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Matematicas V. Martinez Colmenero Tanya Veronica . Modelo Lineal. 20. La razon con la que un cuerpo se enfria tambien depende de su area superficial expuesta S. Si S es una constante entonces la ecuacion es: dT dt
=kS(T − Tm ),
Datos
donde k<0 y Tm es una constante. Suponga que dos tazas Ay B estan llenas de cafe al mismo tiempo. Inicialmente la temperatura del cafe es de 150F. El area superfical del cafe en la taza B es del doble del area superficial del cafe en la taza A. Despues de 30 min la temperatura del cafe en la taza A es de 100F. Si Tm=70F, entonces, Cual es la temperatura del cafe de la taza B despues de 30 min?
Taza A Taza B Area = 1 Area = 2 Tm = 70o F Tm = 70o F o T (30) = 100 F T (30) =?o F T (0) = 150o F dt Usando separacion de variables: T −T = kSdt m ´ ´ dt ´ ´ dt kSdt ⇒ T −Tm = kS dt ⇒ ln|T − Tm | = kSt T −Tm =
eln|T −Tm | = ekSt+c ⇒ T − Tm = CekSt ⇒ T = Tm + CekSt T (t) = Tm + CekSt ∗ Para t → 0,T (0) = 150o F ,Tm = 70o F sustituimos en la ecuacion y entonces obtenemos: 150 = 70 + Ce0 =⇒ 150 − 70 = C(1) =⇒ 80 = C Se vuelve a sustituir en ecuacion T (t) = 70 + 80ekt Resolver para cuandot → 30 T (30) = 70 + 80ek(30) 100 = 70 + 80ek(30) 100−70 = ek(30) 80 30 k(30) 80 = 70 + 80e k(30)
ln|0.3750| = Ln|e
|
ln|0.3750| = 30k =⇒
ln|0.3750| 30
= k =⇒ −0.0327 = k 1
Obteniendo la ecuacion con sus valores. T (t) = 70 + 80e(−0.0327)St Para la taza B para cuando t → 30 y S = 2 T (30) = 70 + 80e(−0.0327)2(30) T (30) = 70 + 11.2462 =⇒ T (30) = 81.24o F Cuando en la taza B pasen 30min, su temperatura sera de 81.24o F
Grafica de la temperatura en Taza A y B donde t ⇒ x, T(30) son las intersecciones entre t = 30 y la ecuacion.
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