Resistencia De Materiales: Esfuerzo Cortante

Cuarta Edición

CAPÍTULO

3

RESISTENCIA DE MATERIALES Resistencia de Materiales Autor: Dr. Víctor Vidal Barrena Universidad Ricardo Palma

Esfuerzo Cortante

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3.1 ESFUERZO CORTANTE.

Se obtiene al aplicar cargas transversales. Consideremos una barra cortada por un plano a-a perpendicular a su eje, como se observa en la figura 3.1. Un esfuerzo normal  es perpendicular al plano de corte, y en esa dirección actúa el esfuerzo cortante. Por lo tanto la diferencia entre el esfuerzo normal y el cortante es su dirección..

Fig. 3.1 Esfuerzo cortante.

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3.1 ESFUERZO CORTANTE.

Las cargas aplicadas a una estructura ó máquina generalmente se transmiten a las barras individuales a través de conexiones que emplean, tales como: remaches, pernos, seguros, clavos y soldadura. Los esfuerzos cortantes se clasifican: 1. Por deslizamiento 2. Por corte.

Fig. 3.2 Falla de un perno por el cortante.

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3.1 Esfuerzo Cortante.

Las cargas aplicadas a una estructura o máquina generalmente se transmiten a sus elementos individuales a través de conexiones que emplean, tales como remaches, pernos, seguros, clavos o pasadores y soldadura. En todas las conexiones, uno de los esfuerzos inducidos más significativos es el “esfuerzo cortante”. Fig. 3.3 Barra con carga axial.

En el apoyo de la figura 3.3, el pasador (perno) sostiene una barra sujeta a una carga axial P. el apoyo consta de una pieza de montaje donde se encuentra montado un pasador cilíndrico, el cual pasa a través de un agujero en la barra. © 2020 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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3.1.1 Esfuerzo Cortante simple.

En la figura 3.4 el perno o pasador está sometida a una fuerza cortante V, en este caso se dice que el pasador (perno) está a “cortante simple”. Por equilibrio : FH  0  

P V  0

Pero : V   A Fig. 3.4 Barra con carga axial.

Entonces : P   A  0

P de donde :   A

(3.1)

Donde:  = Esfuerzo Cortante; Pa (N/m2), lb/pulg2 P = Fuerza Cortante; N ó lb A= Área sobre el cual actúa la fuerza cortante, m2 ó pulg2 © 2020 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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3.1.2 Esfuerzo Cortante doble.

En la figura 3.5 la pieza de montaje son dos, la que soportan a la barra en donde actúa la carga P. Aplicando la ecuación de equilibrio. Σ𝐹𝑦 = 0 +↑ 2V − P = 0 Las áreas criticas en el pasador (perno) son dos: XY y WZ; en estas áreas se presenta el esfuerzo cortante, se dice que el pasador o perno está a “cortante doble. Fig. 3.5 Barra con carga axial.

En (2) : 2( A)= P P de donde :   2A

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(3.2) 3- 6

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3.1.3 Esfuerzo Cortante por corte.

Los esfuerzos cortantes por corte se presentan cuando la carga aplicada produce un corte en la barra; si consideramos a los soportes rígidos y P suficientemente grande, tal como se observa en la figura 3.6. En esta figura se muestra como se puede producir los esfuerzos cortantes por corte; en este caso, el bloque superior falla a lo largo de los planos AB y CD.

Fig. 3.6 Esfuerzo cortante por corte.

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3.1.3 Esfuerzo Cortante por corte. Por equilibrio: FH  0  P  2V  0 P 2 V  fuerza cortante sobre cada área seccionada Pero : V 

Aplicando la ecuación (3.1) sobre cada área:



V P  A 2A

(3.2)

En la práctica se presentan dos casos de esfuerzo cortante por corte: 1. Cortante simple. 2. Cortante doble. Fig. 3.6 Esfuerzo cortante por corte

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1. Cortante Simple: Ejemplo.

El área de la sección transversal del perno está sometido sólo a una fuerza cortante, es decir V = P. Entonces, aplicamos la ecuación (3.1)

Fig. 3.7 Perno sometido a cortante simple

P  A

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1 Cortante Simple: Ejemplo.

El área de la sección transversal del perno está sometido sólo a una fuerza cortante, como se muestra en la figura 3.8; tenemos aquí una condición de cortante simple, en consecuencia V = P, sobre el área seccionada, en este caso, aplicamos la ecuación (3.1)

P V   A A

Fig. 3.8 Perno sometido a cortante simple

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2. Cortante Doble: Ejemplo.

Fig. 3.9 Perno sometido a cortante doble.

Cuando la junta se construye, como se muestra en la figura 3.9, deben considerarse dos superficies cortantes. Tenemos aquí una condición de cortante doble; en consecuencia, una fuerza cortante V = P/2 sobre cada área seccionada, en este caso aplicamos la ecuación 3.1. V P   A 2A

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3.2 Esfuerzo de Aplastamiento.

El esfuerzo de compresión desarrollado entre dos cuerpos en su superficie de contacto se llama esfuerzo de aplastamiento, como se observa en la figura 3.10. Estos esfuerzos se presentan en la superficie de contacto de los elementos de unión, tales como: pernos, pasadores y remaches, etc.

Fig. 3.10 Esfuerzo de aplastamiento.

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3.2 Esfuerzo de Aplastamiento.

En la figura 3.10 y 3.11 se observa el montaje del apoyo con el elemento de unión, este ejerce sobre la platina una fuerza P igual y opuesta a la fuerza V que ejerce la platina sobre el perno. Aplicando la ecuación (1.1) de esfuerzo:

P P b   A ap t d

(3.3)

El esfuerzo de aplastamiento se obtiene dividiendo la carga P por el área proyectada del elemento en la platina. a = Esfuerzo de aplastamiento, Pa P = Carga aplicada en la platina, N Aa= Área proyectada, m2. Fig. 3.11 Esfuerzo de aplastamiento.

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PROBLEMAS RESUELTOS.

PROBLEMAS RESUELTOS

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Problema 3.1:

La viga atirantada mostrada en la figura 3.12, se usa para soportar una carga distribuida w de 120 N/cm. Determinar: a) el esfuerzo cortante en el perno A de 15 mm de diámetro, y b) el esfuerzo de tensión en el tirante AB que tiene un diámetro de 20 mm. Si el esfuerzo de fluencia en corte y para el perno es 172 MPa y el esfuerzo de fluencia en tensión y para el tirante es 262 MPa; determinar el factor de seguridad con respecto a la fluencia en cada caso. © 2020 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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Problema 3.1:

Fig. 3.12 Viga atirantada.

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Problema 3.1: Solución a.

Calcular el esfuerzo cortante en el perno A de 10 mm de diámetro. Utilizamos la ecuación 3.2: cortante doble. P



2A

(1)

a.1 Cálculo de AB: Utilizando la figura 3.13, aplicamos las ecuaciones de equilibrio.

M

C

 0 sah 

ABY (120)  180w (90)  0 ABY  15  9w  135  120 ABY  16,200N

Fig. 3.13 DCL de la barra CD.

ABY AB ABY 16200N AB   90 Sen 150 AB  27000N

Sen 

Fig. 3.14 Triángulo de AB.

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Problema 3.1:

Reemplazando valores en (1):

106 mm 2   2  1 m 2 2 2( )  15 mm 4   76.4 MPa 27000N

a.2 Cálculo del factor de seguridad de AB:

 Fluencia 172MPa fs    2.25  adm 76.4MPa b. Esfuerzo de tensión en el tirante AB. Utilizamos la ecuación 1.1: esfuerzo simple.



P (2) A

Fig. 3.15 DCL de la barra CD.

Reemplazando valores en (1):

106 mm 2   2  1 m 2 2 ( )  20 mm 4   85.944 MPa 27000N

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Problema 3.1:

Reemplazando valores en (1):

106 mm 2   2  1 m 2 2 ( )  20 mm 4   85.944 MPa 27000N

b.2 Cálculo del factor de seguridad de AB:

 Fluencia 262MPa fs    3.05  adm 85.944MPa

Fig. 3.16 DCL de la barra CD.

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Problema 3.2:

Las barras AB y BC están unidas por pasadores en A, B y C como se muestra en la figura 3.17. Determinar: a. el área transversal requerida en la barra BC y b. el diámetro de los pasadores en A y B, si el esfuerzo permisible es 20 MPa y el esfuerzo cortante permisible es 30 MPa.

Fig. 3.17 Barras AB y BC.

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Problema 3.2: Solución a. El área transversal requerida en la barra BC. Utilizamos la ecuación 1.1.

P P   A A 

(1)

Momento con respecto al punto A:

M

A

 0 sah 

BCY (240)  15(60)  15(180)  0 4BCY  1.5  1.5  3

a.1 Cálculo de P en la barra BC. Utilizamos BCY  15 kN la figura 3.18. Utilizando las componentes de AB, Aplicando las ecuaciones de equilibrio. mostrada en la figura 3.19.

Fig. 3.18 DCL de la barra AB.

Fig. 3.19 Componentes de AB. BC y Sen 60  BC 15kN BC   17.32kN Sen 60

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Problema 3.2:

a.2 Cálculo del área transversal: Datos: P=BC=17.32 kN; A = ?  =20 MPa Reemplazando valores en (1): 17.32  103 N 106 mm 2 ABC   2 N 1 m 6 20  10 2 m ABC  866 mm 2

b. El diámetro en los pasadores en A y B. Fig. 3.20 DCL de la barra AB. Utilizamos las ecuaciones 3.1 y 3.2. b.1 Cálculo de las reacciones en el apoyo A. En el pasador A: Cortante simple. Utilizamos la figura 3.20: Aplicando las P ecuaciones de equilibrio.  (2) A FY  0   En el pasador B: Cortante doble.



BCY  AY  15  15  0

P (3) AY  15  15  15  15 kN 2A © 2020 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada



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Problema 3.2:

b.2 Cálculo de Ax:

F

X

0 

AX  BC X  0 AX  BC X

b.3 Diámetro del pasador en A Reemplazando valores en (2) 17.32  103 N 2 A  577.33 mm 1m 2 6 N 30  10 2  6 2 m 10 mm

Utilizando la figura 3.20 para calcular b.3 Diámetro del pasador en B BCx: b.3.1 Cálculo de PB =BC: BC X Cos60  PB  BC  BC X2  BCY2 BC BC X  BCCos 60  17.32  Cos60 PB  ( 8.66) 2  152  17.32kN BC X  8.66 kN   AX Reemplazando valores en (2): b.2 Cálculo de Ax: PB 17.32  103 N A  2 2 2 PA  A  AX  AY N 1 m 2 2  30  106 2  6 m 10 mm 2 2 2 A  ( 8.66)  15  17.32kN AB  288.67mm 2

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Problema 3.3:

La barra rígida AB mostrada en la figura 3.21, está soportada por una barra de acero AC que tiene un diámetro de 26 mm y por un bloque de aluminio que tiene un área transversal de 1600 mm2. Los pasadores A y C tienen 24 mm de diámetro, si los esfuerzos de falla para el acero y para el aluminio es de 680 MPa y 70 MPa respectivamente; y el esfuerzo cortante de falla para cada pasador es 900 MPa. Determinar la carga máxima P que puede aplicarse a la barra. Utilizar un factor de seguridad (F.S.) de 2. © 2020 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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Problema 3.3:

Fig. 3.21 Barra rígida AB.

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Problema 3.3: Solución

a. Calcular la carga máxima P que puede a.1 Cálculo de los esfuerzos admisibles.  aplicarse. Utilizamos la figura 3.22 y  adm  max fs aplicamos las ecuaciones de equilibrio. Para el Acero:

 max



 max



680 MPa  340 MPa fs 2 Para el Aluminio:

 adm 

 adm 

fs

70 MPa  35MPa 2

a.1 Cálculo de las cargas. Para el Acero:

Fig. 3.22 DCL de la barra rígida AB.

M

A

 0 sah 

BE (2)  P (0.75)  0 BE  0.375P (1)

M

B

 0 sh 

AC   A 340  106 N   (26mm) 2 AC    180.5 kN m2 4

AC (2)  P (1.25)  0

Para el Aluminio:

AC  0.625P (2)

35  106 N 1m 2 2 BE   1600mm  6  56 kN m2 10 mm 2

BE   A

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Problema 3.3: Solución Reemplazamos valores en (1):

56(2)  P (0.75)  0 P  149.3kN Reemplazamos valores en (2):

180.5(2)  P (1.25)  0 Fig. 3.23 DCL de la barra rígida AB.

P  288.8 kN La máxima carga que puede tomar es 288.8 KN.

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Problema 3.4:

La carga ultima para el cable BD, mostrada en la figura 3.24 es de 120 KN y se requiere un factor de seguridad de 3 con respecto a la falla del cable. El pasador C es de acero con un esfuerzo cortante final de 300 MPa. Determinar: a) La magnitud de la máxima fuerza P que puede aplicarse con seguridad , b) El diámetro requerido del pasador C, si se desea un factor de seguridad de 2.5, y c) el espesor requerido de los soportes en C si el aplastamiento admisible es de 250 MPa. © 2020 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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Problema 3.4:

Fig. 3.24 Mecanismo de palanca ABC.

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Problema 3.4: Solución a. Magnitud de la máxima fuerza P que puede aplicarse con seguridad

Datos: PBD = 100 kN, fs = 3.2 Ecuaciones a utilizar:   P

A

 adm 

Pmax A

Utilizando la ecuación 2.5:  ult  BD 120  adm    BD  adm

3 3  40 kN

3

Fig. 3.25 DCL del Mecanismo de palanca ABC.

a.1 Componentes de Px y Py: PX P PX  PSen 40

Sen 40 

Aplicando las ecuaciones de equilibrio a la figura 3.25:

M

C

 0 sh 

PY P PY  PCos 40

Cos 40 

PY (1.1)  PX (0.5)  BDY (0.4)  BD X (0.5)  0 (1) Fig. 3.26 Componentes de P.

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Problema 3.4: Solución Utilizando la ecuación (2.5):

a.2 Componentes de BDx y BDy: BDY BD BD y  BDSen 30

Sen 30 

 adm 

 ult fs

BDX BD BDX  BDCos 30

Cos 30 

Fig. 3.27 Componentes de BD.

Reemplazando valores en (1):

Reemplazando valores en (2):

PCos 40(1.1)  PSen 40(0.5)  BDSen30(0.4)

P

BDCos 30(0.5) P (1.1 Cos 40  0.5  Sen 40)  BD(0.4  Sen30 0.5  Cos 30) 1.164P  0.633BD P

0.633BD (2) 1.164

PultBD BD Padm PultBD A   3 A 3A 1 PultBD 120kN BD Padm    40 kN 3 3

b.

0.633BD 0.633  40kN   21.753 kN 1.164 1.164

El diámetro requerido del pasador C. Por la ecuación (2.5):  ult 300  adm    120 MPa fs

2.5

Utilizamos la ecuación (3.2), cortante doble, para calcular el diámetro del pasador.

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Problema 3.4: Solución

Utilizamos la ecuación (3.2), cortante doble, para calcular el diámetro del pasador. P P   A= 2A 2

d2 4

=

P d  2

2P



(3)

b.1 Cálculo de P: En el nudo C, haciendo C=P. b.1.1 Cálculo de las componentes Cx y Cy: Utilizamos la figura 3.28.

F

X

0 

C X  BD X  PX  0 C X  PX  BD X C X  PSen 40  BDCos 30 C X  21.753  Sen 40  40  Cos 30  20.66 kN

Fig. 3.28 DCL del Mecanismo de palanca ABC.

F

Y

0 

CY  BDY  PY  0 CY  BDY  PY  PCos 40  BDsen30 CY  21.753  Cos 40  40  Sen30  3.336 kN

C  C X2  CY2 C  ( 20.66)2  ( 3.336)2  20.928 kN

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Problema 3.4: Solución

Reemplazando valores en la ecuación (3). d

c.

2  20.928  103 N  10.54 mm 2 N 1 m   120  106 2  6 m 10 mm 2

Espesor requerido de los soportes: Utilizamos la ecuación 3.3.

a 

P P = Aa 2td

Fig. 3.29 DCL del Mecanismo de palanca ABC.

20.928  103 N 1m 2 6 N 2  10.54mm  250  10 2  6 m 10 mm 2 t  3.97mm P t  2d 

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Problema 3.5:

Determinar los diámetros requeridos para los pasadores en A y B y de la varilla A, del mecanismo de palanca angular mostrado en la figura 3.30. El esfuerzo admisible de tensión es de 110MPa y el esfuerzo cortante permisible para los pasadores es 60MPa.

Fig. 3.30 Mecanismo de palanca ABC.

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PROBLEMA 3.5: a.

Calcular los diámetros requeridos para los a.1 Calculo de las fuerzas actuantes en los pasadores en A y B y de la varilla A. En la pasadores: figura 3.31, en A y B, cortante doble. En el pasador B la fuerza actuante es 12 kN. a.1.1 Para el Pasador A: la fuerza actuante se P P 4P 4P calcula por el equilibrio correspondiente:  =  d  (1) A  d2 d2  MC  0 sah  4



P (400)  Q(120Sen 45)  0 12  10  Q  3Sen 45 Q  56.57 kN

Reemplazando valores en (1): Fig. 3.31 Mecanismo de palanca ABC.  

P  2A

d 

2P



P 2P = 2 d d2 2( ) 4

4  56.57  103 N dB  m2 6 N   110  10 2  6 m 10 mm 2 d B  25.59 mm

(2)

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Problema 3.5: Solución a.1.2 Para el Pasador A: la fuerza actuante es de 12kN: Reemplazando valores en (1):

4  12  103 N dA  m2 6 N   110  10 2  6 m 10 mm 2 d A  11.79 mm

Fig. 3.32 Mecanismo de palanca ABC.

b.2 Para el pasador B: b. Para el esfuerzo cortante permisible Reemplazando valores en (2): en los pasadores de 60MPa. 2  12  103 N dA  b.1 Para el pasador A: N m2 6   60  10  2  6 Reemplazando valores en (2): m 10 mm 2 2  56.57  103 N dA  N m2 6   60  10  2  6 m 10 mm 2 d A  24.52 mm

d A  11.28 mm

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Problema 3.6:

En la estructura que se representa en la figura 3.33, se emplea un perno de 10 mm de diámetro en A, y se usan pernos de 12 mm de diámetro en B y en D. El esfuerzo ultimo al corte es de 100 MPa en todas las conexiones y que el esfuerzo último normal es de 250 MPa en cada uno de los eslabones que unen B y D. Hallar la carga permisible P si se desea un factor de seguridad de 2.5 © 2020 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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Problema 3.6:

Fig. 3.33 Vistas principales de un mecanismo.

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Problema 3.6: Solución

a.

Hallar la carga permisible P: se desea a.2 Cálculo de los esfuerzos admisibles. un factor de seguridad de 2.5.  100 MPa

a.1 Cálculo de P: En la figura 3.34 se muestra el DCL de la barra ABC.

 adm 

 adm 

ult

fs



 ult fs



2.5

 40 MPa

250 MPa  100 MPa 2.5

a.3 Cálculo de PA. Figura 3.38, cortante doble, en A perno de 10 mm de diámetro.

PA

PA  Fig. 3.34 DCL del tramo AC.

M

C

 0 sh 

P (450)  DY (250)  0 P

5DY  0.55DY 9

(1)

AX2  Ay2

P     (2 A)  PA 2A N 40  106 2  2 A   PA m

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(2)

3 - 39

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Problema 3.6: N  2 A   PA m2 m2 6 N 2 PA  40  10  (2  78.54mm )  6 m2 10 mm 2 PA  6,283.2n  6.2832 kN 40  106

a.4

Utilizando la ecuación (2):

Fig. 3.35 DCL del perno en A.

a.3.1 Cálculo de A: perno en A de 10 mm de diámetro.

A

d2



Cálculo de PD. Figura 3.36, cortante doble, en D perno de 12 mm de diámetro.

40  106

 (102 )

N  2 A   PD m2

(3)

a.3.1 Cálculo de A: perno en D de 12 mm de diámetro.

4 4 A  78.54mm 2

A

Reemplazando valores en (2):

d2



 (12 2 )

4 4 A  113.1mm 2 Fig. 3.36 DCL del perno en D.

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3 - 40

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Problema 3.6: Utilizando la ecuación (2):

N 40  10 2 A   PD 2  m 6

(2)

Reemplazando valores en (2): N m2 2 PD  40  10 2  113.1mm   6 2  m 10 mm 2 PD  9,048N  9.048 kN 6

Reemplazando valores en (1):

Fig. 3.37 DCL del perno en D.

5DY  0.55  9.048kN 9 P  4,976.4 kN P

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3 - 41

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PROBLEMA 3.7:

Un tanque cilíndrico de 18 metros de diámetro está soportado por dos colgantes como se muestra en la figura 3.38. El peso total soportado por los dos colgantes es de 70 KN. Determinar los esfuerzos cortantes en los pasadores de 25 mm de diámetro en los puntos A y B debido al peso del tanque. Desprecie el peso de los colgantes y suponga que el contacto entre ellos y el tanque es sin fricción. © 2020 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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RESISTENCIA DE MATERIALES PROBLEMA 3.7:

Fig. 3.38 Tanque cilíndrico.

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PROBLEMA 3.7: SOLUCIÓN

a. Calcular los esfuerzos cortantes en los pasadores de 25 mm de diámetro en los puntos A y B. DCL del tanque cilíndrico, mostrado en la figura 3.39.

Fig. 3.40 DCL de la esfera.

F

Y

0  

AY  RY  BY  0 AY  BY  RY

Fig. 3.39 DCL del Tanque cilíndrico.

(1)

a.1 Cálculo de RY. Utilizando la figura 3.44. Cos 

RY R

a.1 Cálculo de la reacción en “A”. Aplicando la ecuación de equilibrio a las R  RCos  R  ( 4 ) (2) Y 5 figuras 3.40 y 3.41.

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Fig. 3.41 Triángulo de R.

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PROBLEMA 3.7: SOLUCIÓN a.2 Cálculo de “R”. Aplicando la ecuación de equilibrio a la figura 3.45. En la figura 3.42 se muestra el DCL de la esfera.

Fig. 3.45 DCL de R. Fig. 3.43 Barra AB.

Fig. 3.44 DCL de W.

a.1 Cálculo de R. Utilizando las figuras 3.44 y 3.45.

Fig. 3.42 DCL de la barra AB.

M

A

 0 sah 

BY (18)  BX (24)  R X (18Cos )  RY (18Sen )  0 3BY  4BX  3R X Cos  3RY Sen (3)

9 R  WOT  WY Sen  70  ( )  42 kN 5 a.3 Cálculo de la reacción R en “T”. Utilizamos la figura 3.43. Cos 

RY R

Sen 

RX ; R  WY  70kN R

3 RY  RCos  70  ( )  42 kN 5 4 R X  RSen  70  ( )  56 kN 5

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PROBLEMA 3.7: SOLUCIÓN

Reemplazando valores en (3):

3BY  4BX  3(42)Cos 53  3(56)Sen53

Reemplazando valores en (4):

3(0.6B )  4(0.8B )  210.02 kN

3BY  4BX  75.83  134.2

(1.8  3.2)B  210.02

3BY  4BX  210.02 kN (4)

B

210.02  150 kN 1.4

Reemplazando valores en (1):

AY  0.6B  42 AY  42  0.6( 150)  48 0.6 A  48

Fig. 3.46 DCL de B.

Cos 

BY , B

Sen 

BX B

3 BY  BCos  B  ( )  0.6B 5 4 B X  BSen  B  ( )  0.8B 5

A  80 kN b. Esfuerzo cortante en el pasador A. En A cortante doble, utilizamos la ecuación 3.2:

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PROBLEMA 3.7:

P 2P   (5) 2 2 d d 2( ) 4 Reemplazando valores en (5):

2  80  103 N 106 mm 2 A   2 2  (25 mm ) m2  A  81.5MPa Fig. 3.47 DCL del Tanque cilíndrico.

c. Esfuerzo cortante en el pasador A. En A cortante doble, utilizamos la ecuación 3.2. Reemplazando valores en (5):

2  150  103 N 106 mm 2 B   2 2  (25 mm ) m2  B  152.8MPa Fig. 3.48 DCL de la barra AB.

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PROBLEMA 3.8:

La armadura de dos barras ABC que se ve en la figura 3.49, tiene soportes con pasadores en los puntos A y C. Las barras AB y BC son barras de acero conectadas por un pasador en el punto B. Un letrero que pesa 8 kN está colgado de la barra BC en los puntos D y E, a 0.8m y 0.4m, respectivamente, de los extremos de la barra. Determinar: a. el área transversal necesaria en las barras AB y BC, b. el diámetro necesario del pasador en el soporte C, si los esfuerzos admisibles en tensión y en corte son 125 MPa y 45 MPa, respectivamente (Nota : No tome en cuenta los pesos de las barras AB y BC.) © 2020 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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RESISTENCIA DE MATERIALES PROBLEMA 3.8:

Fig. 3.49 Armadura de dos barras.

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PROBLEMA 3.8:

a.

Área transversal en la barra AB. Utilizamos la ecuación 1.1 de R.M:



P P  A A 

(1)

DATO : adm =125 MPa

a.1 Cálculo de AB. DCL de la barra CB, ver la figura 3.50.

M

C

 0 sh 

BY (3)  4(0.8)  4(2.6)  0

13

3BY  4  0.8  4  2.6 BY 

13.6 (2) 3

F

0 

X

Fig. 3.51 Componentes de B.

C X  BX  0 C X  BX

Analizando la figura 3.51.

(2)

BY BY B  B Sen B 3 Cos  X  B X  B( ) (4) B 13 Sen 

Sustituyendo (2) en (3):

Fig. 3.50 DCL de la barra CD.

13.6 13.6  13 B 3   8.173 kN 2 6 13

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(3)

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PROBLEMA 3.8: AAB

b.

M

Reemplazando valores en (1): 8.173  103 N 2   65.384 mm m2 6 N 125  10 2  6 m 10 mm 2

C

 0 sh 

AX (2)  4(0.8)  4(2.6)  0 2 AX  (4  0.8  4  2.6) AX  6.8 kN

Área transversal en la barra BC.

DCL de la armadura ABC, ver la figura Utilizando todo el DCL de la armadura 3.52. mostrada en la figura 3.52.

F

Y

0 

CY  AY  4  4  0 AY  8  CY

(5)

Utilizando el DCL de la figura 3.52:

M Fig. 3.52 DCL de la armadura ABC.

b.1 Cálculo de las reacciones. Aplicando las ecuaciones de equilibrio a la figura 3.52:

B

 0 sh 

CY (3)  4(0.4)  4(2.2)  0 3CY  4(0.4  2.2) CY  3.47 kN

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PROBLEMA 3.8:

Reemplazando valores en 1:

Analizando el DCL de la barra CB, mostrada en la figura 3.53.

ABC

6.8  103 N   54.4mm 2 2 N m 125  106 2  6 m 10 mm 2

c.

Diámetro necesario para el pasador C: El soporte en C está a cortante doble, utilizamos la ecuación (3.2) de R.M. Datos : adm = 45MPa, P = C

Fig. 3.53 DCL de la barra CD.

b.2 Cálculo de la fuerza en la barra CB. C X  BX  BCos BX  (

13.6 13 3 )( )  6.8 kN 6 13

P P d2 P   A   2A 2 4 2 2P d (6)

 adm

c.1 Cálculo de C:

C

C X2  CY2

C

6.82  3.47 2  7.63KN

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PROBLEMA 3.8:

Reemplazando valores en (6):

2  7.63  103 N d m2 6 N   45  10 2  6 2 m 10 mm d  10.4mm

Fig. 3.55 DCL de la barra CD.

Fig. 3.54 DCL de la armadura ABC.

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Problema 3.9:

La carga última para la barra AB es 90 kN y se requiere un factor de seguridad de 3 con respecto a la falla de la barra. Para el pasador C mostrado en la figura 3.56, utiliza acero con un esfuerzo cortante final de 250 MPa. Determinar: a) la magnitud de la máxima carga P que puede aplicarse con seguridad, b) el diámetro requerido del pasador C, si se desea un factor de seguridad de 2.5, c) el espesor requerido “t” de los soportes en C, si el aplastamiento admisible es de 200 MPa. © 2020 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

3 - 54

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Problema 3.9:

Fig. 3.56 Brazo de control.

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PROBLEMA 3.9: Solución a.

Magnitud de la máxima carga P que puede aplicarse. Utilizamos la ecuación (2.5).  adm

PultAB AB  ult Padm    A fs A fs

AB Padm PultAB PultAB 90kN AB   Padm   A A  fs fs 3 AB Padm  30 kN

Fig. 3.57 Brazo de control.

a.1 Cálculo de la componente PY: a.1 Cálculo de P: En la figura 3.58 se muestra el triángulo En la figura 3.57 se muestra el DCL de fuerzas de P. del brazo de palanca.

M

C

PY P PY  PSen 

Sen  

 0 sh 

PY (170)  30(100)  PAB (250)  0 17PY  25PAB  300 (1) Fig. 3.58 Componentes de P.

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3 PY  P ( ) 5

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PROBLEMA 3.9: Solución Reemplazando valores en (1): 3P )  25(30)  300 5 450  5 P 17  3 P  44.12 kN

17(

b.

El diámetro requerido del pasador C.

En la figura 3.59, en C se tiene cortante doble; utilizamos la ecuación (3.2).

P P d2 P   A   2A 2 4 2 2P d (2)

 adm

b.1 Cortante admisible:  adm Utilizamos la ecuación 2.5.  250  adm  ult   100MPa fs 2.5

Fig. 3.59 Brazo de control.

b.2 Cálculo de P. En el nudo C, haciendo P = C; utilizamos la figura 3.59. b.2.1 Cálculo de las componentes Cx y Cy

F

X

0 

F

Y

0 

C X  PX  PAB  0

CY  PY  30  0

C X  PAB  PX

CY  30  PY

(3)

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(4)

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PROBLEMA 3.9: Solución

b.2.2 Cálculo de la componente PY: En la figura 3.60 se muestra el triángulo de fuerzas de P. PX P PX  PCos 

PY P PY  PSen 

Cos  

Sen  

4 PX  P ( ) 5

3 Py  P ( ) 5

Fig. 3.60 Componentes de P.

Reemplazando valores en (3): 4 450  5 4 C X  30  P ( )  30  ( )( ) 5 17  3 5 C X  5.294 kN

Reemplazando valores en (4): 450  5 3 )( ) 17  3 5 CY  56.47 kN CY  30  (

Fig. 3.61 Brazo de control.

Entonces: P  C  C X2  CY2  ( 5.294)2  (56.47)2 P  C  56.72 kN

Reemplazando valores en (2): 2  56.72  103 N d m2 6 N   100  10 2  6 2 m 10 mm d  19 mm

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PROBLEMA 3.9: Solución El espesor requerido “t” de los soportes en C. Utilizamos la ecuación 3.3 y la figura 3.62. c.

a  t

P P  Aa 2td

P 2d  a

(5)

Fig. 3.62 Brazo de control.

Datos: P = 56.72 kN, d = 19 mm  a  20 MPa Reemplazando valores en (5): P t  2d  a

56.72  103 N m2 6 N 2  19mm  200  10 2  6 m 10 mm 2

t  7.46 mm

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Problema 3.10:

Las barras AB y BC de la estructura mostradas en la figura 3.63 pesa 200 kN/m. Determinar el pasador de diámetro más pequeño que se puede utilizar en A, si el esfuerzo de cizallamiento se limita a 50 MPa.

Fig. 3.63 Estructura.

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Problema 3.10: a.

El diámetro del pasador más pequeño que se puede utilizar en A. Utilizamos la ecuación (3.2), cortante doble en A. P P d2 P   A   2A 2 4 2 2P d (1)

 adm

Datos: P = A,

  500 MPa

a.1 DCL de la barra AB. Se muestra en la figura (3.64). kN Peso de la barra AB: WAB  200 m

Fig. 3.64 DCL de la barra AB.

Por equilibrio en la barra AB:  M A  0 sah 

Longitud de AB: AB  42  42  5.66m

BX (4)  BY (4)  W (2)  0

Entonces W de AB:

BX  BY  0.5  1132.4

WAB  200

kN  5.66m  1132.4 kN m

BX  BY  566.2 kN (2)

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3 - 61

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Problema 3.10:

a.2 DCL de la barra BC. Se muestra en la figura (3.65). Peso de la barra BC: WBC  200

kN m

Longitud de BC: BC  32  62  6.71m Entonces W de BC: WBC  200

kN  6.71m  1342 kN m

Por equilibrio en la barra BC:

M

C

 0 sah 

BY (3)  WBC (1.5)  BX (6)  0 BY  0.5WBC  2BX BY  2BX  0.5WBC BY  2BX  0.5(1342) (3)

Sustituyendo (3) en (2):

Fig. 3.65 DCL de la barra BC.

BX  2BX  671  566.2 3BX  1237.2 BX  412.4kN a.3 En la barra BC:

F

X

0 

AX  B X  0 AX  BX  412.4kN

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3 - 62

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Problema 3.10:

F

y

0 

AY  BY  WBC  0 AY  1342  (2BX  0.5(1342)) AY  1342  (2  412.4  671)  1188.2 kN

a.4 Cálculo de P = A: A  AX2  AY2 A  412.42  1188.22  1257.73 kN

Reemplazando valores en (1):

Fig. 3.66 DCL de la barra BC.

2  1257.73  103 N d m2 6 N   500  10 2  6 2 m 10 mm d  40 mm

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3 - 63

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Problema 3.11:

Una estructura simple se usa para sostener una carga 65 kN, como se muestra en la figura 3.67. Determinar: a) El diámetro mínimo del tirante AB si el esfuerzo normal en la varilla se limita a 100 MPa, b) Los diámetros mínimos para los seguros A y C si el esfuerzo cortante en los seguros se limita a 70 MPa, c) El diámetro mínimo para el seguro C si el esfuerzo cortante en el seguro se limita a 85 MPa. © 2020 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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Problema 3.11:

Fig. 3.67 Estructura simple.

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Problema 3.11:

a.

El diámetro mínimo del tirante AB. Utilizamos la ecuación 1.1: P P d2 P    A   A  4  4P d (1)



Datos:  AB  100 MPa a.1 Cálculo de PAB. Cálculo de las reacciones, utilizamos el DCL mostrado en la figura 3.68:

M

C

 0 sh 

AY (3)  DY (6)  D X (3)  0 AY  2DY  D X  0 (2) Fig. 3.69 Componentes de P.

Fig. 3.68 DCL de la Estructura simple.

Analizando la figura 3.69. DY D DY  DCos 

Cos  

DY  65(

12 )  60 kN 13

DX D D X  DSen 

Sen  

D X  65(

5 )  25 kN 13

Reemplazando valores en (2). AY  2(60)  25  0 AY  145 kN

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Problema 3.11:

a.2 Cálculo de Ax. Utilizamos el DCL mostrado en la figura 3.70:

F

X

0 

AX  D X  0 AX  D X  25 kN

a.2.1 Cálculo de PAB.

PAB  AX2  AY2 PAB  ( 25) 2  ( 145) 2  147.14 kN

Reemplazando valores en (1). 4  147.14  103 N d m2 6 N   100  10 2  6 2 m 10 mm d  43.3 mm

Fig. 3.70 DCL de la Estructura simple.

b.

Los diámetros mínimos para los seguros en A y C. El esfuerzo cortante en los seguros se limita a 70 MPa. En A y C, cortante simple, utilizamos la ecuación 3.1.

P P d2 P    A   A  4  4P d (3)



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Problema 3.11: b.1 Diámetro en A. Reemplazando valores en (3). 4  147.14  103 N dA  m2 6 N   70  10 2  6 2 m 10 mm d A  51.73 mm

c.

El diámetro mínimo para el seguro C. El esfuerzo cortante en el seguro se limita a 85 MPa. c.1 Cálculo de CY. Utilizando la figura 3.71 y aplicando la ecuación de equilibrio.

F

Y

0 

Fig. 3.71 DCL de la Estructura simple.

Reemplazando valores en (3). 4  85  103 N dC  m2 6 N   85  10 2  6 2 m 10 mm d C  35.7 mm

AY  CY  DY  0 CY   AY  DY  ( 145)  60 CY  85 kN

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Problema 3.12:

La estructura mostrada en la figura 3.72, consta de una viga AB, una barra BC que soporta en B una carga Q de 30 KN. la barra BC de 20 mm de diámetro tiene extremos planos de 20x40 mm, la viga AB tiene una sección rectangular uniforme de 30x50 mm con pasador en el extremo B. Todos los pasadores tienen 25 mm de diámetro. Determinar: a) El esfuerzo en la viga AB y la barra BC, b) El esfuerzo cortante en las diversas conexiones, y c) El esfuerzo de aplastamiento en A.

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Problema 3.12:

En la figura 3.72 las barras AB y CB están unidos en B por medio de un pasador del cual está suspendida la carga Q de 30 kN por medio de un soporte en U. La viga AB está sostenida en A por medio de un pasador y un soporte doble, en tanto que la barra BC está unida por un pasador C a un soporte sencillo.

Fig. 3.72 Estructura ABC.

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Problema 3.12:

SOLUCIÓN: a. El esfuerzo en la viga AB y la barra BC:

a..1 Cálculo de las fuerzas.

Fig. 3.74 DCL del nudo A.

 FV  0   FBC Sen  30  0 30 30   50 kN Sen 1.5 2.5 Sale del nudo, tensión en la barra FBC 

Fig. 3.73 Estructura ABC.

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Problema 3.12: a..1 Cálculo de las fuerzas.

 FH  0   FAB  FBC Cos  0  2  FAB  50   40 kN  2.5  Entra al nudo, compresión en la barra a..2 Cálculo del esfuerzo en la viga AB. Utilizamos la ecuación 1.1 de RM.

Fig. 3.75 Estructura ABC.

FBC  AB   AAB

40  103 N

2 1 m (30  50)mm 2  6 10 mm 2  AB  26.67 MPa

a..3 Cálculo del esfuerzo en la barra BC.

 BC

FBC 50  103 N   (2) ABC ABC

Fig. 3.76 Detalle de la barra BC.

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Problema 3.12: a..3 Cálculo del esfuerzo en la barra BC.

El área de su sección transversal es: 2 2 2 2   d  (20) mm 1 m st ABC    6 2 4 4 10 mm st ABC  314.16  106 m 2

Seleccionar el área de menor valor: Fig. 3.77 Detalle de la barra BC.

Reemplazando valores en (2):

Cálculo de ABC :

ABC ABC

1m 2  (40  20  20  25)mm  6 10 mm 2  300  106 m 2 2

Cálculo del transversal:

área

st ABC  314.16  106 m 2

de

su

 BC  BC

50  103 N  300  106 m 2  166.67 MPa

sección

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Problema 3.12: b.

Cálculo del esfuerzo cortante en las conexiones.

Utilizamos la ecuación 3.1 de RM. b.12 En el pasador C.

2 2  (25) mm A  r2  2 A  491 106 m 2

Reemplazando valores en la ecuación 3.1:

P 50  103 N C   A 491 106 m 2  C  101.9 MPa

Fig. 3.78 Detalle del pasador C.

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Problema 3.12: b..2 En el pasador A.

El pasador A se observa que está a cortante doble, aplicamos la ecuación 3.2 de RM. P 40  103 N C   2 A 491 10 6 m 2  C  40.7 MPa

Fig. 3.79 Detalle en el pasador A.

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Problema 3.12: b..3 En el pasador B:

En el pasador B observamos que puede ser dividido en cinco partes, sobre las cuales actúan fuerzas ejercidas por la viga, la barra y el soporte.

PE  15 kN PG  25 kN Entonces se concluye que el valor máximo de la fuerza cortante en el pasador B es PG = 25 kN y que los mayores esfuerzos cortantes ocurren en las secciones G y H, en donde:

Fig. 3.80 Detalle de la barra BC.

PG 25  103 N C   A 491 106 m 2  C  50.9 MPa

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Problema 3.12: c Esfuerzo de aplastamiento.:

c.1 Esfuerzo de aplastamiento de la viga AB. Utilizamos la ecuación 3.3 de RM.

P 40  103 N b   td (30mm )  (25mm )  b  53.3 MPa c.2 Esfuerzo de aplastamiento del soporte en A. Tenemos: t = 2(25 mm) = 50 mm y d = 25 mm,

P 40  103 N b   td (50mm )  (25mm )  b  32 MPa Fig. 3.81 Detalle del pasador en A.

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