Lucrare De Matematica

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

DEZVOLTAREA GÂNDIRII LOGICE A ELEVILOR PRIN REZOLVAREA PROBLEMELOR -- lucrare metodico – ştiinţifică PLANUL LUCRĂRII INTRODUCERE I.1. Dezvoltarea învăţământului primar în condiţiile modernizării invăţământului românesc I.2. Importanţa studierii matematicii în dezvoltarea gândirii elevilor în ciclul primar I.3. Actualitatea şi motivarea temei II. IPOTEZA ŞI OBIECTIVELE LUCRĂRII II.1. Ipoteza lucrării II.2. Obiectivele lucrării III. METODE DE CERCETARE III.1. Observaţia III.2. Convorbirea III.3. Experimentul pedagogic III.4. Testul III.5. Analiza lucrărilor elevilor III.6. Evaluarea rezultatelor IV. ASPECTE TEORETICE DE BAZĂ IV.1. Gândirea – proces de cunoaştere IV.2. Flexibilitatea gândirii IV.3. Dezvoltarea gândirii logice la elevii din ciclul primar, aspecte psihopedagogice V. DESFĂŞURAREA CERCETĂRII V.1. Conceptul de problemă V.2. Etapele rezolvării problemelor V.3. Valenţe formative ale activităţii de rezolvare a problemelor V.4. Tipuri de probleme şi metode de rezolvare V.5. Aspecte metodice privind rezolvarea de probleme V.6. Metode şi procedee folosite în vederea cultivării flexibilităţii gândirii elevilor prin rezolvarea problemelor VI.EVALUAREA ŞI INTERPRETAREA REZULTATELOR VII.CONCLUZII

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

PROIECTE DE LECTII ANEXE BIBLIOGRAFIE I. INTRODUCERE I.1. Dezvoltarea învăţământului primar în condiţiile modernizării învăţământului românesc. Ciclul primar reprezintă segmentul cel mai stabil al învăţământului. Totodată acesta este şi cel mai vechi sub raport istoric, dispunând de un corp didactic cu tradiţii puternice şi pozitive. I.2. Importanţa studierii matematicii în dezvoltarea gândirii elevilor în ciclul primar Scopul esenţial pe care îl urmăreşte învăţământul matematic nu se reduce la latura informativă, ci prin predarea

acestei

discipline

se

realizează

mai

ales

dezvoltarea raţionamentului şi a spiritului de receptivitate, a deprinderilor de gândire logică, de definire clară şi precisă a noţiunilor de adaptare creatoare la cerinţele actuale. I. La clasele I – IV trebuie să punem bazele însuşirii întregului

sistem

de

cunoştinţe

matematice

prin

transmiterea noţiunilor fundamentale ale acestei ştiinţe, să dezvoltăm gândirea (logică) cu operaţiile şi calităţile ei II. IPOTEZA ŞI OBIECTIVELE LUCRĂRII II.1. Ipoteza lucrării II. 2. Obiectivele lucrării

Obiectivul principal în activitatea ce o desfăsor îl constituie largirea cercului de cunoştinţe, dezvoltarea flexibilităţii gândirii, a cretivităţii, spre a-i face pe copii

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

capabili să se orienteze cu uşurinţă în cadrul situaţiilor problematice, în rezolvarea problemelor III. METODE DE CERCETARE III.1. Observaţia Această metodă presupune consemnarea sistematică şi riguroasă,

amănunţită

şi

clară

a

tuturor

proceselor,

reacţiilor, formelor de conduită cuprinse în programul cercetării, care priveşte un anumit aspect (exemplu: gândirea şi calităţile acesteia) III. 2. Convorbirea Convorbirea pe care cadrul didactic o are cu elevul vizează cunoaşterea lumii interne având loc de la exterior la interior, prin confruntarea datelor existente la dispoziţia cadrului didactic cu relatările pesonale ale copilului III.3. Experimentul pedagogic Această metodă este o modalitate nouă a învăţării având ca scop optimizarea procesului educaţional şi constă în observarea fenomenelor într-o situaţie anume creată de cercetător; III. 4. Testul, Analiza lucrărilor elevilor, Evaluarea rezultatelor V. DESFǍŞURAREA CERCETǍRII VI. Conceptul de problemă Înţelegerea enunţului probleme Analiza problemei şi întocmirea planului logic Alegerea şi efectuarea operaţiilor corespunzătoare succesiunii din planul logi E. Activităţi suplimentare după rezolvarea problemei Ea constă în verificarea soluţiei problemei, în găsirea şi a altor metode de rezolvare şi de alegere justificată a celei

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

mai

bune.

Este

etapa

prin

care

se

realizează

şi

autocontrolul asupra felului în care s-a însuşit enunţul problemei, asupra raţionamentului realizat şi a demersului de rezolvare parcurs. Chiar dacă rezolvarea unei probleme se face frontal sau prin activitate independentă, este posibil ca în şirul de raţionamente, ca şi în stabilirea algoritmului de rezolvare, precum şi în efectuarea operaţiilor indicate, să se strecoare erori care să conducă la altă soluţie decât cea bună. În plus, prin utilizarea unor căi şi metode diferite, se poate ajunge la soluţii diferite sau la soluţii ilogice (neconforme cu realitatea – de genul – vârsta tatălui este de...250 ani). După rezolvarea unei probleme, se recomandă pentru a se scoate în evidenţă categoria din care face parte problema – fixarea algoritmului ei de rezolvare, scrierea (transpunerea) datelor problemei şi a relaţiilor dintre ele într-un exerciţiu sau, după caz, în fragmente de exerciţiu. Prin

rezolvarea

de

probleme

asemănătoare,

prin

compunerea de probleme, cu aceleaşi date sau cu date schimbate, învăţătorul

dar

rezolvabile

descoperă

cu

după

elevii

acelaşi

schema

exerciţiu,

generală

de

rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerinţă care nu duce la schematizare, la fixitatea sau rigiditatea gândirii, ci din contră, la cultivarea si educarea creativităţii, la educarea sistematică a intelectului elevilor. Procesul de rezolvare a problemelor antrenează în sistem elementele ajunse la automatizare, dar mai corelează elemente a căror acţiune trebuie să rămână în permanenţă sub controlul conştiinţei.

Abilităţile

matematice

de

care

depinde

rezolvarea problemelor sunt fie cu caracter general, adică intră în acţiune la rezolvarea oricărei probleme (cum ar fi orientarea asupra datelor, punerea în legătură a acestora,

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

diferenţierea cunoscutelor de necunoscute), fie specifice şi se aplică la probleme tipice, ori la detaliile acţiunilor (procedee de calcul) şi care, în acest caz au statut de deprinderi. Sarcina principală a învăţătorului când pune în faţa elevilor o problemă este să-i conducă pe aceştia la o analiză profundă a datelor, analiză care să le permită o serie

de

reformulări,

care

să

îi

apropie

de

solutie.

Necesitatea analizei riguroase a datelor este cu atât mai mare în clasele mici, cu cât ştim că elevul întâmpină dificultăţi în această direcţie, în special datorită lipsei unei vederi de ansamblu (a perspectivei) asupra problemei- şi conştientizării

întregului

raţionament

de

rezolvare

a

acesteia. Tendinţa elevului de a lega datele problemei în ordinea succesivă pe care i-o oferă enunţul conduce la rezultate greşite, îndeosebi când ordinea rezolvării nu coincide cu ordinea datelor din enunţ. Analiza profundă a datelor problemei trebuie să-l conducă

pe

elev

la

desprinderea

de

concret,

la

transpunerea situaţiei concrete pe care o prezintă problema în relaţii matematice. Renunţarea la elementele concrete şî înlocuirea

acestora

schematizarea

cu

expresii

problemei-

deci

potrivite pasul

fac

posibilă

necesar

spre

generalizare. O altă sarcină a învăţătorului este să-l ajute pe elev să cuprindă imaginea de ansamblu a problemei. Elevul trebuie să treacă de la fragmente la tot, de la relaţii dintre perechi de date la întregul film al rezolvării, care este dinamic şi îmbină după o logică riguroasă fragmentele. O problemă este mai dificilă cu cât ea diferă mai mult de problemele rezolvate anterior, deci cu cât situaţia noua cere o restructurare mai profundă a experienţei anterioare.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Dat fiind faptul că posibilităţile şcolarului mic de folosire a cunoştinţelor şi de raportare a relaţiilor vechi la cele noi sunt încă insuficient dezvoltate, acţiunile principale ale învăţătorului trebuie să fie orientate în această direcţie. Deoarece elevul nu sesizează ansamblul problemei, nu prinde sau pierde ideea care l-ar duce la rezolvare, nu îşi dă seama rapid în ce mod poate folosi rezultatele parţiale, activităţile pregătitoare şi de rezolvare ale învăţătorului trebuie

să

urmărească

înţelegerea

de

catre

elevi

a

specificului rezolvării prin crearea unui mod simplu de rezolvare pentru problemele care, deşi par diferite, au în esenţă aceeaşi structură.

V.3. Valenţe formative ale activităţii de rezolvare a problemelor Procesul de învăţare continuă este esential atât în viaţa individuală cât şi în cea socială. El a permis şi permite omului să stabilească toate treptele evoluţiei sale şi să ajungă pe această înaltă culme a progresului şi civilizaţiei umane. Orice învăţare prezintă o nouă achiziţie, o finalitate, adesea un complex de finalităţi, enunţate de obicei prin experienţa caştigată. A pregăti copilul pentru a-şi însuşi, în procesul invăţării matematice, valori ştiinţifice şi a se bucura astfel de fructele cunoaşterii omeneşti, în interesul lui şi al semenilor săi, înseamnă a-l angaja la o activitate perseverentă şi răbdătoare de cunoaştere. În procesul învăţării, elevul câştigă cunoştinţe, ori astăzi în mileniul III, când are loc această revoluţie în toate domeniile de activitate, când are loc un adevărat asalt

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

informaţional, când ceea ce învăţăm s-ar putea sa nu mai fie valabil mâine, se impune trecerea de la informare la formare, de la memorarea şi reproducerea mecanică de date la dezvoltarea minţii şi a puterii de judecată. Se impune deci o învăţare productiv creatoare prin care elevul să participe cu întreaga sa personalitate, cu toate laturile şi funcţiile

sale:

cognitivă,

afectivă,

volitivă.

Activitatea

elevilor în cadrul lecţiilor de matematică, pe măsura capacităţilor potenţiale şi în conformitate cu legile lor biologice, am întreprins-o cu scopul de a forma indivizi cu personalitate

creatoare,

capabili

şi

dornici

să

se

autorealizeze. Cercetările întreprinse de P.J.Galperin şi J.Piaget, au pus în evidenţă faptul că formarea concepţiilor are loc pe baza interiorizării unor acţiuni, adică pe baza trecerii de la acţiuni externe cu obiectele, la acţiuni interne ce se desfăşoară pe plan mintal cu ajutorul limbajului. Astfel gândirea ne apare ca un joc de operaţii şi nu o simplă asimilare de imagini şi noţiuni. A forma gândirea înseamnă a forma operaţii, iar a forma operatii înseamnă a elabora sau constitui în acţiuni şi prin acţiune. Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacităţile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora

toate

disponibilităţile

psihice,

în

special

inteligenţa, motiv pentru care în ciclul primar se acordă o mare importanţă rezolvării problemelor de matematică. Valoarea formativă a rezolvării de probleme sporeşte, pentru că participarea şi mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puşi în situaţia de a descoperi ei înşişi modalităţile de rezolvare, de a formula ipoteze şi de a le verifica, de a face asociaţii de idei, corelaţii inedite.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

La elevi se formează priceperea de a analiza situaţia dată de problemă (valorile numerice, relaţiile cunoscute) şi „a descoperi” calea prin care să obţină ceea ce se cere în problemă. Aceasta duce la dezvoltarea gândirii, la formarea limbajului matematic, la educarea perspicacităţii şi a spiritului de iniţiativă. Dar nu numai procesele de cunoaştere sunt mobilizate în rezolvarea unei probleme, ci întreaga personalitate a celui ce rezolvă problema în toate coordonatele ei raţionale, afective, volitive. Nu se lucrează în matematică numai cu mintea. Pasiunea matematică este motorul activităţii. Un rol important al profesorului este să călăuzească activitatea celui care învaţă în aşa fel încât acesta să resimtă farmecul, atracţia, specifice acestei activităţi. Nu numai să-l ajute să înteleagă,

ci

să-l

ajute

să

simtă.

Pentru

înţelegere,

profesorul poate fi înlocuit de un text bun. Profesorul adevărat, neidentificabil cu un text, are şi rolul călăuzirii sentimentelor, a sentimentelor intrinseci, proprii în mod natural activităţii matematice. Apariţia ideii în rezolvarea problemei este în esenţă un act de descoperire cu toate implicaţiile lui psihice. Nu întotdeauna efortul făcut pentru a rezolva o problemă este încununat de succes. Se întâmplă de multe ori ca elevul să nu descopere modul de rezolvare, să nu poată răspunde la întrebarea problemei; elevii trebuie educaţi în sensul de a nu ceda până nu ajung să rezolve problema. Reluarea muncii şi ducerea ei până la capăt constituie un bun exerciţiu pentru educarea voinţei, a dârzeniei, a perseverenţei. Tehnica rezolvării problemelor de aritmetică poate

obţine

decât

printr-o

muncă

susţinută,

nu se bine

organizată. Deseori, începătorii în studiul aritmeticii nu se

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

preocupă să descopere într-o problemă, în structura ei interioară, particularitatea esenţială care o apropie de un grup de probleme ce se pot rezolva după o aceeaşi schemă. Privitor la problemele propuse spre rezolvare elevilor, este necesar ca acestea să fie ordonate după gradul lor de dificultate, să aibă enunţul clar şi concis formulat, ţinând sema de nivelul intelectual al rezolvitorului şi mai ales de gradul său de pregătire. Prin conţinutul lor, reflectând aspecte ale activităţii oamenilor, rezolvarea problemelor contribuie la aplicarea în practică a cunoştinţelor matematice dobândite. Rezolvarea problemelor exercită o influenţă formativă asupra elevilor pe tot parcursul studierii matematicii. Cu cât înaintăm spre clasele mari, cu atât mai mult acestea se referă la formarea unei gândiri profunde şi perspicace, a exactităţii şi corectitudinii, a dârzeniei, a spiritului de iniţiativă, a independenţei. Rezolvarea problemelor constituie activitatea matematică cea mai bogată în valenţe formative, în ea concretizându-se întreaga experienţă dobândită de elev, atât în studierea calculului,

şi cunoaşterea numerelor cât şi a

acestea

devenind

elemente

auxiliare

în

rezolvarea problemelor. Bogatele valenţe formative al activităţii de rezolvare a problemelor nu se valorifică de la sine, în mod spontan. Lăsată pe seama spontaneităţii, eficienţa formativă a rezolvării problemelor este limitată şi se poate dirija în direcţii negative, dacă se pot forma unele priceperi şi deprinderi care frânează dezvoltarea gândirii şi a atitudinii independente

a

elevilor.

De

aceea

este

necesară

o

preocupare permanentă din partea învăţătorului pentru valorificarea valenţelor formative ale activităţii de rezolvare

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

a problemelor şi de sporire a eficienţei formative a acestei activităţi. Ţinând

seama de cerinţele psihologice şi de noua

viziune didactică am conceput în clasa I un panou sub denumirea de „Problema ilustrată”. Prin posibilitatea de a reprezenta în prim plan datele problemei ilustrate, procesul gândirii analitico-sintactice la elevi iese în evidenţă în forma simplă. Astfel, elevului nu-i rămâne decât să transforme rezultatele activităţii intelectuale de pe plan senzorial în activitate operaţională pe plan abstract, prin utilizarea algoritmilor dobândiţi prin intermediul unei scheme ceea ce reprezintă raţionamentul problemei. Raţionamentul problemei ca rezultat al abstractizării şi generalizării în procesul de cunoaştere este reprezentat printr-un singură

model ideal simplu în cazul problemelor cu o operaţie,

evidenţiind

legătura

reciprocă

şi

împletirea lor, în rezolvarea problemelor cu mai multe operaţii, în diferite etape de studiu de-a lungul anilor de şcolarizare. Pentru a demonstra posibilitatea de a reprezenta în aceeaşi imagine cele două acţiuni (concretă şi abstractă) prin

intermediul

panoului

„Problema

ilustrată”,

voi

exemplifica prin câte o problemă simplă şi compusă la clasele I şi a III-a. Exemplul 1: Clasa I Într-o pungă sunt 3 pere şi mere cu 2 mai multe decât pere. Câte mere sunt în pungă? (figura 1)

a

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

?b 3 3 +2 Figura 1 Exemplul 2: Clasa I Acelaşi text dar cu întrebarea schimbată. Câte fructe sunt în pungă? (figura 2) a ?b

?

c 3 3+2 a+b 3+(3+2)=8 Figura 2 Exemplul 3: Clasa a III-a La o cantină şcolară s-au adus cu primul transport 10 litri de lapte, iar în cel de-al doilea transport de 2 ori mai mult. Câţi litri de lapte s-au adus în al doilea transport? (figura 3) 10 l 10 l

10 l a

?b 10 ax2 10 x 2= 20 Figura 3 Exemplul 4: Clasa a III-a Acelaşi text, dar cu întrebarea schimbată.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Câţi litri de lapte s-au adus în total? (Figura 4) 10 l 10 l

10

l a ?b

?

c 10 ax2

a+

(ax2) 10 +(10 x 2)= 30 Figura 4 După ce elevii s-au familiarizat cu limbajul matematic specific operaţiilor artitmetice ca urmare a înţelegerii relatiei dintre date, text şi întrebare, prin intermediul acţiunii, rezolvarea problemelor dobândeşte un caracter abstract. Elevii au simţit cu atât mai mult utilitatea calculului cu cât ei au formulat probleme pe baza unor calcule

efectuate sau

a

unor

relatii

prezentate

prin

simboluri literale. Astfel, după ce au rezolvat un gen de exerciţii ca 13 + 4 sau 15 – 2 + 6, elevii au fost solicitaţi să compună o problemă care să se rezolve prin acest calcul. Si mai mult a fost solicitată gândirea lor creatoare atunci când li s-a cerut să elaboreze probleme al căror principiu de rezolvare să fie relaţiile indicate prin simboluri literale din formula dată: (a+b) sau (a+b+c). Exemplu: Ionel a cumpărat 4 caiete, iar fratele său 5 caiete. Câte caiete au cumpărat împreună? 4+5=9 (caiete) – când se încadrează în formula a+b

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Aceeaşi problemă complicată puţin se încadrează în formula a+b-c Exemplu: Ionel a cumpărat 4 caiete, iar fratele său 5 caiete. Copiii au dat din toate caietele 3 unui coleg. Câte le-au mai rămas? 4+5-3=6 (caiete) (a+b-c) De asemenea, încă din clasa I, elevii au învăţat că după rezolvarea problemei să extragă principiul ei de rezolvare într-o formulă literală cu caracter general. Exemplu: Într-o lădiţă erau 12 portocale, iar în altă lădiţă erau cu 3 portocale mai mult. Câte portocale erau în ambele lădiţe? După rezolvarea ei obişnuită se extrage 12 + (12 +3) = 27, care se încadrează în formula a + (a+b). În cadrul problemelor cu mai multe operaţii la clasele a III-a şi a IV-a, schema devine mai complexă şi mai mobilă în raport cu gradul de dificultate al problemelor. Schema ca rezultat al unei învăţări active uşurează procesul de rezolvare a unor probleme prin folosirea calculelor neefectuate anterior sub formă de exerciţii combinate. Spre ilustrarea celor relatate voi exemplifica câte un caz de problemă la clasele a III-a şi a IV-a. Exemplu: (la clasa a III-a) „Într-o livadă sunt 10 rânduri de pruni cu câte 135 de pomi pe rând, 15 rânduri de meri cu câte 100 de pomi pe rând, iar restul până la 4000 de pomi sunt cireşi. Câţi pomi de fiecare fel sunt în livadă?” Schema

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

a c

? b

?

?d 4000

135 x 10

15 x 100

a

– (b+c) 4000 – (135 x 10 + 15 x 100) = 1150 (d) Exemplu : (la clasa a IV-a) „Într-un siloz al unei ferme erau 1536 tone cartofi. Într-o zi s-au transporat 1/4 la piaţă, iar a doua zi 3/8 din toată cantitatea. Câte tone de cartofi au rămas în siloz?” a

?b

?c

1536

a:4

a:8x3

?d a–b–c

Rezolvarea sub formă de exerciţiu: 1536 – (1536 : 4) – (1536 : 8 x 3) = 576 (d) Pentru calcularea produsului m-am folosit de exemplul: „Într-o livadă sunt 7 rânduri de meri şi 9 rânduri de peri, în fiecare rând existând câte 8 pomi. Câţi pomi sunt în livadă?” Respectând metodologia rezolvării problemelor, elevii au observat că rezultatul poate fi scris (7 x 9) x 8 sau 7 x (9 x 8). Această egalitate, (7 x 9) x 8 = 7 x (9 x 8), arată că la înmulţirea cu trei factori se poate proceda în două moduri. - înmulţim primul factor cu al doilea şi rezultatul îl înmulţim cu al treilea; - înmulţim al doilea factor cu al treilea şi rezultatul îl înmulţim cu primul. Pentru impărţirea prin cuprindere :”Dintr-un bidon de 10 litri în câte sticle putem pune câte 2 litri?” Pe baza acţiunii concrete am stabilit cu elevii că punem câte 2 litri în sticle până se termină lichidul din bidon. Am constatat că sunt necesare 8 sticle – numărul acesta ne

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

arată câte grupe de câte 2 litri se pot forma din cei 16 litri aflaţi în bidon. Vom zice că 2 se cuprinde în 16 de 8 ori scriind 16 : 2 = 8. Pentru împărţirea în părţi egale: „Într-un coş sunt 16 mere. Ele se distribuie în mod egal la 2 copii. Cate mere va primi fiecare copil?” Tot prin acţiune practică am observat că fiecare copil a primit câte 8 mere ceea ce arată că s-au luat de 2 ori câte 8 mere din cele 16 mere din coş. Astfel spus, 2 se cuprinde în 16 de 8 ori. Altă latură formativă a rezolvării de probleme constă în fatul că prin intermediul acestora elevii ajung să înţeleagă cele mai simple corelaţii dintre diferite mărimi care se întâlnesc des în viaţă: viteză, timp, distanţă, cantitate, valoare. În acest sens găsim exemple în manualele de matematică. „Pentru a parcurge distanţa dintre două oraşe un motociclist a străbătut o porţiune din traseu mergând cu o viteză de 50 km/oră. După 3 ore de mers a constatat că mai sunt 35 km până la destinaţie. Ce distanţă este între cele două oraşe?” Se observă cu uşurinţă cele trei mărimi- viteză, timp, distanţă – că nu se poate răspunde la întrebare dacă nu sesisează legătura: v x t= d ;

d:v=t

Relaţia preţ – valoare: „Un ţăran a recoltat din livada 950 kg de cireşe şi cu 326 kg mai puţine vişine. El a vândut fructele la piaţă cu 150 de lei kg de cireşe şi cu 200 lei kg de vişine. Din banii obţinuţi el a depus la bancă 120.000 de lei, iar restul i-a împăţit celor trei fii ai săi în mod egal. Câţi lei a primit fiecare fiu?”

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Relaţia lungime – lăţime – perimetru: „Lungimea totală a unui teren de formă dreptunghiulară este de 800 m. Lăţimea este de 3 ori mai mică decât lungimea terenului. Câţi metri are lungimea şi câţi metri are lăţimea terenului?” Elevii o pot rezolva folosindu-se de relaţia P = (L + l) x 2, problema fiind pentru clasa a III-a. Rezolvându-se problema se aprofundează, se consolidează, se clarifică cunoştinţele însuşite - exemplu la capitolul „Fracţii”. „Trei fraţi au cules împreună un coş cu zmeură. Fratele cel mare a cules singur jumătate din coş, iar cel mic un sfert din cât au cules împreună ceilalţi doi. Câte căni de zmeură a cules fiecare dacă pentru umplerea coşului sunt necesare 40 de căni?” Consolidarea cunoştinţelor, priceperilor şi deprinderilor însuşite despre unităţile de măsură: „Perimetrul unui dreptunghi este de 600 dam. Calculaţi dimensiunile sale dacă: - lungimea este cu 120 m mai mare decât lăţimea; - lăţimea este de două ori mai mică decât lungimea.’’ Din exemplele date rezultă că lecţia de rezolvare a problemelor

capata

o

nouă

orientare

şi

noi

valenţe

formative ca urmare a sporirii caracterului formativ al procesului învăţării. a) Judecata problemei ca acţiune de înţelegere a relaţiilor dintre date, text şi întrebare concretizeaza prin schemă

ca

rezultat

al

învăţării,

prin

descoperire,

problematizare şi algoritmizare, prin solicitarea funcţiilor de flexibilitate şi creativitate a gândirii elevilor.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

b) Rezolvarea problemei ca acţiune operaţională specifică formării şi perfecţionării algoritmilor matematici având ca element de sprijin raţionamentul problemei, ilustrat prin judecăţi parţiale, prin elementele componente ale schemei. Judecata problemei ca moment prioritar în predarea şi rezolvarea problemelor matematice din acţiune verbală după sistemul tradiţional capătă caracter intuitiv, ceea ce ne dă posibilitatea să verificăm şi să cunoaştem gradul de funcţionalitate al gândirii elevilor precum şi ritmul calculului matematic în activitatea independentă a elevilor. Lecţia prin noul concept, pe lângă faptul că îşi sporeşte caracterul practic aplicativ, are şi calitatea de a dirija atenţia elevilor în direcţii precise în funcţie de sarcinile specifice ale fiecărui moment al lecţiei. În rezolvarea unei probleme, în mod conştient, elevul depune un efort, îşi mobilizează procesele psihice, în primul rând gândirea. Deci una din valenţele educative ale rezolvării

de

probleme

este

dezvoltarea

gândirii

cu

operaţiile sale (analiza, sinteza, comparaţia, abstractizarea, profunzimea şi rapiditatea). Prin rezolvarea de probleme activitatea gândirii se manifestă cu precădere si în acest proces

de

mobilizează

depăşire maximal

a

obstacolelor

resursele

cognitive,

(informaţii,

ea

îşi

capacităţi)

demonstrându-şi posibilităţile de performanţă. În funcţie de felul

cum

este organizată,

orientată

activitatea

de

rezolvare de probleme poate duce la dezvoltarea gândirii logice dar şi la formarea unei gândiri rigide (şablon), lucru mai puţin de dorit pentru cerintele actualului stadiu de dezvoltare a societăţii româneşti. Problemele şcolare necesitând cunoştinţe de matematică, de fizică, geometrie etc., aparţin din punct de

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

vedere psihologic „problemelor simbolice”. Aceasta pentru că elevii le rezolvă acţional, rezolvare ce implică în mod obligatoriu limbajul interior sau exterior. În manualul de matematică întâlnim probleme de acest gen. Exemplu: clasa a IV-a „Într-un lac cresc nuferi. Ei îşi dublează în fiecare zi mărimea (suprafaţa ocupată). După 10 zile, jumătate de lac este plină. După câte zile se umple întregul lac?” Analizând modul în care elevii rezolvă asemenea probleme, ies în evidenţă o serie de caracteristici ale gândirii. Cheia reuşitei în rezolvarea problemelor este ordonarea şi sistematizarea informaţiilor de care dispune elevul, selecţionarea lor, reţinerea acelora care duc spre soluţie şi eliminarea critică a tot ce este inutil. În manualele de matematică există probleme care pun accent pe gândirea logică. În aceste cazuri procedând după un sistem bine gândit, anticipând diferitele variante de rezultate probabile, vom ajunge mai repede la soluţie decât atunci când vom face încercări la întâmplare. Pentru exemplificare dăm unele probleme de matematică pentru clasele I – IV: - pentru clasa I: „Punctajul înscris pe o ţintă de tir arată astfel:

0

3 5 1 0

Câte puncte se pot obţine din două lovituri?” (scrie 5 posibilităţi) - pentru clasa a II-a:

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

„Într-o cutie sunt figuri geometrice decupate din carton, numai triunghiuri şi cercuri. Ştiind că în cutie sunt 7 figuri în formă de cerc, iar numărul figurilor roşii este 6, care este cel mai mic număr de figuri geometrice ce pot fi în cutie? Dar cel mai mare?” - pentru clasa a III-a: „Mihai, Gheorghiţă şi Sandu trimit fiecare câte o scrisoare colegilor lor Viorel, Andrei, Cristian şi Doru. a) Aflati câte plicuri au folosit, efectuând: două adunări; trei adunări, o înmulţire. b) Verificaţi rezultatul formând toate perechile expeditor- destinatar şi numărându-le, comparaţi numărul acestor perechi cu cel al plicurilor”. - pentru clasa a IV-a: „Un melc cade într-o fântână adâncă de 18 metri. El vrea să iasă afară. Ziua se târăşte spre ieşire cu 3 metri, iar noaptea alunecă înapoi cu 1 metru. A câta zi iese melcul afara?” Urmărind strategiile elaborate de elevi în rezolvarea problemelor am constatat că elevii începători elaborează strategii simple, la întâmplare, nu elaborează strategii strict logico- matematice. În clasele I şi a II-a elevul nu dispune nici de mijloace mintale eficiente, le lipseşte experienţa bogată care să le ofere „idei” în privinţa căutării de soluţii. Odată cu acumularea

experienţei

şcolare,

prin

rezolvarea

unor

probleme similare creşte capacitatea de a lucra mai sistematic. În acest caz, exerciţiul, „antrenamentul”, joacă un rol hotărâtor. Psihologii afirmă pe drept cuvânt că nu există

metode

„naturale”

care

să

apară

spontan

în

rezolvarea problemelor. Elevul învaţă metodele de rezolvare a problemelor aşa cum învaţă multe alte lucruri, iar practica

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

ne arată că prin exerciţii multilaterale şi cu grade de dificultate diferite, el capată şi capacitatea de a fi cât mai sistematic în rezolvarea de probleme. Rezolvarea de probleme duce la dezvoltarea caracterului critic al gândirii. Începând din primele clase dezvoltăm la şcolarii mici însuşirile gândirii critice. Acum se pun bazele „atitudinii critice” faţă de cunoştinţele însuşite, mai intâi, apoi faţă de faptele, acţiunile, conduita celor din jur şi apoi faţă de cea proprie. La şcolarii mici se disting două forme: - gândire critică legată de rezolvarea diferitelor probleme şi sarcini şcolare; - gândire critică legată de evaluarea şi reglarea faptelor de conduită la alţii şi la sine însuşi. Desigur, prin rezolvarea de probleme, în procesul analizei, aprecierii şi rezolvării se evidenţiază prima fază de gândire critică. Aici, se analizează critic probleme pentru a vedea datele acesteia, relaţiile dintre acestea, se verifică ideea emisă, se confruntă cu modul de lucru al altor elevi, se apreciază modul de lucru. Prin acestea se urmăreşte stabilirea gradului de corectitudine în efectuarea acestor sarcini şcolare. Prin educarea acestei laturi a gândirii critice am folosit: - probleme cu condiţia insuficientă pentru a putea determina

necunoscuta

prin

care

am

urmărit

dacă

sesizează lipsa unor date numerice necesare rezolvării problemei

în

mod

corect

la

început,

pe

parcursul

încercărilor greşite sau nu sesizează deloc acest lucru efectuând operaţiile aritmetice cu datele existente (lucru ce nu duce la obţinerea unor răspunsuri la cererea emisă de problemă). Iată câteva exemple: - pentru clasa I:

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

„ Intr-o livadă sunt 23 de meri şi 32 de peri. Câţi cireşi sunt în livadă?” - pentru clasa a II-a: „ Elevii clasei a II-a B au participat în 3 zile la strângerea recoltei. În prima zi au participat 161 de elevi, iar în a doua zi 234 de elevi. Câţi elevi au participat în a treia zi?” - pentru clasa a III-a: „ Din 34 de metri de pânză se fac 6 cămăşi şi 4 halate. Câţi metri de pânză se folosesc la un halat?” - pentru clasa a IV-a: „ Pentru împrejmuirea unei grădini de zarzavat în formă de dreptunghi, cu un gard format din 3 rânduri de sârmă sau folosit 900 metri de sârmă. Care este lungimea grădinii?” După ce elevii au sesizat că din probleme lipsesc date sau relaţii fără de care nu se poate rezolva problema, le-am cerut să le completeze ei în funcţie de datele cunoscute şi de întrebarea problemei. Începând de la primele rezolvări de probleme am pus în faţa lor sarcina de a rezolva probleme fără întrebare, în care nu se formulează direct sau indirect cerinţa care decurge în mod logic din enunţul ei. În acest caz am urmărit dacă elevii pot formula corect cerinţa problemei. Am observat că dacă elevul sesizează relaţia dintre datele problemei, va sesiza şi cerinţa ce se ascunde în enunţul ei. Punându-i pe ei să formuleze cerinţa problemei, am urmărit să dezvolt la ei capacitatea de a face o analiză critică a enunţului problemei care condiţionează rezolvarea corectă a acesteia. Spre exemplu următoarea problemă din clasa a III-a:

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

„ La o cantină s-au adus struguri: 3 lăzi a câte 30 kg şi 6 lăzi a cate 45 kg fiecare. Din acestea s-au consumat 290 kg. a) puneţi întrebarea şi rezolvati corect problema; Nr

Nr. de elevi care au răspuns Corect punctu . de pentr l a) ele u ambel vi e punct e 15 9 3 b) puneţi problema sub formă de exerciţiu. O altă problemă (de matematică) cu date „redundante” solicită din partea elevilor alegerea corectă a două date din trei. Datele de prisos creează posibilitatea de a stabili în mod greşit raportul dintre datele problemei, o sinteză greşită. Am folosit acest gen de probleme cu scopul de a cultiva la elevi o gândire critică ce se exprimă prin: sesizarea datelor numerice de prisos odată ce elevul se familiarizează cu conţinutul problemei, preîntâmpinându-şi greşelile cu aceste date, sau constatarea greşelilor de calcul cu aceste date şi eliminarea lor din problemă pe calea „încercărilor” nereuşite de rezolvare a acestora. „ La un aprozar s-au adus 268 kg de roşii şi ardei. În prima zi s-au vândut 127 kg de roşii si cu 20 kg mai mult ardei. Câte kg de ardei s-au vândut? „( pentru clasa a II-a). Cea de a doua formă a gândirii critice, legată de însuşirile de personalitate şi conduită ale elevilor poate fi dezvoltată prin valorificarea la lecţie a unor posibilităţi de autoapreciere. Aceasta se realizează prin alegerea liberă a

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

problemelor de matematică în funcţie de gradul lor de dificultate, dar şi de posibilităţile elevilor. La multe lucrări de control s-au dat elevilor subiecte diferite ca grad de dificultate, fiecare subiect fiind evaluat cu un anumit calificativ. De exemplu, o astfel de evaluare a cunoştinţelor la clasa a III-a ( vezi anexa 3): Prin acest mod de lucru, utilizat fie la sfârşitul unei unităţi de învăţare, sfârşitul unui semestru sau an şcolar, ne dam seama dacă elevul confruntă nivelul său de aspiraţie cu gradul de dificultate al problemelor pe care le alege, deci de autoapreciere corectă, adică dacă ţinând seama de posibilităţile

sale

intelectuale

alege

problemele

corespunzătoare. Acest mod de lucru permite evidenţierea la elevi a particularităţilor autoaprecierii care pot fi: autoapreciere critică, când elevul îşi cunoaşte performanţa şcolară, subaprecierea

autocritică,

când

elevul

manifestă

neîncredere în forţele proprii şi supraapreciere necritică, când elevul este încrezut. La ultimele două cazuri, adică subaprecierea posibilităţile

şi

supraaprecierea,

elevii

nu-şi

cunosc

lor în funcţie de plusurile sau lacunele

bagajului de cunoştinţe. Acest lucru îi împiedică în reuşita lor şcolară. Prin aceasta răspundem la una din întrebările majore ale omului actual, problema îmbunătăţirii propriului său mod de a gândi. Pentru a dezvolta acest proces cognitiv, modalitatea cea mai uşoară este de a transforma enunţul problemelor compuse

în

enunţul

unor

probleme

simple,

rezolvate. Am folosit acest procedeu de lucru pas cu pas.

recent

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Exemplu la clasa I: - pasul I- problema simplă „ In parcul şcolii elevii au sădit 30 de lalele şi 56 de panseluţe. Câte flori au sădit în total?” - pasul al II-lea: problema simplă, dar cu grad sporit de dificultate „ În parcul şcolii elevii au sădit 30 de lalele şi cu 56 mai multe panseluţe. Câte flori au sădit în total?” Prin discuţiile purtate cu elevii, ţinand seama de experienţa acumulată în rezolvarea problemelor anterioare am desprins concluzia că sunt două probleme simple: I.

,,În parcul şcolii elevii au sădit 30 de lalele şi cu 56 mai multe panseluţe”.

II.

,,În parcul şcolii elevii au sădit 30 de lalele şi…panseluţe”. Lucrând astfel am considerat să dezvolt gândirea elevilor

respectând

totodată

şi

regulile

didactice

elementare: trecerea de la cunoscut la necunoscut, de la simplu la complex, de la uşor la greu. Deci, rezolvarea de probleme dezvoltă gândirea, o disciplinează,

îi

dă

un

caracter

riguros

ştiinţific,

o

obişnuieşte să lucreze cu date. Toate acestea deschid calea de rezolvare a problemelor puse de viaţă în faţa fiecărui om. Problemele de matematică pun la dispoziţia elevului un limbaj care exprimă cu precizie ideile cele mai abstracte, comunică informaţii foarte complexe într-o manieră clară şi concisă.

Deci,

problemele

limbajului matematic.

contribuie

la

dezvoltarea

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Toate cele prezentate privesc în primul rând pe elevii din clasele mici unde se pun bazele formării trăsăturilor morale şi de caracter ale omului, unde activitatea rezolvării problemelor are un efect formativ mai evident. Eficienţa formativă a rezolvării de probleme nu trebuie lăsată pe seama spontaneităţii deoarece ar fi limitată şi ar avea un efect negativ în sensul că ar frustra dezvoltarea gândirii şi atitudinii independente a elevilor. Învăţătorul care pune temelia inteligenţei copilului, trebuie să ştie care este rolul problemelor şi să le folosească ca atare. În activitatea de la clasă n-am cerut elevului să rezolve o problemă, să dea răspunsul numeric, ceea ce ar subîntelege rezolvarea, ci am urmărit ca el să inţeleagă sensul problemei, să fie în stare să explice legătura dintre date cu propriile lui cunoştinţe şi în ultimă instanţă să o rezolve. Am ajuns la concluzia că în faţa noastră, a învăţătorilor, trebuie să stea permanent în vedere rolul tridimensional al rezolvării de probleme- instructiv- educativ- practic- nici una nu trebuie neglijată. M-am preocupat să găsesc căi şi modalităţi eficiente, momentul cel mai propice al lecţiei în care să intervin cu o sarcină care să ridice “probleme” şi săl mobilizeze pe elev la toate eforturile pentru a rezolva după un efort propriu. V.4. Tipuri de probleme şi metode de rezolvare Mulţi învaţă matematică din necesităţi conjuncturale, în general, şi mai ales în special pentru a face faţă exigenţei diferitelor examene. Puţini sunt aceia care o fac din plăcere, din pasiune.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Elevii îşi formează deprinderi de calcul oral sau scris, îsi însuşesc

anumite

tehnici

de

calcul,

dar

„poezia

matematicii” – plăcerea de a descifra şi de a „reciti” ca pe o poezie cu multiple şi uneori ascunse sensuri despre viaţă şi univers, numai rezolvarea de probleme o realizează deplin. În capitolul precedent am arătat valoarea formativă a rezolvării de probleme, dezvoltarea gandirii şi a capacităţii de utilizare a ei în situaţii problematice, insă acestea, la care putem adăuga înţelegerea esenţei matematicii, nu se pot realiza fără voinţă, perseverenţă, fermitate, tenacitate şi pasiune. Acestea se realizează numai prin măiestria de care dă dovadă învăţătorul, prin metodele şi procedeele pe care le utilizează în rezolvarea de probleme, în trecerea unor obstacole

pe

care

le

întâmpină

elevii

în

rezolvarea

problemelor, prin tactul pedagogic de care dă dovadă pentru cultivarea încrederii în forţele proprii, a celorlalte calităţi pozitive ale voinţei şi caracterului. Primele probleme sunt acelea pe care şi le pune zilnic copilul în şcoală, în familie, în timpul jocului şi care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-i face să vadă încă

din

clasa

I

utilitatea

activităţii

de

rezolvare

a

problemelor, este necesar ca micii şcolari să înţeleagă faptul că în viaţa de toate zilele sunt situaţii când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări. În această perioadă de început, activitatea de a rezolva şi compune probleme se face numai pe cale intuitivă. De aceea,

primele

probleme

sunt

necesar

legate

de

introducerea lor sub formă de joc şi au un caracter

de

problema -acţiune şi li se asociază un bogat material didactic ilustrativ.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Rezolvarea primelor probleme se realizează la un nivel concret, ca acţiune de viaţă (au mai venit...fetiţe, s-au spart..baloane,

au

plecat...răţuşte,

i-a

dat...creioane

colorate, au mâncat...bomboane), ilustrate prin imagini sau chiar prin acţiuni executate de copii (elevul vine la magazin, cumpără, plăteşte sau elevul este la şcoală şi primeşte cărţi sau creioane). În această fază, activitatea de rezolvare a problemelor se află foarte aproape de aceea de calcul. Dificultatea principală pe care o întâmpină copiii constă

în

matematice.

transcrierea În

acţiunilor

enunţul

unei

concrete

probleme,

în

relaţii

formulat

de

învăţător sau de copil, nu se spune „3 fetiţe plus 2 fetiţe”, ci se spune că erau 3 fetiţe şi au mai venit 2 fetiţe, nu se spune „4 baloane - 2 baloane”, ci că au fost 4 baloane şi sau spart 2 dintre ele. Pe baza experienţei pe care o au elevii încă din etapa preşcolară sau chiar din primele lecţii de matematică în efectuarea operaţiilor cu mulţimi, ei reuşesc, în general, cu uşurinţă să „traducă” în operaţii matematice acţiunile cerute în enunţul unei probleme. Acum elevii sunt familiarizaţi cu termenul de „problemă”,

„întrebarea

problemei”,

„rezolvarea

problemei”, „rezultatul problemei”. Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face încă din perioada pregătitoare primelor operaţii. Învăţătorul se foloseşte de probleme „acţiune” care după ce au fost „puse în scenă” vor fi ilustrate cu un desen schematic. Deşi rezolvările de probleme simple par uşoare, învăţătorul trebuie să aducă în atenţia copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură operaţie aritmetică. Care sunt în esenţă acest tipuri? 1. Probleme simple bazate pe adunare pot fi:

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

- de aflare a sumei a doi termeni; - de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unităţi decât un număr dat; - probleme de genul „cu atât mai mult”. 2. Probleme bazate pe scădere pot fi: - de aflare a restului; - de aflare a unui număr care să aibă un număr de unităţi mai puţine decât un număr dat; - de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma şi un termen al sumei; - probleme de genul „cu atât mai puţin” 3. Probleme simple bazate pe înmulţire pot fi: - de repetare de un număr de ori a unui număr dat; - de aflare a produsului; - de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat; 4. Probleme simple bazate pe împărţire pot fi: - de împărţire a unui număr dat în părţi egale; - de împărţire prin cuprindere a unui număr prin altul; - de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat; - de aflare a unei părţi dintr-un întreg; - de aflare a raportului dintre două numere. În general, problemele simple sunt uşor înţelese şi rezolvate

de către

elevi.

Dificultăţi

există,

cele

mai

frecvente fiind de genul: neglijarea întrebării, includerea răspunsului în enunţ, neglijarea unei date, confundarea operaţiei ce trebuie efectuate ş.a. Pentru depasirea lor am avut în vedere: - rezolvarea unui număr mare de probleme; - analiza temeinică în rezolvarea fiecărei probleme;

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

- abordarea unei mai mari varietăţi de enunţuri; - prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii sa le completeze şi apoi să le rezolve; - prezentarea datelor unei probleme şi elevii să pună întrebarea şi invers; - prezentarea unor „povestiri” care nu sunt altceva decât aşa-zise probleme latente; - completarea unui text dat cu valori numerice conforme cu realitatea; - rezolvarea unor probleme în care operaţia nu apare la prima vedere; - compunerea de probleme după anumite date, după scheme date, folosind inversarea datelor sau alte date; - alcătuirea de către copii a unor probleme, în mod liber, fără a fi limitate de existenţa datelor, de relaţia dintre ele sau de rezolvarea lor printr-o anumită operaţie. De fapt, prin aceste procedee se urmăreşte propriu-zis nu o învăţare a problemelor, ci formarea capacităţilor de a domina varietatea lor care practic este infinită. Rezolvarea de probleme simple este unul din primii paşi orientaţi spre exersarea flexibilităţii şi fluenţei gândirii. Prin rezolvare elevii ajung să opereze în mod real cu numere, să facă operaţii de compunere şi descompunere, să folosească strategii şi modele mintale anticipative. Rezolvarea problemelor compuse nu înseamnă, în esenţă, rezolvarea succesivă a unor probleme simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusă constituie dificultatea principală într-o problemă cu mai multe operaţii, ci legătura dintre verigi, constituirea raţionamentului. De aceea este necesară o perioadă de tranziţie de la rezolvarea problemelor simple ( cu o

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

operaţie) la rezolvarea problemelor compuse ( cu două sau mai multe operaţii). În prima perioadă se porneşte de la rezolvarea unor probleme compuse alcătuite din succesiunea a două probleme simple. Un exemplu relevant poate fi următoarea problemă: „ Victor şi Dănuţ strâng împreună timbre. Victor a pus într-un plic 3 timbre iar Dănuţ 2 timbre. Câte timbre au împreună cei doi copii?” ( 3 timbre +2 timbre= 5 timbre) „ Ionică aduce şi el 4 timbre pe care le pune în plicul lor. Câte timbre au acum cei 3 copii?” ( 5 timbre +4 timbre= 9 timbre). Spunem problema în întregime: „ Victor şi Dănuţ strâng împreună timbre. Victor a pus într-un plic 3 timbre şi Dănuţ 2 timbre. Ionică aduce şi el 4 timbre pe care le pune în acelaşi plic. Câte timbre au în total cei trei copii?” 3 timbre........2 timbre.......4 timbre...........? timbre Rezolvăm problema şi pe secvenţe (judecăţi separate): 1. Câte timbre au împreună Victor şi Dănuţ? 3 timbre + 2 timbre = 5 timbre 2. Câte timbre au în total cei trei copii? 5 timbre + 4 timbre = 9 timbre Rezolvăm problema şi printr-o adunare a trei termeni: 3 timbre + 2 timbre + 4 timbre = 9 timbre ceea ce în esenţă se exprimă prin relaţia a+b+c. În cadrul acestei activităţi elevii sesizează mersul raţionamentului şi învaţă să elaboreze tactica şi strategia rezolvării prin elaborarea planului de rezolvare a problemei. Examinarea unei probleme compuse se face, de regulă, prin metoda analitică sau sintetică. Cele două metode se

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

pot folosi simultan sau poate să predomine una sau alta, caz în care metoda care predomină îşi impune specificul asupra căilor care duc la găsirea soluţiei. Atât o metodă cât şi cealaltă constau in descompunerea problemei date în probleme simple care, prin rezolvare succesivă duc la găsirea soluţiei finale. Deosebirea dintre ele constă, practic, în punctul de plecare al raţionamentului. Prin metoda sintezei se pleacă de la datele problemei spre găsirea soluţiei ei, iar prin metoda analizei se pleacă de la întrebarea problemei spre datele ei şi stabilirea relaţiilor matematice între ele. În practică, s-a demonstrat că metoda sintezei este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevilor. Mai mult, se constată că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei şi sunt tentaţi să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluţiei problemei. Metoda analizei pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor şi, folosind-o, îi ajută pe elevi să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenţie întrebarea problemei. Odată cu analiza logică a problemei se formulează şi planul de rezolvare. Planul trebuie scris de învăţător pe tablă şi de elevi pe caietele lor, mai ales la rezolvarea primelor

probleme,

scopul

fiind

acela

al

formării

deprinderilor de a formula întrebări şi pentru alte rezolvări de probleme. În clasa I, planul problemei se întocmeşte de la început oral ( elevii neavând suficiente cunoştinţe şi deprinderi de scriere), manieră care se continuă şi în clasa

a II-a, în

unele situaţii. Se recomandă ca la clasa a II-a planul de rezolvare să se facă oral sau în scris în egală măsură. În clasele a III-a şi a IV-a, după întocmirea planului oral, elevii

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

sunt capabili datorită deprinderilor de scriere deja formate, să treacă la scrierea planului cu uşurinţă, îndată ce problema a fost examinată. Forma în care poate fi scris planul este variată, dar cel mai eficient este sub forma întrebărilor. Să luăm ca exemplu problema: „ O fermă a contractat 392 de tone de grâu, secară cu 72 tone mai puţin, iar ovăz de 32 de ori mai putin decât secară. Câte tone de cereale a contractat acea fermă?” Planul rezolvării: - câte tone de secară? - câte tone de ovăz? - câte tone de cereale s-au contractat în total? Rezolvare: 392 tone – 72 tone = 320 tone (secară) 320 tone : 32 tone = 10 tone (ovăz) 392 tone+ 320 tone + 10 tone = 722 tone (cereale) Răspuns: 722 tone cereale. Rezolvarea se scrie, de regulă, prin intercalarea întrebărilor din plan cu calculul asigurându-se o estetică în pagină şi o strânsă legătură între ceea ce a gândit elevul şi ceea ce se calculează: Astfel vom avea: Câte tone de secară s-au contractat? 322 tone – 72 tone = 320 tone (secară) Câte tone de ovăz s-au contractat? 320 tone : 32 tone = 10 tone (ovăz) Câte tone de cereale s-au contractat? 392 tone + 320 tone + 10 tone = 722 tone (cereale) Răspuns: 722 tone cereale Scriind în felul de mai sus, elevii sunt solicitaţi să răspundă

imediat,

prin

efectuarea

operaţiei

fiecărei

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

întrebări din plan, evitându-se astfel posibilele greşeli şi chiar confuzii de întrebări şi operaţii. O atenţie deosebită trebuie să acorde învăţătorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare. Şi aceasta pentru că prin rezolvarea lor se cultivă mobilitatea gândirii, creativitatea sa, se formează simţul estetic al şcolarilor ( prin eleganţă, economicitatea şi organizarea modului de rezolvare). Formarea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevărată gimnastică de minţii, educându-se astfel atenţia, spiritul de investigaţie şi perspicacitate al elevilor. De multe ori elevii nu sesizează de la început existenţa mai multor căi de rezolvare. Sarcina învăţătorului este aceea ca prin măiestria lui pedagogică, prin analiza întreprinsă cu clasa, prin întrebări ajutătoare, să-i determine pe elevi să gândească şi alte modalităţi de rezolvare. Să exemplificăm cu problema: „ Într-un bazin curge apa prin două robinete. Prin primul robinet curg câte 174 litri de apă pe minut, iar prin

al

doilea robinet, cu 36 litri mai mult decât prin primul. Câţi litri de apă se află în bazin după 3 minute de la deschiderea celor două robinete?” Unii elevi pot rezolva problema efectuând operaţiile necesare în ordinea acţiunilor cuprinse în enunţ ( din variate motive: neputinţa de a cuprinde şi de a prelucra întregul

enunţ,

insuficienţa

deprinderilor

de

rezolvare

formate până la acest moment). Alţi elevi, analizând mai bine problema, renunţă la ordinea acţiunilor cuprinse în enunţ şi caută valorile între care pot stabili o relaţie utilă, mai economicoasă şi mai simplă pentru rezolvarea problemei. Cum organizăm datele problemei? 174 l............cu 36 l mai putin.......? l..............3 minute

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Iată şi cele două moduri alternative de rezolvare, cu schemele respective (figura 1 şi figura 2). 1.

2.

174 l – 36 l = 138 l

174 l –

36 l = 138 l 174 l x 3 = 522 l

174 l +

138 l = 312 l 138 l x 3 = 414 l

312 l x

3 l = 936 l 522 l + 414 l = 936 l 174 l .........................cu 36 l mai puţin............3 minute.............? l 138 l

X 522 l

X 414 l + 936 l

(Schema la figura

1) 174 l .........................cu 36 l mai puţin............3 minute.............? l 138 l + 312 l X 936 l

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

(Schema la figura 2) Modelul oferă elevului posibilitatea să vadă unitar structura unei probleme, sesizând organizarea internă a conţinutului ei. Elaborarea modelului în forme şi modalităţi din cele mai variate – cu cerculeţe, cu pătrate, cu triunghiuri, cu litere, cu cuvinte, cu prescurtări, cu ilustraţii etc, este un instrument ajutător în rezolvarea problemei. Prin alcătuirea modelului, elevul parcurge o etapă de gândire, pătrunde în procesul de rezolvare, probează că a înţeles

structura

exersează

logică

gândirea

a

conţinutului

divergentă,

problemei,

creatoare,

îşi

precum

şi

abilităţile de compunere de probleme. O categorie de probleme căreia învăţătorul trebuie să-i acorde o atenţie deosebită este aceea în care datele sunt în relaţii de „cu atât mai mare (mai mică)” sau ,,de atâtea ori mai mare (mai mică)”. Pentru elevii din clasa a II-a şi a III-a, în special, acestea au un caracter abstract şi dacă nu se face o analiză foarte atentă a problemei ele pot fi luate ca valori numerice cunoscute. Dificultatea constă mai ales în faptul că o mărime se ia de mai multe ori: a + (a + b), a + a x b, a – a : b, a + (a +b) + (a + c) etc şi dacă elevul nu şia însuşit noţiunile respective le poate neglija. În aceste cazuri,se recomandă descompunerea problemei

compuse

în

probleme

simple

şi

apoi

recompunerea din acestea a problemei iniţiale. În analiza problemelor este bine să nu se folosească totdeauna datele concrete aşa cum sunt ele prezentate , explicându-le copiilor că acestea pot fi altele într-o

altă

problemă sau situaţie -problemă. Rezolvarea problemelor după un plan de rezolvare necesită nu o dată şi folosirea schemelor, desenelor,

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

graficelor etc, iar pentru formarea unei gândiri sintetice, formule numerice sau literale. Dacă atunci când se predau operaţiile aritmetice se insistă asupra notării cu litere a termenilor şi factorilor, dacă operaţiile aritmetice sunt scrise la modul general şi se cere elevilor să rezolve şi să compună probleme simple de aflare a unui termen, a unui factor, a sumei, diferenţei, produsului, câtului, să mărească şi să micşoreze o cantitate cu atât sau de atâtea ori etc – folosind formule literale, elevii nu vor mai întâmpina greutăţi mari în acţiunile de schematizare şi generalizare a unei probleme compuse prin exerciţiu numeric sau formulă literală. La întrebarea: câte probleme de matematică să se rezolve într-o lecţie, răspunsul tehnicienilor şi practicienilor este simplu. Într-o oră de matematică este posibil să se rezolve doar 2 -3 probleme la care să se insiste asupra raţionamentului, asupra diferitelor căi posibile de rezolvare, asupra schemei, punerii în formula numerică şi literală, compunerii unor formule analoage pornind de la exerciţiu şi formulă, decât să se rezolve, în mod superficial, mai multe probleme, fără repetarea cerinţelor sus- amintite. Un rol deosebit în dezvoltarea flexibilităţii gândirii îl ocupă

rezolvarea

problemelor

-tip.

Prin

problemă-tip

înţelegem acea construcţie matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui anumit algoritm specific fiecărui tip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care i-am stabilit tipul şi suntem în posesia algoritmului de rezolvare. Nu trebuie să fim adepţii unor şabloane pentru că rezolvitorul s-ar putea transforma într-un robot, posesor al unor cartele pe care sunt imprimaţi algoritmi şi sarcina lui ar

fi

doar

să

stabilească

tipul,

să

„tragă”

cartela

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

corespunzătoare, şi să o adapteze datelor problemei. Un rezolvitor de probleme trebuie să fie, pe lângă un bun specialist

al

obiectului,

şi

un

tip

creator,

novator,

întreprinzător – calităţi disjuncte cu ale „robotului”, în sensul clasic al cuvântului. Problemele de matematică le putem clasifica astfel: I. Probleme cu operaţii relativ evidente în funcţie de date

şi de relaţiile

dintre ele şi necunoscută

(sunt

problemele cele mai des întâlnite în manualele din clasa IIV); acestea sunt: A. Probleme simple B. Probleme compuse Ca metode de rezolvare sunt, principal, două - metoda sintetică şi metoda analitică. II. Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă. În acestă categorie includem şi probleme de aflare a două numere cunoscând suma şi diferenţa lor, precum şi pe cele de aflare a două numere cunoscând suma sau diferenţa şi raportul lor. III. Probleme de egalare a datelor (metoda reducerii la acelaşi termen de comparaţie). IV. Probleme de presupunere (metoda falsei ipoteze). V. Probleme gen rest din rest (metoda mersului invers). VI. Probleme de amestec şi aliaje cu două variante: A. De categoria I. B. De categoria a II-a. VII. Probleme de mişcare (bazate pe relaţia s= v x t ), cu două variante: A.

În acelaşi sens.

B.

În sensuri contrare. VIII. Probleme cu mărimi proporţionale cu două variante:

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

A. Împărţirea unui număr în părţi direct proporţionale. B. Împărţirea unui număr în părţi invers proporţionale. IX. Probleme care, depinzând de alcătuirea întrebării şi de date, pot fi rezolvate şi încadrate în categoriile specificate mai sus, dar cu un conţinut specific: A.

Probleme cu conţinut geometric.

B.

Probleme cu conţinut de fizică.

C.

Probleme asupra acţiunii şi muncii în comun. X. Probleme

nestandard (recreative, rebusistice, de

perspicacitate, probleme – joc, etc.) Voi oferi modalităţi de rezolvare a problemelor pentru câteva categorii de probleme grupate în raport cu metoda de rezolvare, fără a avea pretenţia că sunt absolute.

1. Metoda figurativă Se foloseşte pentru a înţelege conţinutul problemei şi a relaţiilor dintre datele ei: grafice, figuri decupate, planşe cu figuri simple sau mobile, tablă magnetică, scheme şi figuri schematice, figuri geometrice, litere şi combinaţii de litere, diverse

semne

convenţionale.

Figurarea

conţinutului

problemei se foloseşte pentru a exprima sub o formă intuitivă şi cât mai accesibilă datele problemei şi relaţiile cantitative dintre ele. Datorită particularităţilor psihice ale copiilor de 6 ani ca: dezvoltarea concretă a gândirii, rolul hotărâtor al senzaţiilor vizuale şi chinestezice în declanşarea unor procese de trecere de la gândirea concretă, plasticităţii simţului nervos, metoda figurativă ocupă un rol important fată de celelalte

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

metode în rezolvarea problemelor la clasele I – IV. Are o puternică eficienţă în ceea ce priveşte dezvoltarea gândirii matematice la şcolarii mici. În

rezolvarea

problemelor

de

matematică,

reprezentarea grafică poate avea două puncte de bază: să ilustreze rezolvarea clasică sau să constituie un mod aparte de rezolvare. Această ultimă funcţie îi ajută pe elevi să-şi reprezinte intuitiv nu numai condiţiile iniţiale, dar şi soluţia problemei, înlesnind de asemenea şi stabilizarea legăturilor dintre

noţiunile

matematice

şi

cele

geometrice

şi

contribuind la dezvoltarea gândirii funcţionale a copiilor. Încă din clasa I, când se formulează şi se rezolvă probleme simple după imagini sau cu cerinţe date, m-am preocupat ca să-i obişnuiesc pe elevii mei de a concretiza relaţiile dintre mărimi prin şiruri de pătrăţele, dar de cele mai multe ori prin segmente de dreaptă. Am utilizat reprezentarea grafică pentru rezolvarea problemelor de la cele mai simple la cele mai complexe situaţii: - aflarea unui număr pe baza cunoaşterii sumei sau diferenţei dintre acestea şi a unuia dintre numere; - aflarea unui număr mai mare (mai mic) „cu atât” sau „de atâtea ori”, decât un număr dat; - aflarea a două numere cunoscând fie suma şi diferenţa lor; suma şi câtul lor; diferenţa şi câtul lor; - probleme de determinare: fie a sumei şi a diferenţei a două produse, fie a câtului a două produse. Această metodă se foloseşte încă din clasele I-II prin aşa-zisul procedeu de „figurare prin desen”. Exemplu: 1. „Marcela are 6 mere. Sora ei are cu 3 mere mai mult . Câte mere are sora ei?” Rezolvare:

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Reprezentăm printr-un desen numărul de mere pe care-l are Marcela (el reprezintă valoric, 6). Expresia matematică „cu atât mai mult” conduce la următorul raţionament: în prelungirea segmentului ce reprezintă numărul de mere al Marcelei, desenăm arbitrar, punctat, un alt segment care indică surplusul de mere (+3), adică numărul de mere avute de sora ei. Graficul va arăta astfel: 6

numărul de mere al

Marcelei +3 numărul de mere al sorei ei Deci, sora are 6 + 3 = 9(mere). În mod asemănător au fost rezolvate probleme utilizând expresia matematică „cu atât mai puţin”. 2. „Pe un loc înoată 9 raţe şi cu 3 mai puţin gâşte. Câte gâşte înoată pe lac?’’ 9

numărul raţelor -3

numărul gâştelor

Deci, numărul gaştelor care înoată pe lac este: 9 – 3 = 6 (gâşte). Voi exemplifica cu câteva probleme care impun utilizarea metodei figurative în clasele a III-a şi a IV-a. 3. „Astă- vară Dan şi George au vândut împreună Centrului de Achiziţii a Fructelor din Deleni 166 Kg de vişine. Câte kg a vândut fiecare, dacă Dan a vândut cu 6 Kg mai mult decât George?’’ Varianta I Considerăm că Dan a vândut tot atâtea kg de vişine ca şi George. De ce? Pentru că, dacă suma ar fi formată din

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

două părţi la fel de mari, am împărţi-o în două şi am putea determina cantitatea fiecăruia. Ca urmare, trebuie să dăm deoparte cele 6 Kg, cu cât a vândut mai mult primul copil, atunci, în cantitatea totală, care se va micşora tot cu 6 Kg, vor fi două părţi, fiecare egală cu cantitatea vândută de George, adică: II

166 - 6

I

6 Deci: Care este suma a două părţi, fiecare egală cu

cantitatea vândută de George? (care este dublul cantităţii vândute de al doilea copil?) 166 – 6 = 160 (kg) Câte kg de vişine a vândut al doilea copil? 160 : 2 = 80 (kg) Câte kg a vândut primul copil? 80 + 6 = 86 (Kg) Varianta a II-a Dacă am mai adăuga la cantitatea vândută de al doilea copil încă 6 kg, am obţine o cantitate la fel de mare ca a primului, iar în sumă ar fi două asemenea cantităţi, adică: II

6

I

6

166+6

Care este suma a doua părti, fiecare egală cu cantitatea vândută de Dan? (care este dublul cantităţii vândute de primul copil) 166 + 6 = 172 (kg) Care este cantitatea vândută de primul copil?

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

172 : 2 = 86 (kg) Care este cantitatea vândută de al doilea copil? 86 – 6 = 80 (kg) 4. „Suma a două numere consecutive este 41. Să se determinte cele două numere.” Vom reprezenta printr-un segment numărul mai mic. Atunci cele două numere le putem reprezenta astfel: I 41

II

primul numar 1

al doilea numar

Suma numerelor fiind 41 rezultă că numărul mai mic este: (41 - 1) : 2 = 20 Numărul mai mare va fi: 20 + 1 = 21 După ce s-a explicat noţiunea de număr consecutiv s-a trecut la schematizarea datelor şi a relaţiilor dintre ele. Conform reprezentării au determinat cele două numere consecutive. 5. „Aflaţi câte pagini a citit fiecare dintre cei doi copii, ştiind că Mitruţ a citit de 3 ori mai mult decât George, iar împreună au citit 84 de pagini?” Soluţie: Grafic, se poate reprezenta numărul de pagini citite de fiecare copil astfel: George a citit 84p Mitruţ a citit În cele 84 de pagini sunt 4 părţi, fiecare egala cu numărul de pagini pe care le-a citit George.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Câte pagini a citit George? 84 : 4 = 21 (pagini) Câte pagini a citit Mitruţ? 21 x 3 = 63 (pagini) 6. „Suma a trei numere este de 19. Primul este cu 14 mai mic decât al doilea şi cu 5 mai mare decât triplul celui de-al treilea. Să se afle numerele.” Rezolvare: Din enunţ rezultă că al treilea număr este cel mai mic, iar al doilea este cel mai mare. Grafic: III I

III

III

III

II

5 5

14 Pentru a organiza suma în părţi egale, trebuie să micşorăm primul număr cu 5, iar pe al doilea cu 19, adică 5 + 14. Câte părţi, fiecare egală cu al treilea număr pot fi? 1 + 3 + 3 = 7 (părţi egale) Care este suma ce poate fi organizată în asemenea părţi? 199 – 5 – 5 – 14 = 175 Care este numărul al treilea? 175 : 7 = 25 Care este primul număr? 25 x 3 + 5 = 80 Care este al doilea număr? 80 + 14 = 94 sau 25 x 3 + 5 + 14 = 94

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

7. „Suma a trei numere naturale este 1522. Dacă din fiecare număr se scade acelaşi număr, se obţin 101, 1008 şi 107. Care sunt cele trei numere?” Notăm numerele iniţiale cu I şi II şi respectiv cu III. Grafic numerele se pot reprezenta astfel: I

nr. scăzut

II

101 107

III

1522

1008 Care este suma resturilor (a diferenţelor)?

101 + 107 + 1008 = 1216 Care este triplul numărului care se scade? I = 101 + 306 : 3 = 203 II = 107 + 306 : 3 = 209 III = 1008 + 306 : 3 = 1.110 8. „Diferenţa a două numere naturale este 7. Împărţind cele două numere, se obţine câtul 1 şi un rest. Aflaţi restul.” Rezolvarea 1 Grafic Notăm cele două numere cu I şi respectiv cu II. I II

7 Comparând cele două reprezentări, se observă că II se

cuprinde în I o dată şi mai rămâne un rest, care este tocmai diferenţa 7. Rezolvarea 2 Dacă a = b + 7a a = 1 x b + r, comparând cele două egalităţi, rezultă r = 7. 9. „Într-o magazie era de 5 ori mai multă făină decât în alta. Dacă din prima magazie se scoate o cantitate de 1000 kg, iar în cea de-a doua se mai depozitează încă 480 kg,

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

atunci cantităţile din cele două magazii devin egale. Care sunt cantităţile iniţiale?” Rezolvare Notăm cantităţile din fiecare magazie cu I şi, respectiv, cu II. Grafic, modificările sunt: II

480

I 1000 Ne fixăm întâi până unde este segmentul ce reprezintă cantitatea mărită din a doua magazie. Delimităm, printr-o linie punctată verticală, această cantitate şi pe segmentul ce reprezintă prima cantitate. Rezultă că până la sfarşit acest segment reprezintă tocmai 1000 kg, ceea ce s-a scos. Dar 1480, adică 1000 + 480, reprezintă 4 părţi, fiecare egală cu cantitatea din a doua magazie. Câte kg erau iniţial în a doua magazie? 1480 : 4 = 370 (kg) Dar în prima? 370 x 5 = 1850 (kg) sau 370 + 480 +1000 = 1850 kg În clasa a IV-a întâlnim probleme care ne oferă posibilitatea formării reprezentărilor spaţiale privind fixarea punctelor de reper, localizarea corectă a dimensiunilor mărimii întâlnite în problemele de mişcare. Elementul nou care apare în problemele de mişcare este viteza ca mărime orientativă, a cărei reprezentare grafică se face printr-o săgeată care indică direcţia, mărimea şi sensul vitezei. În rezolvarea unora dintre ele se aplică cu succes metoda grafică. Exemplu:

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

„Un bicilist, având viteza de 24 km/h, pleacă din oraşul A. După 3 ore, pleacă tot din A, în aceeaşi direcţie un motociclist având viteza de 42 km/h. În cât timp îl va ajunge motociclistul pe biciclist? La ce distanţă de oraş?” A

[-----------72 km-------] B

0h

24km/h 3h -------------------

I

------------------------------------------3h 42 km/h -----------

---------------------------------------------------------

Avansul biciclistului (distanţa parcursă în 3 ore) este AB = 24 km x 3 = 72 km. Motociclistul câştigă în fiecare oră 42 km -24 km = 18 km. Pentru a câştiga cei 72 km, motociclistul merge un timp de 72 km: 28 km/h = =4h, acesta fiind şi timpul după care l-a ajuns pe biciclist, iar distanţa de la oraşul A este, la întîlnire, AI = 42 km x 4 = 168 (km). Pentru rezolvarea problemelor de mişcare în care deplasarea se face în sensuri opuse se poate utiliza următoarea problemă: „Un pieton, care parcurge 5 km pe oră pleacă din oraşul A spre oraşul B. În acelaşi moment, un biciclist pleacă din oraşul B spre A, cu viteza de 22 km pe oră. Între oraşe este o distanţă de 81 km. După cît timp se întâlneşte pietonul cu bicilistul? La ce distanţă de oraşul B se întâlnesc?” [-------------------------------81 km--------] A I B 5 km/h ------0h

22 km/h ------ ----------------------------0h

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

În fiecare oră, distanţa dintre pieton şi biciclist se micşorează cu 5 km + 22 km = =27 km. Pentru ca ei să se întâlnească, trebuie să treacă atâtea ore de câte ori se cuprind 27 km în 81 km, adică 81 km: 27 km/h = 3 h. Eficienta metodei figurative în rezolvarea problemelor de mişcare este condiţionată de o corectă reprezentare a datelor şi relaţiilor dintre ele. O bună reprezentare a datelor asigură justa apreciere a realităţii şi uşurează desfăşurarea raţinamentului în scopul rezolvării. Problemele geometrice încep şi ele, de obicei, cu construirea

figurilor

reprezentărilor înţelegerea

geometrice

atât

pentru

spaţiale, cât şi pentru

procedeului

de

formarea

deprinderea

şi

Începând

cu

rezolvare.

problemele din clasa a III-a, am indicat elevilor să folosească şi raportul aritmetic al acestor dimensiuni. Exemplu: „Perimetrul unui dreptunghi este 984 m. Aflaţi lăţimea dreptunghiului ştiind că ea este: a) cu 246 m mai mică decât lungimea; b) de 3 ori mai mică decât lungimea. Reprezentarea grafică a datelor problemei: 246 m A

--------- B l L

------- 246 m l L ------- 246 m D

246 m --------- C

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Metoda figurativă este indicată în rezolvarea problemelor

cu

fracţii

întrucât

le

oferă

posibilitatea

înţelegerii relaţiilor ce există între diferite părţi ale aceluiaşi întreg, aflarea unei fracţii dintr-un întreg etc. Exemplu: „La un atelier de confecţii erau bucăţi de stofă. Numărul metrilor din prima bucată este egal cu 2/3 din numărul metrilor din bucata a doua. Din bucata a doua

s-au

confecţionat 8 rochii şi au rămas 5 m. Din bucata mai mică nu au ajuns 2 m ca să se confecţioneze tot atâtea rochii. Câţi metri de stofă au fost necesari pentru o rochie şi câţi metri de stofă au fost în fiecare bucată?”

Rezolvare: Din enunţ rezultă că bucata a doua (II) poate fi împărţită în 3 părţi la fel de mari (treimi). Prima bucată reprezintă 2 treimi din a doua, astfel: II

5m

I

2m Din desen, rezultă că diferenţa dintre cele două bucăţi

este de 7 m, pentru că la aceeaşi lucrare, primei bucăţi îi mai trebuie 2 m, iar celeilalte îi mai raman 5 m, cei 7 m reprezintă o treime din a doua bucată. Câţi metri are a doua bucată? 3 x 7 = 21 (m) Dar prima? 21 : 3 x 2 = 14 (m) sau 21 – 5 -2 = 14 (m) Verificare:

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Cât reprezintă 2/3 din 21 m? 21 : 3 x 2 = 14. Care este diferenţa dintre cele două bucăţi? 21 – 14 = 7 (m) Partea a doua a problemei : câţi metri se folosesc pentru 8 rochii? 21 – 5 = 16 (m) Câţi metri s-au folosit pentru a doua rochie? 16 : 8 = 2 (m) Reprezentarea grafică constituie un mijloc eficient de însuşire conştientă şi activă a cunoştinţelor, de dezvoltare a gândirii elevului, al spiritului de investigaţie şi al independenţei. Metoda figurativă prin forme apropiate de realitate, fără a fi o reproducere fotografică a acesteia şi apoi figurarea conţinutului problemelor prin elemente din ce în ce mai schematizate constituie premise ce fac această metodă deosebit

de

utilă

în

desfăşurarea

raţionamentului

şi

deprinderii căii de rezolvare a unei probleme. Numărul mare de probleme ce se pot rezolva prin această metodă şi multiplele posibilităţi de schematizare a răspunsului

acestora

conduc

treptat

la

necesitatea

introducerii simbolurilor, treaptă superioară în formarea gândirii,

în

dezvoltarea

operaţiei

de

abstractizare

a

acesteia. 2. Metoda comparaţiei Specificul acestei metode constă în faptul că se foloseşte mai ales în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate prin două relaţii clar precizate, determinarea

fiecăreia

implicând

eliminarea

mărimi prin înlocuire sau reducere (scădere).

celeilalte

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

a) În problemele care se rezolvă prin eliminarea unei mărimi, înlocuind-o, poate fi dat raportul dintre valorile unitare (exemplul 1), înlocuirea se face prin grupe de valori unitare (exemplul 2) sau poate fi dată diferenţa dintre valorile unitare (exemplul 3). Exemplul 1 „Pentru 8 stilouri şi 5 penare s-au plătit 2900 lei. Cât costă un stilou şi cât costă un penar, dacă un stilou costă cât 3 penare?” Rezolvare: Considerăm că se cumpără numai penare. Dacă un stilou costă cât 3 penare, atunci cu banii de pe 8 stilouri se pot lua 24 de penare, pentru că 8 x 3 = 24. Dar cu suma totală câte penare se pot cumpăra? 24 + 5 = 29. Câţi lei costă un penar?

29000 : 29 = 1000 lei. Câţi lei costă un

stilou? 1000 x 3 = 3000 lei. Exemplul 2 (reducerea la unitate, mărimi direct proporţionale) „Din 45 litri de lapte se obţin 5 litri de smântână. Din câţi litri de lapte se obţin 12 litri de smântână?” Rezolvare: Pentru a afla din câţi litri de lapte se obţin 12 litri de smântână, trebuie să aflam din câţi litri de lapte se obţine un singur litru de smântână. De aceea metoda se numeşte reducere la unitate (reducere la 1) Deoarece problema contine 3 elemente cunoscute si unul necunoscut, doua cate doua, de acelasi fel, metoda se mai numeste regula de trei simpla. Daca pentru obţinerea a 5 litri de smântână trebuie 45l de lapte, pentru obţinerea unui singur litru de smântână

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

trebuie o cantitate de lapte de 5 ori mai mică decât 45, căci 1 este mai mic decât 5 de 5 ori; 45 : 5 = 9 (litri de lapte). Dacă pentru obţinerea unui litru de smântână trebuie 9 litri de lapte, atunci pentru obtinerea a 12 litri de smântână vor fi necesari de 12 ori mai mulţi litri decât 9, pentru că şi 12 este mai mare decât 1 de 12 ori. Sunt necesari 108 litri, căci 12 x 9 = 108. Judecata şi rezolvarea se poate scrie şi astfel: pentru 5 litri de smântână

trebuie

45 (litri lapte)

pentru 1 litru de smântână

cât trebuie

45: 5 = 9 (litri

lapte)pentru 12 litri smântână

cât trebuie

12 x 9 =

108 (litri lapte ) Mai observăm un lucru: atunci când am micşorat valoarea unei mărimi de un număr de ori şi valoarea celeilalte mărimi cu care este în relaţie s-a micşorat de acelaşi număr de ori şi invers. (În clasele următoare elevii vor învăţa că asemenea mărimi se numesc mărimi direct proporţionale.) Exemplul 3 „Cu banii pe care îi are, Ionela poate cumpăra, de ziua mamei sale, 3 trandafiri sau 5 lalele. Ştiind că un trandafir este mai scump cu 60 de lei decât o lalea, aflaţi câţi lei are Ionela.” Rezolvare: Din enunţ rezultă că preţul pentru 3 trandafiri este egal cu preţul pentru 5 lalele. Ne imaginăm faptul că Ionela a cumpărat 3 trandafiri, dar se răzgândeşte. Îi cere vânzătoarei ca în loc de cei 3 trandafiri să îi dea 3 lalele. Dar trebuie să primească şi bani înapoi, pentru că un trandafir este mai scump decât o lalea cu 60 lei, iar 3 lalele sunt mai ieftine cu 180 lei decât 3 trandafiri, deoarece 3 x 60 = 180.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Va primi înapoi 18 lei, banii pentru 2 lalele, pentru că ea putea lua, conform enunţului, cu aceeaşi sumă, 5 lalele, iar 5 – 3 = 2. Deci, două lalele costă 180 lei, iar o lalea costă 90 lei, deoarece 180 : 2 = 90, iar un trandafir costă 150 lei, căci 90 + +60= 150. Câţi lei avea Ionela? 5 x 90 = 450 sau 3 x 150 = 450 c) Comparaţia prin reducere (scădere) se foloseşte în problemele în care enunţul cuprinde relaţii referitoare la mărimile date în două situaţii distincte. După scrierea datelor, unele sub altele, conform situaţiilor din enunţ, trebuie să comparăm datele privitoare la o mărime în cele două situaţii. De aceea metoda se mai numeşte aducerea la acelaşi termen de comparaţie sau egalarea datelor.

Exemplul 4 „Pentru a se completa numărul de rechizite, la o grupă dintr-o grădiniţă, s-au cumpărat o dată 5 creioane, 3 gume şi 6 rigle, plătindu-se 3810 lei. Altă dată s-au cumpărat, cu aceleaşi preţuri unitare, 3 creioane, 5 gume şi 4 rigle, care au costat 2.870 lei. A treia oară s-au cumpărat 8 creioane, 8 gume şi 5 rigle, plătindu-se 4.180 lei. Aflaţi preţul unitar al fiecărui obiect cumpărat.’’ Rezolvare (comparaţie prin scădere, 3 mărimi) Se pot scrie pe scurt astfel: 5 creioane

3 gume

6 rigle

3 creioane

5 gume

4 rigle

3.810 lei 2.870 lei

Adunăm relatiile membru cu membru 8 creioane

8 gume

10 rigle

6.680 lei

Scriem cea de-a treia relaţie şi o scădem din cea obţinută

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

8 creioane

8 gume

/

/

5 rigle

4.180 lei

5rigle

2.500 lei

Cât costă o riglă? 2.500 : 5 = 500 lei Luăm alte două relaţii în care înlocuim numărul de rigle prin preţurile lor. 3 creioane

5 gume

870 lei

,căci 2.870 – 500 x

4 = 870 8 creioane

8 gume

1680 lei,căci 6.680 – 500 x 10

= 1680 Amplificăm cele două egalităţi, termen cu termen, cu 8 şi, respectiv, cu 3, obţinând: 24 creioane

40 gume

6.960 lei

24 creioane

24 gume

5.040 lei

Scădem membru cu membru /

16 gume Dacă

1920 lei

3 creioane şi 5 gume costă 870 lei, atunci 3

creioane costă 270 lei, căci 870 – 120 x 5 = 270. Cât costă 1 creion? 270 : 3 = 90 (lei) Metoda aducerii la aceláşi termen de comparaţie implică elemente din metoda reducerii la unitate, care se poate sintetiza prin regula: pentru a şti valoarea mai multor unităţi, trebuie să determinăm valoarea unei singure unităţi (părţi) şi invers. În ambele situaţii, fie că sunt mărimi direct proporţionale (vezi exemplul 2), fie că sunt mărimi invers proporţionale, enunţul cuprinde trei elemente cunoscute şi unul necunoscut, două câte două de acelaşi fel. Cu ajutorul celor trei elemente cunoscute se află cel de-al patrulea. De aceea metoda se mai numeşte regula de trei ( simplă sau compusă). Exemplul 5 „10 muncitori termină o lucrare în 6 zile. În câte zile vor termina lucrarea 12 muncitori?”

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Rezolvare: (mărimi invers proporţionale: mărirea unei valori de un număr de ori determină micşorarea celeilalte valori de acelaşi număr de ori şi invers. Se spune că numărul de muncitori şi timpul necesar pentru terminarea aceleiaşi lucrări sunt mărimi invers proporţionale). Pentru a determina timpul necesar efectuării lucrării pentru 12 muncitori, trebuie să se determine timpul necesar pentru un singur muncitor. (De aceea spunem reducere la unitate). Dacă 10 muncitori termină lucrarea în 6 zile, un singur muncitor (1 este mai mic decat 10 de zece ori ) termina lucrarea intr-un timp de 10 ori mai mare decât 6, adică 10 x 6 = 60. Dacă unui muncitor îi trebuie 60 de zile, pentru 12 muncitori este necesar un timp de 12 ori mai mic decât 60, pentru că 12 este mai mare decât 1 de 12 ori, adică 60 : 12 = 5 (zile). Judecata şi rezolvarea se pot scrie şi astfel: 10 muncitori termină lucrarea în

6 zile, atunci

1 muncitor termină lucrarea într-un timp de 10 ori mai mare, adică 10 = 60 (zile) 12 muncitori termină lucrarea într-un timp de 12 ori mai mic decât 60, adică 60 : 12 = 5 (zile). 3. Metoda ipotezelor Metoda ipotezelor are la bază o presupunere, o ipoteză. Ea solicită introducerea unor date ipotetice şi confruntarea situaţiei obţinute astfel cu situaţia reală. Întâmplător ele pot coincide. În multe cazuri ele nu coincid, dar concluziile deduse din această confruntare ne coordonează căutările. De aceea metoda se numeşte metoda falsei ipoteze,

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

denumire care s-a fixat prin uz, dar, pentru a se respecta topica limbii române, ar trebui să fie numită metoda ipotezei (ipotezelor) false sau metoda ipotezelor. Exemple: 1. „Un ţăran are păsări de curte şi oi. Aceste animale au la un loc 46 de capete şi 114 picioare. Câte păsări şi câte oi are ţăranul?” Rezolvarea 1: a) Considerăm (Presupunem, ipoteza = presupunere) că ar fi fost numai oi. Câte picioare ar fi fost? 46 x 4 = 184. Cu câte picioare ar fi fost mai multe faţă de numărul din problemă? 184 – 114 = 70 Deci, ipoteza este falsă (chiar de la început). Atunci trebuie să înlocuim un număr de oi cu un număr de păsări, pentru a face să dispară acest număr de picioare, care este în plus. La o singură înlocuire numărul 70 se micşorează cu 2, adică cu diferenţa dintre numărul de picioare de la o oaie, şi numărul de picioare de la o pasăre. Câte înlocuiri trebuie să facem? Vom face atâtea înlocuiri până dispare diferenţa de 70, adică atâtea înlocuiri de câte ori 2 se cuprinde în 70. Numărul de înlocuiri este tocmai numărul de păsări, iar restul până la 46 este reprezentat de numărul de oi. Deci: 1) Câte picioare ar fi, dacă am presupune că ţăranul are numai oi? 46 x 4 = 184 2) Cu câte picioare sunt mai multe faţă de numărul din problemă? 184 – 114 = 70 3) Cu cât se micşorează 70 la o singură înlocuire?

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

4–2=2 4) Cîte înlocuiri pot să fac? 70 : 2 = 35 (vor fi deci 35 de păsări) 5) Câte oi are ţăranul? 46 – 35 = 11 b) Considerăm că ar fi fost numai păsări. Atunci numărul de picioare care ar fi fost? 46 x 2 = 92 Cu câte picioare ar fi fost mai puţine? 114 – 92 = 22 Cu câte picioare are mai puţin o pasăre faţă de oaie? 4–2=2 Câte oi are ţăranul? 22 : 2 = 11 Câte păsări are ţăranul? 46 – 11 = 35.

Rezolvarea 2: Etapa I Se figurează oile şi păsările prin ovale:

................ (Total: 46, dar nu ştiu cate de fiecare fel) Întrucât fiecare vietate are cel puţin 2 picioare, se figurează la fiecare oval câte 2 linioare, reprezentând astfel cele 2 picioare : Etapa a II- a

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

...................

(În calcul: 92 de picioare, pentru că 46 x 2 = 92) Din cele 114 picioare, s-au repartizat 92 şi au rămas 22, adică 114 – 92 = 22. Acestea pot fi figurate la un număr de 11 ovale, adăugând câte 2, căci 4 -2 = 2; deci 22 : 2 = 11. Etapa a III-a

............. 11 vietăţi

+

.............. ?

vietăţi

=

46 vietăţi Rezultă că 11 vietăţi sunt oi, deci au câte 4 picioare, iar restul, 35, căci 45 -11 = =35, sunt păsări, pentru că au cate 2 picioare. 2. „La o librărie s-au adus 31 de truse cu două, trei şi patru creioane, în total 105 creioane. Ştiind că numărul truselor de 4 creioane este de 4 ori mai mare decât al celor cu 2 creioane, aflaţi numărul truselor de fiecare fel.” Rezolvare: Presupunem că toate cele 31 de truse ar avea fiecare câte trei creioane (faţă de numărul acestor truse nu avem nici o relaţie). Câte creioane ar fi în această ipoteză? 31 x 3 = 92 Cu câte creioane ar fi mai puţine decât în realitate? 105 – 93 = 12

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

De unde provine această diferenţă? Din faptul că am considerat că toate trusele au câte 3 creioane, dar de fapt sunt şi truse cu câte 4 creioane, între acestea fiind raportul dat (de 3 ori mai puţin). Respectăm acest raport, la o trusă de 2 creioane sunt 3 truse cu câte 4 creioane. Un asemenea grup de 4 truse (1 de 2 creioane şi 3 de 4 creioane) are câte 14 creioane, căci 1 x2 + 3 x 4 = 14. Înlocuim atunci 4 truse de câte 3 creioane cu 4 truse de celelalte feluri, până acoperim diferenţa de 12. Cu cât se mişorează diferenţa la o singură înlocuire? 14 – 4 x 3 = 2. Câte înlocuiri trebuie? Dacă la o singură înlocuire diferenţa se micşorează cu 2, ca să dispară diferenţa, sunt necesare 6 asemenea înlocuiri, căci 12 : 2 = 6. Deci, vor fi 6 grupe de câte 4 truse (1 trusă de 2 creioane + 3 truse de 4 creioane), iar restul până la 31 vor fi truse cu câte 3 creioane. Câte truse de câte 2 creioane sunt în cele 6 grupe? 6 x 1 = 6. Câte truse de cate 4 creioane sunt în cele 6 grupe? Dacă într-o grupă sunt 3 truse, în 6 grupe vor fi câte 3, adică 6 x 3 = 18. Câte truse de câte 3 creioane sunt? 31 – 6 – 18 = 7. Verificare: 6 x 2 = 12 (creioane) 7 x 3 = 21 (creioane) 18 x 4 = 72 (creioane) ----------------------------------Total: 31 (truse) şi 105 (creioane) 3.,, Învăţătorul împarte elevilor unei clase bomboane. Dacă ar da fiecărui elev câte 2 bomboane, i-ar rămâne 30, iar dacă ar da câte 4 nu i-ar ajunge 40 de bomboane. Câţi elevi sunt în acea clasă? Câte bomboane împarte învăţătorul?’’

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Rezolvare: Îmi imaginez momentul în care a dat câte 2 bomboane şi i-au rămas 30 de bomboane. În varianta a doua, vrând să dea câte 4, nu îi ajung 40 de bomboane. Pentru câţi elevi nu ajung cele 40 de bomboane? Ştiind că fiecare copil are deja câte 2 bomboane (din situaţia I), înseamnă că ar trebui să mai primească încă 2 bomboane, pentru că 4 – 2 = 2. Cele 40 de bomboane nu ajung pentru 20 de elevi deoarece 40 : 2 = 20. Deci, cei 20 de copii rămân, în situaţia a doua, numai cu câte 2 bomboane. Cele 30 de bomboane, care rămăseseră după ce a dat câte 2, învăţătorul le poate da câte 2 (ca să aibă câte 4) numai unui număr de 15 elevi, pentru că 30 : 2 = =15. Câţi elevi erau în clasă? 15 (elevi cu câte 4 bomboane) + 20 (elevi cu câte 2 bomboane) = 35 (elevi). Câte bomboane

a

împărţit

învăţătorul?

35 x 2 + 30 = 100 sau 15 x 4 + 20 x 2= 100 Grafic: I

2

2

2

2

2.........2

2

2

2 + 2....2

2

2

+

30 bomboane II 2 + 2

2+2

2+2

2+2

30 : 2 = 15

40 : 2 = 20

Consider că în cursul rezolvării problemelor în care se utilizează metoda grafică şi metoda ipotezelor are loc un proces de reorganizare succesivă a datelor, apar noi formulări ale problemei, pe baza activităţii orientate a gândirii, reorganizării şi formulării ce-l apropie pe elev de soluţie. Este vorba aici de o îmbinare specială a analizei cu sinteza, caracterizată prin aceea că diferitele elemente luate în consideraţie îşi dezvăluie mereu noi aspecte (analiza) în funcţie de combinaţiile în care sunt plasate (sinteza).

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

4. Metoda mersului invers Metoda mersului invers se foloseşte în anumite probleme în care elementul necunoscut apare la începutul şirului de relaţii dat în enunţ. Urmărind enunţul de la sfârşit la început („mergând” în sens invers enunţului) trebuie să se determine penultimul rest

pe

baza

relaţiei

sale

cu

ultimul

rest,

apoi

antepenultimul rest, până se ajunge la numărul iniţial (întregul). Analizând operaţiile date în enunţ şi cele efectuate în rezolvarea problemei, se poate constata că în fiecare etapă se efectuează operaţia inversă celei din enunţ. Deci, nu numai „mersul” este invers, ci şi operaţiile efectuate pentru rezolvare sunt inverse celor din problemă. Exerciţiile ce se pot obţine din rezolvarea unora dintre aceste probleme sunt denumite exerciţii „cu x”, care sunt de fapt ecuaţii de gradul I cu o necunoscută, dar care, pentru elevii mici, se rezolvă, nu prin calcul algebric, ci prin raţionament aritmetic. Exemple: 1. „Un producător vinde pepeni la 3 cumpărători. Primului îi vinde o jumătate din cantitate, celui deal doilea o treime din ce îi rămăsese, iar celui de-al treilea o cincime din noul rest. Câţi pepeni a avut iniţial producătorul, dacă i-au mai rămas 16 pepeni?” Rezolvarea 1 (Mers invers pe baza metodei grafice) 1/2 1/2

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Nr. (S)

R1

1/3

1/3

1/3

iniţial

R2

1/5

4/5 Se observă că 16 pepeni reprezintă 4/5 din restul al doilea. Câţi pepeni reprezintă restul al doilea? 16 : 4 x 5= 20. Tot 20 reprezintă 2/3 din

restul 1. Câţi pepeni constituie

restul 1? 20 : 2 x 3 = 30. Tot 30 reprezintă 1/2 din totalul iniţial. Câţi pepeni erau iniţial? 30 x 2 = 60. Rezolvarea 2: Notăm cu S numărul iniţial de pepeni, cu V1, V2, V3, numărul de pepeni vânduţi de fiecare dată, cu R1, R2, R3, resturile corespunzătoare; se pot scrie: Cât

vinde

Cât rămâne V1

(1/2)

S

R1 = ? (30) V2 (1/3) R1

R2 = ?

(20) V3 (1/5) R2 16 R2 = 16 + (1/5) R2  R2 = 16 : 4 x 5 = 20 R2 + (1/3) R1 = R1  R1 = 30 (1/2)S + R1 = S  (1/2) S = 30  S = 30 x 2 = 60 Rezolvarea 3: Modificările se pot trece în tabelul următor:

R3 =

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Cât

vinde

1/2

S

Cât rămâne 1) 1/2 S 2)

1/3

x

1/2

S

=

1/6

S

1/15

S

1/2 S – 1/6 S = 1/3 S 3)

1/5

x

1/3

S

=

1/3 S – 1/15 S = 4/15 S Din enunţ rezultă că 16 pepeni reprezintă 4/15 S. Câţi pepeni erau iniţial? 16 : 4 x 15 = 60 (pepeni) 2. „Într-un vas se pune apă 2/3 din capacitatea sa. Se scoate apoi 1/4 din conţinut şi mai rămâne 75 de litri. Care este capacitatea vasului?” Rezolvarea 1: Reprezentăm capacitatea vasului printr-un segment, pe care îl împărţim în treimi: a) cantitatea de apă

sau b) .......................................................... ....................................................... /////////////////////////// /////////////////////////// 75 litri //////////////////////////

1/4 C 3/4 C

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Se observă că 3 pătrimi din cantitatea de apă era de 100 litri, căci 75 : 3 x 4 = =100. Tot 100 litri reprezintă şi 2 treimi din capacitatea vasului. Câţi litri încăpeau în vas? 100 : 2 x 3 = 150 litri. Rezolvarea 2: Cât reprezintă o pătrime din 2 treimi din capacitatea vasului? 1/4 x 2/3 = 1/6 Deci din vas s-a scos apă cât o şesime din capacitatea vasului? 2/3 – 1/6 = 3/6 = 1/2 (din capacitatea vasului) Dacă 1/2 din capacitatea vasului reprezintă 75 litri, rezultă că în vas încăpeau 150 litri, căci 2 x 75 = 150. Îmbinând cele două metode – metoda figurativă cu metoda mersului invers, elevii pot foarte uşor să sesizeze relaţiile dintre mărimi, să găsească soluţia problemelor respective. Singura dificultate, în aplicarea metodei retrogradate (metoda mersului invers), constă în a găsi operaţiile inverse care

trebuie

aplicate,

iar

aceasta

se

poate

obţine

cunoscând dependenţa între cele două valori date şi rezultatul operaţiilor în cazul adunării, respectiv al scăderii, înmulţirii şi împărţirii.

V.5.

Aspecte

probleme

metodice

privind

rezolvarea

de

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Rezolvarea de probleme este considerată ca un proces superior de învăţare datorită valenţelor formative de care dispun acestea. Se pledează în literatura de specialitate pentru amplificarea activităţii de rezolvare de probleme, motivată prin aceea ca să câştigăm un mod de a gândi, sa devenim capabili de a rezolva mult mai mult. Elevul trebuie să înveţe să matematizeze situaţii date, să transpună matematic o problemă reală înainte de a recurge la procedeele intra matematice de rezolvare. În activitatea de rezolvare a problemelor, un rol important revine gândirii cu operaţiile şi calităţile ei. Diferitele ipoteze care ne vin în minte în legătură cu problema pusă nu ne vin la întâmplare ci au la bază acumulări de ordin informatic, instrumental şi formativ. Am prezentat în subcapitolul anterior câteva metode specifice ale rezolvării problemelor aritmetice. Putând folosi aceste metode în rezolvarea de probleme elevul arată că şia însuşit un anumit algoritm de lucru (algoritm de rezolvare a

problemelor).

După

mult

exerciţiu

elevul

cunoaşte

elementele esenţiale după care problema poate fi încadrată într-o

anumită

categorie

putându-i

aplica

algoritmul

corespunzător. Pentru a ajunge la aceasta, elevii trebuie să dispună de o

serie

de

competenţe

din

domeniile:

informativ,

instrumental, formativ. Ce se înţelege prin aceasta? În primul rând să cunoască împrejurările care determină alegerea şi întrebuinţarea unor anumite operaţii. Pentru aceasta am considerat că este bine ca încă de la adunarea şi scăderea numerelor până la 10 să se utilizeze în locul exerciţiilor de forma: 3 + 2; 7 -5; 6 + 4 etc.; exerciţii de forma:

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

- care este suma numerelor: 9 şi 0, 5 şi 4, 0 şi 2; - care este diferenţa numerelor: 56 şi 7; 48 şi 8; 20 şi 4; - care este produsul numerelor: 8 şi 9; 4 şi 5; 2 şi 3; - aflaţi termenul necunoscut când se cunoaşte că suma este 45 şi un termen 17; suma este 59 şi un termen 18; - aflaţi descăzutul dacă restul este un număr par mai mic ca 4 şi scăzătorul este un număr impar cuprins între 6 şi 9; - aflaţi deîmpărţitul dacă câtul este 3 şi împărţitorul este dublul său; - aflaţi împărţitorul dacă deîmpărţitul este 409 iar câtul este 8; - cu cât este mai mare suma numerelor 18 şi 9 decât diferenţa lor; - cu cât este mai mică diferenţa numerelor 9 şi 3 decât produsul lor; - la suma numerelor 20 şi 4 adăugaţi câtul celor două numere; din produsul numerelor 9 şi 8 scădeţi suma numerelor; - micşoraţi cu câtul numerelor 16 şi 8 produsul numerelor 4 şi 4; - măriţi cu produsul numerelor 5 şi 4 câtul numerelor 42 şi 7; - aflaţi numărul de trei ori mai mare decât următoarele diferenţe: 19 şi 17; 48 şi 36; 93 şi 87. Elevii trebuie sa-şi însuşească foarte bine limbajul matematic, să-l folosească, să cunoască sensul unor expresii şi noţiuni matematice pentru a putea opera cu ele.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Exemplu: a micşora cu atât, a micşora de atâtea ori, a mări cu atât, a mări de atâtea ori, jumătatea, sfertul, îndoitul, întreitul, înjumătăţit, dublat, triplat, etc... Pentru ca elevii să dobândească abilitatea de a rezolva probleme am considerat că este necesar să dispună de informaţii bogate şi foarte clar organizate. Este ştiut faptul că în cazul în care cunoştinţele sunt mai largi, mai vaste, mai profunde, şansele ca ipotezele care se nasc în mintea elevului să ducă mai repede la soluţii sunt mai mari. Alegerea ipotezei este mai bună cu cât fondul din care este aleasă este mai bogat. Deci, ca orice doemniu, capacitatea

de

a

rezolva

probleme

compuse

este

condiţionată de o solidă pregătire. O altă condiţie de care am ţinut seama a fost aceea că absolut toţi elevii trebuie să fie stăpâni pe calcul în cadrul celor 4 operaţii. Numai astfel rezolvarea problemelor se concentrează asupra conţinutului problemei. Dacă elevul stăpâneşte bine tehnicile de calcul, cunoaşte semnificaţia operaţiilor aritmetice poate, sub conducerea învăţătorului, să-şi formeze deprinderi de a aplica aceste cunostinţe în practică

prin

rezolvarea

de

probleme

fiindcă

există

probleme care „seamănă” cu altele anterior rezolvate şi nu facem decât să „imităm” rezolvarea cunoscută cu care se reduc la simpla aplicare a unor formule şi procedee cunoscute. De aceea în rezolvarea problemelor nu ne putem limita numai la „algoritmi de recunoaştere” care au un rol deosebit dar nu sunt suficienţi. Problemele sunt de o varietate infinită care nu pot fi grupate după un anumit criteriu

însă

nu

sunt

„independente”,

ci

fiecare

se

încadrează într-o anumită categorie. Trebuie să căutăm legătura cu ceea ce ştim dinainte, să încercăm să ne

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

gândim la ce ne-a fost de folos în situaţii familiare din trecut, să încercăm să recunoaştem câte ceva familiar în ceea ce examinăm acum, să căutăm să prindem ceva folositor în ceea ce am recunoscut. Aceasta arată că un rol deosebit în rezolvarea de probleme îl are experienţa copilului, dar această experienţă o caută la şcoală prin multe exerciţii fiindcă dacă până la venirea la şcoală soluţionarea unor probleme se bazează pe încercări sau imitaţie, acum micul elev în viaţa căruia dominantă

devine

învăţătura,

în

detrimentul

jocului,

soluţionează probleme făcând apel la operaţiile gândirii. Ori gândirea se dezvoltă în activitatea concretă de rezolvare de probleme. Am considerat că este bine ca încă de la însuşirea operaţiilor aritmetice: adunări şi scăderi de la 0 al 10 să folosesc lecţii de rezolvare de probleme legate de viaţa practică. Exemplu: 1. „Ionel are 5 mere. Fratele lui mai mic are 3 mere. Câte mere au împreună ce doi fraţi?” 2. „Viorel are 3 creioane colorate, iar Laura are 2 creioane colorate. Câte creioane colorate au împreună Laura şi Viorel?” 3. „Pe o farfurie sunt 2 mere şi 7 pere. Câte fructe sunt pe farfurie?” 4. „Într-o piesă de teatru sunt 6 personaje, copii şi oameni mari. Câţi copii joacă în piesă dacă oamenii mari sunt în număr de 4?” Mulţi învăţători consideră că aceste lecţii sunt mai simple, mai uşoare datorită faptului că nu ar fi vorba decât de o simplă aplicare a cunoştinţelor învăţate anterior. Din cele constatate în activitatea la clasă, aceste lecţii, în realitate, sunt deosebit de dificile, fiindcă ele cer mai mult efort din partea elevilor, dar mai ales a propunătorului.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Aceasta datorită faptului că pot să apară de fiecare dată lucruri noi, neprevăzute ,iar prin intermediul acestor lecţii învăţătorul cu măiestria şi tactul său pedagogic îi introduce pe elevii din clasa I in „probleme” despre care el nu ştie nimic, iar pe cei din clasele a II-a – a IV-a mai mult în „problema problemelor” la matematică. În permanenţă am avut în atenţie cunoaşterea cu precizie a scopului şi locului lecţiilor special destinate rezolvării de probleme. Iată obiectivele operaţionale ce trebuie realizate la sfârşitul unei asemenea ore la clasa a III-a, ora de rezolvare de probleme prin metoda figurativă de tipul: „O sârmă lungă de 18 m se taie în două bucăţi, a doua bucată fiind cu 4 m mai lungă decât prima. Câţi metri are fiecare bucată?” - sa observe suma dintre lungimea primei şi celei de-a doua bucăţi de sârmă; - să observe diferenţa dintre lungimea primei şi a celei de-a doua bucăţi de sârmă; - să reprezinte schematic şi figurativ relaţiile dintre cele două mărimi; - să traducă semnificatia expresiilor ce conduc la compararea

mărimilor,

iar

în

funcţie

de

aceasta

să

stabilească operaţia corespunzătoare; - să aplice algoritmul de rezolvare al problemelor din această categorie; - să verifice corectitudinea soluţiilor găsite. O deosebită importanţă pentru însuşirea acestui tip de probleme, în stabilirea algoritmului de rezolvare, o are măiestria pedagogică cu care învăţătorul conduce gândirea elevului

prin

întrebări

adecvate.

De

la

început

am

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

considerat că este necesar să-i fac pe elevi să înţeleagă că în structura unei probleme există trei elemente: datele, condiţia, cerinţele, iar între acestea există raporturi de interdependenţă care trebuie bine înţelese. De asemenea în activitatea de rezolvare a unei probleme am parcurs cu elevii mai multe etape. Am căutat să-i fac să observe că în fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor şi de reformulare a problemei pe baza activităţii de orientare a rezolvitorului pe drumul şi în direcţia soluţiei problemei. Aceste aspecte sunt: - cunoaşterea enunţului problemei; - înţelegerea enunţului problemei; - analiza problemei şi întocmirea planului logic; - alegerea şi efectuarea operaţiilor corespunzătoare succesiunii judecăţilor din planul logic; - activităţi suplimentare care pot fi: verificarea rezultatului, scrierea sub formă de exerciţiu, găsirea altei căi sau metode de rezolvare, generalizare, compunere de probleme după o schemă asemănătoare. În fiecare din etapele mai sus enumerate are loc un permanent proces de analiză şi sinteză (prin care elevul separă

şi

reconstituie,

desprinde

şi

construieşte

raţionamentul care conduce la soluţia problemei) de o îmbinare aparte a analizei cu sinteza caracterizată prin aceea că diferitele elemente luate în considerare îşi dezvăluie mereu noi aspecte (analiza) în funcţie de combinaţiile în care sunt plasate (sinteza). Alte condiţii de care trebuie să ţinem seama în rezolvarea problemelor ar fi:

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

- legătura problemelor cu viaţa, cu realitatea. Datele problemelor, problemele însăşi să fie preluate din realitatea existentă în jurul copiilor, din experienţa de viaţă, din mediul de viaţă al acestora; - în rezolvare să se facă apel la schiţă, desen, lucru care uşurează înţelegerea enunţului, ce favorizează găsirea soluţiei, căii de rezolvare; - să nu neglijăm latura educativă a problemelor. Neglijandu-se aceasta am frustra elevii de efectul afectiv pe care-l au problemele asupra personalităţilor; - să domnească în clasă un „spirit de permisibilitate”, adică să li se permită elevilor să pună întrebări, să fie apreciaţi dacă sunt întrebări interesante, pentru că pun întrebări, să fie apreciate soluţiile care ies din comun, care denotă un spirit creator. În clasă să fie o atmosferă de lucru, în care să domnească relaţiile de întrajutorare, de cultivare a încrederii în forţele proprii. Elevii

să

nu

fie apostrofaţi

chiar

dacă

greşesc.

De

asemenea, este bine să se utilizeze toate formele de lucru: colectiv, individual, in echipa, in perechi; tinând seama de aceste cerinţe elevul va reuşi să ştie să depisteze problematicul din probleme, să pună şi să formuleze probleme noi şi apoi, să ştie să caute drumul către soluţii, să construiască ipoteze şi apoi să le verifice.

V. 6. Metode şi procedee folosite în vederea cultivării flexibilităţii

gândirii

elevilor

prin

rezolvarea

problemelor Activitatea de compunere a problemelor oferă terenul cel mai forţat din domeniul activităţii matematice pentru

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

cultivarea

şi

educarea

creativităţii

şi

a

inventivităţii,

reprezintă o culme a performanţei cognitive. Diferenţa între a invata rezolvarea unei probleme şi a compune o problemă noua înseamnă, în esenţă, creativitate, dar pe niveluri diferite. Creativitatea gândirii, mişcarea ei liberă, nu se poate produce decât pe baza unor deprinderi corect formulate, stabilizate şi eficient transferate. Tinând seama de aceasta am avut permanent în vedere îndemnul lui I. Jinga: Educatorii sunt datori să-i înveţe pe elevi să înveţe, să-şi pună întrebări, să formuleze probleme şi să le dea cât mai multe soluţii. Prin aceasta elevii să-şi însuşească ABC-ul acestei discipline aparent aride, dar înţeleg şi poezia matematicii, plăcerea de a descifra şi a reciti ca pe o poezie multiple (şi uneori ascunse) sensuri depre viaţă şi despre Univers, constatând

astfel

că

întreaga

matematică

este

şi

distractivă. Am prezentat în subcapitolele anterioare câteva metode de rezolvare a problemelor tipice şi consideraţii metodice de care am ţinut seama pentru a atinge obiectivele stabilite pentru fiecare oră de rezolvare a problemelor. Ca urmare a acestui fapt la sfarşitul clasei a IV-a din cei 14 elevi, 9 rezolvă cu uşurinţă problemele din manul şi probleme asemănatoare, iar 5 aveau nevoie de întrebări de sprijin,

ajutor

pentru

realizarea

desenului

ajutător,

sugerându-li-se ideea, după care puteau şi ei să rezolve problema. Pentru obţinerea acestor rezultate s-a folosit ca metodă de bază exerciţiul, ştiut fiind faptul că a şti să rezolvi

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

probleme este o îndemânare practică- o deprindere- cum este înotul, schiul sau cântatul la pian, care se poate învăţa numai prin imitare şi exerciţiu. Dacă vrem să învăţăm înotul trebuie să intrăm în apă, iar dacă vrem să învăţăm să rezolvăm probleme, trebuie să învăţăm probleme. Această antrenare la efort a forţelor proprii constituie o condiţie necesară pentru orice matematician şi cu atât mai mult pentru cel ce învaţă matematică. Dar matematica nu impune numai rezolvarea de exerciţii şi probleme de către elevi, ci , pentru a putea să ocolească, să sară peste obstacole diferite în activitatea cotidiană, am pus elevii în situaţii specifice creatoare: să vadă şi să pună întrebări, să combine date, să caute multiple posibilităţi de a utiliza, să le restructureze, să creeze probleme. Având în vedere că izvorul creaţiei există la toţi elevii, am căutat totdeauna să-l dezvolt. În cadrul orelor de matematică s-au planificat lecţii speciale, din orele la dispoziţia

învăţătorului,

de

compunere

de

probleme.

Aceasta este posibil şi datorită faptului că însăşi programa şcolară are în vigoare acest lucru, manualele conţin exerciţii care au drept sarcină compunerea de probleme, iar psihologia o recomandă să o cultivăm la cea mai fragedă vârstă, întrucât elevii nu sunt suprasolicitaţi la sarcinile cu caracter creator, le doresc, le aşteaptă, le solicită, au un efect pozitiv asupra personalităţii lor. Le dezvoltă încrederea în forţele proprii chiar şi celor timizi şi slabi la învăţătură. În scopul cultivării creativităţii, adică a gândirii, inteligenţei şi imaginaţiei elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor se folosesc variate procedee. Printre acestea enumerăm:

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

- complicarea problemei prin introducerea de noi date sau prin modificarea întrebării;

Exemplu: „Doi elevi au sarcina să culeagă împreună 300 kg de mere, fiecare culegând jumătate din cantitate. În două ore un elev a cules 80 kg de mere, iar celălalt 90 kg de mere. Câte kg de mere mai are de cules fiecare elev sau câte kg de mere mai au de cules împreună cei doi elevi?” (clasa a III-a) - rezolvarea problemei prin două sau mai multe procedee; Planul problemei precedente ar putea fi, pentru prima întrebare, următorul: I 300 : 2 – 80 = 70

II 80 +

90 = 170 300 : 2 – 90 = 60

300 –

170 = 130 70 + 60 = 130 - scrierea rezolvării problemei într-o singură expresie; - alegerea celei mai scurte şi mai economicoase căi de rezolvare; - determinarea schemei generale de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-o anumită categorie şi încadrarea sau nu a unei probleme într-o anumită categorie de probleme; - transformarea problemelor compuse în exerciţii cu paranteze care să indice ordinea operaţiilor; - transformarea problemelor compuse în exerciţii compuse astfel încât ordinea operaţiilor să fie succesiunea

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

judecăţilor

şi

a

relaţiilor

corespunzătoare

conţinutului

problemei; - transformarea şi compunerea din 2-3 probleme simple a uneia compuse. Compunerea problemelor este una din modalităţile principale de a dezvolta gândirea independentă şi originală a copiilor, de cultivare şi educare a creativităţii gândirii lor. Se pot compune şi crea probleme în următoarele forme şi următoarea succesiune graduală: - probleme acţiune, sau cu punere în scenă; - compuneri de probleme după tablouri şi imagini; - compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior; - probleme cu indicarea operaţiilor matematice ce trebuie efectuate; - compuneri de probleme după un plan stabil; - compuneri de probleme după mai multe întrebări posibile; - compuneri de probleme cu o întrebare dată şi cu mai multe conţinuturi de date precum şi relaţii între date ale conţinutului; - compuneri de probleme cu întrebare probabilistică; - compuneri de probleme cu un început dat, cu sprijin de limbaj; - compuneri de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date; - compuneri de probleme după un exerciţiu simplu sau compus; - compuneri de probleme după un model simbolic; - compuneri de probleme cu modificarea conţinutului şi a datelor;

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

- crearea liberă de probleme; - probleme de perspicacitate, rebusistice etc. În activitatea de compunere a problemelor trebuie să se ţină seama de posibilităţile elevilor, prin sarcini gradate trecându-se de la compunerea liberă la cea îngrădită de anumite cerinţe din ce în ce mai restrictive.

1. Compunerea problemelor cu ajutorul materialului intuitiv Primele probleme s-au creat cu ajutorul materialului intuitiv: obiecte (jucării), bile, jetoane (reprezentând diferite păsări, animale, jucării), bani (monede sau bancnote). După ce am plasat jetoanele pe tabla aderentă (imagini cu jucării, plante, animale, unelte, etc) am cerut elevilor să le ordoneze, să le aranjeze după utilitate, iar apoi să creeze probleme. Exemple de probleme formulate: 1. „Copiii se jucau cu 6 maşinuţe, 2 avioane, 4 găletuţe, 3 site şi 3 lopeţi. Câte jucării erau?” sau 2. „La un magazin de jucării s-au vândut 6 maşinuţe, 2 avioane, 4 găletuţe, 3 site şi 3 lopeţi. Câte jucării s-au vândut?” sau 3. „Fetiţele si-au ales 4 găletute, 3 site şi 3 lopeţi, iar băieţii 6 maşinuţe şi 2 avioane. Care grupă are mai multe jucării şi cu câte?” Sau o problemă compusă de eleva Surdu Andrada care prezintă un grad sporit de dificultate: „Jucăriile s-au împărţit la două grupe. Grupa întâi a primit 6 maşinuţe şi 2 avioane, iar grupa a doua 4 găletute, 3 site

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

şi 3 lopeţi. Câte jucării trebuie să dea una din grupe pentru a avea un număr egal de jucării?” Trecând la clasa a II-a am insistat în primul semestru la acest procedeu, dar imaginile prezentate solicitau probleme cu grad sporit de dificultate. Exemplu: Am prezentat elevilor un tablou ce reprezenta o fermă de animale în care se observa clar numărul vitelor din cele 3 încăperi. Le-am cerut elevilor să formuleze o problemă şi în final să o rezolve. Majoritatea au compus problema astfel: „O fermă de animale avea trei grajduri. În primul grajd erau 29 de vaci, în al doilea 34 de vaci, iar în al treilea 36 de vaci. Câte vaci erau în cele 3 grajduri?” Le-am cerut după aceea să complice puţin problema. Câţiva au complicat-o astfel: „În cele trei grajduri ale unei ferme erau 29, 34, 36 vaci. S-au trimis la o altă fermă 26 de vaci. Câte vaci au mai rămas?” Din cei 12 elevi ai clasei a II-a, 6 au compus-o prin prima variantă, 3 prin doua sau trei variante, iar 3 elevi au fost ajutaţi cu întrebări pentru a compune prima variantă. Acest procedeu poate fi folosit pentru a dezvolta capacitatea creatoare a elevilor, dar pentru a obţine rezultate bune trebuie respectată condiţia ca tablourile prezentate să nu ceară o rezolvare şablon, ci în fiecare desen să se ceară ceva nou şi interesant. 2. Compunerea problemelor după schema Această modalitate de a compune probleme stimulează flexibilitatea şi creativitatea gândirii elevilor, le educă voinţa în găsirea algoritmilor de lucru pe o cale mai uşoară.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Schema, prin funcţionalitate, pe lângă faptul că obligă pe elevi să activeze, să gândească, le dă posibilitatea să creeze ca urmare

a

transformării

activităţii

intelectuale

într-o

adevărată meditaţie matematică. Folosirea schemei înainte ca problema să fie rezolvată ajută toate categoriile de elevi (foarte buni, buni, mai puţini buni), dar are şi procesul invers, de compunere de probleme după schemă. Încă de la însusirea numerelor şi numeraţiei de la 0 la 10, pentru compunerea sau descompunerea numerelor, dar mai ales după ce au învăţat operaţiile aritmetice se poate utiliza compunerea de probleme după schemă (mai întâi oral şi apoi in scris). De aceea este bine să se pornească de la scheme simple, ajungând spre sfârşitul clasei a III-a şi în clasa a IVa, ca acestea să prezinte un grad sporit de dificultate. Avându-se în vedere particularităţile psihice individuale se folosesc scheme în care se indică mărimile respective, dar şi relaţiile dintre aceste mărimi cu ajutorul unor expresii matematice. În altele se indică mărimile şi relaţiile dintre ele exprimate prin semne specifice operaţiilor aritmetice (+; -; x; :) iar în altele numai mărimile – compunerea de probleme după aceste scheme fiind literală. Exemplu:

584

196

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

+

:

2

?

+ ?

Iată câteva probleme formulate de elevi: „Pe raftul unei biblioteci sunt 584 de cărţi, pe al doilea 196 de cărţi, iar pe al treilea cât jumatate din suma cărţilor de pe primele două rafturi. Câte cărţi sunt pe al treilea raft?” S-a dat reprezentarea grafică şi s-a cerut elevilor să compună câte o problmeă: I 50 kg II

5 kg

„Doi copii au cules împreună 50 kg de fructe. Al doilea a cules cu 5 kg mai mult decât primul. Câte kg a cules fiecare?” sau „Mama a cumpărat 50 kg de roşii şi vinete. Dacă vinete a cumpărat cu 5 kg mai puţin, să se afle câte kg de vinete şi câte de roşii a cumpărat?” Compunerea de probleme după schemă în care erau indicate mărimile şi relaţiile dintre ele au ajutat şi pe cei care erau cu greutăţi la învăţătură. Ei au compus probleme corect, care respectă schema dată, dovadă că sensul operaţiilor aritmetice l-au înţeles. Aceasta a dovedit că germenul creativităţii se află în fiecare copil şi că dacă în cadrul lecţiilor procesul de însuşire al cunoştinţelor se bazează

pe

înţelegerea

profundă

a

informaţiilor,

pe

ierarhizarea (aşezarea) acestor informaţii într-o anumită

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

ordine pe criteriul importanţei şi al generalităţii, iar această ierarhizare

să

aibă

un

caracter

dinamic,

adică

o

permanentă legătură între cunoştinţele însusite anterior şi cele predate, se obţin rezultate deosebite. Dificultăţi deosebite ridică compunerea de probleme după scheme în care mărimile sunt indicate în general (cantitate, preţ, lungime, viteză, timp, etc) sau cu ajutorul unor simboluri (a, b, c etc.) cum este cazul următoarei scheme:

a

b

c

d

+

?

-

?

:

? Majoritatea elevilor au considerat simbolurile folosite drept numere naturale compunând probleme asemănătoare celor oferite de manual. Dar după multe exerciţii elevii compuneau probleme legate de realitate, de activitatea oamenilor. Iată câteva exemple de acest fel: „La o alimentară s-au adus 250 kg zahăr şi 362 kg făină. În prima zi s-au vândut 162 kg, iar restul în mod egal în următoarele 2 zile. Câte kg s-au vândut în a doua şi a treia zi?” (problemă compusă de Văduva Denisa) „Din suma numerelor 450 şi 350 scădeţi 200, iar diferenţa micşoraţi-o de 3 ori. Cât este câtul?” (problemă creată de Baţai Valentin) Am considerat necesar să cer elevilor să formuleze probleme

după

ce,

în

prealabil,

stabiliseră

exerciţiul

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

corespunzător schemei. Astfel munca, deşi dificilă, le-a fost simţitor uşurată. Folosirea schemelor în rezolvarea de probleme cât şi în compunerea acestora stimulează flexibilitatea gândirii, în antiteză, apărând tot ca un joc didactic. 3. Compunerea de probleme după un exerciţiu dat Una dintre formele superioare ale meditaţiei intelectuale o constituie crearea de probleme după un exerciţiu dat. Această sarcină din punct de vedere logic constă în inversarea căii clasice de rezolvare de probleme, iar din punct

de

vedere

intelectual

constă

în

aplicarea

cunoştinţelor matematice dobândite în viaţa practică prin crearea de texte, care dă posibilitatea elevilor să ilustreze din punct de vedere matematic rezolvarea diferitelor aspecte ale vieţii. Încă din clasa I am căutat ca problemele rezolvate cu elevii să fie aşezate sub formă de exerciţiu. Această modalitate a uşurat compunerea de probleme după un exerciţiu. Am desfăşurat astfel de activităţi sub formă de joc, ceea ce a antrenat întregul colectiv de elevi. Pe mai multe cartonaşe am scris diferite exerciţii de adunare şi scădere. De la fiecare rând am desemnat un elev care şi-a ales un cartonaş, apoi a trecut la loc şi împreună cu colegii de pe rândul său a citit ce este scris pe cartonaş şi li s-a cerut să compună o problemă care să se poată rezolva după operaţia sau operaţiile ce erau scrise pe cartonaş. Fiind antrenată întreaga clasă, câştigă rândul care a compus mai multe şi variate probleme după cartonaşul său.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Cartonaşele pot cuprinde două sau mai multe exerciţii. Exemplu: 5 + 4 =

18 – 5 =

40 + 20 = 10 + 3 =

3 + 6 =

60 – 30 = Elevii au fost îndrumaţi să se inspire în compunerea problemelor din diferitele acţiuni ce le întreprind ei, părinţii, oamenii în general. Folosind jocul în dezvoltarea gândirii independente şi a creativităţii, se evită impresia de efort, lucrează în condiţii de competivitate, trec astfel cu uşurinţă pragul primelor începuturi. Spre sfârşitul clasei I exerciţiile după care se compun problemele ridică mai multă dificultate; pentru a trece de aceasta am rezolvat mai întâi cu întreaga clasă probleme şi apoi le-am cerut elevilor să le pună sub formă de exerciţiu. Astfel am pornit de la o problemă care se rezolvă prin două operaţii: „La un cămin de preşcolari s-au adus de dimineaţă 42 franzele, iar la prânz 37 franzele. S-au consumat 53 de franzele. Câte au rămas?” I. 43 + 37 = 79 (franzele s-au adus în total)

II. 47

+ 37 – 59 = 26 (franzele) 79 – 53 = 26 (franzele au rămas) Punând problema sub formă de exerciţiu, le-am cerut să creeze si ei o problemă pe care să o rezolve tot prin acest exerciţiu. S-au dat şi alte exerciţii după care elevii au creat probleme, în semestrul al II-lea introducând şi parantezele 66 – (23 + 42) = -12) =

(26 + 32) + (26 + 32

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Începând cu clasa a III-a posibilitatea creării problemelor pe bază de exerciţii se imbogăţeşte deoarece cunosc şi alte două operaţii: înmulţirea şi împărţirea. Numărul problemelor ce se pot constitui pe baza unor exerciţii este nelimitat şi de aceea am creat posibilitatea fiecărui elev să-şi arate originalitatea în compunerea problemelor. La început doar un număr mic de elevi compuneau probleme când exerciţiul era mai complicat. După mai multe exerciţii - munca independentă, teme acasă, lucru la tablă – am reuşit ca cei mai mulţi elevi să compună şi să rezolve corect probleme, câţiva au compus parţial, iar 2 elevi nu au compus deloc. Am insistat cu ultimele 2 categorii în a rezolva cât mai multe probleme pe care le-au pus sub formă de exerciţiu şi apoi au creat probleme cu exerciţiul obţinut. În clasele a II-a şi a IV-a am combinat acest procedeu cu cel al folosirii schemei de rezolvare. Schema ca model ideal a devenit şi în această situaţie elementul pivot al activităţii cognitive în dezvoltarea capacităţii matematice la elevi ceea ce îi confirmă valoarea şi eficienţa în ordonarea gândirii elevilor în diferite situaţii. Această relaţie în mod schematic se prezintă astfel:

TEXT EXERCIŢIU SCHEMĂ EXERCIŢIU

TEXT

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Pentru a ilustra cele relatate voi ilustra calea de creare a unui text pe baza unui exerciţiu dat folosind ca element intermediar schema: 1. Exemplu la clasa a IV- a Exerciţiu : (880 : 8) + (900 : 9) + (484 : 4) = d Schema: ?a

?b

880 : 8

900: 9

?c

?d 484 : 4

a+b+c 2. Exerciţiu: 312 – (a : 4) – (a : 8) x 3 = Schema ?a

?b

?c

?d 312

a:4

a:8x3

a–b-c Exerciţiul dat ca formă generalizată prin intermediul schemei se transformă în judecăţi parţiale ceea ce uşurează acţiunea de rezolvare. Generalizarea structurii logice a textelor pe baza exerciţiului dat prin intermediul schemei este un proces ce se desfăşoară treptat etapă de etapă, plecând de la forma cea mai simplă în mod gradat până la nivelul textului complet. Schema prin structură în ambele situaţii sugerează planul rezolvării problemei şi ordinea operaţiilor efectuate parţial sau printr-un singur exerciţiu. Prin acest procedeu, pe lângă faptul că dezvoltăm flexibilitatea gândirii, educăm creativitatea, suntem siguri că elevii stăpânesc bine o noţiune, o regulă pentru că pot so ilustreze complet prin exemple corespunzătoare. 4. Completarea datelor care lipsesc în problemă sau întrebărilor acestora

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Este un alt mijloc prin care poate fi solicitata gândirea creatoare a elevilor dar şi inţelegerea faptului că fără date numerice problemele în matematică nu se pot rezolva. În acest sens am plecat cu elevii de la următorul exemplu: „Elevii clasei I au plantat panseluţe şi lalele. Câte flori au plantat?’’ Dupa o succinta analiza a problemei elevii au constatat ca nu pot rezolva problema, motivand si de ce. Deci ei sesizează mărimile ce au intervenit în problemă (panseluţe şi lalele) şi relaţia dintre ele (flori). Dar neavând date numerice nu au putut-o rezolva. Din problemele compuse de ei în clasă: 1. În clasa noastră sunt

elevi. 20 elevi sunt abonaţi la

revista „Mozaic”, iar restul la revista „Meridian”. Câţi elevi sunt abonaţi la revista Meridian?” 2. „În cercul de minibaschet participă

elevi şi cu

mai mulţi la fotbal. Câţi elevi participă la cele două cercuri sportive?” Acest procedeu nu solicită într-un grad sporit gândirea elevilor ci mai mari posibilităţi

de

exersare

a

creativităţii

elevilor

oferă

completarea problemelor cu întrebările ce trebuie puse. În această dificilă încercare – formularea întrebărilor – elevii au fost introduşi prin joc începând cu cele mai simple probleme. Exemplu: „Într-o cutie sunt 8 bile, iar în alta 5 bile’’. Ce putem afla?

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Toţi copiii au formulat întrebarea „Câte bile sunt în total?”, dar în urma discuţiilor şi a stimulării să descopere şi laturile mai ascunse s-au formulat întrebările: „Cu câte bile sunt mai multe în prima cutie?’’,

,,Care este diferenţa

dintre numărul de bile din prima cutie şi cele din a doua cutie?” Treptat, oferindu-le mai multe date le putem deschide calea spre surprinderea unui mare număr de întrebări, în contextul cărora se identifică intrebările, paşii care conduc spre

întrebările

finale,

spre

soluţia

finală

care

o

desăvârşesc. Exemplu: „Un bloc are 5 scări cu câte 20 de apartamente pe fiecare scară, iar alt bloc are 6 scări cu câte 8 apartamente pe fiecare scară. Câte apartamente sunt în cele două blocuri?” Întrebările care apar în mod firesc sunt: „Câte apartamente sunt în primul bloc?”, „Câte apartamente sunt în cel de al doilea bloc?”, „Câte apartamente sunt în cele 2 blocuri?” Dar folosind numărul apartamentelor din primul bloc şi numărul apartamentelor din al doilea bloc, elevii descoperă că diferenţa dintre ele reprezintă încă o problemă. Discuţia purtată cu elevii a clarificat faptul că primele două întrebări constituie de fapt întrebări parţiale deoarece nu cuprind totalitatea datelor şi că, deci, cele mai adecvate sunt ultimele două. Se ştie că formularea corectă a întrebărilor are o importanţă

covârşitoare

atât

pentru

soluţionarea

problemelor, cât şi pentru formarea gândirii creatoare. Ea presupune gruparea şi relaţionarea datelor, integrarea lor

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

într-o unitate, descoperirea necunoscutelor şi a aspectelor mascate – într-un cuvânt o activitate de investigare şi permanentă reorientare în problemă. 5. Compunerea de probleme asemănătoare Printre primele metode prezentate într-un subcapitol anterior

elevii

rezolvă

probleme

tipice,

îşi

însuşesc

algoritmul de rezolvare a problemelor. Dar pentru a nu se şabloniza acest stil de lucru, pentru a verifica dacă elevii aplică algoritmul de rezolvare nu în mod mecanic, folosind acest procedeu de lucru – compunerea de probleme asemănătoare -

s-au rezolvat probleme de felul următor

(impun ca metodă de rezolvare metoda figurativă): 1. „În două mine de cărbune lucrează 800 de mineri. Câţi mineri lucrează la fiecare mină, dacă la una lucrează cu 148 mineri mai mulţi decât la cealaltă?” 2. „Suma a două numere consecutive este de 755. Aflaţi cele două numere.” S-a cerut elevilor să formuleze o problemă ca cea anterioară (1) folosind numerele 500 şi 126. Pentru ca enunţul problemei să fie conform

realităţii am avut

permanent în atenţie transmiterea de cunostinţe despre diferite domenii de activitate. Procedând astfel, din cei 14 elevi ai clasei a III-a, 8 au alcătuit probleme corect, respectând condiţiile impuse, 4 au avut greşeli în exprimare, iar 2 elevi întâmpină greutăţi frecvente în rezolvarea de probleme. Ei nu au rezolvat corect, lucru ce a impus program special de pregătire. Problemele au fost formulate astfel: 1. „La o anumită cantină muncitorească au servit masa dimineaţa şi la prânz 500

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

muncitori. Câţi muncitori au servit masa dimineaţa şi câţi muncitori au servit masa la prânz, dacă la prânz au fost cu 126 mai mulţi?” 2. „La alimentară s-a adus în două zile o cantitate de 500 l ulei. Câţi litri s-au adus în fiecare zi dacă în prima zi s-au adus cu 126 l mai puţin?” 3 „În clasele I – IV din şcoala noastră sunt 500 elevi. Numărul băieţilor este cu 126 mai mare decât al fetelor. Câţi băieţi şi câte fete sunt?” În compunerea de probleme asemănătoare elevii manifestă tendinţa de a „imita”, aportul de originalitate fiind foarte mic. La început am considerat că este necesar să le prezint elevilor diferite imagini (aspecte din viaţa cotidiană a oamenilor, a copiilor având scrise sub ele datele numerice respective).

După

aceste

imagini

elevii

compuneau

probleme. De asemenea, în prealabil am rezolvat cu ei un număr mare de probleme în care se cunoşteau diferenţa dintre două mulţimi şi intersecţia lor. Numai după aceasta s-a trecut la probleme asemănătoare. Astfel, un număr de 7 elevi au compus probleme din domenii de activitate deosebite de cele oglindite de manual, 5 nu au ieşit din sfera problemelor anterioare, iar 2 nu

nu

rezolvat

sarcina

deoarece

aveau

lacune

în

cunoştinţele însuşite despre mulţimi. Am căutat pe cât posibil ca problemele alcătuite de elevi să difere ca enunţ, conţinut, de cele din manual sau rezolvate împreună. Numai astfel am putut vedea dacă elevii aplică conştient sau mecanic algoritmul de rezolvare. 6. Compunerea de probleme cu sprijin simbolic

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Cerinţele simbolice stimulează gândirea creatoare a elevilor, adâncesc raţionamente, consolidează deprinderi de analiză a problemelor. Dar mai întâi să străbatem calea până a reuşi să determinăm elevii să compună probleme după formule literale. Copiilor le place să asculte şi să înveţe poezii şi am găsit cu cale că ar fi un mijloc de a introduce copiii în tainele unei forme de creare de probleme. S-a prezentat o scurtă poezie: „De sub streaşinele mele Pleacă noua rândunele Şi mai e o rândunică. Ar rămâne, dar i-e frică Să n-o prindă vremea rea. Şi- atunci pleaca-n zbor şi ea. Spune-mi câte rândunele Trec deasupra casei mele?” Copiii află că la cele noua rândunele se adună încă o rândunică şi că 9 + 1 = 10. Le-am dat sugestia să înlocuiască cu o literă „a” numărul care reprezintă păsărelele care au zburat prima dată şi cu alta, litera „b”, numărul păsărelelor care

s-au

alăturat după aceea. Numărul păsărilor care trec deasupra casei a fost notat cu „d”. Le-am cerut acum să scrie acest exerciţiu folosind litere în loc de cifre. a+b=d Cerându-le să formuleze şi ei probleme după această formulă numerică, la început a mers mai greu, dar după aceea s-au întrecut în formularea de probleme.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Pentru compunerea de probleme după formula literală a – b m-am folosit de versurile: „Pe – o rachetă zboară iuţi Trei viteji astronauţi. Doi coboară pe-o planetă, Mai rămân câţi în rachetă?” Familiarizându-se cu calculul, cu simboluri literale, copiii sunt introduşi în modul de lucru cu aceste simboluri. Se solicită gândirea creatoare a elevilor atunci când li se cere să alcătuiască probleme al căror principiu de rezolvare să fie relaţiile implicate prin simbolurile literale din formula dată. Trecerea la faza de compunere de probleme, după formulele literale, aşa cum am mai arătat a fost făcută prin înscrierea unei probleme sub formă de formulă numerică. Formându-se

priceperi

şi

deprinderi

de

a

compune

probleme după formule numerice, crescând gradul de dificultate s-a ajuns ca elevii să poată utiliza formule ca: a–b–c=d

a – (b

x c) = d a+b+c=d

axb

:c+d–e=? axb–c=d a:b+c=d a:c–b=d Pentru activitatea diferenţiată în compunerea problemelor după astfel de formule am observat că elevii mai slabi au compus probleme după prima parte a formulei, cei buni după întreaga formulă. Acest procedeu este un veritabil exerciţiu de pregătire a elevilor în vederea aflării valorii numerice a unei expresii algebrice.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

7. Compuneri de probleme libere Aşa zisele „creaţii literare”, fără sprijin de cifre duc la ideea că majoritatea copiilor de azi sunt mult mai bine informaţi, şi deci au mai multe surse de substractizare. Înainte de modernizarea gândirii copilului prin matematică, se pare că ea este modernizata de viata sociala si culturala contemporana. Inca o data psihologia istorică ni se impune ca o necesitate, ca un moment de pornire şi în didactica modernă. Dând frau liber fanteziei şcolarilor mici, aceştia compun probleme legate de viaţa lor, de mediul lor social, oraş, magazine întreprinderi, fabrici, uzine, orăşelul copiilor, blocuri – compun probleme simple şi probleme compuse în mod diferenţiat în raport cu vârsta lor. Reuşesc să compună probleme legate de aceste modernizări chiar cu sau fără sarcini date. Ca orice început, primele au fost grele şi chiar nereuşite. Elevii trebuie să folosească întregul bagaj de cunoştinţe

acumulate la

geografie,

cunoştinţe

despre

natură etc. Prin aceasta dovedesc că dispun de un bogat bagaj de cunoştinţe, dar au, în acelaşi timp, bine dezvoltat şi simţul realităţii. Un elev a creat o problemă care a stârnit hazul tuturor, fiindcă având ca cerinţă să folosească date numerice de ordinul sutelor de mii, n-a avut veridicitate în realitatea înconjurătoare. „Participând la culesul fructelor, elevii clasei noastre au cules în prima zi 230.000 kg mere, pere cu 150.000 kg mai mult, iar struguri de 5 ori mai mult decât

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

mere şi pere. Câte kg de fructe au cules în total?” În opoziţie cu exemplul de mai sus apar probleme create astfel: „Întreprinderea minieră Rovinari a livrat în prima lună a anului 702.302 t lignit, în luna a doua cu 50.800 t mai mult, iar în luna a treia cu 230.700 t mai puţin decât în primele două luni la un loc. Câte tone au fost livrate în primul trimestru al anului?” Pentru compunerea unor probleme corecte am urmărit să aduc elevii la simţul realităţii, cunoscând diferite aspecte ale vieţii. Astfel, problemele compuse nu sunt fanteziste, sunt legate de realităţile vieţii, activităţii cotidiene a părinţilor lor. Prin exemplele relatate am încercat să realizez câteva soluţii prin care am cultivat şi valorificat interesul copiilor pentru aprofundarea şi consolidarea cunoştinţelor matematice. Din activitatea pe care am desfăşurat-o m-am convins că activităţile de factură creativă concepute gradat şi sistematic sunt atât accesibile cât şi atractive pentru şcolarii mici. Asta mă îndeamnă să caut şi alte mijloace care să contribuie la dezvoltarea spiritului creator la elevii din ciclul primar. Simpla formulare a unei probleme este adeseori mult mai importantă decât rezolvarea ei, care poate fi doar o chestiune de matematica sau tehnică experimentală. A ridica noi întrebări, noi posibilităţi, a privi problemele vechi dintr-un unghi nou presupune imaginaţie creativa. VI. EVALUAREA ŞI INTERPRETAREA REZULTATELOR

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Prin evaluare ne exprimăm în mod direct interesul pentru calitatea „producţiei” şcolare, pentru gradul de pregătire a elevului pe o perioadă determinată. Evaluarea ne furnizează informaţiile necesare reglării şi ameliorării activităţii de la o etapă la alta prin adoptarea măsurilor

corespunzătoare

activităţii.

Verificarea

rezultatelor

obţinute

şi

pentru

creşterea

aprecierea

constituie

un

eficienţei

sistematică important

a

factor

motivaţional, stimulând activitatea de învăţare a acestora, exercită influenţa asupra dezvoltării psihice, a laturii voliţionale şi afective, îi ajută în cunoaşterea şi dezvoltarea aptitudinilor. În ceea ce priveşte rolul cadrului didactic în activitatea de la clasă, cunoaşterea nivelului atins de elevi în dezvoltarea lor generală şi a rezultatelor obţinute este necesară în fiecare moment al desfăşurării procesului didactic: la începutul activităţii cu noii elevi pentru a le cunoaşte nivelul de pregătire în vederea adoptării unei pedagogii adecvate; pe parcursul procesului de instruire pentru a-şi adapta activitatea la posibilităţile elevilor şi la sfîrşitul procesului pentru a aprecia rezultatele obţinute în lumina

obiectivelor

urmărite

şi

pentru

prefigurarea

activităţii viitoare. Se poate spune că actul de evaluare implică două operaţii corelate, alcătuind un tot unitar, măsurarea şi aprecierea. Prima constă în aplicarea unor tehnici, probe, pentru a cunoaşte efectele acţiunii intructiv – educative şi a obţine

date

Exactitatea

în

perspectiva

măsurarii

este

unui

scop

condiţionată

determinat. de

calitatea

instrumentelor de măsură folosite şi de modul cum sunt aplicate acestea.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Aprecierea defineşte procesul de judecare a rezultatelor constatate, prin compararea acestora cu scopurile urmărite. Se presupune deci formularea unor judecăţi de valoare asupra unui rezultat. Rostul evaluării rezultatelor nu se limitează la cunoaşterea acestora şi la clasificarea elevilor în funcţie de performanţele obţinute, ci constă mai ales în a şti care sunt elementele izbutite ale procesului care au asigurat succesul şi care sunt aspectele date, punctele critice ce urmează să fie

remediate.

Diagnosticarea

oferă,

prin

datele

şi

informaţiile referitoare la starea procesului, sugestii pentru deciziile ce urmează a fi adoptate cu privire la desfăşurarea activităţii în etapele următoare, prefigurând rezultatele posibile. Actul de evaluare îşi realizează funcţiile numai

în

condiţiile integrării lui efectiv în procesul didactic, ca element

constitutiv

al

acestuia

menit

să

furnizeze

informaţiile trebuitoare oricărei acţiuni de perfecţionare a procesului. Există trei modalităţi de integrare a evaluării în activitatea

didactică:

evaluarea

cumulativă

evaluarea (sumativă),

iniţială,

de

evaluarea

pornire, continuă

(formativă). Evaluarea iniţială este menită să stabilească nivelul de pregătire al elevilor la începutul unei perioade de lucru, condiţiile în care aceştia se pot integra în programul pregătit. Ea constituie şi temeiul reconsiderării activităţii, în ceea ce priveşte ritmul de parcurgere a materiei, gradul de aprofundare, metodele folosite pentru a-l face adecvat situaţiei constatate, dobândind o importanţă deosebită la începutul anului şcolar sau semestrului. Evaularea cumulativă (sumativă) este realizată periodic, pe perioade mai lungi, în general corespunzătoare

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

semestrelor şcolare sau anului şcolar, deşi sunt luate în considerare şi măsurile operate de parcurs. În aplicarea acestui model se poate realiza, în parte, compararea rezultatelor obţinute atât cu obiectivele urmărite, cât şi cu nivelul de la începutul activităţii; neajunsurile principale constau în caracterul de sondaj pe care-l prezintă şi prin faptul că actele evaluării nu însoţesc procesul didactic şi nu permit ameliorarea lui decât pentru viitor. Modelul evaluării continue (formative) , înlăturând neajunsurile amintite, presupune verificarea rezultatelor pe parcursul

procesului

didactic,

operând

în

general

pe

secvenţe mai mici. În acest fel, trecerea la secvenţa următoare a procesului se face numai după ce se cunoaşte modul de desfăşurare ameliorativ privind atât desfăşurarea procesului, cât şi performanţele unor elevi. Realizarea funcţiilor esenţiale ale actului evaluativ în procesul didactic presupune folosirea atât a formelor de evaluare iniţială cât şi a celor operate pe parcursul şi la sfârşitul

activităţii

oferind

date

necesare

pentru

îmbunătăţirea sistematică a actiunii. O autentică acţiune de evaluare trebuie să fie în mod necesar continuă şi completă. Recunoaşterea legăturilor dintre diferitele modalităţi de evaluare a activităţii didactice conduce la singura atitudine justificată şi eficientă fată de folosirea acestora si anume aceea nu de optiune in favoarea uneia sau alteia , ci de imbinare a acestora , de realizare a unui proces de evaluare în forme şi cu funcţii multiple, perfect integrat acţiunii didactice. În clasa a IV-a, la începutul anului şcolar, la obiectul matematica am dat spre rezolvare următorul text (vezi anexa 4).

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Acest text mi-a oferit informaţii despre nivelul cunostinţelor şi deprinderilor pe care le aveau elevii la începutul unei noi clase, care să mă ajute să găsesc cele mai eficiente modalităţi pentru a obţine progrese şi a elimina lacunele existente. Această evaluare iniţială a arătat câţi elevi au lacune în utilizarea deprinderilor operaţiilor matematice, ce elevi au obţinut calificative care să-i încadreze în categoria celor mediocri şi pentru care trebuie găsite modalităţi de a le asigura o recuperare rapidă şi o înlăturare grabnică a golurilor. Schimbări au intervenit şi în rezultatele obţinute de cei buni, dar nesemnificative, datorită în mod deosebit a unei mai grele adaptări la activitatea şcolară după o pauză aşa mare pentru unii. Fiecare lecţie de matematică a cuprins şi o scurtă evaluare formativă (continuă) care a fost un adevărat indicator al activităţii şcolare, atât pentru propunător cât şi pentru elevi. Această evaluare formativă s-a realizat folosind diverse modalităţi ca: fişe curente, munca independentă, lucrări de control, teste, iar rezultatele obţinute s-au centralizat şi consemnat statistic. La capitolul multiplii si submultiplii metrului ţinând seama de ceea ce au învăţat în anul anterior, în clasa a IIIa, am vrut să văd dacă elevii îşi mai reamintesc cele învăţate si le-am dat la prima oră următoarea lucrare de control: 1 m = ? dm

4 dm = ?

mm 1 dm = ? mm dam

2500 m = ?

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

1 km = ? dam

300 dm = ?

dam 1 km = ? m

60 km = ?

1 dam = ? m

800 dam =

hm ? km În următoarea oră le-am dat o lucrare asemănătoare care urmărea să verifice şi să consolideze transformările dintre multiplii şi submultiplii metrului. De asemenea am vrut să observ dacă elevii au înregistrat progrese faţă de lucrarea precedentă şi am introdus şi operaţii între aceleaşi unităţi de măsură diferite: 8 m = ? cm

24 hm + 49 hm = ? hm

49

km – 220 dam = ? hm 32 dam = ? dm

91 cm + 39 cm = ? cm

48

dam + 15 hm + 5 km = ? m 21 km = ? hm

48 mm + 19 mm = ? mm

54 cm

– 210 mm + 5 dm = ? cm 60 mm = ? cm

102 km – 49 km = ? km

73 mm

– 23 mm + 1 dm = ? cm 8200 dam = ? km

83 dam – 87 dam = ? km

96 hm

– 630 dam = ? km În urma verificării am considerat că se poate întocmi un grafic simplu în care să se vadă comparativ rezultatele şi eficienţa metodelor active cât şi a lucrului la tablă pe care lam utilizat după lucrările de sondaj. Am făcut o clasificare a elevilor de la cel mai bun la cel cu rezultatele cele mai slabe, acordându-se numere de ordine corespunzătoare. După ce am terminat capitolul „Unităţi de măsură” am conceput un test pentru a evalua sumativ modul cum elevii şi-au însuşit cunoştinţele despre unităţi de măsură, cum şiau format deprinderile de a transpune dintr-o unitate în alta

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

şi de a le utiliza în efectuarea diverselor operaţii, rezolvări sau compuneri de probleme în urma utilizării diferitelor metode de rezolvare a problemelor (vezi anexa 5). Testul a fost conceput încât să conţină 3 probe cu dificultăţi crescute de la o probă la alta. Fiecare probă a urmărit obiective precise astfel: (1) operarea de transformări utilizând multiplii şi submultiplii unităţilor de măsură; (2) aplicarea în exerciţii a algoritmului de transformare a unităţilor de măsură mai mari in unitati de masura mai mici si invers, operatii aritmetice cu diferite unitati de masura; (3) operarea corectă cu numere concrete, transformarea unităţilor de măsură în multiplii sau submultiplii. O evaluare finală a fost făcută cu prilejul testării date la sfârşitul clasei a IV-a prin care s-a urmărit să se evalueze modul cum elevii şi-au însusit principalele obiective ale învăţării matematicii în ciclul primar (vezi anexa 6) Rezultatele obţinute: Preocupările slujitorilor şcolii din zilele noastre în direcţia perfecţionării proceselor evaluative fac parte din eforturile având un obiectiv mai larg şi anume creşterea continuă

a

eficienţei

activităţii

didactice.

Evaluarea

rezultatelor reprezintă, aşadar o condiţie necesară pentru orice decizie luată în cunoştinţă de cauză pentru a conferi activităţii didactice o eficienţă mai înaltă.

VII. CONCLUZII În epoca contemporană, epoca dezvoltării rapide a vieţii în toate domeniile în care ştiinţa devine forţă de producţie, epoca utilizării tehnicii celei mai avansate, afirmaţia că este

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

nevoie de matematică este insuficientă. Se poate suţine pe drept cuvânt că nu se mai poate trăi fără matematică. Necesitatea culturii matematice pentru orice om, devine astăzi tot mai acută. Ea face parte integrantă din cultura generală, ocupand în cadrul acesteia un rol important. Indiferent de domeniul în care lucrează, omul modern trebuie să posede o bună pregătire matematică pentru soluţionarea multiplelor şi variatelor probleme ale vieţii. Gândirea secolului nostru şi a celor viitoare se cere a fi tot mai mult o gândire creatoare, iar omul prezentului şi al viitorului, uşor adaptabil la schimbări, inventiv. Gândirea matematică – gândirea modelatoare, euristică se extinde tot mai mult, devenind gândire caracteristică omului, în general. Prin predarea ei în clasele I- IV, matematica contribuie nemijlocit la dezvoltarea gândirii creatoare şi independente, la realizarea laturii formative a învăţământului. Învăţământul matematic s-a dezvoltat în pas cu cerinţele vremii şi cu nivelul pe care l-a atins ştiinţa matematicii. Accentul în învăţământul modern s-a pus pe latura sa formativă, pe realizarea acelor trăsături ale personalităţii umane care să-i permită să se integreze activ în condiţiile societăţii contemporane şi viitoare. În această direcţie, noua programă de matematică şi noile manuale pun accentul pe introducerea unor elemente de modernizare care vizează dezvoltarea gândirii logice a elevilor. Începând cu anul şcolar 2006/2007, programa de matematică la clasa a IV-a s-a simplificat; prin urmare elevii învaţă în ceea ce priveşte metodele de rezolvare

a

problemelor doar metoda figurativă. Un rol important îl au problemele de logică şi cele de organizare a datelor în

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

tabele. Un rol deosebit îl are rezolvarea şi compunerea de probleme

deprinzând

elevii

cu

munca

organizată,

dezvoltându-le încrederea în fortele proprii, obişnuindu-i să lucreze disciplinat şi să respecte activitatea colectivului. Pot afirma, pe baza rezultatelor obţinute, că am reuşit în mare măsură să le trezesc interesul pentru matematică cât

şi

perseverenţa,

fermitatea,

tenacitatea

pentru

invingerea greutăţilor. În cadrul acestui obiectiv am acordat o deosebită atenţie

cultivării

rezolvarea

flexibilităţii

problemelor

prin

gândirii, mai

în

multe

special variante

prin şi

compunerea de probleme. Rezolvarea presupune însuşirea conştientă a cunoştinţelor teoretice, capacitatea de a le aplica în mod independent şi creator, înţelegerea enunţului problemei, sesizării relaţiei dintre necunoscute şi datele problemei, formarea priceperii de a stabili planul de rezolvare, de a verifica soluţia găsită. Pentru ca acţiunea de dezvoltare a creativităţii să fie cât mai eficientă, am început-o (prin metodele şi procedeele prezentate) de timpuriu (din clasa I) şi am exersat-o în timp, sistematic, modelând copiii prin întregul conţinut şi prin întreaga metodică de predare. Consider că este necesar ca pentru fiecare capitol să fie rezervate 1-2 ore pentru dezvoltarea spiritului creator al elevilor, ore ce pot fi luate din numărul orelor rezervate „la dispoziţia învăţătorului”. Este necesar să avem suficiente probleme să le introducem atunci când este necesar. Pentru o bună înţelegere şi însuşire a tehnicii de rezolvare a problemelor, e mult mai important ca elevii să rezolve aceeaşi problemă în două sau mai multe variante

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

când acest lucru este posibil, decât să rezolve mai multe probleme de acelaşi tip într-un singur fel. Prin exerciţii de rezolvare în mai multe variante am urmărit să formez mobilitatea mentală a elevilor în rezolvarea problemelor, am urmărit ca procedeele de rezolvare învăţate să nu se transforme în şabloane, ci să poată fi mânuite cu suficientă supleţe. Pentru generalizarea

principiului de rezolvare a

problemei, elevii au fost obişnuiţi să cuprindă problema în totalitatea ei şi să redea în final soluţia problemei printr-o formulă numerică, apoi în formula literală. Pe baza acestor formule (numerice sau literale) elevii au compus şi rezolvat apoi numeroase probleme. Stimulând încrederea în fiecare elev, apreciind orice încercare de a crea, am lăsat câmp liber curiozităţii şi dorinţei native a copiilor de a descoperi mereu ceva nou, uneori, şi mai ales în clasa I, multe din activităţi au îmbrăcat forma jocului. Deprinzând elevii cu rezolvarea şi crearea de probleme în mod independent, am evitat şablonizarea, iar prin stimularea

gândirii

şi

angajarea

ei

în

activitatea

independentă fac posibilă folosirea optimă a potenţialului creator. Pentru sporirea eficienţei activităţii creatoare am avut în vedere îndeplinirea următoarelor cerinţe: - tema să fie accesibilă; - să stimulez gândirea şi imaginaţia creatoare; - să corespundă cerinţelor programei şcolare; - să se bazeze pe o motivaţie puternică; - să se urmărească formele unui stil de muncă pentru elevi.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Am reuşit să-i determin pe elevi să manifeste un interes tot mai mare pentru acest obiect, să depună eforturi sporite plasând activitatea creatoare în diferite momente ale lecţiei. Am constatat că activitatea de rezolvare de probleme cât şi cea cu caracter creator are o puternică valoare formativă de ordin afectiv, motivaţional. Aceasta datorită faptului că elevii nu se simt suprasolicitaţi, ci dacă perseverez, ei le doresc, le aşteaptă şi de la un timp le solicită. Se observă că, după îndeplinirea sarcinilor cu caracter creator sunt parcă mai pregătiţi pentru alte activităţi, par mai recreaţi şi mai odihniţi. Ei sunt bucuroşi când reuşesc şi nemulţumiţi când rezolvările dau greş. Chiar şi elevii timizi sau care intâmpină greutăţi doresc să încerce, să obţină rezultate bune. Pentru reuşita dezvoltării activităţii, a gândirii cu operaţiile

şi

calităţile

sale,

un

rol

important

revine

învăţătorului. De aceea am manifestat receptivitate la tot ce este mai nou, la tot ce le place copiilor, la tot ce pot ei rezolva. Trebuie să răspundem permanent chemării să lărgească orizontul, să zdruncine stereotipurile, să creeze acea

„disonanţă”

interna

care

să

determine

o

„decentrare”, adică o ieşire din perimetrul restrâns al unei experienţe canonizate de ani de vechime. De aceea am căutat ca prin activitatea desfăşurată să înfrumuseţez acest obiect, astfel încât elevii să o privească ca pe o activitate utilă, să o privească şi să o aprecieze pentru frumuseţea structurii ei. Ca elevii să iubească acest obiect depinde direct de cine îl predă, de nivelul de pregătire atât din punct de vedere al domeniului (matematic) cât şi pedagogic.

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Prin multitudinea procedeelor folosite în clasă, noutatea pe care i-o dăm copilului prin fiecare exerciţiu, problemă, modul cum reuşim să-i activizăm în permanenţă gândirea, să-l

atragem să participe direct la dobândirea

noilor cunoştinţe cu efect pozitiv asupra personalităţii omului. Permanent, învăţătorul să fie preocupat să creeze situaţii problematice, să-i pună pe elevi în situaţii de a descoperi noile cunoştinţe, care să conducă la asigurarea unei

participări

afective

în

toate

momentele

lecţiei,

contribuind la stimularea gândirii creatoare a elevilor. Am constatat că elevii încă din clasa I pot să-şi însuşească sau cel puţin să fie familiarizaţi cu conţinutul unor noţiuni de matematică modernă. Prin antrenarea elevilor la un efort gradat şi judicios dozat, prin însuşirea matematicii având la bază propriul efort, putem spune că pregătim în clasele I – IV, condiţiile unui învăţământ unitar şi structural al matematicii. Fac câteva propuneri în ideea că acestea şi-ar putea aduce un modest aport la activitatea legată de obiectul matematică: - între activităţile matematice de la grădiniţă şi învăţarea matematicii la ciclul primar există o stransa corelaţie; nu acelaşi lucru există între matematica de clasa a IV-a şi cea de clasa a V-a care impune un ritm de lucru mult prea rapid, creând astfel greutăţi în adaptarea elevilor în învăţarea matematicii la clasa a V-a; - manualele de matematică la clasele I – IV în noua formulă corespund în mare parte exigenţelor impuse de perfecţionarea învăţământului matematic şi racordarea lui pe o linie modernă şi eficientă;

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

- este necesar să se acorde o mai mare atenţie, la ciclul primar în ceea ce priveşte valorificarea capacităţilor creatoare a unor elevi, iar cei dotaţi să lucreze sistematic în cadrul orelor de pregătire suplimentară, pentru a le cultiva pasiunea şi talentul pentru obiectul matematică; sunt necesare ore de pregătire şi pentru cei care nu fac fată cerinţelor acestui obiect; - pentru elevii care au anumite aptitudini spre acest obiect este necesar să se elaboreze unele materiale (seturi, fişe cu exerciţii şi probleme mai dificile) ; - trebuie să se lucreze diferenţiat, acordând atenţie atât celor „buni” cât şi celor „slabi”; - sugerez ca în perspectiva reînnoirii manualelor, care se face regulat, să se acorde mai mult spaţiu pentru exerciţii şi probleme, în mod deosebit cele care stimulează creativitatea, considerând că desenele şi explicaţiile ocupă prea mult spaţiu, ele nefiind întotdeauna valorificate în predarea cunoştinţelor; - folosirea jocului contribuie la însuşirea mai rapidă, accesibilă şi mai plăcută a unor cunoştinţe la şcolarii mici, când există posibilitatea, fiind unul dintre cele mai bogate mijloace de activizare a micilor şcolari, care asigură un climat socio – afectiv adecvat particularităţilor de varstă şi individualitate ale copiilor. Pentru a contribui la formarea personalităţii elevilor, este nevoie de o muncă pedagogică asiduă şi competentă, de selecţionare, prelucrare, sintetizare şi adaptare a materiei de studiu la nivelul capacităţilor intelectuale ale acestora. Indiferent însă de metodele, modalităţile şi mijloacele pe care timpul nostru le pune la dispoziţia şcolii, rolul nostru ca educatori, constituie un factor hotărâtor în

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

organizarea şi desfăşurarea procesului de învăţământ, pentru creşterea randamentului şcolar. Învătarea matematicii reprezintă un ţel spre care se tinde şi se ajunge prin pasiune şi muncă. Important e ca în eforturile sale de a îmbogăţi comunicarea didactică, învăţătorul să nu uite că aşa cum spunea L. Şoitu, nu tot ce spune se aude, nu tot ce se aude se înţelege şi ceea ce se înţelege nu depinde numai de noi.

Proiect de lecţie

Clasa: I Obiectul: Matematică Subiectul: „Numărul şi cifra 3” Tipul lecţiei: Dobândire de cunoştinţe Scopul lecţiei: - consolidarea cunoştinţelor despre numărul şi cifra 2; - formarea deprinderilor de a scrie corect cifra 3;

-

înţelegerea numărului 3 ca simbol al mulţimii care are 3 obiecte - dezvoltarea operatiilor gandirii ( analiza, sinteza, generalizarea, abstractizarea) si a calitatilor acesteia(rapiditatea, mobilitatea,flexibilitatea) Obiective operaţionale: O1 – să răspundă corect la întrebările adresate; O2 – să folosească un limbaj matematic adecvat; O3 – să înţeleagă numărul 3 ca simbol al mulţimii cu trei obiecte;

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

O4 – să numere crescător şi descrescător până la 3; O5 – să recunoască şi sa scrie corect cifra 3; O6 – să completeze corect fişele de evaluare; O7 – să lucreze independent; O8- să păstreze ordinea şi disciplina în cadrul lecţiei. Strategia didactică: a) Mod de abordare al învăţării: algoritmic b) Metode şi procedee: conversaţia, explicaţia, demonstraţia, exerciţiul, problematizarea; c)Mijloace de învăţământ: tabla magnetică, beţişoare colorate, trusa de figuri geometrice, numărătoarea, culori, cretă colorată, fişe de lucru, planşă cu elemente grafice componente cifrei 3, jetoane cu numere. d) Forma de organizare: frontală şi individuală e) Evaluarea: parţială şi finală Durata: 45’ Locul de desfăşurare: Sala de clasă Material bibliografic: „Proiectarea şi evaluarea didactică în învăţământul primar Marin Manolescu „Metodica predării matematicii la clasele I – IV”

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Proiect de lecţie Clasa:a II-a Obiectul: Matematică Subiectul: Adunarea şi scăderea numerelor formate din sute, zeci şi unităţi – exercitii si probleme Tipul lecţiei: consolidare şi sistematizare a cunoştinţelor Scopul lecţiei: formarea deprinderii de a rezolva exerciţii şi prpbleme de

adunări şi scăderi ale numerelor

naturale de la 0 la 100; educarea atentiei, dezvoltarea gândirii. Obiective operaţionale: a) cognitive: O1 – să răspundă la întrebări; O2 – să rezolve rapid şi corect exerciţiile de calcul oral; O3 – să folosească corect terminologia matematică; O4 – să utilizeze regulile de adunare şi de scădere a numerelor naturale până la 100; O5 – să afle numărul necunoscut; O6 – să scrie corect etapele unor probleme; O7 – să compună probleme pe baza unor operaţii de adunarea si scădere care ajung până la 1000; b) afective:

O8 – să participe activ şi conştient la

desfăşurarea lecţiei; c) psihomotorii: O9 – să adopte o poziţie corectă a corpului în timpul scrisului;

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Strategia didactică: a) Mod de abordare al învăţării: mixt b) Metode şi procedee: conversaţia, explicaţia, demonstraţia, exerciţiul,problematizarea, lucrul în echipă, observaţia, munca independentă, evaluarea; c) Forma de organizare: frontală, individuală, în echipă; d) Material didactic: fişe de evaluare, cretă colorată, culegeri, manualul pentru clasa a II-a; e) Bibliografie : „Metodica predării matematicii la clasele I –IV; „Proiectarea şi evaluarea didactică în învăţământul primar” – Marin Manolescu, Editura Steaua Procion; „Îndrumătorul învăţătorului pentru aplicarea Programelor scolare la clasele I – IV’’, Ed. Sigma, Bucureşti Evaluarea: continuă Locul de desfăşurare: sala de clasă Durata: 45 minute

FIŞĂ DE EVALUARE

1. Află diferenţa numerelor:67 şi 4; 79 şi 9; 86 şi 4 2. Află suma numerelor: 76 şi 12; 44 şi 3; 57 şi 11 3. Alege răspunsul corect: 88 65 24 12

–6 – 20 +5 + 14

26 45 82 7

95 – 50 4+3 13 + 13 41 + 41

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

10 – 3 69 – 32

29 37

78 – 41 15 + 14

4. Într-un coş sunt 12 trandafiri, 10 lalele, iar garoafe cât trandafiri şi lalele la un loc. Câte flori sunt în coş Proiect de lecţie Clasa: a III-a Obiectul: Matematică Subiectul: Înmulţirea unui număr format din sute, zeci şi unităţi cu un număr de o cifră Tipul lecţiei: recapitularea şi sistematizarea cunoştinţelor Scopul: consolidarea deprinderilor de a înmulţi un număr format din sute, zeci şi unităţi cu un număr de o cifră; consolidarea deprinderilor de calcul oral

şi scris;

dezvoltarea deprinderii de a lucra în echipă; dezvoltarea gândirii logico-matematice, precum şi a celorlalte procese psihice (atenţia şi memoria) Obiective operaţionale: a) cognitive: O1 – să răspundă la întrebări; O2 – să rezolve rapid şi corect exerciţiile de calcul oral; O3 – să folosească corect terminologia matematică; O4 – să rezolve corect înmulţirea, dar şi celelalte operaţii; O5 – să compare numerele folosind semnele <, >, =; O6 – să explice etapele rezolvării unei probleme; O7 – să respecte regulile jocului; O8 – să efectueze cu atenţie fişa primită;

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

b) afective:

O9 – să se conformeze cerinţelor,

îmbunătăţindu-şi continuu performanţele c) psihomotorii: O10 – să adopte o pozitie corectă a corpului în timpul scrisului. Strategia didactică: a) Mod de abordare al învăţării: mixt b) Metode şi procedee: conversaţia, explicaţia, demonstraţia, exeercitiu ,lucrul în echipă, observaţia, jocul didactic, munca independentă; c) Forma de organizare: frontală şi individuală; d) Material didactic: manualul pentru clasa a IV-a, culegeri, fişe de evaluare, o planşă cu rebus; 2 planşe- „scăriţa”; o planşă cu tabel. e) Bibliografie : „Metodica predării matematicii la clasele I –IV; „Proiectarea şi evaluarea didactică în învăţământul primar” – Marin Manolescu, Editura Steaua Procion; „Îndrumătorul învăţătorului pentru aplicarea Programelor scolare la clasele I – IV’’, Ed. Sigma, Bucureşti Evaluare: continuă Locul de desfăşurare: sala de clasă Durata: 45 minute

FIŞĂ DE EVALUARE 1. Calculaţi: 100 x 6 = 138 x 7 = 232 x 3 = (121 x 2) + (300 x 2)

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

2. Află numărul: a) de 2 ori mai mare decât 252 b) de 4 ori mai mare decât 243 3. Completează cu unul din semnele <,>, = 298 x 3

283 x 2

4 x 133

2 x 266

4. La un concurs de înot participă 174 fete, iar băieţi de 4 ori mai mulţi. Câţi elevi participă la concurs? Proiect de lecţie Clasa: a IV-a Obiectul: Matematică Subiectul: Exerciţii şi probleme Tipul lecţiei: recapitularea şi sistematizarea cunoştinţelor Scopul: recapitularea cunoştinţelor legate de adunarea, scăderea, inmulţirea

împărţirea numerelor; consolidarea

deprinderii de calcul oral si scris; dezvoltarea deprinderii de a lucra în echipă; dezvoltarea

gândirii

logico-matematice,

precum

şi

a

celorlalte procese psihice (atenţia şi memoria) Obiective operaţionale: a) cognitive: O1 – să răspundă la întrebările referitoare la noţiunile matematica învăţate; O2 – să rezolve corect împărţiri cu rest; O3 – să rezolve exerciţii de adunare, scădere, înmulţire, împărţire, în limitele 0 -1.000.00;

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

O4 – să rezolve rapid şi corect exerciţiile de calcul oral; O5 – să găsească semnele operaţiilor matematice („+”, „-’’ , „x”, „:”) O6 – să respecte regulile jocului; O7 – să afle numărul necunoscut; O8 – să compună probleme după un exerciţiu dat; O9 – să folosească corect terminologia matematică; O10 – să explice etapele rezolvării problemei; O11 – să găsească diferite întrebări pentru o problemă dată; O12 - să efectueze cu atenţie fişa primita; b)afective:

O13 - sa se conformeze cerintelor

propunatorului, imbunatatindu-si

continuu performantele;

c) psihomotorii: O14 – să adopte o poziţie corectă a corpului în timpul scrisului Strategia didactică: a) Mod de abordare al învăţării: mixt b) Metode şi procedee: conversaţia, explicaţia, demonstraţia, problematizarea, exerciţiul, observaţia, lucrul în echipă, jocul didactic,munca independentă, descoperirea c) Forma de organizare: frontală şi individuală d) Material didactic: „Matematică” –manual pentru clasa a

IV-a,Editura

Aramis;

fişă

de

muncă

independentă,

culegeri; planşă cu conţinutul unei probleme; ghetuţe cu daruri; planşă cu schema jocului „Flori matematice”; cutiuţa cu probleme;

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

cutiuţa cu buline; cutiuta cu exerciţii. e) Bibliografie : „Metodica predării matematicii la clasele I- IV” „Exerciţii şi jocuri didactice pentru matematică”, autori: Sofia Oneşiu şi Mariana Ţeicu, Editura The Best; „Proiectarea şi evaluarea didactică în învăţământul primar”; Marin Manolescu, Editura Steaua Procion Evaluare: continuă Locul de desfăşurare: sala de clasă Durata: 45 minute

ANEXA 1 Test de verificare a cunoştinţelor 1.

Subliniază cu o linie cel mai mare număr:

1p. 127

207

702

270

2. Scrie toate nr. impare cuprinse între 103 şi 97 1p. 3.Calculează: 1p. 304 + 170 =

478 - 231 =

32 + 205 =

694 – 304 =

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

4.Calculează

şi

verifică

prin

probă:

1p. 240 + 53 =

275 – 212 =

5.Află valoarea lui a: 2p. a + 214 = 656 302 + a = 372

a – 14 = 352 476 – a = 406

6. La diferenţa nr. 476 şi 255 adaugă suma nr. 103 şi 220

1p. 7. Pe un raft sunt 125 cărţi, iar pe altul cu 14 bucăţi mai

puţin.

2p. Câte cărţi sunt pe cele două rafturi?

+1p. S: 5p – 6p B: 7p – 8p FB: 9p - 10 ANEXA 2 1. Percepe uşor şi bine materialul didactic? 2. Înţelege conţinutul lecţiilor? 3. Memorează conştient, bine şi de durată?

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

4. Elaborează uşor operaţii mentale ca analiză, sinteză, comparaţie, abstractizare, generalizare şi concretizare la lecţii? 5. Face corelaţii şi asociaţii între cunoştinţele noi cu cele asimilate anterior la obiectul respectiv? 6. Face corelaţii şi asociaţii între cunoştinţele de la obiecte de învăţământ înrudite? 7. Prezintă în gândire note de originalitate? 8. Prezintă flexibilitate în gândire? 9. Are capacitatea de a gândi divergent? 10. Prezintă imaginaţie creatoare? 11. Foloseşte la lecţii imaginaţia analogică? 12. Foloseşte la lecţii imaginea probabilistică? 13. Expune cunoştinţele într-un limbaj clar, coerent şi expresiv? 14. Volumul cunoştinţelor corespunde cerinţelor programei şcolare? 15. Are şi cunoştinţe care depăşesc programa? 16. Prezintă interes pentru noutate?

ANEXA 3 1. Scrieţi adunările repetate de mai jos ca înmulţire şi calculaţi produsul: 4+4+4+4+4= 3+3+3+3+3+3=

8 + 8 +8 = 10 + 10 + 10

+ 10 = 2. Scrieţi scăderile repetate de scăzători egali, de mai jos, ca împărţire şi calculaţi câtul:

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

16 – 4 – 4 – 4 =

49 – 7 – 7 7 – 7- 7 – 7 – 7-

7= 18 – 6 – 6 – 6 =

50 – 10 – 10 – 10 – 10 –

10 =

- pentru calificativul SUFICIENT

3.Aflaţi factorul necunoscut: n:7=7

n x 8 = 32

45 : n = 9

- pentru calificativul BINE 6. Cinci fetiţe au fost în pădure după ciuperci. Prima fetiţă a cules 14 ciuperci, a doua cu 10 ciuperci mai puţin,a treia fetiţă a cules de 3 ori mai puţin decât a doua, a patra de două ori mai multe decât a treia, iar a cincea cu 4 ciuperci mai mult decât a patra fetiţă. Câte ciuperci a cules fiecare? Câte ciuperci au cules împreună? 7. Alcătuiţi o problemă după exerciţiul : 9 + 9 x 2 = - pentru calificativul FOARTE BINE

ANEXA 4 Test de evaluare iniţiala 1. a) Scrieţi cel mai mare număr natural par de 6 cifre, când cifrele se repetă şi apoi când cifrele sunt distincte; b) Scrieţi aşa cum citiţi numerele: 983.412 şi 805.023; c) Scrieţi cu cifre numerele: opt mii nouă sute nouăzeci şi patru; şapte sute douăzeci de mii cincisprezece;

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

d) Scrieţi în ordine crescătoare numerele: 344.683; 63.802; 934.512; 483.239 e) Puneţi semnul „<”, „>” sau „=” între numerele din perechile următoare: 21033 şi 21033; 465.821 şi 466.938;

423.500 şi

387.909; 520.000 şi 280.000 2. Calculaţi şi faceţi proba: 3.645 + 16.366 =

;

46835 – 9678 =

3. Efectuaţi şi faceţi proba: 423 x 2 =

;

900 : 4 =

4. Aflaţi valoarea lui „X” din egalitatea: (800 : X) – 170 = 1830 5. Într-o clasă sunt 36 de elevi, băieţi şi fete. Ştiind că numărul băieţilor este cu 8 mai mare decât al fetelor, aflaţi câţi băieţi şi câte fete sunt în clasa respectivă. 6. Alcătuiţi o problemă care poate fi rezolvată prin exerciţiul: 236 + (236 - 45) =

ANEXA 5 Test de verificare a cunoştinţelor la capitolul „Unităţi de măsură” 1. Transformaţi în unităţile indicate:

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

25 m = ? dm = ? cm = ? mm 8000 mm = ? cm = ? dm 9 kl = ? hl = ? dal = ? l 15000 l = ? dal = ? hl = ? kl 1 t = ? q = ? kg 6 kg = ? hk = ? dag = ? g 5 ore = ? minute = ? secunde 2 zile = ? ore PUNCTAJ: 3 p 2. Efectuaţi: 34 km + 418 m = ? m 640 dal + 15 hl = ? l 8500 dg + 42 hg = ? g 42000 mm + 4 m = ? m PUNCTA J: 3 p 3. Un magazin a primit spre vânzare 2.050 t de roşii şi cartofi. Ştiind că întreaga cantitate de roşii a fost de 4 ori mai mare decât cea de cartofi, aflaţi câte tone de cartofi şi câte tone de roşii a primit magazinul. PUNCTAJ: 3p +1p S: 5p - 6p B: 7p – 8p FB: 9p - 10p

ANEXA 6

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Test de verificare a cunoştinţelor la sfârşitul clasei a IV-a 1. Efectuează şi compară rezultatele celor două coloane de exerciţii, scriind în căsuţe semnul potrivit „<, >, =”: 86 x 4 + 168 921

–

749 – 79 x 3

36

x

24

19

x

43

–

760

1p 24 x 18 – 96

35 x 16 - 224

2. Scrie numerele pare cuprinse între 400 şi 4620. 0,5 p 3.

Scrie

sub

formă

de

sumă

numărul

3506.

0,5 p 4.

Scrie

cu

cifre

romane:

1p - luna; - anul; - secolul în care suntem. 5. Efectuează: 100.852 – 92.683 + 56.701 = [(9892

+

1088)

:

4

x

6

]

:

3

–

891

=

2p 5001 – 34.965 : 7 + (73.465 – 73.264) = 6. Calculaţi: 75 m x 10 =

m=

dam

900 dm : 100 =

dm =

cm

2p 248 cm + 252 cm =

m

7. Suma a trei numere

naturale pare consecutive este

egală cu a treia parte din 306. Care sunt cele trei numere? 2p

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

+1p S: 5p.-6p. B:7p.-8p. FB:9p.-10p

BIBLIOGRAFIE 1.Cherata,Victori,,Metode de rezolvare a problemelor de aritmeticaVoicila Jeana Editura Sibila, Craiova,1993 2. Cristea, Sorin-

„Paşi

spre

reforma

şcolii”,

Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1991 3. Gardin, Mar - „Aritmetică”, Editura Paralela 45, Piteşti, 2000 Gardin, Florin 4. Golu, Pantelimon- „Psihologie educaţională”, Editura Ex Ponto,Golu, Ioana Constanţa, 2002 5. Jurca, Maria -Georgeta - „Cum rezolvăm probleme de aritmetică”, Editura Trans-Pres, Sibiu, 1994 6. Lupu, Costică- „Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, Piteşti, 1999 7. Pîrîială, D. Dumitru- „Probleme tipice rezolvate prin mai multe Pîrîială Viorica , metode şi procedee”, Institutul European, Iaşi, 1999 8. Radu, Ion T. -„Evaluarea în procesul didactic”, Editura Didactică şi Pedagogică, R.A., Bucureşti, 2004

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

9. Radu, Mircel - „Reciclarea gândirii”, Editura Sigma, Bucureşti,

Radu, Nicolae 1999

10. Revista Cardinal - „Exerciţii şi probleme pentru clasele IIV”, Editura Cardinal, Craiova, 2006/2007 11. Roşu, Mihail - „Matematică pentru perfecţionarea învăţătorilor” Roman, Magdalena Editura All Educational, Bucureşti, 2000 12. Schneider, Maria - „Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică pentru clasele I- IV”, Editura Apollo, Craiova, 1991 13.Vartopeanu,I- ,,Metode de rezolvare a problemelor de aritmetica Vartopeanu,Olimpia

elementara’’,Editura

Sitech,Craiova, 1998 14. ******* - „Învăţământul primar”, nr. 1-2, Editura Publistar, Bucureşti, 1994 15. ********* - „Învăţământul primar”, nr. 4, Editura Publistar, Bucuresti,1994 16. ******* - „Învăţământul primar”, nr. 6-7, Editura Publistar, Bucuresti, 1994 17. ******** - „Învăţământul primar”, nr. 1-2, Editura Discipol, Bucuresti, 1997 18. ******** Discipol,

- „Învăţământul primar”, nr. 2-3, Editura

Bucuresti, 2001 19. ******** - „Învăţământul primar”, nr. 2-3, Editura Miniped,

Dezvoltarea gândirii logice a elevilor prin rezolvarea problemelor

Bucuresti, 2004 20. ******** - „Învăţământul primar”, nr. 4, Editura Miniped, Bucuresti, 2004 21. ******** - „Învăţământul primar”, nr. 4, Editura Miniped, Bucuresti, 2006 - Programa de matematică pentru clasele I-IV - Manuale de matematica pentru ciclul primar - Culegeri de probleme pentru clasele I-IV