Tugas Fisika Matematika 2

Tugas Fisika Matematika 2 Nama : Fidya Alfitri Nim

: H21115504

Mod 2 2. A metal plate covering the first quadrant has the edge which is along the y axis insulated and the edge which is along the x axis held at 𝑢(𝑥, 0) = {

100(2 − 𝑥), 𝑓𝑜𝑟 0 < 𝑥 < 2, 0 , 𝑓𝑜𝑟 𝑥 < 2

Find the steady-state temperature distribution as a function of x and y. Hint: Follow the procedure of Example 2, but use a cosine transform (because ∂u/∂x = 0 for x = 0). Leave your answer as an integral like (9.13).

Jawab: 𝑢(𝑥, 0) = {

100(2 − 𝑥), 𝑓𝑜𝑟 0 < 𝑥 < 2, 0 , 𝑓𝑜𝑟 𝑥 < 2

Distribusi suhu steady state sebagai fungsi dari x dan y. Maka solusinya akan menjadi: 𝑢(𝑥, 0) = {

𝑒 𝑘𝑦 , 𝑓𝑜𝑟 0 < 𝑥 < 2, 𝑒 −𝑘𝑦 , 𝑓𝑜𝑟 𝑥 < 2

Karena merupakan kuadran pertama, maka arah y, dengan u → 0 dan y → ∞. 𝑒 𝑘𝑦 dapat diabaikan, dengan

𝜕𝑢 𝜕𝑥

= 0 dan x = 0. Sumbu y dengan sin (kx) diabaikan.

sehingga solusinya berbentuk: ∞

𝑢 = ∫ 𝐵(𝑘)𝑒 −𝑘𝑥 cos(𝑘𝑥)𝑑𝑘 0

Untuk y = 0 maka dapat dituliskan: ∞

𝑢(𝑥, 0) = ∫ 𝐵(𝑘) cos(𝑘𝑥)𝑑𝑘 0 ∞

2 𝑓𝑐 (𝑥) = √ ∫ 𝑔𝑐 (𝑘) cos(𝑘𝑥)𝑑𝑘 𝜋 0

Dengan mencocokkan dengan transformasi Fourier kosinus maka dapat dituliskan: 2 𝐵(𝑘) = √ 𝑔𝑐 (𝑘) 𝜋 Menerapkan definisi sepasang transformasi Fourier kosinus menggunakan konvensi, B (k) dapat dihitung sebagai berikut: ∞

2 𝐵(𝑘) = √ ∫ 𝑢(𝑥, 0) cos(𝑘𝑥)𝑑𝑘 𝜋 0

∞

200 =√ ∫ (2 − 𝑥) cos(𝑘𝑥)𝑑𝑘 𝜋 0

400 𝑠𝑖𝑛2 (𝑘) √ = 𝜋 𝑘2 Sehingga didapatkan solusinya yaitu: ∞

400 𝑠𝑖𝑛2 (𝑘) 𝑢(𝑥, 0) = √ ∫ cos(𝑘𝑥)𝑑𝑘 𝜋 𝑘2 0