Metode Elemen Hingga

MATERI PERKULIAHAN Metode Elemen Hingga (TS-4035) Dosen : Ben Novarro BB, ST., MT.

METODE ELEMEN HINGGA SEJARAH PERKEMBANGAN

• •

• •

Hremmkoff dan Mc Henry (1940-an) menggunakan susunan rangka elemen satu dimensi batang dan balok bagi penyelesaian tegangan dalam benda padat kontinum. Courant (1943) melakukan kajian solusi tegangan dan bentuk irasional,Dia memperkenalkan fungsi bentuk atau fungsi interpolasi ‘precewise’ elemen segitiga dan segiempat subregion yang dirakit menjadi system global struktur sebagai cara memperoleh solusi numeric. Levy (1947) mengembangkan metode gaya atau cara fleksibilitas, kemudian. Levy (1953) dia memperkenalkan cara lain yang disebut metoda perpindahan atau metoda matrik kekakuan

BAHASAN • • • • •

Rangka Bidang (Plane Truss) Rangka Ruang (Space Truss) Portal Bidang (Plane Frame) Grid Portal Ruang (Space Frame)

Derajat Kebebasan (DOF)1 • Rangka Bidang (Plane Truss) F4, 4

Y

x F3, 3

y

k m

F2, 2

E,I,A,l

 i F1, 1 X

2 Derajat kebebasan per joint pada elemen

Derajat Kebebasan (DOF)2 • Rangka Ruang (Space Truss) y F2,2 F1,1

z

i

m

F5,5

F3,3

F6,6

k

F4,4

x

3 Derajat kebebasan per joint pada elemen

Derajat Kebebasan (DOF)3 • Portal Bidang (Plane Frame) y 5,F5 2,F2

6,F6

j

1,F1

x 4,F4

i 3,F3

E,I,A,L

3 Derajat kebebasan per joint pada elemen

Derajat Kebebasan (DOF)4 • Grid F 3

F 1

F 2

F 6

F 5

F 4

3 Derajat kebebasan per joint pada elemen

Derajat Kebebasan (DOF)5 • Portal Ruang (Space Frame) ym F5

F4 F6

zm

F2 F1 F11

F3

F8 F7 F12

F9

F10

xm

6 Derajat kebebasan per joint pada elemen

Rangka Bidang (Plane Truss)1 1.DERAJAT KEBEBASAN STRUKTUR Rotasi titik tidak memberikan pengaruh terhadap tanggap elemen. Hanya gerakan translasi titik kumpul yang merupakan derajat kebebasan NX = 2*JTK – 2*NS - NR hal mana : NX = jumlah derajat kebebasan struktur JTK = jumlah total titik kumpul, termasuk yang menjadi perletakan NS = jumlah total perletakan sendi NR = jumlah total perletakan rol 7

16

6

7

1 1

8

2

8

17

9

2

9

10

3

18

11

3

10

13

12

4

4

19

11

14

5

15

5 6

Rangka Bidang (Plane Truss)2 7

16

6

7

1

8

9

8

2

9

17

2

18

10

3

11

3

10

13

12

4

19

14

5

4

11

15

5

1

6

Gambar : Penomoran elemen and titik kumpul

X10,P10

7

X12,P12 X9,P9

X14,P14 X11,P11

8

9

X1,P1 2

X13,P13

X4,P4

X2,P2

X15,P15

X6,P6

X8,P8 X7,P7

X5,P5 4

X17,P17 11

10

X3,P3 3

X18,P18

X16,P16

5

1

6

Gambar : Jumlah derajat kebebasan rangka

DOF = (2*11) - (2*2) = 22 - 4 = 18.

Rangka Bidang (Plane Truss)3 2.MATRIK KEKAKUAN ELEMEN [S]m Matrik Kekakuan ini merupakan matrik kekakuan elemen pada sistem koordinat lokal/elemen, pada batang rangka hanya bekerja tarik atau tekan

 EA    0  EA     0

0  0 0 0

EA

 0 EA  0



0  0    0    0 

1 

 2 

 

 F1   F  2

3 

 4 

 F3   F4 

 atau  S m   m   F m

Rangka Bidang (Plane Truss)4 3.MATRIK KEKAKUAN [K]m perakitan matrik [K] dari matrik elemen [S] memerlukan proses transformasi koordinat Hubungan [S]{}={F} ditransformasi menjadi [K]{X} = {P} Dimana hubungan keduanya menjadi {} = [T]{X}



 1      2 

 3    4 

 cos    sin    0   0

sin  cos  0 0

0 0 cos   sin 

0  0  sin    cos   

 X1   X   2 

 X3  X 4 

Rangka Bidang (Plane Truss)5 Demikian pula dengan gaya ekivalen

dinyatakan sebagai

Atau {F} = [T]{P].

 P1 P2 P3 P4 

Sehingga :

 F1 F2 F3 F4 

 cos    sin  



 F1   F  2  F3   F4 

 

sin  cos 

0 0

0

0

cos 



0

0

 sin 





0   0     sin     cos   

Matrik [T] didefinisikan sebagai matrik transformasi koordinat.

P1 

P2  

P3 

P4 

Rangka Bidang (Plane Truss)6 akan diperoleh matrik kekakuan elemen [k]m ditinjau dari sistem koordinat global/struktur sebagai berikut :



















EA  0 EA   0

0 0 0 0



EA  0 EA  0

 0  0 0    cos  sin    0    sin  cos  0 0      0 0 cos  sin    0      0 0  sin  cos   0 

X1  0 0    cos  sin    X2   sin  cos  0 0        X3  0 0 cos  sin      X 4  0 0  sin  cos   

Dalam notasi matrik : [S]m [T ]m {X}m = [T]m {P}m :

Mengalikan persamaan dengan matrik invers

 T 1S T X   T 1 T P  T 1S T X   P T  1  S T    K 

 T 1 :

P1  P2   P3  P4 

Rangka Bidang (Plane Truss)7 matrik invers

 T 1

juga merupakan matrik transpose

 T 1 =  T T 

Dimana:



 T T     Sehingga:

 T T

Matrik orthogonal

cos  sin

0

0



sin

cos

0

0

0

0

cos  sin 



0

0

sin

T  1  S T  X    P T T  S T  X    P T  T  S T    K 

cos 





Rangka Bidang (Plane Truss)8 4.MERAKIT MATRIK KEKAKUAN STRUKTUR [K]S

T [k]m =  T  S T Hasil perkalian matrik merupakan transformasi matrik kekakuan elemen [S] menjadi matrik kekakuan elemen pada sistem koordinat struktur

1 1

[k]m =

2 3 4

 

cos 2

EA  sin cos  L   cos 2     sin cos

2

sin cos sin 2  sin cos  sin 2

3

4

 cos 2

 sin cos   2   sin 

 sin cos cos 2 sin cos

sin cos   sin 2

 

Rangka Bidang (Plane Truss)9 4.MERAKIT MATRIK KEKAKUAN STRUKTUR [K]S X10,P10

7

X12,P12 X9,P9

X14,P14 X11,P11

8

X13,P13

X1,P1 3

2

6

X6,P6

1

9



 k 16 

11

12

1

2

3

4

k13

k14

k11

1

 

10

12



k 21 

2

k12 k 22

k 23

1



3

4

k 32

k 33

k 41

k 42

k 43

1



1

 

k 24 

1



1

 



k 34 k 44

11

13

12

14

15

3

2

2

3

4

4

5

5 6





 k8  



19

indeks derajat kebebasan elemen

 

11

1

 k 31

10

indeks derajat kebebasan struktur

 

18

X7,P7

6

11

10

9

8

7

5

4

10

9

17

X8,P8 X5,P5

9

8

16

X17,P17 11

10

X3,P3

7

X15,P15

9

X4,P4

X2,P2

X18,P18

X16,P16





2



2



2 2

11

12

3

4

indeks derajat kebebasan struktur indeks derajat kebebasan elemen

k11

k12

k13

k14

k 21

k 22

k 23

k 24

k 31

k 32

k 33

k 34

 11

3















 

12

4











k 41

k 42

k 43

k 44 



Rangka Bidang (Plane Truss)9

Rangka Bidang (Plane Truss)10 5.VEKTOR BEBAN EKIVALEN {P} x

P04 Y

F03 y

P03

F04 i

P02



F02

P01

i  X

F01 (a) Pola Pembebanan Bentang pada Elemen dan Gaya Ujung

(b) Gaya Ujung Ekivalen pada Sistem Koordinat Struktur/Global

 F0 m   T  P0 m cos



 F01     F02 



 F03   F04 

 =

  sin 

sin cos

0

0



0

0





  P01    P  0 0   02    P03  cos sin   sin cos   P04  0

0

Rangka Bidang (Plane Truss)10 5.VEKTOR BEBAN EKIVALEN {P}

 EA    0  EA      0  F1     F2 

EA 

L 0 EA





    F3     F4   L    0  

EA  0 EA

0  0 0 0 0 0 0 0

 0 

EA L 0 EA L 0

 0   0   0    0 

1   F1   F   2   2     atau  S m   m   F m 3   F3   F4   4   0     0     0     0 

cos sin 0 0

- sin cos 0 0

0 0 cos sin

0   0  - sin   cos 

 X1e  X1S  











 X e2  XS2  e S  X 3  X11  e S  X 4  X12 

8

ANALISIS RANGKA BIDANG

2.8m

2.5m

  60.60.5

4m

  60.60.5

3m

4m

1.Penentuan Luas Penampang Profil dan Bentang Elemen

profil baja   60.60.5 ,maka luas penampang A = 2*5.82 = 11.64 cm2

W/2

W/4

2.5m

W/4

4

2.8 m

0.1 W 3

3

4

5 5

2 11

4m

12 13

2

6

10

8

9

6

1

8

4m

7

1

7 3m

Gaya ekivalen dititik, penomoran titik kumpul dan elemen :

2. Penentuan Derajat Kebebasan (DOF) Struktur

3. Merakit matriks kekakuan (S)m setiap elemen terhadap sumbu lokal/elemen Dari hubungan {F}m = [S]m{}m



EA 

L 0 EA

 F1     F2 

  



 F3   F4 

   

L 0

0  0 0 0

EA L 0 EA L 0

 0  1        2 0     3  0      0  4 

Maka Matrik kekakuan elemen



EA 

L 0 EA



S m   



 

L 0

0  0 0 0

EA L 0 EA L 0

x



F4,4

0

F3,

0

y

F2,

0 

0

2

F1, 1

3

E,L,A

4. Merakit matriks kekakuan [k]m setiap elemen terhadap sumbu global

k m

0 0   cos   sin   sin  cos   0 0    0 0 cos   sin    0 sin  cos    0

 EA   L 0  EA    L  0

0  0 0 0

EA

L 0 EA L 0

 0 0  0  cos  sin   0 0  0   sin  cos   0 cos  sin   0  0   0 0  sin  cos   0

Parameter unsur matrik [k]m

Matriks kekakuan [k]m setiap elemen :

5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .

5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .

5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .

5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .

5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .

5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .

5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .

5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .

5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .

5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .

penyusunan unsur matrik kekakuan struktur berdasarkan derajat kebebasan pada setiap titik kumpul, disusun unsur matrik kekakuan lengkan [K]S sebagai berikut

 K 11   K 21  K 31

K 12 K 22 K 32

K 13 K 23 K 33

K 14 K 24 K 34

K 15 K 25 K 35

K 16 K 26 K 36

K 17 K 27 K 37

K 18 K 28 K 38

K 19 K 29 K 39

K 110 K 210 K 310

K 111 K 211 K 311

K 112   K 2 12  K 3 12 

 K 41  K  51  K   61  K 71  K 81   K 91  K  10 1  K 111  K  12 1

K 42

K 43

K 44

K 45

K 46

K 47

K 48

K 49

K 410

K 411

K 4 12 

K 52 K 62 K 72 K 82 K 92 K 10 2 K 11 2 K 12 2

K 53 K 63 K 73 K 83 K 93 K 10 3 K 11 3 K 12 3

K 54 K 64 K 74 K 84 K 94 K 10 4 K 11 4 K 12 4

K 55 K 65 K 75 K 85 K 95 K 10 5 K 11 5 K 12 5

K 56 K 66 K 76 K 86 K 96 K10 6 K 11 6 K12 6

K 57 K 67 K 77 K 87 K 97 K 10 7 K 11 7 K 12 7

K 58 K 68 K 78 K 88 K 98 K10 8 K11 8 K12 8

K 59 K 69 K 79 K 89 K 99 K 10 9 K 11 9 K 12 9

K 510 K 610 K 710 K 810 K 910 K 10 10 K 1110 K 12 10

K 511 K 611 K 711 K 811 K 911 K1011 K 111 K 12 11



 KS



K 5 12   K 6 12  K 7 12  K 8 12   K 9 12  K 10 12   K 1112  K 12 12 

Memasukkan nilai [K]s pada setiap komponen unsur matrik, maka diperoleh :

6. Merakit vektor beban luar struktur {P}s dan beban-beban titik kumpul struktur. Menentukan beban terpusat ekivalen {P}s dilakukan dengan menghitung pengaruh kemungkinan beban luar maksimum yang bekerja pada sistim struktur.

6. Merakit vektor beban luar struktur {P}s dan beban-beban titik kumpul struktur.

7. Menyelesaikan persamaan matriks [K]s* X ={P}s Dengan menyatakan hubungan derajat kebasan struktur terhadap gaya terpusat ekivalen sebagai persamaan linear simultan [K] S*{X}S={P}S :

Maka diperoleh besarnya perpindahan translasi titik-titik kumpul.

7. Menyelesaikan persamaan matriks [K]s* X ={P}s Beberapa cara mendapatkan vektor {X} (translasi titik-titik kumpul) antara lain adalah mencari matrik invers [K]-1s dan mengalikannya dengan ={P}s

diperoleh :

 X1    X 2    X3  







 X4   X  5  X 6    X  7   X8  



 X9   X   10  

 X11  

 X12 

 84    43    245    91    237     - 93   108 *   [ m]  237   - 142    90   - 94     83     - 35 

8. Menggambarkan garis elastis struktur (perpindahan titik-titik kumpul terhadap posisi semula).

diperoleh :

 X1    X 2    X3 

 84     - 43   245 

 X4   X  5

 - 91   237 













 - 93   [ m] 237  - 142  90  - 94   83   - 35 

 X 6  8     10 *   X7    X8      X  9    X    10    X11       X12  



Garis Elastis Sistem Struktur Beban Gempa Positif

9. Gaya Dalam Elemen

Setelah memperoleh vektor {X}s, maka gaya-gaya dalam batang (berupa gaya aksial) dihitung dari derajat kebebasan sebagai berikut : [S]{}={F} {} = [T]{X} 

EA 

L 0

  

     atau

EA L 0

0 0 0 0



EA L 0 EA L 0

 0   cos   0   - sin   0 0     0  0 

sin cos 0 0

S m  T m  X m   F m

0 0 cos sin

S   i   X1  X k   0   X i2  X Sl    - sin   X i  X S  m   3  cos   X i4  X Sn 

 F1     F2 

0

 i



 F3   F4   

9. Gaya Dalam Elemen

Perhitungan gaya-gaya dalam aksial [kg] bagi setiap elemen adalah :

9. Gaya Dalam Elemen

Perhitungan gaya-gaya dalam aksial [kg] bagi setiap elemen adalah :

9. Gaya Dalam Elemen

Perhitungan gaya-gaya dalam aksial [kg] bagi setiap elemen adalah :

9. Gaya Dalam Elemen

Perhitungan gaya-gaya dalam aksial [kg] bagi setiap elemen adalah :

Portal Bidang (Plane Frame)1 3.DERAJAT KEBEBASAN STRUKTUR

NX  3NJ  3NFJ  2NPJ  NR dimana NJ = jumlah total titik kumpul, termasuk perletakan NFJ = jumlah titik yang sifatnya JEPIT NPJ = jumlah titik yang sifatnya SENDI NR = jumlah titik yang sifatnya ROL 12

13 13

11

12 8

6

DOF = (3*13) - (3*2) - (2*1) -(1) = 30

5

8

10

10

9 7

11 9

6

3

2

4

1

7 5

2 1

3 Penomoran elemen and titik kumpul

4

Portal Bidang (Plane Frame)2

Garis elastis dan vektor perpindahan/rotasi titik kumpul

Portal Bidang (Plane Frame)3

Vektor Gaya Ekivalen Titik Kumpul

Portal Bidang (Plane Frame)4 2.MATRIK KEKAKUAN ELEMEN [S]m y

5,F

2,F 1,F



0 

0 





 

EA    0 









0

0

0

12EI 3 6EI 2

6EI 2 4EI 

0 

12EI 2 6EI 2

0 6EI 2 2EI 





EA  0 0 EA  0 0

4,F

E,I,A, L

3,F 3

 EA   

j6 i

1

6,F

5

2

4



0

0 

12EI  3  6EI  2 

6EI  2   2EI   

0 12EI 3 6EI  2 

x

  Δ1   Δ   2

 F1   F   2

 Δ 3   F3    Δ   F  0   4  4   Δ 5   F5  6EI   Δ   F   2   6  6   4EI   

 S  Δ m

m

  F m

Portal Bidang (Plane Frame)5 3.MATRIK KEKAKUAN [K]m perakitan matrik [K] dari matrik elemen [S] memerlukan proses transformasi koordinat Hubungan [S]{}={F} ditransformasi menjadi [K]{X} = {P} Dimana hubungan keduanya menjadi

0 0 0  1   cos  sin  0      sin  cos  0  0 0 0 2       3   0 0 1 0 0 0      0 0 0 cos  sin  0    4  0  5  0 0  sin  cos  0       6  0 0 0 0 0 1  

 X1   X   2  X 3    X  4  X5     X 6 

Portal Bidang (Plane Frame)6  F1 F2 F3 F4 F5 F6 

besaran gaya ujung elemen

dinyatakan dengan

 P1 P2 P3 P4 P5 P6 

melalui transformasi koordinat

Sehingga :

0 0 0   F1   cos  sin  0  F    sin  cos  0   0 0 0 2       F3   0 0 1 0 0 0       F 0 0 0 cos  sin  0     4  0  F5  0 0  sin  cos  0        F6  0 0 0 0 0 1   

P1  P2  P3   P4  P5   P6 

atau {F}m = [T]{P]m. Matrik [T] didefinisikan sebagai matrik transformasi koordinat.

Portal Bidang (Plane Frame)7 akan diperoleh matrik kekakuan elemen [k]m ditinjau dari sistem koordinat global/struktur sebagai berikut : 2

3

 EA  L 

0

0

12EI

6EI

L3 6EI

L2 4EI

L2

L

0

0

1

1

2



0   

3

0  

 EA - L 

4 

5

0  

6 





0

-

12EI 3

L 6EI L2

-

4 -

EA

0

L 0

-

0

-

EA

2

L 2EI

0

12EI L3 6EI L2

12EI

0

3

-

L 6EI L2

6 0

0

L

6EI

L

5

 

 6EI   L 2   co s  2 E I    s in  0 L    0  0      : 0 6EI  0 - 2   L  4EI  L 

sin 

0

0

0

c o s 0

0

0

0

X  0   X 0   X  0 X 0 X  1   X 0

1

0

0

0

0

cos

0

0

 s in 

cos

0

0

0

0

s in 

1



3



cos   s in    0

2



4









 

5



6



 = 

s in 

0

0

0

cos 0

0

0

0

1

0

0

0

0

0



co s

s in 

0

0

0

 sin 

co s



0

0

0

0

0

Dalam notasi matrik : [S]m [T ]m {X}m = [T]m {P}m Mengalikan persamaan dengan matrik invers

 T 1S T X   T 1 T P  T 1S T X   P

 T 1 :

T  1  S T    K 

  P1    0   P 2  0   P 3    0   P4 0   P5    1   P 6  0

matrik invers

Portal Bidang (Plane Frame)8  T 1 juga merupakan matrik transpose  T T

 T 1 =  T T Dimana:

Sehingga:

 cos  sin   0 T  T   0   0  0 

- sin

0

0

0

cos 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 cos sin 0

0 0 - sin cos 0

T  1  S T  X    P T  T  S T  X    P T  T  S T    K 

0  0  0  0  0   1 

Portal Bidang (Plane Frame)9 4.MERAKIT MATRIK KEKAKUAN STRUKTUR [K]S T

[k]m =  T  S T

Hasil perkalian matrik merupakan transformasi matrik kekakuan elemen [S] menjadi matrik kekakuan elemen pada sistem koordinat struktur