Presentacion De Rectas Y Planos

Vectores en R2 Un vector o vector fila es una pareja ordenada (x , y) donde x e y son números reales. El conjunto de todos los vectores

 (x,y)  x  R , y  R

SE DENOMINA R2. Sobre un eje de coordenadas se representan por flechas con origen en (0,0) y extremo en (x,y). Para distinguir a los vectores y diferenciarlos de las coordenadas de sus extremos, que se denotan de la misma manera, usaremos la siguiente notación

v = (x,y), denota al vector y V (x,y) , denota el punto extremo

Por comodidad tipográfica denominaremos al vector v , de aquí en adelante por v. V (x,y) y Y v X x En el conjunto R2 , definimos las operaciones suma de vectores, resta de vectores, y multiplicación por un número real., así: Suma: Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2), definimos u + v = (u1 + v1, u2 + v2) Resta: Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2), definimos u - v = (u1 - v1, u2 - v2)

Intersección entre recta y plano Para obtener la intersección entre una recta y el plano , despejamos y en la ecuación de la recta y sustituimos y en la ecuación del plano. Resolvemos para , si la solución es única, con este valor de obtenemos el punto de intersección sustituyendo en la ecuación de la recta.

Observe que la ecuación en puede también tener infinitas soluciones (si la recta está en el plano) o no tener solución (si no hay intersección).  

Consideremos el problema de obtener la intersección, si hubiera, entre el plano y la recta

Las ecuaciones parámetricas de son

Luego, sustituyendo en la ecuación de queda

Finalmente, sustituyendo en la ecuación de , obtenemos el punto de intersección

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Y A UN PLANO Podemos usar las ideas geométricas vistas en las secciones anteriores para deducir fórmulas para calcular la distancia de un punto a un plano y la distancia de un punto a una recta. Esta distancia se calcula como la longitud de la perpendicular del punto al plano o a la recta, por eso no es raro obtener fórmulas usando la proyección ortogonal

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Consideremos un plano , con vector normal , que contiene a un punto P . La distancia de Q a es

 

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Consideremos una recta de Q a L es

   

,la distancia

DISTANCIA ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN

Ejemplo