Longitud De Arco

LONGITUD DE ARCO En la unidad 2 vimos que la longitud de arco de una curva plana suave C de ecuaciones paramétricas x = x (t) y = y (t) para es:

s

b

a

dx      dt 

2

dy      dt 

2

d

t

En esta sección simplificaremos la formula anterior en la siguiente:

s

b

a

xt 2  yt 2 dt

En forma vectorial, con C dada por r (t) = x (t)i + y (t)j, podemos reescribir esta expresión para la longitud de arco como:

s   r t  dt b

a

La fórmula para la longitud de arco de una curva en el espacio solamente se le pone la tercera componente h (t)k

CÁLCULO DE LA LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO EJEMPLO 1: Calcular la longitud de arco de la siguiente curva en el espacio:

3

4 1 r t   ti  t 2 j  t 2 k entre t  0 y t  2 3 2 Solucion: 3

Teniendo en cuenta que: xt   t ,

4 yt   t 2 , 3

1 z t   t 2 2

Se obtienen las siguientes derivadas: 1 2

xt   1,

yt   2t ,

zt   t

Así pues, la longitud de arco entre t =0 y t = 2, resulta ser:

s

b

a

s

2

0

xt 2  yt 2  zt 2 dt 1  4t  t 2 dt  

2

0

Fórmula utilizada:

(t  2) 2  3dt



3 t  2  s (t  2) 2  3  ln (t  2)  (t  2) 2  3  2  2 0

2

3 3 s  2 3  ln( 4  13 )  1  ln 3  4.816 2 2

u 2 a2 2 u  a du  u  a  ln u  u 2  a 2  C 2 2 2

2

EJEMPLO 2: Calcular la longitud de arco de un giro de la hélice mostrada en la figura y dada por la función vectorial siguiente:

r t   b cos ti  bsentj  1  b 2 tk

para 0  t  2

Solución: Como:

r t   bsenti  b cos tj  1  b 2 k

La longitud de arco pedida es:

s  02 r t  dt s  02 b 2 (sen 2t  cos 2 t )  (1  b 2 )dt

s  02 dt  t 0  2  0  2 2

s  2