible separar los dos aros sin romper ninguno de ellos. Para lograrlo basta con suponer que el objeto está formado por un material muy elástico r¡ue permite estirarlo. Una pista: empiece agrandando uno de los dos aros. (Busque la respuesta en el apartado de soluciones).

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6.14 Transformación de una galleta en forma de lazo. ¿Lograría usted transformar el objeto engarzado de la izquierda en el o bjeto no engarzado de la derecha sin cortar ninguno de los aros? (Obviamente se podría cortar el objeto tal como se muestra en la figura inferior, ¡pero eso sería demasiado fácil!) .

Ahora, un equipo dirigido por R:ulh Durrer de la Universidad de Ginebra en Suiza tiene una explicación [de por qué nos movemos en un universo tridimensional]. La idea consiste en que el cosmos incluyó una vez branas de hasta ocho dimensiones suspendidas de manera aleatoria en un espacio de nueve dimensiones. En su modelo, este espacio de nueve dimensiones tiene la forma de un toro, o rosquilla, de manera que cada dimensión se cierra sobre sí misma.

Stephen Battersby, «How 3-D Space Survive the Great Destruction », New Scientist Homer; su teoría de que el universo tiene forma de donut es fascinante.

Stephen Hawking a Homer Simpson en el episodio de Los Simpson titulado «Salvaron el cerebro de L isa», 1999

Los cosmos de Mobius Si viviéramos en una hiperbanda de Mobius y miráramos al frente, veríamos el cogote de alguien. Al principio no pensaríamos que se trata de nuestra propia cabeza porque la raya del pelo se encontraría en el lado opuesto. Si alargáramos la mano derecha para ponerla en su hombro, esa persona alzaría su mano izquierda y la posaría en el hombro de la persona situada ante sí. De hecho, veríamos una cadena infinita de personas con la mano posada en el hombro de otras, pero de manera y las manos irían alternando del hombro derecho al izquierdo.

Michio Kaku, Hyperspace Tal vez parezca que la banda de Mobius o los puentes de Konigsberg son mundos apartados de la conexión cósmica pero no es así. El espacio exterior constituye el campo de pruebas de la teoría de Einstein sobre el espacio y el tiempo curvados. Es ahí, entre los campos gravitatorios de objetos astronómicos distantes con una potencia inconcebible, donde el espacio está deformado y curvado, tal vez incluso partido y unido con formas de Mobius, o con topologías más complejas.

Paul Davies, La frontera del infinito: de los aguj eros

n egros a los co nfin es del Uni verso ~ 1H

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JUEyOS, LABERINTOS, ARTE, MUSICA Y ARQUITECTURA

Por decirlo llanamente, Mobius era más bien perseverante; pero, cuando Mobius perseveraba, lo hacía con diligencia, elegancia e imaginación. jamás se detuvo y llegó lejos. Su gran talento consistió en explicar las ideas de otros y verlas con claridad, a menudo con más claridad que sus propios creadores.

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Jan Stewart, «Mobius Modern Legacy» en Mobius and His Band

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/\ 1111q uc 111 uchos expe rtos e n matemáticas rccrealivas y aradé mi cas están familiarizados con la relevanc ia que poseen las bandas de Mobius en topología y con algunas de las propiedades matemáticas de esas bandas extraordinarias, he comprobad o que la m ayo ría d e la gente desconoce que esta cinta decimonónica ocupa u n lugar d estacado en la literatura, el arte , la música y hasta los juegos d e hoy. Se h an ideado y trazad o diversos pasatiempos divertidos y endiablad amen te complejos sobre cintas de Mobius, botellas d e Klein y Loros. Durante la redacción de este libro disfruté jugando a l tres en raya, laberintos, crucigramas, sopas de letras, rompecabezas y ajedrez sobre toros, bandas de Mobius y botellas de Klein . En Internet existen varias versiones informáticas para facilitar a los jugadores la manipulación de las piezas de juego y el tablero de esos juegos inusuales. Debo señalar que la p ráctica de estos sobre superficies no tradicionales 110 solo constituye un pasatiempo recreativo sino que permite tanto a novatos como a expertos conocer mejor las propiedades de las superficies y, por tanto, ahondar en su conocimiento. Para ir abriendo boca, consideremos la figura 7.1, que reproduce un laberinto trazado sobre un toro; la parte superior o inferior de la figura están conectadas, al igual que la p arte derecha e izquierda. El objetivo consiste en partir d e S y llegar a E atravesando el laberinto. Por ejemplo, desde S se puede ascender en dirección al número 1 y proseguir por el pasillo rotulado con el 1 en la parte inferior del laberinto. Intente visualizar que esos dos extremos del p apel están pegados entre sí para formar un toro y que ambos pasillos están «conectados». La respuesta se da en el apartado de soluciones.

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7.1 Laberinto trazado sobre la superficie de un toro.

La figura 7.2 resulta más difícil de visualizar porque este laberinto discurre sobre una botella de Klein, que se puede confeccionar pegando entre sí los lados izquierdo y derecho del laberinto, como p ara formar un toro ; p ero con la parte superior e inferior unidas tras girar el papel. Por tanto, en ·ste laberinto de Klein a se une con a, e con e y b con b. El obje tivo consiste en ir de S a E. b

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7.2 Laberinto trazado sobre la superficie de una botella de Klein.

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223

Laberintos de Mobius t•:I prim er laberinto d e Mobius patentado que d esc ubrí tenía

la f'orm a de un enigmático jugue te inventado por David O. MrGoveran de Boulder Creek, California (Patente estado1111idc nse número 6 595 519, concedida en 2003) . Como se ve en las figuras 7.3 y 7.4, el objetivo consiste en guiar 1111a canica por un circuito trazado sobre una superficie con forma d e banda de Mobius. La figura 7.4 ilustra los pasillos por los que se desplaza la bola. El recorrido está sellado con una pieza de plástico transparente que mantiene la canica dentro del laberinto. David explica que un rompecabezas con una topología de Mobius y una estructura tridimensiona l exige más destreza para resolverlo porque «impide que ' I usuario vea al mismo tiempo todos los recorridos posibles, puesto que las superficies interior y exterior son contiguas e idé nticas». Uno de los primeros juegos de laberinto tridimensional de Mobius aparecido y comercializado en Internet es el «Moby Maze» , diseñado por el neerlandés M. Oskar van Deventer (figura 7.5). Para resolver el Moby Maze, hay que desplazar el anillo exterior a lo largo de una serie de pistas grabadas en la banda de Mobius con la finalidad de liberar el anillo de la banda. No es demasiado difícil descubrir la solución, pero resulta muy satisfactorio jugar con este rompecabezas que ilustra de forma gráfica la monofacialidad de la banda de Mobius. Oskar me comenta que fue muy complejo confeccionar e l Moby Maze porque el programa de creación de modelos tridimensionales utilizado para diseñar el rompecabezas se onfundió con la idea de un objeto tridimensional de una sola cara. Oskar logró «convencer» al programa de que tal obj eto era posible y valía la pena crearlo. El juego se puede ·:idquirir en el Puzzle Palace de George Miller (http:/ / puzzlepalace.com).

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Extremos unidos entre sí

~d 7.3 Laberinto de bola trazado sobre una banda de Móbius y patentado (pat. estadounidense 6 595 519). , 16

7.4 Ampliación del circuito por el que se desplaza la bola del laberinto de Móbius (pat. estadounidense 6 595 519).

Para entender mejor el rompecabezas, nótese que la muesca de la derecha sirve tanto de entrada como de salida. La banda tiene obstáculos a lo largo de ambos «lados» de la superficie. La topología del laberinto incluye un giro de 360 grados, dos vías muertas y un largo recorrido de entrada/ salida. Tal vez parezca un laberinto simple, pero la topología del objeto confunde a la mayoría de la gente, la cual d a vueltas y vueltas aparentemente perdida para siempre.

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La so l11ri ü 11 <'x.igc dar u11 giro en forma de U en un punLO dctcrn1inaclo que conlrad ice la in luición de la mayoría de la gente que inlcnla resolver eJ rompecabezas. El dibujo esquemaLizado de la figura 7.6 ilustra la topología del trazado del laberinto sin las dos vías muertas.

d(· pil·1.as situadas e n la «cara» opucsla del Lablero. En otras palabras, cuando una ficha cae «debajo » de olra, la come ig·11al que si se situara «sobre» ella. La configuración de la figura 7.7c ilustra que el peón no protege necesariamente a 1 ('aballo porque la torre puede desplazarse en la dirección opuesta y colocarse debajo del caballo. Si algún lector ha jugado al ajedrez de Mobius, me interesa ría conocer cualquier posible observación suya.

7.5 Moby Maze, diseñado por el neerlandés M. Oskar van Deventer. Para resolver el Moby Maze, hay que desplazar el anillo exterior alrededor del circuito de Mobius.

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7.6 Dibujo esquematizado del Moby Maze que resalta la topología global del laberinto.

Ajedrez Cuando se juega al ajedrez sobre un tablero de Mobius como el que se muestra en la primera configuración de la figura 7.7, surgen toda clase de sorpresas. Por ejemplo, piezas como el peón de la figura 7.7b pueden recibir el ataque

226

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7.7 Ajedrez jugado sobre una banda de Mobius. (a) Posible configuración de partida. (b) En el ajedrez de Mobius, cualquier caballo puede atacar :il peón. (c) En esta configuración, el peón no protege necesariamente :il c;iballo porque la torre puede desplazarse en la dirección opuesta y acabar situándose encima del caba ll o. (Dibujos de Brian Mansfield).

227

'l\ d vez uno de los carnpos más fructffcros para el csludio

del ~~j cd rcz de Mobius guarde relación con «el recorrido del caballo» sobre un tablero de Mobius. Un «recorrido del caballo» en un tablero normal consiste en desplazar una de 'Stas p iezas de modo que pase una vez por cada cuadrado del tablero (de 8 x 8). Antes de comentar los tableros de Móbius, revisemos lo que se sabe sobre los tableros convencionales. La primera solución registrada para el problema del recorrido del caballo es la de Abraham de Moivre (1667-1754), un matemático francés más conocido por sus teoremas sobre números complejos. Nótese que en la solución de Moivre (figura 7.8), el caballo termina el recorrido sobre un cuadrado que no puede alcanzarse desde la posición de partida en un solo movimiento. El matemático francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833) superó esto hallando una solución en la que el primer y el último cuadrado distan un solo puesto, de manera que el recorrido se cierra sobre sí mismo en un bucle sencillo de 64 movimientos del caballo (figura 7.9). Este recorrido se conoce como reentrant. Para no quedar atrás, el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) descubrió un recorrido reentrant que va pasando primero por una mitad deltablero y luego por la otra (figura 7.10). (Los cuadrados pequeños indican las posiciones donde los caballos pasan de una mitad a la otra).

El recorrido d el caballo se puede plantear sobre tableros d e 5 x 5 o más grandes (figura 7.11). Los recorridos mostrad os en el tablero de 5 x 5 y 7 x 7 no son reentrant. ¿Cree usted que una computadora llegaría a encontrar un recorrido mentrant para un tablero inmenso de 2001 x 2001? Para responder esta pregunta hay que tener en cuenta que un recorrido de este tipo debe pasar por el mismo número de cuadrados blancos que de cuadrados negros. De ahí que en un tablero de 5 x 5 o de 7 x 7 (o en cualquier tablero con un número impar de cuadrados) no sea posible un recorrido reentrant. Pero, ¿cómo es el recorrido del caballo sobre bandas de Móbius o botellas de Klein? El profesor John Watkins, del Colorado College, es el mayor experto enjuegos de ajedrez trazado sobre bandas de Móbius y botellas de Klein. En su libro Across the Board, formula la teoría de que todo tablero d e ajedrez rectangular tiene potencial para un recorrido del caballo si se despliega sobre una botella de Klein.

11 7 .11 El recorrido del caballo se puede trazar sobre tableros de 5 x 5 o más grandes. Aquí se ilustran tableros de 5, 6 y 7 cuadrados de lado.

7.8 El recorrido del caballo de De Moivre. 7.9 El recorrido del caballo de Legendre. 7.10 El recorrido del caballo de Euler.

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Un tablero de ajedrez de m por n sobre una banda de Móbius con m filas y n columnas (donde las filas discurran alrededor de la banda de Móbius) cuenta siempre con un recorrido del caballo a menos que se den una o más de las siguientes tres condiciones: (a) m = 1 y n > l; o n = 1 y m = 3, 4 ó 5 (b) m = 2 y n es par, o m = 4 y n es impar (c) n = 4 y m= 3

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S('g1'111 la co11v('11<·i(> n de Watkin s, cua11do u11 raballo se dcspla1.a por e l tablero y regresa cabeza a bc~O por e l «Otro lado», se considera el mismo cuadrado que el de partida. Como la banda de Móbius es una superficie bidimensional, las fichas de ajedrez se deben considerar como objetos bidimensionales que se desplazan por el interior de la superficie de la banda. Wa tkins también siente fascinación por la dominación de las fichas de ajedrez sobre tableros con forma de botella de Klein. La dominación alude a una configuración de las fichas de ajedrez en la que cada cuadrado libre está «amenazado». Como ejemplo, se necesitan cinco reinas para dominar un tablero de ajedrez de 8 x 8, y existen exactamente 4860 maneras distintas de que esas cinco reinas adopten posiciones para dominar el tablero. Hay exactamente seis maneras de colocar dos torres para que dominen un tablero de ajedrez de 2 x 2, y hay 33 514 312 maneras de que ocho torres dominen un tablero de ajedrez de 8 x 8. La figura 7.12 ilustra cómo usar ocho reyes para dominar un tablero de 7 x 7 trazado sobre una botella de Klein. En este caso la parte derecha del tablero se une a la parte izquierda con un giro, y la parte superior e inferior se enlazan entre sí sin ningún giro. En general, un tablero de ajedrez en forma de botella de Klein de n x n se puede dominar con [ ( 1/3 x ( n + 2)] 2 - k reyes si n tiene la forma n = 6k + 1. Esta dominación se produce en una botella de Klein con k reyes menos que en un tablero de ajedrez normal. De manera más general, el número de reyes necesario para dominar un tablero en forma de botella de Klein de n x n asciende a (1/9) n2 para n = 3k (1/3) ( n+ 1) 2 paran= 3k+2 [ (1/3) ( n+2) ]2 paran = 6k+ 1 [ (1/3) ( n+2) ]2-(1/6) ( n+2) paran= 6k+4

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7.12 Reyes en posición de dominio en un tablero de ajedrez de 7 x 7 sobre una botella de Klein . Las flechas indican los bordes unidos del tablero. Las flechas en direcciones inversas indican que los bordes correspondientes se han girado antes de unirlos entre sí.

El hecho de que los aficionados y profesionales de las matemáticas dediquen sus días a contemplar la dominación en el ajedrez resulta interesante, pero cuando dedican sus horas al estudio e incluso a la práctica del juego del ajedrez sobre tableros con forma de botella de Klein, uno se pregunta qué otras cosas les hacen disfrutar en la vida de maneras nada convencionales. Watkins también nos cuenta que el número de dominación de los reyes sobre una botella de Klein para un tablero rectangular de m x n viene dado por: y

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Los símbolos de corchetes abiertos, Í representan la función que redondea al entero más cercano mayor o igual que el número abrazado entre los signos. Para comprender la dominación de los alfiles en un tablero de botella de Klein, examinemos la figura 7.13. Consideremos un alfil que parte de e por el lado izquierdo. Asciende hasta a, se sale del tablero por a, reaparece por la parte inferior, prosigue su ascenso hasta b, donde vuelve a salirse del tablero, y entonces, debido al giro de la botella de Klein, reaparece en la parte izquierda por b y ahora se desplaza hacia abajo. El número mínimo de alfiles para la 2:p

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7.13 Diagonal de un alfil sobre una botella de Klein.

La figura 7.14 ilustra una manera de que cinco alfiles dominen una botella de Klein.

de inmediato en la posición correspondiente al rectángu lo original. Los recorridos sobre un cilindro o banda de Mobius de 2 x n solo son posibles cuando n es impar. l .os recorridos sobre cilindros de 3 x n y 5 x n siempre son viables si se emplea un patrón repetitivo simple. La a 1tura de tal cilindro puede ser cualquier número de la forma 3a + 5b, lo que incluye todos los números salvo 1, 2, 4 y 7. Más curioso aún es el hecho de que varios de 'SOS cilindros admitan la unión de borde con borde y los re corridos se pueden combinar a través de los tableros si se cortan por lugares adecuados para, después, volver a unirlos (figura 7 .15). Se sabe que existen recorridos sobre toros de 4 x 4. Si es viable un recorrido sobre un rectángulo de m x n dispuesto e n forma de cilindro, también será posible sobre un toro y una botella de Klein de esas mismas dimensiones. Galería de arte de Mobius

7.14 Cinco alfiles dominan un tablero de ajedrez de 9 x 9 sobre una botella de Klein. Las líneas trazadas a lo largo del tablero indican los cuadrados dominados por el segundo alfil empezando por arriba.

Los recorridos del caballo sobre cilindros convencionales también son posibles. Para visualizarlo, aplane y corte el cilindro de manera que parezca un rectángulo, coloque «copias imaginarias» del rectángulo de partida en cada extremo del mismo, y asuma que las celdas correspondientes son las mismas que las del rectángulo original. El caballo puede desplazarse entonces fuera del borde y adentrarse en la copia, siempre que se ubique

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La banda de Mobius ha servido de base a innumerables pinturas, grabados y esculturas. En esta sección presento una inmensa galería internacional de obras con formas de Mobius y de nudos creadas por artistas, diseñadores, matemáticos y físicos. Para abrir nuestra colección, consideremos la figura 7.16, un modelo contemporáneo llamado «Escaleras de Mobius», del artista británico Nicky Stephens (www.nickystephens.com). Nótense los suaves giros y vueltas del pasamanos para que la parte superior del mismo pase a ser la inferior, y viceversa. Tres tramos de baranda continua y laminada apoyada sobre barrotes d e cobrebatido, se retuercen entre barrotes tallados de fresno. Stephen dice: «Quise que la barandilla fuera lo más fluida posible, que invitara a los usuarios a seguir con las manos sus giros y revueltas.»

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7.15 Recorridos del caballo sobre cilindros. (a) Un damero sobre un cilindro de 3 x n. (b) Los recorridos se visualizan al añadir cilindros «imaginarios» a los extremos. (c) Los recorridos sobre varios cilindros de distintos tamaños se pueden unir entre sí cambiando los enlaces sobre un paralelogramo adecuado.

Rolwrt J. Krawo.yk y Jolly Thulasccdas, del Instituto de 'lh·11ología de Illinois de Chicago, se han planteado utilizar 1:1 ha11da de Mobius como motivo para todo un edificio. Pero, ¿rú mo se construiría un pasillo alrededor de un edificio en l(>rma de banda de Mobius? En algún punto del recorrido, d giro del pasillo nos obligaría a caminar ¡boca abajo! Un 111oclo de sortear el problema consiste en crear un edificio en forma de recinto hueco de Mobius, con el suelo o el trayecto s1 is pendido en su interior. Diversos países han reconocido el misterio y la majestuosidad de las obras de Mobius honrando su banda en sellos de rorreos. La banda debe de contar con muchos fans en Brasil; llegué a encontrar tres estampillas de Mobius procedentes de ese país. La figura 7.17 reproduce un sello que conme111ora el sexto Congreso Brasileño de Matemáticas celebrado en Río de Janeiro en 1967. Las figuras 7.18 y 7.19 muestran otros sellos brasileños más recientes. La figura 7 .19 es especialmente interesante porque los coleccionistas de sellos de correos sobre temas matemáticos consideran el objeto como una banda de Mobius, aunque a mí me parece que tiene dos caras. ¿Qué significado le atribuiría usted a este objeto?

7 .17 Sello de Mobius que conmemora el sexto Congreso Brasileño de Matemáticas en Río dejaneiro en 1967 . .O

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7.19 Sello brasileño de Mobius.

7.16 Escaleras de Mobius del artista británico Nicky Stephens.

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La fi gura 7.21 reproduce un sello suizo que formó parte de la serie anual «Europa» que comenzó en 1957 para hacer hincapié en la unidad europea. Esta serie continúa en la actualidad. Cada conjunto de sellos sigue un tema, como «vacaciones» y «gastronomía». En 1974, el tema fue la escultura suiza, y el mo tivo de este sello en concreto de 1974 reproduce una escultura del artista Max Bill (1908-1994). La escultura titulada Kontinuitat (Continuidad) y creada en 1986 por Bill presenta una figura similar a la del sello y se encuentra ubicada en el exterior de la sede central del Deutsche Bank en Fráncfort. !--'

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7.21 Sello suizo de Mobius que reproduce la obra del escultor Max Bill.

La escultura de granito de Bill situada en el Deutsche Bank mide 4 m e tros y m edio d e alto, y es una de sus últimas obras. La escultura representa la banda d e Móbius, un te m a que ~:1 1 >

Hill había cst11di ad o d esd e comie nzos d e los años treinta . Hill llegó a se ntir un inte rés casi obsesivo por la banda de Mübi us y, con ello , influyó a toda una generación de artistas suizos. Se utilizó una grúa inmensa para instalar esta escul1ura tan especial de ochenta toneladas delante del banco. Otras esculturas en forma de banda de Móbius decoran <·d ificios y plazas de todo el mundo. Una banda de Mobius de acero inoxidable y dos metros y medio de diámetro proyecta 11 na maraña de reflejos plateados en un estanque situado en la parte superior del Ramsey Auditorium de Fermilab vn Batavia, Illinois (EE UU) . Una escultura de bronce se encu entra instalada cerca de una entrada del Science Center de la Universidad de Harvard en Cambridge, Massachusetts. 1.a ciudad de Washington está repleta de preciosas esculturas de Mobius. Una escultura de acero inoxidable descansa sobre un pedestal frente al Museo Nacional de Historia Americana (National Museum of American History). Otra atrae a los visitantes hacia la entrada del Museo Nacional del Aire y el Espacio (National Air and Space Museum). Hasta la plaza situada frente a la Oficina Estadounidense de Patentes y Marcas en Arlington, Virginia, exhibe una banda d e Mobius de acero pintada de rojo. Muchas de estas esculturas maj estuosas son variantes complejas donde la sección transversal «de la banda» es básicamente un triángulo equilátero rotado 120 grados en el sentido longitudinal de la banda. Tal como se ha mencionado en la introducción de este libro, el artista holandés Maurits Cornelis Escher sentía gran predilección por la banda de Móbius, la cual aparece e n varias de sus litografías, incluidas las tituladas Cinta de Mobius I (grabado en madera en cuatro colores, 1961) y Cinta de Mobius JI ( Hormigas Rojas) (grabado en madera en tres colores, 1963). Aunque los pares de hormigas de la litografía parecen oponerse e ntre sí, todos ellos coexisten sobre el mismo plano porque , como sabemos, la cinta de Mobius tiene una única su perfi cie. En Cinta de Mobius I, vemos una banda sencilla dividi da lon gitudinalme nte en dos partes que forman tres peces d e ma ne ra q11c Cllch1 t1n o d e ellos muerde la cola d el que tie n e 237

d('l;111t(·. 1".I ar1ist;1 Brian Ma11sllcld se i11spid> <·11 la obra d" Eschcr relacionada con la banda de Mobius y ha creado sus propias formas de Móbius (figuras 7.22 y 7.23). Brian crea numerosos mundos de Móbius habitados por robots y otros seres mecánicos. En la actualidad trabaja con mundos habitados y mecanizados más complejos en forma de botellas de de Klein, superficies no orientables de dimensiones superiores, y «superficies mínimas triplemente periódicas que cuentan con el disfenoide tetragonal como célula caleidoscópica» y la «Superficie Manta de Schoen de Genio 19», ¡una superficie magnífica que recuerda al cuerpo de una pastinaca! En la figura 7.23, la banda de Mobius permite a los robots desplazarse de un lado aparente al lado opuesto, lo que representa ciclos de creación y destrucción, vida y muerte. Se trata de un mundo donde se pueden reciclar solenoides y cerebros electrónicos. Según Mansfield, los robots son entidades autoorganizativas que simbolizan la evolución de formas de vida artificial que exploran ciclos infinitos de metamorfosis. Los robots acabarán convertidos en una vasta mente colmena en el año 2130. El fanático del Lego Andrew Lipson ha creado numerosas cintas de Móbius y ha relacionado nudos y superficies usando piezas de LEGO. Para generar esas obras de arte, Adrew escribe programas informáticos para guiarse durante la confección de la figura global. Experimenta con parámetros del programa hasta que concibe un objeto atractivo y con muchas probabilidades de mantenerse en equilibrio.

7.22 «Un Doctor Mobius de Mobius», de Brian Mansfield.

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7.23 Cinta de Mobius con robots, de Brian Mansfield.

La figura 7.24 es la cinta de Mobius de LEGO de Lipson, por cuya superficie deambulan varios hombrecillos. La figura 7.25 es una figura de LEGO en forma de nudo en ocho, un nudo que ya se comentó en el capítulo 2. El modelo en forma de ocho se cuenta entre las esculturas más difíciles debido a la longitud y amplitud de las curvas que deben permanecer s11spendidas en el espacio sin ningún apoyo. La figura 7.26 es 1111 a botella de Klein de LEGO en la que el asa se adentra en la pared principal de la botella, tal como ilustra la sección transversal de la figura 7.27, creada también con fichas de LEGO. El modelo de la sección transversal de Lipson se abre realmente ron bisagras para poder ver lo que él denomina el «tracto digestivo» de la botella de Klein. Eligió un color distinto para las fichas superiores e inferiores de la figura con la intención ele acentuar la intersección en la que se cruzan ambos tubos. Tal como vimos ya en la figura 6.3, cada mitad de la botella es, desde un punto de vista topológico, una banda de Mobius.

7.24 Banda de Mobius de LEGO, © Andrew Lipson. 7.25 Construcción con fichas de LEGO de un nud o en oc-11 0, © Andrew Lipson. ~ '. \!)

volt'11ncncs '/'/u1 Matlt1 matim OuirieBoohfor OmfJltics y goza de 1111 amplio reconocimiento por sus conocimientos enciclopúlicos de matemáticas y acerca de casi cualquier aspecto del paquete informático Mathematica. 1

7.26 Botella de Klein de LEGO,© Andrew Lipson.

7.28 Engranajes de Móbius, © Michael Trott, reproducido con pe rmiso. Adaptado a partir de la Solución l 9c de la obra de Michael Trott The Mathematica GuideBook for Graphics (Springer, 2004).

El programador informático y escultor digital Tom Longtin ha experimentado con interpretaciones artísticas de ba ndas de Mobius que incluyen engranajes, nudos de trébol y combinaciones de cintas de Mobius y nudos de trébol. Las li guras 7.29 a 7.34 muestran obras suyas. La mayoría de los modelos para estas imágenes se creó usando el programa de modelado del propio Tom y se plasmó utilizando un paquete informático llamado RenderMan en una computadora SGI. De hecho, las computadoras ofrecen un recurso muy capaz para la expresión artística. Las páginas de Tom en Internet, www.sover.net/ ~tlongtin/, muestran otros ejemplos. Aunque la figura 7.29 se revela más bien compleja, aún onserva la esencia de la banda de Mobius. Si se toma una banda de papel, se gira 180 grados uno de los cabos respecto d el otro (medio giro) y se unen ambos extremos, entonces todos los perfiles de ruedas dentadas de esta figura se podrían trazar sobre la superficie y se podrían recortar los huecos. La figura 7.30 representa una tira de papel con un giro de 540 grados (tres medios giros) antes de formar con ·lla un nudo y unir sus dos extremos. Una vez que Tom crea el motivo básico, practica agujeros en la banda, la cual con1ambién

7.27 Sección transversal de una botella de Klein confeccionada con fichas de LEGO, © Andrew Lipson.

Internet ofrece toda clase de recetas para crear bandas y ropa de Mobius. Por ejemplo, el científico informático de Nueva Jersey Mark E. Shoulson describe un modo de confeccionar una banda de Mobius sin costuras, elaborada con punto o ganchillo. Su página también lo muestra a él posando con una kipá en la cabeza en forma de banda de Mobius. La figura 7.28 es una imagen congelada de la animación por ordenador creada por el físico Michael Trott para mostrar engranajes entrelazados que se van girando a medida que recorren una banda de Mobius. Los engranajes se disponen en dos círculos que permiten encajar el «primero» y el «Último» de manera que se sincronicen. Trott se doctoró en física teórica del estado sólido por la Universidad Técnica de Ilmenau, Alemania, y forma parte de la plantilla del Wolfram Research desde 1994. Es autor de la obra en cuatro !VIO

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serva la topología inicial Lanto de nudo de tr('bol como de banda de Móbius. La figura 7.31 consiste en una tira de papel con tres medios giros con la que después se ha formado un nudo enlazando los extremos. También esta forma es una banda de Móbius y un nudo de trébol al mismo tiempo. La figura 7.32 es una representación desmembrada del modo en que encajarían piezas de puzle en una banda de Móbius. La figura 7.33 es un nudo de trébol clásico con piezas de puzle hexagonales dibujadas sobre la superficie. La figura 7.34 representa una banda de Móbius con agujeros. En esta disposición peculiar, una banda de Móbius se enrolla sobre sí misma. En una banda de Móbius convencional de papel, se completaría una vuelta a la vez que se da un giro de 180 grados. Esta exige dos vueltas completas para girar 180 grados. Al igual que la banda de Móbius tradicional, esta figura tenía una sola cara y un solo borde antes de practicarle los orificios.

7.32 Puzle de Mobius de Tom Longtin. 7.33 Puzle de trébol de Tom Longtin.

7.34 Objeto en forma de banda de Mobius con orificios de Tom Longtin y Rinus Roelofs. 7.29 Engranajes de Mobius de Tom Longtin. 7.30 Banda de Mobius y nudo de trébol con engranajes de Tom Longtin.

7.31 Puzle de Mobius y de nudo de trébol de Tom Longtin.

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7.35 Banda de Mobius y nudo de Rob Scharein. 7.36 B<111d:1 de Miibius y nudo de Rob Scharein.

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7.37 Banda de Móbius y nudo de Rob Scharein.

Rob Scharein, un investigador que desarrolla paquetes informáticos educativos para visualizar cuestiones matemáticas y científicas, aúna el amor que siente por el arte y las matemáticas al crear las bandas de Mobius enlazadas y anudadas de las figuras 7.35 a 7.37. Todas las tiras de estos diagramas son como la banda de Mobius (es decir, superficies no orientables). Scharein utiliza el software a medida Knot-Plot para confeccionar estos trazados, y anima a los lectores a experimentar por sí mismos con este programa que se puede descargar gratis de la página de Internet de KnotPlot (www.pims.math.ca/knotplot/). Entre otras cosas, él utiliza este programa para comprobar que todas las bandas son no orientables ¡porque no desea verificar a simple vista algunos de sus nudos más complejos! Rob es, además, uno de los mayores expertos mundiales en la visualización de nudos extremadamente complejos como los mostrados en las figuras 7.38 y 7.39.

7.39 Nudo complejo de Rob Scharein.

Tej a Krasek, una artista eslovena muy conocida, emplea a su tiempo en la creación de esculturas de bandas de Mobius adornadas con teselados de Penrose (figura 7.40). Este patrón de teselas, descubierto por el físico matemático inglés Roger Penrose, puede cubrir por completo una superficie in finita, pero solo con un patrón aperiódico (no repetido). l•'.n otras palabras, el patrón del embaldosado no se repite d e manera periódica como los dibujos que forman las baldosas hexagonales en el suelo de algunos baños. Al embaldosar la banda de Mobius, Teja usa dos formas distintas de teselas, :i unque cada una tiene cuatro lados de la misma longitud. Fn concreto, un azulejo en forma de rombo tiene cuatro vértices con los ángulos de (72, 72, 108, 108} grados, y el o tro tiene ángulos de {36, 36, 144, 144} grados. Al formar ('( embaldosado de Penrose, no pueden tocarse dos teselas de manera que formen un solo paralelogramo. A pesar d e esta restricción, existe una cantidad infinita de maneras d e (·mbaldosar un plano infinito sin dejar ningún hueco en el a licatado. El patrón resultante siempre será aperiódico, d e modo que el patrón jamás se repite exactamente. Los cien1 íf icos conocen numerosos cuasicristales en el mundo real c uyos á tomos siguen el mismo patrón de distribución que e l (· m baldosad o d e Pen rose .

7.38 Nudo complejo de Rob Scharein.

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7.40 Embaldosado de Penrose en una banda de Mobius. Escultura de Teja Krasek.

Naturalmente, Teja se enfrenta a numerosos retos para crear un embaldosado de Penrose sobre una cinta de Mobius. Por ejemplo, debe asegurarse de que las teselas encajan perfectamente cuando ambos «extremos» de la banda se encuentran para formar el objeto final de una sola cara. Además, Teja diseña el embaldosado de manera que los segmentos aparentemente triangulares de los bordes de sus esculturas formen el rombo pertinente cuando se unan ambos bordes. Pero otro reto consiste en pintar la banda de Mobius-Penrose con tan solo tres colores. En el año 2000, los matemáticos Thomas Sibley y Stan Wagon demostraron que una configuración planar de azulejos como estos se puede colorear con tan sol() tres tonos, de tal manera que las teselas adyacentes reciban colores distintos. Cuando Teja crea estas esculturas, comienza dibujando o imprimiendo patrones en papel, tanto en su forma original como en su versión especular. Cuando las teselas se incorporan al fin a la banda, tiene que pegar la misma pieza por ambos «lados» de la banda de manera que las baldosas pintadas de un lado ocupen la misma posición y porten en el mismo color que las situadas en el lado «opuesto». En la actualidad está trabajando con materiales translúcidos que le permiten ver la misma baldosa por ambos lados, lo cual le ahorra trabajo y salud mental. En su página de Internet, ~;j ()

http:/ / Lejakrasek.Lripo
7.41 Bandas de Mobius plateadas y doradas para decorar el árbol de navidad, de Teja Krasek.

Durante un concurso de esculturas con nieve celebrado en 2005 en Breckenridge, Colorado, un equipo de escultores presentó una banda de Mobius dividida en dos y con tres giros diseñada por el científico computacional Carlo H. Séquin, de la Universidad de California en Berkeley (figura 7.42). Aparte d e Séquin, el equipo que modeló la nieve estuvo formado por los matemáticos Stan Wagon, de Macalester College en St. Paul (Minnesota); John Sullivan, de la Universidad Téc11 ica de Berlín; Dan Schwalbe, de Minneapolis; y Richard Scclcy, de Silverthorne (Colorado). Los escultores partieron
dos primeros días únicamenle a relirar la miLad ele l~1s vcint<: toneladas de nieve que contenía el bloque para conseguir u11 ligero boceto de una banda con tres giros.

7.42 «Knot-Divided», talla en nieve del Equipo de Minnesota, Breckenridge, Colorado, 2005. (Diseño: Carlo H. Séquin, U. C. Berkeley; fotografía de Richard Seeley).

Música de Mobius Tal y como se comentó en el capítulo 6, si emprendiéramos un viaje por el interior de un universo de Móbius, regresaríamos al punto de partida con los lados izquierdo y derecho invertidos. Al recorrer de nuevo la cinta, volveríamos al punto de partida con los órganos corporales recolocados de acuerdo con su orientación habitual. De manera semejante, se puede crear música de Móbius pegando una partitura musical a una banda de Móbius. La música se toca del modo habitual durante una primera interpretación. Cuando los músicos llegan al punto de partida, se vuelve a interpretar la misma partitura pero con cierta variación geométrica. Por ejemplo, la segunda vez, la partitura sería especular o se interpretaría cabeza abajo. !,! ,¡8

Johann Scbaslian Bach escribió música parecida a la d" Mübius en su Canon del Cangrejo, el cual permite interpretarlo desde el principio hasta el final y, a continuación, colocar la partitura boca abajo para volver a tocarla. El compositor austrohúngaro Arnold Schónberg experimentó varios siglos después con los cánones de cangrejo, los cuales denominó «cánones especulares». Aunque Schónberg fue un genio de la música desde una edad temprana, algunas de sus obras más inusitadas no fueron bien recibidas. Cuando se interpretó su Primera Sinfonía de Cámara durante un concierto en 1913, la audiencia lo abucheó. Más tarde en el transcurso de aquel mismo concierto, durante la interpretación de algunas canciones del co mpositor austriaco Alban Berg, estallaron peleas y hubo CJUe llamar a la policía para mantener el orden. Schónberg, además de pintor excelente, también era supersticioso y abominaba del número trece. De hecho, lituló una de sus óperas como Moisés y Arón, en lugar de Moisés y Aarón (eliminando una a) porque la transcripción ·orrecta del título en alemán sumaba trece letras. El compositor y lingüista ruso-estadounidense Nicolas Slonimsky se inspiró directamente en la cinta de Móbius. Dos cantantes y un pianista interpretaron por primera vez su «Striptease de Móbius» en 1965 en Los Ángeles. He aquí algunos versos de esa pieza: ¡Ah, Profesor Móbius, glorioso Móbius! ¡Ah, adoramos su topológica y, oh, tan lógica banda! ¡Con un lado interior, y exteriores, dos! ¡Ah, eufórico, glorioso striptease 2 de Móbius! En la partitura constan las instrucciones: «Cópiese la

l ~ n in g lés, la banda ck Miibi11s se d e n o min a Mobius strip, d e ahí e l juego d e p:dabrns co n ti 1{· n11i110 .1/1 i/1/l'l/\t'. (N . el(' la T.).

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música para cada intérprete sobre una banda de carLulina 110-b, de 68 por 6 pulgadas. Gírese la banda media vuelta para confeccionar una cinta de Mobius». La canción era, en esencia, un canon vocal perpetuo escrito sobre una banda de Mobius para que rotara a la altura de la cabeza de cada cantante durante la ejecución de la pieza. Nicolas Slonimsky ( 1894-1995) provenía de un largo linaje de intelectuales judíos por parte de madre y de padre. Entre sus parientes y antepasados figuraban novelistas, poetas, críticos literarios, profesores de universidad, traductores, expertos en ajedrez, economistas, matemáticos, inventores de inútiles idiomas artificiales, eruditos en hebreo y filósofos. Slonimsky siempre tuvo grandes aspiraciones, y de adolescente escribió su propia biografía futura en la que especulaba (de manera poco precisa) con que moriría en 1967. En 1945, Slonimsky ingresó como profesor de lenguas y literaturas eslavas en la Universidad de Harvard. Sus composiciones musicales se centraron en estructuras raras, y algunas de sus canciones tomaban el texto de lápidas sepulcrales. Su obra orquestal titulada My Toy Balloon ( 1942) consistió en una variación de una canción brasileña cuya partitura incluía instrucciones para explotar cien globos de colores en el clímax. Slonimsky también fue famoso por su «acorde abuela», que consistía en doce tonos diferentes y once intervalos distintos. En la actualidad existen varios grupos musicales que llevan «Mobius» en su nombre. La Mobius Band de Massachusetts es un trío de música contemporánea que usa instrumentos tradicionales (guitarra, bajo, batería y voz) e instrumentos electrónicos modernos (sintetizador, mezclas y percusión electrónica). La Mobius Band no debe confundirse con el Mobius Donut, un grupo de música muy melódico y a la última procedente de Oakland, California. El músico coreano Jo Yun, de la islaJaeju, utilizó múltiples sintetizado-

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y u11a guitarra acús ti ca para crear su CD titulado Mobius

Sl'rifJ. El á lbum comienza con tañidos de campañas de iglesia, los cuales se transforman en un ritmo tribal con tambores. l ,a contracubierta del álbum tiene cuatro solapas separadas, cada una de las cuales porta la imagen de una pluma de

pavo. La canción «The Mobius Loop» («El bucle de Mobius») d el músico Peter Hammill tiene letras como «Ahora te atrapan la indecisión y la incertidumbre ... ¿Cómo vas a tomar partido ahora que estás dentro del bucle de Mobius?». lnfinity Minus One, una banda de rock duro y metal de Boston, grabó su primer CD, Tales from the Mobius Strip («Historias de la banda de Mobius»), en 2002. Su música tiene influencias dive rsas, que incluyen rock, metal, bandas sonoras cinematográficas y videojuegos. División de configuraciones endiabladas La figura 7. 43 muestra tres construcciones con bandas de papel r¡ue implican «brazos» girados y un agujero. ¿Qué cree usted que sucede al recortar el agujero central de estas figuras por la línea de puntos? La primera configuración posee un enlace girado, la segunda tiene dos medios giros hacia la misma dirección, y el tercer diagrama muestra un objeto con dos medios giros en direcciones opuestas. Para facilitar la visualización de las configuraciones, fJruebe a confeccionar las bandas con papel y a llevar a cabo los experimentos. La manera más sencilla de crear los modelos consiste en cortar dos zonas ovales, tal como ilustra la figura 7. 44. Las líneas punteadas son las que servirán de guía para efectuar el corte 'una vez montada la estructura. Para f armar el bucle cerrado, basta con unir los dos extremos después de aplicarles el número deseado de medios giros. ¿hs usted capaz de predecir qué ocurrirá si se cortan por la línea de /Jun tos los dos objetos de la figura 7. 45? En este caso construiremos

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dos arvs de la rnisrna longitud y andtum. /~'n u:na rw~figurrttióu, uno de los aros está girado. Para crear estasformas, corte un trozo rü papel en forma de X y a continuación una los extremos.

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l .11 handa de Mobius en Ja sicología la~ relaciones humanas Para el superviviente, dijo, la memoria es como una banda de Mobius. Pasado, presente y futuro se unen, y las experiencias ubicadas en cualquier lugar del lazo quedan accesibles. En la terapia, tenemos la oportunidad de viajar por el bucle, tocar la experiencia pasada, y conectarla con el presente. En otras palabras, podemos convertirnos en topógrafos de nuestra propia vida.

Marjorie Levenson, «The Mobius Strip» Langdon sonrió. «Usted debe de dedicarse también a la enseñanza».

7.43 ¿Qué sucede al cortar el agujero central por la línea de puntos?

s~ ~~ 7.44 Construcción de las configuraciones endiabladas.

«No; pero aprendí de un maestro. Mi padre era capaz de defender que la banda de Mobius tiene dos lados». Langdon rió imaginando la habilidosa confección de una banda de Mobius, un anillo girado de papel que técnicamente poseía una sola cara.

Dan Brown, Ángeles y Demonios Con un conjunto impresionante de imágenes, Rilke nos brinda un mapa de lo sano propio de un místico, donde la realidad interior y exterior fluyen de manera ininterrumpida de la una a la otra, wrno las superficies eternamente fundidas de una banda de Mobius, co-creándonos infinitamente a nosotros y al mundo que habitamos.

ParkerJ Palmer, The Courage to Teach: Exploring the

Inner Landscape of a Teacher's Life

7.45 ¿Qué sucede al cortar por las líneas de puntos?

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/ ,11, l<ígim dt' Fmul f'm 11,'11,a auth1,tú:a banda rlt1 M6bt'/I,.\' l'O'l l,

arp,wnumto cin:u la:r: Cuando los /Jacientes obedecían a su insisttmtiri en que recordaran referencias sexuales tempranas, los calificaba de astutos; cuando no lo hacían, decía que se resistían y se reprimían ante la verdad.

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LIBROS Y PELÍCULAS

Thomas Lewis, Fari A mini y Richard Lannon, Una teoría general del amor A medida que las escenas (y los amantes) se enfrentan entre sí, la esperanza choca contra la tristeza, la ambición retumba frente a la frustración, un matrimonio se precipita contra las rocas y vuelve a ensamblarse solo para romperse de nuevo. El efecto es como si retorciéramos un anillo de boda para convertirlo en una banda de Mobius.

Chris Page, «Clever Device, Not a Moving Story, Fuels "The Last Five Years"», Get Out 2005

[Mobius no tenía] ningún corpus de profundos teoremas ... sino un estilo de pensar, una filosofía de trabajo para practicar matemáticas con efectividad y concentrarse en lo importante. Este es el legado moderno de Mobius. No podríamos pedir más.

Jan Stewart, «Mobius's Modern Legacy» en Móbius and His Band Cuando un hombre y una mujer se unen como amantes, aparece una infinidad potencial de relaciones que, como la banda de Mobius, no tiene principio ni fin ...

Carol Berge, A Couple Called Móbius: Eleven Sensual Short Stories «Quienes practican el striptease de Mobius jamás enseñan el trasero».

Chiste que circula por Internet

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Historias de Mobius: la literatura de las superficies no orientables Existen tantas historias en las que la banda de Mobius desempeña un papel relevante que lo que exponemos a continuación no es más que una muestra de algunas referencias a Mobius en libros y películas. Las historias centradas en la banda de Mobius tuvieron su auge durante la década de 1940, de modo que iniciaremos nuestro viaje ahí. Uno de los relatos cortos más antiguos e ingeniosos sobre la banda de Móbius lo representa el titulado «No-Sided Professor» de Martin Gardner (1946), aparecido en la obra de Clifton Fadiman Fantasía Mathematica. En aquella narración, ciertos miembros de la Asociación Móbius (una organización de matemáticos dedicados al campo de la topología) se encuentran con un tal doctor Stanislaw Slapenarski. Mientras cenan reunidos alrededor de una mesa repleta de servilleteros bañados en plata con forma de cintas de Mobius y tazas de café en forma de botellas de Klein, el doctor Slapenarski explica su impresionante descubrimiento topológico. La charla del doctor Slapenarski comienza desvelando el «tratado menos conocido» de August Mobius, que versa sobre cómo convertir un bucle ordinario con dos lados, en una banda de Mobius de una sola cara. En este (mítico) tratado, Móbius afirma que no existe ninguna razón teórica que impida a una superficie perder ambos lados para convertirse en una superficie ¡sin ninguna cara! El profesor mira fijamente a su absorta audiencia, y explica que es difícil imaginar una superficie sin ninguna cara, pero eso no quiere decir que no sea real o práctica. En las matemáticas hay muchos conceptos inconcebibles, incluida la geometría con muchas dimensiones, pero eso no es «Un motivo para negar su validez o utilidad en las matemáticas y la física moderna». Es más, incluso una superficie de una sola cara resulta inconcebible a cualquiera que no haya visto y manipulado 256

1111:1 l>a11da de Mübius. E.1 profesor explica que la gente qu" 11:1 t~·nido la oportunidad de juguetear con una cinta de Mt>hi11s , en ocasiones tampoco ha sido capaz de comprender 111 ,,. qu é tiene una sola cara. Visto lo cual, el hecho de que no 1 011sigamos imaginar un objeto no significa que no exista. l<'. I profesor procede entonces a doblar un trozo de papel p:1ra c rear una «superficie de Slapenarski» mediante un j 11 trin cado procedimiento que requiere tijeras, pegamento papel de color celeste. Al final de la secuencia de plegado, w n ríe a la audiencia y oprime uno de los extremos sobres: d ie ntes del papel contra el otro, y entonces ¡la figura de p:ipcl se desvanece en sus manos! Se ha convertido en una Mii pc rficie de cero caras. Cuando los matemáticos del recinto opin a n que aquello no es más que un truco de salón, Slape11 :1rski monta en cólera y con gesto enérgico pliega a uno de 11 >s matemáticos manipulándole los brazos y las piernas hasta r o11vertirlo en una superficie sin ninguna cara. El matemát Í<'O desaparece y tras de sí solo deja su ropa. El público da 1111 g rito contenido y a continuación estalla el caos. l•'. n el relato corto de 1946 de Arthur C. Clarke titulado .. l•'. I muro de la oscuridad», los protagonistas viven en un 1111iverso consistente tan sólo en una estrella y un planeta llamado Trilorne. Un muro misterioso e impenetrable circ1111da toda la región habitable de Trilorne, un mundo en el e pi e toda exploración se ve limitada por el muro, que parece t•x. tc nderse hasta el firmamento. Todas las civilizaciones de 't'ril o rne se han preguntado siempre que habrá al otro lado dt'I muro. Algunos filósofos de Trilorne dicen: «Descubri1t•111os lo que hay más allá cuando muramos, porque ese es c·I lu gar al que van los muertos». Otros sostienen: «Tras el 11111ro reside la tierra donde vivíamos antes de nacer. Si nuest r:i memoria pudiera remontarse tan atrás conoceríamos las 1('S pu estas». A alguna gente sabia le preocupa que el muro sc· construyera para evitar que algo peligroso penetrara en s11 11111ndo. /\1 final, un hombre rico y un ingeniero amigo suyo hallan 2fí7

el modo de escalar e l muro mediante la constrncri<'>n
( 1!H!l), del mismo autor, mineros extractores de

un11110

11s:tn 11na cinta transportadora de 1 kilómetro y medio de l.1rgo y co n forma de cinta de Mobius para transportar el 111i11 cral. Los protagonistas de la historia discuten detenid:11nente qué ocurriría si hubiera que cortar la cinta para hacerla más larga. Como la mina aumenta, Bunyan decide 1·ortar la banda por el centro en sentido longitudinal para i11rrementar su longitud. «Eso nos brindará dos cintas», dijo Ford Fordsen. «Tencl remos que cortarlas en dos partes en diagonal y unirlas entre sí. Esto significa que tendré que ir al pueblo y comprar los materiales para realizar dos empalmes.» «No», dijo Paul. «Esta cinta tiene medio giro, lo que la convierte en eso que en geometría se conoce como cinta le Mobius.» Los mineros reanudan la discusión cuando se ven obligalos de nuevo a prolongar la cinta y se plantean que resultados obtendrán al cortar la banda ampliada. Cuando A. J. Deutsch escribió «Un metropolitano llamado Mobius» en 1950, pertenecía al departamento de astrono111ía de Harvard. Probablemente empezaba a hartarse del tráfico durante el trayecto al trabajo cuando escribió esta li istoria sobre la red de metro de Boston, la cual se vuelve tan compleja y embrollada que al final ¡forma una banda de Móbius que atraviesa dimensiones! Parte del metropolitano permanece en nuestro mundo mientras uno de los bucles se adentra en una dimensión superior. Los trenes traquetean aparentemente cerca, pero no se ven. Al intentar explicarlo, uno de los personajes de la historia afirma que un tramo 11 uevo de vía «ha transformado la conectividad de toda la n:d de metro en un orden tan elevado que no sé calcularlo. Sospecho que la conectividad se ha vuelto infinita». La película de 1996 Mobius, dirigida por Gustavo Mosque ra, está protagonizada por un tren de la red de metro <

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de Buenos Aires que se esfuma de repente. La tranrn presenta muchas similitudes con «Ün metropolitano llamado Mobius». Como la red de metro ha experimentado tantos añadidos y se ha vuelto tan extensa, nadie es capaz ya de reproducirla, ni siquiera los ingenieros que la crearon. Un día desaparece un tren y la gente lo oye pasar veloz sobre las vías sin que, al parecer, logren encontrarlo jamás. El encargado del metropolitano intenta explicar este fenómeno y llama al ingeniero responsable del incremento de la complejidad del metropolitano para hablar con él. El ingeniero se resiste y manda a Daniel, un matemático amigo suyo, a hablar con el encargado para que ayude en la investigación. Daniel intenta hacerse con los planos del trazado del metro a través de un misterioso doctor Mistein, quien, por desgracia, no está en casa y permanece ilocalizable. Daniel estudia el problema y llega a la conclusión de que la red de metro se ha vuelto tan compleja, con los innumerables añadidos que ha experimentado con los años, que sin querer se ha formado una banda de Mobius gigantesca, y el tren perdido se encuentra ahora atrapado en el bucle de la banda. El encargado del metropolitano se mofa de la idea de la cinta de Mobius pero decide clausurar la red de metro con la intención de evitar más desapariciones. Aunque las teorías de Daniel no son tomadas en serio, él prosigue con la investigación del metropolitano. La mayor parte de la película discurre dentro de los túneles del metro, los cuales recorre Daniel con la finalidad de hacerse una idea del trazado de la red. U na noche en que sube a un metro para volver a casa, descubre ¡que va a bordo del tren perdido! Camina hasta el primer vagón del convoy y descubre que lo conduce el desaparecido doctor Mistein. Si bien la idea de la desaparición de un tren del suburbano procedía del relato «Ün metropolitano llamado Mobius», Mosquera concibe la idea del tren perdido como una metáfora de la gente que desapareció durante los periodos de 260

dk1adura en Argentina. Mosqucra dice que sus estudios d<" ingeniería durante la escuela secundaria lo ayudaron .. :1 apreciar las matemáticas y las ideas abstractas, así como la producción artística de gente como M. C. Escher [de 111anera que los conceptos] empezaron a encajar entre sí» c·11 su película. De hecho, la cinta está protagonizada por un lllt1temático (algo raro en las películas de estos días) y en C' lla aparecen diversas referencias a conceptos avanzados de g(·ometría. Mosquera recurrió a cuarenta y cinco estudian! n; para encontrar emplazamientos adecuados para llevar :1 cabo el rodaje; uno de esos lugares fue una estación de 111c.;tro abandonada de Buenos Aires. 1,a banda de Mobius se menciona también en «A con11a rreloj », un episodio de Star Trek: The Next Generation. La 11 :lVe estelar estadounidense Enterprise se encuentra con un < ap itán Picard mudo e inquieto procedente de seis horas <' ti el futuro. El Picard actual teme que alguna decisión suya lomada en el futuro los haya sumido a él y la tripulación en 1111 ciclo interminable en el que una vieja Enterprise redes' 11bre sin cesar un Picard procedente del futuro. En el epiHodio, el teniente Worf señala: «Existe la teoría de Mobius, 1111 giro en tejido del espacio donde el tiempo se convierte c·n un bucle del que no se puede salir». Geordi responde: · I)e modo que, cuando lleguemos a ese instante, volverá .1 ocurrir lo mismo que ya haya sucedido ... El Enterprise se d('struirá, el «otro Picard» regresará para encontrarse con 11osotros y volver a repetir lo mismo de nuevo. Suena a la definición del infierno». Diversas historias escritas para niños o jóvenes incorporan l.1 banda de Mobius en la trama. La obra The Secret Lije of ,\111anda K. . Woods (1998), de Amy Cameron, exhibe una h:111da de Mobius en la cubierta. El personaje principal, 1111a niña de once años llamada Amanda y procedente de Wisronsin, es un prodigio en matemáticas. Cierto día, los p:1drcs matemáticos de un amigo le dan a Amy una banda d<' Móbius para que l;.i examine. Ella comprende de inme:.di 1

diato que tiene una sola cara y le dicen: «Se llama banda ck Mobius. Es importante en geometría. Y, también en la vida , a veces sucede que lo de fuera se vuelve lo de dentro, y lo de dentro se vuelve lo de fuera». La banda de Mobius se convierte para Amanda en una metáfora de la sabiduría, la consecución de la madurez y la capacidad de enfrentarse a exigencias contrapuestas. El libro de Mark Kashino titulado The ]ourney ofMobius and Sidh (2002) incluye una banda de Mobius de 90 centímetros de longitud que lleva impresos los momentos culminantes de la historia. La banda está plastificada para usarla repetidas veces y el libro incluye, además, un rotulador deleble . El editor afirma: «Las peculiares características de la banda de Mobius parecen una metáfora extraordinariamente adecuada de lo que nos pasamos buscando toda la vida. Los personajes no pertenecen a ninguna etnia y son de múltiples colores». Otro uso biológico creativo de una cinta de Mobius en ciencia ficción figura en mi novela The Lobotomy Club (2002). En el libro, un neurocirujano llamado Adam descubre que cierta topología de Mobius en las neuronas del cerebro crea un portal de acceso a nuevas realidades. He aquí un retazo del diálogo que mantienen Adam y una bella mujer llamada Sayori: Adam cerró los ojos. «¿Por qué estoy aquí?». Ahora Sayori acariciaba el gato, el cual se desperezó a su lado y ronroneó. «Estoy al tanto de su labor en el campo de la BMC -la Banda de Mobius Cerebral-». La mujer parecía parpadear siempre que lo hacía el gato. Kierkegaard se afanó en buscar algo dentro de un recipiente usado de comida china, y a continuación tiró la caja a la basura. Se conformó con un trocito hexagonal del color de las algas. Wasabi lanzó una mirada curiosa de Adam a Sayori. «¿BMC?». 262

Sa yori asinlió. «La J3MC es una Lopología y red neuronal 1·s pecial que el doctor Wolf halló en el cerebro de varios s:1ce rdotes después de que sufrieran visiones en éxtasis, convulsiones, y fallecieran un día después. Dos monjes 1ibc Lanos comunicaron el mismo tipo de visiones y tambi é n murieron». lkura dejó de masticar el chicle. «¿Por qué se formó la BMC en esta gente?». Sayori acarició la mullida barriga del gato. «No lo sabe1nos», dijo. «Sabemos que les permitió experimentar sensaciones trascendentes e intensificar de maneras diversas la percepción de la realidad. Adam llamó Banda de Mobius Ce rebral a esta alteración de las conexiones porque las neuronas se vuelven hacia atrás sobre sí mismas formando 1111 ocho». 1,os personajes del libro descubren que nuestra realidad d(' fondo es una ilusión, y que la BMC los puede ayudar a vivir lo que podría ser una realidad más verdadera. Adam .1 rc pta contribuir a inducir la BMC en el cerebro de los 111i e mbros del Club de Lobotomía (Lobotomy Club) para qu e se asomen con seguridad a mundos nuevos. Mi animal preferido con forma de banda de Mobius en la li1cratura lo constituye la vaca llamada Moobius, de la obra Natterland (2001) de Ian Stewart. Moobius es inteligente y posee una cola de una longitud extraordinaria que le llega hasLa la cabeza. La cola está unida al hocico, y Moobius e xplica que tiene dos lados considerada localmente pero qu e, al mirarla en su conjunto, el bucle de la cola hace que los dos lados se conviertan en uno solo. · fal vez el libro más sexy con el nombre de Mobius en el 1ítulo lo constituya Mobius Stripper (1992) de Bana Witt, que narra las aventuras de una mujer en el mundo marginal dd sexo y las drogas de San Francisco durante la década de 1\)70. La obra comienza con un narrador de diecinueve años < p•<· se plantea la posibilidad d e ac tuar en películas porno. :.! 6:1

La trama incluye una colección fascinan te de breves fragmentos de la vida del propio autor, entre los cuales figuran experiencias sexuales y bajo los efectos de las drogas. El libro es bastante animado y nada apto para timoratos. Obras literarias con estructura de banda de Mobius La banda de Mobius no solo aparece en películas y libros, sino que se ha empleado como modelo para crear tramas con extrañas circunvoluciones. En la literatura con estructura de Mobius, la trama se vuelve en ocasiones recurrente, un eco de sí misma, o los personajes regresan al comienzo de la historia ligeramente cambiados, como en la obra de Frank Capra Qué bello es vivir ( 1946), donde George Bailey tiene la oportunidad de regresar a una época pasada de su vida con una sabiduría renovada. Desde luego, esto no constituye una banda de Mobius en un sentido estrictamente matemático, pero mucha gente ha utilizado la metáfora de esta cinta para describir esos extraños circuitos argumentales que a menudo resultan tan misteriosos y conmovedores. Por ejemplo, la novela de 800 páginas Dhalgren, del escritor de ciencia ficción Samuel R. Delany, está repleta de alusiones como las de la banda de Mobius. Uno de los personajes principales, Kidd, escribe un libro que podría ser el propio texto real de Dhalgren. De tanto en tanto, el fluir del tiempo parece detenerse. Kidd camina en una dirección y termina yendo en otra. Los emplazamientos de los edificios cambian. Los días pasan en un abrir y cerrar de ojos y, en algunos lugares, los segundos duran horas. El último capítulo se centra en un cuaderno que encuentra Kidd. Kidd escribe en los márgenes y parece haber escrito en ellos antes de descubrir la libreta. Al final, el cuaderno se engulle a sí mismo y el mundo se destruye. El libro acaba con una frase incompleta muy parecida a la que abre la obra, como si la trama discurriera por un bucle de

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Mtlbius d e manera que el final reproduce el co 111ie11zo 1111os personajes que han invertido sus papeles.

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J•,'n busca del tiempo perdido ( 1913), de Marcel Prous t, lambi é n exhibe bucles de Mobius mayores y menores cuando

el protagonista, Marcel, regresa al pasado para reflexionar sobre su propia vida. En ocasiones, el tiempo parece ausentarse por completo de la obra de Proust. Pasa cientos de páginas examinando la naturaleza y las ideas de un personaje o una situación, mientras transcurre un mínimo de tiempo. l''.n «Proust's Ruined Mirror»,Jonathan Wallace escribe: «En la novela de Proust, el tiempo es un río en el que nadan los personajes; este tiende a arrastrarlos en su fluir pero, como peces, en ocasiones se dan la vuelta y se esfuerzan por avanzar a contracorriente». La mayor aspiración de Proust fue viajar en el tiempo para recuperar el pasado con los recuerdos y las personas perdidos. En ciertos aspectos, En busca del tiempo /wdido se asemeja a un fragmento de espacio-tiempo que contiene pasado, presente y futuro. En este fragmento, el lector y Proust pueden explorar la historia del mismo modo que si recorrieran un palacio hiperespacial, deambulando por el tiempo y el espacio a través de estancias ancladas en distintas épocas. La obra de Proust se centra también en varios recorridos f'ísicos a través de una localidad que insinúa una banda de Mobius. En concreto, el personaje de Marcel rememora aquellos primeros años de su vida que pasó con familiares en la localidad de Combray. En un extremo de la casa de su tía hay una puerta que conduce a un sendero llamado el camino de Méséglise, también llamado el camino de Swann. La otra ('Onduce al camino de Guermantes. A un nivel concreto, se trata de meros recorridos que atraviesan el pueblo y por los que pasea a diario la familia de Marcel. Una ruta conduce a la propiedad de la adinerada familia Guermantes, la otra conduce a la propiedad de la familia Swann, de clase media. F.n cambio, para Proust representaban mucho más: diferentes direcciones vitales y las elecciones que tomamos. Al final ~()!)

de su obra maeslra, el narrador, ya env<.¿jc('ido, v11dve a visitar Combray y descubre un atajo que une ambos senderos. Ahora repara en que, después de todo, ambos «caminos» están conectados. De ahí que, para mí, el camino de Méséglise y el camino de Guermantes estén unidos para mí a tantos acontecimientos insignificantes de aquella vida particular que forma parte de todas las que vivimos paralelamente, esa vida repleta de acontecimientos, la más rica en avatares, la vida mental. Aunque el sendero de Guermantes conduce a la elegante hacienda de la aristocrática familia Guermantes, Proust nunca parece llegar realmente hasta la hacienda porque dista demasiado para ir a pie. Por tanto, una ruta representa un trayecto hacia lo corriente, mientras que la otra simboliza un recorrido hacia los confines más lejanos del espacio, el tiempo y la mente. En mi libro Sex, Drugs, Einstein, and Elves, profundizo en más detalles de la obra de Proust. La comedia Seis personajes en busca de autor ( 1921), del siciliano Luigi Pirandello ( 1867-1936), también tiene un bello argumento mobiusiano. Los protagonistas de la comedia son seis personajes creados por un autor pero abandonados en una obra teatral inacabada. Aparecen durante el ensayo de una obra de Pirandello y le insisten al director para que les deje representar su obra con la finalidad de que puedan realizarse como personajes plenos. Al final, el director acepta convertirse en autor de su nueva vida. Durante el desarrollo de la obra con estos seis personajes, algunos de ellos mueren y el director no es capaz de distinguir si están actuando o si mueren de verdad. Al final, ni él ni los actores consiguen discernir qué es lo real. En 1937, el escritor británicoJohn Boynton Priestley (1894-

1DH'1) prcscn tó 'J'irne arul the Conways'\ una obra en la que el linal del segundo acto transcurre treinta años después que ('ti el primer acto, y luego, en el tercer acto, la obra regresa :il instante temporal del final del primer acto. Por tanto, en <"iertos aspectos, cabría considerar el tercer acto como un acto intermedio situado fuera de lugar. La obra comienza en 1919, cuando los influyentes Conway celebran alegremente d vigésimo primer cumpleaños de Kay. La acción salta a 1938, momento en que la familia vuelve a reunirse, pero Europa está a punto de entrar en guerra. Por último, regresamos a 1919, y lo que se nos ha adelantado confiere una extraña ironía dramática a los acontecimientos que se producen. A un nivel más profundo, la obra plantea a la audiencia si la verdadera felicidad es posible, si podemos o no cambiar 11 uestro destino, y refuerza la idea de que el tiempo no es lineal y el pasado y el futuro están siempre con nosotros. La película Donnie Darko (2001), dirigida por Richard Kelly, es una mezcla de thriller sobrenatural y paradoja de viaje en el tiempo, centrada en un chico de dieciséis años de edad llamado Donnie que vive en la zona residencial a las afueras de Middlesex, Virginia. Un demonio le cuenta que el mundo se acabará en veintiocho días, dieciséis horas, cuarenta y dos minutos y doce segundos. En el transcurso de la película, Donnie ve salir chorros de fluido del pecho de la gente que señalan en la dirección en que se desplazará la persona en cuestión en un futuro inmediato. Donnie Darko ve salir de su pecho su propio recorrido vital, como si sus actos estuvieran predeterminados, y fuera un peón atrapado

en la insulsa jardinera del tiempo. La trama consiste en una historia extrañamente circular que deja perpleja a la mayoría de los cinéfilos y da pie a debates de varias semanas. Al final, la película retoma la

:~ Esta obra se ha representado e n España con el título La herida del tiempo. (N. de la T.). 2()()

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escena inicial pero, esLa vez, Donnie prevé lo que sucedera y, al parecer, tiene capacidad para salvar a sus seres queridos a cambio de sacrificarse a sí mismo. El crítico cinematográfico Jim Emerson, editor de RogerEbert.com, sostiene que el principio de la película, en el que Donnie amanece en medio de un camino sobre una loma, resulta «crucial para conferir a la película su interminable forma circular (o banda de Mobius), y es parte de lo que nos hace volver atrás. Comienza con una escena que pertenece al final de la última vez que vimos la película (un sueño dentro de un sueño dentro de un sueño ... ) Esta manera de considerar la cinta facilita la ubicación de toda la película en el agujero espaciotemporal que reside entre las orejas de Donnie». A mí me encantó la película. Véala y adéntrese en una versión cinematográfica de la banda de Mobius. Muchas otras películas y relatos incluyen un bucle temporal en el que los personales regresan a un tiempo anterior de la historia capacitados para revivir el pasado con más conocimiento y para rehacer sus vidas. En la película de Brian de Palma de 2003 titulada Mujer fatal, Laure Ash es una ladrona que disfruta de la misteriosa e inexplicable oportunidad de volver a vivir la película y elegir un recorrido vital más sabio. En mi libro Liquid Earth, el personaje Max tiene ocasión de vivir de nuevo todo el libro y abriga la esperanza de que con los conocimientos adquiridos será capaz de salvar el mundo de las fracturas de la realidad. En Como si fuera la primera vez (50 First Dates -2004-), Lucy Whitmore experimenta interminables sucesiones de vidas en forma de banda de Mobius al despertarse cada mañana sin recordar lo que ha pasado el día anterior con Henry Roth. Lucy sufre pérdida de memoria a corto plazo tras un accidente de coche, y se encuentra apresada en un bucle perpetuo. Para ella, todos los días son el mismo domingo de octubre, lo que, por supuesto, torna casi imposible que establezca relaciones nuevas. Henry se enamora de ella e intenta idear maneras para que funcione una relación seria. 268

Poro a poro, a pesa r de los obsLáculos, un pequcí'lo ramal cid cerebro de Lucy parece abrirse camino hacia el siguienLe 'lía en forma de banda de Mobius, hasta que ella se descubre pi11tando el retrato de su amado, aunque no consigue recordar quién es. E.n mi libro Time: A traveler's Cuide, brindo sorprendentes t'scenarios de Mobius relacionados con paradojas de viajes ('11 el tiempo y bucles causados por ellas. Consideremos una
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de las cavernas. NóLcsc que Monica es madre y abuela de s1 misma, y que yo soy mi propio padre y abuelo. 4

Tiempo

t 8.1 Si se pudiera viajar en el tiempo, las líneas del mundo se convertirían en bucles cerrados. Yo conocí a Monica (1), y tuve una hija, Monica hija (2), representada mediante la línea de puntos, que crece (3) y decide viajar al pasado. Monica hija crece y ¡se encuentra conmigo en 1 ! Véase el texto para conocer todos los detalles.

Este guion sí parece bastante descabellado. Porque, al fin y al cabo, ¿quién es la madre, el padre, el abuelo, la abuela, el hijo, la hija, la nieta y el nieto de Monica? Monica madre y Monica hija son la misma persona. Si ampliamos el árbol genealógico de Monica, podemos llegar a descubrir que todas las ramas del mismo se encuentran curvadas hacia dentro para regresar a sí mismas, como en un bucle. Ella puede reunir en sí misma todo un árbol genealógico. Este es un ejemplo de paradoja diferente de aquel otro en el que una persona viaja hacia atrás en el tiempo y mata a su abuela, con lo que modifica el pasado. En el caso que se ilustra en la figura 8.1, los personajes cumplen el pasado sin destruirlo. Por tanto, las líneas en la representación esquemática (llamadas

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rll'l umndo en física) discurren por un but,"ÜJ tt"rmdo qtw 1q>rnduce el pasado en lugar de cambiarlo. <)1 ra trama de Móbius aparece en las historias reunidas por Cabrieljosipovici en Mobius the Stripper (1974), que traL111 sobre un hombre preocupado por su cuaderno de escri1or. La historia de Móbius transcurre en la parte superior de e :ida página, y el texto con la historia del narrador acerca de Mi">bius se sitúa en la mitad inferior de cada página. Al final d<' la historia superior, Móbius se suicida, lo que da lugar a 1111a desoladora página en blanco a la que debe enfrentarse <"I 11arrador de la historia en la mitad inferior. Hacia el final e le la historia que cuenta el narrador en la parte inferior, este 1ompleta por fin su cuaderno de notas y empieza a escribir l.1 historia de Móbius impresa en la parte superior. Siguiendo un estilo similar, La dádiva de Vladímir Nabóki >v está protagonizada por un personaje llamado Fiódor. l<'i<'>dor es un ruso residente en Berlín que encuentra grandes dificultades para publicar sus textos. Hacia el final del libro, l<'i<'>dor le cuenta a su novia Zinia que quiere escribir un libro 1'<>bre cómo empezó a escribir y cómo la conoció a ella. Al p:i recer, la obra que Fiódor desea escribir es el volumen que 1·1 lector ¡ha estado leyendo! En este sentido, Fiódor ya no es 1111 personaje de la novela, sino su autor. En la literatura de Móbius, la trama se vuelve a veces recu11 c1He, un eco de sí misma, o una trama existe inmersa en 1·1 marco de otra. He oído mencionar el término metalepsis 1·111pleado en ocasiones para referirse a esos momentos de l.1s 1ramas de Móbius en que personajes atraviesan fronteras 1·111 re tramas estratificadas. Por ejemplo, en la novela de Cole111:1n Dowell titulada IslandPeople (1976), un nivel secundario 1w convierte en el nivel principal cuando toma las riendas del disrurso narrativo y crea una especie de banda de Móbius. I..:i historia incluye un hombre anónimo que se marcha de la 1·i11dad para vivir en una casa que ha comprado en una isla 111i11liscula. El hombre parece un ser solitario o un intruso 1·111 n· los isleños que residen en la isla durante todo el año. /l/ll'flS

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Aunque lleva una vida solitaria con su perro, disfruta ron las visitas ocasionales que recibe de la ciudad. De repenLe, el lector repara en que este relato del solitario en la isla es la historia titulada «El recuerdo» escrita por otro individuo anónimo que vive en unas circunstancias idénticas a las del primero, aunque algo más aislado del mundo que hay fuera de su isla. El crítico Christopher Sorrentino, que escribe para Center of Book Culture, explica: «Se trata de un libro que no parece haberse escrito, por mucho que lo parezca, para salir a rastras de sí mismo ... [Los avatares del personaje del libro] aparecen como ecos que cruzan de ida y vuelta el abismo de la novela ... Innumerables partes de lsland People vibran por simpatía movidas por otras partes también innumerables». A la larga, el hombre inventa un álter ego femenino que lo atormenta a medida que su mente se desintegra. En la obra Tearjerker (2004) de Daniel Hayes nos encontramos con Evan Ulmer, un escritor frustrado y desanimado por la creciente colección de libros rechazados, pero ansioso por aprender más sobre el oficio editorial. Evan secuestra a un editor de una prestigiosa casa editorial neoyorquina para que este le explique el proceso. Resulta que Evan ha escrito un libro sobre un escritor fracasado que secuestra a un editor y desearía verlo publicado. Durante la semana que Evan mantiene retenida a su víctima, también se encuentra con una extraña mujer llamada Promise que usa a Evan como personaje de la novela que está escribiendo. En ella, él mantiene una aventura con una mujer de cincuenta años. Promise quiere que Evan conozca a su madre para estudiar las interacciones entre ambos y lograr más realismo en su libro. Mientras, el editor secuestrado empieza a criticar la novela de Evan, que podría ser el mismo libro que el lector está leyendo. El diario The Seattle Times califica Tearjerker como «pequeña banda de Mobius solapada con una invención narrativa autorreflexiva». La cantante calva (1959), de Eugene Ionesco, presenta un giro de tipo Mobius en el desenlace. En la obra, el señor 272

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l.1 s(·nora Smith invitan a cenar en su casa al scr1or y la Mc•11orn Martin. La obra comienza como una comedia apalé't1tcmente normal sobre buenos modales ingleses. El señor S111it h está sentado en su butaca y en zapatillas. Fuma en pipa y lee un periódico junto a la chimenea mientras habla 1 lc • comida con la señora Smith. Pero a continuación ocurre algo inusitado con las campa11adas irregulares del reloj y un diálogo extraño. Al principio, la conversación tiene sentido, pero el diálogo pierde enseg 11 ida la coherencia y el significado, hasta que las respuestas de los personajes parecen aleatorias. El clímax es como una sinfonía disonante interpretada por músicos bajo los efectos del LSD. La incapacidad de los personajes para comunicarse conduce a la frustración y el conflicto. No creo que nadie que lea la obra logre entender el significado de las últimas páginas. He aquí una pequeña muestra de diálogo hacia el final de La cantante calva: Señor Martin: Nadie limpia los anteojos con betún negro. Señora Smith: Sí, pero el dinero lo compra todo. Señor Martin: Prefiero matar un conejo a cantar en el jardín. Señor Smith: Cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas, cacatúas. Señora Smith: Qué cagada, qué cagada, qué cagada, qué cagada, qué cagada, qué cagada, qué cagada, qué cagada, qué cagada.

La conclusión tiene una especie de bucle de Mobius manifiesto que acentúa el misterio: los personajes reinterpretan Ja obra tras intercambiar los papeles. Las acotaciones de la última escena rezan: «El señor y la señora Martin están sentados como los Smith al comienzo de la obra, la cual vuelv" a empezar con los Martin diciendo exactamente lo mismo que los Smith en la primera escena». En realidad, la obra se ha representado con diversas variaciones en relación con :.!73

el tema del lazo girado, de modo que la obra oscila con <·I mismo diálogo solo que con parejas distintas pronunciando los diálogos. Los críticos sostienen que La cantante calva evidencia que la conversación humana y otras interacciones han degenerado en una colección de perogrulladas manidas y que en cuanto la gente respetable inglesa pierde la capacidad de comunicarse estalla el caos verbal. Una historia más fácil de entender, aunque también repleta de absurdos, es la titulada Según la /,ey (1996) de la escritora danesa Solvej Balle. Este libro contiene cuatro relatos interconectados que se enredan entre sí mediante un bucle topológico trenzado. El volumen comienza con un bioquímico canadiense que examina el cerebro de una joven fallecida recientemente de hipotermia y que ha donado su cuerpo a la ciencia. A continuación nos encontramos con Tanja, una estudiante suiza de derecho cuyos poderes paranormales hacen retorcerse de dolor a los transeúntes. También se nos presenta al matemático danés Rene, empeñado en ocupar el mínimo volumen posible para convertirse en un cero humano. Por último, Alette, una escultora canadiense, sueña con fundirse con la materia inanimada. Esta se suicida y cierra la banda de Mobius siendo la mujer cuyo cerebro se estudia al comienzo del libro. En La torre oscura lll: Canción de Susannah, Stephen King se incluye a sí mismo en el libro como otro personaje más. El pistolero de la novela llega a Maine en 1977 e hipnotiza a un joven escritor de obras de terror para decirle que debe finalizar la saga de La torre oscura porque el destino del mundo depende de ello. King acaba la novela con una noticia periodística sobre su propia muerte. El prólogo del libro de relatos Perdido en la casa encantada, de John Barth, explica que esta obra «está ensartada en diversos temas repetidos y elaborados y [se enrosca] en sí misma; no para cerrar un circuito simple como el de la obra de Joyce Finnegan 's Wake, emblemática del eterno retorno

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viconiano, sino para crear un circuito girado, como una banda de Mobius, emblemático de ... Bueno, lea la obra». El primer relato de Barth en Perdido en la casa encantada, llamado «Relato marco», es literalmente una banda de Mobius porque consiste en una sola página que tiene escritas las palabras «Érase una vez» en un margen y «Una historia que empezaba» en el lado opuesto, con instrucciones para unir los extremos para formar una banda de Mobius. Mari in Gardner señala que la edición de Doubleday de «Relato marco» está diseñada para leerse sobre una banda real. Al público lector se le dice que corte la página por las líneas de puntos, y luego le dé medio giro para formar una banda de Mobius en la que se lee interminablemente: «Érase una vez una historia que empezaba érase una vez una historia que e mpezaba érase una vez una historia que empezaba... ». El propio Barth dijo durante una entrevista en 1998 con Elizabeth Farnsworth en el programa NewsHour with Jim Lehrer, El cuento está pensado para disponerlo sobre una banda de Mobius, una de esas cosas que se dan la vuelta; es un círculo con un giro, como lo es el libro que lo sigue ... Es corto en cuanto a personajes, es corto en cuanto a argumento pero, sobre todo, es corto ... y nos recuerda el infinito empotramiento del impulso narrativo en la conciencia humana. Me gusta creer que si Sherezade hubiera tenido este pequeño artilugio, sus problemas se habrían resuelto, el rey se habría marchado a dormir y ella habría podido empezar su novela, el final. De manera similar, el poema de Denise Duhamel «Mobius Strip: Forgetfulness», incluido en su libro de 2005 titulado 'fwo and Two, exige al lector fotocopiar el poema y conver1irlo en una banda de Mobius. La composición versa sobre la gente aquejada de Alzheimer, y utiliza la banda para reforzar la sensación de mente distorsionada e inconexa que sufren las personas aquc:jadas d e esta enfermedad. 275

Muestras literarias de botellas de Klein

Mientras permanece en Nueva York, Dorothy se presenta

W show de Oprah Winfrey. El público asistente cree, por supuesto, que el Espantapájaros y el Hombre de Hojalata son actores, no los personajes reales. En «The Last Magician» (1952), de Bruce Elliot, un mago usa una botella de Klein mientras actúa ante extraterrestres. E.1 truco acaba entrañando gran peligro. ('11

Las novelas y los relatos breves portan numerosas referencias a botellas de Klein. La enigmática historia de Paul J. Nahin titulada «Twisters», aparecida en el número de mayo de 1988 de la revista Analog, comienza con un tal doctor Adams, un médico de una pequeña localidad, que pasa ante un solar antes abandonado y que ahora acoge una tienda de dónuts inexistente el día anterior. El afable doctor Adams razona que las técnicas modernas de construcción posibilitan, al menos, construir un establecimiento así en un solo día. Ya en el interior, encuentra las variedades típicas de donuts además de otras «Con curvaturas tan curiosas» que al principio no consiguió centrar la vista en un solo donut completo de una mirada. Se decide a comprar varios de los donuts curvados. Más tarde, ya en el despacho, el doctor Adams descubre que el donut absorbe todo el café de la taza con solo rozar el líquido. Y cuando acerca el oído al donut, percibe un ruido de viento cerca del centro del dulce. Después de experimentar mucho, el doctor Adams se da cuenta de lo peligrosos que son esos «torbellinos», puesto que absorben todo aquello que les arranque un pedazo. «Aparentemente, a través del orificio podía pasar cualquier cosa ... pero había que acercar los dientes (o, más probablemente, cualquier objeto con calcio) para desencadenar una succión a toda máquina». Adams concluye que esos torbellinos de dónut son botellas de Klein y funcionan como trampas mortales dispuestas por un tendero alienígena. El cometido de Adams durante el resto de la historia consiste en asegurarse de que nadie arranque un bocado a las sabrosas pero mortales botellas de Klein enroscadas. Visitors from Oz ( 1999), de Martin Gardner, es una con tinuación de los libros sobre Oz en la que Dorothy viaja a la ciudad de Nueva York a través de una botella de Klein confeccionada a partir de dos bandas de Mobius por el mismo ingeniero que construyó el cuerpo del Hombre de Hojalata. \.!7G

Duneen se encontró en un buen apuro. Estaba medio dentro y medio fuera de la botella de Klein. Estaba en el lado dentro-fuera, el de nunca-acabar-bien de la botella. Ahí estaba, y está ahora. En el museo, con todo el resto de cosas pasadas. Y ahí seguirá. No se puede romper la botella porque quedaría partido en dos. Y, como no se puede romper la botella, se quedará ahí, ni vivo ni muerto; suspendido a medio camino entre aquí y allá. Mobius Dick, de Andrew Crumey, es una novela protagonizada por la banda de Mobius que aparece en la cubierta. Crumey es doctor en física teórica y es editor literario del periódico Scotland on Sunday. En la novela, el físico John Ringer recibe un mensaje de texto en su teléfono móvil que solo dice: «Llámame: H». Pero, ¿quién es H? ¿Podría tratarse de aquella Helen a la que había amado tantos años atrás? Esto desencadena su indagación sobre el desarrollo de la tecnología de nuevos teléfonos móviles que se lleva a cabo en un centro de investigación sito en una población escocesa. Durante las aventuras de Ringer, el mundo se transforma y la gente sufre amnesia, telepatía, falsos recuerdos y coincidencias inexplicables. La trama está repleta de sicoanálisis, inversiones, ciclos y escritura autorreflexiva. Ringer se pregunta si las coincidencias se producen cada vez con más frecuencia. En tal caso, quizá los experimentos cuánticos hayan provocado el desmoronamiento del continuo espaciotemporal de nuestro universo. Tal vez el texto retorcido de la novela provenga de un mundo paralelo. 277

Cuando descubrimos que un novclisla llamado l larry Di ck estaba escribiendo una novela con un personaje llamado john Ringer, empezamos a preguntarnos qué universo es el real, o si el término real tiene algún sentido. A lo largo de Mobius Dick aparecen múltiples historias que se enroscan unas en otras cual nudos de trébol. La escena más divertida se produce cuando Ringer asiste a la conferencia de una mujer que se titula «Cicloides viciosas». Durante su exposición, la mujer interpreta un pasaje de Moby Dick, «con su relativismo superficial, su rechazo de la verdad objetiva y sus juegos de manos intelectuales», una descripción aplicable a la propia novela Mobius Dick. Espero que haya disfrutado con esta breve introducción a tramas cinematográficas y literarias protagonizadas por objetos no orientables o que exhiben giros sorprendentes, de vanguardia. Espero sus noticias para que recopilemos juntos otros ejemplos adicionales de historias de Mobius que nos contrarían al mismo tiempo que nos deleitan. Permítame acabar con tres citas con forma de Mobius que siempre me han fascinado: «Yo soy el pensamiento que estás pensando en este instante».

Douglas Hofstadler, Temas metamágicos «Al atravesarla, uno se da cuenta de que la puerta que ha atravesado es la misma que lo atravesó a uno».

R. D. Laing, La política de la experiencia

Planeta Hormiga

Lisa está sola en su dormitorio jugando con bichos. Le gusta formar estructuras laberínticas con los cabl,es que l,e sobraron de un experimento eléctrico. Si un objeto toca el cabl,e, suena un timbre. Hoy, Lisa está experimentando con hormigas. Hay solo unos lugares determinados por los que las hormigas pueden escapar sin accionar el timbre. Los laberintos que aprisionan a las hormigas son de un tipo peculiar. Desde un punto de vista topológico, se trata de curvas de ]ardan, como la que aparece en la figura 8. 2, que no son más que un círculo muy deformado mediante varios giros. Recuerde que un círculo divide cualquier superficie plana en dos áreas: la de dentro y la de fuera . Al igual que los círculos, las curvas de ]ardan tienen una parte interior y una exterior, y para pasar de una a otra hay que atravesar, al menos, una línea (o cabl,e). Pero, retomemos a la historia de las hormigas. Lisa está fantaseando con hormigas inteligentes. Un día, una hormiga «prisionera» llamada señor Nadroj consigue afirmar con precisión si se encuentra dentro o fuera del laberinto con solo asomar la cabeza por encima de los cabl,es y mirar en una dirección. ¿Cuál es la manera más rápida de que una criatura determine si se encuentra dentro ofuera de la prisión de]ardan? ¿Qué procedimiento permitiría saber con facilidad si la hormiga del dibujo puede escapar sin necesidad de intentar trazar una ruta hacia el exterior? (Busque la respuesta en el apartado de soluciones).

Él la miró durante largo tiempo y ella sabía que él la estaba mirando y él sabía que ella sabía que la estaba mirando, y él sabía que ella sabía que él sabía; una especie de regresión de imágenes como la que surge al enfrentar dos espejos entre sí y las imágenes se suceden y se suceden y se suceden en una especie de infinito».

Robert Pirsig, Lila

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8.2 Hormiga atrapada en una curva dejordan

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Vida en los barrios periféricos de Mobius

Swedesboro es uno de esos lugares idiosincrásicos, especiales qu contradicen la idea que prevalece de South Jersey como poco más que una banda de Mobius de centros comerciales, una concentración infinita (aunque no implacable) de mecas de grandes cadenas minoristas con pocas cosas en común salvo un código postal y la propensión a los atascos. Kevin Riordan, «Southjersey town debates identity», The Courier-Post, 19 de setiembre de 2004 «Puedes estar en cualquier lugar en cualquier instante. ¿Cómo llaman a eso?». «Una banda de Mobius», dijo Henry. «Qué buena idea. Podrías retroceder y visitar tu vida en cualquier lugar y momento que quzszeras ». «Suena a papel cazamoscas», dijo Farlie. Anne Rivers Siddons, Islands

BREVES APUNTES FINALES

¿ Qué hace a un gran matemático? La sensibilidad por la forma, un fuerte sentido de lo importante. Mobius tenía abundancia de ambas cosas. Sabía que la topología era importante. Sabía que la simetría es un principio matemático fundamental y poderoso. El veredicto de la posteridad es claro: Mobius estaba en lo cierto. Jan Stewart, «Mobius's Modern Legacy» en Mobius and His Band FIG. 1 12

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La banda de Mobius como plataforma d e lanzamiento Aquí termina nuestro serpenteante estudio sobre la banda de Mobius en la ciencia, las matemáticas y el arte. Solo hemos rozado la punta del iceberg con la mayoría de estos temas, pero usted apreciará mejor ahora la relevancia de esta superficie enrollada y de una sola cara en diversas disciplinas. A veces me pregunto por qué me siento tan impelido a reflexionar sobre la banda de Mobius, y por qué hay tanta gente fascinada con sus maravillosas propiedades. Tal vez sea una metáfora de algo muy simple pero sorprendente y difícil de prever. Se trata de un símbolo ubicuo y, como en algunas novelas, nos brinda un vehículo para cambiar de pensamiento y ver mundos nuevos. Es la materia de la magia y el símbolo de los sueños. Sigo fascinado con la aplicación de la banda de Mobius a una serie d e inventos tecnológicos. Al igual que el triángulo de Reuleaux (el triángulo de lados curvos que comentamos en el capítulo 4), estas geometrías simples no hallaron muchas aplicaciones prácticas hasta épocas bastante tardías en el desarrollo intelectual humano. Hasta que Franz Reuleaux (1829-1905) habló de su célebre triángulo (figura C.1), formado por la intersección de tres círculos centrados en los vértices de un triángulo equilátero, el triángulo curvo no empezó encontrar numerosos usos. Aunque Reuleaux no fue el primero en dibujar y estudiar esa curva, fue el primero en demostrar sus propiedades de anchura constante, y el primero en usar el triángulo en numerosos mecanismos del mundo real. La confección del triángulo es tan simple que los estudiosos modernos se han preguntado por qué nadie había explotado su uso antes que Reuleaux. La figura es un pariente cercano del círculo porque tiene una anchura constante (siempre media igual distancia entre dos puntos opuestos). Su circunferencia, 2mR, es la misma que en el caso del círculo, salvo que en el triángulo de Reuleaux, R se corresponde con la longitud indicada en la figura C. l . 282

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9.1 Triángulo de Reuleaux (en negrita) y algunas de sus aplicaciones.

Mientras me adormezco para conciliar el sueño de noche, imagino espléndidos triángulos de Reuleaux y bandas de Mobius mientras ideo nuevos inventos y reflexiono sobre la forma del universo. Nuestra naturaleza consiste en soñar, indagar y preguntarnos sobre nuestro lugar en un cosmos aparentemente solitario. Tal vez esta sea la razón por la que filósofos y escritores han especulado acerca de universos y dimensiones superiores con forma de bandas de Mobius, y el aspecto que tendrían sus moradores. Para muchos futuros científicos jóvenes, la banda de Mobius es una plataforma de lanzamiento para acceder a geometrías y estudios topológicos más sofisticados. Se han desarrollado numerosos modelos cosmológicos donde el universo aparece curvado en un espacio tetradimensional de un modo que, en teoría, podría demostrarse. Por ejemplo, Einstein propuso un modelo de universo en el qu una nave podría partir en cualquier dirección para acabar regresando al punto de partida. En este modelo, nuestro universo tridimensional se trata como la hipersuperficie d e una hiperesfera. Transitado sería comparable a lo que hace um• h ormiga al dar una vuelta completa alrededor de la superllcie de una esfera. En otros modelos de universo, el nuestro aparece como una hipersuperficie curvada en un espacio 28g

tetradimensional como una botella de Klcin o un toro tridimensional, una rosquilla enrollada en tres dimensiones. Mediante el uso de varios satélites, la comunidad astronómica mantiene ahora una búsqueda activa de signos que revelen la forma del universo mediante el estudio de fluctuaciones de temperatura en el espacio profundo. Aunque datos recientes indican que las regiones cercanas del universo podrían ser muy normales, nadie sabe qué forma podría tener el conjunto del cosmos. Desde la época de Georg Bernhard Riemann ( 1826-1866), los matemáticos han estudiado las propiedades de espacios múltiplemente conexos en los que regiones diferentes del espacio y el tiempo se funden entre sí. Los físicos, que otrora consideraron esto como un ejercicio mental y especulativo de sillón, están estudiando ahora en serio algunas ramas avanzadas de las matemáticas para crear modelos prácticos del universo y para comprender mejor las posibilidades de que existan mundos paralelos, de realizar viajes a través de agujeros de gusano y el desarrollo de métodos para manipular el tiempo. Por improbable o difícil que resulte descubrir estos extraños universos mediante la tecnología actual, las figuras que se contemplan en este libro alertan a muchos físicos sobre numerosas posibilidades para plantear la criba topológica, un proceso en el que los modelos se eligen y se tienen en cuenta dependiendo de su adecuación para esclarecer la naturaleza del universo. Tanto los legos como los científicos se han vuelto más conscientes de lo que significa visualizar un objeto abstracto o un espacio deformado. El budismo zen ha creado interrogantes y sentencias llamados koan que funcionan como una disciplina de meditación. Los koan preparan la mente para que sea capaz de acoger intuiciones, percepciones e ideas nuevas. Los koan no se pueden responder siguiendo procedimientos ordinarios porque son paradójicos; funcionan como herramientas para la iluminación porque sacuden el espíritu. De manera parecida, la contemplación de la banda de Móbius está repleta 284

d .. /((l(¿n y aquí c~triba la razón de que cslc libro enfrente al p1'1l>lico lector a tantos temas diferentes, aunque las limita• iones de espacio no nos hayan permitido explorar ninguno (k ellos en gran profundidad. La banda de Móbius es un lwrm para espíritus científicos. Eterno resplandor Para mí, algunos de los campos más interesantes para el ('omportamiento móbioide y los koan de Móbius aparecen ('ll la literatura, donde la banda de Móbius es una metáfora d e las tramas con circunvoluciones. Ya se han comentado v;irios ejemplos en el capítulo 8. Las películas e historias 1116bioides funcionan en parte como exploraciones metafísicas. A menudo son oscuras, encerradas en sí mismas, con u na lógica onírica especial que nos ayuda a trascender la conciencia individual. Podemos terminar con otro guion con estructura de Móbius. En la inquietante película Eterno resplandor de una mente sin recuerdos (también conocida en castellano como Olvídate de mf),Joel y Clementine deciden borrarse mutuamente d e la memoria cuando dejan de amarse. Inevitablemente, vuelven a encontrarse conservando vestigios de recuerdos y vuelven a enamorarse. Gran parte de la película transcurre en el interior de la mente de Joel. Cuando Joel se encuentra en pleno proceso de borrado de memoria, toma conciencia de que están desapareciendo de su mente los recuerdos de la mujer que amó, y quiere detener el proceso. Su hercúlea tarea consiste en desarrollar métodos para proteger todos los recuerdos de Clementine que pueda, y para encontrar una manera de escapar del proceso a pesar de encontrarse en un estado de ensoñación. Hacia el final de la película, el espectador regresa al comienzo de la cinta, donde ve la escena inicial con la luz de una información nu eva acerca de la situación de los per~8!)

sonajes. Las cinlas de Mobius aparecen por lodos lados a lo largo de la historia. En algunas escenas de ensoñación, durante los procesos de borrado de rnernoria,Joel persigue a Clernentine por una calle hasta descubrir que la calle se enrosca para volver a dar a ella misma, y él se queda frustrado al encontrar a Clernentine corriendo detrás de él. Por tanto, no solo se trata de una trama de Mobius en la que el final de la película regresa al principio con los personajes alterados por recuerdos residuales, sino que además incluye la inserción de territorios retorcidos en los entresijos de la mente de ambos personajes a medida que Joel y Clernentine se afanan por recordar el amor que compartieron en el pasado, para comprender qué es real y qué es fantasía. ¿Habrá un vínculo eterno que una y reúna continuamente ajoel y Clernentine a medida que regresan al pasado y comprueban que todo lo que ven ocurrió con anterioridad y es justo ahora cuando está a punto de borrárseles de la mente? Tal vez al final de la película, Joel y Clernentine hayan encontrado una manera de salir de la superficie de la banda de Mobius. En lugar de correr alejándose uno del otro, el amor reconcilia sus personalidades imperfectas y resta importancia a la línea que separa la realidad de la fantasía. Valoran el tiempo que pasan juntos y viven cada instante en el «presente», disfrutando de los sueños, viviendo cerca uno del otro, sabiendo que en cualquier momento sus sueños pueden quedar eliminados de su mente para siempre. Matemáticas simples Muchos de los rompecabezas de Mobius incluidos en este libro interesan a personas aficionadas a las matemáticas recreativas y a las matemáticas en general. Quienes integran estos grupos de entusiastas han batido grandes marcas en la consecución de descubrimientos matemáticos relevantes. En 1998, el inventor autodidacto Hadan Brothers y el meteorólogo John Knox desarrollaron un sistema mejorado para 286

calcular una constante fundamental e (a me nudo rcdond<'ada en 2.718). Cierlos crecimientos exponenciales (desde colonias bacterianas hasta intereses bancarios) se basan en '" un número que no se puede expresar como una fracción y r uyo valor solo puede determinarse de manera aproximada, mediante computadoras. Knox demostró que los aficionad os siguen aportando grandes progresos en matemáticas y contribuyen a encontrar vías más precisas para calcular co nstantes matemáticas esenciales. Tal vez descubra usted un día alguna propiedad extraordinaria y aún desconocida d e la cinta de Mobius o invente un juguete basado en sus peculiares propiedades. Otra «principiante» que logró aportaciones considerables pa ra las matemáticas fue Marjorie Rice, un ama de casa de San Diego con cinco hijos que en la década de 1970 descubrió, trabajando en la mesa de la cocina de su casa, numerosos patrones geométricos que los estudiosos creían imposibles. La formación académica de Rice no superaba la d'· la enseñanza secundaria pero hacia 1976 había descubierto ·incuenta y ocho tipos especiales de baldosas pentagonales, la mayoría de ellas desconocidas hasta entonces. Su diploma más elevado era un título de enseñanza secundaria obtenido ' n 1939 para cuya obtención solo había recibido un curso de matemáticas generales. ¿La moraleja de la historia? Nunca ~s tarde para adentrarse en campos nuevos y realizar descubrimientos. Otra moraleja: uamás subestimes a tu madre! La idea de que en la actualidad aún se pueden descubrir ma temáticas muy simples pero profundas no es tan inverosímil como parece. Por ejemplo, entre mediados y finales del si glo XX, el matemático Stanislaw Ulam tuvo una eclosión d e ideas simples pero novedosas que enseguida condujeron a ramas nuevas de las matemáticas como las que se centran ~ n la teoría de autómatas celulares y el método de Monte Cario. Tal corno señala Martin Gardner en «The Adventures o f Stanislaw Ulam» (1976), «En reiteradas ocasiones, Ulam ha obtenido resultados profundos en campos que apenas 287

conocía. Quizá por esa razón, logró ver los problem as de maneras novedosas». Otro ejemplo de sencillez y profundidad lo constituye el terselado de Penrose (el patrón de teselas que expusimos en el capítulo 7 formado por tan solo dos formas distintas de baldosas y descubierto en un momento tan tardío como 1974 por Roger Penrose). Estas baldosas pueden cubrir por completo una superficie infinita mediante un patrón que nunca se repite (aperiódico). El embaldosado aperiódico se consideró en un principio una mera curiosidad matemática, pero más tarde se descubrieron materiales físicos cuyos átomos se disponen siguiendo el mismo patrón que el embaldosado de Penrose, y en la actualidad este campo tiene gran relevancia en física y química. Deberíamos considerar asimismo el bellísimo e intrincado comportamiento del conjunto de Mandelbrot, un objeto fractal complejo descrito mediante la sencilla fórmula z = z2 + e, que salió a la luz a finales del siglo XX (figura C.2).

9.2 Ejemplo de fractal, una figura con detalles infinitos que surge a partir de una fórmula matemática simple.

288

Es probable que las computadoras faciliten el descubrimiento futuro de características asombrosas en matemáticas aparentemente simples. Volviendo al llamativo ejemplo del conjunto de Mandelbrot, Arthur C. Clarke apuntó una vez en El espectro del Titanic, En principio, [el conjunto de Mandelbrot] podría haberse descubierto en cuanto los hombres aprendieron a contar. Pero, aunque no hubieran cejado jamás ni cometido un solo fallo, la totalidad de los seres humanos que han existido no habría bastado para efectuar los cómputos de aritmética elemental necesaria para dibujar un conjunto de Mandelbrot de unas dimensiones bastante modestas. El propio doctor Mandelbrot comentó su descubrimiento del cortjunto en una entrevista para New Scientist en 2004: Su asombrosa complejidad superaba de forma absolutamente desmesurada mis expectativas. Esto es lo curioso: la noche que vi el conjunto, me pareció sencillamente fabuloso. La segunda noche, me acostumbré a él. Después de varias noches, me familiaricé con él. Era como si lo hubiera visto antes. Por supuesto, no era así. Nadie lo había visto. Nadie lo había descrito. El hecho de que cierto aspecto de su naturaleza matemática siga siendo un misterio, a pesar de los cientos de personas brillantes que lo estudian, me parece la guinda del pastel. A diferencia del conjunto de Mandelbrot, la banda de Mobius no precisaba una computadora para revelar su hondura. De ahí que la banda de Mobius sea la metáfora última de lo simple, aunque profundo, algo que cualquiera podría haber estudiado siglos antes de su descubrimiento, pero no fue así. La banda de Mobius es una metáfora de la magia y el misterio, y un icono perpetuo que nos anima a soñar nuevos

289

su eños y a buscar p rofundid ad incl uso en aguas a parc nl.'·mente superficiales. Anillo ambiguo La figura C.3 muestra un anillo ambiguo. ¿Por qué este objeto es, o no es, igual que una banda de Mobius? (Busque la respuesta en el apartado de soluciones).

Miré con gran curiosidad que comunicados socarrones de torturas de la CIA pasaban por algo normal en televisión al mismo tiempo se mantenía en marcha una banda de Mobius hecha de afirma ciones en las que se aseguraba que.. . el Presidente es irreprochable. Michael Gilson-De Lemos, «MG's Most Controversia[ Artíde Yet», Citizens for Legitimate Government

Las consecuencias en un mundo de banda de Mobius donde todo se dobla hacia nuestra propia vida no están solo «ahí fuera» sino también «aquí dentro», en nuestra alma, donde el ácido corrosivo del autoengaño desafía la convicción estadounidense de que somos buenos, o mejores, o diferentes. Richard Thíeme, «Í was a Víctim ofthe KGB», Common

Dreams News Center

9.3 Anillo ambiguo. ¿Es este objeto una banda de Móbius?

Mobius en los negocios y la política gubernamental El gobierno actual está organizado como una especie de banda de Mobius donde la desconfianza circula por ella sin cesar. Philip K. Howard, The Collapse of the Common Good:

How America's Lawsuit Culture Undermines Our Freedom Los nombres personales también crean un bucle retributivo que se autorefuerza, una especie de banda de Mobius comercial. Cuando la gente cuyo nombre se ha incorpodaro a una marca comercial obtiene buena publicidad, se mejora la reputación de toda la firma. Harry Beckwith, What Clients Love: A Field Cuide to

Growing Your Business

290

29 1

SOLUCIONES

Capítulo 1

FIG.2A

La cinta de fitness parece cerrada. Suponiendo que el buen doctor esté intentando correr hacia delante, cada eje de la máquina giraría en sentido contrario a las agujas del reloj, visto desqe la perspectiva del lector. En cambio, para que la cinta en forma de ocho funcione adecuadamente, cada uno de sus ejes debe girar en una dirección diferente. Si la cinta en forma de ocho se reemplazara por una cinta de Móbius en forma de bucle (no de ocho), la máquina funcionaría y haría girar los ejes a los que estuviera unida en la misma dirección. De hecho, las cintas de este tipo suelen ser superiores a las normales porque se desgastan a la mitad de la velocidad, dado que se exponen ambas «caras» a la goma de los ejes.

Capítulo 2

FIG.28

Para resolver este problema de nudos, consideremos que existen dos cruces posibles en cada punto de intersección. Esto significa que hay 2 x 2 x 2 = 8 conjuntos posibles de cruces. De todas esas posibilidades, solo dos forman un nudo. (Compruébelo usando un circuito de cuerda.) Por tanto, la probabilidad de tener un nudo asciende a una entre cuatro. ¡No apueste a que lo hay!

~ ~) '. \

l ,a figura A. I rn uestra otra co nfiguració11 posible de cuerda.

¿Qué probabilidades hay de que forme un nudo? ¿Aumenta la probabilidad de que se forme un nudo con el incremento del número de puntos de intersección? ¿Qué dice esto sobre la ley de Murphy: que los cabos, cuerdas y cables eléctricos siempre parecen enredarse cuando se arrumban amontonados en el garaje?

A.l Otra configuración posible de cuerda. ¿Qué probabilidad hay de que forme un nudo?

Capítulo 4 La figura A.3 muestra una solución. Muchos de mis amigos genios me decían que este problema era imposible de resolver. En cambio, cuando mis amigos contemplaban el rompecabezas un día después, solían resolverlo ese segundo día.

A.3 Una solución del rompecabezas del arca de Noé.

Capítulo 5 Capítulo 3 La figura A.2 ofrece una solución al enigma del «laberinto de Móbius» de Dave Phillips.

A.2 Una solución al «Laberinto de Mobius» de Dave Phillips. 2~)4

Para el rompecabezas de garabatos, repárese en que al trazar un mapa sobre un plano usando una línea continua, sin levantar el lápiz del papel y regresando al punto de partida, solo se precisan dos colores para crear un mapa donde dos regiones cualesquiera que compartan linde tengan colores diferentes. La figura A.4 ofrece un ejemplo de superficie así pintada. ¡Pruebe con otros patrones!

A.4 Una solución del rompecabezas del mapa de garabatos.

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En cuanlo al accrLijo de la pirámide, la segunda imagen es incorrecta. En primer lugar, consideremos las perspectivas dos y cuatro. Nótese que el color que falta en ambas es el verde. Esto significa que el verde debe encontrarse en la base que permanece oculta en estas imágenes. Por tanto, no es posible que tanto la dos como la cuatro sean correctas al mismo tiempo. Una de las dos es falsa y, por tanto, la primera imagen, la tercera y la quinta deben ser correctas. Examinemos ahora la tercera pirámide. Intente imaginar que la cara verde es la base de la perspectiva tres. Esto significa que los lados de la pirámide son de color rojo, morado y amarillo, lo que se corresponde con la pirámide cuatro. Esto evidencia que la perspectiva incorrecta es la dos. Capítulo 6

~~

~~

~~

A.6 Otra transformación maravillosa sin romper los aros. Los tres anillos de la izquierda se transforman en la configuración de la derecha inferior de manera que uno de los aros se suelte de los otros dos. (Extraído de The Penguin Dictionary of Curious and lnteresting Geometry, de David Wells.)

La figura A.5 muestra un modo de transformar los anillos enlazados en anillos sueltos.

Capítulo 7

~

~ A.5 Un modo de transformar los anillos enlazados en anillos sueltos sin cortar ninguno de ellos. (Extraído de The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, de David Wells.)

Terminemos con otro problema de anillos cuya solución daremos a continuación para no torturar más el cerebro de nuestros lectores. En la figura A.6 es posible transformar los tres anillos enlazados de la izquierda de la figura de manera que uno de ellos se libere de los otros. 296

La figura A. 7 indica el recorrido que hay que seguir para resolver el laberinto del toro. Basta con ir de 1a2, de 2 a 3 y de 3 a 4. La figura A.8 muestra la solución al laberinto de la botella de Klein. Vaya de 1a2 y ¡habrá terminado!

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A. 7 Solución del laberinto del toro.

297

b

l .a solución del problema ilustrado en la figura 7.45 es

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a

2

2

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b 1

la banda cuadrada que enmarca la propia figura 7.45. La solución es la misma con independencia de la cantidad de 1ncdios giros que tenga uno de los brazos. ¡Siempre resulta 11 na banda cuadrada y plana de papel! Aprendí mucho sobre ('stos rompecabezas con la obra de James Tan ton Salve This: Math Activities far Students and Clubs y la obra de Martín Gard11cr Festival mágfra-matemática.

Capítulo 8

A.8 Solución del laberinto de la botella de Klein.

En cuanto a las configuraciones endiabladas, las construcciones son equivalentes a un giro, con el añadido de una banda simple de enlace, tal como se muestra en la figuraA.9. Si una o ambas secuencias de giros constan de un número impar de medios giros, entonces aparece una sola pieza al cortar la figura por la línea de puntos. Si cada secuencia de giros consta de un número par de medios giros, se obtienen dos piezas separadas y entrelazadas.

La manera más rápida de que el señor Nadroj dilucide si se encuentra dentro o fuera de las curvas dejordan consiste en contar el número de veces atraviesa el cable una línea ima~inaria trazada desde él hasta el mundo exterior. La figura /\.10 muestra varios ejemplos de líneas. Si la línea recta cruza d cable un número par de veces, la hormiga se encuentra ruera del laberinto; si la atraviesa un número impar de veces, entonces se encuentra dentro de él. 9

9

A.1 O Manera sencilla de esclarecer si la hormiga se halla inmersa en la prisión sin trazar ningún recorrido. A.9 Banda girada con el añadido de una banda simple conectada.

298

299

Volviendo al mundo real, el matemático f'ran cb; Maric Ennemond Camillejordan (1838-1922) ofreció una demostración de las mismas reglas para determinar el interior y el exterior de esta clase de curvas. (Oswald Veblen corrigió dicha demostración en 1905). Jordan se había formado en un principio como ingeniero. Nótese que una curva de Jordanes una curva plana que constituye un círculo deforme, y que debe ser simple (la curva no se cruza a sí misma) y cerrada (no debe tener ningún extremo y, además, debe abarcar un área por completo). En un plano o una esfera, las curvas de Jordan tienen una parte interior y una exterior, y para ir de un lado al otro hay que atravesar al menos una línea. En cambio, en un toro, las curvas de Jordan requieren necesariamente el cruce de una línea.

A.11 Anillo ambiguo trazado por el doctor Donald E. Simanek.

Conclusión

Creo que este objeto se puede clasificar como una ilusión óptica o un «objeto imposible» similar a otros objetos imposibles bien conocidos con nombres como el cubo de Escher, las escaleras de Penrose (a menudo dibujadas por M. C. Escher y por las que se puede ascender eternamente), el tridente de Penrose (con tres dientes cilíndricos dispuestos de una manera extraña), el triángulo de Penrose y la tuerca ambihelicoidal. En Internet se encuentran muchos más objetos de este tipo. El anillo ambiguo que se ilustra en la conclusión (figura C.3) parece tener dos lados, lo que significa que no es un bucle de Mobius. ¿Cree usted que el anillo ambiguo mostrado en la figura A.11 tiene las mismas propiedades que una cinta de Mobius? Esta ilustración la creó el doctor Donald E. Simanek, profesor de física en la Universidad Lock Haven de Pennsylvania. ¿Tiene una sola cara el triángulo de Penrose de la figura A.12?

A.12 Triángulo de Penrose.

Si tapamos con una mano el tercio izquierdo o derecho de la figura A.11, la figura no resulta «nada conflictiva». Al mirar la parte izquierda del anillo, todo parece normal, coherente con un aro visto desde arriba. Al contemplar la parte derecha del anillo, todo parece concordar con un aro visto desde abajo. Pero, al observar todo el anillo de una vez., el analítico cerebro humano se revela y dice «¡imposible!». El viaje termina con un laberinto de Dave Phillips. Ayude a un robot a encontrarse con el otro siguiendo el camino más corto. ~01

300

Los extremos de las espirales ::ion vías muertas. No vale trepar por los bordes, por supuesto.

mismo lado de una banda de una sola cara, y un ej ernfJlo tan claro como el que siempre verán en un político que discute por ambas comisuras de los labios.

Matt Taibbi, «Mere Words», FreezerBox.com Pero tras dos horas de debate sin pausa el diálogo a modo de banda de Mobius puede inducir desorientación e incluso puede pasarse por alto una conclusión obvia.

«Shimmer Traverse Theatre», Edinburgh Financia! Times

La banda de Mobius en el lenguaje Pero muchos soldados en Vietnam, incluido Kerry, se sentían exactamente así, «nada seguros», acerca de la propia misión de guerra. Kerry escribió este pasaje de tal modo que también se puede interpretar a la inversa, si nos apetece. Se trata de una retórica del estilo de una banda de Mobius que dice «no estoy seguro de irme a casa» y «no estoy seguro de estar haciendo lo que debo» sobre el 302

303

REFERENCIAS Y APÉNDICE

El segundo estado cuántico fermiónico de vacío de la teoría quiral de Yang-Mills para G = SU(2) y r = 2u en laformuclación hamiltoniana (gauge temporal W 0 = O), tiene por tanto una estructura de haz de Mobius sobre un bucle específico no contractible de transformaciones gauge estáticas x3-independientes.

F. R. Klinkhamer, «Z-string Global Gauge Anomaly and Lorentz Non-Invariance», Nuclear Physics B, 1998

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l lc d'cctuaclo la cornpilaci611 sigui e nte de rcf'crcncias, en la

que incluyo la mayor parte del material qu e he empic ado en mi investigación para la r edacción d e este libro. Incorpora información entresacada de libros, revistas y páginas de Internet. Buena parte del público lector ya sabe que las páginas de Internet vienen y van. En ocasiones cambian de dirección, o simplemente desaparecen. La lista de direcciones de Internet que aporto me proporcionó una valiosa información de fondo a la hora de escribir esta obra. Por supuesto, hay mucho otros recursos en Internet relacionados con la cinta de Mobius y se pueden localizar con herramientas de búsqueda como las que proporciona www. google.com. Si he pasado por alto algún rompecabezas matemático interesante o a alguna persona, referencia o hecho anecdótico relacionado con Mobius y que usted considere que no goza del reconocimiento que merece, entonces hágamelo saber. Acuda a mis páginas en Internet, www.pickover.com (en inglés) y envíeme un mensaje electrónico con una explicación de la idea que incluya cómo cree usted que ha influido en el mundo. Por motivos de espacio, y de manera intencionada, me he abstenido de introducir conceptos matemáticos avanzados como las redes de Mobius, las dualidades de Mobius, las transformadas de Mobius, la estática de Mobius, las transformaciones· de Mobius, los grupos de Mobuis, las fórmulas de inversión de Mobius o los haces de Mobius. Quien sienta una necesidad imperiosa de aprender estos conceptos puede tener en cuenta que quizá en el futuro escriba otro libro dedicado en exclusiva a estos conceptos intrincados. Pero entretanto le puede interesar la obra de Roger Penrose El camino a la realidad: una guía completa de las leyes del universo (2005, edición en castellano de 2006), que incluye otras delicias relacionadas con Mobius, entre

~06

·llas una introducción los haces de Mobius. Hablando en términos generales, un haz de Mobius consiste en un espacio que localmente se asemeja al producto de dos espacios, pero que posee una estructura global diferente. Los dibujos matemáticos de estos haces se suelen parecer a manojos de cabellos (las fibras de los haces) que nacen de una piel (la variedad diferencial), tal y como se representa en las páginas de Internet de MathWorlds dedicada a los haces: http:/ /mathworld. wolfram.com/FiberBundle.html. Los haces de fibras sirven de herramienta matemática muy adecuada en física de partículas. Para que el público lector capte alguna pincelada del resto de los conceptos avanzados relacionados con Mobius, podemos comentar que una transformación de Mobius es una función de la forma

f(z)=E'l +b E +d donde tanto ad± be como a, by e son números complejos. El punto z =-di e tiene como imagen f(z) =.Al punto z = oo le corresponde f(z) = a/ c. Aparte de sus aplicaciones e n matemáticas y física, las transformaciones de Mobius se pueden usar en el arte para generar sorprendentes representaciones gráficas de fractales (figuras R.l, R.2, R.3, R.4). El profundo significado matemático que subyace a muchas de estas gráficas relacionadas con las transformaciones de Mobius está explicado en el libro lndra 's Pearls: The Visiono ofFelix Klein (2002), de David Mumford, Caroline Series y David Wright. Las formas fractales se trazan en un proceso iterativo (repetitivo) de transformaciones de Mobius y sus inversas. Los detalles de las figuras pe rsisten al aumentarlas como si se tratara de un juego de munecas rusas.

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R.l Imagen de un grupo de Klein. Conjunto límite representado por medio de transformaciones de Móbius de la forma z -7 ( az + b) / ( cz + á). Este fractal en concreto se trazó gracias a dos transformaciones de Móbius y sus inversas. El proceso iterativo desplaza múltiples veces un punto sobre el plano complejo. El conjunto de puntos resultante forma el conjunto límite, que es lo que se representa gráficamente en esta figura. No importa con qué frecuencia ni en qué orden se repitan los desplazamientos: los puntos nuevos siempre caen en algún lugar dentro de las formas curvadas del dibujo. Las transformaciones de Móbius convierten círculos en círculos, y esta propiedad es la que induce la aparición de los objetos de apariencia esférica en la imagen. (Ilustración de Jos Leys, wwwjosleys.com) .

R.4 El algoritmo de fracciones complejas repetidas de Asmus Schmidt emplea transformaciones de Móbius para generar una teselación del plano cada vez más fina. Esta imagen elaborada por Doug Hensley representa una parte de la quinta teselación y muestra la enorme riqueza de formas y patrones que hay hilada en el tejido de las matemáticas.

La transformada de Mobius, de una función f definida sobre los enteros positivos se representa como Tfy se define así: (T/)(n) = Lf(d)µ(n/ d) = Lf(n/ d)µ(d) din

din

donde µes la función de Mobius habitual, y la notación din indica que d es divisor de n. La función Tf se llama también la inversa de Mobius de J La fórmula de inversión de Mobius establece que si g( n) y f( n) son dos funciones aritméticas que cumplen R.2 Lo mismo que en R.l, pero con valores distintos para a, b, cy d. (Ilustración de Jos Leys, wwwjosleys.com). R.3 Experimento gráfico que emplea transformaciones de Móbius. (Ilustración de Ed Pegg, hijo, www.mathpuzzle.com).

g(n) = Lf(d) para todo entero?: 1 din

entonces

f(n) =- L~(d)¡t(n/ d) para todo entero?: 1 11111

:~08

: ~<>!)

donde ¡tes la f'u11ci611 de Móbius habilual y la nolación din indic-1 que rL es divisor den. La dualidad de Móbius para el espacio tridimensional establece que cada punto corresponde a un plano, y viceversa. Jeremy Gray indica en Mobius and His Band que «el caso anlisimétrico es nuevo, y se trata de uno de los hallazgos más agudos de de Mobius». El descubrimiento de que en los espacios de dimensiones impares hay un tipo nuevo dualidad que no está asociada a las cuádricas se debe a Mobius y surge de sus estudios de mecánica geométrica». Se puede consultar www.wikipedia.org, o bien http:/ / mathworld.wolfram.com para encontrar estas fórmulas con notaciones diferentes. Estas páginas de Internet se actualizan con frecuencia a medida que quienes las leen aportan propiedades y aplicaciones adicionales de estos conceptos relacionados con Mobius. El libro Mobius and His Band de Fauvel, Flood y Wilson aporta más datos. La red proporciona citas de una complejidad deliciosa cuando se buscan referencias acerca de los haces de Mobius. Les dejo esta joya, aparte de la que encabeza este apartado: El complejo de Thom de la banda de Mobius es el plano proyectivo, y MDsu espectro de suspensión, es decir, SZ2 • La transformación eD: MD ~ HZ2 se puede identificar así con la inclusión de 1-esqueleto (estable), o sea, la aplicación de Hurewicz de módulo 2 ... Sea p/ I el haz de Mobius, que es el haz unidimensional de vectores que se construye uniendo los haces triviales sobre [O, 1/2] y [1/2, l] al multiplicar por -1 en la fibra sobre 1/2. Entonces, a pesar de que p/ I constituye el haz trivial, queda dotado de trivializaciones opuestas de la~ dos mitades de I Sea p/ !la versión estable. Llamaremos p/ I al giro de Mobius (estable). Roger Fenn, Colin Rourke, Brian Sanderson, <<james Bundles», 2003

rompecabezas basados en los mundos de Mobius que flolan por el espacio. La figura R.5 representa una joya creada por el maestro de los rompecabezas Dave Phillips. Me escribió: «Encuentre el camino que deben tomar las cuatro moscas de modo que todas sigan el mismo recorrido sin encontrarse, y sin repetir tramos, hasta que todas regresen a sus puestos de partida. Las caras anterior y posterior de los caminos se consideran diferentes».

R.5 Rompecabezas de las moscas de Mobius creado por Dave Phillips. Hay que encontrar el recorrido común que deben seguir las cuatro moscas para que al cabo de trazarlo no se hayan encontrado entre sí, ni hayan repetido tramo, y terminen en los puestos originales. El anverso y el reverso de los caminos se consideran distintos.

La banda de Mobius en la estética Lo que parecía una progresión lineal era en realidad una especie de banda de Mobius: la progresión del arle comenzó en Lascaux solo para finalizar, unos 15 000 años

Espero que el público lector me siga enviando creativos

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después, con artistas que aspiran a pintar como los hombres de las cavernas. Ahora, tras el fin del arte, todo vale. Natasha Degen, « The Philosofphy of Art: A Conversation With Arthur C. Danto», The Nation Los ingredientes, servidos en una olla pequeña de hierro y de dos asas, se disponían con armónica simetría japonesa. Porciones nacaradas de tofu cremoso cubrían en forma de abanico la mitad de la circunferencia de la olla y se encontraban con volutas de pastel gelatinoso de pescado en forma de banda de Mobius, seguidas de medallones de daicón que parecían rodajas blancas de manzana, y acabadas en mazorcas de maíz baby.

Lorraine Gengo, «My Traves With Sukiyaki», Fairfield County Weekly

MATERIAL DE CONSULTA POR CAPÍTULOS

Introducción

Fauvel, John, Raymond Flood, y Robin Wilson. Mobius and His Band: Mathematics and Astronomy in Nineteen-Century Germany. Nueva York: Oxford University Press, 1993. Gardner, Martin. Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions: The First Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Games. 1959. Reimpresión, Chicago: University of Chicago Press, 1988. Smith, Bruce. «Brewer marketing new energy beer». Columbia (SC) State, 21 de noviembre de 2004. http://www.thestate.com/mld/thestate/news/local/ 10240117.htm. (Sobre la cerveza de Móbius.) Capítulo 1

...

Gardner, Martin. Mathematics, Magic and Mystery. Nueva York: Dovcr, 1956 . Reamer, Eric. «Ministry Trick of the Month: Móbius Madness». Eri Reamer's Illustrated Illusions. http:/ /www.illustratedillusions.com/ trick26.htm. Regling, Dennis. «Make ItYourselfMagic Loops». Bella Online. http://www. bellaonline .com/ articles/ art5655 .asp. Capítulo 2 Adams, Colin. «Why knot: knots, molecules and stick numbers». Plus. http:/ /plus.maths.org/issuel5/features/knots/. Bows, Alice. «Non-collapsing knots could revea! secrets of the u 11iverse». Institute of Physics.

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Capítulo 5 Código del programa para generar un solenoide El seudocódigo siguiente calcula las coordenadas (x, y, z) de los cent ros de los tubos anidados para la construcción del solenoide. leve]: nivel de anidamiento circlepts: número de paso a lo largo del círculo longitudinal zr, zi: ángulo longitudinal, en forma de par de números complejos wr, wi: ubicación dentro del disco de sección, en forma de par de números complejos. circlepts = 36; pi= 3.14159; for i=O to circlepts do begin angle = 2 * pi * i / circlepts; x = cos(angle); (*longitudinal inicial*) y= sin(angle); (*posición angular*) zr = x; zi =y; (* como número complejo *) wr = O; wi =O; (* ubicación en la sección *) f'or j = 1 to level do begin wr = wr + zr/4; wi = wi + zi/4; zx = zr * zr - zi * zi; ('" cuadrado de un complejo *) zy = 2*zr*zi; (* de z *) zr = zx; zi = zy; e nd; x = zr * (1 + wr) ; y = zi*(l + wr);

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wi;

(* El rndio de l disro de sección ce ntrad o e n e l punto (x, y, z) es 1/ (2* * (lcvcl+ J)) *) end; Nota: En su libro de 1872 Budget of Paradoxes, Augustus De Morgan explica una ecuación relacionada con m a un actuario de seguros. Alude a la aproximación de binomios por medio de la distribución normal, un cálculo que exige el empleo del número pi. Robert L. Brown escribe lo siguiente en el número de noviembre/ diciembre de 2002 de la revista de la American Actualities Association, Contingencies (véase http:/ /www. contingencies.org/ novdec02/letters. pdf): En el caso de cualquier individuo perteneciente a un grupo, las probabilidades de vivir (o morir) son binomiales. Pero para el grupo (formado por un gran número de individuos), el teorema del límite central afirma que sus múltiples binomios se pueden aproximar por medio de la distribución normal. Y, por supuesto, la evaluación de esta distribución exige emplear la constante pi. Esto y de acuerdo ... en que no hay relación alguna entre una circunferencia y el número de personas que permanecen vivas al cabo de un tiempo determinado. Alexander, J. W. «An Example of a Simply Connected Surface Bounding a Región Which Is Not Simply Connected». Proceedings of the NationalAcademy ofSciences 10 (1924): 8-10. (Sobre la esfera cornuda de Alexander). Biggs, Norman. «The Development ofTopology». En Mobius and His Band: Mathematics and Astronomy in Nineteenth-Century Germany. Edición de Fauvel,J., R. Flood y R. Wilson. Oxford, Inglaterra: Oxford University Press, 1993. · Boas, Ralph. P., hijo. «Mobius Shorts». Mathematics Magazine68, núm. 2 (abril de 1995): 127. Bogomolny, Alexander. «Barycentric coordinates». Cut the Knot. http: / /www.cut-the-knot.org/triangle/barycenter.shtml. Bouwkamp, C. J. y A. J. W. Duijvestijn. «Catalogue of Simple Perfect Squared Squares of Orders 21 Through 25». Eindhoven University of Technology, Dept. of Math. Report 92-WSK-03, noviembre de 1992. Bouwkamp, C. J. y A. J. W. Duijvestijn. «Album of Simple Perfect Squared Squares of Order 26» . Eindhoven University of Technology, Faculty of Mathematics and Computing Science, EUT Report 94-WSK-02, diciembre de 1994. Brooks, R. L., C. A. B. Smith, A. H. Stone y W. T. Tutte. «The Dissection of Rectangles in to Squares». Duke Mathematics Journal 7, núm. 1 (1940): 312-340. Browne, Cameron. Página de arte de Cameron. http://members.optusn et.com.au/ cameronb/ art-1.htm. (Sobre la esfera co rnuda de Alexander). Crowe, Mi ch;wl. u/\11g11s1 Fcrdinand Mobius». En Dictionary of Scien-

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Capítulo 6 Notas: /\'l universo visible: En 2004, el radio del universo visible se estimó en 78 111il millones de años-luz y su edad, en 13 700 millones de años. (El radio del universo no mide 13 700 millones de años-luz porque el espacio (:xperimenta una expansión continua, de forma que la expansión más rápida se produjo justo después del nacimiento del universo). Líneas sobre una esfera: Algunos científicos no consideran «líneas» paralelas las líneas de latitud de la Tierra. Excepto en el ecuador terrestre, las «lín eas» de latitud no se corresponden con la distancia más corta entre dos puntos. El círculo máximo entre dos puntos de la Tierra, idealizada como una esfera, es una geodésica, y el término «círculo máximo» alude ' t cualquier círculo trazado sobre una esfera que tiene el mismo diámetro que ella. En términos intuitivos, una banda elástica desplegada sobre un trazado no geodésico, se contraería en sentido longitudinal por razones e nergéticas para seguir el trazado próximo más corto. ¿Cuántas copias existen de usted? Los estudiosos sostienen que si la materi a y la e ne rgía del universo surgieron por fluctuaciones cuánticas alea-

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torias, t.al como indi ca la inllación cósmica, e nton ces existirá un número infinito d e copias de la configuración finita de la materia y la energía co ntenidas en el universo visible, fácilmente contenidas en una esfera de 100 mil millones de años-luz de diámetro . La comunidad científica cree que un fragmento de materia y energía contenidas en una esfera finita solo puede adquirir una cantidad finita de disposiciones, debido a una limitación conocida como el «restricción holográfica». Para profundizar más en el tema consulte «Physics Enters the Twilight Zone» de Charles Seife. ALGORITMO: Cómo crear una botella de Klein de Banchoff for(u =O; u< 6.28; u= u+2){ for(v =O; v < 6.28;v = v+.051 x = cos(u) * (sqrt(2) +cos(u/2) *cos(v)+sin (u/2) *sin (v) *cos(v)); y= sin (u)* (sqrt(2)+cos( u/2) *cos(v)+sin (u/2) *sin (v) *cos(v)); z = -sin(u/2)*cos(v)+cos(u/2)*sin(v)*cos(v); DrawSphereCenteredAt(x,y,x) ll Adams, Colín yJoey Shapiro. «The Shape ofthe Universe: Ten Possibilities». American Scientist (setiembre/octubre de 2001) : 443-453. Adams, Fred y Greg Laughlin. The Five Ages of the Vniverse: lnside the Physics of Eternity. 202-203; Lee Smolin, 1997, Lijé of the Cosmos. Nueva York: Oxford University Press: 1997. (Roger Penrose y Stephen Hawking han sugerido que el universo en expansión está descrito por las mismas ecuaciones que un agujero negro en colapso pero con la flecha del tiempo en la dirección opuesta. Los agujeros negros podrían ser las semillas que den origen a otros unversos. Según John Gribbin, en Stardust, el número de universos retoño podría ser proporcional al volumen del universo progenitor). Banchoff, Thomas. Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions. 2ª ed. Nueva York: Freeman, 1996. Cowen, Ron. «Cosmologists in Flatland: Searching for the Missing Energy». Science News 153, núm. 9 (28 de febrero de 1998): 139141. Davies, Paul. «A Brief History of the Multiverse ». New York Times, 12 de abril de 2003, última edición de la tarde, sec. A. (Véase además la página en Internet de Nick Bostrom, www.simulation-argument. com). Egan, Greg. Permutation City. Nueva York: HarperCollins, 1994. Klarreich, Erica. «The Shape of Space». Science News 164, núm. 19 (8 de noviembre de 2003): 296-297. Moore, Alan, y Kevin O'Neill. «The New Traveller's Almanac». En League of Extraordinary Gentlemen, vol. 2. Nueva York: DC Comics, 2003. Overbye, Dennis. «Universe as Doughnut: New Data, New Debate». New York Times, 11 de marzo de 2003, última ediciónde la tarde , sec. F.

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'l\11111111 ,,l:i11ws. So/111• '/'hi.1: !1/11/h Atlioilil'sji11 Sl1ulf'11/,1 Ollfl (,'/11/J.1'. Waslii11g1011 , D.C.: Tite Ma1ltc111atirnl /\ssocia1ion ol' /\rncrica , ~()() 1. Wa 1ki11s,Jol111.J. /\cross tlu, !Joarrt: '/'/u, Mritlumw.tú:s u/ Clwl'Súomd Proúlems. Pri11ccton, NucvaJcrscy: Princcton Universily Prcss, 2004. Capítulo 8 Nota: varias de las personas que leyeron el manuscrito de este libro me preguntaron el significado de la palabra viconiano que aparece en el prólogo de la obra Perdido en la casa encantada de John Barth. Este 1é rmino alude a las teorías del filósofo napolitano, Giambattista (Giov<1nni Battista) Vico (1668-1744), relacionadas con la naturaleza cíclica de la cultura. En concreto, Vico sostenía que la historia es cíclica y que ntda ciclo consta de tres edades distintas: una edad divina, una edad he roica y una edad humana. A estas edades les sigue una pequeña edad de transición que inicia el siguiente ciclo. Barth, John. «Art of the Story: Interview with John Barth». De Elizabeth Farnsworth. NewsHour with]im Lehrer (18 de noviembre de 1998) . h ttp://www.pbs.org/newshour /bb/ entertainmen t/july-dec98/ barth_ll-18.h tml. Kasman, Alex. «Geometry, Trigonometry, and Topology in Math Fiction». Mathematical Fiction: A List Compiled by Alex Kasman, College of Charleston. http:/ /math.cofc.edu/faculty /kasman/MATHFICT /search. php?orderby =title&go=yes&topics=gtt. Pickover, Clifford. Sex, Drugs, Einstein, and Elves: Sushi, Psychedelics, Parallel Universes, and the Quest for Transcendence. Petaluma, California: Smart Publications, 2005. Sorrentino, Christopher. «Reading Coleman Dowell's Island People». Center for Book Culture. http://centerforbookculture.org/context/no3/sorrentinúm.htm. Conclusión Boittin, Margaret, Erin Callahan, David Goldberg y Jacob Remes. «Math that Makes You Go Wow». http://www.math.ohio-state. edu/- fiedorow / math655 /yale/ random.htm. Gardner, Martin. Orden y sorpresa. Trad. de Nésto Míguez. Madrid: Alianza Editorial, 1986. (Recomiendo la consulta del capítulo «Las aventuras de Stanislaw Ulam»). Mandelbrot, Benoit. «A Fractal Life: Interview with Valerie J amieson ». New Scientist 184, núm. 2473 (13 de noviembre de 2004): 50-52. Pickover, Clifford. Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind,

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SOBRE EL AUTOR

Clifford A. Pickover se doctoró por el Departamento de Biofísica y Bioquímica Molecular de la Universidad de Yale. Fue el primero de su promoción, al completar el programa cuatrienal de la licenciatura en la Universidad Franklin and Marshall College en tan solo tres años. Ha escrito numerosas obras que se han traducido al italiano, francés, griego, alemán, japonés, chino, coreano, portugués, castellano, turco y polaco. Pickover, uno de los autores más prolíficos y eclécticos de nuestr os días, firm a libros tan conocidos como: A Passion for Mathematics (Wiley, 2005), Sex, Drugs, Einstein, and Elves (Smart Publications, 2005), Calculus and Pizza (Wiley, 2003), The Paradox of God and the Science of Omniscience (Palgrave/ St. Martin's Press, 2002), The Stars of Heaven (Oxford University Press, 2001), The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars (Princeton U niversity Press, 2001), Dreaming the Future (Prometheus, 2001), La maravilla de los números (Traducción de P. Crespo Quesada. Ma Non Troppo, 2002), The Girl ivho Cave Birth to Rabbits (Prometheus, 2000), Surfing Through Hyperspace (Oxford University Press, 1999), The Science of Aliens (Basic Books, 1998), Time: A Traveler's Cuide ( Oxford University Press, 1998), Strange Brains and Genius: The Secrel Lives of Eccentric Scientists and Madmen (Plenum, 1998), The Alien IQ Test (Basic Books, 1997), The Loom of God (Plenum, 1997), Black H oles-A Traveler's Cuide (Wiley, 1996), y Keys to Injinity (Wiley, 1995) . Además, es autor de muchos otros libros '.1~9

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Uuws in Wonrlnüind:

\l i.wud A rlvrmtur'fs in a Fractal World ( 1994), M azes /or the Mind:

Cmnfmters and the Unexpected ( 1992), Computers and the Imagirwlion ( 1991) y Computers, Pattern, Chaos, and Beauty ( 1990), todos ellos publicados por St. Martin's Press. Ha publicado más de doscientos artículos sobre temas de ciencia, arte y rn aLe máticas. Asimismo es coautor, junto con Piers Anthony, de Spider Legs, novela que en su día ocupó el segundo lugar entre los títulos de ciencia ficción más vendidos en Barnes & Noble.com. En la actualidad, Pickover es redactor adjunto de la revista científica Computers and Graphics y forma parte del equipo editorial de Odyssey, Leonardo y YLEM. Fue responsable de la edición de los libros Chaos and Fractals: A Computer Graphical]ourney (Elsevier, 1998), The Pattern Book: Fractals, Art, and Nature (World Scien tific, 1995), Visions of the Future: Art, Technology, and Computing in the Next Century (St. Martin's Press, 1993), Future Health (St. Martin's Press, 1995), FractalHorizons (St. Martin's Press, 1996) y Visualizing Biological Information (World Scientific, 1995); y fue coeditor de las obras Spiral Symmetry (World Scientific, 1992) y Frontiers in Scientific Visualization (Wiley, 1994); el doctor Pickover está interesado en la búsqueda de nuevas vías para lograr una expansión continua de la creatividad mediante la fusión del arte, la ciencia, las matemáticas y otras áreas aparentemente dispares del afán humano. Es autor de la conocida serie de ciencia ficción titulada Neoreality (Liquid Earth, Sushi Never Sleeps, The Lobotomy Club y Egg Drop Soup), donde los personajes exploran realidades desconocidas. Los Angeles Times proclamó recientemente que «Pickover ha publicado casi un libro al año, y en ellos lleva al límite las computadoras, el arte y el pensamiento». Pickover fue galardonado con el primer premio del concurso «Beauty of Physics Photographic Competition», patrocinado por el lnstitute of Physics. Sus gráficas por computadora han ilustrado Ja cubierta de numerosas revistas conocidas, y sus estudios han recibido una atención considerable por parte de :1:10

la prensa en tiempos recientes, como en el programa d e la CNN Science and Technology Week, o en The Discovery Channel, Science News, The Washington Post, Wired y The Christian Science Monitor, así como en exposiciones y museos internacionales. La revista OMNI lo describió como «El homólogo de Van Leeuwenhoek del siglo XX». Scientific American ha utilizado su producción gráfica en varias ocasiones calificándola de «extraña y bella, de un realismo impresionante». La revista Wired escribió: «Bucky Fuller tenía una mente grande, Arthur C. Clarke tiene una mente grande, pero Cliff Pickover los supera a ambos». Pickover tiene en su haber más de treinta patentes estadounidenses, en su mayoría relacionadas con ideas novedosas para equipos informáticos. El doctor Pickover forma parte en la actualidad del equipo de investigación del IBM T.J. Watson Research Center, donde ha recibido cuarenta premios por sus logros inventivos y tres premios de investigación. Durante muchos años, el doctor Pickover escribió la columna «Brain-Boggler» de la revista Discover, y en la actualidad es autor de la columna «BrainStrain» de Odyssey. Sus puzles (calendarios y tarjetas) están pensados para niños y para adultos, y de ellos se han vendido cientos de miles de copias Las aficiones del doctor Pickover incluyen la práctica de Ch'ang-Shih Tai-Chi Ch'uan y Shaolin Kung Fu, la cría de severum dorado y verde (un gran pez de la Amazonia) y tocar el piano (sobre todo jazz). Asimismo pertenece a la SETI League, un grupo de entusiastas del procesamiento de señales que escudriñan el cielo de manera sistemática en busca de vida inteligente extraterrestre. Su página en Internet ha recibido más de un millón de visitas: http:/ /www.pickover. com. Está localizable en P.O. Box 549, Millwood, Nueva York 10546-0549, USA.

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CONCLUYÓ LA IMPRESIÓN DE ESTE LIBRO POR ENCARGO DE ALMUZARA EN LA IMPRENTA KADMOS EL 11 DE AGOSTO DE 2009. TAL DÍA DEL AÑO 1956 NACE PIERRE-LOUIS LIONS, MATEMÁTICO FRANCÉS ESTUDIOSO DE LA TEORÍA DE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIAl.ES NO LINEALES QUE FUE EL PRIMERO EN ENCONT RAR UNA SOLUCIÓN COMPLETA A LA ECUACIÓN DE BOLTZMA.NN.

LA BANDA DE MOBIUS, ese bucle continuo de una sola cara y un solo borde que desafía el sentido común y cobró celebridad gracias a las ilustraciones de M.C. Escher, nos introduce en un lugar donde lo puramente intelectual penetra en la vida cotidiana; donde nuestros sentidos, angustiados con el precio de la gasolina y qué comer a mediodía, asimilarán ideas verdaderamente insólitas. La historia de la banda de Mobius arranca a mediados del siglo XIX, cuando el doctor August Mobius, un científico visionario, describió las propiedades de superficies de una sola cara, hasta llegar al presente, donde forma parte de las matemáticas, la magia, la ciencia, el arte, la ingeniería, la literatura y la música. Esta cinta se ha convertido en metáfora de cambio y renovación. La banda de Mobius abarca desde moléculas y esculturas en metal hasta sellos de correos, estructutas arquitectónicas y modelos de todo el universo, y dirige la mirada del lector hacia formas de pensar y mundos completamente nuevos a medida que el autor viaja a través de culturas y atisba más allá de la realidad ordinaria. La banda de Mobius es un manantial infinito de formas que demuestran que las matemáticas se han infiltrado en todos los campos del quehacer científico. De hecho nos sirven para explicar los colores de una puesta de sol o la estructura del cerebro, para construir aviones supersónicos y montañas rusas, para simular el flujo de los recursos naturales, explorar realidades cuánticas subatómicas o describir galaxias lejanas. Siguiendo la senda de la banda de Mobius descubriremos hasta qué punto ha cambiado nuestra concepción del cosmos gracias a las matemáticas.

«Bucky Fuller tenía una mente grande, Arthur C. Clarke también, pero Cliff Pickover los supera a ambosJ Wired «Como una máquina de movimiento mental perpetu~d Pickover es uno de los pensadores más creativos, ipás originales del mundo actual.» journal of Recreational Matheinatics

p ALMUZARA

21 .95 € 111111111111111111111111111111

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