12345

Bab I : Metode Pelat dengan pendekatan seperti balok

Dalam menghitung gaya dalam pada pelat dapat digunakan mentode pendekatan seperti balok. Namun dengan metode ini gaya dalam yang terjadi akan lebih besar dibandingkan dengan metode pelat. Metode ini dipakai dalam peraturan beton Jerman yakni DIN 1045. Suatu pelat dengan pendekatan seperti balok dapat dilihat digambar 1.1, dimana suatu beban terbagi rata p (kN/m2), akan didistribusikan ke sumbu x dengan beban px dan ke sumbu y dengan beban py. p

y ly

y L x

py

px Gambar 1.1: Pelat dibebani dengan p (kN/m2)

Besarnya beban kearah sumbu x dan y adalah

pX = k * p

(kN/m)

p y  (1  k ) p

(kN/m)

Dimana  dapat dilihat ditabel dibawah [Hake.Meskouris 2007, Statik der Flaechentragwerke]

Sem. A-2015/2016

Pelat dan Cangkang Prof. Dr.-Ing Johannes Tarigan

1

Dimana  

ly lx

Sedangkan lendutan dapat dihitung dengan balok biasa sbb: Pada perletakan sederhana: w 

5 qL4 384 EI

Sedangkan paga perletakan jepit-jepit: w 

1 qL4 384 EI

Dan pada perletakan jepit-sendi ditengah bentang : w 

1 qL4 192 EI

Contoh soal: pelat dengan ukuran 5m x 7m, dan beban terbagi rata q =250 kg/m2, perletakan sederhana dikeempat sisinya, lihat gambar 1.2 . Hitung Momen max. Hitung lendutan.

Ly = 7 m

Lx = 5 m Gambar 1.2: Pelat dengan tumpuan sederhana ukuran 5 m x 7 m

k



4 1  4 ly lX



7  1.4 5

Maka k = 0,793 Sem. A-2015/2016

Pelat dan Cangkang Prof. Dr.-Ing Johannes Tarigan

2

Arah y: p y  (1  k ) p = (1-0,793) 250 = 51.75 kg/m 

My =

1 1 p y l y2 = 51.75 72 = 316,968 kgm 8 8

Arah x: p x   * p  0,793 * 250  198.25 

Mx =

1 1 p x l x2  *198.25 * 5 2  619,531 kgm 8 8

Gambar bidang Momen baik arah x dan y dapat dilihat digambar 1.3

Px = 198.25 kg/m

Py = 51,75kg/m

Ly=7 m

Lx=5m

My=316.968 kgm

Mx= 619.25 kg

Gambar 1.3: Besar px dan py, gambar Momen arah x dan y

Selanjutnya sama seperti contoh soal 1, perletakannya semua jepit,

k



4 1  4 ly lX



7  1.4 5

Maka k = 0,793, sama seperti perletakan sederhana, Sem. A-2015/2016

Pelat dan Cangkang Prof. Dr.-Ing Johannes Tarigan

3

My Mjepit = 1/12 qL2 =1/12 51,75 72 =211,3125 kgm. Mlapangan = 1/24 qL2 =1/24 51.75 72 =105,65 kgm Mx Mjepit =1/12 qL2 = 1/12 198,25 52 = 412,02 kgm MLapangan=1/24 qL2 = 1/24 198,25 52 = 206,51 kgm Selanjutnya gambar bidang Momen dapat dilihat di Gambar 1.4. Px = 198.25 kg/m

Py = 51,75kg/m

Ly=7 m

Lx=5m

My=105,65kg m

Mx= 412.02 kgm Mx= 206.51 kgm My=212,35 kgm

Gambar 1.4: Pelat dengan Jepit-Jepit

Literatur: Hake Meskouris, 2007, Statik der Flaechentragwerke, Springer Verlag, Berlin

Sem. A-2015/2016

Pelat dan Cangkang Prof. Dr.-Ing Johannes Tarigan

4

Soal: (Tugas 1), dikumpul tgl 21 September 2015 Suatupelatdengan Lx dan Ly sepertidigambardibawahpelatdengantebalpelat h, lx, ly, p (beban hidup) seperti di tabel dibawah. Hitungdan gambar bidang Momen (Mx dan My), lendutankearah x dan y. Mutu beton f’c =20 Mpa. E=4700√𝑓′𝑐. Berat Jenis beton bertulang 2,5 T/m3. Berat sendiri diperhitungkan. Kombinasi beban adalah ptotal =1.2. DL + 1.6 L.L.

Jepit sederhana Ly

Lx Nim Akhir 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

h (cm) Bentang 12 Lx=4 m, Ly = 5 m 15 Lx=4 m, Ly = 6 m 12.5 Ly= 5 m, Ly= 4 m 14 Lx= 5 m, Ly= 6 m 13 Lx=4 m, Ly = 7 m 14.5 Lx=4 m, Ly = 5 m 13.5 Ly= 5 m, Ly= 4 m 14 Lx=4 m, Ly=5 m 10 Lx= 5m, ly = 4 m 11 Lx=4 m,ly=5 m

Sem. A-2015/2016

P (kg/m2) 300 200 300 800 600 1000 400 350 400 400

Pelat dan Cangkang Prof. Dr.-Ing Johannes Tarigan

5

Bab II. Pelat Silindris Berdasarkan [Thimonsenko, Woinowsky-Krieger S., 1959] pelat silindris adalah pelat yang melengkung pada satu arah yang berbentuk silindris. Bentuknya dianggap bisa melengkung satu arah jika panjang pelat jauh lebih panjang dari lebarnya. (Lihat gambar 2.1)

L X ~

1M

Gambar 2.1: Pelat Silindris w

Z

Y 2.1 Menentukan kekakuan pelat

h

/2 h

dz

Gambar 2.2: Tegangan/regangan Pada pelat

/2

Hukum Hooke :

σY

σX

σX σY εX = E - ν. E εY =

σY σX - ν. =0 E E

σY = ν . σX

9

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Untuk menentukan kekakuan pelat dapat dilihat di Gambar 2.2 diatas. Berdasarkan hukum Hooke maka regangan kearah y εy dianggap nol.

σX σX Maka : εX = E - ν2. = E σX =

(1-ν2) .σ E X

E . εX E. z d2 w =. 2 (1-ν ) (1-ν2) dx2

dimana εX = - z .

d2 w dx2

h /2 /2 E. z2 M =h∫σx. z. dz = - ∫ 2 . - /2 -h/2 (1 – ν ) h

D=

E. h3 12(1 – ν2)

d2 w E. h3 . 2 . dz = dx 12(1 – ν2)

d2 w dx2

D : kekakuan pelat , ν: angka poisson, E :modulus

elastisitas, h : tebal pelat

Contoh soal: Sebuah pelat dengan ketebalan h=12 cm , E = 23,5 N/mm2, υ=0,2 Maka

D

23,5.1203 N / mm2 .mm3 40.608.000 .   3.525.000 Nmm 12(1  0,22 ) 1 11,52

D=3,525 . 106 Nmm

Jika balok lebar b=1000 mm, h = 120 mm

I

1 3 1 bh  .1000.1203  144.000.000cm 4 12 12

EI = 23,5 . 144.000.000

N .mm4 =3.384 106 Nmm2 mm2

Hubungan antara Momen dan kekakuan pelat adalah 10

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

d2 w = - M dx2

D.

II. 2. Pelat Silindris di tumpuan sederhana :

q w s

s x ½ ql

ql Mx = 2 . x - ½ qx2 – S.w

2 D. d w =-M dx2 2 ql D. d w . x + ½ qx2 + S.w 2 =2 dx

qx2 Sw ql x d2 w = + 2 + D 2D dx2 2 d2 w - Sw = - ql x + qx 2D D 2D dx2

w″- (

SL2 = u2 D4

2u 2 qx2 ql x ) .w=+ l 2D 2D

persamaan diatas adalah persamaan diferensial berorde dua yang penyelesaian umumnya [Thimoshenko, 1959] sbb :

w = C1.Sinh

ql2 x2 q l4 2 ux 2 ux ql3 x + C2.Cosh + 2 8 u D 16 u4 D l l 8 u2D

Dimana C1 dan C2 dapat dicari dengan syarat batas.

11

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Syarat batas untuk perletakan sederhana adalah sbb:

w = 0 pada x = 0

0  C1 sinh 0  C2 cosh 0  0  0 

ql 4 ql 4 didapat C  2 16u 4 D 16u 4 .D

w=0 pada x=l

0  C1 sinh 2u 

ql 4 ql 4 ql 4 ql 4 cosh 2 u    16u 4 D 8u 4 D 8u 4 D 16u 4 D

Maka didapat C1 

ql 4 1  cosh 2u 16u 4 D sinh 2u

Setelah didapat C1 dan C2 maka persamaan lendutan menjadi

4

w=

ql 16 u4 D

2x L ) ql2 x - -1 + (L–x) 8 u2D

Cosh u ( 1 Cosh u

d2 w L Mmaks. = - D ( ) /2 dx2 Mmaks. = dimana :

ql2 {ψ0 (u)} 8 {ψ0 }=

1 – sech u M max

u2 2

Penentuan u : ℓ (dw)2 λ = ½ ∫ (dx) . dx 0 ℓ S (1-V2) L h.E

=

½∫

(dw)2 . dx (dx) 0

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

12

q2 . ℓ S (1-ν2) L = D7 h.E

dengan S =

7

(

5 . tgh u + 1 . tgh2 u - 5 1 + 256 u2 256 u6 256 u6 386 u4

)

4 u2 D ; maka L2

E2 . h8 135 . tgh u + 27 . tgh2 u - 135 + 2 2 2 8 = (1-υ ) .q . ℓ 16 u4 16u8 16 u8

9 8u6

u dapat dicari dengan coba-coba atau dengan memakai grafik 1.

5 qℓ4 wmaks. = 384 D f0(u) 2 Sech u – 1 + u 2 f0(u) = 4 5u 24

Menghitung f0(u) dapat dilihat di grafik 2. Mencari tegangan 2 E . u2 h 2 S 4u D σ1 = = h ℓ2 = 3 (1-ν2) ( ) h ℓ

σmaks. = σ1 + σ2 σ2 =

6 ℓ Mmaks = ¾ q ( )2 . ψ0 h2 h

13

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Log 104 √U0

Log 104 √U0

Curve B

Curve A

Log 104 √U0

1.3 On Curve A variation in u is from 0 to 4 “ “ B “ “ u “ “ 4 to 8 “ “ C “ “ u “ “ 8 to 12

Curve C

1.2

Curve B

1.1 2.2 4.0 2.1

Curve C

2.0 1.0

3.5 1.9 1.8

0.9 1.7 3.0

Curve A 1.6 1.5 2.5

0.8 1.4

Log 104 √ U0(U) for various values of U

1.3 0.7 1.2 2.0

0 4 8

1 5 9

2 6 10

3 7 11

4 8 12

Value of u Grafik 1. : Mencari u Kondisi tumpuan sederhana [Thimosenko, 1959]

14

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

0.09

0.9

Mmax. with tensile reactions ψ = Mmax. without tensile reactions f = Wmax. with tensile reactions Wmax. without tensile reactions

0.08 0.07 f0(u) and ψ0(u) for u >. 4.5

1.0

Mmax. bending moment = Mmax. Mmax. deflection = Wmax.

0.8 0.7

Subscript “0” Simply supported edges Subscript “I” Built-in edges

0.06 0.05

Ψ1(u)

ψ0(u)

f0(u)

0.04

0.6 0.5

f0(u)

0.4

f1(u)

0.03

0.3

ψ0(u)

0.02

0.2

0.01

0.1

f0(u) and ψ0(u) for u <. 4.5 ; f1(u),ψ1(u)

0.10

0

0 0

1

2

U – Built -in Edges

3 12

4 11

5 10

6 9

7 8

8 7

9 6

10 5

11 4

12 3

U – Simple Support

2

1

0

Grafik 2: Koefisien lendutan dan momen [Thimosenko, 1959]

Contoh Soal: Pelat beton mutu K 300, υ=0,2 dengan l = 4 m, h=12 cm, q = 250 kg/m2, dimana tumpuan sederhana.

L= 4m

Hitung lendutan dan Momen tumpuan sederhana. Dimana υ=0,2

a. Hitunglah Elastisitas pelat. b.Hitunglah kekakuan pelat D 15

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

c. Hitunglah lendutan max d. Hitunglah Mmax

Penyelesaian: a. Elastisitas pelat E=6000

 w diman w : tegangan karakteristik beton dengan

satuan N/mm2. K 300 maka w = 300 kg/cm2 = 30 N/mm2, maka E= 6000 N/mm

30 = 32863.353

2

b. Kekakuan pelat Eh 3 32863 *120 3 N / mm 2 * .mm3 D   4929450000  Nmm 1 12(1  2 ) 12(1  0.2 2 )

5ql 4 c. Lendutan maximum W max  f 0 (u ) 384 D u2 sec hu  1  2 Dimana f 0 (u )  5u 4 24

Dimana :  Berat sendiri qbs = 0,12*2400 kg/m2 = 288 kg/m2= 288. 10-5N/mm2  qtotal = 250 + 288 = 538 kg/m2=0.00538 N/mm2

Mencari u, terlebih dahulu ordinat dari grafik 2 adalah Log 104 U 0 dimana 4

4

32863.353  0.12  h U0      = = 5,15 2 (1   )q  l  (1  0.2 2 )0,00538  4  E

Log 104 0.0051 = 4.712, dengan grafik 1

u=0

f 0 (u)  1

16

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

w

5 qL4 N / mm2.mm4 f 0 (u )  3.6  mm 384 D N * mm

d. Momen Maximum

1 2 qL {ψ0 (u)} dengan u=0, {ψ0 (u)}=1 8

Mmaks. =

= 10.760 Nm

Ψ0

L mm

u

f0

W (mm)

M (Nm)

L= 4000

0

1

1

3.64

10.76

L= 6000

0

1

1

18.42

24.210

L=7000

1

0.68

0.68

34,12*0.68= 23.20

10760=7316.80

II.3 Pelat Silindris ditumpu jepit-jepit.

q

M0

W

X

S

S ½ qℓ

½ qℓ

X

MX =

qℓ 2

X-

qx2

- S.w + M0

2

d2w

S

dx

D

2

.w=-

qℓx 2D

+

qx2 2D

-

M0 D

17

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Penyelesaian umum : 2 ux

W = C1 . Sinh

+ C2 Cosh

=0

w = 0,

M0 = -

12

dimana ψ1(u) =

+

x = 0, dan x =

dx

qℓ2

ℓ

qℓ3.x 8 u2 D

-

qℓ4 16 u4D

+

M0 . L2 4 u2D

ℓ

dw

Syarat batas :

L

2 ux

2

x=0

ψ1(u)

3 (u – tgh u) u2 tgh u

digrafik 2.

, mencari u dapat dilihat digrafik 3, sedangkan ψ1(u)

qℓ4 wmaks. =

f1 (u) =

384 D

2u 4

u

σ1 = σ2 = -

f1 (u)

u2

(

+

2

u Sinh u

-

u

), mencari f1 (u) dapat dilihat digrafik 2

tgh u

E u2

h 2 ( ) 3 (1-ν2) ℓ 6 M0 h

2

q =

ℓ

σmaks. = σ1 + σ2

( )2 ψ1 (u) 2 h

18

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Log 104 √U1

Log 104 √U1

Log 104 √U1

On Curve A:u variation in u is from 0 to 4 “ “ B :u “ “ u “ “ 4 to 8 “ “ C :u “ “ u “ “ 8 to 12

3.5

1.2

Curve C

Curve B

Curve A

Curva C

1.1

2.0 3.0

Curva A

1.0

2.5

0.9 1.5

2.0

0.8

1.5

Curva B

Log 104 √ U1(U) for various values of U 0.7 1.0 1.0

0 4 8

1 5 9

2 6 10

3 7 11

4 8 12

Grafik 3 :Mencari u pada tumpuan jepit-jepit [Thimosenko, 1959]

19

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Soal: Pelat Silindris bentang 5 m, tebal pelat 15 cm, beban terbagi rata q=400 kg/m2, mutu beton K 250 a. Gambarkan Bidang Momen dan Lendutan. Hitung tegangan lentur maximum, jika kondisi perletakan sederhana. b. Gambarkan Bidang Momen dan Lendutan. Hitung tegangan lentur maximum, jika kondisi perletakan jepit-jepit.

20

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Bab III . Perletakan pada pelat

Pada pelat dikenal juga beberapa perletakan yang dapat dilihat pada gambar 1. Pada umumnya pelat yang banyak dipakai adalah dengan perletakan kaku (rigid). Namun tidak tertutup kemungkinan dilapangan ada yang dipakai perletakan lainnya.

Kondisi perletakan bebas sisi tanpa perletakan. Perletakan sederhana Perletakan kaku (rigid) Perletakan elastis.

Gambar 1 : beberapa jenis perletakan pada pelat

Kondisi beban pada pelat ada beberapa jenis seperti pada Gambar 2.

Beban terbagi rata (uniformly dis

distributed load over entire area)

Beban terbagi rata ditempat tertentu (uniformly distributed load over part of area)

Line load (beban garis)

Beban terpusat (concentrated load)

Gambar 2 : Jenis-jenis beban yang bekerja pada pelat. 21

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

3.1 Pelat Isotropic dengan Lendutan kecil (2 arah)

Pada bab ini diperkenalkan pelat isotropic dengan lendutan kecil. Gaya dalam yang bekerja pada pelat dapat dilihat pada gambar 3.

Persyaratan :

- material elastis - berlaku hukum Hooke - tebal pelat konstant - tebal pelat kecil disbanding sisi yang lain - material homogen - tidak bekerja gaya normal. X MXY

MY

NX

MX

MYX QX

Y

QYX NY

QXY

QY

Z NX = NY = QXY = QYX = 0

persyaratan pelat.

Gambar 3 : Gaya dalam pada pelat dua arah dengan lendutan kecil.

Gaya dalam yang bekerja pada pelat adalah Mx, Mxy, Qx, My, Myx dan Qy. Keenam gaya inilah yang hendak diketahui besarannya sehingga dapat ditentukan dimensi yang aman terhadap struktur pelat. Pada hitungan pelat ini tidak diperkenankan ada gaya Normal

22

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

3.2 Persamaan Differential pelat.

Untuk menghitung gaya-gaya dalam pelat maka perlu ditetapkan persamaan differential pelat yang mana pada persamaan ini dapat ditentukan persamaan lendutan. Dari persamaan lendutan nantinya dapat dicari hubungannya dengan Momen an Gaya Lintang, sehingga gaya dalam itu kesemuannya dapat dihitung. Gaya-gaya dalam pelat dapat dilihat di gambar 4.

X Z MXY MY

MX MYX

Y

QX

QY

Gambar 4: Momen Lentur, Gaya Lintang dan Momen Torsi yakni di sbx Mx, Qx dan Mxy sedangkan di sb Y My, Qy dan Myx.

Dengan membuat persamaan keseimbangan kesb X, sb Y dan Z maka diperoleh sbb:

23

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

ΣX = 0

δMYX δMX + δY δX - QX = 0 ………

III. .a

ΣY = 0

δMXY δMY + QY = 0 ……… δX δY

III. .b

ΣZ = 0

δQX δQY + + q = 0 ……… δX δY

III. .c

dimana : Mx = - D (

δ2 w δ2 w + ν. ) δX2 δY2

2 δ2 w ) My = - D ( δ w + ν. δY2 δX2

……….. III.d

2 Mxy = - Myx = D (1-ν) . δ w δX.δY

Qx = - D

δ δX

Qy = - D

δ δy

(

δ2 w + δX2

2 ( δ w δY2

δ2 w ) δY2

2 + . δ w2 ) ……….. III.e δX

Persamaan III.a dan III.b dmasukkan ke III.c δ2MX δ2MyX δ2MY δ2MXy δX2 + δX.δY + δY2 - δX.δY = - q MYX = - MXY

Maka :

δ2MX δ2MY δ2MXy 2 . = q. 2 + δX δY2 δX.δY

…………………. III.f

III.d dimasukkan ke III.f, maka berlaku : q δ4 w δ4 w δ4 w 2 + 2. 2 2+ 4 = D δX δX δY δX

PERSAMAAN KIRCHOFF

Ini adalah persamaan umum pelat dimana q : beban terbagi rata, D: kekauan Pelat dan w adalah lendutan pelat.

24

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

3.3. Hubungan Momen dengan Lendutan. εx =

σx

εy = εx = maka :

- ν.

E

σy

- ν.

E

σy E

σx E

σx =

E ( ε + ν. ε ) x y 1 – ν2

σy =

E ( ε + ν. ε ) y x 1 – ν2

z z ; εy = rx ry

1 1 σx = Ez 2 ( r + ν ) r x y 1–ν σy =

Ez ( 1 + ν. 1 ) rx 1 – ν 2 ry

h

/2

∫ σx.z. dy.dz = Mx. dy -h/2 h

Mx = D(

/2

1 1 δ2 w δ2 w + ν. ) = -D ( + ν. ) rx ry δX2 δY2

2 1 1 δ2 w ) My = D( r + ν. ) = -D ( δ w 2 + ν. rx y δY δX2

∫ σy.z. dx.dz = My. Dx

-h/2

X

dx σy dy

Y

Z

σx α Mnt Mn

τnt σn

σn = σx. cos2 α + σy . sin2 α τnt = ½ (σy – σz) . sin2 α

h

/2

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

25

Mn = ∫σn. z. dz = Mx. cos2 α + My. sin2 α -h/2 h

/2

Mnt = -∫τnt.z. dz = ½ sin2 α (Mx – My) -h/2 2

= D(1-ν). δ w δn. δt 2 Mxy = D (1-ν) δ w δx. δy

3.4

Kondisi Batas (Boundary Coditions)

Kondisi perletakan pada pelat ada beberapa tipe. Dan penyelesaian lendutan akan sangat bergantung kepada konsdisi perletakan pelat tersebut.

x=a

-

Perletakan Rigid. (w) = 0 ; ( δw ) δx x = a x=a

=0

-

Perletakan sederhana. 2 2 (w) = 0 ; (δ w2 + v. δ w2 ) = 0 ; (Δw) =0 x=a x=a δx δy x = a

-

Bebas

(Mx) = 0 x=a

; (Mxy)

=0

x=a

; Qx(x = a) = 0

26

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

3.5

Pelat dengan tumpuan sederhana.

Dalam bab ini akan diturunkan dulu penyelesaian pelat dengan persamaan yang paling senderhana yakni dengan beban sinussiodal dengan perletakan pelat sederhana.

3.5. 1 Beban Sinusoidal

Beban sinussoidal adalah yang paling simpel mengerjakan persamaan lendutannya, demikian juga untuk mendapatkan gaya dalamnya.

Suatu pelat yang dibebani beban sinussoidal dapat dilihat digambar 5 dibawah, dimana perletakan sederhana dengan lebar pelat a kearah x dan b kearah y. Dimana beban sinusoidal adalah sebesar

a q0

X b

Y

Gambar 5:Pelat dengan beban sinussoidal

δ4 w + 2. δ4 w + δ4 w = q0 . Sin πx . Sin πy a b D δx2δy2 δ y4 δ x4 Syarat batas

w = 0,

Mx = 0, untuk

x = 0, dan

x=a

w = 0,

My = 0, untuk

y = 0, dan

y=b

27

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Persamaan pelat dengan beban sinussoidal adalah sbb:

w = C. Sin

πx πy . Sin a b

Dimana C : koefisien yang harus dicari dengan syarat batas.

w = C. Sin

πx πy . Sin a b

δ w = C. π . Cos πx . Sin πy a a b δx δ2 w = - C. ( π )2. Sin πx . Sin πy a a b δ x2 δ3 w = - C. ( π )3. Cos πx . Sin πy a a b δ x3 π 4 πx πy δ4 w 4 = - C. ( a ) . Sin a . Sin b δx

δ4 w dst, didapat …….. 4 δy

δ4 w δ x 2 δ y2

dan

dan dimasuk persamaan pelat diatas maka didapat q π4 ( 12 + 12 )2 . C = 0 D a b

C=

q0

1 π4. D ( 12 + 2 ) b a

πx πy . Sin a . Sin b π4. D ( 12 + 12 )2 b a

w=

q0

Persamaan ini adalah persamaan lendutan dengan beban sinussoidal. Momen 2 2 Mx = - D ( δ w2 + ν . δ w2 ) δx δy 2 2 My = - D ( δ w2 + ν . δ w2 ) δy δx

2 Mxy = - Myx = D (1-ν) δ w δx.δy

28

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

πx πy .( 12 + ν2 ). Sin a . Sin b b a

q0

Mx =

π2 ( 12 + 12 )2 b a q0

My =

π2 ( 12 + 12 )2 b a

πx πy . ( ν2 + 12 ). Sin a . Sin b b a

πx πy . Cos a . Cos b π2 ( 12 + 12 ) ab b a (Mx)max. =

Mxy =

q0 (1-ν)

x= a 2 wmax =

q0

π4. D ( 12 + 12 ) b a

y= a 2

q0

.( 12 + ν2 ) b a π2 ( 12 + 12 ) b a q0 .( ν2 + 12 ) (My)max. = 2 1 1 b π ( 2+ 2 ) a b a

Gaya Lintang : Qx =

δ Myx δ Mx δ δ2 w δ2 w + =-D ( 2 + ) δy δx δx δx δy2

Qy =

δ My δ δ Mxy δ2 w δ2 w =-D ( 2 + ) δy δx δx δx δy2

q0 Qx =

. Cos 1 1 πa ( 2 + 2 ) a b

πx πy . Sin a b

q0

Qy =

πx πy . Sin a . Cos b 1 1 πb ( 2 + 2 ) a b

29

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

a X b R Vx R Y

Vx = (Qx -

Vy = (Qy -

R

Vy

δMxy )=δy x = a

q0

(

πy 2-ν 1 2 ) . Sin b 2 + b a

(

πx 2-ν 1 2 ). Sin a 2 + a b

π a ( 12 + 12 ) a b

q0 δMxy ) =δy y = b π b ( 12 + 12 )2 a b

2 q0 (1-ν) R = 2 (Mxy)x=a, y=b = π2.a b ( 12 + 12 ) 2 a b

contoh soal: Beban sinusoidal Diketahui suatu pelat dengan modulus elastisitas E = 31 900 N/mm2, Tebal pelat h = 12 cm, υ = 0,2, qO=300 kg/m2 Hitung dan gambarkanlah a) Lendutan di y=2m, b) Momen MX di y= 2m , c) MY di x = 3m, d) MXY di x= 0 m dan e) Vx pada x=0

30

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

qo x

0

b= 4 m

a=6 m y

Persamaan lendutan adalah πx πy . Sin a . Sin b π4. D ( 12 + 12 )2 b a

w=

Dimana D 

Eh 3 12 1   2



q0



31900.120 3 N / mm 2 .mm 3 D .  4.785 x10 9 Nmm  478.500kgm 2 1 12(1  0,2 )

w

300 1   1 3.14 4 * 478500 *  2  2  4  6

2

sin

x 6

sin

y 4

= 0.0079 sin

x 6

sin

y 4

31

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Lendutan dihitung dengan M-Exel pada y = 2 m. x

y

koef

sin

sin

w (mm)

-

2.000

0.00079

-

1.000

-

1.000

2.000

0.00079

0.500

1.000

0.396

2.000

2.000

0.00079

0.866

1.000

0.685

3.000

2.000

0.00079

1.000

1.000

0.791

4.000

2.000

0.00079

0.866

1.000

0.685

5.000

2.000

0.00079

0.500

1.000

0.396

6.000

2.000

0.00079

0.000

1.000

0.000

Gambar lendutan

w (mm) w (mm) -

(0.000)

(0.396)

(0.396) (0.685)

(0.685) (0.791)

Lendutan maximum terjadi di tengah bentang yakni 0.791 mm

32

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Persamaan Mx

Mx  150,45 * sin

x 6

sin

y 4

Dihitung dengan M-Exel x

y

koef

sin

sin

MX (y=2m)

-

2.000

150.450

-

1.000

-

1.000

2.000

150.450

0.500

1.000

(75.225)

2.000

2.000

150.450

0.866

1.000

(130.294)

3.000

2.000

150.450

1.000

1.000

(150.450)

4.000

2.000

150.450

0.866

1.000

(130.294)

5.000

2.000

150.450

0.500

1.000

(75.225)

6.000

2.000

150.450

0.000

1.000

(0.000)

Gambar bidang Momen pada y = 2 m, dimana Mx maximum adalah 150,450 kgm.

Mx pada y= 2 -

(0.000)

(75.225)

(75.225)

(130.294)

(130.294) (150.450) Series1

33

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Persamaan My

My  253.86 * sin

x 6

sin

y 4

My dihitung dengan M-Exel x

y

koef

sin

sin

MY (x=2m) (kgm)

3.000

-

253.860

1.000

-

-

3.000

1.000

253.860

1.000

0.707

(179.506)

3.000

2.000

253.860

1.000

1.000

(253.860)

3.000

3.000

253.860

1.000

0.707

(179.506)

3.000

4.000

253.860

1.000

0.000

(0.000)

Momen dihitung dengan M-Exel My maximum adalah 253.860 kgm.

My pada x=3 -

(0.000)

(179.506)

(179.506)

(253.860)

34

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Persamaan Mxy

Mxy  11.234 cos

x 6

cos

y 4

Mxy dihitung M-Exel didapat

x

y

koef

cos

cos

Mxy (Kgm)

-

-

11.234

1.000

1.000

11.234

-

1.000

11.234

1.000

0.707

7.944

-

1.500

11.234

1.000

0.383

4.299

-

2.000

11.234

1.000

0.000

0.000

-

2.500

11.234

1.000

(0.383)

(4.299)

-

3.000

11.234

1.000

(0.707)

(7.944)

-

4.000

11.234

1.000

(1.000)

(11.234)

Gambar Mxy pada x=0.Mxy max adalah 11.234 pada (X,Y)=(0,0) dan pada (X,Y)=(0,4). Pada (X,Y)=(0,2) Mxy adalah 0.

Mxy pada x=0 Series1 11.234

11.234

7.944

7.944

4.299

4.299

0.000

35

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Persamaan Vx

Vx pada x=0 atau x=a adalah

y (m) 0 1 2 3 4

Vx (kg/m) 0.0 155.4 219.8 155.4 0.0

Vx pada x=0 atau x= 6 0.0

0.0

-155.4

-155.4

-219.8

36

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Persamaan Vy pada y=0 dan y=b

Setelah dihitung dengan M-Exel didapat

X (m) VY (kg/m) 0 1 307 2 532 3 614 4 532 5 307 6 0

Gambar Vy adalah

Vy pada y=0 dan y=4 m -

0

(307)

(307)

(532)

(532) (614)

37

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Reaksi pada sudut pelat, yang disebut juga gaya angkat.

R=248 kg

R

R

R

R

38

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Tugas 2:

Sebuah pelat dengan a m dan b m, dimana mengalami beban sinusoidal dengan qo =300 kg/m2, dimana pelat E= dari tabel , fc’= 29 MPa

Hitung dan gambarkanlah a) Lendutan di y=1/2 a b) Momen MX di y= ½ a , c) MY di x = ½ b, d) MXY di x= 0 m , e) Vx f) Vy dan g) R.

Nim

a(m)

b(m)

1,2

4

4

3.4

4

5

5.6

4

6

7,8

4

7

9,0

4

8

akhir

39

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

3.5.2 Pelat dengan tumpuan sederhana dengan Beban terbagi rata Cara Navier.

Dengan metode Navier

q = f (x,y) ~

f (x,y) = ∑

~

∑ amn . sin

m =1 n =1

mπx nπy . sin a b n'πy . dy dan diintegralkan dari 0 ke b. b

Persamaan diatas dikalikan dengan sin

b



n 'x  b 0 b

f ( x, y) * sin

0





  amn sin m 1  n 1

mx ny n 'y sin sin a b b

b

∫sin nπy . sin n'πy . dy = 0 0

b

n ≠ n'

b

b

∫sin nπy . sin n'πy . dy = b 0

b

b

∫f(x,y) . sin 0

n = n'

2

b

b ~ n'πy . dy = ∑ amn'. sin mπx 2m b a =1

ab

∫ ∫f(x,y). sin m'πx. sin n'πy. dx. dy = ab. am'n' a

00

4

b

ab

4 am'n' = ab ∫ ∫f(x,y). sin m'πx. sin n'πy. dx. dy a b 00

maka : w =

1 ~ ~ ∑ ∑ π D m =1 n =1

amn

4

. Sin m'πy . Sin n'πy a b

2 2 ( m2 + n2 ) 2 a b

f(x,y) = q0 untuk beban merata

40

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

ab

mπx 4q nπy amn = 0 ∫ ∫Sin a . Sin ab 0 0 b mπx Sin .Sin 16 q0 ~ ~ a w = π6D ∑ ∑ 2 m =1 n =1 m.n. ( m2 + a

. dx. dy =

16 q0 π4.m.n

nπy b n2 )2 b2

dimana m = 1, 3, 5 …… dan n = 1, 3, 5, …….

Penjelasan:

41

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

No beban

catatan

1

Terbagi rata

2

Segitiga

Dimana m dan n=1,3,5…

x

y

3

Beban terbagi rata

m,n, ganjil

ditempat tertentu

d

b c

a 4

Beban terpusat

m,n ganjil

p 42

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

5

Beban setengah terbagi rata

6

Beban garis

m,n=1,2,3….

x

y

Beban terbagi rata: a

b

Untuk tengah bentang x = 2 dan y = 2 m + n -1 ~ (-1) 2 ~ 16 q0 wmax. = π6D ∑ ∑ 2 n2 )2 m =1 n =1 m. n . ( m + a2 b2 Pelat bujur sangkar a = b

4 q0. a4 q0. a4 wmax. = 6. = 0,00416 π D D ν = 0,3

maka :

wmax. = 0,0454.

q0. a4 E h3 43

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Secara umum persamaan pelat adalah

Untuk poission ration v = 0 isilah tabel dibawah

1

0.0416

2

……..

3

………

4

………

5

………

6

………

7

………

contoh soal:Navier

a=6M X

b=4M Diketahui mutu Beton K 300 2

Tebal pelat h = 12 cm, υ = 0,2, q=300 kg/m Hitung lendutan yang terjadi.

Y

44

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

16 q0 ~ ~ w = π6D ∑ ∑ m =1 n =1

sin mπx .sin nπy a b 2 2 m.n. ( m2 + n2 )2 a b

dimana m = 1, 3, 5 …… dan n = 1, 3, 5, …….

q0  300 kg/m2 E=30000MN/m2, h=0.12 m, υ=0.2

D

Eh 3 30000 * 0.12 3 = =4.5 MNm=450 kgm 12(1   2 ) 12(1  0.2 2 )

Pada x=3 m, y=2 m





w  0.0111 m1 n 1

mx ny sin 6 4 2 2 2 m n  mn 2  2  4  6

sin

Lendutan pada y=2 m 12.38

7.48

4.32

-

7.48

4.32

0.00

45

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

x

y

koef

m=1 sin

n=1 sin

0

2 0.0111

0

1.000

1

2 0.0111

0.5

1.000

2

2 0.0111 0.866

1.000

3

2 0.0111

1

1.000

4

2 0.0111 0.866

1.000

5

2 0.0111

1.000

6

2 0.0111

0.5 1E16

1.000

m=1 2.8E02 2.8E02 2.8E02 2.8E02 2.8E02 2.8E02 2.8E02

m=1, n=1 m=3 n=3 sinmπx/6 sin n

n=1 6.3E02 6.3E02 6.3E02 6.3E02 6.3E02 6.3E02 6.3E02

m=3

1.056

0.00

0

-1.000 0.250

1.056

0.47

0.5

-1.000 0.250

1.056

0.82

0.86603

-1.000 0.250

1.056

0.95

-1

-1.000 0.250

1.056

0.82

0.86603

-1.000 0.250

1.056

0.47

0.5

-1.000 0.250

1.056

0.00

-7.4E-16

-1.000 0.250

n=3 6E01 6E01 6E01 6E01 6E01 6E01 6E01

m=3,n=3

6E+00 6E+00 6E+00 6E+00

w (m)

w(mm)

0.000000 0.000E+00 0.084155 4.320E-03 4.32 0.145761 7.482E-03 7.48 1.238E-02 12.38

6E+00

0.168310 0.145761 0.084155

6E+00

0.000000

2.661E-18 0.00

6E+00

7.482E-03 7.48 4.320E-03 4.32

18

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

16 * 300   w 6   * 4.5 m1 n 1

mx ny sin 6 4  1.110.95  0.17  .......  0.0124 m = 1.24 cm 2 2 2 m n  m * n 2  2  4  6 sin

Sedangkan Momen ~

~

Σ Σ [ (m/a)

2

2

Mx = π D

m=1

Sin (m πx/a). Sin(n πx/b)

n=1

~

2

+ ν (n/b)2 ] amn

~

Σ Σ [ (n/b)2 + ν (m/n)2 ] amn Sin (m πx/a). Sin(n πx/b)

My = π D

m=1 n=1 ~

Mxy = - π2 D(1-

ν2 )Σ

m=1

~

Σ [ (mn/ab)

2

n=1

] amn

cos (m πx/a). cos (n πx/b)

Pada beban terbagi rata

lihat tabel diatas dengan beban lainnya

Mx=

b/a 1

???????

2 3 4 5 6 7 18

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

3.5.3 Beban terbagi rata dengan cara M. Levy ~

w = ∑ Ym . Sin

M. Levy

m =1

mπx a

a w = w1 + w2 b 2 X

b 2

q w1 =24 D (x4 – 2 ax3 + a3 x) w1

defleksi kearah sumbu X

Y

Keungulan M.Levy, bisa untuk berbagai kondisi perletakan. Sedangkan Navier hanya perletakan sederhana. untuk w2 diambil dari persamaan δ4 w δ4 w δ4 w 4 + 2. =0 2 2+ δx δx δy δ y4 w2 dipilih agar memenuhu persamaan w1+w2=w ~

dengan mengambil w =∑

Ym sin

mπx a

m =1

maka ~

2

2

∑ (YIVm – 2.ma.π 2

m =1

m4.π4 mπx . Y"m + 4 . Ym) Sin =0 a a

m2.π2 m4.π4 Y m – 2. 2 . Y"m + 4 . Ym = 0 a a IV

19

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Penyelesaian umum : qa4 m.πy m.πy m.πy m.πy Ym = D ( Am. Cosh + Bm. . Sinh + Cm. a a a a + Dm.

Pelat Simetris

m.πy m.πy . Cosh ) a a

Cm = Dm = 0 maka :

q w = 24 D (x4 – 2 ax3 + a3.x) +

qa4 ~ m.πy m.πy m.πy D ∑ (Am. Cosh a + Bm a . Sinh a ) m =1 . Sinh

m.πx a

Syarat batas, : δ2 w w = 0, δ y2 = 0

b untuk x = 0, dan x = a, dan y = ± 2

maka :

4 qa4 ~ q m.πx (x4 – 2 ax3 + a3.x) = π5 D ∑ 15 . Sinh 24 D a m =1m maka : 4 qa4 ~ 4 m.πy m.πx m.πy m.πy w= D ∑ ( π5.m5+ Am. Cosh a + Bm. a . Sinh a ) Sinh a m =1 δ2 w Dengan boundary condition : w = 0; δ x2 = 0 pada x = 0, dan x = a m.π.b = αm 2a

Didapat

dan 20

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

w

2 y 2 m 2 y 2 y  1   m tanh  m  2 mx 1  cosh m  sinh m  sin 5 2 cosh  m b 2 cosh  m b b  a 1, 3, 5 m  

4qa 4  5D



Pada a ;y=0 2

x=

4

~

4 qa w = Π5 D ∑

m-1 (-1) 2

m m =1,3,5

5

(1-

αm. tgh αm + 2 2 Cosh αm

)

dimana

Dengan mamasukkan harga

maka

yang sebelah kiri ada didapat koefisien

maka persamaan diatas

=0,0130

Maka didapatkan

wmax. =

5 . 384

~

m-1 2

(-1) qa 4 qa4 ∑ 5 D π D m =1,3,5 m5 4

.

αm. tgh αm + 2 2 Cosh αm

π 3π α1 = 2 ; α3 = , ………… 2

21

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Selanjutnya akan dihitung jika b=2a, b=3a, b=4a, b=5a, b=6a, Maka

b=a

b=2a

b=3a

b=4a

b=5a

22

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

b=5a

secara umum

wmax =

qa4 D

α : dapat dilihat di tabel lendutan

Tabel lendutan perletakan sederhana dengan M. Levy lendutan w = α( q a4/D) No

b/a 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 10

Α 0.0040 0.0101 0.0122 0.0128 0.0130 0.0130 0.0130 0.0130

One way slab

~ q x (a-x) 2 2 Mx = - q a π ∑ m2 [2υBm – (1-υ) Am]. Sinh 2 (y=0) m =1,3,5

My = υ

(y=0)

m.πx a

~ q x (a-x) m.πx - q a2π2 ∑ m2 [2. Bm + (1-υ) Am]. Sinh 2 a m =1,3,5

Dimana

23

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

(Mx)y=0 = β'. q. a2 (My)y=0 = β'1. q. a2

β' dan β'1

dapat dilihat di Tabel 1. [Thimosenko ,1959]

Tabel 1.: β' dan β'1 untuk Bidang Momen perletakan sederhana pada pelat persegi dengan beban terbagi rata ν = 0,3, b ≥ a Mx = β'qa2,y=0

My = β'1qa2,y=0

b/a X=0,1a

X=0,2a

X=0,3a

X=0,4a

X=0,5a

X=0,1a

X=0,2a

X=0,3a

X=0,4a

X=0,5a

1.0

0.0209

0.0343

0.0424

0.0466

0.0479

0.0168

0.0303

0.0400

0.0459

0.0479

1.1

0.0234

0.0389

0.0180

0.0544

0.0554

0.0172

0.0311

0.0412

0.0475

0.0493

1.2

0.0256

0.0432

0.0515

0.0607

0.0627

0.0174

0.0315

0.0417

0.0480

0.0501

1.3

0.0277

0.0472

0.0599

0.0671

0.0694

0.0175

0.0316

0.0419

0.0482

0.0503

1.4

0.0297

0.0509

0.0649

0.0730

0.0755

0.0175

0.0315

0.0418

0.0481

0.0502

1.5

0.0314

0.0544

0.0695

0.0783

0.0812

0.0173

0.0312

0.0415

0.0478

0.0498

1.6

0.0330

0.0572

0.0736

0.0831

0.0862

0.0171

0.0309

0.0411

0.0472

0.0492

1.7

0.0344

0.0599

0.0773

0.0874

0.0908

0.0169

0.0306

0.0405

0.0466

0.0486

1.8

0.0357

0.0623

0.0806

0.0913

0.0948

0.0167

0.0301

0.0399

0.0459

0.0479

1.9

0.0368

0.0644

0.0835

0.0918

0.0985

0.0165

0.0297

0.0393

0.0451

0.0471

2.0

0.0378

0.0663

0.0861

0.0978

0.1017

0.0162

0.0292

0.0387

0.0444

0.0464

2.5

0.0413

0.0729

0.0952

0.1085

0.1129

0.0152

0.0272

0.0359

0.0412

0.0430

3.0

0.0431

0.0763

0.1000

0.1142

0.1189

0.0145

0.0258

0.0340

0.0390

0.0406

4.0

0.0445

0.0791

0.1038

0.1185

0.1235

0.0138

0.0246

0.0322

0.0369

0.0384

∞

0.0450

0.0800

0.1050

0.1200

0.1250

0.0135

0.0240

0.0315

0.0360

0.0375

24

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

a

0.2a 0.1a

0.4a 0.5a 0.3a

X

Y Diketahui sebuah pelat dengan beban q kg/m2, υ=0.3 perbandingan antar b dan a adalah 1.5, maka hitunglah momen Mx dan My ditampang y=0 , x=a/2

My=0,0498qa2

Mx=0,0812qa2

25

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

a Untuk x = 2 ; Mx = β". q.a2

My = - β". q.a2

(x= a ) 2

β" dan β"1

(x=

a) 2

Tabel 2 dibawah

TABEL 2. β'' dan β''1 untuk Bidang Momen pada perletakan sederhana dengan beban terbagi rata ν = 0,3, b ≥ a Mx = β''qa2,x = a/2

My = β''1qa2,x = a/2

b/a y=0.4a

y=0.3a

y=0.2a

y=0.1a

y=0

y=0.4a

y=0.3a

y=0.2a

y=0.1a

y=0

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

0.0168 0.0197 0.0225 0.0252 0.0275

0.0303 0.0353 0.0401 0.0447 0.0491

0.0400 0.0465 0.0526 0.0585 0.0639

0.0459 0.0532 0.0600 0.0667 0.0727

0.0479 0.0554 0.0627 0.0694 0.0755

0.0209 0.0225 0.0239 0.0252 0.0263

0.0343 0.0363 0.0379 0.0391 0.0402

0.0424 0.0442 0.0454 0.0462 0.0468

0.0466 0.0481 0.0490 0.0494 0.0495

0.0479 0.0493 0.0501 0.0503 0.0502

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.0302 0.0324 0.0348 0.0371 0.0392

0.0532 0.0571 0.0607 0.0641 0.0673

0.0690 0.0737 0.0780 0.0819 0.0854

0.0781 0.0832 0.0877 0.0917 0.0953

0.0812 0.0862 0.0908 0.0948 0.0985

0.0275 0.0288 0.0295 0.0304 0.0314

0.0410 0.0417 0.0423 0.0428 0.0433

0.0470 0.0471 0.0470 0.0469 0.0467

0.0493 0.0489 0.0484 0.0478 0.0472

0.0498 0.0492 0.0486 0.0479 0.0471

2.0 2.5 3 4 ∞

0.0413 0.0505 0.0586 0.0723 0.1250

0.0703 0.0828 0.0923 0.1054 0.1250

0.0887 0.1012 0.1092 0.1180 0.1250

0.0986 0.1102 0.1168 0.1224 0.1250

0.1017 0.1129 0.1189 0.1235 0.1250

0.0322 0.0360 0.0389 0.0426 0.0375

0.0436 0.0446 0.0447 0.0436 0.0375

0.0464 0.0447 0.0431 0.0406 0.0375

0.0465 0.0435 0.0413 0.0389 0.0375

0.0464 0.0430 0.0406 0.0384 0.0375

26

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

δMxy Vy = Vq – δx

0.338 qa δMxy δx

R= 0.065 qa2 V = 0,3

0.0825 qa

- 0.0325 qa2

R

R M1

My

Mz

σx σ2

σy

a 2

x

M2 a 2

σ1 a 2

Mxmax = β qa2

F1G.63

a 2

0.0325 qa2

Mymax = β1 qa2

a Momen maximum (x = 2 ; y = 0)

lihat juga total dibawah gaya lintang, lihat tabel 3

dibawah. TABEL 3. α, β, γ, δ, n beban terbagi rata dan perletakan sederhana

pelat persegi

v = 0,3 Wmax. qa4 =α D

(Mx)max. =

α

β

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

0.00406 0.00485 0.00564 0.00638 0.00705

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 3.0 4.0 5.0 ∞

b/a

(Qx)max. =

(Qy)max. =

(Vx)max. =

(Vy)max. =

R

γ qa

γ1 qa

δ qa

δ1 qa

= nqa2

β1

Γ

γ1

δ

δ1

n

0.0479 0.0554 0.0627 0.0694 0.0755

0.0479 0.0493 0.0501 0.0503 0.0502

0.338 0.360 0.380 0.397 0.411

0.338 0.347 0.353 0.357 0.361

0.420 0.440 0.455 0.468 0.478

0.420 0.440 0.453 0.464 0.471

0.065 0.070 0.074 0.079 0.083

0.00772 0.00830 0.00883 0.00931 0.00974

0.0812 0.0862 0.0908 0.0948 0.0985

0.0498 0.0492 0.0486 0.0479 0.0471

0.424 0.435 0.444 0.452 0.459

0.363 0.365 0.367 0.368 0.369

0.486 0.491 0.496 0.499 0.502

0.480 0.485 0.488 0.491 0.494

0.085 0.086 0.088 0.090 0.091

0.01013 0.01223 0.01282 0.01297 0.01302

0.1017 0.1189 0.1235 0.1246 0.1250

0.0464 0.0406 0.0384 0.0375 0.0375

0.465 0.493 0.498 0.500 0.500

0.370 0.372 0.372 0.372 0.372

0.503 0.505 0.502 0.501 0.500

0.496 0.498 0.500 0.500 0.500

0.092 0.093 0.094 0.095 0.095

β qa

2

(My)max. = β1 qa

2

27

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Demikian juga Qxmax = γ qa, Qy max = γ1 q a, Vx max = δ qa dan Vy max =δ1 qa. Sedangkan R = η q a2 η Dimana γ, γ1, δ, δ1 dan η dapat dilihat dari tabel 3 diatas. Untuk gaya-gaya yang lain, gaya hidrostatik, terpusat dapat dilihat di buku [Thimoshenko, 1959]. Pada tabel dibawah ini dibuat perbandingan antara pelat beton yang poisson rationya 0.2 dan pelat baja yang poison rationya 0.3

Mx = β' qa2

Pelat Bujur Sangkar ν = 0.3 x 0.5 a 0.4 a 0.3 a 0.2 a 0.1 a

β' 0.04773 0.04643 0.04224

Mx = β' qa2

Pelat Bujur Sangkar ν = 0.2 x 0.5 a 0.4 a 0.3 a 0.2 a 0.1 a

β' 0.04402 0.04290 0.03922

92.23% 92.39% 92.86%

28

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

3.6 . Pelat dengan kondisi perletakan yang bervariasi 3.6..1 Pelat dengan Momen diperletakan

f2(x) b/2

b/2 f1(x) a

δ4 w δ4 w δ4 w 4 + 2. =0 2 2+ δx δx δy δ y4 Penyelesaian umum : w 



Y m 1

Dimana Ym  Am sinh

m

sin

mx a

my my my my my my  Bm cosh  Cm sinh  Dm cosh a a a a a a

Dalam konsdisi simetri maka Am=Dm=0

Maka w 



 (B m 1

m

cosh

my my my mx  Cm sinh ) sinh a a a a

Boundary condition pada y= 

Didapat

Bm cosh

b , maka w=0 2

mb mb mb  Cm sinh 0 2a 2a 2a

Bm  C m

mb mb tanh 2a 2a

Bm  Cm m tanh  m 29

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Dimana

m  

mb 2a

Persamaan lendutan: 

w   Cm ( m 1

my my my mx sinh   m tanh  m cosh ) sinh a a a a

.................a

Dimana Cm harus dicari dengan syarat batas

Pada tumpuan bekerja momen sembarang sebesar

f1 ( x)  f 2 ( x)   Em sin

Syarat batas

mx a

…………………………………b

 2w   2w   D 2   f1 ( x) dan  D 2   f 2 ( x) ……………….c  y  y  b  y  y  b 2

2

Dari a, b dan c diperoleh

Cm = -

a 2 Em 2 Dm 2 2 cosh  m

Maka persamaan lendutan menjadi

mx my my my a w E m ( m tanh  m cosh  sinh )  2 2 a a a 2 D m1,3,5..... m cosh  m a2



sin

Jika momen tumpuan distribusi rata Mo maka pada y=b/2

My 

1 mx sin  m1, 2,3..... m a

4M 0





Jika ditumpuan beban terbagi rata dengan M0 maka

30

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

w

2M 0 a 2  3D

1 my my my mx ( m tanh  m cosh  sinh ) sin a a a a m 1, 3, 5,...... m cosh  m 



3

Pada y=0

w

2M 0 a 2  3D

1 mx ( m tanh  m ) sin a m 1, 3, 5,...... m cosh  m

Dimana  m 





3

mb 2a

Pada tabel 4 dapat dilihat lendutan w, Mx dan My pada pusat pelat akibat Mo (merata di 2 perletakan), sedangkan 2 perletakan lagi sederhana.

31

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Tabel 4:lendutan dan momen pada y=± b/a

W

0

0.1250 Mo b2/D 2

Mx

My

0.300 Mo

1.000 Mo

0.50

0.0964 Mo b /D

0.387 Mo

0.770 Mo

0.75

0.0620 Mo b2/D

0.424 Mo

0.476Mo

1.00

0.0368 Mo a2/D

0.394 Mo

0.256 Mo

1.50

0.0280 Moa2/D

0.264 Mo

0.046 Mo

2.00

0.0174 Moa2/D

0.153 Mo

-0.010 Mo

Contoh soal: Sebuah pelat b/a=2

a

b

32

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

3.6..2 Pelat dengan beban merata dua tumpuan jepit dua lainnya sederhana

q

b/2

x b/2

a y

Jika pelat ditumpu sederhana maka persamaan lendutannya adalah

w

4qa 4  5D

2 y 2 m 2 y 2 y  1   m tanh  m  2 mx 1  cosh m  sinh m  sin 5 2 cosh  m b 2 cosh  m b b  a 1, 3, 5 m  



w 2qa 3  1 mx  m  tanh  m 1   tanh  m   4  4 sin y  D 1,3,5 m a

a)

Pada y = b/2 dan y=-b/2 besar momen adalah 

My   E m sin m 1

mx a

Dari bab sebelumnya maka persamaan lendutan akibat My adalah sebesar

33

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

mx a my my my a w E m ( m tanh  m cosh  sinh )  2 2 a a a 2 D m1,3,5..... m cosh  m sin



2

mx sin  w a2 a  E m tanh mm tanh  m  1  m  y 2 2 D m1,3,5..... m 2 cosh  m

b)

Dari a dan b

Em 

My

4qa 2  m  tanh  m 1   m tanh  m   3 m 3  m  tanh  m  m tanh  m  1

b ( y  ) 2



4qa 2

3





m 1, 3, 5...

mx a  m  tanh  m 1   m tanh  m  3  m  tanh  m  m tanh  m  1 m

sin

Dari bab sebelumnya akibat momen tepi maka lendutan mx a my my my a w E m ( m tanh  m cosh  sinh )  2 2 a a a 2 D m1,3,5..... m cosh  m 2



sin

mx  m  tanh  m 1   m tanh  m  a my my my a w ( m tanh  m cosh  sinh )  5 2 a a a 2 D m1,3,5..... m cosh  m  m  tanh  m  m tanh  m  1 4



sin

Lendutan diatas adalah akibat momen tepi,sedangkan lendutan total adalah lendutan akibat beban terbagi rata dengan perletakan sederhana dikurang dengan lentutan akibat momen tepi W= wakibat beban merata (perletakan sederhana) – w akibat momen tepi Selanjutnya didapat

34

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

Mx= 

2qa 2



3

mx

 m  tanh  m 1   m tanh  m   my my my  sinh  2  1    m tanh  m cosh 1     a a a  m 1, 3, 5 m cosh  m  m  tanh  m  m tanh  m  1  sin







2

My= 2qa 2



3

mx

 m  tanh  m 1   m tanh  m   my my my  sinh  2  1    m tanh  m cosh 1     a a a  m 1, 3, 5 m cosh  m  m  tanh  m  m tanh  m  1  sin







2

Dimana  m  

Maka Mx=

mb 2a

dan My=

, pada x=a/2 dan y=0, My=

pada x=a/2 dan y=b/2

Tabel 4: Tabel 4: pelat persegi beban terbagi rata, tumpuan jepit-jepit dan sendi-sendi v=0.3, b
x=a/2, y=0 α

 2 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1

0.0026 0.0026 0.00247 0.0024 0.00234 0.00223 0.00209

x=a/2, y=0

1 0.0125 0.0142 0.0179 0.0192 0.0203 0.0215 0.023

x=a/2, y=0

2

0.0417 0.042 0.0406 0.0399 0.0388 0.0375 0.0355

x=a/2, y=b/2



-0.0833 -0.0842 -0.0822 -0.081 -0.0794 -0.0771 -0.0739

b

a

35

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan

36

Bahah kuliah Departemen Teknik Sipil USU/Pelat dan Cangkang/Prof Dr Ing Johannes Tarigan