Probabilidad Condicional Uno Repaso

Probabilidades repaso Probabilidad clásica: Regla de Laplace

Ejercicio uno. En una caja hay una pelota azul, una verde, una roja, una amarilla y una negra. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar con los ojos cerrados una pelota de la caja, esta sea amarilla? Ejercicio dos. Si en la caja hubiese habido 2 pelotas amarillas entonces P(E) P(E) = 2/6 = 1/3=0.3333333, mientras que la probabilidad de sacar una pelota azul, verde, roja o negra hubiese sido igual a 1/6.

Probabilidad frecuentista(emperica)

P(A)= nA /n número de veces en que ocurren simultáneamente el atributo A y n número de experimentos

Ejemplo tres. Hemos lanzado una moneda  20  veces y hemos obtenido 7  caras y  13 sellos.

La frecuencia relativa de cara es   

La frecuencia relativa de cruz es   

=0.35

=0.65

Probabilidad axiomática: Primer axioma: La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno. 0 <= p(A) <=1 0 <= 0.35<=1 0 <= 0.65 <=1 segundo axioma: La probabilidad del total, S, es igual a 1. 0.35+.065=1 Tercer axioma: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la,

p(AB) = p(A) + p(B) la probabilidad que pablo corra los 10 kilómetros es de P(A) = 0.25 la probabilidad que pablo camine los 10 kilómetros es de P(B) = 0.35

p(AB) = 0.25 + 0.35=0.60 Propiedades de la probabilidad Ejemplo: Si la probabilidad de que salga cara en una moneda manipulada es de 0.57 entonces la

probabilidad de que no salga cara es? P(A’) =1-0.57=0.43 Ejemplo: La probabilidad de obtener dos caras al lanzar una moneda  = 0

eventos dependientes o compatibles

Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.

P(3/6+1/6-1/6)= ½=0.5 p(A   B) = p(A) + p(B)  eventos incompatibles o independientes

ejemplo Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado

=  P (1/6+1/6)=1/3=0.333

Si A , A , ..., A  son incompatibles dos a dos entonces 1

2

k

Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x , x , ..., x } entonces: 1

2

n

P(par) = P(2) + P(4) + P(6) =1/6+1/6+1/6=1/2 Probabilidad condicionada

Ejemplo La probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:

1. Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso?

A = {ser hipertenso} B = {ser fumador}  A  B = {ser hipertenso y fumador}  p(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20

2. Una urna contiene 10 bolas, de las cuales 3 son rojas, 5 verdes y 2 azules. Se extraen al azar 3 bolas. Calcular la probabilidad de que la primera sea azul, y las otras dos verdes. Definimos A1 = {la 1ª bola es azul}; A2 = {la 2ª bola es verde}; A3 = {la 3ª bola es verde}  p(A1) = 2/10 aplicando la definición clásica de probabilidad, puesto que hay 10 bolas y 2 son azules  p(A2|A1) = 5/9; si la primera bola extraída es azul, en la urna quedan 9 bolas, 5 de ellas verdes.  p(A3|A1  A2) = 4/8; si la primera bola extraída es azul y la segunda verde en la urna quedan 8 bolas, 4 de ellas verdes.  p(A1  A2  A3) = 2/10 x 5/9 x 4/8 = 1/18

3. En un grupo de amigos el 80 % están casados. Entre los casados, el 75 % tiene trabajo. Finalmente, un 5 % no están casados y tampoco tiene trabajo. a) ¿Qué porcentaje no tienen trabajo? b) Si uno tiene trabajo, ¿qué probabilidad hay de que esté casado?15 75 20 60 93 c) ¿Qué porcentaje están casados entre los que no tienen trabajo?20 64 31 6.25

4. Sean A y B dos sucesos con P(A) = 0,5; P(B) = 0,3 y P(AB) = 0,1. Calcular las probabilidades siguientes: P(AB), P(A/B), P(A/AB) y P(A/AB).

5. En una empresa, el 20 % de los trabajadores son mayores de 45 años, el 8 % desempeña algún puesto directivo y el 6 % es mayor de 45 años y desempeña algún puesto directivo. a) ¿Qué porcentaje de trabajadores tiene más de 45 años y no desempeña ningún cargo directivo? b) ¿Qué porcentaje de trabajadores no es directivo ni mayor de 45 años?

c) Si la empresa tiene 150 trabajadores, ¿cuántos son directivos y no tiene más de 45 años?