Pengenalan Maple Dalam Operasi Aljabar Sederhana

PENGGUNAAN MAPLE DALAM OPERASI FUNGSI

LAPORAN PRAKTIKUM MATEMATIKA DASAR

Oleh Berta Yuda Sisilia Putri NIM 131810301051

LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 2013

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Perkembangan zaman di mana dunia teknologi semakin maju, daya saing semakin tinggi dan semakin mengglobalisasi. Termasuk aplikasi komputer yang semakin canggih. Di desain untuk membantu menyelesaikan masalah sehari-hari. Salah satunya yaitu software maple ini. Maple dalam praktikum ini tidak hanya untuk operasi aljabar sederhana saja, melainkan bisa menyelesaikan persoalan tentang fungsi invers. Sehingga dalam praktikum ini akan membahas operasi fungsi invers dengan maple. Terkadang kita menemui kesulitan dalam mengerjakan rumus fungsi invers dan juga kesulitan dalam menggambarkan grafik fungsinya. Sehingga praktikum ini penting dilakukan agar praktikan mengerti cara menggunakan maple dalam menyelesaikan permasalahan soal fungsi invers juga grafiknya menggunakan maple. Apalagi Fungsi atau invers dapat berguna dalam kehidupan keseharian. 1.2 Rumusan masalah Adapun beberapa rumusan masalah dalam praktikum kali ini, yaitu : a. Bagaimana penerapan fungsi padaMaple 13? b. Bagaimanacara menuliskan fungsi invers pada Maple 13? c. Bagaimana cara menuliskan fungsi komposisi pada Maple 13?

1.2 Tujuan Adapun tujuan dilakukannya praktikum kali ini adalah: a. Mengetahui penerapan fungsi pada Maple 13 b. Mampu menuliskan fungsi invers pada Maple 13 c. Mampu menuliskan fungsi komposisi pada Maple 13

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pengertian Fungsi Fungsi

merupakan

kejadian

khusus

dari

suatu

relasi.

Dalam

pengoperasianya maple dapat digunakan untuk mendefinisikan sebuah fungsi. Bentuk operasi yang akan ditampilkan dalam program Maple tidaklah serumit dan sekompleks fungsi itu sendiri. Fungsi pada Maple yang telah di definisikan akan terlihat lebih sederhana dan memudahkan dalam penulisan rumus operasi matematika lainnya. Contohnya, untuk menuliskan f(x) =

x2+3x+2 pada

worksheet Maple,kita cukup menuliskan sebagai berikut: >f:=(x)->x^2+3*x+2; >g:=(x)->2*x^2+4*x+3; Jika telah didefinisikan seperti contoh diatas maka untuk menuliskan rumus operasi matematik lainnya kita hanya perlu maenuliskan f(x) atau g(x) saja. Hal itu dikarenakan fungsi sudah didefinisikan, maka secara otomatis komputer akan membaca f(x) ataupun g(x) dengan sesuai fungsi diatas. Berikut adalah contoh operasi pengurangan dan penambahan: >f(x)+g(x); >g(x)-f(x); Fungsi menurut buku lain adalah suatu persamaan dimana mempunyai dua buah variabel atau lebih yang masing masing variabel tersebut nilainya saling mempengaruhi ( Suprapto kartono SE,1983:2 ).

2.2 Sifat-Sifat Fungsi a. Fungsi Injektif (fungsi satu-satu / into) Misalkan f ; A  B, f disebut fungsi satu-satu jika f memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. (anggota B tidak ada yang mendapat pasangan di A lebih dari satu ). Gambar 1.a : Fungsi Injektif

Jika

a1 , a2  A, a1  a2 maka f (a1 )  f (a2 )

b. Fungsi Surjektif (fungsi onto). Misalkan f ; A  B, f disebut fungsi surjektif jika f memasangkan setiap anggota B dengan anggota A (semua

anggota

B

mendapat

pasangan di A sekurang-kurangnya satu elemen). Gambar 1.b : Fungsi Surjektif

Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B (daerah kawan).

c. Fungsi Into

Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi

f

merupakan

bagian dari himpunan B.

Gambar 1.c : Fungsi Into

himpunan

d. Fungsi Bijektif (korespondensi satu-satu) Misalkan f ; A  B, f disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika f bersifat injektif dan surjektif

Gambar 1.d : Fungsi Bijektif (Korespondensi satu-satu).

Catatan: Untuk mengetahui apakah suatu relasi dari A ke B merupakan fungsi atau bukan, cukup memperhatikan himpunan A (domain). Anggota A dipasangkan dengan tepat satu pasangan di anggota B, maka relasi tersebut disebut fungsi. Untuk mengetahui apakah sifat-sifat fungsi f : A  B merupakan injektif (satusatu), surjektif (onto dan pada) atau bijektif (korespondensi satu-satu), cukup dengan memperhatikan himpunan B ( Sugondo, 2011 ). 2.2 Fungsi Invers Dua fungsi f dan g yang sedemikian rupa sehingga g(f(x))= x dan f(g(y))= y disebut sebagai fungsi invers, fungsi invers membalikkan pengaruh dari fungsi lainnya. Misalnya jika f(a) = b, maka g(b) = a. Penandaan invers f ditulis sebagai f-1. Jika y = f(x), kita sering menulisnya x = f-1(y), jika f terdefinisikan seperti biasa kita tuliskan dy/dx untuk turunan f ‘x, dan dx/dy untuk turunan (f-1)’(y) ( Ayres, 2004 ).

Gambar 2.2 : Fungsi Invers.

2.3 Fungsi Komposisi Penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang akan menghasilkan sebuah fungsi baru disebut dengan fungsi komposisi. Dalam maple fungsi komposisi dapat dituliskan seperti dibawah ini: >a:=(x)->3*x+4; >b:=(x)->5*x+2; >a(b(x)); >b(a(x));

2.4

(Baisuni, 1986:8).

Beberapa Jenis-Jenis Fungsi

a. Fungsi eksponen Fungsi eksponen adalah fungsi yang mempuyai bentuk umum f(x) = ax, dengan bilangan a adalah konstanta positif. Penulisan dalam maple seperti aljabar sederhana sebelumnya. b. Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri terdiri dari: fungsi Sinus. Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian. Daerah asal dan daerah hasil: Df = R, Wf = [-1,1], fungsi Cosinus. Bentuk umum: y = f(x) = cosx, x dalam radian. Daerah asal dan daerah hasil: Df = R, Wf = [-1,1], fungsi Tangen. Bentuk umum:

( )

dalam radian. Daerah asal: Df = R -{π/2 + nπ|nє’}. Daerah hasil: Wf = R.

c. Fungsi Pilonomial Fungsi polynomial adalah fungsi polinomial yang berderajat n dengan bentuk d. Fungsi Hiperbolik

Gambar : Fungsi hiperbolik. e. Fungsi Logaritma Fungsi Logaritma adalah jika a>0 dan a≠1, maka fungsi eksponensial f(x)=a merupakan fungsi satu satu. Fungsi inversnya disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok (dasar) a dan ditulis dengan f(x) =logax.Jadi, loga = y ay = x ( Heri, 2005).

BAB 3. METODOLOGI 3.1 Alat dan Bahan a. Laptop dengan spesifikasi : Toshiba satellite C800 b. Software Classic worksheet maple 15 3.2 . Prosedur a. Menghidupkan laptop dengan menekan tombol on b. Menunggu hingga keluar tampilan desktop c. Meng-klik icon maple 15 untuk menjalankan software maple-15. d. Tunggu hingga muncul worksheet. e. Melakukan operasi fungsi invers.

BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

Berdasarkan praktikum yang telah dilakukan yaitu penggunaan maple dalam operasi fungsi, dimana fungsi yang dipakai diantaranya adalah fungsi eksponen, logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik. Pengoperasian praktikum ini seperti biasa denagn diawali dengan restart dan titik koma karena untuk memulai lembar kerja baru dan diakhiri dengan titik koma (;) dan enter. Hasil selengkapnya praktikum tentang fungsi yaitu: Fungsi eksponen adalah fungsi yang mempuyai bentuk umum f(x) = ax, dengan bilangan a adalah konstanta positif. Penulisan dalam maple seperti aljabar sederhana sebelumnya. Contoh F(x) = x2 + 4x + 5 , ex adalah sebagai berikut : > a:=x^2+4*x+5; a := x24 x5

> e^x; ex

> 2*e(3/2); 3 2 e  2

Fungsi Logaritma adalah jika a>0 dan a≠1, maka fungsi eksponensial f(x)=a merupakan fungsi satu satu. Fungsi inversnya disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok (dasar) a dan ditulis dengan f(x) =logax.Jadi, loga = y ay = x. Untuk penulisan di maple diberi kurung siku setelah kata ‘log’sebagai berikut : > log[10]; log10

> log[2];

log2

> log[2][4]; log 2

4

Fungsi trigonometri dalam menuliskan di dalam maple adalah seperti biasanya, kemudian jika ingin menampilkan hasil maka menggunakan rumus ‘evalf’ sebelum fungsi trigonometri, seperti : > cos(60);

cos( 60 ) > evalf(cos(60));

-0.9524129804 Jika menginginkan hasil dalam bentuk derajat maka sudut dalam fungsi trigonometri dikalikan dengan (Pi/180), maka akan menghasilkan data akurat seperti : > evalf(cos(60*Pi/180));

0.5000000000 Fungsi hiperbolik adalah fungsi yang berpangkat bilangan riil dan fungsi yang mirip trigonometri hanya saja ditambah huruf ‘h’ pada fungsinya dan mempunyai hubungan dengan hiperbola. Dalam maple cara penulisannya seperti : > sinh(x);

sinh( x ) > arcsinh(x);

arcsinh( x ) > arccosh(x);

arccoshx ( ) Fungsi polynomial adalah fungsi polinomial yang berderajat n dengan bentuk seperti berikut :

. Untuk penulisannya pada maple

> polynomial:=24*x^5+105*x^4-10*x^2+17*x-10; polynomial := 24 x5105 x410 x217 x10

Untuk penyelesaian fungsi polinomial di atas, jika (x = -5..5 ) yang berarti rentang antara -5 hingga 5 menggunakan fsolve yaitu penyelesaian dengan menampilkan hasil berupa desimal, seperti : > fsolve(polynomial,x = -5..5);

-4.343092665, -0.7577682339, 0.4425545605 Penyelesaian model soal fungsi lain seperti a = (x+4)3 jika ingin menyelesaikan soal tersebut untuk menampilkan hasilnya dalam maple maka mengunakan rumus ‘expand’ dan untuk menyederhanakan lagi dalam bentuk semula menggunakan rumus ‘simplify’ , seperti : > a:=(x+4)^3; a := ( x4 )3

> expand(a); x312 x248 x64

> simplify(a); ( x4 )3

Untuk penyeleaian soal dengan menginginkan hasil berupa faktor =faktor/ pemfaktoran, maka menggunakan rumus ‘factor’ dan untuk menampilkan hasil faktor tersebut maka menggunakan rumus ‘solve’ dan menggunakan‘fsolve’ jika menginginkan hasil berupa desimal, seperti : > b:=x^2+3*x+2; b := x23 x2

> factor(b);

( x2 ) ( x1 ) > solve(b);

-1, -2 > fsolve(b);

-2.000000000, -1.000000000

> w:=x^2-3; w := x23

> solve(w);

3,  3 > fsolve(w);

-1.732050808, 1.732050808 Dapat pula menggunakan bentuk persamaan pada maple dengan cara penulisan rumus seperti berikut : > Pers_1 :=2*x+3*y=5;

Pers_1 := 2 x3 y5 > Pers_2:=x-2*y=6;

Pers_2 := x2 y6 Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, yaitu jika menampilkan hasil x dan y, maka menggunaka rumus ‘solve’ dengan cara seperti berikut : > solve({Pers_1,Pers_2},{x,y});

{ x4, y-1 } Untuk penyelesaian soal berupa subtitusi, langkah pertama seperti biasa menuliskan persamaanya terlebih dahulu kemudian dalam penyelesaiannya menggunakan rumus ‘subs’, seperti : > c:=4*x^3+5*x-9; c := 4 x35 x9

> d:=2*x-5;

d := 2 x5 > subs(x=d,c); 4 ( 2 x5 )310 x34

> x^((2*x^2-n)/((cos^2)*x))/exp(i*(log[2](x^2)));

x e

 2 x2 n       cos 2 x     i ln( x2 )   ln( 2 )

  

BAB 5. PENUTUP 5.1 Kesimpulan Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari praktikum kali ini, yaitu : a. Fungsi yang digunakan dalam praktikum kali ini yaitu fungsi eksponen, logaritma, fungsi trigonometri, fungsi polynomial dan fungsi hiperbolik. b. Beberapa

rumus

dalam

penyelesaian

soal

dalam

maple,

untuk

menjabarkan menggunakan rumus ‘expand’, untuk memnyederhanakan menggunakan rumus ‘simplify’, memfaktorkan menggunakan rumus ‘factor’, mensubtitusikan menggunakan rumus ‘subs’, untuk menampilkan hasil menggunakan rumus ‘solve’, menampilkan hasil secara desimal menggunakan rumus’fsolve’

5.2 Saran Untuk memasukkan beberapa rumus dalam maple perlu pemahaman rumus dalam penggunaanya. Bagi praktikan selanjutnya diharapkan supaya lebih teliti dalam memakai beberapa rumus, karena kurang ketelitian dalam rumus bisa menyebabkan error maupun hasil yang tidak valid.

DAFTAR PUSTAKA Ayres, Frank et al. 2004. Schaum’s Easy Outlines. Jakarta : Erlangga. Baisuni, hasyim. 1986. Kalkulus. Jakarta : Universitas Indonesia Heri, Robertus. 2005. Buku Ajar Kalkulus 1. Semarang : Universitas Diponegoro. Kartono, Suprapto. 1983. Penerapan Fungsi Dalam Ekonomi. Jakarta : Universitas Indonesia. Sugondo, dkk. 2011. Tim Penyusun Modul Pembelajaran. Jawa Timur.

LAMPIRAN Nama : Berta Yuda Sisilia Putri NIM : 131810301051 Jurusan : Kimia SOAL 1. Tuliskan fungsi berikut dalam maple : A)

(

(

)

) = +

B)

C)

√

(

(

))

=

√

D) √ √

=

√

(

)

√

=

2. A= x4 – 5x2 + 4 = a). Faktorkan b). Selesaikan Persamaan

3. Uraikan fungsi berikut : ( 2x3 -

+ 5ax + b )2 =

4. B= 2a + b C= 4d Subtitusikan B-C ke Pers A

Jawaban : 1.

A. > A:=(e^(((2*x+cosx)/(sin2x))^a)/(2*x))^2;

A :=

   2 x cosx a    e  sin2x     

2

4 x2

B. > b:=(sin^2*x+cos^2*x)/(1-cos^2*x)+ ((2*x^2+5)/(6)); b :=

sin2 x cos2 x x2 5   3 6 1 cos2 x

C. >c:=(sqrt(e^(2*a))^(log[2]*e^((2*x+5)/(2)))+2*x^ (2/3))/(2*a^((cos^2*x+sin*x^2)^(1/3)));

1( e c := 2

(2 a)

a

 log e( x 5/2 )   2   

)

 2 x

( 2/3 )

( 1/ 3 )    2 2   ( cos x sin x ) 

D. >d:=sqrt((2*e*((1/4)*((2*x^3)/(a+b)))^(1/(2*x )))^(1/(m+n)))^(1/3);  1     m n      1       2x      3   x       d :=   2 e       2 ( a b )  

2. > A:=x^4-5*x^2+4;

A := x45 x24 > factor(A); ( x1 ) ( x2 ) ( x2 ) ( x1 )

> solve(A); 1, 2, -2, -1

( 1/ 6 )

3. > P:=(2*x^3-1/4*x^2+5*a*x+b)^2; 1 P :=  2 x3 x2 5 a x b  4  

2

> expand(P); 1 5 1 4 x6x520 x4 a4 x3 b x4 x3 a x2 b25 a 2 x210 a x bb 2 16 2 2

4. > B:=2*a+b; B := 2 ab

> C:=4*d; C := 4 d

> Pers_A:=x^4-5*x^2+4;

Pers_A := x45 x24 > subs(x=B-C,Pers_A);

( 2 ab4 d )45 ( 2 ab4 d )24