Pembuktian Rumus Besar Sudut Antara Dua Tali Busur

F.

SUDUT ANTARA DUA T ALI BUSUR (PENGAYAAN)

Dua tali busur dari sebuah lingkaran dapat berpotongan di dalam lingkaran atau berpotongan di luar lingkaran pada perpanjangan kedua tali busur itu. Agar kalian lebih memahaminya, perhatikan Gambar 6.26 berikut. A

D

D

O

G

E C

B

H

O

E

(a)

F

(b) Gambar 6.26

Pada Gambar 6.26 (a), tali busur AC dan BD berpotongan di dalam lingkaran, sedangkan Gambar 6.26 (b) menunjukkan tali busur DG dan EF berpotongan pada perpanjangan kedua tali busur itu di luar lingkaran. Pada bagian ini kita akan menentukan besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam atau di luar lingkaran. 1. Sudut Antara Dua Tali Busur Jika Berpotongan Di Dalam Lingkaran Perhatikan Gambar 6.27. Lingkaran dengan pusat di titik O dengan titik E adalah titik potong antara tali busur AC dan BD . Dari gambar tersebut tampak bahwa ‘ AEB, ‘ BEC, ‘ CED, dan ‘ AED adalah sudut di dalam lingkaran yang dibentuk oleh

A

D

O E B

C

Gambar 6.27

perpotongan antara tali busur AC dan BD . Dari gambar tersebut diperoleh a. ‘ BDC adalah sudut keliling yang menghadap busur BC, 1 sehingga ‘ BDC= u ‘ BOC; 2 b. ‘ ACD adalah sudut keliling yang menghadap busur AD, sehingga ‘ ACD= 1 u ‘ AOD. 2 Perhatikan bahwa ‘ BEC adalah sudut luar ' CDE, sehingga ‘ BEC = 180o  ‘CED

180o  (180o  ‘CDE  ‘ECD) ‘CDE  ‘ECD 162

Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

‘ BDC+‘ ACD § 1 u ‘ BOC ·  § 1 u ‘ AOD · ¨ ¸ ¨ ¸ ©2 ¹ ©2 ¹ 1 u ‘ BOC  ‘ AOD 2 Analog dengan cara di atas, maka diperoleh

1 u  ‘ AOB  ‘ COD 2 1 ‘ CED u  ‘ COD  ‘ AOB 2 1 ‘ AED u  ‘ AOD  ‘ BOC 2 Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. ‘ AEB

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.

Q

Penyelesaian:

P T

‘ PTQ

O R

S

1 u  ‘ POQ  ‘ ROS 2 1 u  60q  130q 2 95q

Gambar 6.28

Pada gambar di atas, diketahui besar ‘ POQ = 60o dan besar ‘ ROS = 230o. Tentukan besar ‘ PTQ. 2. Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan Di Luar Lingkaran Perhatikan Gambar 6.29 berikut. Titik O adalah titik pusat lingkaran, sedangkan LK dan MN adalah dua tali yang jika diperpanjang akan berpotongan di titik P, di mana titik P di luar lingkaran, sehingga terbentuk ‘ KPN. Lingkaran

163

Perhatikan bahwa ‘ KMN adalah sudut keliling yang menghadap busur KN, sehingga

L

K

O

P N

M

1 ‘ KMN= u ‘ KON 2

Sudut MKL adalah sudut keliling yang menghadap busur LM, sehingga

Gambar 6.29

1 ‘ MKL= u ‘ MOL 2 Sudut MKL adalah sudut luar ' KPM, sehingga berlaku ‘ MKL = ‘ KMN + ‘ KPN atau ‘ KPN ‘ MKL  ‘ KMN § 1 u ‘ MOL ·  § 1 u ‘ KON · ¨2 ¸ ¨2 ¸ © ¹ © ¹ 1 u  ‘ MOL  ‘ KON 2 Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.

A

B O

E

C

D Gambar 6.30

Perhatikan Gambar 6.30 di atas. Diketahui besar ‘ AED = 25o dan besar ‘ BOC = 35 o . Tentukan besar ‘ AOD.

164

Penyelesaian:

1 u ‘ AOD  ‘ BOC 2 1 25q u ‘ AOD  35q 2 50q ‘ AOD  35q ‘ AOD 85q ‘ AED

Matematika Konsep dan Aplikasinya 2