Material De Consulta - Redes Pert Cpm

Planificación de Proyectos

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3.1 Planificación de Proyectos con Pert/Cpm Tomado de López y Morán, 2001 ¿QUÉ ES UN PROYECTO? Se entiende por “Proyecto” al conjunto de ideas, escritos, dibujos, cálculos y programas que se hacen para dar una idea de cómo ha de ser, como se va a desarrollar y de que va a constar una obra o una cantidad que deseamos realizar. Los proyectos pueden ser de poca o gran envergadura, a corto, mediano o largo plazo, dependiendo del objetivo que se persigue. Ejemplos de algunos posibles proyectos: N 1. El proyecto de escribir un libro. N 2. El proyecto de cómo realizar una transacción comercial rentable. N 3. El proyecto de pintar una casa. N 4. El proyecto para realizar un viaje de vacaciones. N 5. El proyecto de una intervención quirúrgica. N 6. El proyecto de cómo ejecutar una obra de ingeniería. N 7. El proyecto para hacer una infraestructura urbana dentro de un centro minero. N 8. El proyecto para mejorar la producción agro-industrial del país. N 9. El proyecto para la reubicación de los “vendedores informales" e la ciudad de Lima. N.10. El proyecto para la recuperación y reestructuración de los centros arqueológicos. N 11. Plantear la elaboración del “Proyecto Nacional”

¿QUÉ ES UN PROCESO PRODUCTIVO? Es el conjunto de actividades (tareas, operaciones, trabajos) que son necesarios efectuar para producir un objeto específico. Actividades de un Proceso Productivo son: los trabajos necesarios que contribuyen a la realización de todo proceso. Objetivos de un Proceso Productivo: Los objetivos pueden ser de naturaleza muy diversa; industrial, comercial, técnica, científica, administración, artística, educacional, etc. Ejemplos de algunos objetivos posibles: ─ Producir o reparar una pieza de maquinaria o equipo. ─ Producir un articulo comercial. ─ Hacer una construcción civil de cualquier clase. ─ Elaborar el diseño de un articulo. ─ Hacer un estudio económico, etc. Está implícito que todos los objetivos están ligados con el factor “fecha de finalización de cada proyecto”.

I. METODOS EMPLEADOS EN LA PLANIFICACIÓN DE UN PROYECTO En la figura 1.1 se visualiza las fases que comprende la realización de un proyecto: la planificación y la ejecución.

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1. LA PLANIFICACIÓN. Consiste en el análisis de las actividades que deben de intervenir en el proyecto y el orden en que se correlacionan al desarrollarse y como serán controlados. 1.1 EL PLANEMIENTO. Es el conjunto de decisiones que deben tenerse en cuenta para lograr realizar los objetivos del proyecto de manera más eficiente posible. Figura 1.2

Fig. 1.2 Fases del Planeamiento En esta etapa se deberá contestar una gama de preguntas a fin de visualizar todos los factores que incidirán en el proyecto: ¿Para que?, ¿Como?, ¿Que?, ¿Cuando?, ¿Cuanto?...., concretamente “se proyectara el pensamiento hacia delante” siguiendo los lineamientos que se describen: a) b) c) d) e) f) g) h)

Hacer una lista de actividades (operaciones) para obtener el resultado final. Imaginar la continuidad de los procesos estableciendo alguna relación entre las actividades (operaciones). Describir la manera de ejecutar cada una de las actividades (operaciones) o las posibles alternativas de ejecución. Determinar las fechas de inicio y terminación de cada actividad (operaciones) y la duración del proyecto. Análisis de los costos: directo, indirecto y total. Determinación de las cantidades y características de los materiales que serán necesarios en cada una de las actividades (operaciones). Determinación de las maquinas y herramientas que serán empleados en los trabajos. Designación y nivelación de la mano de obra.

1.2 LA PROGRAMACIÓN. Es la elaboración de tablas y gráficos en los que se muestran los tiempos de duración, de inicio y de terminación de cada una de las actividades (operaciones) que forman el proyecto en general en armonía con los recursos disponibles. 1.3 CONTROL Y EVALUACIÓN. Consiste en establecer parámetros comparativos entre los que estaba planeado y lo que esta sucediendo en “el campo”. Estos resultados facilitaran la corrección de posibles desviaciones y su consiguiente optimización. La planificación grafica de un proyecto, se puede desarrollar mediante dos métodos mas comunes: el Diagrama de Gantt o la Programación PERT – CPM, y otras veces se podrá emplear el Sistema de Potenciales Roy. Cada uno de los modelos presenta peculiaridades, ventajas y limitaciones que trataremos de resumirlos para posteriormente poder dimensionar las grandes potencialidades que encierran en su aplicación.

EL DIAGRAMA DE GANTT O DIAGRAMA DE BARRAS La planificación científica del trabajo fue propuesta por Henry Gantt y Frederick Taylor a principios de 1900 y a partir de entonces se ha ido popularizando el llamado Diagrama de Barras.

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El Diagrama de Barras en si es un diagrama cartesiano; que partiendo de dos ejes ortogonales entre si, puede estudiar las relaciones existentes entre dos variables: Actividades versus Duraciones de las mismas.

Fig 1.3 Diagrama de Gantt

FUNDAMENTO DE LA REPRESENTACION GRAFICA DE UN PROYECTO Como ya hemos indicado, la Programación Pert - Cpm usa el grafo para representar el desarrollo de un proyecto específico. La finalidad de un grafo Pert – Cpm esquematizado, es representar la lógica del proyecto entero y desarrollar los detalles del proyecto de acuerdo al Diagrama de Gantt.

Las tareas, trabajos, operaciones o procesos son considerados como actividades. Gráficamente cada actividad esta compuesta de dos partes básicas: ─ La primera, la ejecución del trabajo, esta representado por una flecha orientada con sentido de izquierda a derecha. Se entiende que la actividad es un símbolo del trabajo en proceso de ejecución, requiriendo para ello el consumo de tiempo y recursos. ─ La segunda, son los sucesos y generalmente se representan con dos círculos, elipses o rectángulos que se colocan en los extremos de las flechas. Un suceso es un instante específico del tiempo y sirve como punto de control, describiendo el momento de comienzo o termino de una actividad y por ello no consumen tiempo. Algunas consideraciones para esquematizar el Grafo Pert – Cpm.       

El grafo comienza en un único suceso inicial y no tiene actividades que la preceden. Una actividad no puede empezar hasta que todas las actividades precedentes hayan sido terminadas. Una actividad debe ser terminada para que las subsiguientes puedan comenzar. La longitud de la flecha no representa cantidades de tiempo. La dirección de la flecha no tiene sentido vectorial, es solamente una proyección del tiempo, como el tiempo es irreversible la orientación de la flecha, es siempre de izquierda a derecha. Tampoco es preciso que la flecha sea una línea recta, puede dibujarse en curva El grafo termina en un único suceso final y no tiene actividades que la subsigan.

VENTAJAS QUE OFRECE LA TECNICA DE MALLAS PERT – CPM 1º 2º

Es método nuevo que se emplea en la planificación de proyectos. Permite la planeación, programación y control de los recursos disponibles.

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3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º

En forma clara muestra el plan para la realización de un proyecto específico. Sirve de guía para el refinamiento de un proyecto. Es un medio para evaluar estrategias o planes alternativos de acción. Permite la simulación de las alternativas de operación. Es un medio de evitar la omisión de actividades que pertenecen a un proyecto. Es un medio de deslindar responsabilidades en la ejecución de las diferentes actividades que intervienen en el proyecto. Proporciona a la dirección las siguientes informaciones. 9.1. Que trabajos serán necesarios primero y cuando se deben de realizar los problemas de financiación y los acopios de materiales. 9.2. Que trabajos hay y cuantos serán requeridos en cada momento. 9.3. cual es la situación del proyecto que esta en marcha en relación con la flecha programada para su terminación. 9.4. Cuales son las actividades críticas que al retrasarse cualquiera de ellas, retrasan la duración del proyecto. 9.5. Cuales son las necesidades no críticas y cuanto tiempo de holgura permite si hay demora. 9.6. Si el proyecto esta retrasado, donde se puede reforzar la marcha para contrarrestar la demora y que costo produce. 9.7. Como es la planificación y programación de un proyecto con costo mínimo y duración optima. 10º Nos permite mejorar la capacidad de conducción y controlar el desarrollo del proyecto debido a la correcta interpretación de los resultados. 10.1. Como evitar los “tiempos muertos “y “cuellos de botellas” en la maquinaria y mano de obra. 10.2. Como coordinar eficientemente un cierto numero de sub.-contratistas. 10.3. Como hacer uso de horas extraordinarias en el momento adecuado. 10.4. Como conocer y disminuir las posibles perturbaciones del proyecto.

II. EL GRAFO PERT – CPM EN LA PLANIFICACIÓN DE PROYECTOS. Como ya se ha visto, cada una de las actividades de un proyecto se representa mediante flechas orientadas, las que se enlazan entre si formando una malla o red y cuyo sentido indica el desarrollo del proyecto a lo largo del tiempo.

II.1 MALLA O RED DE FLECHAS Es la representación reticular de las actividades que comprenden la realización de un proyecto específico. La malla o red de flechas orientadas, sirve al programador para representar gráficamente el desarrollo general de la Obra. La técnica de “planificación por mallas” ordena todos los itinerarios de trabajo – actividades, operaciones o procesos, cuyas terminaciones sucesivas son necesarias para la realización del proyecto, de tal forma que su ordenación en el tiempo corresponde a las necesidades técnicas planeadas de antemano. Concretamente: Cada proyecto en particular, consta de una serie de actividades de distinta naturaleza, donde algunas dependen unas de otras que son independientes.

ELEMENTOS DE UNA MALLA EL ELEMENTO BASICO DEL GRAFO Pert – Cpm es la flecha, que comienza y finaliza en nudos, los cuales representan los sucesos de inicio y terminación de la actividad a la que representa.

Fig I.4 Representación de un elemento de una malla de Pert- Cpm Con el propósito de facilitar la identificación y cálculos en la red y evitar confusiones, toda actividad llevara un nombre y todo suceso un número. TIEMPO DE PREPARACION (TP) Y RESTRICCIONES EXTERNAS Generalmente en los modelos de red para proyectos, hay un tiempo de preparación antes de la etapa de ejecución del mismo. En este tiempo se realiza una serie de actividades restrictivas que condicionan la puesta en marcha del proyecto y entre las que se mencionan:

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─ Gestiones para obtener autorizaciones y licencias. ─ Gestiones financieras. ─ Espera de la última decisión parta lanzar el proyecto. ─ Mejora de las condiciones ambientales. El tiempo de Preparación (TP) se representa con una flecha de línea sinuosa

con tiempo de duración cero.

En el diagrama se interpreta: el suceso O marca la iniciación del proyecto y el suceso 1 marca la iniciación de la ejecución física del proyecto.

ACTIVIDADES FICTICIAS (FIC) La correcta enumeración de los sucesos, permite identificar las diferentes actividades mediante los sucesos de inicio (i) y de terminación (j). Para que cada actividad pueda ser identificada por una combinación única de sucesos de inicio y de terminación, es necesario incluir en la elaboración de la red, las llamadas Actividades Ficticias (FIC) que no consumen trabajo, tiempo o recursos, sino que sirven para dar consistencia a las interrelaciones de las actividades en circunstancias especiales. En teoría de grafos Pert – Cpm, a las Actividades Ficticias se la representa por una flecha de trazo discontinuo:

MALA

BUENA

EN ESTA RED EXISTEN TRES ACTIVIDADES CON MISMA CODIFICACIÓN

Fig. I53: USO DE ACTIVIDADES FICTICIAS

II.2 REGLAS PARA ELABORAR UNA RED O CADENA DE FLECHAS Para lograr una correcta representación grafica de las dependencias internas en un diagrama de mallas, se deberá tener en cuenta las siguientes reglas: 1.

La colocación de dos flechas una a continuación de la otra, según la figura, indica que la actividad A debe estar concluida para que se inicie la actividad B.

2.

La disposición de las flechas, según la figura, indica que la actividad A debe estar concluida para que puedan iniciarse las actividades B y C.

3.

La disposición de las flechas, según la figura, indica que la actividad A y B debe estar concluidas antes de iniciarse la actividad C.

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4.

La longitud y la forma de representar las flechas son a voluntad del programador, lo cual quiere decir que las cuatro figuras que se muestran son equivalentes.

5.

Cuando dos o mas cadenas están programadas en paralelo y existen prioridades, es necesario introducir actividades ficticias para expresar correlaciones de tiempo.

6.

Se debe evitar la conexión de dos nudos mediante dos o más flechas.

7.

Una actividad no debe concluir a un nuevo suceso que es previo al inicio de la actividad.

8.

Si el inicio de una actividad no depende de la culminación de un proceso, sino tan solo de una parte del mismo, hay que descomponerla a esta de manera racional según criterios tecnológicos. Proyecto “Libro A”

9.

En la Programación Pert – Cpm, normalmente, los proyectos tienen un nudo de inicio y uno de terminación. Esta exigencia se lograra cumplir siempre si introducimos actividades ficticias.

10. Los proyectos pueden presentarse con diferentes grados de sintetización.

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ENUMERACION DE LOS SUCESOS A fin de poder identificar las actividades componentes del proyecto y facilitar los calcuelos en el ordenador, es conveniente asignar números naturales a cada uno de los sucesos desde el inicial hasta el final. Para evitar correcta numeración secuencial se deberá observar: a. b.

El orden numérico de los sucesos ha de ser creciente en el sentido de las flechas y de arriba hacia abajo. En la numeración de los sucesos, se debe utilizar una serie progresiva de razón mayor que la unidad para poder intercalar sucesos, de ser preciso, sin alterar la numeración fundamental.

De esta forma, todas las actividades estarán entonces identificadas únicamente por su suceso inicial y final. Actividad A = (1,2) Actividad B = (2,3) Actividad C = (2,4) Actividad D = (3,4) Actividad E = (4,5) Generalizando: En una malla de n sucesos, los sucesos de inicio y terminación serán:

i = 1, 2, 3, 4, 5, 6……. (n-1) J = 1, 2, 3, 4, 5, 6…….n de tal forma siempre: i < j

TRAZADO DEL GRAFO Para comenzar a dar forma a un grafo Pert – Cpm y plantearnos las relaciones lógicas de precedencia, debemos formularnos las siguientes preguntas: 1.

¿Qué sucesos y actividades deben efectuarse inmediatamente antes de que tenga lugar este otro suceso?

2.

¿Qué sucesos y actividades se pueden realizar en paralelo?

3.

¿Qué sucesos y actividades pueden realizarse inmediatamente después de este suceso? Inicialmente el grafo debe esbozarse con lápiz para poder borrar varias veces e ir mejorándolo en sucesivos tanteos. Las siguientes indicaciones orientativas facilitan el procedimiento: a) b)

En lo posible las flechas deben ser rectas. Evitar en lo posible que las flechas se crucen.

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Evitar en lo posible que las longitudes de las flechas sean desproporcionadas unas con otras. Evitar en lo posible que las flechas tengan ángulos entre ellas pequeños. Evitar el desorden en la numeración, procurando hacer esta de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Evitar las flechas ficticias que no sean necesarias.

PROCEDIMIENTO PARA ESTABLECER LOS GRAFOS El replanteo de la red debe hacerse en una forma lógica y secuencial según las relaciones de precedencia entre las actividades. Así, tenemos una serie de actividades que forman parte de un proyecto especifico, existirán interdependencias de actividades entre si y además, existir otras condiciones limitantes que pueden intervenir en la realización de cada una de ellas. Con el siguiente ejemplo, quedaran despejadas las deudas que existieran. Un proyecto consta de 8 actividades las que están interrelacionadas conforme se indica.

Esboce el grafo Pert – Cpm correspondiente. SOLUCION

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Una vez formada la red, debe verificarse que no existan incongruencias en las relaciones de precedencia.

PROBLEMA Se tiene una serie de actividades de un proyecto, las que están interrelacionadas según las relaciones de precedencia que se indica:

Trace el diagrama de actividades. SOLUCION:

PROBLEMA 1A Dada una serie de actividades componentes de un proyecto, trace el grafo correspondiente.

PROBLEMA 2A Un proyecto consta de 10 actividades, conforme se indica. Grafique la red de flechas.

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SOLUCION 2A

PROBLEMA 3A Con los datos de precedencia de las actividades de un proyecto, determine la red correspondiente.

PROBLEMA 4A Dada una serie de actividades de un proyecto y sabiendo que la actividad A precede a las actividades B, C, D y estas a E. Grafique la red de actividades.

PROBLEMA 5A Las actividades de un proyecto están correlacionadas según las relaciones de precedencia que se indica. Grafique la red de flechas.

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PROBLEMA 6A Nombre las actividades, enumere los sucesos y explique las relaciones de precedencia de las actividades de la siguiente red.

PROBLEMA 7A Con los datos de precedencia que se indica, determine la red de actividades.

PROBLEMA 9A Haga una red de actividades, si las relaciones entre las actividades son las siguientes. a) b) c) d) e) f) g)

A es la primera actividad del proyecto. B, C, L son actividades que se desarrollan simultáneamente y dependen de la realización de A. D, E se desarrollan en paralelo y dependen de la realización de C, M. F sigue a H y precede a G. H, I, M deben iniciarse después de la terminación de B. O sigue a H y precede a Z. D, G, I, L, O deben estar terminadas antes de iniciar Z que es la ultima actividad del proyecto.

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PROBLEMA 10 A Supongamos que tenemos seis actividades bien definidas componentes de un proyecto: A, B, C, D, E, F; siendo las relaciones de precedencia las siguientes: a) b) c) d)

A y B pueden empezar simultáneamente después de la actividad TP. Las actividades c, D pueden empezar solamente cuando termine A. Al terminar la actividad B, solo puede comenzar la actividad E. Antes de empezar la actividad F, deben estar terminadas C, D, E.

Bosqueje el diagrama de actividades.

PROBLEMA 11 A Teniendo presente las siguientes relaciones de precedencia de un proyecto, diagrama una red de flechas. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

A, X son las primeras actividades que siguen a “Tiempo de Preparación” del proyecto. B, C dependen de la realización de A. G debe comenzar después que ha terminado D, E. Al terminar C deben comenzar simultáneamente E, F, O. D debe comenzar al terminar B, C, X pero dependerá solo de B, X. H debe continuar a F. I, J dependen de la realización de G, H, O. Al terminar I deben comenzar en forma simultánea K, L. M solo comenzara al terminar J, K. N es la última actividad del proyecto dependiendo de la terminación de L, M.

PROBLEMA 12A Un proyecto consta de 17 actividades, siendo las relaciones de precedencia según se detalla: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)

A es la primera actividad del proyecto. F depende de la realización de B. B, C, D son actividades E es la actividad que sigue a D. G, I, J podrán comenzar simultáneamente al terminar c, E, F. H comenzará al terminar B, dependiendo únicamente de la realización de G. K dependerá de la realización de J, pero comenzara al terminar D. L, M, N son actividades simultáneas que comenzarán al terminar H, I, K. R es la última actividad del proyecto, dependiendo de la terminación de M, P, Q. Q es la actividad que sigue a L y antecede a R. P solo comenzara al terminar L, dependiendo únicamente de la terminación de N.

Mediante la lógica del Pert – Cpm, determine la malla correspondiente.

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Se nota incongruencia en los inicios de las actividades H, K.

III.3 DURACION DE UNA ACTIVIDAD Cada actividad depende del tiempo calculado para su realización. La estimación de los tiempos de duración se basa algunas veces en los datos experimentales y otras veces en el cálculo ponderado de probabilidades. Duración de una actividad según el CPM.

Duración de una actividad según el PERT.

Fig. III.1 : Las duraciones según el CPM y el PERT. Se Observa que el CPM utiliza los términos determinísticos, es decir, la “duración más probable”, mientras que el PERT utiliza las tres duraciones, que dan lugar a una duración promedia. DURACION OPTIMISTA (a) Optimistic time Expresa el tiempo mínimo que seria necesario para realizar la actividad. El cálculo de este tiempo considera ideales todas las circunstancias que han de concurrir en la realización de la actividad, pensando que todo ha de salir bien, en perfecto cronometraje y sin que se produzcan fallas que pueden afectar a su duración. Por estos motivos este tiempo de apreciación es poco realista. DURACION MÁS PROBABLE (m) Most likely time Es aquel que se estima como el necesario para realizar la actividad en condiciones normales de trabajo con el empleo de recursos determinados de antemano. Este cálculo de duración normal viene apoyado por la experiencia o la estadística. Generalmente tiene en cuenta los retrasos naturales que suelen producirse por causas especiales o imprevistos. DUARACION PESIMISTA (b) Pesimistic time Es el tiempo máximo que puede estimarse para que se efectúe la actividad en condiciones desfavorables sin que lleguen a admitirse en esta ponderación causas de fuerza mayor o riesgo catastrófico, incontrolables en el orden lógico. Obsérvese que el Dij o el Teij significan “duración de la actividad”, que cuando toma valores definidos, serviráan para determinar; cuando comenzar o cuando terminar la realización de la actividad. UNIDADES DE TIEMPO (UT): es necesario expresar las duraciones de cada actividad, en unidades de tiempo, pudiendo ser doras, dias, semanas, etc.

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Una vez elegida la unidad de tiempo. Todas las actividades estaran referidas a esta unidad. La programación del desarrollo del proyecto podra ser correlacionado a fechas calendario de realización. III.1

LOS TIEMPOS PARA COMENZAR Y TERMINAR UNA ACTIVIDAD

La determinación de cuándo comenzar y/o terminar cada actividad y los cálculos en la red, están apoyados en el Pert. El Cuadro III.1 resume los diversos nombres que adoptan estas estimaciones. SIMBOLOGIA.- Adoptaremos una simbología que facilita la realización de los cálculos en la red.

a) Los sucesos se representan por un círculo, el que estará dividido por tres campos: -

En el campo superior enumerara el numero del suceso En el campo derecho inferior se colocara el tiempo optimista E En el campo izquierdo inferior se colocará el tiempo pesimista: L

b) la actividad se representará

Es decir, en toda la actividad, tanto el suceso inicial y final, llevarán los tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar. c) Los tiempos optimistas para comenzar y terminar una actividad.

Cuadro III.1 LOS TIEMPO PARA COMENZAR Y TERMINAR UNA ACTIVIDAD

Los tiempos pesimistas para comenzar y terminar una actividad:

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COMO ENCONTRAR LOS TIEMPOS PARA EMPEZAR Y TERMINAR UNA ACTIVIDAD? Para comprender la metodología de cálculo, tomemos como ejemplo el siguiente diagrama de flechas.

CALCULO DE LOS TIEMPOS OPTIMISTAS EN LA RED ( LO MAS PRONTO POSIBLE) (Earliest ocurrente time) (Earliest expected time) La red propuesta deberá de ser trasladada a otra red de calculo, considerando los tres campos de cada suceso y para ello se seguirán las siguientes reglas: 1°

Considerar siempre que la primera actividad debe comenzar en cero.

2°

Cuando en un suceso termina una actividad, se empleará la fórmula: Ej = Ei + Dij

3°

Cuando un suceso termina varias actividades se empleará la formula: Ej = el Mayor[Ej + Dij].

4°

-

El valor del último tiempo optimista, marcará la duración del proyecto.

CALCULO DE LOS TIEMPOS PESIMISTAS ENLA RED ( LO MAS TARDE POSIBLE) (latest Ocurrente Time) (Latest Allowance time)

Se irá retrocediendo de suceso en suceso siguiendo las siguientes reglas: 1°.

Se comienza desde la duración

2°. del proyecto, es decir, se partirá del valor del último suceso, determinado con los cálculos de los tiempos optimistas.

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Ljn = Ejn N= Número del último suceso. 3°. Cunado el suceso comienza con una sola actividad, la determinación se hará con la siguiente fórmula: Li = Lj – Dij 4°.

Cuando del suceso comienzan varias actividades, la fórmula será: Li = el Menor[ Lj - Dij ]

5°. El valor en el primer suceso será el comienzo del proyecto.

Los datos determinados en la red de cálculo, serán reportados en el siguiente cuadro.

PROBLEMA 1B A. A partir de las actividades necesarias para la remoción y reparación de una tubería de agua subterránea (pública) deteriorada, desarrolle: A.1 El cuadro de actividades lógicas de precedencia. A.2 El grafo de actividades. B. Haga un cuadro de reporte de los “tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar cada actividad”.

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SOLUCION A.1 Una posible solución nos daría el siguiente cuadro de precedencias:

A.2

El grafo de actividades será:

Hemos considerado un solo tipo de prueba, siendo la práctica dos: la prueba de zanja abierta y la prueba de zanja tapada. C. En la red de cálculo se encontrarán los siguientes valores.

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** Considere que una actividad debe estar terminada para que comience la siguiente. El cuadro de reporte con los tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar cada actividad tiene por valores:

III.2 DETERMINACIÓN DE LA RUTA CRÍTICA La determinación de la ruta crítica, puede ser planteada mediante las holguras del Pert o los tiempos flotantes del Cpm.

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CALCULO DE LAS HOLGURAS DEL PERT El Pert, considera dos tipos de holguras de tiempo: Holgura de Suceso y Holgura de Actividad. HOLGURAS DE SUCESO (HS): Es la diferencia entre el tiempo pesimista y el tiempo optimista de un mismo suceso.

n = numero del suceso HOLGURAS DE ACTIVIDAD (HA): Es la diferencia entre el tiempo pesimista de terminación y la sumatoria del tiempo optimista de inicio y su duración.

HAij = Lj – ( Ei + Dij )

Los valores de las Holguras de Suceso en la red del ejemplo

Los valores de las Holguras de actividad en la red del ejemplo.

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Uniendo todas las actividades cuyas holguras de Actividad son cero Forzosamente las holguras de Sucesos también son cero) se forma un camino. Este camino es denominado “Camino Crítico”, al que se le define: “El camino Crítico es la cadena de actividades formada desde el primer suceso hasta el último, cuando las holguras de tiempo son cero” de otro modo, “El camino crítico es la cadena en la cual las actividades no tienen holguras de tiempo para comenzar ni para terminar”, es decir, que si alguna de estas actividades se demora, se retrasaría todo el proyecto. Otra de sus definiciones dice, “Camino Crítico es la duración más larga a través del proyecto y marca la duración del mismo” En todo proyecto, siempre hay un camino crítico como mínimo. El camino crítico se indica con una doble línea o una línea más gruesa entre las actividades que lo forman. El camino crítico en la red del ejemplo.

El reporte de los cálculos está resumido en el siguiente Cuadro.

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Problema 2B En le siguiente diagrama de flechas determine: a)

Los tiempos Optimistas para comenzar y terminar cada actividad.

b)

Los tiempos Pesimistas para comenzar y terminar cada actividad.

c)

El Camino Crítico.

Problema 3B Conociendo la duración de las actividades de un proyecto, determine la ruta crítica correspondiente.

LOS TIEMPOS FLOTANTES DEL CPM Los tiempos flotantes que emplea el CPM son tres: Total, Libre e Independiente, donde cada uno de ellos presenta cualidades y aplicaciones diferentes.

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Los valores de los tiempos flotantes, se acostumbra escribirlos entre corchetes sobre la actividad.

FLOTANTE TOTAL (FT) El flotante total del Cpm equivale a la holgura de la actividad del PERT. FT = HA = lj – ( Ei + Dij )

Todas las actividades que tienen tiempos flotantes totales iguales a cero, son actividades de la ruta crítica. Físicamente, esta holgura corresponde al retraso máximo que puede tener una actividad sin modificar el plazo total de ejecución.

FLOTANTE LIBRE (FL): El flotante libre es la cantidad de holgura disponible después de realizar la actividad, si todas las actividades del proyecto han comenzado en sus tiempos optimistas desde el inicio. FL= Ej – ( Ei + Dij )

FLOTANTE INDEPENDIENTE (FI): El flotante independiente, es la holgura disponible de una actividad, cuando la actividad precedente ha terminado en el tiempo pesimista y la actividad subsiguiente a la actividad considerada comienza en el tiempo optimista. FI = Ej –( Li + Dij )

Esta holgura es escasa y a veces negativa. Como regla nemotécnica que ayuda a recordar las definiciones y conceptos de los tiempos flotantes presentamos el siguiente gráfico:

Los valores de los tiempos Flotantes en la red de cálculo para el ejemplo propuesto serán:

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CRITERIO PARA EL ACORTAMIENTO DE LA DURACION DEL PROYECTO Si queremos reducir la duración del proyecto, es preciso acortar las duraciones de las actividades críticas. El procedimiento a seguir sería: 1° 2° 3° 4°

Se calcula los tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar cada actividad. Se determina las holguras de actividad o flotantes totales. Se determina la ruta crítica. Se analiza cuales de las actividades críticas se puede acortar en su duración y en que cantidad, de tal forma que no dé lugar a la aparición de otras rutas críticas, pues ello conlleva a aumentar el control sobre otras actividades, demandando esfuerzo y dinero.

PROBLEMA 4B Usando los datos de la siguiente red, calcule la duración del proyecto, os tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar cada actividad, los flotantes totales, los flotantes libres, los flotantes independientes y la ruta crítica.

PROBLEMA 5B Utilizando el siguiente diagrama de flechas, determine: a) b) c) d) e) f)

Los tiempos optimistas para comenzar y terminar cada actividad. Los tiempos pesimistas para comenzar y terminar cada actividad La duración del proyecto. La holguras de Suceso y de Actividad Los tiempos flotantes del Cpm. La ruta Crítica.

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PROBLEMA 6B La realización de un proyecto consta de las siguientes actividades:

Se pide: a) b)

Dibujar la red con el Camino Crítico. Cuadro de tiempos optimistas y tiempos pesimistas para comenzar y terminar cada actividad, los flotantes totales, los flotantes libres y los flotantes independientes.

PROBLEMA 7B La realización de un obra consta de las siguientes actividades, con las duraciones que se indican A 2

B 3

C 2

D 7

E 4

F 2

Sus precedencias son: A B

Precede a Precede a

C, D, E F, I

C

Precede a

G

D, G

Precede a

H

E F, H

Precede a Precede a

I, K J

Se pide: a) b) c)

Construir el grafo de actividades. Determinar los caminos críticos. Calcular los flotantes totales y flotantes libres.

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G 5

H 3

I 4

J 8

K 8

Horas

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PROBLEMA 8B La programación de una obra consta de las siguientes actividades:

(semanas)

A 4

B 7

C 6

D 3

E 5

F 9

G 5

H 7

Las relaciones de precedencia son: A B, F E, G C D, E D H

Precede a Precede a Precede a Precede a Precede a Precede a Precede a

F, G E J D I H K

Construya el grafo, determine el camino crítico y los tiempos flotantes del CPM.

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I 4

J 2

K 9

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3.2 La Estadística: Base de la Programación Pert/Cpm Tomado de López y Morán, 2001 Como el método PERT se apoya en los medios probabilísticas para determinar el grado de incertidumbre de la ocurrencia de sucesos, vamos a hacer un somero repaso de los más elementales conceptos de la Estadística, de tal forma que nos ayude a comprender las fórmulas de valoración de las variables del PERT. 1.

ESTADÍSTICA Es la rama de las matemáticas que tiene por objeto el análisis de los datos numéricos aleatorios y suministra la técnica precisa para su interpretación.

2.

UNIVERSO O POBLACIÓN DE VALORES Es el conjunto de todas las observaciones posibles sobre los que se está investigando y muestra las peculiaridades de cualquier conjunto finito de estas observaciones.

3.

FRECUENCIA (f) Es el número de veces (en valor absoluto o relativo) que aparece en suceso dentro de un determinado valor numérico de una población.

En la programación de un proyecto, no nos pueden decir la fecha exacta de terminación de una actividad, pero si nos pueden decir el “tiempo más probable” en que la actividad se puede terminar según experiencias anteriores y a juicio de los recursos actuales disponibles.

DURACIONES DE UNA ACTIVIDAD Este tema ya fue visto, pero vamos a repetirlo a manera de recordación: -

Duración Optimista (a). Período de tiempo más corto que exigirá la terminación de una actividad.

-

Duración Pesimista (b). Período de tiempo más largo que exigirá la terminación de una actividad.

-

Duración “Más Probable” (m). estimación realista del tiempo que llevará la realización de una actividad.

Las duraciones serán discutidas y será determinada por el responsable directo que se encargará de dirigir la realización de la actividad, cualquier otra fuente sólo servirá como base de comparación. DURACIÓN MEDIA DE UNA ACTIVIDAD (Tiempo Esperado o duración prevista) Te. Esta duración será determinada en base a las tres duraciones con la fórmula propuesta por la Distribución Beta.

Certeza del valor de Te. El valor de Te en la distribución beta (se comporta como mediana), divide al área de probabilidades en dos partes de 50% aproximadamente y su ubicación respecto a la moda nos induce a deducir lo siguiente: -

Cuando la duración media (Te) calculada es mayor que la duración más probable (m), ésta tiende a la duración optimista a, dando lugar a una distribución asimétrica a la izquierda; o sea que

am

(*) La duración más probable m, siempre coincide con la moda de la distribución.

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es menor que

mb .

Planificación de Proyectos

-

Cuando la duración media (Te) calculada es menor que la duración más probable (m), ésta tiende a la duración pesimista b, dando lugar a una distribución asimétrica a la derecha; o sea que

-

27

am

es mayor que

mb .

Cuando la duración media (Te) calculada es igual a la duración más probable m, dará lugar a una distribución simétrica.

Cálculo de la incertidumbre de Te. La medida adecuada de expresar la incertidumbre de Te es la varianza de la distribución de probabilidades. LA VARIANZA  ) Indica el riesgo de no acertar el empleo del valor de la duración prevista Te. Su valor se determina con la fórmula de la distribución beta.

Cuando el valor de la varianza es mayor, mayor es el riesgo de no acertar el valor de Te.

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28

Se observa que la varianza de A es mayor que la de B, lo que quiere decir que el Te de A es menos certero que el de B. Con algunos ejemplos despejaremos dudas respecto a la incertidumbre del empleo del valor de Te.

Se observa que Te tiene los mismos valores en las diferentes curvas, pero su grado de certeza es diferente. Veamos otros ejemplos:

Hemos expuesto que el método Pert hace uso de las tres duraciones: optimista, más probable y pesimista para determinar la “duración prevista” Te para cada actividad y a la vez poder calcular su grado de certeza al ser empleado en el proyecto.

IV.2.

DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE TERMINAR EL PROYECTO (T P) O LA ACTIVIDAD AP EN EL SUCESO n

Como la duración de cada actividad del proyecto tiene su Te con un grado de incertidumbre en su utilización y además cada actividad puede tener su propia forma de distribución de probabilidades, sin embargo la duración del proyecto, sigue una distribución de forma Normal. Para determinar la probabilidad de los plazos de entrega de la obra, consideramos la siguiente nomenclatura: DURACIÓN DEL PROYECTO (TP) El valor de la duración del proyecto es determinada por la duración de la ruta crítica (r.c.).

TP   Te r.c.

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Planificación de Proyectos L j  E j n

29

referido a la terminación de la actividad AP en el suceso n.

La duración media Te, era aquella duración de la actividad que dividía a la función de distribución en dos partes iguales, es decir que el 50% de probabilidad (en la función Beta) quedaba a la izquierda de Te y el otro 50% a la derecha. Por eso decíamos que había una probabilidad de 0.5 de que la duración fuese mayor o menor que la duración media. Si se suman las duraciones medias de las actividades situadas en el camino más largo del grafo (el camino crítico), el total será el plazo mínimo para el suceso final, o lo que es lo mismo para el proyecto, TP y tendrá una probabilidad 0.5 de ser alcanzado antes de ese plazo. Dicho de otro modo, hay una probabilidad 0.5 de que el proyecto sea terminado en el plazo mínimo del suceso final. 

Siempre la duración del proyecto determinado en base a los Te de la ruta crítica, tiene una probabilidad de cumplirse de 50%.

DURACIÓN PROPUESTA O TIEMPO EXIGIBLE (TX) Es el plazo de término programado o el plazo límite que se exige para terminar el proyecto o terminar con la realización de la actividad Ap. Su valor puede ser mayor o menor que Tp ó (Ej)n, dependiendo de las imposiciones técnicas o exigencias del contrato. MARGEN DE TIEMPO (M) Cuantificación del tiempo con el que se podrá “jugar” en la terminación del proyecto o la actividad Ap. Su valor puede ser positivo o negativo.

M  TX  TP  TX   Tc r.c M  TX  E j n

referido a la duración del proyecto.

referido a la terminación de la actividad AP en el suceso n.

DESVIACIÓN NORMALIZADA O FACTOR DE PROBABILIDAD (Z) Permite medir la “seguridad que tenemos de estar en la posibilidad del éxito”. El valor de Z puede ser positivo o negativo y estará correlacionado con el “% de probabilidad” que se encuentra en la tabla de la función de Distribución Normal. El valor de Z se obtendrá con las siguientes ecuaciones:

Z

TX  TP 3r.c.



TX  TP r.c.

referido a la duración del proyecto.

Donde:

 3 r.c. = Sumatoria de las varianzas de las actividades de la ruta Crítica.

Z

TX  E j n 3r.c.



TX  E j n n

referido a la terminación de la actividad AP en el suceso n.

Donde:

 2 n = sumatoria de las varianzas de las actividades que conforman el camino más largo para llegar al suceso n.

PROBLEMA Nº 1C Las actividades de un proyecto y sus duraciones respectivas están en el siguiente cuadro; se pide: 1.1 1.2 1.3 1.4

La duración del proyecto. ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto en 52 días? Si queremos tener una probabilidad de 97% en la terminación del proyecto, determine la duración exigible, T X. ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto esté terminado entre 3 días antes y 3 días después de la fecha esperada media, TP?

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30

LA EXPERIENCIA HA DEMOSTRADO QUE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE TP DE UN PROYECTO FORMADO POR UN GRAN NÚMERO DE ACTIVIDADES, ES APROXIMADAMENTE LA DE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL.

SOLUCIÓN Proponemos los siguientes pasos en la solución del problema:

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31

a) b) c) d)

A partir de las duraciones, se calcularán los Te y las holguras para cada actividad. En una red de cálculo se determinarán los tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar cada actividad. Se determinan las holguras de actividad. Se determina la ruta crítica y la duración media del proyecto, TP.

e) f)

Se calcula la varianza total  r.c. de las actividades de la ruta crítica. Se analiza la probabilidad de terminar el proyecto en función de la curva de distribución normal. 2

En la red de cálculo se determinan: tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar cada actividad, las holguras de actividad y la ruta crítica.

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32

La duración y la varianza de la ruta crítica:

1)

La duración del proyecto es TP = 47.497 días. La varianza de la ruta crítica es

 2 r.c. =7.245.

La probabilidad de que el plan tenga éxito, para esta duración prevista TP, es de 50%. 1.2) La probabilidad si el contrato fija un plazo de 52 días, TX, es:

Z

Z

TX  TP  2 r.c

52  47.497 7.245

Z = 1.67 Entrando en la tabla de la distribución normal de probabilidades, para Z = 1.67, la probabilidad de finalizar el proyecto antes de 52 días es de 95%. 1.3) Si queremos tener una probabilidad de 97% en la terminación del proyecto, la manera de calcularse será así: Entrando en la tabla de distribución se procederá a la inversa; se determina a qué valor de Z corresponde una probabilidad de 97%.

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33

Se encuentra así, que Z vale 1.88. De la fórmula de la desviación normalizada se despeja TX.

Z

TX  TP r.c

TX = TP +

Zr.c

7.245

TX = 47.497 + 1.88

= 52.554

El nuevo valor será entonces de 52.554 días, lo que significa que tomando aproximadamente 52.6 días, hay un 97% de probabilidad de realizar el proyecto. 1.4) La probabilidad de que el proyecto esté terminado entre 3 días antes y 3 días después de la fecha esperada T P se calculará así. Se calcula las desviaciones normalizadas (Z) para cada una de las restricciones.

Z1  Z2 

TX1  TP r.c TX 2  TP r.c



44.497  47.497  1.11 2.69



50.497  47.497  1.11 2.69

Entrando en la tabla de distribución de Gauss, con Z2 = 1.11 se halla que la probabilidad es de 86.6% (0.866). Pero este valor es de

Z2







a Z2, o sea que es el valor de la integral siguiente:

Z

1  22 e z 2

Y está representado por el área de la figura. Pero según lo pedido: 0.866 – 0.500 = 0.366 Y el área total será: 0.366 x 2 = 0.7323

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34

Es decir, que la probabilidad de cumplir con las restricciones de 3 días antes y 3 días después de la fecha esperada, es 73.2%.

PROBLEMA 2C Para cumplir una obra de ingeniería necesitamos la realización de las siguientes actividades: A, B, C, D, E, las que están relacionadas entre sí de la forma siguiente: La actividad A precede a las actividades B, D. La actividad B y C preceden a la actividad E. Las actividades tienen las siguientes estimaciones en la duración:

Se pide hallar: 2.1 el camino crítico y la duración del proyecto 2.2 La probabilidad de que el proyecto termine en 38 días. 2.3 Tiempo necesario para tener una probabilidad de 99.5% de terminarlo en el plazo previsto SOLUCIÓN Se determinan dos te y las holguras de cada actividad y posteriormente se hacen los cálculos de cuándo comenzar y terminar cada actividad.

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35

El camino crítico y su varianza:

La duración del proyecto TP = 33.3 UT La desviación tipo

r.c

=

10.25 =3.2UT

Para visualizar la probabilidad de obtener el plazo T, de determinación, representaremos la distribución teórica que suponemos normal con una media igual al tiempo esperado obtenido TP = 33UT. Como hemos obtenido una desviación tipo r.c =3.2 UT, tomaremos para su representación r.c =3, con estos valores podremos dibujar la siguiente curva.

En la escala de abscisas, hemos tomado las UT, la de ordenadas no representa interés, ya que la probabilidad está ligada al área encerrada por la curva. El área total de la curva cubre todas las duraciones posibles, representado por lo tanto el 100%. El área rayada representa la probabilidad de que la duración total sea inferior a 33 UT, que es el 50%, ya que la distribución normal es simétrica, siendo así cualquiera que sea la desviación tipo. 2.2 La probabilidad de que el proyecto termine en 38 UT. Calculemos la desviación normalizada por la fórmula:

Z

TX  TP  r.c 2



38  33.3 4.7   1.468 3.2 3.2

En la tabla de distribución normal, nos da para Z = 1.468, una probabilidad de 92.5% de terminar en el plazo previsto. 2.3 El tiempo necesario para tener una probabilidad de 99.5%

Calculemos la desviación normalizada (Z) para una probabilidad de 99.5%. En la tabla de distribución normal se encuentra que Z=2.6 El tiempo exigible o propuesto TL será:

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TX = TP + Z  r.c TX = 33.3 + 2.6 x 3.2 = 41.62 Ut La probabilidad de cumplir con el plazo en 99.5% es 41.62 UT.

PROBLEMA 3C La duración de un proyecto (TP) es de 250 UT y posee tres rutas críticas cuyas desviaciones tipo son respectivamente:

 r.c1 = 2;  r.c2 = 4 y  r.c3 = 6, se pide: 3.1 Determinar la probabilidad de terminar la obra en 260 UT 3.2 Determine la probabilidad de terminar la obra en 245 UT SOLUCIÓN A partir de los valores de las desviaciones tipo, vamos a construir las curvas de probabilidades.

En el gráfico se observa que la ruta crítica Nº 3 tiene mayor incertidumbre y ésta servirá de base para la solución del problema. 3.1 La probabilidad de terminar la obra en 260 UT.

Z

Tx  TP 260  250   1.67 r.c3 6

En la tabla de distribución normalizada, se tiene que para este valor, la probabilidad es de 95.3%. 3.2 La probabilidad de terminar la obra en 245 UT. La desviación normalizada.

Z

Tx  TP  r.c3 2



245  250  0.83 6

En la tabla de distribución normalizada se tiene que para este valor de Z, la probabilidad es de 21.3%.

PROBLEMA 4C Las actividades, duraciones optimistas, más probable y pesimista de un proyecto son las reportadas en el siguiente cuadro.

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37

Las relaciones de precedencia entre las actividades son:

4.1 dibuje el grafo PERT – CPM, calcule el camino crítico, holguras de actividad y flotantes libres de las actividades. 4.2 La posibilidad de que el proyecto termine en 30 días 4.3 Tiempo necesario para tener una probabilidad de 99% de terminar el proyecto. SOLUCIÓN Se calcula los Te de las actividades, se traza el grafo de cálculo y en ella se determina los tiempos optimistas y pesimistas para comenzar y terminar cada actividad.

Existen dos caminos críticos, los cuales tienen por duración y varianza:

La duración de los caminos críticos es 23 UT y las desviaciones tipo

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r.c1 =2.43 y r.c2 =2.55

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En los proyectos donde existen más de un camino crítico para determinar el TP, se tomará aquella que tenga una desviación tipo con mayor valor. 4.2 La probabilidad de que el proyecto termine en 30 días.

Luego la probabilidad será 99.65% (caso más desfavorable) Obsérvese que se ha tomado la desviación tipo con mayor incertidumbre, es decir, la que tiene un valor numérico más alto.

4.3 El tiempo necesario para terminar el proyecto en 99%. En la tabla de distribución normal, para 99%, el valor de Z = 2.35

Se tomará el tiempo exigible más desfavorable (mayor tiempo necesario para terminar el proyecto)

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3.3 Costos y Duración óptima de un Proyecto en el Pert/Cpm Tomado de López y Morán, 2001 Planteado el grafo de actividades y la estimación de cada duración, se procederá a la evaluación de la duración y el costo óptimo del proyecto. El análisis detallado de las implicancias de los premios y/o castigos (en dinero) sobre el plazo contractual, es lo que determina que la culminación del proyecto se mantenga en el plazo previsto o se tenga que proceder a su aceleración. El sistema PERT – CPM/Costos, nos presenta una técnica de cálculo de cómo determinar el costo de un proyecto conociendo las limitaciones en la aceleración de las actividades y las posibles alternativas en las variaciones de los costos directos, mediante la combinación denominada “duración óptima – costo mínimo”. El planteamiento de cálculo de este sistema, considera que el costo total es el resultado de la sumatoria de un costo directo que crece a medida que se acorta la duración y un costo indirecto que aumenta proporcionalmente con el tiempo de ejecución. V.1 COSTOS En cualquier tipo de empresa, los gastos generales son clasificados en directos e indirectos. COSTO DIRECTO (CD): Este costo está representado por el valor de los insumos consumidos directamente en realizar la actividad (producción): materiales, equipos, jornales de la mano de obra. Por la forma del desarrollo de la actividad, el costo directo puede ser: costo normal o costo tope. COSTO NORMAL (CN): Es el costo de una actividad realizada en condiciones normales de trabajo. Este costo es la estimación basada en la duración normal (tN) de ejecución de la actividad. COSTO TOPE (CT): Es el mayor de los costos de un actividad, cuando ya es imposible lograr una disminución en la duración de su ejecución. COSTO INDIRECTO (CI): Son aquellas derivadas de la estructura organizativa de la obra u empresa; administración, gastos generales (sueldo de empleados, financiación, licencias, seguros, publicidad, etc.) Los costos indirectos son directamente proporcionales al tiempo. Gráficamente se representa por una recta que nace del origen del sistema de coordenadas: costos vs. tiempo.

COSTO TOTAL (CT): Los costos totales son iguales a la suma de los costos directos y los costos indirectos. MULTAS Y PREMIOS En la contratación para la ejecución de proyectos se señala el pago de multas en unidades monetarias por cada unidad de tiempo de retraso en la entrega de la obra a partir del plazo contractual. La gráfica de multas es una recta que nace en le punto correspondiente al plazo contractual y se extiende con pendiente m. En algunos contratos se especifica el pago de premios a favor del contratista por la entrega anticipada de la obra a razón de unidades monetarias por cada unidad de tiempo adelantado en la entrega.

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40

La gráfica de la recta de premios pasa por el punto que señala el plazo contractual y se extiende con pendiente p.

UNIDADES MONETARIAS Se ha realizado que la realización de toa actividad productiva, demanda el consumo de diversos recursos: mano de obra, materiales, equipos, tecnología, etc.; donde cada uno de ellos pueden valorarse mediante el uso de una cantidad monetaria. Razón por la que al plantearnos los costos de las actividades de un proyecto, todos los cálculos tendrán que basarse en un patrón monetario; llámese: dólares, marcos, pesos, soles, etc. V.II RELACIÓN ENTRE LA DURACIÓN Y EL COSTO DIRECTO DE UNA ACTIVIDAD Siempre que se quiera acelerar una actividad, habrá que gastar más dinero, debido al pago de diversos adicionales; veamos un ejemplo aclaratorio. Supongamos que el tiempo normal de realización de una actividad es 10 días empleando para ello 4 máquinas y 4 operarios. Analicemos las posibles alternativas para acelerar la realización de la actividad. Alternativa Nº 1: tiempo normal. 4 hombres trabajando con un turno diurno de 8 horas durante 10 días. Alternativa Nº 2: 8 operarios trabajando en la siguiente forma: 4 hombres trabajando con un turno diurno de 8 horas durante 8 días. 4 hombres trabajando con 2do. turno de 8 horas durante 2 días. Alternativa Nº 3: 8 operarios trabajando en la siguiente forma: 4 hombres trabajando con turno diurno de 8 horas durante 6 días. 4 hombres trabajando con 2do. turno de 8 horas durante 4 días. Alternativa Nº 4: 12 operarios trabajando en la siguiente forma: 4 hombres trabajando con turno diurno de 8 horas durante 4 días. 4 hombres trabajando con 2do. turno de 8 horas durante 4 días. 4 hombres trabajando con 3er. Turno de 8 horas durante 2 días. Alternativa Nº 5: Si se utiliza más de 12 operarios para realizar el trabajo, el costo se disparará sin disminuir la duración del trabajo. Alternativa Nº 6: Si se utiliza 3 operarios, el trabajo se largará a 13.3 días. Alternativa Nº 7: Si se utiliza 2 operarios, el trabajo se alargará a 20 días. Alternativa Nº 8: Si se utiliza 1 operario, el trabajo se alargará a 40 días. En las alternativas con sobretiempo, los costos por mano de obra serán mayores por el pago de adicionales y si la duración es mayor a la normal, los costos también serán mayores.

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41

En la práctica, para facilitar el cálculo de la pendiente de costos duraciones, se sustituye la curva por la línea recta.

ij

PENDIENTE DE COSTOS DIRECTOS DE UNA ACTIVIDAD ( ) La determinación de la pendiente de costos, reporta el incremento del costo directo por la unidad de tiempo. La pendiente de costos se determina por la fórmula:

Para el ejemplo propuesto, determinemos su pendiente de costos. Duración Normal tN = 10 días Costo Normal CN = 54400 UM Duración Tope tT = 4 días Costo Tope CT = 67840 UM

Lo que quiere decir, que al disminuir en un día el trabajo, el costo directo aumenta 2240 UM.

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42

V.3 ACELERACIÓN DE UN PROYECTO EN FUNCION DEL COSTO Para acelerar o reducir la duración de un proyecto o actividad, se puede utilizar diversos procedimientos de operación entre los que se encuentran: a) b) c) d) e) f) g)

Sobretiempo del personal existente Asignar más personal a las tareas. Uso de maquinaria más sofisticada Uso de tecnología más avanzada o empleo de nuevas estrategias de ejecución. Trabajar con diferentes horarios. Usar personal con más experiencia, con mayores salarios. Incentivar con premios al personal.

CRITERIO DE ELECCIÓN DE ACTIVIDADES PARA EL ACORTAMIENTO DE LA DURACION DEL PROYECTO. Para plantear la aceleración del proyecto, se deberá tener en cuenta los siguientes criterios básicos: 1º La reducción de tiempos deberá comprender a las actividades que pertenecen a las rutas críticas. 2º Elegir – por prioridades – entre estas actividades, las que tienen menor incremento de costo por unidad de tiempo. El problema del trazado de la curva de costo directo total mínimo del proyecto, se hará por el método de las “compresiones sucesivas de las duraciones de las actividades”, puntos que serán valorados por la secuencia de un número necesario de programación.

PROBLEMA 1D

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43

Dado el grafo de actividades de un proyecto, detallando: Actividades duraciones normales duraciones topes de realización y sus costos respectivos, determine la curva de costos directos.

Las duraciones están reportadas en semanas. SOLUCIÓN Los caminos de la Red. Analicemos los posibles caminos con sus duraciones normales en el grafo correspondiente. Camino 1

Camino 2

Camino 3

Camino 4

Camino 5

Camino 6

Camino 7

Camino 8

C7 50

>

TP 0

+

TP 0

+

TP 0

+

TP 0

+

TP 0

+

TP 0

+

TP 0

+

TP 0

+

C3 42

>

A 8

+

A 8

+

A 8

+

C 12

+

C 12

+

B 10

+

B 10

+

B 10

+

C8 38

>

E 20

+

D 9

+

D 9

+

I 5

+

H 13

+

F 15

+

F 15

+

G 16

+

C5 37

>

K 5

=

33

I 5

+

K 5

H 13

+

K 5

J 7

=

27

+

K 5

=

22

J 7

+

K 5

=

37

I 5

+

K 5

=

35

H 13

+

+

K 5

J 7

+

C6 35

>

J 7 K 5 C1 33

=

=

42

=

50

38 >

C2 27

>

El camino más largo con duración “todo normal” es el camino 7, que por definición es el camino crítico. PRIMERA PROGRAMACIÓN: con duraciones “todo normal”.

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C4 22

>

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44

Para verificar la ruta crítica, hagamos los cálculos en la siguiente red y resumamos los valores en el cuadro Nº 1.

En esta primera programación se tiene un costo directo total mínimo con duración más larga. SEGUNDA PROGRAMACIÓN: Con duraciones “topes” Los valores de la red de cálculo con las duraciones topes están resumidos en el cuadro Nº 2.

La duración total del proyecto con duraciones topes en la realización de las actividades, ha disminuido a 30 semanas, mientras que los costos directos han aumentado a 14’950,000 UM. Se observa que según la combinación duración – costo que se elija, para una misma duración del proyecto, existen varios valores en los costos, pero nuestro propósito es determinar el costo directo mínimo para cada duración. TERCERA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. Como ya conocemos la duración normal y la duración tope, los puntos intermedios de la curva, podrán ser determinadas por el método de las “compresiones sucesivas de las duraciones de las actividades”. ¿Cuál de las actividades debe ser reducido? ¿En qué cantidad se debe reducir la actividad elegida? Para contestar a al primera pregunta, analicemos las actividades que están en la ruta crítica con duraciones “todo normal”. Actividades Ruta Crítica 0–1 TP 1–3 B 3–4 F 4–5 H 5–6 J 6–7 K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 13/5 7/5 5/5

ij

0 166,667 130,000 50,000 425,000 150,000

La actividad que tiene menor pendiente de costo directo es la H (4 – 5), ésta se puede reducir hasta 5 semanas, si la reducimos hasta su tope, tendremos que la duración del proyecto es igual al camino 3 (42 semanas).

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45

Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 3 CUARTA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. En cada programación debemos obtener para la duración considerable, el menor costo directo para el proyecto y esto se conseguirá “jugando” con los valores de duraciones y costos de las actividades Actividades Ruta Crítica 0–1 TP 1–3 B 3–4 F 4–5 H 5–6 J 6–7 K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 13/5 7/5 5/5

ij

0 166,667 130,000 50,000 425,000 150,000

La actividad H ya ha sido reducido a su tope, la actividad F es la que sigue con menor pendiente de costo, pudiendo ser reducida hasta 10, por ahora sólo vamos a reducirlo hasta 11 semanas, obteniendo que la duración del proyecto es igual al camino 8 (38 semanas). Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 4.

QUINTA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. Analicemos las actividades críticas. Actividades Ruta Crítica 0–1 TP 1–3 B 3–4 F 3–5 G 4–5 H 5–6 J 6–7 K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 16/12 13/5 7/5 5/3

ij

0 166,667 130,000 132,500 50,000 425,000 150,000

La actividad F sólo puede ser reducido en 1 semana para llegar a su tope y necesariamente la actividad G también tendrá que ser reducido en 1 semana, obteniendo que la duración del proyecto es igual al del camino Nº 5 (37 semanas) Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 5.

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SEXTA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. El análisis de las actividades críticas: Actividades Ruta Crítica 0–1 TP 1–3 B 3–4 F 3–5 G 4–5 H 5–6 J 6–7 K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 16/12 13/5 7/5 5/3

ij

0 166,667 130,000 132,500 50,000 425,000 150,000

Las actividades F y H ya han llegado a su tope, la actividad K es la que sigue son el menor pendiente de costos directos, reduciéndola hasta su tope, tendremos que la duración del proyecto es 35 semanas igual al del camino 6. Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 6.

SEPTIMA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. Actividades Ruta Crítica 0–1 TP 1–3 B 3–4 F 3–5 G 4–5 H 5–6 J 6–7 K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 16/12 13/5 7/5 5/3

ij

0 166,667 130,000 132,500 50,000 425,000 150,000

Las actividades F, H, K ya han llegado a su tope, la actividad B es la que sigue con el menor pendiente de costos directos, vamos a reducirla hasta 8 semanas, obteniendo así que la duración del proyecto es igual al del camino 1. Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 7.

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47

OCTAVA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. Se procederá en la misma forma que en las programaciones anteriores. Actividades Ruta Crítica 0–1 TP 1–3 B 3–4 F 3–5 G 4–5 H 5–6 J 6–7 K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 16/12 13/5 7/5 5/3

ij

0 166,667 130,000 132,500 50,000 425,000 150,000

Vamos a reducir la actividad B hasta su tope de 7 semanas. Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 8.

NOVENA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. Las actividades B y F han llegado a su tope, lo que impide reducir a las actividades críticas A y D. La única actividad crítica que se puede reducir es la J, si a esta la reducimos a 4 semanas, dará lugar a la aparición de una nueva actividad crítica (E). Los resultados de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 9.

DÉCIMA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica.

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La actividad crítica J aún se puede reducir en 1 semana para llegar a su tope, procediendo así, consecutivamente E también debe ser reducida en 1 semana. Con esta programación hemos llegado a la duración del proyecto, tal como fue calculado con la segunda programación. Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 10.

TRAZADO DE LA CURVA Con los valores obtenidos en las programaciones precedentes, se podrá trazar la curva de costos directos totales mínimos.

En la figura siguiente se visualizará la curva de costos directos totales mínimos del proyecto propuesto. En un proyecto complejo habrá miles de combinaciones de duraciones para cada duración determinada del proyecto, haciendo difícil su determinación mediante el método propuesto, sin embargo con el empleo de un modelo matemático y un ordenador, se facilitará su solución.

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La elección de una programación óptima depende del objetivo que se persiga. Para elegir la programación más económica de un proyecto, se debe considerar algunas veces los costos directos (CD) y los costos indirectos (CI), y otras veces además de las mencionadas, las multas (m) y los premios (p). La visualización gráfica de cómo elegir la programación óptima, está representada por la curva de costo total (CD + CI). PROBLEMA 2D Considere que para el ejemplo anterior, el costo indirecto, responde a la fórmula: CI = 500,000 + 10,000 TP Donde TP es la duración del proyecto. Determine la duración óptima y el costo total mínimo del proyecto. SOLUCIÓN Los valores para el trazado de las curvas correspondientes, están resumidos en el cuadro siguiente: Duración (sem.) 50 42 38 37 35 33 32 31 30

Costo Directo (UM) 10’170,000 11’570,000 11’090,000 11’532,000 11’652,000 11’985,834 12’152,501 12’577,501 13’032,501

Costo Indirecto (UM) 1’000,000 920,000 880,000 870,000 850,000 830,000 820,000 810,000 800,000

Costo Total (UM) 11’170,000 11’490,000 11’970,000 12’222,000 12’502,500 12’815,834 12’972,501 13’387,501 13’832,501

La programación óptima se determina por la ubicación del punto mínimo en la curva de costo total, véase la figura siguiente:

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PROBLEMA 3D Con los datos del diagrama de actividades, duraciones y costos, determine: 3.1 La pendiente de costos directos para cada actividad. 3.2 El número de caminos que presenta la red. 3.3 Las duraciones de cada camino con los datos de “todo normal” 3.4 La duración y el costo directo en el punto “todo normal” del proyecto. 3.5 La duración “tope” del proyecto 3.6 Por el procedimiento de “compresiones sucesivas de las actividades de la red”, efectúa diez (109 programaciones como mínimo y determine para cada una su duración y su correspondiente costo. 3.7 Con los valores obtenidos en el ítem 3.6 trace una curva: duración versus costo directo. 3.8 Si los costos indirectos crecen proporcionalmente con el tiempo a razón de 200,000 UM/Semana, trace una curva duración versus costos totales y por ploteo determine la duración óptima y el costo mínimo para la ejecución del proyecto. 3.9 El contrato para la elección de la obra especifica que “si la entrega de la obra se adelantara, el contratista se hará acreedor de un premio equivalente a un porcentaje (%) del costo indirecto igual al número de semanas adelantadas a la duración óptima ¿a cuánto ascenderá el premio si el contratista adelantara la entrega en 8 semanas? 3.10 En otro acápite, el contrato estipula que “el contratista sufrirá una multa de 8% del costo indirecto por cada semana de atraso”, ¿a cuánto ascenderá la multa si se atrasa la entrega de la obra en 9 semanas? 3.11 Considerando lo que señala el contrato, determine los valores de cada uno de los premios que corresponderían a las duraciones determinadas en el ítem 3.6.

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3.12 Determine los valores de las multas que corresponderían si la entrega de la obra va más allá de la duración óptima determinada en el ítem 3.8. 3.13 Determine la duración óptima y el costo mínimo del proyecto al incluir multas y premios. Actividades i j Desc. 0 1 1 2 1 3 1 4 2 5 2 6 3 6 3 7 4 7 4 8 5 9 5 6 6 9 6 10 6 7 7 11 7 12 8 12 9 13 9 14 10 14 11 14 12 14 12 15 13 16 14 16 14 17 15 17 16 18 17 18 18 19

Símbolo TP A B C D E F G H I J FIC K L FIC M N P Q R S T V U W X Y Z AB AC AD

Duraciones Normal 0 7 12 18 20 5 9 16 11 22 7 0 25 6 0 19 40 23 13 6 10 13 9 30 8 7 11 16 19 8 7

Tope 0 4 7 11 13 2 7 12 7 15 7 0 20 5 0 15 33 11 9 4 10 10 5 20 8 4 5 11 13 5 3

Costos Normal 0 200,000 600,000 2’000,000 700,000 100,000 350,000 500,000 900,000 1’200,000 250,000 0 1’700,000 450,000 0 850,000 3’500,000 100,000 350,000 550,000 3’050,000 150,000 2’100,000 2’000,000 720,000 140,000 1’000,000 1’800,000 950,000 390,000 2’005,000

Tope 0 950,000 1’800,000 3’100,000 1’500,000 750,000 1’050,000 1’500,000 1’670,000 2’000,000 250,000 0 2’350,000 950,000 0 2’050,000 4’750,000 2’050,000 950,000 1’100,000 3’050,000 555,000 2’500,000 3’200,000 720,000 640,000 1’400,000 2’600,000 1’350,000 1’350,000 2’755,505

PROBLEMA 4D Dado el grafo de un proyecto con sus duraciones normales y topes, determine la duración óptima y el costo mínimo del proyecto.

Actividades A B C D E F G H I

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Costos Normal 50,000 120,000 100,000 135,000 300,000 180,000 750,000 500,000 240,000

Topes 400,000 1’200,000 900,000 750,000 1’050,000 880,000 1’500,000 1’000,000 777,000

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Considere que los costos indirectos responden a la fórmula: CI = 250,000 + 250TP PROBLEMA 5D Las actividades de un proyecto, duraciones y reducciones posibles y costos unitarios de acortamiento son las mostradas a continuación. Actividad Duración Reducción posible Costo unitario por acortamiento

A 6

B 9

C 5

D 6

E 8

F 16

G 5

H 9

I 20

J 11

K 10

L 15

M 18

N 6

4

7

3

4

6

11

3

7

15

7

5

10

13

3

12

9

7

5

3

10

6

8

13

3

1

9

7

4

(!)La pendiente de costos están dadas en 1000 UM. Las relaciones de precedencia para construir el grafo son: Actividad A B C D E F G H I J K L M N

Precedencia A A A B, C B, C B, C E, F E, F D, I G, J G, H, J K, L, M

Se pide: 5.1 Reducir la duración del proyecto hasta su tope mediante el método de las “compresiones sucesivas de las actividades de la red”. Considere que los costos indirectos responden a la fórmula: CI = 160 + 90 TP

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3.4 Asignación de Recursos Para hacer realidad un proyecto es necesario el uso y/o consumo de diferentes recursos, llámese mano de obra, maquinaria e insumos, siendo unos más limitantes que otros en su disponibilidad y utilización. El problema que nos plantea la asignación de recursos, consiste en cómo disponerlos mejor, para que el programa de ejecución se realice eficazmente y que el proyecto resulte lo más económico y pronto posible. PERFIL FUNCIONAL. Uno de los métodos de solución de la asignación de recursos, es el llamado “perfil funcional” propuesto por Norden de la IBM. El perfil funcional es una gráfica que se obtiene sumando los recursos necesarios para la realización de las actividades en cada unidad de tiempo. Los recursos que requiere cada tarea, se especifica al metrar y calcular la duración de las actividades, posteriormente se disponen las actividades en su orden de ejecución en un período de tiempo determinado, totalizándose las necesidades de estas actividades en dicho período y distribuyéndose entre ellas los recursos con los que se obtiene un perfil. R E C U A R S O

UT

R E C U B R S O

R E C U R S O

T O T A L

UT N E C E S A R I O

UT PERFIL FUNCIONAL

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