Practica 2

Introducción a la matemática (MAT-99) Práctica No2 Tema: Conjuntos Pre universitario - FCPN 1. Sea A = {1, 2, 3} determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones y negarlas. a) ∀x ∈ A, ∀y ∈ A,

x2 + 3y ≤ 12.

b) ∀x ∈ A, ∃y ∈ A,

x2 + 3y ≤ 12.

c) ∃x ∈ A, ∀y ∈ A,

x2 + 3y ≤ 12

d) ∃x ∈ A, ∃y ∈ A,

x2 + 3y ≤ 12

2. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) ∀x : x ⊆ ∅.

e) ∅ ⊆ {{}}

b) ∀x : ∅ ∈⊆.

f ) {1} ∈ N

c) El único conjunto que es subconjunto de to-

g) {1} ⊆ N

dos los conjuntos es el vacío.

h) {1, {2}} ⊆ N

d) ∅ ∈ {{}}

i) {x : x 6= x} = ∅

3. Sea 2N el conjunto de los números naturales pares {0, 2, 4, ...}. Escriba 2N por comprensión ; más precisamente, encuentre una propiedad P (x), distinta de “x es par”, tal que 2N = {x ∈ N : P (x)}. 4. Demuestre que {2x + 5 : x ∈ Z} = {1 + 2y : y ∈ Z}. 5. Sea A = {2, 3, 8} y B = {1, 2, 7} determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones y negarlas. a) ∃x ∈ A : ∃y ∈ B : x2 + 3y < 12. b) ∀x ∈ B : ∀y ∈ A : x + 2y < 23. 6. Escribir los siguiente conjuntos por extensión: a) A = {n ∈ N : n

divide a 9}.

b) B = {an : an = (−1/n)n + 1, n = 1, 2, 3, 4, 5}. c) C = {x ∈ Z : x2 − 2x + 1 = 0}. 1

2

P RÁCTICA N O . 2 d) D = {x ∈ Z : −2 ≤ x < 3}. e) D = {x ∈ Z : −8 ≤ x − 2 < 6}. 7. Considera que el universo es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y A = {1, 4, 5},

B = {1, 2, 4, 5},

C = {2, 3, 5}

a) Determina los elementos de: [(A ∩ B)c ∪ (A − C)] ∩ (A − B). b) Determina los elementos de: (A ∪ B)c ∩ (A ∪ C). 8. Dado que U = {1, 2, 3, ..., 10} y A = {3, 9, 10} , B = {1, 2, 6, 7}, C = {2, 5, 7, 9}. Ubicarlos en un Diagrama de Venn conveniente. 9. Dado que U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} y A = {e, g, h} , B = {f, g, i, j}, C = {a, e, i}. Ubicarlos en un Diagrama de Venn conveniente. 10. Dados los conjuntos A = {n ∈ N : n es divisor de 6},

B = {n ∈ Z : n es divisor de 12}

determinar si A ⊆ B ó B ⊆ A. 11. Para el ejercicio anterior hacer un diagrama de Venn. 12. Si U = {1, 2, 3, ..., 10} y A = {1, 3, 5, 6}, B = {3, 6, 9, 10}, C = {3, 4, 5, 6, } determinar los elementos de los siguientes conjuntos: a) A ∩ (B − C). b) C − (B − A). c) (C − B) − A. d) (Ac − B) ∩ C c . en cada caso hacer un diagrama de Venn, para representar su respuesta. 13. Con los conjuntos del ejemplo anterior determinar si a) A ∩ B c ⊆ B. b) (C − B)c ⊆ A ∩ B 14. Determinar los elementos de A, B y C sabiendo que: A ∪ B = {a, b, c, e, f, g, h}, A ∩ C = {a, e, f }, B ∩ C = {c, f }, A ∩ B = {h, f }, A ∪ C = {a, b, c, d, e, f, h}, 15. Si A = {∅, 0, {∅}} calcular el conjunto potencia de A. FCPN-UMSA

P RÁCTICA N O . 2

3

16. Simplificar: a) {[(A ∪ B) ∩ (B − C)c ] ∪ [C − (Ac ∩ B)]c } − (C − B) b) {[C ∪ (B − Ac )] ∩ [B − (C ∪ A)c ]c } ∪ B c) {[(A − B c ) ∪ (B c − A)] − B} ∪ {B − [(A ∩ B) ∪ (A ∪ B)c ]} d) {[(Ac − B) ∪ (B c − Ac )]c ∩ [A4(Ac ∪ B)c ]}4(B − A)c e) {[(Ac ∩ B)4(A − B)c ] ∩ [(A − B)c − (A ∪ B)]}4Ac f ) [(A ∪ B c )4(B − A)]c ∪ [(A ∩ B)c − (B − A)] g) (A ∪ B) − (B ∪ A)c h) Ac 4(B − Ac )c i) [(A − (B − B c )) ∪ A]c − (A − B) j) [A − (B ∪ C)]c ∩ [(A − B c ) ∩ (B − Ac )c ] 17. Demostrar: a) A ⊆ A ∪ B; A ∩ B ⊆ A.

m) A4B = A4C si y solos si B = C.

b) B ⊆ A si y solo si A ∪ B = A.

n) (A4B) ∩ C = (A ∩ C)4(B ∩ C).

c) B ⊆ A si y solo si A ∩ B = B.

ñ) A4B = (A ∩ B c ) ∪ (B ∩ Ac ).

d) A, B ⊆ C si y solo si A ∪ B ⊆ C.

o) A4B = (A ∪ B) − (A ∩ B).

e) C ⊆ A, B si y solo si C ⊆ A ∩ B.

p) La diferencia simétrica es conmutativa.

f ) A ∪ B = A ∩ B si y solo si A = B.

q) La diferencia simétrica es asociativa.

g) (A ∪ B) − C = (A − C) ∪ (B − C).

r) Determinar A4∅.

h) (A − B) − C ⊆ A − (B − C). i) A ∩ B = ∅ y A ∪ B = C, entonces A = C − B.

s) Determinar A4U .

j) Si A ⊆ B entonces (A ∩ C) ⊆ (B ∩ C).

t) Determinar A4B sabiendo que A ⊆ B.

k) Si A ⊆ B y A ⊆ C entonces A ⊆ (B ∩ C).

u) (A4B)c = (A ∩ B) ∪ (A ∪ B)c .

l) Si A ∪ B = U y A ∩ B = ∅ entonces B = Ac .

v) A = B si y solo si A4B = ∅.

18. A ∪ B = (A − B) ∪ (B − A) ∪ (A ∩ B). 19. Demostrar que A ⊆ B si y solo si P(A) ⊆ P(B). 20. Para las siguientes proposiciones, determinar si son verdaderas o falsas, en el primer caso dar una demostración y en el segundo caso mostrar un contraejemplo. a) Si para todo conjunto X se tiene que X ∩ B = X ∩ C si y solo si B = C. b) Si existe un conjunto X tal que X ∩ B = X ∩ C entonces B = C. c) (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C). FCPN-UMSA

4

P RÁCTICA N O . 2 d) Si A ⊆ B y B ∩ C = ∅ entonces A ∩ (B ∪ C) = A e) (A ∪ B) − A = B − A. f ) A ⊆ B si y solo si A − B = ∅. g) (A − B) − C = A − (B − C).

Cardinalidad de conjuntos. η(A) = Número de elementos de A 1. Demuestre que: η(A − B) = η(A) − η(A ∩ B). 2. Demuestre que: η(A ∪ B) = η(A) + η(B) − η(A ∩ B). 3. Demuestre que: η(A ∪ B ∪ C) = η(A) + η(B) + η(C) − η(A ∩ B) − η(A ∩ C) − η(B ∩ C) + η(A ∩ B ∩ C) 4. Demuestre que: η(A4B) = η(A) + η(B) − 2η(A ∩ B). 5. Si η(A4B) = 12 y η(A ∪ B) = 27 calcular η(A ∩ B). 6. Si η[(A ∪ B)c ] = 3, η(A) = 17, η(A ∩ B c ) = 17 calcular: η[(A ∪ B) ∪ (A ∪ B)c ] 7. Si η(A ∪ B) = 11, η(A ∩ B c ) = 3, y η(A ∩ B) = 2 calcular: η[(A4B) ∩ (A ∩ B c )c ] 8. Se tiene los conjuntos A, B y C como en el diagrama: A

B

C

Si η[B∩(A∪C)]c = 8, η[B∩(A∪C)] = 14; η[(A∪C)−B] = 10, ¿cuántos elementos hay en [Ac −(B∪C)]c y en [(A ∪ C)c ∩ B] ?

FCPN-UMSA

P RÁCTICA N O . 2

5

9. Una encuesta realizada a un grupo de empleados revelo que a) 277 tenían casa propia. 233 automóvil. 405 televisor. b) 165, automóvil y televisor. 120 automóvil y casa. 190 casa y televisor. c) 105 tenían casa, automóvil y televisor. Determinar a) ¿Cuántas personas fueron encuestadas? b) ¿Cuantas personas tienen solamente casa y televisor? c) ¿Cuántas personas tienen solamente casa propia? 10. Según una encuesta: Toman Coca Cola y Pepsi 1/3 de los que solo toman Pepsi y 1/2 de los que toman Coca Cola . Toman otras bebidas diferentes tantos como los que toman solo una de las mencionadas. Si el número de encuestados es 495 ¿Cuántos toman solo Pepsi o solo Coca Cola? 11. El cajero de una panadería presenta un reporte con la finalidad de justificar su continuación en el puesto. Le dijo al propietario: de los 500 clientes que tuvimos el día de ayer 281 compraron pan francés, 196 compraron pan francés y tolete, 87 compraron pan integral y tolete, 143 francés e integral, 36 personas compraron los tres tipos de panes. Le despidieron. ¿Porqué? 12. 13. Una mesera tomo una orden de 38 hamburguesas: 18 con cebolla, 23 con mostaza y 29 con salsa de tomate. De estas, 3 tenían solo mostaza y 8 solo salsa; 9 de las hamburguesas tenían solo mostaza y salsa y 5 los 3 ingredientes. Realice un diagrama de Venn y responda: a) ¿Cuántas hamburguesas llevan cebolla y salsa solamente? b) ¿Cuántas solo llevan cebolla? c) ¿Cuántas hamburguesas solo llevan cebolla y mostaza? 13. En la secretaría de una Unidad Educativa, se dispone de la siguiente información sobre 60 estudiantes: 20 estudian Química, 25 Historia, 15 Francés y Química, 20 Historia y Francés, 5 Química e Historia, 18 Francés, Química e Historia. Determina el número de alumnos que: a) Estudian francés. b) Estudian solo francés. c) Estudian Química pero no Historia. d) Estudian francés pero no Química. e) No estudian Química.

FCPN-UMSA