Metodos Matematicos

Resumen En este informe se expondrá brevemente la transformada de Laplace, así como algunas situaciones que ocurren en planta y el porqué de ser ser capaces de conocerla para nuestra futura vida profesional, ya que esta transformada nos resuelva cualquier problema en nuestra vida actual. La transformada de Laplace es una excelente herramienta para el ingeniero de cualquier carrera ya que le brinda una manera de interpretar muchos procesos con los cuales interactúa en su ambiente laboral y así poder comprenderlos mediante una ecuación algebraica de tipo polinómica que es mucho más fácil de resolver. Por otra parte, si pensamos acerca de la cinética química o la transferencia de calor es difícil encontrar algún libro que presente problemas resueltos utilizando esta poderosa herramienta matemática. Introducción El desarrollo de la química industrial a causa de la revolución industrial trajo como consecuencia el paso de la producción artesanal a las grandes industrias. La primera dificultad encontrada en este cambio de escala fue la disponibilidad de equipo de gran tamaño, lo cual se solucionó al hacer uso del criterio de semejanza geométrica respecto a los empleados en el laboratorio junto con la experiencia de los metalúrgicos en el manejo de materiales resistentes. De esta forma se lograron montar las primeras plantas para la producción de soda, vitriolo, índigo, etc. La ampliación de los volúmenes trajo consigo problemas estructurales y de planta que requirieron de la intervención de los ingenieros civiles. Estos problemas se incrementaron posteriormente con la producción de ácido sulfúrico y la generación de energía a partir de vapor que implicaban el manejo de grandes volúmenes de gases y vapores que requerían de la aplicación de las teorías de gases conocidas en ese momento. El nuevo enfoque de la producción obligó a que los químicos mediante cursos cortos profundizar sobre nuevos temas. Los equipos y sus materiales de construcción fueron los tópicos iniciales, sin embargo se requirió del componente matemático dominado por los ingenieros y para ello se complemento su formación con la enseñanza del álgebra,la geometría analítica y el cálculo diferencial. La necesidad de desarrollar una ciencia basada en la construcción de equipos y la de lograr trasladar con mayor certeza resultados de laboratorio a la escala industrial creó un nuevo campo de la ingeniería química: el modelamiento matemático. Los modelos como se indicó en alguna ocasión son la única forma que tenemos los ingenieros de comunicarnos con las máquinas, ya que a través de ellos se nos permite predecir y modificar el comportamiento de un sistema, conociendo algunas características del mismo.

¿Que es la transformada de Laplace? La transformada de Laplce es una función está definida por la siguiente expresión: donde “t” es la variable independiente que casi siempre corresponde con el tiempo, “s” es la variable transformación que debe ser un número real positivo, f(t) es la función que se desea transformar y F es la transformada de Laplace. ¿Porque es útil la transformada de Laplace? Físicamente es importante familiarizarnos con el elemento que se comporta como interruptor y que se activa en el tiempo t = c donde se c es una constante. Esto puede ser precisamente un interruptor en el circuito eléctrico que enciende una fuente de voltaje y permite el paso de una corriente eléctrica. En el caso de la reacciones químicas el interruptor puede representar el instante donde se agrega súbitamente una especie química para iniciar o cambiar el curso de una reacción química. En transferencia de calor puede ser el instante en que se inicia la combustión del gas butano en un calentador de agua doméstico, o el instante en el cual se sumerge un objeto caliente en agua fría. Al igual que en el control de procesos, en los cuales hay que obtener funciones de transferencia y en la instrumentación de procesos químicos. Ventajas Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales integrales en ecuaciones polinómicas mucho más fáciles de resolver. Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Esta se puede calcular mediante la convolucion de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución: en una multiplicación habitualmente más sencilla. A su vez nos da un análisis de los comportamientos dinámicos de los procesos en la naturaleza que pueden ser representados con un modelo general de comportamiento dinámico lineal. Una vez estudiados se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple: dicho comportamiento es presentado a continuación.

Aplicación de la transformada de Laplace en mezclas Una mezcla es una sustancia que está formada por varios componentes (dos o más), que no pierden sus propiedades y características por el hecho de mezclarse ya que no se produce una reacción química entre ellos. ejemplos de mezclas pueden ser una ensalada, agua salada, azúcar y sal, etc. Mezclas homogéneas : Aquellas mezclas que sus componentes no se pueden diferenciar a simple vista. Las mezclas homogéneas de líquidos se conocen con el nombre de disoluciones y están constituidas por un soluto y un disolvente, siendo el primero el que se encuentra en menor proporción y además suele ser el líquido. Por ejemplo, el agua mezclada con sales minerales o con azúcar, el agua es el disolvente y el azúcar el soluto. Mezclas Heterogéneas : Aquellas mezclas en las que sus componentes se pueden diferenciar a simple vista.

Aplicaciones de la transformada de Laplace en Cinetica Quimica ¿Qué es una reacción química? Una reacción química consiste en la interacción entre diferentes especies químicas (elementos y/o compuestos) que provocan la desaparición de algunas de ellas y la aparición de otras nuevas. Por convención, se asignan valores negativos a los coeficientes estequiométricos de los reactivos y se asignan valores positivos a los coeficientes estequiométricos de los productos. La velocidad de reacción en el contexto de la cinética química, las palabras rapidez y velocidad tienen el mismo significado, por lo cual es válido decir velocidad de reacción o rapidez de reacción. Esta variable se define por medio de la derivada de la concentración de una especie química con respecto al tiempo, dividida entre el coeficiente estequiométrico de la misma: R=1/Vk*da/dt, donde ak es la concentración de la k-ésima especie química, t es el tiempo, νk es el k-ésimo coeficiente estequiométrico y r es la velocidad de reacción Reacciones Consecutivas Consideremos una reacción en la cual el compuesto A se convierte en el compuesto B, pero a su vez el compuesto B se convierte en un tercer compuesto C, y donde las concentraciones de dichos compuestos están denotadas por a(t), b(t) y c(t) respectivamente. El proceso completo puede verse como dos reacciones consecutivas, para lo cual necesitamos plantear dos ecuaciones de velocidad de reacción. En este caso supondremos que ambas reacciones son de primer orden con constates de velocidad k1 y k2 respectivamente, y que en el tiempo t = 0 únicamente existen moléculas del compuesto A con una concentración inicial a0. El mecanismo de la reacción química está descrito por: Primera etapa A  B (k1) , Segunda etapa B  C (k2)

Si analizamos el compuesto A, vemos que simplemente desaparece y se convierte en el compuesto B. Debido a que el compuesto A está desapareciendo (es un reactivo), necesitamos agregar un signo negativo para indicar esta condición, ya que νA = −1: da/ dt k1a, (21) Pensando en el compuesto B, vemos que se comporta como producto y como reactivo, por lo tanto está apareciendo debido a la primera etapa, pero también está desapareciendo debido a la segunda etapa. Por lo anterior, la ecuación de velocidad para B tiene dos componentes, la primera de ellas es positiva y es proporcional a la concentración de la especie A, mientras que la segunda es negativa y proporcional a la concentración de la especie B, por lo tanto tenemos: db/dt=k1a-k2b Finalmente, el compuesto C sólo se comporta como producto, por lo que su ecuación de velocidad sólo tiene una componente positiva que es proporcional a la concentración de la especie B: dc /dt= k2b Si deseamos aplicar la transformada de Laplace al sistema integrado por las ecuaciones, es necesario conocer las condiciones iniciales en t = 0. Como estamos considerando que al principio del proceso sólo existe una muestra del compuesto A puro, entonces las condiciones iniciales son a0 = a0, b0 = 0 y c0 = 0, lo que nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones algebraicas: (s  k1 )A(s)  a , k1A(s) (s  k2 )B(s)  0 , k2B(s)  sC(s)  0 , Reacciones Opuestas Un tipo de reacciones químicas que actúan en direcciones opuestas son las reacciones de isomerización, en donde una especie química A se convierte en la especie química B y a su vez la especie B se convierte nuevamente en la especie A, tal y como lo indica la ecuación A B Este proceso se puede modelar pensando en dos reacciones consecutivas de primer orden: A  B (K1) , B  A (K2). Las moléculas de la especie A desaparecen debido a la propia concentración de la especie A, pero aparecen a causa de la concentración de la especie B. En forma semejante, la especie B desaparece debido a su propia concentración y aparece debido a la concentración de la especie A. Por lo que podemos establecer lo siguiente: da /dt=-k1a+ k2b db /dt= k1a- k2b Para resolver el sistema debemos considerar que inicialmente sólo hay moléculas de la especie A con concentración inicial a0. Aplicando la Transformada de Laplace, obtenemos las ecuaciones : (s  k 1)A(s) k2 B(s)  a , k1A(s) (s  k2 )B(s)  0

Aplicaciones de la transformada de Laplace en Control de Procesos ¿Qué es un control de Procesos? Un control de proceso consiste en la recepción de entradas, variables del proceso su procesamiento y comparación con valores predeterminados por el usuario y posterior corrección en caso de que se haya producido alguna desviación respecto al valor preestablecido de algún parámetro de proceso. El sistema de control nos permitirá una operación del proceso más fiable y sencilla, al encargarse de obtener condiciones de operación estables, y corregir toda desviación que se pudiera producir en ellas respecto a los valores de ajuste. La implantación de un adecuado sistema de control de proceso, que se adapte a las necesidades de nuestro sistema, significará una sensible mejora de la operación. Principalmente los beneficios obtenidos serán: + Incremento de la productividad + Mejora de los rendimientos + Mejora de la calidad + Ahorro energético + Control medioambiental + Seguridad operativa + Optimización de la operación del proceso/ utilización del equipo + Fácil acceso a los datos del proceso En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que necesitan cumplirse. En el ámbito doméstico: Controlar la temperatura y humedad de las casas y edificios. En transportación: Controlar que un auto o un avión se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta. En la industria: Controlar un sinnúmero de variables en los procesos de manufactura entre otros. Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria tales como control de calidad de los productos, líneas de ensamble automático, control de máquinas-herramientas, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia robótica entre otros. El campo de la aplicación de los sistemas de control es muy amplio y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es la Transformada de Laplace. ¿Por qué Transformada de Laplace? En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso. El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza pueden representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:

La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales. De hecho la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede procesar a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple. El Proceso de Diseño del Sistema de Control Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere:  Conocer el proceso que se desea controlar, es decir conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y eléctricas. A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso.  Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.

El rol de la transformada de Laplace es convertir ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas

La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo se define como la relación entre la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se hacen iguales a cero. Esta forma de representar sistemas se denomina representación externa, ya que atiende a las señales presentes en sus terminales de entrada y salida.

Ejemplos de Procesos Automatizados

Satélites

Control de la concentración de un producto en un reactor químico.

Bibliografía     

http://www.mavainsa.com/documentos/9_control_procesos.pdf http://es.slideshare.net/gabriellacayo/aplicaciones-reales-laplace-8485102 http://uhu.es/antonio.barragan/content/23-funcion-transferencia-ecuacionestado http://www.lajpe.org/dec13/4-LAJPE_818_Erik_Albarran.pdf https://www.google.com/url? sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwjq4vyJodTOAhXF HR4KHeH9Ar0QFggcMAA&url=https%3A%2F%2Fdialnet.unirioja.es %2Fdescarga%2Farticulo%2F4902781.pdf&usg=AFQjCNE6Yiiu22d6MzggHHIalNDpUB4-w&bvm=bv.129759880,d.dmo