Proiect Mate

~Dosar~ MATEMATI CA REALIZATOR : ISAILA GABRIELA CLASA a IX-a E.

MATEMATICA CONCEPTE GENERALE Matematica este în general definită ca ştiinţa ce studiază relaţiile cantitative, modelele de structură, schimbare şi spaţiu. În sens modern, matematica este investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic folosind logica formală. Structurile anume investigate de matematică îşi au deseori rădăcinile în ştiinţele naturale, cel mai ades în fizică. Matematica defineşte şi investighează şi structuri şi teorii proprii, în special pentru a sintetiza şi unifica multiple câmpuri matematice sub o teorie unică, o metodă ce facilitează în general metode generice de calcul. Ocazional, matematicienii studiază unele domenii ale matematicii strict pentru interesul abstract

exercitat de acestea, ceea ce le transformă într-o abordare mai degrabă legată de artă decât de ştiinţă. Din punct de vedere istoric, ramurile majore ale matematicii au derivat din necesitatea de a face calcule comerciale, de a măsura terenuri şi de a predetermina evenimente astronomice cu scopuri agriculturale. Aceste domenii specifice pot fi folosite pentru a delimita în mod generic tendinţele matematicii până în ziua de astăzi, în sensul delimitării a trei tendinţe specifice: studiul structurii, spaţiului şi al schimbărilor. Studiul structurii se bazează în mod generic pe teoria numerelor: iniţial studiul numerelor naturale, numere pare, numere impare apoi numere întregi, continuând cu numere raţionale şi în sfârşit numere reale, întotdeauna corelate cu operaţiile aritmetice între acestea, toate acestea făcând parte din algebra elementară. Investigarea în profunzime a acestor teorii şi abstractizarea lor a dus în final la algebra abstractă care studiază printre altele inele şi corpuri, structuri care generalizează proprietăţile numerelor în sensul obişnuit. Conceptul

indispensabil în fizică de vector, generalizat în sensul de spaţiu vectorial şi studiat în algebra lineară este comun studiului structurii şi studiului spaţiului. Studiul spaţiului porneşte în mod natural de la geometrie, începând de la geometria euclidiană şi trigonometria familiară în trei dimensiuni şi generalizată apoi la geometrie neeuclidiană, care joacă un rol esenţial în teoria relativităţii. O mulţime de teorii legate de posibilitatea unor construcţii folosind rigla şi compasul au fost încheiate de teoria Galois. Ramurile moderne ale geometriei diferenţiale şi geometriei algebrice abstractizează studiul geometriei în direcţii distincte: geometria diferenţială accentuează uzul sistemului de coordonate şi al direcţiei, pe când geometria algebrică defineşte obiectele mai degrabă ca soluţii la diverse ecuaţii polinomiale. Teoria grupurilor investighează conceptul de simetrie în mod abstract, făcând legătura între studiul structurii şi al spaţiului. Topologia face legătura între studiul spaţiului şi studiul schimbărilor, punând accent pe conceptul continuităţii.

Studiul schimbării este o necesitate mai ales în cazul ştiinţelor naturale, unde măsurarea şi predicţia modificărilor unor variabile este esenţială. Calculul diferenţial a fost creat pentru acest scop, pornind de la definiţia relativ naturală a funcţiilor dintre diverse dimensiuni şi rata lor de schimbare în timp, metodele de rezolvare ale acestora fiind ecuaţiile diferenţiale. Din considerente practice, este convenabil să se folosească numerele complexe în această ramură. O ramură importantă a matematicii aplicate este statistica, aceasta utilizând teoria probabilităţii care facilitează definirea, analiza şi predicţia a diverse fenomene, şi care este folosită într-o multitudine de domenii.

ISTORIA MATEMATICII Istoria matematicii nu are un început clar definit, însă apariţia acesteia este strâns legată de evoluţia omului. Este posibil ca oamenii să-şi fi dezvoltat anumite abilităţi

matematice încă înainte de apariţia scrierii. Cel mai vechi obiect care dovedeşte existenţa unei metode de calcul este osul din Ishango, descoperit de arheologul belgian Jean de Heinzelin de Braucourt în regiunea Ishango din Republica Democrată Congo, care datează din 20.000 înaintea erei noastre. Dezvoltarea matematicii ca bagaj de cunoştinţe transmise de-a lungul generaţiilor în primele ere ale civilizaţiilor este legată strict de aplicaţiile sale concrete: comerţul, gestiunea recoltelor, măsurarea suprafeţelor, predicţia evenimentelor astronomice, şi, câteodată, de ritualurile religioase. Aceste nevoi au dus la împărţirea matematicii în ramuri ce se ocupau cu studiul cantităţii, structurii şi spaţiului. Din momentul în care omul a fost capabil să folosească şi să înţeleagă noţiuni abstracte, dar şi datorită dezvoltării relaţiilor interumane si intertribale şi, nu în ultimul rând, a primelor sisteme de scris (însemnările făcute pe pereţii peşterilor sub forma unor imagini care exprimau, atât trăiri în tărâmul real, dar şi în cel oniric şi, din ce

în ce mai mult, pe tărâmul ideilor), a apărut nevoia de „număr”. Numărul este una dintre cele mai simple noţiuni abstracte; este abstractă deoarece un număr nu poate fi relevat de un obiect material; există numai semne conventionale care îl exprimă. Relaţiile comerciale s-au dezvoltat odată cu evoluţia spiritului uman; în acelaşi timp, numărul a început să fie din ce în ce mai prezent în viaţa oamenilor şi, în cele din urmă, indispensabil unei existente umane aşa cum am început s-o conştientizăm ca omenire în urmă cu 5.000 de ani, de când datează urmele primelor state care au apărut în lume. De asemenea, au apărut operatiile: adunarea, scăderea, înmulţirea şi, în cele din urmă, împărţirea, care a pus probleme oamenilor învăţaţi până în timpul Renaşterii, când s-a dezvoltat metoda modernă de împărţire, numită metoda şahului, deoarece a fost inspirată de unele mişcări pe tabla de şah.

Unele din primele descoperiri matematice ţin de extragerea rădăcinii pătrate, a rădăcinii cubice, rezolvarea unor ecuaţii polinomiale, trigonometrie, fracţii, artimentica numerelor naturale, etc. Acestea au apărut în cadrul civilizaţiilor akkadiene, babyloniene, egiptene, chineze şi civilizaţiile de pe valea Indului. În Grecia antică, matematica, influenţată de lucrările anterioare şi de specificaţiile filosofice, generează un grad mai mare de abstractizare. Noţiunile de demonstraţie şi de axiomă apar în această perioadă. Apar două ramuri ale matematicii, aritmetica şi geometria. În secolul al III-lea î.Hr., Elementele lui Euclid[4] rezumă şi pun în ordine cunoştinţele matematice ale Greciei antice.

O pagină a tratatului de la Al-Khawarizmi Civilizaţia islamică a permis conservarea moştenirii greceşti şi reunirea ei cu descoperirile din China şi India, mai ales în ceea ce priveste sistemele de numeraţie. Domeniile trigonometriei (prin introducerea funcţiilor trigonometrice) şi aritmeticii cunosc o dezvoltare deosebită. De asemenea, în această perioadă sunt inventate şi

combinatorica, analiza numerică şi algebra liniară. În timpul Renaşterii, o parte din textele arabe sunt studiate şi traduse în latină. Cercetarea matematică se concentrează în Europa. Calculul algebric se dezvoltă ca urmare a lucrărilor lui François Viète şi René Descartes. Newton şi Leibniz au inventat, independent, calculul infinitezimal.

David Hilbert În secolul al XVIII-lea şi secolul al XIX-lea, matematica cunoaşte o nouă perioadă de dezvoltare intensă, cu studiul sistematic al structurilor algebrice, începând cu grupurile

(Évariste Galois) şi inelele (concept introdus de Richard Dedekind). În secolul al XIX-lea, David Hilbert şi Georg Cantor dezvoltă o teorie axiomatică asumra căutării fundamentelor matematice. Această dezvoltare a axiomaticii va conduce în secolul al XX-lea la definirea întregii matematici cu ajutorul unui singur limbaj: logica matematică. Secolul XX a fost martorul unei specializări a domeniilor matematicii, naşterii şi dezvoltării a numeroase ramuri noi, cum ar fi: teorie spectrală, topologii algebrice sau geometrie algebrică. Informatica a avut un puternic impact asupra cercetării. Pe de o parte, a facilitat comunicare între cercetători şi răspândirea descoperirilor, pe de alta, a oferit o unealtă foarte puternică pentru testarea teoriilor.

MATEMATICA ŞI ARHITECTURA

Arhitectura este o arta specifica spatiului caci construieste in spatiu diferite volume. Ea nu a fost de la inceput o arta, ci a devenit, caci primii oameni care au avut ideea sa-si sape un adapost sub pamant sau sa-si construiasca o colita nu s-au gandit sa creeze o opera artistica. Abia mai tarziu, privind acele constructii ale sale, omul a cautat sa le faca in asa fel ca ele sa fie placute la vedere si, astfel, arhitectura a devenit si o arta, alaturi de o meserie, aceea de a construi ceva care are un scop utilitar. Marele arhitect francez de origine elvetiana Le Corbussier (1887 -1965) afirma ca „arhitectura este o arta, un fenomen emotional, in afara Problemelor de

constructie si dincolo de ele". Constructia este pentru a tine, spunea el, dar arhitectura pentru a emotiona !

Admiram si azi, dar totodata ne infioara piramidele egiptene, care prin masivitatea lor indestructibila infrunta mileniile. lnfatisarea lor vorbeste despre geometrie si totusi nu vom sti nicio¬data cum a fost posibila construirea lor fiindca in nici o scriere ramasa de atunci nu se pomeneste nimic despre aceasta realizare. Cind a fost inaltata marea piramida a lui Kheops, ea era cel mai inalt monument de pe Pamant si a fost considerata ca una dintre cele 7 minuni ale lumii : este ca un munte inalt de 150 m care se zareste de la o departare de 40 km ! Aceasta piramida are ca baza un patrat, iar fetele sale laterale sunt triunghiuri isoscele. Din scrierile ramase de la Herodot se stie ca impresia de armonie si maretie pe care o imprastie in jurul ei nu este intamplatoare, ci

a fost calculata cu precizie. Anume, el a aratat ca a aflat de la arhitectii egipteni, care pe acea vreme erau, si preoti, ca piramida lui Kheops a fost construita in asa fel ca aria triunghiului isoscel care formeaza o fata laterala sa fie egala cu aria patratului care ar avea ca latura inaltimea piramidei. Ca sa stabilim aceasta relatie, sa construim piramida patrata cu virful in A (fig. 1), si inaltime AO. Ducem apotema AC a unei fete laterale, asa ca triunghiul dreptunghic AOC este semiprofilul meridian al piramidei. Notam cu a lungimea inaltimei piramidei, cu b a apo¬temei, si cu 2c a laturii patratului de la baza ei. Din cele ce a destainuit preotul egiptean rezulta ca : (1) b*c=a^2, adica aria triunghiului isoscel lateral (b*c) este egala cu aria patratului de latura a. Dar relatia (1) se poate scrie sub forma de proportie . Aceasta arata ca inaltimea pirmaidei este medie proportionala intre doua dintre laturile triunghiului meridian al piramidei : b si c. Insa acest triunghi AOC, fiind dreptunghic, rezulta : (2) b^2=b*c+c^2. Impartind prin c^2 relatia devine: (3) (b/c)^2-b/c-1=0. Iata o formula foarte interesanta care, dupa cum

am descoperit, leaga doua dintre laturile piramidei.

Cine si cand a descoperit ca impresia pe care o lasa o figura in care segmentele din care este compusa ea ar avea alte dimensiuni, nu se stie.

Numirea de tatieturi de aur a aparut in timpul Renasterii si a fost data de Leonardo da Vinci, care era un admiratoral acestei proportii, si care a ilustrat o carte despre acest subiect, compusa de prietenul sau, matematcianul Luca Pacioli (1445-1514 ?), carte care a fost intitulata „Proportia divina". Cert este ca impartirea unui segment in doua segmente neegale care sa verifice egalitatea despre care am vorbit a atras atentia arhitectilor cu milenii inaintea erei noastre fara ca sa i se atribuie vreo denumire particulara. Una dintre cele mai de seama calitati ale arhitectilor greci a fost tocmai aceea ca au 'tradus intuitia lor estetica prin anumite rapoarte numerice ca, de pilda, taietura de aur dintre segmentele prezente in cladirile lor. Prin fnfatisarea lor, templele grecesti se impart in trei ordine : doric, ionic ,si corintic. Fiecare dintre aceste ordine au la baza proportii diferite in care s-au executat coloanele, frontoanele etc. De pilda, in templul lui Poseidon, zeul marilor, reprezentand ordinul doric, care se pare ca a fost construit prin secolul al VI-lea f.e.n., se simte forta plina de maretie, de severitate ,si

de viata pe care o degaja aspectul coloanelor sale. Avand o inaltime de aproape sase ori cit diametrul, coloanele lui fac impresia unor copaci crescuti din pamint. Baza lor nu are nici un fel de ornament, iar capitelul are forma unui colac pe care este asezata lespedea de piatra ce sprijina acoperisul in panta a templului. Acesta incadreaza frontonul in forma de triunghi isoscel. Prin masivitatea lui el aminteste ceva din influenta egipteana, dar sentimentul pe carel trezeste in severitatea lui infatisarea acestui templu este de inviorare si optimism. Cu totul alta este impresia ce o inspira templul Victoriei de pe Acropola Atenei, apartinand ordinului ionic. Coloanele lui sunt mai zvelte si mai elegante decat acelea ale templului lui Poseidon. Raportul dintre inaltimea si diametrul lor este de 9 la 1, adica inaltimea unei coloane este de opt sau de noua ori cat diametrul, si, prin aceasta, ele par mai pline de vioiciune. Dealtfel aceste coloane nu mai rasar direct din pamant, ci stau pe un piedestal format din trei sau chiar patru inele cilindrice suprapuse, iar capitelul-coloanelor este

impodobit cu doua volute in forma de spirala, care aminteste de cochilia unui melc. Acoperisul se sprijina pe aceste volute. Totul pare plin de abundepta, eleganta si exuberanta. Ordinui corintic este si mai plin de gratie caci coloanele lui sunt mai inalte inca, de zece ori cat diametrul, iar capitelurile sunt impodobite cu frunze de acant. La aceasta geometrie a colonelor trebuie adaugata si seria de calcule cerute de intreaga structura a templului, calcule care au la baza raportul taieturii de aur. Desigur ca, consideratiile legate de stabilirea proportiilor dintre diferitele parti componente nu au restrans in nici un fel geniul sau libertatea artistului. Arhitectul grec nu a fost robul calculelor sale ci, odata stabilite, el a introdus modificarile care se impuneau pentru ca sa dea edificiului armonie si eleganta. Iata un exemplu surprinzator : Partenonul, templul inchinat zeitei Atena Partenos, a fost cladit in stilul doric, considerandu-se ca numai acest stil poate exprima, prin caracterul lui grav si sever, toate calitatile si atributele falnicei zeite. Dar, daca facem o comparatie intre

templul lui Poseidon si Partenon, ramanem uimiti de deosebirea dintre aceste doua cladiri, executate in acelasi stil. Masuratorile, care au fost intr-adevar facute, in secolul al XIX-lea, au aratat ca toate liniile orizontale ale Panteonului sunt usor ingrosate la mijloc si astfel liniile care par drepte orizontale sunt, in realitate, linii curbe convexe si, in acelasi timp, peretii si muchiile verticale sunt, in realitate, nu linii drepte, ci linii concave. Arhitectul Ictinius, care a zidit templul, a folosit acest artificiu, pe care ochiul liber nu-l poate sesiza, ca sa evite impresia de monotonie a liniilor drepte, dupa cum, manta de aceeasi cauza, geniul Phidias a adaugat decoratii sculpturale la frize, metope sip e fronton. Prin asemenea modificari la impresia de masivitate si de sobrietate s-a adaugat aceea de eleganta si armonie care a marit efectul artistic.

Romanii, care nu au excelat prin talente matematice, au introdus totusi un element geometric in arhitectura lor, anume bolta in forma de jumatate de sfera si arcul in plin

cintru, adica format dintr-un semicerc. Prin aceste inovatii ale arhitectilor romani preluate de la etrusci, aduse si de acestia din Orient, s-a creat, pe de o parte, un stil propriu ,si original si, pe de alta parte, o soliditate a constructiilor care se aseamana cu aceea realizata de egipteni prin folosirea enormelor blocuri de piatra cioplita.

Celebrele arcuri de triumf prin care romanii cinsteau pe generalii ce se intorceau la Roma incarcati de glorie si succese au o forma geometrica precisa, plina de armonie si eleganta. Anume, arcul de triumf este format mai intai din suprafafa laterala a unei jumatati de cilindru circular drept si apoi din volumele paralelipipedice pe care se sprijina suprafata cilindrica, acestea fiind impodobite cu coloane, de obicei corintice, si cu diferite

sculpturi. De atunci si pina azi, astfel de monumente, care exprima mandria fortei triumfatoare impodobesc pietele celor mai multe dintre capitaleIe tarilor din Europa. Un alt monument roman, tot de forma geometrica, anume un trunchi de con inalt de 44 m la care se adauga altele ale caror dimensiuni au fost calculate astfel incat sa asigure stabilitatea coloanei si estetica ei, este Columna lui Traian, atit de importanta pentru istoria tarii noastre. Din punct de vedere artistic sunt foarte interesante cele 34 de blocuri de marmura alba pe care sunt sculptate peste 3 000 de personaje legate de episoadele victorioase ale imparatului Traian fara sa mentionam si multimea cailor, armelor, drapelelor, carelor de razboi s.a.m.d. In fine, arhitectura romana a realizat unul dintre cele mai impunatoare amfiteatre din lume : Colosseum-ul din Roma, cu o capacitate de vreo 80 000 de locuri. Arena este in forma de elipsa, cu axa mare de 200 m si axa mica de 167 m, iar zidul are, de jur imprejur, forma unui cilindru si este compus din patru etaje toate formate din arcade. Primul etaj este construit din coloane dorice,

masive, al doilea din coloane ionice, avand capitelurile ornate cu volute, al treilea din coloane corintiu, iar al patrulea etaj are stalpii de sustinere in forma de prizme. Desigur ca, pentru arhitectii greci, un asemenea amestec de stiluri ar fi echivalat cu o curata barbarie, cu atat mai mult cu cat si ultimul etaj, care s-ar fi cerut sa fie cel mai suplu si usor, se prezenta a fi cel mai masiv si greoi. Pentru contemporani si cei ce au urmat, aceasta inovatie a arhitectilor romani a trezit insa un sentiment de admiratie si a fost considerat demn de a fi imitat, fapt care a si dainuit pina in secolul al XII-lea. Abia prin a doua jumatate a secolului al XIIlea, aIaturi de arta romana a aparut arta gotica in care semicercul roman a fost inlocuit prin intersectia a doua arce de cerc, formand ogiva. Denumirea de arta gotica a fost data la inceput in sens peiorativ caci ea nu are nimic comun cu gotii, noua arta nascandu-se in Franta. Elementul caracteristic al acestei arhitecturi se bazeaza tot pe o constructie geometrica. Iata o metoda simpla de a construi cateva feluri de ogive, toate avand aceeasi baza AB, ca si

semicercul corespunzator. Sa impartim segmental AB in patru parti egale sis a consideram AA1=BB1=AB/4. De o parte si de alta a punctelor A si B se iau punctele A2 si B2 simetrice fata de A si respectiv B. Apoi, din A2 ca centru si cu o raza egala cu A2B se descrie arcul de cerc BC, iar din B, ca centru si cu aceeasi raza se descrie arcul AC2. Am obtinut astfel ogiva AC2B. Procedind la fel, dar folosind drept centre punctele A si B, iar ca raza AB, se capata ogiva ACB sau daca se iau ca centre ale arcelor de intersectie punctele A1 ,si B1, iar ca raza comuna distanta A1B =AB1, ogiva obtinuta este AC1B. Din acest exemplu, care poate fi variat prin schimbarea valorilor atribuite segmentelor AAa, BB1, arcadele gotice prin care se inlocuieste arcada semicirculara romana pot fi oricat de inalte si ascutite, cele doua arce de cerc indepartandu-se astfel tot mai mult de baza lor AB. Acest nou stil care a dat catedralelor gotice multa eleganta si descatusindu-le de semicerc si semisfera care le tineau legate de pamint, le-au permis sa se avinte spre cer, a cucerit toate tarile din Europa occidentala in afara de Italia. In

Franta, Germania, Olanda, Spania, Portugalia, Anglia s-au gasit multi artisti arhitecti care au proiectat si au zidit admirabile catedrale gotice. In ale caror dimensiuni se gaseste, ca un ghid, taietura de aur, si triunghiul echilateral. 'In Italia insa artistii, ca si oamenii de stiinta, s-au indreptat, plini de nostalgie, catre vechile orase romane, cu palatele si monumentele lor in ruina si au cautat sa reconstituie tehnica de odinioara. La inceputul secolului al XV-lea arhitectul si artistul Brunelleschi a ridicat prima constructie in noul stil al Renasterii, catedrala din Florenta, numita si Campanila (Clopotnita), cel mai inalt si mai larg dom de atunci. Cupola sa este semisferica, iar boltile in plin cintru. Acesteia i-au urmat alte edificii de acelasi fel in care arta greco-romana a renascut sub o noua forma, plina de ornamente bogate. In acelasi stil a inceput la Roma, in secolul urmator, construirea bazilicei Sf. Petru de catre recunoscutii mari artisti : Bramante ,si Michelangelo. Ea a fost terminata in prima jumatate a secolului al XVII-lea de arhitectulsculptor Gian Lorenzo Bernini, ultimul mare

artist al Renasterii, care a renovat si piata din fata bisericii, intr-o forma ce este considerata pana azi ca „una dintre cele mai geniale solutii urbanistice pe care le cunoaste istoria arhitecturii", Arhitectul Bernini a fost un mare geometru si a stiut sa puna geometria in slujba frumusetii. El afirma ca „frumusetea tuturor lucrurilor din lume consta in proportii". De exemplu, ovalul pietii Sf. Petru a fost construit din doua cercuri secante de aceeasi raza in asa fel incat axa longitudinala sa aiba lungimea de trei raze. Mai mult, Bernini avea o fantezie foarte bogata, si decoratiile de origine romana pe care le-a folosit au placut atat de mult incat s-au raspindit in toata Europa sub numele de stil baroc. De aceasta bogata fantezie s-a servit si cind a construit Scala Regia de la Vatican. El a dispus de o coloana de sectiune descrescinda si s-a folosit de convergenta peretilor in asa fel incst scara sa para mai lunga decit este in realitate. Cind cineva o urca, are surpriza de a constata ca este mult mai scurta decit parea. Odata cu inceputul secolului XX, arhitectura a trebuit sa capete o noua infatisare din

cauza noilor conditii de viata. Trebuia sa se gaseasca solutii problemei de a acoperi spatii vaste cu cladiri in care sa locuiasca, in conditii bune, multimi numeroase, folosinduse materiale de constructii noi ca fierul ,si betonul armat. Intr-o frumoasa carte aparuta la noi in tara, arhitectul Marcel Melicson observa ca azi arhitectura se indreapta catre un frumos rational: „Orice organrism este cu atit mai frumos cu cit este mai bine adaptat scopurilor sale. Intr-o opera cu adevarat frumoasa, nimic nu este lasat la voia intimplarii, totul este justificat, util, totul se indreapta spre rezultatul urmarit. Frumusetea suprema, capodopera artistica, stralucita manifestare a geniului este in acelasi timp triumful ratiunii". Acelasi autor citeaza urmatoarele randuri din cartea altui arhitect celebru, Le Corbus intitulata Sfire o arhitectura : „Cuburile, conurile, sferele, cilindrii, piramidele sunt marile forme primare pe care lumina le scoate in evidenta, imaginea lor este precisa, fara neclaritate. De aceea sint forme frumoase, cele mai frumoase forme... Axele, cercurile, unghiurile drepte sunt adevarurile geometriei ; altfel ar

fi hazard, anomalie, arbitrar. Geometria este limbajul omului. Marile probleme ale constructiei moderne vor fi realizate prin geometrie. Linia dreapta aduce sanatate sufletului oraselor... Gasim linia dreapta in toata istoria omenirii, in orice act uman.. Dreapta este o reactie, o actiune, miscare, efectul unei autodeterminari. Dupa mai bine de 30 de ani, preocupat tot de aceasta problema a banismului, Le Corbussier adauga : „Compozilia arhitectonica este geometrica, eveniment de ordin vizual in primul rind, eveniment antrenind judecatile de cantitate, de raporturi, aprecieri de proportii. Proportia provoaca senzatii, iar perindarea acestor setiza corespunde melodiei din muzica." Dar, in epoca actuala, a cladirilor gigantice, la planurile pentru fabricile construite pe sute de hectare, baraje sau hidrocent colosale, scara de proportii, mai potrivita, pe care anumit-o modulor. Cuvantul este format din doi termini; primul: modul inseamna tocmai raport sau scara de proportie, iar al doilea or este numirea franceza corespunzatoare in romaneste substantivului aur, asadar:

modulor are, de fapt, aceeasi semnificatie ca si taiatura de aur, numai ca dimensiunile raportului sunt altele decat acelea folosite in Antichitate sau Renastere. Modulorul se obtine considerind un om de statura mijlocie stand in picioare cu un brat ridicat in sus, asadar de o lungime de 216 cm. In acest caz, ombilicul lui imparte acest segment in doua parti egale de cite 708 cm. Aceasta este lungimea segmentului AB, considerat odinioara de Euclid, si acest segment de 108 cm este impartit in taietura de aur prin distante de la virful degetelor pina la cap (41,5 cm) si segmentul ramas, de la varful capului la ombilic (66,5 cm). Cu accste dimensiuni, Le Corbussier a format un sir de numere care poarta numele de scara modulor, in care termenii se obtin astfel ca oricare dintre ei este egal cu suma a doi tevmeni dinaintea lui : 41,5 ; 66,5 ; 108 ; 174,5 ;... Oricare doi termeni alaturati, din scara modulor, au inca si proprietatea ca sunt in aceeasi proportie, aceea data de taietura de aur si de ea se folosesc arhiteclii de azi ca sa stabileasca diferitele dimensiuni ale unei

cladiri cind urmaresc sa-i dea un aspect arrponios. Trebuie, insa, sa-ti atrag atentia, draga cititdrule, ca aceasta scara de proportii nu-i suficienta ca o cladire sa se prezinte sub o infatisare plina de armonie si echilibru si sa stirneasca admiratia celui ce o contempla. Aceasta ramine o problema pe care nu o poate rezolva decit talentul arhitectului respectiv. O afirma chiar autorul: „Modulorul nu da talent si inca mai putin geniu. El nu subtiaza ceea ce nu este subtire, el ofera doar placerea si increderea care poate rezulta din folosirea masurilor sigure". Arta inseamna cu totul altceva decat formula matematica, insa, daca esti artist, atunci modulorul te ajuta, asa cum ajuta si dalta pe un sculptor sau un pian, bine acordat, pe un pianist.