Matematica Basica Para Administ

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN

INFORME FINAL DE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

“TEXTO: MATEMATICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD” AUTOR: ECO. SIMON BENDITA MAMANI

(PERIODO DE EJECUCIÓN: Del 01 de Febrero del 2008 al 31 de Marzo del 2010 RESOLUCIÓN RECTORAL Nº 332 332-2008-R)

Marzo de 2010

CALLAO - PERÚ

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INFORME FINAL 2010

A.-ÍNDICE B.-RESUMEN C.-INTRODUCCIÓN D.-MARCO TEÓRICO E.-MATERIALES Y MÉTODOS F.-RESULTADOS G.-DISCUSIÓN H.-REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS I.-APÉNDICE J.-ANEXOS

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B. RESUMEN

El presente Proyecto de Investigación tuvo como propósito la elaboración de

un

texto

universitario

titulado

MATEMATICA

BASICA

PARA

ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD. El texto se propone apoyar la formación profesional de los alumnos de las Escuelas Profesionales de Administración, Economía y Contabilidad, en el curso de Matemática Básica. Se trata de un texto básico que expone de manera

sucinta

los

temas

teóricos

correspondientes

de

Matrices,

determinantes, Nociones de lógica, Teoría de conjuntos, Sistema de números Reales, Inecuaciones, Valor Absoluto, Máximo Entero, la Recta, La Circunferencia, La Parábola, La Hipérbola, La Elipse y Funciones en los números reales, en las que

se pone mayor énfasis a la resolución de

problemas que tienen aplicaciones a las especialidades de Administración, Economía y Contabilidad. La elaboración de este texto permite que los alumnos no tengan dificultad de desarrollar el curso, ya que esta didácticamente plasmada los tipos de problemas para cada uno de los temas, y asimismo, el docente podrá utilizar como consulta en los capítulos de mayor interés

Además, los

diversos temas tratados en este texto son abordados bajo un enfoque didáctico y analítico, que es la forma correcta de resolver las diversas situaciones problemáticas presentadas. El texto titulado MATEMATICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD, presenta al inicio de cada capítulo un resumen teórico y luego problemas de aplicación.

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C. INTRODUCCIÓN

El proyecto de investigación realizado está referido a la elaboración de un texto universitario, cuya finalidad es apoyar en la formación profesional de los alumnos de las Facultades de Administración, Economía y Contabilidad. Durante mi experiencia en la docencia universitaria, en el intento de encontrar textos necesarios para la enseñanza del curso de Matemática Básica, he comprobado que los textos utilizados son muy extensos, donde los temas de estudio se hallan muy dispersos y por lo general se encuentran en una secuencia que no necesariamente corresponde a la secuencia de un curso para los alumnos de las Facultades de Administración, Economía y Contabilidad, por tal motivo es necesario hacer una sistematización de acuerdo al sílabo de la asignatura que estudia los temas: Matrices, determinantes, Nociones de lógica, Teoría de conjuntos, Sistema de números Reales ,Inecuaciones, Valor Absoluto, Máximo Entero la Recta, La Circunferencia, La Parábola, La Hipérbola, La Elipse y Funciones en los números El

Texto

MATEMATICA

BASICA

PARA

ESTUDIANTES

DE

ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD, elaborado por el autor es completo y único, dado que la gran mayoría de los textos no contiene los capítulos que se desarrolla para el curso de matemática básica. No se conoce actualmente un texto similar. En la actualidad los estudiantes han disminuido su rendimiento de la matemática, tal es así que se considera importante su dominio para las especialidades de Administración, Economía y Contabilidad, y que nos

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permita desarrollar los modelos Matemáticos, así mismo cálculos de estimaciones para la toma de decisiones. Los profesores que desarrollan esta asignatura ven con preocupación ante tal situación, muy a pesar que se cuenta con textos modernos para su estudio, posiblemente sea la forma como dichos textos se encuentran diversificados en la temática de Matemática, que confunde el alumno, como es el caso para ingenierías, que es una Matemática pura, a diferencia de los estudiantes de Administración, economía y contabilidad. Esta responsabilidad atribuida a los docentes de Matemática es básicamente porque de la metodología y el contenido de sus cursos va a depender el grado de aprendizaje de los alumnos a su cargo. De esta información surge de inmediato el cuestionamiento al contenido de los cursos a la metodología que aplican los docentes en el dictado de sus clases. Esto significa que se debe apuntar a las nuevas corrientes de calidad total y excelencia, también en el campo educativo, para lo cual surge el término de calidad educativa que pretende replantear la concepción clásica de educar hacia una formación profesional de especialidad. Actualmente la Matemática se ha convertido en parte fundamental de muchas de las teorías administrativas. Las matemáticas permiten interpretar fenómenos para tomar decisiones, asignar recursos de manera eficaz, motivando el desarrollo de nuevas teorías y métodos. Una de las principales herramientas es la matemática aplicada con un enfoque científico. Las matemáticas aplicadas difieren de la matemática pura en un aspecto muy importante en la matemática para los símbolos que representan

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conceptos abstractos cuyas propiedades se fijan por definición, mientras que en la matemática aplicada muchos símbolos corresponden a variables que se observan en el mundo real, las propiedades de tales variables tiene que determinarse por observación y no por definición abstracta y luego enunciarse en forma matemática, en las matemáticas aplicadas es posible determinar la precisión empírica de las deducciones. Del análisis matemático según la ciencia pura o la aplicada, solo difiere en cuanto al aspecto empírico de las definiciones, supuestos y conclusiones y no en relación con los métodos deductivos. Es esencial tener una práctica amplia en la resolución de problemas para realizar un buen estudio del análisis matemático. Los estudiantes descubrirán la importancia de la aplicación de matemática en los asuntos de finanzas,

contabilidad,

operación,

bancaria,

ventas,

mercadotecnia,

transportes, producción industrial y a muchas otras áreas relacionadas. Las matemáticas proporcionan una estructura matemática lógica dentro de la cual pueden estudiarse las relaciones cuantitativas .El análisis matemático toma las definiciones y supuestos tal como se dan y obtienen las conclusiones que se desprenden lógicamente de ellos.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En base a la descripción y el análisis del problema se expresa los siguientes planteamientos: -¿Qué temática se debe considerar en el curso de matemática básica para que los estudiantes de administración, economía y contabilidad, mejoren su nivel académico en su formación profesional?

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-¿Qué nuevas metodologías debe emplear los docentes en la enseñanza de las matemáticas para los estudiantes de administración, economía y contabilidad?

ALCANCE -Investigación aplicada. -El sector que será beneficiado por los resultados de la investigación serán los estudiantes y profesores de las facultades de administración, economía y contabilidad; y público en general interesado.

IMPORTANCIA -Permitirá que los estudiantes y profesores puedan contar con un texto estandarizado que facilite el desarrollo del contenido temático de la matemática básica para las disciplinas de administración, economía y contabilidad. -Contribuirá al mejoramiento de la calidad de formación profesional. -Permitirá un mejor uso de las potencialidades humanas

JUSTIFICACION -El estudiante contara con un texto básico de la matemática básica en su formación profesional interdisciplinaria. -El docente dispondrá de los contenidos temáticos básicos para el desarrollo de su disciplina -El proceso de formación profesional sería más eficiente y en consecuencia eficaz.

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D. MARCO TEÓRICO

En la presente investigación se presenta la teoría resumida y simplificada para los dieciséis capítulos del presente texto. Esto ha sido posible por la experiencia de dieciséis años en la docencia universitaria que tiene el autor, en la enseñanza del curso de matemática básica. Por ejemplo, en el capítulo 1 “Algebra matricial”, comprende definición de matrices, tipos de matrices, y operaciones matrices, parte fundamental del algebra lineal como para poder operar posteriormente de forma adecuada con los elementos de algebra matricial En el capítulo 2 “Determinantes”, definición de determinantes, solución de matriz por el método de cofactores, matriz adjunta, matriz inversa, solución de las ecuaciones por el método de matrices y su aplicación. se utilizan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y, en el caso de los alumnos de Ciencias, la geometría en el espacio. En el capítulo 3 “Nociones de lógica”, concepto de lógica, enunciado abierto, proposiciones, proposiciones compuestas: negación, disyunción, conjunción, condicional y bicondicional-tablas de verdad, al respecto se enuncian las leyes lógicas que rigen los procesos del pensamiento humano; así como de los métodos que han de aplicarse al razonamiento y la reflexión para lograr un sistema de raciocinio que conduzca a resultados que puedan considerarse como certeros o verdaderos. En el capítulo 4,5 y 6

“teoría de conjunto, operaciones de conjunto y

cuantificadores”, definición de conjunto, determinación de un conjunto, tipos de conjunto y

propiedades. Aplicación Unión, intersección, diferencia,

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diferencia simétrica, conjunto universal, complemento de un conjunto. el tema trata de

identificar los elementos que pertenecen y los que no

pertenecen a un conjunto, interpretar correctamente la notación simbólica en la definición de conjunto, representar conjuntos en diagramas de ven y realizar operaciones entre conjuntos (unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica) El capítulo 7 “sistema de números reales, inecuaciones, valor absoluto, producto cartesiano y relaciones en los números reales”, trata de un conjunto de operaciones de ecuaciones e inecuaciones, propiedades, axiomas, método de puntos críticos y representación. En los capítulos 8,9,10,11y 12, ”la línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola”, trata de la construcción de curvas geométricas con ecuaciones definida de la forma ,que permite identificar de forma inmediata para ser representadas en el plano cartesiano mediante técnicas básicas del análisis matemático y del algebra en un determinado sistema de coordenadas. En el capítulo 13,”Funciones en los números reales”, finalmente podremos identificar como el subconjunto de los números reales se transforma en imagen, se llama dominio de la función, asi mismo se construye tipos de funciones y desarrollar la composición de funciones, donde se obtiene otra imagen de otro subconjunto de números reales.

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E. MATERIALES Y MÉTODOS

Se ha utilizado información en forma resumida de las universidades nacionales y particulares

relacionadas a las facultades de administración, economía y

contabilidad, que hacen uso de los textos de matemáticas básica en su curricula para los estudiantes de esta especialidad que les permite desarrollarse en el proceso de su formación profesional. Así mismo se ha utilizado los syllabus que hacen los estudiantes de las especialidades de administración, economía y contabilidad.

DETERMINACION DEL UNIVERSO El presente trabajo de investigación tomara en cuenta a los textos que utilizan los docentes y estudiantes a las disciplinas de administración, economía y contabilidad. Se tomara en cuenta la metodología que utilizan los docentes en la enseñanza de la matemática

DETERMINACION DE LA MUESTRA El presente trabajo de investigación tomara en cuenta a las disciplinas correspondientes a las áreas de administración, economía y contabilidad. Se tendrá como unidad de información a los docentes responsables del desarrollo de la matemática a los estudiantes de administración, economía y contabilidad.

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TECNICAS DESCRIPTIVAS Procedimiento: -Se seleccionara cada uno de los materiales de información. -en la revisión bibliográfica se tomara en cuenta el contenido temático de la matemática. -Se confrontara ideas y criterios de desarrollo metodológico que emplean los docentes especialistas en la materia. -Se procesara los datos confrontados que sirvan de base para una adecuada estandarización del contenido temático de la matemática. -A partir de la base del contenido temático se formulara la nueva estructura temática de la materia de estudio. -Se contrastara con otros textos de la matemática básica como alternativas de solución, con las diferentes disciplinas que demande de ellos.

TECNICAS ESTADISTICAS -Aplicaciones técnicas estadísticas: se tomara en cuenta un muestreo de la información mediante encuestas, entrevistas, observaciones, cuestionarios y otras formas que sean necesarios. -Papeles de trabajo se obtendrán resúmenes para realizar diagnósticos, pronósticos y reportes de avances específicos para las conclusiones estadísticas. -Medición de resultados: ejecutar la comparación de lo hallado versus lo realizado en las desviaciones, correcciones y ajustes. -Resultado final: en el presente proyecto de investigación se obtendrán conclusiones finales, recomendaciones y cuadros aplicativos reales.

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-Aplicación de los modelos matemáticos: para conocer las opiniones de los expertos e intereses de dicha temática, se tomara en cuenta en todo cuanto sea necesario, a fin de ultimar correcciones antes de la impresión sustentación.

12

final y

F. RESULTADO

El resultado de la presente investigación es la elaboración del texto universitario

titulado

“TEXTO:

MATEMATICA

BASICA

PARA

ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD”, el cual se adjunta al presente. El texto contiene trece capítulos y un apéndice. La teoría desarrollada en el texto, responde a los aspectos básicos de la matemática básica .Los problemas resueltos en el texto, tienen el propósito de dar las pautas de la aplicación de la teoría desarrollada. Se ha logrado un texto base para la asignatura de matemática básica, en la formación universitaria de los estudiantes de administración, economía y contabilidad.

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G. DISCUSIONES El texto universitario titulado investigación es la elaboración del texto universitario titulado “MATEMATICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD”, es el resultado de la investigación a que se refiere el presente informe ,se caracteriza por presentar la teoría en forma resumida y dando mayor énfasis a la resolución de

problemas

de

aplicación.

Los

problemas

resueltos

han

sido

cuidadosamente seleccionados de tal forma que nos permitan comprobar las propiedades y leyes en la resolución de los problemas presentados. La mayoría de los textos sobre matemática básica ,no presentan muchos problemas resueltos en forma didáctica que permita al alumno obtener la solución de problemas planteados de forma inmediata y eficaz. Ello conllevaría una mejor comprensión a los estudiantes. Por tal razón ,el presente texto ayudara a los estudiantes ha comprender mejor la teorías de matrices, determinantes, conjunto, lógica, inecuaciones, la recta, la circunferencia, la parábola, la hipérbola, la hipérbola, la elipse y funciones. Conocimientos fundamentales en su formación profesional, para luego cuando lleve los cursos de especialidad puedan abordar problemas reales, a los cuales darán solución siempre y cuando conozcan y apliquen correctamente.

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H. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

•

ARYA,

J.

LARDNER,

”MATEMATICA

R.

APLICADA

OTEYZA, A

LA

E.

PALMAS

VELAZCO,

ADMINISTRACION,

O.

ECONOMIA,

CIENCIAS BIOLOGICA Y SOCIALES”, 3era. EDICION EDITORIAL PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA. •

CHIANG ALPHA C. “METODOS FUNDAMENTALES DE ECONOMIA MATEMATICA”, EDITORIAL. MC. GRAW – HILL.3era EDICION.

•

DRAPES,JEAN E, KLINGMAN,JANE S. “MATEMATICAS PARA LA ADMINISTRACION Y ECONOMIA” EDITORIAL.MEXICO.HARLA .1976

•

HAEUSSLEER E.F. Y RICHARD S. PAUL. ”MATEMATICA PARA ADMINISTRACION, ECONOMIA,CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA “ EDITORIAL PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.8va.EDICION MEXICO

•

HOEL

PAUL

G.

”MATEMATICAS

FINITAS

Y

CALCULO

CON

APLICACIONES A LOS NEGOCIOS” EDITORIAL. LIMUSA MEXICO •

LANG,

SERGE

“INTRODUCCION

A

ANALISIS

MATEMATICO”

ADDISSON-WESLEY IBEROAMERICANA, S.A. •

LARSON Y HOSTETLER. ”CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA” EDITORIAL. MC. GRAW – HILL.3era EDICION, MADRID.

•

LEITHOLD LOUIS. ”CALCULO PARA CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, BIOLOGICAS Y SOCIALES” EDITORIAL.MEXICO. HARLA .1988

•

SYDSAETER Y HAMMOND. “MATEMATICAS PARA EL ANALISIS ECONOMICO” EDITORIAL.PRENTICE HALL MADRID 1996

•

WEBER (DRAPER) JEAN. “MATEMATICA PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA” EDITORIAL.MEXICO. HARLA .1990

15

•

F.S. BUDNICK “MATEMATICA APLICADAS A LA ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CIENCIAS SOCIALES” EDITORIAL 2. MC. GRAW – HILL HALL.

•

CABALLERO R. ”MATEMATICA APLICADAS A LA ADMINISTRACION, ECONOMIA Y A LA EMPRESA”

•

EDITORIAL PIRAMIDE.

ARYA, J.C. Y LARDNER,R.W. “MATEMATICA APLICADAS A LA ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CIENCIAS SOCIALES”

EDITORIAL

PRENTICE-HALL. •

JEAN E. WEBER-EDUARDO ESPINOZA RAMOS “SOLUCIONARIO DE MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA” EDITORIAL SERVICIOS GRAFICOS J.J. 2da. EDICION, 2003.

•

FIGUEROA GARCIA, RICARDO. “MATEMATICA BASICA” NOVENA EDICION. IMPRESO EN RFG. LIMA PERU 2006.

•

LARSM, RON – HOSTELLER, ROBERT “CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA”

OCTAVA EDICION, MCGRAW – HILL

INTERAMERICANA DE MEXICO, S.A. DE C.V. 2006 •

VENERO BALDEN, ARMANDO. “MATEMATICA BASICA”, IMPRESO EN LOS TALLERES GRAFICOS TOP-JOB E.I.R.L.. LIMA PERU

•

ANTONIO

CALDERON

“MATEMATICA

BASICA”,

UNIVERSITARIA URP-04/2005 •

ESPINOZA RAMOS, EDUARDO “ANALISIS MATEMATICO I” 3era EDICION. EDITORIAL SERVICIOS GRAFICOS J.J. 2008

•

ESPINOZA RAMOS, EDUARDO “MATEMATICA BASICA” 1era EDICION. GEMAR, LIMA PERU. 2001

•

ESPINOZA RAMOS, EDUARDO “MATEMATICA BASICA” PUBLICACION LIMA SERVICIOS GRAFICOS J.J.2005

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EDITORIAL

I APENDICE ENCUESTA INSTRUCCIONES La presente encuesta que se realizara a los profesores y estudiantes de las diferentes universidades nacionales y particulares específicamente a las facultades de administración, economía y contabilidad. Al respecto se le solicita que elija una sola alternativa como respuesta, la que usted considere correcta marcando con un aspa (x) o escribiendo una sola alternativa, agradecemos su gentil colaboración.

DATOS PERSONALES 01. Sexo: Masculino ( ) Femenino ( ) 02. EdadQQQQQQ.ProcedenciaQQQQ.Provincia 03. Tipo de ocupación docente ( ) estudiante ( ) 04. Enseñanza en universidad nacional ( ) particular ( ) 05. Estudia en una universidad nacional ( ) particular ( )

ECONOMIA 06. Tu situación económica del estudiante que influye en el rendimiento Académico. Bueno ( ) Regular ( ) 07. Tienes apoyo económico de tus padres Si ( ) No ( ) 08 Si trabajara que horario elegiría tarde ( ) mañana ( ) noche ( ) ESTUDIO 09. Alguna vez eligió un texto base de matemática básica con relación a su especialidad Si ( ) no ( ) 10. El contenido temático del texto de matemática debe mejorar para elevar el rendimiento académico Si ( ) no ( ) 12.Cuentas con una computadora Si ( ) no ( ) 17

13. realizan seminarios de matemática en forma permanente en sus facultades. Si ( ) no ( ) 14. Que dificultad considera usted que exista en el aprendizaje de la matemáticaQQQQQQQQ.. 15. Influye la metodología que emplea los docentes en la enseñanza de la matemática a los estudiantes. Si ( ) no ( ) 16. Los docentes si elevaran el nivel de enseñanza seria Eficiente ( ) Confiable ( ) Preciso ( ) Oportuno ( ) 17 Se considera necesario realizar mejoras en los syllabus Si ( ) no ( ) 18. En la actualidad el uso de la computadora ayuda a realizar sus trabajos en forma Eficiente ( ) Confiable ( ) Preciso ( ) Oportuno ( ) 19. considera útil el uso del internet para mejorar el desarrollo matemática Si ( ) no ( )

de la

20.Por que considera necesario mejorar la parte didáctica de los textos de matemáticaQQQQQQQ. 21. Por que no realiza círculos de estudio de matemática o considera suficiente el texto de matemática QQQQQQQQQQQQQ 22. Que tipo de problemas considera usted que dificulta en la enseñanza de la matemática a los estudiantes de las facultades de administración, economía y contabilidadQQQQQQQQQQQQQ

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J ANEXO

CUADRO Nº 01 Procedencia de los Docentes y Estudiantes de Administración, Economía y Contabilidad Procedencia Universidades Nacionales Universidades Particulares total

Docentes 50 30 80

Estudiantes 500 100 600

Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zona de Lima y Callao

CUADRO Nº 02 Situación Económica de los Estudiantes que influyen en lo Académico Procedencia Universidades Nacionales Universidades Particulares Total

Bueno 300 60 360

Regular 200 40 240

Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zona de Lima y Callao

CUADRO Nº 03 Horario de Estudio por los Estudiantes de Administración Procedencia Universidades Nacionales Universidades Particulares Total

Mañana 50 30 80

Tarde 25 15 40

Noche 50 30 80

Total 125 75 200

Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zona de Lima y Callao

CUADRO Nº 04 Horas de Estudio por los Estudiantes de Economía Procedencia Universidades Nacionales Universidades Particulares Total

Mañana 40 20 60

Tarde 15 15 30

Noche 40 20 60

Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zona de Lima y Callao

19

Total 95 55 150

CUADRO Nº 05 Horas de Estudio por los Estudiantes de Contabilidad Procedencia Universidades Nacionales Universidades Particulares Total

Mañana 60 40 100

Tarde 25 25 50

Noche 60 40 100

Total 145 105 250

Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zona de Lima y Callao

CUADRO Nº 06 Realizan Seminarios de Matemática en su Facultad Procedencia Universidades Nacionales Universidades Particulares

SI 200 150 350

NO 100 150 250

Total 300 300 600

Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zona de Lima y Callao

CUADRO Nº 07 Los Docentes influyen en el rendimiento Académico de los estudiantes Procedencia Universidades Nacionales Universidades Particulares

Confiable 200 100 300

Objetivo 100 50 150

Eficiente 60 40 100

Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zona de Lima y Callao

CUADRO Nº 08 La Internet influye en el Rendimiento de los Estudiantes Procedencia Universidades Nacionales Universidades Particulares

SI 250 150 400

NO 120 80 200

Total 370 230 600

Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zona de Lima y Callao

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Preciso 30 20 50

Total 390 210 600

CUADRO Nº 09 La Metodología que cumplen los Docentes influye en el apoyo de los Estudiantes Procedencia Universidades Nacionales Universidades Particulares

SI 300 250 550

NO 20 30 50

Total 320 280 600

Fuente: Estudiantes de las universidades nacionales y Particulares en la zona de Lima y Callao

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN

INFORME FINAL DE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

“TEXTO: MATEMATICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD” AUTOR: ECO. SIMON BENDITA MAMANI

(PERIODO DE EJECUCIÓN: Del 01 de Febrero del 2008 al 31 de Marzo del 2010 RESOLUCIÓN RECTORAL Nº 332 332-2008-R)

Marzo de 2010

CALLAO - PERÚ

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ÍNDICE DE CONTENIDO PREFACIO GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG..GGGGGGG X CAPÍTULO 1 ALGEBRA MATRICIAL GGGGGGGGGGGG.GGGGG.GGG.GGG1 1.1 INTRODUCCION GGGGGGGGG.GGGG.GGGGG.GG.GGGG1 1.2 TIPOS DE MATRICES GGGGGGGGGGGGGGGG.GG.GGGG2 1.3 OPERACIONES DE MATRICES GGGGGGGGGGGGG.GGGGG5 1.4 INVERSA DE UNA MATRIZ GGGGGGGGGGGGGGGGGGG.10 CAPÍTULO 2 DETERMINANTES GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG.13 2.1 DEFINICIÓN GGGGGGGGGGGGGGGGGGG.GGGGGGG.13

2.2 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES GGGGGGGGGGGG15 2.3 REGLA DE SARRUS ...GGGGGGG.GGGGGGGGGGGGGG.20 2.4 MATRIZ DE COFACTORES GGGGGGGGGGGGGG.GGGGG.26 2.4.1 MÉTODO DE COFACTORES PARA HALLAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ GGGGGGGGGGGG...GGGGGGGGGGGGGGG27 2.5 ADJUNTA DE UNA MATRIZ GGGGGGGGGGGGGGGGGGG.28 2.6 INVERSA DE UNA MATRIZ MEDIANTE LA ADJUNTA GGGGG.GG.29 2.7 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA GGGGGGGGGGGGGGGGG..GGGGGGGGGG30 2.8 REGLA DE CRAMER GGGGGGGGGGGGGG.GGGGGGGG33 2.9 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES GGGGGG.GG.GGGGG 42 2.9.1 SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALESGG....45 23

2.10 RANGO DE UNA MATRIZ GGGGGG..GGGGGGGGGGGGG51 2.10.1 OPERACIONES ELEMENTALES QUE PUEDEN REALIZARSE CON UNA MATRIZ PARA CALCULAR SU RANGO SIN QUE ÉSTE VARÍE GGGGGGGGGGGGGGGGGGG..GG..52 2.10.2 CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ GGGGGGG..G53 2.11 EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MATRICES .GGG.GGGGGGG.56 2.12 EJERCICIOS PROPUESTOS DE MATRICESGGGGG..GGGGGG84 2.13 INSUMO PRODUCTO GGGGGGGGGGGGGGGGG..GGG.112 CAPÍTULO 3 NOCIONES DE LOGICA GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG118 3.1 DEFINICION GGGGGGGGGGGGGGGGG..GGGGGGGG118 3.2 ENUNCIADOS ABIERTOS Y ENUNCIADOS CERRADOS GGG GG121 3.3 PROPOSICIONES COMPUESTAS GGGGGGGGGGGGGGG...124 3.4 LÓGICA PROPOSICIONAL ..GGGGGGGGGGGGGGGGGG..126 CAPÍTULO 4 TEORIA DE CONJUNTOS GGGGGGGGGGGGGGGGG..GGG..145 4.1 DEFINICION G.GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG..145 4.2 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTOGGGGGGGGGGGGGG.146 4.3 TIPOS DE CONJUNTO GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG147 4.4 PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES GGGGGGGGGG...164 CAPITULO 5 OPERACIONES DE CONJUNTO GG.GGGGGGGGGGGGGGGG165 5.1 DEFINICION GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG..GG.165 5.1.1 UNIÓN GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG..165 5.1.2 INTERSECCIÓN GGGGGGGGGGGGGGGGGGGG.165

24

5.1.3 PARTICIONESGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG.....167 5.1.4 DIFERENCIA GGGGGGGGGGGGGGGGGG..GGG.167 5.1.5 COMPLEMENTO GGGGGGGGGGGGGGGGGGGG169 5.1.6 DIFERENCIA SIMÉTRICA GGGGGGGGGGGGGGGG170 5.1.7 DIAGRAMAS DE VENN GGGGGGGGGGGGGGG..G.170 5.2 RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG..170 5.3 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS GGGGGGGGGGGGGGGGGG..171

5.4 PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS O PRODUCTO CRUZ 172

CAPITULO 6

CUANTIFICADORES GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG.....174

6.1 DEFINICION GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG174

6.2 EJERCICIOS DE CONJUNTOS.

.

174

CAPITULO 7 SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES GGGGGGGGGGGGGGG.179 7.1 DEFINICIONGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG.179 7.2 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ...GGGGGGGGGGG..179 7.3 DESIGUALDADES GGGGGGGGGGGGGGGGGGG..GGG.183 7.3.1 CONSECUENCIAS PRINCIPALES DE LA PROPIEDAD DE ORDEN GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG..G.184 7.4 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES G.186 7.5 INTERVALOS GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG.188 7.6 SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES ...GGGGGGGGGGGGGGG192 25

7.7 EL NÚMERO COMPLEJO GGGGGGGGGGGGGGGGGGG...193 7.7.1 LOS COMPLEJOS COMO PARES ORDENADOS GGGGG.194 7.8 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG202 7.9 POLINOMIOS Y ECUACIONES POLINÓMICAS GGGGGGGGG..217 7.9.1 DEFINICIONES GGGGGGGGGGGGGGGGGGGG...217 7.9.1.1 IGUALDAD DE POLINOMIOS GGGGGGGGG.G.219 7.9.2 OPERACIONES CON POLINOMIOS GGGGGGGGGGG219 7.10 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA GG225 7.10.1SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS. GGGGG.227 7.10.2 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE POLINOMIOSGGGG..231 7.10.3 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ECUACIONES CUADRÁTICAS. FACTORIZACIÓN DE SUMAS Y DIFERENCIA DE CUBOS GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG235 7.10.4 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE POLINOMIOS GG..238 7.10.5 EJERCICIOS

PROPUESTOS

SOBRE

ECUACIONES

CUADRATICÁS GGGGGGGGGGGGGGGGGGG..239 CAPITULO 8 LINEA RECTA GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG241 8.1 INTRODUCCIÓN GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG.241 8.2 PENDIENTE E INCLINACIÓN DE UNA RECTA GGGGGGGGG..245 8.3 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA GGGGGGG..247 8.4 ECUACIÓN SEGMENTARIA DE LA LINEA RECTA GGGGGGG...251 8.5 ECUACIÓN GENERAL DE LA LINEA RECTA GGGGGGGGGG.252

26

8.6 ANGULO ENTRE DOS RECTAS. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ENTRE RECTAS GGGGGGGGGGGGGGGG.256 8.7 COORDENADAS DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS259 8.8 ECUACIONES DE LAS BISECTRICES DE LOS ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN GGGGG.260 8.9 LA PARALELA MEDIA Y LA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG..261

8.10. FAMILIA DE RECTAS GGGGGGGGGGGGGGGGGGGG.263 8.11 EJERCICIOS RESUELTOS GGGGGGG..GGGGGGGGGG..265 CAPITULO 9 LA CIRCUNFENRENCIA GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG..290 9.1. DEFINICION GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG290 9.2. ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA CIRCUNFERENCIA GGGGGGG.290 9.3. CONDICIÓN PARA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

EN

DOS

VARIABLES

X

E

Y

REPRESENTE

UNA

CIRCUNFERENCIA. GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG.292 9.4. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DETERMINADA POR TRES CONDICIONES GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG.293 9.5. PUNTOS COMUNES A UNA CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA..293 9.5.1.

RECTA TANGENTE

A UNA CIRCUNFERENCIA Y

DE

PENDIENTE CONOCIDAGGGGGGGGGGGGGGGG293 9.5.2. RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA POR UN PUNTO DADO DE LA CURVAGGGGGGGGGGGGGGGGG.295 9.5.3 POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS NO CONCÉNTRICAS GGGGGGGGGGGGGGGGGGG.297 27

9.6. EJERCICIOS RESUELTOS GGGGGGGGGGGGGGGGGGG301 CAPITULO 10 LA PARABÓLA GGGGGG..GGGGGGGGGGGGGGGGGGG.307 10.1 DEFINICIONES GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG307 10.2. ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA PARÁBOLAGGGGGGGG.. 308 10.3. TRASLACIÓN DE EJES GGGGGGGGGGGGGGGGGGG..312 CAPITULO 11 LA ELIPSE GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG.319 11.1. DEFINICIONES....G...............................................................................319 11.2. ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA ELIPSE G..GGGGGGGGG320 11.3. CONSTRUCCION DE LA ELIPSE GGGGGGGGGGGGGGG.324 CAPITULO 12 LA HIPERBOLA GGGGGGGGGGGGGGGGGGG.GGGGGG327 12.1 DEFINICIONES GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG..327 12.2. ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA HIPÉRBOLA GGGGGGGG328 12.3 ANALISIS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO GGGGGG.332 12.4. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA PARÁBOLA GGGGGGG333 12.5 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA ELIPSE GGGGGGGGG340 12.6. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA HIPÉRBOLA GGGGGG..342 12.7. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA ECUACIÓN DE 2º GRADO .346 12.8 EJERCICIOS PROPUESTOS GGGGGGGGGGGGGGGGG.348 CAPITULO 13 FUNCIONES GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG..355 13.1 INTRODUCCION GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG.355 13.2 DEFINICIONES GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG356

28

13.3 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN GGGGGGGGGGGGGGGGG359 13.4 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALESGGGGGGGGGGGGG..360 13.5 FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO n. GGGGGGGGGGGGG363 13.6 FUNCIÓN MAYOR ENTERO MENOR O IGUAL A x. GGGGGGG..365 13.7 FUNCIÓN DEFINIDA A TRAMOSGGGGGGGGGGGGGGGG.365 13.8 FUNCIÓN RACIONAL GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG366 13.9 FUNCIONES PARES E IMPARES GGGGGGGGGGGGGGG..368 13.10 OPERACIONES CON FUNCIONESGGGGGGGGGGGGGG..369 13.11 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONESGGGGGGGGGGGG..372 13.11.1 FUNCIONES MONÓTONASGGGGGGGGGGGGGG372 13.11.2 FUNCIONES INYECTIVAS GGGGGGGGGGGGGG..372 13.11.3 FUNCIONES INVERSASGGGGGGGGGGGGGGG..374 13.11.4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL GG.GGGGGGGGGG..379 13.11.4.1TEOREMA (LEYES DE LOS EXPONENTES) GG...379 13.11.4.2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL GG.381 13.11.5 LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA GGGGGGGGGG384 13.11.5.1TEOREMA (PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS) GGGG384 13.11.5.2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

385

13.12 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL..388 13.13EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE FORMULACIÓN EXPONENCIALGGGGGGGGGGGGGGG.392 13.14 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA GGGGGGGGGGGGGGGGG393 BIBLIOGRAFIA GGGGGGGGGGGGGGGGG..GGGGGGGG.395

29

PREFACIO La idea de hacer este libro nació debido a la inquietud de los estudiantes que llevan el curso de matemática básica,

con el propósito de poner a la

disposición del estudiante y docentes de las especialidades de administración, economía y contabilidad. Las matemáticas siempre han sido importantes para las ciencias y para la tecnología de diferentes maneras y lo serán, aún más, para aquellas naciones que comprendan la naturaleza del conocimiento moderno. La motivación al sacar a la luz pública este libro es, precisamente, ofrecer una primera descripción de lo que ha sido el quehacer matemático en las facultades de administración, economía y contabilidad, que permita realizar una reflexión de la importancia

de las matemáticas en las tareas nacionales

fundamento esencial en la aplicación y formación profesional. Se decidió hacer de este libro solamente una introducción a estudios más pormenorizados sobre el decurso de las matemática básica, para de esta forma, buscar una mayor proyección de nuestro estudio La Asignatura de matemática básica, considerado base fundamental su estudio, dado que es el inicio de los conocimientos para su desarrollo de las asignaturas siguientes a estudiar. El texto de matemática básica para los estudiantes de administración, economía y contabilidad, constituirá como guía para elevar el nivel académico de los estudiantes de esta especialidad.

30

El desarrollo del texto de matemática básica se considera importante porque permite: 1. Establecer un adecuado contenido temático en el curso de matemática básica para los estudiantes de administración, economía y contabilidad, a fin de elevar el nivel académico para su formación profesional.

2. Aplicar una metodología estandarizada en la enseñanza de la matemática básica para los estudiantes de administración, economía y contabilidad. El presente TEXTO: MATEMATICA BASICA PARA ESTUDIANTES DE ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CONTABILIDAD, es un texto básico que expone de manera sucinta los temas teóricos correspondientes determinantes, lógica, conjunto, sistema de números reales, la

matrices, recta,

circunferencia, la parábola, la hipérbola, la elipse y funciones, se realiza con mayor énfasis a la resolución de problemas que tienen aplicaciones a la especialidad de administración, economía y contabilidad.

Para una mejor comprensión, se requiere que el alumno tenga los conocimientos sólidos de las leyes y principios en los fundamentos matemáticos que se requieren sobre todo para resolver los diferentes tipos de problemas que se presentan. De manera específica se requiere que el alumno conozca el Análisis de las matrices, inecuaciones y funciones, herramienta fundamental para el desarrollo de los problemas de una Asignatura de matemática básica.

31

CAPÍTULO 1 ALGEBRA MATRICIAL 1.1 INTRODUCCION El estudio de la econometría requiere cierta familiaridad con el algebra matricial. La teoría de matrices simplifica la descripción, desarrollo y aplicación de los métodos Econométricos.

Álgebra Matricial es una materia del plan de estudios de la carrera de Contaduría Pública, por lo cual orientaremos algunas de nuestras unidades hacia la resolución de problemas del campo de las ciencias económicas y sociales. El Álgebra lineal es una rama de la Matemática que trata las propiedades comunes de los sistemas algebraicos, en particular el Álgebra matricial hace énfasis en la resolución de dichos sistemas mediante las matrices.

MATRIZ Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en

m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se

denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, Q y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a,

32

b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz. Donde:

A = (aij)mxn

El número total de elementos de una matriz Am×n es m—n En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices.

1.2 TIPOS DE MATRICES MATRIZ FILA Una matriz fila está constituida por una sola fila pero varias columnas. Ejemplo: Sea la siguiente matriz A, de orden 1x3

MATRIZ COLUMNA La matriz columna tiene una sola columna pero varias filas. Ejemplo:

33

Sea la siguiente matriz A, de orden 3x1

MATRIZ RECTANGULAR La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn. Ejemplo: Sea la siguiente matriz, A de orden 2x3

MATRIZ CUADRADA La matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de renglones y columnas. Si la dimensión de una matriz es m x n, una matriz cuadrada es tal que m = n. las siguientes matrices son cuadradas. Ejemplo: Sea la siguiente matriz, A de orden 3x3.

3x3 IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales

Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que cumplir que a = 7 y b = 5.

34

MATRIZ NULA En una matriz nula todos los elementos son ceros Ejemplos: Sea la siguiente matriz, A de orden 2x3.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplos: Sea la siguiente matriz, A de orden 3x3.

3x3 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplos: Sea la siguiente matriz A, de orden 3x3.

3x3

MATRIZ DIAGONAL En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplos:

35

Sea la siguiente matriz, A de orden 3x3.

3x3 MATRIZ ESCALAR Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplos: Sea la siguiente matriz, A de orden 3x3.

3x3 MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Ejemplos: Sea la siguiente matriz, A de orden 3x3.

3x3

1.3 OPERACIONES DE MATRICES SUMA Y RESTA DE MATRICES La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión (equidimensionales). Donde : m = p y n = q ,entonces se obtiene otra matriz C Por lo tanto:

C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij) m×n 36

Es decir, la matriz suma se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición. Notación:

Propiedades de la suma de matrices De la dimensión La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n. Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. Conmutativa A+B=B+A

37

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ El producto de un número real k (escalar), por una matriz A = (aij) es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando k por aij, es decir, bij = k—aij.

Propiedades del producto de un escalar por una matriz 1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª) 2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª) 3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta) 4. 1—A = A (elemento unidad)

Propiedades simplificativas 1. A + C = B + C

A = B.

2. k A = k B

A = B si k es distinto de 0.

3. k A = h A

h = k si A es distinto de 0.

38

PRODUCTO DE MATRICES Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión mxn y B dimensión nx p, la matriz P, será de orden mxp. Dicho de otra forma, el elemento ij-ésimo de AB es igual al producto punto del iésimo renglón de A y la j-ésima columna de B. Es decir:

El número de filas de C es igual al de A, y el número de columnas de C es igual as de B. En otras palabras, si A es una matriz de p x q y B una matriz de q x r , entonces C es una matriz de p x r. Obviamente, si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, C también será también una matriz cuadrada del mismo tamaño. Lo anterior es suficiente para deducir que el producto de AB no es igual a BA. Puede darse el caso especial donde AB = BA, a lo cual se dice que las matrices son conmutativas.

39

E JE M P L O : a ) H all ar el p ro du ct o d e l as m at ric es A x B

b ) H all ar el p ro du ct o de l as m at ric es A x B

Para hallar la nueva matriz de la forma será : Aplicamos producto interno.

40

C = AB

De tal manera reemplazamos los valores obtenidos en la matriz C :

1.4 INVERSA DE UNA MATRIZ Sean A y B matrices de n x n, y suponiendo que la multiplicación AB = BA = Identidad, entonces la matriz B se le llama inversa de A, y se escribe

. De esta manera:

41

PROPIEDADES:

•

Sólo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si ésta es regular.

•

La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es única.

•

Entre matrices NO existe la operación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas.

•

Observación Podemos encontrar matrices que cumplen A—B = I, pero que B—A I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".

De la definición anterior se deduce que

, si A tiene inversa.

Nosotros podemos conocer fácilmente si una matriz tiene inversa; basta con encontrar su determinante, y si resulta cero, no tiene inversa; cualquier otro número nos indica que tiene inversa. Para encontrar la inversa de una matriz puede resultar un poco difícil, dependiendo del tamaño de la misma .

42

Un ejemplo sencillo se muestra a continuación. Sea:

Para encontrar la inversa de A o

,.

Si tomamos la definición de inversa encontramos que

, entonces:

Resolviendo encontramos:

Igualando término a término según posición de los elementos, encontramos una serie de ecuaciones que al resolverlas obtenemos el resultado:

Sin embargo, este no es el método más adecuado, ya que por el método de eliminación de Gauss-Jordan es posible encontrar la inversa de una matriz más rápidamente (este método se verá más adelante).

43

CAPÍTULO 2 DETERMINANTES 2.1 DEFINICIÓN El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por |A| (las barras no significan valor absoluto).

<>

El determinante de esta matriz es a11× a22 - a12× a21

<>

El determinante de esta matriz es a11× a22× a33 + a21× a32× a13 + a31× a12× a23 - a13× a22× a31 -a

×a ×a -a ×a ×a 23 32 11 33 21 12

Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3 Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:

En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos: 44

Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij. Dada la matriz

la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:

Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matriz complementaria del elemento aij , y se representa por ij Se llama adjunto de aij , y se representa por Aij, al número (–1)i+jaij. El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos. Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene: 45

La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad. Nota Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros

2.2 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES -Los determinantes de una matriz y de su traspuesta son iguales. |A| = |tA|. -Si en una matriz se intercambian de posición dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. -Si se multiplican todos los elementos de una fila (o de una columna) por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. -Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son iguales, el determinante es cero. -Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son proporcionales, el determinante es cero. -Si descomponemos en dos sumandos cada número de una fila (o de una columna) de una matriz, la suma de los determinantes de las dos matrices obtenidas con la descomposición en sumandos, es igual al determinante de la matriz original. -Si una fila (o columna) es combinación lineal de las otras filas (o columnas) de una matriz, el determinante es cero.

46

-Si cambiamos una fila (o una columna) por la obtenida por la suma de esa fila mas el producto de otra fila (o columna) por una constante, el determinante no varía. Se pueden hacer transformaciones, siguiendo las reglas anteriores, en una matriz, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna) sean ceros y el determinante no varié.

Determinante de una matriz de orden 1 Si

es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a.

EJEMPLO 1:

Si

, entonces det(A)=-2 o

Si

, entonces det(A)=0 o

Si

, entonces det(A)=2 o

Menores y confectores de una matriz de orden n Sea A una matriz de orden

, definimos el menor

asociado al elemento

de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor

asociado al elemento

de A esta

dado por EJEMPLO 2: Sea el menor asociado a a

. 11 el menor asociado a a . 12 el menor asociado a a . 21 el menor asociado a a . 22 el cofactor asociado al elemento a

47

11

.

el cofactor asociado al elemento a el cofactor asociado al elemento a el cofactor asociado al elemento a

12 21 22

. . .

Determinante de una matriz de orden superior Si A es una matriz de orden

, entonces el determinante de la matriz A es

la suma de los elementos de la primera fila de A multiplicados por sus respectivos cofactores.

.

EJEMPLO 3:

Hallar el determinante de la matriz

como en el ejemplo 2.2 habíamos calculado los confectores para esta matriz A, entonces se tiene que

EJEMPLO 4: Determinante de una matriz de orden 2 Sea Para calcular el determinante de una matriz basta conocer los confectores de los elementos de la primera fila.

48

Por lo tanto

OBSERVACION Como vemos en este ejemplo, para calcular el determinante de una matriz de orden 2, se multiplican los elementos de la diagonal principal y se le resta el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Calcular el determinante de la matriz

:

EJEMPLO 5

Hallar el determinante de la matriz

Solución Para encontrar el menor se elimina el primer renglón y la primera columna de A y se calcula el determinante de la matriz resultante.

49

De manera similar, para encontrar el menor , se elimina el primer renglón y la segunda columna de A0 y se calcula el determinante de la matriz resultante.

para encontrar el menor , se elimina el primer renglón y la tercera columna de A

los confectores son

el determinante de la matriz A se calcula así

50

EJEMPLO 6: Determinante de una matriz de orden 3 Sea:

Calculemos los menores:

Por lo tanto,

2.3 REGLA DE SARRUS Paso 1 Escriba la matriz A y enseguida las primeras dos columnas de A como se muestra a continuación

51

Paso 2 Calcule los productos indicados por las flechas (que a continuación se indican). Los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia abajo se toman con signo positivo, mientras los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia arriba se toman con signo negativo.

Paso 3 Sume los productos con los signos adecuados según se determinó en el paso 2

EJEMPLO 7:

Calcular el determinante de la matriz A .usando la regla de Sarrus.

Paso 1

Paso 2

52

Paso 3

Como vemos los resultados obtenidos en los ejemplos 2.5 y 2.7 son idénticos.

OBSERVACIÓN La regla de Sarrus únicamente se puede utilizar para determinantes de orden 3. TEOREMA . Sea A una matriz de orden n, entonces el determinante de A esta dado por Desarrollo del i-ésimo renglón o tal vez Desarrollo del j-ésima columna EJEMPLO 8: Sea:

Calcular el determinante de A desarrollándolo por la primera fila.

53

Calcular el determinante de A desarrollando por la tercera fila.

Calcular el determinante de A desarrollando por la primera columna.

Calcular el determinante de A desarrollando por la segunda columna.

OBSERVACIÓN. 1. Como vemos en el ejemplo anterior el determinante de la matriz A es el mismo no importando la fila o la columna por la que se desarrolle. 2. Como no importa la fila o la columna por la cual se desarrolle el determinante debemos elegir aquella fila o columna que tenga mayor número de ceros para tener que calcular menos confectores.

54

EJEMPLO 9: Calcule el determinante de la matriz

Para calcular dicho determinante debemos elegir la fila 3 o la columna 1 ya que ambos poseen un cero como componente. Calculemos desarrollándolo por la columna 1.

Desarrollando los determinantes de orden 3 por Sarrus tenemos:

MATRICES TRIANGULARES Una matriz de orden n se llama triangular superior si todas las entradas por debajo de la diagonal principal son ceros y se denomina triangular inferior si todas las entradas por encima de la diagonal principal son ceros. Una matriz

55

que es triangular superior e inferior se denomina matriz diagonal. Una matriz diagonal en la cual todas las entradas de la diagonal principal, son iguales se llama matriz escalar.

Matriz triangular superior

Matriz triangular inferior

Matriz diagonal

Matriz escalar

Para encontrar el determinante de las matrices anteriores basta multiplicar los elementos de la diagonal principal EJEMPLO 10: Sean:

Entonces:

56

2.4 MATRIZ DE COFACTORES Sea A una matriz cuadrada de orden n. Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente Ai,j. Por ejemplo, con n = 4, i = 3 y j = 2:

El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla (i, j): M i, j = det( A i, j ) . En el ejemplo, M3,2 = 34

El cofactor de a , es decir el cofactor relativo a la casilla (i, j) de la i,j matriz

A =( ai,j ), es la menor multiplicada por el signo (-1) i + j. Se le nota c i, j = (-1) i + j — Mi,j o ai,j con una tilde encima. En el ejemplo, c 3, 2 = (-1)5 × 34 = -34. La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota como A o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A,

57

cuando existe, gracias a la relación: A—tcom A =tcom A — A = det A— In, donde In es la matriz identidad de orden n.

2.4.1 MÉTODO DE COFACTORES PARA HALLAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ Antes de comenzar con el desarrollo del determinante por el método de confectores se debe antes tener un concepto muy importante que se tiene a continuación:

MENOR.- Es igual al determinante de la matriz que resulta al eliminar una fila y columna, es decir es el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz, por ejemplo si en una matriz de 3 x 3 eliminamos la fila y columna

la menor viene

denominada complementaria.

COFACTOR.- Se representa con la letra

y su cálculo se

da de la siguiente manera:

Así para el cálculo del determinante se consigue de la siguiente manera si se escoge a la i-ésima fila para el desarrollo:

58

Para el cálculo con las j-ésima columna se obtiene de la siguiente manera:

Otra de las formas para la obtención del signo del menor es mediante la siguiente matriz de signos de n x n:

CONDICIONES PARA QUE UN DETERMINANTE SEA CERO.Las condiciones para que el determinante de una matriz sea cero (det(A)=0) son las siguientes: •

a) Toda una fila o columna conste de ceros

•

b) Dos filas o columnas sean iguales

•

c) Una fila o una columna sea dependiente o múltiplo de otra fila o columna correspondientemente.

2.5 ADJUNTA DE UNA MATRIZ Antes de entrar a la resolución de la adjunta de una matriz antes debemos recordar que el cofactor

de una matriz viene dado como

veces el

determinante de la matriz obtenida al eliminar el i-ésima fila y j-ésima columna de la matriz. Siendo A la matriz de n x n, entonces la matriz de confectores de A se da de la siguiente manera:

59

La transpuesta de esta matriz se denomina adjunta de la matriz y su denotación es:

es decir la transpuesta de la matriz A es la siguiente:

2.6 INVERSA DE UNA MATRIZ MEDIANTE LA ADJUNTA

Dada una matriz A invertible, no singular de n x n, entonces la inversa de una matriz viene dado por la siguiente relación:

60

2.7 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa. Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A-1). Las

operaciones

que

podemos

hacer

sobre

las

filas

son:

a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3. b) Permutar dos filas c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.

Nota: se recomienda iniciar por la primera columna de la matriz Identidad, luego con la segunda columna, así sucesivamente. Entonces, Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

61

EJEMPLO 1.-Consideremos una matriz A de 3x3 arbitraria

1º Primeramente ampliamos la matriz A con la matriz identidad de orden 3, por ser la matriz A de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda de la matriz A y la matriz identidad ahora estará a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1. F2 - F1

F3 + F2

F2 - F3

F1 + F2

62

( -1 ) F 2

Finalmente se obtiene la matriz inversa de A EJEMPLO 2.- Para hallar le matriz inversa de A, se obtiene de la siguiente manera:

La matriz inversa de A es

EJEMPLO 3.- Dada la siguiente matriz determinar su inversa:

Para esto colocamos la matriz identidad a continuación de la matriz A y tratamos de conseguir la identidad:

63

Procedemos a hacer cero a -1 mediante la eliminación de Gauss – Jordan multiplicando la primera fila por 1 y sumándole a la segunda y tenemos de la siguiente manera:

Ahora procedemos a hacer cero a 4, multiplicando la segunda fila por -4 y sumándole a la primera y obtenemos lo siguiente:

Si en los lugares de la diagonal tuviéramos números diferentes de 1 lo que procedemos a realizar es la división de toda la fila por ese número, así de esta manera la inversa de la matriz a es la siguiente:

Para comprobar realizamos el producto por la matriz primitiva y obtendremos la matriz identidad.

2.8 REGLA DE CRAMER La regla de Cramer es una aplicación práctica de los determinantes para la resolución de sistemas de ecuaciones simultáneas de n ecuaciones con n incógnitas. Está regla puede aplicarse sólo a sistemas de ecuaciones lineales que tienen soluciones únicas.

64

Si se tiene un sistema de ecuaciones como el siguiente:

La soluciones de "x" y "y" viene dados de la siguiente manera:[11]

Donde det (D) es el determinante de los coeficientes. Para la determinación de los valores de las incógnitas se obtiene a partir de la matriz A al sustituir la columna donde se encuentre la incógnita por la columna de las constantes c, y ese resultado dividirlo para el determinante de la matriz. EJERCICIOS RESUELTOS 1.-La siguiente matriz determinar si es simétrica o no:

Si realizamos la transpuesta de esta matriz tenemos:

Como podemos observar la transpuesta y matriz original son idénticas por lo tanto podemos decir que la matriz A es simétrica.

65

2.-Dada la matriz A de m x n calcular su transpuesta:

La transpuesta de la matriz se conseguirá mediante el cambio de filas en columnas, así la nueva matriz será de n x m:

3.-Para realizar la eliminación de Gauss – Jordan a la siguiente matriz y de esta manera conseguir el determinante:

Mediante el método de Gauss – Jordan la matriz se tiene de la siguiente manera:

Por lo tanto el determinante de la matriz se consigue con el producto de la diagonal de la matriz ya que esta es una triangular superior:

4.-Calcular el determinante de la matriz cuadrada de 2 x 2:

El determinante de la matriz A se consigue de la siguiente manera:

66

5.-Encontrar el determinante de la siguiente matriz:

Al desarrollar el determinante nos queda de la siguiente manera:

El valor del determinate es:

6.-Encontrar el determinante de la siguiente matriz:

Al desarrollar el determinante nos queda de la siguiente manera:

El valor del determinate es:

7.-Encontrar el determinante de la siguiente matriz por el método de confectores escogiendo una fila para el desarrollo:

67

Para el desarrollo del determinante utilizaremos la siguiente fórmula:

8.-Encontrar el determinante de la misma matriz de A3.3 por el método de confectores escogiendo ahora una columna para el desarrollo:

Para el desarrollo del determinante utilizaremos la siguiente fórmula:

A6

9.-Determinar la adjunta de la siguiente matriz:

La solución de la adjunta se consigue siguiendo el esquema en la parte superior del trabajo:

Realizaremos el cofactor de

y el cálculo de los demás confectores serán

idéntico:

68

La matriz de confectores será de la siguiente manera:

Como dijimos en la parte superior la adjunta de la matriz es la transpuesta de la matriz A así que el resultado será el siguiente:

10.-Determinar la inversa de la matriz anterior usada para la obtención de la adjunta de A:

Ahora obtendremos el determinante de la matriz A:

69

La inversa de la matriz se consigue de la siguiente manera:

11.-Para la demostración de la Regla de Cramer se considera el siguiente sistema:

Al multiplicar por

la primera ecuación y por

la segunda ecuación y luego

sumar los resultados se obtiene:

Al despejar

suponiendo que

se obtiene:

De la misma manera se puede despejar

Como podemos observar tanto el numerador como el denominador pueden ser representados como determinante:

70

12.-Determinar los coeficientes x, y, z del siguiente sistema de ecuaciones:

Desarrollando los determinantes de cada uno de ellos por el método de confectores el resultado es el siguiente:

13.-Encontrar el área de el triangulo cuyo vértices son los puntos como se indica en la figura.

71

Se toma el valor absoluto del área ya que el área no puede ser considerada como negativa.

14.-Determinar si los puntos

son colineales

Si desarrollamos el determinante por medio de los confectores podemos determinar que es igual a cero:

Así de esta manera comprobamos que los tres puntos son colineales.

15.-Determinar la ecuación de la recta determinada por los puntos:

72

0

La ecuación de la recta que pasa por los puntos

es

por lo

tanto la ecuación es una recta paralela al eje de las x. 2.9 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN La discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales, empleando distintos procedimientos, completa el estudio del álgebra matricial que se realiza en 2º de Bachillerato. Con esta unidad se pretende que el alumnado aplique lo estudiado en las Unidades de Matrices y Determinantes a la discusión y resolución de los sistemas de ecuaciones lineales. Comienza con la identificación de los distintos elementos de un sistema de ecuaciones lineales (incógnitas, coeficientes, términos independientes), su escritura utilizando notación matricial y su clasificación. Posteriormente, como paso previo a su resolución en los casos en que sea posible, se efectúa su "discusión" o estudio de su compatibilidad, utilizando el Teorema de RouchéFröbenius o el método de Gauss. Por último, se describen tres procedimientos para su resolución, en el caso de que sean compatibles: Regla de Cramer, Método de Gauss y a través de la matriz inversa. El dominio de los métodos para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales permitirá al alumnado afrontar el planteamiento y resolución de

73

problemas diversos. Si se siguen estudios de Ciencias los aplicarán también en Geometría para estudiar las posiciones relativas de rectas en el plano y en el espacio, posiciones relativas de planos y de rectas y planos en el espacio, etc. OBJETIVOS •

Valorar la importancia del estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, dentro del álgebra matricial, así como el valor de los conceptos y procedimientos vistos en las Unidades de Matrices y Determinantes y su aplicación en esta Unidad.

•

Escribir un sistema de ecuaciones lineales utilizando la notación matricial.

•

Conocer los criterios de equivalencia de los sistemas de ecuaciones lineales.

•

Discutir un sistema de ecuaciones lineales, utilizando el Teorema de Rouché-Fröbenius y el Método de Gauss.

•

Resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible (determinado o indeterminado), utilizando la Regla de Cramer, el método de Gauss y la matriz inversa.

La teoría general de matrices encuentra una de sus aplicaciones más inmediatas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con múltiples incógnitas. Aunque posteriormente fue objeto de un extenso desarrollo teórico,

74

este campo de las matemáticas surgió en realidad como un instrumento de cálculo para facilitar las operaciones algebraicas complejas. Matriz identidad y matriz inversa Dada una matriz cuadrada A de orden n x n (o, simplemente, n), se define matriz identidad I como la que, con la misma dimensión n, está formada por elementos que son todos nulos salvo los situados en la diagonal principal, cuyo valor es 1. Es decir: A . I = I . A = A. Para dicha matriz A de orden n, se dice que existe una matriz inversa A-1 también de orden n, cuando el producto de ambas es igual a la matriz identidad: A . A-1 = A-1 . A = I. Toda matriz que tiene inversa se dice inversible o regular, mientras que cuando carece de inversa se denomina matriz singular. Para calcular la matriz inversa de una dada, puede recurrirse a la resolución de las ecuaciones que plantearía el producto de matrices A . X = I, siendo los coeficientes de A e I conocidos y los de X correspondientes a las incógnitas. También se puede aplicar el llamado método de reducción o gaussiano, según el siguiente esquema:

•

Dada la matriz original A = (aij), con i, j = 1, 2, ..., n, se forma primero su matriz ampliada (A | I).

•

Después, se aplican operaciones elementales sobre las filas de la matriz hasta

conseguir

reducir

A

a

la

matriz

unidad.

Las

mismas

transformaciones se van haciendo en I. La nueva matriz obtenida es A-1.

75

•

Las operaciones elementales que se pueden aplicar a las matrices ampliadas son:

•

Multiplicación de una fila por un número distinto de cero.

•

Suma ordenada a los elementos de una fila del múltiplo de los de otra.

•

Intercambio de filas.

EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Cualquier sistema de ecuaciones lineales puede escribirse siempre en forma matricial de la siguiente forma:

donde A es la matriz de los coeficientes, X la matriz de las incógnitas y B la matriz de los términos independientes. Así, por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales:

2.9.1 SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Resolución de un sistema por la matriz inversa Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión

76

matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes (si existe). De este modo:

Cuando la matriz de los coeficientes no es inversible, el sistema no tiene solución (es incompatible).

Resolución de un sistema por eliminación gaussiana El procedimiento más utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices es el llamado método de eliminación gaussiana, que consta de los siguientes pasos:

•

Se forma la matriz ampliada del sistema incorporando a la de los coeficientes, por la derecha, una nueva columna con los elementos de la matriz de los términos independientes.

•

Se aplican operaciones elementales sobre las filas de esta matriz ampliada, hasta lograr que por debajo de la diagonal principal de la matriz todos los términos sean nulos.

•

Se obtiene entonces un sistema equivalente de ecuaciones de resolución inmediata.

•

Este método permite también realizar una rápida discusión del sistema:

•

Si la última fila de la matriz resultante de la transformación de la ampliada produce una ecuación del tipo 0x + 0y + cz = k, con k igual 0, el sistema es compatible determinado (tiene una solución única).

77

•

Cuando esta última fila corresponde a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = k, el sistema es incompatible (carece de solución).

•

Si esta última fila se traduce en una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = 0, el sistema será compatible indeterminado (con infinitas soluciones).

Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales por el

método de eliminación gaussiana.

EJERCICIO 01

S i st em a com pat i bl e d et erm i n a do

EJERCICIO 02

78

S i st em a com p at ib l e in d et er m in ad o

EJERCICIO 03

si st em a co m p ati b l e d et er m in ad o

EJERCICIO 04

79

si st em a co m p ati b l e d et er m in ad o

Aplicación de las matrices y los determinantes a los sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:

donde aij son los coeficientes, xi las incógnitas y bi son los términos independientes. Representación matricial de un s.e.l. El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:

De modo simplificado suele escribirse Am,n — Xn,1 = Bm,1 , donde la matriz A de orden m x n se denomina matriz de coeficientes.

80

También usaremos la matriz ampliada, que representaremos por A', que es la matriz de coeficientes a la cual le hemos añadido la columna del término independiente:

Discusión

de

un

s.e.l.:

Teorema

de

Rouché-Fröbenius

Dado un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes A, matriz ampliada A' y rangos respectivos r y r' se verifican: 1. El sistema de ecuaciones es compatible cuando rango(A) = rango(A') 2. En caso de compatibilidad existen dos posibilidades: Si r = r' = n (nº de incógnitas) solución)

Sistema compatible determinado (una única

Si r = r' < n (nº de incógnitas) soluciones)

Sistema compatible indeterminado (infinitas

Al valor n - r se le llama grado de libertad del sistema. REGLA DE CRAMER Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. que cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer). El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.

81

Ejemplo b) Por inversión de la matriz de coeficientes Si A—X = B, entonces X = A-1B. Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado.

2.10 RANGO DE UNA MATRIZ Llamamos menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A). En una matriz cualquiera Am×n puede haber varios menores de un cierto orden p dado. •

Definición 1º

RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas. •

Definición 2º

RANGO de una matriz es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas. P. Ej., si f1 = 2—f3 - 3—f4, entonces decimos que f1 es linealmente dependiente de f3 y f4.

82

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas. El rango o característica de una matriz A se simboliza del siguiente modo : rang(A) o r(A) 2.10.1 OPERACIONES ELEMENTALES QUE PUEDEN REALIZARSE CON UNA MATRIZ PARA CALCULAR SU RANGO SIN QUE ÉSTE VARÍE 1. Intercambiar dos líneas entre sí. 2. Suprimir una línea que tenga todos sus elementos nulos. 3. Suprimir una línea que sea proporcional a otra. 4. Suprimir una línea que sea combinación lineal de otra/s 5. Multiplicar o dividir una línea por un número distinto de cero. 6. Sustituir una línea i de este modo : Li = a—Li + b—Lj 7. Sustituir una línea i de este modo : Li = Li + a—Lj Las propiedades anteriores NO pueden ser aplicadas en el cálculo de determinantes, pues alterarían el valor de los mismos, excepto en el caso 7. Sin embargo, todas ellas pueden utilizarse para averiguar el rango de una matriz sin que se modifique el valor de éste. Como mínimo, el rango de una matriz siempre será 1, salvo para la matriz nula, cuyo rango es cero. Para poder calcular el rango de una matriz ésta no tiene por que ser necesariamente cuadrada. Una matriz cuadrada de orden "n", como máximo su rango es n. Una matriz cuadrada de orden "n" es inversible (regular) si el rango es n. Es decir,

cuando

las

filas

(columnas)

83

son

linealmente

independientes.

Diremos que dos matrices A y B son equivalentes ( A~B) si tienen el mismo rango.

2.10.2 CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ 1º Método: basado en el cálculo de menores.


Comenzando por el orden k=2 , se realiza el proceso siguiente (para una etapa k cualquiera)




Se busca un menor será




de orden k, entonces el rango

k

Se añade a dicho menor una fila i , y cada una de las columnas que en él no figuran, obteniéndose así menores de orden k+1. Si todos estos menores son nulos, significa que la fila i es combinación lineal de las k filas del menor anterior, por lo que podemos eliminar esa fila.




Seguimos probando con las restantes filas, si todos los menores así formados son nulos, entonces la matriz tiene sólo k filas linealmente independientes, que son las que aparecen en el menor, y por tanto su rango es k.




Si alguno de los menores k+1 es distinto de cero, el rango es

k+1 y repetimos el proceso para otro orden k

superior.

84

EJEMPLO 01:

Si al elegir un menor de orden 2 nos da 0, elegimos otro, y así sucesivamente hasta elegir todos, si todos son 0, el rango es 1. De la misma forma, cuando elegimos menores de orden 3. 2º Método: conocido como "método de Gauss" Se utiliza con frecuencia en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Vamos a describir el método por filas (de igual forma sería por columnas). Básicamente consiste en hacer nulos los elementos que hay debajo de los aii con i= 1, 2, 3,..., m-1 ; y el rango final será el número de filas distintas de cero.


El método consta de m-1 etapas, siendo m el número de filas.




En una etapa i cualquiera se deja fija la fila i , y tomando como referencia el elemento aii , por medio de operaciones elementales (nombradas anteriormente) se hacen cero todos los elementos de su columna que estén por debajo de él.




Si el elemento aii es igual a cero, es preciso intercambiar previamente esa fila por alguna otra fila de debajo, y si no es

85

posible (porque también sea cero) con alguna columna de la derecha, hasta conseguir que aii

sea distinto de cero (es

conveniente, para evitar cálculos tediosos que sea 1, si no lo fuera, utilizando operaciones sencillas intentaremos cambiarlo a 1). Finalmente, el rango es el número de filas distintas de cero que aparecen en la matriz. EJEMPLO 02:

EJEMPLO 03:

86

2.11 EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MATRICES 1.-Dadas las matrices:

Calcular: A + B;

A - B;

A x B;

B x A;

RESPUESTA

87

At.

2.-Sean las matrices: Sean las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones: (A + B) 2;

(A - B) 2;

(B) 3;

RESPUESTA

88

A — B t — C.

3.-Dadas las matrices:

RESPUESTA Justificar si son posibles los siguientes productos: 1.-(A t — B ) — C (At3 x 2 — B2 x 2 ) — C3 x 2 = (At — B )3 x 2 — C3 x 2 No se puede efectuar el producto porque el número de columnas de (At — B) no coincide con el nº de filas de C. 2.-(B — Ct ) — At (B2 x 2 — Ct2 x 3 ) — At3 x 2 = (B — C )2 x 3 — At3 x 2 = = (B — C t — A t ) 2 x 2 4.- Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A — M — C RESPUESTA A3 x 2 — Mm x n — C3 x 2

m=2

5.- Determinar la dimensión de M para que Ct — M sea una matriz cuadrada. Dadas las matrices: 89

RESPUESTA Ct2 x 3 — Mm x n

m=3

n=3

6.- Demostrar que: A2 - A - 2 I = 0, siendo:

RESPUESTA

. Hallar An , para n

7.-Sea A la matriz RESPUESTA

90

8.-Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz que resulte la matriz

.

RESPUESTA

9.-Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

RESPUESTA

91

para

10.-Calcular la matriz inversa de:

RESPUESTA Construir una matriz del tipo M = (A | I)

Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.

92

11.-Calcular la matriz inversa de:

RESPUESTA 1. Construir una matriz del tipo M = (A | I)

2. Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1. F -F 2 1

F +F 3 2

F -F 2 3

F +F 1 2

(-1) F 2

La matriz inversa es:

12.-Calcular el rango de la matriz siguiente:

93

RESPUESTA F1 - 2 F2

F3 - 3 F2

F3 + 2 F1

Por tanto r(A) =2. 13.-Hallar el rango de la matriz siguiente:

RESPUESTA F3 = 2F1 F4 es nula F5 = 2F2 + F1 r(A) = 2.

94

14.-Calcular el rango de la matriz siguiente:

RESPUESTA F2 = F2 - 3F1 F3= F3 - 2F1

Por tanto r(A) = 3 . 15.-Siendo:

16.-Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:

95

96

17.-Siendo:

Resolver la ecuación matricial:

97

18.-Resolver; en forma matricial, el sistema:

RESPUESTA

98

19.-Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

20.-Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce

diariamente

1000

estanterías

grandes

y

8000

pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. 1-Representar esta información en dos matrices. Filas: Modelos A, B, C

Columnas: Tipos G, P

Matriz de los elementos de las estanterías: Filas: Tipos G, P

Columnas: T, S

2-Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería. Matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada modelo de estantería:

99

21.-Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. 1. Representar la información en dos matrices. Matriz de producción: Filas: Modelos A y B

Columnas: Terminaciones N, L, S

Matriz de coste en horas: Filas: Terminaciones N, L, S Columnas: Coste en horas: T, A

2.Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

100

EJERCICIOS RESUELTOS DE DETERMINANTES 1.- Calcula el valor del determinante:

RESPUESTA

Aplicamos la regla de Sarrus 2[0 — (-6) — (-3) + 3 — (-9) z 2 + 1 — (-2) — (-1) − − 1 — (-6) —2 − 3 — (-2) — (-3) − 0 — (-1) — (-9)] = 2 — (-58) = -116 2 2.-Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

101

RESPUESTA

3 .-Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

102

4.-Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

103

5.-Calcular los determinantes de Vandermonde:

104

6.-Calcular el valor de los siguientes determinantes:

105

7.-Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

Tiene dos líneas proporcionales.

La tercera columna es igual a la suma de las otras dos.

8.-Si el valor del determinante

.

Calcular el valor de:

106

9.- Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

10.- Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos

107

11.- Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

12.- Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 21:

13.- Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

1

108

2

14.-Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

1

109

2

15.-Hallar la matriz inversa de:

110

16.-Para qué valores de x la matriz

no

admite matriz inversa?

Para x = 0 la matriz A no tiene inversa.

17.-¿Para qué valores de m la matriz admite matriz inversa?

Para cualquier valor real de m existe la matriz inversa A-1 18.-Calcular el rango de las siguientes matrices:

1 |2|=2 ≠0

111

no

r(A) = 2

2

r(B) = 4

112

Eliminamos la tercera columna por ser nula, la cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta porque combinación lineal de la primera y segunda: c5 = -2 — c1 + c2

r(C) = 2 19.-Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

1A—X=B |A|=1 ≠ 0, existe la matriz inversa A-1 . A-1 (A — X) = A-1 — B ( A-1 — A) — X = A-1 — B I — X = A-1 — B X = A-1 — B

113

2 X—A+B=C

|A| = 1 ≠ 0 (X — A + B) - B = C - B X — A + (B - B) = C - B X—A+0=C-B X—A=C-B X — A — A-1 = ( C - B) — A-1 X (A — A-1 ) = ( C - B) — A-1 X — I = ( C - B) — A-1 X = ( C - B) — A-1

114

20.-Resolver las ecuaciones matriciales: A—X+2—B=3—C

|A| = 1 ≠ 0 (A — X +2 — B) - 2 — B = 3 — C - 2B A— X + ( 2 — B- 2 — B) = 3 — C - 2B A— X + 0= 3 — C - 2B A— X = 3 — C - 2B ( A-1 — A) — X = A-1 — (3 — C - 2B) I — X = A-1 — (3— C - 2B) X = A-1 — (3 — C - 2B)

2.12 EJERCICIOS PROPUESTOS DE MATRICES

1. Dadas

y

115

(a)Describir los vectores filas y los vectores columnas de (b)Hallar

,

y

,

2.En cada uno de los siguientes casos determinar

y

(a)

(b)

y

3.Sea

(a)Determinar el orden de (b)Si orden de

y comparar con las filas o columnas de donde

y

aparece en la posición

, comparar con las filas o columnas de

4.Calcule los productos matriciales

y

5.Para las matrices

Verifique directamente la distributividad a la derecha (A+B)C=AC+BC 116

Determinar el con

en

¿Se cumple la distributividad a la izquierda para estas tres matrices? Justifique.

y

6. Dadas

(a)Verifique que

y

(b)Use los resultados de (a) para comprobar que

7.Dadas las matrices en

Determinar

en

tal que

2A+3X=(12C)(23B)

8.Dadas las matrices

y

de manera que

117

Hallar

9.Si

en

efectuar los productos

(a) (b) (c) 3(d) ¿Cómo quedan los productos en a) y c) si

?

La misma pregunta anterior para b) y d) en los casos

10.Sea

efectuar los siguientes productos

(a)

;

(b)

;

(c)

,

en

en

11.Exprese

como producto matricial de

y matrices del tipo (a) ,(b),y (c) del ejercicio anterior.

118

y

12.Si

compruebe que :

13.Una matriz se dice idempotente si y sólo si (a)Pruebe que

es idempotente. (b)Demuestre que si

es idempotente,

14.Pruebe que no existe una matriz

15.Determinar todas las matrices

es idempotente y

tal que

con

de orden

con coeficientes reales, tales

de orden

con coeficientes reales, tales

que cumplan 16.Determinar todas las matrices que cumplan 17.Se dice que una matriz

(a)Verifique que

es involutiva si y sólo si

y

involutivas. 119

son matrices

(b)Demuestre que si

es una matriz involutiva entonces

y

son idempotentes y

18.Si

Calcular

19.Sea

para

Hallar todas las potencias

con

entero

positivo. 20.Demuestre por inducción que

(a)

(b) 21.En mecánica cuántica a veces se usan las llamadas matrices de Spin de Pauli.

Muestre que

e

“anticonmutan”

.

22.Sea

una matriz cuadrada de orden

120

con

Pruebe que

y

23.Si

compruebe que

pero

24.Sea

Si

Calcular

25.Sean Determinar

26.Sean (a)Determinar (b)Verifique que

son simétricas.

(c)Verifique que

27.Si

,y

efectúe los productos

28.Mostrar que toda matriz de orden

es suma de una matriz simétrica y otra

antisimétrica.

121

29.Si

Hallar la parte simétrica y antisimétrica de

30.Si

31.Sea

Determinar una matriz simétrica tal que

y

Demostrar que

es simétrica y los coeficientes de

la diagonal son no negativos. 32. Determine si son Verdaderas o Falsas las siguientes afirmaciones. Justifique adecuadamente en cada caso. (a)El producto de matrices triangulares es triangular. (b)El producto de matrices triangulares del mismo orden es triangular del mismo orden. (c)Cada matriz antisimétrica tiene la diagonal principal igual a cero. (d)Para toda matriz

. Si

entonces

(e)El producto de matrices simétricas del mismo orden es simétrica. (f)Para toda matriz

se tiene

(g)Para toda matriz

se tiene

(h)Para toda matriz

con

(i)Para toda matriz

se tiene

es simétrica. entonces existe

tal que

(j)Toda matriz triangular estricta es “nilpotente” esto es, hay una potencia de

122

ella que se hace (k)Si

y

(l)Si

son matrices de orden

y

entonces

son matrices de orden

orden

ó

entonces existe una única matriz

tal que

33.Dadas las matrices

y

y

Verifique que

Además. Calcular

34.Dada

(a)Expresar

como producto de matrices elementales.

(b)Hallar la forma Escalonada Reducida por Filas correspondiente a (c)Determinar el

35.Dada

(a)Expresar

como producto de matrices elementales.

123

de

(b)Hallar la forma Escalonada Reducida por Filas correspondiente a (c)Determinar el

36.Sea

encontrar una matriz

de modo que

en los

siguientes casos

(a)

(b)

(c)

37.Encuentre una matriz

(a)¿

y

regular tal que

donde

son regulares?.

(b)Encuentre la inversa de

si existe.

38.¿Cuáles de las siguientes matrices son equivalentes por filas?

39.Determinar mediante Operaciones Elementales por Filas la inversa de las siguientes matrices, si existe.

124

(a)

.

(b)

.

(c)

.

(d)

.

40.¿Para qué valores de

e

las matrices.

y

son equivalente por filas?

41.Si

Hallar una matriz 125

regular tal que

donde

es la forma Escalonada Reducida por Filas

correspondiente a

42.Si

y

(a)¿ Es

?.

(b)¿ Es

?.

(c)¿Es

?.

43.Sea

una matriz regular de orden

(a)Demostrar que (b)Si

es simétrica entonces

es simétrica.

44.Sea

con

para todo

Demostrar que

es invertible y encontrar su inversa. 45.Demostrar que si

es triangular inferior y regular entonces

es

Triangular Inferior.

46.Dadas las matrices

Resuelva la siguiente

ecuación matricial en

47.Sean

y

matrices simétricas. Determine

126

tal que se cumpla la igualdad.

48. Determinar mediante Operaciones Elementales Filas ó Columnas los valores de

y para que la matriz

sea regular, en cada caso.

(a)

(b) 49.Sea

y

una matriz cuadrada de orden

Probar que

es regular y Hallar

50.Sabiendo que la inversa de

es

tal que

y que la inversa de

es

Calcular 51.Si natural

es regular entonces todas las potencias de

son regulares y para todo

se tiene

(Ayuda: Use Inducción) 52.Pruebe con un contraejemplo que son falsas las siguientes afirmaciones (a)

(b)Si (c)Si

(d)Si

en

singular entonces

son regulares de orden

entonces

son regulares, entonces

son regulares de orden

entonces 127

es regular.

(e)Si

son de orden

regular y

(f)Si

son de orden

regular y

(g)Si

matrices tal que

entonces

(h)Si

matrices tal que

entonces

entonces

entonces

(i)Toda matriz diagonal es invertible.

53. Calcular los siguientes determinante:

a)

b)

c)

54.Calcule los siguientes determinantes usando propiedades:

a)

b)

c)

128

55.Calcular el determinante de las siguientes matrices:

56.Verificar que los siguientes determinantes son nulos:

Ayuda (a): efectúe Ayuda (b): y efectúe

57.Probar que 58.Demostrar que

a)

b)

129

59.De las siguientes matrices cuales son invertibles?

a)

b)

c)

Para aquella que lo sea encuentre su inversa por el método de la adjunta.

60.¿Para qué valores de

y la matriz

es invertible?

61. Calcule por el método de la adjunta la inversa de las siguientes matrices regulares:

62.Pruebe que

si

63 (a) Pruebe que

es matriz de orden cuando

(b) Pruebe que

con

y un escalar real.

es singular y dar un ejemplo. de orden

y dar un ejemplo.

64.Pruebe con un contraejemplo que son falsas las siguientes a afirmaciones: (a)El cofactor de

para

130

es

(b)Si

ó

es cuadrada entonces

(c)Si

matrices entonces

(d)Si

entonces

65.Sean

con

de orden

funciones al menos dos veces derivables.

Sea

probar que

66.Sean

escalares reales. Probar que

67.Pruebe que si

son ambas de orden

matrices son regulares, 68.Probar que si tamaño, y

y

entonces ambas

(Ayuda: use determinante)

son matrices cuadradas, no necesariamente del mismo

de orden adecuado, entonces:

Ayuda: Usar inducción sobre el orden de 69.Probar que si tamaño,

y

y

y operaciones elementales

son matrices cuadradas, no necesariamente del mismo

de orden adecuado, entonces si

131

es regular,

Ayuda: premultiplique por

la matriz

70.Sea

Calcule

. Ayuda: use ejercicios anteriores.

71.Resuelva las siguientes ecuaciones lineales en

(cuidado son cuatro

variables) (a) (b) (c) (d)

72.Si anotamos

la solución de cada una de las ecuaciones anteriores.

Determine el conjunto

73.¿ Son equivalentes (en cada caso) los dos sistemas de ecuaciones lineales siguientes ?. Si es así demuéstrelo.

132

(a)

(b)

y

y

74.Dar un ejemplo (en caso que sea posible) de: (a)Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que no tenga solución. (b)Un sistema de una ecuación lineal con cinco incógnitas que no tenga solución. (c)Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas de solución única.

75.Hallar todas las soluciones del sistema escalonada y por el método de Cramer. Siendo siguientes matrices:

(a)

(b)

133

por el método de la en cada caso, una de las

(c)

(d)

(e)

76.Si todas las soluciones de

Hallar todas las soluciones de

y

donde

77.Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones (si es posible). En cada caso escriba primero la matriz del sistema y la matriz ampliada.

(a)

134

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

135

78.Encuentre la solución general del sistema, utilizando dos métodos distintos:

79. Resuelva simultáneamente, hallando la forma Escalonada reducida por fila de

los tres sistemas lineales siguientes:

donde

80. Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales:

(a)

(b)

81. Discutir según los valores de

, la existencia y en cada caso

determinar las soluciones de los siguientes sistemas lineales:

(a)

136

(b)

(c)

(d)

82.Calcular el valor de

, de modo que el sistema tenga infinitas soluciones

83.En el sistema (a) ¿Cual es el determinante principal del sistema? Determine

tal que:

(b) El sistema sea inconsistente. (c)El sistema tenga única solución. En tal caso determínela. (d)El sistema tenga varias soluciones. En tal caso determínelas.

137

84. Dado el sistema Hallar condiciones para

y de tal manera que el sistema:

(a) Tenga única solución, en cada caso determínela. (b)No tenga solución. (c)Tenga varias soluciones, en cada caso determínelas.

85. Considerar el sistema

Hallar

para los cuales se tiene:

(a) El sistema es inconsistente. (b)El sistema tiene única solución. Determínela. (c)El sistema tiene infinitas soluciones. En cada caso determínelas. ¿Que ecuaciones dependen linealmente de las otras?

86. Hallar

tal que la matriz

sea singular.

¿Para que valores del sistema

tiene solución?

87. Resuelva el sistema de ecuaciones y halle condiciones en las constantes

138

reales para que tenga única, ninguna o infinitas soluciones.

88. Para los siguientes sistemas, determine los valores de que i) El sistema tenga única solución, determínela. ii) El sistema tenga más de una solución, determínelas. iii) El sistema tenga solución vacía.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) 139

, de modo

(f)

89.Decida si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifique en cada caso. (a)El número de variables independientes de un sistema

con

es (b) Si el sistema

es consistente,

y

entonces

(c) Si el sistema

es consistente,

y

, entonces (d)

para toda

(e) Si (f)Si (g)Si sólo si

y

entonces

y

y

tiene solución no trivial.

y

entonces

entonces el sistema

no es regular.

tiene solución no trivial (

) si y

es singular.

(h)Una matriz de rango

es aquella donde toda fila es múltiplo de la primera

fila. (i)Si

y

, el sistema

(j)Si

y

entonces

con con

no tiene solución. no tiene solución única (es

decir, no tiene o tiene infinitas soluciones). 90. Pruebe que si

entonces los sistemas homogéneos 140

y

tienen el mismo conjunto solución. 91. Demuestre que la afirmación siguiente es falsa (basta dar un contraejemplo). Si

entonces los sistemas

y

tienen el mismo conjunto

solución. 92. Sea

. ¿Bajo qué condiciones sobre el número de filas no nulas

de la matriz Escalonada Reducida por Filas de , el sistema solución única 93. Sea incógnitas.

tiene

? un sistema de ecuaciones lineales con

la forma Escalonada Reducida por Filas de

ecuaciones e con filas no nulas

y (a)¿Cuántas ecuaciones son dependientes? (b)¿Tiene solución el sistema? (c)¿Cuántas variables libres tiene el sistema? 94.Demuestre que el sistema de ecuaciones lineales

es equivalente a

o 95.Encontrar

tal que

sea solución del

sistema

96.En cada caso, encuentre un sistema de ecuaciones homogéneo modo que los siguientes vectores sean soluciones de dicho sistema. (a) (b) 141

de

(c) (d) (e) 97.En cada caso, encuentre un sistema de ecuaciones (a)

de modo que:

y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 a).

(b)Idem a) y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 b). (c)Idem a) y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 c). (d)Idem a) y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 e). (e)

y el sistema tenga las soluciones indicadas en 97 d).

(f)

y

sean soluciones del

sistema. (g)

y

sean soluciones del sistema.

98.Encuentre un sistema de ecuaciones particular del sistema (I) y la solución del sistema solución del sistema (II):

(I)

(II)

142

de modo que

es solución

contiene a la

2.13 INSUMO PRODUCTO INTRODUCCIÓN El creador del “análisis de insumo-producto” (input-output) fue el premio Nobel de Economía de 1973 Wassily Leontief. Este economista de los Estados Unidos de América, nacido en Rusia, se incorporó a la universidad de Harvard en 1932 y en 1936 publicó sus primeros trabajos cuantificados sobre las transacciones económicas intersectoriales del mencionado país. En 1941 dio a conocer una exposición más detallada y completa de su metodología: las “matrices de transacciones intersectoriales” de los Estados Unidos de América correspondientes a los años 1919 y 1929(“The Structure of American Economy 1919-1929”, Harvard University Press, Cambridge, 1941). El “análisis de insumo-producto” es una técnica matemática que refleja la interdependencia entre los distintos sectores de una economía y entre factores productivos y productos. Wassily Leontief, mediante el “análisis de insumo-producto” buscó construir un modelo de equilibrio general. Intentó cuantificar el modelo matemático desarrollado por Leon Walras(1834-1910). En 1874 Leon Walras, utilizando instrumental microeconómico, había demostrado que la economía es un sistema complejo en el que el equilibrio en el mercado de un bien o factor de la producción depende del equilibrio de todos los mercados de bienes y de factores productivos. Walras concluía que en todo momento debe existir una solución de equilibrio general que incorpore los equilibrios parciales de cada mercado.

143

El modelo de insumo-producto de Leontief es un ingenioso desarrollo de las ecuaciones de sustitución de Walras. Leontief entendió que el equilibrio general walrasiano tenía su origen en los mercados microeconómicos que debía reflejarse en un equilibrio general a nivel de agregados macroeconómicos. El modelo de insumo-producto constituye la fusión de la economía del equilibrio general con el álgebra matricial. Por otra parte el “análisis de insumo-producto” constituye una de las tres ramas de la denominada “economía lineal”. Las otras dos ramas son la “programación lineal” y la “teoría de los juegos”. El “análisis de insumo-producto” y la “programación lineal” se relacionan. La programación lineal es en realidad un vástago de una técnica más amplia constituida por el análisis de insumo-producto. Leontief ha señalado frecuentemente el parentesco de su análisis con el Tableau Economique de Francois Quesnay (1694 - 1774). En el Anexo I se presenta el análisis de Quesnay.

Modelo de Insumo-Producto de Wassily Leontief A continuación desarrollaremos el “Modelo de Demanda de Leontief” concebido para analizar los efectos que una alteración en la demanda final de uno o varios sectores (o de una o varias ramas de actividad) tiene sobre la producción total de bienes de la economía. Se trata de un modelo dirigido por el lado de la demanda, que se considera determinada en forma exógena, basado en la coherencia interna entre sectores que proporciona la matriz que denominaremos de “coeficientes técnicos o de coeficientes de Insumo-Producto” y que explicaremos más adelante.

144

MATRIZ O TABLA DE INSUMO-PRODUCTO La matriz o tabla de insumo-producto es una representación de las macromagnitudes básicas de la economía de un país para un período dado, generalmente un año. Presenta una desagregación tal que permite conocer no sólo la distribución sectorial de la producción y de otras variables, tales como el Valor Agregado y la Demanda Agregada, sino la interrelación existente entre los diferentes sectores productivos a través de la compraventa de bienes intermedios. Existen diversas formas de presentación de la Matriz de Insumo- Producto pero la más habitual es la siguiente:

Sectores de Destino Sectores de Origen

Primario Secundario Terciario

Demanda Intermedia Primario

Demanda Final Consumo Familias Consumo Gobierno

Secundario Terciario

Inversión Exportaciones

Insumos Nacionales

Importaciones de Insumos

Componentes del Valor Agregado

Valor Agregado Bruto Interno Total

Valor Bruto Compraventa de Bienes de consumo, de Inversión y

De la

Exportaciones Producción (V)

(VI)=(IV)+(V)

Importaciones de

Importaciones

Bienes Finales

Totales

(VIII)

(IX)=(VII)+(VIII)

Valor Agregado por

Valor Agregado

(VII) Valor Agregado

Importaciones

(II)

(IV)

Importaciones

Producción

(III)=(I)+(II)

(I) Compraventa de

Valor Bruto de la

145

Bruto Interno

por los

El Gobierno (consumo)

Bruto Total

Sectores de Destino Intermedio Valor Bruto de La Producción Y Demanda Final

Valor Bruto De la

Demanda Final

Producción

(XI) = (II)

(X)=(I)+(IV)+(VII)

Se trata de una matriz de “n” filas por “m” columnas. Las filas representan los “sectores de origen” de los bienes (vendedores) y las columnas los “sectores de destino” de los insumos (compradores). La matriz consta de dos partes: “Demanda Intermedia” y “Demanda Final”, teniendo en cuenta la clasificación de los Bienes: Bienes Intermedios: Son los Insumos, sirven para producir otros Bienes y se agotan en el proceso de producción. Ej. Harina para producir pan, o energía eléctrica necesaria para producir automóviles. Bienes de Consumo: se aplican directamente a la satisfacción de las necesidades. Ej. alimentos; una “plancha” para uso doméstico. Bienes Finales Bienes de Inversión: sirven para producir otros Bienes y no se agotan en el proceso de producción. Ej. una maquinaria.

146

La matriz permite también determinar agregados macroeconómicos tales como: Valor Bruto de la Producción (X)

=

Insumos

=

(I)

= (III)

=

Valor Agregado Bruto Interno

Demanda Intermedia (I)

+

por los sectores

+

+

de destino

(IX)

=

Demanda Final

=

(XI)

=

(VII) Consumo de las familias

(IV)

Agregado

+

(VII)

+ Demanda Final

Valor Agregado =

Valor

+ Importaciones +

(II)

Valor Agregado por el Gobierno

+

+

(VIII) Consumo del

+ Inversión

Gobierno

+

Exportaciones

(II)

Producto Bruto Interno (Valor

=

Demanda Final

-

Importaciones

=

(II)

-

(VI)

Agregado). (IX)

Se pueden aplicar dos métodos alternativos para calcular los Coeficientes de Requisitos Directos e Indirectos y concluir en estos resultados: Modelo de Demanda de Leontief. Método Iterativo. Sea la siguiente matriz simplificada de Insumo-Producto de Leontief: Sector de

Demanda Intermedia Valor Bruto

Destino

Demanda Agricultura Industria

Sector de

Servicios

Final

de la Producción y otros

origen Agricultura

7,00

50,00

5,00

62,00

38,00

100,00

Industria

15,00

80,00

20,00

115,00

85,00

200,00

Servicios

10,00

30,00

10,00

50,00

150,00

200,00

32,00

160,00

35,00

227,00

273,00

500,00

Total Insumos

147

Valor Agregado

68,00

40,00

165,00

273,00

-

273,00

100,00

200,00

200,00

500,00

273,00

773,00

Bruto Valor Bruto Producción

Siguiendo los procedimientos explicados en los puntos anteriores a continuación se obtienen la “Matriz de Coeficientes de Requisitos Directos e Indirectos”. La “Matriz de Coeficientes Técnicos” es la siguiente Sector de Destino Sector de

Agricultura

Industria

Servicios

Agricultura

0,070

0,250

0,025

Industria

0,150

0,400

0,100

Servicios

0,100

0,150

0,050

Total

0,320

0,800

0,175

Valor Agregado Bruto

0,680

0,200

0,825

1,000

1,000

1,000

Origen

Valor Bruto Producción

Para el cálculo de los “Coeficientes de Requisitos Directos e Indirectos” se suponen variaciones en la Demanda Final, de cada uno de los Sectores, de $ 1 y se determinan en forma separada (para cada sector) las cadenas de repercusiones. Para acotar el cálculo se obtienen las repercusiones hasta la cuarta cadena y a continuación se determina el “Residuo”, es decir lo que resta hasta llegar al límite de la serie.

148

CAPÍTULO 3 NOCIONES DE LOGICA El objetivo de este capítulo de lógica es doble: se trata, por una parte, de adquirir un cierto dominio de los métodos y técnicas de formalización y deducción de lo que constituye la lógica elemental o de primer orden y, por otra, de lograr un grado de comprensión adecuado de los principales conceptos en torno a los cuales se articula el discurso de esta materia, así como una familiarización con los conceptos y principios básicos de algunos de los sistema formales no-clásicos hoy en desarrollo.

3.1 DEFINICION La lógica es una ciencia formal, es decir, que como cualquiera de las ciencias formales crea su propio objeto de estudio y el razonamiento y la creación de ideas por parte de la mente son su metodología de trabajo y conocimiento, pero además, la lógica, es una de las ramas más importantes y populares dentro de la Filosofía, siendo su objeto de estudio los principios de la demostración y la inferencia válida, que son los métodos que en definitiva permitirán distinguir el razonamiento correcto del incorrecto. Los principios lógicos. Como punto de partida del estudio de las leyes que rigen el proceso del razonamiento, se han establecido ciertas leyes fundamentales, que se consideran generales y anteriores a todos los que de ellos se deducen, que son producto de la intuición (resultado de un conocimiento directo e inmediato), y sobre los cuales se fundamentan todas las restantes normativas lógicas.

149

Estos principios se consideran verdades axiomáticas, evidentes por sí mismas, que no tienen que, ni necesitan, demostrarse. Son cuatro principios, los tres primeros enunciados por Aristóteles y el cuarto agregado por Leibnitz: •

El principio de identidad — Desde el punto de vista del ser, (ontológico) se enuncia expresando que todo objeto (de conocimiento) es igual a sí mismo. Sin embargo, desde el punto de vista lógico, su enunciado se relaciona con la estructura de las proposiciones, expresando que el principio de identidad se verifica cuando en una proposición verdadera el concepto contenido en el predicado es total o parcialmente idéntico al concepto contenido en el sujeto: “el triángulo tiene tres lados”.

•

El principio de (no) contradicción — También tiene una formulación ontológica conforme a la cual un objeto (de conocimiento) no puede ser y al mismo tiempo no-ser. Desde el punto de vista lógico, este principio se enuncia expresando que dos proposiciones contradictorias no pueden ser ambas verdaderas; o que toda contradicción encierra una falsedad: Si es verdad que “el triángulo tiene tres lados”, no puede ser verdad que “el triángulo no tiene tres lados”. En relación a la lógica aristotélica, o clásica, puede decirse que el principio de no contradicción es el fundamental de todos; al punto de que existen quienes lo consideran el único principio, del cual se extraen los otros.

•

El principio de tercero excluído — Este principio está estrechamente vinculado con el de no contradicción, al punto que a veces se lo distingue de éste expresando que mientras el de no contradicción expresa que dos

150

proposiciones contradictorias no pueden ser ambas verdaderas, el de tercero excluído expresa que dos proposiciones contradictorias no pueden ambas ser falsas. Sin embargo, es más apropiado referir este principio al concepto de valor de verdad de la lógica clásica, conforme al cual una proposición solamente puede tener valor de verdadera o de falsa; y por lo tanto, entre la verdad o la falsedad, no existe una tercera posibilidad. En consecuencia, la relación con el principio de no contradicción queda mejor expresada en cuanto al principio de tercero excluído, si se enuncia en el sentido de que de dos proposiciones contradictorias, necesariamente una ha ser verdadera y la otra ha de ser falsa. •

El principio de razón suficiente — Este principio fue enunciado por Leibnitz en un sentido ontológico expresando que todo lo que existe tiene su razón de ser. Algunos filósofos le han dado una enunciación en sentido lógico, expresando que todo juicio es falso o verdadero, por alguna razón; y por lo tanto ha de ser posible justificar su veracidad o su falsedad por medio de la razón. De este principio, se considera derivado el: o

El principio de causalidad — Este principio, más propiamente ontológico, implica que todo lo que existe tiene una causa; por lo cual todo lo que es efecto de una causa puede convertirse a su vez en causa de otro efecto.

151

3.2 ENUNCIADOS ABIERTOS Y ENUNCIADOS CERRADOS. Un enunciado: es un conjunto de símbolos por medio de los cuales expresamos lo pensado en un juicio, ya sea en forma oral o escrita. Enunciados Abiertos o simples: son aquellos que tiene un único valor de verdad. Es el que no tiene otro enunciado como parte componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas”. Enunciados Cerrados o compuestos: un enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente. Ejemplo: “Las rosas son rojas y las violetas son azules”. Proposición En lógica y filosofía, el término proposición es un tanto ambiguo y se usa para referirse a:1 •

Las entidades portadoras de los valores de verdad.

•

Los objetos de las creencias y de otras actitudes proposicionales

•

Los referentes de las cláusulas-que, como "Juan cree que el Sol es una estrella".

•

El significado de las oraciones declarativas, como "el Sol es una estrella".

En lógica y matemática, la lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En la lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las constantes lógicas son operaciones sobre las fórmulas que producen otras fórmulas de mayor complejidad.1 Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta clarificar nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.

152

El término proposición puede hacer referencia a: •

Proposición (gramática), una oración que ha ganado su independencia sintáctica al verse integrada mediante un nexo en una unidad mayor, por lo general por relaciones de coordinación o subordinación.

•

Proposición (lógica), una entidad portadora de valor de verdad.

•

Proposición analítica, una proposición cuyo valor de verdad queda determinado sólo por su significado, sin necesidad de recurrir a la experiencia.

•

Proposición universal, una proposición en la que pueden predicarse de todos los sujetos que pertenezcan a una misma clase.

•

Proposición (derecho), una de las formas de participación intentada en el delito, junto con la conspiración y la provocación; además de las formas de participación delictivas (cooperación necesaria, complicidad e inducción). TIPOS DE PROPOSICIONES En adelante cuando hablemos de proposiciones, éstas serán lógicas. Si son abiertas, significará que el conjunto de sustituciones está bien definido y la harán verdadera o falsa. Para operar con las proposiciones, éstas se clasifican en dos tipos: Simples y Compuestas, dependiendo de como están conformadas.

•

Proposiciones Simples, Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si . . . entonces"). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.

153

•

Proposiciones Compuestas, Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes. Ejemplos Ensayemos una lista clasificada y luego algunas aclaraciones: 1) Carlos Fuentes es un escritor.

(Simple)

2) Sen(x) no es un número mayor que 1. (Compuesta) 3) El 14 y el 7 son factores del 42.

(Simple)

4) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. (Compuesta) 5) El 2 o el 3 son divisores de 48.

(Simple)

6) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.

(Compuesta)

7) Si x es número primo, entonces x impar.

(Compuesta)

8) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16.

(Compuesta)

9) No todos los números primos son impares.

(Compuesta)

•

Algunas aclaraciones

•

a) No obstante que los ejemplos 3) y 4) gramaticalmente significan lo mismo, operativamente se consideran distintos. Similarmente 5) y 6). b) A veces proposiciones como la 8), aparecen escritas de la forma: 2x 3 > 16, si x > 10.

154

3.3 PROPOSICIONES COMPUESTAS NEGACION La negación es un mecanismo de defensa que consiste en enfrentarse a los conflictos negando su existencia o su relación o relevancia con el sujeto.

La negación es un importante marcador sintagmático cuya posición relativa en la oración sirve de hito que permite situar el resto de constituyentes y, más en particular, “medir” el alcance de las elevaciones motivadas por la regla de muévase a partir de la estructura proposicional establecida por el modelo minimalista de la Gramática Generativa.

DOBLE NEGACIÓN.

Las estructuras de doble negación son muy frecuentes en diversas variedades romances. Entre ellas, hay que mencionar de nuevo, por su cercanía, los casos aragonés y catalán. En andaluz, a diferencia de lo que ocurre en estas lenguas, no podemos decir que se trate del uso normativo, puesto que no hay un estándar literario andaluz y, por el contrario, el estándar que se superpone a los dialectos andaluces es el del castellano y, en esa norma, no se produce -o no se admite como correcto- este fenómeno tal como lo observamos en los ejemplos de este apartado; quizá tampoco sea el más frecuente, pero sí está lo bastante vivo como para encontrarlo incluso en la bibliografía lingüística dialectal, aunque no suele ser el objeto del ensayo en cuestión.

155

En la lista de ejemplos que viene a continuación, procedentes de fuentes orales y escritas, hay una primera serie de oraciones que podemos agrupar en virtud de su carácter expresivo, es decir, que estarían marcadas por el rasgo [+ énfasis]. Todas tienen en común la presencia de la conjunción copulativa negativa ni, que parece estar actuando como soporte léxico del mencionado rasgo semántico. Yo no cambio mi Triana ni por nada. Ni de ninguno de ellos lo tomo BICONDICIONAL Otro tipo de proposición que se presenta con frecuencia es de la forma «p si, y solamente si, q» que se suele abreviar «p si q». Intuitivamente esta proposición parece ser la combinación de p --> q y q --> p A este conectivo lógico especial lo llamamos condicional y se denota por el símbolo <-->, entonces p <--> q es lo mismo que (p --> q) y (q --> p) o aplicando la definición de la conjunción, que vimos en una de las secciones anteriores, (p --> q) ^ (q --> p). El valor de verdad de las proposiciones Bicondicionales p <--> q obedece a la condición: Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p <--> q, es verdadero. Si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p <--> q es falso. Dicho de otra manera: si tanto p como q son verdaderos, entonces p <--> q es verdadero. Si tanto p como q son falsos, entonces p <--> q también es verdadero. Si p es verdadero y q falso, entonces p <--> q es falso. Si p es falso y q verdadero, entonces p <--> q también es falso

156

Veamos los ejemplos siguientes: 1.- 3 + 2 = 7 si, y solamente si, 4 + 4 = 8. Si se toma p como: «3 + 2 = 7» y q como: «4 + 4 = 8», entonces el valor de verdad de p, es falso, pero el valor de verdad de q es verdadero, luego entonces la bicondicional p <--> q es falsa. 2.- Londres está en Inglaterra si, y solamente si, París está en Francia. Sea p «Londres está en Inglaterra» y q «París está en Francia», entonces tanto el valor de p, como de q, son verdaderos,es decir tienen el mismo valor de verdad, luego entonces la bicondicional p <--> q es verdadera. 3.- 10 es un número impar si, y solamente si, 6 es un número primo Si p es: «10 es un número impar» y q es: «6 es un número primo», entonces se observa que tanto el valor de verdad de p, como de q, son falso, es decir tienen el mismo valor de verdad, luego entonces la bicondicional p <--> q es verdadera.

3.4 LÓGICA PROPOSICIONAL Una de las razones que motivó la aparición de la lógica matemática, fue evitar la ambigüedad del lenguaje natural y transformar el pensamiento en un cálculo, según el modo de operar de las matemáticas. Simplificar o simbolizar las oraciones o juicios para poder operar con ellas, así surge el lenguaje formal.

157

Lenguaje formal Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lógica matemática se llaman proposiciones. Estas proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola letra, letra, que llamamos variable, y la simbolizamos con las letras minúsculas del alfabeto que van de la

hasta el final del abecedario.

Si digo por ejemplo: «Antonio ama a Piedad», esta proposición queda simbolizada en el lenguaje formal mediante la variable

o ,o ,o .

Además de estas variables, la lógica proposicional utiliza otros símbolos, llamados constantes, cuyo significado siempre es el mismo, ya que modifican o unen a las variables. Estos símbolos constantes se llaman funtores, juntores, conectivas u operadores lógicos. Cuando el funtor afecta a una sola variable, se llama monádico, como por ejemplo el negador ( ) que se lee en el lenguaje natural «no», y se sitúa encima de la letra variable,

, «no

». Cuando afectan a más de una variable,

son poliádicos. Los funtores más importantes son: Conjuntor , «y» en el lenguaje natural. Disyuntor , «o». Condicional,, «si... entonces». Bicondiconal,, «si y sólo si... entonces». Disyunción exclusiva exclusiva, «o... .. o», una proposición excluye a la otra. El negador además de ser un funtor monádico —es — decir que afecta a una variable variable—,, puede ser poliádico, cuando afecta a más de una variable o a una expresión entera.

158

Hay que tener siempre en cuenta, que las variables simbolizan oraciones enteras y no sólo palabras o nombres: Ejemplos de simbolización de oraciones, del lenguaje natural al lenguaje formal: 1. La conjunción:

«Juan juega y Pedro estudia».

2. La disyunción:

«Llueve o nieva».

3. El condicional:

«Si estudias entonces

aprendes». 4. El bicondicional:

«Si y sólo si tienes

dieciocho años puedes votar». 5. La disyunción exclusiva:

«O te quedas o te

vas». 6. La negación:

«Manolo no juega limpio».

A veces el negador pued puede e afectar a más de una variable o a la conjunción, o disyunción de ambas: «Es falso que estudies o trabajes». Entre estas proposiciones, hay algunas que tienen especial interés en lógica, según los valores que adoptan las variables cuando están afectadas por funtores:

159

Proposición conjuntiva

1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 La conjunción es verdadera sólo cuando ambas variables lo son y es falsa en los demás casos. Se lee

y .

Proposición disyuntiva inclusiva

1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 La disyunción es verdadera en todos los casos menos cuando

vale 0 y vale 0. Se lee

ó .

Proposición disyuntiva exclusiva

1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0

160

La disyunción exclusiva es verdadera cuando una variable es verdadera y la otra falsa, y es falsa en los demás casos. Se lee

excluye a .

Proposición condicional

1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 El condicional es verdadero en todos los caso menos cuando Se lee

vale 1 y vale 0. condiciona a .

Proposición bicondicional

1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 El bicondicional es verdadero cuando ambos son verdaderos o cuando ambos son falsos, y es falso en los demás casos. Se lee

bicondiciona a .

161

Proposición negativa

1 0 0 1 La negación - que se lee no

-,, cambia el valor de la

variable que se niega: sólo es verdadera si es falsa si

es falsa y

es verdadera.

Proposiciones atómicas y moleculares. moleculares. Las tablas de verdad ó tablas veritativas En Química se aprende que los cuerpos están formados de átomos que se asocian formando moléculas; cuando una proposición consta de una sola variable la llamamos proposición atómica, y, cuando consta de muchas variables, proposición molecular. Para hallar el valor de verdad de una proposición molecular molecular,, hay que descubrir el funtor capital, aquel que liga más, es decir que une o liga toda la expresión. Un mecanismo sencillo para conocer el valor del funtor capital en una proposición molecular es el llamado método de las tablas de verdad. Sirve de ayuda para localizar al funtor capital, la utilización de paréntesis y corchetes:

162

En esta expresión se ve con claridad que el funtor capital es el condicional, que une todo el corchete con . El modus operandi es ir encontrando el valor de verdad primero de los funtores que ligan menos, hasta llegar en último lugar al funtor capital.

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 En esta expresión, se comienza hallando el valor del condicional en el primer paréntesis puesto que une a la con la ; después la conjunción que une el resultado del condicional con la

dentro del corchete; y por último

el condicional que une el resultado recién hallado de la conjunción con la última variable . Cuando en la tabla aparece en todos los lugares de funtor capital el valor 1, la expresión es una tautología o identidad. Si en todos los lugares el valor es 0, es una contradicción. Finalmente cu cuando ando en el funtor capital encontramos valores de 1 y de 0, la proposición es indeterminada.

163

Dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla veritativa:

1 1 1

0 1 1

1 0 0

0 0 0

0 1 1

1 1 1

0 1 1

1 1 0

Según se observa en este ejemplo, el resultado del condicional en el primer paréntesis, es el mismo que el resultado de la disyunción en el segundo paréntesis. Estas proposiciones son por tanto, equivalentes; esto quiere decir que pueden ser sustituidas una una por la otra. Dada cualquier expresión, se puede sustituir por otra equivalente, esta afirmación se conoce con el nombre de principio o regla de sustitución. Leyes lógicas Todas aquellas proposiciones tautológicas son leyes de la lógica proposicional proposicional. Por ejemplo:

1 1 0 0 1 1 Es una ley lógica que ya conoció Aristóteles con el nombre de tercero excluido o tertio excluso.

164

Las leyes lógicas son muy numerosas, pero hay algunas muy importantes que se refieren a la conjunción, disyunción y negador (La contradicción): Idempotencia

Asociativa

Conmutativa

Identidad

Absorción

Distributiva

165

significa tautología y la

De Morgan

Doble negación

Para desarrollar la lógica proposicional no es necesario utilizar todos los funtores, es suficiente hacerlo con un número mínimo, son los funtores primitivos, a partir de los primitivos se obtienen los derivados. La conjunción, disyunción y el negador son los primitivos, ya que gracias a la regla de sustitución, los demás funtores como el condicional o el bicondicional se pueden reducir a ellos: Regla de sustitución 1. 2.

166

EJERCICIOS RESUELTOS Hallar la tabla veritativa de las siguientes expresiones: En primer lugar hallamos los valores del primer paréntesis, después los valores del otro paréntesis; finalmente

hallamos

los

valores

del

condicional

relacionando los resultados de ambos paréntesis. La expresión es una tautología.

Ejercicio 01

1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 Es una tautología.

Ejercicio 02

1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

167

Ejercicio 03

1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 Es una tautología. Ejercicio 04

1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 El razonamiento o inferencia Hasta aquí hemos considerado las proposiciones y sus conexiones. Ahora vamos a observar la relación interna de las proposiciones y el modo de progresar en el conocimiento, obteniendo conclusiones a partir de proposiciones ya conocidas. Es el razonamiento o inferencia. Razonar es un proceso progresivo de la mente, que va de unas proposiciones ya conocidas llamadas premisas a otra nueva llamada conclusión. La conclusión está en parte contenida en las premisas, de modo que para que el razonamiento esté bien cconstruido onstruido tiene que haber 168

una relación de necesidad entre las premisas y la conclusión. La conclusión se deriva necesariamente de las premisas. Por ejemplo, cuando descargo un camión de muebles, extraigo éstos del interior, y es en ese momento cuando puedo apreciarlos en su conjunto. Sacar conclusiones es derivarlas de las proposiciones anteriores o premisas: "Si estudio, aprendo. Es así que estudio, luego aprendo". La conclusión de un razonamiento es la proposición que se afirma sobre la base de las otras proposiciones que nos dan los elementos de juicio o razones para aceptar la conclusión.

En el lenguaje formal la conclusión va precedida del símbolo

que se lee "luego".

El razonamiento anterior se simboliza: 1.

( primera premisa )

2.

( segunda premisa ) (conclusión)

Un razonamiento bien construido puede ser falso en su contenido material, por ejemplo si digo: "Todos los burros vuelan". "Platero es un burro". Luego "Platero vuela".

169

El razonamiento es materialmente falso pero es válido lógicamente porque está bien construido. A la lógica sólo le importa la validez formal. Otro ejemplo descabellado puede ser: "La tierra está formada de plastilina". "Mi brazo forma parte de la tierra". Luego "Mi brazo está formado de plastilina". El razonamiento es lógica o formalmente verdadero porque la lógica busca que la conclusión se derive necesariamente de las premisas, y no una verdad de hecho. Puede darse el caso, sin embargo, de razonamientos que

sean

verdaderos

materialmente

y

válidos

formalmente, por ejemplo: "Quien

no

se

presente

a

examen,

suspenderá".

"Pepa no se ha presentado". Luego "Pepa suspende". En resumen, en lógica no interesa tanto la verdad o falsedad de las proposiciones, sino las relaciones lógicas que existen entre ellas. Un razonamiento es válido cuando la conclusión se deriva necesariamente de las premisas y es inválido cuando la conclusión no se deriva de las premisas. ¿Cómo se puede saber si un razonamiento es o no válido sin necesidad de traducirlo al lenguaje natural?

170

Podemos hacerlo mediante las tablas veritativas. veritativas

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

La columna de la izquierda expresa los valores de la disyunción de que es

; los del centro la segunda premisa

, y la última columna los valores de la

conclusión . Vemos que no hay ningún caso en que siendo verdaderas ambas premisas, la conclusión sea falsa. Luego el razonamiento es válido. Si razonamos así: 1.

( primera premisa )

2.

( segunda premisa ) (conclusión)

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

171

En la tercera fila se observa que, siendo verdaderas las dos

premisas,

la

conclusión

es

falsa,

luego

el

razonamiento es inválido. De este modo podemos comprobar la validez de muchos razonamientos. Silogismo condicional, es aquel en que la premisa mayor es una proposición condicional y la menor una categórica. Por ejemplo: Si Pedro es mayor de edad, puede emanciparse; Pedro es mayor de edad, Luego Pedro puede emanciparse. Recordando la regla de verdad de las proposiciones condicionales, sucederá en este silogismo silogismo que de la verdad de la condición se seguirá la del condicionado. Efectivamente, un silogismo condicional no es más que una proposición condicional más desarrollada. En ambas operaciones mentales la conexión entre el antecedente y el consecuente deb debe e ser necesaria. Las conclusiones deben venir por causalidad lógica. Ley de transposición

Ley de traslación

172

Dilema constructivo , Dilema destructivo ,

Para conocer la validez o invalidez de un razonamiento, existen otros dos procedimientos más rápidos que las tablas de verdad: la prueba formal de invalidez y la prueba formal de validez. validez Prueba formal de invalidez Se trata de una demostración indirecta p por or reducción al absurdo. Si la conclusión tiene valor 0, es falsa, y las premisas pueden tener valor 1, el razonamiento es inválido. MODO OPERATIVO Se da valor 0 a la conclusión y se intenta que todas las premisas adquieran valor de verdad - operando como hacíamos en las tablas veritativas -.. Si las premisas son verdaderas y la conclusión falsa, el razonamiento es inválido inválido. Por ejemplo: 1. 2. 3.

173

Operamos así: 1. 1/0 1 1 2. 1 1 0 3. 1 1 0

0 El razonamiento es inválido, ya que hemos podido dar valor 1 a las premisas, siendo falsa la conclusión. Consideremos ahora el siguiente razonamiento: 1. 011 1 0 2. 1

0 0

1

0 0

Como la segunda premisa no puede tener valor 1, no se puede probar la invalidez del razonamiento. Sin embargo, para probar la validez de un razonamiento, es necesario además realizar la prueba formal de validez.

174

Prueba formal de validez Consiste en obtener la conclusión, a partir de las premisas utilizando las leyes de la lógica y los razonamientos válidos expuestos más arriba. MODO OPERATIVO: Se numeran las premisas, y también cada uno de los pasos que se van dando, indicando a la derecha - en lenguaje natural - la ley lógica que se aplica, hasta alcanzar la conclusión.

175

CAPÍTULO 4 TEORIA DE CONJUNTOS 4.1 DEFINICION Un conjunto se puede definir como cualquier reunión de elementos diferenciables. Los Conjuntos se suelen representar con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas de modo que si queremos representar que un conjunto "A" está formado por varios elementos "a", "b", "c", lo representaríamos así: A={a, b, c} Ej. •

El conjunto de cachorros de una camada.

•

El conjunto de manzanas en el estante de la frutería.

•

El conjunto de alumnos en una clase.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos Si te fijas en los ejemplos, podemos llamar conjunto a cualquier agrupación de elementos que nosotros queramos hacer. Si en vez de hablar de un conjunto de alumnos en una clase, yo quiero hablar de un conjunto de alumnas con pecas de una clase, puedo hacerlo. Se trata de escoger un criterio que cumplan todos los elementos pertenecientes al conjunto. Relación de Pertenencia Para definir un conjunto lo que hacemos es dar una o varias características/-s propia/-s del mismo; en el caso de las niñas con pecas de una clase, decimos que el conjunto se define por 3 características:

176

•

Sexo femenino.

•

Con pecas.

•

Pertenecientes a la misma clase.

Por supuesto, para definir un conjunto, hay que evitar las ambigüedades; si yo hablo de un conjunto P={Gente con pelo largo} Estoy dando una característica subjetiva, puesto que no digo cuánto ha de medir el pelo de alguien para considerarlo largo. Si lo definiéramos como P={Gente con pelo de más de 30 cm de largo} Entonces sí que estaría bien definido puesto que no deja lugar a dudas sobre quién pertenece al conjunto y quién no. 4.2 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO •

Por Extensión: Nombrando todos y cada uno de los elementos del conjunto. Ej.

•

P={2, 4, 6}

Por Comprensión: Enunciando la

propiedad que caracteriza al

conjunto; es decir, que cumplen todos los elementos del conjunto y solamente ellos. Ej. P={x€N / x = Números pares comprendidos entre el 2 y el 6 inclusive} "El conjunto P contiene los elementos x pertenecientes al conjunto de los Naturales tales que cumplen la propiedad de ser pares y estar comprendidos entre 2 y 6 inclusive".

177

O lo que es lo mismo: P={x€N / x=2 <=> 1≤ x≤ 3}

Parece obvio que la definición que más se va a utilizar será la definición "por Comprensión" ya que vamos a trabajar con conjuntos que poseen un elevado nº de elementos por no decir que en muchos casos trabajaremos con conjuntos de infinitos elementos Ej.

A={x€N / x = 2}

"El conjunto A contiene los elementos x pertenecientes al conjunto de los Naturales tales que son pares" De todos modos, siempre podemos definir un conjunto por extensión escribiendo un número determinado de elementos suficiente como para que se pueda/-n deducir la/-s "propiedad/-es característica/-s" seguido de puntos suspensivos. Ej.

A={0, 2, 4, 6, 8, 10, 12....}

4.3 TIPOS DE CONJUNTO CONJUNTO DISJUNTO, CONJUNTO SUBCONJUNTO 1) CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos conjuntos que no tienen elementos en común. Por ejemplo: El conjunto A tiene como elementos a los números 1, 2 y 3. El conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c y d. No hay elementos comunes entre los conjuntos A y B. En

otras

178

palabras,

ningún

elemento

del

conjunto A pertenece al conjunto B; a su vez, ningún elemento de B pertenece al conjunto A. En consecuencia, los conjuntos A y B son disjuntos. Tomando otro ejemplo: Si E = { pizarrón, tiza, borrador} (Conjunto E formado por pizarrón, tiza, borrador) F = { tiza, profesor, regla} (Conjunto F formado por tiza, profesor, regla) G = { niño, cuaderno, sala, lápiz } (Conjunto G formado por niño, cuaderno, sala, lápiz) E y G son conjuntos disjuntos porque: pizarrón, tiza, borrador no pertenecen al conjunto G. E y F no son disjuntos ya que tiza pertenece a E y también a F. F y G son conjuntos disjuntos porque: tiza, profesor, regla no pertenecen a G, y niño, cuaderno, sala, lápiz no pertenecen a F. 2) CONJUNTO SUBCONJUNTO: Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto también pertenecen al otro. Si se tienen los siguientes conjuntos: P = { a, e, i, o, u }

y

R = { a, i }

R es subconjunto de P porque todos los elementos de R están en P. En general, para expresar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto se pone entre ellos el símbolo R

. En este ejemplo se escribe:

P

Se lee “ R es subconjunto de P”

179

no es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del primero no pertenece al segundo conjunto. El símbolo que representa la frase “no es subconjunto de“ es

.

Si se tienen los siguientes conjuntos: C = { 3, 5, 7, 9 }

y

H = { 3, 5, 8 }

H no es subconjunto de C porque el elemento 8 no pertenece al conjunto C. Se escribe: H

C

Se lee “ H no es subconjunto de C” También los subconjuntos pueden representarse mediante Diagramas de Venn. Ejemplo:

S

C

Propiedades de la relación subconjunto 1.- Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Si T = { x, z, y, z }, se tiene que T

T

2.- El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto (el conjunto vacío es aquel que no tiene elementos; se representa por: { } o bien por Ø Si se tiene el conjunto B se puede establecer que Ø Representación Gráfica

180

T

El modo más conocido y usado es el "Diagrama de Venn", que consiste en representar un conjunto mediante círculos o proyectos de los mismos (que no todo el mundo tiene el mismo pulso y no siempre queda muy claro sólo con círculos ;)); con que hagas algo parecido, una elipse, un huevo...da igual, el caso es que se cierre y no tenga aristas ;). Ej. A = {0, 2, 4, 6} Cardinal de un Conjunto "A" Es el número de elementos del conjunto. Se llama n(A). Ej. A = {0, 2, 4, 6}

n(A) = 4

De este modo obtenemos que el cardinal de un conjunto puede ser: •

n(A) = 0: Esto nos diría que estamos ante el Conjunto Vacío,

•

n(A) = 1: Y esto otro nos diría que estamos ante un Conjunto Unitario, que se representa por {x} y que hay que diferencial claramente de x, que es un elemento de un conjunto.

Así podemos encontrarnos conjuntos con cualquier cardinal, incluyendo el cardinal ∞.

Conjunto Universal o Referencial Se podría decir que el "Conjunto Universal" de un grupo de conjuntos es aquel que los engloba a todos. Si tenemos un conjunto de alumnos morenos de una clase y eso lo hacemos en todas las clases de un colegio... entonces podemos decir

181

que un Conjunto Universal de estos conjuntos de alumnos morenos de todas las clases, sería el conjunto de alumnos del colegio. A este Conjunto se le representa mediante el símbolo E y mediante un rectángulo que contiene a los conjuntos con los que vamos a trabajar. Ej. A = {1, 2} B = {1, 3} C = {1, 4} De este modo tendríamos que E = {1, 2, 3, 4, 5} Relación de Inclusión Si un conjunto "B"está incluído en otro "A", decimos que el primero es subconjunto del segundo En el ejemplo del apartado anterior veíamos el Conjunto Universal, que estaba formado por 3 subconjuntos y 1 elemento; de este modo: (A U B U C) pertenece E Dentro de un conjunto cualquiera "A" encontramos siempre 2 subconjuntos: El propio conjunto A y el conjunto vacío . A estos conjuntos se les llama Conjuntos Impropios. Propiedades de la relación de inclusión de conjuntos 1. Reflexiva:  A, A = A 2. Antisimétrica:  A, B,

si B =A y A = B => A = B

Decimos que dos conjuntos son iguales, si tienen los mismos elementos. 182

Ej. A = {x es múltiplos de 2 / 0 < x <6}

B = {2, 4}

A=B 3. Transitiva:  A, B, C,

si B = A y C = B => C  A

Conjunto de las partes de un Referencial "E" Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de E incluyendo el y el propio. Hay que darse cuenta de que hablamos de un conjunto cuyos elementos van a ser conjuntos, no elementos independientes como hasta ahora. A este conjunto se le representa mediante el símbolo (E). Ej. Sea E = {1, 2, 3}, ocurre que: n(E) = {{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Cardinal de (E): Si n(E) = m, entonces n[(E)] = 2^m Conjuntos infinitos A = { los peces del mar} B= { los números impares} C = {las estrellas del universo} Conjuntos según el número de elementos A tiene 3 elementos→ A es una Terna B tiene 2 elementos → A es un Par C tiene 1 elemento → C es un Conjunto Unitario D no tiene elementos → D es un Conjunto Vacío

183

Conjunto vacío Definir un conjunto vacío por comprensión equivale a enunciar una propiedad que no es cumplida por ningún elemento. Z = {vacas que vuelan} T = { peces que corren en la pradera} Z={Ø} T= {Ø} Conjunto vacío Sea: X un conjunto. Definimos mediante el Axioma 3, un conjunto con la propiedad: , dicho conjunto lo llamaremos “ Conjunto vacío ” y lo notamos por la letra griega

(fi).

Esto es: Consecuencias: 1. 2. Observaciones. 1. El conjunto vacío es un conjunto que no tiene elementos, puesto que su propiedad característica corresponde a una contradicción, la cual no es satisfecha por ningún objeto. 3. La fórmula de la derecha, en la equivalencia ii) es el teorema del medio excluido, lo que permite establecer formalmente como teorema que ningún elemento pertenece al conjunto f .

184

Teorema. Propiedades del conjunto vacío. 1.

.

2. Si X es un conjunto entonces

.

3. Si X es un conjunto entonces

.

4. Si A es un conjunto entonces Demostración. 1. Sea X un conjunto. Hipótesis general 2.

Teorema 3.1. P.U.

3.

Adjunción en 2.

4.

Def. de implicación en 3.

5.

G.U. en 4.

6.

Def. de inclusión en 5.

7. Si X es un conjunto, entonces

. Método directo.

Observaciones. 1. Este resultado se expresa diciendo que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. 2. El numeral 4 establece que, para demostrar que un conjunto dado no es el conjunto

vacío,

basta

probar

que

tiene

al

menos

un

elemento.

Conjuntos finitos. Notación por extensión. Intuitivamente, diremos que un conjunto es finito si el número de sus elementos se puede expresar como n , siendo n el cero o un número natural. En caso contrario diremos que el conjunto es infinito. (En la última sección de este capítulo precisaremos este concepto).

185

Como consecuencia de esta noción podemos afirmar que el conjunto

es

finito. Conjunto Unitario. Al conjunto cuyo único elemento es x , lo notamos { x } y se denomina conjunto unitario. Consecuencias. i) ii) Conjunto binario. Al conjunto cuyos únicos elementos son x , y lo notamos { x , y } y se denomina conjunto binario. Este conjunto lo podemos notar también por comprensión así:

Consecuencias. i) ii) En forma análoga podemos construir conjuntos de tres, cuatro, etc. y cualquier número finito de elementos. Teorema. 1. 2. 3. Observaciones.

186

1. El numeral 2 establece el principio de que en un conjunto, los elementos que se repiten, se consideran solamente una vez. 2. El numeral 3 establece una relación fundamental para distinguir e integrar en sus contextos respectivos las relaciones de pertenencia e inclusión. 3. Una notación por extensión para el conjunto vacío corresponde a:

Conjunto referencial o universal Es el conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia. Paralelogramo, trapecio, rectángulo, rombo, romboide, cuadrado. El referencial = {cuadriláteros} Si el universal es: {x/x es un número menor o igual que 50} "No existen" los números 51 - 70 ó 94, ningún punto puede representarse fuera del diagrama de referencia. Ejemplo: U = {x/x es una flor} A = {es un clavel} Los siguientes elementos: a = clavel b = rosa c = gusano aε A b ε

A

El gusano no tiene sentido representarlo porque no es flor. Complemento 187

Se llama complemento de A al conjunto de elementos que no pertenecen a A En símbolos A = {x/x ε A} Si P = {vocales} = {a, e, i, o, u} y A = {vocales abiertas} = {a, e, o} entonces A = {vocales cerradas} = {i, u} Complemento de un conjunto Sean: X , M conjuntos,

.

un conjunto con la propiedad:

dicho conjunto lo llamaremos “

Complemento del conjunto M respecto al conjunto X ” y lo notamos Esto es:

.

Consecuencias i)

ii) Representación gráfica.

Teorema. Primeras propiedades del complemento. Sean: M , N , X conjuntos

188

.

1. Si

entonces

2. Sean:

,

. .

si y sólo si

.

Nota. En adelante simplificaremos la redacción de las demostraciones, asumiendo la comprensión que a este nivel debe tenerse sobre el lenguaje empleado, pero manteniendo desde luego el rigor, la coherencia. Demostración: Supongamos:

(Hip. aux.. 1)

Supongamos

Hip. aux. 2

en consecuencia

Def. Complemento

esto es:

Consec. Def. complem.

Por tanto

Conclusión: Supongamos:

(1) Hip. aux. 2

__________________

De la hipótesis 1.

__________________Luego

es verdadera, como también

__________________

, esta última equivale a:

__________________ __________________

; por tanto

es verdadera, que a su vez equivale a

189

Conclusión:

(2)

. Conjunción de (1) y (2).

Por tanto: Si

entonces

.

Conjuntos iguales Cuando están formados por los mismos elementos. A = {alumnos que tocan la guitarra} A= {Molina, Gasparino, Baltazarre} B={alumnos que forman parte del equipo de natación} B= {Molina, Gasparino, Baltazarre} A=B Partes de un conjunto Inclusión Un conjunto B está estrictamente incluído en un conjunto A si todo elemento de B pertenece a A pero no existe por lo menos un elemento de A que no pertenece a B. B⊂ A

B⊆ A

B=A

Un conjunto B está incluído en otro conjunto A si y sólo si todo elemento de B pertenece a A A=B⇔→xεA⇒xεB⇒A⊆B A=B⇔→xεB⇒xεA⇒B⊆A Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si cada uno de ellos está incluído en el otro. A=B⇔A⊆ByB⊆A 190

El conjunto vacío está incluído en todo conjunto Ø⊆A

Propiedades de la inclusión 1) Propiedad reflexiva : A⊆A Todo conjunto está incluído en sí mismo.

2) A ⊆ B y B ⊆ A ⇒ A ≠ B A⊆ByB⊆A⇒A=B A⊆ByB⊆A⇒A=B

Propiedad antisimétrica

A ⊆ B y B ⊆ C⇒ A ⊆ C

Propiedad transitiva

Diferencia entre la relación de pertenencia y la relación de inclusión La relación de pertenencia vincula un elemento con un conjunto. La relación de inclusión vincula dos conjuntos. Ejemplo: D = {vocales} = {a, e, i, o, u} F= {vocales abiertas} = {a, e, o} G = {vocales cerradas} = {i, u} F⊂D C⊂D Si relacionamos elementos: aεA

aεB

iεA 191

Conjuntos de partes A Se llama potencial de A y se escribe: P(A) P(A)= {{a,b}, {a}, {b}, {Ø}} {a,b} →

1 par

{a}, {b} → 2 conjuntos unitarios Ø →

1 conjunto vacío

Total

4 subconjuntos o partes de A

CONJUNTO POTENCIA Un conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto. ¿OK? ¿Lo entendiste? A lo mejor te ayuda un ejemplo... Todos los subconjuntos Si tenemos un conjunto {a,b,c}: •

Un subconjunto suyo podría ser {a}, o {b}, o {a,c}, o los demás

•

Y {a,b,c} también es un subconjunto de {a,b,c} (sí, es verdad, pero no es un "subconjunto propio")

•

Y el conjunto vacío {} también es un subconjunto de {a,b,c}

De hecho, si haces una lista de todos los subconjuntos de S={a,b,c} tendrás el conjunto potencia de {a,b,c}: P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} } Piensa en que estas son las diferentes maneras de elegir los elementos (el orden no importa), incluido tomarlos todos o ninguno. Cuántos subconjuntos Si el conjunto original tiene n elementos, el conjunto potencia tendrá 2n elementos

192

Ejemplo: en el ejemplo {a,b,c} de arriba hay tres elementos (a,b y c, claro). Así que el conjunto potencia tendrá 23 = 8, ¡y así es! Notación El número de elementos de un conjunto se suele escribir |S|, así que ahora escribimos: |P(S)| = 2n Ejemplo: ¿cuántos elementos tiene el conjunto potencia de S={1,2,3,4,5}? Bien, S tiene 5 elementos, así que: |P(S)| = 2n = 25 = 32 Verás en un momento porqué el número de elementos es una potencia de 2. EJEMPLOS El conjunto M tiene 2 a) M = { 1, 2 } elementos 2M = { {1}, {2}, {1, 2}, ø}

entonces 22 = 4 elementos

El conjunto M tiene 3 b) M = { 1, 2, 3 } elementos 2M = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2,

entonces 23 = 8 elementos

3}, ø}

Si un conjunto M es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia 2M tendrá 2n elementos.

193

IGUALDAD DE CONJUNTOS Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B. En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa. EJEMPLOS A = {1, 2, 3,

C = {1, 2, 3, 3,

E = {vocal de la palabra

4}

4, 1}

mundo}

B = {3, 4, 1,

D = {1, 2, 2, 3,

2}

4, 4,}

F = {u, o}

A=B

C=D

E=F

RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional. Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades características (es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto); Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología. Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica proposicional y viceversa. 194

4.4 PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES Los símbolos  (cuantificador universal) y  (cuantificador existencial) se utilizan en Matemáticas para enunciar proposiciones lógicas relativas a objetos matemáticos. Sea A un conjunto y p(x) una proposición o propiedad que hace referencia a un elemento x. (1) Cuantificador universal : La expresión es “para todo x que pertenece a A se verifica p(x)". (2) Cuantificador existencial : La expresión es "existe x que pertenece a A tal que p(x)”. La negación de cualquiera de las dos proposiciones anteriores se realiza negando la proposición p(x) y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa.

195

CAPITULO 5 OPERACIONES DE CONJUNTO 5.1 DEFINICION Sean

y

dos conjuntos.

5.1.1 UNIÓN

Diagrama de Venn que ilustra Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto Unión de los dos, que se denota como

el cual contiene todos los elementos de A y de B.. De

manera más general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como de manera que sus elementos son todos los De esta manera

es el caso especial dond donde

Es claro que el hecho de que un elemento x pertenezca a

tales que

.

. es condición

necesaria y suficiente para afirmar que x es un elemento de A o al menos de B. Es decir

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

196

Entonces

5.1.2 INTERSECCIÓN n

Diagrama de Venn que ilustra Los elementos comunes a de

y

y

forman un conjunto denominado intersección

, representado por

. Es decir,

es el conjunto que

contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B: .

Si dos conjuntos

y

son tales que

, entonces

y

se dice

que son conjuntos disjuntos. disjuntos Es claro que el hecho de que para afirmar que

y

es condición necesaria y suficiente . Es decir

197

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

Entonces:

5.1.3 PARTICIONES Dado un conjunto A y una serie de subconjuntos Ai, se dice que Ai son particiones de A cuando la unión de todas es el conjunto A,, y la intersección de todas es el conjunto vacío. Es decir, que los subconjuntos Ai,, forman parte del conjunto más grande denotado A. 5.1.4 DIFERENCIA

Diagrama de Venn que muestra

A−B

198

Diagrama de Venn que muestra

B−A

Los elementos de un conjunto

que no se encuentran en otro conjunto

forman otro conjunto llamado diferencia de

y

,

, representado por

.

Es decir: .

o dicho de otra manera:

Algunas personas prefieren denotar la diferencia de

y

como

Una propiedad interesante de la diferencia es que

eso es porque

Ejemplos: Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple

199

.

5.1.5 COMPLEMENTO El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo representaremos por

. Es decir

El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias. En vista de que

y

, entonces ,

de manera que

Pero también

de modo que

200

5.1.6 DIFERENCIA SIMÉTRICA Los elementos de dos conjuntos, A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos se define la diferencia simétrica.

5.1.7 DIAGRAMAS DE VENN Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de

Venn",

con

una

línea

que

encierra

a

sus

elementos.

Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva. 5.2 RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional. Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades características (es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto). Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología. Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica proposicional y viceversa.

201

5.3 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera y U un conjunto tal que y

,

entonces: • • •

Elemento neutro de la unión

•

Elemento neutro de la intersección

• • •

Propiedad conmutativa de la intersección

•

Propiedad conmutativa de la unión

Propiedad de Involución.

•

Propiedad asociativa de la

•

intersección •

Propiedad asociativa de la unión

•

Propiedad distributiva de la intersección Propiedad distributiva de

•

la unión • • • • •

202

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

5.4 PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS O PRODUCTO CRUZ PRODUCTO CARTESIANO Un par ordenado de números mismo si y sólo si Dados dos conjuntos cartesiano) de

y

es tal si los pares

son uno

. y

, definimos al conjunto producto ( o producto

(en ese orden), representado por

conjunto

Ejemplo Sean

y

y

. Así,

203

, como el

Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), resulta

204

CAPITULO 6 6.1 DEFINICION CUANTIFICADORES Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son son: •

El cuantificador universal universal, representado por

. Este

cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. S Se e escribe

•

El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto

cumple con una propiedad. Se escribe

. Se definen

6.2 EJERCICIOS DE CONJUNTOS 1.- Sean A ={1,2,3,4};

B ={2,4,6,8};

C ={3,4,5,6}

Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).c). B U C; d).- B U B Solución: A U B = {1,2,3,4,6,8} A U C = {1,2,3,4,5,6} B U C = {2,4,6,3,5} B U B = {2,4,6,8}

205

2.- Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia. Solución: 2A ={ {6},{2},{8},{4},{3},{6,2},{6,8},{6,4},{6,3},{2,8},{2,4},{2,3},{8,4},{8,3},{4,3}, {6,2,8},{6,2,4},{6,2,3},{6,8,4},{6,8,3},{6,4,3},{2,8,4},{2,8,3},{2,4,3},{8,4,3},{6,2,8,4} ,{6,2,8,3}, {2,8,4,3,},{6,8,4,3,},{6,2,4,3,},{6,2,8,4,3},{ }}

EJERCICIOS PROPUESTOS

Nivel I

1).- ¿A quién se le considera el padre de la Teoría de Conjuntos? 2).- ¿Cuál es la diferencia entre teorema y axioma? 3).- ¿Qué es un conjunto? 4).- Define la intersección entre conjuntos. 5).- ¿Cuál es la diferencia entre una intersección y una unión? 6).- ¿Cuál es la diferencia entre complemento y diferencia de conjuntos? 7).- ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}? 8).- Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o} 9).- ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos: A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o} 10).- Obtener la diferencia A\B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}

206

Nivel II 1.-Dado (1)

¿qué afirmaciones son correctas y por qué? (2)

(3)

2.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos a) A = { x I x es día de la semana} b) B = { vocales de la palabra conjunto} c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} d) D = {x I x es un número par} e) E = {x I x < 15} f) F = {x I es la solución de y(x)=IxI } 3.- Demuestre que 4.-Demuestre las leyes de De Morgan:

5.-Demuestra las propiedades asociativas siguientes:

6.- En el diagrama de Venn que sigue rayar, (1)

; (2)

207

NIVEL III 1.-. ¿Qué es un conjunto numerable? 2.- ¿Cuál es la diferencia entre conjunto numerable y conjunto contable? 3.- Demuestra que el conjunto Z, números enteros es numerable 4.- Demuestra que el conjunto de los números irracionales forman un conjunto contable. 5.- Demuestra que cualquier subconjunto de un conjunto finito es finito. Conteste Falso o Verdadero a las siguientes expresiones 1.- La característica principal de un conjunto es estar bien definido •

Falso

Verdadero

2.- Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros. •

Falso

Verdadero

3.- La dispersión de objetos se llama conjunto. •

Falso

Verdadero 208

4.- El detallar todos los elementos de un conjunto entre llaves se denomina forma tabular Falso

Verdadero

5.- El conjunto de las vocales es: { a, b, c, d, e } Falso

Verdadero

6.- El conjunto de los colores primarios es {rojo, azul , verde} Falso

Verdadero

7.- El conjunto de los días de la semana es: { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo } Falso

Verdadero

8.- El conjunto de los meses del año tiene 12 elementos. Falso

Verdadero

9.- Los conjuntos { 2, 4, 6 } y { 6, 2, 4 } son iguales Falso

Verdadero

10.- El conjunto de cada uno de los números que aparecen en las cifras 5, 578 y 587 es { 5, 7, 8 } Falso

Verdadero

11.- El conjunto de cada una de las letras de la palabra casa es { a, c, s } Falso

Verdadero

1.1.

209

CAPITULO 7 SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES 7.1 DEFINICION

El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales. Números tales como:1,3,

y sus

correspondientes negativos, son usados en cuantitativas. Mediciones. Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema más primitivo – tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4, ... , y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales. En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse. En esta primer parte, se hará una presentación intuitiva del conjunto

de los

números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto N de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo mas a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático del mismo.

7.2 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos:

210

Conjunto de los números naturales. El conjunto de los números naturales, que se denota por N ó también por Z+, corrientemente se presenta así: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen, de los sistemas numéricos, y lleva principalmente a la consideración de los números reales. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. El conjunto de los números enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta así: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} En el conjunto de los números enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N , como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = -2. Puede notarse que N sub conjunto de Z. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES. El conjunto de los números racionales, que se denota por Q , se define de la siguiente manera:

Q=

/ m, n son enteros y n

La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación. Ésta sólo tiene solución en Z , en el caso particular en que a es un divisor de b. Note que todo entero n puede escribirse como el número racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que en lo sucesivo, cuando se haga referencia a los

211

números racionales, a/b, c/d, ..., se entenderá que a, b, c, d, ..., son números enteros y que los denominadores son diferentes de cero. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES. En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Asi, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES, que se denota por Q*, está constituido por los números reales que no admiten la representación racional. Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), , , etc. En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q , como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x =

, que

no son números racionales. En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo). AXIOMAS DE CAMPO A.C.1. Uniforme Si se suman entre si dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único. Si se multiplican entre si dos números reales, el resultado que se obtiene es un real único.

212

A.C.2. Conmutativa

Para todo a, b pertenece R , A.C.3. Asociativa

Para todo a, b, c pertenece R , A.C.4. Modulativa Existe el real 0 (cero) tal que para todo a pertenece R , a+0=0+a=a Existe el real 1 (uno), 1y 0 tal que, para todo a pertenece R, a.1=1.a=a El real 0 es llamado: módulo o elemento neutro para la adición. El real 1 es llamado: módulo o elemento neutro para la multiplicación. A.C.5. Invertiva Para cada número real a, existe un real único llamado el opuesto de a, y que se denota –a tal que: a + (-a) = 0 Para cada número real a pertenece 0, existe un real único llamado el recíproco de a, y que se denota por a-1 ó 1/a tal que: a . a-1 = a. (1/a) = 1 Asi por ejemplo, el opuesto de 5 es -5; el recíproco de -2 es 1/-2. Debe notarse que -a no significa un número negativo, aunque en algunas ocasiones puede serlo. Asi, -3 es negativo y es el opuesto de 3, mientras que -(-5) es positivo y es el opuesto de –5.

213

El opuesto de a también se conoce como inverso aditivo, el recíproco de a también es llamado inverso multiplicativo de a. A.C.6. Distributiva Para todo a, b, c, pertenece a R , a. (b+c) = a.b + a.c A continuación se presenta sin demostración las consecuencias más importantes de los axiomas de campo. Más que una simple lista, son propiedades conocidas por el estudiante y que le serán bastante útiles en el desarrollo del curso. AXIOMAS DE ORDEN Los axiomas o propiedades del sistema de los números reales que se enuncian a continuación se expresan en términos de un cierto subconjunto especial de R (este subconjunto denotado por R+ se identifica con el conjunto de los reales positivos). En general, cualquier campo que tenga un subconjunto P con las propiedades mencionadas a continuación, es llamado un campo ordenado. 7.3 DESIGUALDADES Usando solamente el subconjunto R+ descrito en A.O.1., se deducen todas las reglas usuales en el trabajo con desigualdades de números reales. DEFINICIONES Sean x, y números reales. Los símbolos "<" y ">" (que se leen: "menor que" y "mayor que" respectivamente) se definen por las afirmaciones: Los símbolos "

"y"

" (que se leen: "menor o igual que" y "mayor o igual que"

respectivamente) se definen por las afirmaciones: x

y

entonces :

x
x

y

entonces:

x>y v x=y

214

Cada una de las expresiones: x < y, x > y, x

y, x

y es llamada una desigualdad.

Se sigue de la definición anterior que las desigualdades: x > y, y, y < x son equivalentes. Igualmente las desigualdades: x

y, y, y

x son equivalentes.

La expresión: x < y < z, se usa para indicar las dos desigualdades simultáneas: x < y ^ y < z. Igualmente, la expresión: x > y > z, se usa para indicar las dos desigualdades simultáneas: x > y ^ y > z. En cualquiera de los dos casos de la definición anterior, se dice que y está entre x y z. Interpretaciones similares pueden establecerse para las desigualdades: x x

y

z; x < y

z; x

y

y< z, etc.

Las propiedades siguientes, que enunciamos sin demostración son consecuencia inmediata de la propiedad de orden y serán útiles en el trabajo con desigualdades. 7.3.1 CONSECUENCIAS PRINCIPALES DE LA PROPIEDAD DE ORDEN 01. Tricotomía. Si x, y pertenece R , entonces, una y solo una de las siguientes proposiciones es verdadera: x > y ; x = y ; x < y. 02. Transitiva. Para todo x, y, z pertenece R , x
x < z.

x>y

x > z.

^ y>z

03. Si x, y, z pertenece R , entonces: x
x+z
^

x–z
x>y

x+z>y+z

^

x–z>y–z.

x

y

x+z

y+z

^

x–z

y–z.

215

z;

x

y

x+z

04. a > b > 0

y+z

^

c

^

x–z

d>0

y–z.

a.c > b.d.

05. Las siguientes reglas de los signos para la adición y multiplicación de reales se cumplen: (Número positivo) + (Número positivo) = Número positivo (Número negativo) + (Número negativo) = Número negativo (Número positivo) . (Número positivo) = Número positivo (Número negativo) . (Número negativo) = Número positivo 06. a < b

^

c>0

a.c < b.c.

a
^

c<0

a.c > b.c.

Las dos propiedades anteriores, muchas veces se expresan diciendo que si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por una cantidad positiva, el sentido de la desigualdad se conserva, mientras que si se multiplican por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad cambia. 07. Para todo x que pertenece R , x2

0

x2 = 0 x = 0.

08. x > 0 

09. x > y > 0 

216

7.4 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES Una manera de representar geométricamente los números reales, consiste en tomar una recta generalmente en forma horizontal, y fijar dos puntos distintos en ella, denotando con 0 (cero) al de la izquierda y con 1 (uno) al de la derecha. Se considera que cada punto de la recta corresponde a un número real y viceversa, a cada número real le corresponde uno y solo un punto de dicha recta. Se establece de esta forma, una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de esta recta, la cual nos permite decir en adelante que cada punto "es" un número real. A la recta sobre la cual se hace representaciones de los números reales, se seguirá llamando: RECTA REAL, ó, también, RECTA NUMÉRICA. Recurriendo a la idea de distancia y tomando como unidad de longitud el segmento de recta entre 0 y 1, que en adelante se llamará segmento unitario; como punto de partida el 0, que en adelante se llamará origen; como números positivos los puntos que se dan a la derecha del origen y negativos, los que se dan a su izquierda, se puede entonces localizar algunos números reales. Así, para localizar los números enteros, se lleva sucesivamente, y a ambos lados de 0 y 1, el segmento unitario como aparecen en la figura adjunta.

fig. 1.

217

Existe una construcción geométrica sencilla para localizar números racionales en la recta real. Ilustremos el procedimiento por medio de un ejemplo. Para representar, digamos el número racional 12/5, se traza por el origen 0 de la recta real una segunda recta oblicua y a partir de 0 se marcan cinco (5) segmentos iguales sobre la oblicua con extremos en P1, P2, P3, P4 y P5. (Ver fig. 2).

A continuación, se traza la recta que

une a P5 con el racional

y

luego cuatro rectas paralelas a la anterior y que pasen por los puntos P1, P2, P3, P4 y P5. Por geometría elemental se sabe que este sistema de rectas paralelas corta al segmento entre 0 y 3 en cinco partes iguales de manera que la longitud de cada parte es 3/5. Fig.2 En consecuencia, cada punto de corte en la recta real corresponde en forma sucesiva a los racionales: 3/5, 6/5, 9/5, 12/5 y 15/5 entre los cuales se encuentra el racional que se quería representar en la recta. Para los enteros positivos que no son cuadrados perfectos, se puede demostrar que su raíz cuadrada es un número irracional, cuya localización en la recta numérica se logra de una manera sencilla empleando el teorema de Pitágoras (Ver fig. 3).

218

fig. 3. Otros números irracionales como Pi

3.1415927... y e

2.7182818... serán

localizados en su forma decimal aproximada. 7.5 INTERVALOS Dentro de los subconjuntos infinitos del conjunto de los reales, se destacan 9 de ellos, llamados intervalos y que se definen de la siguiente forma: DEFINICIONES Sean a, b pertenece R , con a < b. El conjunto de puntos { x pertenece R / a < x < b} se llama: INTERVALO ABIERTO de extremos a y b. Se denota por (a, b). Así que: (a, b) = { x pertenece R / a < x < b} y geométricamente se representa en la recta real en la forma:

fig. 4 El conjunto de puntos { x pertenece R/ a

x

b} se llama: INTERVALO CERRADO

de extremos a y b. Se denota por [a, b]. Así que: [a, b] = { x pertenece R / a

x

b} y geométricamente se representa en la recta real

en la forma:

219

Fig.5 Nótese que a

(a, b), b

(a, b), a pertenece [a, b], b [a, b].De manera similar, se

pueden definir y representar geométricamente los demás tipos de intervalos y que aparecen a continuación de una manera simple.

(a, b] = { x pertenece R / a < x

b};

fig.6 [a, b) = { x pertenece R / a

x < b};

fig.7

Sea a pertenece R . Un intervalo de cualquiera de las siguientes formas se llama: SEMIRECTA. (-∞, a) = { x €R / - ∞< x < a}; fig.8 (-∞, a] = { x €R / -<∞ x

a};

fig.9 (a, +∞) = { x €R / a < x < + ∞ }; fig.10 [a, + ∞) = { x €R / a

x < + ∞ };

fig.11

220

Finalmente, el conjunto R de los números reales, se define como el intervalo: (-∞, +∞). Es decir: (-∞,+∞ ) = { x €R / - ∞) < x < + ∞) }.

VALOR ABSOLUTO Definición Sea x €R . El valor absoluto de x, denotado por:

Así,

;

se define:

;

El VALOR ABSOLUTO de un número real x es siempre positivo o cero y se interpreta geométricamente, como la distancia del punto x al origen (fig. 12). Igualmente, se interpreta como la distancia del punto x al punto y en la recta real (fig. 13).

221

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

V.A.1. Para todo x €R ,

y

V.A.2.

V.A.3.

, para todo x, y €R .

V.A.4.

V.A.5.

V.A.6.

V.A.6’.

>V.A.7.

siempre que

222

V.A.8.

V.A.9.

siempre que

siempre que a > 0

V.A.10.

V.A.11.

, para todo x €R .

V.A.12. (desigualdad triangular). Para todo x, y €R , En que caso se verifica la igualdad? (compruebe).

V.A.13.

V.A.14.

A manera de ejemplo, y con el objeto de que el estudiante, se acostumbre a efectuar demostraciones de resultados sencillos, se demostrarán las propiedades: V.A.7. y V.A.14.

7.6 SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES En una desigualdad que envuelve una incógnita, dígase la letra x, un valor particular de x satisface la desigualdad, si al reemplazar x por su valor particular (en todas sus ocurrencias) la convierte en una proposición verdadera.

223

Asi por ejemplo, x = 1 es un valor particular de x que satisface la desigualdad: 3x-1 < x+5 ya que 3(1)-1 < 1+5. Mientras que x = 4 no es solución particular. Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen verdadera. En contraste con una ecuación, cuya solución, en general es un número o quizá un conjunto finito de números, el conjunto solución, de una desigualdad consta por lo común de un intervalo, unión infinita de intervalos y en algunos casos el conjunto vacío. Asi, el conjunto solución de la desigualdad: x2 – x < 6 es el intervalo (-2, 3); el conjunto solución de la desigualdad x2 – x

6 es (-1 , -2] ; [3, +1 ) y el conjunto solución de la

desigualdad x2 + 5 < 4 es el conjunto vacío (porqué?). El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformar la desigualdad inicial en una desigualdad EQUIVALENTE (tiene las mismas soluciones). Las herramientas principales para hacerlo es el uso adecuado de las propiedades de orden y sus consecuencias. Ello implica que debemos realizar ciertas operaciones en una desigualdad sin cambiar el conjunto solución. En particular: Se puede sumar (restar) la misma cantidad en ambos miembros de una desigualdad. Se pueden multiplicar (dividir) ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad positiva. Se pueden multiplicar (dividir) ambos miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa, pero entonces se debe invertir el sentido del signo de la desigualdad.

7.7 EL NÚMERO COMPLEJO El ejemplo típico de una ecuación que no tiene solución en el conjunto de los números reales es

ó

, ya que no existe ningún real x tal que 224

su cuadrado sea un número negativo. De manera más general, la ecuación:

, con coeficientes a,b,c

sí

, no tiene solución real

. Se hace, por tanto, necesario ampliar el conjunto de los

números reales a un conjunto donde puedan resolverse situaciones como las anteriores, de manera que esté en correspondencia biunívoca con una parte de él. Dicho conjunto es llamado: Conjunto de los números Complejos y se denota por la letra C . A continuación se describen las definiciones y los resultados más importantes relacionados con los números complejos. ..

7.7.1 LOS COMPLEJOS COMO PARES ORDENADOS

DEFINICIONES. i) El conjunto de los números complejos se define como : C=

,es decir, C =

.

ii) Al elemento (a,b)  C se le llama número complejo y, usualmente, se denota por z = (a,b). iii) En el complejo llamamos parte real del complejo z (Re(z)) a la primera componente y parte imaginaria del complejo z (Im(z)) a la segunda componente. Es decir, si z = (a,b), entonces, Re(z) = a y Im(z) = b . iv) Un número complejo es real si su parte imaginaria es cero. Un número complejo es un imaginario puro si su parte real es cero. v) Al número complejo (0,1) se le llama unidad imaginaria y se denota por la letra i . Esto es , i = (0,1). vi) Sean

y

dos números complejos, entonces :

yb=d

225

Es decir, dos números complejos son iguales sí y sólo si coinciden en su parte real y en su parte imaginaria. Observaciones. i) Con relación al plano cartesiano, los números complejos están en correspondencia biunívoca con los puntos del plano. Esto es, la abscisa de cada punto es la parte real y la ordenada la parte imaginaria. Note que los complejos cuya parte imaginaria es nula ; es decir, los número de la forma z = (a,0) son puntos localizados sobre el eje de las abscisas o eje x. Puede demostrarse que los números complejos de la forma (a,0) tienen las mismas propiedades aritméticas que el número real a . Por esta razón, se puede identificar el número complejo (a,0) con el número real a. Igualmente, los complejos cuya parte real es nula; es decir, los números de la forma z=(0,b) están localizados sobre el eje de las ordenadas o eje y. Por esta razón, algunos autores utilizan los términos eje real y eje imaginario

para

referirse,

respectivamente, al eje x y al eje y del plano cartesiano.(Fig.1)

OPERACIONES EN C. En el conjunto C están definidas dos operaciones, denominadas respectivamente adición y multiplicación, de la siguiente forma:

226

Sean

y

dos números complejos.

i) ADICIÓN: ii) MULTIPLICACIÓN: Se puede demostrar que, con estas dos operaciones, el conjunto C adquiere la estructura algebraica de campo. El elemento neutro de la adición es 0 = (0,0);el inverso aditivo de (a,b) es (-a,-b).El elemento neutro de la multiplicación es 1=(1,0) y el inverso multiplicativo de

es:

De este modo, las operaciones de DIFERENCIA y DIVISIÓN (por un divisor distinto de cero) pueden definirse de la siguiente forma: iii) DIFERENCIA:

iv) DIVISIÓN:

;

Esto, de acuerdo con la noción de inverso aditivo y multiplicativo. Observación. De la definición de unidad imaginaria y de la multiplicación entre complejos, se tiene:

y como el complejo (- 1,0) se identifica con el número real -1,se concluye entonces que:

De esta manera, se pueden establecer las potencias sucesivas de la unidad imaginaria

227

i, así:

;

;

;

.

En forma similar , ;

;

;

,etcQ

Note que si el exponente es de la forma 4k con k entero positivo, entonces :

En general ,si el exponente es un natural n> 4, al dividir n por 4, se tiene : n = 4q + r ,donde r = 0,1,2,3 y, en consecuencia ,

reduciendo así la potencia de

a uno de los cuatro casos considerados

inicialmente.

Forma binómica de los complejos. Sea z = (a,b) un número complejo. De acuerdo a la definición de suma de complejos, se tiene z = (a,b) = (a,0) + (0,b) , y como (a,0) coincide con el real a y (0,b) = (0,1). b= ib, se tiene, entonces, z = (a,b) = a + bi . La forma a + bi se conoce como la forma binómica del complejo (a,b). Bajo esta forma es como habitualmente se manejan los complejos. La conveniencia de adoptarla estriba en la facilidad de efectuar operaciones algebraicas que son mucho menos laboriosas que con pares ordenados. Las operaciones, mencionadas anteriormente, se harán, en consecuencia , según las siguientes reglas:

i) ADICIÓN Y DIFERENCIA:

228

ii) MULTIPLICACIÓN:

iii) DIVISIÓN:

Observe que estas operaciones pueden efectuarse formalmente siguiendo las mismas reglas del álgebra con números reales, con la única precaución de sustituir

, cada

vez que aparezca, por el número -1. Así, para calcular el cociente de (a + bi) entre

, se escribe:

(Multiplicando Numerador y Denominador por la expresión conjugada * del denominador).

COMPLEJOS CONJUGADOS. MÓDULO DE UN COMPLEJO. DEFINICIONES. Sea z = a + bi la forma binómica de un número complejo, entonces: i)El complejo conjugado de z = a + bi, denotado por

es el complejo

.

ii)Dos complejos son conjugados uno del otro si tienen la misma parte real, y si sus

229

partes imaginarias son números reales opuestos. Geométricamente, dos complejos conjugados uno del otro se caracterizan por ser puntos simétricos con respecto al eje real . iii) El módulo o valor absoluto de un complejo z = a + bi, denotado por |z|, se define: |z| =

Geométricamente, el módulo de un complejo z = a

+ bi es la distancia del origen al punto del plano que representa el complejo (Fig. 2.2).

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de los complejos conjugados y del módulo de un complejo. Teorema. Sean

números complejos, entonces:

1. 1.1

1.3 Generalización:

230

2

3 3.1 4

4.1 Generalización: 5 |z| = 0  z = 0 6. 7. 8 9

y

10

10.1

;

10.2

;

11 12

(Desigualdad triangular )

12.1 Generalización: 13

.

Demostración.

231

A manera de ilustración se demuestran las propiedades 1y3; se deja la demostración de las demás propiedades como ejercicio para el lector. 1 Sean

y

,las formas binómicas de los complejos

,entonces:

= (a + c ) - ( b + d)i = (a - bi ) + (c - di ) =

.

Los números complejos pueden escribirse en otras formas que involucran funciones trigonométricas. Ellas son: la forma polar o trigonométrica y la forma exponencial. Se deja la presentación de estas dos formas para el taller correspondiente a la trigonometría plana.

7.8 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO 1. Considere los siguientes intervalos: A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5]. Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones: a) A u D

b) A ∩C

c) B –

C d) A u (B u C)

Solución En primer lugar, se dibuja cada uno de los intervalos dados en la recta real,

232

para luego efectuar de una manera más sencilla las operaciones propuestas.

Asi que: a. A u D = D = (-4, 5] = {x€ R / -4 < x ≤5} b. Como la intersección de dos conjuntos, corresponde al conjunto de elementos comunes, se deduce de las gráficas que: A∩C = [-1, 3] = { x € R / -1 ≤ x ≤3} c. La diferencia entre los conjuntos B y C se define como el conjunto formado por los elementos que están en B, pero que no están en C, esto es, el intervalo (-3, -1). Asi que: B-C=(-3,-1)={ x € R / -3 < x < -1} Igualmente, C - B = [3, 4] = { x € R / 3 ≤x ≤4} d. En primer lugar, B o C = (-3, 4] = { x € R / -3 < x ≤ 4}

De la gráfica anterior, se deduce que: A ∩ (B u C) = (-3, 3] = { x R/ -3 < x ≤ 3}

233

2. Demostrar la propiedad V.A.7. Demostración. En primer lugar, se asume que que

y que además,

, y se prueba

.

En efecto, Si

y

Si

y

, entonces,

.

, entonces,

, así que

En cualquiera de los casos, se concluye que

.

.

Recíprocamente, Si Si

y y

,

entonces,

, entonces,

. , así que

3. Demostrar la propiedad V.A.14. Solución Demostración. (desigualdad triangular). De acuerdo a V.A.5., Asi que:

. (1).

Igualmente, (porqué?) Asi que:

(2)

234

Asi .

que

.

De (1) y (2) se concluye que:

Esta última desigualdad, es equivalente a la siguiente:

¿La equivalencia se deduce de cual propiedad? 4. Resolver la desigualdad: 3x-1 <= x+5.

Solución

En consecuencia, la solución o el conjunto solución S, viene dado por: S = {x € R / x <= 3} =(-∞, 3] Solución

(Porqué?) En consecuencia, la solución es el intervalo abierto (2, + ∞ ).

6. Resolver la desigualdad: Solución

Debe notarse en primer lugar que la desigualdad

no es

equivalente a x >= 2, puesto que (x - 1) no siempre es positivo. Sin

embargo,

.

235

Esta última desigualdad se satisface si y solo si x = 2 o las dos cantidades: (x – 2) y (x – 1) tienen el mismo signo (ambas positivas o ambas negativas) ¿porqué? Pero, (x – 2) y (x – 1) son positivas si y solo si x > 2. También, (x – 2) y (x – 1) son negativas si y solo si x < 1. En consecuencia, la solución de la desigualdad la constituye la unión de los intervalos: [2, + ∞ ) y (-∞ , 1). Esto es, S = (-∞ , 1] U [ 2, +∞ )

7. Resolver la desigualdad: Solución En primer lugar, la inexperiencia lo puede llevar a efectuar el producto de extremos y medios, conservando el sentido de la desigualdad y escribir:

es la solución. Sin embargo, existen valores de x, x > 0 que no son solución

(por ejemplo

(por ejemplo

) y existen valores de x, x < 0 que si son solución

). En consecuencia, x > 0 no corresponde al conjunto

solución. Para evitar situaciones como la anterior, procedemos de la siguiente forma: 236

La última desigualdad, puede resolverse analíticamente distinguiendo varios casos según el signo del numerador y denominador de la fracción. El método que se propone a continuación es mucho más ágil y puede desarrollarse siguiendo los siguientes pasos: 1. Se analiza el signo de cada uno de los factores que contiene el Numerador y Denominador de la fracción, tomando como punto de referencia los valores que anulan cada factor. Para ello se eligen puntos de prueba anteriores y posteriores al referencial. 2. Se efectúa el producto de los signos de cada factor en los intervalos determinados por los puntos de referencia. 3.El conjunto solución lo constituye el intervalo o unión de intervalos cuyo signo coincide con el signo del lado derecho de la desigualdad. Asi, si el signo del lado derecho de la desigualdad es ">", se eligen los intervalos con signo (+). Si el signo del lado derecho de la desigualdad es "<", se eligen los intervalos con signo (-). 4.Verifique si los puntos referenciales pertenecen o no al conjunto solución, sustituyéndolos en la desigualdad y poder determinar de esta forma la naturaleza de ellos: abierto, cerrado, semiabierto, etc.

237

Apliquemos el método, al caso particular: recoge

toda

la

información

obtenida

. El diagrama adjunto siguiendo

el

método

descrito.

Como el signo del lado derecho de la desigualdad es "<", interesa para la solución los intervalos del producto con signo (-). Esto es: S = (-1, 0) U (1, +∞ ) es el conjunto solución.

8. Un vaso de ½ litro (500 cm3) tiene forma cilíndrica con un radio interior de 4 cm. ¿Qué tan exacto debemos medir la altura h del agua en el vaso para estar seguros de tener ½ litro de agua con un error menor del 1%, esto es, un error menor que 5 cm3?.

Solución El volumen V del agua en el vaso está dado por la fórmula: V =  R2h = 16 h (volumen real).

Al decir que se quiere tener un error menor de 5cm3 en la medida del volumen, equivale a decir que

.

Pero, 238

(Prop. V.A.7.)

(Prop. 03 y 07)

Note que la diferencia (hs - hi) = 0.0994 Y 0.1 cm = 1 mm. Lo que indica que debemos medir la altura con una precisión de cerca de 1 mm (milímetro). (aproximadamente el ancho de las marcas de calibración del vaso).

9. Resolver la desigualdad: Solución La desigualdad inicial puede escribirse en las formas equivalentes:

Nótese que al sustituir los valores de x de los puntos de referencia en la última

desigualdad, se transforma en una proposición verdadera. Esto es, si

entonces

; también, si 239

,

,

entonces

.

En consecuencia, dichos puntos pertenecen al conjunto solución. Como el signo del lado derecho de la última desigualdad es ">=0 ", interesa para la solución los intervalos del producto con signo (+). Esto es, S = (∞ , -13] U [11/5, ∞) es el conjunto solución.

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE NÚMEROS COMPLEJOS

1Determine analítica y gráficamente los complejos z = (x,y), que verifican las siguientes relaciones: a) Re(z) = -2. b)

..

SOLUCIÓN a) Si z = (x,y), como x = Re(z) = -2, se sigue, entonces, que z es un par ordenado que tiene la forma z = (-2,y). Geométricamente, representa una línea recta paralela al eje y, que pasa por el punto de la abscisa -2 (Fig. 3.).

240

b) Si z = (x,y), como y =

,entonces, los valores de z, que verifican

, son todos aquellos números complejos cuya ordenada y verifica : -2y < 3; o equivalentemente: y  -2 y y <3.La conjunción de estas desigualdades representa gráficamente la franja del plano cartesiano comprendida entre las rectas y = -2 e y = 3. (Fig. 3.b). Note que la recta y = 3 se ha trazado en forma punteada para indicar, con esto, que los puntos sobre la recta no pertenecen a la solución. 2 Simplifique totalmente la expresión: SOLUCIÓN = =

.

Como 30 = 4× 7 + 2 y 31 = 4× 7 + 3 ,entonces: ; Por lo tanto, 3. Encuentre los valores de x e y para los cuales se verifica la siguiente igualdad: 241

x + y +1 + (x - y + 3 )i = 1 + 7i . SOLUCIÓN Sean

y

.

Recordando que dos complejos son iguales si y sólo si sus correspondientes partes reales e imaginarias son iguales, se tiene, entonces : x + y +1= 1 y x - y + 3 = 7. Resolviendo simultáneamente el sistema anterior, se obtiene: x = 2 e y = -2. 4. Efectúe las operaciones indicadas en cada uno de los siguientes literales, expresando el resultado en la forma (a + bi). a) (2m+5+i) + [2 + (3m - 2)i].

b) . SOLUCIÓN a) (2m+5+i) + [2 + (3m - 2)i] = 2m + 5 +i +2 +3mi -2i = (2m +7 ) +(-1 +3m ).i b) En primer lugar, También , Por tanto ,

5. Pruebe que si

y

son dos números complejos, entonces:

SOLUCIÓN

242

Se prueba la igualdad transformando el primer miembro en el segundo. Esto es ,

(Propiedad ) (Propiedad ) (Efectuando los productos y simplificando). (Propiedad )

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE INTERVALOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO 1. Demostrar las siguientes desigualdades: a) Si a < b y c < d , entonces, a+c 1 , entonces,

> a.

d) Si 0 < a < 1 , entonces, e) Si a < b y

< a.

c < d, entonces, ac < bd .

f) Si a < b , entonces,

<

.( utilice e)).

g) Comprobar por medio de ejemplos que si a,b,c y d son positivos, y a > b y

c > d , no necesariamente se sigue que

.

h) Si a y b son números positivos desiguales(a>0, b>0, )

demostrar que : 2. Determine el conjunto solución de cada una de las siguientes desigualdades . Exprese el resultado como un intervalo o unión de intervalos. a) 2x-4 < x - 8

b)

< 4x+1

243

d)

> 9 -6x

e) ( x+2)(x-3) < 0

f)

6

g) (3- x)( 2+x) > 0

h) -7 1- 2x  -1

i) -1< 3x-5  6

j)

c) 3x-5  8x+7

k)

l)

ll)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

3. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones con valor absoluto. a)

b)

d)

e)

c)

f)

g) 4. Determine el conjunto solución de cada una de las siguientes desigualdades con valor absoluto. Exprese el resultado como un intervalo o unión de intervalos.

a)

b)

c)

244

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

ll)

m)

n)

o)

p)

r)

s)

q)

5. Use la desigualdad triangular y el hecho de que establecer (demostrar) la siguiente cadena de desigualdades:

6. Demuestre que : 7. Demuestre que :

Si :

donde:

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE NÚMEROS COMPLEJOS 1. Verifique las siguientes igualdades entre complejos: 245

para

2. Sea z un número complejo. Pruebe que :

es imaginario puro. 3. Dado que z = x+ yi . Demuestre que:

es imaginario puro

4. Pruebe que:

es imaginario puro.

5. Sean

números complejos que verifican

, para

cada j = 1,2,Q.,n. Sea

y tal que :

.Demuestre que :

. 6. Pruebe la siguiente desigualdad:

Ayuda: Para la primera desigualdad, use el siguiente resultado: y sume en ambos miembros

246

.

Para la segunda, use el siguiente resultado: ambos miembros

y sume en

.

7. En cada uno de los siguientes literales, determine los complejos z que verifican la igualdad. a) (1+ i) + z = - i. -> z = -1-zi b) z = i (1+ i). -> z = -1+ i c) z = - i (1+i). d) iz = (1+i)(1-i). 8. Determine los complejos z = x + yi que verifican las siguientes relaciones : a) b) c) d) f)

9. Exprese los siguientes complejos en la forma a +bi:

a)

b)

c) 10. Determine los números reales a y b, sabiendo que: (-1+i)a + (1+2i)b = 1.

247

11. Sean

dos complejos no nulos, demuestre que :

12. Demuestre que si

son dos números complejos , entonces :

13. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones en C : (1 + i )x - iy = 2 +i

(1)

(2 + i )x + (2 - i )y = 2i (2)

7.9 POLINOMIOS Y ECUACIONES POLINÓMICAS 7.9.1DEFINICIONES. Una expresión de la forma: negativo ;

, siendo n un entero no

son números reales o complejos se llama : Polinomio

de coeficientes en ( o en C ) y con indeterminada x. A los polinomios suele denotárseles por: p(x) , q(x) , r(x), etc. Así ,se hablará del polinomio:

.

: se llama término independiente del polinomio p(x). : es el coeficiente principal. En particular, cuando

= 1 , el polinomio se

llama mónico. Si

=0, se dice que p(x) es un polinomio de grado n.

Al polinomio: Si

se le llama polinomio nulo

= K , al polinomio

se le llama polinomio

constante.

248

A un polinomio, cuyo grado es un entero positivo, se le llama polinomio no constante. Observaciones. i) Al polinomio nulo O(x) = 0 no se le asigna grado. Algunos autores, sin embargo, le asignan grado -1. En otros casos, se le asigna grado infinito. ii) Al polinomio constante p(x) =

, se le asigna grado cero

iii) Un polinomio con a lo sumo un término no nulo, se denomina: monomio. Así, por ejemplo, las expresiones:

y

son polinomios

con coeficientes reales, el primero de grado 3 y el segundo de grado 2;

mientras que

,y,

no son polinomios.

Se denotará por K[x] al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada x y cuyos coeficientes pertenecen al campo K. En lo sucesivo, a menos que se especifique lo contrario, el término polinomio se usará para hacer referencia a los polinomios con coeficientes reales o complejos.

7.9.1.1 IGUALDAD DE POLINOMIOS. Definición. Sean

y

polinomios, entonces :

249

dos

p(x) = q(x)

para cada

i = 0,1,2,3,Q.,n.

Note que de acuerdo con la definición , los polinomios y

son iguales.

7.9.2 OPERACIONES CON POLINOMIOS Sean

y

dos

polinomios, entonces, se definen las siguientes operaciones : i) SUMA : , donde r= máx(m,n) ii) DIFERENCIA : , donde r= máx(m,n) iii) PRODUCTO: Si p(x)

0(x) y q(x)

0(x) , entonces ,

Donde

para j = 0,1,2,Q,m + n.

Si p(x) = 0(x) ó q(x) = 0(x) , entonces, p(x).p(x) = 0(x). Observaciones i) Si p(x) + q(x)

0(x), entonces : grado(p(x) + q(x))

ii) Si p(x) × q(x)

0(x) , entonces :

grado(p(x) × q(x))

grado(p(x)) + grado(q(x)).

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN. 250

máx(m,n).

El siguiente teorema, conocido como el algoritmo de la división, y que se enuncia sin demostración, es de gran importancia en el álgebra, puesto que permite, por ejemplo, calcular el M.C.D. de dos polinomios por el método de divisiones sucesivas. Teorema. Sean p(x), q(x) dos polinomios con q(x)

0(x); entonces, existen polinomios

únicos: c(x) y r(x) tales que : p(x) = c(x) . q(x) + r(x), donde r(x) es el polinomio nulo o grado (r(x)) < grado (q(x)). El teorema anterior justifica el algoritmo comúnmente empleado para dividir dos polinomios. A los polinomios c(x) y r(x), se les llama respectivamente cociente y residuo de dividir p(x) (dividendo) entre q(x) (divisor). Así, por ejemplo, para obtener el cociente c(x) y el residuo r(x) de dividir el polinomio

entre

desarrollar la siguiente forma práctica:

251

,

se

puede

Como: grado[

] = 1 < grado(

) = 2 , entonces, la división

culmina en ese punto y ,por tanto, el cociente de la división es : c(x) =

y el residuo es : r(x) =

.

Caso particular: Si el dividendo p(x) es de grado n y el divisor q(x) es de grado 1, es decir,

, entonces, de acuerdo con el algoritmo de la

división, el cociente c(x) es de grado (n-1) y el residuo r(x) es el polinomio nulo ó bien es de grado cero; es decir, r(x) puede identificarse como una constante r, y, así, se tiene: p(x) = c(x)( Cuando

)+r. , es posible obtener el cociente c(x) y el residuo r(x)

mediante el procedimiento conocido como división sintética ó regla de Ruffini, el cual se explica a continuación: Si

,y

a=-

, entonces, los coeficientes

, siendo del cociente c(x) y r de

residuo, que se obtienen utilizando el procedimiento del ejemplo anterior, son:

•

::

•

::

252

Estos resultados pueden obtenerse con la siguiente disposición práctica:

MÚLTIPLOS Y DIVISORES se consideró la siguiente situación: dados dos polinomios p(x) y q(x), su producto h (x) = p (x) . q(x) es nuevamente un polinomio. Ahora, se considerará la

situación

inversa: dado

el polinomio h(x), se desea

determinar si existen los factores p(x) y q(x) que lo componen. Este proceso conocido como la factorización de polinomios no se presentará en detalle, solo superficialmente para el estudio de la ecuación polinómica. Antes de considerar e ilustrar algunos casos de factorización de polinomios, se darán algunas definiciones preliminares.

Definiciones. i) Sean f(x) y g(x) dos polinomios con g(x) ¹ 0(x) . Si existe un polinomio h(x) tal que f(x) = g(x) . h(x) , se dice que g(x) es un divisor o un factor de f(x) ó que f(x) es un múltiplo de g(x). ii) Un polinomio f(x) se llama reducible , factorizable o compuesto si existen polinomios no constantes y no nulos g(x) y h(x) tales que f(x) = g(x).h(x).

253

iii) Un polinomio f(x) es irreducible o primo si f(x) es de grado positivo y no reducible. iv)Dos polinomios no nulos son relativamente primos si los únicos divisores comunes, que ellos poseen, son constantes. Observaciones. i) Todos los polinomios de grado 1 son irreducibles, pues ningún polinomio de la

forma :

, con

, puede descomponerse en el

producto de dos polinomios de grado mayor que cero. ii) La irreducibilidad de un polinomio depende del conjunto al cual pertenecen sus coeficientes. Así ,por ejemplo,

es irreducible en Q[x],

mientras que en  [x] puede factorizarse así:

.

iii) La factorización de un polinomio significa que deben determinarse los factores relativamente primos que lo componen. El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, y conocido como el teorema fundamental de la descomposición factorial o teorema de la factorización única; establece que todo polinomio no constante puede factorizarse.

Teorema (factorización única). Sea p(x) un polinomio de grado mayor o igual a 2; entonces, existen polinomios

únicos

irreducibles:

tales

que:

Es decir, la factorización de un polinomio no

254

constante, como un producto de polinomios irreducible, es única, excepto por el orden de los factores. De acuerdo con el algoritmo de la división, si el polinomio f(x) es el dividendo y (x-a) es el divisor, entonces, existen polinomios c(x) y r(x) tales que: f(x)=(x-a).c(x)+r(x), donde r(x)=0(x) (polinomio nulo) ó grado r(x)< grado (x-a) = 1. De esta forma, si r(x)

0(x), se sigue, entonces, que grado de r(x) = 0, en cuyo

caso, r(x) es un polinomio constante, es decir, r(x) = k, con k ÎÂ ; en consecuencia, (1) Del análisis hecho anteriormente, es inmediato el siguiente resultado, que permite, juntamente con su corolario, determinar con facilidad los factores lineales de un polinomio f(x).

TEOREMA (DEL FACTOR). Sea f(x) un polinomio y a un número real o complejo. Si f(x) se hace cero, cuando se sustituye x por a en el polinomio, entonces, (x -a) es un factor de f(x). Demostración. Sustituyendo x por a ,en ambos miembros de (1), se tiene : (2) y como por hipótesis, f(a) = 0 (3) , Se concluye, entonces, de (2) y (3) que k = 0 y de esta forma , lo cual indica que (x-a) es un factor de f(x). Corolario (teorema del residuo). Sea f(x) un polinomio; entonces, el residuo de dividir f(x) entre (x-a) es f(a). 255

Así, por ejemplo, (x+2) es un factor de

.

En efecto,

.

Como

, entonces, de acuerdo al teorema del factor , x-(-2) = x + 2 es

factor de.

.

Para determinar una primera descomposión en factores de f(x) se usa la división sintética, así: 1

0

-6

0

0

-2

+4

+4

-8

+ 16

-16 | -2

____________________________________ 1

-2

-2

4

-8

0

De esta forma, r(x) = 0. En consecuencia, . 7.10 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA INTRODUCCIÓN HISTÓRICA Desde hace por lo menos 3.500 años, se resuelven problemas que dan lugar a ecuaciones. En los escritos de los antiguos babilonios y egipcios, se han descifrado tales problemas y la forma de resolverlos. Algunas de las antiguas tablillas contienen problemas de tipo algebraico y geométrico, pero las soluciones no utilizan nociones de la geometría. Un antiguo pergamino de los babilonios contiene la solución de la ecuación: x2-x = 870 "Tómese la mitad de 1, que es el coeficiente de x , y cuádrese. Entonces, súmese 1/4 a 870, para obtener 3.481/4. Ahora, tómese la raíz cuadrada 256

de 3.481/4 para obtener 59/2. Al número obtenido, súmese la mitad de 1 que es el coeficiente de x. El resultado obtenido, 30, es una solución de la ecuación".

Si se utilizan símbolos en lugar de palabras, se dan los siguientes pasos:

Del

ejemplo

mencionado

anteriormente, se

deduce

que el método

empleado para la solución era el de completación de cuadrados, el cual se sigue empleando y enseñando actualmente en la escuela secundaria. A continuación, se describen los resultados

teóricos más

importantes

relacionados con las ecuaciones de segundo grado.

Definiciones. i) La ecuación:

, donde a, b y c son números reales y a

¹ 0,

se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado en la variable x . ii) Si

b y c son distintos de

cero, la ecuación se llama completa o

afectada; incompleta, en caso contrario.

257

Así, las ecuaciones: mientras

que

las

y

son cuadráticas completas,

ecuaciones:

y

son

cuadráticas

, la cantidad:

es

incompletas. iii) En la ecuación cuadrática:

llamada discriminante de la ecuación y su signo determina la naturaleza de las raíces, como lo afirma el siguiente teorema.

Teorema. Considere la ecuación cuadrática:

;a

0.

Si

, entonces, las raíces son reales y diferentes.

Si

, entonces, las raíces son reales e iguales.

Si

,

entonces,

las

raíces

son

complejas

conjugadas.

7.10.1SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS. Para resolver la ecuación cuadrática,

puede usarse cualquiera

de los siguientes métodos: Método 1. Solución por factorización. Como toda ecuación cuadrática es equivalente a una ecuación en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, se procede así: Si ,

, entonces, la ecuación

equivalente a:

(1).

258

es

La ecuación (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los números reales:

.

Método 2. Solución por completación de cuadrados. Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática. Se supone que la ecuación:

,con a

0 ,es equivalente a la

ecuación cuadrática: (1).

Sumando

en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene:

ó Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual tiene sentido solo si

), se obtiene:

,de donde

(2).

La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuación cuadrática (1), que es equivalente a la ecuación :

.

Método 3 solución por la formula general Usando el método de completación de cuadrados, demuestre que la solución de la ecuación cuadrática :

, con a

(1). Solución: 259

0 viene dada por :

La ecuación:

Sumando

, con a

0 ,es equivalente a la ecuación :

,en ambos miembros de la igualdad anterior, se obtiene:

O equivalentemente,

Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (si b2-4ac >= 0), se obtiene:

De donde :

(2)

La fórmula (2) se conoce como: fórmula general para resolver la ecuación cuadrática:

; con a

0.

FACTORIZACION DE SUMAS Y DIFERENCIAS DE CUBOS Use el teorema del factor para demostrar que:

260

a) Si n€N ,entonces, (x - y ) es factor de

.

b) Si n es natural par, entonces, (x + y ) es factor de

.

c) Si n es natural impar, entonces, (x + y ) es factor de Solución: Considere el polinomio

.

a) Como

, se sigue, entonces, por el teorema del factor que

(x - y ) es factor de

.

b) Si n es natural par, entonces,

con k€ N . Así que

Como

, se sigue, entonces,

por el teorema del factor que (x -(- y) ) = (x + y ) es factor de c) Considere el polinomio Entonces,

. con n impar.

. Como n esimpar,

y, por lo tanto,

. En consecuencia, (x -(- y) ) = (x + y ) es factor de . Del ejemplo anterior y usando la regla de Ruffini, se pueden deducir las siguientes fórmulas que permiten factorizar la suma y la diferencia de potencias n-simas. a.- si n €N,

(1)

b.-si n natural par,

(2)

c.-si n natural impar,

(3)

261

CASOS PARTICULARES: SUMAS Y DIFERENCIAS DE CUBOS Cuando n = 2, se obtiene de la formula (2): x2-y2=(x-y)(x+y) (4) La Fórmula (4) se usa para factorizar cualquier diferencia de cuadrados. Cuando n = 3, las fórmulas (1) y (3) sea transforman, respectivamente en: x3-y3= (x-y)(x2+xy+y2) (5) x3 + y3= (x+y)(x2-xy+y2) (6) Las fórmulas (5) y (6) se usan respectivamente para factorizar, una diferencia o una suma de cubos 7.10.2 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE POLINOMIOS 1. Considere los siguientes polinomios: ;

;

;

;

Determine el polinomio que representan : a) p(x) + q(x). b) p(x) - h(x). c) r(x)× h(x). Solución a) , entonces,

262

;

. b) , entonces,

. c)

, 2. Usando el método de Ruffini (división sintética), encuentre el cociente c(x) y el residuo r(x) después de dividir

entre

;

donde i es la unidad imaginaria. Solución Efectuando la disposición práctica indicada en el método para p(x) y q(x) y efectuando las operaciones, se obtiene : 2

0 2(-2i)

4 (-4i)(-2i)

0 (-4)(-2i)

-16

-2i

8i(-2i)

__________________________________________ 2

-4i

Así que :

-4

8i

0 y r(x) = 0.

De acuerdo al Algoritmo de la División, se puede escribir :

263

+ 0 , es decir , un factor o divisor de 3.Demuestre que

es

. es irreducible en

, pero es reducible

en Solución Supongamos lo contrario, es decir, De ser así,

es reducible en

.

puede escribirse en la forma :

equivalentemente,

ó

. De acuerdo a la definición de

igualdad de polinomios se tiene: (1). (2). (3). De (2) se tiene que bc = -ad (4). Pero, (ac)(bd) = 1. Por lo tanto,

<->

, en contradicción con

el hecho de que el cuadrado de cualquier real es positivo. En consecuencia, la hipótesis inicial es falsa, es decir, De que

otro

es irreducible en

lado,

,

es reducible (factorizable) en

lo

. que

indica

.

4. Pruebe que todo polinomio factorizable o reducible tiene al menos grado 2. 264

Solución Suponga que f(x) es un polinomio factorizable , es decir,

,

donde h(x) y g(x) son polinomios no constantes. Entonces, grado f(x) = grado h(x) + grado g(x) ; pero como h(x) y g(x) son no constantes , grado h(x) >=1 y grado g(x) >=1. En consecuencia, grado f(x) >= 1 + 1 ; esto es , grado f(x)>= 2 . De una manera más general , puede probarse que cualquier polinomio cuadrático de la forma : en

, pero si en

, con

, si

no es factorizable

.

5. Si el residuo de dividir el polinomio

entre

es

6, determine, entonces, el residuo de dividir f(x) entre (x - 3). Solución De acuerdo con el teorema del residuo, si al dividir f(x) entre (x + 3), el residuo es 6, entonces, f(-3) = 6. Es decir,

. Esto

es (1) Pero, (2) De (1) y (2) se concluye que f( 3 ) = - 22 y esto quiere decir que el residuo de dividir f(x) entre

(x - 3) es - 22.

7.10.3 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ECUACIONES CUADRÁTICAS. FACTORIZACIÓN DE SUMAS Y DIFERENCIA DE CUBOS 265

1.Resolver la Siguiente Ecuación Cuadrática

Solución La ecuación puede escribirse en las formas equivalentes:

(Porqué?)

2.Resuelva la Siguiente ecuación reducible a cuadrática.

(1) Solución Note que al hacer

(2), la ecuación (1) se Transforma en:

(ecuación cuadrática en la variable u) cuya solución es: u = 5 y u = -4. Al sustituir u = 5 en (2) :

, con lo cual

Igualmente, al sustituir u = -4 en (2) se obtiene:

, y de aquí

En consecuencia, las soluciones de la ecuación (1) son

266

.

3.Considere la ecuación cuadrática :

. Determine los

valores que puede tomar la constante k, para que las raíces de la ecuación dada sean complejas. Solución La ecuación puede escribirse en la forma :

, que es la

forma de la ecuación cuadrática con a = 3 y b = c = 2- k. Para que las raíces de la ecuación sean complejas, el discriminante : debe ser negativo. Esto es,

Para resolver la desigualdad se cada uno de los factores diferente de cero. Signo de ( 2-k) Signo de (-10-k) De acuerdo a la desigualdad, son de interés aquellos valores para los cuales el producto es negativo, es decir, los valores de k que pertenecen al intervalo abierto (-10 ; 2).

4. Resuelva este problema : Hay que repartir $60.000 entre cierto número de amigos, presentes en una reunión, de manera exacta entre ellos. Alguien nota que si hubieran dos amigos menos, a cada uno le tocaría $2.500 más. ¿Cuántos son los amigos presentes y cuánto le toca a cada uno?

SOLUCIÓN 267

Sea x: número de amigos presentes.

: dinero que le corresponde a cada uno.

: dinero que le tocaría a cada uno, si hubieran dos amigos menos. De acuerdo a las condiciones del problema, se tiene :

. Después de quitar denominadores y simplificar, se obtiene la ecuación cuadrática: , cuyas soluciones son: x = 8 y x = -6. En el caso considerado, x = 8 es el número de amigos presentes y $7500 lo que le toca a cada uno. 5. Realice la descomposición en factores del polinomio: en: a) Q[x]

b) Â[x]

c) C[x]

.. Solución (agrupación) (factor común ) (factor común ) a) En Q[x] la factorización de p(x) es :

.

Ahora,

268

El polinomio cuadrático

no es factorizable en  [x],

puesto que el discriminante b) En  [x] la factorización de p(x) es, por lo tanto, la siguiente: . c) Para completar la factorización de p(x) en C[x] , sólo nos falta factorizar el polinomio cuadrático

En

.

efecto,

(completación

de

cuadrados).

Luego, en C[x] , la factorización de p(x) viene dada por :

7.10.4 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE POLINOMIOS 1. Sean de dividir:

el cociente y el residuo, respectivamente, que se obtienen entre

Si

269

son el cociente y el

residuo, respectivamente, que se obtienen de dividir Determine

entre

.

2. Si p(x) es un polinomio tal que: 3. Sean

y

.Calcule .Demuestre que p(x) q(a) - p(a) q(x) es

múltiplo de (x - a). 4. Realice la descomposición en factores del polinomio: en: 5. Dados los polinomios:

;

Determine el valor de m para que p(x) sea divisible por q(x). 6. Verifique que

no tiene raíces racionales.

7. Determine la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación:

8. Dado el polinomio

en

, determine el polinomio cuyas

raíces exceden en tres unidades a las raíces del polinomio p(x).

7.10.5 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE ECUACIONES CUADRATICÁS 1. Encuentre una ecuación cuadrática cuyas raíces sean los recíprocos de las

raíces de la ecuación 2.

Para

qué

valores

(Indicación: de

la

constante

k,

). son

las

raíces

ecuación: a) Reales e iguales. 3. Sea

b) Reales y diferentes.

c) Complejas.

; m ¹ 0. Determine m para que: 270

de

la

a)Las raíces sean opuestas

b) Las raíces sean recíprocas

c) Las raíces sean reales e iguales. d) Las raíces sean reales y diferentes. e) Las raíces sean complejas. 4. Factorice completamente las siguientes expresiones: a) x6-y6

b) (2+b)3+(2-b)3

c) (x2+x-1)2-(x2+1)2

d) a6n-b12

5. Si p es un número primo y ambas raíces de la ecuación: son enteros, determine, entonces, el valor de p. 6. Resuelva las siguientes ecuaciones reducibles a cuadráticas: a).

b). c). d). 7. Un número está compuesto de dos cifras; si se le agrega 9, se encuentra el mismo número invertido, y si se divide el número por el producto de las dos cifras, se obtiene 6 como cociente. Halle el número. 8. La edad de un niño será dentro de 3 años un cuadrado perfecto y hace 3 años que su edad era precisamente la raíz de este mismo cuadrado. ¿Qué edad tiene el niño? 9. Una suma de $40.000 debe repartirse en partes iguales, entre cierto número de personas. Pero, en el momento de la repartición, faltan 5 de ellas, lo que permite repartir $400 más entre las restantes. ¿Cuántas personas había al principio?

271

CAPITULO 8 LA LINEA RECTA 8.1 INTRODUCCIÓN El propósito en este capítulo, es presentar las diferentes formas de la línea recta. Antes de hacerlo, se presentan algunos conceptos preliminares como son el de distancia entre dos puntos del plano, coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada, así como también los conceptos de pendiente e inclinación de una recta en el plano cartesiano. Se asume conocidos por parte del lector, los conceptos de plano cartesiano y la localización de puntos en el mismo. TEOREMA (Distancia Entre Dos Puntos Del Plano) Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =

esta dada por:

(1)

Demostración En la figura hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta

272

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar la relación pitagórica:

Pero:

;

y

Luego,

Observaciones: i.

En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre

un valor no negativo ii.

Nótese además que el orden en el cual se restan las coordenadas de los

puntos P1 y P2 no afecta el valor de la distancia. iii.

Si el segmento rectilíneo determinado por los puntos P1 y P2 es paralelo al

eje x

(fig.4.2.) entonces

puesto que y1 = y2

273

Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y entonces puesto que x2 = x1 Coordenadas del Punto que Divide a un Segmento en una Razón Dada. Coordenadas Del Punto Medio. Consideremos el segmento

cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1)

y P2(x2, y2)

Sea M (x, y) un punto sobre el segmento

y llamemos

(1)

Se trata entonces de encontrar las coordenadas x e y del punto M en términos de

y de las coordenadas de los puntos P1 y P2.

Al proyectar los puntos P1, P2 y M sobre los ejes coordenados, resultan los triángulos rectángulos semejantes P2MH y P1MQ. Entonces podemos escribir

(2)

Ahora, de (1)

(Observese que cuando M se mueve de P1 a P2,

varía de manera continua tomando valores entre 0 y 1) 274

En consecuencia,

que al sustituir en (2)

resulta:

De donde,

(3) y

(4)

Al simplificar las ecuaciones (3) y (4) se obtienen finalmente: (5) (6) Las ecuaciones (5) Y (6) resuelven el problema. Observaciones: i.

Nótese que para cada valor de

las ecuaciones (5) y (6) nos

dan un punto sobre el segmento P1P2. ii.

En muchas ocasiones, el segmento P1P2 se expresa en notación de

conjunto en la siguiente forma:

iii.

Nótese finalmente, que cuando M coincide con el punto medio de

,

entonces

y en consecuencia,

e

Es decir,

e

que representan las coordenadas del punto medio del segmento 275

.

8.2 PENDIENTE E INCLINACIÓN DE UNA RECTA i.

El ángulo

que forma una recta L con el eje x medido en el

sentido positivo del eje a la derecha L, se llama: ANGULO DE INCLINACIÓN de la recta L ii. Si L es una recta no vertical, la PENDIENTE de la recta L, denotada por m, se define como el valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir,

(1).

Siendo El número m se conoce también con el nombre de COEFICIENTE ANGULAR de la recta L Observaciones: i.

Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es 90º y por lo tanto su

pendiente m = tan =90º no está definida.

(a)

(b)

276

ii. Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L entonces de acuerdo a la definición de pendiente se tiene:

(2) Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo haremos uso indistinto de ellas. Nótese que el coeficiente angular m es igual al incremento de ordenadas dividido por el incremento de abscisas. iii. El nombre de pendiente de una recta esta justificado. Cuando se dice que un camino tiene la pendiente 5% , significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5 unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es

5/100.

iv. La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de inclinación de la recta, así: Si = 0o entonces m= 0 ((a) Si 0o < < 90o entonces m > 0. (b) Si 90º < < 180o entonces m < 0 (c)

v. El valor de la pendiente de una recta no depende de la elección particular de los puntos P1 y P2 escogidos sobre ellas.

277

Dados 3 puntos P1, P2 y P3 del plano, se dice que son COLINEALES si y solo si, la pendiente determinada por P1 y P2 es igual a la determinada por P2 y P3. 8.3 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x .

Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3. Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l,

ó y = mx (1)

La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.

278

Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b

Trácese por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas P’’(x, Y),

Y

y.

Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces

, de donde Y = mx

Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo. Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que: Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b. Es decir, para todo (x, y)

l, y = mx + b = (tan

)x + b

La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.

279

Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida.

Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por: y = mx + b Como P1(x1, y1)

(1)

l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:

y1 = mx1 + b

(2)

Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene: y – y1 = m(x – x1) (3) La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta. Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma: y = mx + (y1 – mx1). Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por: b = y1 – mx1

280

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2) Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente.

Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a: y – y1 = m1 (x – x1)

(1)

representa la ecuación de dicha recta. Ahora, como el punto P2(x2, y2)

Esto es y2 – y1 =

l, entonces satisface su ecuación.

; de donde

(2)

Sustituyendo (2) en (1) se obtiene

(3) La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.

281

Observaciones i.

Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la

ecuación (3) también puede escribirse en la forma:

Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:

ii. Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así:

=0 8.4 ECUACIÓN SEGMENTARIA DE LA LINEA RECTA Considere la recta l de la cual conocemos los interceptos a y b con los ejes x e y respectivamente.

Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por:

282

Es decir,

de donde,

Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:

(1) La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la línea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1) y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x) x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y) 8.5 ECUACIÓN GENERAL DE LA LINEA RECTA La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y. La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente teorema:

283

TEOREMA La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C

R; A y B

no son simultáneamente nulos, representan una línea recta.

Demostración i. Se puede Considerar varios casos: A = 0, B diferente de 0. En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde

(2)

La ecuación (2) representa una línea recta paralela al eje x y cuyo intercepto

con el eje y es ii.

En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de

donde

284

(3)

La ecuación (3) representa una

línea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es

iii.

En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente

forma:

(4)

La ecuación (4) representa una línea recta, cuya pendiente es

intercepto con el eje y viene dado por

285

y cuyo

Observaciones i. Es posible escribir la ecuación general de la línea recta en varias formas, de tal manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes:

(1A)

(1B)

(1C) En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo

dos constantes independientes, por ejemplo

en (1A)

Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores. iii.

Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x,

m viene dado por

viene dado por

y su coeficiente angular n, con respecto al eje y

.

Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.

286

8.6

ANGULO

ENTRE

DOS

RECTAS.

PERPENDICULARIDAD

Y

PARALELISMO ENTRE RECTAS Sean dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación se forma al cortarse las dos rectas para formar cuatro ángulos iguales de dos en dos, tal como se indica en la figura.

Se define el ANGULO entrel

1

yl

2

como el ángulo positivo obtenido al

rotar la recta l hacia l . 2 1 En este caso, el ángulo entre l

β

1

1

y l viene dado por: 2

= θ - θ (1) 1 2

El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas. De la igualdad se tiene: De la igualdad (1) se tiene: tanβ = tan (θ - θ ) 1 1 2

287

,

(2)

También,

cot β = cot (θ - θ ) 1 1 2

,

(3)

Puesto que m =tan θ y m =tan θ , entonces las igualdades (2) y (3) 1 1 2 2 podemos escribirlas en la forma:

Entonces podemos escribirlas en la forma:

tanβ

,

1

y cot β

1

(2)’

,

(3)’

Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo, entre las rectas , en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema. TEOREMA (Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo) Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces: i) l1 es paralela a l2 (l1 || l2)

m1 = m2

288

ii) l1 es perpendicular a l2 (l1

m1 . m2 = -1

l2)

Demostración En la figura aparece ilustrada cada una de las situaciones

i. Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2.

ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces

β y cot 1 = cot

Sustituyendo

este último valor en (3)’ obtenemos: 0

, de donde m1. m2 + 1 = 0,

y de aquí se deduce que m1. m2 = -1.

Recíprocamente, si m1. m2 = -1, entonces

m1=tan1

,

se

i.

tiene

que

y como m2=tan2 y

,

Si las rectas l1 y l2 están dadas por las ecuaciones en forma general

ii.

Observaciones

Ax + By + C = 0

y A1x + B1y + C1 = 0 puesto que

289

y

, entonces las condición de paralelismo y

perpendicularidad del teorema pueden enunciar la forma:

l1 || l2 l1

l2

Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condición necesaria y suficiente para que dos rectas l1 y l2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus coeficientes. Es decir, las rectas de ecuaciones Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes

8.7 COORDENADAS DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS En la observación ii. al teorema sobre paralelismo y perpendicularidad entre rectas, se hizo notar que si dos rectas l1 y l2 cuyas ecuaciones vienen dadas por Ax + By + C = 0, A1x + B1y + C1 = 0 con A, A1, B, B1

entonces la proporción

0,

determinaba el paralelismo entre las

mismas. Más aún, la relación

establece la coincidencia entre

las rectas.

290

Cuando

entonces las rectas de ecuaciones Ax + By + C = 0 y A1x +

B1y + C1 = 0 se cortan o interceptan en un punto único P(x, y) del plano. Las coordenadas x e y del punto de intersección son la solución del sistema de

dos ecuaciones con dos incógnitas: Dicho sistema puede resolverse por cualquiera de los métodos vistos en los cursos de álgebra.

8.8

ECUACIONES

DE

LAS

BISECTRICES

DE

LOS

ÁNGULOS

DETERMINADOS POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN Considere dos rectas l y r no paralelas a ninguno de los ejes coordenados y sea P el punto de intersección entre ellas. Sean Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 las ecuaciones de l y r respectivamente.

Sean b y b’ las rectas que determinan las bisectrices de los ángulos que se forman en P.

291

En geometría plana se demuestra que b y b’ son perpendiculares y que además todo punto sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo. Sea entonces P(x, y) un punto cualquiera de las bisectrices b o b’. De acuerdo a lo anterior, d(P, l) = d(P, r). Esto es,

(1)

Equivalentemente,

(2) ó

(3) (Recuérdese que

x = y o x = -y)

Las igualdades (2) y (3) proporcionan entonces las ecuaciones de las bisectrices b y b’ de los ángulos que forman las rectas l y r. Se puede demostrar fácilmente y lo dejamos como ejercicio para el lector, que dichas rectas son perpendiculares usando el concepto de pendiente. 8.9 LA PARALELA MEDIA Y LA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Considere nuevamente dos rectas l y r paralelas y de ecuaciones: l: y = mx + b1 ó l: mx – y + b1 = 0 r: y = mx + b2 ó r: mx – y + b2 = 0

292

Supóngase además que 0 < b1 < b2. Sean B1 y B2 los puntos donde las rectas l y r cortan respectivamente el eje y

Por el punto medio B del segmento

, trazamos la paralela a l. Dicha recta

se conoce en geometría como la paralela media de l y r. Es evidente que su

intercepto con el eje y es

y como es paralela a l y r su pendiente es

m. Luego,

(3) es la ecuación de la paralela media de l y r.

Se puede determinar ahora la distancia entre l y r. Al llamar

y

De acuerdo a la fórmula de la distancia de un punto a una recta, se tiene que:

Igualmente,

. Pero

que representa la distancia entre las rectas paralelas es tal que:

293

es

la

distancia

entre las rectas paralelas l y r 8.10. FAMILIA DE RECTAS Considere la línea recta de ecuación y = mx + b (1) Una vez fijados los valores de m y b en (1), queda determinada una recta de pendiente m e intercepto b con el eje y. m, la ecuación (1) contiene únicamente un parámetro b y representa una familia de rectas paralelas de pendiente m.

Ahora, si fijamos b (intercepto con el eje y), la ecuación y = mx + b representa una familia de rectas que pasan por el punto B(0, b) Asi, por ejemplo, la ecuación de la familia de rectas de pendiente 2 es: y = 2x + b,

b €R .

El parámetro b es el intercepto de cada una de las rectas de la familia con el eje y. Igualmente la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto B(0, 2) es y = mx + 2, m€R. Ahora, el parámetro m es la pendiente de cada una de las rectas de la familia.

294

Observación: En algunos problemas se puede utilizar la ecuación de una familia de rectas para obtener la ecuación de una recta de la familia que satisface una cierta propiedad adicional. Asi por ejemplo, si se desea encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, -3) y es paralela a las rectas de la familia 3x + y – k = 0 se procede así: 1. Se obtiene la ecuación de la familia de rectas de la que hace parte la línea que se pide. Como la familia es paralela a la recta y = -3x + k, la pendiente de las rectas de la familia

es –3.

Luego, y = -3x + b, b €R es la ecuación de las rectas de la familia. 2. La recta buscada de la familia es la recta que pasa por el punto P(1, -3). Luego, su intercepto b con el eje y es: -3 = -3(1) + b, de donde b = 0. Asi que la recta pedida es y = -3x.

Familia de rectas que pasan por el punto de intersección de dos rectas dadas no paralelas. Sean l y r dos rectas dadas no paralelas y de ecuaciones A1x + B1y + C1 = 0 y A2x + B2y + C2 = 0 respectivamente. Entonces, para todo k €R , la expresión: A1x + B1y + C1 + k(A2x + B2y + C2) = 0 (1) representa una recta (diferente de r) que pasa por el punto de intersección P(xo, yo) de las rectas l y r.

295

Nótese que cuando k = 0, obtenemos la ecuación de la recta l.

Para demostrar la afirmación que indica la igualdad (1), se toma un número real k fijo y se escribe (1) en la forma: (A1 + kA2)x + (B1 + kB2)y + (C1 + kC2) = 0 (2) que es la forma general de la ecuación de una recta. Nótese que ambos coeficientes (A1 + kA2) y (B1 + kB2) no pueden ser cero, porque de ser así, se tendría:

, lo cual es contradictorio puesto que las rectas l y r no son paralelas.

8.11 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Ejemplo 1 Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5) SOLUCIÓN x2 – x1 = 3 – 2 = 1 ; y2 – y1 = 5 – (-3) = 13 Luego,

296

Ejemplo 2

ean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine: Coordenadas del punto medio M del segmento

Coordenadas del punto P sobre el segmento

tal que

SOLUCIÓN En la figura adjunta se ilustra el segmento

y los puntos pedidos en a) y

Si el punto medio M tiene coordenadas. M (x m, y m) entonces:

Luego, las coordenadas del punto M son. M (1, 1/2)

297

Como

entonces

Si P(x, y) denota las coordenadas del punto P, se tiene de acuerdo a las fórmulas

Luego, las coordenadas del punto P, son: P

Ejemplo 3 Escribir la ecuación de las rectas l, m, n, y r indicadas en la figura.

SOLUCIÓN

Para la recta l, se tiene y = (tan 30º) .

298

Para la recta n, se tiene y = (tan 45º) .

Es decir y = x

Igualmente, para la recta m, se tiene: y = (tan 135º) x = (-tan 45º). x = -1.x Esto es, y = -x

Ahora, como el punto P(1, 3) g r, se tiene que Luego, y = 3x es la ecuación de la recta r.

Ejemplo 4 Escribir la ecuación de las rectas l, m, n y r indicadas en la figura

SOLUCIÓN Para la recta l, el intercepto con el eje y es b = 1. Además, . Luego, la ecuación de la recta l es: y = x + 1. Para la recta m, b = 1 y Por lo tanto, y = -x + 1 es la ecuación de la recta m. 299

También para la recta n, b = -2 y la ecuación de la recta n, tiene la forma, y = mx – 2. Como el punto (2, 0)

n, entonces satisface su ecuación, es decir,

0 = 2m – 2 , de donde m = 1. Por tanto, y = x – 2 es la ecuación de la recta n. Para la recta r, se procede como se hizo para l, obteniendo como ecuación: y = 2x + 2.

Ejemplo 5 Determine las ecuaciones de las rectas l y r que se muestran en la figura adjunta. SOLUCIÓN Para

la

recta

l,

se

tiene:

y

Pero ml = tan 135º = - tan 45º = -1 Luego, y – 3 = - (x + 1) ó

x + y – 2 = 0 es la ecuación de la recta l. 300

–

3

=

ml

(x

+

1).

Para la recta r se tiene: y – 3 = mr (x + 1).

Pero,

mr =

Luego, y – 3 = 3(x + 1) ó 3x – y + 6 = 0 representa la ecuación de la recta r.

Ejercicio 6 Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el eje y. SOLUCIÓN En la figura adjunta aparecen los puntos dados y la recta l que pasa por ellos.

Entonces, la ecuación de l viene dada por:

o equivalentemente, 3y – 9 = 2x – 2 o también, 2x – 3y + 7 = 0 (1) La ecuación (1) corresponde a la recta pedida.

301

Para hallar el intercepto b de la recta con el eje y, hacemos en (1) x = 0, obteniendo:

Ejercicio 7 Escribir las ecuaciones de las l, , l2 , l3 , y l4 que aparecen en la figura adjunta. SOLUCIÓN

Para l1 se tiene: a = 1, b = -1

Luego,

es la ecuación de l1, es decir,

x–y=1

Para l2 :

, de donde

Para l3 :

, es decir, x + y = 1

302

Finalmente, para l4

de donde x + y = -1

Ejercicio 8 Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (-1, -4) y P2 (5, 1) SOLUCIÓN Suponga que la recta pedida tiene por ecuación: Ax + By + C = 0 (1). Como P1 y P2 pertenecen a la recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (1). Esto es: A(-1) + B(-4) + C = 0 ó -A – 4B + C = 0 (2) A(5) + B(1) + C = 0 ó 5A + B + C = 0 (3) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (2) y (3) para A y B en términos

de C obtenemos:

y

Reemplazando los valores de A y B en (1) se obtiene:

ó Dividiendo ésta última igualdad por –C, obtenemos finalmente, 5x – 6y – 19 = 0 como la ecuación de la recta pedida. Ejercicio 9 Dada la recta l cuya ecuación en su forma general viene dada por: 3x + 4y – 5 = 0. Determinar: a)

La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es paralela a l.

303

b)

La ecuación de la recta que pasa por el punto P(1, 2) y es perpendicular a

l.

SOLUCIÓN Sean l1 y l2 las rectas paralela y perpendicular a l respectivamente y que pasan por el punto P(1, 2). Sean m1, m y m2 las pendientes de l1, l y l2 respectivamente.

Como l1 t l2 entonces m1 = m y puesto que m = -3/4 se sigue que m1 = -3/4. Ahora, usando la forma punto – pendiente (Sección 4.4.3.) de la ecuación de la recta, se tiene para l1:

y simplificándola se puede escribir en la forma general: 3x + 4y – 11 = 0 b) Como l2 u l1 , entonces m2 = -1/m y como m = -3/4, se sigue que m2 = 4/3. Usando nuevamente la forma punto – pendiente se tiene para l2:

y simplificando se puede escribir en la forma general:

304

4x – 3y + 2 = 0 3x + 4y – 11 = 0

Ejercicio 10 Probar analíticamente que la perpendicular trazada desde el ángulo recto a la hipotenusa, es media proporcional entre los segmentos que ésta determina sobre la hipotenusa. SOLUCIÓN Por conveniencia, se coloca el triángulo ABC como aparece en la fig. donde

es la hipotenusa.

Debemos probar que:

Si l1 denota la recta que pasa por los puntos A y B y l2 la recta que pasa por los puntos C y B y m1 , m2 sus pendientes, entonces:

y

.

305

Como l1 u l2, entonces m1 . m2= -1

Esto es,

, de donde,

Ahora

y

Así que

y

.

.

, luego

lo que se quería

demostrar. Ejemplo 11 Calcular la distancia del origen a la recta de interceptos a y b con los ejes cooordenados. SOLUCIÓN En la figura se ha trazado la recta de interceptos a y b. Sea

la

distancia del origen a la recta.

Una propiedad métrica de los triángulos rectángulos establece que el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura que cae sobre ella.

306

Aplicando esta propiedad al triángulo rectángulo AOB de la figura, se tiene:

Es decir,

de donde

Ejemplo 12 Reducir la forma general de la recta Ax + By + C = 0 (1), a la forma normal. SOLUCIÓN Caso 1. B Sin pérdida de generalidad se puede asumir que B > 0. Ya que si el coeficiente de y fuera negativo, bastaría con multiplicar toda la ecuación (1) por –1. La razón para asumir que B > 0, se debe al hecho de que el coeficiente de y en la forma normal es positivo. Se demostrará entonces que la ecuación (1) puede reducirse a la forma: x cos α + y sen α - p = 0 (2) Para ello, multiplíquese la ecuación (1) por una constante apropiada k de tal forma que la ecuación kAx + kBy +kC = 0 (3) coincida con la ecuación (2). Entonces kA = cos α , kB = sen α y kC= -p

Así que

k2A2 + k2B2 = 1, de donde

Se ha tomado solamente la raíz positiva puesto que B > 0 y 0o

180º.

Al sustituir el valor de k así obtenido en (3) completando la reducción de la

ecuación (1) a la forma normal:

, en la

307

cual

,

y

Caso 2. B = 0 En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de

donde

y esta última ecuación puede identificarse con la forma

normal x – p = 0 que corresponde a una recta paralela al eje y. Ejemplo 13 Deducir la fórmula de la distancia del punto P(x1, y1) a la recta de ecuación Ax + By + C = 0. SOLUCIÓN Considere en el plano, la recta l de ecuación Ax + By + C = 0 (1) y el punto P(x1, y1) del plano que no está en la recta .

La pendiente de la recta l viene dada por

. Si llamamos n a la

perpendicular trazada desde P(x1, y1) a la recta l, entonces la pendiente de n 308

es

y como P(x1, y1) está sobre n, se tiene entonces

que

(2) representa la ecuación de n.

De (2) se deduce que:

De donde:

y

Asi que

(3)

representan las ecuaciones paramétricas de la recta n. A cada valor de λ le corresponde un punto de n. Así, por ejemplo, cuando λ = 0, x (0) = x1, y (0) = y1 osea que estamos en el punto P(x1, y1) de n. Si HI (xI, yI) denota el punto de intersección de las rectas l y n, entonces existe un valor de , λ (λ H ) tal que

(4) puesto que HI €n, por lo tanto satisface (3). Igualmente, como HI €l, entonces HI satisface su ecuación. Esto es,

Ax1 + By1 + C1 = 0 y sustituyendo los valores de (4) podemos

escribir: 309

A (x1 + HA) + B (y1 + HB) + C = 0 ó Ax1 + By1 +  H (A2 + B2) + C = 0

De donde,

(5)

Al sustituir, (5) en (4), permitiría conocer las coordenadas xI, yI del punto de intersección en términos de las cantidades conocidas A, B, C, x1, y1. De otro lado, si

denota la distancia del punto P(x1, y1) al punto HI

(xI, yI), se tiene entonces aplicando la fórmula de distancia que:

y como de acuerdo a (5),

, se tiene finalmente que:

ó Ejemplo 16 Determine las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas 3x – 4y – 12 = 0 y 12x – 5y + 7 = 0. SOLUCIÓN 310

En la figura adjunta aparecen las rectas de ecuaciones dadas, así como también el punto P de intersección entre ellas.

Una de las bisectrices es:

ó Al simplificar la última igualdad se obtiene: 21x + 27y + 191 = 0

La otra bisectriz es :

, que luego de simplificar,

se obtiene: 9x – 7y – 11 = 0. Ambas rectas, pueden ahora trazarse a través de P, punto de intersección de las rectas dadas.

311

Ejemplo 17 Encuentre la distancia y la ecuación de la paralela media entre las rectas de ecuaciones: l: 3x + 2y = 6 y r: 3x + 2y = -12

SOLUCIÓN En

primer

lugar

se

trazan

las

rectas

en

el

plano

cartesiano.

Si b1 denota el intercepto de la recta l con el eje y, entonces b1 = 3. Si b2 denota el intercepto de la recta r con el eje y, entonces b2 = -6. Luego, la paralela media entre l y r tiene por ecuación:

; es decir,

Ahora, la distancia

entre las paralelas viene dada por:

312

Ejemplo 18 Encontrar la ecuación de la familia de rectas que equidistan 15 unidades del origen de coordenadas. SOLUCIÓN La ecuación de cualquier recta del plano, salvo las paralelas al eje y, pueden escribirse en la forma: y = mx + b o también mx – y + b = 0. Nótese que en esta última ecuación hay dos parámetros m y b. Para las rectas de la familia buscada, se debe cumplir la condición d (0, mx – y + b) = 15

Es decir, de donde, Esta es la relación que debe existir entre las parámetros m y b de la familia de rectas buscada. Por lo tanto, m€R es la ecuación de la familia de rectas, cuya distancia al origen es 15 unidades.

313

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de puntos: a. (3, -2) y (9, 6) b. (4, -3) y (-1, 9) c. (8, -4) y (-7, 4) d. (5, -8) y (-7, 8) 2. Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo isósceles. 3. Igual que el ejercicio 2 con los puntos A(8, 9), B(-6, 1) y C(0, -5). 4.Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P1(-7, 7), P2(2, 0), P3(10, 3) y P4(1,5) 5. Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo. 6. Demostrar que los puntos P1(0, 5), P2(6, -3) y P3(3, 6), son vértices de un triángulo rectángulo. Hallar su área. 7. Si la pendiente de la recta que une los puntos: a.A(X1, -1), y, B(2, 5) es 3, encontrar X1.

b. A(6, -1), y, B(10, Y1) es

, encontrar Y1.

8. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 5), B(-5, 1) y C(1, 7). a. Localizar los puntos medios de los lados. b. Localizar el punto de intersección de las medianas. c. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de cualquier par de lados es paralelo al tercer lado y es la mitad de su longitud.

314

9.Tres vértices de un paralelogramo son los puntos (1, -2), (7, 3) y (-2, 2). Encontrar el cuarto vértice. 10. Localizar el punto P el cual divide el segmento de recta que une los puntos

P1(-4, 2), P2(6, 7) en tal forma que

.

11. Localizar el punto P el cual divide el segmento de P1(-4, 3) a P2(8, 7) en la

razón

.

12. El segmento de recta que une los puntos A(-1, -2) y B(5, 1) se extiende hasta el punto C. Si

, encontrar las coordenadas del punto C.

13. El segmento de recta que une los puntos P1(4, 2) a P2(7, -1) se divide

externamente a la razón

. Localizar el punto de división.

14. Localizar los vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de los lados son los puntos (2, -1), (8, 4) y (-1, 3). 15. Demostrar que las medianas de un triángulo se cortan en un solo punto que

está a los

de sus respectivos vértices.

16. Sabiendo que las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(-4, 8), B(3, -6), hallar las coordenadas del tercer vértice sabiendo además que las coordenadas donde se cortan las medianas es G(2, 6). 17. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos: a.

0(0, 0), A(9, 2) y B(1, 4) es rectángulo.

b.

A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo.

18. Encontrar los ángulos del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-3, 0), B(7, 4) y C(3, 6) y demostrar que la suma de ellos es 180º. Si G es el punto de

315

intersección de las medianas, encontrar los ángulos AGB, BGC y CGA y demostrar que la suma de ellos es 360º. 19. Determine la pendiente del segmento bisector del ángulo que forma la recta que une los puntos (12, 8) y (6, 6) con la recta que pasa por los puntos (13, 11) y (10, 2). 20. Las rectas L1, L2 y L3 se cortan en el punto (-6, 4). Si L1 y L2 contienen los puntos (2, 2) y (0, 0) respectivamente, y L3 es bisector del ángulo de L2 a L1, encontrar la pendiente de L3 y su ecuación. 21. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto (1/3, 2/3) tenga pendiente infinita. 22. Un punto está situado a 8 unidades del origen y el coeficiente angular de la recta que lo une al origen es –1/4. ¿Cuáles son las coordenadas de ese punto?. 23. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto de intersección de 6x – 2y + 8 = 0 con 4x – 6y + 3 = 0, sea perpendicular a 5x + 2y + 6 = 0. 24. Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta de ecuación: 2x – 3y + 7 = 0 en el punto medio del segmento comprendido entre los ejes coordenados?. 25. Encontrar el ángulo agudo que forman las rectas, trazadas desde origen a los puntos de trisección de la parte de la recta de ecuación 2x + 3y – 12 = 0, comprendida entre los ejes coordenados. 26. Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (4, -3) y forman un ángulo de 45º con la recta de ecuación 3x + 4y = 0. 27. La base de un triángulo está formada por la recta que une los puntos (-3, 1) y (5, -1). ¿Cuál es la distancia del tercer vértice (6, 5) a base?

316

28. Por el punto de intersección de las rectas:

L1: 2x – y + 2 = 0 y

L2: x – y + 1 = 0, se desea trazar una recta que forma con los ejes coordenados un triángulo de área 3/2. Determine la recta. 29. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de L1: x – 2y - 1 = 0 y L2: 2x – y + 3 = 0 y dista del punto P(0, 1) una longitud

igual a

.

30. Dados dos ejes perpendiculares OX, OY y una recta que los corta en A y B, se proyecta el punto O en C sobre AB, y luego se trazan las paralelas CD y AD, CE y BE a los ejes y se proyecta al punto C en P y Q sobre los ejes. Demostrar que: a. El coeficiente angular de

es el cubo del de

b. Las rectas

son concurrentes.

c.

Si

llamamos

I

al

punto

común,

.

tendremos:

.

31. Encontrar la ecuación de la recta determinada por los puntos (1, 1), (-2, -3) y sobre ella los puntos que están a 15 unidades de los puntos dados. 32. Sean P0(X0, Y0), P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2) tres puntos no colineales. Demostrar que el área del triángulo de vértices P0, P1 y P2 viene dada por:

33. Encontrar las áreas de los triángulos cuyos vértices son: a. (0, 0), (2, 4) y (-1, 6) b. (-2, -1), (-4, -6) y (-1, -3) 317

c. (3, 4), (-2, 1) y (1, -5) d. (3, 6), (-2, 7) y (-1, -2) 34. El punto C(x, y) es equidistante de los puntos A(2, 2), B(10, 8) y el área del triángulo ABC es 25. Encontrar C. 35. Encuentre la distancia del punto P(6, 1) a la recta 5x + 12y – 31 = 0. Ilustre la situación. 36. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto P(17, 12) y es perpendicular a la recta de ecuación 5x + 12y – 60 = 0. Determine las coordenadas del punto de intersección de estas líneas y halle la distancia de P a l de dos maneras distintas. 37. Trazar las rectas 3x + 4y – 10 = 0, y, 3x + 4y = 0. Determine la ecuación de la paralela media y la distancia entre las rectas dadas. 38. Considere el triángulo formado por las intersecciones de las rectas de ecuaciones: 4x – 3y – 15 = 0, 7x – 24y + 55 = 0 y 3x + 4y – 5 = 0. Determine el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. 39. Considere el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(0, 3) y C(1, 2). a. Encuentre las ecuaciones de las medianas. b. Encuentre las ecuaciones de las alturas. c. Encuentre las ecuaciones de las bisectrices interiores. d. Encuentre las ecuaciones de las mediatrices del triángulo. e. Localice el baricentro, ortocentro, incentro y el circuncentro del triángulo.

318

40. Determine la distancia y la ecuación de la paralela media, entre los siguientes pares de rectas paralelas: a. 4x – 3y – 15 = 0, 4x – 3y + 15 = 0. b.

3x + 4y – 10 = 0, 3x + 4y = 0.

c. Ax + By + C = 0, Ax + By + D = 0 C ¹ D. d.

X cos 30º + Y sen 30º - 3 = 0, X cos 30º + Y sen 30º - 6 = 0.

41. Determine la ecuación de la recta que biseca el ángulo agudo formado por las rectas 7x –24y + 40 = 0 y 3x + 4y – 8 = 0. 42. En cada uno de los literales siguientes, encuentre la ecuación de la familia de rectas que cumple la condición dada: a. Pendiente -3. b. Intercepto con el eje X en 2. c. Intercepto con y en 6. d. Pasan por el punto (-3, 2). e. Paralelas a la recta: 4x – 3y + 20 = 0. f. Perpendiculares a la recta 4x – 5y + 7 = 0 . 43. a. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas: 2x – 3y + 7 = 0

y

x + y – 7 = 0 y contiene al origen.

b. Pasa por la intersección de x – y + 6 = 0; 2x + y = 0 y tiene intercepto 2 con el eje y. c. Pasa por la intersección de 5x – 2y = 0, x - 2y + 8 = 0 y corta el primer cuadrante determinando un triángulo de área 36. d. Pasa por el punto de intersección de y – 10 = 0, 2x - y = 0 y dista 5 unidades del origen.

319

CAPITULO 9

LA CIRCUNFENRENCIA

9.1DEFINICION La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio. Así que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C y radio r que denotaremos C(C;r) es el conjunto siguiente: C (C; r) = {P tal que

= r}

9.2. ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA CIRCUNFERENCIA Supóngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C (C; r) .

Entonces:

Es decir,

320

Por lo tanto: (1) Así que C(C(h, k); r) = {P(x, y) R2/ (x – h)2 + (y – k)2 = r2} y la ecuación (1) representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r. Si C está en el origen, h = k = 0 y la ecuación de la C(o; r) es x2 + y2 = r2. La C(0, 5) tiene por ecuación: x2 + y2 = 25. (1)

El punto A(3, 4) C(0, 5) ya que de (1) se deduce que: Lo que muestra que: para todo x € [-5, 5], el punto está en la semicircunferencia superior y que para todo x  [-5, 5], el punto

está en la semicircunferencia inferior.

321

9.3. CONDICIÓN PARA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

EN

DOS

VARIABLES

X

E

Y

REPRESENTE

UNA

CIRCUNFERENCIA.

La expresión Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1) Donde A, B, C, ... son números reales conocidos, se llamará la ecuación general de segundo grado en las variables x e y. Nótese que cuando A = B = C = 0, la ecuación (1) tiene la forma 2Dx + 2Ey + F = 0 que representa una recta (siempre y cuando D y E no sean ambos cero). La ecuación 3x2 - 2xy + 5y2 - x + 5y + 7 = 0 tiene la forma (1). En este caso A = 3, 2B = -2, C = 5, 2D = -1, 2E = 5 y F = 7 Supóngase ahora que en la ecuación (1), B = 0, A = C

0.

Luego de dividir por A, (1) toma la forma:

x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0

donde

Completando trinomios cuadrados perfectos se tiene: (x2 + 2dx + d2) + (y2 + 2ey + e2) = d2 + e2 – f ó (x + d)2 + (y + e)2 = d2 + e2 – f En el análisis de (4) pueden presentarse tres casos: Si d2 + e2 – f > 0, podemos hacer r2 = d2 + e2 – f y escribir (x + d)2 + (y + e)2 = r2 Luego, si d2 + e2 – f > 0, la ecuación representa la circunferencia de centro en C (-d, -e) y radio Cuando d2 + e2 – f = 0, toma la forma (x + d)2 + (y + e)2 = 0, ecuación que solo es satisfecha por las coordenadas del punto C(-d, -e). Luego, si d2 + e2 – f = 0, el único punto del plano que satisface es el punto

322

C(-d, -e). Si d2 + e2 – f < 0, no hay ningún punto del plano que satisfaga .Esto significa que {(x, y)R2/ x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0}= Ø

9.4. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DETERMINADA POR TRES CONDICIONES Considere de nuevo la ecuación: x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 Según se ha establecido, si d2 + e2 – f > 0, la ecuación anterior representa la circunferencia

de centro

en

C

(-d,

-e)

y

radio

9.5. PUNTOS COMUNES A UNA CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA. 9.5.1. RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA Y DE PENDIENTE CONOCIDA. Considere la circunferencia C(o; r) : x2 + y2 = r2 (1) y la familia de rectas de pendiente m dada: y = mx + b, b€R . (2). Si se quieren encontrar los puntos comunes de la circunferencia y una recta y = mx + b de la familia se resuelven simultáneamente (1) y (2) . Llevando (2) a (1) se obtiene: x2 + (mx + b)2 = r2 x2 + m2x2 + 2mbx + b2 = r2 Por tanto, (1 + m2) x2 + 2mbx + (b2 - r2) = 0 (3) Las raíces de (3) son las abscisas de los puntos donde la recta y = mx + b corta a la circunferencia x2 + y2 = r2. Para precisar más, mirese el discriminante ∆ de (3). ∆=

323

= =2 La condición para que la recta y = mx + b de la familia corte a la circunferencia es que: r2 (1 + m2) – b2 > 0, o que b2 < r2 (1 + m2) En este caso la ecuación (3) tiene dos raíces reales que corresponden a las abscisas de los dos puntos donde y = mx + b (con b2 < r2 (1 + m2)) corta a la circunferencia. Si r2 (1 + m2) – b2 < 0, osea, si r2 (1 + m2) < b2, la ecuación (3) tiene raíces imaginarias lo cual quiere decir que toda recta de ecuación y = mx + b con r2 (1 + m2) < b2 no corta a la circunferencia. Finalmente, si r2 (1 + m2) – b2 = 0, o si

la ecuación (3) tiene

una única raíz lo cual quiere decir que las rectas

solo

tienen un punto en común con la circunferencia. Estas dos rectas se llaman las rectas tangentes a la circunferencia x2 + y2 = r2 de pendiente m (m dada).

324

Puede demostrarse que los puntos de tangencia T y T’ son simétricos respecto a 0. Nótese que la familia de rectas de ecuación

donde

m €R , representa el haz de rectas tangentes a la curva x2 + y2 = r2.

9.5.2. RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA POR UN PUNTO DADO DE LA CURVA. Sea P1(x1, y1) un punto de la circunferencia de ecuación x2 + y2 = r2. Queremos hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P1(x1, y1) de la misma.

Al considerar otro punto P2(x2, y2) de la curva próximo a P1(x1, y1), la ecuación de la secante

es:

325

(1)

Ahora, como P2(x2, y2) € C(0, r), x22 + y22 = r2. Como P1(x1, y1) € C(0, r), x12 + y12 = r2. De las dos últimas ecuaciones se desprende que x22 - x12 + y22 - y12 = 0. Por tanto, y22 - y12 = - (x22 - x12)

Osea que de la secante

que llevada a (1) permite escribir la ecuación así:

Luego, si se denota por m

m

a la pendiente de la secante

se tiene que

=

La pendiente de la tangente a la C(0, r) en el punto P1(x1, y1) de la curva es,

por definición, En este caso, y debido a la continuidad de la curva,cuando

y se tiene que:

. De este modo, la recta tangente t a la curva C(0, r) en el punto P1(x1, y1) de la curva tiene por ecuación:

326

que se puede escribir en la forma: o también, . Pero como P1(x1, y1) está en la circunferencia, x12 + y12 = r2. Así que la tangente a la curva x2 + y2 = r2 en el punto P1(x1, y1) de la curva tiene por ecuación: Como un corolario puede mostrarse que la tangente t a x2 + y2 = r2 por el punto P1(x1, y1) es perpendicular al radio

.

En efecto,

También, perpendicular a

9.5.3

Luego mt . m

=-1 lo que nos demuestra que t es

.

POSICIONES

RELATIVAS

DE

DOS

CIRCUNFERENCIAS

NO

CONCÉNTRICAS Se tienen dos circunferencias C1 y C 2 de ecuaciones: C1: x2 + y2 + d1x + e1y + f1 = 0 y C 2: x2 + y2 + d2x + e2y + f2 = 0, C 1 y C2: no concéntricas. La primera puede escribirse:

C 1: Se puede asumir que d12 + e12 – 4f1 > 0 .

327

Luego

es el radio C 1 y su centro es el

punto

.

La ecuación de la segunda puede escribirse:

C 2: De nuevo se puede asumir que d22 + e22 – 4f2 > 0 .

C 2 tiene de esta manera radio

en

y centro

.

Como C1 y C 2 son no concéntricas, (d1, e1) (d2, e2). Llámese C1C2: a la línea de centros. Es claro que

C1C2 =

=

Puede presentarse uno de los siguientes casos: 1. C1 y C 2 son exteriores: En este caso, r1 + r2 < C1C2

328

Osea,

+

<

2. C1 y C 2 son tangentes exteriormente:

En este caso, r1 + r2 = C1C2 3. C1 y C 2 son secantes:

Se tiene entonces en el triángulo

C C A: C C
329

4. Tangentes interiormente:

C1C2 =r1 - r2 5. Que C1 y C2 sean interiores: En este caso: C1C2 +r2 + d = r1 con d > 0 Por lo tanto, r1 – r2 = C1C2 + d Osea que: C1C2
C1C2 +r2 + d = r1

con

d>0

Por lo tanto, r1 – r2 = C1C2 + d Osea que: C1C2
r1

Entonces: C1 y C2 son exteriores

r1 + r2 < C1C2 < r1 - r2

C 1 y C2 son tangentes exteriormente C 1 y C2 son secantes

r1 + r2 = C1C2

C1C2 < r1 + r2

C 1 y C2 son tangentes interiormente C 1 y C2 son interiores

C1C2 = r1 - r2

C1C2 < r1 - r2

9.6. EJERCICIOS RESUELTOS 1.Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6. SOLUCIÓN En este caso: h = -3, k = 2 y r = 6. Al sustituir estos valores en la ecuación (1) de la sección 5.1., se obtiene:

Al desarrollar los binomios en la última igualdad y simplificar, se obtiene finalmente:

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas:

y

.

SOLUCIÓN

Al resolver simultáneamente el sistema: obtiene

.

331

se

Asi que el centro de la circunferencia es el punto C(3, 1).

Ahora, como la circunferencia pasa por el punto 0(0, 0), se tiene que es el valor del radio. Usando nuevamente la ecuación:

y

, se obtiene:

3. Determine la ecuación de la circunferencia uno de cuyos diámetros es el segmento de extremos

y

.

SOLUCIÓN Si D denota el diámetro de la circunferencia, entonces, el radio r

es

.

Es decir,

(fórmula de la distancia).

Esto es,

332

Ahora, las coordenadas del centro C(h, k) son las coordenadas del punto medio del segmento

.

Asi que:

y

Luego, la ecuación de la circunferencia pedida es:

.

4.La ecuación:

representa una circunferencia.

Determine su centro C(h, k) y su radio r. SOLUCIÓN La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes:

Comparando que:

esta

última y

ecuación

con

la

ecuación

se

deduce

.

Luego, el centro de la circunferencia es el punto C(-3, 7) y su radio es r = 8.

5.Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 6), B(4, 2) y C(9, 3). Encuentre las coordenadas del centro y el radio. SOLUCIÓN Como A, B yC no están alineados, hay una circunferencia ð que pasa por A, B y C. Su ecuación es la forma :

333

x2 + y2 + 2dx + 2ey + f = 0 Hallemos d, e y f. Como A(0, 6) €C , 02 + 62 + 2d.0 + 2e.6 + f = 0 Asi que: 36 + 12e + f = 0 (1) Como B(4, -2) € C , 16 + 4 + 2d.4 + 2e.(-2) + f = 0 Es decir, 20 + 8d – 4e + f = 0 (2) Como C(9, 3) € C , 81 + 9 + 2d.9 + 2e.3 + f = 0 Asi que: 90 + 18d + 6e + f = 0 (3) El sistema de ecuaciones (1), (2), (3) puede escribirse así: 12e + f = -36 8d – 4e + f = -20 18d + 6e + f = -90

o también:

cuya solución es: d = -4, e = -3, f = 0

334

Luego la ecuación de ð es : x2 + y2 – 8x – 6y = 0 que podemos escribir: (x2 – 8x + 16) + (y2 – 6y + 9) = 25 ó

(x – 4)2 + (y – 3)2 = 25

Así que la circunferencia C circunscrita al triángulo ABC tiene centro en (4, 3) y radio 5. 6. Determine los puntos comunes a la circunferencia recta

y a la

.

SOLUCIÓN Como en el caso anterior, los puntos comunes son las soluciones al sistema de ecuaciones: (1) (2)

De (2) se tiene:

(3).

Sustituyendo (3) en (1) se puede escribir:

La última ecuación, tiene como única solución x = 2 que corresponde a la abscisa del único punto de intersección. Sustituyendo el valor de x = 2 en (3) se obtiene: forma

. De esta

es el único punto común a la recta y a la circunferencia.

335

En este caso, la recta es tangente a la circunferencia en el punto La figura adjunta ilustra la situación.

336

.

CAPITULO 10

LA PARABÓLA 10.1 DEFINICIONES i.

Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la

recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a la recta DD. ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F. Esto es: PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1} PD

Observaciones: i. Al trazar por F la perpendicular

a la directriz. Se llamará

distancia del foco a la directriz. 337

: la

ii. Sea V el punto medio del segmento

. Como

, entonces el punto

V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola. El lugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta efecto, si P’ es el simétrico de P respecto a la recta

. En

, entonces PP’’ = P’’P’.

Por lo tanto, el triángulo PP’’F es congruente al triángulo P’P’’F. De donde

P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces,

, lo cual nos muestra que

P’ e PDD-F. 10.2. ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA PARÁBOLA En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y

Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces,

Pero,

y

Luego,

338

.

Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando

los binomios, se obtiene:

, y simplificando

queda finalmente, (1) Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F. Por hipótesis,

(2)

Se debe probar que

De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.

TEOREMA (Ecuaciones de la Parábola) i. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la recta x = -p/2 (viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamente si un punto P del plano, entonces P € PDD-F ii. La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 es: x2 = 2py (4) 339

iii.

Recíprocamente,

si

un

punto

P

340

del

plano,

entonces

P€PDD-F

Observaciones: i. En la grafica aparece dos parábolas abiertas hacia arriba (en el caso de p>0) y hacia abajo (p<0), respectivamente y cuyos focos están localizados en el punto F(0, p/2) y cuya directriz es la recta de ecuación y = -p/2.

341

Además, todos sus puntos son simétricos con respecto al eje y: de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, presentan únicamente a la variable x elevada en una potencia par. ii. Igualmente, las gráficas corresponden a las parábolas abiertas hacia la derecha (p > 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen únicamente a la variable y elevada a su potencia par. 10.3. TRASLACIÓN DE EJES En el ejemplo 5 de la sección 5.6., se determinó que la ecuación de la circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era: ó Sin embargo, si se encuentra la ecuación con centro en C(0, 0) y radio 5. Se obtiene

.

De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuación sin cambiar la forma de la gráfica.

342

Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a los ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de analizar los cambios que se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coordenadas x’ e y’ paralelo a los ejes x e y, se toma un punto fijo o’(h, k) que se llama: ORIGEN del nuevo sistema. Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas están referidas al sistema con origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P(x’, y’) referidas al sistema x’-y’ vienen dadas por las relaciones:

343

x = x’ + h (1) y = y’ + k (2) Llamadas: ECUACIONES DE

TRASLACIÓN DE EJES, y que

pueden

deducirse fácilmente. Observación: La traslación de ejes modifica la ecuación de una curva y algunas veces la simplifica, pero no altera la forma de la curva. Una aplicación útil de la traslación de ejes se consigue cuando se obtienen las ecuaciones generales de la parábola, con vértice en el punto V (h, k) referido al sistema x-y y para las cuales la directriz es perpendicular a uno de los ejes. Si se toma como referencia los ejes x’ e y’, hallar las ecuaciones de la parábola con vértice en V(h, k), equivale a encontrar las ecuaciones de la parábola con vértice en (0, 0) referido al nuevo sistema. Las

ecuaciones

,

permiten

escribir

las

ecuaciones en forma general de la parábola, como lo afirma el siguiente

344

Teorema (Ecuaciones de la parábola. Forma general) i. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco

en

y por directriz la recta:

viene dada por:

(1)

ii. La ecuación de la parábola con vértice en el punto V (h, k), que tiene su foco

en

y por directriz la recta:

viene dada por: (2)

345

Demostración: Es similar a la del teorema 1, aplicado al sistema x’-y’ y luego hacer

e

Observación: Las ecuaciones (1) y (2) del teorema 2, después de simplificarlas, pueden expresarse en la forma: (3) (4) En las ecuaciones (3) y (4) puede notarse que una de las variables aparece al cuadrado y la otra lineal. La parábola siempre se abre en la dirección del eje cuya variable aparece lineal. Así por ejemplo, la ecuación (3) representa una parábola que se abre hacia el semieje y positivo (si p > 0) o hacia el semieje y negativo (si p < 0). Igualmente, la ecuación (4) representa una parábola abierta hacia la derecha (si p > 0) o hacia la izquierda (si p < 0).

346

Valores máximos y mínimos de una parábola Se ha visto en la sección precedente que la ecuación

(1)

puede escribirse (completando cuadrados) en la forma (2) y representa una parábola cuyo eje focal es vertical, abierta hacia arriba (p > 0) ó hacia abajo (p < 0). Cuando la ecuación aparece en la forma (1), el signo de a (coeficiente de x2), determina si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y también determina si el vértice es un punto máximo o mínimo de la curva.

347

la parábola se abre hacia abajo, el vértice V (punto más alto de la curva) es llamado

el punto máximo de la parábola. El valor de la ordenada

correspondiente es el valor máximo de la función que ella representa. Similarmente, si la parábola se abre hacia arriba ,el vértice V es llamado el punto mínimo de la parábola; y el correspondiente valor de y, es el valor mínimo de la función. Toda función cuadrática, tiene un valor máximo o un valor mínimo, pero no ambos.

348

CAPITULO 11

LA ELIPSE 11.1. DEFINICIONES: i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F

. Se define la ELIPSE de focos F

y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > 0). ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento

se llaman EJES DE SIMETRÍA DE LA ELIPSE.

iii. El punto de intersección O de los dos ejes de simetría, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A’, A, B y B’ se llaman VERTICES DE LA ELIPSE. Si el segmento

es mayor que el segmento

, ambos segmentos

se llaman respectivamente EJE MAYOR y EJE MENOR de la elipse.

349

Observaciones: i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x, eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen. ii. Nótese también que como

, se sigue que (teorema de Pitágoras).

11.2. ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA ELIPSE Caso 1. Elipses con focos. F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0 Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0) Eje menor: Longitud 2b (2b > 0)

TEOREMA: La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b, viene dada por: 350

(1)

Demostración Si p(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se tiene de acuerdo

a

la

definición

i

que

,

o

equivalentemente,

(Fórmula de distancia entre dos puntos) Transponiendo el primer radical al segundo lado y elevando ambos miembros al cuadrado, se 351

obtiene:

Simplificando la última igualdad se llega a:

Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última ecuación, se obtiene:

La cual se reduce a:

Recordando además que

última igualdad por

y al dividir ambos miembros de la

, se obtiene finalmente

: que

corresponde a la ecuación pedida. Caso1. Elipses con focos F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0 Eje mayor: Longitud 2a (a > 0) Eje menor: Longitud 2b (b > 0) TEOREMA: La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor 2b,viene dada por:

(2)

352

Demostración: Es similar a la anterior, se deja por lo tanto como ejercicio. NOTA: Nótese que si en las ecuaciones (1) y (2) de la elipse, se hace a = b, las ecuaciones se transforman en la ecuación de una circunferencia de centro en el origen y radio a. Caso 2. (Caso General). Si en vez de considerar el centro de la elipse en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), la ecuación de la elipse correspondiente, se transforma utilizando las ecuaciones de traslación en:

(3)

Si a > b, el eje focal es paralelo al eje x. (sobre la recta y = k) Si b > a, el eje focal es paralelo al eje y. (sobre la recta x = h) i. La ecuación (3) se deduce considerando que los ejes de la elipse son paralelos a los ejes coordenados. ii. Si a > b, la ecuación (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje x . Si b > a, la ecuación (3) corresponde a una elipse con centro en C(h, k) y cuyo eje focal es paralelo al eje y

353

11.3 CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE Existen muchas construcciones geométricas de la elipse, pero en la mayoría de ellas se requiere conocer algunos elementos adicionales (la directriz, la excentricidad, ...etc.) de la elipse que no han sido mencionados hasta ahora. Por esta razón, solo se presentan dos métodos geométricos sencillos para construir la elipse.

354

Construcción 1 Supóngase que en el plano se tienen dos puntos fijos F y F’. Se toma una cuerda de longitud 2a (mayor que la distancia entre los focos). Con la punta P de un lápiz se tensiona la cuerda. Al mover el lápiz manteniendo en todo momento tensionada la cuerda, el punto P describe la elipse pedida.

Construcción 2 Supóngase que nos plantean el problema de construir la elipse de ecuación

dada por

, con a > b.

Se procede entonces como sigue: Se trazan los llamados círculos directores, que son círculos concéntricos , con centro en 0, uno de radio de radio

.

355

y el otro

Se traza luego un rayo cualquiera con origen en 0, el cual intercepta a los círculos en los puntos S y N. Por estos puntos, se trazan paralelas a los ejes x e y respectivamente, las cuales se cortan en el punto M(xm, ym).

Se puede afirmar que el punto M está en la elipse de ecuación

En efecto, basta demostrar que

.

.

Para ello, nótese que:

Sumando miembro a miembro las últimas igualdades, se concluye que

356

CAPITULO 12

LA HIPERBOLA 12.1 DEFINICIONES i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F

F’). Se define la hipérbola de focos

F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancia a los focos es constante e igual a 2a. (a > 0). ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento F’F se llaman: Ejes de simetría de la hipérbola. iii. El punto de intersección 0 de dos ejes de simetría, se llama CENTRO de la hipérbola. Los puntos A y A’ se llaman: VERTICES de la hipérbola.

Observaciones: i. Como en el caso de la elipse, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una hipérbola. Por simplicidad, solo se considerarán inicialmente, aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x ó eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen.

357

ii. Si

se obtiene la rama derecha de la hipérbola; mientras que

si

se obtiene la otra rama.

iii. Note que 2a < 2c, ya que la diferencia de los lados de un triángulo siempre es menor que el tercer lado. Además, se toma

.

12.2. ECUACIONES ANALÍTICAS DE LA HIPÉRBOLA caso 1. Hipérbola con focos F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0. TEOREMA: La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F(-c, 0) y F(c, 0) viene dada por:

(1). Demostración: Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada se tiene de acuerdo a la definición i. que: ó De donde, ó Es decir, Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir:

Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene:

358

Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de simplificar y factorizar se puede escribir:

Recordando además que

(observación iii.) y al dividir ambos

miembros de la última igualdad por

, se obtiene finalmente,

que corresponde a la ecuación pedida.

Caso 2. Hipérbola con focos en F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0. TEOREMA: La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntos F’(0, -c) y F(0, c) viene dada por:

(1).

359

Caso 3. (Caso General) Si en vez de considerar el centro de la hipérbola en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hipérbola correspondiente, se transformarán utilizando las ecuaciones de traslación en:

(3)

(4)

Según que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente. Observaciones: i. se ha trazado la hipérbola centrada en el origen y focos en los puntos F1(c,0) y F2(-c, 0). Los puntos V1 y V2 son los vértices de la hipérbola y sus coordenadas son V1(a, 0) y V2(-a, 0). Los puntos M, N, P y Q tienen coordenadas: M (a, b), N(-a, b), P(-a, -b) y Q(a, -b). El rectángulo MNPQ recibe el nombre de rectángulo auxiliar de la hipérbola.

360

ii. La gráfica de la hipérbola es simétrica con respecto al eje x y con respecto al eje y. iii. Las rectas que pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llaman asíntotas oblicuas de la hipérbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente por:

y Una forma "nemotécnica" de obtener las ecuaciones de las los asíntotas de la hipérbola es la siguiente: En la ecuación de la hipérbola, sustituir el 1 (uno) del segundo miembro por un 0 (cero).

Así, en el caso particular de la hipérbola

Hacemos:

,

(factorizando)

361

Estas son las ecuaciones de las asíntotas

iv. En el caso particular, cuando a = b, las ecuaciones de la hipérbola se transforman en:

ó

En ambos, la hipérbola se llama: Hipérbola Equilátera y tienen como asíntotas las rectas y = x e y = -x 12.3 ANALISIS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO Las secciones cónicas mencionadas hasta ahora, se refieren a curvas cuyas ecuaciones son casos particulares de la ecuación: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 (1) Llamada: ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO. Asi, por ejemplo, la ecuación de la circunferencia (x – h)2 + (y – k)2 = r2, se obtiene de la ecuación (1) haciendo A = B = 1; D = -2h; E = -2k y F = h2 + k2 – r2. Igualmente, la parábola de ecuación: (x – h)2 = 4p (y – k), se obtiene de la ecuación (1) haciendo: A = 1, B = 0, D = -2h,E = -4p y F = h2 + 4pk. Incluso, la línea recta aparece como un caso especial de la ecuación (1) haciendo A = B = 0. Los términos Ax2y By2 de la ecuación (1) son de segundo grado o términos cuadráticos. La naturaleza de la curva determinada por la ecuación (1), cuando 362

contiene al menos uno de estos términos, está expresada en el siguiente teorema. TEOREMA (Análisis de la Ecuación de Segundo Grado). La ecuación: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 (2) Donde A, B, D, E y F son constantes reales, A y B no simultáneamente nulos, representa: i. Una circunferencia. Si A = B (diferentes de 0). (En casos especiales puede reducirse a un punto, o incluso carecer de puntos reales). ii. Una parábola. Si A . B = 0. (Recordar que si A . B = 0, implica que A = 0 ó B = 0). Esto significa que la ecuación (2) es de segundo grado respecto a una de las variables y lineal con respecto a la otra. iii. Una elipse. Si A . B > 0. (Recordar que si A . B > 0, entonces A y B tienen el mismo signo). En casos especiales, el lugar se reduce a un solo punto, o incluso, el lugar carece en absoluto de puntos reales. iv. Una hipérbola. Si A . B < 0. (Esto implica que A y B tienen signos opuestos). En casos especiales, el lugar puede reducirse a un par de rectas secantes, como sucede por ejemplo con la ecuación x2 – y2 = 0. Observación. El recíproco del teorema es igualmente válido, es decir, cualquiera de estas curvas, satisface una ecuación de segundo grado de la forma (2). 12.4. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA PARÁBOLA 1. Usando la definición, hallar la ecuación de la parábola que tiene su foco en F(2,0) y su dirección DD es la recta de ecuación x = -2.

363

Solución: Trácese la gráfica con los elementos dados.

De acuerdo a la definición, un punto

Pero, Luego,

Elevando ambos miembros al cuadrado, se tiene:

De donde: y2 = 8x es la ecuación de la parábola pedida. 2. Dada la parábola que tiene por ecuación x2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica.

364

Solución: la ecuación

x2 = -6y tiene la forma de la ecuación (4) del teorema Entonces,

2p = -6, de donde p= -3 < 0. como ç p < 0, la parábola se abre hacia abajo. El foco se encuentra sobre el eje y en el punto F (0, -p/2).

La ecuación de la directriz es la recta

, es decir,

3. Dado el punto del plano B(a, b) con a, b > 0. Demostrar que por el punto B

pasa la parábola

(1).

Determine el foco y la ecuación de la directriz Solución:

Como

se sigue que el punto B(a, b) satisface la ecuación (1) y

por lo tanto B pertenece a la parábola.

Ahora, de acuerdo a la parte ii del teorema .

con lo cual 365

En consecuencia, el foco se encuentra localizado , en el punto

y la

ecuación de la directriz es la recta 4. Dada la ecuación (y’)2 = 4x’, referida al sistema x’-y’ en donde el nuevo origen es el punto (2, 3). Hallar la ecuación de la gráfica en términos de x e y. Solución: La ecuación (y’)2 = 4x’ representa en el sistema x’-y’ una parábola con vértice en O’(2, 3). La parábola se abre hacia la derecha y además 2p = 4, de donde p = 2. Con lo cual

= distancia del vértice al foco.

Dado que O’ (2, 3) se deduce de las relaciones (1) y (2) que:

de donde Sustituyendo los valores de x’ e y’ en la ecuación inicial, se obtiene:

Esta última ecuación, representa una parábola cuyo vértice es el punto 366

V (2, 3), abierta hacia la derecha y cuya distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz es 1. 5. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F(4, 2). Solución: Como la directriz es la recta de ecuación x = 2, paralela al eje y, se sigue que el eje focal es paralelo al eje x y como el foco es el punto F(4, 2), entonces el eje focal tiene como ecuación y = 2. El vértice V de la parábola está sobre la recta y = 2 y localizado en el punto medio entre la directriz y el foco. Como QF = p = 2, se sigue que QV = VF = 1, y por lo tanto las coordenadas del vértice son V(3, 2).

Ahora, la ecuación de la parábola viene dada por: ó 6. Determine el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz, el eje focal y dibujar la gráfica de la parábola cuya ecuación es:

367

Solución: Se debe expresar la ecuación en la forma: (1) Así,

(Completación de cuadrados)

(2) (Factorizando)

Comparando (1) y (2) se deduce que:

Así que las coordenadas del vértice son Como p = 4 > 0 y la variable lineal es y, se deduce entonces que la parábola se abre hacia arriba.

El eje focal es la recta paralela al eje y de ecuación y el foco se encuentra localizado en el punto 368

.

, esto es,

La directriz es la recta paralela al eje x, de ecuación

; esto

es, En la figura aparece la gráfica de la parábola con todos sus elementos. 7. Para la parábola

demostrar que el vértice

está en el punto

y que corresponde a un máximo o un

mínimo de acuerdo al signo de a. Solución. La

ecuación:

forma:

,

puede

escribirse

en

la

.

Completando un cuadrado perfecto en el primer miembro de la última igualdad, se tiene:

Con lo cual,

369

Al comparar esta última ecuación, con la igualdad (1) del teorema, se

deduce que el punto

son las coordenadas del vértice de la

parábola y además, Ahora, si a > 0, entonces p > 0 y la parábola se abre hacia arriba. En este caso, el punto V corresponde a un punto mínimo de la parábola. Si a < 0, entonces p < 0 y la parábola se abre hacia abajo. En este caso, el punto V corresponde a un punto máximo de la parábola. 12.5 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA ELIPSE 1. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). Solución: Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 se tiene que,

y por tanto

.

De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), 370

V3(0, 4) y V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por :

2. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 25x2 + 4y2 = 100 Solución: La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes: x 2 + y 2 = 1 (porqué?) 4

25

La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y. De otro lado,

, de donde

y en consecuencia, los

focos se encuentran localizados en los puntos

y

.

Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0). La figura recoge toda la información obtenida.

371

3. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación: 4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0 Solución: La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes:

(Completación de cuadrado) (Factorización y simplificación)

(dividiendo por 4) Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes; a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2 (ver fig.). Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1). Como puntos

, se tiene que los focos están localizados en los y

.

372

12.6. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA HIPÉRBOLA 1. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.

SOLUCIÓN Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la

forma:

.

373

En este caso: a = 4; c = 5, de donde

En consecuencia, la

ecuación de la hipérbola es:

.

Ahora,

Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas:

,

y,

2. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por:

.

Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica. SOLUCIÓN La ecuación:

, puede escribirse en las formas equivalentes:

La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y

374

En este caso:

. Luego,

.

Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).

Además de la ecuación:

, se deduce que las ecuaciones de las

asíntotas son las rectas de ecuación:

e

.

3. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas. SOLUCIÓN Como la distancia entre los vértices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10, se sigue que c = 5 y por lo tanto b2 = c2 – a2 = 9. Asi que b = 3

Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma:

375

Las coordenadas de los focos son:

y y = 3. Esto es: F(7, 3) y

F’(-3, 3).Igualmente, las coordenadas de los vértices son:

y

y = 3. Esto es, V1(6, 3) y V2(-2, 3).

Además, de la ecuación

:

,

deduce que:

se

;y

son las ecuaciones de las asíntotas. 4.-Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 – x2 + 4x – 6y – 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vértices y

ecuaciones de las

asíntotas. SOLUCIÓN La ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:

Esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2

376

Además, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual:

.

Las coordenadas de los focos son: x = 2 e

. Esto es F(2, 5) y F’(2, -3).

Igualmente, las coordenadas de los vértices son: x = 2 e

. Esto es

V1(2, 3) y V2(2, -1).

Las

ecuaciones

e,

de

las

asíntotas

son

las

rectas:

,

.

12.7. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA ECUACIÓN DE 2º GRADO 1. Considere la ecuación de segundo grado: 3x2 – 2y2 – 6x – 4y – 5 = 0, identificar la curva que representa y trazar su gráfica con todos sus elementos. SOLUCIÓN Comparando la ecuación dada con la ecuación (1). se observa que A = 3, B = -2, D = -6, E = -4 y F = -5. Como A.B = 3(-2) = -6 < 0, se deduce entonces que la ecuación representa una hipérbola, o como caso especial dos rectas secantes.

377

La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes:

La última ecuación representa una hipérbola con centro en C(1, -1) y cuyo eje focal es la recta y = -1

Las coordenadas de los focos son: y = –1, Esto es

y

. .

Las coordenadas de los vértices son: y = –1, es

y

. Esto

.

Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas:

2. Considere la ecuación de segundo grado:

e

x2 + y2 + 2x – 2y + 2 = 0.

Identificar la curva que representa y trazar su gráfica con todos sus elementos.

378

SOLUCIÓN Como A = B = 1 ¹ 0, la ecuación representa una circunferencia o uno de los casos especiales. La ecuación dada puede escribirse en las formas equivalentes:

De la última ecuación se ve claramente que el único punto que la satisface es el punto P(-1, 1). De aquí que la ecuación original se reduce al punto P(-1, 1). 12.8 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: a. F(3, 0), V(2, 0) b. F(0, 0), V(-1, 0) c. F(2, 3), directriz: x = 6 d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2) e. V(4, 4), eje focal horizontal, y la parábola pasa por el punto (2, 2) f. Eje focal vertical, y la parábola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16, -7) 2. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas. Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice. a. y2 + 4x – 4y – 20 = 0 b. y2 – 8x + 4y + 12 = 0 c. y2 + 4x + 4y = 0 d. 4y2 + 24x + 12y – 39 = 0 379

e. 8y2 + 22x – 24y – 128 = 0 f. x2 – 6x – 12y – 15 = 0 g. x2 + 4x + 4y – 4 = 0 h. x2 – 8x + 3y + 10 = 0 i. 6x2 – 8x + 6y + 1 = 0 j. 5x2 – 40x + 4y + 84 = 0 3. Demuestre que la ecuación de la tangente a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: px = 2c(y + q). 4. a. Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: y2 = 4cx en el punto

(p, q) de la curva, viene dada por:

.

b. Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: x2 = 4cy en el punto

(p, q) de la curva, viene dada por:

.

5. a. Demuestre que la perpendicular desde el foco a la tangente trazada por un punto cualquiera de la parábola corta a esta en un punto localizado sobre el eje y. b. Si Z denota el punto de intersección de la perpendicular desde el foco a la tangente, demuestre que:

, donde

: es el radio vector

asociado al punto P. 6. Determine el punto máximo (mínimo) de las siguientes parábolas: a. y = x2 – 2x – 8 b. y = x2 – 6x + 9 c. y = 5 – 4x - x2 380

d. y = 9 – x2 7. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlas determinando además los vértices y los focos: a. 16x2 + 25y2 = 100 b. 9x2 + 4y2 = 36 c. 4x2 + y2 = 16 d. x2 + 9y2 = 18 e. 4y2 + x2 = 8 f. 4x2 + 9y2 = 36 8. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica. Centro en (0, 0); foco en (3, 0); vértice en (5, 0). Centro en (0, 0); foco en (-1, 0); vértice en (3, 0). Centro en (0, 0); foco en (0, 1); vértice en (0, -2). Focos en (± 2, 0); longitud del eje mayor 6. Focos en (0, ± 3); las intersecciones con el eje x son ± 2. Centro en (0, 0), vértice en (0, 4); b = 1. Vértices en (± 5, 0); c = 2. Centro en (2, -2), vértice en (7, -2); focos en (4, -2). Focos en (5, 1) y (-1, 1); longitud del eje mayor es 8. Centro en (1, 2); focos en (1, 4); pasa por el punto (2, 2). 9. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos y los vértices de cada elipse. Trace la gráfica correspondiente.

381

10. Demuestre que una ecuación de la forma: Ax2 + Cy2 + F = 0 con A ¹ 0, C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son del mismo signo: a. Es la ecuación de una elipse con centro en (0, 0) si A ¹ C b. Es la ecuación de un círculo con centro en (0, 0) si A = C 11. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

a. Es una elipse si

; A ¹ 0, C ¹ 0, donde A y C son del mismo signo:

tiene el mismo signo que A.

b. Es un punto si

c. No tiene puntos si

tiene el signo contrario de A.

382

12. La excentricidad e de una elipse se define: e = c/a donde c y a son los números dados en las ecuaciones de la elipse. Escriba un párrafo breve acerca de la forma general de cada una de las siguientes elipses. Justifique sus conclusiones. a. e cercana a 0. b. e = 0.5 c. e = 1 13. Considere la circunferencia C(o, r): centro en el origen y radio r. Sea A un punto fijo en el interior de C con

. Encontrar el lugar de los puntos

P(x, y) del plano tales que d(P, A) = d(P, C) 14. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hipérboles, se pide dibujarlas, determinando además los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas. a. 16x2 – 25y2 = 100 b. 9x2 – 4y2 = 36 c. 4x2 – y2 = 16 d. x2 – 9y2 = 18 e. 4y2 – x2 = 8 f. 4y2 – 9x2 = 36 15. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones

dadas. Trace su gráfica y las

Centro en (0, 0); vértice en (3, 0); foco en (5, 0). Centro en (0, 0); vértice en (-1, 0); foco en (-3, 0). Centro en (0, 0); vértice en (0, -1); foco en (0, -3). Centro en (0, 0); vértice en (0, 3); foco en (0, 5).

383

asíntotas.

V1(-3, 2), V2(-3, -2); 2b = 6. F(-7, 3), F’(-1, 3); 2a = 4. V1(4, 0), V2(-4, 0); asíntota la recta y = 2x. 16. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola. Trace la gráfica correspondiente.

17. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma: Ax2 + Cy2 + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son de signos opuestos, es una hipérbola con centro en (0, 0). 18. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

; A ¹ 0, C ¹ 0, donde A y C son de signos

opuestos: 384

a. Es una hipérbola si

b. Son dos rectas que se cortan si 18. La excentricidad e de una hipérbola se define como el número e = c/a, donde c y a son los números dados en las ecuaciones de la hipérbola. Como c > a, se deduce que e > 1. Describa la forma general de una hipérbola cuya excentricidad es cercana a 1. ¿Cuál será la forma si e es muy grande?. 19. Dos estaciones LORAN están separadas 200 millas a lo largo de una costa recta: a. Un barco registra una diferencia de tiempo de 0.00038 seg. entre las señales LORAN. Establezca un sistema de coordenadas rectangulares para determinar donde alcanzará el barco la costa si sigue la trayectoria de la hipérbola correspondiente a esta diferencia de tiempo. b. Si el barco quiere entrar al puerto localizado entre las dos estaciones a 20 millas de la estación central, ¿Qué diferencia de tiempo está buscando?. c. Si el barco se encuentra a 50 millas mar adentro al obtener la diferencia de tiempo deseada, ¿cuál es la ubicación exacta del barco? (Nota: la velocidad de cada señal de radio es de 186.000 millas/seg.). 20. En cada uno de los ejercicios siguientes identificar la curva que representa cada una de las ecuaciones dadas. Trazar la gráfica con todos sus elementos: a. b. c. d. 385

CAPITULO 13

FUNCIONES 13.1 INTRODUCCION Quizás la idea central en la matemática sea el concepto de función. En la historia de la matemática, parece ser RENÉ DESCARTES quien introdujo primeramente en el año de 1637 el concepto de función, para significar la potencia entera de la variable x. Posteriormente LEIBNIZ (1646 – 1716) utilizó dicho concepto para denotar las cantidades asociadas a una curva. LEONHARD EULER (1706 – 1783) lo utilizó luego para identificar la relación entre variable y constantes en una fórmula. Pero, la definición que se usa actualmente de función es debida a DIRICHLET (1805 – 1859) la cual describe a una función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos. Intuitivamente se considera que la cantidad y es función de la cantidad x, si existe alguna regla, ley o procedimiento que permita asignar un valor único de y, para cada valor que se considere de x, dentro de cierto conjunto posible de valores. Muchas veces es posible expresar dicha regla o ley por medio de una ecuación matemática como ocurre por ejemplo, con el área y de un círculo, en función del radio x ; y =  x2; otras veces es difícil o aún imposible hallar la fórmula matemática que relaciona las variables x e y aunque siga siendo posible la asignación de un valor único de y para cada valor de x. Lo que interesa realmente es poder determinar un conjunto de pares ordenados (x, y), independientemente de si la ley o regla que relaciona las variables x e y es de tipo matemático, empírica o simplemente descriptiva.

386

13.2 DEFINICIONES. i.Sean A y B dos conjuntos no vacios. Una función de A en B, es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B. Se usan indistintamente los símbolos: ó

para expresar que "f" es una función de A en B y que además, al elemento x de A, le corresponde el elemento y (imagen de x mediante f) de B.

ii. Al conjunto A se le llama: dominio de la función y se denotará por el símbolo D(f). Igualmente, al subconjunto de B, formado por todas las imágenes de los elementos de A, se le llama: rango de la función y se denotará por el símbolo r(f). Observaciones. i.Para los conceptos del cálculo que se desarrollarán posteriormente, los conjuntos A y B mencionados anteriormente son por lo general, subconjuntos de R, de esta forma la función: se llamará función real de variable real. ii. En la expresión

que expresa la correspondencia entre los

elementos x de A con los y de B, la letra x se llama: variable independiente y la letra y: variable dependiente. En el siguiente ejemplo, se ilustran los conceptos establecidos hasta ahora. Considere por ejemplo los conjuntos: 387

y

, y la función

definida por medio

del diagrama:

Se tiene entonces: La imagen del elemento a mediante f es 5. Es decir, f(a) = 5 La imagen del elemento b mediante f es 3. Es decir, f(b) = 3 La imagen del elemento c mediante f es 7. Es decir, f(c) = 7 La imagen del elemento d mediante f es 0. Es decir, f(d) = 0 La imagen del elemento e mediante f es 5. Es decir, f(e) = 5 . Ahora,

En lo sucesivo, cuando no se mencionen los conjuntos A y B de una función, sino, solamente la regla o correspondencia, entre sus elementos, se entenderá que tanto A como B son subconjuntos de números reales. En este caso, se dice que el dominio es el conjunto de números reales para los cuales tiene sentido la "regla" o "correspondencia", o más precisamente, los valores para los cuales f(x) es un número real. Mas adelante se ilustrará la manera de proceder en estos casos.

388

13.3 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN En las aplicaciones, es frecuente que una gráfica muestre con mayor claridad que una ecuación o una tabla, la relación que existe entre las variables de una función. Las ecuaciones y tablas que corresponden a una función, por lo general, requieren algunos cálculos e interpretaciones, antes de poder ver con claridad todo tipo de información contenidas en ellas. Cuando la regla que define una función f está dada mediante una ecuación que relaciona las variables x e y, la gráfica de f, es la gráfica de la ecuación, es decir, el conjunto de puntos (x, y) del plano cartesiano que satisfacen la ecuación. Mas precisamente, Sea

una función real de variable real. La gráfica de f

es el conjunto de puntos

tales que la pareja ordenada (x, y)

pertenece a f. Es decir, Gráfica de f = { (x, y)

/ y = f(x), x

D(f) }

Observación. La restricción dada en la definición de función de que no existen dos parejas distintas que tengan la primera componente igual, se traduce en la gráfica de la función de la siguiente manera: ninguna recta vertical puede cortar su gráfica en más de un punto. (criterio de la recta vertical)

Así por ejemplo, la gráfica de la figura (a) corresponde a la gráfica de una función (la recta vertical solo corta la gráfica en el punto A); mientras que la

389

figura (b) no corresponde a la gráfica de una función. Nótese que la recta vertical, corta la gráfica en más de un punto: A, B y C. Más adelante se trazarán las gráficas de muchas funciones, al definir y especificar otros elementos teóricos útiles: (Asíntotas, máx, min, concavidad ...) y que permiten ver con mayor claridad la relación entre las variables x e y de una función y = f(x) . 13.4 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES. A continuación se describen algunas funciones especiales y los nombres con que se les conoce en el lenguaje matemático, además se muestra una gráfica aproximada de cada una de ellas. i.Función exponencial de base a: f:

ii. Función logarítmica de base a: f:

iii. Función lineal: f:

que corresponde a la línea recta de pendiente m, e intercepto b con el eje y. iv. Función cuadrática: f:

390

, donde a, b, c

y que corresponde a

una parábola abierta hacia arriba o hacia abajo según el signo de la constante a. En la figura aparece la gráfica de la parábola y = ax2 + bx + c, de acuerdo al signo de a. Igualmente, como caso particular, se ha trazado la curva y = x2

v.Ramas de Circunferencia La ecuación en forma implícita x2 + y2 = r2, que corresponde a una circunferencia centrada en el origen y radio r, y cuya gráfica no es una función (criterio de la recta vertical), genera, sin embargo dos funciones, llamadas ramas de circunferencia y cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación:

Rama Superior de la Circunferencia.

391

Rama Inferior de la Circunferencia. vi.Ramas de Elipse:

La ecuación en forma implícita

con a, b,

y, a > b

corresponde a una elipse centrada en el origen y eje mayor 2a y cuya gráfica no es una función (criterio de la recta vertical), genera dos funciones, llamadas: ramas de elipse y cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación:

Rama Superior de la Elipse.

Rama Inferior de la Elipse.

392

vii.Ramas de Parábola: La ecuación en forma implícita y2 = x, corresponde a una parábola abierta hacia el eje x positivo y cuyo vértice y foco son respectivamente los puntos V(0, 0) y F(1/4, 0). Su gráfica no es una función (criterio de la recta vertical), sin embargo, genera dos funciones llamadas: ramas de parábola cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación:

y2 = x

Rama Superior de la Parábola.

Rama Inferior de la Parábola.

viii.

La ecuación en forma implícita x . y = 1, corresponde a una curva

llamada: hipérbola equilátera y genera la función: f :

-{0}

13.5 FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO n.

f: donde a0, a1, a2,...,an son números reales. 393

CASOS PARTICULARES i.La función definida por: y = f(x) = a0 (a0 una constante) se llama: función constante y su gráfica corresponde a una recta paralela al eje x, a0 unidades por encima o por debajo del eje x según el signo de a0.

ii. La función definida por: y = f(x) = a0 + a1x, se llama: función lineal iii.La función definida por: y = f(x) = x, se llama: función identidad y su gráfica corresponde a una recta que pasa por el origen formando un ángulo de 45º con el semieje positivo x

iv. La función definida por: y = f(x) = ao + a1x + a2x2, se llama: función cuadrática v.La función definida por: y = f(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3, se llama: función cúbica. Dentro de estas cúbicas se destaca una por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se habla de la función: y = f(x) = x3, llamada: parábola cúbica y cuya gráfica aparece .

394

13.6 FUNCIÓN MAYOR ENTERO MENOR O IGUAL A x.

f:

Z

donde n es un número entero tal que La expresión

.

se lee: "mayor entero que no supera a x".

Asi, para También, La gráfica de la función está constituida por una serie de segmentos unitarios faltándole a cada uno su extremo derecho.

13.7 FUNCIÓN DEFINIDA A TRAMOS. f :A

395

donde

(dominio de f).

CASOS PARTICULARES i.Función Valor Absoluto:

f:

La gráfica de la función valor absoluto, está formada por las rectas perpendiculares y = x e y = -x.

ii. Función Signo: f:

Z

396

Su gráfica se muestra en la fig. 8. y está constituida por el origen de coordenadas y dos semirectas a las cuales les falta el punto inicial.

Nota: El dominio es el conjunto

, mientras que el rango es el conjunto {-1, 0, 1}.

13.8 FUNCIÓN RACIONAL f:

donde Pn(x) y Qm(x) son polinomios de grados n y m respectivamente. Nótese que el Dominio de una función racional f viene dado por : Df = {x

/ Qm(x)  0} =

- {x

/ Qm(x) = 0}.

Es decir, el Dominio f lo constituye el conjunto de los números reales, excepto los valores que anulan el denominador. Para la gráfica de una función racional se precisa conocer otros conceptos (asíntotas, máx., mín., concavidad, puntos de inflexión) que más adelante se discutirán. 7.2.6 FUNCIONES: ALGEBRÁICAS Y TRASCENDENTES Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales por

397

medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. Un ejemplo de una función algebraica explícita es aquella para la cual la regla de correspondencia viene dada por:

. Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas,

exponenciales

o

logarítmicas.

Ejemplos

de

funciones

trascendentes son las siguientes:

13.9 FUNCIONES PARES E IMPARES i. Una función f es PAR, si los números x y -x están en su dominio y además: f(-x) = f(+x). ii. Una función f es IMPAR, si los números x y -x están en su dominio y además: f(-x) = -f(x). OBSERVACIONES i.Es evidente desde el punto de vista geométrico que la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y.

398

También, es evidente que toda función racional que solo contiene potencias pares (x0, x2, x4, ...) de la variable x es PAR.

Asi, la función ii.

es PAR.

Igualmente, la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al

origen.

13.10 OPERACIONES CON FUNCIONES. Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones: i. SUMA: ii. DIFERENCIA: iii. PRODUCTO:

iv. COCIENTE: NOTA: En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g.

399

v.COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la "compuesta de f y g". Sean

y

dos funciones donde coincide el dominio de la

segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él, es decir

.

El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier x A mediante f, y luego obtener la imagen de f(x) B mediante g

Sean

y

dos funciones. La composición de las funciones f y

g, denotada por (g o f) es la función: gof:

Asi por ejemplo si f y g son las funciones definidas por:

y

Entonces

400

Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general: (g o f)(x)  (f o g)(x). Se debe tener también cuidado con los dominios de g o f y de f o g. El dominio de g o f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como preimagen. Esto es, D(f) = Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales:

se concluye entonces que: D(g o f) = [3, +

)

Nótese que (g o f) (1) = g(f(1)) = g(-1) NO ESTA DEFINIDO. Igualmente, (g o f) (2) = g(f(2)) = g(-1/2) NO ESTA DEFINIDO. También, el dominio f o g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen. Es decir, D(g) = [0, +

).

Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g en el intervalo D(g) = [0, + D(f o g) = [0, +

). De esta forma:

).

En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras. Asi por ejemplo, la función:

puede escribirse en las formas:

P(x) = (g o f)(x) siendo P(x) = (g o f)(x) siendo

y y

401

En efecto,

en el primer caso, y, en el segundo.

13.11 CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES. 13.11.1 FUNCIONES MONÓTONAS. Sea f(x) una función definida en [a, b]. i.f es creciente en [a, b] si y solo si se cumple que : .

.

ii.f es decreciente en [a, b] si y solo si se cumple que: .

.

iii.f es monótona en [a, b] si y solo si f es creciente ó decreciente en [a, b]. Las gráficas siguientes ilustran las definiciones anteriores.

Función Creciente

Función Decreciente No es ni creciente ni decreciente

13.11.2 FUNCIONES INYECTIVAS. Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que: . o equivalentemente, .

.

402

En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f, existe exactamente una y en el rango, y, ninguna y en el rango es imagen de más de una x en el dominio. Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una función 1-1. Este criterio se conoce como: Criterio de la recta horizontal. Si toda recta horizontal corta a la gráfica de una función f en uno y solo un punto, entonces f es 1-1 Asi por ejemplo, en la figura aparece la gráfica de la función y = f(x) = x2 + 1 la cual, de acuerdo al criterio de la recta horizontal no corresponde a una función 1-1. Nótese que la recta y = 2, corta la gráfica en más de un punto: P1(-1, 2) y P2(1, 2).

Igualmente, en la figura aparece la gráfica de la función y = x3 – 1, la cual, de acuerdo al criterio de la recta horizontal, corresponde a una función 1-1. Nótese que toda recta horizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto. 403

Si se analiza un poco más la gráfica de la función en la figura se nota además que f es una función creciente en su dominio como toda función creciente (o decreciente) siempre tendrá valores diferentes de y, para valores distintos de x, se sigue entonces que toda función creciente (decreciente) en su dominio es 1-1. 13.11.3 FUNCIONES INVERSAS. Para hacer claridad sobre el concepto de función inversa, que se presenta en esta sección, se toma nuevamente la función f, de la figura está definida por la ecuación: y = f(x) = x3 – 1 (1) y cuyo dominio y rango es el conjunto

de los números reales. Al

despejar x en la ecuación (1) se obtiene: (2) Por la forma que presenta esta ecuación, se sabe que dado cualquier valor de y, tomado del rango de f (esto es, de

), existe

uno y solo un valor de x situado en el dominio de f. En consecuencia, la ecuación (2) nos define otra función cuyo dominio es el rango de f y cuyo rango es el domino de f. Asi por ejemplo, la ecuación (1) asigna al valor x = 2, un único valor de y, en este caso, y = 23 – 1 = 7. La segunda ecuación, efectúa la operación inversa, esto es al valor y = 7, le asigna el valor de

404

.

Si se quiere ahora representar, como es usual, con x a la variable independiente y con y a la dependiente, se intercambia x con y en la ecuación (2) y así se obtiene:

(3).

La función definida por (2) o (3) y que se representa en forma general por f -1 se conoce como la INVERSA DE LA FUNCIÓN f definida por (1). Igualmente, la función definida por (1) es la INVERSA DE LA FUNCIÓN f -1 definida por (2). Es decir,

Las gráficas de f(x) y de f –1(x) representadas en el mismo plano cartesiano aparecen la figura.

Considere ahora la función y = f(x) = x2 + 1 cuya gráfica se muestra. El dominio de f lo constituye el conjunto

de los números reales

y el rango se obtiene al despejar. se obtiene:

. Entonces y-1≥0

Esta última ecuación, dice que para cada valor que se le asigne a la variable y, le corresponden dos valores a la variable x, y en consecuencia, esta última ecuación no define una función. 405

En este caso se dice que la función y = f(x) = x2 + 1 no tiene inversa o que f –1 no existe. De los dos ejemplos anteriores, se deduce fácilmente que una función f tiene inversa si f es 1-1. Definición. Sea

una función 1-1.

La inversa de f, denotada f –1, es la función:

tal que: f –1 ( f (x) ) = x para cada x A (Dominio de f) f ( f -1 (x) ) = x para cada x B (Dominio de f -1) Nótese que D(f) = r(f -1)

r(f) = D(f -1)

Se debe tener cuidado con el (-1) usado en f -1. El (-1) no es un exponente, es simplemente un símbolo para denotar la inversa. Como ejemplo ilustrativo, considere nuevamente la función definida por la ecuación: y = f(x) = x3 – 1. se tiene:

f y f –1 son inversas una de la otra. Además, , x i D(f) = , x i D(f -1) = Como se mencionó antes, la función f:

406

[1, +∞ )

x

f(x) = x2 + 1

no tiene inversa (pues f no es 1 – 1). Sin embargo, dicha función genera dos funciones:

y

que son 1 – 1 en sus respectivos dominios y en consecuencia tienen inversa.

Para la función f se tiene:

Las gráficas de f y f -1 en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la figura.

407

Igualmente, para la función g se tiene:

Las gráficas de g y g -1 en el mismo sistema de coordenadas aparecen en la figura.

Además,

(Propiedad V.A.6)

(Definición de

)

Es decir, para cada

.

Igualmente,

Es decir,

para cada

408

.

Se deja para el lector el hacer las mismas consideraciones para la función g y su inversa g -1. Observación. Nótese en las figuras que las gráficas de f y f -1 (g y g -1) son simétricas con respecto a la recta y = x. 13.11.4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea

un número real positivo. La función que a cada número

real x le hace corresponder la potencia

se llama función

exponencial de base a y exponente x. Como

para todo

función de

en

,la función exponencial es una

.

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.

13.11.4.1TEOREMA (LEYES DE LOS EXPONENTES) Sean a y b reales positivos y x,y€R ,entonces: 1.

2. 3. 4.

5.

.

6. 409

Cuando a > 1 ,si x < y, entonces,

.Es decir, cuando

la base a es mayor que 1,la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio. Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces,

.

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en su dominio. . 10.Si 0< a < b ,se tiene:

. Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. Cualquiera que sea el número real positivo único número real

tal que

, existe un

. Esta propiedad

indica que la función exponencial es sobreyectiva. Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.

410

13.11.4.2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL funciones exponenciales de base a > 1 y de base a < 1

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial decir ,

no está acotada superiormente. Es crece sin límite al aumentar la variable x.

Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es ,

tiende a cero(0), cuando x toma valores

grandes pero negativos.

411

Igualmente, exponencial

cuando

la

base

<

a

1,

la

función

no está acotada superiormente, pero su

comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así,

crece sin límite, al tomar x

valores grandes, pero negativos y

tiende a cero, cuando

la variable x toma valores grandes positivos. El hecho de ser la función exponencial

con a > 1,

estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. En relación con la propiedad, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva. Observación. Cuando a = e, donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284Q.,la función exponencial

,se

llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) =

412

.

13.11.5 LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente. El proceso de multiplicación es reemplazado por una suma; la división, por una sustracción; la elevación a potencias, por una simple multiplicación, y la extracción de raíces, por una división. Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos. La igualdad N

, donde N es un número real y

, es una

expresión potencial; da lugar a dos problemas fundamentales: Dada la base a y el exponente x , encontrar N. Dados N y a, encontrar x. El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos ,aplicando las leyes de los exponentes. Para el segundo, la propiedad y el teorema garantiza que siempre existe un número real x tal que N

, cuando N y a son reales positivos y

.

Lo anterior da lugar a la siguiente definición: Sea a un real positivo fijo,

y sea x cualquier real positivo,

entonces:

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base

,

413

denotada por a, y, el número

,se llama: función logarítmica de base se llama logaritmo de x en la base a.

La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos. 13.11.5.1TEOREMA (PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS) Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces: .

. Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces,

.Es

decir ,la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio. Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y, entonces, .Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.

414

Para todo número real tal que

, existe un único número real

. Esta propiedad indica que la función

logarítmica es sobreyectiva.

.

Si

, y,  != 0 , entonces,

.

(Invarianza)

OTRAS NOTACIONES Sea

.De acuerdo a la definición de logaritmo

y de la propiedad del teorema, se tiene : . Esto es ,

(1)

En segundo lugar , nuevamente por la definición ,

. 0

Es decir ,

( 2 ).

De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que Sea

y

.

, entonces: ( 1 ). ( 2 ).

De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que :

. 415

Es decir ,

.

Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean : y

.Se prueba que .

En efecto ,si

,y como a > 1 ,se tendría por la

propiedad del teorema que

, es decir ,

en

contradicción con la hipótesis. Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1. Observaciones. i ) La igualdad

,dada en la propiedad 1, es

también válida para b < 0 .ii) Las propiedades de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades de los exponentes, ponen de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones exponenciales y logarítmicas en una misma base. Es decir, si una de ellas es continua y creciente ( continua y decreciente ) , la otra también lo es. iii) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número e (número de EULER). Los logaritmos de base e son llamados logaritmos Naturales o Neperianos y se denotan por Ln. Sin embargo, los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la práctica son

416

los correspondientes a la base 10 ,los cuales son llamados logaritmos decimales o vulgares y se denotan

por

o, simplemente, Log x.

13.11.5.2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA En las figuras aparecen las gráficas de las funciones

e

, en concordancia con

las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior. En la figura se han trazado conjuntamente las curvas

e

.Allí pueden visualizarse los

comentarios hechos en la observación. Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x.

417

13.12 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

13.12 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 1. Simplifique totalmente la siguiente expresión:

..

SOLUCIÓN

=

=

=

=

=

= 2025 .

418

2. Pruebe que SOLUCIÓN Simplifique inicialmente el numerador y el denominador de la fracción .Así: También,

En consecuencia ,

.

3. Pruebe que si a > 0 , a ..

y x > 0 ,entonces,

.

SOLUCIÓN

Suponga que

(1). Esto significa, de acuerdo a la definición, que

(2).

De (2), se deduce que

. Pero ,

De (1) y (3), se concluye que :

419

(3).

4. Sea a > 0 , x > 0 y, además ,

.Determine el valor de x.

SOLUCIÓN Si

, entonces,

. Tomando logaritmo en

base a ,en ambos miembros de la última igualdad ,se obtiene : . O Equivalentemente,

Despejando

y simplificando , se obtiene :

En consecuencia ,

.

5. Determine los valores de x e y que satisfacen simultáneamente las ecuaciones: (1) ..

(2)

SOLUCIÓN

De la ecuación ( 2 ) ,se sigue que x e y son reales positivos. Además, se puede deducir que :

( 3 ). De donde ,

( 4 ).

Como x,y son reales positivos ,se sigue de ( 1 ) que De ( 4 ) y ( 5 ), se deduce que :

420

( 5 ).

. De donde ,

.

Sustituyendo el valor de y en la ecuación ( 1 ) ,se obtiene

6. En la escala de Richter, la intensidad M de un terremoto, se relaciona con su energía E (en Ergios ) por medio de la fórmula:

Si un terremoto tiene 1000 veces más energía que otro, ¿cuántas veces mayor es su índice de Richter M ? ¿Cuál es la razón de la energía del terremoto de San Francisco, ocurrido en 1906 (M=8.3), con la del Eureka de 1980 (M=7) ? ..

SOLUCIÓN

Sean

, las energías de los dos terremotos y tales que

(1).

Entonces, Pero,

(3) y ,también ,

(4)

Sustituyendo (3) y (4) en (2), se obtiene: Simplificando la última igualdad, se deduce que :

. Este último

resultado indica que la intensidad del terremoto de mayor energía tenía dos unidades más que la intensidad del primero. Si y

denota

la

energía

la energía del Eureka

del

terremoto

de

, entonces:

421

San

Francisco

(5). (6).

Dividiendo miembro a miembro las igualdades (5) y (6), se

obtiene: ¿Cómo interpreta usted este resultado? 13.13EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE FORMULACIÓN EXPONENCIAL. 1. Simplifique Totalmente:

Ayuda: Exprese Todo en Potencias de Base 2 y 3. 2. Simplifique Totalmente:

Ayuda: Exprese Todo en Potencias de Base 2 y 3. 3. Si f(x) =

, demuestre que:

a)

=

b)

= c)

=

4. Si

, demuestre que: =

5. Resuelva en

la siguiente ecuación exponencial:

422

6. Demuestre que si y = coshx , entonces, x =

.

13.14 EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. 1. Use las propiedades de los logaritmos para demostrar las siguientes identidades.

a)

b)

c) 2. Resuelva la Siguientes Ecuaciones Logarítmicas. a) b)

c)

d) 3. Si a > 1 y x > 1, pruebe que : 4. Determine el valor de x,

,sabiendo que :

5. Determine los valores de x e y que verifican simultáneamente las Ecuaciones:

x.y=1

423

6. Resuelva las siguientes ecuaciones:

7. Dado que:

y

y

, pruebe que:

.

8. Dado que

, pruebe que:

9. Dado que

, pruebe que:

424

.

.

BIBLIOGRAFIAS

•

ARYA,

J.

LARDNER,

R.

OTEYZA,

E.

PALMAS

VELAZCO,

O.

”MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION, ECONOMIA, CIENCIAS BIOLOGICA Y SOCIALES”, 3era. EDICION EDITORIAL PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA.

•

CHIANG ALPHA C. “METODOS FUNDAMENTALES DE ECONOMIA MATEMATICA”, EDITORIAL. MC. GRAW – HILL.3era EDICION.

•

DRAPES,JEAN E, KLINGMAN,JANE S. “MATEMATICAS PARA LA ADMINISTRACION Y ECONOMIA” EDITORIAL.MEXICO.HARLA .1976

•

HAEUSSLEER E.F. Y RICHARD S. PAUL. ”MATEMATICA PARA ADMINISTRACION, ECONOMIA,CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA “ EDITORIAL PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.8va.EDICION MEXICO

•

HOEL

PAUL

G.

”MATEMATICAS

FINITAS

Y

CALCULO

CON

APLICACIONES A LOS NEGOCIOS” EDITORIAL. LIMUSA MEXICO •

LANG,

SERGE

“INTRODUCCION

A

ANALISIS

MATEMATICO”

ADDISSON-WESLEY IBEROAMERICANA, S.A. •

LARSON Y HOSTETLER. ”CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA” EDITORIAL. MC. GRAW – HILL.3era EDICION, MADRID.

•

LEITHOLD LOUIS. ”CALCULO PARA CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, BIOLOGICAS Y SOCIALES” EDITORIAL.MEXICO. HARLA .1988

•

SYDSAETER Y HAMMOND. “MATEMATICAS PARA EL ANALISIS ECONOMICO” EDITORIAL.PRENTICE HALL MADRID 1996

•

WEBER (DRAPER) JEAN. “MATEMATICA PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA” EDITORIAL.MEXICO. HARLA .1990

425

•

F.S. BUDNICK “MATEMATICA APLICADAS A LA ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CIENCIAS SOCIALES” EDITORIAL 2. MC. GRAW – HILL HALL.

•

CABALLERO R. ”MATEMATICA APLICADAS A LA ADMINISTRACION, ECONOMIA Y A LA EMPRESA”

•

EDITORIAL PIRAMIDE.

ARYA, J.C. Y LARDNER,R.W. “MATEMATICA APLICADAS A LA ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CIENCIAS SOCIALES”

EDITORIAL

PRENTICE-HALL. •

JEAN E. WEBER-EDUARDO ESPINOZA RAMOS “SOLUCIONARIO DE MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA” EDITORIAL SERVICIOS GRAFICOS J.J. 2da. EDICION, 2003.

•

FIGUEROA GARCIA, RICARDO. “MATEMATICA BASICA” NOVENA EDICION. IMPRESO EN RFG. LIMA PERU 2006.

•

LARSM, RON – HOSTELLER, ROBERT “CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA”

OCTAVA EDICION, MCGRAW – HILL

INTERAMERICANA DE MEXICO, S.A. DE C.V. 2006

•

VENERO BALDEN, ARMANDO.

“MATEMATICA BASICA”, IMPRESO

EN LOS TALLERES GRAFICOS TOP-JOB E.I.R.L.. LIMA PERU

•

ANTONIO

CALDERON

“MATEMATICA

BASICA”,

EDITORIAL

UNIVERSITARIA URP-04/2005 •

ESPINOZA RAMOS, EDUARDO “ANALISIS MATEMATICO I” 3era EDICION. EDITORIAL SERVICIOS GRAFICOS J.J. 2008

•

ESPINOZA RAMOS, EDUARDO “MATEMATICA BASICA” 1era EDICION. GEMAR, LIMA PERU. 2001

426

•

ESPINOZA RAMOS, EDUARDO “MATEMATICA BASICA” PUBLICACION LIMA SERVICIOS GRAFICOS J.J.2005

427