Soal Dan Jawaban Ujian Fisika Matematika 2 Pendidikan Fisika Fkip Unib 2009

SOAL DAN JAWABAN UJIAN FISIKA MATEMATIKA 2 PENDIDIKAN FISIKA FKIP UNIB 2009

NAMA NPM PRODI DOSEN

: ABDUL SALIM : A1E008018 : PENDIDIKAN FISIKA FKIP UNIB : DEDY HAMDANI, M.Si

1. Tentukanlah solusi umum dan solusi khusus untuk PDB orde satu a) e x y '  2 x  3 y 3 x = 0, y = 1/4 2y b) y '  x = 2, y = 0  x2 ex x c) x 2 y '  2 xy  x  1  0 x = 1, y = 0 2. Tentukan solusi umun persamaan rangkaian RL L

dv  RI  E dimana pada t = 0, dt

I=0

3. Tentukan solusi umumpersamaan difereensial orde dua berikut a) y" y  x 3  1  4 cos x  3 sin x  b) y"4 y '3 y  8e _ 3 x  e 3 x

Jawaban



1. Tentukanlah solusi umum dan solusi khusus untuk PDB orde satu a) e x y '  2 x  3 y 3 1 x  0, y 4

1 2 y  Ce  x 2 x  4  2 1 2 y  Ce  x 2 x  4  2 y  2  2Ce  x 2 x  4  1  2Ce  x 2 x  4  2 y

e x y '  2  x  3 y 3 2  x  3 y 3 ex y '  2  x  3 e  x y 3 y' 

dy  2  x  3 e  x y 3 dx dy  2  x  3 e  x dx y3

y

3

y2 

1 ex  2Ce  x 2 x  4  2C 2 x  4 

y2 

ex 2C 2 x  4 

ex y  Solusi umum 2C 2 x  4  2

dy   2  x  3 e  x dx

x  0,

Integral ruas kiri 1  1 2 y 31  y  3 1 2

y2 

y

1 4

ex 2C 2 x  4 

2

Integral ruas kanan permisalan u  2 x  3  2 x  6 u '  2dx

gunakan

dv  e  x dx v   e  x dx v  e  x

 u.dv  uv   v.du



 



 2 x  6   e  x    e  x .2 dx   e  x 2 x  6   2  e  x dx

  2 x  6  2 e 

e0 1    2C 2 0  4  4 1 1 1   16 2C 4 8C 8C  16 16 C 2 8 ex y2  2C 2 x  4  y2 

ex 2.22 x  4 

y2 

ex 42 x  4

y2 

ex 8 x  16

y2 

ex Solusi khusus 8 x  16 

 e  x 2 x  6   2  e  x  e

x

x

 e  x 2 x  6  2 C  Ce  x 2 x  4 

b) y ' 

2y  x2 ex x x  2, y0

2y y'   x2 ex x 2 P ; Q  x 2e x 4 2 I   P dx    dx x  2 ln x e I  e  2 ln x  e ln x 1 e I  x 2  2 x

2

y e I   Qe I dx 1 1   x 2 e x 2 dx 2 x x 1 y 2   e x dx  e x  C x y  ex  C x2

c) x 2 y '  2 xy  x  1  0 x  1,

x 2 y '  2 xy  x  1 2 x 1 P Q 2 x x 2 I   Pdx   dx  2 ln x x e I  e 2 ln x  e ln x  x 2 2

y e I   Q e I dx y x2  

  C x

x

x  2,

2

Solusi Umum

x 1 2 x x2

   x  1dx

y

 y  e

y0



1 2 x  xC 2

1 2 x  xC 2 y x2

y0





1 2 x  xC 2 y Solusi x2

0  e2  C 22 e2  C  0 C  e 2



y  x2 e x  e2



Umum

x  2,





y  x 2 e x  e 2 Solusi Khusu

y0

1 2 1  1  C 2 1 0   C 2 1 C 2 1 2 1 x x 2 y 2 2 x 1 2 x  1  x y 2 x2 0

2. Tentukan

solusi

umun persamaan dv rangkaian RL L  RI  E dimana dt pada t = 0, I=0 Jawaban di L  RI  E dt di R E  I dt L L terlihat bahwa P

R , L

e e I

E L

R R dt  L L

R  t L

ie I   Q e I dt R  t

i e L   

R

E  L t e dt L R

E  t   e  L  DT L R

E L  L  t  e C L R ie

R  t L

R

E  t  e L   C R R

E  L t e C R i R 

t

e L  i

i

E  Ce R

E  Ce R

  R  t      L      

  R  t    L   

    

Solusi Umum

i0

R

  0 E 0   Ce  L  R E E   Ce 0   C R R E C R R

Q

I   P.dt  

Pada t  0,

E E   t i   e L R R R   t  E i  1  e  L    R   R   t  E i  1  e  L   Solusi Khusus  R  

3. Tentukan solusi umumpersamaan difereensial orde dua berikut a. y" y  x 3  1  4 cos x  3 sin x  Jawaban Ini merupakan PDB orde dua dengan ruas kanan ≠ 0. solusinya terdiri dari solusi homogen di tambah solusi tak homogen.  Untuk solusi homogen ambil ruas kanan = 0 y" y  0 D2 y  y  0

D

2



1 y  0

D  1D  1 y  0 y h  C1e  x  C 2 e x

 Untuk solusi tak homogen terdiri atas dua yaitu fungsi pangkat dan fungsi itrigonometri  Untuk fungsi polinomial

miasl y  Ax3  Bx 2  Cx  D y '  3 Ax 2  2 Bx  C y"  6 Ax  2 B y" y  x 3  1

6 Ax  2 B   Ax3  Bx 2  Cx  D   x 3  1  Ax3  Bx 2  C  6 Ax  2 B  D   x 3  1 Telihat bahwa  Ax3  x 3  A 1 A  1

 Bx 2  0 B0 B0

 C  6 A  0 6A  C  0 6 1C  0

C  6

jadi

yh1   x 3  6x  1

2 B  D  1 20  D  1 D 1

 Untuk fungsi trigonometri miasl y  M cos x  N cos x y '   M sin x  N cos x

y"  _ m cos x  N sin x y" y '  4 cos x  3 sin x

 M cos x  N sin x   M cos x  N sin x   4 cos x  3 sin x  2 M cos x  2 N sin x  4 cos x  3 sin x terlihat bahwa  2 M cos x  4 cos x  2M  4 4 M   2 2 M  2

 2 N sin x  3 sin x  2N  3 3 N 2 3 N  2

3 maka y h2  2 cos x  sin x 2 3 yh2  2 cos x  sin x 2 Jadi solusinya adalah

y  yh  y h1  y h 2 3 y  C1e  x  C 2 e x  x 3  6 x  1  2 cos x  sin x 2

b. y"4 y '3 y  8e _ 3 x  e 3 x Ini merupakan PDB orde dua dengan ruas kanan ≠0. solusinya terdiri dari dua solusi yaitu solusi homogen dan solusi taak homogen.  Untuk solusi homogen, ambil ruas kanan = 0 y"4 y '3 y  0

D 2 y  4 Dy  3 y  0

D



 4D  3 y  0 D  1D  3  0 2

y h  C1e x  C 2 e 3 x yh  C1e x  C2 e 3 x

 Untuk solusi tak homogen terdiri atas dua, yaitu fungsi eksponensial  Untuk funsi eksponensial peertama

y"4 y '3 y  8e _ 3 x

D  1D  3  8e _ 3 x D  a D  b   kecx ini perupakankasus a  b  c Boas, hal 364

miasl y  Ce 3 x y '  3Ce 3 x y"  9ce 3 x y"4 y '3 y  8e _ 3 x



 



9ce 3 x  4  3Ce 3 x  3 Ce 3 x  8e _ 3 x 9ce

3 x

 12Ce

3 x

 3Ce

3 x

 8e _ 3 x

24Ce _ 3 x  8e _ 3 x 24C  8 8 C 24 1 C 3 1 jadi y h1  Ce _ 3 x 3



Untuk fungsi eksponen kedua

y"4 y '3 y  e 3 x

D  1D  3  e 3 x D  a D  b   kecx ini perupakankasus a  c atau b  c, a  b Boas, hal 364

misal y  Cxe 3 x



y '  C e 3 x  3 xe 3 x  Ce

3x

y"  Ce

3x

 3Cxe



3x



 3 x e 3 x  3 xe 3 x



 3Ce 3 x  3Ce 3 x  9Cxe 3 x  6Ce 3 x  9Cxe 3 x

6Ce

3x

y"4 y '3 y  e 3 x

 

 



 9Cxe 3 x  4 Ce 3 x  3Cxe 3 x  3 Cxe 3 x  e 3 x

6Ce 3 x  4Ce 3 x  9Cxe 3 x  12Cxe 3 x  3Cxe 3 x  e 3 x 2Ce 3 x  e 3 x 2C  1 C jadi y h2 

1 3x xe 2

Jadi solusi totalnya adalah y  y h1  y h1  y h2

1 1 y  C1e 3 x  C 2 e 3 x  e 3 x  xe 3 x 3 2

1 2