Puentes De Equilibrio

1

2

𝐼1 𝑅1 = 𝐼2 𝑅2 x

(1)

Si la corriente del galvanómetro es cero, la siguiente condición también se cumple

𝐼1 = 𝐼3 =

𝐸 𝑅1 + 𝑅3

(2)

Y 𝐼2 = 𝐼4 =

𝐸 𝑅2 + 𝑅4

(3)

Al combinar la ecuación (1), (2), y (3) y simplificarlas se obtiene

𝑅1 𝑅2 = 𝑅1 + 𝑅3 𝑅2 + 𝑅4

(4)

De la cual

𝑅1 𝑅4 = 𝑅2 𝑅3

(5)

La ecuación (5) es la expresión conocida para el equilibrio del puente de Wheatstone. Si tres de las resistencias tiene valores conocidos, la cuarta puede establecerse a partir de la ecuación (5). De aquí, si 𝑅4 es la resistencia, y su valor 𝑅𝑥 puede expresarse de las resistencias restantes como sigue: 3

𝐼𝑥 = 𝑅3

𝑅2 𝑅1

(6)

La resistencia 𝑅3 se denomina rama patrón del puente, y las resistencias 𝑅2 y 𝑅1 se les nombra ramas de relación. La medición de la resistencia desconocida 𝑅𝑥 es independiente de las características o de la calibración del galvanómetro detector de cero, puesto que el detector de cero tiene superficie sensible para indicar la posición de equilibrio del puente con el grado de precisión requerido.

FACTORES DE LOS QUE DEPENDE LA EXACTITUD DEL PUENTE

La exactitud y precisión con la que determinemos el valor de 𝑅𝑥 de una resistencia con un puente de Wheatstone dependen de los siguientes factores: a. De la exactitud y precisión de las otras tres resistencias que constituyen el puente. Si 𝑅𝑥 está dada por la expresión:

𝐼𝑥 = 𝑅3

𝑅2 𝑅1

(6)

b. De los valores de las resistencias de precisión 𝑅1 y 𝑅3 . Cuanto menores sean los valores nominales de dichas resistencias, mayores serán las corrientes en el circuito, y será más simple detectar variaciones de las mismas. c. Del valor de la fuente E. Cuanto mayor sea dicho valor, mayores serán las corrientes en el circuito, por lo que será más simple detectar variaciones en sus valores. Debido a las condiciones impuestas sobre la batería y las resistencias, se tienen que realizar los diseños tomando en cuenta las limitaciones de potencia de estas últimas. d. De la sensibilidad del galvanómetro. Cuanto mayor sea dicha sensibilidad se podrá apreciar mejor la corriente 𝑖𝑔 , y por lo tanto se podrán ajustar las resistencias con más precisión para que la corriente sea cero. APLICACIÓN Una aplicación muy interesante del puente de Wheatstone en la industria es como sensor de temperatura, presión, etc. (dispositivos que varían el valor de su resistencia de acuerdo a la variación de las variables antes mencionadas). También se utiliza en los sistemas de distribución de energía eléctrica donde se lo utiliza para detectar roturas o fallas en las líneas de distribución 4

1.1.

Puente Kelvin

El puente de Kelvin es una modificación del puente de Wheatstone y proporciona un gran incremento en la exactitud de las mediciones de resistencias de valor bajo, por lo general inferior a 1 Ω. Considérese el circuito de la figura, donde 𝑅𝑦 representa la resistencia del alambre de conexión de 𝑅3 a 𝑅𝑥 . Son posibles dos conexiones del galvanómetro, en el punto m o en el punto n. Cuando el galvanómetro se conecta en el punto m, la resistencia 𝑅𝑦 del alambre de conexión se suma a la desconocida 𝑅𝑥 , resultando una indicación por arriba de 𝑅𝑥 . Cuando la conexión se hace en el punto n, 𝑅𝑦 se suma a la rama del puente 𝑅3 y el resultado de la medición de 𝑅𝑥 será menor que el debería ser, porque el valor real de 𝑅3 es más alto que su valor nominal debido a la resistencia 𝑅𝑦 . Si el galvanómetro se conecta en el punto p, entre m y n, de tal forma que la razón de la resistencia de n a p y m a p iguale la razón de los resistores 𝑅1 y 𝑅2 , entonces

𝑅𝑛𝑝 𝑅1 = 𝑅𝑚𝑝 𝑅2

(7)

La ecuación de equilibrio para el puente da:

𝑅𝑥 + 𝑅𝑛𝑝 =

5

𝑅1 (𝑅3 + 𝑅𝑚𝑝 ) 𝑅2

(8)

Al sustituir la ecuación (7) en la (8), se tiene

𝑅𝑥 + (

𝑅1 𝑅1 𝑅1 ) 𝑅𝑦 = [𝑅3 + ( ) 𝑅𝑦 ] 𝑅1 + 𝑅2 𝑅2 𝑅1 + 𝑅2

(9)

Lo cual se reduce a

𝑅𝑥 =

𝑅2 𝑅 𝑅1 3

(10)

La ecuación (10) es la ecuación de equilibrio desarrollada para el puente de Wheatstone e indica que el efecto de la resistencia del alambre de conexión del punto m al punto n se elimina conectando el galvanómetro en la posición intermedia p.

APLICACIÓN Hay algunos dispositivos comerciales alcanzar precisiones de 2% para los rangos de resistencia 0,000001 a 25 ohmios. A menudo, ohmímetros incluyen puentes Kelvin, entre otros instrumentos de medición, con el fin de obtener rangos de gran medida, por ejemplo, el Valhalla 4100 ATC de bajo rango ohmímetro. Los instrumentos para medir los valores sub-ohmios se refieren a menudo como ohmímetros de baja resistencia, mili-óhmetros, micro-óhmetros.

1.2.

Puente Doble de Kelvin

El término puente doble se usa debido a que el circuito contiene un segundo juego de ramas de relación. Este segundo conjunto de ramas, marcadas a y b en el diagrama de ña figura, se conectan al galvanómetro en el punto p con el potencial apropiado entre m yn, lo que elimina el efecto de la resistencia 𝑅𝑦 . Una condición establecida inicialmente es que la relación de la resistencia de a y b debe ser la misma que la relación de 𝑅1 y 𝑅2 .

6

La indicación del galvanómetro será cero cuando el potencial en k sea igual al potencial en p, o cuando 𝐸𝑘𝑙 = 𝐸𝑙𝑚𝑝 , donde

𝐸𝑘𝑙 =

(𝑎 + 𝑏)𝑅𝑦 𝑅1 𝑅1 ] 𝐸= 𝐼 [𝑅1 + 𝑅𝑥 + 𝑅1 + 𝑅2 𝑅1 + 𝑅2 𝑎 + 𝑏 + 𝑅𝑦

𝐸𝐼𝑚𝑝 = 𝐼 {𝑅3 +

(𝑎 + 𝑏)𝑅𝑦 𝑏 [ ]} 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑅𝑦

Resolviendo 𝑅𝑥 e igualando 𝐸𝑘𝑙 = 𝐸𝑙𝑚𝑝 , de la siguiente manera

(𝑎 + 𝑏)𝑅𝑦 (𝑎 + 𝑏)𝑅𝑦 𝑅1 𝑏 ] = 𝐼 [𝑅3 + ] 𝐼 [𝑅3 + 𝑅𝑥 + ∗ 𝑅1 + 𝑅2 𝑎 + 𝑏 + 𝑅𝑦 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑅𝑦 O al simplificar se obtiene

7

(11)

(12)

𝑅3 + 𝑅𝑥 +

(𝑎 + 𝑏)𝑅𝑦

=

𝑎 + 𝑏 + 𝑅𝑦

𝑏𝑅𝑦 𝑅1 +𝑅2 [𝑅3 + ] 𝑅2 𝑎 + 𝑏 + 𝑅𝑦

y la expresión del miembro del lado derecho da

𝑅3 + 𝑅𝑥 +

(𝑎 + 𝑏)𝑅𝑦 𝑎 + 𝑏 + 𝑅𝑦

=

𝑏𝑅𝑦 𝑅1 𝑅3 𝑅1 +𝑅2 + 𝑅3 + + 𝑅2 𝑅2 𝑎 + 𝑏 + 𝑅𝑦

La solución de 𝑅𝑥

𝑅𝑥 =

(𝑎 + 𝑏)𝑅𝑦 𝑏𝑅𝑦 𝑏𝑅𝑦 𝑅1 𝑅3 𝑅1 + ∗ + − 𝑅2 𝑅2 𝑎 + 𝑏 + 𝑅𝑦 𝑎 + 𝑏 + 𝑅𝑦 𝑎 + 𝑏 + 𝑅𝑦

De modo que

𝑅𝑥 =

𝑏𝑅𝑦 𝑅1 𝑅3 𝑅1 𝑎 ( − ) + 𝑅2 𝑎 + 𝑏 + 𝑅𝑦 𝑅2 𝑏

(13)

Al aplicar la condición establecida inicialmente de que 𝑎⁄𝑏 = 𝑅1 ⁄𝑅2 la ecuación (13) se reduce a la relación bien conocida.

𝑅𝑥 =

𝑅2 𝑅 𝑅1 3

(14)

La ecuación (14) es la ecuación de trabajo para el puente de Kelvin. Indica que la resistencia 𝑅𝑦 no tiene efecto en la medición, siempre y cuando los dos conjuntos de ramas de relación tengan igual relación de resistencias.

APLICACIÓN Una de las aplicaciones del puente doble de Kelvin es que se utiliza para medir resistencias muy bajas de aproximadamente 1 Ω hasta 0.00001 Ω. En la figura anterior se muestra el diagrama del circuito simplificado de un puente doble de Kelvin comercial que mide resistencias de 1 Ω a 0.00001 Ω. En este puente, la resistencia 𝑅3 de la ecuación (14) se representa por una resistencia patrón variable.

8

1.3.

Puente Maxwell

El puente Maxwell de la figura se utiliza para medir una inductancia desconocida en términos de una capacitancia conocida. Una de las ramas de relación tiene una resistencia y una capacitancia en paralelo, ahora se puede probar que es más fácil escribir las ecuaciones de balance usando la admitancia de la rama 1 en vez de su impedancia.

La ecuación general para el equilibrio del puente, se puede expresar de la siguiente forma;

𝑍𝑥 = 𝑍2 𝑍3 𝑌1

(15)

Donde 𝑌1 es la admitancia de la rama 1. En relación con la figura, se tiene que

𝑍2 = 𝑅2 ;

𝑍3 = 𝑅3 ;

𝑦

La sustitución de estos valores en (15) da

9

𝑌1 =

1 + 𝑗𝜔𝐶1 𝑅1

𝑍𝑥 = 𝑅𝑥 + 𝑗𝜔𝐿𝑥 = 𝑅2 𝑅3 (

1 + 𝑗𝜔𝐶1 ) 𝑅1

(16)

Al separar términos reales o imaginarios

𝑅𝑥 =

𝑅2 𝑅3 𝑅1

(17)

Y 𝐿𝑥 = 𝑅2 𝑅3 𝐶1

(18)

Donde las resistencias se expresan en ohms, las inductancias en Henrys y las capacitancias en Farads. El puente de Maxwell se limita a la medición de bobinas de Q medio (1 < Q < 10). Esto puede mostrarse si se considera la segunda condición de equilibrio, la cual establece que la suma de los ángulos de fase de un par de ramas opuesta debe ser igual a la suma de los ángulos de fase del otro par. Puesto que los ángulos de fase en los elementos resistivos de las ramas 2 y3 suman 0°, y la suma de los ángulos de las ramas 1 y 4 también será de 0°. El ángulo de fase de una bobina de Q alto será muy cercano a 90°(positivos), lo cual requiere que el ángulo de la fase de la rama capacitiva este cerca de los 90° (negativos). Esto significa que la resistencia de 𝑅1 ha de ser muy grande, lo cual es poco práctico. Las bobinas de alto Q se mide generalmente con el puente Hay. El procedimiento normal para equilibrar el puente de Maxwell es ajustar primero a 𝑅3 , para el equilibrio inductivo y luego ajustar 𝑅1 para el resistivo. Después al volver al ajuste de 𝑅3 se advierte que el equilibrio resistivo se ha modificado hacia un nuevo valor. Este proceso se repite y da una convergencia lenta hacia el equilibrio final. Para bobinas de Q medio, el efecto de las resistencias no es pronunciado y el equilibrio se alcanza después de pocos ajustes.

APLICACIÓN El puente Maxwell se utiliza para medir una inductancia desconocida en términos de una capacitancia conocida., este puente se limita a la medición de bobinas de Q medio (1 < Q < 10), debido a los problemas de convergencia en el equilibrio. Los bajos valores de Q presentan resistencias inductivas.

10

1.4.

Puente Hay

El puente Hay de la figura difiere del maxwell porque tiene una resistencia 𝑅1 en serie con un capacitor patrón 𝐶1 y no en paralelo. Es evidente que para ángulos de fase grande, 𝑅1 debe tener un valor muy bajo, por consiguiente, el puente Hay es más conveniente para mediciones de bobinas de Q alto.

Las ecuaciones de equilibrio se derivan de la sustitución de los valores de las impedancias de las ramas del puente en la ecuación general para el equilibrio del puente. Para el circuito de la figura se tiene que:

𝑍1 = 𝑅1 −

1 ; 𝜔𝐶1

𝑍2 = 𝑅2 ;

(𝑅1 −

𝑍3 = 𝑅3

𝑦

𝑗 ) (𝑅𝑥 + 𝑗𝜔𝐿𝑥 ) = 𝑅3 𝑅2 𝜔𝐶1

Que se expande a

𝑅𝑥 𝑅1 +

𝐿𝑥 𝑗𝑅𝑥 − + 𝑗𝜔𝐿𝑥 𝑅1 = 𝑅3 𝑅2 𝐶1 𝜔𝐶1

11

𝑍𝑥 = 𝑅𝑥 + 𝑗𝜔𝐿𝑥

(19)

Al separar los términos reales de los imaginarios se obtiene

𝑅𝑥 𝑅1 +

𝐿𝑥 = 𝑅3 𝑅2 𝐶1

(20)

Y

𝑅𝑥 = 𝜔𝐿𝑥 𝑅1 𝜔𝐶1

(21)

Ambas ecuaciones (20) y (21) contienen 𝐿𝑥 y 𝑅𝑥 ; por tanto, hay que resolverlas simultáneamente. Esto lleva a:

𝑅𝑥 =

𝐿𝑥 =

𝜔2 𝐶1 2 𝑅1 𝑅3 𝑅2 1 + 𝜔 2 𝐶1 2 𝑅1 2

𝐶1 𝑅3 𝑅2 1 + 𝜔 2 𝐶1 2 𝑅1 2

(22)

(23)

Ambas expresiones para inductancia y resistencia desconocidas contienen la velocidad angular ω y, por tanto, se requiere que la frecuencia de las fuentes de voltaje se deba conocer con exactitud. Que esto no se aplique al medir bobinas de Q alto se sigue de las siguientes consideraciones: si se recuerda que la suma de los ángulos de fase a ramas opuestas debe ser igual, el ángulo de fase inductivo ha de ser igual al ángulo de fase capacitivo, puesto que los ángulos respectivos son cero. La figura muestra que la tangente del ángulo de fase inductivo es igual a

12

tan 𝜃𝐿 =

𝑋𝐿 𝜔𝑋𝐿 = =𝑄 𝑅 𝑅𝑋

(24)

𝑋𝐶 1 = 𝑅 𝜔𝐶1 𝑅1

(25)

y que el ángulo de fase capacitivo es

tan 𝜃𝐶 =

Cuando los dos ángulos se desfasan son iguales, sus tangentes también son iguales y entonces

tan 𝜃𝐿 = tan 𝜃𝐶

𝑜

𝑄=

1 𝜔𝐶1 𝑅1

(26)

De nuevo con los términos (1 + 𝜔2 𝐶1 2 𝑅1 2 ) el cual aparece en las ecuaciones (22) y (23) se tiene que, después de sustituir (26) en la expresión de la ecuación (23) se reduce a

𝐿𝑥 =

𝐶1 𝑅3 𝑅2 1 2 1 + (𝑄 )

(27)

Para un valor de Q mayor de 10, el termino (1⁄𝑄 )2 será menor que 1⁄100 y puede ser despreciable. La ecuación (23) se reduce a la expresión derivada del puente de Maxwell.

𝐿𝑥 = 𝑅2 𝑅3 𝐶1

13

APLICACIÓN El puente de Hay es aplicable y muy utilizado para medir inductores con Q alto, en especial aquellos con Q mayor a 10. Para valores de Q más pequeños que 10, el termino (1⁄𝑄 )2 es importante y no puede despreciarse.

1.5.

Puente Schering

El circuito básico se muestra en la figura y por una inspección general al circuito se observa muy parecido al puente de comparación. Nótese que ahora la rama 1 contiene una combinación en paralelo de una resistencia y un capacitor, y la rama patrón solo contiene un capacitor. Por lo general, el capacitor patrón es de mica de alta calidad para las mediciones general de trabajo, o puede ser un capacitor de aire para mediciones de aislamiento. Un capacitor de mica de buena calidad tiene perdidas muy bajas (sin resistencia) y por consiguiente un ángulo de fase de alrededor de 90°. Cuando se diseña con cuidado un capacitor de aire, este tiene un valor muy estable y un campo eléctrico muy pequeño, el material aislante por probar se puede conservar con facilidad fiera de cualquier campo fuerte. Las condiciones de equilibrio requieren que la suma de los ángulos de fase de las ramas 1 y 4 sea igual a la suma de los ángulos de fase de las ramas 2 y 3. Puesto que el capacitor patrón está en la rama 3, la suma de los ángulos de fase de las ramas 2 y 3 será 0°+90° = 90°. Con el fin de observar el ángulo de fase de 90° que se necesita para el equilibrio, la suma de los ángulos de las ramas 1 y 4 debe ser igual a 90°. Puesto que en la realización general de mediciones da calidad desconocida tiene un ángulo de fase menor de 90°, es necesario dar la rama 1 un ángulo capacitivo pequeño por medio de la conexión del capacitor 𝐶1 en paralelo con 𝑅1 . Un ángulo capacitivo pequeño es muy fácil de obtener, solo se requiere un capacitor pequeño a través de 𝑅1 .

14

Las ecuaciones de equilibrio se derivan como es habitual; por la situación de los valores correspondientes de impedancia y admitancia en la ecuación general, se obtiene

𝑍𝑥 = 𝑍2 𝑍3 𝑌1

O

𝑅𝑥 −

𝑗 −𝑗 1 ) ( + 𝑗𝜔𝐶1 ) = 𝑅2 ( 𝜔𝐶𝑥 𝜔𝐶3 𝑅1

Y si se expande

𝑅𝑥 −

𝑗 𝑅2 𝐶1 𝑗𝑅2 = − 𝜔𝐶𝑥 𝐶1 𝜔𝐶3 𝑅1

(28)

al igualar los términos reales e imaginarios, entonces

𝑅𝑥 = 𝑅2

𝐶1 𝐶3

(29)

𝐶𝑥 = 𝐶3

𝑅1 𝑅2

(28)

Como se puede ver en el diagrama del circuito, las dos variables que se esconden para el ajuste del equilibrio son el capacitor 𝐶1 y el resistor 𝑅2 . Parece ser que no hay nada diferente en las ecuaciones de equilibrio o en la selección de los componentes variables, pero considérese por un momento como se define la calidad del capacitor.

El factor de potencia (PF) de una combinación serie RC se define por el coseno del anglo de fase del circuito. Por consiguiente, el PF de la impedancia desconocida es 𝑃𝐷 = 𝑅𝑥 ⁄𝑍𝑥 . Para ángulos de fase muy cercanos a 90°, la reactancia es casi igual a la impedancia y cabe aproximar al factor de potencia a

15

𝑃𝐹 ≃

𝑅𝑥 = 𝜔𝑅𝑥 𝐶𝑥 𝑋𝑥

(29)

El factor de disipación de un circuito serie RC se define como la cotangente del angulo de fase y, por tanto, por definición será

𝐷=

𝑅𝑥 = 𝜔𝑅𝑥 𝐶𝑥 𝑋𝑥

(30)

Ya que el factor de calidad de una bobina se define por 𝑄 = 𝑋𝑥 ⁄𝑅𝑥 , se observa que el factor de disipación, D, es el reciproco del factor de calidad, Q, esto es 𝐷 = 1⁄𝑄 . El factor de disipación es un factor que indica la calidad del capacitor.

APLICACIÓN El puente de Schering, uno de los importantes puentes de CA, se usa ampliamente para la medición de capacitores. Aunque se utiliza para la, medición de capacitancias en sentido general, es particularmente útil para la medición de algunas propiedades de aislamiento, como ángulos de fase muy cercanos a los 90°.

16

1.6.

Puente Wien

El puente de Wien tiene una combinación en serie RC en una rama y una combinación en paralelo RC en la rama adjunta. La impedancia de la rama 1 es 𝑍1 = 𝑅1 − 𝑗⁄𝜔𝐶1 . La admitancia de la rama es 𝑌3 = 𝑗⁄𝑅3 + 𝑗𝜔𝐶3 . Con la ecuación básica para el balance del puente y al sustituir los valores apropiados se obtiene.

𝑅2 = (𝑅1 −

𝑗 1 ) 𝑅4 ( + 𝑗𝜔𝐶3 ) 𝜔𝐶1 𝑅3

(31)

Al expandir esta expresión se llega a

𝑅2 =

𝑅1 𝑅4 𝑗𝑅4 𝐶3 𝑅4 + 𝑗𝜔𝐶3 𝑅1 𝑅4 − + 𝑅3 𝜔𝐶1 𝑅3 𝐶1

(32)

𝑅1 𝑅4 𝐶3 𝑅4 + 𝑅3 𝐶1

(33)

Al igualar los términos reales

𝑅2 =

17

Lo cual se reduce a

𝑅2 𝑅1 𝐶3 = + 𝑅4 𝑅3 𝐶1

(34)

Al igualar los términos imaginarios se tiene

𝜔𝐶3 𝑅1 𝑅4 =

𝑅4 𝜔𝐶1 𝑅3

(35)

donde 𝜔 = 2𝜋𝑓 , y al resolver para 𝑓, se obtiene

𝑓=

1 2𝜋√𝐶1 𝐶3 𝑅1 𝑅3

(36)

Nótese que las dos condiciones para el equilibrio del puente resultan en una expresión que determina la relación de resistencias requeridas 𝑅2 ⁄𝑅4 y otra expresión que determina la frecuencia del voltaje aplicado. En otras palabras, si se satisface la ecuación (34), y se excita el puente con la frecuencia descrita por la ecuación (36), el puente queda en equilibrio. En la mayoría de los circuitos del puente Wien, los componentes se seleccionan de manera tal que 𝑅1 = 𝑅3 y 𝐶1 = 𝐶3 . Estos reducen la ecuación (34) a 𝑅2 ⁄𝑅4 = 2 y la ecuación (36) a

𝑓=

1 2𝜋𝑅𝐶

(36)

La cual es la expresión general para la frecuencia del puente Wien. En un puente practico, los capacitores 𝐶1 y 𝐶3 son capacitores fijos, y los resistores 𝑅1 y 𝑅3 son resistores variables controlados por un eje común. Si se tiene que 𝑅2 = 2𝑅4 , el puente se puede usar como un dispositivo para determinar la frecuencia en equilibrio por un solo control. Este control se puede calibrar directamente en términos de frecuencia. Debido a su sensibilidad a la frecuencia, el puente Wien puede ser difícil de equilibrar. Ya que el puente no se equilibra con cualquier armónica presente en el voltaje aplicado, estas amónicas producen algunas veces un voltaje de salida que distorsiona el punto de equilibrio.

18

APLICACIÓN El puente Wien se presenta aquí por su uso como puente de CA para medir frecuencias y por las aplicaciones que tiene en otros circuitos, por ejemplo, en el análisis de distorsión armónica, en donde se usa como un filtro pasa bandas, el cual puede discriminar una frecuencia especifica. El puente de Wien también tiene aplicaciones en los osciladores de audio y HF como el elemento que determina la frecuencia.

1.7.

Puente Owen

El equilibrio del valor resistivo e inductivo de la impedancia desconocida es independiente entre si los valores de 𝑅3 y 𝐶3 son variables. Por otro lado, el equilibrio del puente también se puede obtener modificando los valores de 𝑅3 y 𝑅1 si las capacidades del circuito 𝐶2 y 𝐶3 son fijas. El puente de Owen permite determinar el incremento de inductancias en bobinas con núcleo de hierro, superponiendo una corriente alterna con una corriente continua. La corriente continua se introduce en el circuito del puente a través de una fuente de tensión continua conectada en serie con una gran inductancia a través de la rama del detector. Para proteger el galvanómetro y la fuente de corriente alterna, condensadores de baja impedancia se conectan en serie a ellos bloqueando el paso de la corriente continua.

La deducción de la ecuación de equilibrio del puente de Owen se obtiene siguiendo el razonamiento general del puente de impedancias, luego

19

𝑍3 𝑍1 = 𝑍2 𝑍𝑥

𝑍1 = 𝑅1

, 𝑍2 =

1 𝑗𝜔𝐶2

,

𝑍3 = 𝑅3

(37) 1 𝑗𝜔𝐶3

,

𝑍𝑥 = 𝑅𝑥 + 𝑗𝜔𝐿𝑥

Remplazando valores en (37) se tiene

𝑗𝜔𝐶2 𝑅1 =

𝑍𝑥 1 𝑅3 + 𝑗𝜔𝐶 3

(38)

Despejamos 𝑍𝑥

𝑍𝑥 =

𝐶2 𝑅1 + 𝑗𝜔𝐶2 𝑅1 𝑅3 𝐶3

(39)

Separamos parte real e imaginaria, de esta forma obtenemos las dos ecuaciones del puente

𝑅𝑥 =

𝑅1 𝐶2 𝐶3

𝐿𝑥 = 𝐶2 𝑅1 𝑅3

(40)

(41)

APLICACIÓN El puente Owen es ampliamente utilizado para la medición de inductores, más precisamente para aquellas inductancias con factor de calidad bajos (Q<1). Su configuración clásica se representa en la figura, y observando esta se puede remplazar la ecuación de equilibrio para los puentes de C.A.

20

1.8.

Puente Anderson

El puente de Anderson se utiliza para la medida de un amplio rango de inductancias con un condensador de capacidad fija. La ecuación de equilibrio del puente de Anderson es:

𝑅𝑥 =

𝑅1 𝑅3 𝑅2

𝐿𝑥 = 𝑅1 𝑅3 𝐶 (1 +

(42)

𝑟 𝑟 + ) 𝑅1 𝑅2

(43)

La deducción de la ecuación de equilibrio del puente de Anderson se obtiene de forma similar a la realizada en el doble puente de Kelvin. En primer lugar se realizara la trasformación triánguloestrella a las impedancias r, 𝑅2 y C para obtener de nuevo la forma ya estudiada del puente de impedancias. Los valores de las impedancias equivalentes tras la transformación triángulo-estrella son:

21

𝑍1 =

1 𝑟 ∗ 𝑗𝜔𝐶 1 𝑟 + 𝑗𝜔𝐶 + 𝑅2

𝑅2 ∗ 𝑟 𝑍2 = 1 𝑟 + 𝑗𝜔𝐶 + 𝑅2

,

,

𝑍3 =

1 𝑅2 ∗ 𝑗𝜔𝐶 1 𝑟 + 𝑗𝜔𝐶 + 𝑅2

La configuración del nuevo circuito del puente de Anderson tras la transformación triánguloestrella se observa en la figura. Aplicando las ecuaciones de equilibrio (43) del puente de impedancias se tiene que

𝑅2 ∗ 𝑟 1 𝑟 + 𝑗𝜔𝐶 + 𝑅2 𝑅𝑥 + 𝑗𝜔𝐿𝑥 = 1 𝑅3 𝑅2 ∗ 𝑗𝜔𝐶 1 𝑟 + 𝑗𝜔𝐶 + 𝑅2

𝑅2 +

22

(44)

Si se despejan los valores de 𝑅𝑥 y 𝐿𝑥 se tiene

𝑅𝑥 + 𝑗𝜔𝐿𝑥 =

𝑅1 𝑅3 𝑟 ∗ 𝑅1 + 𝑗𝜔𝐶𝑅3 ∗ ( + 𝑟 + 𝑅1 ) 𝑅2 𝑅2

(45)

Finalmente, si se extrae factor común 𝑅1 en el valor imaginario de la derecha de la expresión y se igualan las partes reales e imaginarias se tiene que las ecuaciones de equilibrio del puente toman el valor de

𝑅𝑥 =

𝑅1 𝑅3 𝑅2

𝐿𝑥 = 𝑅1 𝑅3 𝐶 (1 +

(46)

𝑟 𝑟 + ) 𝑅1 𝑅2

(47)

APLICACIÓN La aplicación más frecuente del puente de Anderson es su utilización para la medición precisa de un amplio rango de inductancias con un condensador de capacidad fija.

23

1.9.

Puente Campbell

Las ecuaciones de equilibrio del puente de Campbell son:

𝑅𝑥 =

𝐿𝑥 =

𝑅1 𝑅3 𝑅2

𝐿1 + 𝐿𝑆 𝑅3 𝑅2

𝑀𝑥 =

𝑀𝑆 𝑅3 𝑅2

El equilibrio del puente de Campbell se lleva a cabo en dos pasos.

24

(48)

(49)

(50)

En el primero se equilibran los valores de la resistencia, 𝑅𝑥 e inductancia, 𝐿𝑥 directas de la bobina cuyo valor es desconocido modificando los valores de la resistencia 𝑅1 e inductancia 𝐿1 ya que ambas son variables. La conexión del puente de Campbell para permitir este ajuste se muestra en la figura.

En el segundo paso, una vez equilibrado el puente y conocidos los valores de 𝑅𝑥 y 𝐿𝑥 , se cierran los interruptores para crear una malla donde intervienen las inductancias mutuas 𝑀𝑥 y 𝑀𝑆 .El ajuste de las inductancias mutuas se realiza modificando los valores de 𝑀𝑆 . Para el equilibrio del puente de Campbell se debe tener especial precaución para evitar el acoplamiento magnético entre las bobinas estándar y la bobina desconocida, para evitar errores en la medida de los diferentes parámetros. La deducción de las ecuaciones de equilibrio del puente de Campbell se obtiene al aplicar las ecuaciones de equilibrio del puente de impedancias a las dos configuraciones necesarias para obtener el equilibrio del puente de Campbell. Para el primer circuito se tiene

25

𝑍1 𝑍𝑋 = 𝑍2 𝑅3

(51)

Con

𝑍1 = 𝑅1 + 𝑗𝜔(𝐿1 + 𝐿𝑆 )

,

𝑍2 = 𝑅2

,

𝑍3 = 𝑅3 ,

𝑍𝑥 = 𝑅𝑥 + 𝑗𝜔𝐿𝑥

Sustituyendo se tiene

𝑅1 + 𝑗𝜔(𝐿1 + 𝐿𝑆 ) 𝑅𝑥 + 𝑗𝜔𝐿𝑥 = 𝑅2 𝑅3

(52)

Igualando las partes reales e imaginarias se tiene

𝑅𝑥 =

𝐿𝑥 =

𝑅1 𝑅3 𝑅2

(48)

𝐿1 + 𝐿𝑆 𝑅3 𝑅2

(49)

Una vez equilibrado el circuito para los valores de 𝑅𝑥 y 𝐿𝑥 se cierran los interruptores para configurar el circuito en la topología mostrada en la figura 2. Si se aplican las ecuaciones de equilibrio del puente de impedancias se tiene.

𝑍1 = 𝑅1 + 𝑗𝜔(𝐿1 + 𝐿𝑆 + 𝑀𝑆 ) ,

𝑍2 = 𝑅2 ,

Sustituyendo en (51) se tiene

26

𝑍3 = 𝑅3 ,

𝑍𝑥 = 𝑅𝑥 + 𝑗𝜔( 𝐿𝑥 + 𝑀𝑥 )

𝑅1 + 𝑗𝜔(𝐿1 + 𝐿𝑆 + 𝑀𝑆 ) 𝑅𝑥 + 𝑗𝜔( 𝐿𝑥 + 𝑀𝑥 ) = 𝑅2 𝑅3

(53)

Igualando parte real y parte imaginaria y sustituyendo (49) se tiene

𝑀𝑥 =

𝑀𝑆 𝑅3 𝑅2

(50)

APLICACIÒN El puente de Campbell permite la medida de inductancias mutuas por comparación entre la inductancia desconocida y una estándar.

2. CONCLUSIONES -Es importante establecer la razón por la cual se genera el equilibrio del puente, ya que por medio de esto podemos deducir fácilmente las fórmulas que nos permitirán mantener el puente en equilibrio. -Las ecuaciones de equilibrio serán siempre la misma en cuanto no se llegue a cambiar ningún elemento perteneciente al circuito puente. -La resolución paso a paso de las ecuaciones es fácil si es que se tiene conocimiento de los casos que intervienen en cada puente para que se puede cumplir con el equilibrio.

3. BIBLIOGRAFÍA [1] WILLIAM D. COOPER y ALBERT D. HELFRICK, Instrumentación electrónica y técnicas de medición, Prentice Hall Hispanoamericana, México, Capitulo 5. [2] A COLMENAR y F. BRAOJOS, Manual practico de electricidad y electronica. Cultural S.A. Madrid - España: Pg.122- 140

27