Pertemuan 09 Penaksiran Parameter

Penaksiran Parameter

Tri Afirianto, S.T., M.T. [email protected] Universitas Brawijaya Disusun oleh: Tim Ajar Kuliah Statistika 2016-2017 FILKOM

Populasi dan Sampel POPULASI • Kumpulan dari semua data yang mengidentifikasi suatu fenomena • Bergantung pada kegunaan dan relevansi data yang dikumpulkan

SAMPEL • Sekumpulan data yang diambil atau diseleksi dari suatu populasi yg pada dasarnya adalah bagian dari populasi

Tujuan Statistika • Memperoleh informasi tentang suatu populasi berdasarkan informasi yang diperoleh dari sampel • Pengumpulan data: • Seluruh elemen populasi → informasi sesungguhnya → (parameter) • Sebagian elemen populasi (penarikan sampel) → data penaksiran/perkiraan/pendugaan → statistik

• Statistik → penaksiran/penduga dari parameter

Penaksiran/Pendugaan • Kebutuhan utama dalam segala bidang • Konsep probabilitas sangat diperlukan → sangat berguna dalam membuat keputusan dalam kondisi tidak pasti (uncertainty) • Pendugaan secara statistik diperlukan agar mendapat suatu dugaan yang baik

Contoh Penaksiran • Sebuah pabrik ban mobil (car tires) membuat ban jenis baru yang diyakini memiliki daya tahan lebih lama dibanding yang ada. Untuk mengevaluasi ban baru, manajer memerlukan perkiraan rata-rata jumlah kilometer yang mampu ditempuh oleh ban baru tersebut.

PENGUJIAN

120 sampel

3.650.000 km

Kriteria Taksiran yang Baik • Tidak bias (unbiasedness) • Statistik sampel penduga harus sama atau mendekati parameter populasi penduga

• Efisiensi (efficiency) • Statistik sampel memiliki standar deviasi kecil

• Konsistensi (consistency) • Jika ukuran sampel meningkat, maka statistik sampel akan semakin meningkat mendekati parameter populasi

• Kecukupan (sufficiency) • Jika taksiran dapat memberikan informasi yang cukup mengenasi sifat populasinya

Jenis Taksiran terhadap Populasi

Penaksiran Titik (Point Estimation)

JENIS TAKSIRAN Penaksiran Interval (Interval Estimation)

Penaksiran Titik • Suatu parameter (misal μ) akan ditaksir hanya menggunakan satu bilangan saja (misal 𝑥)ҧ • Taksiran titik untuk rata-rata populasi (μ) dan proporsi populasi (π) menggunakan rata-rata sampel (𝑥)ҧ dan proporsi sampel (p) 𝑥ҧ =

σ𝑥 𝑛

𝑝=

𝑥 𝑛

Penaksiran Interval • Interval nilai (range) yang nilai parameter populasi berada di dalamnya • Tujuan: mengurangi kesalahan penaksiran

Penaksiran Interval 1. Memiliki batas bawah taksiran dan batas atas taksiran, sehingga penaksiran berada di dalamnya 2. Harus ditunjang dengan derajat keyakinan/kepastian (umumnya dinyatakan dalam prosentase) • Confidence Coefficient → derajat keyakinan • Besarnya: 1 – α (α = tingkat kesalahan duga) • Misal: derajat keyakinan 90%, maka α = 10%; derajat keyakinan 95%, maka α = 5%

• Confidence Interval → batas bawah dan atas

Jumlah Sampel yang Digunakan • Sampel kecil (n < 30) dan sampel besar (n ≥ 30) • Pembedaan dilakukan untuk pemilihan tabel distribusi yang digunakan dalam perhitungan

• Sampel kecil → Tabel Distribution Student “t” • Degree of freedom (df) atau derajaan kebebasan (dk) = (n – 1)

• Sampel besar → Tabel Distribution Normal Standart

Penaksiran Interval • Penaksiran rata-rata (data kontinu) • Penaksiran proporsi (data diskrit)

Menaksir Rata-Rata • Misalkan kita mempunyai sebuah populasi berukuran N dengan rata-rata μ dan simpangan baku σ. Dari populasi ini parameter rata-rata μ akan ditaksir. • Untuk keperluan ini, ambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik dari 𝑥ҧ dan s. • Titik taksiran untuk rata-rata μ adalah 𝑥,ҧ dengan kata lain nilai μ besarnya ditaksir oleh nilai 𝑥ҧ yang diperoleh dari sampel • Untuk memperoleh taksiran yang lebih tinggi derajat kepercayaannya, digunakan interval taksiran (selang taksiran) disertai nilai koefisien kepercayaan yang dikehendaki

Jumlah Sampel ≥ 30 • Populasi tak terbatas 𝑥ҧ −

𝜎 𝑧𝛼 . 𝑛 2

< 𝜇 < 𝑥ҧ +

𝜎 𝑧𝛼 . 𝑛 2

• Populasi terbatas (n/N > 5%) 𝑥ҧ − 𝑧 . 𝛼 2

𝜎 𝑛

𝑁−𝑛 𝑁−1

< 𝜇 < 𝑥ҧ + 𝑧 . 𝛼 2

𝜎 𝑛

𝑁−𝑛 𝑁−1

• α = koefisien kesalahan duga • 𝑧𝛼 = bilangan z diperoleh dari tabel normal baku 2

untuk peluang 0,5α

Jumlah Sampel < 30 • Populasi tak terbatas

𝜎 𝜎 𝑥ҧ − 𝑡𝛼;(𝑛−1) . < 𝜇 < 𝑥ҧ + 𝑡𝛼;(𝑛−1) . 𝑛 𝑛 2 2 • Populasi terbatas (n/N > 5%) 𝜎 𝑁−𝑛 𝜎 𝑁−𝑛 𝑥ҧ − 𝑡𝛼;(𝑛−1) . < 𝜇 < 𝑥ҧ + 𝑡𝛼;(𝑛−1) . 𝑛 𝑁−1 𝑛 𝑁−1 2 2 •α = koefisien kesalahan • 𝑡𝛼;(𝑛−1) = nilai t diperoleh dari tabel distribusi student 2

“t” dengan derajat kebebasan dk = (n-1)

Contoh 1 • Dari sampel 100 orang pedagang premium eceran di Semarang diperkirakan nilai rata-rata isi premium botol 1 liter yang dijual yaitu sebesar 0,86 liter, dengan standar deviasi 0,3. • Dengan tingkat kepercayaan 95%, lakukan penaksiran interval kepercayaan (confidence level) nilai rata-rata isi premium botol 1 liter tersebut!

Contoh 1 • • • • •

n = 100 (≥30) 𝑥ҧ = 0,86 𝜎 = 0,3 Tingkat kepercayaan 95%: α = 1-95% = 5%=0.05

• Batas kiri: 𝑧𝛼 = 𝑧0,025 () = -1,96 2

• Batas kanan (1-0,025=0,975): 𝑧0,975 = 1,96 • Yang dipakai yang batas kanan aja, yaitu 1,96

•

𝜎 𝑛

=

0,3 100

= 0,03 𝜎 𝑛 2

𝑥ҧ − 𝑧𝛼 .

𝜎 𝑛 2

< 𝜇 < 𝑥ҧ + 𝑧𝛼 .

0,86 – 1,96.0,03 < μ < 0,86 + 1,96.0,03 0,86 – 0,0588 < μ < 0,86 + 0,0588 0,8012 < μ < 0,9188

Contoh 2 • Dari suatu peternakan ayam, setiap kandang yang berisi 20 ekor ayam diketahui bahwa rata-rata ayam bertelur adalah 20 telur setiap bulan setiap ekornya, dengan simpangan baku 2 ekor. • Hitung tingkat kepercayaan 95%, untuk rata-rata bertelur populasi ayam yang sesungguhnya!

Contoh 2 • • • •

n = 20 (<30) 𝑥ҧ = 20 𝜎=2 Tingkat kepercayaan 95%: • 𝑡𝛼;(𝑛−1) =𝑡0,05;(20−1) = 𝑡0,025;(19) = 2,093 2

•

𝜎 𝑛

=

2

2 20

= 0,4472

𝑥ҧ − 𝑡𝛼;(𝑛−1) . 2

𝜎 𝑛

< 𝜇 < 𝑥ҧ + 𝑡𝛼;(𝑛−1) . 2

𝜎 𝑛

20 – 2,093.0,4472 < μ < 20 + 2,093.0,4472 20 – 0,936 < μ < 20 + 0,936 19,064 < μ < 20,936

Nilai Umum Z Tingkat Keyakinan (%)

Nilai Z

90

1,64

95

1,96

99

2,58

Menaksir Selisih Rata-Rata • Misalkan kita mempuyai dua buah populasi, keduaduanya berdistribusi normal. Rata-rata dan simpangan bakunya masing-masing μ1 dan σ1 untuk populasi kesatu, μ2 dan σ2 untuk populasi kedua. • Dari masing-masing populasi secara independen diambil sebuah sampel acak dengan ukuran n1 dan n2. Rata-rata dan simpangan baku dari sampelsampel itu berturut-turut 𝑥ҧ1 , s1 , dan 𝑥ҧ2 , s2. • Akan ditaksir selisih rata-rata (μ1 - μ2).

Menaksir Selisih Rata-Rata • Jumlah sampel ≥ 30 𝑥ҧ1 − 𝑥ҧ2

𝜎12 𝜎22 𝜎12 𝜎22 − 𝑧𝛼 . + < 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑥ҧ1 − 𝑥ҧ2 + 𝑧𝛼 . + 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛2 2 2 1 2 1

• Jumlah sampel < 30 𝜎2

𝑥ҧ1 − 𝑥ҧ2

𝑛1 − 1 𝜎12 + 𝑛2 − 1 𝜎22 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2

1 1 1 1 − 𝑡𝛼;𝑑𝑘 . 𝜎 + < 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑥ҧ1 − 𝑥ҧ2 + 𝑡𝛼;𝑑𝑘 . 𝜎 + 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛2 2 2 1 2 1

• dk = n1 + n2 – 2

PERTANYAAN?

Review • Suatu studi tentang pertumbuhan dari tanaman cactus jenis tertentu menunjukkan bahwa dari 50 tanaman yang dianggap sebagai sampel rata-rata tumbuh 44,8 mm dengan deviasi standar 4,7 mm selama jangka waktu 12 bulan. Dengan interval konfidensi 95%, tentukan rata-rata pertumbuhan tahunan yang sesungguhnya dari jenis cactus tersebut! • Sampel random sebanyak 40 drum bahan kimia ditarik dari 200 drum bahan kimia, mempunyai berat rata-rata 240,8 pound dengan deviasi standar 12,2 pound. Jika diduga bahwa berat rata-rata dari 200 drum bahan kimia tersebut adalah 240,8, tentukan dengan interval kepercayaan 95% untuk berat rata-rata drum bahan kimia tersebut!

Review • Untuk mengetahui waktu rata-rata yang diperlukan untuk merakit suatu alat mekanis tertentu, telah dilakukan perhitungan berdasarkan sampel 6 perakitan dengan waktu masing-masing 13, 14, 12, 16, 12, dan 11 menit. Buatlah interval konfidensi 95% untuk waktu rata-rata yang sesungguhnya untuk merakit alat mekanis tersebut! • Sebuah sampel berupa 10 pengukuran diameter balok kayu, menunjukkan rata-rata diameter 43,8 cm dengan deviasi standar 0,6 cm. Hitunglah interval konfidensi 99% untuk rata-rata diameter yang sesungguhnya!

Review • Sampel random sebanyak 150 buah bola lampu merk A menunjukkan daya hidup rata-rata 1400 jam dengan deviasi standar 120 jam. Sampel random lain sebanyak 200 buah bola lampu merk B mempunyai daya hidup rata-rata 1200 jam dengan deviasi standar 80 jam. Hitunglah interval konfidensi 95% untuk perbedaan ratarata daya hidup dari populasi bola lampu kedua merk tersebut! • Dua sampel masing-masing berupa 100 tanaman bibit yang tumbuh di dua tempat yang berbeda. Dari sampel pertama tinggi rata-ratanya adalah 9,8 inci dengan deviasi standar 1 inci. Dari sampel kedua mempunyai tinggi rata-rata 10,5 inci dengan deviasi standar 3 inci. Buatlah interval konfidensi 90% untuk perbedaan tinggi dari kedua populasi!

Review • Diambil sampel 12 murid yang mengikuti pelajaran matematika dengan metode modern, kemudian diambil sampel lain 10 murid yang mengikuti pelajaran matematika dengan metode konvensional. Pada akhir semester ujian dengan soal yang sama diberikan pada masing-masing kelompok. Sampel kelompok pertama mencapai nilai rata-rata 85 dengan deviasi standar 4, sedang sampel kelompok kedua mencapai nilai rata-rata 81 dengan dengan deviasi standar 5. Hitunglah interval konfidensi 90% untuk perbedaan antara mean populasi!